Akar 3540 25. Cara mencari akar kuadrat suatu bilangan dengan tangan. Mengekstraksi akar dari bilangan pecahan

Tak jarang saat menyelesaikan masalah kita menjumpai angka besar, dari mana perlu untuk mengekstrak Akar pangkat dua. Banyak siswa memutuskan bahwa ini adalah kesalahan dan mulai menyelesaikan kembali keseluruhan contoh. Dalam situasi apa pun Anda tidak boleh melakukan ini! Ada dua alasan untuk ini:

1. Akar yang berjumlah besar memang muncul dalam permasalahan. Terutama dalam bentuk teks;
2. Ada algoritma dimana akar-akar ini dihitung hampir secara lisan.

Kami akan mempertimbangkan algoritma ini hari ini. Mungkin beberapa hal tampak tidak dapat Anda pahami. Namun jika kalian memperhatikan pelajaran ini, kalian akan mendapatkan senjata ampuh untuk melawannya akar kuadrat .

Jadi, algoritmanya:

1. Batasi akar yang diperlukan di atas dan di bawah ke angka yang merupakan kelipatan 10. Jadi, kami akan mengurangi rentang pencarian menjadi 10 angka;
2. Dari 10 angka tersebut, singkirkan angka-angka yang pasti tidak bisa menjadi akar. Hasilnya, 1-2 angka akan tersisa;
3. Kuadratkan 1-2 angka ini. Yang kuadratnya sama dengan bilangan asli akan menjadi akarnya.

Sebelum mempraktikkan algoritme ini, mari kita lihat setiap langkahnya.

Batasan akar

Pertama-tama, kita perlu mencari tahu di antara angka mana akar kita berada. Sangat diharapkan bahwa angka-angka tersebut merupakan kelipatan sepuluh:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Kami mendapatkan serangkaian angka:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Apa yang disampaikan angka-angka ini kepada kita? Sederhana saja: kita mendapat batasan. Ambil contoh, angka 1296. Letaknya antara 900 dan 1600. Oleh karena itu, akarnya tidak boleh kurang dari 30 dan lebih besar dari 40:

[Keterangan untuk gambar]

Hal yang sama berlaku untuk bilangan lain yang dapat digunakan untuk mencari akar kuadrat. Misalnya, 3364:

[Keterangan untuk gambar]

Jadi, alih-alih angka yang tidak dapat dipahami, kita mendapatkan rentang yang sangat spesifik di mana akar aslinya berada. Untuk lebih mempersempit area pencarian, lanjutkan ke langkah kedua.

Menghilangkan angka-angka yang jelas-jelas tidak perlu

Jadi, kita punya 10 angka - calon akar. Kami mendapatkannya dengan sangat cepat, tanpa pemikiran rumit dan perkalian dalam satu kolom. Saatnya untuk melanjutkan.

Percaya atau tidak, kini kami akan mengurangi jumlah calon menjadi dua - dan lagi-lagi tanpa satu pun perhitungan yang rumit! Cukup mengetahui aturan khusus. Ini dia:

Digit terakhir persegi hanya bergantung pada digit terakhir nomor asli.

Dengan kata lain, lihat saja angka terakhir persegi - dan kita akan segera memahami di mana nomor aslinya berakhir.

Hanya ada 10 digit yang bisa menempati posisi terakhir. Mari kita coba mencari tahu apa jadinya jika dikuadratkan. Lihatlah tabel:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Tabel ini merupakan langkah lain dalam menghitung akar. Seperti yang Anda lihat, angka-angka di baris kedua ternyata simetris terhadap lima. Misalnya:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Seperti yang Anda lihat, digit terakhir sama di kedua kasus. Artinya, misalnya akar 3364 harus diakhiri dengan 2 atau 8. Sebaliknya, kita ingat batasan dari paragraf sebelumnya. Kita mendapatkan:

[Keterangan untuk gambar]

Kotak merah menandakan bahwa kita belum mengetahui angka tersebut. Namun akarnya terletak pada kisaran 50 hingga 60, yang di dalamnya hanya ada dua angka yang berakhiran 2 dan 8:

[Keterangan untuk gambar]

Itu saja! Dari semua akar yang mungkin, kami hanya menyisakan dua pilihan! Dan ini adalah kasus yang paling sulit, karena angka terakhirnya bisa 5 atau 0. Dan hanya akan ada satu calon akar!

