instruksi
Jika modul disajikan dalam bentuk fungsi berkelanjutan, maka nilai argumennya bisa positif atau negatif: |x| = x, x ≥ 0; |x| = -x,x
z1 + z2 = (x1 + x2) + saya(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + saya(y1 - y2);
Sangat mudah untuk melihat bahwa penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks mengikuti aturan yang sama seperti penjumlahan dan .
Hasil kali dua bilangan kompleks sama dengan:
z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.
Karena i^2 = -1, maka hasil akhir sama dengan:
(x1*x2 - y1*y2) + saya(x1*y2 + x2*y1).
Operasi eksponensial dan ekstraksi akar bilangan kompleks didefinisikan dengan cara yang sama seperti bilangan real. Akan tetapi, pada daerah kompleks, untuk bilangan apa pun, terdapat tepat n bilangan b sehingga b^n = a, yaitu n akar pangkat ke-n.
Secara khusus, ini berarti apa pun persamaan aljabar derajat ke-n dengan satu variabel memiliki tepat n akar yang kompleks, beberapa di antaranya mungkin dan .
Video tentang topik tersebut
Sumber:
- Kuliah " Bilangan kompleks" pada tahun 2019
Root adalah ikon yang mewakili operasi matematika menemukan bilangan yang pangkatnya ditunjukkan sebelum tanda akar akan menghasilkan bilangan yang ditunjukkan di bawah tanda ini. Seringkali, untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan akar, tidak cukup hanya menghitung nilainya saja. Operasi tambahan perlu dilakukan, salah satunya adalah memasukkan angka, variabel, atau ekspresi di bawah tanda root.
instruksi
Tentukan eksponen akarnya. Eksponen adalah bilangan bulat yang menunjukkan pangkat yang harus dipangkatkan untuk memperoleh hasil perhitungan akar ekspresi radikal(nomor dari mana root ini diekstraksi). Eksponen akar sebagai superskrip sebelum ikon akar. Jika yang ini tidak ditentukan, maka itu ditentukan Akar pangkat dua, yang derajatnya dua. Misalnya, pangkat dari akar √3 adalah dua, pangkat dari ³√3 adalah tiga, pangkat dari akar ⁴√3 adalah empat, dan seterusnya.
Naikkan angka yang ingin Anda masukkan di bawah tanda akar menjadi pangkat, sama dengan indikatornya root ini, yang Anda tentukan pada langkah sebelumnya. Misalnya, jika Anda perlu memasukkan angka 5 di bawah tanda akar ⁴√3, maka indeks derajat akar adalah empat dan Anda memerlukan hasil menaikkan 5 pangkat empat 5⁴=625. Anda dapat melakukan ini dengan cara apa pun yang nyaman bagi Anda - di kepala Anda, menggunakan kalkulator atau layanan terkait yang dihosting.
Masukkan nilai yang diperoleh pada langkah sebelumnya di bawah tanda akar sebagai pengali dari ekspresi radikal. Untuk contoh yang digunakan pada langkah sebelumnya dengan menambahkan ⁴√3 5 (5*⁴√3) di bawah akar, tindakan ini dapat dilakukan seperti ini: 5*⁴√3=⁴√(625*3).
Sederhanakan ekspresi radikal yang dihasilkan jika memungkinkan. Sebagai contoh dari langkah sebelumnya, kamu hanya perlu mengalikan angka di bawah tanda akar: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. Ini menyelesaikan operasi memasukkan nomor di bawah root.
Jika soal mengandung variabel yang tidak diketahui, maka langkah-langkah yang dijelaskan di atas dapat dilakukan pandangan umum. Misalnya, jika Anda perlu memasukkan variabel yang tidak diketahui x di bawah akar keempat, dan ekspresi akarnya adalah 5/x³, maka seluruh rangkaian tindakan dapat ditulis sebagai berikut: x*⁴√(5/x³)=⁴ √(x⁴*5/x³)= ⁴√(x*5).
Sumber:
- apa nama tanda akarnya?
Bilangan real saja tidak cukup untuk menyelesaikan soal apa pun persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat paling sederhana yang tidak memiliki akar bilangan real adalah x^2+1=0. Saat menyelesaikannya, ternyata x=±kuadrat(-1), dan menurut hukum aljabar dasar, ekstrak akar derajat genap dari negatif angka itu dilarang.
Modul adalah salah satu hal yang sepertinya pernah didengar semua orang, namun kenyataannya tidak ada yang benar-benar memahaminya. Oleh karena itu hari ini akan ada pelajaran yang bagus, didedikasikan untuk menyelesaikan persamaan dengan moduli.
Saya akan segera mengatakan: pelajarannya tidak akan sulit. Dan secara umum, modul adalah topik yang relatif sederhana. “Ya tentu saja tidak ribet! Itu mengejutkanku!” - banyak siswa akan berkata, tetapi semua kerusakan otak ini terjadi karena fakta bahwa kebanyakan orang tidak memiliki pengetahuan di kepala mereka, tetapi semacam omong kosong. Dan tujuan dari pelajaran ini adalah mengubah omong kosong menjadi pengetahuan :)
Sedikit teori
Jadi ayo pergi. Mari kita mulai dengan hal yang paling penting: apa itu modul? Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa modulus suatu bilangan hanyalah bilangan yang sama, tetapi diambil tanpa tanda minus. Misalnya, $\kiri| -5 \kanan|=5$. Atau $\kiri| -129,5 \kanan|=$129,5.
Apakah sesederhana itu? Ya, sederhana. Lalu berapakah nilai mutlak suatu bilangan positif? Lebih sederhana lagi di sini: modulus bilangan positif sama dengan bilangan itu sendiri: $\left| 5 \kanan|=5$; $\kiri| 129,5 \kanan|=$129,5, dst.
Ternyata hal yang aneh: nomor yang berbeda mungkin memiliki modul yang sama. Misalnya: $\kiri| -5 \kanan|=\kiri| 5 \kanan|=5$; $\kiri| -129,5 \kanan|=\kiri| 129,5\kanan|=$129,5. Sangat mudah untuk melihat jenis bilangan apa ini, modul siapa yang sama: bilangan-bilangan ini berlawanan. Jadi, kami mencatat sendiri bahwa modul bilangan yang berlawanan adalah sama:
\[\kiri| -a \kanan|=\kiri| a\kanan|\]
Lain fakta penting: modulus tidak pernah negatif. Berapapun bilangan yang kita ambil - baik positif atau negatif - modulusnya selalu positif (atau, dalam kasus ekstrim, nol). Inilah sebabnya mengapa modul sering disebut nilai mutlak angka.
