Ketimpangan dan sistem kesenjangan menjadi salah satu topik yang dibahas sekolah menengah atas dalam aljabar. Dari segi tingkat kesulitan, ini bukan yang paling sulit, karena aturannya sederhana (lebih lanjut tentangnya nanti). Biasanya, anak-anak sekolah belajar memecahkan sistem ketidaksetaraan dengan cukup mudah. Hal ini juga disebabkan oleh kenyataan bahwa guru hanya “melatih” siswanya tentang topik ini. Dan mereka mau tidak mau melakukan ini, karena hal ini dipelajari di masa depan dengan menggunakan cara lain besaran matematika, dan juga diuji pada OGE dan Ujian Negara Bersatu. Dalam buku pelajaran sekolah, topik ketimpangan dan sistem ketimpangan dibahas dengan sangat rinci, jadi jika Anda ingin mempelajarinya, sebaiknya gunakan topik tersebut. Artikel ini hanya merangkum materi yang lebih besar dan mungkin ada beberapa kekurangan.
Konsep sistem ketidaksetaraan
Jika Anda beralih ke bahasa ilmiah, maka kita dapat mendefinisikan konsep “sistem ketimpangan”. Ini adalah model matematika yang mewakili beberapa ketidaksetaraan. Model ini tentunya memerlukan penyelesaian, dan ini akan menjadi jawaban umum untuk semua pertidaksamaan sistem yang diajukan dalam tugas (biasanya ditulis seperti ini, misalnya: “Selesaikan sistem pertidaksamaan 4 x + 1 > 2 dan 30 - x > 6... "). Namun, sebelum beralih ke jenis dan metode penyelesaian, Anda perlu memahami hal lain.
Sistem pertidaksamaan dan sistem persamaan
Sedang dalam proses belajar topik baru sering sekali terjadi kesalahpahaman. Di satu sisi, semuanya jelas dan Anda ingin mulai menyelesaikan tugas sesegera mungkin, tetapi di sisi lain, beberapa momen masih dalam “bayangan” dan tidak sepenuhnya dipahami. Selain itu, beberapa elemen pengetahuan yang telah diperoleh mungkin terkait dengan pengetahuan baru. Akibat “overlay” ini sering terjadi kesalahan.
Oleh karena itu, sebelum kita mulai menganalisis topik kita, kita harus mengingat perbedaan antara persamaan dan pertidaksamaan serta sistemnya. Untuk melakukan hal ini, kita perlu mengklarifikasi sekali lagi apa yang diwakili oleh data tersebut. konsep matematika. Persamaan selalu merupakan persamaan, dan selalu sama dengan sesuatu (dalam matematika kata ini dilambangkan dengan tanda "="). Ketimpangan adalah model di mana suatu nilai lebih besar atau lebih kecil dari nilai lainnya, atau mengandung pernyataan bahwa keduanya tidak sama. Jadi, dalam kasus pertama, adalah tepat untuk berbicara tentang kesetaraan, dan dalam kasus kedua, betapapun jelasnya kedengarannya dari namanya, tentang ketidaksetaraan data awal. Sistem persamaan dan pertidaksamaan praktis tidak berbeda satu sama lain dan cara penyelesaiannya sama. Satu-satunya perbedaan adalah bahwa dalam kasus pertama persamaan digunakan, dan dalam kasus kedua digunakan ketidaksetaraan.
Jenis-jenis ketidaksetaraan
Ada dua jenis pertidaksamaan: numerik dan dengan variabel yang tidak diketahui. Tipe pertama mewakili nilai (angka) yang diberikan yang tidak sama satu sama lain, misalnya 8 > 10. Tipe kedua adalah pertidaksamaan yang mengandung variabel yang tidak diketahui (dilambangkan dengan huruf tertentu Alfabet Latin, paling sering X). Variabel ini perlu ditemukan. Tergantung pada jumlahnya, model matematika membedakan antara pertidaksamaan dengan satu (membentuk sistem pertidaksamaan dengan satu variabel) atau beberapa variabel (membentuk sistem pertidaksamaan dengan beberapa variabel).
Dua jenis terakhir, menurut tingkat konstruksinya dan tingkat kerumitan solusinya, dibagi menjadi sederhana dan kompleks. Pertidaksamaan sederhana disebut juga pertidaksamaan linier. Mereka, pada gilirannya, dibagi menjadi ketat dan tidak ketat. Yang ketat secara khusus “mengatakan” bahwa satu kuantitas harus lebih kecil atau lebih, jadi ini masuk bentuk murni ketidaksamaan. Beberapa contoh dapat diberikan: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, dst. Yang tidak ketat juga mencakup kesetaraan. Artinya, suatu nilai bisa lebih besar atau sama dengan nilai lain (tanda “≥”) atau lebih kecil atau sama dengan nilai lain (tanda “≤”). Juga di kesenjangan linier ah, variabelnya bukan akar, kuadrat, atau habis dibagi apa pun, itulah sebabnya disebut “sederhana”. Yang kompleks melibatkan variabel yang tidak diketahui yang memerlukan eksekusi untuk menemukannya. lagi operasi matematika. Mereka sering terletak di persegi, kubus atau di bawah akar, mereka dapat berbentuk modular, logaritmik, pecahan, dll. Namun karena tugas kita adalah kebutuhan untuk memahami solusi sistem pertidaksamaan, kita akan berbicara tentang sistem pertidaksamaan linier . Namun, sebelum itu, beberapa kata harus disampaikan tentang propertinya.
Sifat-sifat ketidaksetaraan
Sifat-sifat ketidaksetaraan antara lain sebagai berikut:
- Tanda pertidaksamaan dibalik jika suatu operasi digunakan untuk mengubah urutan sisi-sisinya (misalnya, jika t 1 ≤ t 2, maka t 2 ≥ t 1).
- Kedua ruas pertidaksamaan memungkinkan Anda menjumlahkan bilangan yang sama ke bilangan itu sendiri (misalnya, jika t 1 ≤ t 2, maka t 1 + bilangan ≤ t 2 + bilangan).
- Dua atau lebih pertidaksamaan yang bertanda searah memungkinkan penjumlahan ruas kiri dan kanannya (misalnya, jika t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, maka t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
- Kedua ruas pertidaksamaan tersebut dapat dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama nomor positif(misalnya jika t 1 ≤ t 2 dan bilangan ≤ 0, maka bilangan · t 1 ≥ bilangan · t 2).
- Dua atau lebih pertidaksamaan yang suku-sukunya positif dan bertanda searah dapat dikalikan satu sama lain (misalnya, jika t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 maka t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
- Kedua bagian pertidaksamaan boleh dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama, tetapi dalam hal ini tanda pertidaksamaannya berubah (misalnya, jika t 1 ≤ t 2 dan suatu bilangan ≤ 0, maka bilangan tersebut · t 1 ≥ angka · t 2).
- Semua pertidaksamaan mempunyai sifat transitivitas (misalnya, jika t 1 ≤ t 2 dan t 2 ≤ t 3, maka t 1 ≤ t 3).
Kini, setelah mempelajari prinsip-prinsip dasar teori terkait ketimpangan, kita bisa langsung membahas aturan-aturan penyelesaian sistemnya.
Memecahkan sistem ketidaksetaraan. Informasi Umum. Solusi
Seperti disebutkan di atas, solusinya adalah nilai-nilai variabel yang sesuai untuk semua pertidaksamaan sistem yang diberikan. Penyelesaian sistem kesenjangan adalah implementasinya operasi matematika, yang pada akhirnya mengarah pada solusi untuk keseluruhan sistem atau membuktikan bahwa sistem tersebut tidak memiliki solusi. Dalam hal ini, variabel tersebut dikatakan kosong kumpulan numerik(ditulis seperti ini: huruf yang menunjukkan variabel∈ (tanda “milik”) ø (tanda “himpunan kosong”), misalnya x ∈ ø (baca: “Variabel “x” termasuk himpunan kosong”). Ada beberapa cara untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan: grafis, aljabar, metode substitusi. Perlu dicatat bahwa mereka termasuk di antara mereka model matematika, yang memiliki beberapa variabel yang tidak diketahui. Jika hanya ada satu, metode interval cocok.
