Selesaikan pertidaksamaan akar kuadrat. Ketimpangan yang tidak rasional. Panduan Komprehensif (2019). Contoh pemecahan masalah

DI DALAM pelajaran ini kami akan mempertimbangkan solusi ketidaksetaraan irasional, kami akan memberikannya berbagai contoh.

Topik: Persamaan dan pertidaksamaan. Sistem persamaan dan pertidaksamaan

Pelajaran:Ketimpangan yang tidak rasional

Saat menyelesaikan pertidaksamaan yang tidak rasional, seringkali kedua sisi pertidaksamaan perlu dinaikkan ke tingkat tertentu; ini adalah operasi yang cukup bertanggung jawab. Mari kita mengingat kembali fitur-fiturnya.

Kedua ruas pertidaksamaan dapat dikuadratkan jika keduanya tidak negatif, barulah kita memperoleh pertidaksamaan sejati dari pertidaksamaan sejati.

Bagaimanapun, kedua sisi pertidaksamaan dapat dipangkatkan; jika pertidaksamaan aslinya benar, maka ketika dikubuskan kita akan mendapatkan pertidaksamaan yang sebenarnya.

Perhatikan pertidaksamaan bentuk:

Ekspresi radikal haruslah non-negatif. Fungsi ini dapat mengambil nilai apa pun; ada dua kasus yang perlu dipertimbangkan.

Dalam kasus pertama, kedua sisi pertidaksamaan adalah non-negatif, kita berhak mengkuadratkannya. Dalam kasus kedua, ruas kanannya negatif, dan kita tidak berhak mengkuadratkannya. Dalam hal ini perlu dilihat arti dari pertidaksamaan: di sini ekspresi positif (akar kuadrat) lebih besar dari ekspresi negatif, yang berarti pertidaksamaan selalu terpenuhi.

Jadi, kami memiliki skema solusi berikut:

Dalam sistem pertama, kita tidak melindungi ekspresi radikal secara terpisah, karena jika pertidaksamaan kedua dari sistem terpenuhi, ekspresi radikal secara otomatis harus positif.

Contoh 1 - selesaikan pertidaksamaan:

Berdasarkan diagram, kita beralih ke himpunan ekuivalen dari dua sistem pertidaksamaan:

Mari kita ilustrasikan:

Beras. 1 - ilustrasi solusi pada contoh 1

Seperti yang kita lihat, ketika kita menghilangkan irasionalitas, misalnya ketika mengkuadratkan, kita mendapatkan seperangkat sistem. Terkadang ini desain yang kompleks dapat disederhanakan. Pada himpunan hasil, kita berhak menyederhanakan sistem pertama dan memperoleh himpunan ekuivalen:

Sebagai latihan independen, perlu dibuktikan kesetaraan himpunan ini.

Perhatikan pertidaksamaan bentuk:

Mirip dengan ketimpangan sebelumnya, kami mempertimbangkan dua kasus:

Dalam kasus pertama, kedua sisi pertidaksamaan adalah non-negatif, kita berhak mengkuadratkannya. Dalam kasus kedua, ruas kanannya negatif, dan kita tidak berhak mengkuadratkannya. Dalam hal ini perlu dicermati arti pertidaksamaan: di sini ekspresi positif (akar kuadrat) lebih kecil dari ekspresi negatif, artinya pertidaksamaan tersebut kontradiktif. Tidak perlu mempertimbangkan sistem kedua.

Kita punya sistem yang setara:

Terkadang kesenjangan yang tidak rasional dapat diselesaikan metode grafis. Metode ini berlaku jika grafik-grafik yang bersesuaian dapat dibuat dengan mudah dan titik potongnya dapat ditemukan.

Contoh 2 - selesaikan pertidaksamaan secara grafis:

Kita telah menyelesaikan pertidaksamaan pertama dan mengetahui jawabannya.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan secara grafis, Anda perlu membuat grafik fungsi di sisi kiri dan grafik fungsi di sisi kanan.

Beras. 2. Grafik fungsi dan

Untuk membuat grafik suatu fungsi, Anda perlu mengubah parabola menjadi parabola (mencerminkannya relatif terhadap sumbu y), dan menggeser kurva yang dihasilkan sebanyak 7 satuan ke kanan. Grafik menegaskan hal itu fungsi ini menurun secara monoton dalam domain definisinya.

Grafik suatu fungsi adalah garis lurus dan mudah dibuat. Titik potong dengan sumbu y adalah (0;-1).

Fungsi pertama berkurang secara monoton, fungsi kedua meningkat secara monoton. Jika persamaan tersebut memiliki akar, maka persamaan tersebut adalah satu-satunya; mudah ditebak dari grafik: .

Ketika nilai argumen akar yang lebih sedikit, parabola berada di atas garis lurus. Jika nilai argumennya antara tiga dan tujuh, garis lurus melewati parabola.

Kami punya jawabannya:

Metode yang efektif Metode interval digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan irasional.

Contoh 3 - selesaikan pertidaksamaan menggunakan metode interval:

Menurut metode interval, ketimpangan perlu dijauhkan untuk sementara waktu. Untuk melakukan ini, pindahkan semua pertidaksamaan yang diberikan ke ruas kiri (dapatkan nol di sebelah kanan) dan masukkan fungsi yang sama dengan ruas kiri:

Sekarang kita perlu mempelajari fungsi yang dihasilkan.

ODZ:

Kami telah menyelesaikan persamaan ini secara grafis, jadi kami tidak memikirkan penentuan akarnya.

Sekarang kita perlu memilih interval tanda konstan dan menentukan tanda fungsi pada setiap interval:

Beras. 3. Interval keteguhan tanda misalnya 3

Mari kita ingat bahwa untuk menentukan tanda-tanda pada suatu interval, perlu untuk mengambil titik percobaan dan mensubstitusikannya ke dalam fungsi tersebut akan mempertahankan tanda yang dihasilkan sepanjang seluruh interval;

Mari kita periksa nilai pada titik batas:

Jawabannya jelas:

Perhatikan jenis ketidaksetaraan berikut:

Pertama, mari kita tulis ODZ-nya:

Akarnya ada, tidak negatif, kita bisa mengkuadratkan kedua sisinya. Kami mendapatkan:

Kami mendapat sistem yang setara:

Sistem yang dihasilkan dapat disederhanakan. Jika pertidaksamaan kedua dan ketiga terpenuhi, pertidaksamaan pertama otomatis menjadi benar. Kami memiliki::

Contoh 4 - selesaikan pertidaksamaan:

Kami bertindak sesuai skema - kami mendapatkan sistem yang setara.

Dalam pelajaran ini kita akan melihat penyelesaian pertidaksamaan irasional dan memberikan berbagai contoh.

Topik: Persamaan dan pertidaksamaan. Sistem persamaan dan pertidaksamaan

Pelajaran:Ketimpangan yang tidak rasional

Kedua ruas pertidaksamaan dapat dikuadratkan jika keduanya tidak negatif, barulah kita memperoleh pertidaksamaan sejati dari pertidaksamaan sejati.

Bagaimanapun, kedua sisi pertidaksamaan dapat dipangkatkan; jika pertidaksamaan aslinya benar, maka ketika dikubuskan kita akan mendapatkan pertidaksamaan yang sebenarnya.

Perhatikan pertidaksamaan bentuk:

Ekspresi radikal haruslah non-negatif. Fungsi ini dapat mengambil nilai apa pun; ada dua kasus yang perlu dipertimbangkan.

Jadi, kami memiliki skema solusi berikut:

Dalam sistem pertama, kita tidak melindungi ekspresi radikal secara terpisah, karena jika pertidaksamaan kedua dari sistem terpenuhi, ekspresi radikal secara otomatis harus positif.

Contoh 1 - selesaikan pertidaksamaan:

Berdasarkan diagram, kita beralih ke himpunan ekuivalen dari dua sistem pertidaksamaan:

Mari kita ilustrasikan:

Beras. 1 - ilustrasi solusi pada contoh 1

Seperti yang kita lihat, ketika kita menghilangkan irasionalitas, misalnya ketika mengkuadratkan, kita mendapatkan seperangkat sistem. Terkadang desain rumit ini dapat disederhanakan. Pada himpunan hasil, kita berhak menyederhanakan sistem pertama dan memperoleh himpunan ekuivalen:

Sebagai latihan independen, perlu dibuktikan kesetaraan himpunan ini.

