Jika untuk setiap bilangan asli N cocok bilangan real sebuah , lalu mereka mengatakan bahwa itu diberikan urutan nomor :
A 1 , A 2 , A 3 , . . . , sebuah , . . . .
Jadi, barisan bilangan merupakan fungsi dari argumen natural.
Nomor A 1 ditelepon suku pertama barisan tersebut , nomor A 2 — suku kedua barisan tersebut , nomor A 3 — ketiga dan sebagainya. Nomor sebuah ditelepon istilah ke-n urutan , dan bilangan asli N — nomornya .
Dari dua anggota yang berdekatan sebuah Dan sebuah +1 anggota urutan sebuah +1 ditelepon setelah (relatif terhadap sebuah ), A sebuah — sebelumnya (relatif terhadap sebuah +1 ).
Untuk menentukan suatu barisan, Anda perlu menentukan metode yang memungkinkan Anda menemukan anggota barisan dengan nomor berapa pun.
Seringkali urutannya ditentukan menggunakan rumus suku ke-n , yaitu rumus yang memungkinkan Anda menentukan anggota suatu barisan berdasarkan nomornya.
Misalnya,
urutan positif angka ganjil dapat diberikan dengan rumus
sebuah= 2N- 1,
dan urutan bergantian 1 Dan -1 - rumus
B N = (-1)N +1 . ◄
Urutannya dapat ditentukan rumus berulang, yaitu rumus yang menyatakan setiap anggota barisan, dimulai dari beberapa, hingga anggota sebelumnya (satu atau lebih).
Misalnya,
Jika A 1 = 1 , A sebuah +1 = sebuah + 5
A 1 = 1,
A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Jika sebuah 1= 1, sebuah 2 = 1, sebuah +2 = sebuah + sebuah +1 , lalu tujuh anggota pertama urutan nomor instal sebagai berikut:
sebuah 1 = 1,
sebuah 2 = 1,
sebuah 3 = sebuah 1 + sebuah 2 = 1 + 1 = 2,
sebuah 4 = sebuah 2 + sebuah 3 = 1 + 2 = 3,
sebuah 5 = sebuah 3 + sebuah 4 = 2 + 3 = 5,
A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,
A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Urutannya bisa terakhir Dan tak ada habisnya .
Urutannya disebut terakhir jika dia punya nomor akhir anggota. Urutannya disebut tak ada habisnya , jika anggotanya sangat banyak.
Misalnya,
urutan dua digit bilangan asli:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
terakhir.
Barisan bilangan prima:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
tak ada habisnya. ◄
Urutannya disebut meningkat , jika masing-masing anggotanya, mulai dari anggota kedua, lebih besar dari anggota sebelumnya.
Urutannya disebut menurun , jika masing-masing anggotanya, mulai dari anggota kedua, lebih kecil dari anggota sebelumnya.
Misalnya,
2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . — meningkatkan urutan;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . — urutan menurun. ◄
Barisan yang unsur-unsurnya tidak berkurang seiring bertambahnya bilangan, atau sebaliknya tidak bertambah disebut urutan monoton .
Barisan monotonik khususnya adalah barisan naik dan barisan menurun.
Perkembangan aritmatika
Perkembangan aritmatika adalah barisan yang setiap sukunya, mulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya, yang ditambahi bilangan yang sama.
A 1 , A 2 , A 3 , . . . , sebuah, . . .
adalah barisan aritmatika jika untuk sembarang bilangan asli N syaratnya terpenuhi:
sebuah +1 = sebuah + D,
Di mana D - nomor tertentu.
Jadi, perbedaan antara suku-suku selanjutnya dan suku-suku sebelumnya suatu hal tertentu perkembangan aritmatika selalu konstan:
sebuah 2 - A 1 = sebuah 3 - A 2 = . . . = sebuah +1 - sebuah = D.
Nomor D ditelepon perbedaan perkembangan aritmatika.
Untuk menentukan suatu barisan aritmatika, cukup dengan menunjukkan suku pertamanya dan selisihnya.
Misalnya,
Jika A 1 = 3, D = 4 , maka kita carilah lima suku pertama barisan tersebut sebagai berikut:
sebuah 1 =3,
sebuah 2 = sebuah 1 + D = 3 + 4 = 7,
sebuah 3 = sebuah 2 + D= 7 + 4 = 11,
sebuah 4 = sebuah 3 + D= 11 + 4 = 15,
A 5 = A 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄
Untuk barisan aritmatika dengan suku pertama A 1 dan perbedaannya D dia N
sebuah = sebuah 1 + (N- 1)D.
Misalnya,
tentukan suku ketiga puluh barisan aritmatika tersebut
1, 4, 7, 10, . . .
sebuah 1 =1, D = 3,
sebuah 30 = sebuah 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄
sebuah n-1 = sebuah 1 + (N- 2)D,
sebuah= sebuah 1 + (N- 1)D,
sebuah +1 = A 1 + dan,
maka jelas
| sebuah=
| sebuah n-1 + sebuah n+1
|
| 2
|
Setiap suku suatu barisan aritmatika, mulai dari suku kedua, sama dengan rata-rata aritmatika suku-suku sebelumnya dan selanjutnya.
bilangan a, b, dan c adalah suku-suku yang berurutan dari suatu barisan aritmatika jika dan hanya jika salah satunya sama dengan rata-rata aritmatika dari dua bilangan lainnya.
Misalnya,
sebuah = 2N- 7 , adalah barisan aritmatika.
Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kami memiliki:
sebuah = 2N- 7,
sebuah n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,
sebuah n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.
Karena itu,
| n+1 + n-1
| =
| 2N- 5 + 2N- 9
| = 2N- 7 = sebuah,
|
| 2
| 2
|
◄
Perhatikan itu N Suku ke suatu barisan aritmatika tidak hanya dapat dicari melalui A 1 , tetapi juga sebelumnya sebuah k
sebuah = sebuah k + (N- k)D.
Misalnya,
Untuk A 5 dapat dituliskan
sebuah 5 = sebuah 1 + 4D,
sebuah 5 = sebuah 2 + 3D,
sebuah 5 = sebuah 3 + 2D,
sebuah 5 = sebuah 4 + D. ◄
sebuah = sebuah nk + kd,
sebuah = sebuah n+k - kd,
maka jelas
| sebuah=
| A nk
+a n+k
|
| 2
|
setiap anggota barisan aritmatika yang dimulai dari yang kedua sama dengan setengah jumlah tersebut ketentuan barisan aritmatika ini berjarak sama darinya.
Selain itu, untuk setiap perkembangan aritmatika, persamaan berikut berlaku:
am + an = a k + a l,
m + n = k + aku.
Misalnya,
dalam perkembangan aritmatika
1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;
2) 28 = sebuah 10 = sebuah 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) sebuah 10= 28 = (19 + 37)/2 = (angka 7 + angka 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, Karena
sebuah 2 + sebuah 12= 4 + 34 = 38,
sebuah 5 + sebuah 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= sebuah 1 + sebuah 2 + sebuah 3 + . . .+ sebuah,
Pertama N suku-suku suatu barisan aritmatika sama dengan hasil kali setengah jumlah suku ekstrim dan banyaknya suku:
Oleh karena itu, khususnya, jika Anda perlu menjumlahkan suku-sukunya
sebuah k, sebuah k +1 , . . . , sebuah,
maka rumus sebelumnya mempertahankan strukturnya:
Misalnya,
dalam perkembangan aritmatika 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Jika diberikan perkembangan aritmatika, maka besarannya A 1 , sebuah, D, N DanS N dihubungkan dengan dua rumus:
Oleh karena itu, jika arti dari tiga dari besaran-besaran ini diberikan, kemudian nilai-nilai yang sesuai dari dua besaran lainnya ditentukan dari rumus-rumus ini, digabungkan menjadi sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui.
Barisan aritmatika merupakan barisan monotonik. Dalam hal ini:
- Jika D > 0 , kemudian meningkat;
- Jika D < 0 , maka menurun;
- Jika D = 0 , maka barisan tersebut akan stasioner.
Kemajuan geometris
Kemajuan geometris adalah suatu barisan yang setiap sukunya, mulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama.
B 1 , B 2 , B 3 , . . . , bn, . . .
adalah barisan geometri jika untuk sembarang bilangan asli N syaratnya terpenuhi:
bn +1 = bn · Q,
Di mana Q ≠ 0 - nomor tertentu.
Jadi, perbandingan suku berikutnya suatu barisan geometri tertentu dengan suku sebelumnya adalah bilangan konstan:
B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = bn +1 / bn = Q.
Nomor Q ditelepon penyebut barisan geometri.
Untuk menentukan suatu barisan geometri, cukup dengan menunjukkan suku pertama dan penyebutnya.