Metode grafis
Memungkinkan Anda menyelesaikan sistem pertidaksamaan dengan beberapa besaran yang tidak diketahui (dari dua ke atas). Berkat metode ini, sistem pertidaksamaan linier dapat diselesaikan dengan cukup mudah dan cepat, sehingga merupakan metode yang paling umum. Hal ini dijelaskan oleh fakta bahwa membuat grafik mengurangi jumlah penulisan operasi matematika. Sangat menyenangkan untuk beristirahat sejenak dari pena, mengambil pensil dengan penggaris dan mulai bekerja. tindakan lebih lanjut dengan bantuan mereka ketika banyak pekerjaan telah diselesaikan dan Anda menginginkan sedikit variasi. Namun, beberapa orang tidak menyukai metode ini karena mereka harus melepaskan diri dari tugas dan beralih ke tugas lain aktivitas mental untuk menggambar. Namun, ini adalah cara yang sangat efektif.
Untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan menggunakan metode grafis, semua suku dari setiap pertidaksamaan harus dipindahkan ke ruas kirinya. Tandanya akan dibalik, nol harus ditulis di sebelah kanan, kemudian setiap pertidaksamaan harus ditulis terpisah. Akibatnya, fungsi akan diperoleh dari pertidaksamaan. Setelah ini, Anda bisa mengeluarkan pensil dan penggaris: sekarang Anda perlu menggambar grafik dari setiap fungsi yang diperoleh. Seluruh himpunan bilangan yang berada pada selang perpotongannya akan menjadi penyelesaian sistem pertidaksamaan.
cara aljabar
Memungkinkan Anda menyelesaikan sistem pertidaksamaan dengan dua variabel yang tidak diketahui. Selain itu, kesenjangan juga harus terjadi dengan tanda yang sama pertidaksamaan (yakni harus memuat tanda “lebih besar dari”, atau hanya tanda “kurang dari”, dll.) Meskipun memiliki keterbatasan, metode ini juga lebih kompleks. Itu diterapkan dalam dua tahap.
Yang pertama melibatkan tindakan untuk menghilangkan salah satu variabel yang tidak diketahui. Pertama Anda perlu memilihnya, lalu periksa keberadaan angka di depan variabel ini. Jika tidak ada (maka variabelnya akan terlihat seperti satu huruf), maka kita tidak mengubah apa pun, jika ada (jenis variabelnya misalnya 5y atau 12y), maka perlu dibuat yakin bahwa pada setiap pertidaksamaan, angka di depan variabel yang dipilih adalah sama. Untuk melakukannya, Anda perlu mengalikan setiap suku pertidaksamaan dengan faktor persekutuan, misalnya jika 3y ditulis pada pertidaksamaan pertama, dan 5y pada pertidaksamaan kedua, maka Anda perlu mengalikan semua suku pertidaksamaan pertama dengan 5 , dan yang kedua dengan 3. Anda mendapatkan masing-masing 15 tahun dan 15 tahun.
Solusi tahap kedua. Ruas kiri setiap pertidaksamaan harus dipindahkan ke ruas kanannya, mengubah tanda setiap suku menjadi kebalikannya, dan menulis nol di sebelah kanan. Kemudian tibalah bagian yang menyenangkan: menghilangkan variabel yang dipilih (atau dikenal sebagai “pengurangan”) sambil menambahkan pertidaksamaan. Hal ini mengakibatkan adanya ketimpangan dengan satu variabel yang perlu diselesaikan. Setelah ini, Anda harus melakukan hal yang sama, hanya dengan variabel lain yang tidak diketahui. Hasil yang diperoleh akan menjadi solusi sistem.
Metode substitusi
Memungkinkan Anda menyelesaikan sistem pertidaksamaan jika memungkinkan untuk memasukkan variabel baru. Biasanya, metode ini digunakan jika variabel yang tidak diketahui pada satu suku pertidaksamaan dipangkatkan keempat, dan pada suku lainnya dikuadratkan. Dengan demikian, cara ini bertujuan untuk mengurangi derajat kesenjangan dalam sistem. Pertidaksamaan sampel x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 diselesaikan dengan cara ini. Variabel baru diperkenalkan, misalnya t. Mereka menulis: “Misalkan t = x 2,” kemudian model tersebut ditulis ulang dalam bentuk baru. Dalam kasus kita, kita mendapatkan t 2 - t - 1 ≤0. Pertidaksamaan ini perlu diselesaikan dengan menggunakan metode interval (lebih lanjut nanti), lalu kembali ke variabel X, lalu lakukan hal yang sama dengan pertidaksamaan lainnya. Jawaban yang diterima akan menjadi solusi sistem.
Metode interval
Ini adalah cara paling sederhana untuk menyelesaikan sistem kesenjangan, dan sekaligus bersifat universal dan tersebar luas. Ini digunakan di sekolah menengah dan bahkan di sekolah tinggi. Esensinya terletak pada siswa mencari interval pertidaksamaan pada garis bilangan yang digambar di buku catatan (ini bukan grafik, melainkan hanya garis biasa dengan angka). Jika interval pertidaksamaan berpotongan, penyelesaian sistem akan ditemukan. Untuk menggunakan metode interval, Anda perlu mengikuti langkah-langkah berikut:
- Semua suku setiap pertidaksamaan dipindahkan ke ruas kiri dengan tanda berubah ke arah sebaliknya (di sebelah kanan ditulis nol).
- Pertidaksamaan dituliskan secara terpisah, dan penyelesaian masing-masing pertidaksamaan ditentukan.
- Perpotongan pertidaksamaan pada garis bilangan ditemukan. Semua bilangan yang terletak pada perpotongan tersebut akan menjadi penyelesaian.
Metode mana yang harus saya gunakan?
Jelas salah satu yang tampaknya paling mudah dan nyaman, tetapi ada kalanya tugas memerlukan metode tertentu. Paling sering mereka mengatakan bahwa Anda perlu menyelesaikannya menggunakan metode grafik atau interval. cara aljabar dan substitusi sangat jarang digunakan atau tidak digunakan sama sekali, karena cukup rumit dan membingungkan, selain itu, substitusi lebih banyak digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan daripada pertidaksamaan, jadi Anda harus menggunakan grafik dan interval. Mereka memberikan kejelasan, yang tidak bisa tidak berkontribusi pada pelaksanaan operasi matematika yang efisien dan cepat.
Jika sesuatu tidak berhasil
Saat mempelajari topik tertentu dalam aljabar, tentu saja ada masalah dengan pemahamannya. Dan hal ini wajar, karena otak kita didesain sedemikian rupa sehingga tidak mampu memahami materi yang kompleks sekaligus. Seringkali Anda perlu membaca ulang sebuah paragraf, meminta bantuan guru, atau berlatih memecahkan suatu masalah. tugas-tugas khas. Dalam kasus kita, persamaannya terlihat seperti ini: “Selesaikan sistem pertidaksamaan 3 x + 1 ≥ 0 dan 2 x - 1 > 3.” Jadi, keinginan pribadi, bantuan dari pihak luar, dan latihan membantu dalam memahami topik yang kompleks.
Pemecah?
