Faktanya banyak akar kuadrat adalah bilangan irasional, sama sekali tidak mengurangi signifikansinya; khususnya, angka $\sqrt2$ sangat sering digunakan dalam berbagai perhitungan teknik dan ilmiah. Jumlah ini dapat dihitung dengan akurasi yang diperlukan dalam setiap kasus tertentu. Anda bisa memasukkan angka ini ke angka desimal sebanyak yang Anda sabar.
Misalnya, bilangan $\sqrt2$ dapat ditentukan dengan akurasi enam angka desimal: $\sqrt2=1.414214$. Nilai ini tidak jauh berbeda dengan nilai sebenarnya, karena $1,414214 \kali 1,414214=2,000001237796$. Jawaban ini berbeda dari 2 dengan selisih hampir sepersejuta. Oleh karena itu, nilai $\sqrt2$ sama dengan $1.414214$ dianggap cukup dapat diterima untuk solusi mayoritas masalah praktis. Dalam kasus di mana diperlukan ketelitian yang lebih tinggi, tidaklah sulit untuk mendapatkan angka penting setelah koma sebanyak yang diperlukan dalam kasus ini.
Namun, jika Anda jarang menunjukkan sikap keras kepala dan mencoba mengekstraknya akar kuadrat dari angka $\sqrt2$ sampai Anda mencapai hasil yang tepat, Anda tidak akan pernah menyelesaikan pekerjaan Anda. Ini adalah proses yang tidak pernah berakhir. Tidak peduli berapa banyak angka desimal yang Anda peroleh, akan selalu ada sisa beberapa angka lagi.
Fakta ini mungkin mengejutkan Anda seperti halnya mengubah $\frac13$ menjadi desimal tak hingga $0,333333333…$ dan seterusnya tanpa batas, atau mengubah $\frac17$ menjadi $0,142857142857142857…$ dan seterusnya tanpa batas. Pada pandangan pertama mungkin terlihat bahwa akar kuadrat tak hingga dan irasional ini adalah fenomena dengan tatanan yang sama, namun sebenarnya tidak demikian. Bagaimanapun, pecahan tak hingga ini mempunyai padanan pecahan, sedangkan $\sqrt2$ tidak memiliki padanan tersebut. Kenapa tepatnya? Faktanya adalah bahwa desimal yang setara dengan $\frac13$ dan $\frac17$, serta pecahan lainnya yang jumlahnya tak terbatas, adalah setan periodik pecahan akhir.
Pada saat yang sama, desimal yang setara dengan $\sqrt2$ adalah pecahan non-periodik. Pernyataan ini juga berlaku untuk bilangan irasional apa pun.
Masalahnya adalah desimal apa pun yang merupakan perkiraan akar kuadrat dari 2 adalah pecahan non-periodik. Tidak peduli seberapa jauh kita melakukan perhitungan, pecahan apa pun yang kita peroleh akan bersifat non-periodik.
Bayangkan sebuah pecahan dengan sejumlah besar angka non-periodik setelah koma. Jika tiba-tiba setelah angka kesejuta seluruh rangkaian tempat desimal terulang, artinya desimal- periodik dan ada padanannya berupa perbandingan bilangan bulat. Jika pecahan dengan angka desimal yang tidak berulang dalam jumlah besar (miliaran atau jutaan) di suatu titik mempunyai rangkaian angka berulang yang tak ada habisnya, seperti $...55555555555...$, ini juga berarti bahwa pecahan yang diberikan- periodik dan ada padanannya berupa perbandingan bilangan bulat.
Namun, dalam hal ini, persamaan desimalnya sepenuhnya non-periodik dan tidak dapat menjadi periodik.
Tentu saja, Anda dapat mengajukan pertanyaan berikut: “Siapa yang dapat mengetahui dan mengetahui dengan pasti apa yang terjadi pada pecahan, katakanlah, setelah tanda triliun? Siapa yang bisa menjamin bahwa pecahan tidak akan menjadi periodik?” Ada cara untuk membuktikan secara meyakinkan bahwa bilangan irasional bersifat non-periodik, tetapi pembuktian tersebut memerlukan pembuktian yang rumit peralatan matematika. Tapi kalau tiba-tiba jadi seperti itu bilangan irasional menjadi pecahan periodik, ini berarti fondasinya runtuh total ilmu matematika. Dan kenyataannya hal ini hampir tidak mungkin terjadi. Tidak mudah bagi Anda untuk melemparkannya ke buku-buku jari Anda dari sisi ke sisi, ada teori matematika yang rumit di sini.