Perhatikan pertidaksamaan bentuk:

Mirip dengan ketimpangan sebelumnya, kami mempertimbangkan dua kasus:

Dalam kasus pertama, kedua sisi pertidaksamaan adalah non-negatif, kita berhak mengkuadratkannya. Dalam kasus kedua, ruas kanannya negatif, dan kita tidak berhak mengkuadratkannya. Dalam hal ini perlu dicermati arti pertidaksamaan: di sini ekspresi positif (akar kuadrat) lebih kecil dari ekspresi negatif, artinya pertidaksamaan tersebut kontradiktif. Tidak perlu mempertimbangkan sistem kedua.

Kami memiliki sistem yang setara:

Terkadang kesenjangan yang tidak rasional dapat diselesaikan secara grafis. Metode ini dapat diterapkan jika grafik-grafik yang bersesuaian dapat dibuat dengan mudah dan titik potongnya dapat ditemukan.

Contoh 2 - selesaikan pertidaksamaan secara grafis:

Kita telah menyelesaikan pertidaksamaan pertama dan mengetahui jawabannya.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan secara grafis, Anda perlu membuat grafik fungsi di sisi kiri dan grafik fungsi di sisi kanan.

Beras. 2. Grafik fungsi dan

Untuk membuat grafik suatu fungsi, Anda perlu mengubah parabola menjadi parabola (mencerminkannya relatif terhadap sumbu y), dan menggeser kurva yang dihasilkan sebanyak 7 satuan ke kanan. Grafik tersebut menegaskan bahwa fungsi ini menurun secara monoton dalam domain definisinya.

Grafik suatu fungsi adalah garis lurus dan mudah dibuat. Titik potong dengan sumbu y adalah (0;-1).

Fungsi pertama berkurang secara monoton, fungsi kedua meningkat secara monoton. Jika persamaan tersebut memiliki akar, maka persamaan tersebut adalah satu-satunya; mudah ditebak dari grafik: .

Jika nilai argumennya lebih kecil dari akarnya, maka parabola berada di atas garis lurus. Jika nilai argumennya antara tiga dan tujuh, garis lurus melewati parabola.

Kami punya jawabannya:

Metode yang efektif untuk menyelesaikan pertidaksamaan irasional adalah metode interval.

Contoh 3 - selesaikan pertidaksamaan menggunakan metode interval:

Sekarang kita perlu mempelajari fungsi yang dihasilkan.

ODZ:

Kami telah menyelesaikan persamaan ini secara grafis, jadi kami tidak memikirkan penentuan akarnya.

Sekarang kita perlu memilih interval tanda konstan dan menentukan tanda fungsi pada setiap interval:

Beras. 3. Interval keteguhan tanda misalnya 3

Mari kita periksa nilai pada titik batas:

Jawabannya jelas:

Perhatikan jenis ketidaksetaraan berikut:

Pertama, mari kita tulis ODZ-nya:

Akarnya ada, tidak negatif, kita bisa mengkuadratkan kedua sisinya. Kami mendapatkan:

Kami mendapat sistem yang setara:

Sistem yang dihasilkan dapat disederhanakan. Jika pertidaksamaan kedua dan ketiga terpenuhi, pertidaksamaan pertama otomatis menjadi benar. Kami memiliki::

Contoh 4 - selesaikan pertidaksamaan:

Kami bertindak sesuai skema - kami mendapatkan sistem yang setara.

