Perkenalan. . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1. Konsep polihedron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Piramida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Sifat-sifat piramida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Piramida terpotong. . . . . . . . . ... . . . . . . . . . ... . . . . 8
2.3. Konstruksi piramida dan bagian datarnya. . . .9
3. Prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sebelas
3.1. Gambar prisma dan konstruksinya
bagian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4. Paralelepiped. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.1 Beberapa sifat paralelepiped. . . . . . . 16
5. Teorema Euler tentang polihedra. . . . . . . . . . . . . . . 18
6. Kemiripan polihedra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7. Polihedra biasa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7.1. Tabel ringkasan polihedra. . . . . . . . . . . 22
Kesimpulan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Bibliografi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Perkenalan
Blaise Pascal pernah berkata: “Mata pelajaran matematika sangatlah serius sehingga ada baiknya jika kita tidak melewatkan kesempatan untuk menjadikannya lebih menghibur.” Dari posisi ini, mari kita coba mempertimbangkan stereometri yang merupakan salah satu cabang geometri. Stereometri mempelajari sifat-sifat bangun ruang. Misalnya, tetesan cairan dalam keadaan gravitasi nol berbentuk tubuh geometris, disebut bola. Bola tenis kecil memiliki bentuk yang sama dengan benda yang lebih besar - planet kita dan banyak lainnya. benda luar angkasa. Dan kaleng adalah sebuah silinder.
Stereometri di sekitar kita: dalam kehidupan sehari-hari dan dalam aktivitas profesional. Kita, tentu saja, tidak dapat “melihat” sains, tetapi setiap hari kita dapat merenungkan benda-benda volumetrik di ruang angkasa yang dipelajarinya. Menarik bukan melihat diri Anda di cermin dari semua sisi? Namun sosok manusia juga merupakan benda tiga dimensi.
Untuk menyelesaikan banyak hal masalah geometri terkait dengan tetrahedron dan parallelepiped, Anda harus bisa menggambar penampangnya pesawat yang berbeda. Mari kita sebut bidang potong sebagai bidang apa pun yang di kedua sisinya terdapat titik-titik pada suatu gambar. Sebuah bidang potong memotong muka suatu bangun menurut segmen-segmennya. Poligon yang sisi-sisinya merupakan segmen-segmen ini disebut bagian dari gambar. Karena tetrahedron memiliki empat sisi, maka bagian-bagiannya hanya dapat berupa segitiga dan segi empat. Paralelepiped memiliki enam sisi. Bagian-bagiannya dapat berupa segitiga, segi empat, segi lima, dan segi enam.
1. Konsep polihedron
Polihedron– benda spasial geometris yang dibatasi pada semua sisinya nomor terbatas poligon datar. Tepian dari sebuah polihedron, poligon yang mengikat polihedron tersebut disebut (wajah - ABCD, MEFN, ABEM, BEFC, CDNF, ADMN). Tulang iga polihedron disebut aspek umum wajah yang berdekatan (tepi - AB, BC, CD, AD, BE, CF, AM, DN, ME, EF, FN, MN). Puncak simpul-simpul suatu polihedron disebut sudut polihedral, dibentuk oleh muka-mukanya yang menyatu pada satu titik . Diagonal polihedron adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik yang tidak terletak pada muka yang sama (BN). Bidang diagonal polihedron adalah bidang yang melalui tiga titik sudut polihedron yang tidak terletak pada bidang yang sama (bidang BEN).
Polihedron disebut cembung , jika terletak pada salah satu sisi bidang setiap poligon permukaannya. Muka polihedron cembung hanya dapat berupa poligon cembung (contoh polihedron cembung adalah kubus, Gambar 1).
Jika sisi-sisi suatu poligon berpotongan, maka polihedron tersebut disebut tidak cembung (Gbr. 2).
Bagian dari polihedron oleh sebuah bidang adalah bagian dari bidang ini, dibatasi oleh sebuah garis perpotongan permukaan polihedron dengan bidang ini.
.
2. Piramida
Piramida adalah polihedron, yang salah satu sisinya merupakan poligon sembarang, dan sisi-sisi lainnya adalah segitiga yang memiliki titik sudut yang sama.
Alas piramida adalah polihedron yang diperoleh pada bidang potong (ABCDE). Sisi-sisi piramida adalah segitiga ASB, BSC, ... dengan atasan umum S, yang disebut puncak piramida. Tepi lateral piramida adalah tepi tempat mereka berpotongan. wajah samping. Tinggi limas adalah garis tegak lurus yang diturunkan dari titik puncak limas ke bidang alasnya. Apotema piramida adalah tinggi sisi samping yang diturunkan dari puncak piramida.
Piramida itu disebut benar , jika basisnya adalah poligon beraturan, dan bagian atas piramida diproyeksikan ke tengah poligon ini.
Mari kita buktikan itu semua rusuk lateral piramida beraturan adalah sama besar, dan sisi-sisi sisinya adalah segitiga sama kaki yang sama besar
Perhatikan piramida beraturan PA 1 A 2 …A n. Pertama kita buktikan bahwa semua sisi sisi piramida ini adalah sama. Setiap tulang rusuk samping mewakili sisi miring segitiga siku-siku, yang salah satu kakinya adalah tinggi PO piramida, dan yang lainnya adalah jari-jari lingkaran yang dibatasi di dekat alasnya (misalnya, rusuk samping PA 1 adalah sisi miring segitiga OPA 1, yang OP = h, OA 1 = R). Berdasarkan teorema Pythagoras, setiap sisi sisinya sama dengan √(h 2 +R 2), jadi PA 1 =PA 2 =...= PA n.
