Selain teorema yang berkaitan dengan hukum bilangan besar, ada kelompok teorema lain yang disebut teorema limit pusat. Kelompok teorema ini mendefinisikan kondisi di mana hukum distribusi normal muncul. Kondisi seperti ini cukup sering terjadi dalam praktik, yang sebenarnya merupakan penjelasan atas fakta bahwa hukum normal paling sering digunakan dalam fenomena acak dalam praktik. Perbedaan bentuk teorema limit pusat terletak pada perumusan kondisi berbeda yang dikenakan pada jumlah variabel acak yang dipertimbangkan. Tempat paling penting di antara semua bentuk ini adalah teorema Lyapunov.
teorema Lyapunov. Jika X 1 , X 2 , … , X n adalah variabel acak independen yang memiliki ekspektasi dan varian matematis yang terbatas, sementara tidak ada nilai yang berbeda tajam dari nilai lainnya, yaitu. memiliki pengaruh yang sangat kecil pada jumlah besaran-besaran ini, kemudian dengan peningkatan jumlah variabel acak yang tidak terbatas N, hukum distribusi jumlah mereka mendekati normal tanpa batas waktu.
Konsekuensi. Jika semua variabel acak X 1 , X 2 , … , X n terdistribusi secara identik, maka hukum distribusi jumlah mereka mendekati normal tanpa batas dengan pertambahan jumlah suku yang tidak terbatas.
Teorema Lyapunov sangat penting secara praktis. Secara eksperimental telah ditetapkan bahwa pendekatan terhadap hukum normal terjadi cukup cepat. Jika syarat teorema Lyapunov terpenuhi, hukum distribusi jumlah sepuluh suku genap sudah dapat dianggap normal.
Ada bentuk teorema Lyapunov yang lebih kompleks dan umum.
Teorema Umum Lyapunov. Jika X 1 , X 2 , … , X n – variabel acak independen yang memiliki ekspektasi matematis A saya, varians σ 2 i, momen sentral orde ketiga T saya dan
maka hukum pembagian jumlah X 1 + X 2 + … + X di N mendekati normal tanpa batas dengan ekspektasi matematis 
dan varians 
.
Arti dari kondisi (2.1) adalah bahwa dalam penjumlahan variabel acak tidak boleh ada satu suku pun yang pengaruhnya terhadap penyebaran jumlah nilai akan sangat besar dibandingkan dengan pengaruh semua variabel acak lainnya. Selain itu, jumlah suku yang tidak boleh banyak, pengaruhnya terhadap sebaran jumlahnya sangat kecil dibandingkan pengaruh total suku-suku lainnya.
Salah satu bentuk teorema limit pusat yang pertama dibuktikan dengan teorema Laplace.
teorema Laplace. Biarkan itu diproduksi N eksperimen independen, yang masing-masing berisi peristiwa A muncul dengan probabilitas R, lalu untuk yang besar N perkiraan kesetaraan
(2.2)
Di mana Y n – jumlah kemunculan peristiwa A V N eksperimen; Q=1-P; F( X) – Fungsi Laplace.
Teorema Laplace memungkinkan kita untuk menemukan kira-kira probabilitas nilai variabel acak yang terdistribusi secara binomial untuk nilai besaran yang besar N. Namun, pada saat yang sama, kemungkinannya R seharusnya tidak cukup kecil dan tidak cukup besar.
Untuk soal praktikum sering digunakan bentuk penulisan rumus lain (2.2), yaitu
(2.3)
Contoh 2.1. Masalah mesin per shift N=1000 produk, yang rata-rata 3% diantaranya cacat. Temukan kira-kira peluang bahwa paling sedikit 950 produk bagus (tanpa cacat) akan diproduksi per shift jika produk-produk tersebut ternyata baik secara independen satu sama lain.
Larutan . Membiarkan Y– jumlah produk bagus. Sesuai dengan kondisi permasalahannya R= 1-0,03=0,97; sejumlah percobaan independen N=1000. Mari kita terapkan rumus (2.3):
Contoh 2.2, Pada kondisi contoh sebelumnya, cari tahu berapa banyak produk yang bagus k harus menampung kotak tersebut sehingga kemungkinan meluapnya dalam satu shift tidak melebihi 0,02.
Larutan
.
Dari kondisi tersebut jelas bahwa 
. Mari kita cari nomornya dari kondisi ini k. Kita punya 
, yaitu 
.
Menggunakan tabel fungsi Laplace, dengan menggunakan nilai 0,48, kita menemukan argumen yang sama dengan 2,07. Kita mendapatkan 
. ■
Contoh 2.3. Di sebuah bank, 16 orang berdiri di meja kas tertentu untuk menerima sejumlah uang tertentu. Saat ini ada 4.000 penyangkal di mesin kasir ini. unit Jumlah X i yang harus dibayarkan kepada masing-masing 20 orang adalah variabel acak dengan ekspektasi matematis T= 160 unit moneter dan deviasi standar σ = 70 unit moneter Temukan probabilitas bahwa uang yang tersedia di mesin kasir tidak cukup untuk membayar semua orang yang mengantri.
Larutan . Mari kita terapkan teorema Lyapunov untuk variabel acak yang terdistribusi identik. Ukuran N= 20 dapat dianggap cukup besar, oleh karena itu, jumlah total pembayaran Y= X 1 + X 2 + … + X 16 dapat dianggap sebagai variabel acak yang terdistribusi menurut hukum normal dengan ekspektasi matematis T kamu = tidak= 20 160 = 3200 dan simpangan baku.
Rencana:
1. Konsep teorema limit pusat (teorema Lyapunov)
2. Hukum bilangan besar, probabilitas dan frekuensi (teorema Chebyshev dan Bernoulli)
1. Konsep teorema limit pusat.
Distribusi probabilitas normal sangat penting dalam teori probabilitas. Probabilitas mematuhi hukum normal ketika menembak sasaran, dalam pengukuran, dll. Secara khusus, ternyata hukum distribusi jumlah sejumlah besar variabel acak independen dengan hukum distribusi sewenang-wenang mendekati distribusi normal. Fakta ini disebut teorema limit pusat atau teorema Lyapunov.
Diketahui bahwa variabel acak berdistribusi normal banyak digunakan dalam praktik. Apa yang menjelaskan hal ini? Pertanyaan ini telah terjawab
Teorema limit pusat. Jika suatu variabel acak X adalah jumlah dari sejumlah besar variabel acak yang saling bebas dan pengaruh masing-masing variabel tersebut terhadap keseluruhan jumlah dapat diabaikan, maka X mempunyai distribusi yang mendekati distribusi normal.
Contoh. Mari kita mengukur beberapa kuantitas fisik. Setiap pengukuran hanya memberikan nilai perkiraan dari nilai yang diukur, karena hasil pengukuran dipengaruhi oleh banyak faktor acak independen (suhu, fluktuasi instrumen, kelembaban, dll.). Masing-masing faktor ini menghasilkan "kesalahan parsial" yang dapat diabaikan. Namun, karena jumlah faktor-faktor ini sangat besar, efek gabungannya menimbulkan “kesalahan total” yang nyata.
Mengingat kesalahan total sebagai jumlah dari sejumlah besar kesalahan parsial yang saling independen, kita dapat menyimpulkan bahwa kesalahan total mempunyai distribusi yang mendekati distribusi normal. Pengalaman menegaskan validitas kesimpulan ini.
Mari kita pertimbangkan kondisi di mana “teorema limit pusat” terpenuhi
X1,X2, ..., XN– urutan variabel acak independen,
M(X1),M(X2), ...,M(XN) - ekspektasi matematis akhir dari besaran-besaran ini, masing-masing, sama M(Xk)= aku
D (X1),D(X2), ...,D(XN) - varians akhirnya masing-masing sama D(X k)= bk2
Mari kita perkenalkan notasi berikut: S= X1+X2 + ...+Xn;
K= X1+X2 + ...+Xn=; B2=D (X1)+D(Х2)+ ...+D(XN) =
Mari kita tuliskan fungsi distribusi dari jumlah yang dinormalisasi:
Mereka mengatakan itu demi konsistensi X1,X2, ..., XN Teorema limit pusat berlaku jika untuk sembarang X fungsi distribusi jumlah ternormalisasi karena n ® ¥ cenderung ke fungsi distribusi normal:
Kanan " style="border-collapse:collapse;border:none;margin-left:6.75pt;margin-right: 6.75pt">
Pertimbangkan variabel acak diskrit X, ditentukan oleh tabel distribusi:
Mari kita tentukan sendiri tugas untuk memperkirakan probabilitas bahwa deviasi suatu variabel acak dari ekspektasi matematisnya tidak melebihi angka positif dalam nilai absolut. ε
Jika ε cukup kecil, maka kita akan memperkirakan probabilitasnya X akan mengambil nilai yang cukup mendekati ekspektasi matematisnya. membuktikan ketidaksetaraan yang memungkinkan kami memberikan perkiraan yang kami minati.
