bilangan prima adalah bilangan asli (bilangan bulat positif) yang habis dibagi tanpa sisa hanya oleh dua bilangan asli: oleh dan oleh dirinya sendiri. Dengan kata lain, bilangan prima mempunyai tepat dua pembagi alami: dan bilangan itu sendiri.
Menurut definisinya, himpunan semua pembagi suatu bilangan prima adalah dua unsur, yaitu. mewakili satu set.
Himpunan semua bilangan prima dilambangkan dengan simbol. Jadi, berdasarkan definisi himpunan bilangan prima, kita dapat menulis: .
Urutan bilangan prima terlihat seperti ini:
Teorema Dasar Aritmatika
Teorema Dasar Aritmatika menyatakan bahwa setiap bilangan asli yang lebih besar dari satu dapat direpresentasikan sebagai hasil kali bilangan prima, dan dengan cara yang unik, hingga orde faktornya. Jadi, bilangan prima adalah "bahan penyusun" dasar dari himpunan bilangan asli.
Ekspansi bilangan asli title="Diberikan oleh QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} resmi:
di mana bilangan prima, dan . Misalnya, perluasan kanonik bilangan asli terlihat seperti ini: .
Representasi bilangan asli sebagai hasil kali bilangan prima disebut juga faktorisasi suatu bilangan.
Sifat-sifat Bilangan Prima
Saringan Eratosthenes
Salah satu algoritma yang paling terkenal untuk mencari dan mengenali bilangan prima adalah saringan Eratosthenes. Jadi algoritma ini dinamai ahli matematika Yunani Eratosthenes dari Cyrene, yang dianggap sebagai penulis algoritma tersebut.
Untuk mencari semua bilangan prima yang kurang dari suatu bilangan tertentu, ikuti metode Eratosthenes, ikuti langkah-langkah berikut:
Langkah 1. Tuliskan semua bilangan asli dari dua sampai , mis. .
Langkah 2. Tetapkan nilai pada variabel, yaitu nilai yang sama dengan bilangan prima terkecil.
Langkah 3. Coret dalam daftar semua bilangan dari sampai yang merupakan kelipatan , yaitu bilangan: .
Langkah 4. Temukan bilangan pertama yang tidak disilangkan dalam daftar yang lebih besar dari , dan tetapkan nilai bilangan ini ke variabel.
Langkah 5. Ulangi langkah 3 dan 4 hingga nomor tercapai.
Proses penerapan algoritma akan terlihat seperti ini:
Semua bilangan tak bersilangan yang tersisa dalam daftar pada akhir proses penerapan algoritma akan menjadi himpunan bilangan prima dari sampai .
Dugaan Goldbach
Sampul buku “Paman Petros dan Hipotesis Goldbach”
Terlepas dari kenyataan bahwa bilangan prima telah dipelajari oleh ahli matematika sejak lama, banyak masalah terkait yang masih belum terpecahkan hingga saat ini. Salah satu masalah paling terkenal yang belum terpecahkan adalah hipotesis Goldbach, yang dirumuskan sebagai berikut:
- Benarkah setiap bilangan genap yang lebih besar dari dua dapat dinyatakan sebagai jumlah dua bilangan prima (hipotesis biner Goldbach)?
- Benarkah setiap bilangan ganjil yang lebih besar dari 5 dapat dinyatakan sebagai jumlah tiga bilangan prima (hipotesis ternary Goldbach)?
Harus dikatakan bahwa hipotesis terner Goldbach adalah kasus khusus dari hipotesis biner Goldbach, atau seperti yang dikatakan ahli matematika, hipotesis terner Goldbach lebih lemah daripada hipotesis biner Goldbach.
Dugaan Goldbach menjadi dikenal luas di luar komunitas matematika pada tahun 2000 berkat aksi pemasaran promosional yang dilakukan oleh perusahaan penerbitan Bloomsbury USA (AS) dan Faber and Faber (UK). Penerbit-penerbit ini, setelah menerbitkan buku “Paman Petros dan Dugaan Goldbach,” berjanji akan memberikan hadiah sebesar 1 juta dolar AS kepada siapa pun yang membuktikan hipotesis Goldbach dalam waktu 2 tahun sejak tanggal penerbitan buku tersebut. Terkadang hadiah dari penerbit yang disebutkan di atas dikacaukan dengan hadiah untuk memecahkan Masalah Hadiah Milenium. Jangan salah, hipotesis Goldbach tidak diklasifikasikan oleh Clay Institute sebagai “tantangan milenium”, meskipun hal ini berkaitan erat dengan Hipotesis Riemann- salah satu “tantangan milenium”.
Buku “Bilangan prima. Jalan panjang menuju ketidakterbatasan"
Sampul buku “Dunia Matematika. Bilangan prima. Jalan panjang menuju ketidakterbatasan"
Selain itu, saya merekomendasikan membaca buku sains populer yang menarik, yang penjelasannya berbunyi: “Pencarian bilangan prima adalah salah satu masalah paling paradoks dalam matematika. Para ilmuwan telah mencoba memecahkannya selama beberapa milenium, namun seiring dengan berkembangnya versi dan hipotesis baru, misteri ini masih belum terpecahkan. Kemunculan bilangan prima tidak tunduk pada sistem apa pun: bilangan tersebut muncul secara spontan dalam rangkaian bilangan asli, mengabaikan semua upaya ahli matematika untuk mengidentifikasi pola dalam barisannya. Buku ini akan memungkinkan pembaca menelusuri evolusi konsep ilmiah dari zaman kuno hingga saat ini dan memperkenalkan teori paling menarik dalam pencarian bilangan prima.”
Selain itu, saya akan mengutip bagian awal bab kedua buku ini: “Bilangan prima adalah salah satu topik penting yang membawa kita kembali ke asal mula matematika, dan kemudian, di sepanjang jalur yang semakin kompleks, membawa kita ke garis depan. ilmu pengetahuan modern. Oleh karena itu, akan sangat berguna untuk menelusuri sejarah teori bilangan prima yang menarik dan kompleks: bagaimana tepatnya teori itu berkembang, bagaimana tepatnya fakta dan kebenaran yang sekarang diterima secara umum dikumpulkan. Dalam bab ini kita akan melihat bagaimana generasi matematikawan mempelajari bilangan asli dengan cermat untuk mencari aturan yang memprediksi munculnya bilangan prima - aturan yang menjadi semakin sulit dipahami seiring dengan kemajuan pencarian. Kita juga akan melihat secara rinci konteks sejarah: kondisi di mana para ahli matematika bekerja dan sejauh mana pekerjaan mereka melibatkan praktik mistis dan semi-religius, yang sangat berbeda dari metode ilmiah yang digunakan di zaman kita. Namun demikian, perlahan dan dengan susah payah, landasan dipersiapkan untuk pandangan baru yang menginspirasi Fermat dan Euler pada abad ke-17 dan ke-18.”
