Misalnya, barisan \(2\); \(5\); \(8\); \(sebelas\); \(14\)... merupakan barisan aritmatika karena masing-masing elemen berikutnya berbeda dari yang sebelumnya sebanyak tiga (dapat diperoleh dari yang sebelumnya dengan menambahkan tiga):

Pada deret ini, selisih \(d\) adalah positif (sama dengan \(3\)), sehingga setiap suku berikutnya lebih besar dari suku sebelumnya. Perkembangan seperti ini disebut meningkat.

Namun, \(d\) juga bisa angka negatif. Misalnya, dalam barisan aritmatika \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... selisih perkembangan \(d\) sama dengan minus enam.

Dan dalam hal ini, setiap elemen berikutnya akan lebih kecil dari elemen sebelumnya. Kemajuan ini disebut menurun.

Notasi perkembangan aritmatika

Kemajuan ditunjukkan dengan huruf Latin kecil.

Bilangan yang membentuk barisan disebut anggota(atau elemen).

Mereka dilambangkan dengan huruf yang sama dengan barisan aritmatika, tetapi dengan indeks numerik yang sama dengan jumlah elemen secara berurutan.

Misalnya, perkembangan aritmatika\(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) terdiri dari elemen \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) dan seterusnya.

Dengan kata lain, untuk perkembangan \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Memecahkan masalah perkembangan aritmatika

Pada prinsipnya, informasi yang disajikan di atas sudah cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah perkembangan aritmatika (termasuk yang ditawarkan di OGE).

Contoh (OGE). Perkembangan aritmatika ditentukan oleh kondisi \(b_1=7; d=4\). Temukan \(b_5\).
Larutan:

Menjawab: \(b_5=23\)

Contoh (OGE). Diketahui tiga suku pertama suatu barisan aritmatika: \(62; 49; 36…\) Tentukan nilai suku negatif pertama barisan tersebut..
Larutan:

	Kita diberikan elemen pertama dari barisan tersebut dan mengetahui bahwa itu adalah barisan aritmatika. Artinya, setiap unsur berbeda satu sama lain dengan bilangan yang sama. Mari kita cari tahu yang mana dengan mengurangkan elemen sebelumnya dari elemen berikutnya: \(d=49-62=-13\).
	Sekarang kita dapat mengembalikan perkembangan kita ke elemen (negatif pertama) yang kita perlukan.
	Siap. Anda dapat menulis jawabannya.

Menjawab: \(-3\)

Contoh (OGE). Diberikan beberapa elemen barisan aritmatika yang berurutan: \(…5; x; 10; 12.5...\) Tentukan nilai elemen yang diberi tanda huruf \(x\).
Larutan:

	Untuk mencari \(x\), kita perlu mengetahui seberapa besar perbedaan elemen berikutnya dengan elemen sebelumnya, dengan kata lain, selisih perkembangannya. Mari kita cari dari dua elemen bertetangga yang diketahui: \(d=12.5-10=2.5\).
	Dan sekarang kita dapat dengan mudah menemukan apa yang kita cari: \(x=5+2.5=7.5\).
	Siap. Anda dapat menulis jawabannya.

Menjawab: \(7,5\).

Contoh (OGE). Perkembangan aritmatika ditentukan oleh kondisi berikut: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Tentukan jumlah enam suku pertama barisan ini.
Larutan:

Kita perlu mencari jumlah enam suku pertama dari perkembangan tersebut. Namun kita tidak mengetahui maknanya; kita hanya diberikan elemen pertama. Oleh karena itu, pertama-tama kita menghitung nilainya satu per satu, menggunakan apa yang diberikan kepada kita: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Dan setelah menghitung enam elemen yang kita butuhkan, kita menemukan jumlahnya.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Jumlah yang dibutuhkan telah ditemukan.

Menjawab: \(S_6=9\).

Contoh (OGE). Dalam perkembangan aritmatika \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Temukan perbedaan dari perkembangan ini.
Larutan:

Menjawab: \(d=7\).

Rumus penting untuk perkembangan aritmatika

Seperti yang Anda lihat, banyak masalah pada perkembangan aritmatika dapat diselesaikan hanya dengan memahami hal utama - bahwa perkembangan aritmatika adalah rantai angka, dan setiap elemen berikutnya dalam rantai ini diperoleh dengan menambahkan angka yang sama ke yang sebelumnya (the perbedaan kemajuan).