Lemma Chebyshev. Diberikan variabel acak X, yang hanya mengambil nilai non-negatif dengan ekspektasi matematis M(X). Untuk bilangan apa pun α>0 ekspresi berlaku:
Ketimpangan Chebyshev. Probabilitas penyimpangan suatu variabel acak X dari ekspektasi matematisnya dalam nilai absolut lebih kecil dari bilangan positif ε , tidak kurang dari 1 – D(X) / ε 2:
P(|X-M(X)|< ε ) ³ 1 - D (X) / ε 2.
Komentar. Ketimpangan Chebyshev memiliki signifikansi praktis yang terbatas, karena sering kali memberikan perkiraan yang kasar dan terkadang remeh (tidak menarik).
Signifikansi teoretis dari ketidaksetaraan Chebyshev sangat besar. Di bawah ini kita akan menggunakan pertidaksamaan ini untuk memperoleh teorema Chebyshev.
2.2. teorema Chebyshev
Jika X1, X2,…, Xn.. merupakan variabel acak bebas berpasangan, dan variansinya terbatas secara seragam (tidak melebihi bilangan konstan C), maka sekecil apapun bilangan positifnya ε , kemungkinan ketimpangan
(X1+X2 + ...+Xn) / n - (M(X1)+M(X2)+ ...+M(Xn))/n |< ε
akan mendekati kesatuan seperti yang diinginkan jika jumlah variabel acak cukup besar.
P (± (X1+X2 + ...+Xn) / n - (M(X1)+M(X2)+ ...+M(Xn))/n |< ε )=1.
Teorema Chebyshev menyatakan:
1. Sejumlah besar variabel acak independen dengan varian terbatas dipertimbangkan,
Dalam merumuskan teorema Chebyshev, kami berasumsi bahwa variabel acak memiliki ekspektasi matematis yang berbeda. Dalam praktiknya, sering kali variabel acak memiliki ekspektasi matematis yang sama. Jelasnya, jika kita asumsikan lagi bahwa sebaran besaran-besaran ini terbatas, maka teorema Chebyshev akan berlaku untuk besaran-besaran tersebut.
Mari kita nyatakan ekspektasi matematis dari masing-masing variabel acak dengan A;
Dalam kasus yang dipertimbangkan, mean aritmatika dari ekspektasi matematis, seperti yang mudah dilihat, juga sama dengan A.
Teorema Chebyshev dapat dirumuskan untuk kasus tertentu yang sedang dipertimbangkan.
“Jika X1, X2,…, Xn.. merupakan variabel acak bebas berpasangan yang mempunyai ekspektasi matematis a yang sama, dan jika varians dari nilai-nilai tersebut berbatas seragam, maka sekecil apapun bilangan tersebut ε >Oh, kemungkinan terjadinya ketimpangan
(X1+X2 + ...+Xn) / n - A | < ε
akan mendekati kesatuan seperti yang diinginkan jika jumlah variabel acak cukup besar" .
Dengan kata lain, berdasarkan kondisi teorema
P (((X1+X2 + ...+Xn) / n - a |< ε ) = 1.
2.3. Inti dari teorema Chebyshev
Meskipun variabel acak independen individu mungkin mengambil nilai yang jauh dari ekspektasi matematisnya, rata-rata aritmatika dari sejumlah variabel acak yang cukup besar kemungkinan besar akan mengambil nilai yang mendekati bilangan konstan tertentu, yaitu bilangan
(M (Xj) + M (X2)+...+M (Х„))/п atau ke nomor tersebut dan masuk kasus spesial.
Dengan kata lain, variabel acak individu mungkin memiliki penyebaran yang signifikan, dan rata-rata aritmatikanya sangat kecil.
Oleh karena itu, seseorang tidak dapat dengan yakin memperkirakan berapa nilai yang mungkin diambil dari masing-masing variabel acak, namun seseorang dapat memperkirakan berapa nilai rata-rata aritmatikanya.
Jadi, mean aritmatika dari sejumlah besar variabel acak independen (yang variansnya terbatas secara seragam) kehilangan karakter variabel acak.
Hal ini dijelaskan oleh fakta bahwa penyimpangan masing-masing besaran dari ekspektasi matematisnya dapat bernilai positif dan negatif, dan dalam rata-rata aritmatika keduanya saling menghilangkan.
Teorema Chebyshev berlaku tidak hanya untuk variabel diskrit, tetapi juga untuk variabel acak kontinu; ini adalah contoh yang menegaskan keabsahan doktrin hubungan antara kebetulan dan kebutuhan.
2.4. Pentingnya teorema Chebyshev untuk praktik
Mari kita berikan contoh penerapan teorema Chebyshev untuk memecahkan masalah praktis.
