Halo! Mari kita ikuti Ujian Negara Terpadu yang akan datang dengan persiapan sistematis berkualitas tinggi dan ketekunan dalam mengasah granit ilmu pengetahuan!!! DI DALAMAda tugas kompetisi di akhir postingan, jadilah yang pertama! Dalam salah satu artikel di bagian ini, Anda dan saya, yang di dalamnya diberikan grafik fungsi dan berbagai pertanyaan yang diajukan mengenai ekstrem, interval kenaikan (penurunan) dan lain-lain.
Pada artikel ini kita akan membahas soal-soal yang termasuk dalam Unified State Examination matematika, yang di dalamnya diberikan grafik turunan suatu fungsi dan diajukan pertanyaan-pertanyaan berikut:
1. Pada titik manakah pada segmen tertentu fungsi tersebut mempunyai nilai terbesar (atau terkecil).
2. Temukan jumlah titik maksimum (atau minimum) dari fungsi yang termasuk dalam segmen tertentu.
3. Temukan jumlah titik ekstrem dari suatu fungsi yang termasuk dalam segmen tertentu.
4. Temukan titik ekstrem dari fungsi yang termasuk dalam segmen tertentu.
5. Temukan interval kenaikan (atau penurunan) fungsi dan dalam jawabannya tunjukkan jumlah bilangan bulat yang termasuk dalam interval ini.
6. Temukan interval kenaikan (atau penurunan) fungsi tersebut. Dalam jawaban Anda, tunjukkan panjang interval terbesarnya.
7. Tentukan banyak titik yang garis singgung grafik fungsi tersebut sejajar atau berimpit dengan garis berbentuk y = kx + b.
8. Tentukan absis titik yang garis singgung grafik fungsi tersebut sejajar atau berimpit dengan sumbu absis.
Mungkin ada pertanyaan lain, tetapi pertanyaan tersebut tidak akan menyulitkan Anda jika Anda memahami dan (tautan disediakan ke artikel yang memberikan informasi yang diperlukan untuk solusinya, saya sarankan untuk mengulanginya).
Informasi dasar (secara singkat):
1. Turunan pada interval kenaikan mempunyai tanda positif.
Jika turunan suatu titik tertentu dari interval tertentu bernilai positif, maka grafik fungsi pada interval tersebut bertambah.
2. Pada interval menurun, turunannya bertanda negatif.
Jika turunan suatu titik tertentu dari interval tertentu bernilai negatif, maka grafik fungsinya menurun pada interval tersebut.
3. Turunan di titik x sama dengan kemiringan garis singgung grafik fungsi di titik yang sama.
4. Pada titik ekstrem (maksimum-minimum) suatu fungsi, turunannya sama dengan nol. Garis singgung grafik fungsi pada titik ini sejajar dengan sumbu x.
Ini harus dipahami dan diingat dengan jelas!!!
Grafik turunannya “membingungkan” banyak orang. Beberapa orang secara tidak sengaja salah mengartikannya sebagai grafik fungsi itu sendiri. Oleh karena itu, pada bangunan seperti itu, di mana Anda melihat diberikan grafik, segera fokuskan perhatian Anda pada kondisi yang diberikan: grafik fungsi atau grafik turunan fungsi?
Jika grafik tersebut merupakan turunan suatu fungsi, perlakukan grafik tersebut sebagai "refleksi" dari fungsi itu sendiri, yang akan memberi Anda informasi tentang fungsi tersebut.
Pertimbangkan tugasnya:
Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–2;21).
Kami akan menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut:
1. Pada titik manakah pada segmen tersebut terdapat fungsi F(X) mengambil nilai terbesar.
Pada suatu interval tertentu, turunan suatu fungsi bernilai negatif, artinya fungsi pada interval tersebut berkurang (menurun dari batas kiri interval ke kanan). Dengan demikian, nilai fungsi terbesar dicapai pada batas kiri segmen, yaitu di titik 7.
