Pada artikel ini kita akan mencari tahu apa itu derajat. Di sini kami akan memberikan definisi pangkat suatu bilangan, sementara kami akan mempertimbangkan secara rinci semua eksponen yang mungkin, dimulai dengan eksponen natural dan diakhiri dengan eksponen irasional. Dalam materi Anda akan menemukan banyak contoh derajat yang mencakup semua seluk-beluk yang muncul.
Navigasi halaman.
Pangkat dengan eksponen alami, kuadrat suatu bilangan, pangkat tiga suatu bilangan
Mari kita mulai dengan. Ke depan, misalkan definisi pangkat suatu bilangan a dengan indikator alami n diberikan untuk a, yang akan kita panggil dasar gelar, dan n, yang akan kita panggil eksponen. Perlu kita ketahui juga bahwa derajat dengan eksponen natural ditentukan melalui suatu perkalian, sehingga untuk memahami materi di bawah ini anda perlu memiliki pemahaman tentang perkalian bilangan.
Definisi.
Pangkat suatu bilangan dengan eksponen alami n adalah ekspresi bentuk a n, yang nilainya sama dengan hasil kali n faktor, yang masing-masing sama dengan a, yaitu .
Secara khusus, pangkat suatu bilangan a dengan eksponen 1 adalah bilangan a itu sendiri, yaitu a 1 =a.
Perlu segera disebutkan tentang aturan membaca gelar. Metode universal membaca entri a n adalah: “a pangkat n”. Dalam beberapa kasus, opsi berikut juga dapat diterima: “a pangkat ke-n” dan “pangkat ke-n dari a”. Misalnya, mari kita pangkat 8 12, ini adalah "delapan pangkat dua belas", atau "delapan pangkat dua belas", atau "pangkat dua belas dari delapan".
Pangkat kedua suatu bilangan, serta pangkat ketiga suatu bilangan, memiliki namanya sendiri-sendiri. Pangkat kedua suatu bilangan disebut kuadratkan angkanya, misalnya, 7 2 dibaca sebagai “tujuh kuadrat” atau “kuadrat dari angka tujuh”. Pangkat ketiga suatu bilangan disebut angka potong dadu, misalnya, 5 3 dapat dibaca sebagai “lima pangkat tiga” atau Anda dapat mengucapkan “kubus angka 5”.
Saatnya untuk membawa contoh derajat dengan eksponen natural. Mari kita mulai dengan derajat 5 7, di sini 5 adalah basis derajat, dan 7 adalah eksponen. Mari kita beri contoh lain: 4.32 adalah basisnya, dan bilangan asli 9 – eksponen (4.32) 9 .
Harap dicatat bahwa di contoh terakhir Basis derajat 4,32 ditulis dalam tanda kurung: untuk menghindari perbedaan, kami akan memasukkan semua basis derajat yang berbeda dari bilangan asli ke dalam tanda kurung. Sebagai contoh, kami memberikan derajat berikut dengan eksponen natural 
, basisnya bukan bilangan asli, sehingga ditulis dalam tanda kurung. Nah, agar lebih jelas, pada kali ini kami akan menunjukkan perbedaan yang terdapat pada rekaman bentuk (−2) 3 dan −2 3. Ekspresi (−2) 3 adalah pangkat −2 dengan eksponen natural 3, dan ekspresi −2 3 (dapat ditulis sebagai −(2 3) ) sesuai dengan bilangan tersebut, nilai pangkat 2 3 .
Perhatikan bahwa ada notasi pangkat suatu bilangan a dengan eksponen n berbentuk a^n. Apalagi jika n adalah bilangan asli multinilai, maka eksponennya diambil dalam tanda kurung. Misalnya, 4^9 adalah notasi lain untuk pangkat 4 9 . Dan berikut beberapa contoh penulisan derajat lagi dengan menggunakan simbol “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Berikut ini, kita terutama akan menggunakan notasi derajat dalam bentuk a n .
Salah satu soal kebalikan dari menaikkan pangkat dengan eksponen alami adalah soal mencari basis pangkat dengan nilai yang diketahui derajat dan indikator yang diketahui. Tugas ini mengarah ke.
Diketahui banyak orang angka rasional terdiri dari bilangan bulat dan pecahan, masing-masing bilangan pecahan dapat direpresentasikan sebagai positif atau negatif pecahan biasa. Derajat dengan eksponen bilangan bulat telah kita definisikan pada paragraf sebelumnya, oleh karena itu, untuk melengkapi definisi derajat dengan eksponen rasional, kita perlu memberikan arti derajat bilangan a dengan indikator pecahan m/n , di mana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli. Ayo lakukan.
Mari kita perhatikan derajat dengan bentuk eksponen pecahan. Agar properti kekuasaan-ke-kuasaan tetap sah, kesetaraan harus dipertahankan 
. Jika kita memperhitungkan persamaan yang dihasilkan dan cara kita menentukannya, maka masuk akal untuk menerimanya, asalkan diberikan m, n dan a, ekspresi tersebut masuk akal.