Biasanya untuk mengukur besaran fisis tertentu dilakukan beberapa kali pengukuran dan diambil rata-rata aritmatikanya sesuai besaran yang diinginkan. Dalam kondisi apa metode pengukuran ini dianggap benar? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh teorema Chebyshev (kasus khususnya).
Memang benar, anggaplah hasil setiap pengukuran sebagai variabel acak
X1, X2, ..., Xn
Teorema Chebyshev dapat diterapkan pada besaran-besaran ini jika:
1) Mereka mandiri berpasangan.
2) memiliki ekspektasi matematis yang sama,
3) variansnya terbatas secara seragam.
Syarat pertama terpenuhi jika hasil setiap pengukuran tidak bergantung pada hasil pengukuran lainnya.
Persyaratan kedua terpenuhi jika pengukuran dilakukan tanpa kesalahan sistematis (tanda yang sama). Dalam hal ini, ekspektasi matematis semua variabel acak adalah sama dan sama dengan ukuran sebenarnya A.
Persyaratan ketiga terpenuhi jika perangkat memberikan akurasi pengukuran tertentu. Meskipun hasil pengukuran individu berbeda, penyebarannya terbatas.
Jika semua persyaratan yang ditentukan terpenuhi, kami berhak menerapkan teorema Chebyshev pada hasil pengukuran: untuk ukuran yang cukup besar P kemungkinan ketimpangan
| (X1 + Xa+...+X„)/n - a |< ε sedekat mungkin dengan kesatuan yang Anda inginkan.
Dengan kata lain, dengan jumlah pengukuran yang cukup besar, hampir dapat dipastikan bahwa rata-rata aritmatikanya berbeda sesedikit yang diinginkan dari nilai sebenarnya dari nilai yang diukur.
Teorema Chebyshev menunjukkan kondisi di mana metode pengukuran yang dijelaskan dapat diterapkan. Namun, keliru jika berpikir bahwa dengan meningkatkan jumlah pengukuran seseorang dapat mencapai akurasi yang tinggi. Faktanya adalah bahwa perangkat itu sendiri memberikan pembacaan hanya dengan akurasi ± α, oleh karena itu setiap hasil pengukuran, dan oleh karena itu rata-rata aritmatikanya, hanya akan diperoleh dengan akurasi yang tidak melebihi akurasi perangkat.
Metode pengambilan sampel yang banyak digunakan dalam statistik didasarkan pada teorema Chebyshev, yang intinya adalah sampel acak yang relatif kecil digunakan untuk menilai seluruh populasi (populasi umum) dari objek yang diteliti.
Misalnya, kualitas bale kapas ditentukan oleh sekumpulan kecil serat yang dipilih secara acak dari berbagai bagian bale. Meskipun jumlah serat dalam satu bungkusan jauh lebih sedikit dibandingkan dengan bale, bungkusan itu sendiri mengandung serat dalam jumlah yang cukup besar, jumlahnya mencapai ratusan.
Sebagai contoh lain, kita dapat menunjuk pada penentuan kualitas biji-bijian dari sampel kecil. Dan dalam hal ini, jumlah butir yang dipilih secara acak memang kecil dibandingkan dengan seluruh massa butir, tetapi jumlahnya sendiri cukup besar.
Dari contoh-contoh yang diberikan, kita dapat menyimpulkan bahwa teorema Chebyshev sangat penting untuk praktik.
2.5. DalilBernoulli
Diproduksi P tes independen (bukan peristiwa, tetapi tes). Di masing-masingnya, kemungkinan terjadinya suatu peristiwa A sama dengan R.
Timbul pertanyaan, Berapa perkiraan frekuensi relatif terjadinya peristiwa tersebut? Pertanyaan ini dijawab oleh teorema yang dibuktikan oleh Bernoulli, yang disebut “hukum bilangan besar” dan meletakkan dasar bagi teori probabilitas sebagai suatu ilmu.
teorema Bernoulli. Jika di masing-masing P probabilitas tes independen R terjadinya suatu peristiwa A adalah konstan, maka probabilitas penyimpangan frekuensi relatif dari probabilitas mendekati satu R nilai absolutnya akan sangat kecil jika jumlah pengujiannya cukup besar.