Apalagi jika kita menggabungkan definisi modulus untuk positif dan angka negatif, lalu kita mendapatkan definisi global modul untuk semua bilangan. Yaitu: modulus suatu bilangan sama dengan bilangan itu sendiri, jika bilangan tersebut positif (atau nol), atau sama dengan nomor berlawanan, jika angkanya negatif. Anda dapat menulis ini sebagai rumus:
Ada juga modul nol, tetapi selalu ada sama dengan nol. Selain itu, nol tunggal, yang tidak memiliki kebalikannya.
Jadi, jika kita mempertimbangkan fungsi $y=\left| x \right|$ dan coba gambar grafiknya, Anda akan mendapatkan hasil seperti ini:
Grafik modulus dan contoh penyelesaian persamaan
Dari gambar ini jelas terlihat bahwa $\left| -m \kanan|=\kiri| m \right|$, dan grafik modulusnya tidak pernah berada di bawah sumbu x. Tapi bukan itu saja: garis merah menandai garis lurus $y=a$, yang, untuk $a$ positif, memberi kita dua akar sekaligus: $((x)_(1))$ dan $((x) _(2)) $, tapi kita akan membicarakannya nanti :)
Selain definisi aljabar murni, ada definisi geometris. Katakanlah ada dua titik pada garis bilangan: $((x)_(1))$ dan $((x)_(2))$. Dalam hal ini, ekspresi $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ hanyalah jarak antara poin yang ditunjukkan. Atau, jika Anda mau, panjang segmen yang menghubungkan titik-titik berikut:
Modulus adalah jarak antar titik pada garis bilangan Definisi ini juga menyiratkan bahwa modulusnya selalu non-negatif. Tapi cukup definisi dan teorinya - mari kita beralih ke persamaan nyata :)
Rumus dasar
Oke, kita sudah memilah definisinya. Namun hal itu tidak membuat segalanya menjadi lebih mudah. Bagaimana menyelesaikan persamaan yang mengandung modul ini?
Tenang, tenang saja. Mari kita mulai dengan hal yang paling sederhana. Pertimbangkan sesuatu seperti ini:
\[\kiri| x\kanan|=3\]
Jadi modulus $x$ adalah 3. Berapakah nilai $x$? Ya, dilihat dari definisinya, kami cukup senang dengan $x=3$. Benar-benar:
\[\kiri| 3\kanan|=3\]
Apakah ada nomor lain? Cap sepertinya mengisyaratkan bahwa ada. Misalnya, $x=-3$ juga $\kiri| -3 \kanan|=3$, mis. kesetaraan yang dibutuhkan terpenuhi.
Jadi mungkinkah jika kita mencari dan berpikir, kita akan menemukan lebih banyak angka? Tapi hentikan: lebih banyak angka TIDAK. Persamaan $\kiri| x \right|=3$ hanya memiliki dua akar: $x=3$ dan $x=-3$.
Sekarang mari kita mempersulit tugas ini sedikit. Biarkan fungsi $f\left(x \right)$ berada di bawah tanda modulus dan bukan di variabel $x$, dan tempatkan bilangan sembarang $a$ di tempat tripel di sebelah kanan. Kami mendapatkan persamaan:
\[\kiri| f\kiri(x \kanan) \kanan|=a\]
Jadi bagaimana kita bisa mengatasi ini? Izinkan saya mengingatkan Anda: $f\left(x \right)$ adalah fungsi arbitrer, $a$ adalah bilangan apa pun. Itu. Apa-apa! Misalnya:
\[\kiri| 2x+1 \kanan|=5\]
\[\kiri| 10x-5 \kanan|=-65\]
Mari kita perhatikan persamaan kedua. Anda dapat langsung mengatakan tentang dia: dia tidak memiliki akar. Mengapa? Semuanya benar: karena modulusnya harus sama dengan bilangan negatif, yang tidak pernah terjadi, karena kita telah mengetahui bahwa modulus selalu berupa bilangan positif atau, dalam kasus ekstrim, nol.
Namun dengan persamaan pertama segalanya menjadi lebih menyenangkan. Ada dua opsi: ada ekspresi positif di bawah tanda modulus, lalu $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, atau ekspresi ini masih negatif, lalu $\left| 2x+1 \kanan|=-\kiri(2x+1 \kanan)=-2x-1$. Dalam kasus pertama, persamaan kita akan ditulis ulang sebagai berikut:
\[\kiri| 2x+1 \kanan|=5\Panah Kanan 2x+1=5\]
Dan tiba-tiba ternyata ekspresi submodular $2x+1$ benar-benar positif - sama dengan angka 5. Yaitu kita dapat menyelesaikan persamaan ini dengan aman - akar yang dihasilkan akan menjadi bagian dari jawabannya:
Mereka yang sangat tidak percaya dapat mencoba mengganti akar yang ditemukan ke dalam persamaan asli dan memastikan bahwa memang ada bilangan positif di bawah modulus.
Sekarang mari kita lihat kasus ekspresi submodular negatif:
\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Panah Kanan -2x-1=5 \Panah Kanan 2x+1=-5\]
Ups! Sekali lagi, semuanya jelas: kita berasumsi bahwa $2x+1 \lt 0$, dan sebagai hasilnya kita mendapatkan $2x+1=-5$ - memang, ekspresi ini kurang dari nol. Kami menyelesaikan persamaan yang dihasilkan, sambil mengetahui dengan pasti bahwa akar yang ditemukan cocok untuk kami:
Secara total, kami kembali menerima dua jawaban: $x=2$ dan $x=3$. Ya, jumlah perhitungannya ternyata sedikit lebih besar dibandingkan persamaan yang sangat sederhana $\left| x \kanan|=3$, tetapi tidak ada perubahan mendasar. Jadi mungkin ada semacam algoritma universal?
Ya, algoritma seperti itu ada. Dan sekarang kita akan menganalisisnya.
Menghilangkan tanda modulus
Mari kita diberikan persamaan $\kiri| f\left(x \right) \right|=a$, dan $a\ge 0$ (jika tidak, seperti yang telah kita ketahui, tidak ada akar). Kemudian Anda dapat menghilangkan tanda modulus menggunakan aturan berikut:
\[\kiri| f\kiri(x \kanan) \kanan|=a\Panah Kanan f\kiri(x \kanan)=\pm a\]
Jadi, persamaan kita dengan modulus terbagi menjadi dua, tetapi tanpa modulus. Hanya itu saja teknologinya! Mari kita coba menyelesaikan beberapa persamaan. Mari kita mulai dengan ini
\[\kiri| 5x+4 \kanan|=10\Panah Kanan 5x+4=\pm 10\]
Mari kita pertimbangkan secara terpisah jika ada sepuluh plus di sebelah kanan, dan secara terpisah jika ada minus. Kita punya:
\[\begin(align)& 5x+4=10\Panah Kanan 5x=6\Panah Kanan x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Panah Kanan 5x=-14\Panah Kanan x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\end(sejajarkan)\]
Itu saja! Kami mendapat dua akar: $x=1.2$ dan $x=-2.8$. Seluruh solusi mengambil dua baris.
