Dalam perkembangan aritmatika diketahui bahwa. Cara mencari selisih barisan aritmatika. Syarat perkembangan dan rumus perulangan

Ya, ya: perkembangan aritmatika bukanlah mainan untuk Anda :)

Baiklah teman-teman, jika Anda membaca teks ini, maka bukti batas internal memberi tahu saya bahwa Anda belum tahu apa itu barisan aritmatika, tetapi Anda benar-benar (tidak, seperti ini: SANGAT!) ingin tahu. Oleh karena itu, saya tidak akan menyiksa Anda dengan perkenalan yang panjang dan akan langsung ke pokok permasalahan.

Pertama, beberapa contoh. Mari kita lihat beberapa kumpulan angka:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Apa kesamaan dari semua rangkaian ini? Sekilas, tidak ada apa-apa. Namun sebenarnya ada sesuatu. Yaitu: setiap elemen berikutnya berbeda dari yang sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Nilailah sendiri. Set pertama hanyalah angka-angka yang berurutan, setiap set berikutnya lebih banyak satu dari yang sebelumnya. Dalam kasus kedua, selisih angka-angka yang berdekatan sudah lima, tetapi selisihnya tetap konstan. Dalam kasus ketiga, tidak ada akar sama sekali. Namun, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dan $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, yaitu dan dalam hal ini, setiap elemen berikutnya hanya bertambah sebesar $\sqrt(2)$ (dan jangan takut bahwa angka ini tidak rasional).

Jadi: semua barisan seperti itu disebut barisan aritmatika. Mari kita berikan definisi yang tegas:

Definisi. Barisan bilangan yang setiap bilangan berikutnya berbeda dengan bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama persis disebut barisan aritmatika. Besarnya perbedaan angka-angka tersebut disebut selisih perkembangan dan paling sering dilambangkan dengan huruf $d$.

Notasi: $\left(((a)_(n)) \right)$ adalah perkembangannya sendiri, $d$ adalah selisihnya.

Dan hanya beberapa catatan penting. Pertama, kemajuan hanya dipertimbangkan dipesan urutan angka: angka-angka tersebut boleh dibaca secara ketat sesuai urutan penulisannya - dan tidak ada yang lain. Nomor tidak dapat diatur ulang atau ditukar.

Kedua, barisan itu sendiri bisa berhingga atau tak terhingga. Misalnya, himpunan (1; 2; 3) jelas merupakan barisan aritmatika berhingga. Tetapi jika Anda menulis sesuatu dalam semangat (1; 2; 3; 4; ...) - ini sudah terjadi kemajuan tanpa akhir. Elipsis setelah angka empat sepertinya mengisyaratkan bahwa masih ada beberapa angka lagi yang akan datang. Banyak sekali, misalnya. :)

Saya juga ingin mencatat bahwa kemajuan dapat meningkat atau menurun. Kita telah melihat peningkatan - himpunan yang sama (1; 2; 3; 4; ...). Berikut adalah contoh perkembangan yang menurun:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Oke oke: contoh terakhir mungkin tampak terlalu rumit. Tapi selebihnya, saya rasa, Anda mengerti. Oleh karena itu, kami memperkenalkan definisi baru:

Definisi. Perkembangan aritmatika disebut:

meningkat jika setiap elemen berikutnya lebih besar dari elemen sebelumnya;

menurun jika, sebaliknya, setiap elemen berikutnya lebih kecil dari elemen sebelumnya.

Selain itu, ada yang disebut barisan "stasioner" - barisan tersebut terdiri dari bilangan berulang yang sama. Misalnya, (3; 3; 3; ...).

Hanya satu pertanyaan yang tersisa: bagaimana membedakan kemajuan yang meningkat dan kemajuan yang menurun? Untungnya, semuanya di sini hanya bergantung pada tanda angka $d$, mis. perbedaan perkembangan:

Jika $d \gt 0$, maka perkembangannya meningkat;
Jika $d \lt 0$, maka perkembangannya jelas menurun;
Terakhir, ada kasus $d=0$ - dalam hal ini seluruh perkembangan direduksi menjadi barisan stasioner dari angka-angka identik: (1; 1; 1; 1; ...), dll.

Mari kita coba menghitung selisih $d$ untuk tiga perkembangan menurun yang diberikan di atas. Untuk melakukan ini, cukup dengan mengambil dua elemen yang berdekatan (misalnya, yang pertama dan kedua) dan mengurangi angka di sebelah kiri dari angka di sebelah kanan. Ini akan terlihat seperti ini:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Seperti yang bisa kita lihat, dalam ketiga kasus tersebut, perbedaannya ternyata negatif. Dan sekarang setelah kita sedikit banyak memahami definisinya, sekarang saatnya mencari tahu bagaimana perkembangan dijelaskan dan properti apa yang dimilikinya.

Syarat perkembangan dan rumus perulangan

Karena elemen-elemen dari barisan kita tidak dapat ditukar, mereka dapat diberi nomor:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Kanan$\]

Elemen-elemen individual dari himpunan ini disebut anggota suatu perkembangan. Mereka ditandai dengan nomor: anggota pertama, anggota kedua, dst.

Selain itu, seperti yang telah kita ketahui, suku-suku yang berdekatan dari perkembangan tersebut dihubungkan dengan rumus:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Panah Kanan ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Singkatnya, untuk mencari suku ke $n$ suatu perkembangan, Anda perlu mengetahui suku ke $n-1$ dan selisih $d$. Rumus ini disebut berulang, karena dengan bantuannya Anda dapat menemukan bilangan apa pun hanya dengan mengetahui bilangan sebelumnya (dan sebenarnya semua bilangan sebelumnya). Ini sangat merepotkan, jadi ada rumus yang lebih rumit yang mengurangi perhitungan apa pun menjadi suku pertama dan selisihnya:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\kiri(n-1 \kanan)d\]

Anda mungkin pernah menemukan rumus ini. Mereka suka memberikannya dalam berbagai macam buku referensi dan buku solusi. Dan dalam buku pelajaran matematika yang masuk akal, ini adalah salah satu yang pertama.

