Setelah menerima gambaran umum tentang persamaan, dan setelah mengenal salah satu jenisnya - persamaan numerik, Anda dapat mulai membicarakan hal lain yang sangat penting. poin praktis dari segi bentuk persamaan – tentang persamaan. Pada artikel ini kita akan melihat apa itu persamaan, dan apa yang disebut akar persamaan. Di sini kami akan memberikan definisi terkait, serta memberikan berbagai contoh persamaan dan akar-akarnya.
Navigasi halaman.
Apa itu persamaan?
Pengenalan persamaan yang ditargetkan biasanya dimulai pada pelajaran matematika di kelas 2 SD. Kali ini diberikan yang berikut ini definisi persamaan:
Definisi.
Persamaan adalah persamaan yang mengandung bilangan tak dikenal yang perlu dicari.
Bilangan tak dikenal dalam persamaan biasanya dilambangkan dengan huruf latin kecil, misalnya p, t, u, dst, namun yang paling sering digunakan adalah huruf x, y, dan z.
Dengan demikian, persamaan ditentukan dari sudut pandang bentuk tulisannya. Dengan kata lain, persamaan adalah suatu persamaan yang mematuhi aturan penulisan yang ditentukan - persamaan tersebut berisi huruf yang perlu dicari nilainya.
Mari kita beri contoh yang pertama dan paling utama persamaan sederhana. Mari kita mulai dengan persamaan bentuk x=8, y=3, dst. Persamaan yang mengandung tanda aritmatika beserta angka dan huruf terlihat sedikit lebih rumit, misalnya x+2=3, z−2=5, 3·t=9, 8:x=2.
Variasi persamaan bertambah setelah terbiasa - persamaan dengan tanda kurung mulai bermunculan, misalnya 2·(x−1)=18 dan x+3·(x+2·(x−2))=3. Huruf yang tidak diketahui dalam suatu persamaan bisa muncul beberapa kali, misalnya x+3+3·x−2−x=9, huruf juga bisa berada di sisi kiri persamaan, di sisi kanan persamaan, atau di kedua sisi persamaan. persamaannya, misalnya x (3+1)−4=8, 7−3=z+1 atau 3·x−4=2·(x+12) .
Selanjutnya setelah belajar bilangan asli perkenalan dengan bilangan bulat, rasional, bilangan real terjadi, yang baru dipelajari objek matematika: pangkat, akar, logaritma, dll., sementara semakin banyak jenis persamaan baru yang memuat hal-hal tersebut bermunculan. Contohnya bisa dilihat di artikel jenis persamaan dasar belajar di sekolah.
Di kelas 7, bersama dengan huruf-huruf yang berarti beberapa angka tertentu, mereka mulai mempertimbangkan huruf-huruf yang dapat diambil arti yang berbeda, mereka disebut variabel (lihat artikel). Pada saat yang sama, kata “variabel” dimasukkan ke dalam definisi persamaan, dan menjadi seperti ini:
Definisi.
Persamaan disebut persamaan yang mengandung variabel yang nilainya perlu dicari.
Misalnya persamaan x+3=6·x+7 adalah persamaan dengan variabel x, dan 3·z−1+z=0 adalah persamaan dengan variabel z.
Selama pelajaran aljabar di kelas 7 yang sama, kita menemukan persamaan yang mengandung bukan hanya satu, tetapi dua variabel berbeda yang tidak diketahui. Itu disebut persamaan dengan dua variabel. Di masa depan, kehadiran tiga variabel atau lebih dalam persamaan diperbolehkan.
Definisi.
Persamaan dengan satu, dua, tiga, dst. variabel- ini adalah persamaan yang masing-masing mengandung satu, dua, tiga, ... variabel yang tidak diketahui.
Misalnya persamaan 3.2 x+0.5=1 adalah persamaan dengan satu variabel x, sedangkan persamaan berbentuk x−y=3 adalah persamaan dengan dua variabel x dan y. Dan satu contoh lagi: x 2 +(y−1) 2 +(z+0.5) 2 =27. Jelas bahwa persamaan tersebut adalah persamaan dengan tiga variabel yang tidak diketahui x, y dan z.
