Cara mencari penyebut rumus barisan geometri q. Kemajuan geometris. Urutan nomor vi

Sekarang mari kita pertimbangkan pertanyaan tentang penjumlahan dari sesuatu yang tak terhingga perkembangan geometri. Mari kita menyebut jumlah parsial suatu barisan tak terhingga sebagai jumlah suku pertamanya. Mari kita nyatakan jumlah parsial dengan simbol

Untuk setiap kemajuan yang tak terbatas

seseorang dapat menyusun barisan (juga tak terhingga) dari jumlah parsialnya

Biarkan barisan dengan pertambahan tak terbatas mempunyai batas

Dalam hal ini, bilangan S, yaitu limit jumlah parsial suatu barisan, disebut jumlah barisan tak hingga. Kita akan membuktikan bahwa barisan geometri menurun tak terhingga selalu mempunyai jumlah, dan kita akan memperoleh rumus untuk jumlah ini (kita juga dapat menunjukkan bahwa ketika kemajuan tanpa akhir tidak memiliki jumlah, tidak ada).

Mari kita tuliskan ekspresinya jumlah sebagian sebagai jumlah suku-suku perkembangan menurut rumus (91.1) dan kita akan mempertimbangkan limit jumlah parsial di

Dari Teorema 89 diketahui bahwa untuk perkembangan menurun; oleh karena itu, dengan menerapkan teorema limit selisih, kita temukan

(di sini aturannya juga digunakan: faktor konstanta diambil melampaui tanda batas). Keberadaannya terbukti, dan pada saat yang sama diperoleh rumus jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga:

Kesetaraan (92.1) juga dapat ditulis dalam bentuk

Mungkin tampak paradoks di sini mengenai jumlahnya jumlah yang tak terbatas persyaratan tersebut diberi nilai akhir yang sangat pasti.

Sebuah ilustrasi yang jelas dapat diberikan untuk menjelaskan situasi ini. Perhatikan sebuah persegi dengan sisi sama dengan satu (Gbr. 72). Bagilah persegi ini dengan garis horizontal menjadi dua bagian yang sama dan bagian atas Oleskan pada bagian bawah sehingga terbentuk persegi panjang dengan sisi 2 dan . Setelah itu, kita akan membagi lagi bagian kanan persegi panjang ini menjadi dua dengan garis horizontal dan menempelkan bagian atas ke bagian bawah (seperti yang ditunjukkan pada Gambar 72). Melanjutkan proses ini, kami terus mengubah persegi asli dengan luas sama dengan 1 menjadi bangun datar berukuran sama (berbentuk tangga dengan anak tangga yang menipis).

Dengan kelanjutan proses ini yang tak terhingga, seluruh luas persegi didekomposisi menjadi suku-suku yang tak terhingga - luas persegi panjang dengan alas sama dengan 1 dan tinggi. Luas persegi panjang justru membentuk perkembangan menurun tak terhingga, jumlahnya

yaitu, seperti yang diharapkan, sama dengan luas persegi.

Contoh. Temukan jumlah perkembangan tak terbatas berikut:

Solusi, a) Kita perhatikan perkembangan ini Oleh karena itu, dengan menggunakan rumus (92.2) kita temukan

b) Artinya menggunakan rumus yang sama (92.2) yang kita miliki

c) Kami menemukan bahwa kemajuan ini memiliki Oleh karena itu kemajuan ini tidak memiliki jumlah.

Di paragraf 5, kami menunjukkan penerapan rumus jumlah suku-suku dari perkembangan yang menurun tak terhingga ke inversi periodik desimal menjadi pecahan biasa.

Latihan

1. Jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga adalah 3/5, dan jumlah empat suku pertamanya adalah 13/27. Temukan suku pertama dan penyebut barisan tersebut.

2. Temukan empat bilangan yang membentuk barisan geometri berselang-seling yang suku keduanya sama kurang dari yang pertama sebesar 35, dan yang ketiga lebih besar dari yang keempat sebesar 560.

3. Tunjukkan jika barisan tersebut

membentuk barisan geometri yang menurun tak terhingga, lalu barisannya

bagi siapa pun, ia membentuk barisan geometri yang semakin menurun. Akankah pernyataan ini berlaku kapan

Turunkan rumus hasil kali suku-suku suatu barisan geometri.

Pelajaran tentang topik tersebut “Perkembangan geometri yang menurun tanpa batas” (aljabar, kelas 10)

Tujuan pelajaran: memperkenalkan siswa pada jenis barisan baru - barisan geometri yang menurun tak terhingga.

Peralatan: proyektor, layar.

Jenis pelajaran: pelajaran - belajar topik baru.

Kemajuan pelajaran

SAYA . Organisasi. momen. Nyatakan topik dan tujuan pelajaran.

II . Memperbarui pengetahuan siswa.

Di kelas 9 Anda mempelajari perkembangan aritmatika dan geometri.

