Kata “pecahan” membuat banyak orang merinding. Karena saya ingat sekolah dan tugas-tugas yang diselesaikan dalam matematika. Ini adalah tugas yang harus dipenuhi. Namun bagaimana jika kita memperlakukan tugas yang mengandung benar dan salah pecahan yang tepat, bagaimana cara membuat teka-teki? Lagi pula, banyak orang dewasa yang memecahkan teka-teki silang digital dan Jepang. Kami menemukan aturannya, dan hanya itu. Di sini sama saja. Kita hanya perlu mempelajari teorinya - dan semuanya akan terjadi pada tempatnya. Dan contoh-contoh tersebut akan menjadi cara untuk melatih otak Anda.
Apa saja jenis pecahan yang ada?
Mari kita mulai dengan apa itu. Pecahan adalah suatu bilangan yang mempunyai suatu bagian dari satu. Itu dapat ditulis dalam dua bentuk. Yang pertama disebut biasa. Artinya, yang memiliki garis mendatar atau miring. Ini setara dengan tanda pembagian.
Dalam notasi seperti ini, bilangan di atas garis disebut pembilang, dan bilangan di bawahnya disebut penyebut.
Di antara pecahan biasa, dibedakan pecahan biasa dan pecahan biasa. Untuk yang pertama, nilai mutlak pembilangnya selalu lebih kecil dari penyebutnya. Yang salah disebut demikian karena yang terjadi justru sebaliknya. Nilai pecahan wajar selalu kurang dari satu. Sedangkan yang salah selalu lebih besar dari angka tersebut.
Ada juga bilangan campuran, yaitu bilangan yang mempunyai bagian bilangan bulat dan bagian pecahan.
Jenis notasi kedua adalah pecahan desimal. Ada percakapan terpisah tentang dia.
Apa perbedaan pecahan biasa dengan bilangan campuran?
Intinya, tidak ada apa-apa. Ini hanyalah rekaman berbeda dengan nomor yang sama. Pecahan tak wajar menjadi mudah setelah langkah sederhana. nomor campuran. Dan sebaliknya.
Itu semua tergantung pada situasi tertentu. Terkadang lebih nyaman digunakan dalam tugas fraksi yang tidak tepat. Dan terkadang perlu untuk mengubahnya menjadi bilangan campuran dan contohnya akan diselesaikan dengan sangat mudah. Oleh karena itu, apa yang digunakan: pecahan biasa, bilangan campuran, bergantung pada keterampilan observasi orang yang memecahkan masalah.
Bilangan campuran juga dibandingkan dengan jumlah bagian bilangan bulat dan bagian pecahan. Apalagi yang kedua selalu kurang dari satu.
Bagaimana cara menyatakan bilangan campuran sebagai pecahan biasa?
Jika Anda perlu melakukan tindakan apa pun dengan beberapa angka yang tertulis jenis yang berbeda, maka Anda harus membuatnya sama. Salah satu caranya adalah dengan menyatakan bilangan sebagai pecahan biasa.
Untuk tujuan ini, Anda perlu melakukan algoritma berikut:
- kalikan penyebutnya dengan seluruh bagian;
- tambahkan nilai pembilang pada hasilnya;
- tulis jawabannya di atas garis;
- biarkan penyebutnya tetap sama.
Berikut contoh cara menulis pecahan biasa dari bilangan campuran:
- 17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
- 39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.
Bagaimana cara menulis pecahan biasa sebagai bilangan campuran?
Teknik selanjutnya adalah kebalikan dari yang dibahas di atas. Artinya, semua bilangan campuran diganti dengan pecahan biasa. Algoritme tindakannya adalah sebagai berikut:
- bagilah pembilangnya dengan penyebutnya untuk mendapatkan sisanya;
- tuliskan hasil bagi sebagai ganti seluruh bagian campuran;
- sisanya harus ditempatkan di atas garis;
- pembaginya akan menjadi penyebutnya.
Contoh transformasi tersebut:
76/14; 76:14 = 5 dengan sisa 6; jawabannya adalah 5 utuh dan 14/6; bagian pecahan dalam contoh ini perlu dikurangi 2, sehingga menghasilkan 3/7; jawaban akhirnya adalah 5 poin 3/7.
108/54; setelah pembagian, diperoleh hasil bagi 2 tanpa sisa; ini berarti tidak semua pecahan biasa dapat direpresentasikan sebagai bilangan campuran; jawabannya adalah bilangan bulat - 2.