Perhitungan akhir

Jadi, kita tinggal 2 nomor calon lagi. Bagaimana cara mengetahui yang mana yang menjadi akarnya? Jawabannya jelas: kuadratkan kedua bilangan tersebut. Yang dikuadratkan memberikan bilangan asli akan menjadi akarnya.

Misalnya, untuk bilangan 3364 kita menemukan dua calon bilangan: 52 dan 58. Mari kita kuadratkan keduanya:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Itu saja! Ternyata akarnya adalah 58! Pada saat yang sama, untuk menyederhanakan perhitungan, saya menggunakan rumus kuadrat jumlah dan selisih. Berkat ini, saya bahkan tidak perlu mengalikan angka-angka tersebut ke dalam kolom! Ini adalah tingkat pengoptimalan penghitungan yang lain, tetapi tentu saja ini sepenuhnya opsional :)

Contoh menghitung akar

Teorinya tentu saja bagus. Tapi mari kita periksa dalam praktiknya.

[Keterangan untuk gambar]

Pertama, mari kita cari tahu di antara angka mana letak angka 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Sekarang mari kita lihat angka terakhir. Sama dengan 6. Kapan hal ini terjadi? Hanya jika akarnya berakhiran 4 atau 6. Kita mendapatkan dua angka:

Yang tersisa hanyalah mengkuadratkan setiap angka dan membandingkannya dengan aslinya:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Besar! Kotak pertama ternyata sama dengan bilangan aslinya. Jadi inilah akarnya.

Tugas. Hitung akar kuadrat:

[Keterangan untuk gambar]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Mari kita lihat digit terakhir:

1369 → 9;
33; 37.

Kuadratkan:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Inilah jawabannya: 37.

Tugas. Hitung akar kuadrat:

[Keterangan untuk gambar]

Kami membatasi jumlahnya:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Mari kita lihat digit terakhir:

2704 → 4;
52; 58.

Kuadratkan:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Kami mendapat jawabannya: 52. Angka kedua tidak perlu lagi dikuadratkan.

Tugas. Hitung akar kuadrat:

[Keterangan untuk gambar]

Kami membatasi jumlahnya:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Mari kita lihat digit terakhir:

4225 → 5;
65.

Seperti yang Anda lihat, setelah langkah kedua hanya ada satu pilihan tersisa: 65. Ini adalah root yang diinginkan. Tapi mari kita tetap menyelesaikannya dan memeriksa:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Semuanya benar. Kami menuliskan jawabannya.

Kesimpulan

Sayangnya, tidak lebih baik. Mari kita lihat alasannya. Ada dua di antaranya:

• Dalam setiap ujian matematika biasa, baik itu Ujian Negara maupun Ujian Negara Terpadu, penggunaan kalkulator dilarang. Dan jika Anda membawa kalkulator ke dalam kelas, Anda dapat dengan mudah dikeluarkan dari ujian.
• Jangan seperti orang Amerika yang bodoh. Yang bukan hanya akar - mereka adalah dua bilangan prima Mereka tidak bisa melipatnya. Dan ketika mereka melihat pecahan, mereka biasanya menjadi histeris.

Sebelum adanya kalkulator, siswa dan guru menghitung akar kuadrat dengan tangan. Ada beberapa cara untuk menghitung akar kuadrat suatu bilangan secara manual. Beberapa dari mereka hanya menawarkan solusi perkiraan, yang lain memberikan jawaban yang tepat.

Langkah

Faktorisasi prima

Faktorkan bilangan radikal menjadi faktor-faktor yang merupakan bilangan kuadrat. Bergantung pada bilangan radikalnya, Anda akan mendapatkan jawaban perkiraan atau eksak. Bilangan kuadrat adalah bilangan yang dapat diambil seluruh akar kuadratnya. Faktor adalah bilangan yang bila dikalikan akan menghasilkan bilangan aslinya. Misalnya faktor bilangan 8 adalah 2 dan 4, karena 2 x 4 = 8, maka bilangan 25, 36, 49 adalah bilangan kuadrat, karena √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Faktor kuadrat adalah faktor yang merupakan bilangan kuadrat. Pertama, cobalah memfaktorkan bilangan radikal menjadi faktor kuadrat.

• Misalnya, hitung akar kuadrat dari 400 (dengan tangan). Pertama-tama cobalah memfaktorkan 400 menjadi faktor kuadrat. 400 adalah kelipatan 100, yaitu habis dibagi 25 - ini adalah bilangan kuadrat. Membagi 400 dengan 25 menghasilkan 16. Angka 16 juga merupakan bilangan kuadrat. Jadi, 400 dapat difaktorkan menjadi faktor kuadrat dari 25 dan 16, yaitu 25 x 16 = 400.
• Dapat ditulis sebagai berikut: √400 = √(25 x 16).

