Kalkulator membantu Anda dengan cepat menaikkan angka menjadi pangkat secara online. Basis derajat dapat berupa bilangan apa pun (baik bilangan bulat maupun real). Eksponennya juga bisa berupa bilangan bulat atau real, dan bisa juga positif atau negatif. Perlu diingat bahwa untuk bilangan negatif, menaikkan pangkat bukan bilangan bulat tidak dapat ditentukan, sehingga kalkulator akan melaporkan kesalahan jika Anda mencobanya.

Kalkulator derajat

Naikkan kekuasaan

Eksponen: 20880

Apa yang dimaksud dengan pangkat alami suatu bilangan?

Bilangan p disebut pangkat ke-n suatu bilangan jika p sama dengan bilangan a dikalikan dengan bilangan itu sendiri sebanyak n kali: p = an = a·...·a
n - dipanggil eksponen, dan bilangan a adalah dasar gelar.

Bagaimana cara menaikkan bilangan menjadi pangkat alami?

Untuk memahami cara menaikkan berbagai bilangan menjadi pangkat alami, perhatikan beberapa contoh:

Contoh 1. Naikkan angka tiga ke pangkat empat. Artinya, perlu menghitung 3 4
Larutan: seperti disebutkan di atas, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
Menjawab: 3 4 = 81 .

Contoh 2. Naikkan angka lima ke pangkat lima. Artinya, perlu menghitung 5 5
Larutan: demikian pula, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Menjawab: 5 5 = 3125 .

Jadi, untuk menaikkan angka menjadi gelar alami, Anda hanya perlu mengalikannya dengan dirinya sendiri sebanyak n kali.

Berapakah pangkat negatif suatu bilangan?

Pangkat negatif -n dari a dibagi dengan a pangkat n: a -n = .

Dalam hal ini, pangkat negatif hanya ada untuk bilangan bukan nol, karena jika tidak, akan terjadi pembagian dengan nol.

Bagaimana cara menaikkan suatu bilangan menjadi bilangan bulat negatif?

Untuk menaikkan bilangan bukan nol menjadi pangkat negatif, Anda perlu menghitung nilai bilangan tersebut dengan bilangan yang sama derajat positif dan bagi satu dengan hasilnya.

Contoh 1. Naikkan angka dua ke pangkat empat negatif. Artinya, Anda perlu menghitung 2 -4

Larutan: seperti yang disebutkan di atas, 2 -4 = = = 0,0625.

Menjawab: 2 -4 = 0.0625 .

Eksponensial merupakan operasi yang erat hubungannya dengan perkalian; operasi ini merupakan hasil perkalian suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri secara berulang-ulang. Mari kita nyatakan dengan rumus: a1 * a2 * … * an = an.

Misalnya, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Secara umum, eksponensial sering digunakan dalam berbagai formula dalam matematika dan fisika. Fungsi ini memiliki tujuan yang lebih ilmiah dibandingkan empat fungsi utama: Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, Pembagian.

Menaikkan angka menjadi pangkat

Menaikkan angka menjadi pangkat bukanlah operasi yang rumit. Hal ini terkait dengan perkalian dengan cara yang mirip dengan hubungan antara perkalian dan penjumlahan. Rekam – catatan pendek Banyaknya bilangan “a” yang ke-n dikalikan satu sama lain.

Pertimbangkanlah eksponen paling banyak contoh sederhana, beralih ke yang kompleks.

Misalnya 42. 42 = 4 * 4 = 16. Empat kuadrat (pangkat kedua) sama dengan enam belas. Jika Anda belum memahami perkalian 4 * 4, bacalah artikel kami tentang perkalian.

Mari kita lihat contoh lainnya: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Lima pangkat tiga (pangkat ketiga) sama dengan seratus dua puluh lima.

Contoh lain: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Sembilan pangkat tiga sama dengan tujuh ratus dua puluh sembilan.

Rumus eksponensial

Untuk menaikkan pangkat dengan benar, Anda perlu mengingat dan mengetahui rumus yang diberikan di bawah ini. Tidak ada yang lebih alami dalam hal ini, yang utama adalah memahami esensinya dan kemudian tidak hanya diingat, tetapi juga tampak mudah.

Meningkatkan monomial menjadi kekuatan

Apa itu monomial? Ini adalah produk angka dan variabel dalam jumlah berapa pun. Misalnya, dua adalah monomial. Dan artikel ini justru membahas tentang mengangkat monomial tersebut ke kekuasaan.

Dengan menggunakan rumus eksponensial, tidak akan sulit menghitung eksponensial suatu monomial.

Misalnya, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Jika Anda menaikkan monomial menjadi pangkat, maka setiap komponen monomial dipangkatkan.

Dengan menaikkan suatu variabel yang sudah mempunyai pangkat menjadi suatu pangkat, maka pangkatnya akan dikalikan. Misalnya, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Menaikkan ke kekuatan negatif

Pangkat negatif adalah kebalikan suatu bilangan. Berapakah bilangan timbal baliknya? Kebalikan dari sembarang bilangan X adalah 1/X. Artinya, X-1=1/X. Itulah intinya derajat negatif.

Perhatikan contoh (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Mengapa demikian? Karena ada minus pada derajatnya, kita cukup memindahkannya ke penyebutnya ekspresi ini, lalu naikkan ke pangkat tiga. Sederhana bukan?

Menaikkan ke pangkat pecahan

Mari kita mulai mempertimbangkan masalah ini di contoh spesifik. 43/2. Apa yang dimaksud dengan derajat 3/2? 3 – pembilang, artinya menaikkan angka (menjadi pada kasus ini 4) per meter kubik Angka 2 adalah penyebutnya; ini adalah ekstraksi akar kedua dari suatu angka (dalam hal ini, 4).

Kemudian kita mendapatkan akar kuadrat dari 43 = 2^3 = 8. Jawaban: 8.

Jadi, penyebut suatu derajat pecahan bisa berupa 3 atau 4 atau bilangan apa pun hingga tak terhingga, dan bilangan ini menentukan derajatnya. akar pangkat dua, diekstrak dari nomor yang diberikan. Tentu saja penyebutnya tidak boleh nol.

Meningkatkan akar menuju suatu kekuatan

Jika akarnya diangkat menjadi kekuatan, sama root itu sendiri, maka jawabannya adalah ekspresi radikal. Misalnya, (√x)2 = x. Jadi, bagaimanapun juga, derajat akar dan derajat meninggikan akar adalah sama.

Jika (√x)^4. Maka (√x)^4=x^2. Untuk memeriksa solusinya, kami mengubah ekspresi menjadi ekspresi dengan pangkat pecahan. Karena akarnya kuadrat, maka penyebutnya adalah 2. Dan jika akar tersebut dipangkatkan keempat, maka pembilangnya adalah 4. Kita mendapatkan 4/2=2. Jawaban: x = 2.

Bagaimanapun pilihan terbaik cukup ubah ekspresi menjadi ekspresi dengan pangkat pecahan. Jika pecahan tidak hilang, maka inilah jawabannya, asalkan akar bilangan tersebut tidak terisolasi.

Menaikkan bilangan kompleks menjadi pangkat

Apa itu bilangan kompleks? Bilangan kompleks– ekspresi yang memiliki rumus a + b * i; a, b adalah bilangan real. i adalah bilangan yang jika dikuadratkan menghasilkan bilangan -1.

Mari kita lihat sebuah contoh. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Mendaftarlah untuk kursus "Mempercepat aritmatika mental, BUKAN aritmatika mental"untuk mempelajari cara menjumlahkan, mengurangi, mengalikan, membagi, mengkuadratkan bilangan, dan bahkan mengakarkan bilangan dengan cepat dan benar. Dalam 30 hari Anda akan belajar cara menggunakan trik mudah untuk menyederhanakan operasi aritmatika. Setiap pelajaran berisi teknik-teknik baru, contoh-contoh yang jelas dan tugas-tugas yang bermanfaat.

