Fungsi F(X), yang didefinisikan pada suatu interval dan bersifat monotonik dan dibatasi pada interval ini, dapat diperluas menjadi deret Fourier dengan dua cara. Untuk melakukan ini, cukup membayangkan kelanjutan fungsi pada interval [– aku, 0]. Jika lanjutan F(X) pada [- aku, 0] genap (simetris terhadap sumbu ordinat), maka deret Fourier dapat ditulis menggunakan rumus (1.12–1.13), yaitu menggunakan cosinus. Jika kita melanjutkan fungsinya F(X) pada [- aku, 0] secara ganjil, maka perluasan fungsi menjadi deret Fourier akan diwakili oleh rumus (1.14–1.15), yaitu dalam bentuk sinus. Dalam hal ini, kedua deret tersebut akan berada pada interval (0, aku) jumlah yang sama.

Contoh. Perluas fungsinya menjadi deret Fourier kamu = X, ditentukan pada interval (lihat Gambar 1.4).

Larutan.

A). Ekspansi deret kosinus. Kami membangun kelanjutan fungsi yang genap ke dalam interval yang berdekatan [–1, 0]. Grafik fungsi beserta kelanjutan genapnya ke [–1, 0 ] dan kelanjutan selanjutnya (selama periode tersebut T= 2) untuk seluruh sumbu 0 X ditunjukkan pada Gambar 1.5.

Karena aku= 1, maka deret Fourier untuk fungsi ini dengan pemuaian genap akan berbentuk

(1.18)

,

Hasilnya, kita memperoleh di

Di seluruh sumbu 0 X deret tersebut konvergen ke fungsi yang ditunjukkan pada Gambar 1.4.

2). Ekspansi deret dalam bentuk sinus. Kami membangun kelanjutan ganjil dari fungsi tersebut ke dalam interval yang berdekatan [–1, 0]. Grafik suatu fungsi beserta kelanjutan ganjilnya ke [–1, 0] dan kelanjutan periodik selanjutnya ke seluruh garis bilangan 0 X ditunjukkan pada Gambar 1.6.

Untuk ekspansi yang aneh

, (1.20)

.

Oleh karena itu, deret Fourier sinus untuk fungsi ini dengan
akan terlihat seperti

Pada intinya
jumlah deretnya akan sama dengan nol, meskipun fungsi aslinya sama dengan 1. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa dengan kelanjutan periodik titik tersebut X= 1 menjadi break point.

Dari perbandingan ekspresi (1.19) dan (1.21) dapat disimpulkan bahwa laju konvergensi deret (1.19) lebih tinggi dibandingkan deret (1.21): dalam kasus pertama ditentukan oleh faktor
, dan dalam kasus kedua dengan faktor 1/ N. Oleh karena itu, ekspansi deret kosinus lebih disukai dalam kasus ini.

Secara umum dapat ditunjukkan bahwa jika fungsinya F(X) tidak hilang setidaknya pada salah satu ujung interval, maka perluasannya menjadi deret kosinus lebih disukai. Hal ini disebabkan fakta bahwa dengan kelanjutan genap ke dalam interval yang berdekatan
fungsinya akan kontinu (lihat Gambar 1.5), dan laju konvergensi deret yang dihasilkan akan lebih tinggi daripada deret sinus. Jika suatu fungsi yang didefinisikan pada hilang di kedua ujung interval, maka lebih disukai perluasannya menjadi serangkaian sinus, karena dalam hal ini tidak hanya fungsi itu sendiri yang kontinu. F(X), tetapi juga turunan pertamanya.

1.6. Deret Fourier yang digeneralisasi

Fungsi
Dan
(N, M= 1, 2, 3,…) disebut ortogonal di segmen [ A, B], jika pada N ≠ M

. (1.22)

Ini diasumsikan bahwa

Dan
.

Pertimbangkan perluasan fungsinya F(X), yang didefinisikan pada interval [ A, B], dalam suatu deret menurut sistem fungsi ortogonal

di mana koefisiennya (Saya= 0,1,2...) adalah bilangan konstan.

Untuk menentukan koefisien ekspansi kalikan persamaan (1,23) dengan
dan mengintegrasikan suku demi suku pada interval [ A, B]. Kami mendapatkan kesetaraan

Karena ortogonalitas fungsinya
semua integral di sisi kanan persamaan akan sama dengan nol, kecuali satu (untuk
). Oleh karena itu

(1.24)

Deret (1.23) dalam sistem fungsi ortogonal yang koefisiennya ditentukan dengan rumus (1.24), disebut deret Fourier yang digeneralisasi untuk fungsi F(X).

Untuk menyederhanakan rumus koefisien, yang disebut penjatahan fungsi. Sistem fungsi φ 0 (X), φ 1 (X),…, φ N (X),... ditelepon dinormalisasi pada interval [ A, B], Jika

. (1.25)

Teorema ini benar: sistem fungsi ortogonal apa pun dapat dinormalisasi. Artinya, bilangan konstan dapat dicari μ 0 , μ 1 ,…, μ N,... sehingga sistem fungsinya μ 0 φ 0 (X), μ 1 φ 1 (X),…, μ N φ N (X),... tidak hanya ortogonal, tetapi juga dinormalisasi. Memang dari kondisinya

kita mengerti itu

.

ditelepon norma fungsi
dan dilambangkan dengan
.

Jika sistem fungsinya dinormalisasi, maka jelas
. Urutan fungsi φ 0 (X), φ 1 (X),…, φ N (X),…, ditentukan pada interval [ A, B], adalah ortonormal pada segmen ini jika semua fungsi dinormalisasi dan saling ortogonal pada [ A, B].

Untuk sistem fungsi ortonormal, koefisien deret Fourier umum adalah sama dengan

. (1.26)

Contoh. Perluas suatu fungsi kamu = 2 – 3X pada segmen tersebut
menjadi deret Fourier umum dalam sistem fungsi ortogonal pada segmen ini, yang mana kita mengambil fungsi eigen dari masalah nilai eigen

setelah sebelumnya memeriksa keterpaduan kuadrat dan ortogonalitasnya.

Komentar. Mereka bilang itu fungsinya
, ditentukan pada segmen
, suatu fungsi mempunyai keterintegrasian kuadrat jika fungsi itu sendiri dan kuadratnya dapat diintegralkan
, yaitu jika terdapat integral
Dan
.

Larutan. Pertama kita selesaikan masalah nilai eigen. Solusi umum persamaan masalah ini adalah

dan turunannya akan dituliskan dalam bentuk

Oleh karena itu, dari kondisi batasnya sebagai berikut:

Agar ada solusi yang tidak sepele, kita perlu menerimanya

,

dari mana berikut ini
Oleh karena itu, nilai eigen dari parameter tersebut setara

,

dan fungsi eigen yang sesuai, hingga suatu faktor, akan menjadi

. (1.27)

Mari kita periksa fungsi eigen yang diperoleh untuk ortogonalitas pada segmen tersebut:

sejak untuk bilangan bulat
.Di mana

Akibatnya, fungsi eigen yang ditemukan adalah ortogonal pada interval tersebut.

Mari kita kembangkan fungsi yang diberikan menjadi deret Fourier umum dalam sistem fungsi eigen ortogonal (1.27):

, (1.28)

yang koefisiennya dihitung menurut (1.24):

. (1.29)

Substitusikan (129) ke (1.28), akhirnya kita peroleh

Banyak proses yang terjadi di alam dan teknologi cenderung berulang pada interval tertentu. Proses seperti ini disebut periodik dan dijelaskan secara matematis dengan fungsi periodik. Fungsi tersebut antara lain dosa(X) , karena(X) , dosa(wx), karena(wx) . Jumlah dua fungsi periodik, misalnya fungsi bentuk , secara umum, tidak lagi periodik. Namun dapat dibuktikan jika ada hubungannya w 1 / w 2 adalah bilangan rasional, maka jumlah tersebut merupakan fungsi periodik.

Proses periodik yang paling sederhana - osilasi harmonik - dijelaskan oleh fungsi periodik dosa(wx) Dan karena(wx). Proses periodik yang lebih kompleks dijelaskan oleh fungsi-fungsi yang terdiri dari suku-suku bentuk yang jumlahnya terbatas atau tak terbatas dosa(wx) Dan karena(wx).

3.2. Deret trigonometri. Koefisien Fourier

Mari kita perhatikan rangkaian fungsional dari bentuk:

Seri ini disebut trigonometri; angka A 0 , B 0 , A 1 , B 1 ,A 2 , B 2 …, A N , B N ,… disebut koefisien deret trigonometri. Seri (1) sering ditulis sebagai berikut:

. (2)

Karena anggota-anggota deret trigonometri (2) mempunyai periode yang sama
, maka jumlah deret tersebut, jika konvergen, juga merupakan fungsi periodik dengan periode
.

Mari kita asumsikan fungsinya F(X) adalah jumlah dari seri ini:

. (3)

Dalam hal ini mereka mengatakan bahwa fungsinya F(X) diperluas menjadi deret trigonometri. Dengan asumsi bahwa deret ini konvergen secara seragam pada interval tersebut
, Anda dapat menentukan koefisiennya menggunakan rumus:

,
,
. (4)

Koefisien deret yang ditentukan oleh rumus ini disebut Koefisien Fourier.

Deret trigonometri (2), yang koefisiennya ditentukan dengan rumus Fourier (4), disebut dekat Fourier, sesuai dengan fungsinya F(X).

Jadi, jika merupakan fungsi periodik F(X) adalah jumlah deret trigonometri konvergen, maka deret tersebut adalah deret Fouriernya.

3.3. Konvergensi deret Fourier

Rumus (4) menunjukkan bahwa koefisien Fourier dapat dihitung untuk setiap integral pada interval tersebut

-fungsi periodik, mis. Untuk fungsi seperti itu seseorang selalu dapat membuat deret Fourier. Namun apakah rangkaian ini akan menyatu dengan fungsinya F(X) dan dalam kondisi apa?

Ingatlah bahwa fungsinya F(X), ditentukan pada segmen tersebut [ A; B] , disebut mulus sedikit demi sedikit jika dan turunannya mempunyai tidak lebih dari sejumlah titik diskontinuitas jenis pertama yang terbatas.

Teorema berikut memberikan kondisi yang cukup untuk penguraian suatu fungsi dalam deret Fourier.

Teorema Dirichlet. Membiarkan
-fungsi periodik F(X) sedikit mulus
. Kemudian deret Fouriernya konvergen menjadi F(X) pada setiap titik kesinambungan dan nilainya 0,5(F(X+0)+ F(X-0)) pada titik puncaknya.

