Soal-soal yang melibatkan pembuatan bagian-bagian kubus dengan menggunakan bidang datar biasanya lebih sederhana daripada, misalnya, soal-soal yang melibatkan bagian-bagian piramida.
Kita dapat menggambar garis lurus melalui dua titik jika kedua titik tersebut terletak pada bidang yang sama. Saat membuat bagian kubus, opsi lain dimungkinkan untuk membuat jejak bidang potong. Karena bidang ketiga memotong dua bidang sejajar sepanjang garis lurus sejajar, maka jika salah satu bidang telah dibuat garis lurus, dan pada sisi lainnya terdapat titik yang dilalui bagian tersebut, maka kita dapat menggambar garis sejajar dengan titik ini melalui titik ini.
Mari kita lihat contoh spesifik cara membuat bagian kubus menggunakan bidang.
1) Buatlah bagian kubus dengan bidang yang melalui titik A, C dan M.
Soal jenis ini adalah soal yang paling sederhana dari semua soal untuk membangun bagian-bagian kubus. Karena titik A dan C terletak pada bidang yang sama (ABC), maka kita dapat menarik garis lurus melalui keduanya. Jejaknya adalah segmen AC. Itu tidak terlihat, jadi kami menggambarkan AC dengan sebuah goresan. Demikian pula, kita menghubungkan titik M dan C yang terletak pada bidang yang sama (CDD1), dan titik A dan M yang terletak pada bidang yang sama (ADD1). Segitiga ACM adalah bagian yang wajib diisi.
2) Bangunlah bagian kubus dengan bidang yang melalui titik M, N, P.
Di sini hanya titik M dan N yang terletak pada bidang yang sama (ADD1), jadi kita menggambar garis lurus melalui titik tersebut dan mendapatkan jejak MN (tidak terlihat). Karena sisi-sisi kubus yang berhadapan terletak di bidang paralel, kemudian bidang potong memotong bidang sejajar (ADD1) dan (BCC1) sepanjang garis sejajar. Kami telah membangun salah satu garis paralel - ini adalah MN.
Melalui titik P kita tarik garis yang sejajar dengan MN. Ini memotong tepi BB1 di titik S. PS adalah jejak bidang potong di muka (BCC1).
Kita tarik garis lurus melalui titik M dan S yang terletak pada bidang yang sama (ABB1). Kami menerima jejak MS (terlihat).
Bidang (ABB1) dan (CDD1) sejajar. Pada bidang tersebut sudah terdapat garis lurus MS (ABB1), maka melalui titik N pada bidang tersebut (CDD1) kita tarik garis lurus yang sejajar dengan MS. Garis ini memotong tepi D1C1 di titik L. Jejaknya NL (tidak terlihat). Titik P dan L terletak pada bidang yang sama (A1B1C1), jadi kita tarik garis lurus melalui titik tersebut.
Pentagon MNLPS adalah bagian yang wajib.
3) Bangunlah bagian kubus dengan bidang yang melalui titik M, N, P.
Titik M dan N terletak pada bidang yang sama (ВСС1), sehingga dapat ditarik garis lurus yang melaluinya. Kami mendapatkan jejak MN (terlihat). Bidang (BCC1) sejajar dengan bidang (ADD1), oleh karena itu melalui titik P yang terletak di (ADD1) kita tarik garis yang sejajar dengan MN. Ini memotong tepi AD di titik E. Kami memperoleh jejak PE (tidak terlihat).
Tidak ada lagi titik-titik yang terletak pada bidang yang sama, atau garis lurus dan titik-titik pada bidang yang sejajar. Oleh karena itu, kita perlu melanjutkan salah satu jalur yang ada untuk mendapatkan tambahan poin.
Jika kita meneruskan garis MN, maka karena terletak pada bidang (BCC1), kita perlu mencari titik potong MN dengan salah satu garis pada bidang tersebut. Sudah ada titik potong dengan CC1 dan B1C1 yaitu M dan N. Yang tersisa hanyalah garis lurus BC dan BB1. Mari kita lanjutkan BC dan MN hingga berpotongan di titik K. Titik K terletak pada garis BC yang berarti termasuk pada bidang (ABC), sehingga dapat ditarik garis lurus yang melaluinya dan titik E yang terletak pada bidang tersebut. Ia memotong tepi CD di titik H. EH adalah jejaknya (tidak terlihat). Karena H dan N terletak pada bidang yang sama (CDD1), maka dapat ditarik garis lurus melalui keduanya. Kami mendapatkan jejak HN (tidak terlihat).
Bidang (ABC) dan (A1B1C1) sejajar. Salah satunya ada garis EH, yang lain ada titik M. Kita dapat menggambar garis sejajar EH melalui M. Kami mendapatkan jejak MF (terlihat). Tariklah garis lurus melalui titik M dan F.
MNHEPF segi enam adalah bagian yang wajib diisi.
Jika garis lurus MN kita lanjutkan hingga berpotongan dengan bidang lurus lainnya (BCC1), BB1, maka diperoleh titik G yang termasuk dalam bidang tersebut (ABB1). Artinya melalui G dan P kita dapat menarik garis lurus yang jejaknya adalah PF. Selanjutnya, kita menggambar garis lurus melalui titik-titik yang terletak pada bidang sejajar dan mendapatkan hasil yang sama.
Bekerja dengan PE lurus menghasilkan bagian MNHEPF yang sama.
4) Buatlah bagian kubus dengan bidang yang melalui titik M, N, P.
Disini kita dapat menggambar garis lurus melalui titik M dan N yang terletak pada bidang yang sama (A1B1C1). Jejak kakinya MN (terlihat). Tidak ada lagi titik-titik yang terletak pada bidang yang sama atau sejajar.
Mari kita lanjutkan garis lurus MN. Letaknya pada bidang (A1B1C1), sehingga hanya dapat berpotongan dengan salah satu garis lurus pada bidang tersebut. Sudah ada titik potong dengan A1D1 dan C1D1 - N dan M. Dua garis lurus lagi pada bidang ini - A1B1 dan B1C1. Titik potong A1B1 dan MN adalah S. Karena terletak pada garis A1B1 maka termasuk dalam bidang (ABB1), artinya dapat ditarik garis lurus yang melaluinya dan titik P yang terletak pada bidang yang sama. Garis PS memotong tepi AA1 di titik E. PE adalah jejaknya (terlihat). Melalui titik N dan E yang terletak pada bidang yang sama (ADD1), dapat ditarik suatu garis lurus yang jejaknya NE (tidak terlihat). Pada bidang (ADD1) terdapat garis NE, pada bidang yang sejajar (BCC1) terdapat titik P. Melalui titik P kita dapat menarik garis PL yang sejajar dengan NE. Ini memotong tepi CC1 di titik L. PL adalah jejak garis ini (terlihat). Titik M dan L terletak pada bidang yang sama (CDD1), artinya dapat ditarik garis lurus melalui titik tersebut. Jejaknya ML (tidak terlihat). Pentagon MLPEN adalah bagian yang wajib.
Garis lurus NM dapat dilanjutkan kedua arah dan mencari titik potongnya tidak hanya dengan garis lurus A1B1, tetapi juga dengan garis lurus B1C1 yang juga terletak pada bidang (A1B1C1). Dalam hal ini, melalui titik P kita menggambar dua garis sekaligus: satu pada bidang (ABB1) melalui titik P dan S, dan yang kedua pada bidang (BCC1), melalui titik P dan R. Setelah itu tinggal menghubungkan titik-titik tersebut. titik-titik yang terletak pada bidang yang sama: M c L, E - dengan N.
instruksi
Cara menghitung luas penampang juga bergantung pada data yang sudah tersedia pada soal. Selain itu, penyelesaiannya ditentukan oleh apa yang ada di dasar prisma. Jika Anda perlu menemukannya bagian diagonal prisma, tentukan panjang diagonalnya yang sama dengan akar jumlah (alas sisi-sisinya). Misalnya, jika alasnya masing-masing 3 cm dan 4 cm, maka panjang diagonalnya sama dengan akar dari (4x4 + 3x3) = 5 cm. Carilah luas penampang diagonalnya dengan menggunakan rumus: kalikan diagonalnya alas dengan tingginya.
Jika alas prisma berbentuk segitiga, untuk menghitung luas penampang prisma digunakan rumus: 1/2 alas segitiga dikalikan tingginya.
Membedakan jenis berikut prisma beraturan dan lurus. Jika Anda perlu menemukan bagian prisma yang benar, Anda perlu mengetahui panjang salah satu sisi poligon saja, karena pada alasnya terdapat persegi yang semua sisinya sama panjang. Temukan diagonal persegi yang sama dengan hasil kali sisi persegi dan akar dua. Setelah itu, dengan mengalikan diagonalnya, Anda mendapatkan luas penampang prisma beraturan.
Prisma itu punya miliknya sendiri. Jadi, luas permukaan lateral prisma sembarang dihitung dengan rumus, di mana keliling penampang tegak lurus, adalah panjangnya tulang rusuk lateral. Dalam hal ini, bagian tegak lurus adalah tegak lurus terhadap semua sisi lateral prisma, dan sudutnya adalah sudut linier sudut dihedral dengan rusuk samping yang sesuai. Bagian yang tegak lurus juga tegak lurus terhadap semua sisi sisinya.
Sumber:
- bagian diagonal prisma
Aksial adalah bagian yang melalui sumbu tubuh geometris, dibentuk oleh rotasi tertentu sosok geometris. Sebuah silinder diperoleh dengan memutar persegi panjang di sekitar salah satu sisinya, dan ini menentukan banyak propertinya. Generator benda geometris ini sejajar dan sama satu sama lain, yang sangat penting untuk menentukan parameternya bagian aksial, termasuk diagonal.
Anda akan membutuhkan
- - silinder dengan parameter tertentu;
- - selembar kertas;
- - pensil;
- - penggaris;
- - kompas;
- - Teorema Pythagoras;
- - teorema sinus dan cosinus.
instruksi
Buatlah sebuah silinder sesuai dengan kondisi yang diberikan. Untuk menggambarnya, Anda perlu mengetahui tingginya. Namun, dalam soal diagonal, kondisi lain dapat ditentukan - misalnya, sudut antara diagonal dan generatrix atau diameter alas. Dalam hal ini, saat membuat gambar, gunakan ukuran yang diberikan kepada Anda. Ambil sisanya secara acak dan tunjukkan apa sebenarnya yang diberikan kepada Anda. Beri label titik potong sumbu dan alasnya sebagai O dan O."
Gambarlah bagian aksialnya. Ini adalah persegi panjang, dua sisinya adalah diameter alasnya, dan dua lainnya adalah generatrices. Karena generator juga tegak lurus terhadap alasnya, maka generator tersebut juga merupakan tinggi suatu benda geometris tertentu. Beri label pada persegi panjang yang dihasilkan ABCD. Gambarlah diagonal AC dan BD. Ingat diagonal persegi panjang. Mereka sama besar satu sama lain dan terbagi dua di titik perpotongan.
Perhatikan segitiga ADC. Berbentuk persegi panjang karena generatrice CD tegak lurus dengan alasnya. Satu mewakili diameter alas, yang kedua - . Diagonalnya adalah. Ingat bagaimana panjang sisi miring suatu persegi panjang dihitung. Itu sama dengan akar kuadrat dari jumlah kuadrat kaki-kakinya. Artinya, di dalam hal ini d=√4r2+h2, dengan d adalah diagonalnya, r adalah jari-jari alasnya, dan h adalah tinggi silinder.
Jika tinggi silinder tidak diberikan dalam soal, tetapi sudut diagonal bagian aksial dengan alas atau generatrix ditunjukkan, gunakan teorema sinus atau kosinus. Ingat, datanya bersifat trigonometri. Ini adalah hubungan yang berlawanan atau berdekatan sudut tertentu kaki ke sisi miring, itulah yang perlu Anda temukan. Misalkan Anda mengetahui tinggi dan sudut CAD antara diagonal dan diameter alas. Dalam hal ini, gunakan hukum sinus karena sudut CAD berlawanan dengan generatrix. Temukan sisi miring d menggunakan rumus d=h/sinCAD. Jika Anda diberi jari-jari dan sudut yang sama, gunakan teorema kosinus. Dalam hal ini d=2r/cos CAD.
Lanjutkan dengan prinsip yang sama jika sudut ACD antara diagonal dan generatrix ditentukan. Dalam hal ini, teorema sinus digunakan jika jari-jarinya diketahui, dan teorema kosinusnya digunakan jika tingginya diketahui.
Video tentang topik tersebut
Rasio emas merupakan proporsi yang dianggap paling sempurna dan harmonis sejak zaman dahulu. Ini menjadi dasar dari banyak bangunan kuno, mulai dari patung hingga kuil, dan sangat umum di alam. Pada saat yang sama, proporsi ini diungkapkan oleh konstruksi matematika yang sangat elegan.
instruksi
Jika panjang seluruh ruas diambil 1, dan panjang bagian terbesarnya x, maka perbandingan yang diinginkan akan dinyatakan dengan persamaan:
(1 - x)/x = x/1.
Mengalikan kedua ruas proporsi dengan x dan memindahkan suku-sukunya, kita memperoleh persamaan kuadrat:
x^2 + x - 1 = 0.
Persamaan tersebut memiliki dua akar real, yang tentu saja kita hanya tertarik pada akar positif. Itu sama dengan (√5 - 1)/2, yang kira-kira sama dengan 0,618. Angka ini menyatakan penampang. Hal ini paling sering dilambangkan dengan huruf φ.
Angka φ memiliki sejumlah sifat matematika yang luar biasa. Misalnya, dari persamaan awal pun sudah jelas bahwa 1/φ = φ + 1. Memang, 1/(0,618) = 1,618.