Eksponensial online

Dengan menggunakan kalkulator kami, Anda dapat menghitung pangkat suatu bilangan:

Eksponensial kelas 7

Anak-anak sekolah mulai naik pangkat hanya di kelas tujuh.

Eksponensial merupakan operasi yang erat hubungannya dengan perkalian; operasi ini merupakan hasil perkalian suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri secara berulang-ulang. Mari kita nyatakan dengan rumus: a1 * a2 * … * an=an.

Misalnya, a=2, n=3: 2*2*2 = 2^3 = 8.

Contoh penyelesaian:

Presentasi eksponensial

Presentasi tentang peningkatan kekuasaan, dirancang untuk siswa kelas tujuh. Presentasi ini mungkin memperjelas beberapa poin yang tidak jelas, tetapi poin-poin ini mungkin tidak akan terjelaskan berkat artikel kami.

Intinya

Kami hanya melihat puncak gunung es, untuk memahami matematika dengan lebih baik - daftarlah pada kursus kami: Mempercepat aritmatika mental - BUKAN aritmatika mental.

Dari kursus ini Anda tidak hanya akan mempelajari lusinan teknik untuk menyederhanakan dan perkalian cepat, penjumlahan, perkalian, pembagian, penghitungan persentase, tetapi Anda juga akan mempraktikkannya dalam tugas khusus dan permainan edukatif! Aritmatika mental juga memerlukan banyak perhatian dan konsentrasi, yang dilatih secara aktif ketika memecahkan masalah yang menarik.

Kami telah menemukan apa sebenarnya pangkat suatu bilangan. Sekarang kita perlu memahami cara menghitungnya dengan benar, yaitu. meningkatkan angka menjadi kekuatan. Pada materi kali ini kita akan menganalisis aturan dasar penghitungan derajat pada eksponen bilangan bulat, natural, pecahan, rasional, dan irasional. Semua definisi akan diilustrasikan dengan contoh.

Yandex.RTB RA-339285-1

Konsep eksponensial

Mari kita mulai dengan merumuskan definisi dasar.

Definisi 1

Eksponensial- ini adalah perhitungan nilai pangkat suatu bilangan tertentu.

Artinya, kata “menghitung nilai suatu kekuatan” dan “meningkatkan suatu kekuatan” mempunyai arti yang sama. Jadi, jika soal mengatakan “Naikkan angka 0,5 ke pangkat lima”, maka yang dimaksud dengan “menghitung nilai pangkat (0,5)5.

Sekarang kami menyajikan aturan dasar yang harus diikuti saat melakukan perhitungan tersebut.

Mari kita ingat apa itu pangkat suatu bilangan dengan eksponen natural. Untuk pangkat dengan basis a dan eksponen n, ini adalah hasil kali dari banyaknya faktor ke-n, yang masing-masing sama dengan a. Ini dapat ditulis seperti ini:

Untuk menghitung nilai suatu derajat, Anda perlu melakukan tindakan perkalian, yaitu mengalikan basis derajat beberapa kali. Konsep derajat dengan eksponen natural didasarkan pada kemampuan mengalikan dengan cepat. Mari kita beri contoh.

Contoh 1

Kondisi: naikkan - 2 pangkat 4.

Larutan

Dengan menggunakan definisi di atas, kita menulis: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Selanjutnya, kita hanya perlu mengikuti langkah-langkah ini dan mendapatkan 16.

Mari kita ambil contoh yang lebih rumit.

Contoh 2

Hitung nilainya 3 2 7 2

Larutan

Entri ini dapat ditulis ulang menjadi 3 2 7 · 3 2 7 . Sebelumnya, kita telah melihat cara mengalikan bilangan campuran yang disebutkan dalam kondisi dengan benar.

Ayo lakukan langkah berikut dan dapatkan jawabannya: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Jika tugas menunjukkan perlunya membangun angka rasional pada tingkat alaminya, pertama-tama kita perlu membulatkan basisnya ke angka yang memungkinkan kita memperoleh jawaban dengan akurasi yang diperlukan. Mari kita lihat sebuah contoh.

Contoh 3

Lakukan kuadrat π.

Larutan

Pertama, kita bulatkan ke ratusan terdekat. Maka π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Jika π ≈ 3. 14159, maka kita mendapatkan hasil yang lebih akurat: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Perhatikan bahwa kebutuhan untuk menghitung pangkat bilangan irasional relatif jarang muncul dalam praktiknya. Kita kemudian dapat menulis jawabannya sebagai pangkat (ln 6) 3 itu sendiri, atau mengkonversikannya jika memungkinkan: 5 7 = 125 5 .

Secara terpisah, harus ditunjukkan apa pangkat pertama suatu bilangan. Di sini Anda dapat dengan mudah mengingat bahwa bilangan apa pun yang dipangkatkan satu akan tetap menjadi dirinya sendiri:

Hal ini terlihat jelas dari rekaman tersebut .

Hal ini tidak tergantung pada derajatnya.

Contoh 4

Jadi, (− 9) 1 = − 9, dan 7 3 dipangkatkan pertama akan tetap sama dengan 7 3.

Untuk memudahkan, kita akan memeriksa tiga kasus secara terpisah: jika eksponennya adalah bilangan bulat positif, jika eksponennya nol, dan jika eksponennya adalah bilangan bulat negatif.

Dalam kasus pertama, ini sama dengan menaikkan ke pangkat alami: bagaimanapun juga, bilangan bulat positif termasuk dalam himpunan bilangan asli. Kami telah membicarakan di atas tentang cara bekerja dengan gelar tersebut.

Sekarang mari kita lihat cara menaikkan ke pangkat nol dengan benar. Untuk basis selain nol, perhitungan ini selalu menghasilkan 1. Telah dijelaskan sebelumnya bahwa pangkat 0 dari a dapat didefinisikan untuk sembarang bilangan real yang tidak sama dengan 0, dan a 0 = 1.

Contoh 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - tidak ditentukan.

Yang tersisa hanyalah kasus derajat dengan bilangan bulat indikator negatif. Kita telah membahas bahwa derajat tersebut dapat ditulis sebagai pecahan 1 a z, di mana a adalah bilangan apa pun, dan z adalah bilangan bulat negatif. Kita melihat bahwa penyebut pecahan ini tidak lebih dari pangkat biasa dengan eksponen bilangan bulat positif, dan kita telah mempelajari cara menghitungnya. Mari kita beri contoh tugas.

Contoh 6

Naikkan 3 ke pangkat - 2.

Larutan

Dengan menggunakan definisi di atas, kita menulis: 2 - 3 = 1 2 3

Mari kita hitung penyebut pecahan ini dan dapatkan 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

Maka jawabannya adalah: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Contoh 7

Naikkan 1,43 ke pangkat -2.

Larutan

Mari kita rumuskan kembali: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Kami menghitung kuadrat penyebutnya: 1,43·1,43. Desimal dapat dikalikan dengan cara berikut:

Hasilnya, kita mendapatkan (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Kita tinggal menuliskan hasil ini di formulir pecahan biasa, untuk itu Anda perlu mengalikannya dengan 10 ribu (lihat materi tentang mengkonversi pecahan).

Jawaban: (1, 43) - 2 = 10.000 20449

Kasus khusus adalah menaikkan angka ke minus pangkat satu. Nilai derajat ini sama dengan timbal baliknya nilai asli basis: a - 1 = 1 a 1 = 1 a .

Contoh 8

Contoh: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Cara menaikkan bilangan ke pangkat pecahan

Untuk melakukan operasi seperti itu, kita perlu mengingat definisi dasar derajat dengan indikator pecahan: a m n = a m n untuk sembarang a positif, bilangan bulat m dan natural n.

Definisi 2

Jadi, penghitungan pangkat pecahan harus dilakukan dalam dua langkah: menaikkan pangkat bilangan bulat dan mencari akar pangkat ke-n.

Kita mempunyai persamaan a m n = a m n , yang dengan mempertimbangkan sifat-sifat akarnya, biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam bentuk a m ​​n = a n m . Artinya jika kita menaikkan suatu bilangan a ke pangkat pecahan m/n, maka pertama-tama kita ambil akar ke-n dari a, lalu kita naikkan hasilnya menjadi pangkat dengan eksponen bilangan bulat m.