Untuk menyelesaikan tugas topik ini dengan baik, Anda perlu menguasai teori dari beberapa topik sebelumnya dengan sempurna, terutama dari topik “Persamaan dan Sistem Irasional” dan “Ketidaksetaraan Rasional”. Sekarang mari kita tuliskan salah satu teorema utama yang digunakan dalam menyelesaikan pertidaksamaan irasional (yaitu pertidaksamaan dengan akar). Jadi jika keduanya berfungsi F(X) Dan G(x) tidak negatif, maka pertidaksamaannya:

Setara dengan pertidaksamaan berikut:

Dengan kata lain, jika terdapat ekspresi non-negatif di kiri dan kanan suatu pertidaksamaan, maka pertidaksamaan tersebut dapat dipangkatkan dengan aman. Nah, jika Anda perlu menaikkan seluruh pertidaksamaan menjadi pangkat ganjil, maka dalam hal ini bahkan tidak perlu mensyaratkan bilangan non-negatif dari kiri dan bagian yang tepat kesenjangan. Dengan demikian, ketidaksetaraan apa pun tanpa batasan dapat dipangkatkan ganjil. Mari kita tekankan sekali lagi bahwa untuk menaikkan ketimpangan menjadi pangkat genap, kita perlu memastikan bahwa kedua sisi ketimpangan tersebut tidak negatif.

Teorema ini menjadi sangat relevan justru dalam ketidaksetaraan irasional, yaitu. dalam pertidaksamaan dengan akar-akar, yang mana untuk menyelesaikan sebagian besar contoh, pertidaksamaan tersebut perlu dipangkatkan. Tentu saja, dalam ketidaksetaraan yang irasional, ODZ harus diperhitungkan dengan sangat hati-hati, yang sebagian besar terbentuk dari dua kondisi standar:

Akar derajat genap harus mengandung ekspresi non-negatif;
Penyebut pecahan tidak boleh mengandung angka nol.

Mari kita juga mengingat hal itu Nilai akar genap selalu non-negatif.

Sesuai dengan yang telah dikatakan, jika pertidaksamaan irasional mempunyai lebih dari dua akar kuadrat, lalu sebelum mengkuadratkan pertidaksamaan (atau pangkat genap lainnya), Anda perlu memastikan bahwa terdapat ekspresi non-negatif di setiap sisi pertidaksamaan, yaitu. jumlah akar kuadrat. Jika terdapat selisih akar-akar pada salah satu sisi pertidaksamaan, maka tidak dapat diketahui terlebih dahulu tanda selisih tersebut, yang berarti tidak mungkin menaikkan pertidaksamaan tersebut hingga pangkat genap. Dalam hal ini, Anda perlu memindahkan akar yang diawali dengan tanda minus ke sisi yang berlawanan pertidaksamaan (dari kiri ke kanan atau sebaliknya), sehingga tanda minus di depan akar-akarnya akan berubah menjadi plus, dan hanya diperoleh jumlah akar-akar pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut. Hanya dengan cara ini seluruh ketimpangan dapat dikuadratkan.

Seperti dalam topik matematika lainnya, saat menyelesaikan pertidaksamaan irasional, Anda dapat menggunakan metode penggantian variabel. Hal utama adalah jangan lupa bahwa setelah penggantian diperkenalkan, ekspresi baru harus menjadi lebih sederhana dan tidak mengandung variabel lama. Selain itu, jangan lupa melakukan penggantian terbalik.

Mari kita membahas beberapa jenis kesenjangan irasional yang relatif sederhana namun umum. Jenis ketidaksetaraan yang pertama adalah kapan dua akar derajat genap dibandingkan, yaitu. terdapat pertidaksamaan bentuk:

Pertidaksamaan ini mengandung ekspresi non-negatif di kedua sisi, sehingga dapat dipangkatkan dengan aman ke 2 N, setelah itu, dengan mempertimbangkan ODZ, kita memperoleh:

Harap dicatat bahwa ODZ direkam hanya untuk tujuan ekspresi radikal, yang lebih kecil. Ekspresi lain secara otomatis akan lebih besar dari nol, karena itu lebih dari yang pertama ekspresi, yang pada gilirannya lebih besar dari nol.