Misalnya,
Jika B 1 = 1, Q = -3 , maka kita carilah lima suku pertama barisan tersebut sebagai berikut:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · Q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · Q= 9 · (-3) = -27,
B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄
B 1 dan penyebut Q dia N Suku ke-th dapat dicari dengan menggunakan rumus:
bn = B 1 · qn -1 .
Misalnya,
tentukan suku ketujuh barisan geometri tersebut 1, 2, 4, . . .
B 1 = 1, Q = 2,
B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
b n-1 = b 1 · qn -2 ,
bn = b 1 · qn -1 ,
bn +1 = B 1 · qn,
maka jelas
bn 2 = bn -1 · bn +1 ,
setiap anggota barisan geometri, mulai dari suku kedua, sama dengan rata-rata geometri (sebanding) suku-suku sebelumnya dan selanjutnya.
Karena kebalikannya juga benar, pernyataan berikut ini berlaku:
bilangan a, b, dan c adalah suku-suku berurutan suatu barisan geometri jika dan hanya jika kuadrat salah satunya sama dengan produknya dua bilangan lainnya, yaitu salah satu bilangan tersebut merupakan rata-rata geometri dari dua bilangan lainnya.
Misalnya,
Mari kita buktikan barisan yang diberikan oleh rumus bn= -3 2 N , adalah barisan geometri. Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kami memiliki:
bn= -3 2 N,
bn -1 = -3 2 N -1 ,
bn +1 = -3 2 N +1 .
Karena itu,
bn 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) · (-3 · 2 N +1 ) = bn -1 · bn +1 ,
yang membuktikan pernyataan yang diinginkan. ◄
Perhatikan itu N Suku ke suatu barisan geometri dapat dicari tidak hanya melalui B 1 , tetapi juga anggota sebelumnya bk , untuk itu cukup menggunakan rumus saja
bn = bk · qn - k.
Misalnya,
Untuk B 5 dapat dituliskan
b 5 = b 1 · Q 4 ,
b 5 = b 2 · pertanyaan 3,
b 5 = b 3 · pertanyaan 2,
b 5 = b 4 · Q. ◄
bn = bk · qn - k,
bn = bn - k · qk,
maka jelas
bn 2 = bn - k· bn + k
kuadrat suatu suku suatu barisan geometri, mulai dari suku kedua, sama dengan hasil kali suku-suku yang berjarak sama dari barisan tersebut.
Selain itu, untuk setiap barisan geometri persamaannya benar:
bm· bn= bk· b l,
M+ N= k+ aku.
Misalnya,
dalam deret geometri
1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;
2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;
4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , Karena
B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,
B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + bn
Pertama N anggota barisan geometri yang penyebutnya Q ≠ 0 dihitung dengan rumus:
Dan kapan Q = 1 - sesuai rumus
S n= catatan 1
Perhatikan bahwa jika Anda perlu menjumlahkan persyaratannya
bk, bk +1 , . . . , bn,
maka rumus yang digunakan adalah:
| S n- S k -1 = bk + bk +1 + . . . + bn = bk · | 1 - qn -
k +1
| . |
| 1 - Q
|
Misalnya,
dalam deret geometri 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Jika diberikan perkembangan geometri, lalu jumlahnya B 1 , bn, Q, N Dan S n dihubungkan dengan dua rumus:
Oleh karena itu, jika nilai dari tiga besaran ini diberikan, maka nilai yang sesuai dari dua besaran lainnya ditentukan dari rumus ini, digabungkan menjadi sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui.
Untuk barisan geometri dengan suku pertama B 1 dan penyebut Q berikut ini terjadi sifat monotonisitas :
- kemajuan meningkat jika salah satu kondisi berikut terpenuhi:
B 1 > 0 Dan Q> 1;
B 1 < 0 Dan 0 < Q< 1;
- Perkembangannya menurun jika salah satu kondisi berikut terpenuhi:
B 1 > 0 Dan 0 < Q< 1;
B 1 < 0 Dan Q> 1.
Jika Q< 0 , maka barisan geometri tersebut berselang-seling: suku-suku yang berbilangan ganjil mempunyai tanda yang sama dengan suku pertamanya, dan suku-suku yang berbilangan genap bertanda berlawanan. Jelaslah bahwa barisan geometri bolak-balik tidak monoton.
Produk yang pertama N suku suatu barisan geometri dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
hal= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · bn = (b 1 · bn) N / 2 .
Misalnya,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Kemajuan geometri yang menurun tanpa batas
Kemajuan geometri yang menurun tanpa batas disebut barisan geometri tak hingga yang modulus penyebutnya lebih kecil 1 , itu
|Q| < 1 .
Perhatikan bahwa barisan geometri yang menurun tak terhingga belum tentu merupakan barisan menurun. Ini sesuai dengan kesempatan itu
1 < Q< 0 .
Dengan penyebut seperti itu, barisannya bergantian. Misalnya,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga sebutkan bilangan yang jumlah bilangan pertama mendekati tanpa batas N anggota suatu kemajuan dengan peningkatan jumlah yang tidak terbatas N . Bilangan ini selalu terbatas dan dinyatakan dengan rumus
| S= B 1 + B 2 + B 3 + . . . = | B 1
| . |
| 1 - Q
|
Misalnya,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Hubungan antara barisan aritmatika dan geometri
Perkembangan aritmatika dan geometri berkaitan erat. Mari kita lihat dua contoh saja.
A 1 , A 2 , A 3 , . . . D , Itu
b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .
Misalnya,
1, 3, 5, . . . - perkembangan aritmatika dengan perbedaan 2 Dan
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - barisan geometri dengan penyebut 7 2 . ◄
B 1 , B 2 , B 3 , . . . - barisan geometri dengan penyebut Q , Itu
catatan ab 1, catatan ab 2, catatan ab 3, . . . - perkembangan aritmatika dengan perbedaan catatan aQ .
Misalnya,
2, 12, 72, . . . - barisan geometri dengan penyebut 6 Dan
lg 2, lg 12, lg 72, . . . - perkembangan aritmatika dengan perbedaan lg 6 . ◄
Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)
Perkembangan aritmatika adalah barisan bilangan yang setiap bilangannya lebih besar (atau lebih kecil) dari bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama.
Topik ini sering kali tampak rumit dan tidak dapat dipahami. Indeks huruf istilah ke-n perkembangan, perbedaan perkembangan - semua ini entah bagaimana membingungkan, ya... Mari kita cari tahu arti dari perkembangan aritmatika dan semuanya akan segera menjadi lebih baik.)
Konsep perkembangan aritmatika.
Perkembangan aritmatika adalah konsep yang sangat sederhana dan jelas. Apakah Anda ragu? Sia-sia.) Lihat sendiri.
Saya akan menulis rangkaian angka yang belum selesai:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Bisakah Anda memperpanjang seri ini? Angka apa yang akan muncul berikutnya, setelah angka lima? Semuanya... uh..., singkatnya, semua orang akan menyadari bahwa angka 6, 7, 8, 9, dst akan muncul berikutnya.
Mari kita mempersulit tugas ini. Saya memberi Anda serangkaian angka yang belum selesai:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Anda akan dapat menangkap polanya, memperluas rangkaiannya, dan memberi namanya ketujuh nomor baris?
Jika Anda menyadari bahwa angka ini adalah 20, selamat! Bukan hanya kamu yang merasakannya poin-poin penting perkembangan aritmatika, tetapi juga berhasil menggunakannya dalam bisnis! Jika Anda belum mengetahuinya, baca terus.
Sekarang mari kita terjemahkan poin-poin penting dari sensasi ke dalam matematika.)
Poin penting pertama.
Perkembangan aritmatika berkaitan dengan serangkaian angka. Ini membingungkan pada awalnya. Kita terbiasa menyelesaikan persamaan, menggambar grafik dan sebagainya... Tapi di sini kita perpanjang deretnya, cari nomor deretnya...
Tidak apa-apa. Hanya saja perkembangannya merupakan perkenalan pertama dengan cabang matematika yang baru. Bagian ini disebut "Seri" dan bekerja secara khusus dengan rangkaian angka dan ekspresi. Biasakanlah.)
Poin penting kedua.
Dalam perkembangan aritmatika, suatu bilangan berbeda dengan bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama.
Pada contoh pertama, perbedaannya adalah satu. Berapa pun nomor yang Anda ambil, itu lebih banyak satu dari yang sebelumnya. Yang kedua - tiga. Angka berapa pun tiga lebih banyak dari angka sebelumnya. Sebenarnya momen inilah yang memberi kita kesempatan untuk memahami pola dan menghitung angka-angka selanjutnya.
Poin kunci ketiga.
Momen ini memang tidak mencolok ya... Tapi ini sangat-sangat penting. Ini dia: setiap nomor perkembangan berdiri di tempatnya. Ada angka pertama, ada angka ketujuh, ada angka empat puluh lima, dan seterusnya. Jika Anda mencampurkannya secara acak, polanya akan hilang. Perkembangan aritmatika juga akan hilang. Yang tersisa hanyalah serangkaian angka.
