Cara menyelesaikan pertidaksamaan menggunakan grafik. "menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan menggunakan grafik fungsi kuadrat." Representasi grafis pertidaksamaan linier pada bidang koordinat

lihat juga Memecahkan masalah pemrograman linier secara grafis, bentuk masalah pemrograman linier kanonik

Sistem kendala untuk masalah tersebut terdiri dari ketidaksetaraan dalam dua variabel:
dan fungsi tujuan mempunyai bentuk F = C 1 X + C 2 kamu yang perlu dimaksimalkan.

Mari kita jawab pertanyaannya: pasangan bilangan apa ( X; kamu) apakah solusi terhadap sistem pertidaksamaan, yaitu memenuhi setiap pertidaksamaan secara bersamaan? Dengan kata lain, apa yang dimaksud dengan menyelesaikan suatu sistem secara grafis?
Pertama, Anda perlu memahami apa solusinya ketimpangan linier dengan dua hal yang tidak diketahui.
Menyelesaikan pertidaksamaan linier dengan dua hal yang tidak diketahui berarti menentukan semua pasangan nilai yang tidak diketahui yang memiliki pertidaksamaan tersebut.
Misalnya, ketimpangan 3 X – 5kamu≥ 42 pasangan yang memuaskan ( X , kamu): (100, 2); (3, –10), dst. Tugasnya adalah menemukan semua pasangan tersebut.
Mari kita pertimbangkan dua ketidaksetaraan: kapak + oleh≤ C, kapak + oleh≥ C. Lurus kapak + oleh = C membagi bidang menjadi dua setengah bidang sehingga koordinat titik salah satunya memenuhi pertidaksamaan kapak + oleh >C, dan ketimpangan lainnya kapak + +oleh <C.
Memang benar, mari kita ambil suatu titik dengan koordinat X = X 0 ; kemudian suatu titik yang terletak pada suatu garis dan mempunyai absis X 0, memiliki ordinat

Biarkan untuk kepastian A< 0, B>0, C>0. Semua poin dengan absis X 0 berbaring di atas P(misalnya, titik M), memiliki kamu M>kamu 0 , dan semua titik di bawah titik tersebut P, dengan absis X 0 , punya kamu N<kamu 0 . Karena X 0 adalah titik sembarang, maka akan selalu ada titik pada salah satu sisi garisnya kapak+ oleh > C, membentuk setengah bidang, dan di sisi lain - titik-titiknya kapak + oleh< C.

Gambar 1

Tanda pertidaksamaan pada setengah bidang bergantung pada angka A, B , C.
Ini menyiratkan metode berikut untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan linier dua variabel secara grafis. Untuk menyelesaikan sistem yang Anda butuhkan:

  1. Untuk setiap pertidaksamaan, tuliskan persamaan yang sesuai dengan pertidaksamaan tersebut.
  2. Buatlah garis lurus yang merupakan grafik fungsi yang ditentukan oleh persamaan.
  3. Untuk setiap garis, tentukan setengah bidang yang diberikan oleh pertidaksamaan tersebut. Untuk melakukan ini, ambil titik sewenang-wenang, tidak terletak pada suatu garis, substitusikan koordinatnya ke dalam pertidaksamaan. jika pertidaksamaan tersebut benar, maka setengah bidang yang memuat titik yang dipilih adalah penyelesaian pertidaksamaan awal. Jika pertidaksamaan tersebut salah, maka setengah bidang pada sisi lain garis tersebut adalah himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut.
  4. Untuk menyelesaikan suatu sistem pertidaksamaan, perlu dicari luas perpotongan semua setengah bidang yang merupakan penyelesaian setiap pertidaksamaan sistem tersebut.

Area ini mungkin kosong, maka sistem ketimpangan tidak memiliki solusi dan tidak konsisten. Jika tidak, sistem dikatakan konsisten.
Mungkin ada solusi nomor akhir Dan himpunan tak terbatas. Daerah itu mungkin poligon tertutup atau tidak terbatas.

Mari kita lihat tiga contoh yang relevan.

Contoh 1. Selesaikan sistem secara grafis:
X + kamu – 1 ≤ 0;
–2X - 2kamu + 5 ≤ 0.

  • perhatikan persamaan x+y–1=0 dan –2x–2y+5=0 yang berhubungan dengan pertidaksamaan;
  • Mari kita buat garis lurus yang diberikan oleh persamaan ini.

Gambar 2

Mari kita definisikan setengah bidang yang ditentukan oleh pertidaksamaan. Mari kita ambil titik sembarang, misalkan (0; 0). Mari kita pertimbangkan X+ kamu– 1 0, substitusikan titik (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Artinya, pada setengah bidang tempat titik (0; 0), X + kamu – 1 ≤ 0, yaitu setengah bidang yang terletak di bawah garis merupakan penyelesaian pertidaksamaan pertama. Substitusikan titik ini (0; 0) ke titik kedua, kita peroleh: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, mis. pada setengah bidang tempat titik (0; 0) terletak, –2 X – 2kamu+ 5≥ 0, dan kami ditanya di mana –2 X – 2kamu+ 5 ≤ 0, oleh karena itu, pada setengah bidang lainnya - pada setengah bidang di atas garis lurus.
Mari kita cari perpotongan kedua setengah bidang ini. Garis-garisnya sejajar, sehingga bidang-bidang tersebut tidak berpotongan dimanapun, artinya sistem pertidaksamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian dan tidak konsisten.