Mari kita ilustrasikan dengan sebuah contoh.

Contoh 9

Hitung 8 - 2 3 .

Larutan

Metode 1: Berdasarkan definisi dasarnya, kita dapat menyatakannya sebagai: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Sekarang mari kita hitung derajat di bawah akar dan ekstrak akar ketiga dari hasilnya: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Cara 2. Transformasikan persamaan dasar: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

Setelah itu, kita ekstrak akar 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 dan kuadratkan hasilnya: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Kami melihat bahwa solusinya identik. Anda dapat menggunakannya sesuka Anda.

Ada kalanya derajat mempunyai indikator yang dinyatakan nomor campuran atau desimal. Untuk memudahkan perhitungan, lebih baik diganti pecahan biasa dan hitung seperti di atas.

Contoh 10

Naikkan 44, 89 menjadi 2, 5.

Larutan

Mari kita ubah nilai indikatornya menjadi pecahan biasa - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Sekarang kita lakukan secara berurutan semua tindakan yang ditunjukkan di atas: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Jawaban: 13 501, 25107.

Jika pembilang dan penyebut suatu eksponen pecahan mengandung angka besar, maka menghitung pangkat seperti itu dengan eksponen rasional adalah hal yang cukup kerja keras. Biasanya membutuhkan teknologi komputer.

Mari kita membahas secara terpisah pangkat dengan basis nol dan eksponen pecahan. Ekspresi bentuk 0 m n dapat mempunyai arti sebagai berikut: jika m n > 0, maka 0 m n = 0 m n = 0; jika m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Cara menaikkan bilangan menjadi pangkat irasional

Kebutuhan untuk menghitung nilai suatu pangkat yang eksponennya merupakan bilangan irasional tidak begitu sering muncul. Dalam praktiknya, tugas biasanya terbatas pada menghitung nilai perkiraan (hingga sejumlah tempat desimal tertentu). Ini biasanya dihitung di komputer karena rumitnya perhitungan tersebut, jadi kami tidak akan membahasnya secara detail, kami hanya akan menunjukkan ketentuan utama.

Jika kita perlu menghitung nilai derajat a dengan ir indikator rasional a , lalu kita ambil perkiraan desimal dari indikator tersebut dan menghitungnya. Hasilnya akan menjadi jawaban perkiraan. Semakin akurat perkiraan desimalnya, semakin akurat jawabannya. Mari kita tunjukkan dengan sebuah contoh:

Contoh 11

Hitung perkiraan nilai 21, 174367....

Larutan

Mari kita batasi diri kita pada perkiraan desimal a n = 1, 17. Mari kita lakukan perhitungan menggunakan angka ini: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Jika kita mengambil, misalnya, perkiraan a n = 1, 1743, maka jawabannya akan sedikit lebih akurat: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Pada artikel ini kita akan mencari tahu apa itu derajat. Di sini kami akan memberikan definisi pangkat suatu bilangan, sementara kami akan mempertimbangkan secara rinci semua eksponen yang mungkin, dimulai dengan eksponen natural dan diakhiri dengan eksponen irasional. Dalam materi Anda akan menemukan banyak contoh derajat yang mencakup semua seluk-beluk yang muncul.

Navigasi halaman.

Pangkat dengan eksponen alami, kuadrat suatu bilangan, pangkat tiga suatu bilangan

Mari kita mulai dengan. Ke depan, katakanlah definisi pangkat suatu bilangan a dengan eksponen natural n diberikan untuk a, yang kita sebut dasar gelar, dan n, yang akan kita panggil eksponen. Perlu kita ketahui juga bahwa derajat dengan eksponen natural ditentukan melalui suatu perkalian, sehingga untuk memahami materi di bawah ini anda perlu memiliki pemahaman tentang perkalian bilangan.

Definisi.

Pangkat suatu bilangan dengan eksponen alami n adalah ekspresi bentuk a n, yang nilainya sama dengan hasil kali n faktor, yang masing-masing sama dengan a, yaitu .
Secara khusus, pangkat suatu bilangan a dengan eksponen 1 adalah bilangan a itu sendiri, yaitu a 1 =a.

Perlu segera disebutkan tentang aturan membaca gelar. Metode universal membaca entri a n adalah: “a pangkat n”. Dalam beberapa kasus, opsi berikut juga dapat diterima: “a pangkat ke-n” dan “pangkat ke-n dari a”. Misalnya, mari kita pangkat 8 12, ini adalah "delapan pangkat dua belas", atau "delapan pangkat dua belas", atau "pangkat dua belas dari delapan".

Pangkat kedua suatu bilangan, serta pangkat ketiga suatu bilangan, memiliki namanya sendiri-sendiri. Pangkat kedua suatu bilangan disebut kuadratkan angkanya, misalnya, 7 2 dibaca sebagai “tujuh kuadrat” atau “kuadrat dari angka tujuh”. Pangkat ketiga suatu bilangan disebut angka potong dadu, misalnya, 5 3 dapat dibaca sebagai “lima pangkat tiga” atau Anda dapat mengucapkan “kubus angka 5”.

Saatnya untuk membawa contoh derajat dengan eksponen natural. Mari kita mulai dengan derajat 5 7, di sini 5 adalah basis derajat, dan 7 adalah eksponen. Mari kita beri contoh lain: 4.32 adalah basisnya, dan bilangan asli 9 – eksponen (4.32) 9 .

Harap dicatat bahwa di contoh terakhir Basis derajat 4,32 ditulis dalam tanda kurung: untuk menghindari perbedaan, kami akan memasukkan semua basis derajat yang berbeda dari bilangan asli ke dalam tanda kurung. Sebagai contoh, kami memberikan derajat berikut dengan eksponen natural , basisnya bukan bilangan asli, sehingga ditulis dalam tanda kurung. Nah, agar lebih jelas, pada kali ini kami akan menunjukkan perbedaan yang terdapat pada rekaman bentuk (−2) 3 dan −2 3. Ekspresi (−2) 3 adalah pangkat −2 dengan eksponen natural 3, dan ekspresi −2 3 (dapat ditulis sebagai −(2 3) ) sesuai dengan bilangan tersebut, nilai pangkat 2 3 .

Perhatikan bahwa ada notasi pangkat suatu bilangan a dengan eksponen n berbentuk a^n. Apalagi jika n adalah bilangan asli multinilai, maka eksponennya diambil dalam tanda kurung. Misalnya, 4^9 adalah notasi lain untuk pangkat 4 9 . Dan berikut beberapa contoh penulisan derajat lagi dengan menggunakan simbol “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Berikut ini, kita terutama akan menggunakan notasi derajat dalam bentuk a n .

Salah satu soal kebalikan dari menaikkan pangkat dengan eksponen alami adalah soal mencari basis pangkat dengan nilai yang diketahui derajat dan indikator yang diketahui. Tugas ini mengarah ke.

Diketahui himpunan bilangan rasional terdiri dari bilangan bulat dan pecahan masing-masing bilangan pecahan dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa positif atau negatif. Derajat dengan eksponen bilangan bulat telah kita definisikan pada paragraf sebelumnya, oleh karena itu, untuk melengkapi definisi derajat dengan eksponen rasional, kita perlu memberi arti pada derajat bilangan a dengan eksponen pecahan m/n, dimana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli. Ayo lakukan.

Mari kita perhatikan derajat dengan bentuk eksponen pecahan. Agar properti kekuasaan-ke-kuasaan tetap sah, kesetaraan harus dipertahankan . Jika kita memperhitungkan persamaan yang dihasilkan dan cara kita menentukannya, maka masuk akal untuk menerimanya, asalkan diberikan m, n dan a, ekspresi tersebut masuk akal.

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa semua properti derajat dengan eksponen bilangan bulat adalah valid (ini dilakukan di bagian properti derajat dengan eksponen rasional).