Apa akar persamaan?
Definisi suatu persamaan berhubungan langsung dengan definisi akar persamaan tersebut. Mari kita lakukan beberapa alasan yang akan membantu kita memahami apa akar persamaannya.
Misalkan kita mempunyai persamaan dengan satu huruf (variabel). Jika alih-alih sebuah huruf yang termasuk dalam entri persamaan ini, suatu angka tertentu diganti, maka persamaan tersebut berubah menjadi persamaan numerik. Selain itu, persamaan yang dihasilkan bisa benar atau salah. Misalnya, jika Anda mengganti angka 2 dan bukan huruf a dalam persamaan a+1=5, Anda akan mendapatkan persamaan numerik 2+1=5 yang salah. Jika kita mengganti angka 4 dan bukan a dalam persamaan ini, kita mendapatkan persamaan yang benar 4+1=5.
Dalam praktiknya, dalam sebagian besar kasus, nilai-nilai variabel yang menjadi perhatian adalah nilai-nilai yang substitusinya ke dalam persamaan memberikan persamaan yang benar; persamaan yang diberikan.
Definisi.
Akar persamaan- ini adalah nilai huruf (variabel), yang jika disubstitusikan persamaannya berubah menjadi persamaan numerik yang benar.
Perhatikan bahwa akar persamaan dalam satu variabel disebut juga penyelesaian persamaan. Dengan kata lain, penyelesaian suatu persamaan dan akar persamaan adalah hal yang sama.
Mari kita jelaskan definisi ini dengan sebuah contoh. Untuk melakukannya, mari kita kembali ke persamaan yang ditulis di atas a+1=5. Menurut definisi akar persamaan yang disebutkan, angka 4 adalah akar persamaan ini, karena ketika mengganti angka ini dengan huruf a kita mendapatkan persamaan yang benar 4+1=5, dan angka 2 bukan miliknya. root, karena sesuai dengan persamaan bentuk yang salah 2+1= 5.
Pada titik ini, sejumlah pertanyaan wajar muncul: “Apakah suatu persamaan mempunyai akar, dan berapa banyak akar yang dimilikinya?” persamaan yang diberikan"? Kami akan menjawabnya.
Ada persamaan yang mempunyai akar dan persamaan yang tidak mempunyai akar. Misalnya, persamaan x+1=5 mempunyai akar 4, tetapi persamaan 0 x=5 tidak mempunyai akar, karena berapa pun bilangan yang kita substitusikan ke dalam persamaan ini dan bukan variabel x, kita akan mendapatkan persamaan yang salah 0=5 .
Adapun jumlah akar suatu persamaan ada sebagai persamaan yang memiliki beberapa nomor akhir akar (satu, dua, tiga, dst.), dan persamaan yang memiliki banyak akar tak terhingga. Misalnya persamaan x−2=4 mempunyai akar tunggal 6, akar-akar persamaan x 2 =9 adalah dua bilangan −3 dan 3, persamaan x·(x−1)·(x−2)=0 memiliki tiga akar 0, 1 dan 2, dan penyelesaian persamaan x=x adalah bilangan apa pun, yaitu mempunyai himpunan tak terbatas akar.
Beberapa kata harus dikatakan tentang notasi yang diterima untuk akar-akar persamaan. Jika suatu persamaan tidak memiliki akar, biasanya ditulis “persamaan tersebut tidak memiliki akar”, atau menggunakan tanda himpunan kosong ∅. Jika persamaan mempunyai akar-akar, maka persamaan tersebut ditulis dipisahkan dengan koma, atau ditulis sebagai elemen himpunan dalam tanda kurung kurawal. Misalnya, jika akar-akar persamaannya adalah bilangan −1, 2 dan 4, tulislah −1, 2, 4 atau (−1, 2, 4). Akar-akar persamaan juga boleh dituliskan dalam bentuk persamaan sederhana. Misalnya, jika persamaannya mengandung huruf x, dan akar persamaannya adalah angka 3 dan 5, maka Anda dapat menulis x=3, x=5, dan subskrip x 1 =3, x 2 =5 sering ditambahkan ke variabel, seolah-olah menunjukkan bilangan akar persamaan. Himpunan akar-akar persamaan yang tak terhingga biasanya ditulis dalam bentuk, dan jika memungkinkan, notasi untuk himpunan bilangan asli N, bilangan bulat Z, dan bilangan real R digunakan. Misalnya, jika akar persamaan dengan variabel x adalah bilangan bulat apa pun, maka tuliskan , dan jika akar persamaan dengan variabel y adalah sembarang bilangan real dari 1 sampai 9 inklusif, lalu tulis .