Diketahui jika penyebutnya N pecahan yang tidak dapat direduksi dalam miliknya perluasan kanonik memiliki faktor prima tidak sama dengan 2 dan 5, maka pecahan tersebut tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal hingga. Jika dalam hal ini kita mencoba menuliskan pecahan asli tak tersederhanakan sebagai desimal dengan membagi pembilangnya dengan penyebutnya, maka proses pembagiannya tidak dapat diselesaikan, karena jika sudah selesai pada nomor akhir langkah-langkahnya, kita akan mendapatkan pecahan desimal akhir dalam hasil bagi, yang bertentangan dengan teorema yang telah dibuktikan sebelumnya. Jadi dalam hal ini notasi desimal bilangan rasional positif A= tampak seperti pecahan tak terhingga.
Misalnya pecahan = 0,3636... . Sangat mudah untuk melihat bahwa sisa pembagian 4 dengan 11 diulang secara berkala, oleh karena itu, tempat desimal akan diulang secara berkala, yaitu. ternyata pecahan desimal periodik tak terhingga, yang dapat ditulis sebagai 0,(36).
Angka 3 dan 6 yang berulang secara berkala membentuk suatu titik. Ternyata ada beberapa digit antara koma desimal dan awal periode pertama. Angka-angka ini membentuk pra-periode. Misalnya,
0.1931818... Proses membagi 17 dengan 88 tidak ada habisnya. Angka 1, 9, 3 merupakan praperiode; 1, 8 – titik. Contoh yang telah kami pertimbangkan mencerminkan suatu pola, yaitu. bilangan rasional positif apa pun dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal periodik berhingga atau tak terhingga.
Teorema 1. Biarkan pecahan biasa tidak dapat direduksi dalam perluasan kanonik penyebutnya N adalah faktor prima selain 2 dan 5. Maka pecahan biasa dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal periodik tak hingga.
Bukti. Kita sudah mengetahui proses pembagian bilangan asli M ke bilangan asli N akan tidak ada habisnya. Mari kita tunjukkan bahwa ini akan terjadi secara berkala. Bahkan, saat membagi M pada N saldo yang dihasilkan akan lebih kecil N, itu. bilangan berbentuk 1, 2, ..., ( N– 1), yang jelas bahwa jumlah sisa yang berbeda adalah terbatas dan oleh karena itu, mulai dari langkah tertentu, beberapa sisa akan diulang, yang akan memerlukan pengulangan tempat desimal dari hasil bagi, dan pecahan desimal tak hingga menjadi periodik.
Dua teorema lagi berlaku.
Teorema 2. Jika dalam perluasan penyebut pecahan tak tersederhanakan menjadi faktor prima angka 2 dan 5 tidak disertakan, maka jika pecahan ini diubah menjadi pecahan desimal tak hingga, hasilnya akan murni pecahan periodik, yaitu pecahan yang periodenya dimulai tepat setelah koma.
Teorema 3. Jika perluasan penyebutnya mencakup faktor 2 (atau 5) atau keduanya, maka pecahan periodik tak hingga akan tercampur, yaitu. antara koma dan awal periode akan terdapat beberapa angka (pra periode), yaitu sebanyak eksponen terbesar dari faktor 2 dan 5.
Teorema 2 dan 3 diusulkan untuk dibuktikan oleh pembaca secara mandiri.
28. Metode transisi dari periodik tak hingga
pecahan desimal ke pecahan biasa
Biarkan pecahan periodik diberikan A= 0,(4), mis. 0,4444... .
Mari kita perbanyak A pada 10, kita dapatkan
10A= 4.444…4…Þ 10 A = 4 + 0,444….
Itu. 10 A = 4 + A, kami memperoleh persamaan untuk A, menyelesaikannya, kita mendapatkan: 9 A= 4Þ A = .
Kita perhatikan bahwa 4 adalah pembilang pecahan yang dihasilkan dan periode pecahan 0,(4).
Aturan mengubah pecahan periodik murni menjadi pecahan biasa dirumuskan sebagai berikut: pembilang pecahan sama dengan periodenya, dan penyebutnya terdiri dari jumlah sembilan yang sama dengan jumlah digit pada periode pecahan.