Dengan kata lain, jika ε >0 adalah bilangan kecil sembarang, maka, sesuai dengan ketentuan teorema, persamaannya berlaku
P(|M /p - p|< ε)= 1
Komentar. Adalah keliru untuk menyimpulkan, berdasarkan teorema Bernoulli, bahwa seiring bertambahnya jumlah percobaan, frekuensi relatif cenderung terus ke arah probabilitas. R; dengan kata lain, teorema Bernoulli tidak menyiratkan persamaan (t/p) = hal,
DI DALAM Teorema ini hanya membahas probabilitas bahwa, dengan jumlah percobaan yang cukup besar, frekuensi relatif akan berbeda sesedikit yang diinginkan dari probabilitas konstan terjadinya suatu peristiwa dalam setiap percobaan.
Tugas 7-1.
1. Perkirakan peluang munculnya 6 angka dalam 3600 kali pelemparan dadu menghasilkan paling sedikit 900.
Larutan. Misal x adalah banyaknya kemunculan 6 angka dalam 3600 kali pelemparan uang logam. Peluang terambilnya 6 angka dalam sekali lemparan adalah p=1/6, maka M(x)=3600·1/6=600. Mari kita gunakan pertidaksamaan (lemma) Chebyshev untuk α = 900
=
P(X³ 900) £600/900 =2/3
Menjawab 2 / 3.
2. 1000 tes independen dilakukan, p=0,8. Tentukan peluang banyaknya kemunculan kejadian A dalam percobaan ini yang menyimpang dari ekspektasi matematisnya yang besarnya kurang dari 50.
Larutan. x adalah banyaknya kemunculan kejadian A dalam n – 1000 percobaan.
M(X)= 1000·0,8=800. D(x)=100·0,8·0,2=160
Mari kita gunakan pertidaksamaan Chebyshev untuk ε = 50 tertentu
P(|x-M(X)|< ε) ³ 1 - D(x)/ ε 2
R(|x-800|< 50) ³ / 50 2 = 1-160 / 2500 = 0,936.
Menjawab. 0,936
3. Dengan menggunakan pertidaksamaan Chebyshev, perkirakan probabilitasnya |X - M(X)|< 0,1, если D (X) = 0,001. Ответ Р³0,9.
4. Diberikan: P(|X- M(X)\< ε) ³ 0,9; D (X)= 0,004. Dengan menggunakan pertidaksamaan Chebyshev, carilah ε . Menjawab. 0,2.
Soal tes dan tugas
1. Tujuan dari teorema limit pusat
2. Kondisi penerapan teorema Lyapunov.
3. Perbedaan lemma dan teorema Chebyshev.
4. Kondisi penerapan teorema Chebyshev.
5. Syarat berlakunya teorema Bernoulli (hukum bilangan besar)
Persyaratan untuk pengetahuan dan keterampilan
Siswa harus mengetahui rumusan semantik umum dari teorema limit pusat. Mampu merumuskan teorema tertentu untuk variabel acak independen yang berdistribusi identik. Memahami pertidaksamaan Chebyshev dan hukum bilangan besar dalam bentuk Chebyshev. Memiliki gambaran tentang frekuensi suatu kejadian, hubungan antara konsep “probabilitas” dan “frekuensi”. Memahami hukum bilangan besar dalam bentuk Bernoulli.
(1857-1918), ahli matematika Rusia yang luar biasa
Versi paling sederhana dari teori probabilitas Central Limit Theorem (CLT) adalah sebagai berikut.
(untuk istilah yang terdistribusi secara identik). Membiarkan X 1 , X 2 ,…, X n, … – variabel acak independen yang terdistribusi secara identik dengan ekspektasi matematis M(X saya) = M dan varians D(X saya) = , Saya= 1, 2,…, N,... Lalu untuk bilangan real apa pun X ada batasnya
Di mana F(x)– fungsi distribusi normal standar.
Teorema ini terkadang disebut teorema Lindeberg-Lévy.
Dalam sejumlah soal yang diterapkan, kondisi distribusi identik tidak terpenuhi. Dalam kasus seperti itu, teorema limit pusat biasanya tetap valid, tetapi kondisi tertentu harus diterapkan pada barisan variabel acak. Inti dari kondisi ini adalah bahwa tidak ada satu suku pun yang dominan; kontribusi setiap suku terhadap rata-rata aritmatika tidak boleh diabaikan dibandingkan dengan totalnya. Yang paling umum digunakan adalah teorema Lyapunov.
Teorema limit pusat(untuk istilah yang didistribusikan secara berbeda) – teorema Lyapunov. Membiarkan X 1 , X 2 ,…, X n, … – variabel acak independen dengan ekspektasi matematis M(X saya) = saya dan varians D(X saya) = , Saya= 1, 2,…, N,... Misalkan untuk beberapa δ>0 semua variabel acak yang dipertimbangkan memiliki momen sentral berorde 2+δ dan “fraksi Lyapunov” berkurang tanpa batas:
Lalu untuk bilangan real apa pun X ada batasnya
Di mana F(x)– fungsi distribusi normal standar.