Itulah intinya.
Tentu saja, di topik baru istilah dan sebutan baru muncul. Anda perlu mengenal mereka. Jika tidak, Anda tidak akan memahami tugasnya. Misalnya, Anda harus memutuskan sesuatu seperti:
Tuliskan enam suku pertama barisan aritmatika (an), jika a 2 = 5, d = -2,5.
Menginspirasi?) Surat, beberapa indeks... Dan omong-omong, tugasnya sangat sederhana. Anda hanya perlu memahami arti istilah dan sebutannya. Sekarang kita akan menguasai masalah ini dan kembali ke tugas.
Syarat dan sebutan.
Perkembangan aritmatika adalah barisan bilangan yang setiap bilangannya berbeda dengan bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama.
Besaran ini disebut . Mari kita lihat konsep ini lebih detail.
Perbedaan perkembangan aritmatika.
Perbedaan perkembangan aritmatika adalah jumlah dimana setiap angka perkembangan lagi yang sebelumnya.
Satu poin penting. Mohon perhatikan kata tersebut "lagi". Secara matematis, ini berarti setiap bilangan perkembangan adalah dengan menambahkan selisih barisan aritmatika dengan bilangan sebelumnya.
Untuk menghitung, katakanlah Kedua nomor seri, Anda perlu Pertama nomor menambahkan perbedaan perkembangan aritmatika ini. Untuk perhitungan kelima- perbedaan itu perlu menambahkan Ke keempat, baik, dll.
Perbedaan perkembangan aritmatika Mungkin positif, maka setiap angka dalam rangkaian tersebut akan menjadi nyata lebih dari yang sebelumnya. Kemajuan ini disebut meningkat. Misalnya:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Di sini setiap nomor diperoleh dengan menambahkan bilangan positif, +5 dari bilangan sebelumnya.
Perbedaannya mungkin negatif, maka setiap angka pada deret tersebut adalah kurang dari yang sebelumnya. Kemajuan ini disebut (Anda tidak akan percaya!) menurun.
Misalnya:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Di sini setiap nomor juga diperoleh dengan menambahkan ke angka sebelumnya, tapi sudah negatif, -5.
Omong-omong, ketika bekerja dengan perkembangan, sangat berguna untuk segera menentukan sifatnya - apakah meningkat atau menurun. Ini sangat membantu untuk mengarahkan keputusan, menemukan kesalahan Anda dan memperbaikinya sebelum terlambat.
Perbedaan perkembangan aritmatika biasanya dilambangkan dengan huruf D.
Bagaimana menemukan D? Sangat sederhana. Anda perlu mengurangi angka mana pun dalam deret tersebut sebelumnya nomor. Mengurangi. Omong-omong, hasil pengurangan disebut "selisih".)
Mari kita definisikan, misalnya, D untuk meningkatkan perkembangan aritmatika:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Kita ambil bilangan apa saja pada deret yang kita inginkan, misalnya 11. Kita kurangi darinya nomor sebelumnya itu. 8:
Ini adalah jawaban yang benar. Untuk perkembangan aritmatika ini, selisihnya adalah tiga.
Anda bisa mengambilnya nomor perkembangan apa pun, Karena untuk kemajuan tertentu D-selalu sama. Setidaknya di suatu tempat di awal baris, setidaknya di tengah, setidaknya di mana saja. Anda tidak bisa hanya mengambil angka pertama saja. Hanya karena angka pertama tidak ada yang sebelumnya.)
Ngomong-ngomong, mengetahui hal itu d=3, menemukan angka ketujuh dari perkembangan ini sangatlah sederhana. Mari kita tambahkan 3 ke angka kelima - kita mendapatkan angka keenam, jadinya 17. Mari kita tambahkan tiga ke angka keenam, kita mendapatkan angka ketujuh - dua puluh.
Mari kita definisikan D untuk perkembangan aritmatika menurun:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Saya mengingatkan Anda bahwa, apa pun tandanya, Anda harus menentukannya D butuhkan dari nomor mana pun ambil yang sebelumnya. Pilih nomor perkembangan apa saja, misalnya -7. Nomor sebelumnya adalah -2. Kemudian:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Selisih suatu barisan aritmatika dapat berupa bilangan apa pun: bilangan bulat, pecahan, irasional, bilangan apa pun.
Istilah dan sebutan lainnya.
Setiap nomor dalam rangkaian tersebut dipanggil anggota barisan aritmatika.
Setiap anggota perkembangan mempunyai nomor tersendiri. Angka-angkanya benar-benar berurutan, tanpa trik apa pun. Pertama, kedua, ketiga, keempat, dan seterusnya. Misalnya, dalam perkembangan 2, 5, 8, 11, 14, ... dua adalah suku pertama, lima adalah suku kedua, sebelas adalah suku keempat, nah, Anda mengerti...) Harap dipahami dengan jelas - angka-angka itu sendiri bisa berupa apa saja, utuh, pecahan, negatif, apa saja, tapi penomoran angka- secara ketat!
Cara menulis perkembangan di pandangan umum? Tidak ada pertanyaan! Setiap angka dalam suatu rangkaian ditulis sebagai sebuah huruf. Untuk menyatakan barisan aritmatika, biasanya digunakan huruf A. Nomor anggota ditunjukkan dengan indeks di kanan bawah. Kami menulis istilah yang dipisahkan dengan koma (atau titik koma), seperti ini:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
sebuah 1- ini adalah angka pertama, sebuah 3- ketiga, dll. Tidak ada yang mewah. Seri ini dapat ditulis secara singkat seperti ini: (sebuah).
Kemajuan terjadi terbatas dan tidak terbatas.
Terakhir kemajuan memiliki jumlah terbatas anggota. Lima, tiga puluh delapan, terserah. Tapi itu angka yang terbatas.
Tak terbatas kemajuan - memiliki jumlah yang tak terbatas anggota, seperti yang Anda duga.)
Anda dapat menulis perkembangan terakhir melalui rangkaian seperti ini, semua suku dan titik di akhir:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.
Atau seperti ini jika anggotanya banyak:
a 1, a 2, ... a 14, a 15.
DI DALAM catatan singkat Anda juga harus menunjukkan jumlah anggota. Misalnya (untuk dua puluh anggota), seperti ini:
(an), n = 20
Perkembangan tak terhingga dapat dikenali dengan elipsis di akhir baris, seperti pada contoh dalam pelajaran ini.
Sekarang Anda dapat menyelesaikan tugas-tugas tersebut. Tugasnya sederhana, murni untuk memahami arti barisan aritmatika.
Contoh soal perkembangan aritmatika.
Mari kita lihat tugas yang diberikan di atas secara detail:
1. Tuliskan enam suku pertama barisan aritmatika (an), jika a 2 = 5, d = -2,5.
Kami mentransfer tugas ke bahasa yang jelas. Perkembangan aritmatika tak terbatas diberikan. Bilangan kedua dari perkembangan ini diketahui: sebuah 2 = 5. Perbedaan perkembangan diketahui: d = -2,5. Kita perlu mencari suku pertama, ketiga, keempat, kelima dan keenam dari perkembangan ini.
Agar lebih jelas, saya akan menuliskan rangkaiannya sesuai dengan kondisi soal. Enam suku pertama, sedangkan suku kedua berjumlah lima:
a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....
sebuah 3 = sebuah 2 + D
Gantikan ke dalam ekspresi sebuah 2 = 5 Dan d = -2,5. Jangan lupakan minusnya!
sebuah 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Istilah ketiga ternyata kurang dari dua. Semuanya logis. Jika jumlahnya lebih besar dari yang sebelumnya negatif nilainya, artinya angka itu sendiri akan lebih kecil dari angka sebelumnya. Kemajuan menurun. Oke, mari kita perhitungkan.) Kita hitung suku keempat deret kita:
sebuah 4 = sebuah 3 + D
sebuah 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
sebuah 5 = sebuah 4 + D
sebuah 5=0+(-2,5)= - 2,5
sebuah 6 = sebuah 5 + D
sebuah 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Jadi, suku ketiga sampai keenam dihitung. Hasilnya adalah rangkaian berikut:
a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....
Masih mencari suku pertama sebuah 1 Oleh terkenal kedua. Ini adalah langkah ke arah lain, ke kiri.) Jadi, selisih barisan aritmatika D tidak boleh ditambahkan ke sebuah 2, A membawa pergi:
sebuah 1 = sebuah 2 - D
sebuah 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Itu saja. Jawaban tugas:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Secara sepintas, saya ingin mencatat bahwa kami telah memecahkan masalah ini berulang jalan. Kata mengerikan ini hanya berarti pencarian anggota perkembangan sesuai dengan nomor sebelumnya (berdekatan). Kami akan melihat cara lain untuk bekerja dengan kemajuan di bawah.
