Hari ini kami mengundang Anda untuk menjelajahi dan membuat grafik suatu fungsi bersama kami. Setelah mempelajari artikel ini dengan cermat, Anda tidak perlu bersusah payah lama-lama untuk menyelesaikan tugas semacam ini. Mempelajari dan membuat grafik suatu fungsi tidaklah mudah; ini adalah pekerjaan besar yang membutuhkan perhatian maksimal dan akurasi perhitungan. Untuk membuat materi lebih mudah dipahami, kita akan mempelajari fungsi yang sama langkah demi langkah dan menjelaskan semua tindakan dan perhitungan kita. Selamat datang di dunia matematika yang menakjubkan dan mempesona! Pergi!
Domain
Untuk mengeksplorasi dan membuat grafik suatu fungsi, Anda perlu mengetahui beberapa definisi. Fungsi merupakan salah satu konsep (dasar) utama dalam matematika. Ini mencerminkan ketergantungan antara beberapa variabel (dua, tiga atau lebih) selama perubahan. Fungsi tersebut juga menunjukkan ketergantungan himpunan.
Bayangkan kita mempunyai dua variabel yang mempunyai rentang perubahan tertentu. Jadi, y adalah fungsi dari x, asalkan setiap nilai variabel kedua sesuai dengan satu nilai variabel kedua. Dalam hal ini, variabel y adalah dependen dan disebut fungsi. Biasanya dikatakan bahwa variabel x dan y berada di. Untuk kejelasan yang lebih besar tentang ketergantungan ini, grafik fungsi dibuat. Apa yang dimaksud dengan grafik suatu fungsi? Ini adalah serangkaian poin bidang koordinat, di mana setiap nilai x berhubungan dengan satu nilai y. Grafiknya bisa berbeda - garis lurus, hiperbola, parabola, gelombang sinus, dan sebagainya.
Tidak mungkin memplot suatu fungsi tanpa penelitian. Hari ini kita akan belajar bagaimana melakukan penelitian dan membuat grafik suatu fungsi. Sangat penting untuk membuat catatan selama belajar. Ini akan membuat tugas lebih mudah untuk diselesaikan. Rencana penelitian yang paling nyaman:
- Domain.
- Kontinuitas.
- Genap atau ganjil.
- Periodisitas.
- Asimtot.
- Nol.
- Tanda tangani keteguhan.
- Meningkat dan menurun.
- Ekstrem.
- Cembung dan cekung.
Mari kita mulai dengan poin pertama. Mari kita cari domain definisinya, yaitu pada interval berapa fungsi kita ada: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). Dalam kasus kita, fungsi tersebut ada untuk setiap nilai x, yaitu domain definisinya sama dengan R. Ini dapat ditulis sebagai berikut xÎR.
Kontinuitas
Sekarang kita akan mempelajari fungsi diskontinuitas. Dalam matematika, istilah “kontinuitas” muncul sebagai hasil studi tentang hukum gerak. Apa yang tidak terbatas? Ruang, waktu, beberapa ketergantungan (contohnya adalah ketergantungan variabel S dan t dalam soal gerak), suhu suatu benda yang dipanaskan (air, penggorengan, termometer, dll.), garis kontinu (yaitu garis yang dapat digambar tanpa mengangkatnya dari lembaran pensil).
Suatu grafik dianggap kontinu jika tidak putus pada suatu titik. Salah satu yang paling banyak contoh ilustratif grafik tersebut adalah sinusoidal, yang dapat Anda lihat pada gambar di bagian ini. Suatu fungsi kontinu di suatu titik x0 jika sejumlah kondisi terpenuhi:
- suatu fungsi didefinisikan pada suatu titik tertentu;
- batas kanan dan kiri pada suatu titik adalah sama;
- membatasi sama dengan nilainya fungsi di titik x0.
Jika setidaknya satu kondisi tidak terpenuhi, fungsi tersebut dikatakan gagal. Dan titik di mana fungsi tersebut terputus biasanya disebut titik putus. Contoh fungsi yang akan “rusak” jika ditampilkan secara grafis adalah: y=(x+4)/(x-3). Selain itu, y tidak ada di titik x = 3 (karena tidak mungkin dibagi dengan nol).
Pada fungsi yang kita pelajari (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) semuanya menjadi sederhana, karena grafiknya kontinu.
