Pengurangan pecahan diperlukan untuk mereduksi pecahan ke bentuk yang lebih sederhana, misalnya pada jawaban yang diperoleh dari penyelesaian suatu ekspresi.
Pengurangan pecahan, definisi dan rumus.
Apa itu pengurangan pecahan? Apa yang dimaksud dengan pengurangan pecahan?
Definisi:
Mengurangi Pecahan- ini adalah pembagian pembilang dan penyebut suatu pecahan dengan bilangan positif yang sama tidak sama dengan nol dan satu. Dari hasil pengurangan tersebut diperoleh pecahan yang pembilang dan penyebutnya lebih kecil, sama dengan pecahan sebelumnya menurut.
Rumus pengurangan pecahan sifat dasar bilangan rasional.
\(\frac(p \kali n)(q \kali n)=\frac(p)(q)\)
Mari kita lihat sebuah contoh:
Kurangi pecahan \(\frac(9)(15)\)
Larutan:
Kita dapat memfaktorkan suatu pecahan menjadi faktor prima dan menghilangkan faktor persekutuannya.
\(\frac(9)(15)=\frac(3 \kali 3)(5 \kali 3)=\frac(3)(5) \kali \warna(merah) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \kali 1=\frac(3)(5)\)
Jawaban: setelah direduksi kita mendapatkan pecahan \(\frac(3)(5)\). Menurut sifat dasar bilangan rasional, pecahan asli dan pecahan hasil adalah sama.
\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)
Bagaimana cara mereduksi pecahan? Mereduksi suatu pecahan menjadi bentuknya yang tidak dapat direduksi.
Untuk mendapatkan pecahan tak tereduksi sebagai hasilnya, kita perlu temukan pembagi persekutuan terbesar (PBB) untuk pembilang dan penyebut pecahan.
Ada beberapa cara untuk mencari GCD; pada contoh ini kita akan menggunakan penguraian bilangan menjadi faktor prima.
Dapatkan pecahan tak tersederhanakan \(\frac(48)(136)\).
Larutan:
Mari kita cari KPK(48, 136). Mari kita tuliskan bilangan 48 dan 136 menjadi faktor prima.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
KPK(48, 136)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(48)(136)=\frac(\color(merah) (2 \kali 2 \kali 2) \kali 2 \kali 3)(\warna(merah) (2 \kali 2 \kali 2) \kali 17)=\frac(\warna(merah) (6) \kali 2 \kali 3)(\warna(merah) (6) \kali 17)=\frac(2 \kali 3)(17)=\ frak(6)(17)\)
Aturan untuk mereduksi pecahan menjadi bentuk tak tersederhanakan.
- Anda perlu mencari pembagi persekutuan terbesar untuk pembilang dan penyebutnya.
- Anda perlu membagi pembilang dan penyebutnya dengan pembagi persekutuan terbesar untuk mendapatkan pecahan tak tersederhanakan.
Contoh:
Kurangi pecahan \(\frac(152)(168)\).
Larutan:
Mari kita cari KPK(152, 168). Mari kita tuliskan bilangan 152 dan 168 menjadi faktor prima.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
KPK(152, 168)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(152)(168)=\frac(\color(merah) (6) \kali 19)(\warna(merah) (6) \kali 21)=\frac(19)(21)\)
Jawaban: \(\frac(19)(21)\) adalah pecahan tak tersederhanakan.
Mengurangi pecahan biasa.
Bagaimana cara mengurangi pecahan biasa?
Aturan pengurangan pecahan sama untuk pecahan biasa dan pecahan biasa.
Mari kita lihat sebuah contoh:
Kurangi pecahan biasa \(\frac(44)(32)\).
Larutan:
Mari kita tulis pembilang dan penyebutnya menjadi faktor sederhana. Lalu kita akan mengurangi faktor persekutuannya.
\(\frac(44)(32)=\frac(\color(merah) (2 \kali 2 ) \kali 11)(\warna(merah) (2 \kali 2 ) \kali 2 \kali 2 \kali 2 )=\frac(11)(2 \kali 2 \kali 2)=\frac(11)(8)\)
Mengurangi pecahan campuran.
Pecahan campuran mengikuti aturan yang sama seperti pecahan biasa. Satu-satunya perbedaan adalah kita bisa jangan sentuh bagian keseluruhannya, tetapi kurangi bagian pecahannya atau Ubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa, kurangi, dan ubah kembali menjadi pecahan biasa.
Mari kita lihat sebuah contoh:
Hapus pecahan campuran \(2\frac(30)(45)\).
Larutan:
Mari kita selesaikan dengan dua cara:
Cara pertama:
Mari kita tulis bagian pecahan menjadi faktor sederhana, tetapi kita tidak akan menyentuh seluruh bagiannya.