Pertanyaan

1. Pengertian barisan aritmatika. (Perkembangan aritmatika adalah suatu barisan yang setiap sukunya, dimulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya yang dijumlahkan dengan bilangan yang sama).

2. Rumus N suku ke-dari barisan aritmatika (
)

3. Rumus jumlah yang pertama N suku-suku barisan aritmatika.

(
atau
)

4. Pengertian barisan geometri. (Garisan geometri adalah barisan bilangan bukan nol yang setiap sukunya, mulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya dikalikan bilangan yang sama).

5. Rumus N suku ke-t barisan geometri (

)

6. Rumus jumlah yang pertama N anggota barisan geometri. (
)

7. Rumus apa lagi yang kamu ketahui?

(
, Di mana
;
;
;
,
)

5. Untuk perkembangan geometri
temukan suku kelima.

6. Untuk perkembangan geometri
menemukan N anggota ke-th.

7. Secara eksponensial B 3 = 8 Dan B 5 = 2 . Menemukan B 4 . (4)

8. Secara eksponensial B 3 = 8 Dan B 5 = 2 . Menemukan B 1 Dan Q .

9. Secara eksponensial B 3 = 8 Dan B 5 = 2 . Menemukan S 5 . (62)

AKU AKU AKU . Mempelajari topik baru(demonstrasi presentasi).

Perhatikan sebuah persegi yang sisinya sama dengan 1. Mari kita menggambar persegi lain yang ukuran sisinya setengah dari persegi pertama, lalu persegi lain yang panjang sisinya adalah setengah persegi kedua, lalu persegi berikutnya, dan seterusnya. Setiap kali sisi persegi baru sama dengan setengah sisi persegi sebelumnya.

Hasilnya, kami mendapatkan rangkaian sisi persegi membentuk barisan geometri dengan penyebutnya.

Dan, yang sangat penting, semakin banyak kita membuat persegi tersebut, semakin kecil sisi persegi tersebut. Misalnya,

Itu. Dengan bertambahnya jumlah n, suku-suku perkembangannya mendekati nol.

Dengan menggunakan gambar ini, Anda dapat mempertimbangkan urutan lainnya.

Misalnya barisan luas persegi:

. Dan sekali lagi, jika N bertambah tanpa batas, maka luasnya mendekati nol sedekat yang Anda inginkan.

Mari kita lihat contoh lainnya. Segitiga sama sisi dengan sisi sama dengan 1 cm. Mari kita buat segitiga berikutnya dengan titik sudut di titik tengah sisi-sisi segitiga pertama, sesuai dengan teorema tentang garis tengah segitiga - sisi ke-2 sama dengan setengah sisi yang pertama, sisi ke-3 sama dengan setengah sisi ke-2, dst. Sekali lagi kita memperoleh barisan panjang sisi-sisi segitiga.

pada
.

Jika kita perhatikan barisan geometri yang penyebutnya negatif.

Lalu, lagi-lagi dengan jumlah yang semakin bertambah N syarat perkembangannya mendekati nol.

Mari kita perhatikan penyebut barisan tersebut. Di mana-mana nilai absolut penyebutnya kurang dari 1.

Kita dapat menyimpulkan: suatu barisan geometri akan berkurang tak terhingga jika modulus penyebutnya kurang dari 1.

Definisi:

Suatu barisan geometri dikatakan menurun tak terhingga jika modulus penyebutnya adalah kurang dari satu.
.

Dengan menggunakan definisi tersebut, Anda dapat memutuskan apakah suatu barisan geometri menurun tak terhingga atau tidak.

Tugas

Apakah barisan tersebut merupakan barisan geometri yang menurun tak terhingga jika diberikan dengan rumus:

;
.

Larutan:

. Kami akan menemukannya Q .

;
;
;
.

perkembangan geometrik ini semakin menurun.

B) barisan ini bukanlah barisan geometri yang menurun tak terhingga.

Misalkan sebuah persegi dengan sisi sama dengan 1. Bagilah menjadi dua, salah satu bagian menjadi dua, dan seterusnya. Luas semua persegi panjang yang dihasilkan membentuk barisan geometri yang semakin menurun:

Jumlah luas semua persegi panjang yang diperoleh dengan cara ini akan sama dengan luas persegi pertama dan sama dengan 1.

instruksi

10, 30, 90, 270...

Anda perlu mencari penyebut suatu barisan geometri.
Larutan:

Pilihan 1. Mari kita ambil suku sembarang dari perkembangan tersebut (misalnya, 90) dan membaginya dengan suku sebelumnya (30): 90/30=3.

Jika diketahui jumlah beberapa suku suatu barisan geometri atau jumlah semua suku suatu barisan geometri menurun, maka untuk mencari penyebut barisan tersebut, gunakan rumus yang sesuai:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), dengan Sn adalah jumlah n suku pertama barisan geometri dan
S = b1/(1-q), dengan S adalah jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga (jumlah seluruh suku barisan yang penyebutnya kurang dari satu).
Contoh.

Suku pertama suatu barisan geometri menurun sama dengan satu, dan jumlah semua sukunya sama dengan dua.

Hal ini diperlukan untuk menentukan penyebut perkembangan ini.
Larutan:

Gantikan data dari soal ke dalam rumus. Ternyata:
2=1/(1-q), maka – q=1/2.

Kemajuan adalah urutan angka. Dalam suatu barisan geometri, setiap suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan bilangan tertentu q, yang disebut penyebut barisan tersebut.

instruksi

Jika dua suku geometri yang berdekatan b(n+1) dan b(n) diketahui, untuk mendapatkan penyebutnya, Anda perlu membagi bilangan yang lebih besar dengan bilangan sebelumnya: q=b(n+1)/b (N). Berikut ini definisi perkembangan dan penyebutnya. Syarat penting adalah suku pertama dan penyebut suatu barisan tidak sama dengan nol, jika tidak maka dianggap tidak tentu.

Jadi, hubungan berikut terbentuk antara suku-suku barisan: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Dengan menggunakan rumus b(n)=b1 q^(n-1), suku apa pun dari barisan geometri yang penyebutnya q dan suku b1 diketahui dapat dihitung. Selain itu, masing-masing perkembangan mempunyai modulus yang sama dengan rata-rata anggota tetangganya: |b(n)|=√, yang mana perkembangan tersebut mendapatkan .

Analogi barisan geometri adalah yang paling sederhana fungsi eksponensial y=a^x, dimana x adalah eksponen, a adalah bilangan tertentu. Dalam hal ini, penyebut barisan tersebut bertepatan dengan suku pertama dan sama dengan nomornya A. Nilai fungsi y dapat dipahami sebagai istilah ke-n perkembangan jika argumen x dianggap bilangan asli n (penghitung).

Terdapat untuk jumlah n suku pertama suatu barisan geometri: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). rumus ini berlaku untuk q≠1. Jika q=1, maka jumlah n suku pertama dihitung dengan rumus S(n)=n b1. Omong-omong, perkembangannya disebut meningkat dengan q lebih besar dari satu dan positif b1. Jika penyebut suatu barisan tidak melebihi satu dalam nilai mutlaknya, maka barisan tersebut disebut menurun.

Kasus khusus perkembangan geometri – perkembangan geometri yang menurun tanpa batas (bugp). Faktanya adalah suku-suku barisan geometri menurun akan berkurang berulang kali, tetapi tidak akan pernah mencapai nol. Meskipun demikian, adalah mungkin untuk menemukan jumlah semua suku dari perkembangan tersebut. Ditentukan dengan rumus S=b1/(1-q). Jumlah keseluruhan n anggota tidak terbatas.

Untuk memvisualisasikan bagaimana Anda bisa melipat jumlah yang tak terbatas angka dan tidak menjadi tak terhingga, buatlah kue. Potong setengahnya. Kemudian potong 1/2 bagiannya, dan seterusnya. Potongan-potongan yang akan Anda peroleh tidak lebih dari anggota barisan geometri yang menurun tak terhingga dengan penyebut 1/2. Jika Anda menjumlahkan semua bagian ini, Anda mendapatkan kue aslinya.

Soal geometri adalah jenis latihan khusus yang memerlukan pemikiran spasial. Jika Anda tidak dapat menyelesaikan geometri tugas, coba ikuti aturan di bawah ini.

instruksi

Bacalah ketentuan tugas dengan cermat; jika Anda tidak mengingat atau memahami sesuatu, bacalah kembali.

Coba tentukan jenisnya masalah geometri misalnya: komputasi, ketika Anda perlu mengetahui besaran tertentu, tugas-tugas yang membutuhkan rantai penalaran logis, tugas-tugas konstruksi menggunakan kompas dan penggaris. Lebih banyak tugas tipe campuran. Setelah Anda mengetahui jenis masalahnya, cobalah berpikir logis.

Terapkan teorema yang diperlukan untuk tugas tertentu, tetapi jika Anda ragu atau tidak ada pilihan sama sekali, cobalah mengingat teori yang Anda pelajari pada topik yang relevan.

Tuliskan juga penyelesaian masalah dalam bentuk draft. Cobalah untuk melamar metode yang diketahui memeriksa kebenaran keputusan Anda.

Isilah penyelesaian soal dengan rapi di buku catatan Anda, tanpa menghapus atau mencoret, dan yang terpenting - . Namun, segera setelah Anda menguasai proses ini, Anda akan mulai melakukan tugas-tugas seperti orang gila, menikmatinya!

Barisan geometri adalah barisan bilangan b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) sedemikian sehingga b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Dengan kata lain, setiap suku suatu barisan diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikannya dengan suatu penyebut yang bukan nol dari barisan tersebut q.

instruksi

Masalah barisan paling sering diselesaikan dengan menyusun dan kemudian mengikuti sistem terhadap suku pertama barisan b1 dan penyebut barisan q. Untuk membuat persamaan, ada gunanya mengingat beberapa rumus.

Cara menyatakan suku ke-n suatu barisan melalui suku pertama barisan dan penyebut barisan tersebut: b(n)=b1*q^(n-1).

Mari kita perhatikan secara terpisah kasus |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Tujuan pelajaran: untuk memperkenalkan siswa pada jenis barisan baru - barisan geometri yang menurun tak terhingga.
Tugas:
merumuskan gagasan awal tentang limit suatu barisan bilangan;
mengenal cara lain untuk mengubah pecahan periodik tak terhingga menjadi pecahan biasa menggunakan rumus jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga;
pengembangan kualitas intelektual kepribadian anak sekolah seperti berpikir logis, kemampuan melakukan tindakan evaluatif, dan generalisasi;
membina aktivitas, gotong royong, kolektivisme, dan minat terhadap mata pelajaran.

Unduh:

Pratinjau:

Pelajaran tentang topik tersebut “Perkembangan geometri yang menurun tanpa batas” (aljabar, kelas 10)

Tujuan pelajaran: memperkenalkan siswa pada jenis barisan baru - barisan geometri yang menurun tak terhingga.

Tugas:

merumuskan gagasan awal tentang limit suatu barisan bilangan; mengenal cara lain untuk mengubah pecahan periodik tak terhingga menjadi pecahan biasa menggunakan rumus jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga;

pengembangan kualitas intelektual kepribadian anak sekolah seperti berpikir logis, kemampuan melakukan tindakan evaluatif, dan generalisasi;

membina aktivitas, gotong royong, kolektivisme, dan minat terhadap mata pelajaran.

Peralatan: kelas komputer, proyektor, layar.

Jenis pelajaran: pelajaran - mempelajari topik baru.

Kemajuan pelajaran

saya.Org. momen. Nyatakan topik dan tujuan pelajaran.

II. Memperbarui pengetahuan siswa.

Di kelas 9 Anda mempelajari perkembangan aritmatika dan geometri.

Pertanyaan

1. Pengertian barisan aritmatika.

(Perkembangan aritmatika adalah barisan yang setiap anggotanya

Mulai dari suku kedua sama dengan suku sebelumnya ditambah bilangan yang sama).

2. Rumus n suku ke-th suatu barisan aritmatika

3. Rumus jumlah yang pertama N suku-suku barisan aritmatika.

( atau )

4. Pengertian barisan geometri.

(Perkembangan geometri adalah barisan bilangan bukan nol

Setiap suku yang dimulai dari suku kedua sama dengan suku sebelumnya dikalikan

Nomor yang sama).

5. Rumus n suku ke-t barisan geometri

6. Rumus jumlah yang pertama N anggota barisan geometri.

7. Rumus apa lagi yang kamu ketahui?

(, Di mana ; ;

; , )

pencarian

1. Perkembangan aritmatika diberikan oleh rumus sebuah = 7 – 4n . Temukan 10. (-33)

2. Dalam perkembangan aritmatika sebuah 3 = 7 dan sebuah 5 = 1 . Temukan 4 . (4)

3. Dalam perkembangan aritmatika sebuah 3 = 7 dan sebuah 5 = 1 . Temukan 17 . (-35)

4. Dalam perkembangan aritmatika sebuah 3 = 7 dan sebuah 5 = 1 . Temukan S 17. (-187)

5. Untuk perkembangan geometritemukan suku kelima.

6. Untuk barisan geometri temukan suku ke-n.

7. Secara eksponensial b 3 = 8 dan b 5 = 2. Temukan b 4 . (4)

8. Secara eksponensial b 3 = 8 dan b 5 = 2. Temukan b 1 dan q.

9. Secara eksponensial b 3 = 8 dan b 5 = 2. Temukan S5. (62)

AKU AKU AKU. Mempelajari topik baru(demonstrasi presentasi).

Hasilnya, kami mendapatkan rangkaian sisi persegimembentuk barisan geometri dengan penyebutnya.

Dan, yang sangat penting, semakin banyak kita membuat persegi tersebut, semakin kecil sisi persegi tersebut. Misalnya ,

Itu. Dengan bertambahnya jumlah n, suku-suku perkembangannya mendekati nol.

Dengan menggunakan gambar ini, Anda dapat mempertimbangkan urutan lainnya.

Misalnya barisan luas persegi:

Dan, sekali lagi, jika n bertambah tanpa batas, maka luasnya mendekati nol sedekat yang Anda inginkan.

Mari kita lihat contoh lainnya. Segitiga sama sisi dengan panjang sisi sama dengan 1 cm. Mari kita buat segitiga berikutnya dengan titik sudut di titik tengah sisi segitiga ke-1, sesuai dengan teorema tentang garis tengah segitiga - sisi ke-2 sama dengan setengah sisi segitiga pertama, sisi ke-3 sama dengan setengah sisi ke-2, dst. Sekali lagi kita memperoleh barisan panjang sisi-sisi segitiga.

Pada .

Jika kita perhatikan barisan geometri yang penyebutnya negatif.