Jawaban: 7
2. Pada titik manakah pada segmen tersebut terdapat fungsi F(X)
Dari grafik turunan ini kita dapat mengatakan sebagai berikut. Pada suatu interval tertentu, turunan fungsinya adalah positif, artinya fungsi pada interval tersebut bertambah (bertambah dari batas kiri interval ke kanan). Dengan demikian, nilai fungsi terkecil dicapai pada batas kiri ruas, yaitu pada titik x = 3.
Jawaban: 3
3. Temukan jumlah titik maksimum dari fungsi tersebut F(X)
Titik maksimum adalah titik dimana tanda turunannya berubah dari positif ke negatif. Mari kita pertimbangkan di mana tandanya berubah dengan cara ini.
Pada ruas (3;6) turunannya positif, pada ruas (6;16) turunannya negatif.
Pada segmen (16;18) turunannya positif, pada segmen (18;20) negatif.
Jadi, pada suatu segmen tertentu fungsi tersebut mempunyai dua titik maksimum x = 6 dan x = 18.
Jawaban: 2
4. Temukan jumlah titik minimum dari fungsi tersebut F(X), milik segmen tersebut.
Poin minimum sesuai dengan titik di mana tanda turunannya berubah dari negatif ke positif. Turunan kita negatif pada interval (0;3), dan positif pada interval (3;4).
Jadi, pada segmen tersebut fungsi tersebut hanya memiliki satu titik minimum x = 3.
*Hati-hati saat menuliskan jawabannya - jumlah poin yang dicatat, bukan nilai x; kesalahan seperti itu bisa terjadi karena kurangnya perhatian.
Jawaban: 1
5. Temukan jumlah titik ekstrem dari fungsi tersebut F(X), milik segmen tersebut.
Harap perhatikan apa yang perlu Anda temukan kuantitas titik ekstrem (ini adalah titik maksimum dan minimum).
Titik ekstrem merupakan titik yang tanda turunannya berubah (dari positif ke negatif atau sebaliknya). Pada grafik yang diberikan dalam kondisi, ini adalah fungsi nol. Turunannya hilang di titik 3, 6, 16, 18.
Jadi, fungsi tersebut memiliki 4 titik ekstrem pada segmen tersebut.
Jawaban: 4
6. Temukan interval kenaikan fungsi F(X)
Interval kenaikan fungsi ini F(X) sesuai dengan interval di mana turunannya positif, yaitu interval (3;6) dan (16;18). Harap dicatat bahwa batas interval tidak termasuk di dalamnya (tanda kurung bulat - batas tidak termasuk dalam interval, tanda kurung siku - termasuk). Interval ini berisi bilangan bulat poin 4, 5, 17. Jumlahnya adalah: 4 + 5 + 17 = 26
Jawaban: 26
7. Temukan interval penurunan fungsi F(X) pada interval tertentu. Dalam jawaban Anda, tunjukkan jumlah bilangan bulat yang termasuk dalam interval ini.
Mengurangi interval suatu fungsi F(X) sesuai dengan interval di mana turunan fungsinya negatif. Dalam soal ini adalah interval (–2;3), (6;16), (18:21).
Interval ini berisi titik bilangan bulat berikut: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Jumlahnya adalah:
(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +
11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140
Jawaban: 140
*Perhatikan syarat: apakah batas-batas tersebut termasuk dalam interval atau tidak. Jika batas-batas dimasukkan, maka dalam interval yang dipertimbangkan dalam proses penyelesaian, batas-batas ini juga harus diperhitungkan.
8. Temukan interval kenaikan fungsi F(X)
Interval peningkatan fungsi F(X) sesuai dengan interval di mana turunan fungsinya positif. Kami telah menunjukkannya: (3;6) dan (16:18). Yang terbesar adalah interval (3;6), panjangnya 3.