Buku solusi juga sangat cocok, tapi bukan untuk menyalin pekerjaan rumah, tapi untuk membantu diri sendiri. Di dalamnya Anda dapat menemukan sistem ketidaksetaraan dengan solusi, melihatnya (sebagai templat), mencoba memahami dengan tepat bagaimana pembuat solusi mengatasi tugas tersebut, dan kemudian mencoba melakukan hal yang sama sendiri.
kesimpulan
Aljabar adalah salah satu yang paling banyak mata pelajaran yang kompleks Di sekolah. Nah, apa yang bisa kamu lakukan? Matematika selalu seperti ini: bagi sebagian orang mudah, tetapi bagi sebagian lainnya sulit. Tapi bagaimanapun juga, kita harus ingat ini program pendidikan umum Itu dibangun sedemikian rupa sehingga setiap siswa dapat mengatasinya. Selain itu, kita harus ingat banyaknya jumlah asisten. Beberapa di antaranya telah disebutkan di atas.
Tidak semua orang tahu bagaimana menyelesaikan kesenjangan yang serupa dalam struktur dan fitur khas dengan persamaan. Persamaan adalah suatu latihan yang terdiri dari dua bagian yang di antaranya terdapat tanda sama dengan, dan di antara bagian-bagian pertidaksamaan tersebut dapat terdapat tanda “lebih dari” atau “kurang dari”. Jadi, sebelum mencari solusi untuk suatu pertidaksamaan tertentu, kita harus memahami bahwa ada baiknya mempertimbangkan tanda suatu bilangan (positif atau negatif) jika kedua ruas perlu dikalikan dengan ekspresi apa pun. Fakta yang sama harus diperhitungkan jika pengkuadratan diperlukan untuk menyelesaikan pertidaksamaan, karena pengkuadratan dilakukan dengan perkalian.
Bagaimana mengatasi sistem kesenjangan
Menyelesaikan sistem ketimpangan jauh lebih sulit dibandingkan dengan ketimpangan biasa. Cara mengatasi pertidaksamaan kelas 9, yuk simak contoh spesifik. Perlu dipahami bahwa sebelum menyelesaikan pertidaksamaan (sistem) kuadrat atau sistem pertidaksamaan lainnya, setiap pertidaksamaan harus diselesaikan secara terpisah, kemudian dibandingkan. Penyelesaian sistem pertidaksamaan akan berupa jawaban positif atau negatif (baik sistem tersebut mempunyai solusi atau tidak).
Tugasnya adalah menyelesaikan serangkaian ketidaksetaraan:
Mari kita selesaikan setiap pertidaksamaan secara terpisah
Kami membangun garis bilangan di mana kami menggambarkan serangkaian solusi
Karena suatu himpunan adalah gabungan dari himpunan penyelesaian, himpunan pada garis bilangan ini harus digarisbawahi paling sedikit oleh satu garis.
Menyelesaikan pertidaksamaan dengan modulus
Contoh ini akan menunjukkan cara menyelesaikan pertidaksamaan dengan modulus. Jadi kami punya definisi:
Kita perlu menyelesaikan ketimpangan tersebut:
Sebelum menyelesaikan pertidaksamaan tersebut, modulus (tanda) harus dihilangkan
Mari kita tulis, berdasarkan data definisi:
Sekarang Anda perlu menyelesaikan masing-masing sistem secara terpisah.
Mari kita buat satu garis bilangan di mana kita menggambarkan himpunan solusi.
Hasilnya, kami memiliki koleksi yang menggabungkan banyak solusi.
Memecahkan pertidaksamaan kuadrat
Dengan menggunakan garis bilangan, mari kita lihat contoh penyelesaiannya pertidaksamaan kuadrat. Kami memiliki ketidaksetaraan:
Kita tahu bahwa grafik trinomial kuadrat adalah parabola. Kita juga mengetahui bahwa cabang-cabang parabola mengarah ke atas jika a>0.
x 2 -3x-4< 0
Dengan menggunakan teorema Vieta kita mencari akar x 1 = - 1; x 2 = 4
Mari menggambar parabola, atau lebih tepatnya, sketsanya.
Jadi, kami menemukan bahwa nilai trinomial kuadrat akan kurang dari 0 pada interval – 1 hingga 4.
Banyak orang memiliki pertanyaan ketika menyelesaikan pertidaksamaan ganda seperti g(x)< f(x) < q(x). Перед тем, как решать kesenjangan ganda, perlu menguraikannya menjadi pertidaksamaan sederhana, dan menyelesaikan setiap pertidaksamaan sederhana secara terpisah. Misalnya, dengan memperluas contoh kita, kita memperoleh sistem pertidaksamaan g(x)< f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.
Sebenarnya ada beberapa metode untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang bisa Anda gunakan kesenjangan yang kompleks metode grafis.
Memecahkan pertidaksamaan pecahan
Ketimpangan pecahan memerlukan pendekatan yang lebih hati-hati. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa dalam proses penyelesaian beberapa pertidaksamaan pecahan, tandanya dapat berubah. Sebelum menyelesaikan pertidaksamaan pecahan, perlu Anda ketahui bahwa metode interval digunakan untuk menyelesaikannya. Pertidaksamaan pecahan harus direpresentasikan sedemikian rupa sehingga salah satu sisi tandanya terlihat seperti itu ekspresi rasional pecahan, dan yang kedua – “- 0”. Mentransformasi pertidaksamaan dengan cara ini, kita memperoleh hasil f(x)/g(x) > (.
Menyelesaikan pertidaksamaan menggunakan metode interval
Teknik interval didasarkan pada metode induksi lengkap, yaitu untuk mencari penyelesaian pertidaksamaan perlu melalui semua pilihan yang memungkinkan. Metode ini solusi mungkin tidak diperlukan untuk siswa kelas 8, karena mereka harus mengetahui cara menyelesaikan pertidaksamaan kelas 8, yang merupakan latihan sederhana. Namun untuk kelas yang lebih tua, metode ini sangat diperlukan karena membantu menyelesaikan pertidaksamaan pecahan. Penyelesaian pertidaksamaan dengan teknik ini juga didasarkan pada sifat fungsi kontinu seperti mempertahankan tanda antara nilai yang berubah menjadi 0.
Mari kita buat grafik polinomial. Ini fungsi berkelanjutan, memperoleh nilai 0 3 kali, yaitu f(x) akan sama dengan 0 di titik x 1, x 2 dan x 3, akar-akar polinomial. Dalam interval antara titik-titik ini, tanda fungsi dipertahankan.
Karena untuk menyelesaikan pertidaksamaan f(x)>0 kita memerlukan tanda fungsi, kita lanjutkan ke garis koordinat, meninggalkan grafik.
f(x)>0 untuk x(x 1 ; x 2) dan untuk x(x 3 ;)
f(x)x(- ; x 1) dan pada x (x 2 ; x 3)
Grafik dengan jelas menunjukkan penyelesaian pertidaksamaan f(x)f(x)>0 (penyelesaian pertidaksamaan pertama diberi warna biru, dan penyelesaian pertidaksamaan kedua diberi warna merah). Untuk menentukan tanda suatu fungsi pada suatu interval, cukup mengetahui tanda fungsi di salah satu titik. Teknik ini memungkinkan Anda dengan cepat menyelesaikan pertidaksamaan yang ruas kirinya difaktorkan, karena dalam pertidaksamaan tersebut cukup mudah untuk menemukan akar-akarnya.
Banyak orang beranggapan bahwa kesenjangan eksponensial adalah sesuatu yang rumit dan tidak dapat dipahami. Dan belajar memecahkannya hampir merupakan seni yang hebat, yang hanya dapat dipahami oleh Yang Terpilih...
Benar-benar omong kosong! Ketimpangan eksponensial itu mudah. Dan masalah tersebut selalu diselesaikan dengan sederhana. Yah, hampir selalu. :)
Hari ini kita akan melihat topik ini luar dan dalam. Pelajaran ini akan sangat berguna bagi mereka yang baru mulai memahaminya bagian ini matematika sekolah. Mari kita mulai dengan tugas-tugas sederhana dan kami akan bergerak menuju lebih banyak lagi masalah yang kompleks. Tidak akan ada kerja keras apa pun hari ini, tetapi apa yang akan Anda baca akan cukup untuk menyelesaikan sebagian besar kesenjangan dalam semua jenis ujian dan ujian. pekerjaan mandiri. Dan pada ujianmu ini juga.
Seperti biasa, mari kita mulai dengan definisinya. Pertidaksamaan eksponensial adalah setiap pertidaksamaan yang mengandung fungsi eksponensial. Dengan kata lain, hal ini selalu dapat direduksi menjadi ketidaksetaraan bentuk
\[((a)^(x)) \gt b\]
Di mana $b$ bisa berperan? nomor reguler, dan mungkin sesuatu yang lebih sulit. Contohnya? Ya silahkan:
\[\begin(sejajarkan) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ segi empat ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(X))). \\\end(sejajarkan)\]
Menurut saya maknanya jelas: ada fungsi eksponensial $((a)^(x))$, dibandingkan dengan sesuatu, lalu diminta mencari $x$. Dalam kasus-kasus klinis tertentu, alih-alih variabel $x$, mereka dapat menempatkan beberapa fungsi $f\left(x \right)$ dan dengan demikian sedikit memperumit ketidaksetaraan :)
Tentu saja, dalam beberapa kasus, kesenjangan tersebut mungkin terlihat lebih parah. Misalnya:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
Atau bahkan ini:
Secara umum, kompleksitas dari ketidaksetaraan tersebut bisa sangat berbeda, namun pada akhirnya tetap direduksi menjadi konstruksi sederhana $((a)^(x)) \gt b$. Dan entah bagaimana kita akan memahami konstruksi seperti itu (terutama dalam kasus klinis, ketika tidak ada yang terlintas dalam pikiran, logaritma akan membantu kita). Oleh karena itu, sekarang kami akan mengajari Anda cara menyelesaikan konstruksi sederhana tersebut.
Memecahkan pertidaksamaan eksponensial sederhana
Mari kita pertimbangkan sesuatu yang sangat sederhana. Misalnya, ini:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
Jelasnya, angka di sebelah kanan dapat ditulis ulang sebagai pangkat dua: $4=((2)^(2))$. Jadi, pertidaksamaan awal dapat ditulis ulang dalam bentuk yang sangat mudah:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
Dan sekarang tanganku gatal untuk “mencoret” keduanya di dasar kekuasaan untuk mendapatkan jawabannya $x \gt 2$. Namun sebelum mencoret apa pun, mari kita ingat kekuatan dua hal:
\[((2)^(1))=2;\kuad ((2)^(2))=4;\kuad ((2)^(3))=8;\kuad ((2)^( 4))=16;...\]
Seperti yang bisa kita lihat, apa jumlah yang lebih besar berada dalam eksponen, semakin besar angka keluarannya. "Terima kasih, Kapten!" - salah satu siswa akan berseru. Apakah ada bedanya? Sayangnya, hal itu terjadi. Misalnya:
\[((\kiri(\frac(1)(2) \kanan))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\kiri(\frac(1)(2) \ kanan))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\kiri(\frac(1)(2) \kanan))^(3))=\frac(1)(8 );...\]
Semuanya logis di sini juga: apa lebih banyak gelar, itu waktu lebih angka 0,5 dikalikan dengan dirinya sendiri (yaitu dibagi dua). Dengan demikian barisan bilangan yang dihasilkan semakin mengecil, dan selisih barisan pertama dan kedua hanya pada basisnya:
- Jika alas derajat $a \gt 1$, maka seiring bertambahnya eksponen $n$, bilangan $((a)^(n))$ juga akan bertambah;
- Dan sebaliknya, jika $0 \lt a \lt 1$, maka seiring bertambahnya eksponen $n$, bilangan $((a)^(n))$ akan berkurang.
Menyimpulkan fakta-fakta ini, kita mendapatkan pernyataan paling penting yang menjadi dasar seluruh keputusan ketidaksetaraan eksponensial:
Jika $a \gt 1$, maka pertidaksamaan $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekuivalen dengan pertidaksamaan $x \gt n$. Jika $0 \lt a \lt 1$, maka pertidaksamaan $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekuivalen dengan pertidaksamaan $x \lt n$.
Dengan kata lain, jika dasarnya lebih dari satu, Anda cukup menghapusnya - tanda pertidaksamaan tidak akan berubah. Dan jika dasarnya kurang dari satu, maka dapat juga dihilangkan, tetapi pada saat yang sama Anda harus mengubah tanda pertidaksamaan.
Harap dicatat bahwa kami belum mempertimbangkan opsi $a=1$ dan $a\le 0$. Karena dalam kasus ini timbul ketidakpastian. Katakanlah bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan berbentuk $((1)^(x)) \gt 3$? Seseorang akan memberikan satu lagi kepada kekuatan mana pun - kita tidak akan pernah mendapatkan tiga atau lebih. Itu. tidak ada solusi.
DENGAN alasan negatif masih lebih menarik. Misalnya saja ketimpangan ini:
\[((\kiri(-2 \kanan))^(x)) \gt 4\]
Sekilas, semuanya sederhana:
Benar? Tapi tidak! Cukup dengan mengganti $x$ beberapa bilangan genap dan pasangan angka ganjil untuk memastikan bahwa solusinya salah. Lihatlah:
\[\begin(align) & x=4\Panah Kanan ((\kiri(-2 \kanan))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Panah Kanan ((\kiri(-2 \kanan))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Panah Kanan ((\kiri(-2 \kanan))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Panah Kanan ((\kiri(-2 \kanan))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(sejajarkan)\]
Seperti yang Anda lihat, tanda-tandanya bergantian. Tapi masih ada lagi kekuatan pecahan dan timah lainnya. Misalnya, bagaimana cara Anda menghitung $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (dikurang dua pangkat tujuh)? Mustahil!
Oleh karena itu, agar lebih pasti, kita berasumsi bahwa dalam semua pertidaksamaan eksponensial (dan juga persamaannya) $1\ne a \gt 0$. Dan kemudian semuanya diselesaikan dengan sangat sederhana:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Panah Kanan \kiri[ \begin(align) & x \gt n\quad \kiri(a \gt 1 \kanan), \\ & x \lt n\quad \kiri(0 \lt a \lt 1 \kanan). \\\end(sejajarkan) \kanan.\]
Secara umum, ingat aturan utama sekali lagi: jika basis dalam persamaan eksponensial lebih besar dari satu, Anda cukup menghilangkannya; dan jika basisnya kurang dari satu, dapat juga dihilangkan, tetapi tanda pertidaksamaannya berubah.
Contoh solusi
Jadi, mari kita lihat beberapa pertidaksamaan eksponensial sederhana:
\[\begin(sejajarkan) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(sejajarkan)\]
Tugas utama dalam semua kasus adalah sama: mengurangi pertidaksamaan ke bentuk paling sederhana $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Inilah yang sekarang akan kita lakukan dengan setiap pertidaksamaan, dan pada saat yang sama kita akan mengulangi sifat-sifat derajat dan fungsi eksponensial. Jadi ayo pergi!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
Apa yang bisa kamu lakukan di sini? Nah, di sebelah kiri kita sudah memiliki ekspresi indikatif - tidak ada yang perlu diubah. Tapi di sebelah kanan ada semacam omong kosong: pecahan, dan bahkan akar penyebutnya!
Namun, mari kita ingat aturan untuk menangani pecahan dan pangkat:
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(sejajarkan)\]
Apa artinya? Pertama, kita dapat dengan mudah menghilangkan pecahan dengan mengubahnya menjadi pangkat indikator negatif. Dan kedua, karena penyebutnya memiliki akar, alangkah baiknya jika dipangkatkan - kali ini dengan eksponen pecahan.
Mari kita terapkan tindakan ini secara berurutan ke sisi kanan pertidaksamaan dan lihat apa yang terjadi:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\kiri(\sqrt(2) \kanan))^(-1))=((\kiri(((2)^(\frac( 1)(3))) \kanan))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \kiri(-1 \kanan)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]
Jangan lupa bahwa saat menaikkan suatu derajat, eksponen derajat tersebut dijumlahkan. Dan secara umum, saat bekerja dengan persamaan eksponensial dan ketidaksetaraan, sangatlah penting untuk mengetahui setidaknya aturan paling sederhana dalam bekerja dengan kekuasaan:
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\kiri(((a)^(x)) \kanan))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(sejajarkan)\]
Sebenarnya, aturan terakhir kami baru saja menerapkannya. Oleh karena itu, pertidaksamaan awal kita akan ditulis ulang sebagai berikut:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Panah Kanan ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frak(1)(3)))\]
Sekarang kita singkirkan keduanya di pangkalan. Karena 2 > 1, tanda pertidaksamaan akan tetap sama:
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Panah Kanan x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \kiri(-\infty ;\frac(2)(3) \kanan]. \\\end(align)\]
Itulah solusinya! Kesulitan utama sama sekali bukan pada fungsi eksponensial, tetapi pada transformasi kompeten dari ekspresi aslinya: Anda perlu dengan hati-hati dan cepat membawanya ke bentuk yang paling sederhana.
Perhatikan pertidaksamaan kedua:
\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]
Biasa saja. Pecahan desimal menunggu kita di sini. Seperti yang telah saya katakan berkali-kali, dalam ekspresi apa pun dengan pangkat Anda harus menghilangkan desimal - ini sering kali merupakan satu-satunya cara untuk melihat solusi yang cepat dan sederhana. Di sini kita akan menyingkirkan:
\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ kanan))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Panah Kanan ((\left(\frac(1)(10) \kanan))^(1-x)) \lt ( (\kiri(\frac(1)(10) \kanan))^(2)). \\\end(sejajarkan)\]
Di sini sekali lagi kita mempunyai pertidaksamaan yang paling sederhana, dan bahkan dengan basis 1/10, yaitu. kurang dari satu. Nah, kita hapus basisnya, sekaligus mengubah tanda dari "lebih sedikit" menjadi "lebih banyak", dan kita mendapatkan:
\[\begin(sejajarkan) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(sejajarkan)\]
Kami menerima jawaban akhir: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Harap diperhatikan: jawabannya adalah himpunan, dan bukan merupakan konstruksi bentuk $x \lt -1$. Karena secara formal, konstruksi seperti itu bukanlah himpunan sama sekali, melainkan pertidaksamaan terhadap variabel $x$. Ya, ini sangat sederhana, tapi itu bukanlah jawabannya!
Catatan penting. Ketimpangan ini dapat diselesaikan dengan cara lain - dengan mereduksi kedua belah pihak menjadi kekuatan yang basisnya lebih besar dari satu. Lihatlah:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Panah Kanan ((\kiri(((10)^(-1)) \kanan))^(1-x)) \ lt ((\kiri(((10)^(-1)) \kanan))^(2))\Panah Kanan ((10)^(-1\cdot \kiri(1-x \kanan))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
Setelah transformasi seperti itu, kita akan kembali memperoleh pertidaksamaan eksponensial, tetapi dengan basis 10 > 1. Artinya, kita cukup mencoret sepuluh - tanda pertidaksamaan tidak akan berubah. Kita mendapatkan:
\[\begin(sejajarkan) & -1\cdot \kiri(1-x \kanan) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(sejajarkan)\]
Seperti yang Anda lihat, jawabannya persis sama. Pada saat yang sama, kami menyelamatkan diri dari keharusan mengubah tanda dan secara umum mengingat aturan apa pun :)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
Namun, jangan biarkan hal ini membuat Anda takut. Apapun indikatornya, teknologi untuk mengatasi kesenjangan tetap sama. Oleh karena itu, mari kita perhatikan terlebih dahulu bahwa 16 = 2 4. Mari kita tulis ulang pertidaksamaan awal dengan mempertimbangkan fakta ini:
\[\begin(sejajarkan) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(sejajarkan)\]
Hore! Kami mendapat yang biasa pertidaksamaan kuadrat! Tandanya tidak berubah dimanapun, karena alasnya adalah dua - angka yang lebih besar dari satu.
Nol suatu fungsi pada garis bilangan
Kita susun tanda-tanda fungsi $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - jelas grafiknya akan berbentuk parabola dengan cabang ke atas, sehingga akan ada “plus” ” di samping. Kami tertarik pada wilayah yang fungsinya kurang dari nol, yaitu. $x\in \left(2;5 \right)$ adalah jawaban untuk masalah awal.
Terakhir, pertimbangkan ketimpangan lainnya:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
Sekali lagi kita melihat fungsi eksponensial dengan pecahan desimal di dasarnya. Mari kita ubah pecahan ini menjadi pecahan biasa:
\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Panah Kanan \\ & \Panah Kanan ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\kiri(((5)^(-1)) \kanan))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \kiri(1+((x)^(2)) \kanan)))\end(sejajarkan)\]
DI DALAM pada kasus ini kami menggunakan pernyataan yang diberikan sebelumnya - kami mengurangi basisnya menjadi angka 5 > 1 untuk menyederhanakan keputusan lebih lanjut. Mari kita lakukan hal yang sama dengan sisi kanan:
\[\frac(1)(25)=((\kiri(\frac(1)(5) \kanan))^(2))=((\kiri(((5)^(-1)) \ kanan))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
Mari kita tulis ulang pertidaksamaan awal dengan mempertimbangkan kedua transformasi:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Panah Kanan ((5)^(-1\cdot \kiri(1+ ((x)^(2)) \kanan)))\ge ((5)^(-2))\]
Basis di kedua sisinya sama dan melebihi satu. Tidak ada suku lain di kanan dan kiri, jadi kita cukup “mencoret” angka limanya dan mendapatkan ekspresi yang sangat sederhana:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \kiri| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(sejajarkan)\]
Di sinilah Anda perlu lebih berhati-hati. Banyak siswa yang suka mengekstraksi saja Akar pangkat dua dari kedua sisi pertidaksamaan dan tulis sesuatu seperti $x\le 1\Panah Kanan x\in \kiri(-\infty ;-1 \kanan]$. Anda tidak boleh melakukan ini, karena akar kuadrat eksak adalah modul, dan bukan variabel aslinya:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\kiri| x\kanan|\]
Namun, bekerja dengan modul bukanlah pengalaman yang paling menyenangkan, bukan? Jadi kami tidak akan bekerja. Sebagai gantinya, kita cukup memindahkan semua suku ke kiri dan menyelesaikan pertidaksamaan biasa menggunakan metode interval:
$\begin(sejajarkan) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \kiri(x-1 \kanan)\kiri(x+1 \kanan)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(sejajarkan)$
Kita tandai kembali titik-titik yang diperoleh pada garis bilangan dan lihat tanda-tandanya:
Harap dicatat: titik-titiknya diarsir Karena kita menyelesaikan pertidaksamaan tidak tegas, semua titik pada grafik diarsir. Oleh karena itu, jawabannya adalah: $x\in \left[ -1;1 \right]$ bukanlah sebuah interval, melainkan sebuah segmen.
Secara umum, saya ingin mencatat bahwa tidak ada yang rumit dalam ketidaksetaraan eksponensial. Arti dari semua transformasi yang kami lakukan hari ini direduksi menjadi algoritma sederhana:
- Temukan dasar di mana kita akan mengurangi semua derajat;
- Lakukan transformasi dengan hati-hati untuk mendapatkan pertidaksamaan berbentuk $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Tentu saja, selain variabel $x$ dan $n$, masih banyak lagi variabel lainnya fungsi yang kompleks, tapi artinya tidak akan berubah;
- Coretlah dasar derajatnya. Dalam hal ini, tanda pertidaksamaan dapat berubah jika basis $a \lt 1$.