Kita telah membuktikan bahwa rusuk-rusuk sisi piramida beraturan PA 1 A 2 ...A n sama besar satu sama lain, oleh karena itu sisi-sisinya adalah segitiga sama kaki. Alas segitiga-segitiga ini juga sama besar, karena A 1 A 2 ...A n adalah poligon beraturan. Oleh karena itu, sisi-sisi sisinya sama menurut kriteria ketiga persamaan segitiga, yang perlu dibuktikan.
Bagian piramida yang bidangnya sejajar dengan bidang alasnya disebut potongan melintang piramida .
Sifat-sifat piramida
Properti Persimpangan piramida.
1. Jika Anda memotong piramida dengan sebuah bidang, sejajar dengan alasnya, Itu:
· 
tepi lateral dan tinggi piramida akan dibagi oleh bidang ini menjadi segmen-segmen proporsional;
· pada penampang Anda akan mendapatkan poligon yang mirip dengan poligon yang terletak di alasnya;
· luas penampang dan alasnya akan berhubungan satu sama lain sebagai kuadrat jaraknya dari puncak limas:
S 1:S 2 =X 1 2:X 2 2
2. Jika dua buah limas yang sama tingginya dipotong oleh bidang-bidang yang sejajar alasnya dan berjarak sama dari puncaknya, maka luas penampangnya sebanding dengan luas alasnya.
Luas permukaan lateral (atau sekadar permukaan lateral) piramida adalah jumlah luas permukaan lateralnya.
Persegi permukaan penuh (atau sekadar luas permukaan) sebuah limas adalah jumlah luas permukaan lateral dan luas alasnya.
Properti Ketinggian Piramida
1. Jika sisi sisi limas tegak lurus terhadap bidang alasnya, maka tinggi limas terletak pada bidang sisi tersebut.
2. Jika dua rusuk sisi yang berdekatan pada sebuah limas sama besar, maka alas dari tinggi limas tersebut berada pada garis tegak lurus yang ditarik melalui bagian tengah sisi alas tersebut, dari ujung-ujungnya tepi sisi tersebut berasal.
3. Jika dua sisi sisi limas yang berdekatan mempunyai kemiringan yang sama terhadap bidang alasnya, maka alas tinggi limas terletak pada garis bagi sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi alas yang dilalui sisi-sisi tersebut.
4. Jika tepi samping limas terbentuk sudut yang sama dengan dua sisi alasnya berdekatan, maka alas tinggi limas terletak pada garis bagi sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi alas tersebut.
5. Jika tepi sisi limas tegak lurus terhadap sisi alas yang berpotongan dengannya, maka alas tinggi limas berada pada tegak lurus yang dikembalikan (pada bidang alas limas) ke sisi ini dari titik perpotongannya dengan tepi samping ini.
CATATAN: jika piramida mempunyai salah satu dari dua ciri berikut, maka titik yang merupakan alas dari tinggi piramida dapat ditunjukkan dengan jelas.
Gambar tersebut menunjukkan pecahan piramida batu bara n biasa SABCD..., dimana SH adalah tinggi piramida; SK – apotema. Mari kita perkenalkan notasi berikut: sudut alfa ( ά
) – sudut antara tepi sisi limas dan bidang alasnya; beta (β) – sudut antara tepi samping dan bidang alas; sudut (γ) – sudut antara tepi lateral yang berdekatan; sudut phi (φ) – sudut antara sisi-sisi yang berdekatan.
Jika salah satu sudut tersebut diketahui pada limas beraturan, maka tiga sudut lainnya dapat dicari. Keenam hubungan tersebut ditunjukkan pada tabel:
Volume piramida ditemukan dengan rumus:
V=1/3S basis H,
dimana S alas adalah luas alas, H adalah tingginya.
Luas permukaan lateral piramida beraturan dinyatakan sebagai berikut:
Sisi S =1/2Ph,
dimana P adalah keliling alas, h adalah tinggi rusuk samping
2.2. Piramida terpotong.
Piramida terpotong disebut bagian piramida yang diapit antara alasnya dan bidang potong yang sejajar alasnya, misalnya limas ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.
Alas limas terpotong adalah muka sejajar ABCD dan A 1 B 1 C 1 D 1 (ABCD adalah alas bawah, dan A 1 B 1 C 1 D 1 adalah alas atas).
Tinggi piramida terpotong - segmen lurus yang tegak lurus dengan alasnya dan tertutup di antara bidangnya.
Piramida terpotong benar , jika alasnya berbentuk poligon beraturan, dan garis lurus yang menghubungkan pusat alasnya tegak lurus terhadap bidang alasnya.
Apotema piramida terpotong adalah tinggi sisi sisinya.
Permukaan samping piramida terpotong adalah jumlah luas sisi-sisinya. Luas permukaan total limas terpotong sama dengan jumlah permukaan lateral dan luas alasnya.
Piramida terpotong diperoleh dari piramida dengan cara memotong bagian atasnya dengan bidang yang sejajar dengan alasnya. Basis piramida terpotong adalah poligon serupa, sisi-sisinya berbentuk trapesium.
Volume piramida terpotong ditemukan dengan rumus:
V=1/3H(S+ √ SS 1 + S 1),
dimana S dan S1 adalah luas alasnya, dan H adalah tingginya.
Luas permukaan lateral piramida terpotong beraturan dinyatakan sebagai berikut:
Sisi S =1/2(P+P 1)h,
di mana P dan P1 adalah keliling alasnya, h adalah tinggi sisi sisinya (atau apotema piramida terpotong beraturan).
2.3. Konstruksi piramida dan bagian datarnya
Sesuai dengan kaidah desain paralel, gambar piramida dibuat sebagai berikut. Pertama, fondasinya dibangun. Ini akan menjadi poligon datar. Kemudian bagian atas piramida ditandai, yang dihubungkan dengan rusuk samping ke puncak alasnya.