Sangat mudah untuk memeriksa bahwa semua properti derajat dengan eksponen bilangan bulat adalah valid (ini dilakukan di bagian properti derajat dengan eksponen rasional).
Alasan di atas memungkinkan kita untuk melakukan hal berikut kesimpulan: jika diberikan m, n dan a ekspresi tersebut masuk akal, maka pangkat a dengan eksponen pecahan m/n disebut akar ke-n dari a pangkat m.
Pernyataan ini mendekatkan kita pada definisi derajat dengan eksponen pecahan. Yang tersisa hanyalah menjelaskan pada m, n dan a ekspresi mana yang masuk akal. Bergantung pada batasan yang diterapkan pada m, n dan a, ada dua pendekatan utama.
Cara termudah adalah dengan memberikan batasan pada a dengan mengambil a≥0 untuk m positif dan a>0 untuk m negatif (karena untuk m≤0 derajat 0 dari m tidak ditentukan). Kemudian kita mendapatkan definisi derajat dengan eksponen pecahan berikut ini.
Definisi.
Pangkat bilangan positif a dengan eksponen pecahan m/n, di mana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli, disebut akar ke-n dari bilangan a pangkat m, yaitu .
Juga ditentukan kekuatan pecahan nol dengan satu-satunya peringatan bahwa indikatornya harus positif.
Definisi.
Pangkat nol dengan eksponen positif pecahan m/n, dimana m adalah bilangan bulat positif dan n adalah bilangan asli, didefinisikan sebagai 
.
Bila derajatnya tidak ditentukan, yaitu derajat bilangan nol dengan pecahan indikator negatif tidak masuk akal.
Perlu dicatat bahwa dengan definisi derajat dengan eksponen pecahan ini, ada satu peringatan: untuk beberapa a negatif dan beberapa m dan n, ekspresi tersebut masuk akal, dan kami membuang kasus ini dengan memperkenalkan kondisi a≥0. Misalnya, entri-entrinya masuk akal 
atau , dan definisi yang diberikan di atas memaksa kita untuk mengatakan bahwa pangkat dengan bentuk eksponen pecahan 
tidak masuk akal, karena basisnya tidak boleh negatif.
Pendekatan lain untuk menentukan derajat dengan eksponen pecahan m/n adalah dengan mempertimbangkan eksponen akar genap dan ganjil secara terpisah. Pendekatan ini memerlukan syarat tambahan: pangkat a, yang eksponennya adalah , dianggap pangkat a, yang pangkatnya sama dengan pecahan yang tidak dapat direduksi(Pentingnya kondisi ini akan dijelaskan di bawah). Artinya, jika m/n adalah pecahan tak tereduksi, maka untuk sembarang bilangan asli k derajatnya diganti terlebih dahulu dengan .
Untuk n genap dan m positif, ekspresi tersebut masuk akal untuk sembarang a non-negatif (akar genap dari bilangan negatif tidak masuk akal); untuk m negatif, bilangan a harus tetap berbeda dari nol (jika tidak maka akan terjadi pembagian dengan nol). Dan untuk n ganjil dan m positif, bilangan a dapat berupa apa saja (akar derajat ganjil ditentukan untuk sembarang bilangan real), dan untuk m negatif, bilangan a harus bukan nol (agar tidak ada pembagian dengan nol).
Alasan di atas membawa kita pada definisi derajat dengan eksponen pecahan.
Definisi.
Misalkan m/n adalah pecahan tak tersederhanakan, m adalah bilangan bulat, dan n adalah bilangan asli. Untuk setiap pecahan yang dapat direduksi, derajatnya diganti dengan . Pangkat suatu bilangan dengan eksponen pecahan tak tersederhanakan m/n adalah untuk
Mari kita jelaskan mengapa derajat dengan eksponen pecahan tereduksi terlebih dahulu diganti dengan derajat dengan eksponen tak tereduksi. Jika kita hanya mendefinisikan derajatnya sebagai , dan tidak membuat reservasi tentang tak tereduksinya pecahan m/n, maka kita akan dihadapkan pada situasi seperti berikut: karena 6/10 = 3/5, maka persamaannya harus berlaku 
, Tetapi 
, A .
BAGIAN II. BAB 6
URUTAN ANGKA
Konsep gelar dengan eksponen irasional
Misalkan a adalah bilangan positif dan a adalah bilangan irasional.
Arti apa yang harus diberikan pada ekspresi a*?
Agar presentasi lebih jelas, kami akan melakukannya secara privat
contoh. Yaitu, masukkan a - 2 dan a = 1, 624121121112. . . .
Di sini, dan - tidak ada habisnya desimal, dikompilasi menurut ini
hukum: dimulai dari tempat desimal keempat, untuk gambar a
Hanya angka 1 dan 2 yang digunakan, dan jumlah angkanya adalah 1,
ditulis berturut-turut sebelum angka 2, terus bertambah
satu. Pecahan a bersifat non-periodik, karena jika tidak, jumlah digitnya adalah 1,
direkam berturut-turut dalam gambarnya akan dibatasi.
Oleh karena itu, a adalah bilangan irasional.
Jadi, makna apa yang harus diberikan pada ekspresi tersebut
21,v2Ш1Ш1Ш11Ш11Ш. . . R
Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita buat rangkaian nilai
dan dengan kekurangan dan kelebihan dengan ketelitian (0,1)*. Kita mendapatkan
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
Mari kita buat barisan pangkat yang sesuai dari angka 2:
2M. 2 juta*; 21*624; 21'62*1; ..., (3)
21D. 21"63; 2*»62Wu 21.6Sh; . (4)
Barisan (3) bertambah seiring bertambahnya barisan
(1) (Teorema 2 § 6).
Barisan (4) menurun karena barisan tersebut menurun
(2).
Tiap suku barisan (3) lebih kecil dari tiap suku barisan tersebut
(4), dan dengan demikian barisan (3) dibatasi
dari atas, dan barisan (4) dibatasi di bawah.
Berdasarkan teorema barisan terbatas monoton
masing-masing barisan (3) dan (4) mempunyai limit. Jika
384 Konsep derajat dengan eksponen irasional . .
sekarang ternyata selisih barisan (4) dan (3) konvergen
menjadi nol, maka kedua barisan tersebut akan mengikuti,
mempunyai batas yang sama.
Selisih suku pertama barisan (3) dan (4)
21-7 - 21'* = 2|, dalam (20*1 - 1)< 4 (У 2 - 1).
Selisih suku kedua
21'63 - 21,62 = 21,62 (2°'01 - 1)< 4 (l0 j/2f - 1) и т. д.
Selisih suku ke-n
0,0000. ..0 1
2>.««…(2 " - 1)< 4 (l0“/ 2 - 1).
Berdasarkan Teorema 3 § 6
batas 10″ / 2 = 1.
Jadi barisan (3) dan (4) mempunyai limit yang sama. Ini
limit adalah satu-satunya bilangan real yang lebih besar
semua anggota barisan (3) dan kurang dari semua anggota barisan
(4), disarankan untuk mempertimbangkannya nilai yang tepat 2*.
Berdasarkan apa yang telah dikatakan, secara umum disarankan untuk menerimanya
definisi berikut:
Definisi. Jika a^> 1, maka pangkat a dengan irasional
eksponen a adalah bilangan real
yang lebih besar dari semua pangkat bilangan ini yang eksponennya
perkiraan rasional a dengan kerugian, dan kurang dari semua derajat
bilangan ini, yang eksponennya merupakan perkiraan rasional dan dengan
kelebihan.
Jika sebuah<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
adalah bilangan riil yang lebih besar dari semua pangkat
bilangan ini, yang eksponennya merupakan perkiraan rasional dan
dengan kelebihan, dan kurang dari semua pangkat dari bilangan ini, yang indikatornya
- perkiraan rasional a dengan kelemahan.
.Jika a- 1, maka derajatnya dengan eksponen irasional a
adalah 1.
Dengan menggunakan konsep limit, definisi ini dapat dirumuskan
Jadi:
Pangkat bilangan positif dengan eksponen irasional
dan limit kecenderungan barisan tersebut disebut
pangkat rasional dari bilangan ini, asalkan barisannya
eksponen derajat ini cenderung a, yaitu.
аа = lim аЧ
B - *
13 D, K. Fatsheev, I. S. Sominsky
Gelar dengan eksponen rasional, sifat-sifatnya.
Ekspresi sebuah n didefinisikan untuk semua a dan n, kecuali untuk kasus a=0 untuk n≤0. Mari kita mengingat kembali sifat-sifat kekuatan tersebut.
Untuk bilangan apa pun a, b, dan bilangan bulat m dan n, persamaannya valid:
A m *a n =am+n ; am:an =a m-n (a≠0); (am) n = amn ; (ab) n = an *b n ; (b≠0); sebuah 1 =sebuah; sebuah 0 =1 (a≠0).
Perhatikan juga properti berikut:
Jika m>n, maka a m >an untuk a>1 dan a m<а n при 0<а<1.
Pada bagian ini kita akan menggeneralisasi konsep pangkat suatu bilangan, memberi makna pada ekspresi tipe 2 0.3 , 8
5/7 , 4
-1/2 dll. Wajar untuk memberikan definisi sehingga derajat dengan indikator rasional memiliki properti yang sama (atau setidaknya sebagian darinya) sebagai pangkat dengan eksponen bilangan bulat. Kemudian, khususnya, pangkat ke-n dari bilangan tersebutharus sama dengan a M . Memang kalau properti
(ap) q =a pq
dieksekusi, lalu
Persamaan terakhir berarti (menurut definisi akar ke-n) bahwa bilangan tersebutharus menjadi akar ke-n dari a M.
Definisi.
Pangkat suatu bilangan a>0 dengan eksponen rasional r=, dimana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli (n > 1), adalah bilangan tersebut
Jadi, menurut definisi
(1)
Pangkat 0 didefinisikan hanya untuk eksponen positif; menurut definisi 0 r = 0 untuk sembarang r>0.