Dalam kasus suku acak yang terdistribusi secara identik
dan teorema Lyapunov berubah menjadi teorema Lindeberg-Lévy.
Sejarah memperoleh teorema limit pusat untuk variabel acak berlangsung selama dua abad - dari karya pertama Moivre pada tahun 30-an abad ke-18 untuk kondisi perlu dan cukup yang diperoleh Lindeberg dan Feller pada tahun 30-an abad ke-20.
Teorema Lindeberg-Feller. Membiarkan X 1 , X 2 ,…, X n, …, – variabel acak independen dengan ekspektasi matematis M(X saya) = saya dan varians D(X saya) = , Saya= 1, 2,…, N,… Relasi limit (1), yaitu. teorema limit pusat, terpenuhi jika dan hanya jika untuk sembarang τ>0
Di mana Fk(X) menunjukkan fungsi distribusi variabel acak Xk.
Bukti dari versi teorema limit pusat untuk variabel acak yang terdaftar dapat ditemukan dalam teori probabilitas klasik.
Untuk statistik terapan dan, khususnya, untuk statistik non-numerik, teorema limit pusat multidimensi sangatlah penting. Ini bukan tentang jumlah variabel acak, tetapi tentang jumlah vektor acak.
Kondisi yang diperlukan dan cukup untuk konvergensi multidimensi. Membiarkan Fn menunjukkan fungsi distribusi gabungan k vektor acak -dimensi, N= 1,2,…, dan Menyenangkan 
. Kondisi yang diperlukan dan cukup untuk konvergensi Fn untuk sebagian k-fungsi distribusi dimensi
F Apakah itu Menyenangkan mempunyai limit untuk sembarang vektor λ.
Teorema di atas berharga karena konvergensi vektor direduksi menjadi konvergensi kombinasi linier koordinatnya, yaitu. dengan konvergensi variabel acak biasa yang dibahas sebelumnya. Namun, hal ini tidak memungkinkan untuk secara langsung menunjukkan distribusi pembatasnya. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan teorema berikut.
Teorema konvergensi multidimensi. Membiarkan Fn Dan Menyenangkan– sama seperti pada teorema sebelumnya. Membiarkan F- fungsi distribusi bersama k vektor acak -dimensi. Jika fungsi distribusi Menyenangkan menyatu dengan peningkatan ukuran sampel ke fungsi distribusi Fλ untuk sembarang vektor λ, di mana Fλ– fungsi distribusi kombinasi linier 
, Itu Fn menyatu ke F.
Di sini konvergensinya Fn Ke F berarti itu bagi siapa pun k vektor -dimensi sedemikian rupa sehingga fungsi distribusi F kontinu dalam , urutan angka Fn menyatu seiring pertumbuhannya N ke nomor tersebut F. Dengan kata lain, konvergensi fungsi distribusi dipahami sama persis seperti pada pembahasan teorema limit variabel acak di atas. Mari kita sajikan analogi multidimensi dari teorema ini.
Teorema limit pusat multidimensi. Pertimbangkan independen terdistribusi secara identik k vektor acak -dimensi
di mana bilangan prima menunjukkan operasi transposisi vektor. Mari kita asumsikan bahwa vektor acak kamu n memiliki momen orde pertama dan kedua, yaitu.
M(kamu n) = μ, D(kamu n) = Σ,
Di mana μ adalah vektor ekspektasi matematis dari koordinat vektor acak, Σ adalah matriks kovariansnya. Mari kita perkenalkan barisan vektor acak rata-rata aritmatika:
Maka vektor acak tersebut asimtotik k distribusi normal -dimensi, yaitu itu didistribusikan secara asimtotik dengan cara yang sama seperti k besaran normal -dimensi dengan ekspektasi nol, kovarians Σ dan kepadatan
Di sini |Σ| adalah determinan matriks Σ. Dengan kata lain, distribusi vektor acak konvergen ke k-distribusi normal berdimensi dengan ekspektasi matematis nol dan matriks kovarians Σ.
Ingatlah bahwa distribusi normal multivariat dengan ekspektasi matematis μ dan matriks kovarians Σ adalah distribusi yang memiliki kepadatan
Teorema limit pusat multidimensi menunjukkan bahwa distribusi jumlah vektor acak independen yang terdistribusi identik dengan sejumlah besar suku didekati dengan baik menggunakan distribusi normal yang memiliki dua momen pertama yang sama (vektor ekspektasi matematis dari koordinat vektor acak dan matriks korelasinya) sebagai vektor aslinya. Distribusi yang sama dapat ditinggalkan, tetapi hal ini memerlukan beberapa komplikasi simbolisme. Secara umum, dari teorema konvergensi multidimensi dapat disimpulkan bahwa kasus multidimensi tidak berbeda secara mendasar dengan kasus satu dimensi.
Contoh. Membiarkan X 1 , … X n,… adalah variabel acak independen yang terdistribusi secara identik. Mari kita pertimbangkan k-dimensi vektor acak yang terdistribusi secara identik dan independen
Ekspektasi matematisnya adalah vektor momen awal teoretis, dan matriks kovarians terdiri dari momen pusat yang bersesuaian. Maka adalah vektor momen sentral sampel. Teorema limit pusat multivariat menyatakan bahwa ia mempunyai distribusi normal asimtotik. Sebagai berikut dari teorema pewarisan konvergensi dan linearisasi (lihat di bawah), distribusi berbagai fungsi dari sampel momen awal dapat diturunkan dari distribusi. Dan karena momen-momen sentral diungkapkan melalui momen-momen awal, pernyataan serupa juga berlaku untuk momen-momen tersebut.
| Sebelumnya |
Teorema limit pusat (CLT) adalah kelompok teorema limit kedua yang menetapkan hubungan antara hukum distribusi jumlah variabel acak dan bentuk akhirnya - hukum distribusi normal.
Sampai saat ini kita sering membicarakan tentang kestabilan karakteristik rata-rata dari sejumlah besar pengujian, atau lebih tepatnya, tentang kestabilan penjumlahan bentuk.
Namun perlu diperhatikan nilainya 
acak, yang berarti mempunyai hukum distribusi tertentu. Ternyata fakta luar biasa inilah yang menjadi isinya
kelompok teorema lain, disatukan di bawah nama umum batas pusatdalil, bahwa dalam kondisi yang cukup umum hukum distribusi 
mendekati hukum normal.
Sejak nilainya 
berbeda dengan jumlahnya
hanya faktor konstan 
maka secara umum isi CLT dapat dirumuskan sebagai berikut.
Distribusi jumlah sejumlah besar variabel acak bebas dengan sangat
Kondisi umum mendekati hukum distribusi normal.
Diketahui bahwa variabel acak berdistribusi normal banyak digunakan dalam praktik (tidak hanya dalam teori probabilitas, tetapi juga dalam berbagai penerapannya). Apa yang menjelaskan fenomena ini? Jawaban atas “fenomena” semacam itu pertama kali diberikan oleh ahli matematika Rusia terkemuka A.M. Lyapunov pada tahun 1901: “Teorema limit pusat Lyapunov.” Jawaban Lyapunov terletak pada kondisi yang mendasari CLT (lihat di bawah).
Untuk mempersiapkan formulasi CLT yang akurat, mari kita tanyakan pada diri kita sendiri dua pertanyaan:
1.
Apa sebenarnya maksud dari pernyataan “hukum pembagian jumlah 
“dekat” dengan hukum normal?
2. Dalam kondisi apa kedekatan ini sah?
Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan ini, pertimbangkan barisan variabel acak tak terhingga: 
Mari kita buat “jumlah sebagian” dari rangkaian r.v. 
(23)
Dari setiap variabel acak 
mari beralih ke variabel acak yang "dinormalisasi".
(24)
Kami telah menetapkan (lihat T.8., paragraf 3, persamaan (19)) bahwa 
.
Jawaban atas pertanyaan pertama sekarang dapat dirumuskan dalam persamaan limit
(25)
,
(
,
artinya hukum distribusi r.v. 
dengan pertumbuhan 
mendekati hukum normal dengan 
. Tentu saja dari fakta nilainya 
mempunyai distribusi yang mendekati normal maka nilainya 
kira-kira berdistribusi normal,
(26)
Rumus untuk menentukan peluang jumlah beberapa r.v. akan berada dalam batas yang ditentukan. CPT sering digunakan untuk 
Mengenai syarat-syarat yang harus dikenakan pada jumlah 
Pertimbangan berikut dapat dilakukan. Mari kita pertimbangkan perbedaannya 
Kami mendapatkan deviasi r.v. 
dari ekspektasi matematisnya. Arti umum dari kondisi yang dikenakan pada kuantitas 
apakah itu penyimpangan individu 
harus seragam kecil dibandingkan dengan total deviasi 
Rumusan yang tepat dari kondisi di mana hubungan limit valid diberikan oleh M.A. Lyapunov pada tahun 1901. Ini adalah sebagai berikut.