Bagaimana cara mengubah bilangan bulat menjadi pecahan biasa?
Ada situasi dimana tindakan seperti itu diperlukan. Untuk mendapatkan pecahan biasa dengan penyebut yang diketahui, Anda perlu melakukan algoritma berikut:
- mengalikan bilangan bulat dengan penyebut yang diinginkan;
- tulis nilai ini di atas garis;
- letakkan penyebutnya di bawahnya.
Pilihan paling sederhana adalah ketika penyebutnya sama dengan satu. Maka Anda tidak perlu mengalikan apa pun. Cukup dengan menulis bilangan bulat yang diberikan dalam contoh, dan menempatkan satu di bawah garis.
Contoh: Jadikan 5 sebagai pecahan biasa yang penyebutnya 3. Mengalikan 5 dengan 3 menghasilkan 15. Angka ini akan menjadi penyebutnya. Jawaban tugas tersebut adalah pecahan: 15/3.
Dua pendekatan untuk menyelesaikan masalah dengan bilangan berbeda
Contoh ini memerlukan perhitungan jumlah dan selisih, serta hasil kali dan hasil bagi dua bilangan: 2 bilangan bulat 3/5 dan 14/11.
Pada pendekatan pertama bilangan campuran akan direpresentasikan sebagai pecahan biasa.
Setelah melakukan langkah-langkah di atas, Anda akan mendapatkan nilai berikut: 13/5.
Untuk mengetahui jumlahnya, Anda perlu mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama. 13/5 setelah dikalikan 11 menjadi 143/55. Dan 14/11 setelah dikalikan 5 akan terlihat seperti: 70/55. Untuk menghitung jumlahnya, Anda hanya perlu menjumlahkan pembilangnya: 143 dan 70, lalu menuliskan jawabannya dengan satu penyebut. 213/55 - pecahan biasa ini adalah jawaban dari soal.
Saat mencari selisihnya, bilangan yang sama dikurangi: 143 - 70 = 73. Jawabannya berupa pecahan: 73/55.
Saat mengalikan 13/5 dan 14/11 tidak perlu dipimpin faktor persekutuan. Cukup dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya secara berpasangan. Jawabannya adalah: 182/55.
Hal yang sama berlaku untuk pembagian. Untuk keputusan yang tepat Anda perlu mengganti pembagian dengan perkalian dan membalikkan pembaginya: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.
Pada pendekatan kedua pecahan biasa menjadi bilangan campuran.
Setelah melakukan tindakan algoritma, 14/11 akan berubah menjadi angka campuran dengan seluruh bagian 1 dan pecahan 3/11.
Saat menghitung jumlahnya, Anda perlu menjumlahkan bagian bilangan bulat dan pecahan secara terpisah. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Jawaban akhirnya adalah 3 poin 48/55. Pada pendekatan pertama, pecahannya adalah 213/55. Anda dapat memeriksa kebenarannya dengan mengubahnya menjadi bilangan campuran. Setelah membagi 213 dengan 55, hasil bagi adalah 3 dan sisanya adalah 48. Mudah untuk melihat bahwa jawabannya benar.
Saat melakukan pengurangan, tanda “+” diganti dengan “-”. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Untuk mengeceknya, jawaban dari pendekatan sebelumnya perlu diubah menjadi bilangan campuran: 73 dibagi 55 dan hasil bagi adalah 1 dan sisanya 18.
Untuk mencari hasil kali dan hasil bagi, tidak mudah menggunakan bilangan campuran. Di sini selalu disarankan untuk beralih ke pecahan biasa.
Setiap manusia modern Ketika saya masih di sekolah, ketika memecahkan masalah matematika, saya sering menjumpai berbagai macam masalah yang melibatkan pecahan. Jumlahnya cukup banyak, jadi masuk akal untuk dipertimbangkan berbagai pilihan solusi untuk masalah paling mendasar yang serupa.
Pecahan wajar dan pecahan biasa
Bilangan teratas suatu pecahan disebut pembilangnya, sedangkan bilangan terbawahnya disebut penyebutnya. Pecahan biasa adalah hasil bagi dua bilangan, terlebih lagi salah satu bilangan tersebut merupakan pembilang pecahan, dan bilangan kedua merupakan penyebut pecahan tersebut. Jenis-jenis tersebut pecahan biasa ditentukan dengan membandingkan nilai penyebut dan pembilangnya.