Jawaban: 3
9. Temukan interval penurunan fungsi F(X). Dalam jawabanmu, sebutkan panjang yang terbesar.
Mengurangi interval suatu fungsi F(X) sesuai dengan interval di mana turunan fungsinya negatif. Kami telah menunjukkannya; ini adalah interval (–2;3), (6;16), (18;21), panjangnya masing-masing 5, 10, 3.
Panjang yang terbesar adalah 10.
Jawaban: 10
10. Tentukan banyak titik yang bersinggungan dengan grafik fungsi tersebut F(X) sejajar atau berimpit dengan garis lurus y = 2x + 3.
Nilai turunan pada titik singgung sama dengan kemiringan garis singgung tersebut. Karena garis singgungnya sejajar dengan garis lurus y = 2x + 3 atau berimpit dengannya, maka koefisien sudutnya sama dengan 2. Artinya, perlu dicari banyak titik di mana y′(x 0) = 2. Secara geometris, ini sesuai dengan jumlah titik potong grafik turunan dengan garis lurus y = 2. Ada 4 titik pada interval ini.
Jawaban: 4
11. Temukan titik ekstrem dari fungsi tersebut F(X), milik segmen tersebut.
Titik ekstrem suatu fungsi adalah titik di mana turunannya sama dengan nol, dan di sekitar titik tersebut turunannya berubah tanda (dari positif ke negatif atau sebaliknya). Pada ruas tersebut grafik turunannya memotong sumbu x, turunannya berubah tanda dari negatif menjadi positif. Oleh karena itu, titik x = 3 merupakan titik ekstrem.
Jawaban: 3
12. Tentukan absis titik-titik yang garis singgung grafik y = f (x) sejajar atau berimpit dengan sumbu absis. Dalam jawaban Anda, sebutkan yang terbesar.
Garis singgung grafik y = f (x) dapat sejajar dengan sumbu absis atau berimpit dengannya, hanya pada titik-titik yang turunannya sama dengan nol (dapat berupa titik ekstrem atau titik diam di sekitar turunannya). tidak mengubah tandanya). Grafik ini menunjukkan turunannya nol di titik 3, 6, 16,18. Yang terbesar adalah 18.
Anda dapat menyusun alasan Anda seperti ini:
Nilai turunan pada titik singgung sama dengan kemiringan garis singgung tersebut. Karena garis singgungnya sejajar atau berimpit dengan sumbu x, kemiringannya adalah 0 (memang, garis singgung sudut nol derajat adalah nol). Oleh karena itu, kita mencari titik yang kemiringannya sama dengan nol, sehingga turunannya sama dengan nol. Turunannya sama dengan nol pada titik perpotongan grafiknya dengan sumbu x, yaitu titik 3, 6, 16,18.
Jawaban: 18
Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–8;4). Pada titik manakah pada segmen [–7;–3] fungsi tersebut berada F(X) mengambil nilai terkecil.
Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–7;14). Temukan jumlah titik maksimum dari fungsi tersebut F(X), termasuk dalam segmen [–6;9].
Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–18;6). Temukan jumlah titik minimum dari fungsi tersebut F(X), termasuk dalam segmen [–13;1].
Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–11; –11). Temukan jumlah titik ekstrem dari fungsi tersebut F(X), termasuk dalam segmen [–10; –10].
Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–7;4). Temukan interval kenaikan fungsi F(X). Dalam jawaban Anda, tunjukkan jumlah bilangan bulat yang termasuk dalam interval ini.
Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–5;7). Temukan interval penurunan fungsi F(X). Dalam jawaban Anda, tunjukkan jumlah bilangan bulat yang termasuk dalam interval ini.
Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–11;3). Temukan interval kenaikan fungsi F(X). Dalam jawabanmu, sebutkan panjang yang terbesar.
