Dari titik sudut yang berlawanan) dan bagi hasil perkaliannya dengan dua. Ini terlihat seperti ini:

S = ½ * a * jam,

Di mana:
S – luas segitiga,
a adalah panjang sisinya,
h adalah ketinggian yang diturunkan ke sisi ini.

Panjang dan tinggi sisi harus disajikan dalam satuan ukuran yang sama. Dalam hal ini, luas segitiga akan diperoleh dalam satuan “ ” yang sesuai.

Contoh.
Pada salah satu sisi segitiga tak sama panjang yang panjangnya 20 cm, diturunkan tegak lurus dari titik sudut dihadapannya yang panjangnya 10 cm.
Luas segitiga wajib diisi.
Larutan.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Jika panjang dua sisi segitiga tak sama panjang dan sudut di antara keduanya diketahui, gunakan rumus:

S = ½ * a * b * sinγ,

dimana: a, b adalah panjang dua sisi sembarang, dan γ adalah sudut di antara keduanya.

Dalam praktiknya misalnya saat mengukur bidang tanah, penggunaan rumus di atas terkadang sulit karena memerlukan konstruksi tambahan dan pengukuran sudut.

Jika Anda mengetahui panjang ketiga sisi segitiga tak sama panjang, gunakan rumus Heron:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – panjang sisi-sisi segitiga,
p – setengah keliling: p = (a+b+c)/2.

Jika, selain panjang semua sisinya, jari-jari lingkaran pada segitiga juga diketahui, maka gunakan rumus kompak berikut:

dimana: r – jari-jari lingkaran yang tertulis (р – setengah keliling).

Untuk menghitung luas segitiga tak sama panjang dan panjang sisi-sisinya, gunakan rumus:

dimana: R – jari-jari lingkaran yang dibatasi.

Jika panjang salah satu sisi segitiga dan tiga sudut diketahui (pada prinsipnya dua sudah cukup - nilai ketiga dihitung dari persamaan jumlah ketiga sudut segitiga - 180º), maka gunakan rumusnya:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

dimana α adalah nilai sudut yang berhadapan dengan sisi a;
β, γ – nilai dua sudut segitiga yang tersisa.

Kebutuhan untuk menemukan berbagai elemen, termasuk wilayah segi tiga, muncul berabad-abad sebelum masehi ilmuwan astronom Yunani kuno. Persegi segi tiga dapat dihitung cara yang berbeda menggunakan rumus yang berbeda. Metode perhitungannya tergantung pada elemen mana segi tiga diketahui.

instruksi

Jika dari kondisi tersebut kita mengetahui nilai dua sisi b, c dan sudut yang dibentuk oleh kedua sisi tersebut?, maka luasnya segi tiga ABC ditemukan dengan rumus:
S = (bcsin?)/2.

Jika dari kondisi tersebut kita mengetahui nilai dua sisi a, b dan sudut yang tidak dibentuk oleh kedua sisi tersebut?, maka luasnya segi tiga ABC ditemukan sebagai berikut:
Menemukan sudutnya?, dosa? = bsin?/a, lalu gunakan tabel untuk menentukan sudutnya sendiri.
Mencari sudutnya?, ? = 180°-?-?.
Kita cari luasnya sendiri S = (absin?)/2.

Jika dari kondisi tersebut kita mengetahui nilai ketiga sisinya saja segi tiga a, b dan c, lalu luasnya segi tiga ABC ditemukan dengan rumus:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), dengan p adalah setengah keliling p = (a+b+c)/2

Kalau dari kondisi permasalahan kita mengetahui ketinggiannya segi tiga h dan sisi dimana ketinggian ini diturunkan, lalu luasnya segi tiga ABC menurut rumus:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Jika kita mengetahui arti dari sisi-sisinya segi tiga a, b, c dan jari-jari yang dijelaskan tentang ini segi tiga R, maka luasnya segi tiga ABC ditentukan dengan rumus:
S = abc/4R.
Jika ketiga sisi a, b, c dan jari-jari sisi yang tertulis di dalamnya diketahui, maka luasnya segi tiga ABC ditemukan dengan rumus:
S = pr, dengan p adalah setengah keliling, p = (a+b+c)/2.

Jika ABC sama sisi, maka luasnya dicari dengan rumus:
S = (a^2v3)/4.
Jika segitiga ABC– sama kaki, maka luasnya ditentukan dengan rumus:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, dimana c – segi tiga.
Jika segitiga ABC siku-siku, maka luasnya ditentukan dengan rumus:
S = ab/2, dimana a dan b adalah kaki segi tiga.
Jika segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku sama kaki, maka luasnya ditentukan dengan rumus:
S = c^2/4 = a^2/2, dengan c adalah sisi miring segi tiga, a=b – kaki.

Video tentang topik tersebut

Sumber:

• cara mengukur luas segitiga

Tips 3: Cara mencari luas segitiga jika diketahui sudutnya

Mengetahui satu parameter saja (sudut) tidak cukup untuk mencari luas tiga persegi . Jika ada ukuran tambahan, maka untuk menentukan luas dapat memilih salah satu rumus yang salah satu variabelnya juga menggunakan nilai sudut. Beberapa rumus yang paling sering digunakan diberikan di bawah ini.

instruksi

Jika, selain besar sudut (γ) yang dibentuk kedua sisinya tiga persegi , maka panjang sisi-sisinya (A dan B) juga diketahui persegi(S) suatu bangun dapat didefinisikan sebagai setengah hasil kali panjang sisi dan sinus sudut yang diketahui: S=½×A×B×sin(γ).

Segitiga seperti ini sosok geometris, yang terdiri dari tiga garis yang menghubungkan pada titik-titik yang tidak terletak pada garis yang sama. Titik-titik sambungan garis-garis tersebut adalah titik-titik sudut segitiga yang diberi tanda dengan huruf latin(misalnya A, B, C). Garis-garis lurus yang menghubungkan suatu segitiga disebut ruas, yang biasanya juga dilambangkan dengan huruf latin. Jenis-jenis segitiga berikut ini dibedakan:

• Persegi panjang.
• Tumpul.
• Sudut akut.
• Serbaguna.
• Sama sisi.
• Sama kaki.

Rumus umum menghitung luas segitiga

Rumus luas segitiga berdasarkan panjang dan tinggi

S= a*h/2,
dimana a adalah panjang sisi segitiga yang luasnya perlu dicari, h adalah panjang tinggi yang ditarik ke alasnya.

Rumus bangau

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
di mana √ adalah Akar pangkat dua, p adalah setengah keliling segitiga, a,b,c adalah panjang masing-masing sisi segitiga. Setengah keliling segitiga dapat dihitung dengan menggunakan rumus p=(a+b+c)/2.

Rumus luas segitiga berdasarkan sudut dan panjang ruasnya

S = (a*b*sin(α))/2,
Di mana b,c adalah panjang sisi-sisi segitiga, sin(α) adalah sinus sudut antara kedua sisinya.

Rumus luas segitiga dengan mempertimbangkan jari-jari lingkaran dan ketiga sisinya

S=p*r,
dimana p adalah setengah keliling segitiga yang luasnya perlu dicari, r adalah jari-jari lingkaran pada segitiga tersebut.

Rumus luas segitiga berdasarkan ketiga sisinya dan jari-jari lingkaran yang dibatasi disekitarnya

S= (a*b*c)/4*R,
dimana a,b,c adalah panjang masing-masing sisi segitiga, R adalah jari-jari lingkaran yang mengelilingi segitiga.

Rumus luas segitiga menggunakan koordinat titik kartesius

Koordinat titik kartesius merupakan koordinat dalam sistem xOy, dimana x adalah absisnya, y adalah ordinatnya. sistem kartesius koordinat xOy pada bidang disebut sumbu numerik yang saling tegak lurus Ox dan Oy dengan awal yang sama referensi di titik O. Jika koordinat titik-titik pada bidang ini diberikan dalam bentuk A(x1, y1), B(x2, y2) dan C(x3, y3), maka luas segitiga dapat dihitung menggunakan rumus berikut, yang diperoleh dari produk vektor dua vektor.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
dimana || singkatan dari modul.

Cara mencari luas segitiga siku-siku

Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya berukuran 90 derajat. Sebuah segitiga hanya dapat memiliki satu sudut seperti itu.

Rumus luas segitiga siku-siku pada dua sisinya

S= a*b/2,
dimana a,b adalah panjang kakinya. Kaki adalah sisi-sisi yang berdekatan dengan sudut siku-siku.

Rumus luas segitiga siku-siku berdasarkan sisi miring dan sudut lancip

S = a*b*sin(α)/ 2,
dimana a, b adalah kaki-kaki segitiga, dan sin(α) adalah sinus sudut perpotongan garis a, b.

Rumus luas segitiga siku-siku berdasarkan sisi dan sudut dihadapannya

S = a*b/2*tg(β),
dimana a, b adalah kaki-kaki segitiga, tan(β) adalah garis singgung sudut di mana kaki-kaki a, b dihubungkan.

Cara menghitung luas segitiga sama kaki

Segitiga sama kaki adalah segitiga yang mempunyai dua buah sisi yang sama. Sisi-sisi ini disebut sisi, dan sisi lainnya disebut alas. Untuk menghitung luas segitiga sama kaki Anda dapat menggunakan salah satu rumus berikut.

Rumus dasar menghitung luas segitiga sama kaki

S=h*c/2,
dimana c adalah alas segitiga, h adalah tinggi segitiga yang diturunkan ke alasnya.

Rumus segitiga sama kaki berdasarkan sisi dan alasnya

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
dimana c adalah alas segitiga, a adalah ukuran salah satu sisi segitiga sama kaki.

Cara mencari luas segitiga sama sisi

Segitiga sama sisi adalah segitiga yang semua sisinya sama panjang. Untuk menghitung luas segitiga sama sisi anda dapat menggunakan rumus berikut:
S = (√3*a*a)/4,
dimana a adalah panjang sisi segitiga sama sisi.

Rumus di atas akan memungkinkan Anda menghitung luas segitiga yang dibutuhkan. Penting untuk diingat bahwa untuk menghitung luas segitiga, Anda perlu mempertimbangkan jenis segitiga dan data yang tersedia yang dapat digunakan untuk perhitungannya.

Luas segitiga - rumus dan contoh pemecahan masalah

Di bawah ini adalah rumus mencari luas segitiga sembarang yang cocok untuk mencari luas segitiga apa pun, apa pun sifat, sudut, atau ukurannya. Rumus-rumus tersebut disajikan dalam bentuk gambar, disertai penjelasan penerapannya atau justifikasi kebenarannya. Korespondensi juga ditunjukkan pada gambar terpisah sebutan surat dalam rumus dan simbol grafik pada gambar.

Catatan . Jika segitiga mempunyai properti khusus(sama kaki, persegi panjang, sama sisi), Anda dapat menggunakan rumus di bawah ini, serta rumus khusus tambahan yang hanya berlaku untuk segitiga dengan sifat berikut:

• "Rumus luas segitiga sama sisi"

Rumus luas segitiga

Penjelasan untuk rumus:
a, b, c- panjang sisi segitiga yang luasnya ingin kita cari
R- jari-jari lingkaran pada segitiga
R- Jari-jari lingkaran yang dibatasi pada segitiga
H- tinggi segitiga diturunkan ke samping
P- setengah keliling segitiga, 1/2 jumlah sisi-sisinya (keliling)
α - sudut berhadapan dengan sisi a segitiga
β - sudut berhadapan dengan sisi b segitiga
γ - sudut berhadapan dengan sisi c segitiga
H A, H B , H C- tinggi segitiga diturunkan ke sisi a, b, c

Perlu diketahui notasi di atas sesuai dengan gambar di atas, sehingga pada saat penyelesaian masalah nyata dalam hal geometri, secara visual lebih mudah bagi Anda untuk menggantinya tempat yang tepat rumus adalah nilai yang benar.

• Luas segitiga tersebut adalah setengah hasil kali tinggi segitiga dan panjang sisi dimana tinggi tersebut diturunkan(Formula 1). Kebenaran rumus ini dapat dipahami secara logis. Ketinggian yang diturunkan ke alas akan membagi segitiga sembarang menjadi dua segitiga siku-siku. Jika masing-masing segitiga tersebut disusun menjadi persegi panjang berdimensi b dan h, maka jelas luas segitiga-segitiga tersebut akan sama dengan tepat setengah luas persegi panjang tersebut (Spr = bh)
• Luas segitiga tersebut adalah setengah hasil kali kedua sisinya dan sinus sudut di antara keduanya(Rumus 2) (lihat contoh penyelesaian masalah menggunakan rumus di bawah). Meski terkesan berbeda dengan sebelumnya, namun bisa dengan mudah diubah menjadi seperti itu. Jika kita turunkan tinggi dari sudut B ke sisi b, ternyata hasil kali sisi a dan sinus sudut γ, menurut sifat-sifat sinus pada segitiga siku-siku, sama dengan tinggi segitiga yang kita gambar. , yang memberi kita rumus sebelumnya
• Luas segitiga sembarang dapat dicari melalui bekerja setengah jari-jari lingkaran yang terdapat di dalamnya dengan jumlah panjang semua sisinya(Rumus 3), sederhananya, Anda perlu mengalikan setengah keliling segitiga dengan jari-jari lingkaran yang tertulis (ini lebih mudah diingat)
• Luas segitiga sembarang dapat dicari dengan membagi hasil kali semua sisinya dengan 4 jari-jari lingkaran yang dibatasi di sekitarnya (Rumus 4)
• Rumus 5 adalah mencari luas segitiga melalui panjang sisi-sisinya dan setengah kelilingnya (setengah jumlah seluruh sisinya)
• Rumus bangau(6) merupakan representasi rumus yang sama tanpa menggunakan konsep setengah keliling, hanya melalui panjang sisinya
• Luas segitiga sembarang sama dengan hasil kali kuadrat sisi segitiga dan sinus sudut-sudut yang berdekatan dengan sisi tersebut dibagi dengan sinus ganda dari sudut yang berhadapan dengan sisi tersebut (Rumus 7)
• Luas segitiga sembarang dapat dicari sebagai hasil kali dua persegi lingkaran yang dibatasi di sekelilingnya dengan sinus masing-masing sudutnya. (Rumus 8)
• Jika panjang salah satu sisi dan nilai dua sudut yang berdekatan diketahui, maka luas segitiga dapat dicari dengan membagi kuadrat sisi tersebut dengan jumlah ganda kotangen sudut-sudut tersebut (Rumus 9)
• Jika hanya diketahui panjang masing-masing tinggi segitiga (Rumus 10), maka luas segitiga tersebut berbanding terbalik dengan panjang tinggi tersebut, sesuai dengan Rumus Heron
• Formula 11 memungkinkan Anda menghitung luas segitiga berdasarkan koordinat titik-titik sudutnya, yang ditentukan sebagai nilai (x;y) untuk setiap simpul. Harap dicatat bahwa nilai yang dihasilkan harus diambil modulo, karena koordinat masing-masing (atau bahkan semua) simpul mungkin berada di wilayah nilai negatif

Catatan. Berikut ini adalah contoh penyelesaian soal geometri untuk mencari luas segitiga. Jika Anda perlu menyelesaikan masalah geometri yang tidak serupa di sini, tulislah di forum. Dalam solusi, alih-alih simbol "akar kuadrat", fungsi sqrt() dapat digunakan, di mana sqrt adalah simbol akar kuadrat, dan ekspresi radikal ditunjukkan dalam tanda kurung.Terkadang untuk yang sederhana ekspresi radikal simbol dapat digunakan √

Tugas. Temukan luas kedua sisi dan sudut di antara keduanya

Sisi-sisi segitiga tersebut adalah 5 dan 6 cm. Sudut antara keduanya adalah 60 derajat. Temukan luas segitiga.

Larutan.

Untuk mengatasi masalah ini, kami menggunakan rumus nomor dua dari bagian teori pelajaran.
Luas suatu segitiga dapat dicari melalui panjang kedua sisinya dan sinus sudut di antara keduanya dan akan sama dengan
S=1/2 ab sin γ

Karena kita memiliki semua data yang diperlukan untuk penyelesaiannya (sesuai rumus), kita hanya dapat mensubstitusikan nilai dari kondisi masalah ke dalam rumus:
S = 1/2*5*6*sin 60

Dalam tabel nilai fungsi trigonometri Mari kita cari dan substitusikan nilai sinus 60 derajat ke dalam ekspresi. Dia akan sama dengan akarnya dari tiga menjadi dua.
S = 15 √3 / 2

Menjawab: 7.5 √3 (tergantung pada kebutuhan guru, Anda mungkin dapat menyisakan 15 √3/2)

Tugas. Temukan luas segitiga sama sisi

Hitunglah luas segitiga sama sisi dengan panjang sisi 3 cm.