Gelar dengan eksponen irasional.
Bilangan irasionaldapat direpresentasikan dalam bentuklimit barisan bilangan rasional:
.
Membiarkan . Lalu ada kekuatan dengan eksponen rasional. Dapat dibuktikan bahwa barisan pangkat-pangkat tersebut konvergen. Limit barisan ini disebut derajat dengan basis dan eksponen irasional: .
Mari kita perbaiki bilangan positif a dan tetapkan ke setiap bilangan. Demikianlah yang kita dapatkan fungsi numerik f(x) = sebuah X , didefinisikan pada himpunan Q bilangan rasional dan memiliki sifat-sifat yang disebutkan sebelumnya. Ketika a=1 fungsi f(x) = a X adalah konstan, karena 1 X =1 untuk sembarang x rasional.
Mari kita gambarkan beberapa titik pada grafik fungsi y = 2 X setelah sebelumnya menghitung nilai 2 menggunakan kalkulator X pada segmen [—2; 3] dengan langkah 1/4 (Gbr. 1, a), dan kemudian dengan langkah 1/8 (Gbr. 1, b). Melanjutkan konstruksi mental yang sama dengan langkah 1/16, 1/32, dll., kita melihat bahwa titik-titik yang dihasilkan dapat dihubungkan oleh kurva halus, yang secara alami dapat dianggap sebagai grafik suatu fungsi, yang didefinisikan dan meningkat sepanjang garis bilangan dan mengambil nilaipada titik rasional(Gbr. 1, c). Setelah cukup membangun jumlah yang besar titik grafik fungsi, Anda dapat memastikan bahwa fungsi ini memiliki properti yang serupa (perbedaannya adalah fungsinya berkurang pada R).
Pengamatan ini menunjukkan bahwa angka 2 dapat didefinisikan dengan cara ini dan untuk setiap α irasional, fungsi tersebut diberikan oleh rumus y=2 x dan akan kontinu, dan fungsi y=2 X meningkat, dan fungsinyaberkurang sepanjang garis bilangan.
Kami akan menjelaskannya di garis besar umum, bagaimana bilangan a ditentukan α untuk α irasional untuk a>1. Kami ingin memastikan bahwa fungsi y = a X meningkat. Kemudian untuk r rasional apa pun 1 dan r 2 sedemikian rupa sehingga r 1<α
Memilih nilai r 1 dan r 2 mendekati x, kita dapat melihat bahwa nilai a yang sesuai r 1 dan r 2 akan sedikit berbeda. Dapat dibuktikan bahwa hanya ada satu bilangan y yang lebih besar dari semua a r 1 untuk semua r rasional 1 dan paling sedikit a r 2 untuk semua r rasional 2 . Angka y ini menurut definisinya adalah a α .
Misalnya menggunakan kalkulator untuk menghitung nilai 2 x di titik x n dan x` n, di mana x n dan x` n - perkiraan angka desimalkita akan menemukan bahwa semakin dekat x n dan x`n k , semakin sedikit perbedaan keduanya x n dan 2 x` n .
Dari dulu
dan maka dari itu,
Demikian pula, dengan mempertimbangkan perkiraan desimal berikutberdasarkan kekurangan dan kelebihannya, kita sampai pada relasinya
;
;
;
;
.
Arti dihitung pada kalkulator adalah:
.
Angka a ditentukan dengan cara yang sama α untuk 0<α<1. Кроме того полагают 1
α =1 untuk sembarang α dan 0α =0 untuk α>0.
Fungsi eksponensial.
Pada A > 0, A = 1, fungsi ditentukan kamu = sebuah X, berbeda dari konstan. Fungsi ini disebut Fungsi eksponensial dengan basisA.
kamu=a
X pada A> 1:
Grafik fungsi eksponensial dengan basis 0< A < 1 и A> 1 ditunjukkan pada gambar.
Properti dasar Fungsi eksponensial kamu=a X pada 0< A < 1:
- Daerah definisi suatu fungsi adalah garis bilangan keseluruhan.
- Rentang fungsi - interval (0; + ) .
- Fungsi tersebut meningkat secara monoton pada seluruh garis bilangan, yaitu jika X 1 < x 2, lalu sebuah x 1 >sebuah x 2 .
- Pada X= 0 nilai fungsi adalah 1.
- Jika X> 0, lalu 0< A < 1 dan jika X < 0, то sebuah x > 1. KE properti Umum fungsi eksponensial pada 0< a < 1, так и при a > 1 meliputi:
- A X 1 A X 2 = A X 1 + X 2, untuk semua orang X 1 Dan X 2.
- A − x= ( A X) − 1 = 1 AX untuk siapa pun X.
- NA X= A
Setelah pangkat suatu bilangan ditentukan, maka masuk akal untuk membicarakannya sifat derajat. Pada artikel ini kami akan memberikan sifat dasar pangkat suatu bilangan, sambil menyentuh semua kemungkinan eksponen. Di sini kami akan memberikan bukti semua sifat derajat, dan juga menunjukkan bagaimana sifat-sifat ini digunakan saat menyelesaikan contoh.
Navigasi halaman.
Sifat-sifat derajat dengan eksponen natural
Menurut definisi pangkat dengan eksponen natural, pangkat a n adalah hasil kali n faktor, yang masing-masing sama dengan a. Berdasarkan definisi ini, dan juga menggunakan sifat perkalian bilangan real , kita dapat memperoleh dan membenarkan hal berikut sifat derajat dengan eksponen alami:
- sifat utama derajat am ·a n =am+n, generalisasinya;
- properti hasil bagi dengan dengan alasan yang sama aku:an =aku−n ;
- properti kekuatan produk (a·b) n =a n ·b n , perpanjangannya;
- sifat hasil bagi pangkat alami (a:b) n =a n:b n ;
- menaikkan derajat ke pangkat (am) n =a m·n, generalisasinya (((an 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
- perbandingan derajat dengan nol:
- jika a>0, maka n>0 untuk sembarang bilangan asli n;
- jika a=0, maka an =0;
- jika sebuah<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 jika sebuah<0 и показатель степени есть angka ganjil 2 m−1 , lalu a 2 m−1<0 ;
- jika a dan b bilangan positif dan a
- jika m dan n adalah bilangan asli sehingga m>n , maka pada 0
- jika m dan n adalah bilangan asli sehingga m>n , maka pada 0
Mari kita segera perhatikan bahwa semua persamaan tertulis adalah identik sesuai dengan kondisi yang ditentukan, bagian kanan dan kirinya dapat ditukar. Misalnya, sifat utama pecahan a m ·a n =am+n dengan menyederhanakan ekspresi sering digunakan dalam bentuk a m+n =am ·a n .
Sekarang mari kita lihat masing-masing secara detail.
Mari kita mulai dengan sifat hasil kali dua pangkat dengan basis yang sama, yang disebut properti utama dari gelar tersebut: untuk sembarang bilangan real a dan sembarang bilangan asli m dan n, persamaan am ·a n =am+n benar.
Mari kita buktikan sifat utama derajat tersebut. Berdasarkan definisi pangkat dengan eksponen alami, hasil kali pangkat dengan basis yang sama berbentuk a m ·a n dapat ditulis sebagai hasil kali. Karena sifat perkalian, ekspresi yang dihasilkan dapat ditulis sebagai 
, dan hasil kali ini adalah pangkat dari bilangan a dengan eksponen natural m+n, yaitu a m+n. Ini melengkapi buktinya.
Mari kita beri contoh yang menegaskan sifat utama derajat. Mari kita ambil derajat dengan basis 2 dan pangkat alami 2 dan 3 yang sama, dengan menggunakan sifat dasar derajat kita dapat menulis persamaan 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Mari kita periksa validitasnya dengan menghitung nilai ekspresi 2 2 · 2 3 dan 2 5 . Melakukan eksponensial, kita punya 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 dan 2 5 =2·2·2·2·2=32, karena diperoleh nilai yang sama, maka persamaan 2 2 ·2 3 =2 5 benar, dan ini menegaskan sifat utama derajat.
Sifat dasar suatu derajat, berdasarkan sifat perkalian, dapat digeneralisasikan menjadi hasil kali tiga pangkat atau lebih dengan basis dan eksponen alami yang sama. Jadi untuk sembarang bilangan k dari bilangan asli n 1, n 2, …, n k persamaannya benar a n 1 ·an 2 ·…·an k =a n 1 +n 2 +…+n k.
Misalnya, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Kita dapat beralih ke sifat pangkat berikutnya dengan eksponen alami – sifat hasil bagi dengan basis yang sama: untuk sembarang bilangan real bukan nol a dan bilangan asli sembarang m dan n yang memenuhi syarat m>n, persamaan a m:an =a m−n benar.