Bahkan aneh
Sekarang periksa fungsi paritas. Pertama, sedikit teori. Fungsi genap adalah fungsi yang memenuhi kondisi f(-x)=f(x) untuk setiap nilai variabel x (dari rentang nilai). Contohnya meliputi:
- modul x (grafiknya terlihat seperti kotak, garis bagi kuartal pertama dan kedua grafik);
- x kuadrat (parabola);
- kosinus x (kosinus).
Perhatikan bahwa semua grafik ini simetris jika dilihat terhadap sumbu y (yaitu sumbu y).
Lalu apa yang disebut fungsi ganjil? Ini adalah fungsi-fungsi yang memenuhi kondisi: f(-x)=-f(x) untuk setiap nilai variabel x. Contoh:
- hiperbola;
- parabola kubik;
- sinusoida;
- bersinggungan dan sebagainya.
Harap dicatat bahwa fungsi-fungsi ini simetris terhadap titik (0:0), yaitu titik asal. Berdasarkan apa yang dikatakan di bagian artikel ini, genap dan fungsi ganjil harus memiliki properti: x termasuk dalam himpunan definisi dan -x juga.
Mari kita periksa fungsi paritas. Kita dapat melihat bahwa dia tidak sesuai dengan deskripsi apa pun. Oleh karena itu, fungsi kita tidak genap atau ganjil.
Asimtot
Mari kita mulai dengan definisi. Asimtot adalah kurva yang sedekat mungkin dengan grafik, yaitu jarak suatu titik tertentu cenderung nol. Secara total, ada tiga jenis asimtot:
- vertikal, yaitu sumbu paralel kamu;
- horizontal, yaitu sejajar dengan sumbu x;
- cenderung.
Sedangkan untuk tipe pertama, garis-garis berikut harus dicari di beberapa titik:
- celah;
- ujung domain definisi.
Dalam kasus kita, fungsinya kontinu dan domain definisinya sama dengan R. Oleh karena itu, asimtot vertikal hilang.
Grafik suatu fungsi mempunyai asimtot horizontal yang memenuhi syarat sebagai berikut: jika x cenderung tak terhingga atau dikurangi tak terhingga, dan limitnya sama dengan bilangan tertentu (misalnya a). DI DALAM pada kasus ini y=a - ini adalah asimtot horizontal. Tidak ada asimtot horizontal pada fungsi yang sedang kita pelajari.
Asimtot miring hanya ada jika dua kondisi terpenuhi:
- lim(f(x))/x=k;
- lim f(x)-kx=b.
Maka dapat dicari dengan rumus: y=kx+b. Sekali lagi, dalam kasus kami tidak ada asimtot miring.
Fungsi nol
Langkah selanjutnya adalah memeriksa grafik fungsi nol. Penting juga untuk dicatat bahwa tugas yang terkait dengan menemukan nol suatu fungsi terjadi tidak hanya ketika mempelajari dan membuat grafik suatu fungsi, tetapi juga bagaimana caranya. tugas mandiri, dan sebagai cara untuk mengatasi kesenjangan. Anda mungkin diminta untuk mencari angka nol suatu fungsi pada grafik atau menggunakan notasi matematika.
Menemukan nilai-nilai ini akan membantu Anda membuat grafik fungsi dengan lebih akurat. Jika kita berbicara dalam bahasa yang sederhana, maka fungsi nol adalah nilai variabel x dimana y = 0. Jika Anda mencari angka nol suatu fungsi pada suatu grafik, maka Anda harus memperhatikan titik-titik perpotongan grafik tersebut dengan sumbu x.
Untuk menemukan nol suatu fungsi, Anda perlu menyelesaikannya persamaan berikut: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Setelah melakukan perhitungan yang diperlukan, kami mendapatkan jawaban berikut:
Tanda tangani keteguhan
Tahap selanjutnya dalam penelitian dan konstruksi suatu fungsi (grafik) adalah mencari interval tanda konstan. Artinya, kita harus menentukan pada interval berapa fungsi tersebut berada nilai positif, dan pada beberapa - negatif. Fungsi nol yang ditemukan di bagian terakhir akan membantu kita melakukan hal ini. Jadi, kita perlu membuat garis lurus (terpisah dari grafik) dan mendistribusikan nol fungsi di sepanjang garis tersebut dalam urutan yang benar dari terkecil ke terbesar. Sekarang Anda perlu menentukan interval mana yang memiliki tanda “+” dan mana yang memiliki tanda “-”.