- Terjemahan
Sifat-sifat bilangan prima pertama kali dipelajari oleh ahli matematika Yunani Kuno. Matematikawan dari aliran Pythagoras (500 - 300 SM) terutama tertarik pada sifat mistik dan numerologi bilangan prima. Merekalah yang pertama kali memunculkan ide tentang angka sempurna dan bersahabat.
Bilangan sempurna mempunyai jumlah pembaginya yang sama dengan bilangan itu sendiri. Misalnya pembagi bilangan 6 adalah 1, 2 dan 3. 1 + 2 + 3 = 6. Pembagi bilangan 28 adalah 1, 2, 4, 7 dan 14. Selain itu, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Bilangan disebut bersahabat jika jumlah pembagi suatu bilangan sama dengan bilangan lain, dan sebaliknya - misalnya 220 dan 284. Kita dapat mengatakan bahwa bilangan sempurna bersahabat dengan bilangan itu sendiri.
Pada saat Elemen Euclid pada tahun 300 SM. Beberapa fakta penting tentang bilangan prima telah terbukti. Dalam Buku IX Elemen, Euclid membuktikan bahwa ada bilangan prima yang jumlahnya tak terhingga. Omong-omong, ini adalah salah satu contoh pertama penggunaan pembuktian dengan kontradiksi. Dia juga membuktikan Teorema Dasar Aritmatika - setiap bilangan bulat dapat direpresentasikan secara unik sebagai hasil kali bilangan prima.
Ia juga menunjukkan bahwa jika bilangan 2n-1 bilangan prima, maka bilangan 2n-1 * (2n-1) adalah bilangan sempurna. Matematikawan lain, Euler, mampu menunjukkan pada tahun 1747 bahwa semua bilangan sempurna genap dapat ditulis dalam bentuk ini. Sampai hari ini tidak diketahui apakah bilangan ganjil sempurna itu ada.
Pada tahun 200 SM. Eratosthenes Yunani menemukan algoritma untuk menemukan bilangan prima yang disebut Saringan Eratosthenes.
Dan kemudian terjadi terobosan besar dalam sejarah studi bilangan prima, terkait dengan Abad Pertengahan.
Penemuan berikut telah dilakukan pada awal abad ke-17 oleh ahli matematika Fermat. Ia membuktikan dugaan Albert Girard bahwa bilangan prima apa pun berbentuk 4n+1 dapat ditulis secara unik sebagai jumlah dua kuadrat, dan juga merumuskan teorema bahwa bilangan apa pun dapat ditulis sebagai jumlah empat kuadrat.
Ia mengembangkan metode baru untuk memfaktorkan bilangan besar, dan mendemonstrasikannya pada bilangan 2027651281 = 44021 × 46061. Ia juga membuktikan Teorema Kecil Fermat: jika p adalah bilangan prima, maka untuk sembarang bilangan bulat a maka benar bahwa a p = modulo P.
Pernyataan ini membuktikan setengah dari apa yang dikenal sebagai "dugaan Cina" dan berasal dari tahun 2000 yang lalu: bilangan bulat n adalah bilangan prima jika dan hanya jika 2 n -2 habis dibagi n. Hipotesis bagian kedua ternyata salah - misalnya, 2.341 - 2 habis dibagi 341, meskipun bilangan 341 adalah bilangan komposit: 341 = 31 × 11.
Teorema Kecil Fermat menjadi dasar bagi banyak hasil lain dalam teori bilangan dan metode untuk menguji apakah bilangan merupakan bilangan prima - banyak di antaranya masih digunakan hingga saat ini.
Fermat banyak berkorespondensi dengan orang-orang sezamannya, terutama dengan seorang biarawan bernama Maren Mersenne. Dalam salah satu suratnya, ia berhipotesis bahwa bilangan berbentuk 2 n +1 akan selalu prima jika n adalah pangkat dua. Dia mengujinya untuk n = 1, 2, 4, 8 dan 16, dan yakin bahwa dalam kasus di mana n bukan pangkat dua, bilangan tersebut belum tentu prima. Bilangan-bilangan ini disebut bilangan Fermat, dan 100 tahun kemudian Euler menunjukkan bahwa bilangan berikutnya, 2 32 + 1 = 4294967297, habis dibagi 641, dan karenanya bukan bilangan prima.
Bilangan berbentuk 2 n - 1 juga pernah menjadi bahan penelitian, karena mudah untuk menunjukkan bahwa jika n bilangan komposit, maka bilangan itu sendiri juga bilangan komposit. Angka-angka ini disebut bilangan Mersenne karena ia mempelajarinya secara ekstensif.
Namun tidak semua bilangan berbentuk 2 n - 1, dimana n adalah bilangan prima, adalah bilangan prima. Misalnya 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Ini pertama kali ditemukan pada tahun 1536.
Selama bertahun-tahun, bilangan-bilangan semacam ini memberi para matematikawan bilangan prima terbesar yang diketahui. Bahwa M 19 dibuktikan oleh Cataldi pada tahun 1588, dan selama 200 tahun merupakan bilangan prima terbesar yang diketahui, hingga Euler membuktikan bahwa M 31 juga merupakan bilangan prima. Rekor ini bertahan selama seratus tahun berikutnya, dan kemudian Lucas menunjukkan bahwa M 127 adalah bilangan prima (dan ini sudah merupakan bilangan 39 digit), dan setelah itu penelitian dilanjutkan dengan munculnya komputer.
Pada tahun 1952 terbukti keutamaan bilangan M 521, M 607, M 1279, M 2203 dan M 2281.
Pada tahun 2005, 42 bilangan prima Mersenne telah ditemukan. Yang terbesar, M 25964951, terdiri dari 7816230 digit.
Karya Euler berdampak besar pada teori bilangan, termasuk bilangan prima. Dia memperluas Teorema Kecil Fermat dan memperkenalkan fungsi φ. Memfaktorkan bilangan Fermat ke-5 2 32 +1, menemukan 60 pasang bilangan sahabat, dan merumuskan (tetapi tidak dapat membuktikan) hukum timbal balik kuadrat.
Dialah orang pertama yang memperkenalkan metode analisis matematis dan mengembangkan teori bilangan analitis. Ia membuktikan bahwa deret harmonik tidak hanya ∑ (1/n), tetapi juga deret yang bentuknya
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…
Hasil penjumlahan kebalikan bilangan prima juga berbeda. Jumlah n suku deret harmonik bertambah kira-kira sebesar log(n), dan deret kedua menyimpang lebih lambat sebesar log[ log(n) ]. Artinya, misalnya, jumlah kebalikan dari semua bilangan prima yang ditemukan sampai saat ini hanya akan menghasilkan 4, meskipun deretnya masih divergen.