\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \kali \warna(merah) (5 \kali 3))(3 \kali \warna(merah) (5 \kali 3))=2\ frak(2)(3)\)
Cara kedua:
Mari kita ubah dulu menjadi pecahan biasa, lalu tuliskan menjadi faktor prima dan kurangi. Mari kita ubah pecahan biasa yang dihasilkan menjadi pecahan biasa.
\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \kali 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \kali \warna(merah) (5 \kali 3) \kali 2 \kali 2)(3 \kali \warna(merah) (3 \kali 5))=\frac(2 \kali 2 \kali 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)
Pertanyaan tentang topik:
Bisakah Anda mengurangi pecahan saat menjumlahkan atau mengurangkan?
Jawaban: tidak, Anda harus menjumlahkan atau mengurangi pecahan terlebih dahulu sesuai aturan, baru kemudian dikurangi. Mari kita lihat sebuah contoh:
Evaluasi ekspresi \(\frac(50+20-10)(20)\) .
Larutan:
Mereka sering melakukan kesalahan dengan mengurangi angka yang sama pada pembilang dan penyebutnya, dalam kasus kita angka 20, tetapi angka tersebut tidak dapat dikurangi sampai Anda menyelesaikan penjumlahan dan pengurangan.
\(\frac(50+\color(merah) (20)-10)(\color(merah) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \kali 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)
Dengan bilangan berapa pecahan dapat dikurangi?
Jawaban: Pecahan dapat direduksi dengan faktor persekutuan terbesar atau pembagi persekutuan pembilang dan penyebutnya. Misalnya, pecahan \(\frac(100)(150)\).
Mari kita tuliskan bilangan 100 dan 150 menjadi faktor prima.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Pembagi persekutuan terbesar adalah bilangan gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \kali 50)(3 \kali 50)=\frac(2)(3)\)
Kita mendapatkan pecahan tak tersederhanakan \(\frac(2)(3)\).
Namun tidak selalu harus membagi dengan GCD; pecahan tak dapat direduksi tidak selalu diperlukan; Anda dapat mengurangi pecahan tersebut dengan pembagi sederhana dari pembilang dan penyebutnya. Misalnya, bilangan 100 dan 150 mempunyai pembagi yang sama yaitu 2. Mari kita kurangi pecahan \(\frac(100)(150)\) dengan 2.
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \kali 50)(2 \kali 75)=\frac(50)(75)\)
Kita mendapatkan pecahan tereduksi \(\frac(50)(75)\).
Pecahan apa saja yang dapat dikurangi?
Jawaban: Anda dapat mereduksi pecahan yang pembilang dan penyebutnya mempunyai pembagi yang sama. Misalnya, pecahan \(\frac(4)(8)\). Angka 4 dan 8 memiliki angka yang keduanya habis dibagi - angka 2. Oleh karena itu, pecahan tersebut dapat dikurangi dengan angka 2.
Contoh:
Bandingkan dua pecahan \(\frac(2)(3)\) dan \(\frac(8)(12)\).
Kedua pecahan ini sama. Mari kita lihat lebih dekat pecahan \(\frac(8)(12)\):
\(\frac(8)(12)=\frac(2 \kali 4)(3 \kali 4)=\frac(2)(3) \kali \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\kali 1=\frac(2)(3)\)
Dari sini kita mendapatkan, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)
Dua pecahan dikatakan sama jika dan hanya jika salah satunya diperoleh dengan mengurangkan pecahan lainnya dengan faktor persekutuan pembilang dan penyebutnya.
Contoh:
Jika memungkinkan, kurangi pecahan berikut: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)
Larutan:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \kali \warna(merah) (5) \kali 3 \kali 3)(\warna(merah) (5) \kali 13)=\frac (2 \kali 3 \kali 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(merah) (3 \kali 3) \kali 3)(\warna(merah) (3 \kali 3) \kali 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) pecahan tak tersederhanakan
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(merah) (2 \kali 5 \kali 5) \kali 2)(\warna(merah) (2 \kali 5 \kali 5) \ dikalikan 5)=\frac(2)(5)\)
Hal ini didasarkan pada sifat dasarnya: jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dibagi dengan polinomial bukan nol yang sama, maka akan diperoleh pecahan yang sama.
Anda hanya dapat mengurangi pengganda!
Anggota polinomial tidak dapat disingkat!
Untuk mereduksi suatu pecahan aljabar, polinomial pada pembilang dan penyebutnya harus difaktorkan terlebih dahulu.
Mari kita lihat contoh pengurangan pecahan.
Pembilang dan penyebut pecahan mengandung monomial. Mereka mewakili bekerja(angka, variabel dan pangkatnya), pengganda kita bisa mengurangi.