Contoh 2. Temukan solusi grafis untuk sistem pertidaksamaan:

Gambar 3
1. Mari kita tuliskan persamaan yang berhubungan dengan pertidaksamaan dan buatlah garis lurus.
X + 2kamu– 2 = 0

X 2 0
kamu 0 1

kamu – X – 1 = 0
X 0 2
kamu 1 3

kamu + 2 = 0;
kamu = –2.
2. Setelah memilih titik (0; 0), kita menentukan tanda-tanda pertidaksamaan pada setengah bidang:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, yaitu X + 2kamu– 2 ≤ 0 pada setengah bidang di bawah garis lurus;
0 – 0 – 1 ≤ 0, yaitu kamu –X– 1 ≤ 0 pada setengah bidang di bawah garis lurus;
0 + 2 =2 ≥ 0, mis. kamu+ 2 ≥ 0 pada setengah bidang di atas garis lurus.
3. Perpotongan ketiga setengah bidang tersebut adalah suatu luas segitiga. Tidak sulit menemukan titik sudut suatu daerah sebagai titik potong garis-garis yang bersesuaian


Dengan demikian, A(–3; –2), DI DALAM(0; 1), DENGAN(6; –2).

Mari kita perhatikan contoh lain di mana domain solusi yang dihasilkan sistem tidak terbatas.


Salah satu metode yang paling mudah untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah metode grafis. Pada artikel ini kita akan melihat bagaimana pertidaksamaan kuadrat diselesaikan secara grafis. Pertama, mari kita bahas apa inti dari metode ini. Selanjutnya, kami akan menyajikan algoritma dan mempertimbangkan contoh penyelesaian pertidaksamaan kuadrat secara grafis.

Navigasi halaman.

Inti dari metode grafis

Sama sekali metode grafis untuk menyelesaikan pertidaksamaan dengan satu variabel digunakan tidak hanya untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, tetapi juga jenis pertidaksamaan lainnya. Intinya metode grafis solusi terhadap kesenjangan selanjutnya: perhatikan fungsi y=f(x) dan y=g(x) yang bersesuaian dengan kiri dan sisi kanan ketidaksetaraan, buatlah grafiknya menjadi satu sistem persegi panjang koordinatnya dan cari tahu pada interval berapa grafik salah satunya terletak di bawah atau di atas yang lain. Interval tersebut dimana

  • grafik fungsi f di atas grafik fungsi g merupakan solusi pertidaksamaan f(x)>g(x) ;
  • grafik fungsi f tidak lebih rendah dari grafik fungsi g merupakan solusi pertidaksamaan f(x)≥g(x) ;
  • grafik f di bawah grafik g merupakan solusi pertidaksamaan f(x)
  • grafik suatu fungsi f tidak lebih tinggi dari grafik suatu fungsi g adalah solusi dari pertidaksamaan f(x)≤g(x) .

Kita juga akan mengatakan bahwa absis titik potong grafik fungsi f dan g adalah solusi persamaan f(x)=g(x) .

Mari kita transfer hasil ini ke kasus kita - untuk menyelesaikannya pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Kita perkenalkan dua fungsi: fungsi pertama y=a x 2 +b x+c (dengan f(x)=a x 2 +b x+c) bersesuaian dengan ruas kiri pertidaksamaan kuadrat, fungsi kedua y=0 (dengan g ( x)=0 ) sesuai dengan sisi kanan pertidaksamaan. Jadwal fungsi kuadrat f adalah parabola dan grafiknya fungsi konstan g – garis lurus bertepatan dengan sumbu absis Lembu.

Selanjutnya, menurut metode grafis untuk menyelesaikan pertidaksamaan, perlu dianalisis pada interval berapa grafik suatu fungsi terletak di atas atau di bawah fungsi lainnya, yang memungkinkan kita menuliskan solusi pertidaksamaan kuadrat yang diinginkan. Dalam kasus kita, kita perlu menganalisis posisi parabola relatif terhadap sumbu Ox.

Bergantung pada nilai koefisien a, b, dan c, enam opsi berikut dimungkinkan (untuk kebutuhan kita, representasi skematis sudah cukup, dan kita tidak perlu menggambarkan sumbu Oy, karena posisinya tidak mempengaruhi penyelesaian pertidaksamaan):

    Pada gambar ini kita melihat parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke atas dan memotong sumbu Ox di dua titik yang absisnya adalah x 1 dan x 2. Gambar ini sesuai dengan opsi ketika koefisien a positif (bertanggung jawab atas arah ke atas cabang parabola), dan ketika nilainya positif diskriminan trinomial kuadrat a x 2 +b x+c (dalam hal ini, trinomial memiliki dua akar, yang kita nyatakan sebagai x 1 dan x 2, dan kita asumsikan bahwa x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

    Untuk lebih jelasnya, mari kita gambarkan dengan warna merah bagian-bagian parabola yang terletak di atas sumbu x, dan dengan warna biru – bagian-bagian yang terletak di bawah sumbu x.

    Sekarang mari kita cari tahu interval mana yang sesuai dengan bagian-bagian ini. Gambar berikut akan membantu Anda mengidentifikasinya (di masa depan kami akan membuat pilihan serupa dalam bentuk persegi panjang secara mental):

    Jadi pada sumbu absis dua interval (−∞, x 1) dan (x 2 , +∞) disorot dengan warna merah, parabolanya berada di atas sumbu Ox, keduanya merupakan solusi pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x +c>0 , dan interval (x 1 , x 2) disorot dengan warna biru, terdapat parabola di bawah sumbu Ox, yang mewakili solusi pertidaksamaan a x 2 + b x + c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

    Dan sekarang secara singkat: untuk a>0 dan D=b 2 −4 a c>0 (atau D"=D/4>0 untuk koefisien genap b)

    • penyelesaian pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x+c>0 adalah (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) atau dalam notasi lain x x2;
    • penyelesaian pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x+c≥0 adalah (−∞, x 1 ]∪ atau notasi lain x 1 ≤x≤x 2 ,

    dimana x 1 dan x 2 adalah akar-akar trinomial kuadrat a x 2 +b x+c, dan x 1


    Di sini kita melihat parabola, yang cabang-cabangnya mengarah ke atas, dan menyentuh sumbu absis, yaitu memiliki satu titik yang sama dengannya; kita menyatakan absis titik ini sebagai x 0. Kasus yang disajikan sesuai dengan a>0 (cabangnya mengarah ke atas) dan D=0 (trinomial persegi memiliki satu akar x 0). Misalnya, Anda dapat mengambil fungsi kuadrat y=x 2 −4·x+4, di sini a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 dan x 0 =2.