Namun, terkadang ada situasi di mana memutuskan “langsung” sangatlah merepotkan. Misalnya, bayangkan pada contoh pertama kita tidak perlu mencari elemen kelima \(b_5\), melainkan elemen ketiga ratus delapan puluh enam \(b_(386)\). Haruskah kita menambahkan empat \(385\) kali? Atau bayangkan dalam contoh kedua dari belakang Anda perlu mencari jumlah tujuh puluh tiga elemen pertama. Anda akan bosan menghitung...

Oleh karena itu, dalam kasus seperti itu mereka tidak menyelesaikan masalah secara “langsung”, tetapi menggunakan rumus khusus yang diturunkan untuk perkembangan aritmatika. Dan yang utama adalah rumus suku ke-n barisan tersebut dan rumus jumlah suku pertama \(n\).

Rumus suku ke-\(n\): \(a_n=a_1+(n-1)d\), dengan \(a_1\) adalah suku pertama dari barisan tersebut;
\(n\) – jumlah elemen yang diperlukan;
\(a_n\) – suku barisan dengan bilangan \(n\).

Rumus ini memungkinkan kita dengan cepat menemukan elemen ketiga ratus atau sejuta, hanya mengetahui elemen pertama dan perbedaan perkembangannya.

Contoh. Perkembangan aritmatika ditentukan oleh kondisi: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). Temukan \(b_(246)\).
Larutan:

Menjawab: \(b_(246)=1850\).

Rumus jumlah n suku pertama: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), di mana

\(a_n\) – suku terakhir yang dijumlahkan;

Contoh (OGE). Perkembangan aritmatika ditentukan oleh kondisi \(a_n=3.4n-0.6\). Tentukan jumlah suku \(25\) pertama dari barisan tersebut.
Larutan:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Untuk menghitung jumlah dua puluh lima suku pertama, kita perlu mengetahui nilai suku pertama dan kedua puluh lima. Perkembangan kita diberikan oleh rumus suku ke-n tergantung pada bilangannya (untuk lebih jelasnya lihat). Mari kita hitung elemen pertama dengan mengganti \(n\) dengan satu.
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Sekarang mari kita cari suku ke dua puluh lima dengan mensubstitusikan dua puluh lima ke dalam \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Nah, sekarang kita bisa dengan mudah menghitung jumlah yang dibutuhkan.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Jawabannya sudah siap.

Menjawab: \(S_(25)=1090\).

Untuk jumlah \(n\) suku pertama, kamu bisa mendapatkan rumus lain: kamu hanya perlu \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) alih-alih \(a_n\) gantikan rumusnya dengan \(a_n=a_1+(n-1)d\). Kita mendapatkan:

Rumus jumlah n suku pertama: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), di mana

\(S_n\) – jumlah yang diperlukan dari \(n\) elemen pertama;
\(a_1\) – suku pertama yang dijumlahkan;
\(d\) – perbedaan perkembangan;
\(n\) – jumlah elemen dalam jumlah.

Contoh. Tentukan jumlah suku \(33\)-ex pertama dari barisan aritmetika: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
Larutan:

Menjawab: \(S_(33)=-231\).

Masalah perkembangan aritmatika yang lebih kompleks

Sekarang Anda memiliki semua informasi yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan hampir semua masalah perkembangan aritmatika. Mari kita selesaikan topik ini dengan mempertimbangkan masalah di mana Anda tidak hanya perlu menerapkan rumus, tetapi juga berpikir sedikit (dalam matematika ini bisa berguna ☺)

Contoh (OGE). Tentukan jumlah semua suku negatif dari barisan tersebut: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Larutan:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Tugasnya sangat mirip dengan yang sebelumnya. Kita mulai menyelesaikan hal yang sama: pertama kita temukan \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Sekarang saya ingin mengganti \(d\) ke dalam rumus jumlah... dan di sini muncul sedikit perbedaan - kita tidak tahu \(n\). Dengan kata lain, kita tidak tahu berapa banyak istilah yang perlu ditambahkan. Bagaimana cara mengetahuinya? Mari kita berpikir. Kami akan berhenti menambahkan elemen ketika kami mencapai elemen positif pertama. Artinya, Anda perlu mengetahui jumlah elemen ini. Bagaimana? Mari kita tuliskan rumus untuk menghitung elemen apa pun dari barisan aritmatika: \(a_n=a_1+(n-1)d\) untuk kasus kita.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Kita perlu \(a_n\) menjadi lebih besar dari nol. Mari kita cari tahu pada \(n\) hal ini akan terjadi.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Kita membagi kedua ruas pertidaksamaan dengan \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Kita transfer minus satu, tak lupa ganti tandanya
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Mari kita hitung...
\(n>65.333…\)		...dan ternyata unsur positif pertama mempunyai bilangan \(66\). Oleh karena itu, negatif terakhir memiliki \(n=65\). Untuk berjaga-jaga, mari kita periksa ini.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Jadi kita perlu menambahkan elemen \(65\) pertama.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Jawabannya sudah siap.