Pecahan yang tepat
Dalam hal penyebut suatu pecahan adalah bilangan asli yang nilainya lebih besar dari pembilangnya, juga bilangan asli, maka pecahan tersebut disebut pecahan biasa. Contohnya adalah: 19/8; 14/9; 31/162; 5/37 dan seterusnya.
Jika penyebut suatu pecahan lebih kecil atau sama dengan pembilangnya, maka pecahan tersebut disebut pecahan biasa. Misalnya, ini adalah: 7/4; 19/6; 15/3; 231/83 dan sejenisnya.
Mengapa pecahan biasa diubah menjadi pecahan biasa?
Manipulasi matematis seperti itu diperlukan jika suatu operasi dilakukan dengan beberapa pecahan, misalnya dijumlahkan.
Nasihat
Jika ada pecahan campuran, maka sebaiknya diubah dulu menjadi pecahan biasa, lalu lakukan operasi matematika lainnya.
Mengonversi ke pecahan biasa
Untuk mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa, pertama-tama Anda harus mengalikan seluruh bagiannya dengan penyebut bagian pecahannya, lalu menambahkan pembilangnya ke pekerjaan ini. Selanjutnya diambil jumlah tersebut sebagai pembilangnya, namun dengan penyebut yang sama seperti sebelumnya. Untuk mengubah pecahan biasa menjadi pecahan biasa, Anda perlu membagi pembilang pecahan biasa tersebut dengan penyebutnya. Selanjutnya bilangan bulat yang diperoleh dengan cara ini harus diambil sebagai bagian bilangan bulat dari pecahan, sedangkan sisanya, jika ada, tentu saja harus dijadikan pembilang bagian pecahan dari pecahan yang tepat. Penyebutnya ditulis sama seperti sebelumnya. Untuk mengubah pecahan biasa menjadi desimal, Anda harus terlebih dahulu mencari tahu apakah ada faktor yang memungkinkan Anda mengurangi penyebut bagian pecahannya dalam format tidak beraturan menjadi bilangan yang sama dengan sepuluh atau sepuluh yang dipangkatkan ke bilangan apa pun. kekuatan. Yaitu 10, 100, 1000 dan seterusnya. Jika ada faktor seperti itu, maka Anda harus mengalikan pembilang dan penyebut pecahan biasa dengan faktor ini, sehingga seolah-olah memeriksanya. Dan kemudian pembilang yang dikalikan perlu ditambahkan, dipisahkan dengan koma, ke bagian bilangan bulat dari pecahan biasa.
Tidak dapat dikonversi dengan pembulatan ke persepuluhan
Dalam hal faktor tersebut tidak ada, berarti pecahan biasa tersebut tidak memiliki padanan yang jelas dalam bentuk desimal. Sederhananya, tidak semua pecahan biasa dapat diubah menjadi desimal. Dalam hal ini, Anda perlu mencari perkiraan, maksimum nilai yang sesuai pecahan Itu semua tergantung pada tingkat akurasi yang diperlukan dalam kondisi tugas tertentu. Menghitung pecahan yang diberikan Cara termudah adalah menggunakan kalkulator, tetapi Anda juga bisa melakukannya di kepala atau hanya di kolom. Misalnya, "41/7 = 5(6/7) = 5,9", maka harus dibulatkan ke persepuluhan terdekat, atau "= 5,86" jika dibulatkan ke perseratus, dan juga "= 5,857" jika dibulatkan ke keseratus terdekat. seperseribu Banyak pecahan yang tidak dapat diubah dengan jelas menjadi desimal, sehingga lebih mudah untuk menghitungnya bukan di kepala atau di kolom, tetapi menggunakan kalkulator.
Kesimpulan:
Tanpa memanipulasi pecahan, tidak ada satu pun pelajaran matematika di sekolah yang mungkin dilakukan. Dan dalam kehidupan sehari-hari Anda jarang harus berurusan hanya dengan bilangan bulat, dan karena itu mengubah pecahan biasa menjadi pecahan biasa, atau mengubahnya menjadi pecahan biasa pecahan campuran Setiap orang perlu tahu caranya. Ini sangat sederhana dan oleh karena itu Anda dapat mengingat bagaimana melakukannya setelah beberapa saat contoh praktis, diselesaikan di atas kertas, dan kemudian secara umum - dalam pikiran. DENGAN desimal situasinya agak berbeda dan tidak semuanya dapat diubah secara akurat ke dalam bentuk desimal.