Oke, tidak ada pertanyaan, mari kita lihat sesuatu yang lebih serius:
\[\kiri| 7-5x\kanan|=13\]
Sekali lagi kita buka modul dengan plus dan minus:
\[\begin(align)& 7-5x=13\Panah Kanan -5x=6\Panah Kanan x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Panah Kanan -5x=-20\Panah Kanan x=4. \\\end(sejajarkan)\]
Beberapa baris lagi - dan jawabannya sudah siap! Seperti yang saya katakan, tidak ada yang rumit tentang modul. Anda hanya perlu mengingat beberapa aturan. Oleh karena itu, kami melanjutkan dan memulai dengan tugas yang lebih kompleks.
Kasus variabel sisi kanan
Sekarang perhatikan persamaan ini:
\[\kiri| 3x-2 \kanan|=2x\]
Persamaan ini pada dasarnya berbeda dari persamaan sebelumnya. Bagaimana? Dan fakta bahwa di sebelah kanan tanda sama dengan terdapat ekspresi $2x$ - dan kita tidak dapat mengetahui sebelumnya apakah itu positif atau negatif.
Apa yang harus dilakukan dalam kasus ini? Pertama, kita harus memahami hal itu untuk selamanya jika ruas kanan persamaan ternyata negatif, maka persamaan tersebut tidak mempunyai akar- kita sudah tahu bahwa modulus tidak bisa sama dengan bilangan negatif.
Dan kedua, jika ruas kanannya masih positif (atau sama dengan nol), maka Anda dapat bertindak dengan cara yang persis sama seperti sebelumnya: cukup buka modul secara terpisah dengan tanda plus dan secara terpisah dengan tanda minus.
Jadi, kita merumuskan aturan untuk fungsi sembarang $f\left(x \right)$ dan $g\left(x \right)$ :
\[\kiri| f\kiri(x \kanan) \kanan|=g\kiri(x \kanan)\Panah Kanan \kiri\( \begin(sejajarkan)& f\kiri(x \kanan)=\pm g\kiri(x \kanan ), \\& g\kiri(x \kanan)\ge 0. \\\end(sejajarkan) \kanan.\]
Sehubungan dengan persamaan kita, kita mendapatkan:
\[\kiri| 3x-2 \kanan|=2x\Panah Kanan \kiri\( \begin(sejajarkan)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(sejajarkan) \kanan.\]
Ya, entah bagaimana kita akan mengatasi persyaratan $2x\ge 0$. Pada akhirnya, kita bisa dengan bodohnya mengganti akar-akar yang kita peroleh dari persamaan pertama dan memeriksa apakah pertidaksamaannya berlaku atau tidak.
Jadi mari kita selesaikan persamaannya sendiri:
\[\begin(sejajarkan)& 3x-2=2\Panah Kanan 3x=4\Panah Kanan x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Panah Kanan 3x=0\Panah Kanan x=0. \\\end(sejajarkan)\]
Nah, manakah dari dua akar berikut yang memenuhi persyaratan $2x\ge 0$? Ya keduanya! Oleh karena itu, jawabannya adalah dua angka: $x=(4)/(3)\;$ dan $x=0$. Itulah solusinya. :)
Saya curiga beberapa siswa sudah mulai bosan? Baiklah, mari kita lihat persamaan yang lebih rumit lagi:
\[\kiri| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \kanan|=x-((x)^(3))\]
Meski terlihat jahat, nyatanya persamaannya masih sama berupa “modulus sama dengan fungsi”:
\[\kiri| f\kiri(x \kanan) \kanan|=g\kiri(x \kanan)\]
Dan itu diselesaikan dengan cara yang persis sama:
\[\kiri| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \kanan|=x-((x)^(3))\Panah Kanan \kiri\( \begin(sejajarkan)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \kiri(x-((x)^(3)) \kanan), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(sejajarkan) \kanan.\]
Kami akan menangani ketidaksetaraan nanti - ini terlalu jahat (sebenarnya, ini sederhana, tetapi kami tidak akan menyelesaikannya). Untuk saat ini, lebih baik menangani persamaan yang dihasilkan. Mari kita pertimbangkan kasus pertama - ini adalah saat modul diperluas dengan tanda plus:
\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]
Ya, tidak perlu khawatir jika Anda perlu mengumpulkan semuanya dari kiri, membawa yang serupa, dan melihat apa yang terjadi. Dan inilah yang terjadi:
\[\begin(sejajarkan)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(sejajarkan)\]
Kami mengeluarkannya pengganda umum$((x)^(2))$ keluar dari tanda kurung dan kita mendapatkan persamaan yang sangat sederhana:
\[((x)^(2))\left(2x-3 \kanan)=0\Panah Kanan \kiri[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(sejajarkan) \kanan.\]
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]
Di sini kami menggunakan properti penting hasil kali, yang karenanya kita memfaktorkan polinomial asli: hasil kali sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol.
Sekarang mari kita bahas persamaan kedua dengan cara yang persis sama, yang diperoleh dengan memperluas modul dengan tanda minus:
\[\begin(sejajarkan)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\kiri(x-((x)^(3)) \kanan); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\kiri(-3x+2 \kanan)=0. \\\end(sejajarkan)\]
Sekali lagi hal yang sama: hasil kali sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol. Kita punya:
\[\kiri[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]
Ya, kita mendapat tiga akar: $x=0$, $x=1.5$ dan $x=(2)/(3)\;$. Nah, di antara kumpulan ini, manakah yang akan menjadi jawaban akhir? Untuk melakukan hal ini, ingatlah bahwa kita memiliki batasan tambahan berupa ketidaksetaraan:
Bagaimana cara mempertimbangkan persyaratan ini? Mari kita substitusikan akar-akar yang ditemukan dan periksa apakah pertidaksamaan berlaku untuk $x$ ini atau tidak. Kita punya:
\[\begin(align)& x=0\Panah Kanan x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1.5\Panah Kanan x-((x)^(3))=1.5-((1.5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Panah Kanan x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(sejajarkan)\]
Jadi, akar $x=1.5$ tidak cocok untuk kita. Dan sebagai tanggapannya hanya akan ada dua akar:
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]
Seperti yang Anda lihat, bahkan dalam kasus ini tidak ada yang rumit - persamaan dengan modul selalu diselesaikan menggunakan algoritma. Anda hanya perlu memiliki pemahaman yang baik tentang polinomial dan pertidaksamaan. Oleh karena itu, kami beralih ke tugas yang lebih kompleks - tidak hanya satu, tetapi dua modul.
Persamaan dengan dua modul
Sejauh ini kami hanya mempelajari sebagian besar saja persamaan sederhana— ada satu modul dan yang lainnya. Kita mengirim “sesuatu yang lain” ini ke bagian pertidaksamaan yang lain, jauh dari modul, sehingga pada akhirnya semuanya akan direduksi menjadi persamaan berbentuk $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ atau bahkan lebih sederhana $\left| f\kiri(x \kanan) \kanan|=a$.