Faktanya, ini adalah algoritma universal untuk menyelesaikan semua ketidaksetaraan tersebut. Dan semua hal lain yang akan mereka sampaikan kepada Anda tentang topik ini hanyalah teknik dan trik khusus yang akan menyederhanakan dan mempercepat transformasi. Kita akan membicarakan salah satu teknik ini sekarang :)
Metode rasionalisasi
Mari kita pertimbangkan serangkaian ketidaksetaraan lainnya:
\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\kiri(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\kiri(\frac(1)(3) \kanan))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\kiri(\frac(1)(9) \kanan))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]
Jadi apa istimewanya mereka? Itu ringan. Meskipun begitu, berhentilah! Apakah bilangan π dipangkatkan? Omong kosong apa?
Bagaimana cara menaikkan angka $2\sqrt(3)-3$ menjadi pangkat? Atau $3-2\sqrt(2)$? Penulis masalah jelas meminum terlalu banyak Hawthorn sebelum mulai bekerja :)
Sebenarnya, tidak ada yang salah dengan tugas-tugas ini. Izinkan saya mengingatkan Anda: fungsi eksponensial adalah ekspresi bentuk $((a)^(x))$, dengan basis $a$ adalah bilangan positif apa pun kecuali satu. Angka π positif - kita sudah mengetahuinya. Angka $2\sqrt(3)-3$ dan $3-2\sqrt(2)$ juga positif - ini mudah dilihat jika Anda membandingkannya dengan nol.
Ternyata semua kesenjangan yang “menakutkan” ini diselesaikan dengan cara yang sederhana seperti yang dibahas di atas? Dan apakah permasalahan tersebut diselesaikan dengan cara yang sama? Ya, itu benar sekali. Namun, dengan menggunakan contoh mereka, saya ingin mempertimbangkan salah satu teknik yang sangat menghemat waktu dalam pekerjaan mandiri dan ujian. Kita akan berbicara tentang metode rasionalisasi. Jadi, perhatian:
Setiap pertidaksamaan eksponensial berbentuk $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekuivalen dengan pertidaksamaan $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ kanan) \gt 0 $.
Itulah keseluruhan metodenya. :) Apakah menurut Anda akan ada permainan lain? Tidak ada yang seperti ini! Namun fakta sederhana ini, yang ditulis secara harfiah dalam satu baris, akan sangat menyederhanakan pekerjaan kita. Lihatlah:
\[\begin(matriks) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\teks( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Panah Bawah \\ \kiri(x+7-\kiri(((x)^(2)) -3x+2 \kanan) \kanan)\cdot \kiri(\teks( )\!\!\pi\!\!\teks( )-1 \kanan) \gt 0 \\\end(matriks)\]
Jadi tidak ada lagi fungsi eksponensial! Dan Anda tidak perlu mengingat apakah tandanya berubah atau tidak. Tapi itu muncul masalah baru: apa yang harus dilakukan dengan pengali \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Kami tidak tahu apa maksud semua ini nilai yang tepat angka π. Namun, sang kapten sepertinya mengisyaratkan hal yang sudah jelas:
\[\teks( )\!\!\pi\!\!\teks( )\kira-kira 3,14... \gt 3\Panah Kanan \teks( )\!\!\pi\!\!\teks( )- 1\gt 3-1=2\]
Secara umum, nilai pasti dari π tidak terlalu menjadi perhatian kita - yang penting bagi kita untuk memahami bahwa bagaimanapun juga $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. ini adalah konstanta positif, dan kita dapat membagi kedua ruas pertidaksamaan dengan konstanta tersebut:
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \kanan) \kanan)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \kanan) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \kanan) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \kiri| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \kiri(x-5 \kanan)\kiri(x+1 \kanan) \lt 0. \\\end(sejajarkan)\]
Seperti yang Anda lihat, pada saat tertentu kita harus membaginya dengan minus satu - dan tanda pertidaksamaan berubah. Pada akhirnya, saya memperluas trinomial kuadrat menggunakan teorema Vieta - jelas bahwa akar-akarnya sama dengan $((x)_(1))=5$ dan $((x)_(2))=-1$ . Kemudian semuanya diputuskan metode klasik interval:
Menyelesaikan pertidaksamaan dengan metode interval Semua poin dihilangkan karena pertidaksamaan aslinya sangat ketat. Kita tertarik pada wilayah dengan nilai negatif, jadi jawabannya adalah $x\in \left(-1;5 \right)$. Itulah solusinya. :)
Mari beralih ke tugas berikutnya:
\[((\kiri(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
Semuanya disini umumnya sederhana, karena ada unit di sebelah kanan. Dan kita ingat bahwa satu adalah bilangan apa pun yang dipangkatkan nol. Sekalipun bilangan ini merupakan ekspresi irasional di dasar sebelah kiri:
\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3 \kanan))^(0)); \\ & ((\kiri(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\kiri(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(0)); \\\end(sejajarkan)\]
Baiklah, mari kita rasionalkan:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \kanan)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \kiri(((x)^(2))-2x-0 \kanan)\cdot \kiri(2\sqrt(3)-4 \kanan) \lt 0; \\ & \kiri(((x)^(2))-2x-0 \kanan)\cdot 2\kiri(\sqrt(3)-2 \kanan) \lt 0. \\\end(sejajarkan)\ ]
Yang tersisa hanyalah mencari tahu tanda-tandanya. Faktor $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ tidak mengandung variabel $x$ - ini hanya sebuah konstanta, dan kita perlu mencari tandanya. Untuk melakukannya, perhatikan hal berikut:
\[\begin(matriks) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \kanan)=0 \\\end(matriks)\]
Ternyata faktor kedua bukan sekadar konstanta, melainkan konstanta negatif! Dan bila dibagi, tanda pertidaksamaan awal berubah menjadi kebalikannya:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \kanan)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \kanan) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\kiri(x-2 \kanan) \gt 0. \\\end(sejajarkan)\]
Sekarang semuanya menjadi jelas. Akar trinomial kuadrat, berdiri di sebelah kanan: $((x)_(1))=0$ dan $((x)_(2))=2$. Kita menandainya pada garis bilangan dan melihat tanda-tanda fungsi $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:
Kasus ketika kita tertarik pada interval sisi Kami tertarik pada interval yang ditandai dengan tanda tambah. Yang tersisa hanyalah menuliskan jawabannya:
Mari kita beralih ke contoh berikutnya:
\[((\kiri(\frac(1)(3) \kanan))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\kiri(\frac(1)(9) \ kanan))^(16-x))\]
Nah, semuanya sudah jelas di sini: basisnya berisi pangkat dengan nomor yang sama. Oleh karena itu, saya akan menulis semuanya secara singkat:
\[\begin(matriks) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Panah Bawah \\ ((\kiri(((3)^(-1)) \kanan))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\kiri(((3)^(-2)) \kanan))^(16-x)) \\\end(matriks)\]
\[\begin(sejajarkan) & ((3)^(-1\cdot \kiri(((x)^(2))+2x \kanan))) \gt ((3)^(-2\cdot \ kiri(16-x \kanan))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \kiri(-((x)^(2))-2x-\kiri(-32+2x \kanan) \kanan)\cdot \kiri(3-1 \kanan) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \kiri| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \kiri(x+8 \kanan)\kiri(x-4 \kanan) \lt 0. \\\end(sejajarkan)\]
Seperti yang Anda lihat, selama proses transformasi kita harus mengalikannya dengan bilangan negatif, sehingga tanda pertidaksamaannya berubah. Pada bagian akhir, saya kembali menerapkan teorema Vieta untuk memfaktorkan trinomial kuadrat. Hasilnya, jawabannya adalah sebagai berikut: $x\in \left(-8;4 \right)$ - siapa pun dapat memverifikasi ini dengan menggambar garis bilangan, menandai titik-titik dan menghitung tanda-tandanya. Sementara itu, kita akan beralih ke ketimpangan terakhir dari “kumpulan” kita:
\[((\kiri(3-2\sqrt(2) \kanan))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
Seperti yang Anda lihat, ada lagi di pangkalan bilangan irasional, dan di sebelah kanan lagi ada satu. Oleh karena itu, kami menulis ulang pertidaksamaan eksponensial kami sebagai berikut:
\[((\kiri(3-2\sqrt(2) \kanan))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\kiri(3-2\sqrt(2) \ kanan))^(0))\]
Kami menerapkan rasionalisasi:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \kiri(3x-((x)^(2))-0 \kanan)\cdot \kiri(2-2\sqrt(2) \kanan) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Namun, cukup jelas bahwa $1-\sqrt(2) \lt 0$, karena $\sqrt(2)\kira-kira 1,4... \gt 1$. Oleh karena itu, faktor kedua juga merupakan konstanta negatif yang dapat membagi kedua ruas pertidaksamaan:
\[\begin(matriks) \kiri(3x-((x)^(2))-0 \kanan)\cdot 2\kiri(1-\sqrt(2) \kanan) \lt 0 \\ \Panah Bawah \ \\akhir(matriks)\]
\[\begin(sejajarkan) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \kiri| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\kiri(x-3 \kanan) \lt 0. \\\end(sejajarkan)\]
Pindah ke markas lain
Masalah tersendiri dalam menyelesaikan pertidaksamaan eksponensial adalah pencarian basis yang “benar”. Sayangnya, pada pandangan pertama, tidak selalu jelas apa yang harus dijadikan dasar, dan apa yang harus dilakukan sesuai dengan tingkat dasar tersebut.