Sebelum memaparkan pembuktian sifat ini, mari kita bahas pengertian syarat tambahan dalam rumusan tersebut. Kondisi a≠0 diperlukan untuk menghindari pembagian dengan nol, karena 0 n =0, dan ketika kita mengenal pembagian, kita sepakat bahwa kita tidak dapat membagi dengan nol. Kondisi m>n diperkenalkan agar kita tidak melampaui eksponen natural. Memang benar, untuk m>n eksponen a m−n adalah bilangan asli, jika tidak maka eksponennya akan menjadi nol (yang berlaku untuk m−n) atau bilangan negatif (yang berlaku untuk m Bukti. Sifat utama pecahan memungkinkan kita menulis persamaan a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Dari persamaan yang dihasilkan a m−n ·a n =am dan dapat disimpulkan bahwa a m−n adalah hasil bagi pangkat a m dan a n . Ini membuktikan sifat hasil bagi dengan basis identik. Mari kita beri contoh. Mari kita ambil dua derajat dengan basis yang sama π dan eksponen natural 5 dan 2, persamaan π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 sesuai dengan sifat derajat yang dipertimbangkan. Sekarang mari kita pertimbangkan properti kekuatan produk: pangkat alami n hasil kali dua bilangan real a dan b sama dengan hasil kali pangkat a n dan b n , yaitu (a·b) n =an ·b n . Memang, menurut definisi gelar dengan eksponen natural yang kita miliki Berikut ini contohnya: Sifat ini mencakup perkalian tiga faktor atau lebih. Artinya, sifat derajat alami n hasil kali k faktor ditulis sebagai (a 1 ·a 2 ·…·ak) n =a 1 n ·a 2 n ·…·ak n. Untuk kejelasan, kami akan menunjukkan properti ini dengan sebuah contoh. Untuk hasil kali tiga faktor pangkat 7 kita punya. Properti berikut adalah properti hasil bagi dalam bentuk barang: hasil bagi bilangan real a dan b, b≠0 pangkat n sama dengan hasil bagi pangkat a n dan b n, yaitu (a:b) n =a n:b n. Pembuktiannya dapat dilakukan dengan menggunakan sifat sebelumnya. Jadi (a:b) n b n =((a:b) b) n =an, dan dari persamaan (a:b) n ·b n =an =an maka (a:b) n adalah hasil bagi dari a n dibagi b n . Mari tulis properti ini menggunakan angka tertentu sebagai contoh: Sekarang mari kita menyuarakannya properti untuk meningkatkan suatu kekuatan menjadi suatu kekuatan: untuk sembarang bilangan real a dan sembarang bilangan asli m dan n, pangkat m pangkat n sama dengan pangkat bilangan a dengan eksponen m·n, yaitu (am) n =am·n. Misalnya, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6. Bukti dari sifat pangkat-ke-derajat adalah rantai persamaan berikut: Properti yang dipertimbangkan dapat diperluas ke derajat ke derajat, dll. Misalnya, untuk sembarang bilangan asli p, q, r dan s, persamaannya Masih memikirkan sifat-sifat membandingkan derajat dengan eksponen alami. Mari kita mulai dengan membuktikan sifat membandingkan nol dan pangkat dengan eksponen natural. Pertama, mari kita buktikan bahwa a n >0 untuk sembarang a>0. Hasil kali dua bilangan positif adalah bilangan positif, berikut pengertian perkaliannya. Fakta ini dan sifat-sifat perkalian menunjukkan bahwa hasil perkalian sejumlah bilangan positif juga akan berupa bilangan positif. Dan pangkat suatu bilangan a dengan eksponen natural n, menurut definisi, adalah hasil kali n faktor, yang masing-masing sama dengan a. Argumen-argumen ini memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa untuk sembarang basis positif a, derajat a n adalah bilangan positif. Karena sifat terbukti 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 dan Jelas sekali bahwa untuk sembarang bilangan asli n dengan a=0 derajat an adalah nol. Memang, 0 n =0·0·…·0=0 . Misalnya, 0 3 =0 dan 0 762 =0. Mari kita lanjutkan ke alasan negatif derajat. Mari kita mulai dengan kasus ketika eksponennya adalah bilangan genap, mari kita nyatakan sebagai 2·m, dengan m adalah bilangan asli. Kemudian Terakhir, jika basis a adalah bilangan negatif dan eksponennya adalah bilangan ganjil 2 m−1, maka Mari kita beralih ke sifat membandingkan pangkat dengan eksponen alami yang sama, yang memiliki rumusan sebagai berikut: dari dua pangkat dengan eksponen alami yang sama, n lebih kecil dari yang basisnya lebih kecil, dan lebih besar adalah yang basisnya lebih besar . Mari kita buktikan. Ketimpangan dan n sifat-sifat ketidaksetaraan pertidaksamaan bentuk an yang dapat dibuktikan juga benar . Yang terakhir dari sifat-sifat pangkat yang terdaftar masih harus dibuktikan dengan eksponen alami. Mari kita rumuskan. Dari dua pangkat yang eksponen natural dan basis positif identiknya kurang dari satu, pangkat yang pangkatnya lebih kecil adalah yang lebih besar; dan dari dua pangkat yang eksponen alami dan basisnya sama lebih besar dari satu, pangkat yang lebih besar adalah yang lebih besar. Mari kita lanjutkan ke pembuktian properti ini. Mari kita buktikan untuk m>n dan 0 Masih membuktikan bagian kedua dari properti. Mari kita buktikan bahwa untuk m>n dan a>1 am >an n benar. Selisih a m −a n setelah mengeluarkan n dari tanda kurung berbentuk a n ·(a m−n −1) . Hasil kali ini positif, karena untuk a>1 derajat a n adalah bilangan positif, dan selisih a m−n −1 adalah bilangan positif, karena m−n>0 disebabkan oleh kondisi awal, dan untuk a>1 derajat a m−n lebih besar dari satu . Akibatnya, a m −a n >0 dan a m >an n , itulah yang perlu dibuktikan. Sifat ini diilustrasikan dengan pertidaksamaan 3 7 >3 2.
. Berdasarkan sifat-sifat perkalian, hasil perkalian terakhir dapat ditulis ulang menjadi 
, yang sama dengan a n · b n .
.
.
.
. Untuk lebih jelasnya, berikut adalah contoh dengan angka tertentu: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. Untuk setiap hasil kali bentuk a·a sama dengan hasil kali modulus bilangan a dan a, yang berarti bilangan positif. Oleh karena itu, produknya juga akan positif 
dan derajat a 2·m. Mari kita beri contoh: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 dan .
. Semua hasil kali a·a adalah bilangan positif, hasil kali bilangan positif ini juga positif, dan perkaliannya dengan sisanya angka negatif a menghasilkan angka negatif. Karena sifat ini (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
Sifat-sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat
Karena bilangan bulat positif adalah bilangan asli, maka semua sifat pangkat dengan eksponen bilangan bulat positif sama persis dengan sifat pangkat dengan pangkat asli yang tercantum dan dibuktikan pada paragraf sebelumnya.
Kami mendefinisikan derajat dengan eksponen bilangan bulat negatif, serta derajat dengan eksponen nol, sedemikian rupa sehingga semua sifat derajat dengan eksponen alami, yang dinyatakan dengan persamaan, tetap valid. Oleh karena itu, semua sifat ini berlaku untuk eksponen nol dan eksponen negatif, sedangkan, tentu saja, basis pangkatnya berbeda dari nol.
Jadi, untuk bilangan real dan bukan nol a dan b, serta bilangan bulat m dan n, pernyataan berikut ini benar: sifat-sifat pangkat dengan eksponen bilangan bulat:
- am ·a n =am+n ;
- aku:an =aku−n ;
- (a·b) n =a n ·b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (saya) n = saya·n ;
- jika n bilangan bulat positif, a dan b bilangan positif, dan a b−n ;
- jika m dan n bilangan bulat, dan m>n , maka pada 0
Ketika a=0, pangkat a m dan a n hanya masuk akal jika m dan n keduanya adalah bilangan bulat positif, yaitu bilangan asli. Jadi, sifat-sifat yang baru saja ditulis juga berlaku untuk kasus ketika a=0 dan bilangan m dan n adalah bilangan bulat positif.
Membuktikan masing-masing sifat tersebut tidaklah sulit; untuk melakukannya, cukup menggunakan definisi derajat dengan eksponen natural dan bilangan bulat, serta sifat-sifat operasi dengan bilangan real. Sebagai contoh, mari kita buktikan bahwa sifat pangkat-pangkat berlaku untuk bilangan bulat positif dan bilangan bulat non-positif. Untuk melakukannya, Anda perlu menunjukkan bahwa jika p adalah nol atau bilangan asli dan q adalah nol atau bilangan asli, maka persamaannya (ap) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (ap ) −q =ap·(−q) dan (a −p) −q =a (−p)·(−q). Ayo lakukan.
Untuk p dan q positif, persamaan (ap) q =a p·q telah dibuktikan pada paragraf sebelumnya. Jika p=0, maka kita mempunyai (a 0) q =1 q =1 dan a 0·q =a 0 =1, sehingga (a 0) q =a 0·q. Demikian pula, jika q=0, maka (ap) 0 =1 dan a p·0 =a 0 =1, maka (ap) 0 =a p·0. Jika p=0 dan q=0, maka (a 0) 0 =1 0 =1 dan a 0·0 =a 0 =1, maka (a 0) 0 =a 0·0.
Sekarang kita buktikan bahwa (a −p) q =a (−p)·q . Menurut definisi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif, maka 
. Berdasarkan sifat hasil bagi dengan pangkat yang kita miliki 
. Karena 1 p =1·1·…·1=1 dan , maka . Ekspresi terakhir, menurut definisi, adalah pangkat dalam bentuk a −(p·q), yang, karena aturan perkalian, dapat ditulis sebagai a (−p)·q.
Juga 
.
DAN 
.
Dengan menggunakan prinsip yang sama, Anda dapat membuktikan semua sifat derajat lainnya dengan eksponen bilangan bulat, yang ditulis dalam bentuk persamaan.
Di bagian kedua dari belakang dari sifat-sifat yang tercatat, ada baiknya memikirkan bukti pertidaksamaan a −n >b −n, yang berlaku untuk bilangan bulat negatif apa pun −n dan bilangan positif apa pun a dan byang syarat a terpenuhi . Karena dengan kondisi a 0 . Hasil kali a n · b n juga positif sebagai hasil kali bilangan positif a n dan b n . Maka pecahan yang dihasilkan adalah positif sebagai hasil bagi bilangan positif b n −an dan a n ·b n . Oleh karena itu, dari mana a −n >b −n , itulah yang perlu dibuktikan.
Sifat terakhir dari pangkat dengan eksponen bilangan bulat dibuktikan dengan cara yang sama seperti sifat serupa dari pangkat dengan eksponen alami.
Sifat-sifat pangkat dengan eksponen rasional
Kita mendefinisikan derajat dengan eksponen pecahan dengan memperluas sifat-sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat. Dengan kata lain, pangkat dengan eksponen pecahan mempunyai sifat yang sama dengan pangkat dengan pangkat bilangan bulat. Yaitu:
Pembuktian sifat-sifat derajat dengan eksponen pecahan didasarkan pada definisi derajat dengan eksponen pecahan, dan pada sifat-sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat. Mari kita berikan bukti.
Menurut definisi pangkat dengan eksponen pecahan dan , maka 
. Sifat-sifat akar aritmatika memungkinkan kita menulis persamaan berikut. Selanjutnya, dengan menggunakan sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat, kita peroleh , dari mana, menurut definisi derajat dengan eksponen pecahan, kita peroleh 
, dan indikator derajat yang diperoleh dapat ditransformasikan sebagai berikut: . Ini melengkapi buktinya.
Sifat kedua pangkat dengan eksponen pecahan dibuktikan dengan cara yang sangat mirip: 
Persamaan lainnya dibuktikan dengan menggunakan prinsip serupa: 
Mari kita lanjutkan ke pembuktian properti berikutnya. Mari kita buktikan bahwa untuk sembarang a dan b positif, a b hal. Mari kita tulis bilangan rasional p sebagai m/n, dengan m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli. Ketentuan hal<0 и p>0 dalam hal ini kondisi m<0 и m>0 sesuai. Untuk m>0 dan a
Demikian pula untuk m<0 имеем a m >b m , dari mana, yaitu, dan a p >bp p .
Masih membuktikan properti terakhir yang terdaftar. Mari kita buktikan bahwa untuk bilangan rasional p dan q, p>q di 0 
Dan 
. Dan definisi derajat dengan eksponen rasional memungkinkan kita beralih ke ketidaksetaraan dan, karenanya. Dari sini kita menarik kesimpulan akhir: untuk p>q dan 0
Sifat-sifat pangkat dengan eksponen irasional
Dari cara mendefinisikan derajat dengan eksponen irasional, kita dapat menyimpulkan bahwa ia memiliki semua sifat derajat dengan eksponen rasional. Jadi untuk bilangan a>0, b>0 dan bilangan irasional p dan q, berikut ini yang benar sifat-sifat pangkat dengan eksponen irasional:
- a p ·a q =a p+q ;
- ap:a q =a p−q ;
- (a·b) p =a p ·b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (ap) q =a p·q ;
- untuk sembarang bilangan positif a dan b, a 0 pertidaksamaan a hal b p ;
- untuk bilangan irasional p dan q, p>q di 0
Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa pangkat dengan sembarang eksponen nyata p dan q untuk a>0 mempunyai sifat yang sama.
Bibliografi.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Buku teks matematika untuk kelas 5. lembaga pendidikan.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk kelas 7. lembaga pendidikan.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk kelas 8. lembaga pendidikan.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk kelas 9. lembaga pendidikan.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain.Aljabar dan permulaan analisis: Buku ajar untuk kelas 10 - 11 lembaga pendidikan umum.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan bagi mereka yang memasuki sekolah teknik).
Ledakan informasi Dalam biologi - koloni mikroba di cawan Petri Kelinci di Australia Reaksi berantai - dalam kimia Dalam fisika - peluruhan radioaktif, perubahan tekanan atmosfer dengan perubahan ketinggian, pendinginan tubuh tekanan dengan perubahan ketinggian, pendinginan tubuh. Pelepasan adrenalin ke dalam darah dan penghancurannya Mereka juga mengklaim bahwa jumlah informasi meningkat dua kali lipat setiap 10 tahun.
(3/5) -1 a 1 3 1/2 (4/9) 0 a *81 (1/2) -3 a -n 36 1/2* 8 1/ /3 2 -3.5
Ekspresi 2 x 2 2 =4 2 5 = = =1/2 4 =1/16 2 4/3 = 32 4 = .5 = 1/2 3.5 =1/2 7= 1/(8 2)= 2/ 16 2)=
3=1, … 1; 1,7 1,73; 1.732;1.73205; 1, ;… barisan bertambah 2 1 ; 2 1.7; 2 1,73 ;2 1,732 ; 2 1,73205 ; 2 1, ;… barisan tersebut bertambah Dibatasi, artinya konvergen pada satu batas – nilai 2 3
Seseorang dapat mendefinisikan π 0
10 10
18
Sifat-sifat fungsi y = a x n \ n a >10 10 10 10 10 title="Sifat-sifat fungsi y = a x n \ n a >10 21
Jumlah informasi berlipat ganda setiap 10 tahun Sepanjang sumbu Sapi - menurut hukum perkembangan aritmatika: 1,2,3,4…. Sepanjang sumbu Oy - menurut hukum perkembangan geometri: 2 1.2 2.2 3.2 4 ... Grafik fungsi eksponensial disebut eksponen (dari bahasa Latin exponere - pamer)