Alasan di atas memungkinkan kita untuk melakukan hal berikut kesimpulan: jika diberikan m, n dan a ekspresi tersebut masuk akal, maka pangkat a dengan eksponen pecahan m/n disebut akar ke-n dari a pangkat m.

Pernyataan ini mendekatkan kita pada definisi derajat dengan eksponen pecahan. Yang tersisa hanyalah menjelaskan pada m, n dan a ekspresi mana yang masuk akal. Bergantung pada batasan yang diterapkan pada m, n dan a, ada dua pendekatan utama.

Cara termudah adalah dengan memberikan batasan pada a dengan mengambil a≥0 untuk m positif dan a>0 untuk m negatif (karena untuk m≤0 derajat 0 dari m tidak ditentukan). Kemudian kita mendapatkan definisi derajat dengan eksponen pecahan berikut ini.

Definisi.

Pangkat bilangan positif a dengan eksponen pecahan m/n, di mana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli, disebut akar ke-n dari bilangan a pangkat m, yaitu .

Pangkat pecahan dari nol juga ditentukan dengan satu-satunya peringatan bahwa indikatornya harus positif.

Definisi.

Pangkat nol dengan eksponen positif pecahan m/n, dimana m adalah bilangan bulat positif dan n adalah bilangan asli, didefinisikan sebagai .
Jika derajatnya tidak ditentukan, maka derajat bilangan nol dengan eksponen pecahan negatif tidak masuk akal.

Perlu dicatat bahwa dengan definisi derajat dengan eksponen pecahan ini, ada satu peringatan: untuk beberapa a negatif dan beberapa m dan n, ekspresi tersebut masuk akal, dan kami membuang kasus ini dengan memperkenalkan kondisi a≥0. Misalnya, entri-entrinya masuk akal atau , dan definisi yang diberikan di atas memaksa kita untuk mengatakan bahwa pangkat dengan bentuk eksponen pecahan tidak masuk akal, karena basisnya tidak boleh negatif.

Pendekatan lain untuk menentukan derajat dengan eksponen pecahan m/n adalah dengan mempertimbangkan eksponen akar genap dan ganjil secara terpisah. Pendekatan ini memerlukan syarat tambahan: pangkat a, yang eksponennya adalah , dianggap pangkat a, yang pangkatnya sama dengan pecahan yang tidak dapat direduksi(Pentingnya kondisi ini akan dijelaskan di bawah). Artinya, jika m/n adalah pecahan tak tereduksi, maka untuk sembarang bilangan asli k derajatnya diganti terlebih dahulu dengan .

Untuk n genap dan m positif, ekspresi tersebut masuk akal untuk sembarang a non-negatif (akar genap dari bilangan negatif tidak masuk akal); untuk m negatif, bilangan a harus tetap berbeda dari nol (jika tidak maka akan terjadi pembagian dengan nol). Dan untuk n ganjil dan m positif, bilangan a dapat berupa apa saja (akar derajat ganjil ditentukan untuk sembarang bilangan real), dan untuk m negatif, bilangan a harus bukan nol (agar tidak ada pembagian dengan nol).

Alasan di atas membawa kita pada definisi derajat dengan eksponen pecahan.

Definisi.

Misalkan m/n adalah pecahan tak tersederhanakan, m adalah bilangan bulat, dan n adalah bilangan asli. Untuk setiap pecahan yang dapat direduksi, derajatnya diganti dengan . Pangkat suatu bilangan dengan eksponen pecahan tak tersederhanakan m/n adalah untuk



Mari kita jelaskan mengapa derajat dengan eksponen pecahan tereduksi terlebih dahulu diganti dengan derajat dengan eksponen tak tereduksi. Jika kita hanya mendefinisikan derajatnya sebagai , dan tidak membuat reservasi tentang tak tereduksinya pecahan m/n, maka kita akan dihadapkan pada situasi seperti berikut: karena 6/10 = 3/5, maka persamaannya harus berlaku , Tetapi , A .

Tingkat pertama

Derajat dan sifat-sifatnya. Panduan komprehensif (2019)

Mengapa gelar dibutuhkan? Di mana Anda membutuhkannya? Mengapa Anda harus meluangkan waktu untuk mempelajarinya?

Untuk mempelajari segala sesuatu tentang gelar, kegunaannya, bagaimana menggunakan pengetahuan Anda Kehidupan sehari-hari membaca artikel ini.

Dan tentunya ilmu derajat akan mendekatkan Anda pada kesuksesan lulus OGE atau Ujian Negara Bersatu dan masuk ke universitas impian Anda.

Ayo ayo!)

Catatan penting! Jika Anda melihat gobbledygook alih-alih rumus, kosongkan cache Anda. Untuk melakukannya, tekan CTRL+F5 (di Windows) atau Cmd+R (di Mac).

TINGKAT PERTAMA

Meningkatkan kekuatan juga sama operasi matematika seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian atau pembagian.

Sekarang saya akan menjelaskan semuanya bahasa manusia dengan contoh yang sangat sederhana. Hati-hati. Contoh-contohnya bersifat mendasar, tetapi menjelaskan hal-hal penting.

Mari kita mulai dengan penambahan.

Tidak ada yang perlu dijelaskan di sini. Anda sudah tahu segalanya: kami ada delapan. Setiap orang memiliki dua botol cola. Berapa banyak kola yang ada? Benar - 16 botol.

Sekarang perkalian.

Contoh yang sama dengan cola dapat ditulis berbeda: . Matematikawan adalah orang yang licik dan malas. Pertama-tama mereka memperhatikan beberapa pola, dan kemudian mencari cara untuk “menghitung” pola tersebut dengan lebih cepat. Dalam kasus kami, mereka memperhatikan bahwa masing-masing dari delapan orang tersebut memiliki jumlah botol cola yang sama dan menemukan teknik yang disebut perkalian. Setuju, ini dianggap lebih mudah dan lebih cepat dari.

Jadi, agar berhitung lebih cepat, mudah dan tanpa kesalahan, Anda hanya perlu mengingatnya saja tabel perkalian. Tentu saja, Anda dapat melakukan semuanya dengan lebih lambat, lebih sulit, dan dengan kesalahan! Tetapi…

Berikut tabel perkaliannya. Mengulang.

Dan satu lagi yang lebih indah:

Yang lainnya apa? trik licik apakah akun tersebut ditemukan oleh ahli matematika yang malas? Benar - menaikkan suatu bilangan menjadi suatu pangkat.

Menaikkan angka menjadi pangkat

Jika Anda perlu mengalikan suatu angka dengan dirinya sendiri sebanyak lima kali, ahli matematika mengatakan bahwa Anda perlu menaikkan angka tersebut ke pangkat lima. Misalnya, . Matematikawan ingat bahwa dua pangkat lima adalah... Dan mereka memecahkan masalah seperti itu di kepala mereka - lebih cepat, lebih mudah dan tanpa kesalahan.

Yang perlu Anda lakukan hanyalah ingat apa yang disorot dalam warna dalam tabel pangkat angka. Percayalah, ini akan membuat hidup Anda lebih mudah.

Ngomong-ngomong, kenapa disebut derajat kedua? persegi angka, dan yang ketiga - kubus? Apa artinya? Sangat Pertanyaan bagus. Sekarang Anda akan memiliki kotak dan kubus.

Contoh kehidupan nyata #1

Mari kita mulai dengan kuadrat atau pangkat dua dari suatu bilangan.

Bayangkan sebuah kolam persegi berukuran satu meter kali satu meter. Kolam renang ada di dacha Anda. Panas sekali dan saya sangat ingin berenang. Tapi... kolam itu tidak memiliki dasar! Anda perlu menutupi dasar kolam dengan ubin. Berapa banyak ubin yang Anda butuhkan? Untuk menentukannya, Anda perlu mengetahui luas dasar kolam.