Menjawab: \(S_(65)=-630,5\).

Contoh (OGE). Perkembangan aritmatika ditentukan oleh kondisi: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Temukan jumlah dari elemen \(26\) hingga \(42\) inklusif.
Larutan:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Dalam soal ini Anda juga perlu mencari jumlah elemen, tetapi tidak dimulai dari yang pertama, tetapi dari \(26\). Untuk kasus seperti ini kami tidak mempunyai rumusnya. Bagaimana cara memutuskan? Caranya mudah - untuk mendapatkan jumlah dari \(26\)th hingga \(42\)th, Anda harus terlebih dahulu mencari jumlah dari \(1\)th hingga \(42\)th, lalu menguranginya dari situ jumlah dari pertama sampai \(25\) (lihat gambar).
	Untuk perkembangan kita \(a_1=-33\), dan selisihnya \(d=4\) (bagaimanapun juga, empat itulah yang kita tambahkan ke elemen sebelumnya untuk menemukan elemen berikutnya). Mengetahui hal ini, kita mencari jumlah elemen \(42\)-y pertama.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Sekarang jumlah elemen \(25\) pertama.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Dan terakhir, kami menghitung jawabannya.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Menjawab: \(S=1683\).

Untuk perkembangan aritmatika, ada beberapa rumus lagi yang tidak kami bahas dalam artikel ini karena rendahnya kegunaan praktisnya. Namun, Anda dapat menemukannya dengan mudah.

Sebelum kita mulai memutuskan masalah perkembangan aritmatika, mari kita lihat apa itu urutan nomor, karena perkembangan aritmatika adalah kasus spesial urutan nomor.

Urutan nomornya adalah kumpulan nomor, yang setiap elemennya memiliki nomor serinya sendiri. Unsur-unsur suatu himpunan disebut anggota barisan. Nomor seri elemen urutan ditunjukkan dengan indeks:

Elemen pertama dari barisan;

Elemen kelima dari barisan;

- elemen "ke-n" dari barisan tersebut, mis. elemen "berdiri dalam antrian" di nomor n.

Terdapat hubungan antara nilai suatu elemen barisan dengan nomor urutnya. Oleh karena itu, kita dapat menganggap barisan sebagai suatu fungsi yang argumennya adalah bilangan urut dari elemen barisan tersebut. Dengan kata lain, kita dapat mengatakan demikian urutannya adalah fungsi dari argumen natural:

Urutannya dapat diatur dalam tiga cara:

1 . Urutannya dapat ditentukan menggunakan tabel. Dalam hal ini, kita cukup menetapkan nilai setiap anggota barisan.

Misalnya, Seseorang memutuskan untuk melakukannya manajemen waktu pribadi, dan pertama-tama, hitung berapa banyak waktu yang dia habiskan di VKontakte selama seminggu. Dengan mencatat waktu dalam tabel, ia akan mendapatkan urutan yang terdiri dari tujuh elemen:

Baris pertama tabel menunjukkan jumlah hari dalam seminggu, baris kedua menunjukkan waktu dalam menit. Kita melihat bahwa pada hari Senin Seseorang menghabiskan 125 menit di VKontakte, yaitu pada hari Kamis - 248 menit, dan pada hari Jumat hanya 15 menit.

2 . Barisan tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus suku ke-n.

Dalam hal ini, ketergantungan nilai suatu unsur barisan terhadap bilangannya dinyatakan langsung dalam bentuk rumus.

Misalnya, jika , maka

Untuk mencari nilai suatu unsur barisan dengan bilangan tertentu, kita substitusikan bilangan unsur tersebut ke dalam rumus suku ke-n.

Kita melakukan hal yang sama jika kita perlu mencari nilai suatu fungsi jika nilai argumennya diketahui. Kami mengganti nilai argumen ke dalam persamaan fungsi:

Jika, misalnya, , Itu

Izinkan saya mencatat sekali lagi bahwa secara berurutan, tidak seperti sembarangan fungsi numerik, argumennya hanya dapat berupa bilangan asli.