Bagian-bagian piramida menurut bidang-bidang yang melalui puncaknya adalah segitiga (Gbr. a). Khususnya, bagian diagonal juga merupakan segitiga. Ini adalah bagian oleh bidang yang melewati dua tepi lateral piramida yang tidak berdekatan (Gbr. b).
Bagian piramida oleh bidang dengan jejak tertentu g pada bidang alasnya dibuat dengan cara yang sama seperti bagian prisma.
Untuk membuat bagian piramida dengan bidang, cukup dengan membuat perpotongan sisi-sisinya dengan bidang potong.
Jika pada suatu muka yang tidak sejajar dengan lintasan g diketahui suatu titik A yang termasuk dalam bagian tersebut, maka terlebih dahulu dibuat perpotongan lintasan g bidang potong dengan bidang muka tersebut - titik D pada gambar ( V). Titik D dihubungkan ke titik A melalui garis lurus. Kemudian ruas garis milik muka tersebut adalah perpotongan muka tersebut dengan bidang potong. Jika titik A terletak pada permukaan yang sejajar dengan jejak g, maka bidang potong memotong permukaan tersebut sepanjang segmen yang sejajar dengan garis g. Pindah ke sisi muka yang berdekatan, mereka membangun perpotongannya dengan bidang potong, dll. Hasilnya, bagian piramida yang diperlukan diperoleh.
Piramida heksagonal beraturan berpotongan dengan bidang yang menonjol ke depan R, ditunjukkan pada Gambar. 180.
Seperti pada contoh sebelumnya, proyeksi bagian depan bertepatan dengan pelacakan bagian depan
rumah hal pesawat. Proyeksi horizontal dan profil suatu gambar bagian dibuat dengan menggunakan titik-titik yang merupakan titik potong bidang tersebut R dengan tepi piramida.
Pandangan sah Bentuk bagian dalam contoh ini ditentukan dengan metode penyelarasan.
Perkembangan permukaan sisi piramida terpotong dengan gambar bagian dan gambar dasar ditunjukkan pada Gambar. 180, B.
Pertama, pemindaian piramida tak terpotong dibuat, yang semua sisi berbentuk segitiganya identik. Tandai suatu titik di pesawat s l(bagian atas piramida) dan dari sana, seperti dari pusat, gambarlah busur lingkaran dengan jari-jari R, sama dengan panjang sebenarnya sisi rusuk limas. Panjang sebenarnya dari tepi dapat ditentukan dari proyeksi profil piramida, misalnya segmen dia" atau s"b", karena ujung-ujungnya sejajar dengan bidang W dan digambarkan di atasnya dengan panjang sebenarnya. Selanjutnya, di sepanjang busur lingkaran dari titik mana pun, misalnya a 1, enam segmen identik diletakkan, sama dengan panjang sebenarnya sisi segi enam - alas limas. Panjang sebenarnya sisi alas limas diperoleh dari proyeksi horizontal (ruas ab). Poin A 1 ...f 1 dihubungkan oleh garis lurus ke titik sudut s 1. Lalu dari atas sebuah 1 Pada garis lurus ini, panjang sebenarnya dari segmen tepi terhadap bidang potong diplot.
Pada proyeksi profil piramida terpotong sebenarnya hanya terdapat dua panjang
tajam - s"5 Dan s"2. Panjang sebenarnya dari segmen yang tersisa ditentukan dengan memutarnya di sekitar sumbu yang tegak lurus terhadap bidang N dan melewati titik s. Misalnya dengan memutar ruas s"6" terhadap sumbu ke posisi sejajar bidang W, kita mendapatkan panjang sebenarnya pada bidang ini. Untuk melakukan ini, cukup melalui intinya 6" tarik garis horizontal hingga berpotongan dengan panjang tepi sebenarnya SE. atau SB. Segmen garis s"6 0″(lihat Gambar 180).
Poin yang diterima 1 1 2 1 , 3 1 , dll. sambungkan dengan garis lurus dan tempelkan gambar alas dan bagian dengan cara triangulasi. Garis lipatan pada pengembangan digambar sebagai garis putus-putus dengan dua titik.
Pembuatan proyeksi isometrik piramida terpotong diawali dengan pembuatan proyeksi isometrik alas piramida menurut dimensi yang diambil dari proyeksi horizontal gambar kompleks. Kemudian pada bidang alas sesuai koordinat titik-titiknya 1...6 buat proyeksi horizontal bagian tersebut (lihat garis biru tipis pada Gambar 180, a, c). Dari simpul segi enam yang dihasilkan, garis lurus vertikal digambar, di mana koordinat yang diambil dari proyeksi frontal atau profil prisma diplot, misalnya segmen K ( , K 2 , K 3 dll. Poin yang diterima 1...6 kami terhubung, kami mendapatkan gambar bagian. Menghubungkan titik-titik 1...6 dengan simpul segi enam, alas piramida, kita memperoleh proyeksi isometrik dari piramida terpotong. Tepi yang tidak terlihat ditunjukkan dengan garis putus-putus.
Contoh bagian segitiga piramida tidak beraturan Bidang proyeksi frontal ditunjukkan pada Gambar. 181.
Semua tepi pada tiga bidang proyeksi digambarkan dengan distorsi. Proyeksi horizontal
alas mewakili penampakan sebenarnya, karena alas piramida terletak pada bidang datar N.
Pandangan sah 1 0 , 2 0 , 3 0 dari gambar bagian diperoleh dengan mengubah bidang proyeksi. DI DALAM dalam contoh ini bidang proyeksi horizontal N digantikan oleh bidang baru yang sejajar dengan bidang tersebut R; poros baru x 1 dikombinasikan dengan jejak PV(Gbr. 181, A).