    Gambar tersebut dengan jelas menunjukkan bahwa parabola terletak di atas sumbu Ox di semua tempat kecuali titik kontak, yaitu pada interval (−∞, x 0), (x 0, ∞). Untuk lebih jelasnya, mari kita soroti area pada gambar dengan analogi dengan paragraf sebelumnya.

    Kami menarik kesimpulan: untuk a>0 dan D=0

    • penyelesaian pertidaksamaan kuadrat a·x 2 +b·x+c>0 adalah (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) atau dalam notasi lain x≠x 0;
    • penyelesaian pertidaksamaan kuadrat a·x 2 +b·x+c≥0 adalah (−∞, +∞) atau notasi lain x∈R ;
    • pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
    • pertidaksamaan kuadrat yang dimiliki a x 2 +b x+c≤0 satu-satunya keputusan x=x 0 (diberikan oleh titik singgung),

    dimana x 0 adalah akar trinomial kuadrat a x 2 + b x + c.


    Dalam hal ini, cabang-cabang parabola diarahkan ke atas, tetapi tidak ada poin umum dengan sumbu absis. Di sini kita memiliki kondisi a>0 (cabang mengarah ke atas) dan D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

    Jelasnya, parabola terletak di atas sumbu Ox sepanjang keseluruhannya (tidak ada interval di bawah sumbu Ox, tidak ada titik singgung).

    Jadi, untuk a>0 dan D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 dan a x 2 +b x+c≥0 adalah himpunan semuanya bilangan real, dan pertidaksamaan a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Dan masih ada tiga pilihan letak parabola dengan cabang mengarah ke bawah, bukan ke atas, relatif terhadap sumbu Sapi. Pada prinsipnya, pertidaksamaan tersebut tidak perlu dipertimbangkan, karena mengalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan −1 memungkinkan kita mendapatkan pertidaksamaan ekuivalen dengan koefisien positif untuk x 2. Namun tetap tidak ada salahnya untuk mendapatkan gambaran tentang kasus-kasus tersebut. Alasannya serupa di sini, jadi kami hanya akan menuliskan hasil utamanya saja.

Algoritma solusi

Hasil dari semua perhitungan sebelumnya adalah algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat secara grafis:

    Pada bidang koordinat dibuat gambar skema yang menggambarkan sumbu Ox (sumbu Oy tidak perlu digambarkan) dan sketsa parabola yang sesuai dengan fungsi kuadrat y=a·x 2 +b·x+c. Untuk menggambar sketsa parabola cukup mengetahui dua hal:

    • Pertama, dengan nilai koefisien a ditentukan ke mana arah cabang-cabangnya (untuk a>0 - ke atas, untuk a<0 – вниз).
    • Dan kedua, dengan nilai diskriminan trinomial persegi a x 2 + b x + c ditentukan apakah parabola tersebut memotong sumbu absis di dua titik (untuk D>0), menyentuhnya di satu titik (untuk D=0) , atau tidak memiliki titik persekutuan dengan sumbu Ox (di D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

  • Saat gambar sudah siap, gunakan gambar tersebut pada langkah kedua algoritma

    • saat menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat a·x 2 +b·x+c>0, interval ditentukan di mana parabola terletak di atas absis;
    • saat menyelesaikan pertidaksamaan a·x 2 +b·x+c≥0, interval letak parabola di atas sumbu absis ditentukan dan absis titik potong (atau absis titik singgung) ditambahkan ke mereka;
    • saat menyelesaikan pertidaksamaan a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
    • terakhir, ketika menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat berbentuk a·x 2 +b·x+c≤0, ditemukan interval yang parabolanya berada di bawah sumbu Ox dan absis titik potong (atau absis titik singgung ) ditambahkan ke dalamnya;

    mereka merupakan solusi yang diinginkan untuk pertidaksamaan kuadrat, dan jika tidak ada interval dan titik singgung, maka pertidaksamaan kuadrat asli tidak memiliki solusi.

Yang tersisa hanyalah menyelesaikan beberapa pertidaksamaan kuadrat menggunakan algoritma ini.

Contoh dengan solusi

Contoh.

Selesaikan ketimpangan tersebut .

Larutan.

Kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, mari gunakan algoritma dari paragraf sebelumnya. Pada langkah pertama kita perlu membuat sketsa grafik fungsi kuadrat . Koefisien x 2 sama dengan 2, positif, oleh karena itu cabang-cabang parabola mengarah ke atas. Mari kita cari tahu juga apakah parabola memiliki titik-titik yang sama dengan sumbu x; untuk melakukan ini, kita akan menghitung diskriminan trinomial kuadrat . Kita punya . Diskriminannya ternyata lebih besar dari nol, oleh karena itu trinomialnya mempunyai dua akar real: Dan , yaitu x 1 =−3 dan x 2 =1/3.

Dari sini terlihat jelas bahwa parabola memotong sumbu Ox di dua titik dengan absis −3 dan 1/3. Kami akan menggambarkan titik-titik ini dalam gambar sebagai titik-titik biasa, karena kami sedang menyelesaikan pertidaksamaan tidak tegas. Berdasarkan data yang telah diklarifikasi, kami memperoleh gambar berikut (sesuai dengan template pertama dari paragraf pertama artikel):

Mari beralih ke langkah kedua dari algoritme. Karena kita menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat tidak tegas dengan tanda ≤, kita perlu menentukan interval letak parabola di bawah absis dan menjumlahkannya dengan absis titik potongnya.

Dari gambar tersebut terlihat bahwa parabola berada di bawah sumbu x pada interval (−3, 1/3) dan ke dalamnya kita tambahkan absis titik potongnya, yaitu bilangan −3 dan 1/3. Hasilnya, kita sampai pada interval numerik [−3, 1/3] . Ini adalah solusi yang kami cari. Itu bisa ditulis dalam bentuk ketimpangan ganda−3≤x≤1/3 .

