Definisi dasar deret bilangan. Tanda-tanda konvergensi deret bilangan. Misalkan diberikan dua deret tanda positif

Contoh 8. Diberikan suatu deret

Selidiki konvergensinya pada titik-titik X= 1 dan X= 3, X= -2.

Jika x = 1 maka deret tersebut berubah menjadi deret bilangan

.

Mari kita selidiki konvergensi deret ini menggunakan kriteria D'Alembert. Kita punya

itu. deret tersebut menyatu.

Untuk x = 3 kita mendapatkan deretnya

Yang menyimpang karena kriteria yang diperlukan untuk konvergensi suatu deret tidak terpenuhi

Untuk x = -2 kita peroleh

Ini adalah deret bolak-balik, yang menurut kriteria Leibniz, konvergen.

Jadi, pada poin-poin X= 1 dan X= -2. deret tersebut konvergen dan pada suatu titik X= 3 menyimpang.

Perluasan fungsi dasar dalam deret Maclaurin:

Dekat Taylor untuk fungsi f(x) disebut deret pangkat dari bentuk tersebut

Dll. – pengetahuan paling minim tentang seri angka. Perlu dipahami apa itu deret, mampu mendeskripsikannya secara detail dan tidak melebarkan mata setelah kalimat “deret konvergen”, “deret divergen”, “jumlah deret”. Oleh karena itu, jika mood Anda sedang benar-benar nol, silakan luangkan waktu 5-10 menit untuk artikel ini Baris untuk boneka(secara harfiah 2-3 halaman pertama), lalu kembali lagi ke sini dan jangan ragu untuk mulai memecahkan contoh!

Perlu dicatat bahwa dalam banyak kasus, menemukan jumlah suatu deret tidaklah mudah, dan masalah ini biasanya dapat diselesaikan seri fungsional (kita akan hidup, kita akan hidup :)). Jadi, misalnya jumlah artis populer keluaran melalui Seri Fourier. Dalam hal ini, dalam praktiknya hampir selalu diperlukan instalasi fakta konvergensi, tetapi tidak untuk menemukan nomor tertentu (banyak, menurut saya, sudah memperhatikan ini). Namun, di antara banyaknya variasi seri angka, ada beberapa perwakilan yang memungkinkan teko teh penuh menyentuh tempat maha suci tanpa masalah. Dan pada pelajaran pendahuluan saya memberikan contoh barisan geometri yang menurun tak terhingga , yang besarnya mudah dihitung menggunakan rumus sekolah yang terkenal.

Pada artikel ini kita akan terus mempertimbangkan contoh-contoh serupa, selain itu, kita akan mempelajari definisi ketat dari suatu penjumlahan dan sepanjang jalan kita akan mengenal beberapa sifat deret. Mari kita melakukan pemanasan... dan mari kita lakukan pemanasan sesuai perkembangannya:

Contoh 1

Temukan jumlah serinya

Larutan: Bayangkan deret kita sebagai penjumlahan dari dua deret:

Mengapa di dalam Apakah mungkin melakukan ini? Tindakan yang dilakukan didasarkan pada dua pernyataan sederhana:

1) Jika deret tersebut konvergen , maka deret yang terdiri dari jumlah atau selisih suku-suku yang bersesuaian juga akan konvergen: . Dalam hal ini, fakta penting yang sedang kita bicarakan berkumpul baris. Dalam contoh kita, kita kita tahu sebelumnya, bahwa kedua barisan geometri akan konvergen, yang berarti, tanpa ragu, kita menguraikan deret aslinya menjadi dua baris.

2) Properti kedua bahkan lebih jelas. Konstanta dapat dipindahkan ke luar deret: , dan ini tidak akan mempengaruhi konvergensi atau divergensinya dan jumlah akhirnya. Mengapa mengeluarkan konstanta? Ya, supaya dia “tidak menghalangi”. Namun terkadang ada baiknya jika tidak melakukan hal ini

Contoh bersihnya terlihat seperti ini:

Kita menggunakan rumus ini dua kali untuk mencari jumlah suatu barisan geometri yang menurun tak terhingga: , dimana adalah suku pertama barisan tersebut, adalah basis barisan tersebut.

Menjawab: jumlah seri

Permulaan solusi dapat dirancang dengan gaya yang sedikit berbeda - tulis deret secara langsung dan atur ulang anggotanya:

Lebih jauh di sepanjang jalur yang dilalui.

Contoh 2

Temukan jumlah serinya

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Tidak ada kesenangan khusus di sini, tetapi suatu hari saya menemukan serial tidak biasa yang dapat mengejutkan orang yang tidak berpengalaman. Ini... juga merupakan perkembangan geometri yang menurun tanpa batas! Memang, jumlahnya dihitung hanya dalam beberapa saat: .

Dan sekarang nafas analisis matematis yang memberi kehidupan, yang diperlukan untuk memecahkan masalah lebih lanjut:

Berapakah jumlah suatu deret?