F Gambar tersebut menunjukkan grafik
Kondisi masalahnya sama (yang kami pertimbangkan). Temukan jumlah tiga angka:
1. Jumlah kuadrat ekstrem fungsi f(x).
2. Selisih kuadrat jumlah titik maksimum dan jumlah titik minimum fungsi f (x).
3. Banyaknya garis singgung f (x) yang sejajar garis lurus y = –3x + 5.
Orang pertama yang memberikan jawaban benar akan menerima hadiah insentif sebesar 150 rubel. Tulis jawaban Anda di komentar. Jika ini adalah komentar pertama Anda di blog, maka komentar tersebut tidak akan langsung muncul, melainkan beberapa saat kemudian (jangan khawatir, waktu penulisan komentar tersebut dicatat).
Semoga beruntung untukmu!
Hormat kami, Alexander Krutitsikh.
P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu saya tentang situs ini di jejaring sosial.
Menunjukkan hubungan antara tanda turunan dengan sifat monotonisitas suatu fungsi.
Harap berhati-hati mengenai hal berikut ini. Lihat, jadwal APA yang diberikan kepadamu! Fungsi atau turunannya
Jika diberikan grafik turunannya, maka kita hanya akan tertarik pada tanda fungsi dan nol. Pada prinsipnya kami tidak tertarik pada “bukit” atau “lubang” apa pun!
Tugas 1.
Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi yang didefinisikan pada interval. Tentukan banyaknya titik bilangan bulat yang turunan fungsinya negatif.
Larutan:
Pada gambar, area dengan fungsi menurun disorot dengan warna:
Daerah fungsi yang menurun ini berisi 4 nilai bilangan bulat.
Tugas 2.
Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi yang didefinisikan pada interval. Tentukan banyaknya titik yang garis singgung grafik fungsi tersebut sejajar atau berimpit dengan garis tersebut.
Larutan:
Ketika garis singgung grafik suatu fungsi sejajar (atau berimpit) dengan garis lurus (atau, yang merupakan hal yang sama), mempunyai lereng, sama dengan nol, maka garis singgung tersebut memiliki koefisien sudut .
Artinya garis singgungnya sejajar dengan sumbu, karena kemiringan adalah garis singgung dari sudut kemiringan garis singgung terhadap sumbu.
Oleh karena itu, kita menemukan titik ekstrem (titik maksimum dan minimum) pada grafik - pada titik inilah fungsi yang bersinggungan dengan grafik akan sejajar dengan sumbu.
Ada 4 poin seperti itu.
Tugas 3.
Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan suatu fungsi yang didefinisikan pada interval. Tentukan banyaknya titik yang garis singgung grafik fungsi tersebut sejajar atau berimpit dengan garis tersebut.
Larutan:
Karena garis singgung grafik suatu fungsi sejajar (atau berimpit) dengan garis yang mempunyai kemiringan, maka garis singgung tersebut juga mempunyai kemiringan.
Hal ini pada gilirannya berarti pada titik-titik sentuh.
Oleh karena itu, kita melihat berapa banyak titik pada grafik yang mempunyai ordinat sama dengan .
Seperti yang Anda lihat, ada empat poin tersebut.
Tugas 4.
Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi yang didefinisikan pada interval. Tentukan banyak titik yang turunan fungsinya adalah 0.
Larutan:
Turunannya sama dengan nol pada titik ekstrem. Kami memiliki 4 di antaranya:
Tugas 5.
Gambar tersebut menunjukkan grafik suatu fungsi dan sebelas titik pada sumbu x :. Pada berapa banyak titik-titik tersebut yang merupakan turunan dari fungsi tersebut negatif?
Larutan:
Pada interval penurunan fungsi, turunannya bernilai negatif. Dan fungsinya menurun pada titik-titik. Ada 4 poin seperti itu.
Tugas 6.
Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi yang didefinisikan pada interval. Temukan jumlah titik ekstrem fungsi tersebut.
Larutan:
Poin ekstrem– ini adalah poin maksimum (-3, -1, 1) dan poin minimum (-2, 0, 3).
Jumlah titik ekstrem: -3-1+1-2+0+3=-2.
Tugas 7.
Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan suatu fungsi yang didefinisikan pada interval. Temukan interval kenaikan fungsi. Dalam jawaban Anda, tunjukkan jumlah bilangan bulat yang termasuk dalam interval ini.
Larutan:
Gambar tersebut menyoroti interval di mana turunan fungsi tersebut non-negatif.
Tidak ada titik bilangan bulat pada interval peningkatan kecil; pada interval peningkatan terdapat empat nilai bilangan bulat: , , dan .
Jumlahnya:
Tugas 8.
Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan suatu fungsi yang didefinisikan pada interval. Temukan interval kenaikan fungsi. Dalam jawabanmu, sebutkan panjang yang terbesar.
Larutan:
Pada gambar, semua interval yang turunannya positif disorot dengan warna, yang berarti fungsi itu sendiri meningkat pada interval tersebut.
Panjang yang terbesar adalah 6.
Tugas 9.
Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan suatu fungsi yang didefinisikan pada interval. Pada titik manakah di segmen tersebut ia memperoleh nilai terbesar?
Larutan:
Mari kita lihat bagaimana grafik berperilaku pada segmen yang kita minati hanya tanda turunannya .
Tanda turunan pada adalah minus, karena grafik pada ruas tersebut berada di bawah sumbu.
(Gbr.1)
Gambar 1. Grafik turunan
Properti grafik turunan
- Pada interval yang semakin meningkat, turunannya positif. Jika turunan suatu titik tertentu dari interval tertentu bernilai positif, maka grafik fungsi pada interval tersebut bertambah.
- Pada interval menurun, turunannya negatif (dengan tanda minus). Jika turunan suatu titik tertentu dari interval tertentu bernilai negatif, maka grafik fungsinya menurun pada interval tersebut.
- Turunan di titik x sama dengan kemiringan garis singgung yang ditarik grafik fungsi di titik yang sama.
- Pada titik maksimum dan minimum suatu fungsi, turunannya sama dengan nol. Garis singgung grafik fungsi pada titik ini sejajar dengan sumbu OX.
Contoh 1
Dengan menggunakan grafik turunan (Gbr. 2), tentukan di titik mana pada segmen [-3; 5] fungsinya maksimal.
Gambar 2. Grafik turunan
Penyelesaian: Pada ruas ini turunannya negatif, artinya fungsinya mengecil dari kiri ke kanan, dan nilai terbesar ada di ruas kiri di titik -3.
Contoh 2
Dengan menggunakan grafik turunan (Gbr. 3), tentukan jumlah titik maksimum pada segmen [-11; 3].
Gambar 3. Grafik turunan
Penyelesaian: Titik maksimum adalah titik yang tanda turunannya berubah dari positif ke negatif. Pada interval ini, fungsi berubah tanda dari plus ke minus dua kali - di titik -10 dan di titik -1. Artinya jumlah poin maksimalnya adalah dua.
Contoh 3
Dengan menggunakan grafik turunan (Gbr. 3), tentukan jumlah titik minimum pada segmen [-11; -1].
Penyelesaian: Titik minimum adalah titik yang tanda turunannya berubah dari negatif ke positif. Di segmen ini, titik tersebut hanya -7. Artinya jumlah titik minimum pada suatu ruas tertentu adalah satu.
Contoh 4
Dengan menggunakan grafik turunan (Gbr. 3), tentukan jumlah titik ekstrem.
Penyelesaian: Titik ekstrim merupakan titik minimum dan maksimum. Mari kita cari banyak titik di mana turunannya berubah tanda.
Selanjutnya, di kelas, disarankan untuk mempertimbangkan tugas utama: dengan menggunakan grafik turunan yang diberikan, siswa harus mengajukan (tentu saja, dengan bantuan guru) berbagai pertanyaan yang berkaitan dengan sifat-sifat fungsi itu sendiri. Tentu saja, masalah-masalah ini dibahas, dikoreksi jika perlu, dirangkum, dicatat dalam buku catatan, setelah itu tahap penyelesaian tugas-tugas ini dimulai. Di sini perlu dipastikan bahwa siswa tidak hanya memberikan jawaban yang benar, tetapi mampu berargumen (membuktikan) dengan menggunakan definisi, sifat, dan kaidah yang sesuai.