Namun jangan khawatir: tidak ada keajaiban atau teknologi “rahasia” di sini. Dalam matematika, keterampilan apa pun yang tidak dapat dialgoritmakan dapat dengan mudah dikembangkan melalui latihan. Tapi untuk ini Anda harus memecahkan masalah tingkat yang berbeda kesulitan. Misalnya seperti ini:
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\kiri(\frac(1)(3) \kanan))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\kiri(0,16 \kanan))^(1+2x))\cdot ((\kiri(6,25 \kanan))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \kanan))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ akhir(sejajarkan)\]
Sulit? Menakutkan? Ini lebih mudah daripada menabrak ayam di aspal! Mari mencoba. Ketimpangan pertama:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
Menurut saya, semuanya sudah jelas di sini:
Kami menulis ulang pertidaksamaan awal, mereduksi semuanya menjadi basis dua:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Panah Kanan \kiri(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \kanan)\cdot \kiri(2-1 \kanan) \lt 0\]
Ya, ya, Anda tidak salah dengar: Saya baru saja menerapkan metode rasionalisasi yang dijelaskan di atas. Sekarang kami perlu bekerja dengan hati-hati: kami berhasil ketimpangan rasional pecahan(ini adalah sesuatu yang memiliki variabel dalam penyebutnya), jadi sebelum Anda menyamakan sesuatu dengan nol, Anda perlu membawa semuanya ke faktor persekutuan dan hilangkan faktor konstannya.
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \kiri(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \kanan)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]
Sekarang kami menggunakan metode standar interval. Pembilang nol: $x=\pm 4$. Penyebutnya menjadi nol hanya jika $x=0$. Total ada tiga titik yang perlu ditandai pada garis bilangan (semua titik diberi pin karena tanda pertidaksamaannya tegas). Kita mendapatkan:
Lagi kasus yang sulit: tiga akar Seperti yang Anda duga, arsiran menandai interval di mana ekspresi di sebelah kiri diambil nilai-nilai negatif. Oleh karena itu, jawaban akhir akan mencakup dua interval sekaligus:
Ujung-ujung interval tidak disertakan dalam jawaban karena pertidaksamaan aslinya sangat ketat. Tidak ada pemeriksaan tambahan jawaban ini tidak diperlukan. Dalam hal ini, pertidaksamaan eksponensial jauh lebih sederhana daripada pertidaksamaan logaritmik: tidak ada ODZ, tidak ada batasan, dll.
Mari beralih ke tugas berikutnya:
\[((\kiri(\frac(1)(3) \kanan))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
Tidak ada masalah di sini juga, karena kita sudah mengetahui bahwa $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, sehingga seluruh pertidaksamaan dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\[\begin(sejajarkan) & ((\kiri(((3)^(-1)) \kanan))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Panah Kanan ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \kiri(-\frac(3)(x)-\kiri(2+x \kanan) \kanan)\cdot \kiri(3-1 \kanan)\ge 0; \\ & \kiri(-\frac(3)(x)-2-x \kanan)\cdot 2\ge 0;\quad \kiri| :\kiri(-2 \kanan) \kanan. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]
Harap diperhatikan: di baris ketiga saya memutuskan untuk tidak membuang waktu untuk hal-hal sepele dan segera membagi semuanya dengan (−2). Minul masuk ke braket pertama (sekarang ada plus di mana-mana), dan dua dikurangi dengan faktor konstan. Inilah yang harus Anda lakukan saat menyiapkan tampilan nyata secara independen dan tes— tidak perlu menjelaskan setiap tindakan dan transformasi.
Selanjutnya, metode interval yang familiar mulai berlaku. Pembilangnya nol: tapi tidak ada. Karena diskriminannya akan negatif. Pada gilirannya, penyebutnya direset hanya ketika $x=0$ - sama seperti terakhir kali. Jelas sekali bahwa di sebelah kanan $x=0$ pecahan itu akan berada nilai-nilai positif, dan di sebelah kiri negatif. Karena kita tertarik pada nilai negatif, jawaban akhirnya adalah: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\kiri(0,16 \kanan))^(1+2x))\cdot ((\kiri(6,25 \kanan))^(x))\ge 1\]
Apa yang harus Anda lakukan dengan pecahan desimal dalam pertidaksamaan eksponensial? Benar: singkirkan, ubah menjadi biasa. Di sini kami akan menerjemahkan:
\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Panah Kanan ((\kiri(0,16 \kanan))^(1+2x)) =((\ kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Panah Kanan ((\kiri(6.25 \kanan))^(x))=((\kiri(\ frac(25) (4)\kanan))^(x)). \\\end(sejajarkan)\]
Jadi, apa yang kita dapatkan dari dasar-dasar fungsi eksponensial? Dan kami mendapat dua angka yang saling terbalik:
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \kanan))^(-1))\Panah Kanan ((\left(\frac(25)(4) \ kanan))^(x))=((\kiri(((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(-1)) \kanan))^(x))=((\ kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(-x))\]
Jadi, pertidaksamaan aslinya dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\[\begin(sejajarkan) & ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(1+2x))\cdot ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(1+2x+\kiri(-x \kanan)))\ge ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(0)); \\ & ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(x+1))\ge ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(0) ). \\\end(sejajarkan)\]
Tentu saja, ketika mengalikan pangkat dengan basis yang sama, eksponennya dijumlahkan, seperti yang terjadi pada baris kedua. Selain itu, kami mewakili unit di sebelah kanan, juga sebagai kekuatan di basis 4/25. Yang tersisa hanyalah merasionalisasi:
\[((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(x+1))\ge ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(0)) \Panah kanan \kiri(x+1-0 \kanan)\cdot \kiri(\frac(4)(25)-1 \kanan)\ge 0\]
Perhatikan bahwa $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, yaitu faktor kedua adalah konstanta negatif, dan bila dibagi dengan faktor tersebut, tanda pertidaksamaan akan berubah:
\[\begin(sejajarkan) & x+1-0\le 0\Panah Kanan x\le -1; \\ & x\in \kiri(-\infty ;-1 \kanan]. \\\end(align)\]
Terakhir, pertidaksamaan terakhir dari “himpunan” saat ini:
\[((\kiri(\frac(27)(\sqrt(3)) \kanan))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
Pada prinsipnya ide solusi di sini juga jelas: semuanya fungsi eksponensial, yang termasuk dalam pertidaksamaan, harus dikurangi menjadi basis “3”. Tetapi untuk ini Anda harus sedikit mengotak-atik akar dan kekuatannya:
\[\begin(sejajarkan) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\kuad 81=((3)^(4)). \\\end(sejajarkan)\]
Dengan mempertimbangkan fakta-fakta ini, pertidaksamaan awal dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2))\kanan))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(sejajarkan)\]
Perhatikan baris perhitungan ke-2 dan ke-3: sebelum melakukan apa pun dengan pertidaksamaan, pastikan untuk membawanya ke bentuk yang kita bicarakan sejak awal pelajaran: $((a)^(x)) \ itu ((a)^(n))$. Selama Anda memiliki beberapa faktor kidal, konstanta tambahan, dll. di kiri atau kanan, tidak ada rasionalisasi atau “pencoretan” alasan yang dapat dilakukan! Tak terhitung tugas diselesaikan secara tidak benar karena kurangnya pemahaman fakta sederhana. Saya sendiri terus-menerus mengamati masalah ini pada siswa saya ketika kami baru mulai menganalisis pertidaksamaan eksponensial dan logaritma.
Tapi mari kita kembali ke tugas kita. Mari kita coba melakukannya tanpa rasionalisasi kali ini. Mari kita ingat: alas derajatnya lebih besar dari satu, sehingga tiga kali lipatnya cukup dicoret - tanda pertidaksamaan tidak akan berubah. Kita mendapatkan:
\[\begin(sejajarkan) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(sejajarkan)\]
Itu saja. Jawaban akhir: $x\in \kiri(-\infty ;3 \kanan)$.
Mengisolasi ekspresi stabil dan mengganti variabel
Sebagai kesimpulan, saya mengusulkan untuk menyelesaikan empat pertidaksamaan eksponensial lagi, yang sudah cukup sulit bagi siswa yang tidak siap. Untuk mengatasinya, Anda perlu mengingat aturan untuk bekerja dengan derajat. Khususnya penerbitan faktor umum di luar tanda kurung.
Namun yang terpenting adalah belajar memahami apa sebenarnya yang bisa dikeluarkan dari tanda kurung. Ekspresi seperti itu disebut stabil - ekspresi ini dapat dilambangkan dengan variabel baru dan dengan demikian menghilangkan fungsi eksponensial. Jadi, mari kita lihat tugasnya:
\[\begin(sejajarkan) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\kiri(0,5 \kanan))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(sejajarkan)\]
Mari kita mulai dari baris pertama. Mari kita tuliskan pertidaksamaan ini secara terpisah:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
Perhatikan bahwa $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, oleh karena itu sisi kanan dapat ditulis ulang:
Perhatikan bahwa tidak ada fungsi eksponensial lain kecuali $((5)^(x+1))$ dalam pertidaksamaan. Dan secara umum, variabel $x$ tidak muncul di tempat lain, jadi mari kita perkenalkan variabel baru: $((5)^(x+1))=t$. Kami mendapatkan konstruksi berikut:
\[\begin(sejajarkan) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(sejajarkan)\]
Kita kembali ke variabel asli ($t=((5)^(x+1))$), dan pada saat yang sama mengingat bahwa 1=5 0 . Kita punya:
\[\begin(sejajarkan) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(sejajarkan)\]
Itulah solusinya! Jawaban: $x\in \kiri[ -1;+\infty \kanan)$. Mari kita beralih ke pertidaksamaan kedua:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
Semuanya sama di sini. Perhatikan bahwa $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Kemudian ruas kiri dapat ditulis ulang:
\[\begin(sejajarkan) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \kiri| ((3)^(x))=t \benar. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Panah Kanan ((3)^(x))\ge 9\Panah Kanan ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Panah kanan x\in \kiri[ 2;+\infty \kanan). \\\end(sejajarkan)\]
Kira-kira beginilah cara Anda perlu menyusun solusi untuk ujian nyata dan kerja mandiri.
Baiklah, mari kita coba sesuatu yang lebih rumit. Misalnya, berikut ketimpangannya:
\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
Apa masalahnya disini? Pertama-tama, basis fungsi eksponensial di sebelah kiri berbeda: 5 dan 25. Namun, 25 = 5 2, sehingga suku pertama dapat diubah:
\[\begin(sejajarkan) & ((25)^(x+1.5))=((\kiri(((5)^(2)) \kanan))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(sejajarkan )\]
Seperti yang Anda lihat, pertama-tama kami membawa semuanya ke dasar yang sama, dan kemudian perhatikan bahwa suku pertama dapat dengan mudah direduksi menjadi suku kedua - Anda hanya perlu memperluas eksponennya. Sekarang Anda dapat dengan aman memasukkan variabel baru: $((5)^(2x+2))=t$, dan seluruh pertidaksamaan akan ditulis ulang sebagai berikut:
\[\begin(sejajarkan) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(sejajarkan)\]
Dan sekali lagi, tidak ada kesulitan! Jawaban akhir: $x\in \kiri[ 1;+\infty \kanan)$. Mari beralih ke pertidaksamaan terakhir dalam pelajaran hari ini:
\[((\kiri(0,5 \kanan))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]
Hal pertama yang harus Anda perhatikan tentu saja adalah desimal di dasar derajat pertama. Penting untuk menghilangkannya, dan pada saat yang sama membawa semua fungsi eksponensial ke basis yang sama - angka "2":
\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Panah Kanan ((\kiri(0,5 \kanan))^(-4x- 8))= ((\kiri(((2)^(-1)) \kanan))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Panah Kanan ((16)^(x+1,5))=((\kiri(((2)^(4)) \kanan))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(sejajarkan)\]
Hebat, kita telah mengambil langkah pertama—semuanya mengarah pada landasan yang sama. Sekarang Anda harus memilih ekspresi stabil. Perhatikan bahwa $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Jika kita memasukkan variabel baru $((2)^(4x+6))=t$, maka pertidaksamaan awal dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\[\begin(sejajarkan) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(sejajarkan)\]
Tentu saja, pertanyaan yang mungkin timbul: bagaimana kita mengetahui bahwa 256 = 2 8? Sayangnya, di sini Anda hanya perlu mengetahui pangkat dua (dan sekaligus pangkat tiga dan lima). Nah, atau bagi 256 dengan 2 (Anda bisa membaginya, karena 256 adalah bilangan genap) sampai kita mendapatkan hasilnya. Ini akan terlihat seperti ini:
\[\begin(sejajarkan) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(sejajarkan )\]
Hal yang sama berlaku untuk tiga (angka 9, 27, 81 dan 243 adalah derajatnya), dan dengan tujuh (angka 49 dan 343 juga bagus untuk diingat). Nah, kelimanya juga punya derajat “indah” yang perlu Anda ketahui:
\[\begin(sejajarkan) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(sejajarkan)\]
Tentu saja, jika Anda mau, semua angka ini dapat diingat kembali hanya dengan mengalikannya secara berurutan. Namun, jika Anda harus menyelesaikan beberapa pertidaksamaan eksponensial, dan pertidaksamaan berikutnya lebih sulit daripada pertidaksamaan sebelumnya, hal terakhir yang ingin Anda pikirkan adalah pangkat beberapa bilangan. Dan dalam hal ini, permasalahan ini lebih kompleks daripada kesenjangan “klasik” yang diselesaikan dengan metode interval.