Dalam kasus kami, fungsi tersebut mengambil nilai positif pada interval:
- dari 1 hingga 4;
- dari 9 hingga tak terhingga.
Arti negatif:
- dari minus tak terhingga hingga 1;
- dari 4 hingga 9.
Hal ini cukup mudah untuk ditentukan. Substitusikan bilangan apa pun dari interval ke dalam fungsi tersebut dan lihat tanda apa yang didapat dari jawabannya (minus atau plus).
Fungsi bertambah dan berkurang
Untuk mengeksplorasi dan membangun suatu fungsi, kita perlu mengetahui di mana grafik akan naik (naik sepanjang sumbu Oy) dan di mana grafik akan turun (merangkak ke bawah sepanjang sumbu y).
Fungsi tersebut meningkat hanya jika nilai yang lebih besar dari variabel x sesuai dengan nilai yang lebih tinggi kamu. Artinya, x2 lebih besar dari x1, dan f(x2) lebih besar dari f(x1). Dan kita mengamati fenomena yang sepenuhnya berlawanan dengan fungsi menurun (semakin banyak x, semakin sedikit y). Untuk menentukan interval kenaikan dan penurunan, Anda perlu mencari hal berikut:
- domain definisi (sudah kita punya);
- turunan (dalam kasus kita: 1/3(3x^2-28x+49);
- selesaikan persamaan 1/3(3x^2-28x+49)=0.
Setelah perhitungan kita mendapatkan hasilnya:
Kita mendapatkan: fungsi tersebut meningkat pada interval dari minus tak terhingga hingga 7/3 dan dari 7 hingga tak terhingga, dan menurun pada interval dari 7/3 menjadi 7.
Ekstrem
Fungsi yang diteliti y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) kontinu dan ada untuk nilai apa pun dari variabel x. Titik ekstrem menunjukkan maksimum dan minimum suatu fungsi tertentu. Dalam kasus kami, tidak ada satu pun, yang sangat menyederhanakan tugas konstruksi. Jika tidak, mereka juga dapat dicari menggunakan fungsi turunan. Setelah ditemukan, jangan lupa menandainya pada grafik.
Cembung dan cekung
Kita terus mengeksplorasi lebih jauh fungsi y(x). Sekarang kita perlu memeriksa kecembungan dan kecekungannya. Definisi konsep-konsep ini cukup sulit untuk dipahami; lebih baik menganalisis semuanya dengan menggunakan contoh. Untuk pengujian: suatu fungsi dikatakan cembung jika fungsi tersebut tidak menurun. Setuju, ini tidak bisa dimengerti!
Kita perlu mencari turunan dari fungsi orde kedua. Kita peroleh: y=1/3(6x-28). Sekarang mari kita samakan sisi kanan menjadi nol dan selesaikan persamaannya. Jawaban: x=14/3. Kami menemukan titik belok, yaitu tempat perubahan grafik dari cembung ke cekung atau sebaliknya. Pada interval dari minus tak terhingga hingga 14/3 fungsinya cembung, dan dari 14/3 hingga plus tak terhingga fungsinya cekung. Penting juga untuk dicatat bahwa titik belok pada grafik harus halus dan lembut, bukan sudut tajam tidak seharusnya hadir.
Mendefinisikan poin tambahan
Tugas kita adalah menyelidiki dan membuat grafik fungsi tersebut. Kami telah menyelesaikan penelitian; membuat grafik fungsi sekarang tidaklah sulit. Untuk reproduksi kurva atau garis lurus yang lebih akurat dan detail pada bidang koordinat, Anda dapat menemukan beberapa titik bantu. Mereka cukup mudah untuk dihitung. Misalnya, kita ambil x=3, selesaikan persamaan yang dihasilkan dan temukan y=4. Atau x=5, dan y=-5 dan seterusnya. Anda dapat mengambil poin tambahan sebanyak yang Anda perlukan untuk konstruksi. Setidaknya 3-5 di antaranya ditemukan.
Merencanakan grafik
Kita perlu menyelidiki fungsi (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Semua tanda yang diperlukan selama perhitungan dibuat pada bidang koordinat. Yang perlu dilakukan hanyalah membuat grafik, yaitu menghubungkan semua titik. Menghubungkan titik-titik harus lancar dan akurat, ini adalah masalah keterampilan - sedikit latihan dan jadwal Anda akan sempurna.