3 . Barisan tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus yang menyatakan ketergantungan nilai bilangan anggota barisan n terhadap nilai anggota sebelumnya. Dalam hal ini, kita tidak cukup hanya mengetahui banyaknya anggota barisan untuk mencari nilainya. Kita perlu menentukan anggota pertama atau beberapa anggota pertama dari barisan tersebut.

Misalnya, perhatikan urutannya ,

Kita dapat menemukan nilai-nilai anggota barisan berurutan, mulai dari yang ketiga:

Artinya, setiap kali mencari nilai suku ke-n barisan tersebut, kita kembali ke dua suku sebelumnya. Metode menentukan urutan ini disebut berulang, dari kata Latin berulang- kembali.

Sekarang kita dapat mendefinisikan barisan aritmatika. Perkembangan aritmatika adalah kasus khusus sederhana dari suatu barisan bilangan.

Kemajuan aritmatika adalah suatu barisan bilangan yang masing-masing anggotanya, mulai dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya dijumlahkan dengan bilangan yang sama.

Nomor tersebut dipanggil perbedaan perkembangan aritmatika. Selisih barisan aritmatika bisa positif, negatif, atau sama dengan nol.

Jika judul="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} meningkat.

Misalnya, 2; 5; 8; sebelas;...

Jika , maka setiap suku suatu barisan aritmatika lebih kecil dari suku sebelumnya, dan barisan tersebut adalah menurun.

Misalnya, 2; -1; -4; -7;...

Jika , maka semua suku dari barisan tersebut sama dengan bilangan yang sama, dan barisan tersebut adalah tidak bergerak.

Misalnya, 2;2;2;2;...

Sifat utama barisan aritmatika:

Mari kita lihat gambarnya.

Kami melihatnya

, dan pada saat yang sama

Menambahkan dua persamaan ini, kita mendapatkan:

.

Mari kita bagi kedua ruas persamaan dengan 2:

Jadi, setiap anggota barisan aritmatika, mulai dari barisan aritmatika kedua, sama dengan rata-rata aritmatika dari dua barisan aritmatika yang bertetangga:

Apalagi sejak itu

, dan pada saat yang sama

, Itu

, dan maka dari itu

Setiap suku suatu barisan aritmatika, dimulai dengan title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Rumus suku ke-th.

Kita melihat bahwa suku-suku barisan aritmatika memenuhi hubungan berikut:

dan akhirnya

Kita punya rumus suku ke-n.

PENTING! Setiap anggota barisan aritmatika dapat dinyatakan melalui dan. Mengetahui suku pertama dan perbedaan suatu barisan aritmatika, Anda dapat menemukan suku-sukunya.

Jumlah n suku suatu barisan aritmatika.

Dalam barisan aritmatika sembarang, jumlah suku-suku yang berjarak sama dari suku-suku ekstrem adalah sama satu sama lain:

Pertimbangkan barisan aritmatika dengan n suku. Misalkan jumlah n suku barisan tersebut sama dengan .

Mari kita susun suku-suku perkembangannya terlebih dahulu dalam urutan angka menaik, dan kemudian dalam urutan menurun:

Mari kita tambahkan secara berpasangan:

Jumlah tiap tanda kurung adalah , banyaknya pasangan adalah n.

Kita mendapatkan:

Jadi, jumlah n suku suatu barisan aritmatika dapat dicari dengan menggunakan rumus:

Mari kita pertimbangkan memecahkan masalah perkembangan aritmatika.

1 . Barisan tersebut diberikan dengan rumus suku ke-n: . Buktikan bahwa barisan tersebut merupakan barisan aritmatika.

Mari kita buktikan bahwa selisih dua suku yang berdekatan pada barisan tersebut sama dengan bilangan yang sama.

Kami menemukan bahwa perbedaan antara dua anggota barisan yang berdekatan tidak bergantung pada jumlahnya dan merupakan konstanta. Oleh karena itu, menurut definisi, barisan ini adalah barisan aritmatika.

2 . Diketahui barisan aritmatika -31; -27;...

a) Tentukan 31 suku barisan tersebut.

b) Tentukan apakah kemajuan ini nomor 41.

A) Kami melihat itu;

Mari kita tuliskan rumus suku ke-n untuk perkembangan kita.

Secara umum

Dalam kasus kami , Itu sebabnya

Beberapa orang memperlakukan kata “kemajuan” dengan hati-hati, sebagai istilah yang sangat kompleks dari beberapa bagian matematika yang lebih tinggi. Sedangkan barisan aritmatika yang paling sederhana adalah kerja meteran taksi (yang masih ada). Dan memahami esensinya (dan dalam matematika tidak ada yang lebih penting daripada “mendapatkan esensi”) barisan aritmatika Ini tidak terlalu sulit setelah Anda memahami beberapa konsep dasar.

Urutan bilangan matematika

Barisan bilangan biasanya disebut barisan bilangan yang masing-masing mempunyai bilangan tersendiri.

a 1 adalah anggota pertama barisan tersebut;

dan 2 adalah suku kedua barisan tersebut;

dan 7 adalah anggota ketujuh dari barisan tersebut;

dan n adalah anggota barisan ke-n;

Namun, tidak ada kumpulan angka dan angka yang menarik minat kami. Kita akan memusatkan perhatian kita pada barisan bilangan yang nilai suku ke-n berhubungan dengan bilangan urutnya melalui hubungan yang dapat dirumuskan dengan jelas secara matematis. Dengan kata lain: nilai numerik Bilangan ke-n merupakan suatu fungsi dari n.

a adalah nilai anggota barisan bilangan;

n adalah nomor serinya;

f(n) adalah suatu fungsi, dimana bilangan urut dalam barisan numerik n adalah argumennya.

Definisi

Barisan aritmatika biasanya disebut barisan bilangan yang setiap suku berikutnya lebih besar (lebih kecil) dari suku sebelumnya dengan bilangan yang sama. Rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah sebagai berikut:

a n - nilai anggota perkembangan aritmatika saat ini;

a n+1 - rumus angka berikutnya;

d - selisih (angka tertentu).

Mudah untuk menentukan bahwa jika selisihnya positif (d>0), maka setiap anggota deret berikutnya yang ditinjau akan lebih besar dari anggota sebelumnya dan barisan aritmatika tersebut akan meningkat.

Pada grafik di bawah ini mudah untuk melihat mengapa barisan bilangan disebut “bertambah”.

Dalam hal perbedaannya negatif (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Nilai anggota yang ditentukan

Kadang-kadang perlu untuk menentukan nilai suatu suku sembarang a n dari suatu barisan aritmatika. Hal ini dapat dilakukan dengan menghitung nilai seluruh anggota barisan aritmatika secara berurutan, mulai dari yang pertama hingga yang diinginkan. Namun, jalur ini tidak selalu dapat diterima jika, misalnya, perlu mencari nilai suku ke lima ribu atau delapan juta. Perhitungan tradisional akan memakan banyak waktu. Namun, barisan aritmatika tertentu dapat dipelajari dengan menggunakan rumus tertentu. Ada juga rumus untuk suku ke-n: nilai suatu suku suatu barisan aritmatika dapat ditentukan sebagai jumlah suku pertama barisan tersebut dengan selisih barisan tersebut, dikalikan dengan banyaknya suku yang diinginkan, dikurangi dengan satu.

Rumusnya bersifat universal untuk menaikkan dan menurunkan perkembangan.

Contoh penghitungan nilai suatu suku tertentu

Mari kita selesaikan soal mencari nilai suku ke-n suatu barisan aritmatika berikut ini.

Kondisi: terdapat barisan aritmatika dengan parameter:

Suku pertama barisan tersebut adalah 3;

Selisih deret bilangan tersebut adalah 1,2.

Tugas: Anda perlu mencari nilai 214 suku

Penyelesaian: untuk menentukan nilai suatu suku, kita menggunakan rumus:

a(n) = a1 + d(n-1)

Mengganti data dari pernyataan masalah ke dalam ekspresi, kita mendapatkan:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Jawab: Suku ke-214 barisan tersebut sama dengan 258,6.

Keuntungan dari metode penghitungan ini jelas - seluruh solusi membutuhkan tidak lebih dari 2 baris.

Jumlah sejumlah suku tertentu

Sangat sering, dalam deret aritmatika tertentu, perlu untuk menentukan jumlah nilai beberapa segmennya. Untuk melakukan ini, juga tidak perlu menghitung nilai setiap suku lalu menjumlahkannya. Cara ini dapat diterapkan jika jumlah suku yang jumlah perlu dicari sedikit. Dalam kasus lain, akan lebih mudah menggunakan rumus berikut.