Perkembangan permukaan piramida dibangun sebagai berikut. Dengan menggunakan metode rotasi, dicari panjang sebenarnya tepi limas dan ruas-ruasnya dari alas hingga bidang potong R.
Misalnya, panjang tepi sebenarnya S.C. dan segmennya barat laut masing-masing sama dengan panjang proyeksi frontal s"c" tepi dan ruas c 1′ 3 1 setelah belokan.
Kemudian mereka membangun pengembangan piramida segitiga tidak beraturan (Gbr. 181, c). Untuk melakukan ini, dari titik yang sewenang-wenang S gambarlah garis lurus ke arah kucing, tandai panjang tulang rusuk sebenarnya S.A. Dari intinya S buat takik dengan radius R1, sama dengan panjang rusuk sebenarnya SB, dan dari titik itu ada takik dengan radius R2,sama dengan sisi dasar piramida AB, menghasilkan satu titik b 1 dan tepi s 1 b 1 a 1 . Kemudian dari poin-poinnya S Dan b 1 seperti dari pusat, buatlah serif dengan jari-jari sama dengan panjang tepi sebenarnya S.C. dan samping Matahari mendapatkan keunggulan s 1 b 1 s 1 piramida. Tepinya juga dibangun s 1 s 1 a 1.
Dari poin a 1 b 1 Dan dari 1 letakkan panjang sebenarnya dari segmen tulang rusuk, yang diambil pada proyeksi frontal (segmen a 1 ′1 1 ′, b 1 ′2 1 ′, с 1 ′3 1 ′). Dengan menggunakan metode triangulasi, gambar alas dan bagian dilampirkan.
Untuk membuat proyeksi isometrik piramida terpotong (Gbr. 181, b), gambarlah sumbu isometrik X. Berdasarkan koordinat T Dan P membangun dasar piramida ABC. Sisi dasar AC sejajar dengan sumbu X atau berimpit dengan sumbunya X. Seperti pada contoh sebelumnya, buatlah proyeksi isometrik dari proyeksi horizontal gambar bagian 1 2 2 2 3 2 (menggunakan poin I, III dan IV). Dari titik-titik ini, garis lurus vertikal digambar, di mana segmen yang diambil dari proyeksi bagian depan atau profil prisma diletakkan K 1, K 2 Dan K 3. Poin yang diterima 1 , 2, 3 dihubungkan oleh garis lurus satu sama lain dan ke simpul alas.
Mari kita lihat cara membuat bagian piramida menggunakan contoh spesifik. Karena tidak ada bidang paralel, membuat garis perpotongan (jejak) bidang potong dengan bidang muka paling sering melibatkan menggambar garis lurus melalui dua titik yang terletak pada bidang muka tersebut.
Dalam soal yang paling sederhana, Anda perlu membuat bagian piramida dengan bidang yang melalui titik-titik tertentu yang terletak pada permukaan yang sama.
Contoh.
Membangun bagian bidang (MNP)
Segitiga MNP - bagian piramida
Titik M dan N terletak pada bidang ABS yang sama, oleh karena itu dapat ditarik garis lurus yang melaluinya. Jejak garis ini adalah ruas MN. Terlihat artinya kita menghubungkan M dan N dengan garis padat.
Titik M dan P terletak pada bidang ACS yang sama, maka kita tarik garis lurus melalui keduanya. Trace adalah anggota parlemen segmen. Kami tidak melihatnya, jadi kami menggambar segmen MP dengan satu goresan. Kami membuat jejak PN dengan cara yang sama.
Segitiga MNP adalah bagian yang wajib diisi.
Jika titik yang ingin Anda gambarkan suatu bagian tidak terletak pada tepi, tetapi pada permukaan, maka itu bukanlah akhir dari segmen jejak.
Contoh. Buatlah suatu bagian piramida dengan sebuah bidang yang melalui titik B, M dan N, dimana titik M dan N masing-masing berada pada sisi ABS dan BCS.
Di sini titik B dan M terletak pada sisi ABS yang sama, sehingga kita dapat menarik garis lurus melalui keduanya.
Demikian pula kita menggambar garis lurus melalui titik B dan P. Kita memperoleh jejak masing-masing BK dan BL.
Titik K dan L terletak pada satu sisi ACS, sehingga kita dapat menarik garis lurus melalui keduanya. Jejaknya adalah ruas KL.
Segitiga BKL merupakan bagian yang wajib diisi.
Namun, tidak selalu mungkin untuk menarik garis lurus melalui data dalam kondisi titik. Dalam hal ini, Anda perlu mencari titik yang terletak pada garis perpotongan bidang-bidang yang memuat wajah-wajah tersebut.
Contoh. Bangunlah bagian piramida dengan bidang yang melalui titik M, N, P.
Titik M dan N terletak pada bidang ABS yang sama, sehingga dapat ditarik garis lurus melalui titik tersebut. Kami mendapatkan jejak MN. Demikian pula - NP. Kedua tanda tersebut terlihat, jadi kami menghubungkannya dengan garis padat.
Titik M dan P terletak pada bidang yang berbeda. Oleh karena itu, kita tidak dapat menghubungkannya dengan garis lurus.
Mari kita lanjutkan garis lurus NP.
Letaknya pada bidang wajah BCS. NP hanya berpotongan dengan garis-garis yang terletak pada bidang yang sama. Kami memiliki tiga jalur langsung: BS, CS dan BC. Garis BS dan CS sudah mempunyai titik potong - hanya N dan P. Artinya kita mencari perpotongan NP dengan garis BC.
Titik potong (sebut saja H) diperoleh dengan meneruskan garis NP dan BC hingga perpotongan tersebut.
Titik H ini termasuk bidang (BCS) karena terletak pada garis NP dan termasuk bidang (ABC) karena terletak pada garis BC.