Pecahan matematika
BADAN FEDERAL UNTUK PENDIDIKAN
LEMBAGA PENDIDIKAN NEGARA
PENDIDIKAN PROFESIONAL TINGGI
"UNVERSITAS PEDAGOGIS NEGARA VORONEZH"
DEPARTEMEN AGLEBRA DAN GEOMETRI
Bilangan kompleks
(tugas yang dipilih)
PEKERJAAN KUALIFIKASI LULUSAN
spesialisasi 050201.65 matematika
(dengan tambahan keahlian 050202.65 ilmu komputer)
Diselesaikan oleh: siswa tahun ke-5
fisik dan matematika
fakultas
Penasihat ilmiah:
VORONEZH – 2008
1. Perkenalan……………………………………………………...…………..…
2. Bilangan kompleks (masalah terpilih)
2.1. Bilangan kompleks di bentuk aljabar….……...……….….
2.2. Interpretasi geometris bilangan kompleks………..…
2.3. Bentuk trigonometri bilangan kompleks
2.4. Penerapan teori bilangan kompleks pada penyelesaian persamaan derajat 3 dan 4………..…………………………………………………………………
2.5. Bilangan kompleks dan parameternya……………………………...….
3. Kesimpulan………………………………………………………………………………….
4. Daftar referensi………………………….………………………......
1. Perkenalan
Dalam program matematika kursus sekolah teori bilangan diperkenalkan menggunakan contoh himpunan bilangan asli, utuh, rasional, irasional, yaitu. pada himpunan bilangan real yang gambarannya memenuhi seluruh garis bilangan. Namun sudah di kelas 8 persediaan bilangan real tidak mencukupi saat menyelesaikan persamaan kuadrat dengan diskriminan negatif. Oleh karena itu, penting untuk mengisi kembali stok bilangan real dengan bantuan bilangan kompleks, yang mana akar kuadrat dari bilangan negatif masuk akal.
Memilih topik “Bilangan Kompleks” sebagai topik wisuda saya pekerjaan yang memenuhi syarat, adalah bahwa konsep bilangan kompleks memperluas pengetahuan siswa tentang sistem bilangan, tentang menyelesaikan berbagai macam masalah baik konten aljabar maupun geometri, tentang menyelesaikan persamaan aljabar pada derajat apa pun, dan tentang menyelesaikan masalah dengan parameter.
Tesis ini mengkaji solusi dari 82 permasalahan.
Bagian pertama dari bagian utama "Bilangan kompleks" memberikan solusi untuk masalah bilangan kompleks dalam bentuk aljabar, menjelaskan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, operasi konjugasi bilangan kompleks dalam bentuk aljabar, pangkat satuan imajiner , modulus bilangan kompleks, dan juga menetapkan aturan mengekstraksi akar kuadrat dari bilangan kompleks.
Pada bagian kedua, permasalahan interpretasi geometri bilangan kompleks berupa titik atau vektor pada bidang kompleks diselesaikan.
Bagian ketiga membahas tentang operasi bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri. Rumus yang digunakan adalah: Moivre dan mengekstraksi akar bilangan kompleks.
Bagian keempat dikhususkan untuk menyelesaikan persamaan derajat ke-3 dan ke-4.
Saat menyelesaikan masalah di bagian terakhir, “Bilangan dan parameter kompleks”, informasi yang diberikan di bagian sebelumnya digunakan dan digabungkan. Serangkaian masalah dalam bab ini dikhususkan untuk menentukan kelompok garis pada bidang kompleks yang ditentukan oleh persamaan (pertidaksamaan) dengan suatu parameter. Di bagian latihan, Anda perlu menyelesaikan persamaan dengan parameter (di bidang C). Ada tugas di mana variabel kompleks secara bersamaan memenuhi sejumlah kondisi. Ciri khusus penyelesaian masalah pada bagian ini adalah reduksi banyak masalah menjadi penyelesaian persamaan (pertidaksamaan, sistem) derajat kedua, irasional, trigonometri dengan parameter.
Ciri penyajian materi pada setiap bagian adalah masukan awal landasan teori, dan selanjutnya penerapan praktisnya dalam memecahkan masalah.
Pada akhirnya tesis daftar literatur bekas disajikan. Kebanyakan dari mereka menyajikan materi teoritis dengan cukup rinci dan mudah diakses, mempertimbangkan solusi untuk beberapa masalah, dan memberikan tugas-tugas praktis Untuk keputusan independen. Perhatian khusus Saya ingin merujuk ke sumber-sumber seperti:
1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Bilangan kompleks dan penerapannya: Buku Ajar. . Bahan alat bantu mengajar disajikan dalam bentuk ceramah dan latihan praktek.