Untuk persamaan dengan dua, tiga dan sejumlah besar variabel, sebagai aturan, istilah "akar persamaan" tidak digunakan; dalam kasus ini disebut "solusi persamaan". Apa yang disebut menyelesaikan persamaan dengan beberapa variabel? Mari kita berikan definisi yang sesuai.
Definisi.
Menyelesaikan persamaan dengan dua, tiga, dst. variabel disebut sepasang, tiga, dan seterusnya. nilai variabel, mengubah persamaan ini menjadi persamaan numerik yang benar.
Mari kita tunjukkan contoh penjelasan. Pertimbangkan persamaan dengan dua variabel x+y=7. Mari kita substitusikan angka 1 sebagai ganti x, dan angka 2 sebagai ganti y, dan kita mendapatkan persamaan 1+2=7. Jelas sekali salah, oleh karena itu pasangan nilai x=1, y=2 bukan merupakan penyelesaian persamaan tertulis. Jika kita mengambil sepasang nilai x=4, y=3, maka setelah disubstitusikan ke dalam persamaan kita akan sampai pada persamaan yang benar 4+3=7, oleh karena itu, pasangan nilai variabel ini, menurut definisi, adalah solusi ke persamaan x+y=7.
Persamaan dengan beberapa variabel, seperti persamaan dengan satu variabel, mungkin tidak memiliki akar, mungkin memiliki jumlah akar yang terbatas, atau mungkin memiliki jumlah akar yang tidak terbatas.
Berpasangan, kembar tiga, empat kali lipat, dll. Nilai variabel sering kali ditulis secara singkat, mencantumkan nilainya, dipisahkan dengan koma dalam tanda kurung. Dalam hal ini, angka-angka yang ditulis dalam tanda kurung sesuai dengan variabel dalam urutan abjad. Mari kita perjelas poin ini dengan kembali ke persamaan sebelumnya x+y=7. Solusi persamaan x=4, y=3 dapat ditulis secara singkat sebagai (4, 3).
Perhatian terbesar dalam pelajaran matematika, aljabar, dan permulaan analisis sekolah diberikan pada pencarian akar persamaan dengan satu variabel. Kami akan membahas aturan proses ini dengan sangat rinci di artikel. menyelesaikan persamaan.
Referensi.
- Matematika. 2 kelas Buku pelajaran untuk pendidikan umum institusi dengan adj. per elektron pembawa. Pada jam 2 siang Bagian 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, dan lainnya] - edisi ke-3. - M.: Pendidikan, 2012. - 96 hal.: sakit. - (Sekolah Rusia). - ISBN 978-5-09-028297-0.
- Aljabar: buku pelajaran untuk kelas 7. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-17. - M.: Pendidikan, 2008. - 240 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Aljabar: kelas 9: mendidik. untuk pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2009. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Setelah kita mempelajari konsep persamaan, yaitu salah satu jenisnya – persamaan numerik, kita dapat melanjutkan ke jenis lainnya pandangan penting– persamaan. Di dalam dari bahan ini kami akan menjelaskan apa itu persamaan dan akarnya, merumuskan definisi dasar dan memberikannya berbagai contoh persamaan dan mencari akar-akarnya.
Yandex.RTB RA-339285-1
Konsep persamaan
Biasanya konsep persamaan dipelajari di awal kursus sekolah aljabar. Kemudian didefinisikan seperti ini:
Definisi 1
Persamaan disebut kesetaraan dengan nomor tak dikenal, yang perlu ditemukan.