Kita mengurangi bilangan-bilangan tersebut dengan pembagi persekutuan terbesarnya, yaitu dengan bilangan terbesar yang membagi masing-masing bilangan tersebut. Untuk 24 dan 36 menjadi 12. Setelah dikurangi, tersisa 2 dari 24, dan 3 dari 36.
Kami mengurangi derajat dengan derajat dengan indeks terendah. Mengurangi pecahan berarti membagi pembilang dan penyebutnya dengan pembagi yang sama, dan mengurangkan eksponennya.
a² dan a⁷ direduksi menjadi a². Dalam hal ini, pembilang a² tetap satu (kita menulis 1 hanya jika, setelah dikurangi, tidak ada faktor lain yang tersisa. Dari 24, tersisa 2, jadi kita tidak menulis 1 sisa dari a²). Dari a⁷, setelah reduksi, a⁵ tetap.
b dan b dikurangi b; satuan yang dihasilkan tidak ditulis.
c³º dan c⁵ disingkat menjadi c⁵. Dari c³º yang tersisa adalah c²⁵, dari c⁵ menjadi satu (tidak kami tulis). Dengan demikian,
Pembilang dan penyebut pecahan aljabar ini adalah polinomial. Anda tidak dapat membatalkan suku polinomial! (Anda tidak dapat memperkecil, misalnya 8x² dan 2x!). Untuk mengurangi pecahan ini, Anda perlu . Pembilangnya mempunyai faktor persekutuan 4x. Mari kita keluarkan dari tanda kurung:
Pembilang dan penyebutnya mempunyai faktor yang sama (2x-3). Kami mengurangi pecahan dengan faktor ini. Di pembilangnya kita mendapat 4x, di penyebutnya - 1. Menurut 1 sifat pecahan aljabar, pecahannya sama dengan 4x.
Anda hanya dapat mengurangi faktor (Anda tidak dapat mengurangi pecahan ini sebesar 25x²!). Oleh karena itu, polinomial pada pembilang dan penyebut pecahan harus difaktorkan.
Pembilangnya adalah kuadrat total dari jumlah tersebut, dan penyebutnya adalah selisih kuadratnya. Setelah didekomposisi menggunakan rumus perkalian yang disingkat, diperoleh:
Kita kurangi pecahannya sebesar (5x+1) (untuk melakukannya, coret dua pembilangnya sebagai eksponen, sehingga menyisakan (5x+1)² (5x+1)):
Pembilangnya mempunyai faktor persekutuan 2, mari kita keluarkan dari tanda kurung. Penyebutnya adalah rumus selisih kubus:
Hasil perluasan, pembilang dan penyebutnya mendapat faktor yang sama (9+3a+a²). Kami mengurangi pecahannya:
Polinomial pada pembilangnya terdiri dari 4 suku. suku pertama dengan suku kedua, suku ketiga dengan suku keempat, dan hilangkan faktor persekutuan x² dari tanda kurung pertama. Kami menguraikan penyebutnya menggunakan rumus jumlah kubus:
Pada pembilangnya, kita keluarkan faktor persekutuan (x+2) dari tanda kurung:
Kurangi pecahan dengan (x+2):
Pada artikel ini kita akan melihat operasi dasar dengan pecahan aljabar:
- mereduksi pecahan
- mengalikan pecahan
- membagi pecahan
Mari kita mulai dengan pengurangan pecahan aljabar.
Tampaknya, algoritma jelas.
Ke mengurangi pecahan aljabar, perlu
1. Faktorkan pembilang dan penyebut pecahan.
2. Kurangi faktor yang sama.
Namun seringkali anak sekolah melakukan kesalahan dengan “mereduksi” bukan faktornya, melainkan istilahnya. Misalnya, ada amatir yang “mengurangi” pecahan dan mendapatkan hasilnya , yang tentu saja tidak benar.
Mari kita lihat contohnya:
1.
Kurangi pecahan: 
1. Mari kita faktorkan pembilangnya menggunakan rumus kuadrat jumlah, dan penyebutnya menggunakan rumus selisih kuadrat
2. Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan
2.
Kurangi pecahan: 
1. Mari kita faktorkan pembilangnya. Karena pembilangnya mengandung empat suku, kami menggunakan pengelompokan.
2. Mari kita faktorkan penyebutnya. Kita juga bisa menggunakan pengelompokan.
3. Mari kita tuliskan pecahan yang kita peroleh dan kurangi faktor-faktor yang sama:
Mengalikan pecahan aljabar.
Saat mengalikan pecahan aljabar, kita mengalikan pembilangnya dengan pembilangnya, dan mengalikan penyebutnya dengan penyebutnya.
Penting! Tidak perlu terburu-buru mengalikan pembilang dan penyebut suatu pecahan. Setelah kita menuliskan hasil kali pembilang pecahan di pembilangnya, dan hasil kali penyebutnya di penyebutnya, kita perlu memfaktorkan setiap faktor dan mengurangi pecahannya.