2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Tugas yang dipilih dan teorema matematika dasar. Aritmatika dan aljabar. Buku ini berisi 320 soal yang berkaitan dengan aljabar, aritmatika, dan teori bilangan. Tugas-tugas ini berbeda secara signifikan dari tugas-tugas sekolah standar.
2. Bilangan kompleks (masalah terpilih)
2.1. Bilangan kompleks dalam bentuk aljabar
Pemecahan banyak masalah dalam matematika dan fisika direduksi menjadi penyelesaian persamaan aljabar, yaitu. persamaan bentuk
,dimana a0, a1,…, an adalah bilangan real. Oleh karena itu, kajian persamaan aljabar merupakan salah satu kajiannya masalah kritis dalam matematika. Misalnya persamaan kuadrat dengan diskriminan negatif. Persamaan yang paling sederhana adalah persamaan
.Agar persamaan ini mempunyai penyelesaian, himpunan bilangan real perlu diperluas dengan menambahkan akar persamaan ke dalamnya.
.Mari kita nyatakan akar ini dengan
. Jadi, menurut definisi, atau,karena itu,
. disebut satuan imajiner. Dengan bantuannya dan dengan bantuan sepasang bilangan real, ekspresi bentuk dikompilasi.Ekspresi yang dihasilkan disebut bilangan kompleks karena mengandung bagian nyata dan bagian imajiner.
Jadi, bilangan kompleks adalah ekspresi bentuk
, dan merupakan bilangan real, dan merupakan simbol tertentu yang memenuhi kondisi . Bilangan tersebut disebut bagian real suatu bilangan kompleks, dan bilangan tersebut disebut bagian imajinernya. Simbol , digunakan untuk menunjukkannya.Bentuk bilangan kompleks
adalah bilangan real dan, oleh karena itu, himpunan bilangan kompleks memuat himpunan bilangan real.Bentuk bilangan kompleks
disebut murni imajiner. Dua bilangan kompleks berbentuk dan dikatakan sama jika bagian riil dan bagian imajinernya sama, yaitu. jika persamaan , .Notasi aljabar bilangan kompleks memungkinkan Anda melakukan operasi pada bilangan tersebut sesuai dengan aturan aljabar biasa.
Penggunaan persamaan tersebar luas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak perhitungan, konstruksi struktur dan bahkan olahraga. Manusia menggunakan persamaan pada zaman kuno, dan sejak itu penggunaannya semakin meningkat. Agar lebih jelas, mari kita selesaikan permasalahan berikut:
Hitung \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] jika \
Pertama-tama, mari kita perhatikan fakta bahwa satu bilangan disajikan dalam bentuk aljabar, yang lainnya dalam bentuk trigonometri. Ini perlu disederhanakan dan dibawa ke tampilan selanjutnya
\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]
Ekspresi \ mengatakan bahwa pertama-tama kita melakukan perkalian dan menaikkan pangkat 10 menggunakan rumus Moivre. Rumus ini dirumuskan untuk bentuk trigonometri suatu bilangan kompleks. Kita mendapatkan:
\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]
Mengikuti aturan mengalikan bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri, kita melakukan hal berikut:
Dalam kasus kami:
\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]
Dengan membuat pecahan \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] benar, kita sampai pada kesimpulan bahwa kita dapat “memutar” 4 putaran \[(8\pi rad.): \]
\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]
Jawaban: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]
Persamaan ini dapat diselesaikan dengan cara lain, yaitu dengan mengubah bilangan ke-2 ke dalam bentuk aljabar, kemudian melakukan perkalian dalam bentuk aljabar, mengubah hasilnya menjadi bentuk trigonometri dan terapkan rumus Moivre:
Di mana saya bisa menyelesaikan sistem persamaan bilangan kompleks secara online?
Anda dapat menyelesaikan sistem persamaan di situs web kami https://site. Pemecah online gratis ini memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan online dengan kompleksitas apa pun dalam hitungan detik. Yang perlu Anda lakukan hanyalah memasukkan data Anda ke dalam pemecah. Anda juga dapat menonton instruksi video dan mempelajari cara menyelesaikan persamaan di situs web kami. Dan jika Anda masih memiliki pertanyaan, Anda dapat menanyakannya di grup VKontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Bergabunglah dengan grup kami, kami selalu dengan senang hati membantu Anda.