Mari kita beri contoh tugas seperti itu: di papan (misalnya, menggunakan proyektor), siswa disajikan grafik turunan; 10 tugas dirumuskan berdasarkan itu (pertanyaan tidak sepenuhnya benar atau duplikat ditolak).
Fungsi y = f(x) terdefinisi dan kontinu pada interval [–6; 6].
Dengan menggunakan grafik turunan y = f"(x), tentukan:
1) banyaknya interval kenaikan fungsi y = f(x);
2) panjang interval penurunan fungsi y = f(x);
3) banyaknya titik ekstrem fungsi y = f(x);
4) titik maksimum fungsi y = f(x);
5) titik kritis (stasioner) dari fungsi y = f(x), yang bukan merupakan titik ekstrem;
6) absis titik grafik di mana fungsi y = f(x) mengambil nilai terbesar pada segmen tersebut;
7) absis titik grafik di mana fungsi y = f(x) mengambil nilai terkecil pada ruas [–2; 2];
8) banyaknya titik pada grafik fungsi y = f(x), yang garis singgungnya tegak lurus sumbu Oy;
9) banyaknya titik pada grafik fungsi y = f(x) yang garis singgungnya membentuk sudut 60° terhadap arah positif sumbu Ox;
10) absis titik grafik fungsi y = f(x), yang kemiringan garis singgungnya bernilai terkecil.
Menjawab: 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) –3; 5) –5; 6) 4; 7) –1; 8) 3; 9) 4; 10) –2.
Untuk memantapkan keterampilan mempelajari sifat-sifat suatu fungsi, siswa dapat membawa pulang tugas yang berkaitan dengan membaca grafik yang sama, tetapi dalam satu kasus berupa grafik suatu fungsi, dan dalam kasus lain, grafik turunannya.
Artikel ini diterbitkan dengan dukungan forum administrator sistem dan pemrogram. Di "CyberForum.ru" Anda akan menemukan forum tentang topik-topik seperti pemrograman, komputer, diskusi perangkat lunak, pemrograman web, sains, elektronik dan peralatan rumah tangga, karier dan bisnis, rekreasi, manusia dan masyarakat, budaya dan seni, rumah dan ekonomi, mobil , sepeda motor dan banyak lagi. Di forum Anda bisa mendapatkan bantuan gratis. Anda dapat mengetahui lebih lanjut di situs web yang beralamat di: http://www.cyberforum.ru/differential-equations/.
Fungsi y = f(x) terdefinisi dan kontinu pada interval [–6; 5]. Gambar menunjukkan:
a) grafik fungsi y = f(x);
b) grafik turunan y = f"(x).
Tentukan dari jadwal:
1) titik minimum dari fungsi y = f(x);
2) banyaknya interval penurunan fungsi y = f(x);
3) absis titik grafik fungsi y = f(x), yang mempunyai nilai terbesar pada segmen tersebut;
4) banyaknya titik pada grafik fungsi y = f(x) yang garis singgungnya sejajar dengan sumbu Ox (atau berimpit dengannya).
Jawaban:
a) 1) –3; 2; 4; 2) 3; 3) 3; 4) 4;
b) 1) –2; 4.6;2) 2; 3) 2; 4) 5.
Untuk melakukan kontrol, Anda dapat mengatur pekerjaan berpasangan: setiap siswa menyiapkan grafik turunan pada kartu untuk pasangannya terlebih dahulu dan di bawah ini menawarkan 4-5 pertanyaan untuk menentukan sifat-sifat fungsi. Selama pelajaran, mereka bertukar kartu, menyelesaikan tugas yang diusulkan, setelah itu setiap orang memeriksa dan mengevaluasi pekerjaan pasangannya.