Menjawab:

[−3, 1/3] atau −3≤x≤1/3 .

Contoh.

Temukan solusi pertidaksamaan kuadrat −x 2 +16 x−63<0 .

Larutan.

Seperti biasa, kita mulai dengan menggambar. Koefisien numerik kuadrat variabel adalah negatif, −1, oleh karena itu, cabang-cabang parabola mengarah ke bawah. Mari kita hitung diskriminannya, atau lebih baik lagi, bagian keempatnya: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Nilainya positif, mari kita hitung akar-akar trinomial kuadrat: Dan , x 1 =7 dan x 2 =9. Jadi parabola memotong sumbu Ox di dua titik dengan absis 7 dan 9 (pertidaksamaan aslinya sangat ketat, jadi kita akan menggambarkan titik-titik ini dengan pusat kosong).

Karena kita menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat tegas dengan sebuah tanda<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Gambar menunjukkan bahwa penyelesaian pertidaksamaan kuadrat awal adalah dua interval (−∞, 7) , (9, +∞) .

Menjawab:

(−∞, 7)∪(9, +∞) atau dalam notasi lain x<7 , x>9 .

Saat menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, jika diskriminan suatu trinomial kuadrat berada di sisi kirinya sama dengan nol, Anda perlu berhati-hati dengan memasukkan atau mengecualikan absis titik singgung dari jawabannya. Hal ini bergantung pada tanda pertidaksamaannya: jika pertidaksamaannya tegas, maka pertidaksamaannya bukanlah penyelesaian, tetapi jika tidak tegas, maka pertidaksamaannya tegas.

Contoh.

Apakah pertidaksamaan kuadrat 10 x 2 −14 x+4.9≤0 mempunyai setidaknya satu solusi?

Larutan.

Mari kita gambarkan fungsinya y=10 x 2 −14 x+4.9. Cabang-cabangnya mengarah ke atas, karena koefisien x 2 positif, dan menyentuh sumbu absis di titik dengan absis 0,7, karena D"=(−7) 2 −10 4,9=0, maka atau 0,7 dalam bentuk dari pecahan desimal. Secara skematis terlihat seperti ini:

Karena kita menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan tanda ≤, penyelesaiannya adalah interval di mana parabola berada di bawah sumbu Ox, serta absis titik singgungnya. Dari gambar tersebut terlihat bahwa tidak ada satupun celah dimana parabola berada di bawah sumbu Ox, sehingga penyelesaiannya hanya berupa absis titik singgung yaitu 0,7.

Menjawab:

pertidaksamaan ini memiliki solusi unik 0,7.

Contoh.

Selesaikan pertidaksamaan kuadrat –x 2 +8 x−16<0 .

Larutan.

Kami mengikuti algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dan mulai dengan membuat grafik. Cabang-cabang parabola mengarah ke bawah, karena koefisien x 2 negatif, −1. Mari kita cari diskriminan trinomial persegi –x 2 +8 x−16, yang kita punya D'=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 dan kemudian x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Jadi parabola tersebut menyentuh sumbu Ox di titik absis 4. Mari kita membuat gambarnya:

Kita lihat tanda pertidaksamaan aslinya, itu ada<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

Dalam kasus kita, ini adalah sinar terbuka (−∞, 4) , (4, +∞) . Secara terpisah, kami mencatat bahwa 4 - absis titik kontak - bukanlah solusi, karena pada titik kontak parabola tidak lebih rendah dari sumbu Ox.

Menjawab:

(−∞, 4)∪(4, +∞) atau dalam notasi lain x≠4 .

Berikan perhatian khusus pada kasus di mana diskriminan trinomial kuadrat di sisi kiri pertidaksamaan kuadrat kurang dari nol. Tidak perlu terburu-buru di sini dan mengatakan bahwa pertidaksamaan tidak memiliki solusi (kita terbiasa membuat kesimpulan seperti itu untuk persamaan kuadrat dengan diskriminan negatif). Intinya pertidaksamaan kuadrat untuk D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Contoh.

Temukan solusi pertidaksamaan kuadrat 3 x 2 +1>0.

Larutan.

Seperti biasa, kita mulai dengan menggambar. Koefisien a adalah 3, positif, sehingga cabang-cabang parabola mengarah ke atas. Kami menghitung diskriminan: D=0 2 −4·3·1=−12 . Karena diskriminannya negatif, parabola tidak mempunyai titik persekutuan dengan sumbu Ox. Informasi yang diperoleh cukup untuk grafik skema:

Kita menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat tegas dengan tanda >. Solusinya adalah semua interval di mana parabola berada di atas sumbu Ox. Dalam kasus kita, parabola berada di atas sumbu x sepanjang panjangnya, sehingga solusi yang diinginkan adalah himpunan semua bilangan real.

Sapi , dan Anda juga perlu menambahkan absis titik potong atau absis titik singgungnya. Namun dari gambar terlihat jelas bahwa tidak ada interval seperti itu (karena parabola berada di bawah sumbu absis), sama seperti tidak ada titik potong, sama seperti tidak ada titik singgung. Oleh karena itu, pertidaksamaan kuadrat asal tidak mempunyai penyelesaian.

Menjawab:

tidak ada solusi atau di entri lain ∅.

Bibliografi.

  • Aljabar: buku pelajaran untuk kelas 8. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Aljabar: kelas 9: mendidik. untuk pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2009. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.
  • Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Pukul 14.00 Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan/ A.G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
  • Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 9. Dalam 2 jam. Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - Edisi ke-13, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01752-3.
  • Mordkovich A.G. Aljabar dan awal analisis matematika. Kelas 11. Dalam 2 jam Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum (tingkat profil) / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - Edisi ke-2, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01027-2.