Cara lain untuk menghitung rasio emas sedang digunakan pecahan tak terbatas. Mulai dari sembarang x, Anda dapat membuat pecahan secara berurutan:
X
1/(x + 1)
1/(1/(x+1) + 1)
1/(1/(1/(x+1) + 1) +1)
Untuk mempermudah penghitungan, pecahan ini dapat direpresentasikan sebagai pecahan berulang, untuk menghitungnya langkah berikutnya Anda perlu menambahkan satu ke hasil langkah sebelumnya dan membagi satu dengan angka yang dihasilkan. Dengan kata lain:
x0 = x
x(n + 1) = 1/(xn + 1).
Proses ini konvergen dan limitnya adalah φ + 1.
Jika kita mengganti perhitungannya kebalikan ekstraksi akar kuadrat, yaitu melakukan siklus berulang:
x0 = x
x(n + 1) = √(xn + 1),
maka hasilnya tetap tidak berubah: terlepas dari x yang dipilih awalnya, iterasinya konvergen ke nilai φ + 1.
Secara geometris rasio emas dapat dibangun menggunakan segi lima beraturan. Jika Anda menggambar dua diagonal yang berpotongan di dalamnya, maka masing-masing diagonal akan membagi yang lain secara ketat dalam rasio emas. Pengamatan ini, menurut legenda, dilakukan oleh Pythagoras, yang sangat terkejut dengan pola yang ditemukan sehingga ia menganggap bintang berujung lima (pentagram) biasa itu suci. simbol ilahi.
Alasan mengapa rasio emas tampaknya paling harmonis tidak diketahui. Namun, berulang kali dikonfirmasi bahwa subjek yang ditugaskan untuk membagi segmen menjadi dua bagian yang tidak sama dengan cara yang paling indah, melakukannya dalam proporsi yang sangat mendekati rasio emas.
Pertanyaannya berkaitan dengan geometri analitik. Penyelesaiannya menggunakan persamaan garis dan bidang spasial, konsep kubus dan persamaannya sifat geometris, dan juga menggunakan aljabar vektor. Metode untuk memperbaiki sistem mungkin diperlukan persamaan linier.
instruksi
Pilihlah kondisi permasalahan yang menyeluruh, namun tidak mubazir. Bidang pemotongan α harus ditentukan persamaan umum dari bentuk Ax+By+Cz+D=0, yang mana dengan cara terbaik sesuai dengan pilihannya yang sewenang-wenang. Untuk mendefinisikan sebuah kubus, koordinat ketiga simpulnya sudah cukup. Ambil contoh titik M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3), sesuai Gambar 1. Gambar ini menggambarkan penampang sebuah kubus. Ini memotong dua rusuk samping dan tiga rusuk alas.
Putuskan sebuah rencana pekerjaan lebih lanjut. Kita harus mencari koordinat titik Q, L, N, W, R yang penampangnya berpotongan dengan rusuk kubus yang bersesuaian. Untuk melakukan ini, Anda harus mencari persamaan garis yang memuat sisi-sisi ini dan mencari titik potong sisi-sisi tersebut dengan bidang α. Ini akan diikuti dengan membagi QLNWR menjadi segitiga-segitiga (lihat Gambar 2) dan menghitung luas masing-masing segitiga menggunakan sifat-sifat perkalian vektor. Tekniknya sama setiap saat. Oleh karena itu, kita dapat membatasi diri pada titik Q dan L serta luas segitiga QLN.
Tentukan vektor arah h dari garis lurus yang memuat sisi M1M5 (dan titik Q) sebagai produk vektor M1M2=(x2-x1, y2-y1, z2-z1) dan M2M3=(x3-x2, y3-y2, z3-z2), h=(m1, n1, p1)=. Vektor yang dihasilkan adalah panduan untuk semua sisi sisi lainnya. Carilah panjang rusuk kubus sebagai, misalnya, ρ=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2). Jika besar vektor h |h|≠ρ, gantilah dengan vektor kolinear yang bersesuaian s=(m, n, p)=(h/|h|)ρ. Sekarang tuliskan persamaan garis lurus yang memuat M1M5 secara parametrik (lihat Gambar 3). Setelah substitusi ekspresi yang sesuai dalam persamaan bidang potong Anda mendapatkan A(x1+mt)+B(y1+nt)+C(z1+pt)+D=0. Tentukan t, substitusikan ke dalam persamaan M1M5 dan tuliskan koordinat titik Q(qx, qy, qz) (Gbr. 3).
Jelasnya, titik M5 memiliki koordinat M5(x1+m, y1+n, z1+p). Vektor arah garis lurus yang memuat rusuk M5M8 berimpit dengan M2M3=(x3-x2, y3-y2,z3-z2). Kemudian ulangi argumen sebelumnya L(lx, ly, lz) (lihat Gambar 4). Segala sesuatu selanjutnya untuk N(nx, ny, nz) adalah salinan dari langkah ini.