1. Akar kuadrat dari hasil kali beberapa suku sama dengan produknya akar kuadrat setiap suku, yaitu √(a x b) = √a x √b. Gunakan aturan ini untuk mengambil akar kuadrat dari setiap faktor kuadrat dan mengalikan hasilnya untuk menemukan jawabannya.

   • Dalam contoh kita, ambil akar dari 25 dan 16.
     • √(25x16)
     • √25x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Jika bilangan radikal tidak terurai menjadi dua faktor kuadrat(dan ini terjadi pada banyak kasus), Anda tidak akan dapat menemukan jawaban pasti dalam bentuk bilangan bulat. Namun Anda dapat menyederhanakan soal dengan menguraikan bilangan radikal menjadi faktor kuadrat dan faktor biasa (bilangan yang tidak dapat diambil seluruh akar kuadratnya). Kemudian Anda akan mengambil akar kuadrat dari faktor kuadrat dan mengambil akar dari faktor persekutuannya.

   • Misalnya, hitung akar kuadrat dari angka 147. Angka 147 tidak dapat difaktorkan menjadi dua faktor kuadrat, tetapi dapat difaktorkan menjadi faktor berikut: 49 dan 3. Selesaikan soal sebagai berikut:
     • = √(49 x 3)
     • = √49x √3
     • = 7√3

3. Jika perlu, perkirakan nilai akarnya. Sekarang Anda dapat memperkirakan nilai akar (mencari nilai perkiraan) dengan membandingkannya dengan nilai akar-akar bilangan kuadrat yang paling dekat (di kedua sisi garis bilangan) dengan bilangan radikal. Anda akan menerima nilai akar sebagai pecahan desimal, yang harus dikalikan dengan angka di belakang tanda akar.

   • Mari kita kembali ke contoh kita. Bilangan radikalnya adalah 3. Bilangan kuadrat yang paling dekat dengannya adalah bilangan 1 (√1 = 1) dan 4 (√4 = 2). Jadi, nilai √3 terletak di antara 1 dan 2. Karena nilai √3 kemungkinan lebih dekat ke 2 daripada ke 1, perkiraan kita adalah: √3 = 1,7. Nilai ini kita kalikan dengan angka pada tanda akar: 7 x 1,7 = 11,9. Jika Anda menghitungnya dengan kalkulator, Anda akan mendapatkan 12,13, yang hampir mendekati jawaban kami.
     • Cara ini juga bisa digunakan pada jumlah yang besar. Misalnya, pertimbangkan √35. Bilangan radikalnya adalah 35. Bilangan kuadrat terdekatnya adalah bilangan 25 (√25 = 5) dan 36 (√36 = 6). Jadi, nilai √35 terletak di antara 5 dan 6. Karena nilai √35 jauh lebih dekat ke 6 dibandingkan ke 5 (karena 35 hanya 1 kurang dari 36), kita dapat mengatakan bahwa √35 sedikit lebih kecil dari 6 . Periksa kalkulator memberi kita jawaban 5,92 - kami benar.

4. Cara lainnya adalah dengan memfaktorkan bilangan radikal menjadi faktor prima. Faktor prima adalah bilangan yang hanya habis dibagi 1 dan bilangan itu sendiri. Tuliskan faktor prima dalam suatu deret dan temukan pasangan faktor yang identik. Faktor-faktor tersebut dapat dikeluarkan dari tanda akarnya.

   • Misalnya, hitung akar kuadrat dari 45. Kita faktorkan bilangan radikal tersebut menjadi faktor prima: 45 = 9 x 5, dan 9 = 3 x 3. Jadi, √45 = √(3 x 3 x 5). 3 dapat diambil sebagai tanda akar: √45 = 3√5. Sekarang kita dapat memperkirakan √5.
   • Mari kita lihat contoh lainnya: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Anda menerima tiga pengganda 2; ambil beberapa di antaranya dan pindahkan melampaui tanda akar.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Sekarang Anda dapat mengevaluasi √2 dan √11 dan menemukan perkiraan jawabannya.

