Satu hal yang bisa Anda yakini seratus persen adalah ketika ditanya berapa kuadrat sisi miringnya, orang dewasa mana pun akan dengan berani menjawab: “Jumlah kuadrat kaki-kakinya.” Teorema ini tertanam kuat di benak setiap orang terpelajar, namun Anda hanya perlu meminta seseorang untuk membuktikannya, dan kesulitan bisa timbul. Oleh karena itu, mari kita mengingat dan mempertimbangkan berbagai cara untuk membuktikan teorema Pythagoras.
Biografi singkat
Teorema Pythagoras sudah tidak asing lagi bagi hampir semua orang, namun entah kenapa biografi orang yang melahirkannya tidak begitu populer. Ini bisa diperbaiki. Oleh karena itu, sebelum mempelajari berbagai cara untuk membuktikan teorema Pythagoras, Anda perlu mengenal sekilas kepribadiannya.
Pythagoras - filsuf, matematikawan, pemikir dari Saat ini sangat sulit untuk membedakan biografinya dari legenda yang berkembang dalam ingatan orang hebat ini. Namun berikut karya para pengikutnya, Pythagoras dari Samos lahir di pulau Samos. Ayahnya adalah seorang pemotong batu biasa, namun ibunya berasal dari keluarga bangsawan.
Dilihat dari legenda, kelahiran Pythagoras diramalkan oleh seorang wanita bernama Pythia, yang kemudian diberi nama anak laki-laki tersebut. Menurut ramalannya, kelahiran anak laki-laki diharapkan membawa banyak manfaat dan kebaikan bagi umat manusia. Itulah tepatnya yang dia lakukan.
Kelahiran teorema
Di masa mudanya, Pythagoras pindah ke Mesir untuk bertemu dengan orang bijak Mesir yang terkenal di sana. Setelah bertemu dengan mereka, dia diizinkan untuk belajar, di mana dia mempelajari semua pencapaian besar filsafat, matematika, dan kedokteran Mesir.
Mungkin di Mesir Pythagoras terinspirasi oleh keagungan dan keindahan piramida dan menciptakan teori besarnya. Hal ini mungkin mengejutkan pembaca, namun sejarawan modern percaya bahwa Pythagoras tidak membuktikan teorinya. Namun dia hanya mewariskan ilmunya kepada para pengikutnya, yang kemudian menyelesaikan semua perhitungan matematis yang diperlukan.
Meskipun demikian, saat ini tidak hanya satu metode yang diketahui untuk membuktikan teorema ini, tetapi beberapa metode sekaligus. Saat ini kita hanya bisa menebak bagaimana sebenarnya orang Yunani kuno melakukan perhitungan mereka, jadi di sini kita akan melihat berbagai cara untuk membuktikan teorema Pythagoras.
teori Pitagoras
Sebelum memulai penghitungan apa pun, Anda perlu mencari tahu teori apa yang ingin Anda buktikan. Teorema Pythagoras berbunyi seperti ini: “Dalam segitiga yang salah satu sudutnya 90°, jumlah kuadrat kaki-kakinya sama dengan kuadrat sisi miringnya.”
Ada total 15 cara berbeda untuk membuktikan teorema Pythagoras. Ini jumlah yang cukup besar, jadi kami akan memperhatikan yang paling populer.
Metode satu
Pertama, mari kita definisikan apa yang telah diberikan kepada kita. Data ini juga akan berlaku untuk metode lain untuk membuktikan teorema Pythagoras, jadi sebaiknya segera mengingat semua notasi yang tersedia.
Misalkan kita diberikan segitiga siku-siku dengan kaki a, b dan sisi miring sama dengan c. Metode pembuktian pertama didasarkan pada fakta bahwa Anda perlu menggambar persegi dari segitiga siku-siku.
Untuk melakukan ini, Anda perlu menambahkan segmen yang sama dengan kaki b ke panjang kaki a, dan sebaliknya. Ini akan menghasilkan dua sisi persegi yang sama besar. Yang tersisa hanyalah menggambar dua garis sejajar, dan persegi sudah siap.
Di dalam gambar yang dihasilkan, Anda perlu menggambar persegi lain dengan sisi yang sama dengan sisi miring segitiga aslinya. Untuk melakukan ini, dari simpul ас dan св Anda perlu menggambar dua segmen paralel yang sama dengan с. Jadi, kita mendapatkan tiga sisi persegi, salah satunya adalah sisi miring dari segitiga siku-siku aslinya. Yang tersisa hanyalah menggambar segmen keempat.
Berdasarkan gambar yang dihasilkan, kita dapat menyimpulkan bahwa luas persegi terluar adalah (a + b) 2. Jika Anda melihat ke dalam gambar, Anda dapat melihat bahwa selain persegi bagian dalam, ada empat segitiga siku-siku. Luas masing-masing adalah 0,5av.
Jadi luasnya sama dengan: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2
Jadi (a+c) 2 =2ab+c 2
Dan, oleh karena itu, c 2 =a 2 +b 2
Teorema tersebut telah terbukti.
Metode kedua: segitiga sebangun
Rumus pembuktian teorema Pythagoras ini diturunkan berdasarkan pernyataan dari bagian geometri tentang segitiga sebangun. Dinyatakan bahwa kaki segitiga siku-siku rata-rata sebanding dengan sisi miringnya dan ruas sisi miring yang berasal dari titik sudut 90°.
Data awalnya tetap sama, jadi mari kita mulai dengan pembuktiannya. Mari kita menggambar segmen CD yang tegak lurus sisi AB. Berdasarkan pernyataan di atas, sisi-sisi segitiga sama besar:
AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.
Untuk menjawab pertanyaan bagaimana membuktikan teorema Pythagoras, pembuktiannya harus diselesaikan dengan mengkuadratkan kedua pertidaksamaan.
AC 2 = AB*AD dan CB 2 = AB*DV
Sekarang kita perlu menjumlahkan ketidaksetaraan yang dihasilkan.
AC 2 + CB 2 = AB*(AD*DV), dimana AD+DV = AB
Ternyata:
AC 2 + CB 2 =AB*AB
Dan maka dari itu:
AC 2 + CB 2 = AB 2
Pembuktian teorema Pythagoras dan berbagai metode penyelesaiannya memerlukan pendekatan serbaguna untuk masalah ini. Namun, opsi ini adalah salah satu yang paling sederhana.
Metode perhitungan lain
Deskripsi berbagai metode pembuktian teorema Pythagoras mungkin tidak berarti apa-apa sampai Anda mulai berlatih sendiri. Banyak teknik yang tidak hanya melibatkan perhitungan matematis, tetapi juga konstruksi bentuk baru dari segitiga asli.
Dalam hal ini, perlu untuk menyelesaikan segitiga siku-siku VSD lainnya dari sisi BC. Jadi, sekarang ada dua segitiga yang mempunyai kaki sama BC.
Diketahui bahwa luas bangun-bangun yang sebangun mempunyai perbandingan kuadrat dimensi liniernya yang sebangun, maka:
S avs * c 2 - S avd * dalam 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2
S avs *(dari 2 - ke 2) = a 2 *(S avd -S vsd)
dari 2 - ke 2 =a 2
c 2 =sebuah 2 +b 2
Karena dari berbagai metode pembuktian teorema Pythagoras untuk kelas 8, opsi ini sepertinya tidak cocok, Anda dapat menggunakan metode berikut.
Cara termudah untuk membuktikan Teorema Pythagoras. Ulasan
Menurut para sejarawan, metode ini pertama kali digunakan untuk membuktikan teorema di Yunani kuno. Ini adalah yang paling sederhana, karena tidak memerlukan perhitungan apa pun. Jika gambarnya benar, maka bukti pernyataan a 2 + b 2 = c 2 akan terlihat jelas.
Syarat cara ini akan sedikit berbeda dengan cara sebelumnya. Untuk membuktikan teorema tersebut, asumsikan segitiga siku-siku ABC sama kaki.
Kita ambil sisi miring AC sebagai sisi persegi dan menggambar ketiga sisinya. Selain itu, perlu menggambar dua garis diagonal pada kotak yang dihasilkan. Sehingga di dalamnya terdapat empat buah segitiga sama kaki.
Anda juga perlu menggambar persegi pada kaki AB dan CB dan menggambar satu garis lurus diagonal di masing-masing kaki. Kita tarik garis pertama dari titik A, garis kedua dari titik C.
Sekarang Anda perlu hati-hati melihat gambar yang dihasilkan. Karena pada sisi miring AC terdapat empat segitiga yang sama dengan segitiga aslinya, dan pada sisi-sisinya terdapat dua, hal ini menunjukkan kebenaran teorema tersebut.
Ngomong-ngomong, berkat metode pembuktian teorema Pythagoras ini, lahirlah ungkapan terkenal: "Celana Pythagoras sama di segala arah."
Bukti oleh J. Garfield
James Garfield adalah Presiden Amerika Serikat yang kedua puluh. Selain mengukir sejarah sebagai penguasa Amerika Serikat, ia juga seorang otodidak yang berbakat.
Pada awal karirnya, ia adalah seorang guru biasa di sekolah umum, namun segera menjadi direktur salah satu perguruan tinggi. Keinginan untuk pengembangan diri memungkinkan dia untuk mengajukan teori baru untuk membuktikan teorema Pythagoras. Teorema dan contoh penyelesaiannya adalah sebagai berikut.
Pertama, Anda perlu menggambar dua segitiga siku-siku di selembar kertas sehingga salah satu kakinya merupakan kelanjutan dari segitiga kedua. Titik-titik sudut segitiga ini harus dihubungkan hingga akhirnya membentuk trapesium.
Seperti yang Anda ketahui, luas trapesium sama dengan hasil kali setengah jumlah alas dan tingginya.
S=a+b/2 * (a+b)
Jika trapesium yang dihasilkan kita anggap sebagai bangun datar yang terdiri dari tiga segitiga, maka luasnya dapat dicari sebagai berikut:
S=av/2 *2 + s 2 /2
Sekarang kita perlu menyamakan kedua ekspresi aslinya
2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2
c 2 =sebuah 2 +b 2
Lebih dari satu volume buku teks dapat ditulis tentang teorema Pythagoras dan metode pembuktiannya. Tapi apakah ada gunanya jika pengetahuan ini tidak bisa diterapkan dalam praktik?
Penerapan praktis teorema Pythagoras
Sayangnya, kurikulum sekolah modern mengatur penggunaan teorema ini hanya dalam masalah geometri. Lulusan akan segera meninggalkan sekolah tanpa mengetahui bagaimana mereka dapat menerapkan pengetahuan dan keterampilannya dalam praktik.
Faktanya, siapa pun bisa menggunakan teorema Pythagoras dalam kehidupan sehari-hari. Dan tidak hanya dalam kegiatan profesional, tetapi juga dalam pekerjaan rumah tangga biasa. Mari kita pertimbangkan beberapa kasus di mana teorema Pythagoras dan metode pembuktiannya mungkin sangat diperlukan.
Hubungan antara teorema dan astronomi
Tampaknya bintang dan segitiga di atas kertas dapat dihubungkan. Faktanya, astronomi adalah bidang ilmu yang banyak menggunakan teorema Pythagoras.
Misalnya, perhatikan pergerakan berkas cahaya di ruang angkasa. Diketahui bahwa cahaya bergerak ke dua arah dengan kecepatan yang sama. Sebut saja lintasan AB yang dilalui sinar cahaya aku. Dan sebut saja separuh waktu yang dibutuhkan cahaya untuk berpindah dari titik A ke titik B T. Dan kecepatan sinarnya - C. Ternyata: c*t=l
Jika Anda melihat sinar yang sama dari bidang lain, misalnya dari pesawat luar angkasa yang bergerak dengan kecepatan v, maka ketika mengamati benda dengan cara ini, kecepatannya akan berubah. Dalam hal ini, bahkan elemen diam akan mulai bergerak dengan kecepatan v ke arah yang berlawanan.
Katakanlah komiknya berlayar ke kanan. Kemudian titik A dan B, di mana sinar bergerak cepat, akan mulai bergerak ke kiri. Selain itu, ketika sinar berpindah dari titik A ke titik B, titik A mempunyai waktu untuk bergerak dan oleh karena itu, cahaya sudah sampai di titik baru C. Untuk mencari setengah jarak perpindahan titik A, Anda perlu mengalikannya kecepatan kapal dengan setengah waktu tempuh balok (t").
Dan untuk mengetahui seberapa jauh seberkas cahaya dapat menempuh jarak selama waktu tersebut, Anda perlu menandai separuh jalur dengan huruf s baru dan mendapatkan ekspresi berikut:
Jika kita bayangkan titik cahaya C dan B serta garis luar angkasa merupakan titik sudut segitiga sama kaki, maka ruas titik A ke garis tersebut akan membaginya menjadi dua segitiga siku-siku. Oleh karena itu, berkat teorema Pythagoras, Anda dapat mengetahui jarak yang dapat ditempuh seberkas cahaya.
Contoh ini, tentu saja, bukan yang paling berhasil, karena hanya sedikit yang cukup beruntung untuk mencobanya dalam praktik. Oleh karena itu, mari kita pertimbangkan penerapan teorema ini secara lebih duniawi.
Jangkauan transmisi sinyal seluler
Kehidupan modern tidak bisa lagi dibayangkan tanpa keberadaan smartphone. Namun seberapa besar manfaatnya jika mereka tidak dapat menghubungkan pelanggan melalui komunikasi seluler?!
Kualitas komunikasi seluler secara langsung bergantung pada ketinggian antena operator seluler. Untuk menghitung seberapa jauh telepon dapat menerima sinyal dari menara seluler, Anda dapat menerapkan teorema Pythagoras.
Katakanlah Anda perlu mencari perkiraan ketinggian menara stasioner agar dapat menyebarkan sinyal dalam radius 200 kilometer.
AB (tinggi menara) = x;
BC (radius transmisi sinyal) = 200 km;
OS (radius bumi) = 6380 km;
OB=OA+ABOB=r+x
Dengan menerapkan teorema Pythagoras, kita mengetahui bahwa tinggi minimum menara harus 2,3 kilometer.
Teorema Pythagoras dalam kehidupan sehari-hari
Anehnya, teorema Pythagoras bisa berguna bahkan dalam urusan sehari-hari, seperti menentukan tinggi lemari pakaian misalnya. Sekilas tidak perlu menggunakan perhitungan rumit seperti itu, karena Anda cukup melakukan pengukuran menggunakan pita pengukur. Namun banyak orang bertanya-tanya mengapa masalah tertentu muncul selama proses perakitan jika semua pengukuran dilakukan lebih dari akurat.
Faktanya adalah lemari pakaian dirakit dalam posisi horizontal dan baru kemudian diangkat dan dipasang di dinding. Oleh karena itu, selama proses pengangkatan struktur, sisi kabinet harus bergerak bebas baik sepanjang ketinggian maupun diagonal ruangan.
Misalkan ada lemari pakaian dengan kedalaman 800 mm. Jarak dari lantai ke langit-langit - 2600 mm. Pembuat furnitur berpengalaman akan mengatakan bahwa tinggi kabinet harus kurang dari 126 mm dari tinggi ruangan. Tapi kenapa tepatnya 126 mm? Mari kita lihat sebuah contoh.
Dengan dimensi kabinet yang ideal, mari kita periksa pengoperasian teorema Pythagoras:
AC =√AB 2 +√BC 2
AC = √2474 2 +800 2 =2600 mm - semuanya cocok.
Misalkan tinggi kabinet bukan 2474 mm, melainkan 2505 mm. Kemudian:
AC=√2505 2 +√800 2 =2629mm.
Oleh karena itu, kabinet ini tidak cocok dipasang di ruangan ini. Karena mengangkatnya ke posisi vertikal dapat menyebabkan kerusakan pada tubuhnya.
Mungkin, setelah mempertimbangkan berbagai cara untuk membuktikan teorema Pythagoras oleh ilmuwan yang berbeda, kita dapat menyimpulkan bahwa teorema tersebut lebih dari benar. Sekarang Anda dapat menggunakan informasi yang diterima dalam kehidupan sehari-hari dan yakin sepenuhnya bahwa semua perhitungan tidak hanya berguna, tetapi juga benar.
Berputar-putar
Sejarah teorema Pythagoras sudah ada sejak berabad-abad lalu dan ribuan tahun yang lalu. Pada artikel ini, kami tidak akan membahas topik sejarah secara detail. Demi intrik, anggap saja teorema ini rupanya diketahui oleh para pendeta Mesir kuno yang hidup lebih dari 2000 tahun SM. Bagi yang penasaran, berikut link artikel Wikipedia.Pertama-tama, demi kelengkapan, di sini saya ingin menyajikan bukti teorema Pythagoras, yang menurut saya paling elegan dan jelas. Gambar di atas menunjukkan dua kotak identik: kiri dan kanan. Terlihat dari gambar bahwa luas bangun-bangun di kiri dan kanan adalah sama, karena pada setiap persegi besar terdapat 4 segitiga siku-siku yang diarsir. Artinya luas daerah yang tidak diarsir (putih) di kiri dan kanan juga sama besar. Kita perhatikan bahwa pada kasus pertama luas bangun yang tidak diarsir adalah , dan pada kasus kedua luas daerah yang tidak diarsir adalah . Dengan demikian, . Teorema tersebut terbukti!
Bagaimana cara menghubungi nomor-nomor ini? Anda tidak bisa menyebutnya segitiga, karena empat bilangan tidak bisa membentuk segitiga. Dan di sini! Seperti sambaran petir dari biru
Karena bilangan-bilangan tersebut berjumlah empat kali lipat, berarti pasti ada suatu benda geometris dengan sifat-sifat yang sama yang tercermin dalam bilangan-bilangan tersebut!
Sekarang yang tersisa hanyalah memilih beberapa objek geometris untuk properti ini, dan semuanya akan jatuh pada tempatnya! Tentu saja asumsi tersebut hanya bersifat hipotetis dan tidak mempunyai dasar yang mendukung. Namun bagaimana jika memang demikian!
Pemilihan objek telah dimulai. Bintang, poligon, beraturan, tidak beraturan, siku-siku, dan lain sebagainya. Sekali lagi tidak ada yang cocok. Apa yang harus dilakukan? Dan saat ini Sherlock mendapatkan keunggulan keduanya.
Kita perlu menambah ukurannya! Karena tiga sama dengan segitiga pada suatu bidang, maka empat sama dengan sesuatu yang tiga dimensi!
Oh tidak! Terlalu banyak pilihan lagi! Dan dalam tiga dimensi terdapat lebih banyak lagi benda geometris yang berbeda. Cobalah untuk melewati semuanya! Tapi itu tidak terlalu buruk. Ada juga sudut siku-siku dan petunjuk lainnya! Apa yang kita miliki? Empat angka Mesir (biarlah angka Mesir, mereka harus disebut sesuatu), sudut siku-siku (atau sudut) dan beberapa objek tiga dimensi. Pengurangan berhasil! Dan... Saya yakin pembaca yang cerdas telah menyadari bahwa yang kita bicarakan adalah piramida yang, pada salah satu puncaknya, ketiga sudutnya siku-siku. Anda bahkan dapat menelepon mereka piramida persegi panjang mirip dengan segitiga siku-siku.
Teorema baru
Jadi, kami memiliki semua yang kami butuhkan. Piramida persegi panjang (!), samping aspek dan garis potong wajah-sisi miring. Saatnya menggambar yang lain.
Gambar menunjukkan sebuah piramida yang titik puncaknya berada di titik asal koordinat persegi panjang (piramida tampak terletak pada sisinya). Piramida dibentuk oleh tiga vektor yang saling tegak lurus yang diplot dari titik asal sepanjang sumbu koordinat. Artinya, setiap sisi sisi piramida merupakan segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku di titik asal. Ujung-ujung vektor menentukan bidang potong dan membentuk permukaan dasar piramida.
Dalil
Misalkan ada limas segi empat yang dibentuk oleh tiga vektor yang saling tegak lurus, yang luasnya sama dengan - , dan luas sisi miringnya adalah - . KemudianRumusan alternatif: Untuk limas tetrahedral, yang pada salah satu simpulnya semua sudut bidangnya siku-siku, jumlah kuadrat luas sisi-sisinya sama dengan kuadrat luas alasnya.
Tentu saja, jika teorema Pythagoras biasa dirumuskan untuk panjang sisi-sisi segitiga, maka teorema kita dirumuskan untuk luas sisi-sisi limas. Membuktikan teorema ini dalam tiga dimensi sangat mudah jika Anda mengetahui sedikit aljabar vektor.
Bukti
Mari kita nyatakan luas dalam bentuk panjang vektor.
Di mana .Mari kita bayangkan luasnya sebagai setengah luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor dan
Sebagaimana diketahui, hasil kali vektor dua buah vektor adalah suatu vektor yang panjangnya secara numerik sama dengan luas jajar genjang yang dibangun pada vektor-vektor tersebut.
Itu sebabnya
Dengan demikian,
Q.E.D!Tentu saja, sebagai orang yang profesional dalam bidang penelitian, hal ini telah terjadi dalam hidup saya, lebih dari sekali. Namun momen ini adalah yang paling cemerlang dan paling berkesan. Saya mengalami seluruh perasaan, emosi, dan pengalaman seorang penemu. Dari lahirnya sebuah pemikiran, kristalisasi sebuah ide, penemuan bukti - hingga kesalahpahaman total dan bahkan penolakan yang ide-ide saya temui di antara teman-teman saya, kenalan dan, menurut saya saat itu, seluruh dunia. Itu unik! Saya merasa seperti berada pada posisi Galileo, Copernicus, Newton, Schrödinger, Bohr, Einstein dan banyak penemu lainnya.
Kata penutup
Dalam hidup, segala sesuatunya menjadi lebih sederhana dan membosankan. Saya terlambat... Tapi seberapa banyak! Baru berusia 18 tahun! Di bawah penyiksaan yang berkepanjangan dan bukan pertama kalinya, Google mengakui kepada saya bahwa teorema ini diterbitkan pada tahun 1996!Artikel ini diterbitkan oleh Texas Tech University Press. Para penulis, ahli matematika profesional, memperkenalkan terminologi (yang sebagian besar bertepatan dengan terminologi saya) dan juga membuktikan teorema umum yang valid untuk ruang dengan dimensi apa pun yang lebih besar dari satu. Apa yang terjadi pada dimensi yang lebih tinggi dari 3? Semuanya sangat sederhana: alih-alih permukaan dan area, akan ada permukaan hiper dan volume multidimensi. Dan pernyataannya, tentu saja, akan tetap sama: jumlah kuadrat volume sisi-sisinya sama dengan kuadrat volume alasnya - hanya saja jumlah sisinya akan lebih besar, dan volume masing-masing sisi akan lebih besar. diantaranya akan sama dengan setengah hasil kali vektor-vektor pembangkitnya. Hampir mustahil untuk dibayangkan! Seseorang hanya dapat, seperti kata para filsuf, berpikir!
Anehnya, ketika saya mengetahui bahwa teorema seperti itu sudah diketahui, saya sama sekali tidak kecewa. Jauh di lubuk hati saya, saya curiga bahwa mungkin saja saya bukan yang pertama, dan saya mengerti bahwa saya harus selalu bersiap untuk ini. Namun pengalaman emosional yang saya terima menyulut percikan penelitian dalam diri saya, yang saya yakin, kini tidak akan pernah pudar!
P.S.
Seorang pembaca terpelajar mengirimkan tautan di komentar
Teorema De GoisKutipan dari Wikipedia
Pada tahun 1783, teorema tersebut dipresentasikan ke Paris Academy of Sciences oleh ahli matematika Perancis J.-P. de Gois, tetapi sebelumnya diketahui oleh René Descartes dan sebelum dia Johann Fulgaber, yang mungkin merupakan orang pertama yang menemukannya pada tahun 1622. Dalam bentuk yang lebih umum, teorema tersebut dirumuskan oleh Charles Tinsault (Perancis) dalam laporannya kepada Paris Academy of Sciences pada tahun 1774.Jadi saya tidak terlambat 18 tahun, tapi setidaknya terlambat beberapa abad!
Sumber
Pembaca memberikan beberapa tautan bermanfaat di komentar. Berikut ini dan beberapa tautan lainnya:Potensi kreativitas biasanya dikaitkan dengan humaniora, meninggalkan ilmu pengetahuan alam pada analisis, pendekatan praktis dan bahasa rumus dan angka yang kering. Matematika tidak dapat digolongkan sebagai mata pelajaran humaniora. Namun tanpa kreativitas Anda tidak akan bisa melangkah jauh ke dalam “ratu segala ilmu” - orang sudah mengetahui hal ini sejak lama. Sejak zaman Pythagoras misalnya.
Sayangnya, buku pelajaran sekolah biasanya tidak menjelaskan bahwa dalam matematika yang penting tidak hanya menjejali teorema, aksioma, dan rumus. Penting untuk memahami dan merasakan prinsip dasarnya. Dan pada saat yang sama, cobalah untuk membebaskan pikiran Anda dari klise dan kebenaran mendasar - hanya dalam kondisi seperti itulah semua penemuan besar lahir.
Penemuan tersebut mencakup apa yang kita kenal sekarang sebagai teorema Pythagoras. Dengan bantuannya, kami akan mencoba menunjukkan bahwa matematika tidak hanya bisa, tapi juga harus menyenangkan. Dan petualangan ini cocok tidak hanya untuk para nerd berkacamata tebal, tapi untuk semua orang yang kuat pikiran dan kuat jiwa.
Dari sejarah masalah tersebut
Sebenarnya, meskipun teorema ini disebut “teorema Pythagoras”, Pythagoras sendiri tidak menemukannya. Segitiga siku-siku dan sifat-sifat khususnya telah dipelajari jauh sebelumnya. Ada dua sudut pandang yang berbeda mengenai masalah ini. Menurut salah satu versi, Pythagoras adalah orang pertama yang menemukan bukti lengkap teorema tersebut. Menurut yang lain, bukti tersebut bukan milik penulis Pythagoras.
Saat ini Anda tidak bisa lagi memeriksa siapa yang benar dan siapa yang salah. Yang diketahui adalah bahwa bukti Pythagoras, jika memang ada, tidak bertahan. Namun, ada dugaan bahwa bukti terkenal dari Elemen Euclid mungkin milik Pythagoras, dan Euclid hanya mencatatnya.
Diketahui juga saat ini bahwa masalah tentang segitiga siku-siku ditemukan dalam sumber-sumber Mesir dari zaman Firaun Amenemhat I, pada tablet tanah liat Babilonia dari masa pemerintahan Raja Hammurabi, dalam risalah India kuno “Sulva Sutra” dan karya Tiongkok kuno “ Zhou-bi suan jin”.
Seperti yang Anda lihat, teorema Pythagoras telah memenuhi pikiran para ahli matematika sejak zaman kuno. Hal ini diperkuat oleh sekitar 367 bukti berbeda yang ada saat ini. Dalam hal ini, tidak ada teorema lain yang dapat menandinginya. Di antara para penulis bukti yang terkenal, kita dapat mengingat Leonardo da Vinci dan Presiden AS yang kedua puluh James Garfield. Semua ini menunjukkan betapa pentingnya teorema ini bagi matematika: sebagian besar teorema geometri diturunkan darinya atau entah bagaimana terhubung dengannya.
Bukti teorema Pythagoras
Buku pelajaran sekolah kebanyakan memberikan bukti aljabar. Namun inti dari teorema ini ada pada geometri, jadi mari kita perhatikan dulu bukti-bukti teorema terkenal yang didasarkan pada ilmu ini.
Bukti 1
Untuk pembuktian paling sederhana dari teorema Pythagoras untuk segitiga siku-siku, Anda perlu menetapkan kondisi ideal: biarkan segitiga tidak hanya siku-siku, tetapi juga sama kaki. Ada alasan untuk percaya bahwa segitiga seperti inilah yang awalnya dipertimbangkan oleh para ahli matematika kuno.
Penyataan “persegi yang terletak pada sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah luas persegi yang dibangun pada kaki-kaki segitiga tersebut” dapat diilustrasikan dengan gambar berikut:
Lihatlah segitiga siku-siku sama kaki ABC: Pada sisi miring AC, Anda dapat membuat persegi yang terdiri dari empat segitiga yang sama dengan ABC aslinya. Dan pada sisi AB dan BC dibuat sebuah persegi yang masing-masing berisi dua segitiga sebangun.
Ngomong-ngomong, gambar ini menjadi dasar dari banyak lelucon dan kartun yang didedikasikan untuk teorema Pythagoras. Yang paling terkenal mungkin adalah "Celana Pythagoras sama ke segala arah":
Bukti 2
Metode ini menggabungkan aljabar dan geometri dan dapat dianggap sebagai varian dari pembuktian matematikawan India kuno Bhaskari.
Buatlah segitiga siku-siku dengan sisi-sisinya a, b dan c(Gbr. 1). Kemudian buatlah dua buah persegi yang sisi-sisinya sama dengan jumlah panjang kedua kakinya - (a+b). Di setiap kotak, buatlah konstruksi seperti pada Gambar 2 dan 3.
Pada kotak pertama, buatlah empat segitiga serupa dengan yang ada pada Gambar 1. Hasilnya adalah dua kotak: satu dengan sisi a, yang kedua dengan sisi B.
Pada persegi kedua, empat segitiga sebangun dibentuk membentuk persegi dengan sisi sama dengan sisi miring C.
Jumlah luas persegi yang dibangun pada Gambar 2 sama dengan luas persegi yang kita buat dengan sisi c pada Gambar 3. Ini dapat dengan mudah diperiksa dengan menghitung luas persegi pada Gambar. 2 sesuai rumus. Dan luas persegi yang tertulis pada Gambar 3. dengan mengurangkan luas empat segitiga siku-siku sama besar yang terdapat pada persegi dari luas persegi besar yang memiliki sisi (a+b).
Dengan menuliskan semua ini, kita memiliki: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Buka tanda kurung, lakukan semua perhitungan aljabar yang diperlukan dan dapatkan hasilnya a 2 +b 2 = a 2 +b 2. Dalam hal ini, area yang tertulis pada Gambar 3. persegi juga dapat dihitung menggunakan rumus tradisional S=c 2. Itu. a 2 +b 2 =c 2– Anda telah membuktikan teorema Pythagoras.
Bukti 3
Bukti India kuno itu sendiri dijelaskan pada abad ke-12 dalam risalah “Mahkota Pengetahuan” (“Siddhanta Shiromani”) dan sebagai argumen utama penulis menggunakan seruan yang ditujukan pada bakat matematika dan keterampilan observasi siswa dan pengikut: “ Lihat!"
Namun kami akan menganalisis bukti ini lebih detail:
Di dalam persegi, buatlah empat segitiga siku-siku seperti yang ditunjukkan pada gambar. Mari kita tunjukkan sisi persegi besar, yang juga dikenal sebagai sisi miring, Dengan. Sebut saja kaki-kaki segitiga A Dan B. Berdasarkan gambar, sisi persegi bagian dalam adalah (a-b).
Gunakan rumus luas persegi S=c 2 untuk menghitung luas persegi luar. Dan sekaligus menghitung nilai yang sama dengan menjumlahkan luas persegi bagian dalam dan luas keempat segitiga siku-siku: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.
Anda dapat menggunakan kedua opsi untuk menghitung luas persegi untuk memastikan keduanya memberikan hasil yang sama. Dan ini memberi Anda hak untuk menuliskannya c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Sebagai hasil dari penyelesaiannya, Anda akan mendapatkan rumus teorema Pythagoras c 2 =sebuah 2 +b 2. Teorema tersebut telah terbukti.
Bukti 4
Bukti kuno Tiongkok yang aneh ini disebut “Kursi Pengantin” – karena bentuk kursi yang dihasilkan dari semua konstruksi:
Ini menggunakan gambar yang telah kita lihat pada Gambar 3 pada bukti kedua. Dan persegi bagian dalam dengan sisi c dibuat dengan cara yang sama seperti pada bukti India kuno yang diberikan di atas.
Jika Anda secara mental memotong dua segitiga siku-siku hijau dari gambar pada Gambar 1, pindahkan ke sisi berlawanan dari persegi dengan sisi c dan tempelkan sisi miring ke sisi miring segitiga ungu, Anda akan mendapatkan gambar yang disebut "kursi pengantin" (Gbr. 2). Agar lebih jelas, Anda dapat melakukan hal yang sama dengan kertas kotak dan segitiga. Anda akan memastikan bahwa "kursi pengantin wanita" dibentuk oleh dua kotak: kotak kecil dengan satu sisi B dan besar dengan sisinya A.
Konstruksi ini memungkinkan para ahli matematika Tiongkok kuno dan kita, mengikuti mereka, sampai pada kesimpulan bahwa c 2 =sebuah 2 +b 2.
Bukti 5
Ini adalah cara lain untuk mencari solusi teorema Pythagoras menggunakan geometri. Ini disebut Metode Garfield.
Buatlah segitiga siku-siku ABC. Kita perlu membuktikannya BC 2 = AC 2 + AB 2.
Untuk melakukan ini, lanjutkan dengan kaki AC dan membuat segmen CD, yang sama dengan kaki AB. Turunkan tegak lurus IKLAN segmen garis ED. Segmen ED Dan AC adalah sama. Hubungkan titik-titiknya E Dan DI DALAM, Dan E Dan DENGAN dan dapatkan gambar seperti gambar di bawah ini:
Untuk membuktikan menara tersebut, kami kembali menggunakan metode yang telah kami coba: kami menemukan luas bangun yang dihasilkan dengan dua cara dan menyamakan ekspresi satu sama lain.
Temukan luas poligon TEMPAT TIDUR dapat dilakukan dengan menjumlahkan luas ketiga segitiga yang membentuknya. Dan salah satunya, ERU, tidak hanya berbentuk persegi panjang, tetapi juga sama kaki. Jangan lupakan itu juga AB=CD, AC=ED Dan SM=SE– ini akan memungkinkan kami menyederhanakan perekaman dan tidak membebani secara berlebihan. Jadi, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.
Pada saat yang sama, jelas bahwa TEMPAT TIDUR- Ini trapesium. Oleh karena itu, kami menghitung luasnya menggunakan rumus: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. Untuk perhitungan kami, akan lebih mudah dan jelas untuk merepresentasikan segmen tersebut IKLAN sebagai jumlah segmen AC Dan CD.
Mari kita tuliskan kedua cara menghitung luas suatu bangun, dengan memberi tanda sama dengan di antara keduanya: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Kami menggunakan persamaan segmen yang sudah kami ketahui dan dijelaskan di atas untuk menyederhanakan notasi ruas kanan: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Sekarang mari kita buka tanda kurung dan ubah persamaannya: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Setelah menyelesaikan semua transformasi, kami mendapatkan apa yang kami butuhkan: BC 2 = AC 2 + AB 2. Kami telah membuktikan teorema tersebut.
Tentu saja, daftar bukti ini masih jauh dari lengkap. Teorema Pythagoras juga dapat dibuktikan dengan menggunakan vektor, bilangan kompleks, persamaan diferensial, stereometri, dll. Dan bahkan fisikawan: jika, misalnya, cairan dituangkan ke dalam volume persegi dan segitiga serupa dengan yang ditunjukkan pada gambar. Dengan menuangkan cairan, Anda dapat membuktikan persamaan luas dan teorema itu sendiri sebagai hasilnya.
Beberapa kata tentang kembar tiga Pythagoras
Masalah ini sedikit atau tidak dipelajari sama sekali dalam kurikulum sekolah. Sementara itu, ini sangat menarik dan sangat penting dalam geometri. Tripel Pythagoras digunakan untuk menyelesaikan banyak masalah matematika. Memahaminya mungkin berguna bagi Anda dalam pendidikan lebih lanjut.
Jadi apa itu kembar tiga Pythagoras? Ini adalah sebutan untuk bilangan asli yang dikumpulkan dalam kelompok tiga, yang jumlah kuadrat dua bilangan tersebut sama dengan bilangan ketiga kuadrat.
Tripel Pythagoras dapat berupa:
- primitif (ketiga bilangan tersebut relatif prima);
- tidak primitif (jika setiap bilangan dari suatu tripel dikalikan dengan bilangan yang sama, Anda mendapatkan tripel baru, yang tidak primitif).
Bahkan sebelum zaman kita, orang Mesir kuno terpesona oleh kegilaan akan jumlah kembar tiga Pythagoras: dalam soal mereka menganggap segitiga siku-siku dengan sisi 3, 4 dan 5 satuan. Omong-omong, segitiga apa pun yang sisi-sisinya sama dengan angka-angka dari tripel Pythagoras secara default adalah persegi panjang.
Contoh kembar tiga Pythagoras: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14 , 48, 50), (30, 40, 50), dst.
Penerapan praktis teorema
Teorema Pythagoras digunakan tidak hanya dalam matematika, tetapi juga dalam arsitektur dan konstruksi, astronomi dan bahkan sastra.
Pertama, tentang konstruksi: teorema Pythagoras banyak digunakan dalam permasalahan dengan berbagai tingkat kompleksitas. Misalnya, lihat jendela bergaya Romawi:
Mari kita nyatakan lebar jendela sebagai B, maka jari-jari setengah lingkaran besar dapat dinotasikan sebagai R dan mengungkapkan melalui b: R=b/2. Jari-jari setengah lingkaran yang lebih kecil juga dapat dinyatakan melalui b: r=b/4. Dalam soal ini kita tertarik pada jari-jari lingkaran dalam jendela (sebut saja P).
Teorema Pythagoras hanya berguna untuk menghitung R. Untuk melakukan ini, kita menggunakan segitiga siku-siku, yang ditandai dengan garis putus-putus pada gambar. Sisi miring suatu segitiga terdiri dari dua jari-jari: b/4+hal. Satu kaki melambangkan jari-jari b/4, lain b/2-hal. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, kita menulis: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Selanjutnya, kita buka tanda kurung dan dapatkan b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Mari kita ubah ungkapan ini menjadi bp/2=b 2 /4-bp. Dan kemudian kita membagi semua suku dengan B, kami menyajikan yang serupa untuk didapatkan 3/2*p=b/4. Dan pada akhirnya kita menemukannya hal=b/6- itulah yang kami butuhkan.
Dengan menggunakan teorema tersebut, Anda dapat menghitung panjang kasau untuk atap pelana. Tentukan seberapa tinggi menara komunikasi seluler yang dibutuhkan agar sinyal dapat menjangkau wilayah berpenduduk tertentu. Dan bahkan memasang pohon Natal secara ramah lingkungan di alun-alun kota. Seperti yang Anda lihat, teorema ini tidak hanya ada di halaman buku teks, tetapi sering kali berguna dalam kehidupan nyata.
Dalam sastra, teorema Pythagoras telah menginspirasi para penulis sejak jaman dahulu dan terus berlanjut hingga zaman kita. Misalnya, penulis Jerman abad kesembilan belas Adelbert von Chamisso terinspirasi untuk menulis soneta:
Cahaya kebenaran tidak akan segera hilang,
Tapi, setelah bersinar, kecil kemungkinannya akan hilang
Dan, seperti ribuan tahun yang lalu,
Itu tidak akan menimbulkan keraguan atau kontroversi.Paling bijak bila menyentuh pandanganmu
Cahaya kebenaran, terima kasih kepada para dewa;
Dan seratus ekor lembu jantan, disembelih, berbohong -
Hadiah balasan dari Pythagoras yang beruntung.Sejak itu, para banteng mengaum dengan putus asa:
Selamanya membuat khawatir suku banteng
Acara disebutkan di sini.Tampaknya bagi mereka: waktunya akan segera tiba,
Dan mereka akan dikorbankan lagi
Beberapa teorema hebat.(terjemahan oleh Viktor Toporov)
Dan pada abad kedua puluh, penulis Soviet Evgeny Veltistov, dalam bukunya “The Adventures of Electronics,” mencurahkan seluruh bab untuk membuktikan teorema Pythagoras. Dan setengah bab lagi cerita tentang dunia dua dimensi yang bisa ada jika teorema Pythagoras menjadi hukum dasar dan bahkan agama untuk satu dunia. Hidup di sana akan jauh lebih mudah, namun juga jauh lebih membosankan: misalnya, tidak ada seorang pun di sana yang memahami arti kata “bulat” dan “halus”.
Dan dalam buku “The Adventures of Electronics”, penulisnya, melalui mulut guru matematika Taratar, mengatakan: “Hal utama dalam matematika adalah gerak pemikiran, ide-ide baru.” Pelarian pemikiran kreatif inilah yang memunculkan teorema Pythagoras - bukan tanpa alasan ia memiliki begitu banyak bukti yang bervariasi. Ini membantu Anda melampaui batas-batas yang sudah dikenal dan melihat hal-hal yang sudah dikenal dengan cara baru.
Kesimpulan
Artikel ini dibuat agar Anda dapat melihat melampaui kurikulum sekolah dalam matematika dan mempelajari tidak hanya bukti teorema Pythagoras yang diberikan dalam buku teks “Geometri 7-9” (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) dan “Geometri 7” - 11” (A.V. Pogorelov), tetapi juga cara menarik lainnya untuk membuktikan teorema terkenal tersebut. Dan lihat juga contoh penerapan teorema Pythagoras dalam kehidupan sehari-hari.
Pertama, informasi ini akan memungkinkan Anda memenuhi syarat untuk mendapatkan nilai lebih tinggi dalam pelajaran matematika - informasi tentang subjek dari sumber tambahan selalu sangat dihargai.
Kedua, kami ingin membantu Anda merasakan betapa menariknya matematika. Konfirmasikan dengan contoh spesifik bahwa selalu ada ruang untuk kreativitas. Kami berharap teorema Pythagoras dan artikel ini dapat menginspirasi Anda untuk mengeksplorasi secara mandiri dan membuat penemuan menarik dalam matematika dan ilmu pengetahuan lainnya.
Beri tahu kami di komentar jika menurut Anda bukti yang disajikan dalam artikel menarik. Apakah menurut Anda informasi ini berguna dalam studi Anda? Tuliskan kepada kami pendapat Anda tentang teorema Pythagoras dan artikel ini - kami akan dengan senang hati mendiskusikan semua ini dengan Anda.
situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.
Berbagai cara untuk membuktikan teorema Pythagoras
siswa kelas "A" ke-9
Sekolah menengah lembaga pendidikan kota No.8
Penasihat ilmiah:
guru matematika,
Sekolah menengah lembaga pendidikan kota No.8
Seni. Novorozhdestvenskaya
wilayah Krasnodar.
Seni. Novorozhdestvenskaya
ANOTASI.
Teorema Pythagoras dianggap sebagai yang paling penting dalam perjalanan geometri dan patut mendapat perhatian. Ini adalah dasar untuk memecahkan banyak masalah geometri, dasar untuk mempelajari mata kuliah geometri teoritis dan praktis di masa depan. Teorema ini dikelilingi oleh kekayaan materi sejarah yang berkaitan dengan kemunculan dan metode pembuktiannya. Mempelajari sejarah perkembangan geometri menanamkan kecintaan terhadap mata pelajaran ini, mendorong pengembangan minat kognitif, budaya umum dan kreativitas, serta mengembangkan keterampilan penelitian.
Sebagai hasil dari kegiatan pencarian, tujuan pekerjaan tercapai, yaitu untuk menambah dan menggeneralisasi pengetahuan tentang pembuktian teorema Pythagoras. Dimungkinkan untuk menemukan dan mempertimbangkan berbagai metode pembuktian dan memperdalam pengetahuan tentang topik tersebut, melampaui halaman buku teks sekolah.
Materi yang dikumpulkan semakin meyakinkan kita bahwa teorema Pythagoras adalah teorema geometri yang hebat dan memiliki signifikansi teoritis dan praktis yang sangat besar.
Perkenalan. Latar belakang sejarah 5 Bagian utama 8
3. Kesimpulan 19
4. Literatur yang digunakan 20
1. PERKENALAN. REFERENSI SEJARAH.Hakikat kebenarannya adalah bahwa itu untuk kita selamanya,
Ketika setidaknya sekali dalam pencerahannya kita melihat cahaya,
Dan teorema Pythagoras setelah bertahun-tahun
Bagi kami, baginya, hal itu tidak dapat disangkal, tanpa cela.
Untuk bersukacita, Pythagoras bersumpah kepada para dewa:
Untuk menyentuh kebijaksanaan yang tak terbatas,
Dia menyembelih seratus ekor lembu jantan, terima kasih kepada yang kekal;
Dia memanjatkan doa dan pujian setelah korban.
Sejak itu, ketika sapi jantan mencium baunya, mereka mendorong,
Bahwa jejak itu kembali membawa orang pada kebenaran baru,
Mereka mengaum dengan marah, jadi tidak ada gunanya mendengarkan,
Pythagoras seperti itu menanamkan teror pada mereka selamanya.
Bulls, tidak berdaya untuk menolak kebenaran baru,
Apa yang tersisa? - Hanya memejamkan mata, menderu, gemetar.
Tidak diketahui bagaimana Pythagoras membuktikan teoremanya. Yang pasti dia menemukannya di bawah pengaruh kuat ilmu pengetahuan Mesir. Kasus khusus teorema Pythagoras - sifat-sifat segitiga dengan sisi 3, 4 dan 5 - diketahui oleh pembuat piramida jauh sebelum kelahiran Pythagoras, dan dia sendiri belajar dengan pendeta Mesir selama lebih dari 20 tahun. Sebuah legenda telah dilestarikan yang mengatakan bahwa, setelah membuktikan teorema terkenalnya, Pythagoras mengorbankan seekor lembu jantan kepada para dewa, dan menurut sumber lain, bahkan 100 ekor lembu jantan. Namun hal ini bertentangan dengan informasi tentang pandangan moral dan agama Pythagoras. Dalam sumber-sumber sastra Anda dapat membaca bahwa beliau “bahkan melarang membunuh hewan, apalagi memakannya, karena hewan memiliki jiwa, sama seperti kita.” Pythagoras hanya makan madu, roti, sayur-sayuran dan kadang-kadang ikan. Sehubungan dengan semua ini, entri berikut dapat dianggap lebih masuk akal: "... dan bahkan ketika dia menemukan bahwa dalam segitiga siku-siku sisi miringnya sama dengan kaki, dia mengorbankan seekor sapi jantan yang terbuat dari adonan gandum."
Popularitas teorema Pythagoras begitu besar sehingga buktinya ditemukan bahkan dalam fiksi, misalnya, dalam cerita “Young Archimedes” oleh penulis terkenal Inggris Huxley. Bukti yang sama, tetapi untuk kasus khusus segitiga siku-siku sama kaki, diberikan dalam dialog Plato “Meno”.
Dongeng "Rumah".
“Jauh, jauh sekali, di mana bahkan pesawat pun tidak dapat terbang, terdapat negara Geometri. Di negara yang tidak biasa ini ada satu kota yang menakjubkan - kota Teorem. Suatu hari seorang gadis cantik bernama Hypotenuse datang ke kota ini. Dia mencoba untuk menyewa kamar, tetapi di mana pun dia melamar, dia ditolak. Akhirnya dia mendekati rumah reyot itu dan mengetuknya. Seorang pria yang menyebut dirinya Sudut Kanan membukakan pintu untuknya, dan dia mengundang Sisi Miring untuk tinggal bersamanya. Sisi miringnya tetap berada di rumah tempat Sudut Kanan dan kedua putranya yang masih kecil bernama Katetes tinggal. Sejak itu, kehidupan di rumah Sudut Kanan berubah dengan cara baru. Sisi miring menanam bunga di jendela dan menanam mawar merah di taman depan. Rumah itu berbentuk segitiga siku-siku. Kedua kakinya sangat menyukai Si Miring dan memintanya untuk tinggal selamanya di rumah mereka. Di malam hari, keluarga ramah ini berkumpul di meja keluarga. Terkadang Sudut Kanan bermain petak umpet dengan anak-anaknya. Paling sering dia harus mencari, dan Sisi Miring bersembunyi dengan sangat terampil sehingga sangat sulit ditemukan. Suatu hari, saat bermain, Sudut Kanan memperhatikan sebuah properti menarik: jika dia berhasil menemukan kakinya, maka menemukan Sisi Miringnya tidaklah sulit. Jadi Sudut Kanan menggunakan pola ini, harus saya katakan, dengan sangat sukses. Teorema Pythagoras didasarkan pada sifat segitiga siku-siku ini.”
(Dari buku karya A. Okunev “Terima kasih atas pelajarannya, anak-anak”).
Rumusan teorema yang lucu:
Jika kita diberi sebuah segitiga
Dan terlebih lagi, dengan sudut siku-siku,
Itu adalah kuadrat sisi miringnya
Kami selalu dapat dengan mudah menemukan:
Kami meluruskan kakinya,
Kami menemukan jumlah kekuatan -
Dan dengan cara yang sederhana
Kami akan sampai pada hasilnya.
Saat mempelajari aljabar dan permulaan analisis dan geometri di kelas 10, saya menjadi yakin bahwa selain metode pembuktian teorema Pythagoras yang dibahas di kelas 8, ada metode pembuktian lain. Saya menyajikannya untuk pertimbangan Anda.
2. BAGIAN UTAMA.Dalil. Pada segitiga siku-siku terdapat persegi
Sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya.
1 METODE.
Dengan menggunakan sifat-sifat luas poligon, kita akan membangun hubungan yang luar biasa antara sisi miring dan kaki-kaki segitiga siku-siku.
Bukti.
a, c dan sisi miring Dengan(Gbr. 1, a).
Mari kita buktikan itu c²=a²+b².
Bukti.
Mari selesaikan segitiga menjadi persegi dengan sisi a + b seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 1,b. Luas S persegi ini adalah (a + b)². Sebaliknya, persegi ini terdiri dari empat segitiga siku-siku yang sama besar, yang masing-masing mempunyai luas ½ aduh , dan persegi dengan sisi Dengan, oleh karena itu S = 4 * ½ aw + c² = 2aw + c².
Dengan demikian,
(a + b)² = 2 aw + c²,
c²=a²+b².
Teorema tersebut telah terbukti.
2 METODE.Setelah mempelajari topik “Segitiga Sebangun”, saya menemukan bahwa persamaan segitiga dapat diterapkan pada pembuktian teorema Pythagoras. Yaitu, saya menggunakan pernyataan bahwa kaki segitiga siku-siku adalah rata-rata yang sebanding dengan sisi miring dan ruas sisi miring yang berada di antara kaki dan tinggi yang ditarik dari titik sudut siku-siku.
Perhatikan segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku C, CD – tinggi (Gbr. 2). Mari kita buktikan itu AC²+NE² = AB² .
Bukti.
Berdasarkan pernyataan tentang kaki segitiga siku-siku:
AC = , SV = .
Mari kita kuadratkan dan tambahkan persamaan yang dihasilkan:
AC² = AB * IKLAN, CB² = AB * DB;
AC² + CB² = AB * (AD + DB), dimana AD+DB=AB, lalu
AC² + CB² = AB * AB,
AC² + CB² = AB².
Buktinya sudah lengkap.
3 METODE.Untuk membuktikan teorema Pythagoras, Anda dapat menerapkan definisi kosinus sudut lancip segitiga siku-siku. Mari kita lihat Gambar. 3.
Bukti:
Misalkan ABC suatu segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku C. Mari kita tarik tinggi CD dari titik sudut siku-siku C.
Menurut definisi kosinus suatu sudut:
karena A = AD/AC = AC/AB. Jadi AB*AD = AC²
Juga,
karena B = ВD/ВС = ВС/АВ.
Jadi AB * BD = BC².
Menambahkan persamaan yang dihasilkan suku demi suku dan mencatat bahwa AD + DB = AB, kita memperoleh:
AC² + matahari² = AB (AD + DB) = AB²
Buktinya sudah lengkap.
4 METODE.Setelah mempelajari topik “Hubungan Sisi dan Sudut Segitiga Siku-siku”, menurut saya teorema Pythagoras dapat dibuktikan dengan cara lain.
Perhatikan segitiga siku-siku yang mempunyai kaki a, c dan sisi miring Dengan. (Gbr. 4).
Mari kita buktikan itu c²=a²+b².
Bukti.
dosa B= kualitas tinggi ; karena B= AC , kemudian, dengan mengkuadratkan persamaan yang dihasilkan, kita mendapatkan:
dosa² B= dalam²/dtk²; cos² DI DALAM= a²/c².
Menambahkannya, kita mendapatkan:
dosa² DI DALAM+cos² B=в²/с²+ а²/с², di mana sin² DI DALAM+cos² B=1,
1= (в²+ а²) / с², oleh karena itu,
c²= a² + b².
Buktinya sudah lengkap.
5 METODE.
Pembuktian ini didasarkan pada pemotongan bujur sangkar yang dibuat di atas kaki-kakinya (Gbr. 5) dan menempatkan bagian-bagian yang dihasilkan pada bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring.
6 METODE.
Sebagai bukti di samping Matahari kami sedang membangun BCD ABC(Gbr. 6). Kita tahu bahwa luas bangun-bangun yang sebangun berhubungan dengan kuadrat dimensi liniernya yang sebangun:
Mengurangi persamaan kedua dari persamaan pertama, kita mendapatkan
c2 = a2 + b2.
Buktinya sudah lengkap.
7 METODE.
Diberikan(Gbr. 7):
ABC,= 90° , matahari= a, AC=b, AB = c.
Membuktikan:c2 = a2 +b2.
Bukti.
Biarkan kaki B A. Mari kita lanjutkan segmennya TIDAK per poin DI DALAM dan buatlah sebuah segitiga BMD sehingga poinnya M Dan A berbaring di satu sisi garis lurus CD dan selain itu, BD =B, BDM= 90°, DM= a, maka BMD= ABC pada dua sisi dan sudut di antara keduanya. Poin A dan M terhubung dengan segmen SAYA. Kita punya MD CD Dan AC CD, itu artinya lurus AC sejajar dengan garis MD Karena MD< АС, lalu lurus CD Dan SAYA. tidak paralel. Karena itu, AMDC- trapesium persegi panjang.
Pada segitiga siku-siku ABC dan BMD 1 + 2 = 90° dan 3 + 4 = 90°, tetapi karena = =, maka 3 + 2 = 90°; Kemudian AVM=180° - 90° = 90°. Ternyata itu trapesium AMDC dibagi menjadi tiga segitiga siku-siku yang tidak tumpang tindih, kemudian berdasarkan aksioma luas
(a+b)(a+b)
Membagi semua suku pertidaksamaan dengan , kita peroleh
Ab + c2 + ab = (sebuah +B) , 2 ab+ c2 = a2+ 2aB+ b2,
c2 = a2 + b2.
Buktinya sudah lengkap.
8 METODE.
Metode ini didasarkan pada sisi miring dan kaki-kaki segitiga siku-siku ABC. Dia membuat persegi-persegi yang bersesuaian dan membuktikan bahwa persegi yang dibangun pada sisi miring sama dengan jumlah persegi yang dibangun pada kaki-kakinya (Gbr. 8).
Bukti.
1) DBC= FBA= 90°;
DBC+ ABC= FBA+ ABC, Cara, FBC = DBA.
Dengan demikian, FBC=ABD(pada dua sisi dan sudut di antara keduanya).
2)
, dimana AL DE, karena BD adalah basis bersama, DL- tinggi keseluruhan.
3)
, karena FB adalah sebuah yayasan, AB- tinggi keseluruhan.
4)
5) Demikian pula dapat dibuktikan bahwa
6) Menjumlahkan suku demi suku, kita memperoleh:
, BC2 = AB2+AC2 . Buktinya sudah lengkap.
9 METODE.
Bukti.
1) Biarkan ABDE- persegi (Gbr. 9), yang sisinya sama dengan sisi miring segitiga siku-siku ABC= s, BC = a, AC =B).
2) Biarkan DK SM Dan DK = matahari, karena 1 + 2 = 90° (seperti sudut lancip segitiga siku-siku), 3 + 2 = 90° (seperti sudut persegi), AB= BD(sisi persegi).
Cara, ABC= BDK(menurut sisi miring dan sudut lancip).
3) Biarkan EL DK, SAYA. E.L. Dapat dengan mudah dibuktikan bahwa ABC = BDK = DEL = EAM (berkaki A Dan B). Kemudian KS= CM= M.L.= L.K.= A -B.
4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (a - b),Dengan2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.
Buktinya sudah lengkap.
10 METODE.
Pembuktiannya dapat dilakukan pada gambar yang secara bercanda disebut “celana Pythagoras” (Gbr. 10). Idenya adalah untuk mengubah persegi yang dibangun pada sisi-sisinya menjadi segitiga sama besar yang bersama-sama membentuk kuadrat sisi miring.
ABC gerakkan seperti yang ditunjukkan oleh panah, dan ia mengambil posisinya KDN. Sisa gambarnya AKDCB luas persegi yang sama AKDC ini adalah jajaran genjang AKNB.
Model jajaran genjang telah dibuat AKNB. Jajar genjang tersebut kami susun ulang sesuai sketsa pada isi karya. Untuk menunjukkan transformasi jajar genjang menjadi segitiga yang luasnya sama, di hadapan siswa kita memotong segitiga pada model dan memindahkannya ke bawah. Jadi, luas persegi tersebut AKDC ternyata sama dengan luas persegi panjang. Demikian pula kita mengubah luas persegi menjadi luas persegi panjang.
Mari kita melakukan transformasi pada persegi yang dibangun pada salah satu sisinya A(Gbr. 11,a):
a) persegi diubah menjadi jajar genjang sama kaki (Gbr. 11.6):
b) jajaran genjang berputar seperempat putaran (Gbr. 12):
c) jajar genjang diubah menjadi persegi panjang sama besar (Gbr. 13): 11 METODE.
Bukti:
PCL- lurus (Gbr. 14);
KLOA= ACPF= ACED= a2;
LGBTO= SVMR =CBNQ= b 2;
AKGB= AKLO +LGBTO= c2;
c2 = a2 + b2.
Buktinya sudah berakhir .
12 METODE.
Beras. Gambar 15 mengilustrasikan bukti asli lain dari teorema Pythagoras.
Disini: segitiga ABC dengan sudut siku-siku C; segmen garis BF tegak lurus TIDAK dan sama dengan itu, segmen MENJADI tegak lurus AB dan sama dengan itu, segmen IKLAN tegak lurus AC dan setara dengan itu; poin F, C,D milik garis yang sama; segi empat ADFB Dan ASVE ukurannya sama, karena ABF = Bank Sentral Eropa; segitiga ADF Dan KARTU AS ukurannya sama; kurangi dari kedua segi empat yang sama segitiga yang mereka bagi ABC, kita mendapatkan
, c2 = a2 + b2.
Buktinya sudah lengkap.
13 METODE.
Luas segitiga siku-siku tertentu, pada salah satu sisinya, sama dengan , dengan yang lain, ,
3. KESIMPULAN.
Sebagai hasil dari kegiatan pencarian, tujuan pekerjaan tercapai, yaitu untuk menambah dan menggeneralisasi pengetahuan tentang pembuktian teorema Pythagoras. Berbagai cara untuk membuktikan dan memperdalam pengetahuan tentang topik tersebut dapat ditemukan dan dipertimbangkan, melampaui halaman-halaman buku teks sekolah.
Materi yang saya kumpulkan semakin meyakinkan saya bahwa teorema Pythagoras adalah teorema geometri yang hebat dan memiliki signifikansi teoritis dan praktis yang sangat besar. Sebagai kesimpulan, saya ingin mengatakan: alasan popularitas teorema tritunggal Pythagoras adalah keindahan, kesederhanaan, dan signifikansinya!
4. SASTRA YANG DIGUNAKAN.
1. Aljabar yang menghibur. . Moskow "Ilmu", 1978.
2. Suplemen pendidikan dan metodologi mingguan untuk surat kabar “First of September”, 24/2001.
3. Geometri 7-9. dan sebagainya.
4. Geometri 7-9. dan sebagainya.
Saat Anda pertama kali belajar tentang akar kuadrat dan cara menyelesaikan persamaan irasional (persamaan yang melibatkan persamaan yang tidak diketahui di bawah tanda akar), Anda mungkin pertama kali merasakan kegunaan praktisnya. Kemampuan mengambil akar kuadrat suatu bilangan juga diperlukan untuk menyelesaikan masalah dengan menggunakan teorema Pythagoras. Teorema ini menghubungkan panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku.
Misalkan panjang kaki-kaki suatu segitiga siku-siku (kedua sisi yang bertemu pada sudut siku-siku) dilambangkan dengan huruf dan, dan panjang sisi miring (sisi terpanjang dari segitiga yang terletak berhadapan dengan sudut siku-siku) dilambangkan dengan surat. Kemudian panjang-panjang yang bersesuaian dihubungkan dengan hubungan berikut:
Persamaan ini memungkinkan Anda mencari panjang salah satu sisi segitiga siku-siku jika panjang dua sisi lainnya diketahui. Selain itu, Anda juga dapat menentukan apakah segitiga yang dimaksud merupakan segitiga siku-siku, asalkan panjang ketiga sisinya diketahui terlebih dahulu.
Menyelesaikan masalah menggunakan teorema Pythagoras
Untuk memantapkan materi, kita akan menyelesaikan soal-soal berikut dengan menggunakan teorema Pythagoras.
Jadi, diberikan:
- Panjang salah satu kakinya 48, sisi miringnya 80.
- Panjang kakinya 84, sisi miringnya 91.
Mari kita ke solusinya:
a) Mensubstitusi data ke dalam persamaan di atas memberikan hasil sebagai berikut:
48 2 + B 2 = 80 2
2304 + B 2 = 6400
B 2 = 4096
B= 64 atau B = -64
Karena panjang sisi segitiga tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan negatif, pilihan kedua otomatis ditolak.
Jawaban pada gambar pertama: B = 64.
b) Panjang kaki segitiga kedua dicari dengan cara yang sama:
84 2 + B 2 = 91 2
7056 + B 2 = 8281
B 2 = 1225
B= 35 atau B = -35
Seperti dalam kasus sebelumnya, keputusan negatif dibuang.
Jawaban pada gambar kedua: B = 35
Kami diberikan:
- Panjang sisi-sisi kecil segitiga masing-masing adalah 45 dan 55, dan sisi-sisi besarnya adalah 75.
- Panjang sisi-sisi kecil segitiga masing-masing adalah 28 dan 45, dan sisi-sisi besarnya adalah 53.
Mari kita selesaikan masalahnya:
a) Kita perlu memeriksa apakah jumlah kuadrat panjang sisi terpendek suatu segitiga sama dengan kuadrat panjang sisi yang lebih besar:
45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050
Oleh karena itu, segitiga pertama bukanlah segitiga siku-siku.
b) Operasi yang sama dilakukan:
28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809
Oleh karena itu, segitiga kedua adalah segitiga siku-siku.
Pertama, cari panjang ruas terbesar yang dibentuk oleh titik-titik dengan koordinat (-2, -3) dan (5, -2). Untuk melakukan ini, kami menggunakan rumus terkenal untuk mencari jarak antar titik dalam sistem koordinat persegi panjang:
Demikian pula, kita mencari panjang segmen yang terletak di antara titik-titik dengan koordinat (-2, -3) dan (2, 1):
Terakhir, kita tentukan panjang ruas antara titik-titik dengan koordinat (2, 1) dan (5, -2):
Karena persamaan berlaku:
maka segitiga yang bersesuaian adalah siku-siku.
Dengan demikian, kita dapat merumuskan jawaban dari soal: karena jumlah kuadrat sisi-sisi yang panjangnya terpendek sama dengan kuadrat sisi yang terpanjang, maka titik-titik tersebut adalah titik sudut suatu segitiga siku-siku.
Alas (terletak secara horizontal), kusen (terletak secara vertikal) dan kabel (diregangkan secara diagonal) masing-masing membentuk segitiga siku-siku, untuk mencari panjang kabel dapat digunakan teorema Pythagoras:
Jadi, panjang kabelnya kurang lebih 3,6 meter.
Diketahui: jarak titik R ke titik P (kaki segitiga) adalah 24, jarak titik R ke titik Q (sisi miring) adalah 26.
Jadi, mari bantu Vita mengatasi masalahnya. Karena sisi-sisi segitiga yang ditunjukkan pada gambar seharusnya membentuk segitiga siku-siku, Anda dapat menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang sisi ketiga:
Jadi, lebar kolam tersebut adalah 10 meter.
Sergei Valerievich