Anda cukup menghitung dengan menunjuk jari Anda bahwa dasar kolam terdiri dari kubus meter demi meter. Jika Anda memiliki ubin berukuran satu meter kali satu meter, Anda memerlukan potongan. Mudah saja... Tapi di mana Anda pernah melihat ubin seperti itu? Ubinnya kemungkinan besar berukuran cm demi cm. Dan kemudian Anda akan tersiksa dengan “menghitung dengan jari Anda”. Maka Anda harus memperbanyaknya. Jadi, di satu sisi dasar kolam kita akan memasang ubin (potongan) dan di sisi lain juga ubin. Kalikan dengan dan Anda mendapatkan ubin ().

Pernahkah Anda memperhatikan bahwa untuk menentukan luas dasar kolam kita mengalikan angka yang sama dengan angka itu sendiri? Apa artinya? Karena kita mengalikan bilangan yang sama, kita dapat menggunakan teknik “eksponensial”. (Tentu saja, jika Anda hanya memiliki dua angka, Anda tetap perlu mengalikannya atau menaikkannya ke pangkat. Namun jika Anda memiliki banyak angka, maka menaikkannya ke pangkat akan jauh lebih mudah dan kesalahan perhitungannya juga lebih sedikit. . Untuk Ujian Negara Bersatu, ini sangat penting).
Jadi, tiga puluh pangkat dua adalah (). Atau kita dapat mengatakan bahwa tiga puluh kuadrat adalah. Dengan kata lain, pangkat dua suatu bilangan selalu dapat direpresentasikan sebagai kuadrat. Dan sebaliknya, jika Anda melihat sebuah persegi, itu SELALU merupakan pangkat dua suatu bilangan. Persegi adalah gambaran pangkat dua suatu bilangan.

Contoh kehidupan nyata #2

Ini tugas untuk Anda: hitung berapa banyak kotak yang ada di papan catur menggunakan kuadrat angkanya... Di satu sisi sel dan di sisi lain juga. Untuk menghitung jumlahnya, Anda perlu mengalikan delapan dengan delapan atau... jika Anda memperhatikan bahwa papan catur berbentuk persegi dengan satu sisi, maka Anda dapat mengkuadratkan delapan. Anda akan mendapatkan sel. () Jadi?

Contoh kehidupan nyata #3

Sekarang kubus atau pangkat ketiga suatu bilangan. Kolam yang sama. Namun sekarang Anda perlu mencari tahu berapa banyak air yang harus dituangkan ke dalam kolam ini. Anda perlu menghitung volumenya. (Omong-omong, volume dan cairan diukur dalam meter kubik. Tak terduga, kan?) Gambarlah sebuah kolam: dasar kolam berukuran satu meter dan kedalaman satu meter, lalu coba hitung berapa banyak kubus berukuran satu meter kali satu meter yang dapat dimasukkan ke dalam kolam Anda.

Cukup arahkan jari Anda dan hitung! Satu, dua, tiga, empat...dua puluh dua, dua puluh tiga...Berapa banyak yang kamu dapat? Tidak hilang? Apakah sulit menghitung dengan jari? Sehingga! Ambil contoh dari ahli matematika. Mereka malas, sehingga mereka memperhatikan bahwa untuk menghitung volume kolam, Anda perlu mengalikan panjang, lebar, dan tinggi satu sama lain. Dalam kasus kita, volume kolam akan sama dengan kubus... Lebih mudah bukan?

Sekarang bayangkan betapa malas dan liciknya para matematikawan jika mereka menyederhanakannya juga. Kami mengurangi semuanya menjadi satu tindakan. Mereka memperhatikan bahwa panjang, lebar dan tinggi adalah sama dan bilangan yang sama dikalikan dengan bilangan itu sendiri... Apa artinya ini? Ini berarti Anda dapat memanfaatkan gelar tersebut. Jadi, apa yang pernah Anda hitung dengan jari Anda, mereka lakukan dalam satu tindakan: tiga pangkat tiga sama. Ada tertulis seperti ini: .

Yang tersisa hanyalah ingat tabel derajat. Kecuali, tentu saja, Anda malas dan licik seperti ahli matematika. Jika Anda suka bekerja keras dan melakukan kesalahan, Anda bisa terus menghitung dengan jari.

Nah, untuk akhirnya meyakinkan Anda bahwa gelar diciptakan oleh orang-orang yang mudah menyerah dan licik untuk menyelesaikan masalah mereka sendiri masalah hidup, dan agar tidak menimbulkan masalah bagi Anda, berikut beberapa contoh lagi dari kehidupan.

Contoh kehidupan nyata #4

Anda memiliki satu juta rubel. Pada setiap awal tahun, untuk setiap satu juta penghasilan Anda, Anda memperoleh satu juta lagi. Artinya, setiap juta Anda mendapat dua kali lipat di setiap awal tahun. Berapa banyak uang yang akan Anda miliki dalam beberapa tahun? Jika Anda sekarang duduk dan "menghitung dengan jari Anda", maka Anda adalah orang yang pekerja keras dan... bodoh. Namun kemungkinan besar Anda akan memberikan jawaban dalam beberapa detik, karena Anda pintar! Jadi, pada tahun pertama - dua dikalikan dua... pada tahun kedua - apa yang terjadi, dua lagi, pada tahun ketiga... Berhenti! Anda memperhatikan bahwa angka tersebut dikalikan dengan dirinya sendiri. Jadi dua pangkat lima adalah satu juta! Sekarang bayangkan Anda mengadakan sebuah kompetisi dan orang yang dapat menghitung paling cepat akan mendapatkan jutaan ini... Penting untuk mengingat kekuatan angka, bukan begitu?

Contoh kehidupan nyata #5

Anda punya satu juta. Di setiap awal tahun, Anda mendapat dua tambahan untuk setiap satu juta. Hebat bukan? Setiap juta meningkat tiga kali lipat. Berapa banyak uang yang akan Anda miliki dalam setahun? Mari berhitung. Tahun pertama - kalikan dengan, lalu hasilnya dengan yang lain... Membosankan saja, karena Anda sudah mengerti semuanya: tiga dikalikan dengan dirinya sendiri kali. Jadi pangkat empat sama dengan satu juta. Anda hanya perlu mengingat bahwa pangkat tiga sampai empat adalah atau.

Sekarang Anda tahu bahwa dengan menaikkan angka menjadi pangkat, Anda akan membuat hidup Anda jauh lebih mudah. Mari kita lihat lebih jauh apa yang dapat Anda lakukan dengan gelar dan apa yang perlu Anda ketahui tentangnya.

Syarat dan Konsep...agar tidak bingung

Jadi, pertama-tama, mari kita definisikan konsepnya. Bagaimana menurutmu, apa itu eksponen? Ini sangat sederhana - ini adalah angka yang berada "di atas" pangkat angka tersebut. Tidak ilmiah, tapi jelas dan mudah diingat...

Nah, pada saat yang sama, apa dasar gelar seperti itu? Lebih sederhana lagi - ini adalah nomor yang terletak di bawah, di pangkalan.

Ini gambar untuk mengukurnya.

Masuk dengan baik pandangan umum, untuk menggeneralisasi dan mengingat dengan lebih baik... Derajat dengan basis “ ” dan eksponen “ ” dibaca “sampai derajat” dan ditulis sebagai berikut:

Pangkat suatu bilangan dengan eksponen natural

Anda mungkin sudah menebaknya: karena eksponennya adalah bilangan asli. Ya, tapi apa itu bilangan asli? Dasar! Bilangan asli adalah bilangan yang digunakan dalam penghitungan saat membuat daftar suatu benda: satu, dua, tiga... Saat kita menghitung benda, kita tidak mengatakan: "minus lima", "minus enam", "minus tujuh". Kami juga tidak mengatakan: “sepertiga”, atau “nol koma lima”. Ini bukan bilangan asli. Menurut Anda, angka apa ini?

Angka-angka seperti “minus lima”, “minus enam”, “minus tujuh” mengacu pada bilangan bulat. Secara umum, bilangan bulat mencakup semua bilangan asli, bilangan yang berlawanan dengan bilangan asli (yaitu, diambil dengan tanda minus), dan bilangan. Nol mudah dimengerti - ini adalah saat tidak ada apa-apa. Apa arti angka negatif (“minus”)? Tetapi mereka diciptakan terutama untuk menunjukkan hutang: jika Anda memiliki saldo di ponsel Anda dalam rubel, ini berarti Anda berhutang kepada operator dalam rubel.