Mari kita lihat contohnya:
3. Sederhanakan ekspresi:
1. Mari kita tuliskan hasil kali pecahan: pada pembilangnya adalah hasil kali pembilangnya, dan pada penyebutnya adalah hasil kali penyebutnya:
2. Mari kita faktorkan setiap tanda kurung:
Sekarang kita perlu mengurangi faktor-faktor yang sama. Perhatikan bahwa ekspresi dan hanya berbeda dalam tanda: 
dan sebagai hasil membagi ekspresi pertama dengan ekspresi kedua kita mendapatkan -1.
Jadi, 
Kami membagi pecahan aljabar menurut aturan berikut:
Itu adalah Untuk membagi dengan pecahan, Anda perlu mengalikannya dengan pecahan yang "terbalik".
Kita melihat bahwa membagi pecahan berarti mengalikan, dan perkalian pada akhirnya berujung pada pengurangan pecahan.
Mari kita lihat sebuah contoh:
4. Sederhanakan ekspresi:
Divisi dan pembilang dan penyebut pecahan pada mereka pembagi persekutuan, berbeda dari satu, disebut mengurangi sebagian kecil.
Untuk mengurangi pecahan biasa, Anda perlu membagi pembilang dan penyebutnya dengan bilangan asli yang sama.
Bilangan ini adalah pembagi persekutuan terbesar dari pembilang dan penyebut suatu pecahan tertentu.
Berikut ini adalah kemungkinannya formulir pencatatan keputusan Contoh pengurangan pecahan biasa.
Siswa berhak memilih bentuk rekaman apa pun.
Contoh. Sederhanakan pecahan.
Kurangi pecahan dengan 3 (bagi pembilangnya dengan 3;
bagi penyebutnya dengan 3).
Kurangi pecahan sebanyak 7.
Kami melakukan tindakan yang ditunjukkan pada pembilang dan penyebut pecahan.
Pecahan yang dihasilkan dikurangi 5.
Mari kita kurangi pecahan ini 4)
pada 5·7³- pembagi persekutuan terbesar (PBT) dari pembilang dan penyebut, yang terdiri dari faktor persekutuan pembilang dan penyebut, dipangkatkan dengan eksponen terkecil.
Mari kita faktorkan pembilang dan penyebut pecahan ini menjadi faktor prima.
Kita mendapatkan: 756=2²·3³·7 Dan 1176=2³·3·7².
Tentukan KPK (pembagi persekutuan terbesar) dari pembilang dan penyebut pecahan tersebut 5) .
Ini adalah hasil kali faktor persekutuan yang diambil dengan eksponen terendah.
gcd(756, 1176)= 2²·3·7.
Kami membagi pembilang dan penyebut pecahan ini dengan gcdnya, yaitu dengan 2²·3·7 kita mendapatkan pecahan yang tidak dapat direduksi 9/14
.
Atau dimungkinkan untuk menuliskan penguraian pembilang dan penyebutnya sebagai hasil kali faktor prima, tanpa menggunakan konsep pangkat, kemudian mengurangi pecahan tersebut dengan mencoret faktor yang sama pada pembilang dan penyebutnya. Jika tidak ada lagi faktor identik yang tersisa, kita mengalikan faktor-faktor yang tersisa secara terpisah pada pembilangnya dan secara terpisah pada penyebutnya dan menuliskan pecahan yang dihasilkan. 9/14 .
Dan akhirnya, pecahan ini dapat dikurangi 5) secara bertahap, menerapkan tanda pembagian bilangan pada pembilang dan penyebut pecahan. Mari kita berpikir seperti ini: angka 756 Dan 1176 berakhiran bilangan genap, artinya keduanya habis dibagi 2 . Kami mengurangi pecahan sebesar 2 . Pembilang dan penyebut pecahan baru adalah angka 378 Dan 588 juga dibagi menjadi 2 . Kami mengurangi pecahan sebesar 2 . Kami memperhatikan nomor itu 294 - genap, dan 189 ganjil, dan pengurangan sebanyak 2 tidak mungkin lagi. Mari kita periksa pembagian bilangan 189 Dan 294 pada 3 .
(1+8+9)=18 habis dibagi 3 dan (2+9+4)=15 habis dibagi 3, maka bilangan itu sendiri 189 Dan 294 dibagi menjadi 3 . Kami mengurangi pecahan sebesar 3 . Lebih jauh, 63 habis dibagi 3 dan 98 - TIDAK. Mari kita lihat faktor prima lainnya. Kedua bilangan tersebut habis dibagi 7 . Kami mengurangi pecahan sebesar 7 dan kita mendapatkan pecahan yang tidak dapat direduksi 9/14 .