Tetapi taman kanak-kanak berakhir - saatnya untuk mempertimbangkan sesuatu yang lebih serius. Mari kita mulai dengan persamaan seperti ini:
\[\kiri| f\kiri(x \kanan) \kanan|=\kiri| g\kiri(x \kanan) \kanan|\]
Ini adalah persamaan dalam bentuk “modulus sama dengan modulus" Pada dasarnya poin penting adalah tidak adanya syarat dan faktor lain: hanya satu modul di sebelah kiri, satu modul lagi di sebelah kanan - dan tidak lebih.
Seseorang sekarang akan berpikir bahwa persamaan seperti itu lebih sulit diselesaikan daripada apa yang telah kita pelajari sejauh ini. Tapi tidak: persamaan ini lebih mudah diselesaikan. Berikut rumusnya:
\[\kiri| f\kiri(x \kanan) \kanan|=\kiri| g\kiri(x \kanan) \kanan|\Panah Kanan f\kiri(x \kanan)=\pm g\kiri(x \kanan)\]
Semua! Kita cukup menyamakan ekspresi submodular dengan memberi tanda plus atau minus di depan salah satunya. Dan kemudian kita menyelesaikan dua persamaan yang dihasilkan - dan akar-akarnya sudah siap! Tidak ada batasan tambahan, tidak ada kesenjangan, dll. Semuanya sangat sederhana.
Mari kita coba selesaikan masalah ini:
\[\kiri| 2x+3 \kanan|=\kiri| 2x-7 \kanan|\]
SD Watson! Memperluas modul:
\[\kiri| 2x+3 \kanan|=\kiri| 2x-7 \kanan|\Panah Kanan 2x+3=\pm \kiri(2x-7 \kanan)\]
Mari pertimbangkan setiap kasus secara terpisah:
\[\begin(sejajarkan)& 2x+3=2x-7\Panah Kanan 3=-7\Panah Kanan \emptyset ; \\& 2x+3=-\kiri(2x-7 \kanan)\Panah Kanan 2x+3=-2x+7. \\\end(sejajarkan)\]
Persamaan pertama tidak mempunyai akar. Karena kapan $3=-7$? Berapa nilai $x$? “Apa itu $x$? Apakah kamu teler? Tidak ada $x$ sama sekali di sana,” kata Anda. Dan Anda akan benar. Kami telah memperoleh persamaan yang tidak bergantung pada variabel $x$, dan pada saat yang sama persamaan itu sendiri salah. Itu sebabnya tidak ada akarnya :)
Dengan persamaan kedua, segalanya menjadi sedikit lebih menarik, tetapi juga sangat, sangat sederhana:
Seperti yang Anda lihat, semuanya diselesaikan hanya dalam beberapa baris - kami tidak mengharapkan apa pun dari persamaan linier :).
Hasilnya, jawaban akhirnya adalah: $x=1$.
Jadi bagaimana? Sulit? Tentu saja tidak. Mari kita coba yang lain:
\[\kiri| x-1 \kanan|=\kiri| ((x)^(2))-3x+2 \kanan|\]
Sekali lagi kita mempunyai persamaan dalam bentuk $\left| f\kiri(x \kanan) \kanan|=\kiri| g\kiri(x \kanan) \kanan|$. Oleh karena itu, kami segera menulis ulang, memperlihatkan tanda modulus:
\[((x)^(2))-3x+2=\pm \kiri(x-1 \kanan)\]
Mungkin sekarang seseorang akan bertanya: “Hei, omong kosong apa? Mengapa “plus-minus” muncul di ekspresi sebelah kanan dan bukan di sebelah kiri?” Tenang, saya akan menjelaskan semuanya sekarang. Memang benar, dengan cara yang baik kita seharusnya menulis ulang persamaan kita sebagai berikut:
Kemudian Anda perlu membuka tanda kurung, memindahkan semua suku ke salah satu sisi tanda sama dengan (karena persamaannya, tentu saja, akan berbentuk kuadrat dalam kedua kasus), dan kemudian temukan akar-akarnya. Namun Anda harus setuju: ketika “plus atau minus” muncul sebelum tiga suku (terutama jika salah satu dari suku tersebut muncul ekspresi kuadrat), hal ini terlihat lebih rumit daripada situasi ketika “plus atau minus” hanya muncul di depan dua istilah.
Namun tidak ada yang menghalangi kita untuk menulis ulang persamaan aslinya sebagai berikut:
\[\kiri| x-1 \kanan|=\kiri| ((x)^(2))-3x+2 \kanan|\Panah Kanan \kiri| ((x)^(2))-3x+2 \kanan|=\kiri| x-1 \kanan|\]
Apa yang telah terjadi? Tidak ada yang istimewa: mereka hanya menukar sisi kiri dan kanan. Hal kecil yang pada akhirnya akan membuat hidup kita sedikit lebih mudah :).
Secara umum, kita menyelesaikan persamaan ini dengan mempertimbangkan opsi dengan plus dan minus:
\[\begin(sejajarkan)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Panah Kanan ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\kiri(x-1 \kanan)\Panah Kanan ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(sejajarkan)\]
Persamaan pertama memiliki akar $x=3$ dan $x=1$. Yang kedua umumnya berbentuk persegi:
\[((x)^(2))-2x+1=((\kiri(x-1 \kanan))^(2))\]
Oleh karena itu, ia hanya memiliki satu akar: $x=1$. Tapi kita sudah mendapatkan root ini sebelumnya. Jadi, hanya dua angka yang akan menjadi jawaban akhir:
\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]
Misi terselesaikan! Anda bisa mengambil pai dari rak dan memakannya. Ada 2, milikmu yang tengah :)
Catatan penting. Ketersediaan akar yang identik dengan opsi berbeda untuk memperluas modul berarti polinomial asli difaktorkan, dan di antara faktor-faktor ini pasti akan ada faktor yang sama. Benar-benar:
\[\mulai(sejajarkan)& \kiri| x-1 \kanan|=\kiri| ((x)^(2))-3x+2 \kanan|; \\& \kiri| x-1 \kanan|=\kiri| \kiri(x-1 \kanan)\kiri(x-2 \kanan) \kanan|. \\\end(sejajarkan)\]
Salah satu properti modul: $\left| a\cdot b \kanan|=\kiri| a \kanan|\cdot \kiri| b \right|$ (yaitu modulus produk sama dengan produknya modul), sehingga persamaan aslinya dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\[\kiri| x-1 \kanan|=\kiri| x-1 \kanan|\cdot \kiri| x-2 \kanan|\]
Seperti yang Anda lihat, kami benar-benar memiliki faktor yang sama. Sekarang, jika Anda mengumpulkan semua modul di satu sisi, Anda dapat menghilangkan faktor ini:
\[\mulai(sejajarkan)& \kiri| x-1 \kanan|=\kiri| x-1 \kanan|\cdot \kiri| x-2 \kanan|; \\& \kiri| x-1 \kanan|-\kiri| x-1 \kanan|\cdot \kiri| x-2 \kanan|=0; \\& \kiri| x-1 \kanan|\cdot \kiri(1-\kiri| x-2 \kanan| \kanan)=0. \\\end(sejajarkan)\]
Nah, sekarang ingatlah bahwa hasil kali sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol:
\[\kiri[ \mulai(sejajarkan)& \kiri| x-1 \kanan|=0, \\& \kiri| x-2 \kanan|=1. \\\end(sejajarkan) \kanan.\]
Jadi, persamaan awal dengan dua modul telah direduksi menjadi dua persamaan paling sederhana yang kita bicarakan di awal pelajaran. Persamaan seperti itu dapat diselesaikan hanya dalam beberapa baris :)
Pernyataan ini mungkin tampak terlalu rumit dan tidak dapat diterapkan dalam praktik. Namun, pada kenyataannya Anda mungkin menemukan lebih banyak lagi tugas yang kompleks, dibandingkan yang kita analisis hari ini. Di dalamnya, modul dapat digabungkan dengan polinomial, akar aritmatika, logaritma, dll. Dan dalam situasi seperti itu, peluangnya berkurang gelar umum persamaan dengan mengeluarkan sesuatu dari tanda kurung bisa sangat-sangat berguna :)
Sekarang saya ingin melihat persamaan lain, yang pada pandangan pertama mungkin tampak gila. Banyak siswa yang terjebak dalam hal ini, bahkan mereka yang berpikir bahwa mereka memiliki pemahaman yang baik tentang modul.