Merupakan kebiasaan untuk menyebut hal-hal yang tidak diketahui sebagai hal yang kecil dalam huruf latin, misalnya, t, r, m dll., tetapi paling sering digunakan x, y, z. Dengan kata lain persamaan ditentukan oleh bentuk pencatatannya, yaitu persamaan akan menjadi persamaan hanya jika direduksi menjadi tipe tertentu– harus berisi huruf, yang perlu dicari maknanya.
Mari kita berikan beberapa contoh persamaan paling sederhana. Ini bisa berupa persamaan dalam bentuk x = 5, y = 6, dst., serta persamaan yang mencakup operasi aritmatika, misalnya x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 · t = 4, 6: x = 3.
Setelah konsep tanda kurung dipelajari maka muncullah konsep persamaan dengan tanda kurung. Ini termasuk 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3, dst. Huruf yang perlu dicari bisa muncul lebih dari satu kali, tetapi beberapa kali, seperti , misalnya pada persamaan x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10. Selain itu, bilangan yang tidak diketahui dapat ditempatkan tidak hanya di sebelah kiri, tetapi juga di sebelah kanan atau di kedua bagian secara bersamaan, misalnya x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 atau 8 x − 9 = 2 (x + 17) .
Selanjutnya, setelah siswa mengenal konsep bilangan bulat, real, rasional, bilangan asli, serta logaritma, akar, dan pangkat, muncul persamaan baru yang mencakup semua objek tersebut. Kami telah menyediakan artikel terpisah untuk contoh ekspresi tersebut.
Pada kurikulum kelas 7 konsep variabel muncul pertama kali. Ini adalah surat-surat yang bisa diambil arti yang berbeda(untuk lebih jelasnya lihat artikel tentang angka, ekspresi literal dan ekspresi dengan variabel). Berdasarkan konsep ini, kita dapat mendefinisikan kembali persamaan:
Definisi 2
Persamaan adalah persamaan yang melibatkan variabel yang nilainya perlu dihitung.
Misalnya, ekspresi x + 3 = 6 x + 7 adalah persamaan dengan variabel x, dan 3 y − 1 + y = 0 adalah persamaan dengan variabel y.
Satu persamaan bisa mempunyai lebih dari satu variabel, melainkan dua atau lebih. Masing-masing disebut persamaan dengan dua, tiga variabel, dan seterusnya. Mari kita tuliskan definisinya:
Definisi 3
Persamaan dengan dua (tiga, empat atau lebih) variabel adalah persamaan yang mencakup sejumlah variabel yang tidak diketahui.
Misalnya persamaan bentuk 3, 7 x + 0, 6 = 1 adalah persamaan dengan satu variabel x, dan x − z = 5 adalah persamaan dengan dua variabel x dan z. Contoh persamaan dengan tiga variabel adalah x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.
Akar persamaan
Ketika kita berbicara tentang suatu persamaan, segera muncul kebutuhan untuk mendefinisikan konsep akarnya. Mari kita coba jelaskan apa maksudnya.
Contoh 1
Kita diberikan persamaan tertentu yang mencakup satu variabel. Jika kita mengganti huruf yang tidak diketahui dengan angka, persamaannya menjadi persamaan numerik - benar atau salah. Jadi, jika pada persamaan a + 1 = 5 kita mengganti huruf dengan angka 2, maka persamaannya menjadi salah, dan jika 4 maka persamaan yang benar adalah 4 + 1 = 5.
Kami lebih tertarik pada nilai-nilai yang dengannya variabel tersebut akan berubah menjadi persamaan yang sebenarnya. Mereka disebut akar atau solusi. Mari kita tuliskan definisinya.
Definisi 4
Akar persamaan Mereka menyebut nilai suatu variabel yang mengubah persamaan tertentu menjadi persamaan sejati.
Akar juga bisa disebut solusi, atau sebaliknya - kedua konsep ini memiliki arti yang sama.
Contoh 2
Mari kita ambil contoh untuk memperjelas definisi ini. Di atas kami memberikan persamaan a + 1 = 5. Menurut definisinya, akarnya adalah dalam hal ini akan menjadi 4, karena jika diganti dengan huruf, akan menghasilkan persamaan numerik yang benar, dan dua tidak akan menjadi penyelesaian, karena sesuai dengan persamaan yang salah 2 + 1 = 5.
Berapa banyak akar yang dapat dimiliki suatu persamaan? Apakah setiap persamaan mempunyai akar? Mari kita jawab pertanyaan-pertanyaan ini.
Persamaan yang tidak memiliki akar tunggal juga ada. Contohnya adalah 0 x = 5. Kita bisa mengganti banyak hal nomor yang berbeda, namun tidak ada satupun yang dapat mengubahnya menjadi persamaan sejati, karena mengalikannya dengan 0 selalu menghasilkan 0.
Ada juga persamaan yang memiliki beberapa akar. Mereka bisa terbatas atau tidak terbatas jumlah besar akar.
Contoh 3
Jadi, pada persamaan x − 2 = 4 hanya terdapat satu akar - enam, pada x 2 = 9 dua akar - tiga dan dikurangi tiga, pada x · (x − 1) · (x − 2) = 0 tiga akar - nol, satu dan dua, persamaan x=x mempunyai banyak akar yang tak terhingga.
Sekarang mari kita jelaskan cara menulis akar-akar persamaan dengan benar. Jika tidak ada, maka kita tulis: “persamaan tersebut tidak memiliki akar”. Dalam hal ini, Anda juga dapat menunjukkan tanda himpunan kosong ∅. Jika ada akar-akarnya, maka kita menulisnya dengan dipisahkan koma atau menunjukkannya sebagai elemen suatu himpunan, diapit dalam kurung kurawal. Jadi, jika suatu persamaan memiliki tiga akar - 2, 1 dan 5, maka kita tulis - 2, 1, 5 atau (- 2, 1, 5).
Diperbolehkan menulis akar dalam bentuk persamaan sederhana. Jadi, jika persamaan yang tidak diketahui dilambangkan dengan huruf y, dan akar-akarnya adalah 2 dan 7, maka kita tulis y = 2 dan y = 7. Terkadang subskrip ditambahkan pada huruf, misalnya x 1 = 3, x 2 = 5. Dengan cara ini kita menunjukkan jumlah akarnya. Jika persamaan memiliki jumlah solusi yang tak terhingga, maka kita menulis jawabannya sebagai interval numerik atau menggunakan notasi yang berlaku umum: himpunan bilangan asli dilambangkan N, bilangan bulat - Z, bilangan real - R. Katakanlah, jika kita perlu menulis bahwa solusi persamaannya adalah bilangan bulat apa pun, maka kita tuliskan bahwa x ∈ Z, dan jika ada bilangan real dari satu hingga sembilan, maka y ∈ 1, 9.
Jika suatu persamaan memiliki dua, tiga akar atau lebih, maka, sebagai suatu peraturan, kita tidak berbicara tentang akar-akarnya, tetapi tentang solusi persamaan tersebut. Mari kita rumuskan definisi penyelesaian persamaan dengan beberapa variabel.
Definisi 5
Penyelesaian persamaan dengan dua, tiga atau lebih variabel adalah dua, tiga atau lebih nilai variabel yang mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan numerik yang benar.
Mari kita jelaskan definisinya dengan contoh.
Contoh 4
Katakanlah kita mempunyai persamaan x + y = 7, yang merupakan persamaan dengan dua variabel. Mari kita gantikan satu dengan yang pertama, dan dua sebagai pengganti yang kedua. Kita akan mendapatkan persamaan yang salah, artinya pasangan nilai tersebut tidak akan menjadi solusi persamaan tersebut. Jika kita ambil pasangan 3 dan 4, maka persamaan tersebut menjadi benar yang berarti kita telah menemukan penyelesaiannya.
Persamaan seperti itu mungkin juga tidak memiliki akar atau jumlahnya tidak terbatas. Jika kita perlu menuliskan dua, tiga, empat nilai atau lebih, maka kita menuliskannya dengan dipisahkan koma di dalam tanda kurung. Artinya, pada contoh di atas, jawabannya akan terlihat seperti (3, 4).