Sekarang mari kita buktikan aturan ini untuk pecahan yang periodenya terdiri dari N
A= . Mari kita perbanyak A oleh 10 N, kita mendapatkan:
10N × A = 
= + 0, ;
10N × A = + A;
(10N – 1) A = Þ sebuah = = .
Jadi, aturan yang dirumuskan sebelumnya telah terbukti untuk sembarang pecahan periodik murni.
Sekarang mari kita berikan sebagian kecilnya A= 0,605(43) – periodik campuran. Mari kita perbanyak A dikalikan 10 dengan indikator yang sama, berapa digit pada pra-periode, yaitu. dengan 10 3, kita dapatkan
10 3 × A= 605 + 0,(43) Þ 10 3 × A = 605 + = 605 + = = 
,
itu. 10 3 × A= .
Aturan mengubah pecahan periodik campuran menjadi pecahan biasa dirumuskan sebagai berikut: pembilang pecahan sama dengan perbedaannya antara bilangan yang ditulis dengan angka sebelum permulaan periode kedua dan bilangan yang ditulis dengan angka sebelum permulaan periode pertama, penyebutnya terdiri dari banyaknya angka sembilan sama dengan banyaknya angka pada periode tersebut dan banyaknya angka nol sama dengan dengan jumlah digit sebelum dimulainya periode pertama.
Sekarang mari kita buktikan aturan ini untuk pecahan yang praperiodenya terdiri dari N angka, dan periodenya dari Ke angka Biarkan pecahan periodik diberikan
Mari kita tunjukkan V= ; R= ,
Dengan= 
; Kemudian Dengan=dalam × 10k+r.
Mari kita perbanyak A dengan 10 dengan eksponen berapa banyak digit pada praperiode, mis. oleh 10 N, kita mendapatkan:
A×10 N = + 
.
Dengan mempertimbangkan notasi yang diperkenalkan di atas, kami menulis:
sebuah× 10N= V+ .
Jadi, aturan yang dirumuskan di atas telah terbukti untuk setiap pecahan periodik campuran.
Setiap pecahan desimal periodik tak hingga merupakan bentuk penulisan suatu bilangan rasional.
Demi konsistensi, terkadang desimal berhingga juga dianggap sebagai desimal periodik tak hingga dengan titik "nol". Misalnya, 0,27 = 0,27000...; 10.567 = 10.567000...; 3 = 3.000....
Sekarang pernyataan berikut menjadi benar: setiap bilangan rasional dapat (dan dengan cara yang unik) dinyatakan sebagai pecahan desimal periodik tak hingga, dan setiap pecahan desimal periodik tak hingga menyatakan tepat satu bilangan rasional (pecahan desimal periodik dengan periode 9 tidak dianggap ).
Bahwa jika mereka mengetahui teori deret, maka tanpanya tidak ada konsep metamatika yang dapat diperkenalkan. Terlebih lagi, orang-orang ini percaya bahwa siapa pun yang tidak menggunakannya secara luas adalah orang bodoh. Mari kita serahkan pandangan orang-orang ini pada hati nurani mereka. Mari kita lebih memahami apa itu pecahan periodik tak hingga dan bagaimana kita, orang-orang tidak berpendidikan yang tidak mengenal batas, harus menghadapinya.
Mari kita bagi 237 dengan 5. Tidak, Anda tidak perlu meluncurkan Kalkulator. Mari kita mengingat sekolah menengah (atau bahkan sekolah dasar?) dengan lebih baik dan membaginya menjadi beberapa kolom:
Nah, apakah kamu ingat? Kemudian Anda bisa mulai berbisnis.
Konsep “pecahan” dalam matematika memiliki dua arti:
- Bilangan bukan bilangan bulat.
- Bentuk bukan bilangan bulat.
- Sederhana (atau vertikal) pecahan, seperti 1/2 atau 237/5.
- Pecahan desimal, seperti 0,5 atau 47,4.
Dalam matematika, secara umum penghitungan desimal selalu diterima, oleh karena itu pecahan desimal lebih mudah digunakan daripada pecahan sederhana, yaitu pecahan dengan penyebut desimal (Vladimir Dal. Kamus bahasa Rusia Hebat yang hidup. "Sepuluh").Dan jika demikian, maka saya ingin menjadikan setiap pecahan vertikal menjadi desimal (“horizontal”). Dan untuk melakukan ini, Anda hanya perlu membagi pembilangnya dengan penyebutnya. Mari kita ambil, misalnya, pecahan 1/3 dan mencoba menjadikannya desimal.