Pada pandangan pertama, nampaknya bilangan prima terdistribusi secara acak di antara bilangan bulat. Misalnya, di antara 100 bilangan tepat sebelum 10.000000 terdapat 9 bilangan prima, dan di antara 100 bilangan tepat setelah nilai ini hanya terdapat 2. Namun pada segmen yang besar, bilangan prima tersebar cukup merata. Legendre dan Gauss menangani masalah distribusinya. Gauss pernah berkata kepada temannya bahwa dalam waktu luang 15 menit apa pun dia selalu menghitung jumlah bilangan prima pada 1000 bilangan berikutnya. Pada akhir hidupnya, ia telah menghitung semua bilangan prima hingga 3 juta. Legendre dan Gauss sama-sama menghitung bahwa untuk n yang besar, massa jenis prima adalah 1/log(n). Legendre memperkirakan jumlah bilangan prima dalam rentang 1 sampai n as
π(n) = n/(log(n) - 1,08366)
Dan Gauss seperti integral logaritma
π(n) = ∫ 1/log(t)dt
Dengan interval integrasi dari 2 hingga n.
Pernyataan tentang massa jenis bilangan prima 1/log(n) dikenal dengan Teorema Distribusi Prima. Mereka mencoba membuktikannya sepanjang abad ke-19, dan kemajuan dicapai oleh Chebyshev dan Riemann. Mereka menghubungkannya dengan hipotesis Riemann, hipotesis yang masih belum terbukti tentang distribusi angka nol pada fungsi Riemann zeta. Kepadatan bilangan prima dibuktikan secara bersamaan oleh Hadamard dan Vallée-Poussin pada tahun 1896.
Masih banyak pertanyaan yang belum terpecahkan dalam teori bilangan prima, beberapa di antaranya sudah berusia ratusan tahun:
- Hipotesis prima kembar adalah tentang pasangan bilangan prima yang jumlahnya tak terhingga dan berbeda satu sama lain sebesar 2
- Dugaan Goldbach: bilangan genap apa pun, dimulai dengan 4, dapat dinyatakan sebagai jumlah dua bilangan prima
- Apakah ada bilangan prima yang bentuknya n 2 + 1 tak terhingga?
- Apakah selalu mungkin menemukan bilangan prima antara n 2 dan (n + 1) 2? (fakta bahwa selalu ada bilangan prima antara n dan 2n dibuktikan oleh Chebyshev)
- Apakah jumlah bilangan prima Fermat tidak terhingga? Apakah ada bilangan prima Fermat setelah 4?
- apakah ada barisan aritmatika dari bilangan prima berurutan untuk panjang tertentu? misalnya untuk panjang 4: 251, 257, 263, 269. Panjang maksimum yang ditemukan adalah 26.
- Apakah ada himpunan tiga bilangan prima berurutan yang jumlahnya tak terhingga dalam barisan aritmatika?
- n 2 - n + 41 adalah bilangan prima untuk 0 ≤ n ≤ 40. Adakah bilangan prima seperti itu yang jumlahnya tak terhingga? Pertanyaan yang sama untuk rumus n 2 - 79 n + 1601. Bilangan-bilangan ini adalah bilangan prima untuk 0 ≤ n ≤ 79.
- Apakah ada bilangan prima berbentuk n# + 1 yang tak terhingga? (n# adalah hasil perkalian semua bilangan prima yang kurang dari n)
- Apakah ada bilangan prima berbentuk n# -1 yang tak terhingga?
- Apakah ada bilangan prima berbentuk n yang tak terhingga? + 1?
- Apakah ada bilangan prima berbentuk n yang tak terhingga? - 1?
- jika p bilangan prima, apakah 2 p -1 selalu tidak mengandung kuadrat prima di antara faktor-faktornya?
- apakah barisan Fibonacci mengandung bilangan prima yang jumlahnya tak terhingga?
Bilangan prima kembar terbesar adalah 2003663613 × 2 195000 ± 1. Bilangan prima tersebut terdiri dari 58711 digit dan ditemukan pada tahun 2007.
Bilangan prima faktorial terbesar (tipe n!±1) adalah 147855! - 1. Terdiri dari 142891 digit dan ditemukan pada tahun 2002.
Bilangan prima primordial terbesar (bilangan berbentuk n# ± 1) adalah 1098133# + 1.
Tag: Tambahkan tag
Definisi 1. bilangan prima− adalah bilangan asli yang lebih besar dari satu yang hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri dan 1.
Dengan kata lain, suatu bilangan dikatakan prima jika hanya mempunyai dua faktor alam yang berbeda.
Definisi 2. Setiap bilangan asli yang mempunyai pembagi lain selain bilangan itu sendiri dan bilangan satu disebut sebuah bilangan komposit.
Dengan kata lain, bilangan asli yang bukan bilangan prima disebut bilangan komposit. Dari Definisi 1 dapat disimpulkan bahwa suatu bilangan komposit mempunyai lebih dari dua faktor alam. Bilangan 1 bukan bilangan prima dan bukan bilangan komposit karena hanya memiliki satu pembagi 1 dan, sebagai tambahan, banyak teorema mengenai bilangan prima tidak berlaku untuk kesatuan.
Dari Definisi 1 dan 2 dapat disimpulkan bahwa setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 adalah bilangan prima atau bilangan komposit.
Di bawah ini adalah program untuk menampilkan bilangan prima hingga 5000. Isi sel, klik tombol "Buat" dan tunggu beberapa detik.
Tabel bilangan prima
Penyataan 1. Jika P- bilangan prima dan A bilangan bulat apa pun, lalu salah satunya A dibagi dengan P, atau P Dan A bilangan koprima.
Benar-benar. Jika P Suatu bilangan prima hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri dan 1 jika A tidak habis dibagi P, maka pembagi persekutuan terbesar A Dan P sama dengan 1. Lalu P Dan A bilangan koprima.
Penyataan 2. Jika hasil kali beberapa bilangan adalah bilangan A 1 , A 2 , A 3, ... habis dibagi bilangan prima P, maka setidaknya salah satu angkanya A 1 , A 2 , A 3, ... habis dibagi P.
Benar-benar. Jika tidak ada satupun bilangan yang habis dibagi P, lalu angkanya A 1 , A 2 , A 3, ... akan menjadi bilangan koprima terhadap P. Tapi dari Akibat wajar 3 () berikut ini produk mereka A 1 , A 2 , A 3, ... juga relatif prima terhadap P, yang bertentangan dengan ketentuan pernyataan. Oleh karena itu, paling sedikit salah satu bilangan tersebut habis dibagi P.
Dalil 1. Bilangan komposit apa pun selalu dapat direpresentasikan, dan dengan cara yang unik, sebagai hasil kali sejumlah bilangan prima yang berhingga.
Bukti. Membiarkan k bilangan komposit, dan biarkan A 1 adalah salah satu pembaginya yang berbeda dari 1 dan dirinya sendiri. Jika A 1 adalah komposit, kemudian memiliki tambahan 1 dan A 1 dan pembagi lainnya A 2. Jika A 2 adalah bilangan komposit, maka ia mempunyai tambahan 1 dan A 2 dan pembagi lainnya A 3. Bernalar dengan cara ini dan memperhitungkan angka-angka itu A 1 , A 2 , A 3 , ... berkurang dan deret ini berisi sejumlah suku berhingga, kita akan mencapai suatu bilangan prima P 1 . Kemudian k dapat direpresentasikan dalam bentuk
Misalkan ada dua penguraian suatu bilangan k:
Karena k=p 1 P 2 P 3... habis dibagi bilangan prima Q 1, maka paling sedikit salah satu faktornya, misalnya P 1 habis dibagi Q 1 . Tetapi P 1 adalah bilangan prima dan hanya habis dibagi 1 dan bilangan itu sendiri. Karena itu P 1 =Q 1 (karena Q 1 ≠1)
Kemudian dari (2) kita dapat mengecualikan P 1 dan Q 1:
Jadi, kita yakin bahwa setiap bilangan prima yang muncul sebagai faktor pada pemuaian pertama satu kali atau lebih juga muncul pada pemuaian kedua paling sedikit sebanyak kali, dan sebaliknya, bilangan prima apa pun yang muncul sebagai faktor pada pemuaian kedua satu kali atau lebih juga muncul dalam perluasan pertama setidaknya dalam jumlah yang sama. Oleh karena itu, bilangan prima apa pun muncul sebagai faktor dalam kedua pemuaian dengan jumlah yang sama dan, dengan demikian, kedua pemuaian tersebut adalah sama.■
Perluasan bilangan komposit k dapat ditulis dalam bentuk berikut
| (3) |
Di mana P 1 , P 2, ... berbagai bilangan prima, α, β, γ ... bilangan bulat positif.
Ekspansi (3) disebut perluasan kanonik angka.
Bilangan prima muncul secara tidak merata dalam rangkaian bilangan asli. Di beberapa bagian baris jumlahnya lebih banyak, di bagian lain - lebih sedikit. Semakin jauh kita menelusuri deret bilangan, semakin jarang bilangan prima tersebut. Timbul pertanyaan, apakah ada bilangan prima terbesar? Matematikawan Yunani kuno Euclid membuktikan bahwa bilangan prima ada tak terhingga banyaknya. Buktinya kami sajikan di bawah ini.
Dalil 2. Jumlah bilangan prima tidak terbatas.
Bukti. Misalkan ada sejumlah bilangan prima yang berhingga, dan biarkan bilangan prima terbesar menjadi P. Mari kita anggap semua angka lebih besar P. Berdasarkan asumsi pernyataan tersebut, bilangan-bilangan tersebut harus bilangan komposit dan harus habis dibagi oleh paling sedikit salah satu bilangan prima. Mari kita pilih bilangan yang merupakan hasil kali semua bilangan prima berikut ditambah 1:
Nomor z lagi P Karena 2p sudah lebih P. P tidak habis dibagi oleh salah satu bilangan prima tersebut, karena bila dibagi masing-masing memberikan sisa 1. Jadi kita sampai pada kontradiksi. Oleh karena itu, jumlah bilangan prima tidak terhingga.
Teorema ini merupakan kasus khusus dari teorema yang lebih umum:
Dalil 3. Biarkan perkembangan aritmatika diberikan
Maka bilangan prima apa pun yang termasuk di dalamnya N, harus disertakan dalam M, oleh karena itu di N faktor prima lain yang tidak termasuk dalam M dan, terlebih lagi, faktor-faktor prima ini N disertakan tidak lebih dari pada M.
Hal sebaliknya juga terjadi. Jika setiap faktor prima suatu bilangan N disertakan setidaknya berkali-kali dalam nomor tersebut M, Itu M dibagi dengan N.
Penyataan 3. Membiarkan A 1 ,A 2 ,A 3,...berbagai bilangan prima yang termasuk di dalamnya M Jadi
Di mana Saya=0,1,...α , J=0,1,...,β ,k=0,1,..., γ . perhatikan itu saya menerima α nilai +1, β j menerima β nilai +1, γ k menerima γ nilai +1, ... .
- Terjemahan
Sifat-sifat bilangan prima pertama kali dipelajari oleh ahli matematika Yunani Kuno. Matematikawan dari aliran Pythagoras (500 - 300 SM) terutama tertarik pada sifat mistik dan numerologi bilangan prima. Merekalah yang pertama kali memunculkan ide tentang angka sempurna dan bersahabat.
Bilangan sempurna mempunyai jumlah pembaginya yang sama dengan bilangan itu sendiri. Misalnya pembagi bilangan 6 adalah 1, 2 dan 3. 1 + 2 + 3 = 6. Pembagi bilangan 28 adalah 1, 2, 4, 7 dan 14. Selain itu, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Bilangan disebut bersahabat jika jumlah pembagi suatu bilangan sama dengan bilangan lain, dan sebaliknya - misalnya 220 dan 284. Kita dapat mengatakan bahwa bilangan sempurna bersahabat dengan bilangan itu sendiri.
Pada saat Elemen Euclid pada tahun 300 SM. Beberapa fakta penting tentang bilangan prima telah terbukti. Dalam Buku IX Elemen, Euclid membuktikan bahwa ada bilangan prima yang jumlahnya tak terhingga. Omong-omong, ini adalah salah satu contoh pertama penggunaan pembuktian dengan kontradiksi. Dia juga membuktikan Teorema Dasar Aritmatika - setiap bilangan bulat dapat direpresentasikan secara unik sebagai hasil kali bilangan prima.
Ia juga menunjukkan bahwa jika bilangan 2n-1 bilangan prima, maka bilangan 2n-1 * (2n-1) adalah bilangan sempurna. Matematikawan lain, Euler, mampu menunjukkan pada tahun 1747 bahwa semua bilangan sempurna genap dapat ditulis dalam bentuk ini. Sampai hari ini tidak diketahui apakah bilangan ganjil sempurna itu ada.
Pada tahun 200 SM. Eratosthenes Yunani menemukan algoritma untuk menemukan bilangan prima yang disebut Saringan Eratosthenes.
Dan kemudian terjadi terobosan besar dalam sejarah studi bilangan prima, terkait dengan Abad Pertengahan.
Penemuan berikut telah dilakukan pada awal abad ke-17 oleh ahli matematika Fermat. Ia membuktikan dugaan Albert Girard bahwa bilangan prima apa pun berbentuk 4n+1 dapat ditulis secara unik sebagai jumlah dua kuadrat, dan juga merumuskan teorema bahwa bilangan apa pun dapat ditulis sebagai jumlah empat kuadrat.
Ia mengembangkan metode baru untuk memfaktorkan bilangan besar, dan mendemonstrasikannya pada bilangan 2027651281 = 44021 × 46061. Ia juga membuktikan Teorema Kecil Fermat: jika p adalah bilangan prima, maka untuk sembarang bilangan bulat a maka benar bahwa a p = modulo P.
Pernyataan ini membuktikan setengah dari apa yang dikenal sebagai "dugaan Cina" dan berasal dari tahun 2000 yang lalu: bilangan bulat n adalah bilangan prima jika dan hanya jika 2 n -2 habis dibagi n. Hipotesis bagian kedua ternyata salah - misalnya, 2.341 - 2 habis dibagi 341, meskipun bilangan 341 adalah bilangan komposit: 341 = 31 × 11.
Teorema Kecil Fermat menjadi dasar bagi banyak hasil lain dalam teori bilangan dan metode untuk menguji apakah bilangan merupakan bilangan prima - banyak di antaranya masih digunakan hingga saat ini.
Fermat banyak berkorespondensi dengan orang-orang sezamannya, terutama dengan seorang biarawan bernama Maren Mersenne. Dalam salah satu suratnya, ia berhipotesis bahwa bilangan berbentuk 2 n +1 akan selalu prima jika n adalah pangkat dua. Dia mengujinya untuk n = 1, 2, 4, 8 dan 16, dan yakin bahwa dalam kasus di mana n bukan pangkat dua, bilangan tersebut belum tentu prima. Bilangan-bilangan ini disebut bilangan Fermat, dan 100 tahun kemudian Euler menunjukkan bahwa bilangan berikutnya, 2 32 + 1 = 4294967297, habis dibagi 641, dan karenanya bukan bilangan prima.
Bilangan berbentuk 2 n - 1 juga pernah menjadi bahan penelitian, karena mudah untuk menunjukkan bahwa jika n bilangan komposit, maka bilangan itu sendiri juga bilangan komposit. Angka-angka ini disebut bilangan Mersenne karena ia mempelajarinya secara ekstensif.
Namun tidak semua bilangan berbentuk 2 n - 1, dimana n adalah bilangan prima, adalah bilangan prima. Misalnya 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Ini pertama kali ditemukan pada tahun 1536.
Selama bertahun-tahun, bilangan-bilangan semacam ini memberi para matematikawan bilangan prima terbesar yang diketahui. Bahwa M 19 dibuktikan oleh Cataldi pada tahun 1588, dan selama 200 tahun merupakan bilangan prima terbesar yang diketahui, hingga Euler membuktikan bahwa M 31 juga merupakan bilangan prima. Rekor ini bertahan selama seratus tahun berikutnya, dan kemudian Lucas menunjukkan bahwa M 127 adalah bilangan prima (dan ini sudah merupakan bilangan 39 digit), dan setelah itu penelitian dilanjutkan dengan munculnya komputer.
Pada tahun 1952 terbukti keutamaan bilangan M 521, M 607, M 1279, M 2203 dan M 2281.
Pada tahun 2005, 42 bilangan prima Mersenne telah ditemukan. Yang terbesar, M 25964951, terdiri dari 7816230 digit.
Karya Euler berdampak besar pada teori bilangan, termasuk bilangan prima. Dia memperluas Teorema Kecil Fermat dan memperkenalkan fungsi φ. Memfaktorkan bilangan Fermat ke-5 2 32 +1, menemukan 60 pasang bilangan sahabat, dan merumuskan (tetapi tidak dapat membuktikan) hukum timbal balik kuadrat.
Dialah orang pertama yang memperkenalkan metode analisis matematis dan mengembangkan teori bilangan analitis. Ia membuktikan bahwa deret harmonik tidak hanya ∑ (1/n), tetapi juga deret yang bentuknya
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…
Hasil penjumlahan kebalikan bilangan prima juga berbeda. Jumlah n suku deret harmonik bertambah kira-kira sebesar log(n), dan deret kedua menyimpang lebih lambat sebesar log[ log(n) ]. Artinya, misalnya, jumlah kebalikan dari semua bilangan prima yang ditemukan sampai saat ini hanya akan menghasilkan 4, meskipun deretnya masih divergen.
Pada pandangan pertama, nampaknya bilangan prima terdistribusi secara acak di antara bilangan bulat. Misalnya, di antara 100 bilangan tepat sebelum 10.000000 terdapat 9 bilangan prima, dan di antara 100 bilangan tepat setelah nilai ini hanya terdapat 2. Namun pada segmen yang besar, bilangan prima tersebar cukup merata. Legendre dan Gauss menangani masalah distribusinya. Gauss pernah berkata kepada temannya bahwa dalam waktu luang 15 menit apa pun dia selalu menghitung jumlah bilangan prima pada 1000 bilangan berikutnya. Pada akhir hidupnya, ia telah menghitung semua bilangan prima hingga 3 juta. Legendre dan Gauss sama-sama menghitung bahwa untuk n yang besar, massa jenis prima adalah 1/log(n). Legendre memperkirakan jumlah bilangan prima dalam rentang 1 sampai n as
π(n) = n/(log(n) - 1,08366)
Dan Gauss seperti integral logaritma
π(n) = ∫ 1/log(t)dt
Dengan interval integrasi dari 2 hingga n.
Pernyataan tentang massa jenis bilangan prima 1/log(n) dikenal dengan Teorema Distribusi Prima. Mereka mencoba membuktikannya sepanjang abad ke-19, dan kemajuan dicapai oleh Chebyshev dan Riemann. Mereka menghubungkannya dengan hipotesis Riemann, hipotesis yang masih belum terbukti tentang distribusi angka nol pada fungsi Riemann zeta. Kepadatan bilangan prima dibuktikan secara bersamaan oleh Hadamard dan Vallée-Poussin pada tahun 1896.
Masih banyak pertanyaan yang belum terpecahkan dalam teori bilangan prima, beberapa di antaranya sudah berusia ratusan tahun:
- Hipotesis prima kembar adalah tentang pasangan bilangan prima yang jumlahnya tak terhingga dan berbeda satu sama lain sebesar 2
- Dugaan Goldbach: bilangan genap apa pun, dimulai dengan 4, dapat dinyatakan sebagai jumlah dua bilangan prima
- Apakah ada bilangan prima yang bentuknya n 2 + 1 tak terhingga?
- Apakah selalu mungkin menemukan bilangan prima antara n 2 dan (n + 1) 2? (fakta bahwa selalu ada bilangan prima antara n dan 2n dibuktikan oleh Chebyshev)
- Apakah jumlah bilangan prima Fermat tidak terhingga? Apakah ada bilangan prima Fermat setelah 4?
- apakah ada barisan aritmatika dari bilangan prima berurutan untuk panjang tertentu? misalnya untuk panjang 4: 251, 257, 263, 269. Panjang maksimum yang ditemukan adalah 26.
- Apakah ada himpunan tiga bilangan prima berurutan yang jumlahnya tak terhingga dalam barisan aritmatika?
- n 2 - n + 41 adalah bilangan prima untuk 0 ≤ n ≤ 40. Adakah bilangan prima seperti itu yang jumlahnya tak terhingga? Pertanyaan yang sama untuk rumus n 2 - 79 n + 1601. Bilangan-bilangan ini adalah bilangan prima untuk 0 ≤ n ≤ 79.