Definisi ketat tentang konvergensi/divergensi dan jumlah deret dalam teori diberikan melalui apa yang disebut jumlah sebagian baris. Parsial artinya tidak lengkap. Mari kita tuliskan jumlah parsial suatu deret bilangan :

Dan jumlah sebagian dari anggota seri “en” memainkan peran khusus:

Jika limit jumlah parsial suatu deret bilangan sama dengan terakhir nomor: , maka deret tersebut disebut konvergen, dan nomor itu sendiri adalah jumlah seri. Jika limitnya tidak terhingga atau tidak ada maka disebut deret berbeda.

Mari kita kembali ke baris demo dan tuliskan jumlah sebagiannya:

Limit jumlah parsial adalah barisan geometri yang menurun tak terhingga, yang jumlahnya sama dengan: . Kami melihat batasan serupa dalam pelajaran tentang urutan angka. Sebenarnya rumus itu sendiri merupakan konsekuensi langsung dari perhitungan teoritis di atas (lihat Matan jilid ke-2).

Jadi, itu ditarik algoritma umum untuk memecahkan masalah kita: perlu menyusun jumlah parsial ke-n dari deret tersebut dan mencari limitnya. Mari kita lihat bagaimana hal ini dilakukan dalam praktiknya:

Contoh 3

Menghitung jumlah suatu deret

Larutan: pada langkah pertama Anda perlu menguraikan suku umum deret tersebut ke jumlah pecahan. Kita gunakan metode koefisien tidak pasti:

Sebagai akibat:

Sekaligus Hal ini berguna untuk melakukan yang sebaliknya, sehingga memeriksa:

Suku umum deret tersebut diperoleh dalam bentuk aslinya, sehingga penguraian menjadi penjumlahan pecahan berhasil dilakukan.

Sekarang mari kita buat penjumlahan sebagian dari deret tersebut. Pada umumnya hal ini dilakukan secara lisan, namun sekali lagi saya akan uraikan sedetail mungkin apa asalnya:

Cara penulisannya sudah jelas, tapi suku sebelumnya sama dengan apa? Dalam istilah umum deret tersebut ALIH-ALIH Kami mengganti "en":

Hampir semua ketentuan jumlah parsial berhasil dibatalkan:


Kami membuat catatan seperti itu dengan pensil di buku catatan. Sangat nyaman.

Tetap menghitung batas dasar dan mencari tahu jumlah deretnya:

Menjawab:

Seri serupa untuk solusi independen:

Contoh 4

Menghitung jumlah suatu deret

Contoh perkiraan solusi akhir di akhir pelajaran.

Jelasnya, menemukan jumlah suatu deret merupakan bukti konvergensinya (selain itu tanda perbandingan, D'Alembert, Cauchy dll.), yang, khususnya, ditunjukkan oleh kata-kata dari tugas berikut:

Contoh 5

Temukan jumlah suatu deret atau tentukan divergensinya

Dari penampilan anggota biasa, kamu bisa langsung tahu bagaimana perilaku kawan ini. Tidak ada kerumitan. Dengan menggunakan kriteria pembatas untuk perbandingan Sangat mudah untuk mengetahui (bahkan secara lisan) bahwa deret ini akan menyatu dengan deret tersebut. Namun kami memiliki kasus yang jarang terjadi ketika jumlahnya juga dihitung tanpa banyak kesulitan.

Larutan: Mari kita perluas penyebut pecahan menjadi suatu hasil kali. Untuk melakukan ini, Anda perlu memutuskan persamaan kuadrat:

Dengan demikian:

Lebih baik menyusun faktor-faktor dalam urutan menaik: .

Mari kita lakukan pemeriksaan perantara:

OKE

Jadi, suku umum deret tersebut adalah:

Dengan demikian:

Jangan malas:

Itu yang perlu diperiksa.

Mari kita tuliskan sebagian jumlah "en" dari anggota deret tersebut, sambil memperhatikan fakta bahwa "penghitung" deret tersebut "mulai bekerja" dari bilangan tersebut. Seperti pada contoh sebelumnya, lebih aman meregangkan ular kobra hingga cukup panjang:

Namun jika kita menuliskannya dalam satu atau dua baris, masih akan cukup sulit untuk mengetahui singkatan istilahnya (ada 3 di setiap istilah). Dan di sini... geometri akan membantu kita. Mari kita buat ular itu menari mengikuti irama kita:

Ya, begitu saja kita menulis satu istilah di bawah istilah lainnya di buku catatan dan mencoretnya begitu saja. Ngomong-ngomong, penemuanku sendiri. Seperti yang Anda pahami, bukan tugas termudah dalam hidup ini =)

Sebagai hasil dari semua pengurangan yang kami peroleh:

Dan terakhir, jumlah deretnya:

Menjawab:

Contoh 8

Menghitung jumlah suatu deret

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri.