Bahkan orang yang sama sekali tidak berpendidikan akan memperhatikan: tidak peduli berapa lama, mereka tidak akan berpisah: kembar tiga akan terus muncul tanpa batas. Jadi mari kita tuliskan: 0,33... Yang kami maksud adalah “angka yang diperoleh ketika Anda membagi 1 dengan 3”, atau, singkatnya, “sepertiga”. Tentu saja, sepertiga adalah pecahan dalam arti kata yang pertama, dan “1/3” dan “0,33…” adalah pecahan dalam arti kata yang kedua, yaitu formulir masuk bilangan yang letaknya pada garis bilangan sedemikian jauh dari nol sehingga jika disisihkan tiga kali akan diperoleh satu.
Sekarang mari kita coba membagi 5 dengan 6:
Mari kita tuliskan lagi: 0,833... Yang kami maksud adalah “angka yang didapat saat membagi 5 dengan 6”, atau, singkatnya, “lima perenam”. Namun, kebingungan muncul di sini: apakah ini berarti 0,83333 (dan kemudian kembar tiga diulang), atau 0,833833 (dan kemudian diulang 833). Oleh karena itu, notasi dengan elipsis tidak cocok untuk kita: tidak jelas di mana bagian yang berulang dimulai (disebut “titik”). Oleh karena itu, kita akan menempatkan titik dalam tanda kurung, seperti ini: 0,(3); 0,8(3).
0,(3) tidak mudah sama sepertiga, itu Ada sepertiga, karena kami secara khusus menciptakan notasi ini untuk menyatakan bilangan ini sebagai pecahan desimal.
Entri ini disebut pecahan periodik tak terhingga, atau sekadar pecahan periodik.
Setiap kali kita membagi suatu bilangan dengan bilangan lain, jika kita tidak mendapatkan pecahan berhingga, kita mendapatkan pecahan periodik tak hingga, yaitu suatu saat barisan bilangan pasti akan mulai berulang. Mengapa demikian dapat dipahami secara spekulatif dengan melihat secara cermat algoritma pembagian kolom:
Di tempat yang ditandai dengan tanda centang, Anda tidak bisa mendapatkan hasil setiap saat pasangan yang berbeda angka (karena pasangan tersebut pada prinsipnya himpunan terbatas). Dan segera setelah pasangan seperti itu muncul di sana, yang sudah ada, perbedaannya juga akan sama - dan kemudian seluruh proses akan mulai terulang kembali. Tidak perlu dicek, karena yang jelas jika Anda mengulangi tindakan yang sama maka hasilnya akan sama.
Sekarang kita sudah memahaminya dengan baik esensi pecahan periodik, coba kalikan sepertiga dengan tiga. Ya, tentu saja, Anda akan mendapatkannya, tetapi mari kita tulis pecahan ini dalam bentuk desimal dan kalikan dalam kolom (ambiguitas tidak muncul di sini karena elipsis, karena semua angka setelah koma desimal adalah sama):
Dan sekali lagi kita perhatikan bahwa angka sembilan, sembilan, dan sembilan akan selalu muncul setelah koma desimal. Artinya, dengan menggunakan notasi tanda kurung terbalik, kita mendapatkan 0,(9). Karena kita tahu bahwa hasil kali sepertiga dan tiga adalah satu, maka 0.(9) adalah cara yang bagus untuk menulis satu. Namun kurang tepat menggunakan bentuk pencatatan seperti ini, karena suatu satuan dapat ditulis dengan sempurna tanpa menggunakan tanda titik, seperti ini: 1.
Seperti yang bisa Anda lihat, 0,(9) adalah salah satu kasus di mana bilangan bulat ditulis dalam bentuk pecahan, seperti 3/3 atau 7,0. Artinya, 0,(9) hanyalah pecahan dalam arti kedua, tetapi tidak dalam arti pertama.
Jadi, tanpa batasan atau rangkaian apa pun, kami menemukan apa itu 0.(9) dan bagaimana cara mengatasinya.
Namun marilah kita tetap ingat bahwa sebenarnya kita adalah orang yang pintar dan belajar analisa. Memang sulit untuk menyangkal bahwa:
Tapi, mungkin, tidak ada yang akan membantah fakta bahwa:
Semua ini tentu saja benar. Memang benar, 0,(9) adalah jumlah deret tereduksi dan sinus ganda dari sudut yang ditunjukkan, dan logaritma natural bilangan Euler.