Satu kesimpulan penting dapat diambil dari tugas sederhana ini.
Ingat:
Jika kita mengetahui setidaknya satu suku dan selisih suatu barisan aritmatika, kita dapat mencari suku apa pun dari barisan tersebut.
Apakah kamu ingat? Kesimpulan sederhana ini memungkinkan Anda memecahkan sebagian besar masalah kursus sekolah pada topik ini. Semua tugas berputar tiga utama parameter: anggota barisan aritmatika, selisih barisan, jumlah anggota barisan. Semua.
Tentu saja, semua aljabar sebelumnya tidak dibatalkan.) Pertidaksamaan, persamaan, dan hal-hal lain melekat pada perkembangan. Tetapi sesuai dengan perkembangan itu sendiri- semuanya berkisar pada tiga parameter.
Sebagai contoh, mari kita lihat beberapa tugas populer tentang topik ini.
2. Tulislah barisan aritmatika berhingga sebagai suatu deret jika n=5, d = 0,4, dan a 1 = 3,6.
Semuanya sederhana di sini. Semuanya sudah diberikan. Anda perlu mengingat bagaimana anggota suatu barisan aritmatika dihitung, dihitung, dan dituliskan. Dianjurkan untuk tidak melewatkan kata-kata dalam kondisi tugas: “final” dan “ n=5". Agar tidak dihitung sampai mukamu benar-benar membiru.) Anggota dalam perkembangan ini hanya ada 5 (lima) orang:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
sebuah 4 = sebuah 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
sebuah 5 = sebuah 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Tetap menuliskan jawabannya:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Tugas lain:
3. Tentukan apakah bilangan 7 termasuk anggota barisan aritmatika (an), jika sebuah 1 = 4.1; d = 1,2.
Hmm... Siapa yang tahu? Bagaimana cara menentukan sesuatu?
Bagaimana-bagaimana... Tuliskan perkembangannya dalam bentuk deret dan lihat apakah akan ada angka tujuh di sana atau tidak! Kami menghitung:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
sebuah 4 = sebuah 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Sekarang terlihat jelas bahwa kami baru berusia tujuh tahun lolos antara 6,5 dan 7,7! Tujuh tidak termasuk dalam rangkaian angka kami, dan oleh karena itu, tujuh tidak akan menjadi anggota perkembangan ini.
Jawaban: tidak.
Berikut masalah berdasarkan pilihan nyata GIA:
4. Dituliskan beberapa suku berurutan dari barisan aritmatika:
...; 15; X; 9; 6; ...
Ini adalah seri yang ditulis tanpa akhir dan awal. Tidak ada nomor anggota, tidak ada perbedaan D. Tidak apa-apa. Untuk menyelesaikan masalah tersebut, cukup memahami pengertian barisan aritmatika. Mari kita lihat dan lihat apa yang mungkin untuk mengetahui dari seri ini? Apa tiga parameter utama?
Nomor anggota? Tidak ada satu nomor pun di sini.
Tapi ada tiga angka dan - perhatian! - kata "konsisten" dalam kondisi. Artinya angka-angkanya berurutan, tanpa ada celah. Apakah ada dua di baris ini? berdekatan nomor yang diketahui? Ya, sudah! Ini adalah 9 dan 6. Oleh karena itu, kita dapat menghitung selisih barisan aritmatika! Kurangi dari enam sebelumnya nomor, yaitu sembilan:
Hanya ada hal-hal sepele yang tersisa. Nomor berapa yang sebelumnya untuk X? Limabelas. Artinya X dapat dengan mudah dicari dengan penjumlahan sederhana. Tambahkan selisih barisan aritmatika menjadi 15:
Itu saja. Menjawab: x=12
Kami memecahkan sendiri masalah berikut. Catatan: soal-soal ini tidak didasarkan pada rumus. Murni untuk memahami pengertian barisan aritmatika.) Kita tinggal menuliskan rangkaian angka dan huruf, melihat dan mencari tahu.
5. Tentukan suku positif pertama suatu barisan aritmatika jika a 5 = -3; d = 1.1.
6. Diketahui bilangan 5,5 merupakan anggota barisan aritmatika (an), dimana a 1 = 1,6; d = 1,3. Tentukan bilangan n anggota tersebut.
7. Diketahui pada barisan aritmatika a 2 = 4; sebuah 5 = 15.1. Temukan 3 .
8. Dituliskan beberapa suku berurutan dari barisan aritmatika:
...; 15.6; X; 3.4; ...
Tentukan suku barisan yang dilambangkan dengan huruf x.
9. Kereta mulai bergerak dari stasiun, kecepatannya meningkat secara merata sebesar 30 meter per menit. Berapa kecepatan kereta dalam lima menit? Berikan jawaban Anda dalam km/jam.
10. Diketahui bahwa pada barisan aritmatika a 2 = 5; sebuah 6 = -5. Temukan 1.
Jawaban (berantakan): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0,3; 4.
Apakah semuanya berhasil? Luar biasa! Anda dapat menguasai perkembangan aritmatika lebih lanjut tingkat tinggi, dalam pelajaran berikut.
Bukankah semuanya berhasil? Tidak masalah. Dalam Bagian Khusus 555, semua masalah ini diurutkan sepotong demi sepotong.) Dan, tentu saja, teknik praktis sederhana dijelaskan yang segera menyoroti solusi untuk tugas-tugas tersebut dengan jelas, jelas, sekilas!
Ngomong-ngomong, dalam teka-teki kereta api ada dua soal yang sering membuat orang tersandung. Yang pertama murni dalam hal perkembangan, dan yang kedua bersifat umum untuk semua masalah dalam matematika, dan juga fisika. Ini adalah terjemahan dimensi dari satu ke yang lain. Ini menunjukkan bagaimana mengatasi masalah ini.
Dalam pelajaran ini kita melihat arti dasar barisan aritmatika dan parameter utamanya. Ini cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah pada topik ini. Menambahkan D ke angka, tulis seri, semuanya akan terselesaikan.
Solusi jari bekerja dengan baik untuk potongan baris yang sangat pendek, seperti pada contoh dalam pelajaran ini. Jika deretnya lebih panjang maka perhitungannya menjadi lebih rumit. Misalnya saja pada soal 9 pada soal tersebut kita ganti "lima menit" pada "tiga puluh lima menit" masalahnya akan menjadi jauh lebih buruk.)
Dan ada juga tugas yang pada hakikatnya sederhana, namun tidak masuk akal dalam perhitungannya, misalnya:
Perkembangan aritmatika (an) diberikan. Tentukan a 121 jika a 1 =3 dan d=1/6.
Jadi apa, apakah kita akan menambahkan 1/6 berkali-kali?! Kamu bisa bunuh diri !?
Anda bisa.) Jika Anda tidak tahu rumus sederhana, yang memungkinkan Anda menyelesaikan tugas tersebut dalam satu menit. Rumus ini akan masuk pelajaran selanjutnya. Dan masalah ini terpecahkan di sana. Sebentar lagi.)
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.
Apa poin utama rumus?
Rumus ini memungkinkan Anda menemukannya setiap DENGAN NOMORNYA" N" .
Tentunya Anda juga perlu mengetahui istilah pertamanya sebuah 1 dan perbedaan perkembangan D, tanpa parameter ini Anda tidak dapat menuliskan perkembangan tertentu.
Menghafal (atau menuliskan) rumus ini saja tidak cukup. Anda perlu memahami esensinya dan menerapkan rumusnya dalam berbagai permasalahan. Dan jangan lupa masuk saat yang tepat, ya...) Bagaimana jangan lupa- Aku tidak tahu. Tetapi bagaimana cara mengingatnya Jika perlu, saya pasti akan menyarankan Anda. Bagi mereka yang menyelesaikan pelajaran sampai akhir.)
Jadi, mari kita lihat rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika.
Apa yang dimaksud dengan rumus secara umum? Ngomong-ngomong, lihatlah jika Anda belum membacanya. Semuanya sederhana di sana. Masih mencari tahu apa itu istilah ke-n.
Kemajuan secara umum dapat ditulis sebagai rangkaian angka:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
sebuah 1- menunjukkan suku pertama suatu barisan aritmatika, sebuah 3- anggota ketiga, sebuah 4- yang keempat, dan seterusnya. Jika kita tertarik pada suku kelima, katakanlah kita sedang mengerjakannya sebuah 5, jika seratus dua puluh - s sebuah 120.
Bagaimana kita bisa mendefinisikannya secara umum? setiap suku suatu barisan aritmatika, dengan setiap nomor? Sangat sederhana! Seperti ini:
sebuah
Ini dia suku ke-n suatu barisan aritmatika. Huruf n menyembunyikan semua nomor anggota sekaligus: 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.
Dan apa yang dapat kita peroleh dari catatan tersebut? Bayangkan saja, alih-alih menggunakan angka, mereka menulis surat...
Entri ini memberi kita alat yang ampuh untuk bekerja dengan perkembangan aritmatika. Menggunakan notasi sebuah, kita dapat dengan cepat menemukannya setiap anggota setiap perkembangan aritmatika. Dan menyelesaikan banyak masalah perkembangan lainnya. Anda akan melihat sendiri lebih jauh.
Rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika:
| sebuah = a 1 + (n-1)d |
sebuah 1- suku pertama suatu barisan aritmatika;
N- nomor anggota.
Rumusnya menghubungkan parameter utama dari setiap perkembangan: sebuah ; sebuah 1 ; D Dan N. Semua masalah perkembangan berkisar pada parameter ini.
Rumus suku ke-n juga dapat digunakan untuk menulis suatu barisan tertentu. Misalnya, soal mungkin mengatakan bahwa kemajuan ditentukan oleh kondisi:
sebuah = 5 + (n-1) 2.
Masalah seperti itu bisa jadi jalan buntu... Tidak ada deret atau perbedaan... Namun, membandingkan kondisi dengan rumus, mudah dipahami bahwa dalam perkembangan ini a 1 =5, dan d=2.
Dan itu bisa lebih buruk lagi!) Jika kita mengambil kondisi yang sama: sebuah = 5 + (n-1) 2, Ya, buka tanda kurung dan bawa yang serupa? Kami mengerti rumus baru:
sebuah = 3 + 2n.
Ini Bukan secara umum, tetapi untuk perkembangan yang spesifik. Di sinilah jebakannya mengintai. Beberapa orang mengira suku pertama adalah angka tiga. Padahal kenyataannya suku pertama adalah lima... Sedikit lebih rendah kita akan bekerja dengan rumus yang dimodifikasi.
Dalam masalah perkembangan ada notasi lain - sebuah n+1. Seperti yang Anda duga, ini adalah suku “n plus pertama” dari perkembangan tersebut. Artinya sederhana dan tidak berbahaya.) Ini adalah anggota barisan yang jumlahnya lebih besar dari bilangan n per satu. Misalnya saja jika dalam suatu permasalahan kita ambil sebuah semester kelima kalau begitu sebuah n+1 akan menjadi anggota keenam. Dan sejenisnya.
Paling sering sebutannya sebuah n+1 ditemukan dalam rumus perulangan. Jangan takut dengan ini kata yang buruk!) Ini hanyalah cara untuk menyatakan anggota barisan aritmatika melalui yang sebelumnya. Katakanlah kita diberikan suatu perkembangan aritmatika dalam bentuk ini, menggunakan rumus berulang:
sebuah+1 = sebuah+3
sebuah 2 = sebuah 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Yang keempat sampai yang ketiga, yang kelima sampai yang keempat, dan seterusnya. Bagaimana kita bisa langsung menghitung, katakanlah, suku kedua puluh? sebuah 20? Tapi tidak mungkin!) Sampai kita mengetahui suku ke-19, kita tidak dapat menghitung suku ke-20. Ini dia perbedaan mendasar rumus berulang dari rumus suku ke-n. Berulang hanya berfungsi melalui sebelumnya suku, dan rumus suku ke-n adalah lewat Pertama dan memungkinkan lurus temukan anggota mana pun berdasarkan nomornya. Tanpa menghitung seluruh rangkaian angka secara berurutan.
Dalam perkembangan aritmatika rumus kekambuhan mudah diubah menjadi biasa. Hitunglah sepasang suku yang berurutan, hitung selisihnya D, temukan, jika perlu, suku pertama sebuah 1, tulis rumusnya di dalam bentuk biasa, dan bekerja dengannya. Di Akademi Ilmu Pengetahuan Negeri, tugas seperti itu sering dijumpai.
Penerapan rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika.
Pertama, mari kita lihat aplikasi langsung rumus. Di akhir pelajaran sebelumnya ada masalah:
Perkembangan aritmatika (an) diberikan. Tentukan a 121 jika a 1 =3 dan d=1/6.
Soal ini dapat diselesaikan tanpa rumus apa pun, hanya berdasarkan arti barisan aritmatika. Tambahkan dan tambahkan... Satu atau dua jam.)
Dan menurut rumusnya, penyelesaiannya akan memakan waktu kurang dari satu menit. Anda dapat mengatur waktunya.) Mari kita putuskan.
Kondisi menyediakan semua data untuk menggunakan rumus: sebuah 1 =3, d=1/6. Masih mencari tahu apa yang setara N. Tidak ada pertanyaan! Kita perlu menemukannya sebuah 121. Jadi kami menulis:
Mohon perhatiannya! Alih-alih indeks N nomor tertentu muncul: 121. Yang cukup logis.) Kami tertarik pada anggota perkembangan aritmatika nomor seratus dua puluh satu. Ini akan menjadi milik kita N. Inilah artinya N= 121 kita substitusikan lebih jauh ke dalam rumus, dalam tanda kurung. Kami mengganti semua angka ke dalam rumus dan menghitung:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Itu saja. Dengan cepat seseorang dapat menemukan suku kelima ratus sepuluh, dan suku seribu tiga, suku mana saja. Kami menempatkannya sebagai gantinya N nomor yang diinginkan pada indeks huruf " A" dan dalam tanda kurung, dan kami menghitungnya.
Izinkan saya mengingatkan Anda intinya: rumus ini memungkinkan Anda menemukannya setiap istilah perkembangan aritmatika DENGAN NOMORNYA" N" .
Mari kita selesaikan masalah ini dengan cara yang lebih licik. Mari kita hadapi masalah berikut:
Tentukan suku pertama barisan aritmatika (an), jika a 17 =-2; d=-0,5.
Jika Anda mengalami kesulitan, saya akan memberi tahu Anda langkah pertama. Tuliskan rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika! Ya ya. Tuliskan dengan tangan Anda, tepat di buku catatan Anda:
| sebuah = a 1 + (n-1)d |
Dan sekarang, dengan melihat huruf-huruf rumusnya, kita memahami data apa yang kita miliki dan apa yang hilang? Tersedia d=-0,5, ada anggota ketujuh belas... Begitukah? Kalau kamu berpikir hanya itu, maka kamu tidak akan menyelesaikan masalah ya...
Kami masih memiliki nomornya N! Dalam kondisi sebuah 17 =-2 tersembunyi dua parameter. Ini adalah nilai suku ketujuh belas (-2) dan bilangannya (17). Itu. n=17.“Hal sepele” ini sering kali luput dari perhatian, dan tanpanya, (tanpa “hal sepele”, bukan kepala!) masalah tidak dapat diselesaikan. Meskipun... dan tanpa kepala juga.)
Sekarang kita bisa dengan bodohnya mengganti data kita ke dalam rumus:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Oh ya, sebuah 17 kita tahu itu -2. Oke, mari kita gantikan:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Pada dasarnya itu saja. Tetap menyatakan suku pertama barisan aritmatika dari rumus dan menghitungnya. Jawabannya adalah: sebuah 1 = 6.
Teknik ini - menuliskan rumus dan mengganti data yang diketahui - sangat membantu tugas-tugas sederhana. Ya, tentu saja Anda harus bisa mengekspresikan suatu variabel dari rumus, tapi apa yang harus dilakukan!? Tanpa keterampilan ini, Anda mungkin tidak belajar matematika sama sekali...
Teka-teki populer lainnya:
Tentukan selisih barisan aritmatika (an), jika a 1 =2; sebuah 15 =12.
Apa yang kita lakukan? Anda akan terkejut, kami sedang menulis rumusnya!)
| sebuah = a 1 + (n-1)d |
Mari pertimbangkan apa yang kita ketahui: sebuah 1 =2; sebuah 15 =12; dan (saya akan menyoroti secara khusus!) n=15. Jangan ragu untuk menggantinya ke dalam rumus:
12=2 + (15-1)d
Kami melakukan aritmatika.)
12=2 + 14d
D=10/14 = 5/7
Ini adalah jawaban yang benar.
Jadi, tugas untuk sebuah, sebuah 1 Dan D diputuskan. Yang tersisa hanyalah mempelajari cara menemukan nomor tersebut:
Bilangan 99 merupakan anggota barisan aritmatika (an), dimana a 1 =12; d=3. Temukan nomor anggota ini.
Kita substitusikan besaran-besaran yang kita ketahui ke dalam rumus suku ke-n:
dan = 12 + (n-1) 3
Sekilas, ada dua besaran yang tidak diketahui di sini: sebuah n dan n. Tetapi sebuah- ini adalah beberapa anggota perkembangan dengan nomor N...Dan kita tahu anggota perkembangan ini! Angkanya 99. Kami tidak tahu nomornya. N, Jadi nomor inilah yang perlu Anda temukan. Suku deret 99 kita substitusikan ke dalam rumus:
99 = 12 + (n-1) 3
Kami mengungkapkan dari rumus N, menurut kami. Kami mendapatkan jawabannya: n=30.
Dan sekarang soal dengan topik yang sama, tetapi lebih kreatif):
Tentukan apakah bilangan 117 termasuk anggota barisan aritmatika (an):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Mari kita tulis rumusnya lagi. Apa, tidak ada parameternya? Hm... Kenapa kita diberi mata?) Apakah kita melihat suku pertama dari perkembangannya? Kami mengerti. Ini -3.6. Anda dapat dengan aman menulis: sebuah 1 = -3,6. Perbedaan D dapatkah kamu menentukan dari suatu rangkaian? Mudahnya jika Anda mengetahui apa perbedaan barisan aritmatika:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Jadi, kami melakukan hal yang paling sederhana. Masih harus ditangani nomor tak dikenal N dan angka 117 yang tidak bisa dipahami. Pada soal sebelumnya, setidaknya diketahui istilah perkembangan yang diberikan. Tapi di sini kita bahkan tidak tahu... Apa yang harus dilakukan!? Nah, apa yang harus dilakukan, apa yang harus dilakukan... Nyalakan kreativitas!)
Kami memperkirakan bahwa 117 adalah bagian dari kemajuan kita. Dengan nomor tak dikenal N. Dan, seperti pada soal sebelumnya, mari kita coba mencari nomor ini. Itu. kami menulis rumusnya (ya, ya!)) dan mengganti nomor kami:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Sekali lagi kita ungkapkan dari rumusN, kami menghitung dan mendapatkan:
Ups! Nomornya ternyata pecahan! Seratus satu setengah. Dan bilangan pecahan dalam perkembangannya tidak terjadi. Kesimpulan apa yang bisa kita ambil? Ya! Nomor 117 tidak anggota kemajuan kita. Itu berada di antara suku keseratus pertama dan keseratus kedua. Jika bilangan tersebut ternyata natural, mis. adalah bilangan bulat positif, maka bilangan tersebut merupakan anggota barisan dengan bilangan yang ditemukan. Dan dalam kasus kami, jawaban atas masalahnya adalah: TIDAK.
Tugas berdasarkan versi GIA yang sebenarnya:
Perkembangan aritmatika diberikan oleh kondisi:
sebuah = -4 + 6,8n
Temukan suku pertama dan kesepuluh dari perkembangan tersebut.
Di sini perkembangannya diatur dengan cara yang tidak biasa. Semacam rumus... Itu terjadi.) Namun, rumus ini (seperti yang saya tulis di atas) - juga rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika! Dia juga mengizinkan temukan anggota perkembangan mana pun berdasarkan nomornya.
Kami sedang mencari anggota pertama. Orang yang berpikir. bahwa suku pertama dikurangi empat adalah kesalahan fatal!) Karena rumus dalam soal telah diubah. Suku pertama barisan aritmatika di dalamnya tersembunyi. Tidak apa-apa, kita akan menemukannya sekarang.)
Sama seperti pada soal sebelumnya, kita melakukan substitusi n=1 V rumus ini:
a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8
Di Sini! Suku pertama adalah 2,8, bukan -4!
Kami mencari suku kesepuluh dengan cara yang sama:
a 10 = -4 + 6,8 10 = 64
Itu saja.
Dan sekarang, bagi mereka yang telah membaca baris-baris ini, bonus yang dijanjikan.)
Misalkan dalam situasi pertempuran yang sulit, Ujian Negara atau Ujian Negara Bersatu, Anda lupa rumus yang berguna suku ke-n suatu barisan aritmatika. Saya ingat sesuatu, tapi entah kenapa ragu-ragu... Atau N di sana, atau n+1, atau n-1... Bagaimana menjadi!?
Tenang! Rumus ini mudah diturunkan. Tidak terlalu ketat, tapi untuk percaya diri dan keputusan yang tepat cukup pasti!) Untuk menarik kesimpulan, cukup mengingat makna dasar barisan aritmatika dan memiliki waktu beberapa menit. Anda hanya perlu menggambar. Untuk kejelasan.
Gambarlah garis bilangan dan tandai garis pertama di atasnya. kedua, ketiga, dan seterusnya. anggota. Dan kami mencatat perbedaannya D antar anggota. Seperti ini:
Kita melihat gambarnya dan berpikir: apa persamaan suku kedua? Kedua satu D:
A 2 =a 1 + 1 D
Apa istilah ketiga? Ketiga suku sama dengan suku pertama ditambah dua D.
A 3 =a 1 + 2 D
Apakah kamu mengerti? Bukan tanpa alasan saya menyoroti beberapa kata dalam huruf tebal. Oke, satu langkah lagi).
Apa suku keempat? Keempat suku sama dengan suku pertama ditambah tiga D.
A 4 =a 1 + 3 D
Saatnya untuk menyadari bahwa jumlah kesenjangan, yaitu. D, Selalu kurang satu dari jumlah anggota yang Anda cari N. Artinya, ke nomor tersebut n, jumlah spasi akan n-1. Oleh karena itu, rumusnya adalah (tanpa variasi!):
| sebuah = a 1 + (n-1)d |
Secara umum gambar visual sangat membantu dalam memecahkan banyak permasalahan dalam matematika. Jangan abaikan gambarnya. Tetapi jika menggambarnya sulit, maka... hanya rumus!) Selain itu, rumus suku ke-n memungkinkan Anda menghubungkan seluruh persenjataan matematika yang kuat ke solusinya - persamaan, pertidaksamaan, sistem, dll. Anda tidak dapat memasukkan gambar ke dalam persamaan...
Tugas untuk solusi mandiri.
Untuk pemanasan:
1. Dalam perkembangan aritmatika (an) a 2 =3; sebuah 5 =5.1. Temukan 3 .
Petunjuk: sesuai gambar, soal dapat diselesaikan dalam waktu 20 detik... Menurut rumusnya ternyata lebih sulit. Tapi untuk menguasai rumusnya lebih bermanfaat.) Di Bagian 555, soal ini diselesaikan dengan menggunakan gambar dan rumus. Rasakan perbedaannya!)
Dan ini bukan lagi pemanasan.)
2. Dalam barisan aritmatika (an) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Temukan a 3 .
Apa, kamu tidak ingin menggambar?) Tentu saja! Lebih baik sesuai rumusnya ya..
3. Perkembangan aritmatika diberikan oleh kondisi:sebuah 1 = -5,5; sebuah+1 = sebuah+0,5. Tentukan suku keseratus dua puluh lima dari perkembangan ini.
Dalam tugas ini, perkembangannya ditentukan secara berulang. Tapi menghitung sampai suku keseratus dua puluh lima... Tidak semua orang mampu melakukan hal seperti itu.) Tapi rumus suku ke-n ada dalam kekuatan semua orang!
4. Diketahui barisan aritmatika (an):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Tentukan bilangan suku positif terkecil dari barisan tersebut.
5. Berdasarkan ketentuan tugas 4, tentukan jumlah suku positif terkecil dan suku negatif terbesar dari barisan tersebut.
6. Hasil kali suku kelima dan kedua belas suatu barisan aritmatika meningkat adalah -2,5, dan jumlah suku ketiga dan kesebelas adalah nol. Temukan 14 .
Bukan tugas yang termudah, ya...) Metode “ujung jari” tidak akan berfungsi di sini. Anda harus menulis rumus dan menyelesaikan persamaan.
Jawaban (berantakan):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Apakah itu berhasil? Itu bagus!)
Tidak semuanya berhasil? Terjadi. Omong-omong, ada satu poin halus dalam tugas terakhir. Diperlukan kehati-hatian saat membaca soal. Dan logika.
Solusi untuk semua masalah ini dibahas secara rinci di Bagian 555. Dan elemen fantasi untuk yang keempat, dan poin halus untuk yang keenam, dan pendekatan umum untuk memecahkan masalah apa pun yang melibatkan rumus suku ke-n - semuanya dijelaskan. Saya merekomendasikannya.
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.
Misalnya, barisan \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... merupakan barisan aritmatika karena masing-masing elemen berikutnya berbeda dari yang sebelumnya sebanyak tiga (dapat diperoleh dari yang sebelumnya dengan menambahkan tiga):
Pada deret ini, selisih \(d\) adalah positif (sama dengan \(3\)), sehingga setiap suku berikutnya lebih besar dari suku sebelumnya. Perkembangan seperti ini disebut meningkat.
Namun, \(d\) juga bisa angka negatif. Misalnya, dalam barisan aritmatika \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... selisih perkembangan \(d\) sama dengan minus enam.
Dan dalam hal ini, setiap elemen berikutnya akan lebih kecil dari elemen sebelumnya. Kemajuan ini disebut menurun.