- Apakah ada bilangan prima berbentuk n# + 1 yang tak terhingga? (n# adalah hasil perkalian semua bilangan prima yang kurang dari n)
- Apakah ada bilangan prima berbentuk n# -1 yang tak terhingga?
- Apakah ada bilangan prima berbentuk n yang tak terhingga? + 1?
- Apakah ada bilangan prima berbentuk n yang tak terhingga? - 1?
- jika p bilangan prima, apakah 2 p -1 selalu tidak mengandung kuadrat prima di antara faktor-faktornya?
- apakah barisan Fibonacci mengandung bilangan prima yang jumlahnya tak terhingga?
Bilangan prima kembar terbesar adalah 2003663613 × 2 195000 ± 1. Bilangan prima tersebut terdiri dari 58711 digit dan ditemukan pada tahun 2007.
Bilangan prima faktorial terbesar (tipe n!±1) adalah 147855! - 1. Terdiri dari 142891 digit dan ditemukan pada tahun 2002.
Bilangan prima primordial terbesar (bilangan berbentuk n# ± 1) adalah 1098133# + 1.
Pada artikel ini kita akan menjelajah bilangan prima dan komposit. Pertama, kami akan memberikan pengertian bilangan prima dan bilangan komposit, serta memberikan contohnya. Setelah ini kita akan membuktikan bahwa bilangan prima itu jumlahnya tak terhingga. Selanjutnya, kita akan menuliskan tabel bilangan prima, dan mempertimbangkan metode untuk menyusun tabel bilangan prima, dengan memberikan perhatian khusus pada metode yang disebut saringan Eratosthenes. Sebagai kesimpulan, kami akan menyoroti poin-poin utama yang perlu diperhatikan ketika membuktikan bahwa suatu bilangan adalah bilangan prima atau komposit.
Navigasi halaman.
Bilangan Prima dan Komposit – Pengertian dan Contohnya
Konsep bilangan prima dan bilangan komposit mengacu pada bilangan yang lebih besar dari satu. Bilangan bulat tersebut, bergantung pada jumlah pembagi positifnya, dibagi menjadi bilangan prima dan bilangan komposit. Jadi untuk memahami definisi bilangan prima dan komposit, Anda perlu memahami dengan baik apa itu pembagi dan kelipatan.
Definisi.
bilangan prima adalah bilangan bulat, satuan besar, yang hanya mempunyai dua pembagi positif, yaitu dirinya sendiri dan 1.
Definisi.
Bilangan komposit adalah bilangan bulat, bilangan besar, yang mempunyai paling sedikit tiga pembagi positif.
Secara terpisah, kami mencatat bahwa angka 1 tidak berlaku untuk bilangan prima atau komposit. Satuan hanya mempunyai satu pembagi positif, yaitu angka 1 itu sendiri. Hal ini membedakan angka 1 dari semua bilangan bulat positif lainnya yang memiliki setidaknya dua pembagi positif.
Mengingat bilangan bulat positif adalah , dan bilangan bulat positif hanya mempunyai satu pembagi positif, maka kita dapat memberikan rumusan lain dari definisi bilangan prima dan bilangan komposit.
Definisi.
bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya mempunyai dua pembagi positif.
Definisi.
Bilangan komposit adalah bilangan asli yang mempunyai lebih dari dua pembagi positif.
Perhatikan bahwa setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari satu adalah bilangan prima atau bilangan komposit. Dengan kata lain, tidak ada satu pun bilangan bulat yang bukan bilangan prima maupun komposit. Hal ini mengikuti sifat habis dibagi, yang menyatakan bahwa bilangan 1 dan a selalu merupakan pembagi bilangan bulat a.
Berdasarkan keterangan pada paragraf sebelumnya, berikut dapat kami berikan pengertian bilangan komposit.
Definisi.
Bilangan asli yang bukan bilangan prima disebut gabungan.
Mari kita memberi contoh bilangan prima dan komposit.
Contoh bilangan komposit antara lain 6, 63, 121, dan 6.697. Pernyataan ini juga perlu diklarifikasi. Bilangan 6 selain pembagi positif 1 dan 6 juga mempunyai pembagi 2 dan 3, karena 6 = 2 3 maka 6 benar-benar bilangan komposit. Faktor positif dari 63 adalah angka 1, 3, 7, 9, 21 dan 63. Bilangan 121 sama dengan hasil kali 11·11, jadi pembagi positifnya adalah 1, 11, dan 121. Dan bilangan 6.697 adalah bilangan komposit, karena pembagi positifnya selain 1 dan 6.697 juga merupakan bilangan 37 dan 181.
Sebagai penutup poin ini, saya juga ingin menarik perhatian pada fakta bahwa bilangan prima dan bilangan koprima bukanlah hal yang sama.
Tabel bilangan prima
Bilangan prima, untuk memudahkan penggunaan selanjutnya, dicatat dalam suatu tabel yang disebut tabel bilangan prima. Dibawah ini adalah tabel bilangan prima hingga 1.000.
Timbul pertanyaan logis: “Mengapa kita mengisi tabel bilangan prima hanya sampai 1.000, apakah tidak mungkin membuat tabel semua bilangan prima yang ada”?
Mari kita jawab bagian pertama dari pertanyaan ini terlebih dahulu. Untuk sebagian besar soal yang memerlukan penggunaan bilangan prima, bilangan prima dalam seribu sudah cukup. Dalam kasus lain, kemungkinan besar, Anda harus menggunakan beberapa teknik solusi khusus. Meskipun kita tentu saja dapat membuat tabel bilangan prima hingga bilangan bulat positif berhingga yang besarnya sembarang, baik itu 10.000 atau 1.000.000.000, pada paragraf berikutnya kita akan membahas tentang metode membuat tabel bilangan prima, khususnya kita akan melihat metode ditelepon.
Sekarang mari kita lihat kemungkinan (atau lebih tepatnya, ketidakmungkinan) menyusun tabel semua bilangan prima yang ada. Kita tidak dapat membuat tabel semua bilangan prima karena jumlah bilangan prima tidak terhingga banyaknya. Pernyataan terakhir merupakan teorema yang akan kita buktikan setelah teorema bantu berikut.
Dalil.
Pembagi positif terkecil selain 1 dari suatu bilangan asli yang lebih besar dari satu disebut bilangan prima.
Bukti.
Membiarkan a adalah bilangan asli yang lebih besar dari satu, dan b adalah pembagi positif terkecil dari bilangan selain satu. Mari kita buktikan bahwa b adalah bilangan prima dengan kontradiksi.
Misalkan b adalah bilangan komposit. Lalu ada pembagi dari bilangan b (sebut saja b 1), yang berbeda dari 1 dan b. Jika kita juga memperhitungkan bahwa nilai mutlak pembagi tidak melebihi nilai mutlak pembagian (kita mengetahuinya dari sifat-sifat pembagian), maka syarat 1 harus dipenuhi.
Karena bilangan a habis dibagi b sesuai dengan syarat, dan kita katakan bahwa b habis dibagi b 1, maka konsep habis dibagi memungkinkan kita berbicara tentang keberadaan bilangan bulat q dan q 1 sedemikian rupa sehingga a=b q dan b=b 1 q 1 , dari mana a= b 1 ·(q 1 ·q) . Oleh karena itu, hasil kali dua bilangan bulat adalah bilangan bulat, maka persamaan a=b 1 ·(q 1 ·q) menunjukkan bahwa b 1 adalah pembagi bilangan a. Mempertimbangkan ketidaksetaraan di atas 1
Sekarang kita dapat membuktikan bahwa bilangan prima itu jumlahnya tak terhingga.
Dalil.
Ada bilangan prima yang jumlahnya tak terhingga.
Bukti.
Mari kita berasumsi bahwa hal ini tidak terjadi. Artinya, misalkan hanya ada n bilangan prima, dan bilangan prima tersebut adalah p 1, p 2, ..., p n. Mari kita tunjukkan bahwa kita selalu dapat menemukan bilangan prima yang berbeda dari bilangan yang ditunjukkan.
Misalkan bilangan p sama dengan p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Jelas bahwa bilangan ini berbeda dengan masing-masing bilangan prima p 1, p 2, ..., p n. Jika bilangan p bilangan prima maka teorema tersebut terbukti. Jika bilangan ini komposit, maka berdasarkan teorema sebelumnya ada pembagi prima dari bilangan ini (kita nyatakan p n+1). Mari kita tunjukkan bahwa pembagi ini tidak berimpit dengan bilangan mana pun p 1, p 2, ..., p n.
Jika tidak demikian, maka menurut sifat dapat dibagi, hasil kali p 1 ·p 2 ·…·p n akan habis dibagi p n+1. Tetapi bilangan p juga habis dibagi p n+1, sama dengan jumlah p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Oleh karena itu p n+1 harus membagi suku kedua dari jumlah ini, yang sama dengan satu, tetapi hal ini tidak mungkin.
Dengan demikian, terbukti bahwa selalu dapat ditemukan bilangan prima baru yang tidak termasuk dalam bilangan prima tertentu yang telah ditentukan. Oleh karena itu, terdapat bilangan prima yang jumlahnya tak terhingga.
Jadi, karena banyaknya bilangan prima yang tidak terhingga, ketika menyusun tabel bilangan prima, Anda selalu membatasi diri dari atas pada suatu bilangan, biasanya 100, 1.000, 10.000, dst.
Saringan Eratosthenes
Sekarang kita akan membahas cara membuat tabel bilangan prima. Misalkan kita perlu membuat tabel bilangan prima hingga 100.
Metode yang paling jelas untuk menyelesaikan soal ini adalah dengan memeriksa bilangan bulat positif secara berurutan, dimulai dari 2 dan diakhiri dengan 100, untuk mengetahui adanya pembagi positif yang lebih besar dari 1 dan lebih kecil dari bilangan yang diuji (kita mengetahui dari sifat-sifat pembagian). bahwa nilai mutlak pembagi tidak melebihi nilai mutlak pembagian, bukan nol). Jika pembagi tersebut tidak ditemukan, maka bilangan yang diuji adalah bilangan prima, dan dimasukkan ke dalam tabel bilangan prima. Jika pembagi tersebut ditemukan, maka bilangan yang diuji adalah bilangan komposit; TIDAK dimasukkan dalam tabel bilangan prima. Setelah ini, ada transisi ke angka berikutnya, yang juga diperiksa keberadaan pembaginya.
Mari kita jelaskan beberapa langkah pertama.
Kita mulai dengan nomor 2. Bilangan 2 tidak mempunyai pembagi positif selain 1 dan 2. Oleh karena itu sederhana, oleh karena itu kita memasukkannya ke dalam tabel bilangan prima. Di sini dapat dikatakan bahwa 2 adalah bilangan prima terkecil. Mari kita lanjutkan ke nomor 3. Kemungkinan pembagi positifnya selain 1 dan 3 adalah angka 2. Tetapi 3 tidak habis dibagi 2, oleh karena itu 3 adalah bilangan prima dan perlu juga dimasukkan ke dalam tabel bilangan prima. Mari kita lanjutkan ke nomor 4. Pembagi positifnya selain 1 dan 4 bisa berupa angka 2 dan 3, mari kita periksa. Bilangan 4 habis dibagi 2, oleh karena itu 4 merupakan bilangan komposit dan tidak perlu dimasukkan dalam tabel bilangan prima. Perlu diketahui bahwa 4 adalah bilangan komposit terkecil. Mari kita lanjutkan ke nomor 5. Kami memeriksa apakah setidaknya salah satu dari angka 2, 3, 4 adalah pembaginya. Karena 5 tidak habis dibagi 2, 3, atau 4, maka bilangan tersebut adalah bilangan prima dan harus dituliskan dalam tabel bilangan prima. Kemudian terjadi peralihan ke angka 6, 7, dan seterusnya hingga 100.
Pendekatan dalam menyusun tabel bilangan prima ini jauh dari ideal. Bagaimanapun, dia punya hak untuk hidup. Perhatikan bahwa dengan metode membuat tabel bilangan bulat ini, Anda dapat menggunakan kriteria pembagian, yang akan sedikit mempercepat proses pencarian pembagi.
Ada cara yang lebih mudah untuk membuat tabel bilangan prima, yang disebut. Kata "saringan" yang ada dalam nama tersebut bukanlah suatu kebetulan, karena tindakan metode ini membantu, seolah-olah, untuk "menyaring" bilangan bulat dan satuan besar melalui saringan Eratosthenes untuk memisahkan bilangan sederhana dari bilangan komposit.
Mari kita tunjukkan cara kerja saringan Eratosthenes saat menyusun tabel bilangan prima hingga 50.
Pertama, tuliskan angka 2, 3, 4, ..., 50 secara berurutan.
Bilangan pertama yang ditulis, 2, adalah bilangan prima. Nah, dari angka 2 kita berturut-turut berpindah ke kanan sebanyak dua angka dan mencoret angka-angka tersebut hingga mencapai akhir tabel angka yang sedang disusun. Ini akan mencoret semua bilangan yang merupakan kelipatan dua.
Angka pertama setelah 2 yang tidak dicoret adalah 3. Bilangan ini adalah bilangan prima. Sekarang, dari nomor 3, kita berturut-turut pindah ke kanan sebanyak tiga angka (dengan memperhitungkan angka yang sudah dicoret) dan mencoretnya. Ini akan mencoret semua bilangan yang merupakan kelipatan tiga.
Angka pertama setelah 3 yang tidak dicoret adalah 5. Bilangan ini adalah bilangan prima. Sekarang dari angka 5 kita berturut-turut pindah ke kanan sebanyak 5 angka (kita juga memperhitungkan angka yang dicoret tadi) dan mencoretnya. Ini akan mencoret semua bilangan yang merupakan kelipatan lima.
Selanjutnya kita coret bilangan kelipatan 7, lalu kelipatan 11, dan seterusnya. Proses berakhir ketika tidak ada lagi angka yang perlu dicoret. Di bawah ini adalah tabel lengkap bilangan prima sampai dengan 50 yang diperoleh dengan menggunakan saringan Eratosthenes. Semua bilangan yang tidak disilang adalah bilangan prima, dan semua bilangan yang dicoret adalah bilangan komposit.
Mari kita rumuskan dan buktikan juga teorema yang akan mempercepat proses penyusunan tabel bilangan prima dengan menggunakan saringan Eratosthenes.
Dalil.
Pembagi positif terkecil suatu bilangan komposit a yang berbeda dengan satu tidak melebihi , dimana berasal dari a .
Bukti.
Mari kita nyatakan dengan huruf b pembagi terkecil suatu bilangan komposit a yang berbeda dengan satu (bilangan b adalah bilangan prima, sebagai berikut dari teorema yang dibuktikan pada awal paragraf sebelumnya). Lalu ada bilangan bulat q sehingga a=b·q (di sini q adalah bilangan bulat positif, yang mengikuti aturan perkalian bilangan bulat), dan (untuk b>q syarat bahwa b adalah pembagi terkecil dari a dilanggar , karena q juga merupakan pembagi bilangan a karena persamaan a=q·b ). Dengan mengalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan bilangan positif dan bilangan bulat yang lebih besar dari satu (kita boleh melakukan ini), kita memperoleh , yang darinya dan .
Apa yang diberikan teorema terbukti mengenai saringan Eratosthenes?
Pertama, mencoret bilangan komposit yang merupakan kelipatan bilangan prima b harus dimulai dengan bilangan yang sama dengan (berikut dari pertidaksamaan). Misalnya mencoret bilangan kelipatan dua harus diawali dengan angka 4, kelipatan tiga dengan angka 9, kelipatan lima dengan angka 25, dan seterusnya.
Kedua, penyusunan tabel bilangan prima sampai dengan bilangan n dengan menggunakan saringan Eratosthenes dapat dianggap selesai bila semua bilangan komposit yang merupakan kelipatan bilangan prima tidak melebihi . Dalam contoh kita, n=50 (karena kita membuat tabel bilangan prima hingga 50) dan oleh karena itu, saringan Eratosthenes harus menghilangkan semua bilangan komposit yang merupakan kelipatan dari bilangan prima 2, 3, 5 dan 7 yang menghasilkan tidak melebihi akar kuadrat aritmatika dari 50. Artinya, kita tidak perlu lagi mencari dan mencoret bilangan-bilangan yang merupakan kelipatan bilangan prima 11, 13, 17, 19, 23 dan seterusnya sampai dengan 47, karena bilangan-bilangan tersebut sudah dicoret sebagai kelipatan bilangan prima yang lebih kecil 2 , 3, 5 dan 7 .
Apakah bilangan ini prima atau komposit?
Beberapa tugas memerlukan pencarian apakah suatu bilangan prima atau komposit. Secara umum, tugas ini jauh dari sederhana, terutama untuk bilangan yang penulisannya terdiri dari sejumlah besar karakter. Dalam kebanyakan kasus, Anda harus mencari cara khusus untuk menyelesaikannya. Namun, kami akan mencoba memberikan arahan alur pemikiran untuk kasus-kasus sederhana.
Tentu saja, Anda dapat mencoba menggunakan uji keterbagian untuk membuktikan bahwa suatu bilangan adalah bilangan komposit. Jika, misalnya, suatu uji keterbagian menunjukkan bahwa suatu bilangan habis dibagi oleh suatu bilangan bulat positif yang lebih besar dari satu, maka bilangan aslinya adalah bilangan komposit.
Contoh.
Buktikan bahwa 898.989.898.989.898.989 merupakan bilangan komposit.
Larutan.
Jumlah angka-angka dari bilangan tersebut adalah 9·8+9·9=9·17. Karena bilangan yang sama dengan 9·17 habis dibagi 9, maka dengan habis dibagi 9 kita dapat mengatakan bahwa bilangan aslinya juga habis dibagi 9. Oleh karena itu, ini komposit.
Kelemahan signifikan dari pendekatan ini adalah bahwa kriteria keterbagian tidak memungkinkan seseorang untuk membuktikan keutamaan suatu bilangan. Oleh karena itu, saat memeriksa suatu bilangan untuk mengetahui apakah bilangan tersebut prima atau komposit, Anda perlu melakukan tindakan yang berbeda.
Pendekatan yang paling logis adalah dengan mencoba semua kemungkinan pembagi suatu bilangan tertentu. Jika tidak ada satupun pembagi yang mungkin merupakan pembagi sebenarnya dari suatu bilangan tertentu, maka bilangan tersebut adalah bilangan prima, jika tidak maka bilangan tersebut akan menjadi bilangan komposit. Dari teorema yang dibuktikan pada paragraf sebelumnya, maka pembagi suatu bilangan a harus dicari di antara bilangan prima yang tidak melebihi . Jadi, suatu bilangan a tertentu dapat dibagi secara berurutan dengan bilangan prima (yang dapat diambil dengan mudah dari tabel bilangan prima), dengan mencoba mencari pembagi bilangan a. Jika ditemukan pembagi, maka bilangan a adalah bilangan komposit. Jika di antara bilangan prima yang tidak melebihi , tidak ada pembagi bilangan a, maka bilangan a adalah bilangan prima.
Contoh.
Nomor 11 723 sederhana atau majemuk?
Larutan.
Mari kita cari tahu berapa bilangan prima yang bisa menjadi pembagi bilangan 11.723. Untuk melakukan ini, mari kita evaluasi.
Sudah jelas sekali 
, karena 200 2 =40.000, dan 11.723<40 000
(при необходимости смотрите статью perbandingan angka). Jadi, faktor prima yang mungkin dari 11.723 adalah kurang dari 200. Ini sudah membuat tugas kita lebih mudah. Jika kita tidak mengetahui hal ini, maka kita harus menelusuri semua bilangan prima bukan sampai 200, tetapi sampai 11.723.
Jika diinginkan, Anda dapat mengevaluasi dengan lebih akurat. Karena 108 2 =11,664, dan 109 2 =11,881, maka 108 2<11 723<109 2
, следовательно, 
. Jadi, bilangan prima mana pun yang kurang dari 109 berpotensi menjadi faktor prima dari bilangan tersebut 11.723.
Sekarang kita akan membagi bilangan 11.723 secara berurutan menjadi bilangan prima 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Jika bilangan 11.723 dibagi dengan salah satu bilangan prima yang tertulis maka bilangan tersebut merupakan bilangan komposit. Jika tidak habis dibagi salah satu bilangan prima yang tertulis, maka bilangan aslinya adalah bilangan prima.
Kami tidak akan menjelaskan keseluruhan proses pembagian yang monoton dan monoton ini. Katakanlah langsung 11.723