Namun tidak satu pun, atau yang lain, atau yang ketiga yang merupakan definisi.
Mengatakan bahwa 0,(9) adalah jumlah dari deret tak hingga 9/(10 n), dengan n sama dengan satu, sama dengan mengatakan bahwa sinus adalah jumlah dari deret Taylor tak hingga:
Ini benar sekali, dan ini adalah fakta yang paling penting Untuk matematika komputasi, tapi ini bukanlah definisi, dan yang terpenting, ini tidak membawa seseorang lebih dekat pada pemahaman pada dasarnya sinus Inti dari sinus sudut tertentu adalah itu semuanya saja perbandingan kaki yang berhadapan dengan sudut terhadap sisi miring.
Jadi, pecahan periodik adalah semuanya saja pecahan desimal yang diperoleh ketika saat membagi dengan kolom kumpulan angka yang sama akan terulang. Tidak ada jejak analisis di sini.
Dan di sinilah timbul pertanyaan: dari mana asalnya? sama sekali apakah kita mengambil nomor 0,(9)? Apa yang kita bagi dengan kolom apa untuk mendapatkannya? Memang benar, tidak ada angka yang jika dibagi menjadi satu kolom, kita akan mendapatkan angka sembilan yang tak ada habisnya. Tapi kita berhasil mendapatkan angka ini dengan mengalikan 0,(3) dengan 3 dengan kolom? Tidak terlalu. Lagi pula, Anda perlu mengalikan dari kanan ke kiri untuk memperhitungkan perpindahan angka dengan benar, dan kami melakukan ini dari kiri ke kanan, dengan licik memanfaatkan fakta bahwa transfer tidak terjadi di mana pun. Oleh karena itu, sah atau tidaknya penulisan 0,(9) itu tergantung apakah kita mengakui sah atau tidaknya perkalian itu dengan suatu kolom.
Oleh karena itu, secara umum kita dapat mengatakan bahwa notasi 0,(9) salah - dan sampai batas tertentu benar. Namun, karena notasi a ,(b ) diterima, sangatlah buruk jika mengabaikannya ketika b = 9; Lebih baik memutuskan apa arti entri tersebut. Jadi, jika secara umum kita menerima notasi 0,(9), maka notasi tersebut tentu saja berarti angka satu.
Tinggal menambahkan bahwa jika kita menggunakan, katakanlah, sistem bilangan terner, maka ketika membagi kolom satu (1 3) dengan tiga (10 3) kita akan mendapatkan 0,1 3 (baca “nol koma sepertiga”), dan ketika membagi Satu dengan dua akan menjadi 0,(1) 3.
Jadi periodisitas suatu bilangan pecahan bukanlah suatu ciri objektif suatu bilangan pecahan, melainkan adil efek samping menggunakan satu atau beberapa sistem bilangan.
Ingat bagaimana pada pelajaran pertama tentang desimal saya mengatakan bahwa ada pecahan numerik yang tidak dapat direpresentasikan sebagai desimal (lihat pelajaran “ Desimal”)? Kita juga belajar cara memfaktorkan penyebut pecahan untuk melihat apakah ada bilangan selain 2 dan 5.
Jadi: Saya berbohong. Dan hari ini kita akan belajar bagaimana mengubah pecahan numerik apa pun menjadi desimal. Pada saat yang sama, kita akan mengenal seluruh kelas pecahan dengan bagian penting tak terhingga.
Desimal periodik adalah desimal apa pun yang:
- Bagian penting terdiri dari jumlah yang tak terbatas angka;
- Melalui interval tertentu angka-angka di bagian penting diulang.
Sekumpulan angka berulang yang membentuk bagian penting, disebut bagian periodik pecahan, dan banyaknya angka dalam himpunan ini disebut periode pecahan. Bagian sisa dari bagian penting yang tidak berulang disebut bagian non-periodik.
Karena ada banyak definisi, ada baiknya mempertimbangkan beberapa pecahan berikut secara mendetail:
Pecahan ini paling sering muncul dalam soal. Bagian non-periodik: 0; bagian periodik: 3; lama periode: 1.
Bagian non-periodik: 0,58; bagian periodik: 3; panjang periode: lagi 1.
Bagian non-periodik: 1; bagian periodik: 54; lama periode: 2.
Bagian non-periodik: 0; bagian periodik : 641025; panjang periode: 6. Untuk kenyamanan, bagian yang berulang dipisahkan satu sama lain dengan spasi - hal ini tidak diperlukan dalam solusi ini.
Bagian non-periodik: 3066; bagian periodik: 6; lama periode: 1.
Seperti yang Anda lihat, definisi pecahan periodik didasarkan pada konsepnya bagian penting dari suatu angka. Oleh karena itu, jika Anda lupa apa itu, saya sarankan untuk mengulanginya - lihat pelajaran “”.
Transisi ke pecahan desimal periodik
Perhatikan pecahan biasa yang berbentuk a /b. Mari kita faktorkan penyebutnya menjadi faktor prima. Ada dua pilihan:
- Perluasan hanya berisi faktor 2 dan 5. Pecahan ini mudah diubah menjadi desimal - lihat pelajaran “Desimal”. Kami tidak tertarik pada orang-orang seperti itu;
- Ada hal lain dalam pemuaian selain 2 dan 5. Dalam hal ini, pecahan tidak dapat direpresentasikan sebagai desimal, tetapi dapat diubah menjadi desimal periodik.
Untuk menentukan pecahan desimal periodik, Anda perlu mencari bagian periodik dan non-periodiknya. Bagaimana? Ubah pecahan menjadi pecahan biasa, lalu bagi pembilangnya dengan penyebutnya menggunakan sudut.
Hal berikut akan terjadi:
- Akan berpisah terlebih dahulu seluruh bagian , jika ada;
- Mungkin ada beberapa angka setelah koma desimal;
- Setelah beberapa saat, angkanya akan mulai mengulang.
Itu saja! Angka-angka yang berulang setelah koma dilambangkan dengan bagian periodik, dan angka-angka di depannya ditandai dengan bagian non-periodik.
Tugas. Ubah pecahan biasa menjadi desimal periodik:
Semua pecahan tidak memiliki bagian bilangan bulat, jadi kita cukup membagi pembilangnya dengan penyebutnya dengan “sudut”:
Seperti yang Anda lihat, sisanya berulang. Mari kita tuliskan pecahan dalam bentuk yang “benar”: 1,733 ... = 1,7(3).
Hasilnya berupa pecahan: 0,5833 ... = 0,58(3).
Kita tuliskan dalam bentuk normal: 4.0909... = 4,(09).
Kita mendapatkan pecahannya: 0,4141 ... = 0.(41).
Transisi dari pecahan desimal periodik ke pecahan biasa
Perhatikan pecahan desimal periodik X = abc (a 1 b 1 c 1). Diperlukan untuk mengubahnya menjadi “dua lantai” klasik. Untuk melakukannya, ikuti empat langkah sederhana:
- Temukan periode pecahan, mis. hitung berapa angka pada bagian periodik. Biarkan ini menjadi angka k;
- Temukan nilai ekspresi X · 10 k. Ini sama dengan menggeser koma desimal ke kanan satu titik penuh - lihat pelajaran "Mengalikan dan membagi desimal";
- Ekspresi asli harus dikurangi dari angka yang dihasilkan. Dalam hal ini, bagian periodik “terbakar” dan tetap ada pecahan biasa;
- Temukan X dalam persamaan yang dihasilkan. Kami mengubah semua pecahan desimal menjadi pecahan biasa.
Tugas. Kurangi menjadi biasa pecahan biasa nomor:
- 9,(6);
- 32,(39);
- 0,30(5);
- 0,(2475).
Kita mengerjakan pecahan pertama: X = 9,(6) = 9,666 ...
Dalam tanda kurung hanya terdapat satu angka, sehingga periodenya adalah k = 1. Selanjutnya, kita mengalikan pecahan ini dengan 10 k = 10 1 = 10. Kita mendapatkan:
10X = 10 9,6666... = 96,666...
Kurangi pecahan asal dan selesaikan persamaannya:
10X− X = 96,666…− 9,666…= 96 − 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.
Sekarang mari kita lihat pecahan kedua. Jadi X = 32,(39) = 32,393939...
Periode k = 2, jadi kalikan semuanya dengan 10 k = 10 2 = 100:
100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...
Kurangi pecahan asal lagi dan selesaikan persamaannya:
100X − X = 3239,3939 ... − 32,3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.