Dalam kasus ketika akar genap diasumsikan lebih besar dari beberapa akar genap ekspresi rasional

Penyelesaian pertidaksamaan tersebut dilakukan dengan beralih ke himpunan dua sistem:

Dan akhirnya, dalam kasus kapan akar derajat genap diasumsikan lebih kecil dari suatu ekspresi rasional, yaitu. dalam hal terdapat pertidaksamaan irasional berbentuk:

Penyelesaian pertidaksamaan tersebut dilakukan dengan meneruskan ke sistem:

Dalam kasus di mana dua akar pangkat ganjil dibandingkan, atau akar pangkat ganjil diasumsikan lebih besar atau lebih kecil dari suatu ekspresi rasional, Anda cukup menaikkan seluruh pertidaksamaan ke pangkat ganjil yang diinginkan, dan dengan demikian menghilangkan semua akarnya. Dalam hal ini, ODZ tambahan tidak muncul, karena pertidaksamaan dapat dipangkatkan tanpa batasan, dan di bawah akar pangkat ganjil dapat terdapat ekspresi tanda apa pun.

Metode interval umum

Dalam kasus di mana terdapat kompleks persamaan irasional, yang tidak termasuk dalam salah satu kasus yang dijelaskan di atas, dan yang tidak dapat diselesaikan dengan menaikkan pangkat tertentu, harus diterapkan metode interval umum, yaitu sebagai berikut:

Definisikan DL;
Ubah pertidaksamaan tersebut sehingga ada nol di ruas kanan (di ruas kiri, jika memungkinkan, kurangi menjadi penyebut yang sama, memfaktorkan, dll.);
Temukan semua akar pembilang dan penyebut dan gambarkan pada sumbu bilangan, dan jika pertidaksamaannya tidak ketat, cat di atas akar pembilangnya, tetapi biarkan akar penyebutnya bertitik;
Temukan tanda seluruh ekspresi pada setiap interval dengan mensubstitusikan bilangan dari interval tertentu ke dalam pertidaksamaan yang ditransformasikan. Dalam hal ini, tidak mungkin lagi mengganti tanda dengan cara apa pun ketika melewati titik-titik pada sumbu. Penting untuk menentukan tanda suatu ekspresi pada setiap interval dengan mensubstitusi nilai dari interval ke dalam ekspresi ini, dan seterusnya untuk setiap interval. Hal ini tidak mungkin lagi (inilah, pada umumnya, perbedaan antara metode interval umum dan metode biasa);
Temukan perpotongan ODZ dan interval yang memenuhi pertidaksamaan, tetapi jangan kehilangan titik-titik individual yang memenuhi pertidaksamaan (akar pembilang pada pertidaksamaan tidak tegas), dan jangan lupa untuk mengecualikan semua akar dari jawaban. penyebut semua pertidaksamaan.

Kembali
Maju

Bagaimana cara berhasil mempersiapkan CT dalam fisika dan matematika?

Agar berhasil mempersiapkan CT dalam fisika dan matematika, antara lain, tiga syarat terpenting harus dipenuhi:

Pelajari semua topik dan selesaikan semua tes dan tugas yang diberikan dalam materi pendidikan di situs ini. Untuk melakukan ini, Anda tidak memerlukan apa pun, yaitu: mencurahkan tiga hingga empat jam setiap hari untuk mempersiapkan CT fisika dan matematika, mempelajari teori, dan memecahkan masalah. Faktanya CT adalah ujian yang tidak cukup hanya mengetahui fisika atau matematika, Anda juga harus bisa menyelesaikannya dengan cepat dan tanpa kegagalan. jumlah besar tugas untuk topik yang berbeda dan kompleksitas yang berbeda-beda. Yang terakhir ini hanya dapat dipelajari dengan memecahkan ribuan masalah.
Pelajari semua rumus dan hukum dalam fisika, serta rumus dan metode dalam matematika. Sebenarnya hal ini juga sangat mudah dilakukan, formula yang diperlukan di fisika hanya ada sekitar 200 buah, dan di matematika bahkan lebih sedikit lagi. Masing-masing item berisi sekitar selusin metode standar pemecahan masalah tingkat dasar kesulitan yang juga dapat dipelajari, dan dengan demikian diselesaikan sepenuhnya secara otomatis dan tanpa kesulitan saat yang tepat sebagian besar CT. Setelah ini, Anda hanya perlu memikirkan tugas yang paling sulit.
Hadiri ketiga tahap tes latihan fisika dan matematika. Setiap RT dapat dikunjungi dua kali untuk memutuskan kedua pilihan tersebut. Sekali lagi, pada CT, selain kemampuan menyelesaikan masalah dengan cepat dan efisien, serta pengetahuan tentang rumus dan metode, Anda juga harus mampu merencanakan waktu dengan baik, mendistribusikan tenaga, dan yang terpenting, mengisi formulir jawaban dengan benar, tanpa membingungkan nomor jawaban dan soal, atau nama belakang Anda sendiri. Selain itu, selama RT, penting untuk membiasakan diri dengan gaya mengajukan pertanyaan dalam suatu masalah, yang mungkin tampak sangat tidak biasa bagi orang yang tidak siap di DT.