Masalah yang sedang dipertimbangkan, tentu saja, tidak menyenangkan kita dengan keragamannya - dalam praktiknya, kita menghadapi deret geometri yang menurun tak terhingga atau deret dengan suku persekutuan rasional pecahan dan polinomial yang dapat didekomposisi pada penyebutnya (omong-omong, tidak setiap polinomial seperti itu memungkinkan untuk menemukan jumlah deret tersebut). Namun, bagaimanapun, terkadang ada spesimen yang tidak biasa, dan menurut tradisi baik yang sudah ada, saya mengakhiri pelajaran dengan beberapa masalah yang menarik.

Untuk menghitung jumlah suatu deret, Anda hanya perlu menambahkan elemen baris beberapa kali. Misalnya:

Pada contoh di atas, hal ini dilakukan dengan sangat sederhana, karena harus dijumlahkan beberapa kali. Namun bagaimana jika batas atas penjumlahannya adalah tak terhingga? Misalnya, jika kita perlu mencari jumlah deret berikut:

Dengan analogi dengan contoh sebelumnya, kita dapat menulis jumlah ini seperti ini:

Tapi apa yang harus dilakukan selanjutnya?! Pada tahap ini perlu dilakukan pengenalan konsep jumlah sebagian dari deret tersebut. Jadi, jumlah sebagian dari deret tersebut(dilambangkan S n) adalah jumlah n suku pertama deret tersebut. Itu. dalam kasus kami:

Maka jumlah deret aslinya dapat dihitung sebagai limit dari jumlah parsial:

Jadi, untuk menghitung jumlah suatu deret, entah bagaimana perlu menemukan ekspresi untuk jumlah parsial deret tersebut (S n ). Dalam kasus khusus kita, deret tersebut adalah deret geometri menurun dengan penyebut 1/3. Seperti yang Anda ketahui, jumlah n elemen pertama suatu barisan geometri dihitung dengan rumus:

di sini b 1 adalah elemen pertama dari barisan geometri (dalam kasus kami adalah 1) dan q adalah penyebut dari barisan tersebut (dalam kasus kami 1/3). Oleh karena itu, jumlah parsial S n untuk deret kita sama dengan:

Maka jumlah deret kita (S) menurut definisi di atas adalah sama dengan:

Contoh yang dibahas di atas cukup sederhana. Biasanya, menghitung jumlah suatu deret jauh lebih sulit dan kesulitan terbesar terletak pada mencari jumlah parsial deret tersebut. Kalkulator online yang disajikan di bawah ini, dibuat berdasarkan sistem Wolfram Alpha, memungkinkan Anda menghitung jumlah deret yang cukup rumit. Selain itu, jika kalkulator tidak dapat menemukan jumlah suatu deret, kemungkinan besar deret tersebut divergen (dalam hal ini kalkulator menampilkan pesan seperti “jumlah divergen”), yaitu. Kalkulator ini juga secara tidak langsung membantu untuk mendapatkan gambaran konvergensi suatu deret.

Untuk mencari jumlah deret, Anda perlu menentukan variabel deret tersebut, batas bawah dan atas penjumlahan, serta ekspresi suku ke-n deret tersebut (yakni ekspresi sebenarnya dari deret itu sendiri) .

Jumlah suatu deret hanya dapat dihitung jika deret tersebut konvergen. Jika deret tersebut divergen, maka jumlah deret tersebut tidak terhingga dan tidak ada gunanya menghitung apa pun. Di bawah ini adalah contoh praktik mencari jumlah suatu deret yang ditanyakan di Universitas Nasional Ivan Franko Lviv. Tugas untuk deret tersebut dipilih agar kondisi konvergensi selalu terpenuhi, tetapi kami akan melakukan pemeriksaan konvergensi. Artikel ini dan artikel berikutnya merupakan solusi terhadap pengujian analisis deret.

Contoh 1.4 Hitung jumlah baris:
A)
Perhitungan: Karena batas suku persekutuan suatu deret pada bilangan berikutnya hingga tak terhingga adalah 0

maka deret ini konvergen. Mari kita hitung jumlah deretnya. Untuk melakukan ini, kita mengubah suku umum dengan menguraikannya menjadi pecahan sederhana tipe I dan II. Cara penguraian menjadi pecahan sederhana tidak akan diberikan di sini (dijelaskan dengan baik saat mengintegrasikan pecahan), tetapi kami hanya akan menuliskan bentuk akhir penguraiannya.

Berdasarkan hal tersebut, kita dapat menuliskan jumlah melalui jumlah deret yang dibentuk dari pecahan sederhana, kemudian dari selisih jumlah deret tersebut.

Selanjutnya, kita menulis setiap baris menjadi jumlah eksplisit dan menyorot suku-sukunya (menggarisbawahi) yang akan berubah menjadi 0 setelah penjumlahan. Jadi, jumlah deret tersebut akan disederhanakan menjadi jumlah 3 suku (ditunjukkan dengan warna hitam), sehingga menghasilkan 33/40.

Seluruh bagian praktis dalam mencari jumlah deret sederhana didasarkan pada hal ini.
Contoh deret kompleks direduksi menjadi jumlah deret dan deret yang menurun tak terhingga, yang ditemukan melalui rumus yang sesuai, tetapi kami tidak akan membahas contoh tersebut di sini.
B)
Perhitungan: Tentukan limit suku ke-n dari jumlah tersebut

Itu sama dengan nol, oleh karena itu deret yang diberikan konvergen dan masuk akal untuk mencari jumlahnya. Jika batasnya bukan nol, maka jumlah deret tersebut sama dengan tak terhingga dengan tanda plus atau minus.
Mari kita cari jumlah deretnya. Caranya, kita ubah suku persekutuan suatu deret, yaitu pecahan, menggunakan metode koefisien tak tentu menjadi jumlah pecahan sederhana tipe I.

Selanjutnya, sesuai dengan instruksi yang diberikan sebelumnya, kita menulis jumlah deret tersebut melalui jumlah pecahan sederhana yang bersesuaian

Kami menuliskan jumlahnya dan memilih suku-suku yang akan menjadi 0 jika dijumlahkan.

Hasilnya, kita mendapatkan jumlah beberapa suku (disorot dengan warna hitam) yang sama dengan 17/6.

Contoh 1.9 Carilah jumlah deret tersebut:
A)
Komputasi: Menghitung batasan

Kami memastikan bahwa deret ini konvergen dan kami dapat menemukan jumlahnya. Selanjutnya, kita menguraikan penyebut fungsi dari bilangan n menjadi faktor sederhana, dan mengubah seluruh pecahan menjadi jumlah pecahan sederhana tipe I

Selanjutnya kita tuliskan jumlah deret tersebut sesuai dengan jadwal dalam dua suku sederhana

Kami menulis deret tersebut secara eksplisit dan memilih suku-suku yang, setelah penjumlahan, akan berjumlah nol. Suku-suku yang tersisa (disorot dengan warna hitam) mewakili jumlah akhir deret tersebut

Jadi, untuk mencari jumlah suatu deret, dalam praktiknya perlu mereduksi 3 pecahan sederhana menjadi penyebut yang sama.
B)
Perhitungan: Batas suatu suku deret cenderung nol untuk nilai bilangan yang besar

Oleh karena itu, deret tersebut konvergen dan jumlahnya berhingga. Mari kita cari jumlah deret tersebut; untuk melakukannya, pertama-tama kita menguraikan suku umum deret tersebut menjadi tiga tipe paling sederhana menggunakan metode koefisien tak tentu

Dengan demikian, jumlah deret tersebut dapat diubah menjadi penjumlahan tiga deret sederhana

Selanjutnya kita mencari suku-suku pada ketiga penjumlahan tersebut, yang setelah dijumlahkan akan berubah menjadi nol. Dalam deret yang memuat tiga pecahan sederhana, salah satunya menjadi nol jika dijumlahkan (disorot dengan warna merah). Ini berfungsi sebagai semacam petunjuk dalam perhitungan

Jumlah deret tersebut sama dengan jumlah 3 suku dan sama dengan satu.

Contoh 1.15 Hitung jumlah deretnya:
A)

Perhitungan: Jika suku umum suatu deret cenderung nol

deret ini menyatu. Mari kita ubah suku umum sedemikian rupa sehingga mendapatkan jumlah pecahan paling sederhana

Selanjutnya deret tertentu, menurut rumus jadwal, ditulis melalui penjumlahan kedua deret tersebut

Setelah ditulis secara eksplisit, sebagian besar suku deret tersebut akan menjadi sama dengan nol sebagai hasil penjumlahan. Yang tersisa hanyalah menghitung jumlah ketiga suku tersebut.

Jumlah deret bilangan tersebut adalah -1/30.
B)
Perhitungan: Karena batas suku persekutuan suatu deret adalah nol,

maka deret tersebut konvergen. Untuk mencari jumlah suatu deret, kita menguraikan suku persekutuannya menjadi pecahan-pecahan yang paling sederhana.

Saat menguraikan, metode koefisien yang tidak ditentukan digunakan. Kami menuliskan jumlah seri dari jadwal yang ditemukan

Langkah selanjutnya adalah memilih suku-suku yang tidak memberikan kontribusi apa pun terhadap jumlah akhir dan sisanya

Jumlah deretnya adalah 4,5.

Contoh 1.25 Hitung jumlah baris:
A)


Karena sama dengan nol maka deret tersebut konvergen. Kita dapat mencari jumlah deret tersebut. Untuk melakukan ini, sesuai dengan skema contoh sebelumnya, kami memperluas suku umum deret tersebut melalui pecahan sederhana

Hal ini memungkinkan Anda untuk menulis deret melalui jumlah deret sederhana dan, dengan menyorot suku-suku di dalamnya, menyederhanakan penjumlahannya.

Dalam hal ini, akan tersisa satu suku yang sama dengan satu.
B)
Perhitungan: Mencari batas suku persekutuan suatu deret

dan pastikan deret tersebut konvergen. Selanjutnya, kita menguraikan suku umum deret bilangan dengan menggunakan metode koefisien tak tentu menjadi pecahan yang paling sederhana.

Dengan menggunakan pecahan yang sama kita menulis jumlah deretnya

Kita tuliskan deretnya secara eksplisit dan sederhanakan menjadi jumlah 3 suku

Jumlah deret tersebut adalah 1/4.
Ini melengkapi pengenalan skema penjumlahan seri. Deret yang direduksi menjadi jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga, mengandung faktorial, ketergantungan pangkat, dan sejenisnya belum dibahas di sini. Namun materi yang disampaikan akan bermanfaat bagi siswa dalam kuis dan kuis.

Seri, dalam matematika

1. Definisi. R. adalah barisan unsur-unsur yang tersusun menurut suatu hukum. Jika suatu rumus diberikan, berarti telah ditunjukkan suatu hukum yang dengannya dimungkinkan untuk menyusun unsur-unsur rumus sebanyak yang diinginkan berdasarkan sifat-sifat unsur, rumus bilangan, rumus fungsi , dan rumusan tindakannya dibedakan. Mari kita berikan beberapa contoh.

1, 2, 3, 4,..., n,...

ada R. bilangan asli;

1, 4, 9, 16,..., P 2 ...

R.kotak;

a 0, a 1 x, a 2 a 2,..., a n x n,...

R. fungsi daya atau daya R.

1, x, x 2 /(1.2), x 3 /(1.2.3),... x n /(1.2...n),...

0, x, x 2 /2, x 3 /3, x 4 /4... (-1) n-1 x n /n..

Untuk menghitung nilai numerik dari ekspresi tertentu, perlu dilakukan tindakan R.. Misalnya.

√[(35 - 3)/2] = √ = √16 = 4.

Dengan bantuan tindakan R., pembagi terbesar dari dua bilangan tertentu ditemukan.

R. kamu 0 , kamu 1 , kamu 2 ,... kamu N...

nama tak berujung, jika setelah elemen apa pun kamu k ada elemen kamu k+1 ; jika tidak, R. dipanggil. terakhir. Misalnya.

1. 2, 3,... 9, 10

ada R akhir karena tidak ada elemen setelah elemen 10.

2. Bilangan yang ditentukan oleh suatu deret.

Yang paling penting adalah rangkaian bentuk yang tak ada habisnya

(1)... A 1 /10, A 2 /10 2 , ... dan N/10N,...,

Di mana A 1 , A 2 , A 3 , ... dan N,... bilangan bulat positif, A 0 sebesar yang Anda suka; masing-masing nomor lainnya A 1 , A 2 , A 3 , ... kurang dari 10. Deret seperti itu dapat disebut bilangan, karena deret ini dapat dibandingkan dengan bilangan rasional (lihat), maka dimungkinkan untuk menetapkan konsep persamaan, jumlah, perkalian, selisih, dan hasil bagi dari bilangan tersebut. seri.

Untuk singkatnya, kami menyatakan R. (1) dengan satu huruf A.

Mereka mengatakan itu dan banyak lagi bilangan rasional P/Q, jika untuk jumlah yang cukup besar N ada ketimpangan

A 0 + A 1 /10 + A 2 /10 2 +... + A n /10 n > P/Q

Jika bagaimanapun juga N

A 0 + A 1 /10 + A 2 /10 2 +... + A n /10 n tidak > P/Q

tapi bila cukup besar N

A 0 + A 1 /10 + A 2 /10 2 +... + A n /10 n > R/S

Di mana r/s angka sembarang yang kurang dari P/Q, lalu mereka mempertimbangkan dan sama dengan hal/Q.

Atas dasar itu R.

9/10, 9/10 2 , 9/10 3 ,...

sama dengan satu. Persamaan ini dilambangkan sebagai berikut: 0, 999... = 1.

Jika A tidak sama dengan 9, tetapi semua angka berikutnya

sebuah k +1 , sebuah k +2 , sebuah k+3 ,... sama dengan 9, lalu bilangan tersebut A, didefinisikan oleh R. (1), sama dengan

A 0 + A 1 /10 + A 2 /10 2 +... + (A k + 1)/10k .

Jika tidak semua angka A k+1 , A k+2 , A k+3 ...sama dengan 9, kalau begitu

A = A 0 + A 1 /10 + A 2 /10 2 +... + A k /10k

Bisa jadi semua elemen deret (1), dimulai dengan A k+1 , sama dengan nol. Dalam hal ini sesuai dengan definisi yang disebutkan

A sebuah 0+ A 1 /10 + A 2 /10 2 +... + (A k +1)/10k

Nomor seperti ini disebut. pecahan desimal akhir.

Dari aritmatika diketahui bahwa jika suatu pecahan biasa diubah menjadi desimal, diperoleh pecahan berhingga atau pecahan periodik tak hingga. Setiap pecahan desimal periodik dapat diubah menjadi pecahan. Oleh karena itu, pecahan desimal non-periodik tak hingga tidak dapat sama dengan bilangan rasional dan oleh karena itu mewakili bilangan dari jenis khusus, yang disebut irasional(cm.).

3. Konvergensi dan divergensi deret. R.angka

(2)... kamu 0 , kamu 1 , kamu 2 ,... kamu n,...

ditelepon konvergen, jika nomor tersebut ada A(rasional atau irasional), yang bila meningkat N nilai numerik selisihnya

A - (kamu 0 + kamu 1 + kamu 2 +... kamu tidak- 1)

menjadi dan tetap sekecil yang diinginkan. Jumlah seperti itu A ditelepon jumlah R. Dalam hal ini mereka menulis

(3)... A = kamu 0 + kamu 1 + kamu 2 +...

dan ini disebut kesetaraan. penguraian angka A hingga R tak terhingga. Jika bilangan tersebut A tidak ada, maka R. (2) dipanggil. berbeda.

Contoh paling penting dari barisan konvergen diwakili oleh barisan geometri (lihat).

1, q, q 2 ,...,

penyebutnya Q nilai numerik kurang dari satu. Dalam hal ini terjadi dekomposisi

1/(1 - Q) = 1 + Q + Q 2 +...

Contoh R. divergen adalah

1/1, 1/2, 1/3,...

1 + 1/2 + 1/3 +...

tidak masuk akal.

Jika kita mengambil suku-suku persamaan harmonik secara bergantian dengan tanda + dan -, kita memperoleh persamaan yang konvergen

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +...

sama dengan logaritma 2 yang diambil sebagai basis e(cm.).

Tanpa dapat memaparkan secara rinci tanda-tanda konvergensi, kita hanya memperhatikan teorema berikut ini.

Suatu R. konvergen jika R. modul (lihat) anggotanya konvergen.

R. ay 0 , -ay 1 , ay 2 , -v 3 ...,

di mana angkanya ay 0 ,v 1 , ay 2 ,v 3 ... positif, konvergen, jika bertambah N

lim vn = 0.

R. dengan anggota positif

kamu 0 , kamu 1 , kamu 2 ,..., kamu n,...

konvergen jika

batas(kamu n + 1)/kamu n

batas(kamu n + 1)/kamu n > 1

Jika untuk R. dengan suku positif

Tetapi, Dan 0 , Dan 1 , kamu 2 , .., dan N...

sikap

batas(kamu n + 1)/kamu n = 1 - R/n+θ (N) /tidak,

Di mana R tidak bergantung pada N, α > 1 dan θ ( N) dalam nilai numerik tetap kurang dari suatu bilangan positif, maka R. konvergen di R> 1 dan divergen untuk r kurang dari atau = 1 (Tannery, "Introduction à la theory des fonctions d"une variabel", hal. 84).

4. Konvergensi bersyarat dan absolut. Jika R.(4) ay 0 , ay 1 , ay 2 ,... ay,...

konvergen, tetapi R. modulus anggotanya divergen, maka dikatakan R. (4) konvergen bersyarat. Misalnya.

1, -1/2, 1/3, -1/4,...

R.disebut benar-benar konvergen, jika R. moduli anggotanya konvergen.

Jumlah persamaan konvergen bersyarat berubah seiring dengan perubahan urutan anggota-anggotanya. Misalnya.

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +... = log2,

tapi 1 - 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/6 - 1/8 +...

1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 +.... = 1/2 log 2.

Jumlah persamaan konvergen mutlak tidak bergantung pada orde suku-sukunya.

Jika angkanya A Dan B terurai menjadi R yang benar-benar konvergen.

A = A 0 + A 1 + A 2 +.....,

B = B 0 + B 1 + B 2 +..... .,

A 0 B 0 , A 0 B 1 + A 1 B 0 , A 0 B 2 + A 1 B 2 + A 2 B 0 ,...

benar-benar konvergen dan, sebagai tambahan,

A 0 B 0 + (A 0 B 1 + A 1 B 0) + (A 0 B 2 + A 1 B 2 + A 2 B 0) +... = ab.

5. Konvergensi seragam. Misalkan R diberikan.

(5)... F 0 (X), F 1 (X), F 2 (X), ..., fn(X), ...

yang anggotanya merupakan fungsi dari satu variabel X, yang dapat mengambil nilai nyata dan imajiner (lihat). Kumpulan nilai X, yang R. ini konvergen, membentuk apa yang disebut daerah konvergensi.

R.1, X, 1.2X 2 , 1.2.3X 3 ,...... .,

konvergen hanya di X = 0.

R.1, X, (1/2 + 1.2X 2), (1/3 + 1.2.3X 3),...

berbeda untuk siapa pun X.

R.1, X/ 1, (X 2 /1.2), (X 3 /1.2.3),...

mengumpulkan untuk nilai apa pun X. Jika daya R.α 0, α 1 X,α 2 X 2 ,...

mengumpulkan pada nilai tertentu X, tidak sama dengan nol, maka ini R. konvergensi. dan dalam setiap kasus X, yang modulusnya kurang dari angka tertentu R. Jika kita menggunakan representasi geometri besaran imajiner (lihat), maka kita dapat mengatakan bahwa daerah konvergensi R ini adalah lingkaran berjari-jari R.

Contohnya adalah barisan geometri

1, X, X 2 , X 3 ,...., yang jari-jarinya lingkaran konvergensi sama dengan satu.

Jika X milik area berkumpul. R. (5), lalu untuk apa saja N, lebih besar dari angka tertentu T

mod [ fn(X) + fn+ 1 (X) + fn+ 2 (X) +...]

Sama sekali T tergantung pada X dan dari ε, tetapi mungkin saja, dalam kasus khusus, hal itu T hanya bergantung pada ε jika nilainya X milik suatu daerah (S). Dalam hal ini, R. (5) disebut. konvergen seragam di wilayah tersebut (S).

Misalnya, pertimbangkan R.

(6)... (1 - X), X (1 - X), X 2 (1 - X)....

terbatas pada nilai-nilai nyata dan positif X.

Agar tidak terjadi ketimpangan

(7)... xn(1 - X) +xn+ 1 (1 - X) +...xn

perlu mengambil N> Catatan ε /Catatan X

Selanjutnya, dalam kasus yang sedang dipertimbangkan

T= Catatan ε /Catatan X.

Seperti yang kita lihat, T tergantung pada X. Tidak peduli seberapa besarnya M, ada nilai seperti itu X dalam interval (0, 1), pertidaksamaan (7) tersebut tidak akan terpenuhi untuk apapun N, lagi T. Jika X= 1, maka pertidaksamaan (7) terpenuhi bila n lebih besar dari atau = 1

Mari kita berpura-pura seperti itu

T= Log ε /Log (1 - α) dan n lebih besar dari atau = m

Melacak. R. (6) keturunan seragam. dalam interval (0, 1 - ).

Jika suku-suku deret tersebut berada pada daerah konvergensi seragam

F 0 (X), F 1 (X), F 2 (X)...

adalah fungsi kontinu dari X, maka jumlah dari R. ini adalah fungsi kontinu (lihat Diskontinuitas).

Menurun secara merata. R. dapat diintegrasikan atau dibedakan istilah demi istilah.

Kekuatan R.

A 0 , A 1 x, sebuah 2 X 2 ...

mempunyai konvergensi seragam dalam lingkaran konvergensi.

6. Perluasan fungsi menjadi seri. Berikut ini kita asumsikan bahwa variabel bebasnya nyata. Dengan menggunakan rumus Maclaurin (lihat), diperoleh pemuaian berikut:

(rumus ini berlaku untuk semua X).

Untuk menghitung, misalnya cos 2° menggunakan rumus (9), sebagai ganti X substitusikan perbandingan jari-jari panjang busur yang mengandung 2 derajat.

Memberitahukan. (11) logaritma diambil di pangkalan e. Formulir ini. tidak nyaman untuk menghitung logaritma, karena perlu mengambil banyak suku R untuk mendapatkan akurasi yang kecil sekalipun. Rumus 13 lebih mudah untuk dihitung, karena diturunkan dari rumus (11), dengan asumsi

(1 + X)/(1 - X) = (a + z)/z

dalam perluasan fungsi log(1 + X) - catatan(aku - X).

Percaya A = 1, z= 1, cari log2;

" A = 1, z= 1,"log5;

a + z = 3 4 , A= 80,"log3;

A + z = 7 4 , A= 2400,"log7;

Mengalikan logaritma natural yang ditemukan dari bilangan-bilangan ini dengan

M= 1/log10 = 0,43429 44819 03251 82765...,

kita memperoleh logaritma biasa (basis 10) dari bilangan yang sama (lihat).

Membentuk. (12) berlaku untuk X= 1 jika M> -1, dan kapan X= -1 jika M> 0 (Abel, "Oeuvres complètes", 1881, hal. 245).

Dengan menggunakan pembagian langsung, fungsi rasional diperluas menjadi fungsi pangkat. Anda juga dapat menggunakan metode koefisien tak tentu untuk tujuan ini. Dengan asumsi, misalnya.

1/(1 + 2T + 5T 3 + 3T 3) = kamu 0 + kamu 1 T + kamu 2 T 2 + kamu 3 T 3 +...,

kamu 0 = 1, kamu 1 + 2kamu 0 = 0, kamu 2 + 2kamu 1 + 5kamu 0 = 0,

kamu 3 + 2kamu 2 + 5 pada 1 + 3 pada 0 = 0,

kamu 4 + 2kamu 3 + 5 pada 2 + 3 pada 1 = 0, dst.

R.koefisien y 0, pada 1 , y 2 ... memiliki sifat empat koefisien berurutan. dihubungkan oleh relasi tersebut kamu n +3 + 2kamu n +2 + 5 kamu n +1 + 3 kamu n = 0.

R. semacam ini disebut. dapat dikembalikan. Dari persamaan tertulis, y 0 ditentukan secara berurutan, pada 1 , kamu 2 ...

Perluasan suatu fungsi tertentu di R. dapat dicari dengan menggunakan kalkulus integral jika pemuaian turunannya di R. diketahui. Dengan cara ini kita memperoleh dekomposisi

(14)... busur tg X = X - (X 3 /3) + (X 5 /5) -...

(15)... busur dosa X = X/1 + 1/2(x 3/3) + (1.2/2.4)(x 5/5) +...

valid untuk nilai X, memenuhi persyaratan

R. (14) menggunakan rumus Machin

π /4 = 4 busur tg(1/5) - busur tg(1/239)

memungkinkan untuk menghitung π dengan sangat cepat dengan banyak tempat desimal. Dengan cara ini, Shanks menghitung π dengan 707 tempat desimal. Pembagian fungsi menjadi fungsi trigonometri dan perluasan fungsi elips akan disajikan selanjutnya.

Kamus Ensiklopedis F.A. Brockhaus dan I.A. Efron. - Sankt Peterburg: Brockhaus-Efron. 1890-1907 .

Lihat apa itu "Seri dalam matematika" di kamus lain:

SERI, deret tak hingga, suatu ekspresi yang anggotanya adalah a1, a2,..., an,... bilangan (deret numerik) atau fungsi (deret fungsional). Jika jumlah n suku pertama deret tersebut (jumlah parsial): Sn= a1+ a2+ ... + an dengan kenaikan n yang tidak terbatas cenderung... ... kamus ensiklopedis

Isi. 1) Definisi. 2) Suatu bilangan ditentukan oleh suatu deret. 3) Konvergensi dan divergensi deret. 4) Konvergensi bersyarat dan absolut. 5) Konvergensi seragam. 6) Perluasan fungsi menjadi seri. 1. Definisi. R. adalah barisan unsur... ... Kamus Ensiklopedis F.A. Brockhaus dan I.A. Efron

Memiliki beberapa arti: Baris adalah kumpulan benda-benda homogen dan sejenis yang disusun dalam satu baris. Deret adalah kumpulan beberapa fenomena yang mengikuti satu sama lain dalam urutan tertentu. Sejumlah dari beberapa, sejumlah besar, misalnya “sejumlah negara” ... Wikipedia

Deret yang jumlahnya tak terhingga, misalnya berbentuk u1 + u2 + u3 +... + un +... atau singkatnya, . (1) Salah satu contoh barisan yang paling sederhana, yang sudah terdapat dalam matematika dasar, adalah jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga 1 + q + q 2 +... + q... ... Ensiklopedia Besar Soviet

Perluasan deret Taylor suatu fungsi menjadi jumlah fungsi pangkat yang tak terhingga. Nama deret ini diambil dari nama ahli matematika Inggris Brooke Taylor, meskipun deret Taylor telah dikenal jauh sebelum publikasi Taylor; deret ini digunakan pada abad ke-17 oleh Gregory, dan ... ... Wikipedia

Perluasan deret Taylor suatu fungsi menjadi jumlah fungsi pangkat yang tak terhingga. Nama deret ini diambil dari nama ahli matematika Inggris Taylor, meskipun deret Taylor telah dikenal jauh sebelum publikasi Taylor, deret ini digunakan pada abad ke-17 oleh Gregory dan juga oleh Newton; Baris... ... Wikipedia

Perluasan suatu fungsi menjadi jumlah fungsi pangkat yang tak terhingga. Nama deret ini diambil dari nama ahli matematika Inggris Taylor, meskipun deret Taylor telah dikenal jauh sebelum publikasi Taylor, deret ini digunakan pada abad ke-17 oleh Gregory dan juga oleh Newton; Seri Taylor... ... Wikipedia

Deret Möbius adalah deret fungsional yang bentuknya Deret ini dipelajari oleh Möbius, yang menemukan rumus inversi deret ini: di mana fungsi Möbius ... Wikipedia

I m. 1. Himpunan benda-benda homogen yang tersusun dalam satu garis. Ott. Berbaris dalam satu baris; garis. 2. Urutan tempat duduk secara linier dalam teater, bioskop, dll. Ott. Orang-orang yang menempati tempat-tempat tersebut. 3. Kios terletak dalam satu baris... Kamus penjelasan modern bahasa Rusia oleh Efremova

Buku

• Pengamat matematika dan penerapannya pada mekanika kuantum, relativitas dan matematika klasik, B. S. Hots, D. B. Hots. Buku ini menyajikan hasil penulis terkait Mathematics Observer (judul penulis Observer’s Mathematics). Matematika ini pertama kali diperkenalkan oleh penulis, dipelajari...