   Menghitung akar kuadrat secara manual

   Menggunakan pembagian panjang

   1. Metode ini melibatkan proses yang mirip dengan pembagian panjang dan memberikan jawaban yang akurat. Pertama, gambar garis vertikal yang membagi lembaran menjadi dua bagian, lalu ke kanan dan sedikit di bawah tepi atas lembaran untuk garis vertikal menggambar garis horizontal. Sekarang bagilah bilangan radikal menjadi pasangan-pasangan bilangan, dimulai dengan bagian pecahan setelah koma. Jadi angka 79520789182.47897 ditulis "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Misalnya, mari kita hitung akar kuadrat dari angka 780,14. Gambarlah dua garis (seperti yang ditunjukkan pada gambar) dan tuliskan angka yang diberikan dalam bentuk “7 80, 14” di kiri atas. Wajar jika digit pertama dari kiri merupakan digit tidak berpasangan. Jawaban (akar dari nomor yang diberikan) Anda akan menulis di kanan atas.

   2. Untuk pasangan bilangan (atau bilangan tunggal) pertama dari kiri, carilah n bilangan bulat terbesar yang kuadratnya kurang dari atau sama dengan pasangan bilangan (atau bilangan tunggal) yang dimaksud. Dengan kata lain, carilah bilangan kuadrat yang paling dekat, namun lebih kecil dari, pasangan bilangan pertama (atau bilangan tunggal) dari kiri, dan ambil akar kuadrat dari bilangan tersebut. nomor persegi; Anda akan mendapatkan nomor n. Tulis n yang Anda temukan di kanan atas, dan tuliskan kuadrat n di kanan bawah.

      • Dalam kasus kita, angka pertama di sebelah kiri adalah angka 7. Selanjutnya, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Kurangi kuadrat bilangan n yang baru saja Anda temukan dari pasangan bilangan pertama (atau bilangan tunggal) di sebelah kiri. Tuliskan hasil perhitungannya di bawah tanda pengurang (kuadrat dari bilangan n).

      • Dalam contoh kita, kurangi 4 dari 7 dan dapatkan 3.

   4. Catat pasangan angka kedua dan tuliskan di sebelah nilai yang diperoleh pada langkah sebelumnya. Kemudian gandakan angka di kanan atas dan tuliskan hasilnya di kanan bawah dengan tambahan "_×_=".

      • Dalam contoh kita, pasangan angka kedua adalah "80". Tulis "80" setelah 3. Kemudian, gandakan angka di kanan atas menjadi 4. Tulis "4_×_=" di kanan bawah.

   5. Isilah bagian yang kosong di sebelah kanan.

      • Dalam kasus kita, jika kita menggunakan angka 8 sebagai pengganti tanda hubung, maka 48 x 8 = 384, yang berarti lebih dari 380. Oleh karena itu, 8 adalah angka yang terlalu besar, tetapi 7 sudah cukup. Tulis 7 sebagai pengganti tanda hubung dan dapatkan: 47 x 7 = 329. Tulis 7 di kanan atas - ini adalah digit kedua dari akar kuadrat yang diinginkan dari angka 780,14.

   6. Kurangi angka yang dihasilkan dari angka saat ini di sebelah kiri. Tuliskan hasil langkah sebelumnya di bawah angka saat ini di sebelah kiri, cari selisihnya dan tuliskan di bawah tanda pengurang.

      • Dalam contoh kita, kurangi 329 dari 380, sehingga hasilnya adalah 51.

   7. Ulangi langkah 4. Jika pasangan bilangan yang dipindahkan merupakan bagian pecahan dari bilangan aslinya, maka berilah tanda pemisah (koma) antara bagian bilangan bulat dan pecahan pada akar kuadrat yang diperlukan di kanan atas. Di sebelah kiri, turunkan pasangan angka berikutnya. Gandakan angka di kanan atas dan tulis hasilnya di kanan bawah dengan tambahan "_×_=".

      • Dalam contoh kita, pasangan angka berikutnya yang akan dihilangkan adalah bagian pecahan dari angka 780.14, jadi tempatkan pemisah bagian bilangan bulat dan pecahan pada akar kuadrat yang diinginkan di kanan atas. Catat 14 dan tulis di kiri bawah. Gandakan angka di kanan atas (27) adalah 54, jadi tulislah "54_×_=" di kanan bawah.

   8. Ulangi langkah 5 dan 6. Temukan satu jumlah terbesar sebagai ganti tanda hubung di sebelah kanan (sebagai pengganti tanda hubung, Anda harus mengganti angka yang sama) sehingga hasil perkaliannya kurang dari atau sama dengan angka saat ini di sebelah kiri.

      • Dalam contoh kita, 549 x 9 = 4941, yang lebih kecil dari angka di sebelah kiri saat ini (5114). Tuliskan 9 di kanan atas dan kurangi hasil perkaliannya dengan angka di sebelah kiri saat ini: 5114 - 4941 = 173.

   9. Jika Anda perlu mencari lebih banyak tempat desimal untuk akar kuadrat, tulis beberapa angka nol di sebelah kiri angka saat ini dan ulangi langkah 4, 5, dan 6. Ulangi langkah tersebut hingga Anda mendapatkan jawaban yang presisi (jumlah tempat desimal) Anda membutuhkan.

   Memahami Prosesnya

   Untuk asimilasi metode ini pikirkan bilangan yang akar kuadratnya ingin Anda cari sebagai luas persegi S. Dalam hal ini, Anda akan mencari panjang sisi L dari persegi tersebut. Kita hitung nilai L sehingga L² = S.

   Berikan huruf untuk setiap nomor pada jawaban. Mari kita nyatakan dengan A digit pertama dari nilai L (akar kuadrat yang diinginkan). B akan menjadi digit kedua, C akan menjadi digit ketiga, dan seterusnya.

   Tentukan huruf untuk setiap pasangan digit pertama. Mari kita nyatakan dengan S a pasangan digit pertama dari nilai S, dengan S b pasangan digit kedua, dan seterusnya.

   Pahami hubungan antara metode ini dan pembagian panjang. Sama seperti dalam operasi pembagian, dimana kita hanya tertarik pada digit berikutnya dari bilangan yang kita bagi setiap kali, saat menghitung akar kuadrat, kita mengerjakan sepasang digit secara berurutan (untuk mendapatkan satu digit berikutnya dalam kuadrat). nilai akar).

   1. Perhatikan pasangan digit pertama Sa dari bilangan S (Sa = 7 dalam contoh kita) dan temukan akar kuadratnya. Dalam hal ini, digit pertama A dari nilai akar kuadrat yang diinginkan adalah digit yang kuadratnya kurang dari atau sama dengan S a (yaitu, kita mencari A sedemikian sehingga pertidaksamaan A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Katakanlah kita perlu membagi 88962 dengan 7; di sini langkah pertamanya akan serupa: kita perhatikan angka pertama dari bilangan habis dibagi 88962 (8) dan pilih bilangan terbesar yang jika dikalikan 7 akan menghasilkan nilai kurang dari atau sama dengan 8. Artinya, kita mencari bilangan d yang pertidaksamaannya benar: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Bayangkan secara mental sebuah persegi yang luasnya perlu Anda hitung. Carilah L yaitu panjang sisi persegi yang luasnya S. A, B, C adalah bilangan-bilangan pada bilangan L. Anda dapat menuliskannya secara berbeda: 10A + B = L (untuk angka dua digit) atau 100A + 10V + C = L (untuk nomor tiga digit) dan seterusnya.

      • Membiarkan (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Ingatlah bahwa 10A+B adalah bilangan yang angka B melambangkan satuan dan angka A melambangkan puluhan. Misalnya A=1 dan B=2, maka 10A+B sama dengan angka 12. (10A+B)² adalah luas seluruh persegi, 100A²- luas alun-alun dalam yang besar, B²- luas persegi kecil bagian dalam, 10A×B- luas masing-masing dua persegi panjang. Dengan menjumlahkan luas bangun-bangun yang dijelaskan, Anda akan menemukan luas persegi aslinya.

Saatnya untuk menyelesaikannya metode ekstraksi akar. Mereka didasarkan pada sifat-sifat akar, khususnya pada persamaan, yang berlaku untuk semua angka negatif B.

Di bawah ini kita akan melihat metode utama mengekstraksi akar satu per satu.

Mari kita mulai dengan kasus paling sederhana - mengekstrak akar dari bilangan asli menggunakan tabel kuadrat, tabel kubus, dll.

Jika tabel persegi, kubus, dll. Jika Anda tidak memilikinya, masuk akal untuk menggunakan metode mengekstraksi akar, yang melibatkan penguraian bilangan radikal menjadi faktor prima.

Perlu disebutkan secara khusus apa yang mungkin terjadi pada akar-akar dengan eksponen ganjil.

Terakhir, mari kita pertimbangkan metode yang memungkinkan kita menemukan digit nilai akar secara berurutan.

Mari kita mulai.

Menggunakan tabel persegi, tabel kubus, dll.

Paling banyak kasus sederhana Tabel persegi, kubus, dll. memungkinkan Anda mengekstrak akar. Apa saja tabel-tabel ini?