Penerapan ketiga poin ini yang berhasil, rajin dan bertanggung jawab akan memungkinkan Anda menunjukkan hasil yang sangat baik di CT, semaksimal kemampuan Anda.

Menemukan kesalahan?

Jika Anda merasa telah menemukan kesalahan dalam materi pendidikan, lalu silakan tulis tentang hal itu melalui email. Anda juga dapat melaporkan bug ke jaringan sosial(). Dalam surat tersebut sebutkan mata pelajaran (fisika atau matematika), nama atau nomor topik atau ujian, nomor soal, atau tempat dalam teks (halaman) yang menurut Anda terdapat kesalahan. Jelaskan juga apa dugaan kesalahannya. Surat Anda tidak akan luput dari perhatian, kesalahannya akan diperbaiki, atau Anda akan dijelaskan mengapa itu bukan kesalahan.

Setiap pertidaksamaan yang memuat suatu fungsi di bawah akar disebut irasional. Ada dua jenis ketidaksetaraan tersebut:

Dalam kasus pertama, root fungsi yang lebih sedikit g (x), yang kedua - lebih banyak. Jika g(x) - konstan, ketimpangan menjadi sangat disederhanakan. Harap dicatat: secara lahiriah kesenjangan ini sangat mirip, tetapi skema penyelesaiannya berbeda secara mendasar.

Hari ini kita akan belajar bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan irasional tipe pertama - ini adalah yang paling sederhana dan paling mudah dipahami. Tanda pertidaksamaan bisa tegas atau tidak tegas. Pernyataan berikut ini benar bagi mereka:

Dalil. Bentuk ketidaksetaraan yang tidak rasional

Setara dengan sistem pertidaksamaan:

Tidak lemah? Mari kita lihat dari mana sistem ini berasal:

f (x) ≤ g 2 (x) - semuanya jelas di sini. Ini adalah pertidaksamaan awal yang dikuadratkan;
f (x) ≥ 0 adalah ODZ dari akar. Izinkan saya mengingatkan Anda: akar kuadrat aritmatika hanya ada dari non-negatif angka;
g(x) ≥ 0 adalah jangkauan akar. Dengan mengkuadratkan ketimpangan, kita menghilangkan hal-hal negatif. Akibatnya, mungkin ada akar tambahan. Pertidaksamaan g(x) ≥ 0 memotongnya.

Banyak siswa “terpaku” pada pertidaksamaan pertama sistem: f (x) ≤ g 2 (x) - dan melupakan dua lainnya. Hasilnya bisa ditebak: keputusan salah, kehilangan poin.

Karena kesenjangan yang tidak rasional saja sudah cukup topik yang kompleks, mari kita lihat 4 contoh sekaligus. Dari yang mendasar hingga yang sangat rumit. Semua masalah diambil dari ujian masuk Universitas Negeri Moskow dinamai demikian M.V.Lomonosov.

Contoh pemecahan masalah

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

Di depan kita ada yang klasik ketimpangan yang tidak rasional: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 - konstan. Kami memiliki:

Dari ketiga ketimpangan tersebut, hanya dua yang tersisa di akhir penyelesaian. Karena pertidaksamaan 2 ≥ 0 selalu berlaku. Mari kita selesaikan kesenjangan yang tersisa: