Temukan semua akar persamaan trigonometri. Persamaan trigonometri. Metode penyelesaian persamaan trigonometri

Untuk menyelesaikannya dengan sukses persamaan trigonometri nyaman untuk digunakan metode reduksi terhadap permasalahan yang telah dipecahkan sebelumnya. Mari kita cari tahu apa inti dari metode ini?

Dalam setiap masalah yang diusulkan, Anda perlu melihat masalah yang telah diselesaikan sebelumnya, dan kemudian, dengan menggunakan transformasi ekuivalen yang berurutan, cobalah untuk mengurangi masalah yang diberikan kepada Anda menjadi masalah yang lebih sederhana.

Jadi, ketika menyelesaikan persamaan trigonometri, mereka biasanya membuat barisan persamaan ekuivalen berhingga tertentu, yang mata rantai terakhirnya adalah persamaan dengan solusi yang jelas. Penting untuk diingat bahwa jika keterampilan menyelesaikan persamaan trigonometri paling sederhana tidak dikembangkan, maka menyelesaikan persamaan yang lebih kompleks akan sulit dan tidak efektif.

Selain itu, saat menyelesaikan persamaan trigonometri, jangan pernah lupa bahwa ada beberapa kemungkinan metode penyelesaian.

Contoh 1. Tentukan banyaknya akar persamaan cos x = -1/2 pada interval tersebut.

Larutan:

Metode I Mari kita gambarkan fungsi y = cos x dan y = -1/2 dan temukan jumlah titik persekutuannya pada interval tersebut (Gbr. 1).

Karena grafik fungsi memiliki dua titik persekutuan pada interval tersebut, persamaan tersebut mengandung dua akar pada interval tersebut.

metode II. Dengan menggunakan lingkaran trigonometri (Gbr. 2), kita mencari banyak titik yang termasuk dalam interval di mana cos x = -1/2. Gambar tersebut menunjukkan bahwa persamaan tersebut memiliki dua akar.

metode III. Dengan menggunakan rumus akar-akar persamaan trigonometri, kita selesaikan persamaan cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k – bilangan bulat (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k – bilangan bulat (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k – bilangan bulat (k € Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k – bilangan bulat (k € Z).

Intervalnya memuat akar-akar 2π/3 dan -2π/3 + 2π, k adalah bilangan bulat. Jadi, persamaan tersebut memiliki dua akar pada interval tertentu.

Jawaban: 2.

Di masa depan, persamaan trigonometri akan diselesaikan dengan menggunakan salah satu metode yang diusulkan, yang dalam banyak kasus tidak mengecualikan penggunaan metode lain.

Contoh 2. Tentukan banyaknya penyelesaian persamaan tg (x + π/4) = 1 pada interval [-2π; 2π].

Larutan:

Dengan menggunakan rumus akar-akar persamaan trigonometri, kita memperoleh:

x + π/4 = arctan 1 + πk, k – bilangan bulat (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k – bilangan bulat (k € Z);

x = πk, k – bilangan bulat (k € Z);

Interval [-2π; 2π] termasuk dalam bilangan -2π; -π; 0; π; 2π. Jadi, persamaan tersebut memiliki lima akar pada interval tertentu.

Jawaban: 5.

Contoh 3. Tentukan banyaknya akar persamaan cos 2 x + sin x · cos x = 1 pada interval [-π; π].

Larutan:

Karena 1 = sin 2 x + cos 2 x (identitas dasar trigonometri), persamaan aslinya berbentuk:

cos 2 x + sin x · cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x – dosa x cos x = 0;

sin x(sin x – cos x) = 0. Hasil kali sama dengan nol, artinya paling sedikit salah satu faktornya harus sama dengan nol, maka:

sin x = 0 atau sin x – cos x = 0.

Karena nilai variabel yang cos x = 0 bukan merupakan akar-akar persamaan kedua (sinus dan cosinus dari bilangan yang sama tidak boleh sama dengan nol pada waktu yang sama), kita membagi kedua ruas persamaan kedua. oleh karena x:

sin x = 0 atau sin x / cos x - 1 = 0.

Pada persamaan kedua kita menggunakan fakta bahwa tg x = sin x / cos x, maka:

sin x = 0 atau tan x = 1. Dengan menggunakan rumus kita mempunyai:

x = πk atau x = π/4 + πk, k – bilangan bulat (k € Z).

Dari deret akar pertama hingga interval [-π; π] milik angka -π; 0; π. Dari deret kedua: (π/4 – π) dan π/4.