Lalu, lagi-lagi dengan jumlah yang semakin bertambah N syarat perkembangannya mendekati nol.

Mari kita perhatikan penyebut barisan tersebut. Di mana-mana nilai absolut penyebutnya kurang dari 1.

Kita dapat menyimpulkan: suatu barisan geometri akan berkurang tak terhingga jika modulus penyebutnya kurang dari 1.

Pekerjaan depan.

Definisi:

Suatu barisan geometri dikatakan menurun tak terhingga jika modulus penyebutnya kurang dari satu..

Dengan menggunakan definisi tersebut, Anda dapat memutuskan apakah suatu barisan geometri menurun tak terhingga atau tidak.

Tugas

Apakah barisan tersebut merupakan barisan geometri yang menurun tak terhingga jika diberikan dengan rumus:

Larutan:

Mari kita temukan q.

; ; ; .

perkembangan geometrik ini semakin menurun.

B) barisan ini bukanlah barisan geometri yang menurun tak terhingga.

Jumlah luas semua persegi panjang yang diperoleh dengan cara ini akan sama dengan luas persegi pertama dan sama dengan 1.

Namun di sisi kiri persamaan ini terdapat jumlah suku yang tak terhingga.

Mari kita perhatikan jumlah n suku pertama.

Menurut rumus jumlah n suku pertama suatu barisan geometri adalah sama dengan.

Jika n meningkat tanpa batas, kalau begitu

atau . Oleh karena itu, yaitu. .

Jumlah barisan geometri yang menurun tak terhinggaada batas urutannya S 1, S 2, S 3, …, S n, ….

Misalnya untuk kemajuan,

kita punya

Karena

Jumlah barisan geometri yang menurun tak terhinggadapat dicari dengan menggunakan rumus.

AKU AKU AKU. Pemahaman dan konsolidasi(menyelesaikan tugas).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Kesimpulannya.

Urutan apa yang Anda kenali hari ini?

Definisikan barisan geometri yang menurun tak terhingga.

Bagaimana membuktikan bahwa barisan geometri menurun tak terhingga?

Berikan rumus jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga.

V.Pekerjaan Rumah.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Pratinjau:

Untuk menggunakan pratinjau presentasi, buat akun Google dan masuk ke akun tersebut: https://accounts.google.com

Keterangan slide:

Setiap orang harus mampu berpikir secara konsisten, menilai dengan bukti, dan menyangkal kesimpulan yang salah: seorang fisikawan dan penyair, seorang pengemudi traktor dan seorang ahli kimia. E. Kolman Dalam matematika, yang harus diingat bukanlah rumusnya, tetapi proses berpikirnya. V.P.Ermakov Lebih mudah mencari kuadrat lingkaran daripada mengecoh ahli matematika. Augustus de Morgan Sains apa yang lebih mulia, lebih mengagumkan, lebih bermanfaat bagi umat manusia daripada matematika? Franklin

Perkembangan geometri yang menurun tanpa batas kelas 10

SAYA. Perkembangan aritmatika dan geometri. Soal 1. Pengertian barisan aritmatika. Barisan aritmatika adalah suatu barisan yang setiap sukunya, dimulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya yang dijumlahkan dengan bilangan yang sama. 2. Rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika. 3. Rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika. 4. Pengertian barisan geometri. Barisan geometri adalah barisan bilangan bukan nol yang setiap sukunya, dimulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama 5. Rumus suku ke-n suatu barisan geometri. 6. Rumus jumlah n suku pertama suatu barisan geometri.

II. Perkembangan aritmatika. Tugas Perkembangan aritmatika diberikan oleh rumus a n = 7 – 4 n Temukan a 10 . (-33) 2. Dalam barisan aritmatika, a 3 = 7 dan a 5 = 1. Temukan 4 . (4) 3. Dalam barisan aritmatika a 3 = 7 dan a 5 = 1. Temukan 17 . (-35) 4. Dalam perkembangan aritmatika, a 3 = 7 dan a 5 = 1. Temukan S 17. (-187)

II. Kemajuan geometris. Tugas 5. Untuk suatu barisan geometri, carilah suku kelima 6. Untuk suatu barisan geometri, carilah suku ke-n. 7. Pada barisan geometri b 3 = 8 dan b 5 = 2. Temukan b 4 . (4) 8. Pada barisan geometri b 3 = 8 dan b 5 = 2. Temukan b 1 dan q. 9. Pada barisan geometri b 3 = 8 dan b 5 = 2. Temukan S5. (62)

definisi: Suatu barisan geometri disebut menurun tak terhingga jika modulus penyebutnya kurang dari satu.

Soal No. 1 Apakah barisan tersebut merupakan barisan geometri yang menurun tak terhingga jika diberikan dengan rumus: Penyelesaian: a) barisan geometri tersebut menurun tak terhingga. b) barisan ini bukan barisan geometri yang menurun tak terhingga.

Jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga adalah limit barisan S 1, S 2, S 3, ..., S n, .... Misalnya, untuk barisan yang kita miliki. Karena Jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga dapat dicari dengan menggunakan rumus

Menyelesaikan tugas Temukan jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga dengan suku pertama 3, suku kedua 0,3. 2. Nomor 13; Nomor 14; buku teks, hal.138 3. No.15(1;3); No.16(1;3) No.18(1;3); 4. Nomor 19; Nomor 20.

Urutan apa yang Anda kenali hari ini? Definisikan barisan geometri yang menurun tak terhingga. Bagaimana membuktikan bahwa barisan geometri menurun tak terhingga? Berikan rumus jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga. Pertanyaan

Matematikawan Polandia terkenal Hugo Steinhaus dengan bercanda menyatakan bahwa ada hukum yang dirumuskan sebagai berikut: seorang ahli matematika akan melakukannya dengan lebih baik. Yaitu, jika Anda mempercayakan dua orang, salah satunya adalah ahli matematika, untuk melakukan pekerjaan apa pun yang tidak mereka kenal, maka hasilnya akan selalu sebagai berikut: ahli matematika tersebut akan melakukannya dengan lebih baik. Hugo Steinhaus 14/01/1887-25/02/1972

Jika untuk setiap bilangan asli N cocok dengan bilangan real sebuah , lalu mereka mengatakan bahwa itu diberikan urutan nomor :

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , sebuah , . . . .

Jadi, barisan bilangan merupakan fungsi dari argumen natural.

Nomor A 1 ditelepon suku pertama barisan tersebut , nomor A 2 — suku kedua barisan tersebut , nomor A 3 — ketiga dan sebagainya. Nomor sebuah ditelepon anggota urutan ke-n , dan bilangan asli N — nomornya .

Dari dua anggota yang berdekatan sebuah Dan sebuah +1 anggota urutan sebuah +1 ditelepon setelah (relatif terhadap sebuah ), A sebuah — sebelumnya (relatif terhadap sebuah +1 ).

Untuk menentukan suatu barisan, Anda perlu menentukan metode yang memungkinkan Anda menemukan anggota barisan dengan nomor berapa pun.

Seringkali urutannya ditentukan menggunakan rumus suku ke-n , yaitu rumus yang memungkinkan Anda menentukan anggota suatu barisan berdasarkan nomornya.

Misalnya,

barisan bilangan ganjil positif dapat diberikan dengan rumus

sebuah= 2N- 1,

dan urutan bergantian 1 Dan -1 - rumus

B N = (-1)N +1 . ◄

Urutannya dapat ditentukan rumus berulang, yaitu rumus yang menyatakan setiap anggota barisan, dimulai dari beberapa, hingga anggota sebelumnya (satu atau lebih).

Misalnya,

Jika A 1 = 1 , A sebuah +1 = sebuah + 5

A 1 = 1,

A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jika sebuah 1= 1, sebuah 2 = 1, sebuah +2 = sebuah + sebuah +1 , maka tujuh suku pertama barisan bilangan tersebut ditetapkan sebagai berikut:

sebuah 1 = 1,

sebuah 2 = 1,

sebuah 3 = sebuah 1 + sebuah 2 = 1 + 1 = 2,

sebuah 4 = sebuah 2 + sebuah 3 = 1 + 2 = 3,

sebuah 5 = sebuah 3 + sebuah 4 = 2 + 3 = 5,

A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,

A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Urutannya bisa terakhir Dan tak ada habisnya .

Urutannya disebut terakhir , jika jumlah anggotanya terbatas. Urutannya disebut tak ada habisnya , jika anggotanya sangat banyak.

Misalnya,

barisan bilangan asli dua angka:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

terakhir.

Barisan bilangan prima:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

tak ada habisnya. ◄

Urutannya disebut meningkat , jika masing-masing anggotanya, mulai dari anggota kedua, lebih besar dari anggota sebelumnya.

Urutannya disebut menurun , jika masing-masing anggotanya, mulai dari anggota kedua, lebih kecil dari anggota sebelumnya.

Misalnya,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . — meningkatkan urutan;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . — urutan menurun. ◄

Barisan yang unsur-unsurnya tidak berkurang seiring bertambahnya bilangan, atau sebaliknya tidak bertambah disebut urutan monoton .

Barisan monotonik khususnya adalah barisan naik dan barisan menurun.

Perkembangan aritmatika

Perkembangan aritmatika adalah barisan yang setiap sukunya, mulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya, yang ditambahi bilangan yang sama.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , sebuah, . . .

adalah perkembangan aritmatika jika ada bilangan asli N syaratnya terpenuhi:

sebuah +1 = sebuah + D,

Di mana D - nomor tertentu.

Jadi, selisih antara suku-suku berikutnya dan suku-suku sebelumnya dari suatu perkembangan aritmatika tertentu selalu konstan:

sebuah 2 - A 1 = sebuah 3 - A 2 = . . . = sebuah +1 - sebuah = D.

Nomor D ditelepon perbedaan perkembangan aritmatika.

Untuk menentukan suatu barisan aritmatika, cukup dengan menunjukkan suku pertamanya dan selisihnya.

Misalnya,

Jika A 1 = 3, D = 4 , maka kita carilah lima suku pertama barisan tersebut sebagai berikut:

sebuah 1 =3,

sebuah 2 = sebuah 1 + D = 3 + 4 = 7,

sebuah 3 = sebuah 2 + D= 7 + 4 = 11,

sebuah 4 = sebuah 3 + D= 11 + 4 = 15,

A 5 = A 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄

Untuk barisan aritmatika dengan suku pertama A 1 dan perbedaannya D dia N

sebuah = sebuah 1 + (N- 1)D.

Misalnya,

tentukan suku ketiga puluh barisan aritmatika tersebut

1, 4, 7, 10, . . .

sebuah 1 =1, D = 3,

sebuah 30 = sebuah 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

sebuah n-1 = sebuah 1 + (N- 2)D,

sebuah= sebuah 1 + (N- 1)D,

sebuah +1 = A 1 + dan,

maka jelas

sebuah=	n-1 + n+1
	2

Setiap suku suatu barisan aritmatika, mulai dari suku kedua, sama dengan rata-rata aritmatika suku-suku sebelumnya dan selanjutnya.

bilangan a, b, dan c adalah suku-suku yang berurutan dari suatu barisan aritmatika jika dan hanya jika salah satunya sama dengan rata-rata aritmatika dari dua bilangan lainnya.

Misalnya,

sebuah = 2N- 7 , adalah barisan aritmatika.

Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kami memiliki:

sebuah = 2N- 7,

sebuah n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

sebuah n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.

Karena itu,

n+1 + n-1	=	2N- 5 + 2N- 9	= 2N- 7 = sebuah,
2		2

◄

Perhatikan itu N Suku ke suatu barisan aritmatika tidak hanya dapat dicari melalui A 1 , tetapi juga sebelumnya sebuah k

sebuah = sebuah k + (N- k)D.

Misalnya,

Untuk A 5 dapat dituliskan

sebuah 5 = sebuah 1 + 4D,

sebuah 5 = sebuah 2 + 3D,

sebuah 5 = sebuah 3 + 2D,

sebuah 5 = sebuah 4 + D. ◄

sebuah = sebuah nk + kd,

sebuah = sebuah n+k - kd,

maka jelas

sebuah=	A nk + sebuah n+k
	2

setiap anggota suatu barisan aritmatika, mulai dari suku kedua, sama dengan setengah jumlah anggota barisan aritmatika tersebut yang berjarak sama darinya.

Selain itu, untuk setiap perkembangan aritmatika, persamaan berikut berlaku:

am + an = a k + a l,

m + n = k + aku.

Misalnya,

dalam perkembangan aritmatika

1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;

2) 28 = sebuah 10 = sebuah 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) sebuah 10= 28 = (19 + 37)/2 = (angka 7 + angka 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, Karena

sebuah 2 + sebuah 12= 4 + 34 = 38,

sebuah 5 + sebuah 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= sebuah 1 + sebuah 2 + sebuah 3 + . . .+ sebuah,

Pertama N suku-suku suatu barisan aritmatika sama dengan hasil kali setengah jumlah suku ekstrim dan banyaknya suku:

Oleh karena itu, khususnya, jika Anda perlu menjumlahkan suku-sukunya

sebuah k, sebuah k +1 , . . . , sebuah,

maka rumus sebelumnya mempertahankan strukturnya:

Misalnya,

dalam perkembangan aritmatika 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jika diberikan perkembangan aritmatika, lalu jumlahnya A 1 , sebuah, D, N DanS N dihubungkan dengan dua rumus:

Oleh karena itu, jika nilai dari tiga besaran ini diberikan, maka nilai yang bersesuaian dari dua besaran lainnya ditentukan dari rumus ini, digabungkan menjadi sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui.

Barisan aritmatika merupakan barisan monotonik. Dalam hal ini:

Jika D > 0 , kemudian meningkat;
Jika D < 0 , maka menurun;
Jika D = 0 , maka barisan tersebut akan stasioner.

Kemajuan geometris

Kemajuan geometris adalah suatu barisan yang setiap sukunya, mulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama.

B 1 , B 2 , B 3 , . . . , bn, . . .

adalah barisan geometri jika untuk sembarang bilangan asli N syaratnya terpenuhi:

bn +1 = bn · Q,

Di mana Q ≠ 0 - nomor tertentu.

Jadi, perbandingan suku berikutnya suatu barisan geometri tertentu dengan suku sebelumnya adalah bilangan konstan:

B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = bn +1 / bn = Q.

Nomor Q ditelepon penyebut barisan geometri.

Untuk menentukan suatu barisan geometri, cukup dengan menunjukkan suku pertama dan penyebutnya.

Misalnya,

Jika B 1 = 1, Q = -3 , maka kita carilah lima suku pertama barisan tersebut sebagai berikut:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · Q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · Q= 9 · (-3) = -27,

B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄

B 1 dan penyebut Q dia N Suku ke-th dapat dicari dengan menggunakan rumus:

bn = B 1 · qn -1 .

Misalnya,

tentukan suku ketujuh barisan geometri tersebut 1, 2, 4, . . .

B 1 = 1, Q = 2,

B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

bn = b 1 · qn -1 ,

bn +1 = B 1 · qn,

maka jelas

bn 2 = bn -1 · bn +1 ,

setiap anggota barisan geometri, mulai dari suku kedua, sama dengan rata-rata geometri (sebanding) suku-suku sebelumnya dan selanjutnya.

Karena kebalikannya juga benar, pernyataan berikut ini berlaku:

bilangan a, b, dan c adalah suku-suku berurutan suatu barisan geometri jika dan hanya jika kuadrat salah satunya sama dengan produknya dua bilangan lainnya, yaitu salah satu bilangan tersebut merupakan rata-rata geometri dari dua bilangan lainnya.

Misalnya,

Mari kita buktikan barisan yang diberikan oleh rumus bn= -3 2 N , adalah barisan geometri. Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kami memiliki:

bn= -3 2 N,

bn -1 = -3 2 N -1 ,

bn +1 = -3 2 N +1 .

Karena itu,

bn 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) · (-3 · 2 N +1 ) = bn -1 · bn +1 ,

yang membuktikan pernyataan yang diinginkan. ◄

Perhatikan itu N Suku ke suatu barisan geometri tidak hanya dapat dicari melalui B 1 , tetapi juga anggota sebelumnya bk , untuk itu cukup menggunakan rumus saja

bn = bk · qn - k.

Misalnya,

Untuk B 5 dapat dituliskan

b 5 = b 1 · Q 4 ,

b 5 = b 2 · pertanyaan 3,

b 5 = b 3 · pertanyaan 2,

b 5 = b 4 · Q. ◄

bn = bk · qn - k,

bn = bn - k · qk,

maka jelas

bn 2 = bn - k· bn + k

kuadrat suatu suku suatu barisan geometri, mulai dari suku kedua, sama dengan hasil kali suku-suku barisan tersebut yang berjarak sama dari suku tersebut.

Selain itu, untuk setiap barisan geometri persamaannya benar:

bm· bn= bk· b l,

M+ N= k+ aku.

Misalnya,

dalam deret geometri

1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;

2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;

4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , Karena

B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,

B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + bn

Pertama N anggota barisan geometri yang penyebutnya Q ≠ 0 dihitung dengan rumus:

Dan kapan Q = 1 - sesuai rumus

S n= catatan 1

Perhatikan bahwa jika Anda perlu menjumlahkan persyaratannya

bk, bk +1 , . . . , bn,

maka rumus yang digunakan adalah:

S n- S k -1 = bk + bk +1 + . . . + bn = bk ·	1 - qn - k +1	.
	1 - Q

Misalnya,

dalam deret geometri 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jika suatu barisan geometri diberikan, maka besarannya B 1 , bn, Q, N Dan S n dihubungkan dengan dua rumus:

Oleh karena itu, jika nilai dari tiga besaran ini diberikan, maka nilai yang sesuai dari dua besaran lainnya ditentukan dari rumus ini, digabungkan menjadi sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui.

Untuk barisan geometri dengan suku pertama B 1 dan penyebut Q berikut ini terjadi sifat monotonisitas :

kemajuan meningkat jika salah satu kondisi berikut terpenuhi:

B 1 > 0 Dan Q> 1;

B 1 < 0 Dan 0 < Q< 1;

Perkembangannya menurun jika salah satu kondisi berikut terpenuhi:

B 1 > 0 Dan 0 < Q< 1;

B 1 < 0 Dan Q> 1.

Jika Q< 0 , maka barisan geometri tersebut berselang-seling: suku-suku yang berbilangan ganjil mempunyai tanda yang sama dengan suku pertamanya, dan suku-suku yang berbilangan genap bertanda berlawanan. Jelaslah bahwa barisan geometri bolak-balik tidak monoton.

Produk yang pertama N suku suatu barisan geometri dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

hal= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · bn = (b 1 · bn) N / 2 .

Misalnya,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Kemajuan geometri yang menurun tanpa batas

Kemajuan geometri yang menurun tanpa batas disebut barisan geometri tak hingga yang modulus penyebutnya lebih kecil 1 , itu

|Q| < 1 .

Perhatikan bahwa barisan geometri yang menurun tak terhingga belum tentu merupakan barisan menurun. Ini sesuai dengan kesempatan itu

1 < Q< 0 .

Dengan penyebut seperti itu, barisannya bergantian. Misalnya,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga sebutkan bilangan yang jumlah bilangan pertama mendekati tanpa batas N anggota suatu perkembangan dengan peningkatan jumlah yang tidak terbatas N . Bilangan ini selalu terbatas dan dinyatakan dengan rumus