Jadi, kita mendapatkan titik lain dari bidang potong yang terletak pada bidang (ABC).
Kita dapat menggambar garis lurus melalui H dan titik M yang terletak pada bidang yang sama.
Kami mendapatkan jejak MT.
T adalah titik potong garis MH dan AC.
Karena T termasuk dalam garis AC, maka kita dapat menarik garis yang melaluinya dan titik P, karena keduanya terletak pada bidang yang sama (ACS).
MNPT 4-gon adalah bagian piramida yang diinginkan oleh sebuah bidang yang melalui titik-titik tertentu M,N,P.
Kami mengerjakan garis NP, memanjangkannya hingga menemukan titik perpotongan bidang potong dengan bidang (ABC). Jika kita bekerja dengan MN langsung, kita mendapatkan hasil yang sama.
Alasannya begini: garis MN terletak pada bidang (ABS), oleh karena itu hanya dapat berpotongan dengan garis-garis yang terletak pada bidang yang sama. Kami memiliki tiga garis seperti itu: AB, BS dan AS. Namun dengan garis lurus AB dan BS sudah ada titik potongnya: M dan N.
Artinya, pada perpanjangan MN, kita mencari titik potongnya dengan garis lurus AS. Sebut saja titik ini R.
Titik R terletak pada garis AS, artinya terletak juga pada bidang (ACS) yang termasuk dalam garis AS.
Karena titik P terletak pada bidang (ACS), maka kita dapat menarik garis lurus yang melalui R dan P. Kami mendapatkan jejak PT.
Titik T terletak pada bidang (ABC), sehingga dapat ditarik garis lurus yang melaluinya dan titik M.
Dengan demikian, diperoleh penampang MNPT yang sama.
Mari kita lihat contoh lain yang serupa.
Bangunlah bagian piramida dengan bidang yang melalui titik M, N, P.
Tariklah garis lurus melalui titik M dan N yang terletak pada bidang yang sama (BCS). Kami mendapatkan jejak MN (terlihat).
Tariklah garis lurus melalui titik N dan P yang terletak pada bidang yang sama (ACS). Kami mendapatkan jejak PN (tidak terlihat).
Kita tidak dapat menarik garis lurus melalui titik M dan P.
1) Garis MN terletak pada bidang (BCS), dimana terdapat tiga garis lagi yaitu BC, SC dan SB. Garis SB dan SC sudah mempunyai titik potong: M dan N. Oleh karena itu, kita mencari titik potong MN dengan BC. Melanjutkan garis-garis ini, kita mendapatkan titik L.
Titik L termasuk dalam garis BC yang artinya terletak pada bidang (ABC). Oleh karena itu, kita dapat menggambar garis lurus melalui L dan P yang juga terletak pada bidang (ABC). Jejaknya adalah PF.
F terletak pada garis AB dan karenanya pada bidang (ABS). Oleh karena itu, melalui F dan titik M yang juga terletak pada bidang (ABS) kita tarik sebuah garis lurus. Jejaknya adalah FM. MNPF segi empat adalah bagian wajib.
2) Cara lainnya adalah dengan meneruskan PN lurus. Letaknya pada bidang (ACS) dan memotong garis AC dan CS yang terletak pada bidang tersebut di titik P dan N.
Artinya kita mencari titik potong PN dengan garis lurus ketiga bidang ini – dengan AS. Kita lanjutkan AS dan PN, pada perpotongan tersebut kita peroleh titik E. Karena titik E terletak pada garis AS milik bidang (ABS), maka kita dapat menarik garis lurus yang melalui E dan titik M yang juga terletak di (ABS) . Jejaknya adalah FM. Titik P dan F terletak pada bidang air (ABC), tarik garis lurus melaluinya dan dapatkan jejak PF (tidak terlihat).
Perkenalan
Saat kami mulai mempelajari bangun-bangun stereometrik, kami menyentuh topik “Piramida”. Kami menyukai topik ini karena piramida sangat sering digunakan dalam arsitektur. Dan sejak kita profesi masa depan arsitek, terinspirasi oleh sosok ini, kami pikir dia dapat mendorong kami menuju proyek-proyek hebat.
Kekuatan struktur arsitektur adalah kualitas terpentingnya. Menghubungkan kekuatan, pertama, dengan bahan pembuatnya, dan kedua, dengan fiturnya solusi konstruktif, ternyata kekuatan suatu struktur berhubungan langsung dengan bentuk geometris yang mendasarinya.
Dengan kata lain, yang sedang kita bicarakan tentang sosok geometris yang dapat dianggap sebagai model bentuk arsitektur yang sesuai. Ternyata itu bentuk geometris juga menentukan kekuatan suatu struktur arsitektur.
Sejak zaman kuno, piramida Mesir telah dianggap sebagai struktur arsitektur paling tahan lama. Seperti yang Anda ketahui, mereka berbentuk piramida segi empat beraturan.
Bentuk geometris inilah yang memberikan stabilitas terbesar wilayah yang luas alasan. Di sisi lain, bentuk piramida memastikan bahwa massa berkurang seiring bertambahnya ketinggian di atas tanah. Kedua sifat inilah yang membuat piramida stabil, dan karenanya kuat di bawah kondisi gravitasi.
Tujuan proyek: mempelajari sesuatu yang baru tentang piramida, memperdalam pengetahuan Anda dan menemukan penerapan praktis.