Contoh 1.

Perluas fungsinya menjadi deret Fourier F(X)= X, ditentukan pada interval
.

Larutan. Fungsi ini memenuhi kondisi Dirichlet dan, oleh karena itu, dapat diperluas dalam deret Fourier. Menggunakan rumus (4) dan metode integrasi bagian
, mari kita cari koefisien Fourier:

Jadi, deret Fourier untuk fungsi tersebut F(X) telah melihat.

Salinan

1 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN ILMU PENGETAHUAN UNIVERSITAS NEGARA RF NOVOSIBIRSK FAKULTAS FISIKA R. K. Belkheeva FOURIER SERI DALAM CONTOH DAN MASALAH Buku Ajar Novosibirsk 211

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkheeva R.K. Seri Fourier dalam contoh dan soal: Buku Teks / Novosibirsk. negara universitas. Novosibirsk, hal. ISBN Buku teks memberikan informasi dasar tentang deret Fourier dan memberikan contoh untuk setiap topik yang dipelajari. Contoh penerapan metode Fourier untuk memecahkan masalah getaran transversal suatu dawai dianalisis secara rinci. Materi ilustrasi disediakan. Ada tugas untuk solusi independen. Ditujukan untuk mahasiswa dan guru Fakultas Fisika NSU. Diterbitkan berdasarkan keputusan komisi metodologi Fakultas Fisika NSU. Pengulas: Dr. Phys.-Math. Sains. V. A. Aleksandrov Manual ini disiapkan sebagai bagian dari implementasi Program Pengembangan NRU-NSU selama bertahun-tahun. ISBN c Universitas Negeri Novosibirsk, 211 c Belkheeva R.K., 211

3 1. Perluasan fungsi periodik 2π menjadi Definisi deret Fourier. Deret Fourier dari fungsi f(x) merupakan deret fungsional a 2 + (an cosnx + b n sin nx), (1) dimana koefisien a n, b n dihitung dengan menggunakan rumus: a n = 1 π b n = 1 π f (x) cosnxdx, n = , 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) Rumus (2) (3) disebut rumus Euler Fourier. Fakta bahwa fungsi f(x) sesuai dengan deret Fourier (1) ditulis sebagai rumus f(x) a 2 + (an cosnx + b n sin nx) (4) dan kita katakan bahwa ruas kanan rumus ( 4) merupakan deret formal fungsi Fourier f(x). Dengan kata lain rumus (4) hanya berarti koefisien a n, b n dicari dengan menggunakan rumus (2), (3). 3

4 Definisi. Fungsi periodik 2π f(x) disebut mulus sedikit demi sedikit jika terdapat sejumlah titik berhingga = x pada interval [, π]< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 Gambar. 1. Grafik fungsi f(x) Mari kita hitung koefisien Fourier a = 1 π f(x) dx = 1 π x 2 2 π = π, a n = 1 π f(x) cosnxdx = 2 π = 2 () x sin nx cos nx + π n n 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = b n = 1 π π = 2 π f(x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, untuk n ganjil, untuk n genap , f(x ) sin nxdx =, karena fungsi f(x) genap. Mari kita tuliskan deret Fourier formal untuk fungsi f(x): f(x) π 2 4 π k= 5 cos (2k + 1)x (2k + 1) 2.

6 Mari kita cari tahu apakah fungsi f(x) mulus sebagian. Karena kontinu, kita hanya menghitung limit (6) pada titik akhir interval x = ±π dan pada titik putus x = : dan f(π h) f(π) π h π lim = lim h + h h + h = 1, f(+ h) f(+) + h () lim = lim h + h h + h f(+ h) f(+) + h lim = lim = 1, h + h h + h = 1 , f(h) f () h () lim = lim = 1. h + h h + h Limitnya ada dan berhingga, oleh karena itu fungsinya mulus sedikit demi sedikit. Berdasarkan teorema konvergensi titik, deret Fouriernya konvergen ke bilangan f(x) di setiap titik, yaitu f(x) = π 2 4 π k= cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) Pada Gambar. 2, 3 menunjukkan sifat pendekatan jumlah parsial deret Fourier S n (x), dimana S n (x) = a n 2 + (ak coskx + b k sin kx), k=1 ke fungsi f(x ) dalam interval [, π] . 6

7 Gambar. 2. Grafik fungsi f(x) dengan grafik jumlah parsial yang ditumpangkan S (x) = a 2 dan S 1(x) = a 2 + a 1 cos x Gambar. 3. Grafik fungsi f(x) dengan grafik jumlah parsial yang ditumpangkan padanya S 99 (x) = a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7

8 Substitusikan x = ke (7) kita peroleh: = π 2 4 π k= 1 (2k + 1) 2, dari situ kita cari jumlah deret bilangannya: = π2 8. Diketahui jumlah deret tersebut, maka adalah mudah untuk menemukan jumlah berikut Kita punya: S = ( ) S = ()= π S, oleh karena itu S = π2 6, yaitu, 1 n = π Jumlah dari deret terkenal ini pertama kali ditemukan oleh Leonhard Euler. Hal ini sering ditemukan dalam analisis matematika dan penerapannya. CONTOH 2. Mari kita menggambar grafik dan mencari deret Fourier suatu fungsi dengan rumus f(x) = x untuk x< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 Gambar. 4. Grafik fungsi f(x) Fungsi f(x) terdiferensiasi kontinu pada interval (, π). Di titik x = ±π, ia mempunyai limit berhingga (5): f() =, f(π) = π. Selain itu, terdapat limit berhingga (6): f(+ h) f(+) lim = 1 dan h + h f(π h) f(π +) lim = 1. h + h Oleh karena itu, f(x) adalah fungsi halus sedikit demi sedikit. Karena fungsi f(x) ganjil, maka a n =. Kita mencari koefisien b n dengan mengintegrasikan per bagian: b n = 1 π f(x) sin πnxdx= 1 [ x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1)n π + (1) n π] = 2(1 )n+ 1. n Mari kita buat deret Fourier formal dari fungsi 2(1) n+1 f(x) sin nx. n 9 cosnxdx ] =

10 Berdasarkan teorema konvergensi titik dari fungsi periodik 2π mulus sedikit demi sedikit, deret Fourier dari fungsi f(x) konvergen dengan jumlah: 2(1) n+1 sin nx = n f(x) = x, jika π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 Gambar. 6. Grafik fungsi f(x) dengan grafik jumlah parsial S 2 (x) ditumpangkan padanya Gambar. 7. Grafik fungsi f(x) dengan grafik jumlah parsial S 3 (x) 11 ditumpangkan padanya

12 Gambar. 8. Grafik fungsi f(x) dengan grafik jumlah parsial S 99 (x) ditumpangkan padanya. Kita menggunakan deret Fourier yang dihasilkan untuk mencari jumlah dua deret bilangan. Mari kita masukkan x = π/2 ke dalam (8). Maka 2() +... = π 2, atau = n= (1) n 2n + 1 = π 4. Kita dengan mudah menemukan jumlah dari deret Leibniz yang terkenal. Masukkan x = π/3 ke dalam (8), kita temukan () +... = π 2 3, atau (1+ 1) () (k) 3π +...= 3k

13 CONTOH 3. Mari kita menggambar sebuah grafik, mencari deret Fourier dari fungsi f(x) = sin x, dengan asumsi mempunyai periode 2π, dan 1 menghitung jumlah deret bilangan 4n 2 1. Penyelesaian. Grafik fungsi f(x) ditunjukkan pada Gambar. 9. Jelaslah, f(x) = sin x adalah fungsi genap kontinu dengan periode π. Tetapi 2π juga merupakan periode dari fungsi f(x). Beras. 9. Grafik fungsi f(x) Mari kita hitung koefisien Fourier. Semua b n = karena fungsinya genap. Dengan menggunakan rumus trigonometri, kita menghitung an untuk n 1: an = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin(1 + n)x sin(1 n)x) dx = = 1 () π cos( 1 + n)x cos(1 n)x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 ( 4 1 jika n = 2k, = π n 2 1 jika n = 2k

14 Perhitungan ini tidak memungkinkan kita mencari koefisien a 1, karena pada n = 1 penyebutnya menjadi nol. Oleh karena itu, kita menghitung koefisien a 1 secara langsung: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. Karena f(x) terdiferensiasi kontinu pada (,) dan (, π) dan di titik kπ, (k adalah bilangan bulat), terdapat limit berhingga (5) dan (6), maka deret Fourier dari fungsi tersebut konvergen padanya di setiap titik: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x Gambar tersebut menunjukkan sifat pendekatan fungsi f(x) dengan jumlah parsial deret Fourier.. (9) Gambar. 1. Grafik fungsi f(x) dengan grafik jumlah parsial S (x) 14 ditumpangkan padanya

15 Gambar. 11. Grafik fungsi f(x) dengan grafik jumlah parsial S 1 (x) ditumpangkan padanya Gambar. 12. Grafik fungsi f(x) dengan grafik jumlah parsial S 2 (x) ditumpangkan padanya Gambar. 13. Grafik fungsi f(x) dengan grafik jumlah parsial S 99 (x) 15 ditumpangkan padanya

16 1 Hitung jumlah deret bilangan. Untuk melakukan ini, masukkan 4n 2 1 ke dalam (9) x =. Maka cosnx = 1 untuk semua n = 1, 2,... dan Oleh karena itu, 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. CONTOH 4. Mari kita buktikan bahwa jika suatu fungsi kontinu mulus sepotong-sepotong f(x) memenuhi syarat f(x π) = f(x) untuk semua x (yakni adalah π-periodik) , maka a 2n 1 = b 2n 1 = untuk semua n 1, dan sebaliknya, jika a 2n 1 = b 2n 1 = untuk semua n 1, maka f(x) adalah π-periodik. Larutan. Biarkan fungsi f(x) menjadi π-periodik. Mari kita hitung koefisien Fouriernya a 2n 1 dan b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f(x) cos(2n 1)xdx + f(x) cos(2n 1)xdx =) f(x) karena (2n 1)xdx. Pada integral pertama kita melakukan perubahan variabel x = t π: f(x) cos(2n 1)xdx = f(t π) cos(2n 1)(t + π) dt. 16