Jadi, lima akar persamaan awal termasuk dalam interval [-π; π].

Jawaban: 5.

Contoh 4. Tentukan jumlah akar-akar persamaan tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 pada interval [-π; 1.1π].

Larutan:

Mari kita tulis ulang persamaannya sebagai berikut:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 dan lakukan penggantian.

Misalkan tg x + сtgx = a. Mari kita kuadratkan kedua ruas persamaan:

(tg x + сtg x) 2 = a 2 . Mari kita perluas tanda kurungnya:

tg 2 x + 2tg x · сtgx + сtg 2 x = a 2.

Karena tg x · сtgx = 1, maka tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2, artinya

tg 2 x + сtg 2 x = a 2 – 2.

Sekarang persamaan aslinya terlihat seperti:

sebuah 2 – 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Dengan menggunakan teorema Vieta, kita mengetahui bahwa a = -1 atau a = -2.

Mari kita lakukan substitusi terbalik, kita mendapatkan:

tg x + сtgx = -1 atau tg x + сtgx = -2. Mari selesaikan persamaan yang dihasilkan.

tg x + 1/tgx = -1 atau tg x + 1/tgx = -2.

Berdasarkan sifat dua bilangan yang saling invers kita menentukan bahwa persamaan pertama tidak mempunyai akar, dan dari persamaan kedua kita memperoleh:

tg x = -1, yaitu x = -π/4 + πk, k – bilangan bulat (k € Z).

Interval [-π; 1,1π] milik akar: -π/4; -π/4 + π. Jumlahnya:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Jawaban: π/2.

Contoh 5. Tentukan mean aritmatika dari akar-akar persamaan sin 3x + sin x = sin 2x pada interval [-π; 0,5π].

Larutan:

Mari kita gunakan rumus sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α – β)/2), maka

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x dan persamaannya menjadi

2sin 2x cos x = dosa 2x;

2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. Kita keluarkan faktor persekutuan sin 2x dari tanda kurung

sin 2x(2cos x – 1) = 0. Selesaikan persamaan yang dihasilkan:

sin 2x = 0 atau 2cos x – 1 = 0;

sin 2x = 0 atau cos x = 1/2;

2x = πk atau x = ±π/3 + 2πk, k – bilangan bulat (k € Z).

Jadi kita punya akar

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k – bilangan bulat (k € Z).

Selang waktu [-π; 0,5π] milik akar -π; -π/2; 0; π/2 (dari rangkaian akar pertama); π/3 (dari seri kedua); -π/3 (dari seri ketiga). Rata-rata aritmatikanya adalah:

(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.

Jawaban: -π/6.

Contoh 6. Tentukan banyaknya akar persamaan sin x + cos x = 0 pada interval [-1.25π; 2π].

Larutan:

Persamaan ini merupakan persamaan homogen derajat satu. Mari kita bagi kedua bagiannya dengan cosx (nilai variabel yang cos x = 0 bukan akar persamaan ini, karena sinus dan kosinus dari bilangan yang sama tidak bisa sama dengan nol pada saat yang bersamaan). Persamaan aslinya adalah:

x = -π/4 + πk, k – bilangan bulat (k € Z).

Interval [-1,25π; 2π] termasuk dalam akar -π/4; (-π/4 + π); dan (-π/4 + 2π).

Jadi, interval yang diberikan mengandung tiga akar persamaan.

Jawaban: 3.

Belajarlah untuk melakukan hal yang paling penting - bayangkan dengan jelas rencana untuk memecahkan suatu masalah, dan persamaan trigonometri apa pun akan berada dalam genggaman Anda.

Masih ada pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan persamaan trigonometri?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor, daftarlah.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Persamaan trigonometri bukanlah topik yang mudah. Mereka terlalu beragam.) Misalnya, ini:

dosa 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Dll...

Tapi monster trigonometri ini (dan semua lainnya) memiliki dua ciri umum dan wajib. Pertama - Anda tidak akan percaya - ada fungsi trigonometri dalam persamaan.) Kedua: semua ekspresi dengan x ditemukan dalam fungsi yang sama. Dan hanya di sana! Jika X muncul di suatu tempat di luar, Misalnya, sin2x + 3x = 3, ini sudah menjadi persamaan tipe campuran. Persamaan seperti itu memerlukan pendekatan individual. Kami tidak akan mempertimbangkannya di sini.

Kami juga tidak akan menyelesaikan persamaan jahat dalam pelajaran ini.) Di sini kami akan membahasnya persamaan trigonometri paling sederhana. Mengapa? Ya karena solusinya setiap persamaan trigonometri terdiri dari dua tahap. Pada tahap pertama, persamaan jahat direduksi menjadi persamaan sederhana melalui berbagai transformasi. Pada tahap kedua, persamaan paling sederhana ini terpecahkan. Tidak ada jalan lain.

Jadi, jika Anda mempunyai masalah pada tahap kedua, tahap pertama tidak masuk akal.)

Seperti apa persamaan trigonometri dasar?

sinx = a

karenax = a

tgx = a

ctgx = a

Di Sini A singkatan dari nomor apa pun. Setiap.

Ngomong-ngomong, di dalam suatu fungsi mungkin tidak ada X murni, tapi semacam ekspresi, seperti:

cos(3x+π /3) = 1/2

dll. Hal ini memperumit hidup, tetapi tidak mempengaruhi metode penyelesaian persamaan trigonometri.

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan trigonometri?

Persamaan trigonometri dapat diselesaikan dengan dua cara. Cara pertama: menggunakan logika dan lingkaran trigonometri. Kami akan melihat jalan ini di sini. Cara kedua - menggunakan memori dan rumus - akan dibahas pada pelajaran berikutnya.

Cara pertama jelas, dapat diandalkan, dan sulit untuk dilupakan.) Cara ini bagus untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, pertidaksamaan, dan segala macam contoh rumit yang tidak standar. Logika lebih kuat dari ingatan!)

Menyelesaikan persamaan menggunakan lingkaran trigonometri.

Kami menyertakan logika dasar dan kemampuan menggunakan lingkaran trigonometri. Apakah kamu tidak tahu caranya? Namun... Anda akan kesulitan dalam trigonometri...) Tapi itu tidak masalah. Lihatlah pelajaran "Lingkaran trigonometri...... Apa itu?" dan "Mengukur sudut pada lingkaran trigonometri." Semuanya sederhana di sana. Berbeda dengan buku teks...)

Oh, kamu tahu!? Dan bahkan menguasai “Kerja Praktek dengan lingkaran trigonometri”!? Selamat. Topik ini akan dekat dan dapat dimengerti oleh Anda.) Yang sangat menyenangkan adalah bahwa lingkaran trigonometri tidak peduli persamaan apa yang Anda pecahkan. Sinus, cosinus, tangen, kotangen - semuanya sama baginya. Hanya ada satu prinsip solusi.

Jadi kita ambil persamaan trigonometri dasar apa pun. Setidaknya ini:

karenax = 0,5

Kita perlu menemukan X. Berbicara dalam bahasa manusia, Anda perlu tentukan sudut (x) yang kosinusnya 0,5.

Bagaimana kita sebelumnya menggunakan lingkaran? Kami menggambar sudut di atasnya. Dalam derajat atau radian. Dan segera gergaji fungsi trigonometri sudut ini. Sekarang mari kita lakukan yang sebaliknya. Mari kita menggambar cosinus pada lingkaran sama dengan 0,5 dan segera kita lihat saja nanti sudut. Yang tersisa hanyalah menuliskan jawabannya.) Ya, ya!

Gambarlah sebuah lingkaran dan tandai cosinusnya sama dengan 0,5. Tentu saja pada sumbu cosinus. Seperti ini:

Sekarang mari kita menggambar sudut yang dihasilkan kosinus ini. Arahkan mouse Anda ke atas gambar (atau sentuh gambar di tablet Anda), dan Anda akan melihat sudut ini X.

Kosinus sudut manakah yang besarnya 0,5?

x = π /3

karena 60°= karena( /3) = 0,5

Beberapa orang akan tertawa skeptis, ya... Seperti, apakah layak membuat lingkaran ketika semuanya sudah jelas... Anda tentu saja bisa tertawa...) Tapi faktanya ini adalah jawaban yang salah. Atau lebih tepatnya, tidak cukup. Penikmat lingkaran memahami bahwa ada banyak sudut lain di sini yang juga memberikan kosinus 0,5.

Jika Anda memutar sisi bergerak OA putaran penuh, titik A akan kembali ke posisi semula. Dengan kosinus yang sama sama dengan 0,5. Itu. sudutnya akan berubah sebesar 360° atau 2π radian, dan kosinus - tidak. Sudut baru 60° + 360° = 420° juga akan menjadi solusi persamaan kita, karena

Jumlah putaran penuh yang tak terhingga dapat dilakukan... Dan semua sudut baru ini akan menjadi solusi persamaan trigonometri kita. Dan semuanya perlu ditulis sebagai tanggapan. Semua. Kalau tidak, keputusannya tidak masuk hitungan ya..)

Matematika dapat melakukan ini dengan sederhana dan elegan. Tuliskan dalam satu jawaban singkat himpunan tak terbatas keputusan. Berikut tampilan persamaan kita:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Saya akan menguraikannya. Masih menulis secara bermakna Itu lebih menyenangkan daripada dengan bodohnya menggambar beberapa huruf misterius, kan?)

/3 - ini adalah sudut yang sama dengan kita gergaji pada lingkaran dan bertekad sesuai dengan tabel cosinus.

2π adalah satu revolusi lengkap dalam radian.

N - ini adalah jumlah yang lengkap, mis. utuh rpm Hal ini jelas bahwa N bisa sama dengan 0, ±1, ±2, ±3.... dan seterusnya. Seperti yang ditunjukkan oleh entri singkat:

n ∈ Z

N milik ( ∈ ) himpunan bilangan bulat ( Z ). Ngomong-ngomong, bukannya surat N huruf mungkin dapat digunakan k, m, t dll.

Notasi ini berarti Anda dapat mengambil bilangan bulat apa pun N . Setidaknya -3, setidaknya 0, setidaknya +55. Apapun yang kamu mau. Jika Anda mengganti angka ini ke dalam jawabannya, Anda akan mendapatkan sudut tertentu, yang pasti akan menjadi solusi persamaan kasar kita.)

Atau, dengan kata lain, x = π /3 adalah satu-satunya akar dari himpunan tak hingga. Untuk mendapatkan semua akar lainnya, cukup dengan menambahkan sejumlah putaran penuh ke π /3 ( N ) dalam radian. Itu. 2πn radian.

Semua? TIDAK. Aku sengaja memperpanjang kenikmatannya. Untuk mengingat lebih baik.) Kami hanya menerima sebagian jawaban atas persamaan kami. Saya akan menulis bagian pertama dari solusi ini seperti ini:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - bukan hanya satu akar saja, melainkan serangkaian akar yang utuh, dituliskan dalam bentuk yang singkat.

Namun ada juga sudut yang juga memberikan kosinus 0,5!

Mari kita kembali ke gambar tempat kita menuliskan jawabannya. Ini dia:

Arahkan mouse Anda ke atas gambar dan kami melihat sudut lain itu juga memberikan kosinus 0,5. Menurutmu itu setara dengan apa? Segitiganya sama... Ya! Itu sama dengan sudut X , hanya tertunda ke arah negatif. Ini adalah sudutnya -X. Tapi kita sudah menghitung x. π /3 atau 60°. Oleh karena itu, kita dapat dengan aman menulis:

x 2 = - /3

Tentu saja kita jumlahkan semua sudut yang diperoleh melalui putaran penuh:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Itu saja sekarang.) Pada lingkaran trigonometri kita gergaji(siapa yang mengerti, tentu saja)) Semua sudut yang menghasilkan kosinus 0,5. Dan kami menuliskan sudut-sudut ini dalam bentuk matematika singkat. Jawabannya menghasilkan dua rangkaian akar tak terhingga:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ini adalah jawaban yang benar.

Harapan, prinsip umum untuk menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan lingkaran sudah jelas. Kami menandai cosinus (sinus, tangen, kotangen) dari persamaan yang diberikan pada sebuah lingkaran, menggambar sudut-sudut yang bersesuaian dan menuliskan jawabannya. Tentu saja, kita perlu mencari tahu di sudut mana kita berada gergaji di lingkaran. Terkadang tidak begitu jelas. Yah, saya katakan bahwa logika diperlukan di sini.)

Misalnya, mari kita lihat persamaan trigonometri lainnya:

Harap diingat bahwa angka 0,5 bukanlah satu-satunya angka yang mungkin ada dalam persamaan!) Hanya saja lebih mudah bagi saya untuk menuliskannya daripada akar dan pecahan.

Kami bekerja berdasarkan prinsip umum. Kami menggambar sebuah lingkaran, tandai (pada sumbu sinus, tentu saja!) 0,5. Kami menggambar semua sudut yang bersesuaian dengan sinus ini sekaligus. Kami mendapatkan gambar ini:

Mari kita bahas sudutnya dulu X di kuartal pertama. Kita mengingat tabel sinus dan menentukan nilai sudut ini. Ini masalah sederhana:

x = /6

Kami mengingat putaran penuh dan, dengan hati nurani yang bersih, menuliskan rangkaian jawaban pertama:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Separuh pekerjaan sudah selesai. Tapi sekarang kita perlu menentukannya tikungan kedua... Memang lebih rumit dari pada menggunakan cosinus ya... Tapi logika akan menyelamatkan kita! Cara menentukan sudut kedua melalui x? Ya Mudah! Segitiga pada gambar sama, dan sudutnya berwarna merah X sama dengan sudut X . Hanya saja dihitung dari sudut π ke arah negatif. Makanya warnanya merah.) Dan untuk jawabannya kita perlu sudut yang dihitung dengan benar dari semi-sumbu positif OX, yaitu. dari sudut 0 derajat.

Kami mengarahkan kursor ke gambar dan melihat semuanya. Saya menghapus sudut pertama agar tidak mempersulit gambar. Sudut yang kita minati (digambar dengan warna hijau) akan sama dengan:

π - x

X kita tahu ini /6 . Oleh karena itu, sudut kedua adalah:

π - π /6 = 5π /6

Sekali lagi kita ingat tentang menjumlahkan putaran penuh dan menuliskan rangkaian jawaban kedua:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Itu saja. Jawaban lengkap terdiri dari dua rangkaian akar:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Persamaan tangen dan kotangen dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan prinsip umum yang sama untuk menyelesaikan persamaan trigonometri. Jika tentunya anda mengetahui cara menggambar garis singgung dan kotangen pada lingkaran trigonometri.

Pada contoh di atas, saya menggunakan tabel nilai sinus dan cosinus: 0,5. Itu. salah satu makna yang diketahui siswa harus. Sekarang mari kita kembangkan kemampuan kita menjadi semua nilai lainnya. Putuskan, jadi putuskan!)

Jadi, misalkan kita perlu menyelesaikan persamaan trigonometri ini:

Tidak ada nilai cosinus dalam tabel pendek. Kami dengan dingin mengabaikan fakta buruk ini. Gambarlah sebuah lingkaran, tandai 2/3 pada sumbu kosinus dan gambarlah sudut-sudut yang bersesuaian. Kami mendapatkan gambar ini.

Mari kita lihat, pertama, sudut pada kuarter pertama. Seandainya kita mengetahui x sama dengan apa, kita akan segera menuliskan jawabannya! Kami tidak tahu... Gagal!? Tenang! Matematika tidak membiarkan bangsanya sendiri dalam kesulitan! Dia datang dengan arc cosinus untuk kasus ini. Tidak tahu? Sia-sia. Cari tahu, Ini jauh lebih mudah dari yang Anda kira. Tidak ada satu pun mantra rumit tentang "fungsi trigonometri terbalik" di tautan ini... Ini tidak berguna dalam topik ini.

Jika Anda sudah mengetahuinya, katakan saja pada diri sendiri: “X adalah sudut yang kosinusnya sama dengan 2/3.” Dan segera, berdasarkan definisi arc cosinus, kita dapat menulis:

Kami mengingat putaran tambahan dan dengan tenang menuliskan deret pertama akar persamaan trigonometri kami:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Rangkaian akar kedua untuk sudut kedua hampir otomatis dituliskan. Semuanya sama, hanya X (arccos 2/3) yang minus:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Dan itu saja! Ini adalah jawaban yang benar. Bahkan lebih mudah dibandingkan dengan nilai tabel. Tidak perlu mengingat apa pun.) Ngomong-ngomong, orang yang paling penuh perhatian akan melihat bahwa gambar ini menunjukkan solusi melalui arc cosinus pada intinya tidak berbeda dengan gambaran persamaan cosx = 0,5.

Tepat! Prinsip umumnya hanya itu! Saya sengaja menggambar dua gambar yang hampir identik. Lingkaran menunjukkan sudutnya X oleh kosinusnya. Apakah itu kosinus tabel atau bukan, tidak diketahui semua orang. Sudut macam apa ini, π /3, atau berapa arc cosinusnya - terserah kita untuk memutuskan.

Lagu yang sama dengan sinus. Misalnya:

Gambarlah sebuah lingkaran lagi, tandai sinusnya sama dengan 1/3, gambarlah sudut-sudutnya. Inilah gambaran yang kami dapatkan:

Dan sekali lagi gambarannya hampir sama dengan persamaannya sinx = 0,5. Sekali lagi kita mulai dari tendangan sudut di kuarter pertama. Berapakah nilai X jika sinusnya 1/3? Tidak masalah!

Sekarang paket akar pertama sudah siap:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Mari kita bahas sudut kedua. Pada contoh dengan nilai tabel 0,5 sama dengan:

π - x

Di sini juga akan sama persis! Hanya x saja yang berbeda, arcsin 1/3. Terus!? Anda dapat dengan aman menuliskan paket akar kedua:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Ini adalah jawaban yang sepenuhnya benar. Meski tidak terlihat terlalu familiar. Tapi sudah jelas, saya harap.)

Beginilah cara menyelesaikan persamaan trigonometri dengan menggunakan lingkaran. Jalan ini jelas dan dapat dimengerti. Dialah yang menyimpan persamaan trigonometri dengan pemilihan akar pada interval tertentu, dalam pertidaksamaan trigonometri - umumnya hampir selalu diselesaikan dalam lingkaran. Singkatnya, dalam tugas apa pun yang sedikit lebih sulit daripada tugas standar.

Mari kita terapkan ilmunya dalam praktik?)

Selesaikan persamaan trigonometri:

Pertama, lebih sederhana, langsung dari pelajaran ini.

Sekarang lebih rumit.

Petunjuk: di sini Anda harus memikirkan tentang lingkaran. Sendiri.)

Dan sekarang mereka tampak sederhana... Mereka juga disebut kasus khusus.

dosa = 0

dosa = 1

karena = 0

karena = -1

Petunjuk: di sini Anda perlu mencari tahu dalam lingkaran di mana ada dua rangkaian jawaban dan di mana ada satu... Dan bagaimana cara menulis satu, bukan dua rangkaian jawaban. Ya, agar tidak ada satu akar pun dari bilangan tak terhingga yang hilang!)

Ya, sangat sederhana):

dosa = 0,3

karena = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Petunjuk : disini anda perlu mengetahui apa itu arcsinus dan arccosine? Apa itu tangen busur, tangen busur? Definisi paling sederhana. Namun Anda tidak perlu mengingat nilai tabel apa pun!)

Jawabannya tentu saja berantakan):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Tidak semuanya berhasil? Terjadi. Bacalah pelajaran itu lagi. Hanya dengan penuh pertimbangan(ada kata yang ketinggalan jaman...) Dan ikuti tautannya. Tautan utamanya adalah tentang lingkaran. Tanpanya, trigonometri ibarat menyeberang jalan dengan mata tertutup. Kadang-kadang berhasil.)

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari otoritas pemerintah di wilayah Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Persamaan trigonometri. Sebagai bagian dari ujian matematika, pada bagian pertama terdapat tugas yang berkaitan dengan penyelesaian suatu persamaan - ini adalah persamaan sederhana yang dapat diselesaikan dalam hitungan menit; Meliputi: persamaan linier, kuadrat, rasional, irasional, eksponensial, logaritma, dan trigonometri.

Pada artikel ini kita akan melihat persamaan trigonometri. Solusi mereka berbeda dalam volume perhitungan dan kompleksitas dari masalah lain di bagian ini. Jangan khawatir, kata “kesulitan” mengacu pada kesulitan relatifnya dibandingkan dengan tugas lainnya.

Selain mencari akar-akar persamaan itu sendiri, kita juga perlu menentukan akar negatif terbesar atau akar positif terkecil. Kemungkinan Anda mendapatkan persamaan trigonometri dalam ujian tentu saja kecil.

Jumlahnya kurang dari 7% di bagian Ujian Negara Terpadu ini. Tapi ini tidak berarti bahwa mereka harus diabaikan. Di Bagian C, Anda juga perlu menyelesaikan persamaan trigonometri, jadi pemahaman yang baik tentang teknik penyelesaian dan pemahaman teori sangat diperlukan.

Memahami bagian trigonometri matematika akan sangat menentukan keberhasilan Anda dalam menyelesaikan banyak masalah. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa jawabannya adalah bilangan bulat atau pecahan desimal berhingga. Setelah Anda mendapatkan akar persamaannya, PASTIKAN untuk memeriksanya. Ini tidak akan memakan banyak waktu dan akan menyelamatkan Anda dari kesalahan.

Kami juga akan melihat persamaan lainnya di masa mendatang, jangan sampai ketinggalan! Mari kita mengingat kembali rumus akar-akar persamaan trigonometri, yang perlu Anda ketahui:

Pengetahuan tentang nilai-nilai ini diperlukan; ini adalah “abjad”, yang tanpanya tidak mungkin untuk mengatasi banyak tugas. Hebatnya, jika ingatan Anda bagus, Anda dengan mudah mempelajari dan mengingat nilai-nilai ini. Apa yang harus dilakukan jika tidak bisa, ada kebingungan di kepala, tetapi Anda hanya bingung saat mengikuti ujian. Sayang sekali jika Anda kehilangan satu poin karena Anda salah menuliskan nilai dalam perhitungan Anda.

Nilai-nilai ini sederhana, juga diberikan dalam teori yang Anda terima di surat kedua setelah berlangganan buletin. Jika Anda belum berlangganan, lakukanlah! Di masa depan kita juga akan melihat bagaimana nilai-nilai ini dapat ditentukan dari lingkaran trigonometri. Bukan tanpa alasan bahwa ini disebut “Hati Emas Trigonometri”.

Izinkan saya segera menjelaskan, untuk menghindari kebingungan, bahwa dalam persamaan yang dibahas di bawah ini, diberikan definisi arcsinus, arccosine, arctangent menggunakan sudut. X untuk persamaan yang bersangkutan: cosx=a, sinx=a, tgx=a, di mana X juga bisa menjadi ekspresi. Dalam contoh di bawah, argumen kita ditentukan secara tepat oleh sebuah ekspresi.

Jadi, mari kita pertimbangkan tugas-tugas berikut:

Temukan akar persamaan:

Tuliskan akar negatif terbesar dalam jawaban Anda.

Penyelesaian persamaan cos x = a adalah dua akar:

Definisi: Misalkan bilangan a dalam modulus tidak melebihi satu. Kosinus busur suatu bilangan adalah sudut x yang terletak pada rentang 0 sampai Pi, yang kosinusnya sama dengan a.

Cara

Mari berekspresi X:

Mari kita cari akar negatif terbesarnya. Bagaimana cara melakukannya? Mari kita substitusikan nilai n yang berbeda ke dalam akar-akar yang dihasilkan, hitung dan pilih nilai negatif terbesar.

Kami menghitung:

Dengan n = – 2 x 1 = 3 (– 2) – 4,5 = – 10,5 x 2 = 3 (– 2) – 5,5 = – 11,5

Dengan n = – 1 x 1 = 3 (– 1) – 4,5 = – 7,5 x 2 = 3 (– 1) – 5,5 = – 8,5

Dengan n = 0 x 1 = 3∙0 – 4,5 = – 4,5 x 2 = 3∙0 – 5,5 = – 5,5

Dengan n = 1 x 1 = 3∙1 – 4,5 = – 1,5 x 2 = 3∙1 – 5,5 = – 2,5

Dengan n = 2 x 1 = 3∙2 – 4,5 = 1,5 x 2 = 3∙2 – 5,5 = 0,5

Kami menemukan bahwa akar negatif terbesar adalah –1,5

Jawaban: –1.5

Putuskan sendiri:

Selesaikan persamaan:

Penyelesaian persamaan sin x = a adalah dua akar:

Salah satu (ini menggabungkan kedua hal di atas):

Definisi: Misalkan bilangan a dalam modulus tidak melebihi satu. Sinus suatu bilangan adalah sudut x yang terletak pada rentang – 90° sampai 90°, yang sinusnya sama dengan a.

Cara

Nyatakan x (kalikan kedua ruas persamaan dengan 4 dan bagi dengan Pi):

Mari kita cari akar positif terkecil. Di sini jelas sekali bahwa ketika mensubstitusi nilai negatif n kita mendapatkan akar negatif. Oleh karena itu, kita substitusikan n = 0,1,2...

Jika n = 0 x = (– 1) 0 + 4∙0 + 3 = 4

Jika n = 1 x = (– 1) 1 + 4∙1 + 3 = 6

Jika n = 2 x = (– 1) 2 + 4∙2 + 3 = 12

Mari kita periksa dengan n = –1 x = (–1) –1 + 4∙(–1) + 3 = –2

Jadi akar positif terkecilnya adalah 4.

Jawaban: 4

Putuskan sendiri:

Selesaikan persamaan:

Tuliskan akar positif terkecil pada jawabanmu.

Memecahkan persamaan trigonometri sederhana.

Memecahkan persamaan trigonometri pada tingkat kerumitan apa pun pada akhirnya bermuara pada penyelesaian persamaan trigonometri yang paling sederhana. Dan dalam hal ini lingkaran trigonometri kembali menjadi asisten terbaik.

Mari kita mengingat kembali definisi cosinus dan sinus.

Kosinus suatu sudut adalah absis (yaitu, koordinat sepanjang sumbu) suatu titik pada lingkaran satuan yang berhubungan dengan rotasi melalui sudut tertentu.

Sinus suatu sudut adalah ordinat (yaitu koordinat sepanjang sumbu) suatu titik pada lingkaran satuan yang berhubungan dengan rotasi melalui sudut tertentu.

Arah gerak positif pada lingkaran trigonometri adalah berlawanan arah jarum jam. Rotasi 0 derajat (atau 0 radian) berhubungan dengan suatu titik dengan koordinat (1;0)

Kami menggunakan definisi ini untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana.

1. Selesaikan persamaannya

Persamaan ini dipenuhi oleh semua nilai sudut rotasi yang bersesuaian dengan titik-titik pada lingkaran yang ordinatnya sama dengan .

Mari kita tandai suatu titik dengan ordinat pada sumbu ordinat:

Gambarlah garis mendatar sejajar sumbu x hingga berpotongan dengan lingkaran. Kita mendapatkan dua titik yang terletak pada lingkaran dan memiliki sumbu ordinat. Titik-titik ini sesuai dengan sudut rotasi dalam dan radian:

Jika kita meninggalkan titik yang sudut rotasinya per radian, dan mengelilingi satu lingkaran penuh, maka kita akan sampai pada suatu titik yang sesuai dengan sudut rotasi per radian dan mempunyai ordinat yang sama. Artinya, sudut rotasi ini juga memenuhi persamaan kita. Kita dapat melakukan putaran “idle” sebanyak yang kita suka, kembali ke titik yang sama, dan semua nilai sudut ini akan memenuhi persamaan kita. Jumlah putaran “idle” akan dilambangkan dengan huruf (atau). Karena kita dapat melakukan putaran ini dalam arah positif dan negatif, (atau) dapat mengambil nilai bilangan bulat berapa pun.

Artinya, deret pertama penyelesaian persamaan awal berbentuk:

, , - himpunan bilangan bulat (1)

Demikian pula, solusi rangkaian kedua memiliki bentuk:

, Di mana , . (2)

Seperti yang sudah Anda duga, rangkaian solusi ini didasarkan pada titik pada lingkaran yang bersesuaian dengan sudut rotasi sebesar .

Kedua rangkaian solusi ini dapat digabungkan menjadi satu entri:

Jika kita mengambil (yaitu, genap) dalam entri ini, maka kita akan mendapatkan rangkaian solusi pertama.

Jika kita mengambil (yaitu ganjil) dalam entri ini, maka kita mendapatkan solusi rangkaian kedua.

2. Sekarang mari kita selesaikan persamaannya

Karena ini adalah absis suatu titik pada lingkaran satuan yang diperoleh dengan memutar suatu sudut, maka kita tandai titik tersebut dengan absis pada sumbunya:

Gambarlah garis vertikal sejajar sumbu hingga berpotongan dengan lingkaran. Kita akan mendapatkan dua titik yang terletak pada lingkaran dan memiliki sumbu absis. Titik-titik ini sesuai dengan sudut rotasi dalam dan radian. Ingatlah bahwa ketika bergerak searah jarum jam kita mendapatkan sudut rotasi negatif:

Mari kita tuliskan dua rangkaian solusi:

(Kita mencapai titik yang diinginkan dengan pergi dari lingkaran penuh utama, yaitu.

Mari gabungkan kedua seri ini menjadi satu entri:

3. Selesaikan persamaannya

Garis singgung melewati titik dengan koordinat (1,0) lingkaran satuan yang sejajar sumbu OY

Mari kita tandai sebuah titik di atasnya dengan ordinat sama dengan 1 (kita mencari garis singgung sudut yang sama dengan 1):

Mari kita hubungkan titik ini dengan titik asal koordinat dengan sebuah garis lurus dan tandai titik potong garis tersebut dengan lingkaran satuan. Titik potong garis lurus dan lingkaran sesuai dengan sudut rotasi pada dan:

Karena titik-titik yang sesuai dengan sudut rotasi yang memenuhi persamaan kita terletak pada jarak radian satu sama lain, kita dapat menulis penyelesaiannya sebagai berikut:

4. Selesaikan persamaannya

Garis kotangen melewati suatu titik yang koordinat lingkaran satuannya sejajar dengan sumbunya.

Mari kita tandai sebuah titik dengan absis -1 pada garis kotangen:

Mari kita hubungkan titik ini dengan asal garis lurus dan lanjutkan hingga berpotongan dengan lingkaran. Garis lurus ini akan memotong lingkaran di titik-titik yang sesuai dengan sudut rotasi dalam dan radian:

Karena titik-titik tersebut dipisahkan satu sama lain dengan jarak yang sama dengan , kita dapat menuliskan penyelesaian umum persamaan ini sebagai berikut: