Kemajuan geometris, bersama dengan aritmatika, adalah penting seri angka, yang dipelajari di kursus sekolah aljabar di kelas 9. Pada artikel ini kita akan melihat penyebut suatu barisan geometri dan bagaimana nilainya mempengaruhi sifat-sifatnya.
Pengertian barisan geometri
Pertama, mari kita definisikan ini seri angka. Deret yang demikian disebut deret geometri angka rasional, yang dibentuk dengan mengalikan elemen pertamanya secara berurutan dengan bilangan konstan yang disebut penyebut.
Misalnya bilangan pada deret 3, 6, 12, 24, ... adalah barisan geometri, karena jika 3 (elemen pertama) dikalikan dengan 2, diperoleh 6. Jika 6 dikalikan dengan 2, diperoleh 12, dan seterusnya.
Anggota barisan yang ditinjau biasanya dilambangkan dengan simbol ai, dimana i adalah bilangan bulat yang menunjukkan banyaknya elemen dalam deret tersebut.
Pengertian barisan di atas dapat ditulis dalam bahasa matematika sebagai berikut: an = bn-1 * a1, dimana b adalah penyebutnya. Sangat mudah untuk memeriksa rumus ini: jika n = 1, maka b1-1 = 1, dan kita mendapatkan a1 = a1. Jika n = 2, maka an = b * a1, dan kita kembali sampai pada definisi deret bilangan yang dimaksud. Alasan serupa dapat dilanjutkan nilai-nilai besar N.
Penyebut barisan geometri
Angka b sepenuhnya menentukan karakter apa yang akan dimiliki seluruh rangkaian angka. Penyebut b bisa positif, negatif, atau lebih besar atau kurang dari satu. Semua opsi di atas mengarah ke urutan yang berbeda:
- b > 1. Terdapat deret bilangan rasional yang bertambah. Misalnya 1, 2, 4, 8, ... Jika unsur a1 negatif, maka seluruh barisan hanya akan bertambah nilai absolutnya, tetapi berkurang tergantung pada tanda bilangan tersebut.
- b = 1. Seringkali kasus ini tidak disebut perkembangan, karena terdapat deret biasa dari bilangan rasional yang identik. Misalnya -4, -4, -4.
Rumus jumlah
Sebelum beralih ke pertimbangan masalah tertentu dengan menggunakan penyebut jenis perkembangan yang sedang dipertimbangkan, perlu diberikan rumus penting untuk jumlah n elemen pertamanya. Rumusnya seperti ini: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Anda dapat memperoleh ekspresi ini sendiri jika Anda mempertimbangkan urutan suku-suku perkembangan yang rekursif. Perhatikan juga bahwa dalam rumus di atas, cukup mengetahui elemen pertama dan penyebutnya saja untuk menemukan jumlah sejumlah suku yang berubah-ubah.
Urutan menurun tanpa batas
Penjelasan telah diberikan di atas tentang apa itu. Sekarang, setelah mengetahui rumus Sn, mari kita terapkan pada deret bilangan ini. Karena bilangan apa pun yang modulusnya tidak melebihi 1, jika dinaikkan menjadi derajat yang besar cenderung nol, yaitu b∞ => 0 jika -1
Karena selisih (1 - b) akan selalu positif, berapa pun nilai penyebutnya, tanda jumlah suatu barisan geometri yang menurun tak terhingga S∞ ditentukan secara unik oleh tanda elemen pertamanya a1.
Sekarang mari kita lihat beberapa soal di mana kami akan menunjukkan bagaimana menerapkan pengetahuan yang diperoleh pada bilangan tertentu.
Tugas No. 1. Perhitungan elemen perkembangan dan jumlah yang tidak diketahui
Diketahui suatu barisan geometri, penyebut barisan tersebut adalah 2, dan unsur pertamanya adalah 3. Berapa suku ke-7 dan ke-10nya, dan berapa jumlah ketujuh unsur awalnya?
Kondisi permasalahannya cukup sederhana dan mengasumsikan penggunaan langsung rumus-rumus di atas. Jadi, untuk menghitung nomor elemen n, kita menggunakan ekspresi an = bn-1 * a1. Untuk elemen ke-7 kita mempunyai: a7 = b6 * a1, dengan mensubstitusi data yang diketahui, kita mendapatkan: a7 = 26 * 3 = 192. Kita melakukan hal yang sama untuk suku ke-10: a10 = 29 * 3 = 1536.
Mari kita gunakan rumus penjumlahan yang terkenal dan tentukan nilai ini untuk 7 elemen pertama deret tersebut. Kita mempunyai: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Soal No. 2. Menentukan jumlah elemen sembarang suatu barisan
Biarkan -2 penyebut yang sama barisan geometri bn-1 * 4, dimana n adalah bilangan bulat. Penting untuk menentukan jumlah dari elemen ke-5 hingga ke-10 dari deret ini, inklusif.
Masalah yang diajukan tidak dapat diselesaikan secara langsung dengan menggunakan rumus-rumus yang diketahui. Ini dapat diselesaikan dengan 2 cara berbagai metode. Untuk kelengkapan penyajian topik, kami hadirkan keduanya.
Metode 1. Idenya sederhana: Anda perlu menghitung dua jumlah suku pertama yang bersesuaian, lalu mengurangkan suku lainnya dari suku pertama. Kita hitung jumlah yang lebih kecil: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Sekarang mari kita hitung jumlah yang besar: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Perhatikan bahwa dalam ekspresi terakhir hanya 4 suku yang dijumlahkan, karena suku ke-5 sudah termasuk dalam jumlah yang perlu dihitung sesuai dengan kondisi soal. Terakhir kita ambil selisihnya: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Metode 2. Sebelum mensubstitusi bilangan dan berhitung, Anda dapat memperoleh rumus jumlah antara m dan n suku deret yang bersangkutan. Kami melanjutkan dengan cara yang persis sama seperti pada metode 1, hanya saja kami terlebih dahulu bekerja dengan representasi simbolis dari jumlah tersebut. Kita mempunyai: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Anda dapat mengganti angka-angka yang diketahui ke dalam ekspresi yang dihasilkan dan menghitungnya hasil akhir: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Soal No. 3. Berapakah penyebutnya?
Misalkan a1 = 2, tentukan penyebut barisan geometri tersebut, asalkan jumlah tak terhingganya adalah 3, dan diketahui bahwa barisan bilangan tersebut adalah barisan bilangan menurun.
Berdasarkan kondisi permasalahannya, tidak sulit untuk menebak rumus mana yang harus digunakan untuk menyelesaikannya. Tentu saja, jumlah perkembangannya semakin berkurang. Kita mempunyai: S∞ = a1 / (1 - b). Dari mana kita menyatakan penyebutnya: b = 1 - a1 / S∞. Yang tersisa hanyalah penggantinya nilai-nilai yang diketahui dan dapatkan nomor yang diperlukan: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 atau -0,333(3). Kita dapat memeriksa hasil ini secara kualitatif jika kita ingat bahwa untuk jenis barisan ini modulus b tidak boleh melebihi 1. Seperti yang dapat dilihat, |-1 / 3|
Tugas No. 4. Memulihkan serangkaian angka
Misalkan diberikan 2 elemen suatu deret bilangan, misalnya deret ke-5 sama dengan 30 dan deret ke-10 sama dengan 60. Seluruh deret harus direkonstruksi dari data ini, karena mengetahui bahwa deret tersebut memenuhi sifat-sifat barisan geometri.
Untuk menyelesaikan soal tersebut, Anda harus menuliskan terlebih dahulu setiap suku yang diketahui ekspresi yang sesuai. Kita mempunyai: a5 = b4 * a1 dan a10 = b9 * a1. Sekarang bagi ekspresi kedua dengan ekspresi pertama, kita mendapatkan: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Dari sini kita menentukan penyebutnya dengan mengambil akar kelima dari perbandingan suku-suku yang diketahui dari rumusan masalah, b = 1,148698. Kita substitusikan bilangan yang dihasilkan ke dalam salah satu ekspresi unsur yang diketahui, kita peroleh: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.
Jadi, kita menemukan penyebut barisan bn, dan barisan geometri bn-1 * 17.2304966 = an, di mana b = 1.148698.
Di mana perkembangan geometri digunakan?
Jika tidak ada penerapan praktis dari deret bilangan ini, maka kajiannya akan direduksi menjadi kepentingan teoretis belaka. Tapi aplikasi seperti itu ada.
Di bawah ini adalah 3 contoh paling terkenal:
- Paradoks Zeno, di mana Achilles yang gesit tidak dapat mengejar kura-kura yang lambat, diselesaikan dengan menggunakan konsep barisan bilangan yang semakin berkurang.
- Jika Anda meletakkan butiran gandum pada setiap kotak papan catur sehingga pada kotak pertama Anda menaruh 1 butir, pada kotak ke-2 - 2, pada kotak ke-3 - 3, dan seterusnya, maka untuk mengisi semua kotak di papan tersebut Anda perlu 18446744073709551615 butir!
- Dalam permainan "Menara Hanoi", untuk memindahkan disk dari satu batang ke batang lainnya, perlu melakukan operasi 2n - 1, yaitu jumlahnya bertambah secara eksponensial dengan jumlah n disk yang digunakan.
Kemajuan geometris tidak kalah pentingnya dalam matematika dibandingkan dengan aritmatika. Barisan geometri adalah barisan bilangan b1, b2,..., b[n], yang setiap suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap. Angka ini, yang juga mencirikan laju pertumbuhan atau penurunan perkembangan, disebut penyebut barisan geometri dan menunjukkan
Untuk menyatakan suatu barisan geometri secara lengkap, selain penyebutnya, perlu juga diketahui atau ditentukan suku pertamanya. Untuk nilai positif barisan bilangan penyebutnya adalah barisan monotonik, dan barisan bilangan tersebut menurun secara monoton dan bertambah secara monoton. Kasus ketika penyebutnya sama dengan satu tidak dipertimbangkan dalam praktiknya, karena kita memiliki barisannya nomor yang identik, dan penjumlahannya tidak ada kepentingan praktisnya
Istilah umum barisan geometri dihitung dengan rumus
Jumlah n suku pertama suatu barisan geometri ditentukan oleh rumus
Mari kita pertimbangkan solusinya permasalahan klasik ke perkembangan geometri. Mari kita mulai dengan hal yang paling sederhana untuk dipahami.
Contoh 1. Suku pertama suatu barisan geometri adalah 27 dan penyebutnya adalah 1/3. Tentukan enam suku pertama barisan geometri tersebut.
Solusi: Mari kita tuliskan kondisi masalahnya dalam bentuk
Untuk perhitungannya kita menggunakan rumus suku ke-n suatu barisan geometri
Berdasarkan hal tersebut, kami menemukan syarat-syarat perkembangan yang tidak diketahui
Seperti yang Anda lihat, menghitung suku-suku suatu barisan geometri tidaklah sulit. Perkembangannya sendiri akan terlihat seperti ini
Contoh 2. Tiga suku pertama suatu barisan geometri diberikan: 6; -12; 24. Tentukan penyebut dan suku ketujuhnya.
Penyelesaian: Kita menghitung penyebut barisan geomitri berdasarkan definisinya
Kita memperoleh barisan geometri bolak-balik yang penyebutnya sama dengan -2. Suku ketujuh dihitung dengan menggunakan rumus
Ini menyelesaikan masalahnya.
Contoh 3 Suatu barisan geometri dinyatakan oleh dua sukunya 
. Temukan suku kesepuluh dari perkembangan tersebut.
Larutan:
Mari kita tuliskan menetapkan nilai melalui rumus
Menurut aturan, seseorang perlu mencari penyebutnya dan kemudian mencarinya nilai yang diinginkan, tapi untuk suku kesepuluh kita punya
Rumus yang sama dapat diperoleh berdasarkan manipulasi sederhana dengan data masukan. Bagilah suku keenam deret tersebut dengan suku lain, sehingga kita peroleh
Jika nilai yang dihasilkan dikalikan dengan suku keenam, kita mendapatkan suku kesepuluh
Jadi, untuk tugas serupa menggunakan transformasi sederhana menjadi cara cepat Anda dapat menemukan solusi yang tepat.
Contoh 4 Perkembangan geometri diberikan dengan rumus berulang
Temukan penyebut barisan geometri dan jumlah enam suku pertama.
Larutan:
Mari kita tuliskan data yang diberikan dalam bentuk sistem persamaan
Nyatakan penyebutnya dengan membagi persamaan kedua dengan persamaan pertama
Mari kita cari suku pertama barisan dari persamaan pertama
Mari kita hitung lima suku berikut untuk mencari jumlah barisan geometri
instruksi
10, 30, 90, 270...
Anda perlu mencari penyebut suatu barisan geometri.
Larutan:
Pilihan 1. Mari kita ambil suku sembarang dari perkembangan tersebut (misalnya, 90) dan membaginya dengan suku sebelumnya (30): 90/30=3.
Jika diketahui jumlah beberapa suku suatu barisan geometri atau jumlah semua suku suatu barisan geometri menurun, maka untuk mencari penyebut barisan tersebut, gunakan rumus yang sesuai:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), dengan Sn adalah jumlah n suku pertama barisan geometri dan
S = b1/(1-q), dengan S adalah jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga (jumlah seluruh suku barisan yang penyebutnya kurang dari satu).
Contoh.
Suku pertama suatu barisan geometri menurun sama dengan satu, dan jumlah semua sukunya sama dengan dua.
Hal ini diperlukan untuk menentukan penyebut perkembangan ini.
Larutan:
Gantikan data dari soal ke dalam rumus. Ternyata:
2=1/(1-q), maka – q=1/2.
Kemajuan adalah urutan angka. Dalam suatu barisan geometri, setiap suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan bilangan tertentu q, yang disebut penyebut barisan tersebut.
instruksi
Jika dua suku geometri yang berdekatan b(n+1) dan b(n) diketahui, untuk mendapatkan penyebutnya, Anda perlu membagi bilangan yang lebih besar dengan bilangan sebelumnya: q=b(n+1)/b (N). Berikut ini definisi perkembangan dan penyebutnya. Syarat penting adalah suku pertama dan penyebut suatu barisan tidak sama dengan nol, jika tidak maka dianggap tidak tentu.
Jadi, hubungan berikut terbentuk antara suku-suku barisan: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Dengan menggunakan rumus b(n)=b1 q^(n-1), suku apa pun dari barisan geometri yang penyebutnya q dan suku b1 diketahui dapat dihitung. Selain itu, masing-masing perkembangan mempunyai modulus yang sama dengan rata-rata anggota tetangganya: |b(n)|=√, yang mana perkembangan tersebut mendapatkan .
Analogi barisan geometri adalah yang paling sederhana Fungsi eksponensial y=a^x, dimana x adalah eksponen, a adalah bilangan tertentu. Dalam hal ini, penyebut barisan tersebut bertepatan dengan suku pertama dan sama dengan nomornya A. Nilai fungsi y dapat dipahami sebagai istilah ke-n perkembangan jika argumen x dianggap bilangan asli n (penghitung).
Terdapat untuk jumlah n suku pertama suatu barisan geometri: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). rumus ini berlaku untuk q≠1. Jika q=1, maka jumlah n suku pertama dihitung dengan rumus S(n)=n b1. Omong-omong, perkembangannya disebut meningkat dengan q lebih besar dari satu dan positif b1. Jika penyebut suatu barisan tidak melebihi satu dalam nilai mutlaknya, maka barisan tersebut disebut menurun.
Kasus spesial perkembangan geometri – perkembangan geometri yang menurun tanpa batas (bugp). Faktanya adalah suku-suku barisan geometri menurun akan berkurang berulang kali, tetapi tidak akan pernah mencapai nol. Meskipun demikian, adalah mungkin untuk menemukan jumlah semua suku dari perkembangan tersebut. Ditentukan dengan rumus S=b1/(1-q). Total n anggota tidak terbatas.
Untuk memvisualisasikan bagaimana Anda bisa melipat jumlah yang tak terbatas angka dan tidak menjadi tak terhingga, buatlah kue. Potong setengahnya. Kemudian potong 1/2 bagiannya, dan seterusnya. Potongan-potongan yang akan Anda peroleh tidak lebih dari anggota barisan geometri yang menurun tak terhingga dengan penyebut 1/2. Jika Anda menjumlahkan semua bagian ini, Anda mendapatkan kue aslinya.
Soal geometri adalah jenis latihan khusus yang memerlukan pemikiran spasial. Jika Anda tidak dapat menyelesaikan geometri tugas, coba ikuti aturan di bawah ini.
instruksi
Bacalah ketentuan tugas dengan cermat; jika Anda tidak ingat atau tidak memahami sesuatu, bacalah kembali.
Coba tentukan jenisnya masalah geometri misalnya: komputasi, ketika Anda perlu mencari tahu suatu nilai, tugas-tugas yang membutuhkan rantai penalaran logis, tugas-tugas konstruksi menggunakan kompas dan penggaris. Lebih banyak tugas tipe campuran. Setelah Anda mengetahui jenis masalahnya, cobalah berpikir logis.
Terapkan teorema yang diperlukan untuk tugas tertentu, tetapi jika Anda ragu atau tidak ada pilihan sama sekali, cobalah mengingat teori yang Anda pelajari pada topik yang relevan.
Tuliskan juga penyelesaian masalah dalam bentuk draft. Cobalah untuk melamar metode yang diketahui memeriksa kebenaran keputusan Anda.
Isilah penyelesaian soal dengan hati-hati di buku catatan Anda, tanpa menghapus atau mencoret, dan yang terpenting - . Namun, segera setelah Anda menguasai proses ini, Anda akan mulai melakukan tugas-tugas seperti orang gila, menikmatinya!
Barisan geometri adalah barisan bilangan b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) sedemikian sehingga b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Dengan kata lain, setiap suku suatu barisan diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikannya dengan suatu penyebut yang bukan nol dari barisan tersebut q.
instruksi
Masalah barisan paling sering diselesaikan dengan menyusun dan kemudian mengikuti sistem terhadap suku pertama barisan b1 dan penyebut barisan q. Untuk membuat persamaan, ada gunanya mengingat beberapa rumus.
Cara menyatakan suku ke-n suatu barisan melalui suku pertama barisan dan penyebut barisan tersebut: b(n)=b1*q^(n-1).
Mari kita perhatikan secara terpisah kasus |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