Mari kita beralih ke pecahan ketiga: X = 0,30(5) = 0,30555... Diagramnya sama, jadi saya berikan perhitungannya saja:
Periode k = 1 ⇒ kalikan semuanya dengan 10 k = 10 1 = 10;
10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X − X = 3,0555 ... − 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.
Terakhir, pecahan terakhir: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Sekali lagi, untuk memudahkan, bagian periodik dipisahkan satu sama lain dengan spasi. Kami memiliki:
k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10.000;
10.000X = 10.000 0,2475 2475 = 2475.2475 ...
10,000X − X = 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.
Sebagaimana diketahui, himpunan bilangan rasional (Q) mencakup himpunan bilangan bulat (Z), yang selanjutnya mencakup himpunan tersebut bilangan asli(N). Selain bilangan bulat, bilangan rasional juga mencakup pecahan.
Lalu mengapa seluruh himpunan bilangan rasional terkadang dianggap sebagai pecahan desimal periodik tak hingga? Memang, selain pecahan, bilangan bulat juga termasuk di dalamnya pecahan non-periodik.
Faktanya adalah bahwa semua bilangan bulat, serta pecahan apa pun, dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal periodik tak hingga. Artinya, untuk semua bilangan rasional, Anda bisa menggunakan cara pencatatan yang sama.
Bagaimana desimal periodik tak terhingga direpresentasikan? Di dalamnya, sekelompok angka berulang setelah koma ditempatkan dalam tanda kurung. Misalnya, 1,56(12) adalah pecahan yang kelompok angkanya 12 diulang, yaitu pecahan tersebut bernilai 1,561212121212... dan seterusnya tanpa henti. Sekelompok bilangan yang berulang disebut titik.
Namun, kita dapat merepresentasikan bilangan apa pun dalam bentuk ini jika kita menganggap periodenya sebagai bilangan 0, yang juga berulang tanpa henti. Misal bilangan 2 sama dengan 2,00000.... Oleh karena itu, dapat ditulis sebagai pecahan periodik tak hingga, yaitu 2,(0).
Hal yang sama dapat dilakukan dengan pecahan berhingga apa pun. Misalnya:
0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)
Namun, dalam praktiknya mereka tidak menggunakan transformasi pecahan berhingga menjadi pecahan periodik tak hingga. Oleh karena itu, mereka memisahkan pecahan berhingga dan pecahan periodik tak hingga. Jadi, lebih tepat dikatakan demikian bilangan rasional milik
- semua bilangan bulat
- pecahan akhir,
- pecahan periodik tak terhingga.
Pada saat yang sama, ingatlah bahwa bilangan bulat dan pecahan berhingga secara teori dapat direpresentasikan dalam bentuk pecahan periodik tak hingga.
Di sisi lain, konsep pecahan berhingga dan tak terhingga dapat diterapkan pada pecahan desimal. Terkait pecahan, desimal berhingga dan tak terhingga dapat direpresentasikan secara unik sebagai pecahan. Artinya dari sudut pandang pecahan biasa, pecahan periodik dan pecahan terbatas adalah satu hal yang sama. Selain itu, bilangan bulat juga dapat direpresentasikan sebagai pecahan dengan membayangkan kita membagi bilangan tersebut dengan 1.
Bagaimana cara menyatakan pecahan periodik tak hingga desimal sebagai pecahan biasa? Algoritma yang paling umum digunakan adalah seperti ini:
- Kurangi pecahan tersebut sehingga setelah koma hanya ada satu titik.
- Kalikan pecahan periodik tak hingga dengan 10 atau 100 atau ... sehingga koma desimal berpindah ke kanan sebanyak satu periode (yaitu, satu periode berakhir di seluruh bagian).
- Samakan pecahan asal (a) dengan variabel x, dan pecahan (b) yang diperoleh dengan mengalikan bilangan N dengan Nx.
- Kurangi x dari Nx. Dari b saya kurangi a. Artinya, keduanya membentuk persamaan Nx – x = b – a.
- Saat menyelesaikan suatu persamaan, hasilnya adalah pecahan biasa.
Contoh pengubahan pecahan desimal periodik tak hingga menjadi pecahan biasa:
x = 1,13333...
10x = 11,3333...
10x * 10 = 11,33333... * 10
100x = 113,3333...
100x – 10x = 113,3333... – 11,3333...
90x = 102
x =