Membiarkan f(x,y) Dan g(x, kamu)- dua ekspresi dengan variabel X Dan pada dan ruang lingkup X. Kemudian ketidaksetaraan bentuk f(x, kamu) > g(x, kamu) atau f(x, kamu) < g(x, kamu) ditelepon pertidaksamaan dengan dua variabel .


Arti Variabel x, kamu dari banyak X, di mana ketidaksetaraan menjadi kenyataan ketimpangan numerik, ini disebut keputusan dan ditunjuk (x, kamu). Selesaikan ketimpangan - ini berarti menemukan banyak pasangan seperti itu.


Jika setiap pasangan angka (x, kamu) dari himpunan solusi hingga pertidaksamaan, cocokkan titiknya M(x, kamu), kita memperoleh himpunan titik pada bidang yang ditentukan oleh pertidaksamaan ini. Dia dipanggil grafik ketimpangan ini . Grafik pertidaksamaan biasanya berupa luas pada suatu bidang.


Untuk menggambarkan himpunan solusi terhadap pertidaksamaan f(x, kamu) > g(x, kamu), lanjutkan sebagai berikut. Pertama, ganti tanda pertidaksamaan dengan tanda sama dengan dan carilah garis yang memiliki persamaan tersebut f(x,y) = g(x,y). Garis ini membagi bidang menjadi beberapa bagian. Setelah itu, cukup mengambil satu titik di setiap bagian dan memeriksa apakah pertidaksamaan terpenuhi pada titik tersebut f(x, kamu) > g(x, kamu). Jika dieksekusi pada titik ini, maka akan dieksekusi di seluruh bagian dimana titik ini berada. Menggabungkan bagian-bagian tersebut, kita memperoleh banyak solusi.


Tugas. kamu > X.


Larutan. Pertama, kita ganti tanda pertidaksamaan dengan tanda sama dengan dan buatlah garis pada sistem koordinat persegi panjang yang mempunyai persamaan tersebut kamu = X.


Garis ini membagi bidang menjadi dua bagian. Setelah itu, ambil satu titik di setiap bagian dan periksa apakah pertidaksamaan terpenuhi pada titik tersebut kamu > X.


Tugas. Selesaikan pertidaksamaan secara grafis
X 2 + pada 2 £25.
















Beras. 18.



Larutan. Pertama, ganti tanda pertidaksamaan dengan tanda sama dengan dan buat garis X 2 + pada 2 = 25. Ini adalah lingkaran yang berpusat di titik asal dan berjari-jari 5. Lingkaran yang dihasilkan membagi bidang menjadi dua bagian. Memeriksa kepuasan ketimpangan X 2 + pada 2 £ 25 pada setiap bagian, kita mengetahui bahwa grafik adalah himpunan titik-titik pada lingkaran dan bagian-bagian bidang di dalam lingkaran.

Biarkan dua ketidaksetaraan diberikan F 1(x, kamu) > G 1(x, kamu) Dan F 2(x, kamu) > G 2(x, kamu).

Sistem himpunan pertidaksamaan dengan dua variabel

Sistem ketidaksetaraan adalah dirimu sendiri gabungan dari kesenjangan ini. Solusi sistem adalah setiap arti (x, kamu), yang mengubah setiap pertidaksamaan menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya. Banyak solusi sistem pertidaksamaan adalah perpotongan himpunan solusi pertidaksamaan yang membentuk suatu sistem tertentu.


Kumpulan ketidaksetaraan adalah dirimu sendiri disjungsi ini kesenjangan Tetapkan solusi adalah setiap arti (x, kamu), yang mengubah setidaknya satu dari himpunan pertidaksamaan menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya. Banyak solusi keseluruhan adalah gabungan dari himpunan solusi terhadap ketidaksetaraan yang membentuk suatu himpunan.


Tugas. Selesaikan sistem pertidaksamaan secara grafis


Larutan. kamu = x Dan X 2 + pada 2 = 25. Kita selesaikan setiap pertidaksamaan sistem.


Grafik sistemnya adalah himpunan titik-titik pada bidang yang merupakan perpotongan (penetasan ganda) dari himpunan solusi pertidaksamaan pertama dan kedua.


Tugas. Selesaikan secara grafis sekumpulan pertidaksamaan



















Larutan. Pertama, kita mengganti tanda pertidaksamaan dengan tanda sama dengan dan menggambar garis dalam satu sistem koordinat kamu = x+ 4 dan X 2 + pada 2 = 16. Selesaikan setiap ketimpangan dalam populasi. Grafik populasi adalah himpunan titik-titik pada bidang yang merupakan gabungan dari himpunan solusi pertidaksamaan pertama dan kedua.

Latihan untuk kerja mandiri


1. Selesaikan pertidaksamaan secara grafis: a) pada> 2X; B) pada< 2X + 3;


V) X 2+ kamu 2 > 9; G) X 2+ kamu 2 £4.


2. Selesaikan sistem pertidaksamaan secara grafis:


a) b)

Metode grafis merupakan salah satu metode utama untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat. Dalam artikel ini kami akan menyajikan algoritma untuk menggunakan metode grafis, dan kemudian mempertimbangkan kasus-kasus khusus menggunakan contoh.

Inti dari metode grafis

Metode ini dapat diterapkan untuk menyelesaikan segala pertidaksamaan, tidak hanya pertidaksamaan kuadrat. Esensinya begini: ruas kanan dan kiri pertidaksamaan dianggap dua fungsi individu y = f (x) dan y = g (x), grafiknya dibuat dalam sistem koordinat persegi panjang dan lihat grafik mana yang terletak di atas grafik lainnya, dan pada interval berapa. Intervalnya diperkirakan sebagai berikut:

Definisi 1

  • penyelesaian pertidaksamaan f (x) > g (x) adalah interval yang grafik fungsi f lebih tinggi dari grafik fungsi g;
  • penyelesaian pertidaksamaan f (x) ≥ g (x) adalah interval yang grafik fungsi f tidak lebih rendah dari grafik fungsi g;
  • solusi pertidaksamaan f(x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
  • penyelesaian pertidaksamaan f (x) ≤ g (x) adalah interval yang grafik fungsi f tidak lebih tinggi dari grafik fungsi g;
  • Absis titik potong grafik fungsi f dan g merupakan solusi persamaan f (x) = g (x).