Namun, saya sarankan Anda berlatih sedikit.

Tugas No.1. Tuliskan tiga suku pertama perkembangan aritmatika$\kiri(((a)_(n)) \kanan)$ jika $((a)_(1))=8,d=-5$.

Larutan. Jadi, kita mengetahui suku pertama $((a)_(1))=8$ dan selisih perkembangannya $d=-5$. Mari kita gunakan rumus yang baru saja diberikan dan gantikan $n=1$, $n=2$ dan $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \kanan)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\kiri(1-1 \kanan)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\kiri(2-1 \kanan)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\kiri(3-1 \kanan)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(sejajarkan)\]

Jawaban: (8; 3; −2)

Itu saja! Harap dicatat: kemajuan kami menurun.

Tentu saja, $n=1$ tidak dapat diganti - istilah pertama sudah kita ketahui. Namun, dengan mengganti kesatuan, kami yakin bahwa bahkan untuk suku pertama, rumus kami berhasil. Dalam kasus lain, semuanya bermuara pada aritmatika yang dangkal.

Tugas No.2. Tuliskan tiga suku pertama suatu barisan aritmatika jika suku ketujuh sama dengan −40 dan suku ketujuh belas sama dengan −50.

Larutan. Mari kita tuliskan kondisi masalahnya dalam istilah yang familiar:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\kiri\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(sejajarkan) \kanan.\]

\[\kiri\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Kanan.\]

Saya beri tanda sistem karena persyaratan ini harus dipenuhi secara bersamaan. Sekarang perhatikan bahwa jika kita mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua (kita berhak melakukan ini, karena kita mempunyai sistem), kita mendapatkan ini:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \kanan)=-50-\left(-40 \kanan); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(sejajarkan)\]

Begitulah mudahnya menemukan perbedaan perkembangannya! Yang tersisa hanyalah mengganti bilangan yang ditemukan ke dalam persamaan sistem mana pun. Misalnya, yang pertama:

\[\begin(matriks) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matriks)\]

Sekarang, setelah mengetahui suku pertama dan selisihnya, tinggal mencari suku kedua dan ketiga:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(sejajarkan)\]

Siap! Masalahnya terpecahkan.

Jawaban: (−34; −35; −36)

Perhatikan sifat menarik dari perkembangan yang kita temukan: jika kita mengambil suku $n$th dan $m$th dan mengurangkannya satu sama lain, kita mendapatkan selisih perkembangan dikalikan dengan bilangan $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \kiri(n-m \kanan)\]

Sederhana namun sangat properti yang berguna, yang pasti perlu Anda ketahui - dengan bantuannya Anda dapat mempercepat penyelesaian banyak masalah perkembangan secara signifikan. Berikut ini contoh jelasnya:

Tugas No.3. Suku kelima suatu barisan aritmatika adalah 8,4 dan suku kesepuluhnya adalah 14,4. Temukan suku kelima belas dari perkembangan ini.

Larutan. Karena $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, dan kita perlu mencari $((a)_(15))$, kita perhatikan hal berikut:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(sejajarkan)\]

Tetapi dengan syarat $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, maka $5d=6$, dari mana kita mendapatkan:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(sejajarkan)\]

Jawaban: 20.4

Itu saja! Kami tidak perlu membuat sistem persamaan apa pun dan menghitung suku pertama serta selisihnya - semuanya diselesaikan hanya dalam beberapa baris.

Sekarang mari kita lihat jenis masalah lainnya - mencari suku negatif dan positif dari suatu perkembangan. Bukan rahasia lagi bahwa jika suatu perkembangan meningkat, dan suku pertamanya negatif, maka cepat atau lambat suku-suku positif akan muncul di dalamnya. Dan sebaliknya: kondisi perkembangan yang menurun cepat atau lambat akan menjadi negatif.

Pada saat yang sama, tidak selalu mungkin untuk menemukan momen ini secara langsung dengan menelusuri elemen-elemennya secara berurutan. Seringkali, soal ditulis sedemikian rupa sehingga tanpa mengetahui rumusnya, perhitungannya akan memakan beberapa lembar kertas—kita hanya akan tertidur saat menemukan jawabannya. Oleh karena itu, mari kita coba menyelesaikan masalah ini dengan lebih cepat.

Tugas No.4. Berapa banyak suku negatif pada barisan aritmatika −38.5; −35.8; ...?

Larutan. Jadi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, dari situ langsung kita cari perbedaannya:

Perhatikan bahwa perbedaannya positif, sehingga perkembangannya meningkat. Suku pertama adalah negatif, jadi suatu saat kita akan menemukan bilangan positif. Satu-satunya pertanyaan adalah kapan hal ini akan terjadi.

Mari kita coba mencari tahu berapa lama (yaitu sampai berapa bilangan asli $n$) negativitas dari suku-suku tersebut tetap ada:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Panah Kanan ((a)_(1))+\left(n-1 \kanan)d \lt 0; \\ & -38.5+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \kiri| \cdot 10 \kanan. \\ & -385+27\cdot \kiri(n-1 \kanan) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Panah Kanan ((n)_(\max ))=15. \\ \end(sejajarkan)\]

Baris terakhir memerlukan beberapa penjelasan. Jadi kita tahu bahwa $n \lt 15\frac(7)(27)$. Di sisi lain, kita hanya puas dengan nilai bilangan bulat dari bilangan tersebut (apalagi: $n\in \mathbb(N)$), jadi bilangan terbesar yang diizinkan adalah $n=15$, dan tidak berarti 16 .

Tugas No.5. Dalam perkembangan aritmatika $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Tentukan bilangan suku positif pertama dari barisan tersebut.