Tabel kuadrat bilangan bulat dari 0 hingga 99 inklusif (ditunjukkan di bawah) terdiri dari dua zona. Zona pertama tabel terletak pada latar belakang abu-abu; dengan memilih baris tertentu dan kolom tertentu, ini memungkinkan Anda membuat angka dari 0 hingga 99. Misalnya kita pilih baris 8 puluhan dan kolom 3 satuan, dengan ini kita tetapkan angka 83. Zona kedua menempati sisa tabel. Setiap sel terletak di perpotongan baris tertentu dan kolom tertentu, dan berisi kuadrat angka yang sesuai dari 0 hingga 99. Di perpotongan baris 8 puluhan yang kita pilih dan kolom 3 satuan terdapat sel dengan angka 6.889, yang merupakan kuadrat dari angka 83.

Tabel kubus, tabel pangkat empat angka dari 0 sampai 99, dan seterusnya mirip dengan tabel kuadrat, hanya saja memuat kubus, pangkat empat, dan seterusnya pada zona kedua. nomor yang sesuai.

Tabel kuadrat, kubus, pangkat empat, dll. memungkinkan Anda mengekstrak akar kuadrat, akar kubus, akar keempat, dll. sesuai dengan angka-angka dalam tabel ini. Mari kita jelaskan prinsip penggunaannya saat mengekstraksi akar.

Katakanlah kita perlu mengekstrak akar ke-n dari bilangan a, sedangkan bilangan a terdapat dalam tabel pangkat ke-n. Dengan menggunakan tabel ini kita menemukan bilangan b sedemikian rupa sehingga a=b n. Kemudian , oleh karena itu, bilangan b akan menjadi akar derajat ke-n yang diinginkan.

Sebagai contoh, mari kita tunjukkan cara menggunakan tabel pangkat tiga untuk mengekstrak akar pangkat tiga dari 19,683. Kita menemukan bilangan 19.683 pada tabel kubus, dari situ kita mengetahui bahwa bilangan tersebut adalah pangkat tiga dari bilangan 27, oleh karena itu, .

Jelas bahwa tabel pangkat ke-n sangat berguna untuk mengekstraksi akar. Namun, sering kali dokumen tersebut tidak tersedia dan memerlukan waktu untuk menyusunnya. Selain itu, seringkali perlu untuk mengekstrak akar dari angka-angka yang tidak terdapat dalam tabel terkait. Dalam kasus ini, Anda harus menggunakan metode ekstraksi akar lainnya.

Memfaktorkan suatu bilangan radikal menjadi faktor prima

Cara yang cukup mudah untuk mengekstrak akar suatu bilangan asli (jika, tentu saja, akarnya diekstraksi) adalah dengan menguraikan bilangan radikal menjadi faktor prima. Miliknya intinya adalah ini: setelah itu cukup mudah untuk merepresentasikannya sebagai pangkat dengan eksponen yang diinginkan, yang memungkinkan Anda memperoleh nilai root. Mari kita perjelas hal ini.

Misalkan akar ke-n dari bilangan asli a diambil dan nilainya sama dengan b. Dalam hal ini, persamaan a=b n benar. Nomor b seperti apa pun bilangan asli dapat direpresentasikan sebagai hasil kali semua faktor prima p 1 , p 2 , …, p m dalam bentuk p 1 · p 2 · … · p m , dan bilangan radikal a dalam hal ini direpresentasikan sebagai (p 1 · p 2 · … · sore) n. Karena penguraian suatu bilangan menjadi faktor prima bersifat unik, maka penguraian bilangan radikal a menjadi faktor prima akan berbentuk (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, yang memungkinkan untuk menghitung nilai akar sebagai.

Perhatikan bahwa jika penguraian menjadi faktor prima suatu bilangan radikal a tidak dapat direpresentasikan dalam bentuk (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, maka akar ke-n dari bilangan a tersebut tidak terekstraksi seluruhnya.

Mari kita cari tahu saat memecahkan contoh.

Contoh.

Ambil akar kuadrat dari 144.

Larutan.

Jika Anda melihat tabel kuadrat yang diberikan pada paragraf sebelumnya, Anda dapat melihat dengan jelas bahwa 144 = 12 2, yang menunjukkan bahwa akar kuadrat dari 144 sama dengan 12.

Namun mengingat hal ini, kami tertarik pada bagaimana akar diekstraksi dengan menguraikan bilangan radikal 144 menjadi faktor prima. Mari kita lihat solusi ini.

Mari kita terurai 144 ke faktor prima:

Artinya, 144=2·2·2·2·3·3. Berdasarkan penguraian yang dihasilkan, dapat dilakukan transformasi sebagai berikut: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Karena itu, .