Solusi.

Luas segitiga dapat dicari dengan menggunakan rumus Heron:

S = 1/4 akar persegi((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Karena a = b = c, maka rumus luas segitiga sama sisi berbentuk:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Menjawab: 9 √3 / 4.

Tugas. Perubahan luas bila panjang sisinya diubah

Berapa kali luas segitiga bertambah jika sisi-sisinya diperbesar 4 kali?

Larutan.

Karena dimensi sisi-sisi segitiga tidak kita ketahui, untuk menyelesaikan soal kita asumsikan bahwa panjang sisi-sisinya masing-masing sama dengan bilangan sembarang a, b, c. Kemudian, untuk menjawab pertanyaan permasalahan tersebut, kita mencari luasnya segitiga yang diberikan, lalu cari luas segitiga yang sisi-sisinya empat kali lebih besar. Perbandingan luas segitiga-segitiga ini akan memberi kita jawaban atas soal tersebut.

Di bawah ini kami memberikan penjelasan tekstual tentang solusi masalah langkah demi langkah. Namun, pada akhirnya, solusi yang sama disajikan dalam bentuk grafis yang lebih nyaman. Bagi yang berminat bisa langsung mencari solusinya.

Untuk menyelesaikannya, kami menggunakan rumus Heron (lihat bagian teori pelajaran di atas). Ini terlihat seperti ini:

S = 1/4 akar persegi((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(lihat baris pertama gambar di bawah)

Panjang sisi-sisi segitiga sembarang ditentukan oleh variabel a, b, c.
Jika sisi-sisinya diperbesar 4 kali lipat, maka luas segitiga c yang baru adalah:

S 2 = 1/4 akar persegi((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(lihat baris kedua pada gambar di bawah)

Seperti yang Anda lihat, 4 - pengganda umum, yang dapat dikeluarkan dari tanda kurung dari keempat ekspresi menurut aturan umum matematika.
Kemudian

S 2 = 1/4 akar persegi(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - pada baris ketiga gambar
S 2 = 1/4 akar persegi(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - baris keempat

Akar kuadrat dari angka 256 sudah terekstraksi dengan sempurna, jadi mari kita keluarkan dari bawah akarnya
S 2 = 16 * 1/4 akar persegi((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 akar persegi((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(lihat baris kelima gambar di bawah)

Untuk menjawab pertanyaan yang diajukan pada soal, kita hanya perlu membagi luas segitiga yang dihasilkan dengan luas segitiga aslinya.
Mari kita tentukan perbandingan luas dengan membagi ekspresi satu sama lain dan mengurangi pecahan yang dihasilkan.

Segitiga merupakan sosok yang familiar bagi semua orang. Dan ini meskipun bentuknya sangat beragam. Persegi panjang, sama sisi, lancip, sama kaki, tumpul. Masing-masing berbeda dalam beberapa hal. Namun bagi siapa pun Anda perlu mencari luas segitiga.

Rumus umum untuk semua segitiga yang menggunakan panjang sisi atau tinggi

Sebutan yang diadopsi di dalamnya: sisi - a, b, c; ketinggian pada sisi-sisi yang bersesuaian pada a, n in, n dengan.

1. Luas segitiga dihitung sebagai hasil kali ½, sisi dan tinggi dikurangi. S = ½ * a * n a. Rumus untuk dua sisi lainnya harus ditulis dengan cara yang sama.

2. Rumus Heron yang memuat setengah keliling (biasanya dilambangkan dengan huruf kecil p, berbeda dengan keliling penuh). Cara menghitung luas setengah keliling adalah sebagai berikut: jumlahkan semua sisinya lalu bagi dengan 2. Rumus setengah kelilingnya adalah: p = (a+b+c) / 2. Maka persamaan luasnya ​gambarnya seperti ini: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Jika Anda tidak ingin menggunakan setengah keliling, maka rumus yang hanya berisi panjang sisinya akan berguna: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Ini sedikit lebih panjang dari yang sebelumnya, tetapi akan membantu jika Anda lupa cara mencari titik setengah keliling.

Rumus umum tentang sudut-sudut suatu segitiga

Notasi yang diperlukan untuk membaca rumus: α, β, γ - sudut. Mereka masing-masing terletak berhadapan pada sisi a, b, c.

1. Menurutnya, setengah hasil kali dua sisi dan sinus sudut di antara keduanya sama dengan luas segitiga. Yaitu: S = ½ a * b * sin γ. Rumus untuk dua kasus lainnya harus ditulis dengan cara yang sama.

2. Luas suatu segitiga dapat dihitung dengan menggunakan satu sisi dan tiga sisi sudut yang diketahui. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Ada juga rumus dengan satu pihak yang dikenal dan dua sudut yang berdekatan. Tampilannya seperti ini: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Dua rumus terakhir bukanlah yang paling sederhana. Cukup sulit untuk mengingatnya.

Rumus umum untuk situasi ketika jari-jari lingkaran bertulisan atau dibatasi diketahui

Sebutan tambahan: r, R - jari-jari. Yang pertama digunakan untuk jari-jari lingkaran yang tertulis. Yang kedua adalah untuk yang dijelaskan.

1. Rumus pertama yang digunakan untuk menghitung luas segitiga berkaitan dengan setengah keliling. S = r * r. Cara lain untuk menuliskannya adalah: S = ½ r * (a + b + c).

2. Dalam kasus kedua, Anda perlu mengalikan semua sisi segitiga dan membaginya dengan empat kali lipat jari-jari lingkaran yang dibatasi. DI DALAM ekspresi literal tampilannya seperti ini: S = (a*b*c)/(4R).

3. Situasi ketiga memungkinkan Anda melakukannya tanpa mengetahui sisi-sisinya, tetapi Anda memerlukan nilai ketiga sudut. S = 2 R 2 * dosa α * dosa β * dosa γ.

Kasus khusus: segitiga siku-siku

Ini yang paling banyak situasi sederhana, karena yang dibutuhkan hanyalah panjang kedua kakinya. Mereka dilambangkan dengan huruf Latin a dan b. Persegi segitiga siku-siku sama dengan setengah luas persegi panjang yang ditambahkan padanya.

Secara matematis terlihat seperti ini: S = ½ a * b. Ini adalah yang paling mudah untuk diingat. Karena seperti rumus luas persegi panjang, yang muncul hanyalah pecahan saja yang menandakan setengahnya.

Kasus khusus: segitiga sama kaki

Karena mempunyai dua sisi yang sama besar, beberapa rumus luasnya tampak disederhanakan. Misalnya rumus Heron untuk menghitung luas segitiga sama kaki berbentuk sebagai berikut:

S = ½ dalam √((a + ½ dalam)*(a - ½ dalam)).

Jika Anda mengubahnya, itu akan menjadi lebih pendek. Dalam hal ini rumus Heron untuk segitiga sama kaki ditulis sebagai berikut:

S = ¼ dalam √(4 * a 2 - b 2).

Rumus luasnya terlihat lebih sederhana daripada segitiga sembarang jika Anda mengetahuinya sisi dan sudut di antara keduanya. S = ½ a 2 * sin β.

Kasus khusus: segitiga sama sisi

Biasanya dalam permasalahan sisi mengenai hal tersebut diketahui atau dapat diketahui dengan cara tertentu. Maka rumus mencari luas segitiga tersebut adalah sebagai berikut:

S = (a 2 √3) / 4.

Soal mencari luas jika segitiga digambarkan pada kertas kotak-kotak

Situasi paling sederhana adalah ketika sebuah segitiga siku-siku digambar sehingga kaki-kakinya bertepatan dengan garis-garis kertas. Kemudian Anda hanya perlu menghitung jumlah sel yang muat di kaki-kaki tersebut. Kemudian kalikan dan bagi dua.

Jika segitiga lancip atau tumpul, maka segitiga tersebut harus digambar menjadi persegi panjang. Maka gambar yang dihasilkan akan memiliki 3 segitiga. Salah satunya adalah yang diberikan dalam soal. Dan dua lainnya berbentuk bantu dan persegi panjang. Luas dari dua area terakhir perlu ditentukan dengan menggunakan metode yang dijelaskan di atas. Kemudian hitung luas persegi panjang dan kurangi dari yang dihitung untuk bantu. Luas segitiga ditentukan.

Situasi di mana tidak ada sisi segitiga yang bertepatan dengan garis kertas ternyata jauh lebih rumit. Kemudian perlu dituliskan dalam persegi panjang sehingga simpul-simpul gambar aslinya terletak pada sisi-sisinya. Dalam hal ini, akan ada tiga segitiga siku-siku bantu.

Contoh soal menggunakan rumus Heron

Kondisi. Beberapa segitiga mempunyai sisi-sisi yang diketahui. Besarnya sama dengan 3, 5 dan 6 cm. Anda perlu mencari luasnya.

Sekarang Anda bisa menghitung luas segitiga menggunakan rumus di atas. Di bawah akar kuadrat terdapat hasil kali empat bilangan: 7, 4, 2 dan 1. Artinya, luasnya adalah √(4 * 14) = 2 √(14).

Jika akurasi yang lebih besar tidak diperlukan, maka Anda dapat mengambil akar kuadrat dari 14. Itu sama dengan 3,74. Maka luasnya menjadi 7,48.

Menjawab. S = 2 √14 cm 2 atau 7,48 cm 2.

Contoh soal segitiga siku-siku

Kondisi. Salah satu kaki segitiga siku-siku lebih besar 31 cm dari kaki kedua. Anda perlu mencari panjangnya jika luas segitiga tersebut 180 cm 2.
Larutan. Kita harus menyelesaikan sistem dua persamaan. Yang pertama terkait dengan wilayah. Yang kedua adalah dengan perbandingan kaki-kaki, yang diberikan dalam soal.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Pertama, nilai “a” harus disubstitusikan ke persamaan pertama. Ternyata: 180 = ½ (dalam + 31) * masuk. Ia hanya mempunyai satu besaran yang tidak diketahui, sehingga mudah untuk diselesaikan. Setelah membuka tanda kurung kita dapatkan persamaan kuadrat: in 2 + 31 in - 360 = 0. Memberikan dua nilai untuk "in": 9 dan - 40. Angka kedua tidak cocok sebagai jawaban, karena panjang sisi segitiga tidak boleh negatif nilai.

Tinggal menghitung bagian kedua: tambahkan 31 ke angka yang dihasilkan, Ternyata 40. Ini adalah besaran yang dicari dalam soal.

Menjawab. Kaki-kaki segitiga tersebut berukuran 9 dan 40 cm.

Soal mencari sisi melalui luas, sisi dan sudut suatu segitiga

Kondisi. Luas suatu segitiga tertentu adalah 60 cm2. Salah satu sisinya perlu dihitung jika sisi kedua 15 cm dan sudut antara keduanya 30º.

Larutan. Berdasarkan notasi yang diterima, sisi yang diinginkan “a”, sisi yang diketahui “b”, sudut yang ditentukan"γ". Maka rumus luasnya dapat ditulis ulang sebagai berikut:

60 = ½ a * 15 * dosa 30º. Di sini sinus 30 derajat adalah 0,5.

Setelah transformasi, “a” ternyata sama dengan 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Itu adalah 16.

Menjawab. Sisi yang dibutuhkan adalah 16 cm.

Soal tentang persegi yang terdapat pada segitiga siku-siku

Kondisi. Titik sudut persegi yang panjang sisinya 24 cm berimpit dengan sudut siku-siku segitiga. Dua lainnya terletak di samping. Yang ketiga milik sisi miring. Panjang salah satu kakinya adalah 42 cm. Berapakah luas segitiga siku-siku?

Larutan. Pertimbangkan dua segitiga siku-siku. Yang pertama adalah yang ditentukan dalam tugas. Yang kedua didasarkan pada kaki terkenal segitiga aslinya. Mereka serupa karena mereka punya sudut yang sama dan dibentuk oleh garis sejajar.

Maka perbandingan kaki mereka adalah sama. Kaki-kaki segitiga yang lebih kecil sama dengan 24 cm (sisi persegi) dan 18 cm (diberikan kaki 42 cm dikurangi sisi persegi 24 cm). Kaki-kaki segitiga besar yang bersesuaian adalah 42 cm dan x cm. “X” inilah yang diperlukan untuk menghitung luas segitiga.

18/42 = 24/x, yaitu x = 24 * 42/18 = 56 (cm).

Maka luasnya sama dengan hasil kali 56 dan 42 dibagi dua, yaitu 1176 cm 2.

Menjawab. Luas yang dibutuhkan adalah 1176 cm2.

Untuk menentukan luas segitiga dapat digunakan formula yang berbeda. Dari semua cara, cara yang paling mudah dan sering digunakan adalah dengan mengalikan tinggi dengan panjang alas lalu membagi hasilnya dengan dua. Namun metode ini jauh dari satu-satunya. Di bawah ini Anda dapat membaca cara mencari luas segitiga menggunakan berbagai rumus.

Secara terpisah, kita akan melihat cara menghitung luas jenis segitiga tertentu - persegi panjang, sama kaki, dan sama sisi. Kami menyertai setiap rumus dengan penjelasan singkat yang akan membantu Anda memahami esensinya.

Metode universal untuk mencari luas segitiga

Rumus dibawah ini menggunakan notasi khusus. Kami akan menguraikan masing-masingnya:

• a, b, c – panjang ketiga sisi gambar yang kita pertimbangkan;
• r adalah jari-jari lingkaran yang dapat dimasukkan ke dalam segitiga kita;
• R adalah jari-jari lingkaran yang dapat dibatasi di sekelilingnya;
• α adalah besar sudut yang dibentuk oleh sisi b dan c;
• β adalah besar sudut antara a dan c;
• γ adalah besar sudut yang dibentuk oleh sisi a dan b;
• h adalah tinggi segitiga kita, diturunkan dari sudut ke sisi a;
• p – setengah jumlah sisi a, b dan c.

Secara logis jelas mengapa Anda dapat mencari luas segitiga dengan cara ini. Segitiga dapat dengan mudah diselesaikan menjadi jajaran genjang, di mana salah satu sisi segitiga akan bertindak sebagai diagonal. Luas jajar genjang ditemukan dengan mengalikan panjang salah satu sisinya dengan nilai tinggi yang ditarik ke sana. Diagonal membagi jajaran genjang bersyarat ini menjadi 2 segitiga identik. Oleh karena itu, cukup jelas bahwa luas segitiga asal kita harus sama dengan setengah luas jajaran genjang bantu ini.

S=½ ab dosa γ

Menurut rumus ini, luas segitiga ditemukan dengan mengalikan panjang kedua sisinya, yaitu a dan b, dengan sinus sudut yang dibentuk oleh kedua sisinya. Rumus ini secara logis diturunkan dari rumus sebelumnya. Jika kita menurunkan tinggi dari sudut β ke sisi b, maka menurut sifat-sifat segitiga siku-siku, jika panjang sisi a dikalikan dengan sinus sudut γ, kita peroleh tinggi segitiga tersebut, yaitu h .

Luas bangun yang dimaksud dicari dengan mengalikan setengah jari-jari lingkaran yang dapat ditorehkan di dalamnya dengan kelilingnya. Dengan kata lain, kita mencari hasil kali setengah keliling dan jari-jari lingkaran tersebut.

S= abc/4R

Menurut rumus ini, nilai yang kita perlukan dapat dicari dengan membagi hasil kali sisi-sisi suatu bangun dengan 4 jari-jari lingkaran yang mengelilinginya.

Rumus ini bersifat universal, karena memungkinkan untuk menentukan luas segitiga apa pun (skala, sama kaki, sama sisi, persegi panjang). Ini juga dapat dilakukan dengan menggunakan lebih banyak perhitungan yang rumit, yang tidak akan kita bahas secara detail.

Luas segitiga yang mempunyai sifat tertentu

Bagaimana cara mencari luas segitiga siku-siku? Keunikan dari gambar ini adalah kedua sisinya sekaligus tingginya. Jika a dan b adalah kaki-kaki, dan c menjadi sisi miring, maka kita mencari luasnya seperti ini:

Bagaimana cara mencari luas segitiga sama kaki? Ia mempunyai dua sisi dengan panjang a dan satu sisi dengan panjang b. Oleh karena itu, luasnya dapat ditentukan dengan membagi 2 hasil kali kuadrat sisi a dengan sinus sudut γ.

Bagaimana cara mencari luas segitiga sama sisi? Di dalamnya, panjang semua sisinya sama dengan a, dan besar semua sudutnya adalah α. Tingginya sama dengan setengah hasil kali panjang sisi a dan akar kuadrat dari 3. Untuk mencari luasnya segitiga beraturan, kamu perlu mengalikan kuadrat sisi a dengan akar kuadrat dari 3 dan membaginya dengan 4.