Untuk mencapai tujuan ini, tugas-tugas berikut perlu diselesaikan:
· Pelajari informasi sejarah tentang piramida
· Anggaplah piramida sebagai sosok geometris
· Temukan penerapan dalam kehidupan dan arsitektur
· Temukan persamaan dan perbedaan antara piramida yang terletak di bagian yang berbeda cahaya
Bagian teoretis
Namun, permulaan geometri piramida diletakkan di Mesir Kuno dan Babilonia pengembangan aktif diterima di Yunani kuno. Orang pertama yang menetapkan volume piramida adalah Democritus, dan Eudoxus dari Cnidus membuktikannya. Matematikawan Yunani kuno Euclid mensistematisasikan pengetahuan tentang piramida di Jilid XII dari “Prinsip” -nya, dan juga memperoleh definisi pertama dari piramida: sosok tubuh yang dibatasi oleh bidang-bidang yang menyatu dari satu bidang ke satu titik.
Makam firaun Mesir. Yang terbesar - piramida Cheops, Khafre dan Mikerin di El Giza - dianggap sebagai salah satu dari Tujuh Keajaiban Dunia di zaman kuno. Pembangunan piramida, di mana orang-orang Yunani dan Romawi telah melihat sebuah monumen kebanggaan raja yang belum pernah terjadi sebelumnya dan kekejaman yang membuat seluruh rakyat Mesir melakukan pembangunan yang tidak berarti, adalah tindakan pemujaan yang paling penting dan tampaknya mengekspresikan identitas mistis negara dan penguasanya. Penduduk negara tersebut mengerjakan pembangunan makam tersebut selama sebagian tahun bebas dari pekerjaan pertanian. Sejumlah teks membuktikan perhatian dan perhatian yang diberikan raja-raja itu sendiri (walaupun di kemudian hari) terhadap pembangunan makam mereka dan para pembangunnya. Diketahui juga tentang penghargaan pemujaan khusus yang diberikan kepada piramida itu sendiri.
Konsep dasar
Piramida adalah polihedron yang alasnya adalah poligon, dan sisi-sisi lainnya adalah segitiga yang mempunyai titik sudut yang sama.
Apotema- tinggi sisi muka limas beraturan, ditarik dari puncaknya;
Wajah samping- segitiga bertemu di titik sudut;
Tulang rusuk samping- sisi umum dari sisi muka;
Puncak piramida- titik yang menghubungkan rusuk samping dan tidak terletak pada bidang alas;
Tinggi- ruas tegak lurus yang ditarik melalui puncak limas ke bidang alasnya (ujung ruas ini adalah puncak limas dan alas tegak lurus);
Bagian diagonal dari piramida- bagian piramida yang melewati bagian atas dan diagonal alasnya;
Basis- poligon yang tidak termasuk dalam titik puncak limas.
Properti dasar piramida biasa
Tepi lateral, sisi samping, dan apotema masing-masing sama besar.
Sudut dihedral pada alasnya sama besar.
Sudut dihedral pada rusuk-rusuk lateralnya sama besar.
Setiap titik ketinggian berjarak sama dari semua simpul alasnya.
Setiap titik ketinggian berjarak sama dari semua sisi sisinya.
Rumus dasar piramida
Luas permukaan lateral dan total piramida.
Luas permukaan lateral limas (penuh dan terpotong) adalah jumlah luas semua sisi lateralnya, luas permukaan total adalah jumlah luas semua sisinya.
Dalil: Luas permukaan lateral limas beraturan sama dengan setengah hasil kali keliling alas dan apotema limas.
P- keliling dasar;
H- apotema.
Luas permukaan lateral dan penuh piramida terpotong.
hal 1, P 2 - perimeter dasar;
H- apotema.
R- total luas permukaan piramida terpotong beraturan;
sisi S- luas permukaan lateral piramida terpotong beraturan;
S 1 + S 2- daerah dasar
Volume piramida
Membentuk volume ula digunakan untuk piramida jenis apa pun.
H- tinggi piramida.
Sudut piramida
Sudut-sudut yang dibentuk oleh sisi muka dan alas limas disebut sudut dihedral pada alas limas.
Sudut dihedral dibentuk oleh dua garis tegak lurus.
Untuk menentukan sudut ini, Anda sering kali perlu menggunakan teorema tiga tegak lurus.
Sudut yang dibentuk oleh tepi lateral dan proyeksinya pada bidang alas disebut sudut antara tepi samping dan bidang alas.
Sudut yang dibentuk oleh dua rusuk lateral disebut sudut dihedral pada tepi lateral piramida.
Sudut yang dibentuk oleh dua rusuk lateral salah satu sisi limas disebut sudut di puncak piramida.
Bagian piramida
Permukaan piramida adalah permukaan polihedron. Masing-masing mukanya berbentuk bidang, oleh karena itu bagian piramida yang dibatasi oleh bidang potong adalah garis putus-putus yang terdiri dari garis-garis lurus tersendiri.
Bagian diagonal
Bagian piramida oleh bidang yang melalui dua sisi lateral yang tidak terletak pada satu sisi disebut bagian diagonal piramida.
Dalil:
Jika limas dipotong oleh bidang yang sejajar dengan alasnya, maka sisi-sisi lateral dan tinggi limas dibagi oleh bidang tersebut menjadi bagian-bagian yang proporsional;
Bagian bidang ini berupa poligon yang mirip dengan alasnya;
Luas penampang dan alasnya berhubungan satu sama lain sebagai kuadrat jaraknya dari titik sudut.
Jenis piramida
Piramida yang benar– piramida yang alasnya berbentuk poligon beraturan, dan puncak piramida menonjol ke tengah alasnya.
Untuk piramida biasa:
1. rusuk sampingnya sama
2. sisi-sisinya sama besar
3. apotemanya sama
4. sudut dihedral sama di pangkalan
5. sudut dihedral pada rusuk-rusuk lateralnya sama besar
6. setiap titik ketinggian berjarak sama dari semua simpul alasnya
7. setiap titik ketinggian berjarak sama dari semua sisi sisinya
Piramida terpotong- bagian piramida yang tertutup di antara alasnya dan bidang potong yang sejajar dengan alasnya.