Dalam praktiknya, Anda paling sering harus berurusan dengan persamaan yang mengandung satu variabel. Kami akan mempertimbangkan algoritma untuk menyelesaikannya secara rinci dalam artikel yang ditujukan untuk menyelesaikan persamaan.
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter
Dalam aljabar, ada konsep dua jenis persamaan - identitas dan persamaan. Identitas adalah persamaan yang berlaku untuk setiap nilai huruf yang terkandung di dalamnya. Persamaan juga merupakan persamaan, tetapi hanya dapat dilakukan untuk nilai tertentu dari huruf-huruf yang ada di dalamnya.
Sesuai dengan kondisi soal, huruf biasanya tidak sama. Ini berarti bahwa beberapa di antaranya dapat mengambil nilai apa pun yang dapat diterima, yang disebut koefisien (atau parameter), sementara yang lain - disebut tidak diketahui - mengambil nilai yang perlu ditemukan dalam proses penyelesaian. Biasanya, besaran yang tidak diketahui dilambangkan dalam persamaan dengan huruf terakhir di (x.y.z, dst.), atau dengan huruf yang sama, tetapi dengan indeks (x 1, x 2, dst.), dan koefisien yang diketahui - dengan yang pertama huruf-hurufnya alfabet yang sama.
Berdasarkan jumlah yang tidak diketahui, persamaan dengan satu, dua dan beberapa yang tidak diketahui dibedakan. Jadi, semua nilai yang tidak diketahui yang persamaannya diubah menjadi identitas disebut solusi persamaan. Suatu persamaan dikatakan terselesaikan jika seluruh penyelesaiannya telah ditemukan atau terbukti tidak ada penyelesaiannya. Tugas “menyelesaikan persamaan” adalah hal yang umum dalam praktik dan berarti Anda perlu menemukan akar persamaan tersebut.
Definisi: akar-akar persamaan adalah nilai-nilai yang tidak diketahui dari daerah yang diperbolehkan di mana persamaan yang diselesaikan berubah menjadi suatu identitas.
Algoritma untuk menyelesaikan semua persamaan adalah sama, dan maknanya adalah menggunakan transformasi matematika ekspresi ini mengarah ke lebih banyak lagi tampilan sederhana.
Persamaan yang dimiliki akar yang identik, dalam aljabar disebut setara.
Contoh paling sederhana: 7x-49=0, akar persamaan x=7;
x-7=0, demikian pula akar x=7, oleh karena itu persamaannya ekuivalen. (Dalam kasus khusus persamaan yang setara mungkin tidak memiliki akar sama sekali).
Jika akar suatu persamaan sekaligus merupakan akar persamaan lain yang lebih sederhana yang diperoleh dari persamaan awal melalui transformasi, maka persamaan tersebut disebut konsekuensi dari persamaan sebelumnya.
Jika salah satu dari dua persamaan merupakan konsekuensi dari persamaan lainnya, maka persamaan tersebut dianggap ekuivalen. Mereka juga disebut setara. Contoh di atas menggambarkan hal ini.
Memecahkan persamaan yang paling sederhana sekalipun dalam praktiknya sering kali menimbulkan kesulitan. Sebagai hasil dari penyelesaiannya, Anda bisa mendapatkan satu akar persamaan, dua atau lebih, genap jumlah yang tak terbatas- itu tergantung pada jenis persamaan. Ada juga yang tidak berakar, disebut tidak terpecahkan.
Contoh:
1) 15x -20=10; x=2. Ini adalah satu-satunya akar persamaan.
2) 7x - kamu=0. Persamaan tersebut memiliki jumlah akar yang tak terhingga, karena setiap variabel dapat memiliki jumlah nilai yang tak terhingga.
3) x 2 = - 16. Bilangan yang dipangkatkan kedua selalu menghasilkan hasil positif, jadi tidak mungkin menemukan akar persamaannya. Ini adalah salah satu persamaan yang tidak dapat diselesaikan yang dibahas di atas.
Kebenaran solusi diperiksa dengan mengganti huruf dengan akar yang ditemukan dan menyelesaikan contoh yang dihasilkan. Jika identitasnya terpenuhi, solusinya benar.