Semua pecahan adalah bilangan rasional. Menurut Anda bagaimana mereka muncul? Sangat sederhana. Beberapa ribu tahun yang lalu, nenek moyang kita menemukan bahwa mereka tidak mempunyai bilangan asli untuk mengukur panjang, berat, luas, dan lain-lain. Dan mereka datang dengan itu angka rasional... Menarik, bukan?

Ada juga bilangan irasional. Berapa angka-angka ini? Singkatnya, tidak ada habisnya desimal. Misalnya, jika Anda membagi keliling lingkaran dengan diameternya, Anda akan mendapatkan bilangan irasional.

Ringkasan:

Mari kita definisikan konsep derajat yang eksponennya adalah bilangan asli (yaitu bilangan bulat dan positif).

1. Bilangan apa pun yang dipangkatkan pertama sama dengan bilangan itu sendiri:
2. Mengkuadratkan suatu bilangan berarti mengalikannya dengan dirinya sendiri:
3. Mengkubuskan suatu bilangan berarti mengalikannya dengan bilangan itu sendiri sebanyak tiga kali:

Definisi. Menaikkan suatu bilangan ke pangkat alami berarti mengalikan bilangan itu dengan dirinya sendiri dikalikan:
.

Sifat derajat

Dari mana asal properti ini? Saya akan menunjukkannya kepada Anda sekarang.

Mari kita lihat: apa itu Dan ?

A-priori:

Berapa total pengganda yang ada?

Caranya sangat sederhana: kita menambahkan pengganda pada faktor-faktornya, dan hasilnya adalah pengganda.

Namun menurut definisi, ini adalah pangkat suatu bilangan yang mempunyai eksponen, yaitu: , yang perlu dibuktikan.

Contoh: Menyederhanakan ekspresi.

Larutan:

Contoh: Sederhanakan ekspresi tersebut.

Larutan: Penting untuk dicatat bahwa dalam aturan kami Perlu harus alasan yang identik!
Oleh karena itu, kami menggabungkan kekuatan dengan basis, namun tetap menjadi faktor terpisah:

hanya untuk produk kekuatan!

Dalam situasi apa pun Anda tidak boleh menulis itu.

2. itu saja pangkat suatu bilangan

Sama seperti sifat sebelumnya, mari kita beralih ke definisi derajat:

Ternyata ekspresi tersebut dikalikan dengan dirinya sendiri, yaitu menurut definisinya, ini adalah pangkat ke-th dari bilangan tersebut:

Intinya, hal ini bisa disebut “mengeluarkan indikator dari tanda kurung”. Namun Anda tidak akan pernah bisa melakukan ini secara total:

Mari kita ingat rumus perkalian yang disingkat: berapa kali kita ingin menulis?

Tapi ini tidak benar.

Kekuatan dengan basis negatif

Sampai di sini, kita hanya membahas apa yang seharusnya menjadi eksponen.

Tapi apa yang harus dijadikan dasar?

Dalam kekuasaan indikator alami dasarnya mungkin nomor berapa pun. Memang benar, kita bisa mengalikan bilangan apa pun, baik bilangan positif, negatif, atau genap.

Mari kita pikirkan tanda mana ("" atau "") yang memiliki pangkat bilangan positif dan negatif?

Misalnya, apakah bilangan tersebut positif atau negatif? A? ? Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak peduli berapa banyak bilangan positif yang kita kalikan, hasilnya akan positif.

Namun sisi negatifnya sedikit lebih menarik. Kita ingat aturan sederhana dari kelas 6 SD: “minus untuk minus memberi nilai tambah.” Yaitu, atau. Tapi kalau dikalikan, berhasil.

Tentukan sendiri tanda apa yang dimiliki ekspresi berikut:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Apakah Anda berhasil?

Inilah jawabannya: Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kita cukup melihat basis dan eksponennya lalu menerapkan aturan yang sesuai.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dalam contoh 5) semuanya juga tidak seseram kelihatannya: lagipula, tidak masalah sama dengan apa basisnya - derajatnya genap, yang berarti hasilnya akan selalu positif.

Ya, kecuali jika basisnya nol. Basisnya tidak sama, bukan? Jelas tidak, sejak (karena).

Contoh 6) tidak lagi sesederhana itu!

6 contoh untuk dipraktikkan

Analisis solusi 6 contoh

Jika kita mengabaikan kekuatan kedelapan, apa yang kita lihat di sini? Mari kita ingat program kelas 7. Jadi, apakah kamu ingat? Inilah rumus perkalian yang disingkat yaitu selisih kuadrat! Kita mendapatkan:

Mari kita perhatikan baik-baik penyebutnya. Kelihatannya mirip sekali dengan salah satu faktor pembilangnya, tapi apa yang salah? Urutan istilahnya salah. Jika dibatalkan, aturan tersebut bisa berlaku.

Tapi bagaimana cara melakukan itu? Ternyata caranya sangat mudah: derajat penyebut genap membantu kita dalam hal ini.

Secara ajaib istilah-istilah itu berpindah tempat. “Fenomena” ini berlaku untuk ekspresi apa pun hingga tingkat yang genap: kita dapat dengan mudah mengubah tanda dalam tanda kurung.

Namun penting untuk diingat: semua tanda berubah pada saat yang bersamaan!

Mari kita kembali ke contoh:

Dan lagi rumusnya:

Utuh kita menyebut bilangan asli, kebalikannya (yaitu, diambil dengan tanda " ") dan bilangan tersebut.

bilangan bulat positif, dan tidak ada bedanya dengan natural, maka semuanya terlihat persis seperti pada bagian sebelumnya.

Sekarang mari kita lihat kasus-kasus baru. Mari kita mulai dengan indikator yang sama dengan.

Bilangan apa pun yang dipangkatkan nol sama dengan satu:

Seperti biasa, marilah kita bertanya pada diri sendiri: mengapa demikian?

Mari kita pertimbangkan beberapa derajat dengan dasar. Ambil contoh, dan kalikan dengan:

Jadi, kita mengalikan angkanya dengan, dan kita mendapatkan hasil yang sama seperti sebelumnya - . Berapa angka yang harus dikalikan agar tidak ada perubahan? Itu benar, aktif. Cara.

Kita dapat melakukan hal yang sama dengan nomor sembarang:

Mari kita ulangi aturannya:

Bilangan apa pun yang dipangkatkan nol sama dengan satu.

Namun ada pengecualian terhadap banyak aturan. Dan ini juga ada - ini adalah angka (sebagai basis).

Di satu sisi, itu harus sama dengan derajat apa pun - tidak peduli berapa banyak Anda mengalikan nol dengan dirinya sendiri, Anda tetap akan mendapatkan nol, ini jelas. Namun di sisi lain, seperti bilangan apa pun yang dipangkatkan nol, bilangan itu harus sama. Jadi, seberapa besar kebenarannya? Para ahli matematika memutuskan untuk tidak terlibat dan menolak menaikkan pangkat nol menjadi nol. Artinya, sekarang kita tidak hanya bisa membaginya dengan nol, tapi juga menaikkannya ke pangkat nol.

Mari kita lanjutkan. Selain bilangan asli dan bilangan, bilangan bulat juga termasuk bilangan negatif. Untuk memahami apa itu derajat negatif, mari kita lakukan seperti yang terakhir kali: mengalikan beberapa nomor biasa sama dengan derajat negatif:

Dari sini mudah untuk mengungkapkan apa yang Anda cari:

Sekarang mari kita memperluas aturan yang dihasilkan ke tingkat yang sewenang-wenang:

Jadi, mari kita rumuskan aturannya:

Suatu bilangan yang berpangkat negatif adalah kebalikan dari bilangan yang sama yang berpangkat positif. Tapi diwaktu yang sama Basis tidak boleh nol:(karena Anda tidak dapat membaginya).