Ini akan menjadi masalah yang sama persis dengan masalah sebelumnya, tetapi kita tidak mengetahui $((a)_(1))$. Namun suku-suku tetangganya sudah diketahui: $((a)_(5))$ dan $((a)_(6))$, sehingga kita dapat dengan mudah mencari perbedaan perkembangannya:

Selain itu, mari kita coba nyatakan suku kelima melalui suku pertama dan selisihnya menggunakan rumus standar:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(sejajarkan)\]

Sekarang kita lanjutkan dengan analogi dengan tugas sebelumnya. Mari kita cari tahu di titik mana bilangan positif akan muncul dalam urutan kita:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \kanan)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Panah Kanan ((n)_(\min ))=56. \\ \end(sejajarkan)\]

Solusi bilangan bulat minimum dari pertidaksamaan ini adalah angka 56.

Harap dicatat: dalam tugas terakhir semuanya bermuara pada ketidaksetaraan yang ketat, jadi opsi $n=55$ tidak cocok untuk kita.

Sekarang kita telah mempelajari cara memecahkan masalah sederhana, mari beralih ke masalah yang lebih kompleks. Tapi pertama-tama, mari kita pelajari properti deret aritmatika lain yang sangat berguna, yang akan menghemat banyak waktu dan sel yang tidak setara di masa depan :)

Rata-rata aritmatika dan lekukan yang sama

Mari kita perhatikan beberapa suku berurutan dari barisan aritmatika meningkat $\left(((a)_(n)) \right)$. Mari kita coba menandainya pada garis bilangan:

Suku-suku barisan aritmatika pada garis bilangan

Saya secara khusus menandai istilah arbitrer $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, dan bukan $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, dll. Karena aturan yang akan saya ceritakan sekarang berlaku sama untuk "segmen" mana pun.

Dan aturannya sangat sederhana. Mari kita mengingat rumus berulang dan menuliskannya untuk semua suku yang ditandai:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(sejajarkan)\]

Namun, persamaan ini dapat ditulis ulang dengan cara yang berbeda:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(sejajarkan)\]

Jadi apa? Dan fakta bahwa suku $((a)_(n-1))$ dan $((a)_(n+1))$ terletak pada jarak yang sama dari $((a)_(n)) $ . Dan jarak ini sama dengan $d$. Hal yang sama dapat dikatakan tentang istilah $((a)_(n-2))$ dan $((a)_(n+2))$ - keduanya juga dihapus dari $((a)_(n) )$ pada jarak yang sama sama dengan $2d$. Kita dapat melanjutkannya tanpa batas waktu, tetapi maknanya diilustrasikan dengan baik oleh gambar

Syarat-syarat perkembangannya terletak pada jarak yang sama dari pusat

Apa artinya ini bagi kita? Artinya $((a)_(n))$ dapat ditemukan jika bilangan tetangganya diketahui:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Kita telah memperoleh pernyataan yang sangat bagus: setiap suku suatu barisan aritmatika sama dengan rata-rata aritmatika suku-suku tetangganya! Selain itu: kita dapat mundur dari $((a)_(n))$ ke kiri dan ke kanan bukan dengan satu langkah, tetapi dengan $k$ langkah - dan rumusnya akan tetap benar:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Itu. kita dapat dengan mudah menemukan $((a)_(150))$ jika kita mengetahui $((a)_(100))$ dan $((a)_(200))$, karena $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Pada pandangan pertama, tampaknya fakta ini tidak memberi kita sesuatu yang berguna. Namun, dalam praktiknya, banyak soal yang dirancang khusus untuk menggunakan mean aritmatika. Lihatlah:

Tugas No.6. Tentukan semua nilai $x$ yang bilangan $-6((x)^(2))$, $x+1$, dan $14+4((x)^(2))$ merupakan suku-suku yang berurutan perkembangan aritmatika (dalam urutan yang ditunjukkan).

Larutan. Karena bilangan-bilangan ini adalah anggota suatu perkembangan, kondisi rata-rata aritmatika terpenuhi untuk bilangan-bilangan tersebut: elemen sentral$x+1$ dapat dinyatakan dalam elemen tetangga:

\[\begin(sejajarkan) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(sejajarkan)\]

Ternyata klasik persamaan kuadrat. Akarnya: $x=2$ dan $x=-3$ adalah jawabannya.

Jawaban: −3; 2.

Tugas No.7. Temukan nilai $$ yang bilangan $-1;4-3;(()^(2))+1$ membentuk barisan aritmatika (dalam urutan itu).

Larutan. Mari kita nyatakan kembali suku tengah melalui mean aritmatika suku-suku tetangganya:

\[\begin(sejajarkan) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \kiri| \cdot 2 \kanan.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(sejajarkan)\]

Persamaan kuadrat lagi. Dan sekali lagi ada dua akar: $x=6$ dan $x=1$.

Jawaban: 1; 6.

Jika dalam proses penyelesaian suatu masalah Anda menemukan beberapa angka brutal, atau Anda tidak sepenuhnya yakin akan kebenaran jawaban yang ditemukan, maka ada teknik luar biasa yang memungkinkan Anda memeriksa: apakah kita sudah menyelesaikan masalah dengan benar?

Katakanlah dalam soal No. 6 kita menerima jawaban −3 dan 2. Bagaimana kita dapat memeriksa kebenaran jawaban tersebut? Mari kita sambungkan ke kondisi aslinya dan lihat apa yang terjadi. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa kita memiliki tiga angka ($-6(()^(2))$, $+1$ dan $14+4(()^(2))$), yang harus membentuk barisan aritmatika. Mari kita substitusikan $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Panah Kanan \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(sejajarkan)\]

Kami mendapat angka −54; −2; 50 yang berbeda 52 tentu merupakan barisan aritmatika. Hal yang sama terjadi untuk $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Panah Kanan \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(sejajarkan)\]

Sekali lagi merupakan perkembangan, tetapi dengan selisih 27. Dengan demikian, masalah terselesaikan dengan benar. Mereka yang ingin dapat memeriksa sendiri masalah kedua, tetapi saya akan segera mengatakan: semuanya juga benar di sana.