Biarkan untuk masing-masing kuantitas 
jumlahnya terbatas (perhatikan itu 
ada dispersi r.v. 
-
« momen sentral orde ketiga").
Jika di 
,
maka kita akan mengatakan itu urutannya 
memuaskan kondisi Lyapunov.
Secara khusus, CLT untuk kasus-kasus ketika dalam jumlah variabel acak setiap suku memiliki distribusi yang sama, yaitu. segalanya dan 
maka kondisi Lyapunov terpenuhi
Yakni, dalam praktiknya kasus CLT ini yang paling sering digunakan. Karena dalam statistik matematika setiap sampel acak r.v. memiliki distribusi yang identik karena “sampel” diambil dari populasi yang sama.
Mari kita rumuskan kasus ini sebagai pernyataan terpisah dari CLT.
Teorema 10.7 (CPT).Biarkan variabel acak
mandiri, setaraterdistribusi, memiliki ekspektasi matematis yang terbatas 
dan varians 
Kemudian fungsi distribusi dari jumlah r.v. pada 
cenderung ke fungsi distribusi variabel acak normal standar:
(27)
Dalam kasus khusus ini, ada baiknya untuk memahami bagaimana keseragaman “kecilnya” istilah-istilah tersebut diwujudkan, 
dimana nilainya 
memiliki ketertiban 
, dan nilainya 
memesan 
, sehingga perbandingan besaran pertama dengan besaran kedua cenderung 0.
Sekarang kita dapat merumuskan teorema limit pusat dalam bentuk A.M. Lyapunova.
Teorema 10.8. (Lyapunov).Jika urutannya 
Jika variabel acak bebas memenuhi kondisi Lyapunov, maka hubungan limitnya valid
(28)
,
untuk apa pun 
Dan 
, di mana ( 
.
Dengan kata lain, dalam hal ini, hukum distribusi jumlah yang dinormalisasi berlaku 
menyatu dengan hukum normal dengan parameter 
Perlu diperhatikan bahwa untuk membuktikan CPT A.M. Lyapunov mengembangkan metode khusus berdasarkan teori yang disebut fungsi karakteristik. Metode ini ternyata sangat berguna pada cabang matematika lainnya (lihat pembuktian CLT misalnya di buku Borodin […]). Dalam buku ini, kami akan memberikan informasi singkat tentang fungsi pembangkitan dan beberapa aplikasi untuk menghitung karakteristik numerik variabel acak.
Informasi singkat tentang kesalahan pengukuran. Diketahui bahwa apabila pengukuran berulang terhadap suatu benda yang sama, dilakukan dengan alat ukur yang sama dengan ketelitian yang sama (dalam kondisi yang sama), hasil yang sama tidak selalu tercapai. Tersebarnya hasil pengukuran disebabkan karena proses pengukuran dipengaruhi oleh berbagai faktor yang tidak memungkinkan dan tidak disarankan untuk diperhitungkan. Dalam situasi ini, kesalahan yang timbul ketika mengukur besaran yang menarik bagi kita sering kali dapat dianggap sebagai jumlah dari sejumlah besar suku-suku independen, yang masing-masing hanya memberikan kontribusi kecil terhadap pembentukan jumlah keseluruhan. Namun kasus seperti itu justru membawa kita pada kondisi penerapan teorema Lyapunov, dan kita dapat berharap bahwa distribusi kesalahan kuantitas yang diukur sedikit berbeda dari distribusi normal.
Secara lebih umum, error merupakan fungsi dari sejumlah besar argumen acak, yang masing-masing hanya berbeda sedikit dari nilai yang diharapkan. Dengan melinierkan fungsi ini, yaitu menggantinya dengan fungsi linier, kita kembali ke kasus sebelumnya. Akumulasi pengalaman dalam pemrosesan statistik hasil pengukuran memang menegaskan fakta ini dalam sebagian besar kasus praktis.
Alasan serupa menjelaskan munculnya distribusi normal dalam penyimpangan parameter yang menentukan produk jadi (produk) yang diproduksi dari nilai standar dalam produksi massal.
Perhatikan contoh berikut.
Contoh 5. Variabel acak independen 
didistribusikan secara merata pada segmen tersebut. Temukan hukum distribusi r.v. 
, serta kemungkinan itu 
Larutan. Persyaratan CPT terpenuhi, oleh karena itu r.v. 
memiliki kira-kira kepadatan distribusi
Menurut rumus yang diketahui untuk m.o. dan varians dalam kasus distribusi seragam kita temukan: Kemudian
Berdasarkan rumus (26), kami menemukan (dengan mempertimbangkan nilai tabel fungsi Laplace)