Notasi perkembangan aritmatika
Kemajuan ditunjukkan dengan huruf Latin kecil.
Bilangan yang membentuk barisan disebut anggota(atau elemen).
Mereka dilambangkan dengan huruf yang sama dengan barisan aritmatika, tetapi dengan indeks numerik yang sama dengan jumlah elemen secara berurutan.
Misalnya, barisan aritmatika \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) terdiri dari elemen \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) dan seterusnya.
Dengan kata lain, untuk perkembangan \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Memecahkan masalah perkembangan aritmatika
Pada prinsipnya, informasi yang disajikan di atas sudah cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah perkembangan aritmatika (termasuk yang ditawarkan di OGE).
Contoh (OGE).
Perkembangan aritmatika ditentukan oleh kondisi \(b_1=7; d=4\). Temukan \(b_5\).
Larutan:
Menjawab: \(b_5=23\)
Contoh (OGE).
Diketahui tiga suku pertama suatu barisan aritmatika: \(62; 49; 36…\) Tentukan nilai suku negatif pertama barisan tersebut..
Larutan:
|
Kita diberikan elemen pertama dari barisan tersebut dan mengetahui bahwa itu adalah barisan aritmatika. Artinya, setiap unsur berbeda satu sama lain dengan bilangan yang sama. Mari kita cari tahu yang mana dengan mengurangkan elemen sebelumnya dari elemen berikutnya: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Sekarang kita dapat mengembalikan perkembangan kita ke elemen (negatif pertama) yang kita perlukan. |
|
|
Siap. Anda dapat menulis jawabannya. |
Menjawab: \(-3\)
Contoh (OGE).
Diberikan beberapa elemen barisan aritmatika yang berurutan: \(…5; x; 10; 12.5...\) Tentukan nilai elemen yang diberi tanda huruf \(x\).
Larutan:
|
|
Untuk mencari \(x\), kita perlu mengetahui seberapa besar perbedaan elemen berikutnya dengan elemen sebelumnya, dengan kata lain, selisih perkembangannya. Mari kita cari dari dua elemen bertetangga yang diketahui: \(d=12.5-10=2.5\). |
|
|
Dan sekarang kita dapat dengan mudah menemukan apa yang kita cari: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
Siap. Anda dapat menulis jawabannya. |
Menjawab: \(7,5\).
Contoh (OGE).
Perkembangan aritmatika ditentukan oleh kondisi berikut: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Tentukan jumlah enam suku pertama barisan ini.
Larutan:
|
Kita perlu mencari jumlah enam suku pertama dari perkembangan tersebut. Namun kita tidak mengetahui maknanya; kita hanya diberikan elemen pertama. Oleh karena itu, pertama-tama kita menghitung nilainya satu per satu, menggunakan apa yang diberikan kepada kita: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Jumlah yang dibutuhkan telah ditemukan. |
Menjawab: \(S_6=9\).
Contoh (OGE).
Dalam perkembangan aritmatika \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Temukan perbedaan dari perkembangan ini.
Larutan:
Menjawab: \(d=7\).
Rumus penting untuk perkembangan aritmatika
Seperti yang Anda lihat, banyak masalah pada perkembangan aritmatika dapat diselesaikan hanya dengan memahami hal utama - bahwa perkembangan aritmatika adalah rantai angka, dan setiap elemen berikutnya dalam rantai ini diperoleh dengan menambahkan angka yang sama ke yang sebelumnya (the perbedaan kemajuan).
Namun, terkadang ada situasi di mana memutuskan “langsung” sangatlah merepotkan. Misalnya, bayangkan pada contoh pertama kita tidak perlu mencari elemen kelima \(b_5\), melainkan elemen ketiga ratus delapan puluh enam \(b_(386)\). Apakah kita perlu menambahkan empat \(385\) kali? Atau bayangkan dalam contoh kedua dari belakang Anda perlu mencari jumlah tujuh puluh tiga elemen pertama. Anda akan bosan menghitung...
Oleh karena itu, dalam kasus seperti itu mereka tidak menyelesaikan masalah secara “langsung”, tetapi menggunakan rumus khusus yang diturunkan untuk perkembangan aritmatika. Dan yang utama adalah rumus suku ke-n barisan tersebut dan rumus jumlah suku pertama \(n\).
Rumus suku ke-\(n\): \(a_n=a_1+(n-1)d\), dengan \(a_1\) adalah suku pertama dari barisan tersebut;
\(n\) – jumlah elemen yang dibutuhkan;
\(a_n\) – suku barisan dengan bilangan \(n\).
Rumus ini memungkinkan kita dengan cepat menemukan elemen ketiga ratus atau sejuta, hanya mengetahui elemen pertama dan perbedaan perkembangannya.
Contoh.
Perkembangan aritmatika ditentukan oleh kondisi: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). Temukan \(b_(246)\).
Larutan:
Menjawab: \(b_(246)=1850\).
Rumus jumlah n suku pertama: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), di mana
\(a_n\) – suku terakhir yang dijumlahkan;
Contoh (OGE).
Perkembangan aritmatika ditentukan oleh kondisi \(a_n=3.4n-0.6\). Tentukan jumlah suku \(25\) pertama dari barisan tersebut.
Larutan:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Untuk menghitung jumlah dua puluh lima suku pertama, kita perlu mengetahui nilai suku pertama dan kedua puluh lima. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\) |
Sekarang mari kita cari suku ke dua puluh lima dengan mensubstitusikan dua puluh lima ke dalam \(n\). |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\) |
Nah, sekarang kita bisa dengan mudah menghitung jumlah yang dibutuhkan. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Jawabannya sudah siap. |
Menjawab: \(S_(25)=1090\).
Untuk jumlah \(n\) suku pertama, kamu bisa mendapatkan rumus lain: kamu hanya perlu \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) alih-alih \(a_n\) gantikan rumusnya dengan \(a_n=a_1+(n-1)d\). Kami mendapatkan:
Rumus jumlah n suku pertama: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), di mana
\(S_n\) – jumlah yang diperlukan dari \(n\) elemen pertama;
\(a_1\) – suku pertama yang dijumlahkan;
\(d\) – perbedaan perkembangan;
\(n\) – jumlah elemen dalam jumlah.
Contoh.
Tentukan jumlah suku \(33\)-ex pertama dari barisan aritmetika: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
Larutan:
Menjawab: \(S_(33)=-231\).
Masalah perkembangan aritmatika yang lebih kompleks
Sekarang Anda memiliki semua informasi yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan hampir semua masalah perkembangan aritmatika. Mari kita selesaikan topik ini dengan mempertimbangkan masalah di mana Anda tidak hanya perlu menerapkan rumus, tetapi juga berpikir sedikit (dalam matematika ini bisa berguna ☺)
Contoh (OGE).
Tentukan jumlah semua suku negatif dari barisan tersebut: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Larutan:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Tugasnya sangat mirip dengan yang sebelumnya. Kita mulai menyelesaikan hal yang sama: pertama kita temukan \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
Sekarang saya ingin mengganti \(d\) ke dalam rumus jumlah... dan di sini muncul sedikit perbedaan - kita tidak tahu \(n\). Dengan kata lain, kita tidak tahu berapa banyak istilah yang perlu ditambahkan. Bagaimana cara mengetahuinya? Mari kita berpikir. Kami akan berhenti menambahkan elemen ketika kami mencapai elemen positif pertama. Artinya, Anda perlu mengetahui jumlah elemen ini. Bagaimana? Mari kita tuliskan rumus untuk menghitung elemen apa pun dari barisan aritmatika: \(a_n=a_1+(n-1)d\) untuk kasus kita. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\) |
Kita perlu \(a_n\) menjadi lebih besar dari nol. Mari kita cari tahu pada \(n\) hal ini akan terjadi. |
|
|
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\) |
||
|
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\) |
Kita membagi kedua ruas pertidaksamaan dengan \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) |
Kita transfer minus satu, tak lupa ganti tandanya |
|
|
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Mari kita hitung... |
|
|
\(n>65.333…\) |
...dan ternyata unsur positif pertama mempunyai bilangan \(66\). Oleh karena itu, negatif terakhir memiliki \(n=65\). Untuk berjaga-jaga, mari kita periksa ini. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) |
Jadi kita perlu menambahkan elemen \(65\) pertama. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Jawabannya sudah siap. |
Menjawab: \(S_(65)=-630,5\).
Contoh (OGE).
Perkembangan aritmatika ditentukan oleh kondisi: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Temukan jumlah dari elemen \(26\) hingga \(42\) inklusif.