Secara umum, saat menyelesaikan masalah terakhir, kami menemukan masalah lain fakta menarik, yang juga perlu diingat:

Jika tiga angka sedemikian rupa sehingga angka kedua berada di tengah aritmatika terlebih dahulu dan terakhir, maka bilangan-bilangan tersebut membentuk barisan aritmatika.

Di masa depan, memahami pernyataan ini akan memungkinkan kita untuk "merancang" secara harfiah kemajuan yang diperlukan, berdasarkan kondisi permasalahan. Namun sebelum kita melakukan “konstruksi” tersebut, kita harus memperhatikan satu fakta lagi, yang langsung mengikuti apa yang telah dibahas.

Mengelompokkan dan menjumlahkan elemen

Mari kita kembali ke sumbu bilangan lagi. Mari kita perhatikan ada beberapa anggota perkembangan, mungkin di antaranya. bernilai banyak anggota lainnya:

Ada 6 elemen yang ditandai pada garis bilangan

Mari kita coba menyatakan “ekor kiri” melalui $((a)_(n))$ dan $d$, dan “ekor kanan” melalui $((a)_(k))$ dan $d$. Ini sangat sederhana:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(sejajarkan)\]

Sekarang perhatikan bahwa jumlah berikut ini sama:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(sejajarkan)\]

Sederhananya, jika kita menganggap sebagai permulaan dua elemen perkembangan, yang totalnya sama dengan suatu bilangan $S$, dan kemudian mulai melangkah dari elemen-elemen ini ke sisi yang berlawanan(saling mendekat atau sebaliknya menjauh), lalu jumlah elemen yang akan kita temukan juga akan sama$S$. Hal ini dapat direpresentasikan dengan jelas secara grafis:

Lekukan yang sama memberikan jumlah yang sama

Memahami fakta ini akan memungkinkan kita memecahkan masalah dengan cara yang lebih mendasar tingkat tinggi kesulitan daripada yang kami pertimbangkan di atas. Misalnya, ini:

Tugas No.8. Tentukan selisih barisan aritmatika yang suku pertamanya 66 dan hasil kali suku kedua dan kedua belas adalah yang terkecil.

Larutan. Mari kita tuliskan semua yang kita ketahui:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(sejajarkan)\]

Jadi, kita tidak mengetahui perbedaan perkembangan $d$. Sebenarnya, seluruh solusi akan dibangun berdasarkan perbedaan tersebut, karena produk $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\kiri(66+d \kanan)\cdot \kiri(66+11d \kanan)= \\ & =11 \cdot \kiri(d+66 \kanan)\cdot \kiri(d+6 \kanan). \end(sejajarkan)\]

Bagi yang ada di dalam tangki: Saya keluarkan pengganda umum 11 dari braket kedua. Jadi, hasil kali yang dibutuhkan adalah fungsi kuadrat terhadap variabel $d$. Oleh karena itu, pertimbangkan fungsi $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - grafiknya akan menjadi parabola dengan cabang ke atas, karena jika kita memperluas tanda kurung, kita mendapatkan:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(sejajarkan)\]

Seperti yang Anda lihat, koefisien suku tertinggi adalah 11 - ini adalah bilangan positif, jadi kita sebenarnya berurusan dengan parabola dengan cabang ke atas:

jadwal fungsi kuadrat- parabola
Harap diperhatikan: parabola ini mengambil nilai minimumnya pada titik puncaknya dengan absis $((d)_(0))$. Tentu saja, kita dapat menghitung absis ini menggunakan skema standar (ada rumus $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), tetapi akan lebih masuk akal untuk diperhatikan bahwa titik sudut yang diinginkan terletak pada sumbu simetri parabola, maka titik $((d)_(0))$ berjarak sama dari akar persamaan $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(sejajarkan) & f\kiri(d \kanan)=0; \\ & 11\cdot \kiri(d+66 \kanan)\cdot \kiri(d+6 \kanan)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(sejajarkan)\]

Itu sebabnya saya tidak terburu-buru membuka tanda kurung: dalam bentuk aslinya, akarnya sangat-sangat mudah ditemukan. Oleh karena itu, absisnya sama dengan mean angka aritmatika−66 dan −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Apa yang diberikan oleh angka yang ditemukan kepada kita? Dengan itu, produk yang dibutuhkan diambil secara maksimal nilai yang lebih rendah(omong-omong, kami tidak pernah menghitung $((y)_(\min ))$ - ini tidak diwajibkan dari kami). Selain itu, angka ini adalah selisih dari perkembangan aslinya, yaitu. kami menemukan jawabannya. :)

Jawaban: −36

Tugas No.9. Di antara bilangan $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac(1)(6)$ masukkan tiga bilangan sehingga bersama-sama dengan bilangan tersebut membentuk barisan aritmatika.

Larutan. Intinya, kita perlu membuat barisan lima angka, yang angka pertama dan terakhirnya sudah diketahui. Mari kita nyatakan angka yang hilang dengan variabel $x$, $y$ dan $z$:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \kanan\ )\]

Perhatikan bahwa bilangan $y$ adalah “tengah” barisan kita - bilangan tersebut berjarak sama dari bilangan $x$ dan $z$, dan dari bilangan $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac (1)( 6)$. Dan kalau dari angka $x$ dan $z$ kita masuk saat ini kita tidak bisa mendapatkan $y$, maka situasinya berbeda dengan berakhirnya perkembangan. Mari kita ingat mean aritmatika:

Sekarang, dengan mengetahui $y$, kita akan mencari angka sisanya. Perhatikan bahwa $x$ terletak di antara angka $-\frac(1)(2)$ dan $y=-\frac(1)(3)$ yang baru saja kita temukan. Itu sebabnya

Dengan menggunakan alasan serupa, kami menemukan jumlah sisanya:

Siap! Kami menemukan ketiga nomor tersebut. Mari kita tuliskan dalam jawaban sesuai urutan sisipannya di antara angka aslinya.