Namun, persamaan ini bahkan lebih mudah untuk diselesaikan daripada persamaan yang kita bahas sebelumnya. Dan jika Anda memahami alasannya, Anda akan mendapatkan trik lain untuk menyelesaikan persamaan dengan moduli dengan cepat.
Jadi persamaannya adalah:
\[\kiri| x-((x)^(3)) \kanan|+\kiri| ((x)^(2))+x-2 \kanan|=0\]
Tidak, ini bukan salah ketik: ini merupakan nilai tambah antar modul. Dan kita perlu mencari tahu berapa $x$ jumlah dua modul sama dengan nol :).
Apa masalahnya? Namun masalahnya adalah setiap modul adalah bilangan positif, atau, dalam kasus ekstrim, nol. Apa yang terjadi jika Anda menjumlahkan dua bilangan positif? Jelas sekali angka positif lagi:
\[\begin(sejajarkan)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(sejajarkan)\]
Baris terakhir mungkin memberi Anda gambaran: satu-satunya saat jumlah modul bernilai nol adalah jika setiap modul bernilai nol:
\[\kiri| x-((x)^(3)) \kanan|+\kiri| ((x)^(2))+x-2 \kanan|=0\Panah Kanan \kiri\( \begin(sejajarkan)& \kiri| x-((x)^(3)) \kanan|=0, \\& \kiri| ((x)^(2))+x-2 \kanan|=0.
Dan kapan modulnya sama dengan nol? Hanya dalam satu kasus - ketika ekspresi submodular sama dengan nol:
\[((x)^(2))+x-2=0\Panah Kanan \kiri(x+2 \kanan)\kiri(x-1 \kanan)=0\Panah Kanan \kiri[ \begin(sejajarkan)& x=-2 \\& x=1 \\\end(sejajarkan) \kanan.\]
Jadi, kita mempunyai tiga titik di mana modul pertama direset ke nol: 0, 1 dan −1; serta dua titik di mana modul kedua direset ke nol: −2 dan 1. Namun, kita memerlukan kedua modul untuk direset ke nol secara bersamaan, jadi di antara angka-angka yang ditemukan kita harus memilih yang termasuk dalam kedua set. Jelas, hanya ada satu nomor seperti itu: $x=1$ - ini akan menjadi jawaban akhir.
Metode pembelahan
Ya, kita sudah membahas banyak masalah dan mempelajari banyak teknik. Apakah menurut Anda hanya itu? Tapi tidak! Sekarang kita akan melihat teknik terakhir - dan sekaligus yang paling penting. Kita akan berbicara tentang pemisahan persamaan dengan modulus. Apa yang akan kita bicarakan? Mari kita kembali sedikit dan melihat beberapa persamaan sederhana. Misalnya ini:
\[\kiri| 3x-5 \kanan|=5-3x\]
Pada prinsipnya, kita sudah mengetahui cara menyelesaikan persamaan tersebut, karena persamaan tersebut merupakan konstruksi standar dalam bentuk $\left| f\kiri(x \kanan) \kanan|=g\kiri(x \kanan)$. Namun mari kita coba melihat persamaan ini dari sudut yang sedikit berbeda. Lebih tepatnya, perhatikan ekspresi di bawah tanda modulus. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa modulus suatu bilangan bisa sama dengan bilangan itu sendiri, atau bisa juga berlawanan dengan bilangan ini:
\[\kiri| a \kanan|=\kiri\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]
Sebenarnya, ambiguitas ini adalah keseluruhan masalahnya: karena bilangan di bawah modulus berubah (tergantung variabelnya), tidak jelas bagi kita apakah bilangan itu positif atau negatif.
Namun bagaimana jika pada awalnya Anda mengharuskan angka ini positif? Misalnya, kita memerlukan $3x-5 \gt 0$ - dalam hal ini kita dijamin mendapatkan bilangan positif di bawah tanda modulus, dan kita dapat sepenuhnya menghilangkan modulus ini:
Dengan demikian, persamaan kita akan berubah menjadi persamaan linier, yang dapat diselesaikan dengan mudah:
Benar, semua pemikiran ini masuk akal hanya dalam kondisi $3x-5 \gt 0$ - kami sendiri yang memperkenalkan persyaratan ini untuk mengungkapkan modul secara jelas. Oleh karena itu, mari kita gantikan $x=\frac(5)(3)$ yang ditemukan ke dalam kondisi ini dan periksa:
Ternyata kapan nilai yang ditentukan$x$persyaratan kami tidak terpenuhi, karena ekspresi tersebut ternyata sama dengan nol, dan kita membutuhkannya agar lebih besar dari nol. Sedih. :(
Tapi tidak apa-apa! Lagi pula, ada opsi lain $3x-5 \lt 0$. Selain itu: ada juga kasus $3x-5=0$ - ini juga perlu dipertimbangkan, jika tidak, solusinya tidak akan lengkap. Jadi, pertimbangkan kasus $3x-5 \lt 0$:
Tentunya modul akan terbuka dengan tanda minus. Namun kemudian muncul situasi yang aneh: ekspresi yang sama akan muncul di kiri dan kanan persamaan asli:
Saya ingin tahu berapakah $x$ ekspresi $5-3x$ dengan ekspresi $5-3x$? Bahkan Captain Obviousness akan tersedak air liurnya karena persamaan seperti itu, tapi kita tahu: persamaan ini adalah sebuah identitas, yaitu. itu berlaku untuk nilai variabel apa pun!
Ini berarti $x$ apa pun akan cocok untuk kita. Namun, kami memiliki batasan:
Dengan kata lain, jawabannya bukan berupa satu angka saja, melainkan seluruh interval:
Terakhir, ada satu kasus lagi yang perlu dipertimbangkan: $3x-5=0$. Semuanya sederhana di sini: di bawah modulus akan ada nol, dan modulus nol juga sama dengan nol (ini mengikuti langsung dari definisi):
Tapi kemudian persamaan aslinya $\left| 3x-5 \kanan|=5-3x$ akan ditulis ulang sebagai berikut:
Kita telah memperoleh root ini di atas, ketika kita mempertimbangkan kasus $3x-5 \gt 0$. Selain itu, root ini adalah solusi dari persamaan $3x-5=0$ - ini adalah batasan yang kami sendiri perkenalkan untuk mereset modul.
Jadi, selain interval, kita juga akan puas dengan bilangan yang terletak di akhir interval ini:
Menggabungkan akar-akar dalam persamaan modulo Total jawaban akhir: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Tidak umum melihat omong kosong seperti itu dalam jawaban persamaan yang cukup sederhana (pada dasarnya linier) dengan modulus , benarkah? Baiklah, biasakanlah: kesulitan modul ini adalah bahwa jawaban dalam persamaan seperti itu benar-benar tidak dapat diprediksi.
Ada hal lain yang jauh lebih penting: kita baru saja menganalisis algoritma universal untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus! Dan algoritma ini terdiri dari langkah-langkah berikut:
- Samakan setiap modulus dalam persamaan dengan nol. Kami mendapatkan beberapa persamaan;
- Selesaikan semua persamaan ini dan tandai akar-akarnya pada garis bilangan. Akibatnya, garis lurus akan terbagi menjadi beberapa interval, yang pada masing-masing interval semua modul terungkap secara unik;
- Selesaikan persamaan asli untuk setiap interval dan gabungkan jawaban Anda.
Itu saja! Hanya ada satu pertanyaan yang tersisa: apa yang harus dilakukan dengan akar yang diperoleh pada langkah 1? Katakanlah kita memiliki dua akar: $x=1$ dan $x=5$. Mereka akan membagi garis bilangan menjadi 3 bagian:
Memisahkan garis bilangan menjadi interval menggunakan titik Jadi berapa intervalnya? Jelas ada tiga di antaranya:
- Yang paling kiri: $x \lt 1$ — unit itu sendiri tidak termasuk dalam interval;
- Pusat: $1\le x \lt 5$ - di sini satu disertakan dalam interval, namun lima tidak disertakan;
- Paling kanan: $x\ge 5$ - lima hanya disertakan di sini!
Saya rasa Anda sudah memahami polanya. Setiap interval mencakup ujung kiri dan tidak termasuk ujung kanan.
Pada pandangan pertama, entri seperti itu mungkin tampak tidak nyaman, tidak logis, dan umumnya agak gila. Tapi percayalah: setelah sedikit latihan, Anda akan menemukan bahwa pendekatan ini adalah yang paling dapat diandalkan dan tidak mengganggu pembukaan modul secara jelas. Lebih baik menggunakan skema seperti itu daripada berpikir setiap saat: berikan ujung kiri/kanan ke interval saat ini atau “lemparkan” ke interval berikutnya.
Salah satu yang paling banyak topik yang sulit bagi siswa, ini adalah menyelesaikan persamaan yang mengandung variabel di bawah tanda modulus. Mari kita cari tahu dulu apa hubungannya? Mengapa, misalnya, sebagian besar anak-anak memecahkan persamaan kuadrat seperti kacang, tetapi persamaan ini jauh dari yang terbaik? konsep yang kompleks Mengapa modul ini mempunyai begitu banyak masalah?
Menurut pendapat saya, semua kesulitan ini disebabkan oleh kurangnya aturan yang dirumuskan dengan jelas untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus. Jadi, ketika menyelesaikan persamaan kuadrat, siswa mengetahui dengan pasti bahwa ia perlu menerapkan rumus diskriminan terlebih dahulu, baru kemudian rumus akar-akar persamaan kuadrat tersebut. Apa yang harus dilakukan jika modulus ditemukan dalam persamaan? Kami akan mencoba menjelaskan dengan jelas rencana tindakan yang diperlukan untuk kasus ketika persamaan mengandung hal yang tidak diketahui di bawah tanda modulus. Kami akan memberikan beberapa contoh untuk setiap kasus.
Tapi pertama-tama, mari kita ingat definisi modul. Jadi, modulo nomornya A nomor ini sendiri disebut jika A non-negatif dan -A, jika nomor A kurang dari nol. Anda dapat menulisnya seperti ini:
|sebuah| = a jika a ≥ 0 dan |a| = -a jika a< 0
Membicarakan tentang secara geometris modul, harus diingat bahwa setiap bilangan real bersesuaian titik tertentu pada sumbu bilangan - ke 
koordinat. Jadi, modul atau nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak dari titik tersebut ke titik asal sumbu bilangan. Jarak selalu ditentukan sebagai bilangan positif. Jadi, modulus bilangan negatif adalah bilangan positif. Ngomong-ngomong, bahkan pada tahap ini, banyak siswa yang mulai bingung. Modul bisa berisi bilangan apa saja, namun hasil penggunaan modul selalu berupa bilangan positif.
Sekarang mari kita langsung menyelesaikan persamaannya.
1. Perhatikan persamaan bentuk |x| = c, dimana c adalah bilangan real. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan definisi modulus.
Semua bilangan real Mari kita bagi menjadi tiga kelompok: kelompok yang lebih besar dari nol, kelompok yang lebih kecil dari nol, dan kelompok ketiga adalah bilangan 0. Kita tuliskan penyelesaiannya dalam bentuk diagram:
(±c, jika c > 0
Jika |x| = c, maka x = (0, jika c = 0
(tidak ada akar jika dengan< 0
1) |x| = 5, karena 5 > 0, maka x = ±5;
2) |x| = -5, karena -5< 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x| = 0, maka x = 0.
2. Persamaan bentuk |f(x)| = b, dimana b > 0. Untuk menyelesaikan persamaan ini, modul harus dihilangkan. Kita melakukannya dengan cara ini: f(x) = b atau f(x) = -b. Sekarang Anda perlu menyelesaikan setiap persamaan yang dihasilkan secara terpisah. Jika pada persamaan awal b< 0, решений не будет.
1) |x+2| = 4, karena 4 > 0, lalu
x + 2 = 4 atau x + 2 = -4
2) |x 2 – 5| = 11, karena 11 > 0, lalu
x 2 – 5 = 11 atau x 2 – 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 tanpa akar
3) |x 2 – 5x| = -8, karena -8< 0, то уравнение не имеет корней.
3. Persamaan berbentuk |f(x)| =g(x). Menurut pengertian modul, persamaan tersebut akan mempunyai penyelesaian jika ruas kanannya lebih besar atau sama dengan nol, yaitu. g(x) ≥ 0. Maka kita akan mendapatkan:
f(x) = g(x) atau f(x) = -g(x).
1) |2x – 1| = 5x – 10. Persamaan ini akan berakar jika 5x – 10 ≥ 0. Di sinilah penyelesaian persamaan tersebut dimulai.
1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0
2. Solusi:
2x – 1 = 5x – 10 atau 2x – 1 = -(5x – 10)
3. Kami menggabungkan O.D.Z. dan penyelesaiannya, kita peroleh:
Akar x = 11/7 tidak sesuai dengan O.D.Z., kurang dari 2, tetapi x = 3 memenuhi kondisi ini.
Jawaban: x = 3
2) |x – 1| = 1 – x 2 .
1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Selesaikan pertidaksamaan ini dengan menggunakan metode interval:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Solusi:
x – 1 = 1 – x 2 atau x – 1 = -(1 – x 2)
x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0
x = -2 atau x = 1 x = 0 atau x = 1
3. Kami menggabungkan solusi dan O.D.Z.:
Hanya akar x = 1 dan x = 0 yang cocok.
Jawaban: x = 0, x = 1.
4. Persamaan bentuk |f(x)| = |g(x)|. Persamaan ini setara dengan dua persamaan berikut f(x) = g(x) atau f(x) = -g(x).
1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Persamaan ini setara dengan dua persamaan berikut:
x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 atau x 2 – 5x +7 = -2x + 5
x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0
x = 3 atau x = 4 x = 2 atau x = 1
Jawaban: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Persamaan diselesaikan dengan metode substitusi (penggantian variabel). Metode ini solusi paling mudah untuk dijelaskan contoh spesifik. Jadi, diberikan persamaan kuadrat dengan modulus:
x 2 – 6|x| + 5 = 0. Berdasarkan sifat modulus x 2 = |x| 2, sehingga persamaannya dapat ditulis ulang sebagai berikut:
|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Mari kita lakukan penggantian |x| = t ≥ 0, maka diperoleh:
t 2 – 6t + 5 = 0. Penyelesaian persamaan yang diberikan, kita peroleh t = 1 atau t = 5. Mari kembali ke penggantian:
|x| = 1 atau |x| = 5
x = ±1 x = ±5
Jawaban: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Mari kita lihat contoh lainnya:
x 2 + |x| – 2 = 0. Berdasarkan sifat modulus x 2 = |x| 2, oleh karena itu
|x| 2 + |x| – 2 = 0. Mari kita lakukan penggantian |x| = t ≥ 0, maka:
t 2 + t – 2 = 0. Selesaikan persamaan ini, kita peroleh t = -2 atau t = 1. Mari kembali ke penggantian:
|x| = -2 atau |x| = 1
Tidak ada akar x = ± 1
Jawaban: x = -1, x = 1.
6. Jenis persamaan lainnya adalah persamaan dengan modulus “kompleks”. Persamaan tersebut mencakup persamaan yang memiliki “modul di dalam modul”. Persamaan jenis ini dapat diselesaikan dengan menggunakan properti modul.
1) |3 – |x|| = 4. Kita akan bertindak dengan cara yang sama seperti persamaan tipe kedua. Karena 4 > 0, maka kita mendapatkan dua persamaan:
3 – |x| = 4 atau 3 – |x| = -4.
Sekarang mari kita nyatakan modulus x pada setiap persamaan, lalu |x| = -1 atau |x| = 7.
Kami menyelesaikan setiap persamaan yang dihasilkan. Tidak ada akar pada persamaan pertama, karena -1< 0, а во втором x = ±7.
Jawab x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Kita selesaikan persamaan ini dengan cara yang sama:
3 + |x + 1| = 5 atau 3 + |x + 1| = -5
|x + 1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 atau x + 1 = -2. Tidak ada akar.
Jawaban: x = -3, x = 1.
Ada juga metode universal menyelesaikan persamaan dengan modulus. Ini adalah metode interval. Tapi kita akan melihatnya nanti.
situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.
Bilangan ini disebut penyebut suatu barisan geometri, yaitu setiap suku berbeda dengan suku sebelumnya sebanyak q kali. (Kami akan berasumsi bahwa q ≠ 1, jika tidak, semuanya terlalu sepele). Tidak sulit untuk melihatnya rumus umum suku ke-n barisan geometri b n = b 1 q n – 1 ; suku dengan bilangan b n dan b m berbeda q n – m kali.Sudah di Mesir Kuno tidak hanya mengetahui aritmatika, tetapi juga perkembangan geometri. Misalnya, berikut adalah soal dari papirus Rhind: “Tujuh wajah memiliki tujuh kucing; Setiap kucing memakan tujuh tikus, setiap tikus memakan tujuh bulir jagung, dan setiap bulir jelai dapat menumbuhkan tujuh takaran jelai. Berapa besar bilangan-bilangan pada deret tersebut dan jumlahnya?
 |
|
Beras. 1. Masalah perkembangan geometri Mesir kuno |
Tugas ini diulangi berkali-kali dengan variasi yang berbeda-beda antar bangsa pada waktu yang lain. Misalnya saja yang ditulis pada abad ke-13. “Kitab Sempoa” karya Leonardo dari Pisa (Fibonacci) mempunyai masalah dimana 7 wanita tua muncul dalam perjalanan ke Roma (jelas peziarah), yang masing-masing memiliki 7 bagal, masing-masing memiliki 7 tas, yang masing-masing berisi 7 tas. berisi 7 buah roti yang masing-masing mempunyai 7 pisau yang masing-masing mempunyai 7 sarung. Soal menanyakan berapa banyak objek yang ada.
Jumlah n suku pertama suatu barisan geometri S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Rumus ini dapat dibuktikan misalnya seperti ini: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.
Tambahkan angka b 1 q n ke S n dan dapatkan:
|
Dari sini S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), dan kita mendapatkan rumus yang diperlukan.
Sudah ada di salah satu tablet tanah liat Babel Kuno berasal dari abad ke-6. SM e., berisi jumlah 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Benar, seperti dalam beberapa kasus lainnya, kita tidak tahu bagaimana fakta ini diketahui orang Babilonia .
Peningkatan pesat perkembangan geometri di sejumlah kebudayaan, khususnya di India, berulang kali digunakan sebagai simbol visual dari luasnya alam semesta. Dalam legenda terkenal tentang kemunculan catur, penguasa memberikan kesempatan kepada penemunya untuk memilih sendiri hadiahnya, dan dia menanyakan jumlah butir gandum yang akan diperoleh jika satu ditempatkan di kotak pertama papan catur, dua di kotak pertama papan catur. yang kedua, empat pada yang ketiga, delapan pada yang keempat, dan seterusnya, setiap kali jumlahnya menjadi dua kali lipat. Vladyka memikirkan itu yang sedang kita bicarakan, paling banyak, sekitar beberapa tas, tapi dia salah perhitungan. Sangat mudah untuk melihat bahwa untuk seluruh 64 kotak papan catur, penemunya harus menerima (2 64 - 1) butir, yang dinyatakan sebagai angka 20 digit; bahkan jika seluruh permukaan bumi ditaburkan, dibutuhkan setidaknya 8 tahun untuk mengumpulkan jumlah biji-bijian yang dibutuhkan. Legenda ini terkadang ditafsirkan sebagai indikasi kemungkinan tak terbatas yang tersembunyi dalam permainan catur.
Sangat mudah untuk melihat bahwa angka ini sebenarnya terdiri dari 20 digit:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (perhitungan yang lebih akurat menghasilkan 1,84∙10 19). Tapi saya ingin tahu apakah Anda bisa mengetahui digit apa yang diakhiri dengan angka ini?
Kemajuan geometris dapat bertambah jika penyebutnya lebih besar dari 1, atau berkurang jika penyebutnya lebih besar dari 1 kurang dari satu. Dalam kasus terakhir, bilangan q n untuk n yang cukup besar dapat menjadi kecil secara sembarang. Meskipun perkembangan geometri yang meningkat meningkat secara tidak terduga dengan cepat, perkembangan geometri yang menurun juga menurun dengan cepat.
Semakin besar n, semakin lemah bilangan q n berbeda dengan nol, dan semakin dekat jumlah n suku barisan geometri S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) dengan bilangan S = b 1 / ( 1 – q). (Misalnya, F. Viet beralasan seperti ini). Bilangan S disebut jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga. Namun, selama berabad-abad pertanyaan tentang apa arti menjumlahkan SELURUH barisan geometri, dengan jumlah sukunya yang tak terhingga, masih belum cukup jelas bagi para ahli matematika.
Perkembangan geometri yang menurun dapat dilihat, misalnya, dalam aporia Zeno “Setengah Divisi” dan “Achilles dan Kura-kura.” Dalam kasus pertama, terlihat jelas bahwa seluruh jalan (dengan asumsi panjang 1) adalah jumlah totalnya jumlah yang tak terbatas segmen 1/2, 1/4, 1/8, dst. Tentu saja demikian juga dari sudut pandang gagasan tentang jumlah berhingga suatu barisan geometri tak terhingga. Namun - bagaimana ini bisa terjadi?
|
Beras. 2. Perkembangan dengan koefisien 1/2 |
Dalam aporia tentang Achilles, situasinya sedikit lebih rumit, karena di sini penyebut perkembangannya bukan 1/2, melainkan bilangan lain. Misalkan Achilles berlari dengan kecepatan v, kura-kura bergerak dengan kecepatan u, dan jarak awal antara keduanya adalah l. Achilles akan menempuh jarak ini dalam waktu l/v, dan selama waktu tersebut penyu akan menempuh jarak lu/v. Ketika Achilles menjalankan segmen ini, jarak antara dia dan kura-kura akan menjadi sama dengan l (u /v) 2, dst. Ternyata mengejar kura-kura berarti mencari jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga dengan suku pertama l dan penyebut u /v. Jumlah ini - segmen yang pada akhirnya akan dilalui Achilles ke tempat pertemuan dengan penyu - sama dengan l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Namun, sekali lagi, bagaimana hasil ini harus diinterpretasikan dan mengapa hal ini masuk akal? untuk waktu yang lama itu tidak terlalu jelas.
|
Beras. 3. Perkembangan geometri dengan koefisien 2/3 |
Archimedes menggunakan jumlah barisan geometri untuk menentukan luas ruas parabola. Misalkan ruas parabola ini dibatasi oleh tali busur AB dan biarkan garis singgung di titik D parabola sejajar dengan AB. Misalkan C adalah titik tengah AB, E adalah titik tengah AC, F adalah titik tengah CB. Mari kita menggambar garis sejajar DC melalui titik A, E, F, B; Misalkan garis singgung yang ditarik di titik D memotong garis-garis tersebut di titik K, L, M, N. Mari kita menggambar juga segmen AD dan DB. Misalkan garis EL memotong garis AD di titik G, dan parabola di titik H; garis FM memotong garis DB di titik Q, dan parabola di titik R. Berdasarkan teori umum bagian berbentuk kerucut, DC – diameter parabola (yaitu, segmen yang sejajar dengan sumbunya); itu dan garis singgung di titik D dapat berupa sumbu koordinat x dan y, dimana persamaan parabola ditulis sebagai y 2 = 2px (x adalah jarak dari D ke suatu titik dengan diameter tertentu, y adalah panjang segmen yang sejajar dengan garis singgung tertentu dari titik diameter ini ke suatu titik pada parabola itu sendiri).
Berdasarkan persamaan parabola, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, dan karena DK = 2DL, maka KA = 4LH. Karena KA = 2LG, LH = HG. Luas ruas ADB parabola sama dengan luas segitiga ADB dan luas gabungan ruas AHD dan DRB. Pada gilirannya, luas segmen AHD juga sama dengan luas segitiga AHD dan sisa segmen AH dan HD, yang masing-masing dapat melakukan operasi yang sama - dipecah menjadi segitiga (Δ) dan dua segmen yang tersisa (), dll.:
Luas segitiga AHD sama dengan setengah luas segitiga ALD (mereka mempunyai alas yang sama AD, dan tingginya berbeda 2 kali), yang selanjutnya sama dengan setengah luas segitiga ΔAKD, sehingga setengah luas segitiga ΔACD. Jadi, luas segitiga ΔAHD sama dengan seperempat luas segitiga ΔACD. Demikian pula luas segitiga ΔDRB sama dengan seperempat luas segitiga ΔDFB. Jadi, luas segitiga ΔAHD dan ΔDRB jika digabungkan sama dengan seperempat luas segitiga ΔADB. Mengulangi operasi ini ketika diterapkan pada segmen AH, HD, DR dan RB akan memilih segitiga dari segmen tersebut, yang luasnya jika digabungkan akan 4 kali lebih kecil dari luas segitiga AHD dan DRB jika digabungkan, dan oleh karena itu 16 kali lebih kecil dari luas segitiga ADB. Dan seterusnya:
Dengan demikian, Archimedes membuktikan bahwa “setiap ruas antara garis lurus dan parabola merupakan empat pertiga segitiga yang mempunyai alas dan tinggi yang sama”.