Alas dan bagian yang bersesuaian pada limas terpotong disebut dasar piramida terpotong.
Garis tegak lurus yang ditarik dari suatu titik pada suatu alas ke bidang alas lainnya disebut ketinggian piramida terpotong.
Tugas
No.1. Di kanan piramida segi empat titik O adalah pusat alas, SO=8 cm, BD=30 cm. Tentukan rusuk samping SA.
Penyelesaian masalah
No.1. Dalam piramida beraturan, semua sisi dan sisinya sama.
Pertimbangkan OSB: OSB adalah persegi panjang, karena.
SB 2 =JADI 2 +OB 2
SB 2 =64+225=289
Piramida dalam arsitektur
Piramida adalah sebuah bangunan monumental yang berbentuk biasa saja piramida geometris, di mana sisi berkumpul pada satu titik. Sesuai dengan fungsinya, piramida pada zaman dahulu merupakan tempat pemakaman atau pemujaan pemujaan. Alas piramida bisa berbentuk segitiga, segi empat, atau poligon dengan jumlah simpul yang berubah-ubah, tetapi versi yang paling umum adalah alas segi empat.
Ada banyak sekali piramida yang dibangun perbedaan budaya Dunia kuno terutama sebagai kuil atau monumen. Piramida besar termasuk piramida Mesir.
Di seluruh bumi Anda dapat melihat struktur arsitektur dalam bentuk piramida. Bangunan piramida mengingatkan kita pada zaman dahulu dan terlihat sangat indah.
Piramida Mesir monumen arsitektur terbesar Mesir Kuno, di antaranya salah satu dari “Tujuh Keajaiban Dunia” adalah Piramida Cheops. Dari kaki sampai puncak mencapai 137,3 m, dan sebelum kehilangan puncak, tingginya 146,7 m
Gedung stasiun radio di ibu kota Slovakia yang menyerupai piramida terbalik ini dibangun pada tahun 1983. Selain perkantoran dan ruang layanan, di dalam volume terdapat ruangan yang cukup luas. ruang konser, yang memiliki salah satu organ terbesar di Slovakia.
Louvre, yang “sunyi, tidak berubah, dan megah, seperti piramida”, telah mengalami banyak perubahan selama berabad-abad sebelum menjadi museum terbesar di dunia. Itu lahir sebagai benteng, didirikan oleh Philip Augustus pada tahun 1190, yang kemudian menjadi benteng kediaman kerajaan. Pada tahun 1793 istana ini menjadi museum. Koleksi diperkaya melalui warisan atau pembelian.
Untuk membuat ukuran alami gambar bagian (Gbr. 4), digunakan metode mengubah bidang proyeksi. Bidang H1 yang sejajar bidang P dan tegak lurus bidang V dianggap sebagai bidang tambahan. Proyeksi segitiga yang dihasilkan1 1 2 1 3 1 adalah ukuran alami dari gambar bagian tersebut.
Piramida dengan potongan
Sebagai contoh pembuatan bagian polihedron menggunakan beberapa bidang, perhatikan konstruksi piramida dengan potongan, yang dibentuk oleh tiga bidang - P, R, dan T (Gbr. 5).
Bidang P, sejajar dengan bidang proyeksi horizontal, memotong permukaan limas sepanjang segi lima 1-2-3-K-6. Pada bidang proyeksi horizontal, sisi-sisi segi lima sejajar dengan proyeksi sisi-sisi alas limas. Setelah membuat proyeksi horizontal segi lima, kami menandai titik 4 dan 5.
Bidang proyeksi frontal R memotong piramida sepanjang segi lima 1-2-7-8-9. Untuk mencari proyeksi horizontal titik 8 dan 9, kita menggambar generator tambahan SM dan SN melaluinya. Pertama, pada proyeksi frontal - s ′ m ′ dan s ′ n ′, dan kemudian pada proyeksi horizontal - sm dan sn.
Bidang proyeksi frontal Τ memotong piramida menjadi lima
kotak 5-4-8-9-10.
Setelah membuat proyeksi horizontal dari potongan tersebut, kami membuat proyeksi profilnya.
Konstruksi proyeksi garis perpotongan silinder dengan bidang
Ketika sebuah silinder rotasi dipotong oleh bidang yang sejajar dengan sumbu rotasi, diperoleh sepasang garis lurus (generator, Gambar 6) pada penampang. Jika bidang potong tegak lurus terhadap sumbu rotasi, maka hasil potongannya adalah lingkaran (Gbr. 7). Dalam kasus umum, ketika bidang pemotongan dimiringkan ke sumbu rotasi silinder, elips diperoleh pada bagian tersebut (Gbr. 8).
Mari kita lihat sebuah contoh | membuat proyeksi garis bagian | silinder |
||||
frontal- | ||||||
memproyeksikan | ||||||
kamu Q. Di bagian melintang yang diterima |
||||||
ada elips (Gbr. 9). | ||||||
Frontal | ||||||
tion dari garis bagian dalam ini |
||||||
kasusnya bertepatan dengan bagian depan- |
||||||
jejak total pesawat |
||||||
Qv , dan horisontal − с |
||||||
proyeksi horisontal |
||||||
permukaan | silinder | |||||
lingkaran. | Profil |
|||||
proyeksi garis | dalam masa pembangunan |
|||||
menurut dua pro- |
||||||
bagian - horizontal dan frontal.
Dalam kasus umum, membangun garis perpotongan suatu permukaan dengan bidang berarti menemukan poin umum, secara bersamaan termasuk dalam bidang potong dan permukaan.