Dengan menggunakan sifat-sifat derajat dan sifat-sifat akar, penyelesaiannya dapat dirumuskan sedikit berbeda: .

Menjawab:

Untuk mengkonsolidasikan materi, pertimbangkan solusi dari dua contoh lagi.

Contoh.

Hitung nilai akarnya.

Larutan.

Faktorisasi prima dari bilangan radikal 243 berbentuk 243=3 5 . Dengan demikian, .

Menjawab:

Contoh.

Apakah nilai root merupakan bilangan bulat?

Larutan.

Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita faktorkan bilangan radikal menjadi faktor prima dan lihat apakah bilangan tersebut dapat direpresentasikan sebagai pangkat tiga dari bilangan bulat.

Kita punya 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Perluasan yang dihasilkan tidak direpresentasikan sebagai kubus bilangan bulat, karena derajatnya faktor utama 7 bukan kelipatan tiga. Oleh karena itu, akar pangkat tiga dari 285.768 tidak dapat diekstraksi seluruhnya.

Menjawab:

TIDAK.

Mengekstraksi akar dari bilangan pecahan

Saatnya mencari cara untuk mengekstrak root bilangan pecahan. Biarkan bilangan radikal pecahan ditulis sebagai p/q. Berdasarkan sifat akar suatu hasil bagi, persamaan berikut ini benar. Dari sini kesetaraan muncul aturan untuk mengekstrak akar pecahan: Akar suatu pecahan sama dengan hasil bagi akar pembilangnya dibagi akar penyebutnya.

Mari kita lihat contoh mengekstraksi akar dari pecahan.

Contoh.

Apa akar kuadrat dari pecahan biasa 25/169 .

Larutan.

Dengan menggunakan tabel kuadrat, kita menemukan bahwa akar kuadrat dari pembilang pecahan asal adalah 5, dan akar kuadrat dari penyebutnya adalah 13. Kemudian . Ini menyelesaikan ekstraksi akar pecahan biasa 25/169.

Menjawab:

Akar pecahan desimal atau bilangan campuran diekstraksi setelah mengganti bilangan radikal dengan pecahan biasa.

Contoh.

Ambil akar pangkat tiga dari pecahan desimal 474.552.

Larutan.

Mari kita bayangkan aslinya desimal sebagai pecahan biasa: 474.552=474552/1000. Kemudian . Tetap mengekstrak akar pangkat tiga yang ada di pembilang dan penyebut pecahan yang dihasilkan. Karena 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 dan 1 000 = 10 3, maka Dan . Yang tersisa hanyalah menyelesaikan perhitungan .

Menjawab:

.

Mengambil akar dari bilangan negatif

Penting untuk memikirkan mengekstraksi akar dari bilangan negatif. Saat mempelajari akar, kita mengatakan bahwa jika eksponen akar adalah bilangan ganjil, maka terdapat bilangan negatif di bawah tanda akar. Kami memberi arti berikut pada entri ini: untuk bilangan negatif −a dan eksponen ganjil dari akar 2 n−1, . Kesetaraan ini memberi aturan untuk mengekstrak akar ganjil dari bilangan negatif: untuk mengekstrak akar bilangan negatif, Anda perlu mengambil akar bilangan positif yang berlawanan, dan memberi tanda minus di depan hasilnya.

Mari kita lihat contoh solusinya.

Contoh.

Temukan nilai akarnya.

Larutan.

Mari kita ubah ekspresi aslinya sehingga ada bilangan positif di bawah tanda akar: . Sekarang nomor campuran gantikan dengan pecahan biasa: . Kami menerapkan aturan untuk mengekstraksi akar pecahan biasa: . Tetap menghitung akar-akar pembilang dan penyebut pecahan yang dihasilkan: .

Mari kita memberi catatan pendek solusi: .

Menjawab:

.

Penentuan nilai akar secara bitwise

Dalam kasus umum, di bawah akar terdapat bilangan yang, dengan menggunakan teknik yang dibahas di atas, tidak dapat direpresentasikan sebagai pangkat ke-n dari bilangan apa pun. Namun pada saat yang sama ada kebutuhan untuk mengetahui maknanya akar yang diberikan, setidaknya sampai tanda tertentu. Dalam hal ini, untuk mengekstrak root, Anda dapat menggunakan algoritme yang memungkinkan Anda memperoleh jumlah nilai digit yang cukup dari angka yang diinginkan secara berurutan.