Mari kita lihat algoritma di atas menggunakan sebuah contoh. Untuk melakukannya, ambil pertidaksamaan kuadrat a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) dan turunkan dua fungsi darinya. Ruas kiri pertidaksamaan akan bersesuaian dengan y = a · x 2 + b · x + c (dalam hal ini f (x) = a · x 2 + b · x + c), dan ruas kanan y = 0 ( dalam hal ini g (x) = 0).

Grafik fungsi pertama berbentuk parabola, grafik kedua berupa garis lurus yang berimpit dengan sumbu x Ox. Mari kita analisa posisi parabola relatif terhadap sumbu O x. Untuk melakukan ini, mari buat gambar skema.

Cabang-cabang parabola mengarah ke atas. Ini memotong sumbu O x di titik-titik x 1 Dan x 2. Koefisien a masuk pada kasus ini positif, karena dialah yang bertanggung jawab atas arah cabang parabola. Diskriminannya positif, menunjukkan bahwa trinomial kuadrat mempunyai dua akar ax 2 + bx + c. Kami menyatakan akar trinomial sebagai x 1 Dan x 2, dan hal itu diterima x 1< x 2 , karena sebuah titik dengan absis digambarkan pada sumbu O x x 1 di sebelah kiri titik absis x 2.

Bagian parabola yang terletak di atas sumbu O x akan ditandai dengan warna merah, di bawah - dengan warna biru. Ini akan memungkinkan kita membuat gambar lebih visual.

Mari kita pilih ruang yang sesuai dengan bagian-bagian ini dan tandai pada gambar dengan bidang warna tertentu.

Kami menandai interval (− ∞, x 1) dan (x 2, + ∞) dengan warna merah, pada interval tersebut parabola berada di atas sumbu O x. Mereka adalah a · x 2 + b · x + c > 0. Kami menandai dengan warna biru interval (x 1 , x 2), yang merupakan solusi pertidaksamaan a x 2 + b x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Ayo lakukan catatan pendek solusi. Untuk a > 0 dan D = b 2 − 4 a c > 0 (atau D " = D 4 > 0 untuk koefisien genap b) kita peroleh:

  • penyelesaian pertidaksamaan kuadrat a x 2 + b x + c > 0 adalah (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) atau dalam notasi lain x< x 1 , x >x2;
  • penyelesaian pertidaksamaan kuadrat a · x 2 + b · x + c ≥ 0 adalah (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) atau dalam bentuk lain x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
  • menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
  • penyelesaian pertidaksamaan kuadrat a x 2 + b x + c ≤ 0 adalah [ x 1 , x 2 ] atau notasi lain x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

dimana x 1 dan x 2 adalah akar-akar trinomial kuadrat a x 2 + b x + c, dan x 1< x 2 .

Pada gambar ini, parabola menyentuh sumbu O x hanya di satu titik, yang dinyatakan sebagai x 0 sebuah > 0. D=0, oleh karena itu, trinomial kuadrat memiliki satu akar x 0.

Parabola terletak seluruhnya di atas sumbu O x, kecuali titik singgungnya sumbu koordinat. Mari kita mewarnai intervalnya (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

Mari kita tuliskan hasilnya. Pada sebuah > 0 Dan D=0:

  • menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat ax 2 + bx + c > 0 adalah (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) atau dalam notasi lain x ≠ x 0;
  • menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat ax 2 + bx + c ≥ 0 adalah (− ∞ , + ∞) atau dalam notasi lain x ∈ R;
  • pertidaksamaan kuadrat ax 2 + bx + c< 0 tidak memiliki solusi (tidak ada interval di mana letak parabola di bawah sumbu Sapi);
  • pertidaksamaan kuadrat ax 2 + bx + c ≤ 0 mempunyai solusi unik x = x 0(diberikan melalui titik kontak),

Di mana x 0- akar trinomial kuadrat ax 2 + bx + c.

Mari kita perhatikan kasus ketiga, ketika cabang-cabang parabola mengarah ke atas dan tidak menyentuh sumbunya Sapi. Cabang-cabang parabola mengarah ke atas, artinya sebuah > 0. Trinomial persegi tidak mempunyai akar real karena D< 0 .

Tidak ada interval pada grafik di mana parabola berada di bawah sumbu x. Kami akan mempertimbangkan hal ini saat memilih warna untuk gambar kami.

Ternyata kapan sebuah > 0 Dan D< 0 menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat ax 2 + bx + c > 0 Dan ax 2 + bx + c ≥ 0 adalah himpunan semua bilangan real dan pertidaksamaannya ax 2 + bx + c< 0 Dan ax 2 + bx + c ≤ 0 tidak punya solusi.

Kita mempunyai tiga pilihan lagi untuk dipertimbangkan ketika cabang-cabang parabola diarahkan ke bawah. Tidak perlu membahas ketiga pilihan ini secara rinci, karena ketika kita mengalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan − 1 kita mendapatkan ketimpangan yang setara dengan koefisien positif di x 2.

Pertimbangan bagian sebelumnya Artikel ini mempersiapkan kita untuk memahami algoritma untuk menyelesaikan ketidaksetaraan menggunakan metode grafis. Untuk melakukan perhitungan, kita perlu menggunakan gambar setiap kali, yang akan menggambarkan garis koordinat O x dan parabola yang sesuai dengan fungsi kuadrat. kamu = ax 2 + bx + c. Dalam kebanyakan kasus, kami tidak akan menggambarkan sumbu O y, karena tidak diperlukan untuk perhitungan dan hanya akan membebani gambar.