Larutan:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Dalam soal ini Anda juga perlu mencari jumlah elemen, tetapi tidak dimulai dari yang pertama, tetapi dari \(26\). Untuk kasus seperti ini kami tidak mempunyai rumusnya. Bagaimana cara memutuskan? |
|
|
Untuk perkembangan kita \(a_1=-33\), dan selisih \(d=4\) (bagaimanapun juga, kita menambahkan empat ke elemen sebelumnya untuk mencari elemen berikutnya). Mengetahui hal ini, kita mencari jumlah elemen \(42\)-y pertama. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Sekarang jumlah elemen \(25\) pertama. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
Dan terakhir, kami menghitung jawabannya. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Menjawab: \(S=1683\).
Untuk perkembangan aritmatika, ada beberapa rumus lagi yang tidak kami bahas dalam artikel ini karena rendahnya kegunaan praktisnya. Namun, Anda dapat menemukannya dengan mudah.
Kalkulator daring.
Menyelesaikan perkembangan aritmatika.
Diketahui: a n , d, n
Temukan: a 1
Ini program matematika menemukan \(a_1\) dari perkembangan aritmatika berdasarkan angka yang ditentukan pengguna \(a_n, d\) dan \(n\).
Angka \(a_n\) dan \(d\) dapat ditentukan tidak hanya sebagai bilangan bulat, tetapi juga sebagai pecahan. Lebih-lebih lagi, bilangan pecahan dapat dimasukkan sebagai pecahan desimal (\(2.5\)) dan sebagai pecahan biasa(\(-5\frac(2)(7)\)).
Program ini tidak hanya memberikan jawaban atas permasalahan, tetapi juga menampilkan proses pencarian solusi.
Kalkulator online ini mungkin berguna bagi siswa sekolah menengah sekolah menengah dalam persiapan untuk tes dan ujian, saat menguji pengetahuan sebelum Ujian Negara Bersatu, bagi orang tua untuk mengontrol penyelesaian banyak masalah dalam matematika dan aljabar. Atau mungkin terlalu mahal bagi Anda untuk menyewa seorang tutor atau membeli buku pelajaran baru? Atau apakah Anda hanya ingin menyelesaikannya secepat mungkin? pekerjaan rumah
dalam matematika atau aljabar? Dalam hal ini, Anda juga dapat menggunakan program kami dengan solusi terperinci.
Dengan demikian, Anda dapat melakukan pembinaan sendiri dan/atau pembinaan adik-adik Anda, sehingga tingkat pendidikan di bidang pemecahan masalah semakin meningkat.
Jika Anda belum memahami aturan memasukkan angka, kami sarankan Anda membiasakan diri dengannya.
Angka \(a_n\) dan \(d\) dapat ditentukan tidak hanya sebagai bilangan bulat, tetapi juga sebagai pecahan.
Bilangan \(n\) hanya boleh berupa bilangan bulat positif.
Aturan untuk memasukkan pecahan desimal.
Bagian bilangan bulat dan pecahan dalam pecahan desimal dapat dipisahkan dengan titik atau koma.
Misalnya, Anda bisa masuk desimal jadi 2,5 atau lebih 2,5
Aturan memasukkan pecahan biasa.
Hanya bilangan bulat yang dapat bertindak sebagai pembilang, penyebut, dan bagian bilangan bulat suatu pecahan.
Penyebutnya tidak boleh negatif.
Saat memasukkan pecahan numerik, pembilangnya dipisahkan dari penyebutnya dengan tanda pembagian: /
Masukan:
Hasil: \(-\frac(2)(3)\)
Seluruh bagian dipisahkan dari pecahan dengan tanda ampersand: &
Masukan:
Hasil: \(-1\frac(2)(3)\)
Ditemukan bahwa beberapa skrip yang diperlukan untuk mengatasi masalah ini tidak dimuat, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin mengaktifkan AdBlock.
Dalam hal ini, nonaktifkan dan segarkan halaman.
Agar solusinya muncul, Anda perlu mengaktifkan JavaScript.
Berikut adalah petunjuk tentang cara mengaktifkan JavaScript di browser Anda.
Karena Ada banyak orang yang bersedia menyelesaikan masalah, permintaan Anda telah diantri.
Dalam beberapa detik solusinya akan muncul di bawah.
Harap tunggu detik...
Jika kamu melihat kesalahan dalam solusi, lalu Anda dapat menulis tentang hal ini di Formulir Masukan.
Jangan lupa menunjukkan tugas yang mana Anda memutuskan apa masuk ke dalam kolom.
Game, teka-teki, emulator kami:
Sedikit teori.
Urutan nomor
Penomoran sering digunakan dalam praktek sehari-hari berbagai item untuk menunjukkan urutan kemunculannya. Misalnya, rumah-rumah di setiap jalan diberi nomor. Di perpustakaan, langganan pembaca diberi nomor dan kemudian disusun sesuai urutan nomor yang ditetapkan dalam file kartu khusus.
Di bank tabungan, dengan menggunakan nomor rekening pribadi penyimpan, Anda dapat dengan mudah menemukan rekening ini dan melihat simpanan apa yang ada di dalamnya. Misalkan akun No. 1 berisi deposit a1 rubel, akun No. 2 berisi deposit a2 rubel, dst. Ternyata urutan nomor
sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , ..., sebuah N
dimana N adalah jumlah semua akun. Di sini, setiap bilangan asli n dari 1 sampai N dikaitkan dengan bilangan a n.
Juga belajar matematika barisan bilangan tak terhingga:
sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , ..., sebuah , ... .
Angka a 1 dipanggil suku pertama barisan tersebut, nomor a 2 - suku kedua barisan tersebut, nomor a 3 - suku ketiga barisan tersebut dll.
Nomor a n dipanggil anggota barisan ke-n (ke-n)., dan bilangan asli n adalah bilangan tersebut nomor.
Misalnya pada barisan kuadrat bilangan asli 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... dan 1 = 1 adalah suku pertama barisan tersebut; dan n = n 2 adalah suku ke-n barisan tersebut; a n+1 = (n + 1) 2 adalah suku ke (n + 1)(n ditambah pertama) barisan tersebut. Seringkali suatu barisan dapat ditentukan dengan rumus suku ke-nnya. Misalnya, rumus \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) mendefinisikan barisan \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \titik,\frac(1)(n) , \titik \)
Perkembangan aritmatika
Panjang satu tahun kurang lebih 365 hari. Lagi nilai yang tepat sama dengan \(365\frac(1)(4)\) hari, jadi setiap empat tahun kesalahan satu hari terakumulasi.
Untuk mengatasi kesalahan ini, satu hari ditambahkan pada setiap tahun keempat, dan tahun yang diperpanjang disebut tahun kabisat.
Misalnya pada milenium ketiga tahun kabisat adalah tahun 2004, 2008, 2012, 2016, ... .
Dalam barisan ini, setiap suku mulai dari suku kedua sama dengan suku sebelumnya, dijumlahkan dengan bilangan yang sama 4. Barisan seperti itu disebut perkembangan aritmatika.
Definisi.
Barisan bilangan a 1, a 2, a 3, ..., an, ... disebut perkembangan aritmatika, jika untuk semua alam n persamaan
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
di mana d adalah suatu bilangan.
Dari rumus ini dapat disimpulkan bahwa a n+1 - an = d. Angka d disebut selisih perkembangan aritmatika.
Menurut definisi barisan aritmatika, kita mempunyai:
\(a_(n+1)=a_n+d, \kuad a_(n-1)=a_n-d, \)
Di mana
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), dimana \(n>1 \)
Jadi, setiap suku suatu barisan aritmatika, mulai dari suku kedua, sama dengan rata-rata aritmatika dari dua suku yang berdekatan. Ini menjelaskan nama perkembangan "aritmatika".
Perhatikan bahwa jika a 1 dan d diberikan, maka sisa suku dari barisan aritmatika tersebut dapat dihitung menggunakan rumus berulang a n+1 = an + d. Dengan cara ini tidak sulit untuk menghitung beberapa suku pertama perkembangannya, namun misalnya angka 100 sudah memerlukan banyak perhitungan. Biasanya, rumus suku ke-n digunakan untuk ini. Menurut definisi perkembangan aritmatika
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
dll.
Sama sekali,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
karena suku ke-n suatu barisan aritmatika diperoleh dari suku pertama dengan menjumlahkan (n-1) dikalikan bilangan d.
Rumus ini disebut rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika.
Jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika
Temukan jumlah semua bilangan asli dari 1 hingga 100.
Mari kita tulis jumlah ini dengan dua cara:
S = aku + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Mari kita tambahkan persamaan ini suku demi suku:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Jumlah ini memiliki 100 suku
Jadi 2S = 101*100, maka S = 101*50 = 5050.
Sekarang mari kita perhatikan perkembangan aritmatika sembarang
sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , ..., sebuah , ...
Misalkan S n adalah jumlah n suku pertama barisan ini:
S n = sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , ..., sebuah n
Kemudian jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika adalah sama dengan
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
Karena \(a_n=a_1+(n-1)d\), lalu mengganti n dalam rumus ini kita mendapatkan rumus lain untuk mencari jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