Pada langkah pertama dari algoritma ini Anda perlu mencari tahu bagian paling signifikan dari nilai root. Caranya, bilangan 0, 10, 100, ... dipangkatkan n secara berurutan hingga diperoleh suatu bilangan yang melebihi bilangan radikal. Kemudian angka yang kita pangkatkan n pada tahap sebelumnya akan menunjukkan angka paling signifikan yang sesuai.

Misalnya, pertimbangkan langkah algoritme ini saat mengekstraksi akar kuadrat dari lima. Ambil angka 0, 10, 100, ... dan kuadratkan hingga diperoleh angka yang lebih besar dari 5. Kita punya 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, artinya angka yang paling berarti adalah angka satuan. Nilai bit ini, serta bit yang lebih rendah, akan ditemukan pada langkah selanjutnya dari algoritma ekstraksi akar.

Semua langkah algoritme berikut ditujukan untuk memperjelas nilai akar secara berurutan dengan mencari nilai bit berikutnya dari nilai akar yang diinginkan, dimulai dari yang tertinggi dan berpindah ke yang terendah. Misalnya nilai akar pada langkah pertama ternyata 2, pada langkah kedua – 2.2, pada langkah ketiga – 2.23, dan seterusnya 2.236067977…. Mari kita jelaskan bagaimana nilai-nilai digit ditemukan.

Digit-digit tersebut ditemukan dengan mencari kemungkinan nilai 0, 1, 2, ..., 9. Dalam hal ini, pangkat ke-n dari bilangan-bilangan yang bersesuaian dihitung secara paralel, dan dibandingkan dengan bilangan radikal. Jika pada tahap tertentu nilai derajat melebihi bilangan radikal, maka nilai angka yang sesuai dengan nilai sebelumnya dianggap ditemukan, dan dilakukan transisi ke langkah berikutnya algoritma untuk mengekstrak root, tetapi jika ini tidak terjadi, maka nilai bit ini adalah 9.

Mari kita jelaskan poin-poin ini menggunakan contoh yang sama dalam mengekstraksi akar kuadrat dari lima.

Pertama kita cari nilai digit satuannya. Kita akan menelusuri nilai 0, 1, 2, ..., 9, masing-masing menghitung 0 2, 1 2, ..., 9 2 hingga kita mendapatkan nilai yang lebih besar dari bilangan radikal 5. Semua perhitungan ini akan lebih mudah disajikan dalam bentuk tabel:

Jadi nilai angka satuannya adalah 2 (karena 2 2<5 , а 2 3 >5 ). Mari kita lanjutkan mencari nilai tempat persepuluhan. Dalam hal ini, kita akan mengkuadratkan angka 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, membandingkan nilai yang dihasilkan dengan angka radikal 5:

Sejak 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, maka nilai tempat persepuluhannya adalah 2. Anda dapat melanjutkan untuk mencari nilai tempat perseratus:

Dengan demikian ditemukan nilai akar lima selanjutnya, yaitu sebesar 2,23. Jadi Anda dapat terus menemukan nilai: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Untuk mengkonsolidasikan materi, kami akan menganalisis ekstraksi akar dengan akurasi seperseratus menggunakan algoritma yang dipertimbangkan.

Pertama kita tentukan angka paling penting. Untuk melakukan ini, kita pangkatkan angka 0, 10, 100, dst. sampai kita mendapatkan angka yang lebih besar dari 2.151.186. Kita punya 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , jadi angka paling penting adalah angka puluhan.

Mari kita tentukan nilainya.

Sejak 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, maka nilai tempat puluhannya adalah 1. Mari beralih ke unit.

Jadi, nilai angka satuannya adalah 2. Mari kita beralih ke persepuluhan.

Karena genap 12,9 3 lebih kecil dari bilangan radikal 2 151.186, maka nilai persepuluhannya adalah 9. Tetap melakukan langkah terakhir dari algoritma; ini akan memberi kita nilai root dengan akurasi yang diperlukan.

Pada tahap ini, nilai akar ditemukan akurat hingga seperseratus: .

Sebagai penutup artikel ini, saya ingin mengatakan bahwa ada banyak cara lain untuk mengekstrak akar. Namun untuk sebagian besar tugas, tugas yang kami pelajari di atas sudah cukup.

Bibliografi.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk kelas 8. lembaga pendidikan.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain.Aljabar dan permulaan analisis: Buku ajar untuk kelas 10 - 11 lembaga pendidikan umum.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan bagi mereka yang memasuki sekolah teknik).