Untuk membuat parabola, kita perlu mengetahui dua hal:

Definisi 2

  • arah cabang yang ditentukan oleh nilai koefisien a;
  • adanya titik potong parabola dan sumbu absis yang ditentukan oleh nilai diskriminan trinomial kuadrat a · x 2 + b · x + c .

Kami akan menunjukkan titik potong dan singgung dengan cara biasa saat menyelesaikan pertidaksamaan non-ketat dan kosong saat menyelesaikan pertidaksamaan tegas.

Memiliki gambar yang sudah jadi memungkinkan Anda melanjutkan ke langkah berikutnya solusi. Ini melibatkan penentuan interval di mana letak parabola di atas atau di bawah sumbu O x. Interval dan titik potong merupakan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Jika tidak ada titik potong atau singgung dan tidak ada interval, maka pertidaksamaan yang ditentukan dalam kondisi masalah dianggap tidak mempunyai penyelesaian.

Sekarang mari kita selesaikan beberapa pertidaksamaan kuadrat menggunakan algoritma di atas.

Contoh 1

Pertidaksamaan 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 perlu diselesaikan secara grafis.

Larutan

Mari kita menggambar grafik fungsi kuadrat y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . Koefisien di x 2 positif karena setara 2 . Artinya cabang-cabang parabola akan mengarah ke atas.

Mari kita hitung diskriminan trinomial kuadrat 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 untuk mengetahui apakah parabola mempunyai titik persekutuan dengan sumbu absis. Kita mendapatkan:

D = 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) = 400 9

Seperti yang kita lihat, D lebih besar dari nol, oleh karena itu, kita mempunyai dua titik potong: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 2 dan x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 2, yaitu, x 1 = − 3 Dan x 2 = 1 3.

Kami menyelesaikan pertidaksamaan tidak tegas, oleh karena itu kami menempatkan titik-titik biasa pada grafik. Mari kita menggambar parabola. Seperti yang Anda lihat, gambarnya memiliki tampilan yang sama seperti pada template pertama yang kami pertimbangkan.

Pertidaksamaan kita bertanda ≤. Oleh karena itu, kita perlu menyorot interval pada grafik di mana parabola terletak di bawah sumbu O x dan menambahkan titik potongnya.

Interval yang kita butuhkan adalah 3, 1 3. Kami menambahkan titik potong padanya dan mendapatkan segmen numerik − 3, 1 3. Ini adalah solusi untuk masalah kita. Jawabannya dapat dituliskan sebagai pertidaksamaan ganda: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Menjawab:− 3 , 1 3 atau − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Contoh 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 metode grafis.

Larutan

Kuadrat variabel mempunyai koefisien numerik negatif, sehingga cabang-cabang parabola akan mengarah ke bawah. Mari kita hitung bagian keempat dari diskriminan D " = 8 2 − (− 1) · (− 63) = 64 − 63 = 1. Hasil ini menunjukkan bahwa akan ada dua titik potong.

Mari kita hitung akar-akar trinomial kuadrat: x 1 = - 8 + 1 - 1 dan x 2 = - 8 - 1 - 1, x 1 = 7 dan x 2 = 9.

Ternyata parabola tersebut memotong sumbu x di titik-titiknya 7 Dan 9 . Mari tandai titik-titik ini pada grafik sebagai kosong, karena kita sedang mengerjakan pertidaksamaan tegas. Setelah itu, gambarlah parabola yang memotong sumbu O x pada titik-titik yang ditandai.

Kita akan tertarik pada interval letak parabola di bawah sumbu O x. Mari tandai interval ini dengan warna biru.

Kita mendapatkan jawabannya: solusi pertidaksamaan tersebut adalah interval (− ∞, 7) , (9, + ∞) .

Menjawab:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) atau dalam notasi lain x< 7 , x > 9 .

Jika diskriminan suatu trinomial kuadrat adalah nol, perlu dipertimbangkan dengan cermat apakah akan menyertakan absis titik singgung dalam jawabannya. Untuk menerima solusi yang benar, tanda pertidaksamaan perlu diperhatikan. Pada pertidaksamaan tegas, titik singgung sumbu x bukanlah penyelesaian pertidaksamaan tersebut, tetapi pada pertidaksamaan tidak tegas merupakan penyelesaian.

Contoh 3

Selesaikan pertidaksamaan kuadrat 10 x 2 − 14 x + 4, 9 ≤ 0 metode grafis.

Larutan

Cabang-cabang parabola dalam hal ini akan mengarah ke atas. Ini akan menyentuh sumbu O x di titik 0, 7, karena

Mari kita plot fungsinya kamu = 10 x 2 − 14 x + 4,9. Cabang-cabangnya mengarah ke atas, karena koefisiennya di x 2 positif dan menyentuh sumbu x di titik sumbu x 0 , 7 , Karena D " = (− 7) 2 − 10 4, 9 = 0, dari mana x 0 = 7 10 atau 0 , 7 .

Mari kita beri titik dan menggambar parabola.

Kita menyelesaikan pertidaksamaan tidak tegas dengan tanda ≤. Karena itu. Kita akan tertarik pada interval letak parabola di bawah sumbu x dan titik singgung. Tidak ada interval pada gambar yang dapat memenuhi kondisi kita. Hanya ada titik kontak 0, 7. Ini adalah solusi yang kami cari.

Menjawab: Pertidaksamaan hanya memiliki satu solusi 0, 7.

Contoh 4

Selesaikan pertidaksamaan kuadrat – x 2 + 8 x − 16< 0 .

Larutan

Cabang-cabang parabola diarahkan ke bawah. Diskriminannya adalah nol. Titik persimpangan x 0 = 4.

Kita menandai titik singgung pada sumbu x dan menggambar parabola.

Kita sedang menghadapi ketimpangan yang parah. Oleh karena itu, kami tertarik pada interval di mana letak parabola di bawah sumbu O x. Mari kita tandai dengan warna biru.