Jumlah suku-suku suatu barisan aritmatika dari 1 ke n sama dengan jumlah suku pertama dan suku ke-n, dikalikan banyaknya suku n dan dibagi dua. Jika dalam rumus nilai suku ke-n diganti dengan ekspresi paragraf artikel sebelumnya, kita peroleh:

Contoh perhitungan

Misalnya, mari kita selesaikan masalah dengan kondisi berikut:

Suku pertama barisan tersebut adalah nol;

Perbedaannya adalah 0,5.

Soal tersebut memerlukan penentuan jumlah suku deret tersebut dari 56 hingga 101.

Larutan. Mari kita gunakan rumus untuk menentukan besarnya perkembangan:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Pertama, kita menentukan jumlah nilai 101 suku perkembangan dengan mensubstitusi kondisi tertentu dari masalah kita ke dalam rumus:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Tentunya untuk mengetahui jumlah suku-suku barisan dari ke-56 ke ke-101, S 55 perlu dikurangkan dari S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Jadi, jumlah perkembangan aritmatika untuk contoh ini adalah:

s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5

Contoh penerapan praktis perkembangan aritmatika

Di akhir artikel, mari kita kembali ke contoh barisan aritmatika yang diberikan di paragraf pertama - Argometer (meteran mobil taksi). Mari kita pertimbangkan contoh ini.

Naik taksi (yang mencakup perjalanan sejauh 3 km) dikenakan biaya 50 rubel. Setiap kilometer berikutnya dibayar dengan tarif 22 rubel/km. Jarak tempuh 30 km. Hitung biaya perjalanan.

1. Ayo buang 3 km pertama yang harganya sudah termasuk biaya pendaratan.

30 - 3 = 27 km.

2. Perhitungan selanjutnya tidak lebih dari penguraian suatu deret bilangan aritmatika.

Nomor anggota - jumlah kilometer yang ditempuh (dikurangi tiga kilometer pertama).

Nilai anggota adalah penjumlahannya.

Suku pertama dalam soal ini akan sama dengan 1 = 50 rubel.

Selisih perkembangan d = 22 r.

bilangan yang kita minati adalah nilai suku ke (27+1) barisan aritmatika - pembacaan meter pada akhir kilometer ke 27 adalah 27,999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Perhitungan data kalender untuk jangka waktu yang lama didasarkan pada rumus yang menjelaskan urutan numerik tertentu. Dalam astronomi, panjang orbit secara geometris bergantung pada jarak benda langit ke bintang. Selain itu, berbagai deret bilangan berhasil digunakan dalam statistik dan bidang matematika terapan lainnya.

Jenis barisan bilangan lainnya adalah geometri

Perkembangan geometri dicirikan oleh tingkat perubahan yang lebih besar dibandingkan dengan perkembangan aritmatika. Bukan suatu kebetulan bahwa dalam politik, sosiologi, dan kedokteran, untuk menunjukkan tingginya kecepatan penyebaran suatu fenomena tertentu, misalnya penyakit pada masa epidemi, sering dikatakan bahwa prosesnya berkembang secara eksponensial.

Suku ke-N suatu deret bilangan geometri berbeda dengan suku sebelumnya karena dikalikan dengan suatu bilangan konstan - penyebutnya, misalnya suku pertama adalah 1, maka penyebutnya juga sama dengan 2, maka:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - nilai suku saat ini dari barisan geometri;

b n+1 - rumus suku berikutnya dari barisan geometri;

q adalah penyebut barisan geometri (bilangan konstan).

Jika grafik barisan aritmatika berbentuk garis lurus, maka barisan geometri memberikan gambaran yang sedikit berbeda:

Seperti halnya aritmatika, barisan geometri memiliki rumus untuk nilai suatu suku sembarang. Suku ke-n suatu barisan geometri sama dengan hasil kali suku pertama dan penyebut barisan tersebut pangkat n dikurangi satu:

Contoh. Kita mempunyai barisan geometri yang suku pertamanya sama dengan 3 dan penyebut barisan tersebut sama dengan 1,5. Mari kita cari suku ke-5 dari perkembangan tersebut

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Jumlah sejumlah suku tertentu juga dihitung menggunakan rumus khusus. Jumlah n suku pertama suatu barisan geometri sama dengan selisih antara hasil kali suku ke-n barisan tersebut dan penyebutnya dan suku pertama barisan tersebut, dibagi dengan penyebutnya dikurangi satu:

Jika b n diganti dengan rumus yang telah dibahas di atas, maka nilai jumlah n suku pertama deret bilangan yang ditinjau akan berbentuk:

Contoh. Perkembangan geometri dimulai dengan suku pertama sama dengan 1. Penyebutnya ditetapkan menjadi 3. Mari kita cari jumlah delapan suku pertama.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Kemajuan aritmatika sebutkan barisan bilangan (suku suatu barisan)

Dimana setiap suku berikutnya berbeda dari suku sebelumnya dengan suku baru, yang disebut juga perbedaan langkah atau perkembangan.

Jadi, dengan menentukan langkah perkembangan dan suku pertamanya, Anda dapat mencari salah satu elemennya menggunakan rumus

Sifat-sifat barisan aritmatika

1) Setiap anggota suatu barisan aritmatika, mulai dari bilangan kedua, adalah rata-rata aritmatika dari anggota barisan sebelumnya dan berikutnya

Hal sebaliknya juga benar. Jika rata-rata aritmatika suku-suku ganjil (genap) yang berdekatan suatu barisan sama dengan suku-suku yang berada di antara suku-suku tersebut, maka barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmatika. Dengan menggunakan pernyataan ini, sangat mudah untuk memeriksa urutan apa pun.

Selain itu, berdasarkan sifat perkembangan aritmatika, rumus di atas dapat digeneralisasikan sebagai berikut

Hal ini mudah diverifikasi jika Anda menuliskan suku-sukunya di sebelah kanan tanda sama dengan

Ini sering digunakan dalam praktik untuk menyederhanakan perhitungan dalam soal.

2) Jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika dihitung dengan menggunakan rumus

Ingat baik-baik rumus jumlah barisan aritmatika ini sangat diperlukan dalam perhitungan dan cukup sering ditemukan dalam situasi kehidupan sederhana.

3) Jika Anda tidak perlu mencari jumlah keseluruhannya, tetapi sebagian barisan yang dimulai dari suku ke-k, maka rumus penjumlahan berikut akan berguna bagi Anda

4) Yang menarik secara praktis adalah mencari jumlah n suku suatu barisan aritmatika yang dimulai dari bilangan ke-k. Untuk melakukan ini, gunakan rumus

Ini menyimpulkan materi teoretis dan melanjutkan ke pemecahan masalah umum dalam praktik.

Contoh 1. Tentukan suku keempat puluh barisan aritmatika 4;7;...

Larutan:

Sesuai dengan kondisi yang kita miliki

Mari kita tentukan langkah perkembangannya

Dengan menggunakan rumus yang terkenal, kita mencari suku keempat puluh dari perkembangan tersebut

Contoh 2. Perkembangan aritmatika ditentukan oleh suku ketiga dan ketujuh. Tentukan suku pertama barisan tersebut dan jumlah sepuluhnya.

Larutan:

Mari kita tuliskan unsur-unsur perkembangan tertentu menggunakan rumus

Kami mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua, sebagai hasilnya kami menemukan langkah perkembangannya

Kami mengganti nilai yang ditemukan ke dalam persamaan mana pun untuk mencari suku pertama barisan aritmatika

Kami menghitung jumlah sepuluh suku pertama perkembangannya

Tanpa menggunakan perhitungan yang rumit, kami menemukan semua jumlah yang dibutuhkan.

Contoh 3. Suatu barisan aritmatika dinyatakan dengan penyebut dan salah satu sukunya. Tentukan suku pertama suatu barisan, jumlah 50 sukunya dimulai dari 50, dan jumlah 100 suku pertama.

Larutan:

Mari kita tuliskan rumus unsur keseratus dari perkembangan tersebut

dan temukan yang pertama

Berdasarkan persamaan pertama, kita mencari suku ke-50 dari perkembangan tersebut

Menemukan jumlah bagian perkembangannya

dan jumlah 100 yang pertama

Jumlah perkembangannya adalah 250.

Contoh 4.

Tentukan banyaknya suku suatu barisan aritmatika jika:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Larutan:

Mari kita tulis persamaan suku pertama dan langkah perkembangannya dan tentukan

Kami mengganti nilai yang diperoleh ke dalam rumus penjumlahan untuk menentukan jumlah suku dalam penjumlahan

Kami melakukan penyederhanaan

dan selesaikan persamaan kuadratnya

Dari dua nilai yang ditemukan, hanya angka 8 yang sesuai dengan kondisi permasalahan. Jadi, jumlah delapan suku pertama barisan tersebut adalah 111.

Contoh 5.

Selesaikan persamaannya

1+3+5+...+x=307.

Solusi: Persamaan ini adalah jumlah dari barisan aritmatika. Mari kita tuliskan suku pertamanya dan temukan perbedaan perkembangannya

Masalah perkembangan aritmatika sudah ada pada zaman dahulu. Mereka muncul dan menuntut solusi karena mempunyai kebutuhan praktis.

Jadi, salah satu papirus Mesir Kuno yang mempunyai kandungan matematika, yaitu papirus Rhind (abad ke-19 SM), memuat tugas sebagai berikut: membagi sepuluh takaran roti kepada sepuluh orang, dengan syarat selisih masing-masingnya adalah seperdelapan dari ukurannya."

Dan dalam karya matematika orang Yunani kuno terdapat teorema elegan yang berkaitan dengan perkembangan aritmatika. Jadi, Hypsicles dari Alexandria (abad ke-2, yang menyusun banyak masalah menarik dan menambahkan buku keempat belas ke dalam Euclid's Elements), merumuskan gagasan: “Dalam suatu barisan aritmatika yang memiliki jumlah suku genap, jumlah suku-suku pada babak ke-2 lebih besar dari jumlah suku ke-1 pada kuadrat 1/ 2 jumlah anggotanya."

Barisan tersebut dilambangkan dengan an. Bilangan-bilangan suatu barisan disebut anggota-anggotanya dan biasanya dilambangkan dengan huruf-huruf dengan indeks yang menunjukkan nomor urut anggota tersebut (a1, a2, a3 ... dibaca: “a ke-1”, “a ke-2”, “a ke-3” dan seterusnya ).

Urutannya bisa tidak terbatas atau terbatas.

Apa yang dimaksud dengan perkembangan aritmatika? Yang kami maksud adalah suku yang diperoleh dengan menjumlahkan suku sebelumnya (n) dengan bilangan d yang sama, yaitu selisih perkembangannya.

Jika d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, maka perkembangan tersebut dianggap meningkat.

Suatu barisan aritmatika disebut berhingga jika hanya beberapa suku pertamanya saja yang diperhitungkan. Dengan jumlah anggota yang sangat banyak, hal ini sudah merupakan perkembangan yang tidak ada habisnya.

Setiap perkembangan aritmatika ditentukan oleh rumus berikut:

an =kn+b, sedangkan b dan k adalah beberapa bilangan.

Pernyataan sebaliknya benar sekali: jika suatu barisan diberikan dengan rumus yang sama, maka barisan tersebut merupakan barisan aritmatika yang mempunyai sifat-sifat:

1. Setiap suku suatu barisan adalah rata-rata aritmatika dari suku sebelumnya dan suku berikutnya.
2. Kebalikan: jika, mulai dari suku ke-2, setiap suku merupakan mean aritmatika dari suku sebelumnya dan suku berikutnya, yaitu. jika syaratnya terpenuhi, maka barisan tersebut merupakan barisan aritmatika. Persamaan ini sekaligus merupakan tanda kemajuan, oleh karena itu biasa disebut sifat ciri kemajuan.
   Dengan cara yang sama, teorema yang mencerminkan sifat ini juga benar: suatu barisan adalah barisan aritmatika hanya jika persamaan ini benar untuk salah satu suku barisan tersebut, dimulai dari yang ke-2.

Sifat karakteristik empat bilangan suatu barisan aritmatika dapat dinyatakan dengan rumus an + am = ak + al, jika n + m = k + l (m, n, k adalah bilangan barisan).

Dalam barisan aritmatika, suku-suku penting (ke-N) dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut:

Contoh: suku pertama (a1) pada suatu barisan aritmatika diberikan sama dengan tiga, dan selisihnya (d) sama dengan empat. Anda perlu mencari suku keempat puluh lima dari perkembangan ini. a45 = 1+4(45-1)=177

Rumus an = ak + d(n - k) memungkinkan Anda menentukan suku ke-n suatu barisan aritmatika melalui suku ke-k mana pun, asalkan diketahui.

Jumlah suku suatu barisan aritmatika (artinya n suku pertama suatu barisan berhingga) dihitung sebagai berikut:

Sn = (a1+an) n/2.

Jika suku pertama juga diketahui, maka rumus lain yang cocok untuk perhitungan:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Jumlah barisan aritmatika yang memuat n suku dihitung sebagai berikut:

Pemilihan rumus perhitungan tergantung pada kondisi soal dan data awal.

Deret natural bilangan apa pun, seperti 1,2,3,...,n,..., adalah contoh barisan aritmatika yang paling sederhana.

Selain barisan aritmatika, ada juga barisan geometri yang mempunyai sifat dan ciri tersendiri.