Jawaban: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tugas No.10. Di antara angka 2 dan 42, sisipkan beberapa angka yang bersama-sama dengan angka-angka tersebut membentuk barisan aritmatika, jika diketahui jumlah angka pertama, kedua, dan terakhir yang disisipkan adalah 56.

Larutan. Terlebih lagi tugas yang sulit, yang, bagaimanapun, diselesaikan menurut skema yang sama seperti skema sebelumnya - melalui mean aritmatika. Soalnya kita tidak tahu persis berapa angka yang perlu dimasukkan. Oleh karena itu, mari kita asumsikan dengan pasti bahwa setelah memasukkan semuanya akan ada tepat $n$ angka, dan yang pertama adalah 2, dan yang terakhir adalah 42. Dalam hal ini, perkembangan aritmatika yang diperlukan dapat direpresentasikan dalam bentuk:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \kanan$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Namun perhatikan bahwa angka $((a)_(2))$ dan $((a)_(n-1))$ diperoleh dari angka 2 dan 42 di tepinya dengan satu langkah ke arah satu sama lain, yaitu.. ke tengah urutan. Dan ini berarti itu

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Namun kemudian ungkapan yang tertulis di atas dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \kiri(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \kanan)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(sejajarkan)\]

Mengetahui $((a)_(3))$ dan $((a)_(1))$, kita dapat dengan mudah menemukan perbedaan perkembangannya:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\kiri(3-1 \kanan)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Panah Kanan d=5. \\ \end(sejajarkan)\]

Yang tersisa hanyalah menemukan suku-suku yang tersisa:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(sejajarkan)\]

Jadi, sudah pada langkah ke-9 kita akan sampai di ujung kiri barisan - angka 42. Total yang harus dimasukkan hanya 7 angka: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Jawaban: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Masalah kata dengan kemajuan

Sebagai kesimpulan, saya ingin mempertimbangkan beberapa hal secara relatif tugas-tugas sederhana. Sesederhana itu: bagi sebagian besar siswa yang belajar matematika di sekolah dan belum membaca apa yang tertulis di atas, soal-soal ini mungkin terasa sulit. Meskipun demikian, ini adalah jenis soal yang muncul di OGE dan Ujian Negara Terpadu matematika, jadi saya sarankan Anda membiasakan diri dengannya.

Tugas No.11. Tim memproduksi 62 bagian pada bulan Januari, dan pada setiap bulan berikutnya mereka memproduksi 14 bagian lebih banyak dibandingkan bulan sebelumnya. Berapa banyak bagian yang diproduksi tim pada bulan November?

Larutan. Jelasnya, jumlah bagian yang diurutkan berdasarkan bulan akan mewakili perkembangan aritmatika yang meningkat. Lebih-lebih lagi:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November adalah bulan ke-11 dalam setahun, jadi kita perlu mencari $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Oleh karena itu, 202 suku cadang akan diproduksi pada bulan November.

Tugas No.12. Workshop penjilidan buku pada bulan Januari berjumlah 216 buku, dan setiap bulan berikutnya menjilid 4 buku lebih banyak dibandingkan bulan sebelumnya. Berapa banyak buku yang dijilid lokakarya pada bulan Desember?

Larutan. Semua sama:

$\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 4. \\ \end(align)$

Desember adalah bulan terakhir, bulan ke-12 dalam setahun, jadi kita mencari $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Inilah jawabannya - 260 buku akan dijilid pada bulan Desember.

Nah, jika Anda sudah membaca sejauh ini, saya segera mengucapkan selamat kepada Anda: Anda telah berhasil menyelesaikan “kursus petarung muda” dalam perkembangan aritmatika. Anda dapat dengan aman melanjutkan ke pelajaran berikutnya, di mana kita akan mempelajari rumus jumlah perkembangan, serta konsekuensi penting dan sangat berguna darinya.

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Perkembangan aritmatika adalah barisan bilangan yang setiap bilangannya lebih besar (atau lebih kecil) dari bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Topik ini sering kali tampak rumit dan tidak dapat dipahami. Indeks huruf istilah ke-n perkembangan, perbedaan perkembangan - semua ini entah bagaimana membingungkan, ya... Mari kita cari tahu arti dari perkembangan aritmatika dan semuanya akan segera menjadi lebih baik.)

Konsep perkembangan aritmatika.

Perkembangan aritmatika adalah konsep yang sangat sederhana dan jelas. Apakah Anda ragu? Sia-sia.) Lihat sendiri.

Saya akan menulis rangkaian angka yang belum selesai:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Bisakah Anda memperpanjang seri ini? Angka apa yang akan muncul berikutnya, setelah angka lima? Semuanya... uh..., singkatnya, semua orang akan menyadari bahwa angka 6, 7, 8, 9, dst akan muncul berikutnya.

Mari kita mempersulit tugas ini. Saya memberi Anda serangkaian angka yang belum selesai:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Anda akan dapat menangkap polanya, memperluas rangkaiannya, dan memberi namanya ketujuh nomor baris?

Jika Anda menyadari bahwa angka ini adalah 20, selamat! Bukan hanya kamu yang merasakannya poin-poin penting perkembangan aritmatika, tetapi juga berhasil menggunakannya dalam bisnis! Jika Anda belum mengetahuinya, baca terus.

Sekarang mari kita terjemahkan poin-poin penting dari sensasi ke dalam matematika.)

Poin penting pertama.

Perkembangan aritmatika berkaitan dengan serangkaian angka. Ini membingungkan pada awalnya. Kita terbiasa menyelesaikan persamaan, menggambar grafik dan sebagainya... Tapi di sini kita perpanjang deretnya, cari nomor deretnya...

Tidak apa-apa. Hanya saja perkembangannya merupakan perkenalan pertama dengan cabang matematika yang baru. Bagian ini disebut "Seri" dan bekerja secara khusus dengan rangkaian angka dan ekspresi. Biasakanlah.)