Untuk mencari titik-titik tersebut, gunakan metode bidang potong tambahan:
1. Sebuah pesawat tambahan ditarik;
2. Garis perpotongan bidang tambahan dengan permukaan dan bidang tambahan dengan bidang tertentu dibuat;
3. Titik perpotongan garis yang dihasilkan ditentukan.
Bidang tambahan digambar sedemikian rupa sehingga memotong permukaan sepanjang garis paling sederhana.
Pencarian titik-titik garis potong diawali dengan identifikasi titik-titik karakteristik (acuan). Ini termasuk:
1. Poin atas dan bawah;
2. Titik kiri dan kanan;
3. Titik batas visibilitas;
4. Karakteristik poin garis ini persimpangan (untuk elips− titik sumbu mayor dan minor).
Untuk membuat garis perpotongan lebih akurat, perlu juga dibuat titik-titik tambahan (perantara).
Dalam contoh yang dipertimbangkan, poin 1 dan 8 adalah poin bawah dan atas. Untuk proyeksi horizontal dan frontal, titik 1 adalah titik kiri, titik 8 adalah titik kanan. Untuk proyeksi profil, titik 4 dan 5 merupakan titik batas visibilitas: titik-titik yang terletak di bawah titik 4 dan 5 pada proyeksi profil akan terlihat, titik lainnya tidak.
Poin 2, 3 dan 6, 7 merupakan tambahan, yang ditentukan untuk akurasi konstruksi yang lebih baik. Proyeksi profil gambar penampang berbentuk elips, sumbu minornya adalah ruas 1-8, sumbu mayornya adalah 4-5.
Konstruksi proyeksi garis perpotongan kerucut dengan bidang
Tergantung pada arah bidang potong pada bagian kerucut revolusi, berbagai garis dapat diperoleh, yang disebut garis bagian kerucut.
Jika bidang potong melewati titik puncak kerucut, pada bagiannya diperoleh sepasang garis lurus - membentuk segitiga (Gbr. 10, a). Hasil perpotongan kerucut dengan bidang yang tegak lurus sumbu kerucut diperoleh lingkaran (Gbr. 10, b). Jika bidang potong miring terhadap sumbu rotasi kerucut dan tidak melalui titik sudutnya, maka penampang kerucut dapat menghasilkan elips, parabola, atau hiperbola (Gbr. 10, c, d, e) tergantung pada sudut kemiringan bidang potong.
Elips diperoleh jika sudut kemiringan bidang potong lebih kecil dari sudut kemiringan generatris kerucut ke alasnya (β< α) , то есть когда плоскость пересекает все образующие kerucut ini(Gbr. 10, c).
Jika sudut α dan β sama besar, yaitu bidang potong sejajar dengan salah satu generatrice kerucut, maka diperoleh parabola pada bagian tersebut (Gbr. 10, d).
Jika bidang potong diarahkan pada sudut yang bervariasi dalam 90° β>α, maka diperoleh hiperbola pada bagian tersebut. Dalam hal ini, yang kedua
Bidang saat ini sejajar dengan dua generatris kerucut. Hiperbola ini mempunyai dua cabang, karena permukaan kerucut dua rongga (Gbr. 10, e).
Diketahui bahwa titik tersebut milik permukaan |
||||
sti jika itu milik garis mana pun |
||||
permukaan. Untuk kerucut paling grafis |
||||
garis sederhana adalah garis lurus (membentuk |
||||
schies) dan lingkaran. Oleh karena itu, jika berdasarkan konvensi |
||||
Masalahnya memerlukan penemuan solusi horizontal. |
||||
proyeksi titik A dan B milik permukaan |
||||
kerucut, maka Anda perlu menggambar salah satu titik melalui titik-titik tersebut |
||||
garis-garis ini. | ||||
Mari kita cari proyeksi horizontal titik A |
||||
menggunakan generator. Untuk melakukan ini, melalui titik A |
||||
dan titik puncak kerucut S kita menggambar sebuah bantu |
||||
bidang yang memproyeksikan ke depan P(Pv). Kita akan menemukan B ini dengan membuat lingkaran di mana B berada. Untuk melakukan ini, gambarlah bidang horizontal T(Tv) melalui titik tersebut. Bidang tersebut memotong kerucut sepanjang lingkaran berjari-jari r. Kami membuat proyeksi horizontal lingkaran ini. Melalui titik b′ kita tarik garis sambungan sampai berpotongan dengan lingkaran. Masalahnya juga memiliki dua jawaban - tepatnya ki b 1 dan b 2 . Mari kita perhatikan contoh membuat proyeksi garis perpotongan kerucut dengan bidang proyeksi depan P(Pv), ketika diperoleh elips pada bagian tersebut (Gbr. 12). Proyeksi frontal garis penampang bertepatan dengan jejak frontal bidang Pv. Untuk memudahkan penyelesaian masalah, mari kita tentukan generator ekstrim kerucut dan tentukan titik karakteristik (referensi). Titik bawah 1 terletak pada generator AS, titik atas 2 pada generator B S. Titik-titik ini menentukan posisi sumbu utama elips. Sumbu minor elips tegak lurus terhadap sumbu mayor. Untuk mencari sumbu minor, bagilah segmen 1-2 menjadi dua. Poin 3 dan 4 menentukan sumbu minor elips. Titik 5 dan 6 yang terletak pada generator CS dan DS merupakan titik batas jarak pandang bidang profil proyeksi. Proyeksi titik 1, 2, 5 dan 6 berada pada proyeksi generator yang bersesuaian. Untuk mencari proyeksi titik 3 dan 4, kita menggambar bidang potong tambahan T(Tv), yang memotong kerucut sepanjang lingkaran berjari-jari r. Pada lingkaran ini terdapat proyeksi titik-titik tersebut. Pada bidang proyeksi horizontal, lingkaran yang diproyeksikan | ||||