Titik yang absisnya 4 bukan merupakan penyelesaian, karena parabola pada titik tersebut tidak terletak di bawah sumbu O x. Akibatnya, kita mendapatkan dua interval (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

Menjawab: (− ∞ , 4) ∪ (4 , + ∞) atau dalam notasi lain x ≠ 4 .

Tidak selalu dengan nilai negatif ketidaksetaraan yang diskriminatif tidak akan ada solusinya. Ada kalanya solusinya adalah himpunan semua bilangan real.

Contoh 5

Selesaikan pertidaksamaan kuadrat 3 x 2 + 1 > 0 secara grafis.

Larutan

Koefisien a positif. Diskriminannya negatif. Cabang-cabang parabola akan mengarah ke atas. Tidak ada titik potong parabola dengan sumbu O x. Mari kita lihat gambarnya.

Kami menangani ketidaksetaraan ketat yang memiliki tanda >. Artinya kita tertarik pada interval letak parabola di atas sumbu x. Hal ini berlaku jika jawabannya adalah himpunan semua bilangan real.

Menjawab:(− ∞, + ∞) atau lebih x ∈ R.

Contoh 6

Ketimpangan tersebut perlu dicarikan solusinya − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0 secara grafis.

Larutan

Cabang-cabang parabola diarahkan ke bawah. Diskriminannya negatif, oleh karena itu tidak ada titik persekutuan antara parabola dan sumbu x. Mari kita lihat gambarnya.

Kami sedang mengerjakan pertidaksamaan tidak tegas dengan tanda ≥, oleh karena itu, interval di mana parabola terletak di atas sumbu x menarik bagi kami. Dilihat dari grafik, tidak ada kesenjangan seperti itu. Artinya pertidaksamaan yang diberikan dalam kondisi masalah tidak mempunyai solusi.

Menjawab: Tidak ada solusi.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Selama pelajaran Anda akan dapat mempelajari topik secara mandiri “ Solusi grafis persamaan, ketidaksetaraan." Selama pembelajaran, guru akan mengkaji metode grafis untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan. Akan mengajari Anda cara membuat grafik, menganalisisnya, dan mendapatkan solusi persamaan dan pertidaksamaan. Pelajarannya juga akan mencakup contoh spesifik pada topik ini.

Topik: Fungsi numerik

Pelajaran: Solusi grafis persamaan, pertidaksamaan

1. Topik pelajaran, pendahuluan

Kami melihat grafiknya fungsi dasar, termasuk grafik fungsi daya dengan indikator yang berbeda. Kita juga melihat aturan pergeseran dan transformasi grafik fungsi. Semua keterampilan ini harus diterapkan bila diperlukan grafislarutan persamaan atau grafis larutankesenjangan.

2. Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan secara grafis

Contoh 1: Selesaikan persamaan secara grafis:

Mari kita buat grafik fungsi (Gbr. 1).

Grafik suatu fungsi adalah parabola yang melalui titik-titik tersebut

Grafik fungsinya berupa garis lurus, mari kita buat menggunakan tabel.

Grafik-grafik tersebut berpotongan di suatu titik Tidak ada titik potong lainnya, karena fungsinya meningkat secara monoton, fungsi tersebut menurun secara monoton, dan oleh karena itu, titik potongnya adalah satu-satunya.

Contoh 2: Selesaikan pertidaksamaan

A. Agar pertidaksamaan tetap ada, grafik fungsi harus ditempatkan di atas garis lurus (Gbr. 1). Hal ini dilakukan ketika

B. Sebaliknya dalam hal ini parabola harus berada di bawah garis lurus. Hal ini dilakukan ketika

Contoh 3. Selesaikan pertidaksamaan

Mari kita membuat grafik fungsi (Gbr. 2).

Mari kita cari akar persamaan Jika tidak ada solusi. Ada satu solusi.

Agar pertidaksamaan tetap ada, hiperbola harus terletak di atas garis .

Contoh 4. Selesaikan pertidaksamaan secara grafis:

Domain:

Mari kita membuat grafik fungsi untuk (Gbr. 3).

A. Grafik fungsi harus ditempatkan di bawah grafik;

B. Grafik fungsi terletak di atas grafik di Tetapi karena kondisi mempunyai tanda lemah, penting untuk tidak kehilangan akar terisolasi

3. Kesimpulan

Kami melihat metode grafis untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan; Kami melihat contoh spesifik, solusinya menggunakan sifat-sifat fungsi seperti monotonisitas dan paritas.

1. Mordkovich A.G. dkk. Aljabar kelas 9: Buku Teks. Untuk pendidikan umum Institusi.- Edisi ke-4. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 hal.: sakit.

2. Mordkovich A.G. dkk. Aljabar kelas 9: Buku soal untuk siswa lembaga pendidikan umum / A.G. Mordkovich, T.N. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 hal.: sakit.

3. Makarychev Yu.N.Aljabar. kelas 9: mendidik. untuk siswa pendidikan umum. institusi / Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I.Neshkov, I.E.Feoktistov. — Edisi ke-7, putaran. dan tambahan - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh., Kolyagin M., Sidorov V. Aljabar. kelas 9. edisi ke-16. - M., 2011. - 287 hal.

5. Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 9. Dalam 2 jam. Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. — Edisi ke-12, terhapus. - M.: 2010. - 224 hal.: sakit.

6. Aljabar. kelas 9. Dalam 2 bagian. Bagian 2. Buku Soal untuk mahasiswa lembaga pendidikan umum / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina dan lain-lain; Ed. A.G. Mordkovich. — Edisi ke-12, putaran. - M.: 2010.-223 hal.: sakit.

1. Bagian perguruan tinggi. ru dalam matematika.

2. Proyek Internet “Tugas”.

3. Portal pendidikan“AKU AKAN MENYELESAIKAN PENGGUNAANNYA.”

1. Mordkovich A.G. dkk. Aljabar kelas 9: Buku soal untuk siswa lembaga pendidikan umum / A.G. Mordkovich, T.N. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 hal.: sakit. Nomor 355, 356, 364.