Poin penting kedua.

Dalam perkembangan aritmatika, suatu bilangan berbeda dengan bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Pada contoh pertama, perbedaannya adalah satu. Berapa pun nomor yang Anda ambil, itu lebih banyak satu dari yang sebelumnya. Yang kedua - tiga. Angka berapa pun tiga lebih banyak dari angka sebelumnya. Sebenarnya momen inilah yang memberi kita kesempatan untuk memahami pola dan menghitung angka-angka selanjutnya.

Poin kunci ketiga.

Momen ini memang tidak mencolok ya... Tapi ini sangat-sangat penting. Ini dia: setiap nomor perkembangan berdiri di tempatnya. Ada angka pertama, ada angka ketujuh, ada angka empat puluh lima, dan seterusnya. Jika Anda mencampurkannya secara acak, polanya akan hilang. Perkembangan aritmatika juga akan hilang. Yang tersisa hanyalah serangkaian angka.

Itulah intinya.

Tentu saja, di topik baru istilah dan sebutan baru muncul. Anda perlu mengenal mereka. Jika tidak, Anda tidak akan memahami tugasnya. Misalnya, Anda harus memutuskan sesuatu seperti:

Tuliskan enam suku pertama barisan aritmatika (an), jika a 2 = 5, d = -2,5.

Menginspirasi?) Surat, beberapa indeks... Dan omong-omong, tugasnya sangat sederhana. Anda hanya perlu memahami arti istilah dan sebutannya. Sekarang kita akan menguasai masalah ini dan kembali ke tugas.

Syarat dan sebutan.

Kemajuan aritmatika adalah barisan bilangan yang setiap bilangannya berbeda dengan bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Besaran ini disebut . Mari kita lihat konsep ini lebih detail.

Perbedaan perkembangan aritmatika.

Perbedaan perkembangan aritmatika adalah jumlah dimana setiap angka perkembangan lagi yang sebelumnya.

Satu poin penting. Mohon perhatikan kata tersebut "lagi". Secara matematis, ini berarti setiap bilangan perkembangan adalah dengan menambahkan selisih barisan aritmatika dengan bilangan sebelumnya.

Untuk menghitung, katakanlah Kedua nomor seri, Anda perlu Pertama nomor menambahkan perbedaan perkembangan aritmatika ini. Untuk perhitungan kelima- perbedaan itu perlu menambahkan Ke keempat, baik, dll.

Perbedaan perkembangan aritmatika Mungkin positif, maka setiap angka dalam rangkaian tersebut akan menjadi nyata lebih dari yang sebelumnya. Kemajuan ini disebut meningkat. Misalnya:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Di sini setiap nomor diperoleh dengan menambahkan angka positif, +5 ke yang sebelumnya.

Perbedaannya mungkin negatif, maka setiap angka pada deret tersebut adalah kurang dari yang sebelumnya. Perkembangan ini disebut (Anda tidak akan percaya!) menurun.

Misalnya:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Di sini setiap nomor juga diperoleh dengan menambahkan ke angka sebelumnya, tapi sudah negatif, -5.

Omong-omong, ketika bekerja dengan perkembangan, sangat berguna untuk segera menentukan sifatnya - apakah meningkat atau menurun. Ini sangat membantu dalam mengarahkan keputusan, menemukan kesalahan Anda, dan memperbaikinya sebelum terlambat.

Perbedaan perkembangan aritmatika biasanya dilambangkan dengan huruf D.

Bagaimana menemukan D? Sangat sederhana. Anda perlu mengurangi angka mana pun dalam deret tersebut sebelumnya nomor. Mengurangi. Omong-omong, hasil pengurangan disebut "selisih".)

Mari kita definisikan, misalnya, D untuk meningkatkan perkembangan aritmatika:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Kita ambil bilangan apa saja pada deret yang kita inginkan, misalnya 11. Kita kurangi darinya nomor sebelumnya itu. 8:

Ini adalah jawaban yang benar. Untuk perkembangan aritmatika ini, selisihnya adalah tiga.

Anda bisa mengambilnya nomor perkembangan apa pun, Karena untuk kemajuan tertentu D-selalu sama. Setidaknya di suatu tempat di awal baris, setidaknya di tengah, setidaknya di mana saja. Anda tidak bisa hanya mengambil angka pertama saja. Hanya karena angka pertama tidak ada yang sebelumnya.)

Ngomong-ngomong, mengetahui hal itu d=3, menemukan angka ketujuh dari perkembangan ini sangatlah sederhana. Mari kita tambahkan 3 ke angka kelima - kita mendapatkan angka keenam, jadinya 17. Mari kita tambahkan tiga ke angka keenam, kita mendapatkan angka ketujuh - dua puluh.

Mari kita definisikan D untuk perkembangan aritmatika menurun:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Saya mengingatkan Anda bahwa, apa pun tandanya, Anda harus menentukannya D butuhkan dari nomor mana pun ambil yang sebelumnya. Pilih nomor perkembangan apa saja, misalnya -7. Nomor sebelumnya adalah -2. Kemudian:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Selisih suatu barisan aritmatika dapat berupa bilangan apa pun: bilangan bulat, pecahan, irasional, bilangan apa pun.

Istilah dan sebutan lainnya.

Setiap nomor dalam rangkaian tersebut dipanggil anggota barisan aritmatika.

Setiap anggota perkembangan mempunyai nomor tersendiri. Angka-angkanya benar-benar berurutan, tanpa trik apa pun. Pertama, kedua, ketiga, keempat, dan seterusnya. Misalnya, dalam perkembangan 2, 5, 8, 11, 14, ... dua adalah suku pertama, lima adalah suku kedua, sebelas adalah suku keempat, nah, Anda mengerti...) Harap dipahami dengan jelas - angka-angka itu sendiri bisa berupa apa saja, utuh, pecahan, negatif, apa pun, tapi penomoran angka- secara ketat!