17 Dengan menggunakan fakta bahwa cos(2n 1)(t + π) = cos(2n 1)t dan f(t π) = f(t), kita peroleh: a 2n 1 = 1 π (f(x) cos( 2n 1)x dx+) f(x) cos(2n 1)x dx =. Hal serupa dibuktikan dengan b 2n 1 =. Sebaliknya, misalkan a 2n 1 = b 2n 1 =. Karena fungsi f(x) kontinu, maka berdasarkan teorema keterwakilan suatu fungsi di suatu titik berdasarkan deret Fouriernya, diperoleh Maka f(x π) = = f(x) = (a 2n cos 2nx + b 2n dosa 2nx). (a2n cos 2n(x π) + b 2n sin 2n(x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f(x), artinya f(x) merupakan fungsi π-periodik. CONTOH 5. Mari kita buktikan bahwa jika fungsi mulus sepotong-sepotong f(x) memenuhi syarat f(x) = f(x) untuk semua x, maka a = dan a 2n = b 2n = untuk semua n 1, dan sebaliknya , jika a = a 2n = b 2n =, maka f(x π) = f(x) untuk semua x. Larutan. Misalkan fungsi f(x) memenuhi kondisi f(x π) = f(x). Mari kita hitung koefisien Fouriernya: 17

18 = 1 π (an = 1 π f(x) cos nxdx + f(x) cosnxdx =) f(x) cosnxdx. Pada integral pertama kita akan mengubah variabel x = t π. Maka f(x) cosnxdx = f(t π) cosn(t π) dt. Dengan menggunakan fakta bahwa cos n(t π) = (1) n cosnt dan f(t π) = f(t), kita peroleh: a n = 1 π ((1) n) f(t) cosnt dt = jika n genap, = 2 π f(t) cos nt dt, jika n ganjil. π Hal serupa juga dibuktikan bahwa b 2n =. Sebaliknya, misalkan a = a 2n = b 2n =, untuk semua n 1. Karena fungsi f(x) kontinu, maka berdasarkan teorema keterwakilan suatu fungsi di suatu titik menurut deret Fouriernya, persamaan f( x) = (a 2n 1 cos ( 2n 1)x + b 2n 1 sin (2n 1)x). 18

19 Maka = f(x π) = = = f(x). CONTOH 6. Mari kita pelajari cara memperluas fungsi integral f(x) pada interval [, π/2] ke interval [, π], sehingga deret Fouriernya berbentuk: a 2n 1 cos(2n 1) X. (1) Solusi. Biarkan grafik fungsi memiliki bentuk seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 14. Karena pada deret (1) a = a 2n = b 2n = untuk semua n, maka dari contoh 5 maka fungsi f(x) harus memenuhi persamaan f(x π) = f(x) untuk semua x . Pengamatan ini memberikan cara untuk memperluas fungsi f(x) ke interval [, /2]: f(x) = f(x+π), Gambar. 15. Dari kenyataan bahwa deret (1) hanya memuat cosinus, kita menyimpulkan bahwa fungsi perluasan f(x) harus genap (yaitu, grafiknya harus simetris terhadap sumbu Oy), Gambar.

20 Gambar. 14. Grafik fungsi f(x) Gambar. 15. Grafik kelanjutan fungsi f(x) pada interval [, /2] 2

21 Jadi, fungsi yang diperlukan memiliki bentuk seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 16. Gambar. 16. Grafik kelanjutan fungsi f(x) untuk interval [, π] Ringkasnya, kita simpulkan bahwa fungsi tersebut harus dilanjutkan sebagai berikut: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), yaitu pada interval [π/2, π], grafik fungsi f(x) simetris terpusat terhadap titik (π/2,), dan pada interval [, π], grafiknya simetris terhadap sumbu Oy. 21

22 GENERALISASI CONTOH 3 6 Misalkan l >. Mari kita pertimbangkan dua kondisi: a) f(l x) = f(x); b) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. Secara geometri, kondisi (a) berarti grafik fungsi f(x) simetris terhadap garis vertikal x = l/2, dan kondisi (b) grafik f(x) adalah simetris terpusat terhadap titik (l/2;) pada sumbu absis. Maka pernyataan berikut ini benar: 1) jika fungsi f(x) genap dan syarat (a) terpenuhi, maka b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... = ; 2) jika fungsi f(x) genap dan kondisi (b) terpenuhi, maka b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) jika fungsi f(x) ganjil dan syarat (a) terpenuhi, maka a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) jika fungsi f(x) ganjil dan kondisi (b) terpenuhi, maka a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. MASALAH Dalam soal 1 7, gambarlah grafik dan tentukan deret Fourier untuk fungsi-fungsi tersebut, (dengan asumsi fungsi-fungsi tersebut mempunyai periode 2π: jika< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 ( 1 jika /2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. Perluasan suatu fungsi yang diberikan pada interval [, π], hanya dalam sinus atau hanya dalam cosinus Misalkan fungsi f diberikan pada interval [, π]. Ingin memperluasnya dalam interval ini menjadi deret Fourier, pertama-tama kita perluas f ke dalam interval [, π] dengan cara apa pun, lalu gunakan rumus Fourier Euler. Kesewenang-wenangan dalam kelanjutan suatu fungsi mengarah pada fakta bahwa untuk fungsi yang sama f: [, π] R kita dapat memperoleh deret Fourier yang berbeda. Tetapi Anda dapat menggunakan kesewenang-wenangan ini untuk mendapatkan perluasan hanya dalam sinus atau hanya dalam kosinus: dalam kasus pertama cukup melanjutkan f dengan cara ganjil, dan yang kedua dengan cara genap. Algoritma penyelesaian 1. Lanjutkan fungsi ganjil (genap) ke (,), kemudian secara periodik dengan periode 2π meneruskan fungsi tersebut sepanjang seluruh sumbu. 2. Hitung koefisien Fourier. 3. Buatlah deret Fourier dari fungsi f(x). 4. Periksa kondisi konvergensi deret tersebut. 5. Tunjukkan fungsi dimana deret ini akan konvergen. CONTOH 7. Mari kita perluas fungsi f(x) = cosx,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 Gambar. 17. Grafik fungsi yang diperluas Terlihat jelas bahwa fungsi f(x) mulus sebagian. Mari kita hitung koefisien Fourier: a n = untuk semua n karena fungsi f(x) ganjil. Jika n 1, maka b n = 2 π f(x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = π n + 1 n 1 = 1 (1) n (1)n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1, jika n = 2 k + 1, (1)n+1 (n 1) + (n + 1) = π ( n + 1)(n 1) 2 2n, jika n = 2k. π n 2 1 Jika n = 1 pada perhitungan sebelumnya, penyebutnya menjadi nol, sehingga koefisien b 1 dapat langsung dihitung 25

26 tentu saja: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. Mari kita buat deret Fourier dari fungsi f (x) : f (x) 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx. Karena fungsi f (x) mulus sedikit demi sedikit, maka berdasarkan teorema konvergensi titik, deret Fourier dari fungsi f (x) konvergen ke jumlah: cosx jika π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 Gambar. 18. Grafik fungsi f(x) dengan grafik jumlah parsial S 1 (x) ditumpangkan padanya. 19. Grafik fungsi f(x) dengan grafik jumlah parsial S 2 (x) 27 ditumpangkan padanya

28 Gambar. 2. Grafik fungsi f(x) dengan grafik jumlah parsial S 3 (x) ditumpangkan padanya. Gambar 21 menunjukkan grafik fungsi f (x) dan jumlah parsialnya S 99 (x). Beras. 21. Grafik fungsi f (x) dengan grafik jumlah parsial S 99 (x) 28 ditumpangkan padanya

29 CONTOH 8. Mari kita perluas fungsi f(x) = e ax, a >, x [, π], menjadi deret Fourier hanya dalam cosinus. Larutan. Mari kita memperluas fungsinya secara merata ke (,) (yaitu, sehingga persamaan f(x) = f(x) berlaku untuk semua x (, π)), dan kemudian secara periodik dengan periode 2π sepanjang garis bilangan. Kami memperoleh fungsi f (x), grafiknya ditunjukkan pada Gambar. 22. Fungsi f (x) pada titik Gambar. 22. Grafik fungsi diperluas f(x)x = kπ, k bilangan bulat, mempunyai kekusutan. Mari kita hitung koefisien Fourier: b n =, karena f(x) genap. Mengintegrasikan berdasarkan bagian kita mendapatkan 29

30 a n = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd(e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f(x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πa (eaπ cosnπ 1 ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2n2 e ax cos nxdx = 2 π a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 a a n. 2 Oleh karena itu, a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Karena f (x) kontinu, maka menurut teorema konvergensi titik, deret Fouriernya konvergen ke f (x). Artinya untuk semua x [, π] kita mempunyai f(x) = 1 π a (eaπ 1)+ 2a π k=1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). Gambar menunjukkan pendekatan bertahap dari jumlah parsial deret Fourier ke fungsi diskontinu tertentu. 3

31 Gambar. 23. Grafik fungsi f(x) dan S(x) Gambar. 24. Grafik fungsi f (x) dan S 1 (x) Gambar. 25. Grafik fungsi f (x) dan S 2 (x) Gambar. 26. Grafik fungsi f(x) dan S 3(x) 31

32 Gambar. 27. Grafik fungsi f(x) dan S 4(x) Gambar. 28. Grafik fungsi f (x) dan S 99 (x) SOAL 9. Perluas fungsi f (x) = cos x, x π menjadi deret Fourier yang hanya berkosinus. 1. Perluas fungsi f(x) = e ax, a >, x π, menjadi deret Fourier dalam sinus saja. 11. Perluas fungsi f(x) = x 2, x π menjadi deret Fourier dalam sinus saja. 12. Perluas fungsi f(x) = sin ax, x π menjadi deret Fourier yang hanya berkosinus. 13. Perluas fungsi f(x) = x sin x, x π menjadi deret Fourier dalam sinus saja. Jawaban 9. cosx = cosx. 1. e kapak = 2 [ 1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k=1 11. x 2 2 [ π 2 (1) n 1 π n + 2 ] n 3 ((1)n 1) sin nx. 32

33 12. Jika a bukan bilangan bulat, maka sin ax = 1 cosaπ (1 + +2a cos 2nx ) + π a 2 (2n) 2 +2a 1 + cosaπ cos(2n 1)x π a 2 (2n 1) 2; jika a = 2m bilangan genap, maka sin 2mx = 8m cos(2n 1)x π (2m) 2 (2n 1) 2; jika a = 2m 1 bilangan ganjil positif, maka sin(2m 1)x = 2 ( cos 2nx ) 1 + 2(2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Deret Fourier suatu fungsi dengan periode sembarang Misalkan fungsi f(x) diberikan pada interval [ l, l], l >. Dengan melakukan substitusi x = ly, y π, kita memperoleh fungsi g(y) = f(ly/π), yang didefinisikan dalam interval π [, π]. Fungsi ini g(y) sesuai dengan deret Fourier (formal) () ly f = g(y) a π 2 + (an cosny + b n sin ny), yang koefisiennya dicari menggunakan rumus Euler Fourier: an = 1 π g(y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2,..., 33

34 b n = 1 π g(y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2,.... π Kembali ke variabel lama yaitu dengan asumsi pada rumus tertulis y = πx/ l, kita memperoleh fungsi f(x) deret trigonometri dengan bentuk yang sedikit dimodifikasi: di mana f(x) a 2 + a n = 1 l b n = 1 l l l l l (an cos πnx l f(x) cos πnx l f(x) sin πnx l + b n sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2,..., (12) dx, n = 1, 2,.... (13) Rumus (11) (13) dikatakan mendefinisikan perluasan deret Fourier suatu fungsi dengan periode sembarang. CONTOH 9. Mari kita cari deret Fourier dari suatu fungsi yang ditentukan dalam interval (l, l) dengan ekspresi ( A, jika l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 l l f(x) dx = 1 l A dx + 1 l l B dx = A + B, l l a n = 1 l l l f(x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 l l A cos πnx l = A + B π n l b n = 1 l dx + 1 l l B cos πnx l sin πn =, jika n, l l A sin πnx l f(x) sin πnx l dx + 1 l l dx = B sin πnx l = B A (1 cosπn). πn Mari kita buat deret Fourier dari fungsi f (x) : f(x) A + B π (BA Karena cosπn = (1) n, maka n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l untuk n = 2k kita memperoleh b n = b 2k =, untuk n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2(BA) π(2k 1).

36 Maka f(x) A + B (BA) π (sin πx + 1 3πx sin + 1 5πx sin +... l 3 l 5 l Menurut teorema konvergensi pointwise, deret Fourier dari fungsi f(x) konvergen ke jumlah A, jika l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 Gambar. 29. Grafik fungsi f(x) dengan grafik harmonik S(x) = a 2 dan S 1 (x) = b 1 sinx ditumpangkan padanya. Agar lebih jelas, grafik tiga harmonik yang lebih tinggi S 3 (x) = b 3 sin 3πx, S l 5 (x) = b 5 sin 5πx l dan S 7 (x) = b 7 sin 7πx digeser vertikal ke atas l 37

38 Gambar. 3. Grafik fungsi f(x) dengan grafik jumlah parsial S 99 (x) ditumpangkan padanya. 31. Fragmen Gambar. 3 dalam skala lain 38

39 SOAL Dalam soal, perluas fungsi yang ditunjukkan dalam interval tertentu ke dalam deret Fourier. 14. f(x) = x 1, (1, 1). 15. f(x) = cos π x, [ 1, 1] f(x ) = sin π x, (1, 1).< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18. f(x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f(x) = al 4 2) 1 (4n 2)πx cos, π 2 (2n 1) 2 l b) f(x) = 4al (1) n 1 (2n 1)πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23. a) f(x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x... b) f( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π)+ 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x Bentuk kompleks deret Fourier Ekspansi f(x) = c n e inx, dimana c n = 1 2π f (x)e inx dx, n = ±1, ±2,..., disebut bentuk kompleks deret Fourier. Suatu fungsi diperluas menjadi deret Fourier kompleks jika kondisi yang sama dipenuhi saat fungsi tersebut diperluas menjadi deret Fourier nyata. 4

41 CONTOH 1. Carilah deret Fourier dalam bentuk kompleks dari fungsi yang diberikan oleh rumus f(x) = e ax, pada interval [, π), dimana a adalah bilangan real. Larutan. Mari kita hitung koefisiennya: = c n = 1 2π f(x)e inx dx = 1 2π e (a in)x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1)n sh aπ. 2π(a in) π(a in) Deret Fourier kompleks dari fungsi f berbentuk f(x) sinh aπ π n= (1) n a in einx. Mari kita pastikan bahwa fungsi f(x) mulus sedikit demi sedikit: pada interval (, π) fungsi tersebut terdiferensiasi kontinu, dan pada titik x = ±π terdapat limit berhingga (5), (6) lim h + ea (+h) = eaπ, lim h + ea(π h) = eaπ, ea(+h) ea(+) lim h + h = ae aπ ea(π h) ea(π), lim h + h = ae aπ. Oleh karena itu, fungsi f(x) dapat diwakili oleh deret Fourier sh aπ π n= (1) n a dalam einx, yang konvergen dengan jumlah: ( e S(x) = ax jika π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 CONTOH 11. Tentukan deret Fourier dalam bentuk kompleks dan real dari fungsi yang diberikan dengan rumus f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, dimana a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 Ingatlah bahwa jumlah barisan geometri tak hingga dengan penyebut q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 Sekarang mari kita cari deret Fourier dalam bentuk nyata. Caranya, kita kelompokkan suku-suku dengan bilangan n dan n untuk n: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Karena c = 1, maka 2 = 2a n cos nx. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = an cosnx. 2 Ini adalah deret Fourier dalam bentuk nyata dari fungsi f(x). Jadi, tanpa menghitung satu integral pun, kami menemukan deret Fourier dari fungsi tersebut. Pada saat yang sama, kami menghitung integral yang sulit tergantung pada parameter cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a(z z 1) f(x) = 2i (1 a(z z 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1)z 2 2 (za a)(za 1) = = i 2 + i () a 2 z a + a 1. z a 1 Mari kita perluas masing-masing pecahan sederhana dengan menggunakan rumus barisan geometri: + a z a = a 1 z 1 a = a a n z z n, n= z a 1 z a = az = a n z n. n= Hal ini mungkin karena az = a/z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, atau, lebih singkatnya, c n = 1 2i a n sgnn. Dengan demikian, deret Fourier dalam bentuk kompleks telah ditemukan. Dengan mengelompokkan suku-suku dengan bilangan n dan n, kita memperoleh deret Fourier dari fungsi tersebut dalam bentuk real: = f(x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 (1 2i an e inx 1 2i an e inx n= +) = c n e inx = an sin nx. Sekali lagi kita dapat menghitung integral kompleks berikut: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 SOAL 24. Dengan menggunakan (15), hitung integral cos nxdx 1 2a cosx + a 2 untuk real a, a > Menggunakan (16), hitung integral sin x sin nxdx untuk real a, a > a cosx + a2 Dalam soal, temukan deret Fourier dalam bentuk kompleks untuk fungsi. 26. f(x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Teorema Kesetaraan Lyapunov (Persamaan Lyapunov). Misalkan fungsi f: [, π] R sedemikian sehingga f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Oleh karena itu, persamaan Lyapunov untuk fungsi f(x) berbentuk: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. Dari persamaan terakhir untuk a π kita temukan sin 2 na n 2 = a(π a) 2 Setting a = π 2, kita peroleh sin2 na = 1 untuk n = 2k 1 dan sin 2 na = untuk n = 2k. Akibatnya, k=1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. CONTOH 14. Mari kita tulis persamaan Lyapunov untuk fungsi f(x) = x cosx, x [, π], dan gunakan persamaan tersebut untuk mencari jumlah bilangan tersebut deret (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π Solusi. Perhitungan langsung menghasilkan = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Karena f(x) adalah fungsi genap, maka untuk semua n kita mempunyai b n =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1 )x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1)(n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2 jika n = 2k, 2 jika n = 2k + 1. Koefisien a 1 harus dihitung secara terpisah, karena dalam rumus umum n = 1 penyebut pecahannya adalah ke nol. = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Jadi, persamaan Lyapunov untuk fungsi f(x) berbentuk: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π, dari situ kita mencari jumlah deret bilangan (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) = π π SOAL 32. Tulis persamaan Lyapunov untuk fungsi ( x f(x) = 2 πx, jika x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Jawaban + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, dimana c n adalah koefisien Fourier 2π dari fungsi f(x), dan d n adalah fungsi koefisien Fourier g(x). 6. Diferensiasi Deret Fourier Misalkan f: R R merupakan fungsi periodik 2π yang terdiferensiasi kontinyu. Deret Fouriernya berbentuk: f(x) = a 2 + (an cos nx + b n sin nx). Turunan f (x) dari fungsi ini akan menjadi fungsi kontinu dan 2π-periodik, sehingga kita dapat menulis deret Fourier formal: f (x) a 2 + (an cos nx + b n sin nx), di mana a, a n , b n, n = 1 , 2,... Koefisien Fourier dari fungsi f (x). 51

52 Teorema (tentang diferensiasi suku demi suku deret Fourier). Berdasarkan asumsi di atas, persamaan a =, a n = nb n, b n = na n, n 1 adalah valid. CONTOH 15. Misalkan fungsi mulus sepotong-sepotong f(x) kontinu pada interval [, π]. Mari kita buktikan bahwa jika kondisi f(x)dx = terpenuhi, maka pertidaksamaan 2 dx 2 dx, yang disebut pertidaksamaan Steklov, berlaku, dan kita akan memastikan bahwa persamaan di dalamnya hanya berlaku untuk fungsi berbentuk f(x) = Sebuah cosx. Dengan kata lain, pertidaksamaan Steklov memberikan kondisi di mana kecilnya turunan (dalam kuadrat rata-rata) menyiratkan kecilnya fungsi tersebut (dalam kuadrat rata-rata). Larutan. Mari kita memperluas fungsi f(x) ke interval [, ] secara genap. Mari kita nyatakan fungsi yang diperluas dengan simbol yang sama f(x). Maka fungsi yang diperluas akan kontinu dan mulus sedikit demi sedikit pada interval [, π]. Karena fungsi f(x) kontinu, maka f 2 (x) kontinu pada interval dan 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Karena fungsi lanjutannya genap, maka b n =, a = dengan syarat. Akibatnya, persamaan Lyapunov berbentuk 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Mari kita pastikan bahwa untuk f (x) kesimpulan teorema diferensiasi suku demi suku deret Fourier terpenuhi, yaitu a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. Biarkan turunan f (x) mengalami kekusutan di titik x 1, x 2,..., x N pada interval [, π]. Mari kita nyatakan x =, x N+1 = π. Mari kita bagi interval integrasi [, π] menjadi N +1 interval (x, x 1),..., (x N, x N+1), yang masing-masing f(x) terdiferensiasi kontinyu. Kemudian, dengan menggunakan sifat aditif integral, dan kemudian melakukan integrasi bagian-bagiannya, kita memperoleh: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f (x) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [(f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x)dx = 1 N f (x)dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= Persamaan terakhir terjadi karena fungsi f(x) dilanjutkan secara genap, artinya f(π) = f(). Demikian pula kita memperoleh a n = nb n. Kita telah menunjukkan bahwa teorema diferensiasi suku demi suku deret Fourier untuk fungsi periodik 2π mulus sedikit demi sedikit yang turunannya pada interval [, π] mengalami diskontinuitas jenis pertama adalah benar. Artinya f (x) a 2 + (an cosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx, karena a =, a n = nb n =, b n = na n, n = 1, 2,.... Sejak 2 dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Karena setiap suku pada deret (18) lebih besar atau sama dengan suku yang bersesuaian pada deret (17), maka 2 dx 2 dx. Mengingat f(x) merupakan kelanjutan genap dari fungsi aslinya, kita mempunyai 2 dx 2 dx. Hal itulah yang dibuktikan oleh kesetaraan Steklov. Sekarang kita periksa fungsi persamaan mana yang terdapat dalam pertidaksamaan Steklov. Jika untuk paling sedikit satu n 2 koefisien an berbeda dari nol, maka a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 SOAL 37. Misalkan fungsi halus sepotong-sepotong f(x) kontinu pada interval [, π]. Buktikan bahwa jika kondisi f() = f(π) = terpenuhi, pertidaksamaan 2 dx 2 dx, disebut juga pertidaksamaan Steklov, berlaku, dan pastikan persamaan di dalamnya hanya berlaku untuk fungsi berbentuk f(x) = B dosa x. 38. Misalkan fungsi f kontinu pada interval [, π] dan di dalamnya terdapat (kecuali mungkin sejumlah titik berhingga) turunan f (x) yang dapat diintegralkan persegi. Buktikan bahwa jika kondisi f() = f(π) dan f(x) dx = terpenuhi, maka pertidaksamaan 2 dx 2 dx, yang disebut pertidaksamaan Wirtinger, berlaku, dan persamaan di dalamnya hanya berlaku untuk fungsi-fungsi berbentuk f (x ) = A cosx + B dosa x. 56

57 7. Penerapan deret Fourier untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial Ketika mempelajari suatu objek nyata (fenomena alam, proses produksi, sistem kendali, dll.), ada dua faktor yang signifikan: tingkat akumulasi pengetahuan tentang objek yang diteliti dan derajatnya. pengembangan peralatan matematika. Pada tahap penelitian ilmiah saat ini, rantai berikut telah dikembangkan: fenomena model fisik model matematika. Rumusan fisik (model) masalahnya adalah sebagai berikut: kondisi perkembangan proses dan faktor-faktor utama yang mempengaruhinya diidentifikasi. Rumusan matematis (model) terdiri dari uraian faktor-faktor dan kondisi-kondisi yang dipilih dalam rumusan fisis dalam bentuk sistem persamaan (aljabar, diferensial, integral, dan sebagainya). Suatu permasalahan disebut well-pose jika dalam suatu ruang fungsional tertentu terdapat solusi terhadap permasalahan tersebut, secara unik dan kontinyu bergantung pada kondisi awal dan kondisi batas. Model matematika tidak identik dengan objek yang ditinjau, tetapi merupakan deskripsi perkiraannya. Penurunan persamaan getaran transversal kecil gratis dari sebuah string. Biarkan ujung-ujung tali diikat dan tali itu sendiri diregangkan dengan kencang. Jika senar digerakkan dari posisi setimbangnya (misalnya ditarik ke belakang atau dipukul), maka senar tersebut akan mulai bergerak.

58 ragu-ragu. Kita asumsikan bahwa semua titik pada tali bergerak tegak lurus terhadap posisi kesetimbangannya (getaran transversal), dan pada setiap momen waktu tali terletak pada bidang yang sama. Mari kita ambil sistem koordinat persegi panjang xou pada bidang ini. Maka jika pada saat awal t = tali terletak sepanjang sumbu Ox, maka u berarti simpangan tali dari posisi setimbang, yaitu posisi titik tali dengan absis x di momen waktu t yang berubah-ubah sesuai dengan nilai fungsi u(x, t). Untuk setiap nilai tetap t, grafik fungsi u(x, t) mewakili bentuk tali yang bergetar pada waktu t (Gbr. 32). Pada nilai konstan x, fungsi u(x, t) memberikan hukum gerak suatu titik dengan absis x sepanjang garis lurus yang sejajar dengan sumbu Ou, turunan u t adalah kecepatan gerakan ini, dan turunan kedua adalah percepatan 2 u t 2. Beras. 32. Gaya yang diterapkan pada bagian string yang sangat kecil Mari kita buat persamaan yang harus dipenuhi oleh fungsi u(x, t). Untuk melakukan ini, kami akan membuat beberapa asumsi yang lebih sederhana. Kami akan menganggap string itu benar-benar fleksibel - 58

59 koy, artinya, kita berasumsi bahwa tali tidak menahan tekukan; ini berarti bahwa tegangan-tegangan yang timbul pada dawai selalu diarahkan secara tangensial terhadap profil sesaatnya. Tali diasumsikan elastis dan tunduk pada hukum Hooke; Artinya perubahan besar gaya tarik sebanding dengan perubahan panjang tali. Mari kita asumsikan bahwa string tersebut homogen; ini berarti kerapatan liniernya ρ adalah konstan. Kita mengabaikan kekuatan eksternal. Ini berarti kita sedang mempertimbangkan getaran bebas. Kita hanya akan mempelajari getaran kecil pada senar. Jika kita nyatakan dengan ϕ(x, t) sudut antara sumbu absis dan garis singgung tali di titik dengan absis x pada waktu t, maka syarat osilasi kecil adalah nilai ϕ 2 (x, t) dapat diabaikan dibandingkan dengan ϕ (x, t), yaitu ϕ 2. Karena sudut ϕ kecil, maka cosϕ 1, ϕ sin ϕ tan ϕ u oleh karena itu, nilai (ux x,) 2 juga dapat diabaikan. Oleh karena itu, selama proses getaran kita dapat mengabaikan perubahan panjang setiap bagian dawai. Memang benar, panjang seutas tali M 1 M 2, diproyeksikan ke dalam interval sumbu absis, di mana x 2 = x 1 + x, sama dengan l = x 2 x () 2 u dx x. x Mari kita tunjukkan bahwa, berdasarkan asumsi kita, besarnya gaya tarik T akan konstan di sepanjang tali. Untuk melakukan ini, ambil bagian mana pun dari string M 1 M 2 (Gbr. 32) pada waktu t dan ganti aksi bagian yang dibuang - 59

60 oleh gaya tarik T 1 dan T 2. Karena menurut kondisi, semua titik tali bergerak sejajar sumbu Ou dan tidak ada gaya luar, maka jumlah proyeksi gaya tarik pada sumbu Ox harus sama dengan nol: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. Jadi, karena kecilnya sudut ϕ 1 = ϕ(x 1, t) dan ϕ 2 = ϕ(x 2, t), kita simpulkan bahwa T 1 = T 2. Mari kita nyatakan nilai total T 1 = T 2 oleh T. Sekarang kita menghitung jumlah proyeksi F u dari gaya yang sama pada sumbu Ou: F u = T sin ϕ(x 2, t) T sin ϕ(x 1, t). (2) Karena untuk sudut kecil sin ϕ(x, t) tan ϕ(x, t), dan tan ϕ(x, t) u(x, t)/ x, maka persamaan (2) dapat ditulis ulang menjadi F u T (tg ϕ(x 2, t) tan ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x . Karena titik x 1 dipilih secara sembarang, maka F u T 2 u x2(x, t) x. Setelah semua gaya yang bekerja pada bagian M 1 M 2 ditemukan, kita menerapkan hukum kedua Newton, yang menyatakan bahwa hasil kali massa dan percepatan sama dengan jumlah semua gaya yang bekerja. Massa seutas tali M 1 M 2 sama dengan m = ρ l ρ x, dan percepatannya sama dengan 2 u(x, t). Persamaan t 2 Newton berbentuk: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, dimana α 2 = T ρ adalah bilangan positif konstan. 6

61 Dikurangi dengan x, kita mendapatkan 2 ut (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t). (21) Hasilnya, kami memperoleh persamaan diferensial parsial orde kedua homogen linier dengan koefisien konstan. Ini disebut persamaan getaran dawai atau persamaan gelombang satu dimensi. Persamaan (21) pada hakikatnya merupakan reformulasi hukum Newton dan menggambarkan gerak tali. Namun dalam rumusan masalah fisik terdapat syarat bahwa ujung-ujung tali harus tetap dan diketahui posisi tali pada suatu titik waktu. Kondisi ini akan kita tuliskan dalam bentuk persamaan sebagai berikut: a) kita asumsikan bahwa ujung-ujung tali berada di titik x = dan x = l, yaitu kita asumsikan bahwa untuk semua t relasi u(, t) =, u (aku, t ) = ; (22) b) kita asumsikan bahwa pada waktu t = posisi tali berimpit dengan grafik fungsi f(x), yaitu kita asumsikan bahwa untuk semua x [, l] persamaan u(x,) = f(x); (23) c) kita asumsikan bahwa pada saat t = titik tali dengan absis x diberikan kecepatan g(x), yaitu kita asumsikan bahwa u (x,) = g(x). (24) t Relasi (22) disebut kondisi batas, dan relasi (23) dan (24) disebut kondisi awal. Model matematika garis lintang kecil bebas 61

62 osilasi tali sehingga perlu diselesaikan persamaan (21) dengan kondisi batas (22) dan kondisi awal (23) dan (24) Penyelesaian persamaan osilasi transversal kecil bebas tali dengan metode Fourier Penyelesaian persamaan (21) pada daerah x l,< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. Substitusikan (25) ke dalam (21), kita peroleh: X T = α 2 X T, (26) atau T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x). (27) Mereka mengatakan telah terjadi pemisahan variabel. Karena x dan t tidak bergantung satu sama lain, ruas kiri pada (27) tidak bergantung pada x, dan ruas kanan tidak bergantung pada t, dan nilai total relasi tersebut adalah 62

63 harus berupa konstanta, yang dilambangkan dengan λ: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. Dari sini kita memperoleh dua persamaan diferensial biasa: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) Dalam hal ini, kondisi batas (22) akan berbentuk X()T(t) = dan X(l)T(t) =. Karena mereka harus dipenuhi untuk semua t, t >, maka X() = X(l) =. (3) Mari kita cari solusi persamaan (28) yang memenuhi syarat batas (3). Mari kita pertimbangkan tiga kasus. Kasus 1: λ>. Mari kita nyatakan λ = β 2. Persamaan (28) berbentuk X (x) β 2 X(x) =. Persamaan karakteristiknya k 2 β 2 = mempunyai akar k = ±β. Oleh karena itu, solusi umum persamaan (28) adalah X(x) = C e βx + De βx. Kita harus memilih konstanta C dan D agar syarat batas (3) terpenuhi, yaitu X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. Sejak β, sistem persamaan ini memiliki solusi unik C = D =. Oleh karena itu, X(x) dan 63

64 kamu(x, t). Jadi, dalam kasus 1 kita telah memperoleh solusi sepele, yang tidak akan kita pertimbangkan lebih lanjut. Kasus 2: λ =. Maka persamaan (28) berbentuk X (x) = dan penyelesaiannya diberikan dengan rumus: X(x) = C x+d. Substitusikan solusi ini ke kondisi batas (3), kita peroleh X() = D = dan X(l) = Cl =, yang berarti C = D =. Oleh karena itu, X(x) dan u(x, t), dan kita kembali mempunyai solusi sepele. Kasus 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 Berikut ini kita hanya akan memberikan n nilai positif n = 1, 2,..., karena untuk n negatif kita akan memperoleh solusi bertipe sama (nπ) Besaran λ n = disebut nilai eigen, dan fungsinya X n (x) = C n sin πnx dengan fungsi eigen persamaan diferensial (28) dengan kondisi batas (3). Sekarang mari kita selesaikan persamaan (29). Untuk itu, persamaan karakteristiknya berbentuk k 2 α 2 λ =. (32) l 2 Karena kita menemukan di atas bahwa solusi nontrivial X(x) dari persamaan (28) hanya ada untuk λ negatif yang sama dengan λ = n2 π 2, maka λ inilah yang akan kita pertimbangkan lebih lanjut. Akar-akar persamaan (32) adalah k = ±iα λ, dan penyelesaian persamaan (29) berbentuk: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) l l di mana A n dan B n adalah konstanta sembarang. Mengganti rumus (31) dan (33) ke dalam (25), kita menemukan solusi parsial persamaan (21) yang memenuhi syarat batas (22): (u n (x, t) = B n cos πnαt + A n sin πnαt) C n dosa πnx. l l l Memasukkan faktor C n ke dalam tanda kurung dan memasukkan notasi C n A n = b n dan B n C n = a n, kita tulis u n (X, T) dalam bentuk (u n (x, t) = an cos πnαt + b n dosa πnαt) dosa πnx. (34) aku aku aku 65

66 Getaran dawai yang berhubungan dengan solusi u n (x, t) disebut getaran alami dawai. Karena persamaan (21) dan kondisi batas (22) linier dan homogen, maka kombinasi linier dari solusi (34) (u(x, t) = an cos πnαt + b n sin πnαt) sin πnx (35) l l l akan menjadi solusi ke persamaan (21 ), memenuhi kondisi batas (22) dengan pilihan koefisien khusus a n dan b n, memastikan konvergensi seragam dari deret tersebut. Sekarang mari kita pilih koefisien a n dan b n dari solusi (35) sehingga memenuhi tidak hanya kondisi batas, tetapi juga kondisi awal (23) dan (24), di mana f(x), g(x) adalah fungsi yang diberikan (dan f() = f (l) = g() = g(l) =). Kami berasumsi bahwa fungsi f(x) dan g(x) memenuhi kondisi ekspansi dalam deret Fourier. Substitusikan nilai t = ke dalam (35), kita peroleh u(x,) = a n sin πnx l = f(x). Membedakan deret (35) terhadap t dan mensubstitusi t =, diperoleh ut (x,) = πnα b n sin πnx l l = g(x), dan ini merupakan perluasan dari fungsi f(x) dan g(x) menjadi deret Fourier. Oleh karena itu, a n = 2 l l f(x) sin πnx l dx, b n = 2 l g(x) sin πnx dx. πnα l (36) 66

67 Dengan mensubstitusi ekspresi koefisien a n dan b n ke dalam deret (35), kita memperoleh solusi persamaan (21) yang memenuhi kondisi batas (22) dan kondisi awal (23) dan (24). Dengan demikian, kami memecahkan masalah getaran transversal kecil bebas dari sebuah tali. Mari kita cari tahu arti fisis dari fungsi eigen u n (x, t) dari masalah osilasi bebas suatu string, yang ditentukan oleh rumus (34). Mari kita tulis ulang dalam bentuk di mana u n (x, t) = α n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctan b n . l a n Dari rumus (37) jelas bahwa semua titik dawai melakukan osilasi harmonik dengan frekuensi yang sama ω n = πnα dan fase πnα δ n. Amplitudo getaran bergantung pada l l absis x titik dawai dan sama dengan α n sin πnx. Dengan osilasi seperti itu, semua titik tali secara bersamaan mencapai deviasi maksimumnya dalam satu arah atau lainnya dan sekaligus melewati posisi setimbang. Osilasi seperti ini disebut gelombang berdiri. Gelombang berdiri mempunyai n + 1 titik tetap, yang diberikan oleh akar-akar persamaan sin πnx = pada interval [, l]. Titik tetap disebut titik gelombang berdiri. Di tengah-tengah antara node terdapat titik-titik di mana deviasi mencapai maksimum; titik-titik seperti itu disebut antinode. Setiap string dapat memiliki getarannya sendiri dengan frekuensi yang ditentukan secara ketat ω n = πnα, n = 1, 2,.... Frekuensi ini disebut frekuensi natural string. Nada l terendah yang dapat dihasilkan sebuah senar ditentukan oleh 67

68 frekuensi natural rendah ω 1 = π T dan disebut nada dasar dawai. Nada-nada sisa yang bersesuaian dengan frekuensi l ρ ω n, n = 2, 3,..., disebut nada tambahan atau harmonik. Untuk lebih jelasnya, mari kita gambarkan profil tipikal sebuah senar yang menghasilkan nada dasar (Gbr. 33), nada atas pertama (Gbr. 34) dan nada atas kedua (Gbr. 35). Beras. 33. Profil dawai penghasil nada utama Gambar. 34. Profil dawai yang menghasilkan nada atas pertama Gambar. 35. Profil senar yang mengeluarkan nada atas kedua Jika senar melakukan getaran bebas yang ditentukan oleh kondisi awal, maka fungsi u(x, t) direpresentasikan, seperti dapat dilihat dari rumus (35), sebagai jumlah dari harmonik individu . Jadi fluktuasi sewenang-wenang 68

69 senar merupakan superposisi gelombang berdiri. Dalam hal ini, sifat bunyi senar (nada, intensitas bunyi, timbre) akan bergantung pada hubungan antara amplitudo harmonik individu. Kekuatan, nada, dan timbre bunyi. Senar yang bergetar menggairahkan getaran udara, yang dirasakan oleh telinga manusia sebagai suara yang dipancarkan oleh senar. Kekuatan bunyi dicirikan oleh energi atau amplitudo getaran: semakin besar energinya, semakin besar pula kekuatan bunyinya. Nada suatu bunyi ditentukan oleh frekuensi atau periode getarannya: semakin tinggi frekuensinya, semakin tinggi pula bunyinya. Timbre suara ditentukan oleh adanya nada tambahan, distribusi energi di antara harmonik, yaitu metode eksitasi getaran. Amplitudo nada tambahan, secara umum, lebih kecil dari amplitudo nada dasar, dan fase nada tambahan bisa berubah-ubah. Telinga kita tidak peka terhadap fase getaran. Bandingkan, misalnya, dua kurva pada Gambar. 36, dipinjam dari. Ini adalah rekaman suara dengan nada dasar yang sama yang diambil dari klarinet (a) dan piano (b). Tidak ada suara yang merupakan gelombang sinus sederhana. Frekuensi dasar suara dalam kedua kasus adalah sama, sehingga menghasilkan nada yang sama. Namun pola kurvanya berbeda karena nada tambahan yang berbeda ditumpangkan pada nada utama. Dalam arti tertentu, gambar-gambar ini menunjukkan apa itu timbre. 69

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN ILMU PENGETAHUAN Lembaga Pendidikan Anggaran Negara Federal RUSIA Pendidikan Profesi Tinggi MATI Universitas Teknologi Negeri Rusia dinamai K. E. Tsiolkovsky

Badan Federal untuk Pendidikan Institusi Pendidikan Negara Federal Pendidikan Profesi Tinggi UNIVERSITAS FEDERAL SELATAN R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Metodologi

Kementerian Pendidikan Republik Belarus Topik Universitas Teknologi Negeri Vitebsk. Departemen Matematika Teori dan Terapan "Baris". dikembangkan oleh Assoc. EB. Dunina. Dasar

Kuliah 4. Analisis Harmonik. Fungsi periodik deret Fourier. Analisis Harmonik Dalam ilmu pengetahuan dan teknologi, kita sering kali harus berhadapan dengan fenomena periodik, yaitu fenomena yang berulang terus menerus

UNIVERSITAS PENERBANGAN TEKNIK NEGARA MOSKOW V.M. Lyubimov, E.A. Zhukova, V.A. Ukhova, Yu.A. MANUAL MATEMATIKA Shurinov untuk mempelajari disiplin dan tugas ujian

DAFTAR ISI DERI FOURIER 4 Konsep fungsi periodik 4 Polinomial trigonometri 6 3 Sistem fungsi ortogonal 4 Deret Fourier trigonometri 3 5 Deret Fourier untuk fungsi genap dan ganjil 6 6 Ekspansi

INTEGRAL PASTI. Jumlah integral dan integral tertentu Misalkan suatu fungsi y = f() diberikan, terdefinisi pada interval [, b], di mana< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

TEORI SERI Teori deret adalah komponen paling penting dalam analisis matematis dan mempunyai banyak penerapan teoritis dan praktis. Ada seri numerik dan fungsional.

TOPIK V KULIAH SERI FOURIER 6 Perluasan fungsi periodik menjadi deret Fourier Banyak proses yang terjadi di alam dan teknologi mempunyai sifat berulang pada selang waktu tertentu

6 Deret Fourier 6 Sistem fungsi ortogonal Deret Fourier dalam sistem fungsi ortogonal Fungsi ϕ () dan ψ (), terdefinisi dan dapat diintegralkan pada interval [, ], disebut ortogonal pada interval ini jika

Badan Federal untuk Transportasi Kereta Api Universitas Transportasi Negeri Ural Departemen Matematika Tinggi dan Terapan N. P. Chuev Elemen analisis harmonik Metodologis

UNIVERSITAS NEGERI BELARUSIA FAKULTAS MATEMATIKA TERAPAN DAN ILMU INFORMASI Jurusan Matematika Tinggi Panduan pendidikan dan metodologi bagi mahasiswa Fakultas Matematika Terapan dan Informatika

Penjelasan teks: tanda berbunyi “ekuivalen” artinya persamaan di sebelah kanan tanda dan di sebelah kiri tanda mempunyai himpunan penyelesaian yang sama, tanda IR melambangkan himpunan bilangan real, tanda IN

PERSAMAAN FISIKA MATEMATIKA 1. Persamaan diferensial parsial Persamaan yang menghubungkan fungsi yang belum diketahui u (x 1, x 2,..., xn), variabel bebas x 1, x 2,..., x n dan parsial

1 2 Daftar Isi 1 Deret Fourier 5 1.1 Deret Fourier Trigonometri.............. 5 1.2 Hanya Sin & cos.................. .. 7 1.3 Deret Fourier dalam bentuk kompleks........... 11 1.4 f(x) = c k?.................. .

82 4. Bagian 4. Seri Fungsional dan Daya 4.2. Pelajaran 3 4.2. Pelajaran 3 4.2.. Perluasan suatu fungsi menjadi deret Taylor DEFINISI 4.2.. Misalkan fungsi y = f(x) terdiferensiasi tak terhingga pada lingkungan tertentu

Kuliah 8 4 Masalah Sturm-Liouville Pertimbangkan masalah nilai batas awal untuk persamaan diferensial parsial orde kedua yang menggambarkan getaran transversal kecil dari sebuah string String dianggap

Kementerian Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Federasi Rusia LEMBAGA PENDIDIKAN ANGGARAN NEGARA FEDERAL LEMBAGA PENDIDIKAN PROFESIONAL TINGGI “UNVERSITAS TEKNIS NEGARA SAMARA” Departemen Matematika Terapan

Integrasi suatu fungsi (menurut Riemann) dan integral tertentu Contoh penyelesaian masalah 1. Konstanta fungsi f(x) = C dapat diintegralkan pada , karena untuk sembarang partisi dan sembarang pilihan titik ξ i integralnya

PETUNJUK METODOLOGI TUGAS PERHITUNGAN PADA KULIAH MATEMATIKA TINGGI “Seri PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA RANGKA INTEGRASI GANDA” BAGIAN TOPIK SERI Daftar Isi Deret Nomor Konvergensi dan Divergensi

PERINGKAT. Seri angka. Definisi dasar Misalkan barisan bilangan tak hingga. Ekspresi (jumlah tak terhingga) a, a 2,..., an,... a i = a + a 2 + + an +... () i= disebut serangkaian angka. Angka

Pendahuluan Isi. Konsep dasar.... 4 1. Persamaan integral Volterra... 5 Pilihan PR.... 8 2. Penyelesaian persamaan integral Volterra. 10 Pilihan pekerjaan rumah.... 11

Kuliah 3 Deret Taylor dan Maclaurin Penerapan deret pangkat Perluasan fungsi menjadi deret pangkat Deret Taylor dan Maclaurin Untuk penerapannya, penting untuk dapat memperluas suatu fungsi tertentu menjadi deret pangkat, fungsi-fungsi tersebut

35 7 Deret Fourier Trigonometri Deret Fourier untuk fungsi periodik dengan periode T. Misalkan f(x) adalah fungsi periodik kontinu sepotong-sepotong dengan periode T. Perhatikan sistem dasar trigonometri

MAKAN. ANALISIS MATEMATIKA BIJIH. SERI NUMERIK DAN FUNGSIONAL NOVOSIBIRSK 200 2 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN ILMU PENGETAHUAN RUSIA GOU VPO "UNVERSITAS PEDAGOGIS NEGARA NOVOSIBIRSK" E.M. ANALISIS MATEMATIKA Rudoy.

Saya tahun, tugas. Buktikan bahwa fungsi Riemann, jika 0, m m R(), jika, m, m 0, dan pecahannya tidak dapat direduksi, 0, jika irasional, diskontinu di setiap titik rasional dan kontinu di setiap titik irasional. Larutan.

1. Elektrostatika 1 1. Elektrostatika Pelajaran 6 Pemisahan variabel dalam koordinat kartesius 1.1. (Soal 1.49) Bidang z = bermuatan dengan massa jenis σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), dimana σ, α, β adalah konstanta.

Bab Deret pangkat a a a Deret dengan bentuk a a a a a () disebut deret pangkat, di mana, a, adalah konstanta yang disebut koefisien deret tersebut. Terkadang deret pangkat dengan bentuk yang lebih umum dianggap: a a(a) a(a) a(a)(), dimana

S A Lavrenchenko wwwwrckoru Kuliah Transformasi Fourier Konsep transformasi integral Metode transformasi integral adalah salah satu metode fisika matematika yang ampuh dan merupakan solusi yang ampuh

Kalkulus Diferensial Pengantar Analisis Matematika Batas Barisan dan Fungsi. Mengungkap ketidakpastian dalam batasan. Turunan dari suatu fungsi. Aturan diferensiasi. Penerapan turunan

KULIAH N 7. Deret pangkat dan deret Taylor.. Deret pangkat..... Deret Taylor.... 4. Perluasan beberapa fungsi dasar menjadi deret Taylor dan Maclaurin.... 5 4. Penerapan deret pangkat... 7 .Kekuatan

Fakultas Metalurgi Departemen Matematika Tinggi PERINGKAT Instruksi metodologis Novokuznetsk 5 Badan Federal untuk Pendidikan Institusi pendidikan negara bagian pendidikan profesional tinggi

9. Integral antiturunan dan tak tentu 9.. Misalkan fungsi f() diberikan pada interval I R. Fungsi F() disebut antiturunan dari fungsi f() pada interval I jika F() = f() untuk sembarang I, dan antiturunan

Institut Fisika dan Teknologi Moskow Universitas Negeri) O.V. SERI FOURIER TRIGONOMETRI Besov Manual pendidikan dan metodologi Moskow, 004 Disusun oleh O.V. Besov UDC 517. Deret trigonometri

8. Deret pangkat 8.. Deret fungsional berbentuk c n (z) n, (8.) n= dimana c n adalah barisan bilangan, R adalah bilangan tetap, dan z R disebut deret pangkat dengan koefisien c n . Dengan melakukan perubahan variabel

Departemen Matematika dan Ilmu Komputer Elemen Pendidikan Matematika Tinggi dan Kompleks metodologi untuk siswa pendidikan kejuruan menengah yang belajar menggunakan teknologi jarak jauh Modul Kalkulus diferensial Disusun oleh:

1. Integral pasti 1.1. Misalkan f adalah fungsi berbatas yang terdefinisi pada ruas [, b] R. Partisi ruas [, b] adalah himpunan titik τ = (x, x 1,..., x n 1, x n) [, b ] sehingga = x< x 1 < < x n 1

PERTANYAAN DAN MODEL MASALAH untuk ujian akhir disiplin ilmu “Analisis Matematika” Matematika Terapan Pada ujian lisan, siswa menerima dua soal teori dan dua soal Total 66 soal per tahun

Modul Topik Barisan dan Deret Fungsional Sifat-sifat Konvergensi Seragam Barisan dan Deret Seri Daya Kuliah Pengertian Barisan dan Deret Fungsional Seragam

~~ Integral tak tentu dan pasti Konsep integral antiturunan dan integral tak tentu. Definisi: Suatu fungsi F disebut antiturunan dari suatu fungsi f jika fungsi-fungsi tersebut mempunyai hubungan sebagai berikut

Kementerian Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Federasi Rusia Lembaga Pendidikan Anggaran Negara Federal Pendidikan Profesional Tinggi "Universitas Industri Negeri Siberia"

PERSAMAAN KOTAK Daftar Isi PERSAMAAN KOTAK... 4. dan mempelajari persamaan kuadrat... 4.. Persamaan kuadrat dengan koefisien numerik... 4.. Memecahkan dan mempelajari persamaan kuadrat untuk

PUSAT PELATIHAN MILITER DAN ILMIAH ANGKATAN UDARA "ACADEMY MILITER UDARA dinamai Profesor N. E. ZHUKOVSKY dan Y. A. GAGARIN" N. G. AFENDIKOVA, I. N. OMELCHENKO, G. V. RYZHAKOV, A. F. SALIMOVA CONTOH ANALISIS MATEMATIKA

BADAN FEDERAL UNTUK PENDIDIKAN LEMBAGA PENDIDIKAN NEGARA PENDIDIKAN PROFESIONAL TINGGI Universitas Negeri Moskow Departemen Teknik Instrumen dan Informatika Departemen Pendidikan Tinggi

Bab 5. Deret Fourier 5.. Pelajaran 5 5... Definisi dasar Deret fungsional yang berbentuk a 2 + (ak cos x + b k si x) (5..) disebut deret trigonometri, bilangan a dan b adalah koefisien trigonometri

Deret Fourier Sistem fungsi ortogonal Dari sudut pandang aljabar, persamaan di mana - fungsi dari kelas tertentu dan - koefisien dari R atau C berarti bahwa vektor tersebut adalah kombinasi linier dari vektor B

3724 DERI GANDA DAN INTEGRA KURVILINEAR 1 PROGRAM KERJA BAGIAN “DERI GANDA DAN INTEGRA KURVILINEAR” 11 Deret bilangan Konsep deret bilangan Sifat-sifat deret bilangan Tanda-tanda konvergensi yang diperlukan

DIFERENSIASI FUNGSI SATU VARIABEL Konsep turunan, makna geometri dan fisisnya. Soal-soal yang mengarah pada konsep turunan S pada garis y f (x) di titik A x; F (

PERSAMAAN DIFERENSIAL 1. Konsep Dasar Persamaan diferensial suatu fungsi tertentu adalah persamaan yang menghubungkan fungsi tersebut dengan variabel bebasnya dan turunannya.

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDER PERTAMA. Konsep dasar Persamaan diferensial adalah persamaan yang fungsi yang tidak diketahui muncul di bawah tanda turunan atau diferensial.

PERSAMAAN DIFERENSIAL Konsep umum Persamaan diferensial memiliki penerapan yang banyak dan beragam dalam mekanika, fisika, astronomi, teknologi, dan cabang matematika tingkat tinggi lainnya (misalnya

Deret fungsional Deret fungsional, jumlah dan domain fungsinya o Misalkan barisan fungsi k diberikan dalam domain bilangan real atau kompleks (k 1 Deret fungsional disebut

SISTEM POLINOMI ORTHOGONAL DAN APLIKASINYA A. Chebyshev - Polinomial Hermit Kata pengantar Ketika memecahkan banyak masalah penting fisika matematika, mekanika kuantum, fisika teoretis, perlu

Kuliah yang disiapkan oleh Associate Professor Musina MV Definisi Ekspresi bentuk Deret bilangan dan fungsi Deret bilangan : konsep dasar (), yang disebut deret bilangan (atau sekadar deret) Bilangan, anggota deret tersebut (tergantung

Kementerian Pendidikan Umum dan Kejuruan

Universitas Pariwisata Negeri Sochi

dan bisnis resor

Institut Pedagogis

Fakultas Matematika

Jurusan Matematika Umum

PEKERJAAN LULUSAN

Deret Fourier dan aplikasinya

Dalam fisika matematika.

Diselesaikan oleh: siswa tahun ke-5

tanda tangan pendidikan penuh waktu

Khusus 010100

"Matematika"

Kasperova N.S.

Nomor ID Pelajar 95471

Pembimbing ilmiah: profesor, calon.

tanda tangan teknis ilmu pengetahuan

Pozin P.A.

Sochi, 2000

1. Perkenalan.

2. Konsep deret Fourier.

2.1. Penentuan koefisien deret Fourier.

2.2. Integral fungsi periodik.

3. Tanda-tanda konvergensi deret Fourier.

3.1. Contoh perluasan fungsi pada deret Fourier.

4. Catatan tentang perluasan deret Fourier suatu fungsi periodik

5. Deret Fourier untuk fungsi genap dan ganjil.

6. Deret Fourier untuk fungsi dengan periode 2 aku .

7. Ekspansi deret Fourier dari fungsi non-periodik.

Perkenalan.

Jean Baptiste Joseph Fourier - ahli matematika Perancis, anggota Akademi Ilmu Pengetahuan Paris (1817).

Karya pertama Fourier berkaitan dengan aljabar. Sudah dalam kuliahnya pada tahun 1796, ia mempresentasikan teorema tentang jumlah akar real dari persamaan aljabar yang terletak di antara batas-batas tertentu (diterbitkan pada tahun 1820), dinamai menurut namanya; solusi lengkap jumlah akar real persamaan aljabar diperoleh pada tahun 1829 oleh J.S.F. Dengan penyerangan. Pada tahun 1818, Fourier menyelidiki pertanyaan tentang kondisi penerapan metode solusi numerik persamaan yang dikembangkan oleh Newton, tanpa mengetahui hasil serupa yang diperoleh pada tahun 1768 oleh ahli matematika Prancis J.R. Murailem. Hasil karya Fourier tentang metode numerik untuk menyelesaikan persamaan adalah “Analysis of Definite Equations,” yang diterbitkan secara anumerta pada tahun 1831.

Bidang studi utama Fourier adalah fisika matematika. Pada tahun 1807 dan 1811, ia mempresentasikan penemuan pertamanya tentang teori perambatan panas pada benda padat ke Paris Academy of Sciences, dan pada tahun 1822 ia menerbitkan karya terkenal “Analytical Theory of Heat,” yang memainkan peran utama dalam sejarah selanjutnya. matematika. Ini adalah teori matematika tentang konduktivitas termal. Karena keumuman metodenya, buku ini menjadi sumber dari semua metode fisika matematika modern. Dalam karya ini, Fourier menurunkan persamaan diferensial konduktivitas termal dan mengembangkan gagasan yang diuraikan sebelumnya oleh D. Bernoulli. Ia mengembangkan metode pemisahan variabel (metode Fourier) untuk menyelesaikan persamaan panas dalam kondisi batas tertentu, yang ia terapkan pada a; sejumlah kasus khusus (kubus, silinder, dll.). Metode ini didasarkan pada representasi fungsi dengan deret Fourier trigonometri.

Deret Fourier kini telah menjadi alat yang dikembangkan dengan baik dalam teori persamaan diferensial parsial untuk memecahkan masalah nilai batas.

1. Konsep deret Fourier.(hal. 94, Uvarenkov)

Deret Fourier memainkan peran penting dalam fisika matematika, teori elastisitas, teknik elektro, dan terutama kasus khususnya - deret Fourier trigonometri.

Deret trigonometri merupakan deret yang bentuknya

atau, secara simbolis:

(1)

dimana ω, a 0, a 1, …, an, …, b 0, b 1, …, b n, … adalah bilangan konstan (ω>0).

Beberapa masalah dalam fisika secara historis mengarah pada studi deret tersebut, misalnya masalah getaran tali (abad ke-18), masalah keteraturan fenomena konduksi panas, dll. Dalam penerapannya, pertimbangan deret trigonometri , terutama terkait dengan tugas mewakili gerakan tertentu, dijelaskan oleh persamaan y = ƒ(χ), in

dalam bentuk jumlah osilasi harmonik paling sederhana, sering kali diambil dalam jumlah yang sangat besar, yaitu sebagai jumlah dari serangkaian bentuk (1).

Jadi, kita sampai pada permasalahan berikut: untuk mengetahui apakah untuk suatu fungsi tertentu ƒ(x) pada suatu interval tertentu terdapat deret (1) yang akan konvergen pada interval tersebut ke fungsi tersebut. Jika memungkinkan, maka dikatakan bahwa pada interval ini fungsi ƒ(x) diperluas menjadi deret trigonometri.

Deret (1) konvergen di suatu titik x 0 karena periodisitas fungsinya

(n=1,2,..), ia akan menjadi konvergen di semua titik bentuk (m adalah bilangan bulat apa pun), dan dengan demikian jumlahnya S(x) akan menjadi (di daerah konvergensi deret tersebut ) fungsi periodik: jika S n ( x) adalah jumlah parsial ke-n dari deret ini, maka kita punya

dan maka dari itu

, yaitu S(x 0 +T)=S(x 0). Oleh karena itu, berbicara tentang perluasan suatu fungsi ƒ(x) menjadi deret berbentuk (1), kita asumsikan ƒ(x) sebagai fungsi periodik.

2. Penentuan koefisien deret menggunakan rumus Fourier.

Misalkan suatu fungsi periodik ƒ(x) dengan periode 2π sedemikian rupa sehingga diwakili oleh deret trigonometri yang konvergen ke fungsi tertentu dalam interval (-π, π), yaitu, adalah jumlah dari deret ini:

. (2)

Misalkan integral fungsi di ruas kiri persamaan ini sama dengan jumlah integral suku-suku deret tersebut. Hal ini benar jika kita berasumsi bahwa deret bilangan yang terdiri dari koefisien-koefisien suatu deret trigonometri tertentu konvergen mutlak, yaitu deret bilangan positif konvergen.

(3)

Deret (1) bersifat mayorizable dan dapat diintegrasikan suku demi suku dalam interval (-π, π). Mari kita integrasikan kedua sisi persamaan (2):

.

Mari kita evaluasi secara terpisah setiap integral yang muncul di sisi kanan:

, , .

Dengan demikian,

, Di mana . (4)

Estimasi koefisien Fourier.(Bugrov)

Teorema 1. Misalkan fungsi ƒ(x) periode 2π mempunyai turunan kontinu ƒ ( s) (x) urutan s, memenuhi pertidaksamaan pada seluruh sumbu real:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

maka koefisien Fourier dari fungsi tersebut ƒ memenuhi ketimpangan

(6)

Bukti. Mengintegrasikan berdasarkan bagian dan mempertimbangkannya

ƒ(-π) = ƒ(π), kita punya

Mengintegrasikan ruas kanan (7) secara berurutan, dengan memperhatikan turunan ƒ ΄, …, ƒ (s-1) kontinu dan bernilai sama di titik t = -π dan t = π, sebagai serta perkiraan (5), kita memperoleh perkiraan pertama (6).

Estimasi kedua (6) diperoleh dengan cara serupa.

Teorema 2. Untuk koefisien Fourier ƒ(x) berlaku pertidaksamaan berikut:

(8)

Bukti. Kita punya

Deret Fourier dari fungsi periodik genap f(x) dengan periode 2p hanya memuat suku-suku dengan kosinus (yaitu, tidak memuat suku-suku dengan sinus) dan dapat mencakup suku konstan. Karena itu,

di mana koefisien deret Fourier,

Ekspansi deret Fourier dalam sinus

Deret Fourier fungsi periodik ganjil f(x) dengan periode 2p hanya memuat suku-suku yang mempunyai sinus (yaitu tidak memuat suku-suku yang mempunyai kosinus).

Karena itu,

di mana koefisien deret Fourier,

Deret Fourier setengah siklus

Jika suatu fungsi didefinisikan untuk suatu rentang, katakanlah dari 0 sampai p, dan bukan hanya dari 0 sampai 2p, fungsi tersebut dapat diperluas menjadi suatu deret hanya dalam sinus atau hanya dalam kosinus. Deret Fourier yang dihasilkan disebut di dekat Fourier pada setengah siklus

Jika Anda ingin mendapatkan dekomposisi Fourier pada setengah siklus Oleh cosinus fungsi f(x) dalam rentang 0 sampai p, maka perlu dibuat fungsi periodik genap. Pada Gambar. Di bawah ini adalah fungsi f(x) = x, dibangun pada interval dari x = 0 sampai x = p. Karena fungsi genap simetris terhadap sumbu f(x), kita tarik garis AB, seperti ditunjukkan pada Gambar. di bawah. Jika kita berasumsi bahwa di luar interval yang dipertimbangkan, bentuk segitiga yang dihasilkan adalah periodik dengan periode 2p, maka grafik akhirnya akan terlihat seperti ini: pada Gambar. di bawah. Karena kita perlu memperoleh ekspansi Fourier dalam kosinus, seperti sebelumnya, kita menghitung koefisien Fourier a o dan a n

Jika Anda perlu untuk mendapatkan penguraian Fourier pada setengah siklus Oleh sinus fungsi f(x) dalam rentang 0 sampai p, maka perlu dibuat fungsi periodik ganjil. Pada Gambar. Di bawah ini adalah fungsi f (x) =x, yang dibangun pada interval dari x=0 hingga x=p. Karena fungsi ganjil simetris terhadap titik asal, kita buat garis CD, seperti ditunjukkan pada Gambar.

Jika kita berasumsi bahwa di luar interval yang dipertimbangkan, sinyal gigi gergaji yang dihasilkan bersifat periodik dengan periode 2p, maka grafik akhirnya berbentuk seperti pada Gambar. Karena kita perlu mendapatkan ekspansi Fourier dari setengah siklus dalam bentuk sinus, seperti sebelumnya, kita menghitung koefisien Fourier. B