Mari kita rangkum:

I. Ekspresi tidak didefinisikan dalam kasus ini. Jika kemudian.

II. Bilangan apa pun yang dipangkatkan nol sama dengan satu: .

AKU AKU AKU. Nomor, tidak sama dengan nol, pangkat negatif adalah kebalikan dari bilangan yang sama dengan pangkat positif: .

Tugas untuk solusi mandiri:

Seperti biasa, contoh solusi independen:

Analisis masalah untuk solusi mandiri:

Saya tahu, saya tahu, angkanya menakutkan, tetapi di Ujian Negara Bersatu Anda harus bersiap untuk apa pun! Selesaikan contoh-contoh ini atau analisis solusinya jika Anda tidak dapat menyelesaikannya dan Anda akan belajar mengatasinya dengan mudah dalam ujian!

Mari kita terus memperluas jangkauan angka yang “cocok” sebagai eksponen.

Sekarang mari kita pertimbangkan angka rasional. Bilangan apa yang disebut rasional?

Jawaban: segala sesuatu yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan, dimana dan adalah bilangan bulat, dan.

Untuk memahami apa itu "derajat pecahan", perhatikan pecahannya:

Mari kita naikkan kedua ruas persamaan menjadi pangkat:

Sekarang mari kita ingat aturan tentang "derajat ke derajat":

Berapa angka yang harus dipangkatkan untuk mendapatkan?

Rumusan ini merupakan definisi dari akar derajat ke-th.

Izinkan saya mengingatkan Anda: akar pangkat suatu bilangan () adalah bilangan yang, jika dipangkatkan, sama dengan.

Artinya, akar dari pangkat adalah operasi kebalikan dari menaikkan pangkat: .

Ternyata itu. Jelas sekali ini kasus spesial dapat diperluas: .

Sekarang kita tambahkan pembilangnya: apa itu? Jawabannya mudah diperoleh dengan menggunakan aturan power-to-power:

Tapi bisakah basisnya berupa angka apa saja? Lagi pula, akar tidak dapat diekstraksi dari semua bilangan.

Tidak ada!

Mari kita ingat aturannya: bilangan apa pun yang dipangkatkan genap adalah bilangan positif. Artinya, tidak mungkin mengekstrak akar genap dari bilangan negatif!

Artinya, bilangan-bilangan tersebut tidak dapat dipangkatkan dengan penyebut genap, sehingga ungkapan tersebut tidak masuk akal.

Bagaimana dengan ekspresinya?

Namun di sini muncul masalah.

Bilangan tersebut dapat direpresentasikan sebagai pecahan lain yang dapat direduksi, misalnya atau.

Dan ternyata ada, tapi tidak ada, tapi ini hanyalah dua record berbeda dengan nomor yang sama.

Atau contoh lain: sekali, barulah Anda bisa menuliskannya. Tetapi jika kita menuliskan indikatornya secara berbeda, kita akan mendapat masalah lagi: (yaitu, kita mendapatkan hasil yang sangat berbeda!).

Untuk menghindari paradoks seperti itu, kami mempertimbangkannya hanya eksponen basis positif dengan eksponen pecahan.

Jadi jika:

• - bilangan asli;
• - bilangan bulat;

Contoh:

Eksponen rasional sangat berguna untuk mentransformasikan ekspresi dengan akar, misalnya:

5 contoh untuk dipraktikkan

Analisis 5 contoh untuk pelatihan

Nah, sekarang sampai pada bagian tersulitnya. Sekarang kita akan mencari tahu derajat dengan eksponen irasional.

Semua aturan dan sifat derajat di sini sama persis dengan derajat dengan eksponen rasional, dengan pengecualian

Memang, menurut definisi, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan, di mana dan merupakan bilangan bulat (yaitu, bilangan irasional adalah bilangan real kecuali bilangan rasional).

Saat mempelajari derajat dengan eksponen natural, bilangan bulat, dan rasional, setiap kali kita membuat “gambar”, “analogi”, atau deskripsi tertentu dalam istilah yang lebih familiar.

Misalnya, derajat dengan eksponen natural adalah bilangan yang dikalikan sendiri beberapa kali;

...angka pangkat nol- ini seolah-olah suatu bilangan yang dikalikan satu kali, yaitu belum mulai mengalikannya, artinya bilangan itu sendiri genap belum muncul - oleh karena itu hasilnya hanya “bilangan kosong” tertentu. , yaitu suatu bilangan;

...derajat bilangan bulat negatif- seolah-olah telah terjadi “proses sebaliknya”, yaitu bilangan tersebut tidak dikalikan dengan sendirinya, melainkan dibagi.

Ngomong-ngomong, dalam sains sering digunakan derajat dengan indikator yang kompleks, yaitu indikator yang tidak genap bilangan real.

Namun di sekolah kami tidak memikirkan kesulitan seperti itu; Anda akan memiliki kesempatan untuk memahami konsep-konsep baru ini di institut.

KE MANA KAMI YAKIN ANDA AKAN PERGI! (jika Anda belajar memecahkan contoh seperti itu :))

Misalnya:

Putuskan sendiri:

Analisis solusi:

1. Mari kita mulai dengan aturan biasa untuk menaikkan suatu kekuasaan menjadi suatu kekuasaan:

Sekarang lihat indikatornya. Apakah dia tidak mengingatkanmu pada sesuatu? Mari kita ingat kembali rumus perkalian selisih kuadrat yang disingkat:

Pada kasus ini,

Ternyata:

Menjawab: .

2. Kita mereduksi pecahan dalam eksponen ke bentuk yang sama: baik desimal, atau keduanya biasa. Kita mendapatkan, misalnya:

Jawaban: 16

3. Tidak ada yang istimewa, kami menggunakan properti derajat yang biasa:

TINGKAT LANJUT

Penentuan derajat

Gelar merupakan ekspresi dalam bentuk: , dimana:

• — dasar gelar;
• - eksponen.

Derajat dengan indikator alami (n = 1, 2, 3,...)

Menaikkan suatu bilangan ke pangkat alami n berarti mengalikan bilangan itu dengan dirinya sendiri dikalikan:

Derajat dengan eksponen bilangan bulat (0, ±1, ±2,...)

Jika eksponennya adalah bilangan bulat positif nomor:

Konstruksi ke nol derajat:

Ungkapannya tidak tentu, karena, di satu sisi, pada derajat apa pun adalah ini, dan di sisi lain, bilangan apa pun hingga derajat ke-th adalah ini.

Jika eksponennya adalah bilangan bulat negatif nomor:

(karena Anda tidak dapat membaginya).

Sekali lagi tentang nol: ekspresi tidak ditentukan dalam kasus ini. Jika kemudian.

Contoh:

Kekuatan dengan eksponen rasional

• - bilangan asli;
• - bilangan bulat;

Contoh:

Sifat derajat

Untuk mempermudah penyelesaian masalah, mari kita coba memahami: dari manakah sifat-sifat tersebut berasal? Mari kita buktikan.

Mari kita lihat: apa itu dan?

A-priori:

Jadi, di sisi kanan ekspresi ini kita mendapatkan produk berikut:

Namun menurut definisinya itu adalah pangkat suatu bilangan dengan eksponen, yaitu:

Q.E.D.

Contoh : Menyederhanakan ekspresi.

Larutan : .

Contoh : Menyederhanakan ekspresi.

Larutan : Penting untuk dicatat bahwa dalam aturan kami Perlu pasti ada alasan yang sama. Oleh karena itu, kami menggabungkan kekuatan dengan basis, namun tetap menjadi faktor terpisah:

Catatan penting lainnya: aturan ini - hanya untuk produk kekuasaan!

Dalam situasi apa pun Anda tidak boleh menulis itu.

Sama seperti sifat sebelumnya, mari kita beralih ke definisi derajat:

Mari kita atur ulang pekerjaan ini seperti ini:

Ternyata ekspresi tersebut dikalikan dengan dirinya sendiri, yaitu menurut definisinya, ini adalah pangkat ke-th dari bilangan tersebut:

Intinya, hal ini bisa disebut “mengeluarkan indikator dari tanda kurung”. Namun Anda tidak akan pernah bisa melakukan ini secara total: !

Mari kita ingat rumus perkalian yang disingkat: berapa kali kita ingin menulis? Tapi ini tidak benar.

Kekuatan dengan basis negatif.

Sampai saat ini kita hanya membahas bagaimana seharusnya indeks derajat. Tapi apa yang harus dijadikan dasar? Dalam kekuasaan alami indikator dasarnya mungkin nomor berapa pun .

Memang benar, kita bisa mengalikan bilangan apa pun, baik bilangan positif, negatif, atau genap. Mari kita pikirkan tanda mana ("" atau "") yang memiliki pangkat bilangan positif dan negatif?

Misalnya, apakah bilangan tersebut positif atau negatif? A? ?

Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak peduli berapa banyak bilangan positif yang kita kalikan, hasilnya akan positif.

Namun sisi negatifnya sedikit lebih menarik. Kita ingat aturan sederhana dari kelas 6 SD: “minus untuk minus memberi nilai tambah.” Yaitu, atau. Namun jika kita mengalikannya dengan (), kita mendapatkan - .

Dan seterusnya ad infinitum: dengan setiap perkalian berikutnya tandanya akan berubah. Berikut ini dapat kita rumuskan aturan sederhana:

1. bahkan derajat, - angka positif.
2. Angka negatif dinaikkan menjadi aneh derajat, - angka negatif.
3. Nomor positif pada tingkat apa pun adalah bilangan positif.
4. Nol pangkat apa pun sama dengan nol.

Tentukan sendiri tanda apa yang dimiliki ekspresi berikut:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Apakah Anda berhasil? Inilah jawabannya:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kita cukup melihat basis dan eksponennya lalu menerapkan aturan yang sesuai.

Dalam contoh 5) semuanya juga tidak seseram kelihatannya: lagipula, tidak masalah sama dengan apa basisnya - derajatnya genap, yang berarti hasilnya akan selalu positif. Ya, kecuali jika basisnya nol. Basisnya tidak sama, bukan? Jelas tidak, sejak (karena).

Contoh 6) tidak lagi sesederhana itu. Di sini Anda perlu mencari tahu mana yang lebih kecil: atau? Jika kita mengingatnya, menjadi jelas bahwa alasnya kurang dari nol. Artinya, kita menerapkan aturan 2: hasilnya negatif.

Dan sekali lagi kita menggunakan definisi derajat:

Semuanya seperti biasa - kami menuliskan definisi derajat dan membaginya satu sama lain, membaginya menjadi berpasangan dan mendapatkan:

Sebelum Anda membongkarnya aturan terakhir, mari kita selesaikan beberapa contoh.

Hitung ekspresi:

Solusi :

Jika kita mengabaikan kekuatan kedelapan, apa yang kita lihat di sini? Mari kita ingat program kelas 7. Jadi, apakah kamu ingat? Inilah rumus perkalian yang disingkat yaitu selisih kuadrat!

Kita mendapatkan:

Mari kita perhatikan baik-baik penyebutnya. Kelihatannya mirip sekali dengan salah satu faktor pembilangnya, tapi apa yang salah? Urutan istilahnya salah. Jika dibalik, aturan 3 bisa diterapkan. Ternyata caranya sangat mudah: derajat penyebut genap membantu kita dalam hal ini.

Jika dikalikan, tidak ada yang berubah, bukan? Tapi sekarang ternyata seperti ini:

Secara ajaib istilah-istilah itu berpindah tempat. “Fenomena” ini berlaku untuk ekspresi apa pun hingga tingkat yang genap: kita dapat dengan mudah mengubah tanda dalam tanda kurung. Namun penting untuk diingat: Semua tanda berubah pada saat bersamaan! Anda tidak dapat menggantinya dengan hanya mengubah satu kelemahan yang tidak kami sukai!

Mari kita kembali ke contoh:

Dan lagi rumusnya:

Jadi sekarang aturan terakhir:

Bagaimana kita membuktikannya? Tentu saja, seperti biasa: mari kita kembangkan konsep derajat dan sederhanakan:

Nah, sekarang mari kita buka tanda kurungnya. Berapa jumlah huruf seluruhnya? dikalikan dengan pengganda - hal ini mengingatkan Anda pada apa? Ini tidak lebih dari definisi suatu operasi perkalian: Hanya ada pengganda di sana. Artinya, menurut definisi, ini adalah pangkat suatu bilangan dengan eksponen:

Contoh:

Gelar dengan eksponen irasional

Selain informasi tentang derajat untuk tingkat rata-rata, kami akan menganalisis derajat dengan eksponen irasional. Semua aturan dan sifat derajat di sini persis sama dengan derajat dengan eksponen rasional, dengan pengecualian - lagi pula, menurut definisi, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat (yaitu , bilangan irasional adalah semua bilangan real kecuali bilangan rasional).

Saat mempelajari derajat dengan eksponen natural, bilangan bulat, dan rasional, setiap kali kita membuat “gambar”, “analogi”, atau deskripsi tertentu dalam istilah yang lebih familiar. Misalnya, derajat dengan eksponen natural adalah bilangan yang dikalikan sendiri beberapa kali; bilangan pangkat nol seolah-olah merupakan bilangan yang dikalikan dengan dirinya sendiri satu kali, yaitu belum mulai mengalikannya, artinya bilangan itu sendiri belum muncul - oleh karena itu hasilnya hanya tertentu “nomor kosong”, yaitu suatu nomor; derajat dengan eksponen bilangan bulat negatif - seolah-olah telah terjadi “proses sebaliknya”, yaitu bilangan tersebut tidak dikalikan dengan sendirinya, tetapi dibagi.

Sangat sulit membayangkan suatu derajat dengan eksponen irasional (sama seperti sulitnya membayangkan ruang 4 dimensi). Itu agak bersih objek matematika, yang diciptakan oleh para ahli matematika untuk memperluas konsep derajat ke seluruh ruang bilangan.

Ngomong-ngomong, dalam sains sering digunakan derajat dengan eksponen kompleks, yaitu eksponennya bukan bilangan real. Namun di sekolah kami tidak memikirkan kesulitan seperti itu; Anda akan memiliki kesempatan untuk memahami konsep-konsep baru ini di institut.

Jadi apa yang kita lakukan jika kita melihatnya indikator yang tidak rasional derajat? Kami mencoba yang terbaik untuk menyingkirkannya! :)

Misalnya:

Putuskan sendiri:

1)

2)

3)

Jawaban:

1. Mari kita ingat perbedaan rumus kuadrat. Menjawab: .
2. Kami mereduksi pecahan ke bentuk yang sama: keduanya desimal, atau keduanya biasa. Kita mendapatkan, misalnya: .
3. Tidak ada yang istimewa, kami menggunakan properti derajat yang biasa:

RINGKASAN BAGIAN DAN RUMUS DASAR

Derajat disebut ekspresi bentuk: , dimana:

Derajat dengan eksponen bilangan bulat

derajat yang eksponennya adalah bilangan asli (yaitu bilangan bulat dan positif).

Kekuatan dengan eksponen rasional

derajat, yang eksponennya adalah bilangan negatif dan pecahan.

Gelar dengan eksponen irasional

derajat yang eksponennya merupakan pecahan desimal atau akar tak terhingga.

Sifat derajat

Fitur derajat.

• Angka negatif dinaikkan menjadi bahkan derajat, - angka positif.
• Angka negatif dinaikkan menjadi aneh derajat, - angka negatif.
• Bilangan positif pada derajat apa pun adalah bilangan positif.
• Nol sama dengan pangkat apa pun.
• Bilangan apa pun yang dipangkatkan nol adalah sama.

SEKARANG ANDA MEMILIKI FIRMAN...

Bagaimana Anda menyukai artikelnya? Tulis di bawah di komentar apakah Anda menyukainya atau tidak.

Ceritakan kepada kami tentang pengalaman Anda menggunakan properti derajat.

Mungkin Anda memiliki pertanyaan. Atau saran.

Tulis di komentar.

Dan semoga sukses dalam ujianmu!