Cara menulis perkembangan di pandangan umum? Tidak ada pertanyaan! Setiap angka dalam suatu rangkaian ditulis sebagai sebuah huruf. Untuk menyatakan barisan aritmatika, biasanya digunakan huruf A. Nomor anggota ditunjukkan dengan indeks di kanan bawah. Kami menulis istilah yang dipisahkan dengan koma (atau titik koma), seperti ini:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

sebuah 1- ini adalah angka pertama, sebuah 3- ketiga, dll. Tidak ada yang mewah. Seri ini dapat ditulis secara singkat seperti ini: (sebuah).

Kemajuan terjadi terbatas dan tidak terbatas.

Terakhir kemajuan memiliki jumlah terbatas anggota. Lima, tiga puluh delapan, terserah. Tapi itu angka yang terbatas.

Tak terbatas kemajuan - memiliki jumlah yang tak terbatas anggota, seperti yang Anda duga.)

Anda dapat menulis perkembangan terakhir melalui rangkaian seperti ini, semua suku dan titik di akhir:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

Atau seperti ini jika anggotanya banyak:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

DI DALAM catatan singkat Anda juga harus menunjukkan jumlah anggota. Misalnya (untuk dua puluh anggota), seperti ini:

(an), n = 20

Perkembangan tak terhingga dapat dikenali dengan elipsis di akhir baris, seperti pada contoh dalam pelajaran ini.

Sekarang Anda dapat menyelesaikan tugas-tugas tersebut. Tugasnya sederhana, murni untuk memahami arti barisan aritmatika.

Contoh soal perkembangan aritmatika.

Mari kita lihat tugas yang diberikan di atas secara detail:

1. Tuliskan enam suku pertama barisan aritmatika (an), jika a 2 = 5, d = -2,5.

Kami mentransfer tugas ke bahasa yang jelas. Perkembangan aritmatika tak terbatas diberikan. Bilangan kedua dari perkembangan ini diketahui: sebuah 2 = 5. Perbedaan perkembangan diketahui: d = -2,5. Kita perlu mencari suku pertama, ketiga, keempat, kelima dan keenam dari perkembangan ini.

Agar lebih jelas, saya akan menuliskan rangkaiannya sesuai dengan kondisi soal. Enam suku pertama, sedangkan suku kedua berjumlah lima:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....

sebuah 3 = sebuah 2 + D

Gantikan ke dalam ekspresi sebuah 2 = 5 Dan d = -2,5. Jangan lupakan minusnya!

sebuah 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Istilah ketiga ternyata kurang dari dua. Semuanya logis. Jika jumlahnya lebih besar dari yang sebelumnya negatif nilainya, artinya angka itu sendiri akan lebih kecil dari angka sebelumnya. Kemajuan menurun. Oke, mari kita perhitungkan.) Kita hitung suku keempat deret kita:

sebuah 4 = sebuah 3 + D

sebuah 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

sebuah 5 = sebuah 4 + D

sebuah 5=0+(-2,5)= - 2,5

sebuah 6 = sebuah 5 + D

sebuah 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Jadi, suku ketiga sampai keenam dihitung. Hasilnya adalah rangkaian berikut:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

Masih mencari suku pertama sebuah 1 Oleh terkenal kedua. Ini adalah langkah ke arah lain, ke kiri.) Jadi, selisih barisan aritmatika D tidak boleh ditambahkan ke sebuah 2, A membawa pergi:

sebuah 1 = sebuah 2 - D

sebuah 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Itu saja. Jawaban tugas:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Secara sepintas, saya ingin mencatat bahwa kami telah memecahkan masalah ini berulang jalan. Ini kata menakutkan berarti mencari anggota perkembangan sesuai dengan nomor sebelumnya (berdekatan). Kami akan melihat cara lain untuk mengatasi kemajuan di bawah.

Satu kesimpulan penting dapat diambil dari tugas sederhana ini.

Ingat:

Jika kita mengetahui setidaknya satu suku dan selisih suatu barisan aritmatika, kita dapat mencari suku apa pun dari barisan tersebut.

Apakah kamu ingat? Kesimpulan sederhana ini memungkinkan Anda memecahkan sebagian besar masalah kursus sekolah pada topik ini. Semua tugas berputar tiga utama parameter: anggota barisan aritmatika, selisih barisan, jumlah anggota barisan. Semua.

Tentu saja, semua aljabar sebelumnya tidak dibatalkan.) Pertidaksamaan, persamaan, dan hal-hal lain melekat pada perkembangan. Tetapi sesuai dengan perkembangan itu sendiri- semuanya berkisar pada tiga parameter.

Sebagai contoh, mari kita lihat beberapa tugas populer tentang topik ini.

2. Tulislah barisan aritmatika berhingga sebagai suatu deret jika n=5, d = 0,4, dan a 1 = 3,6.

Semuanya sederhana di sini. Semuanya sudah diberikan. Anda perlu mengingat bagaimana anggota suatu barisan aritmatika dihitung, dihitung, dan dituliskan. Dianjurkan untuk tidak melewatkan kata-kata dalam kondisi tugas: "final" dan " n=5". Agar tidak dihitung sampai mukamu benar-benar membiru.) Anggota dalam perkembangan ini hanya ada 5 (lima) orang:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

sebuah 4 = sebuah 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

sebuah 5 = sebuah 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Tetap menuliskan jawabannya:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Tugas lain:

3. Tentukan apakah bilangan 7 termasuk anggota barisan aritmatika (an), jika sebuah 1 = 4.1; d = 1,2.

Hmm... Siapa yang tahu? Bagaimana cara menentukan sesuatu?

Bagaimana-bagaimana... Tuliskan perkembangannya dalam bentuk deret dan lihat apakah akan ada angka tujuh di sana atau tidak! Kami menghitung:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

sebuah 4 = sebuah 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Sekarang terlihat jelas bahwa kami baru berusia tujuh tahun lolos antara 6,5 dan 7,7! Tujuh tidak termasuk dalam rangkaian angka kami, dan oleh karena itu, tujuh tidak akan menjadi anggota perkembangan ini.

Jawaban: tidak.

Berikut masalah berdasarkan pilihan nyata GIA:

4. Dituliskan beberapa suku berurutan dari barisan aritmatika:

...; 15; X; 9; 6; ...

Ini adalah seri yang ditulis tanpa akhir dan awal. Tidak ada nomor anggota, tidak ada perbedaan D. Tidak apa-apa. Untuk menyelesaikan masalah tersebut, cukup memahami pengertian barisan aritmatika. Mari kita lihat dan lihat apa yang mungkin untuk mengetahui dari seri ini? Apa tiga parameter utama?

Nomor anggota? Tidak ada satu nomor pun di sini.

Tapi ada tiga angka dan - perhatian! - kata "konsisten" dalam kondisi. Artinya angka-angkanya berurutan, tanpa ada celah. Apakah ada dua di baris ini? berdekatan nomor yang diketahui? Ya, sudah! Ini adalah 9 dan 6. Oleh karena itu, kita dapat menghitung selisih barisan aritmatika! Kurangi dari enam sebelumnya nomor, yaitu sembilan:

Yang tersisa hanyalah hal-hal sepele. Nomor berapa yang sebelumnya untuk X? Limabelas. Artinya X dapat dengan mudah dicari dengan penjumlahan sederhana. Tambahkan selisih barisan aritmatika menjadi 15:

Itu saja. Menjawab: x=12

Kami memecahkan sendiri masalah berikut. Catatan: soal-soal ini tidak didasarkan pada rumus. Murni untuk memahami pengertian barisan aritmatika.) Kita tinggal menuliskan rangkaian angka dan huruf, melihat dan mencari tahu.

5. Tentukan suku positif pertama suatu barisan aritmatika jika a 5 = -3; d = 1.1.

6. Diketahui bilangan 5,5 merupakan anggota barisan aritmatika (an), dimana a 1 = 1,6; d = 1,3. Tentukan bilangan n anggota tersebut.

7. Diketahui pada barisan aritmatika a 2 = 4; sebuah 5 = 15.1. Temukan 3 .

8. Dituliskan beberapa suku berurutan dari barisan aritmatika:

...; 15.6; X; 3.4; ...

Tentukan suku barisan yang dilambangkan dengan huruf x.

9. Kereta mulai bergerak dari stasiun, kecepatannya meningkat secara merata sebesar 30 meter per menit. Berapa kecepatan kereta dalam lima menit? Berikan jawaban Anda dalam km/jam.

10. Diketahui bahwa pada barisan aritmatika a 2 = 5; sebuah 6 = -5. Temukan 1.

Jawaban (berantakan): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0,3; 4.

Apakah semuanya berhasil? Luar biasa! Anda dapat menguasai perkembangan aritmatika lebih lanjut tingkat tinggi, dalam pelajaran berikut.

Bukankah semuanya berhasil? Tidak masalah. Dalam Bagian Khusus 555, semua masalah ini diurutkan sepotong demi sepotong.) Dan, tentu saja, teknik praktis sederhana dijelaskan yang segera menyoroti solusi untuk tugas-tugas tersebut dengan jelas, jelas, sekilas!

Ngomong-ngomong, dalam teka-teki kereta api ada dua soal yang sering membuat orang tersandung. Yang pertama murni dalam hal perkembangan, dan yang kedua bersifat umum untuk semua masalah dalam matematika, dan juga fisika. Ini adalah terjemahan dimensi dari satu ke yang lain. Ini menunjukkan bagaimana masalah-masalah ini harus diselesaikan.

Dalam pelajaran ini kita melihat arti dasar barisan aritmatika dan parameter utamanya. Ini cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah pada topik ini. Menambahkan D ke angka, tulis seri, semuanya akan terselesaikan.

Solusi jari bekerja dengan baik untuk potongan baris yang sangat pendek, seperti pada contoh dalam pelajaran ini. Jika deretnya lebih panjang maka perhitungannya menjadi lebih rumit. Contohnya jika pada soal 9 pada soal tersebut anda ganti "lima menit" pada "tiga puluh lima menit" masalahnya akan menjadi jauh lebih buruk.)

Dan ada juga tugas yang pada hakikatnya sederhana, namun tidak masuk akal dalam perhitungannya, misalnya:

Perkembangan aritmatika (an) diberikan. Tentukan a 121 jika a 1 =3 dan d=1/6.

Jadi apa, apakah kita akan menambahkan 1/6 berkali-kali?! Kamu bisa bunuh diri !?

Anda bisa.) Jika Anda tidak tahu rumus sederhana, yang memungkinkan Anda menyelesaikan tugas tersebut dalam satu menit. Rumus ini akan masuk pelajaran berikutnya. Dan masalah ini terpecahkan di sana. Sebentar lagi.)

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Konsep urutan nomor menyiratkan korespondensi setiap bilangan asli dengan beberapa nilai sebenarnya. Rangkaian angka seperti itu bisa sewenang-wenang atau ada properti tertentu– kemajuan. Dalam kasus terakhir, setiap elemen berikutnya (anggota) dari barisan tersebut dapat dihitung menggunakan elemen sebelumnya.

Perkembangan aritmatika - barisan nilai numerik, di mana anggota tetangganya berbeda satu sama lain nomor yang sama(semua elemen deret, mulai dari yang ke-2, mempunyai sifat serupa). Nomor ini– selisih antara suku-suku sebelumnya dan suku-suku berikutnya adalah konstan dan disebut selisih perkembangan.

Perbedaan perkembangan: definisi

Perhatikan barisan yang terdiri dari j nilai A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j termasuk dalam himpunan bilangan asli N. Barisan Aritmatika menurut definisinya adalah barisan yang a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j ) – a(j-1) = d. Nilai d adalah perbedaan yang diinginkan dari perkembangan ini.

d = a(j) – a(j-1).

Menyorot: