Penjumlahan logaritma. Logaritma. Pengertian logaritma biner, logaritma natural, logaritma desimal; fungsi eksponensial exp(x), bilangan e. Log, Ln. Rumus pangkat dan logaritma. Menggunakan logaritma, desibel. Argumen dan dasar lo

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain.Aljabar dan permulaan analisis: Buku ajar untuk kelas 10 - 11 lembaga pendidikan umum.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan bagi mereka yang memasuki sekolah teknik).

\(a^(b)=c\) \(\Panah Kanan Kiri\) \(\log_(a)(c)=b\)

Mari kita jelaskan dengan lebih sederhana. Misalnya, \(\log_(2)(8)\) sama dengan pangkat yang \(2\) harus dipangkatkan untuk mendapatkan \(8\). Dari sini jelas bahwa \(\log_(2)(8)=3\).

Argumen dan basis logaritma

Logaritma apa pun memiliki “anatomi” berikut:

Argumen suatu logaritma biasanya ditulis pada tingkatnya, dan basisnya ditulis dalam subskrip yang mendekati tanda logaritma. Dan entri ini berbunyi seperti ini: “logaritma dua puluh lima berbanding lima.”

Bagaimana cara menghitung logaritma?

Untuk menghitung logaritma, Anda perlu menjawab pertanyaan: pangkat berapa yang harus dipangkatkan untuk mendapatkan argumen?

Misalnya, hitung logaritmanya: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ persegi (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Berapa pangkat yang harus dipangkatkan \(4\) untuk mendapatkan \(16\)? Jelas yang kedua. Itu sebabnya:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Berapa pangkat yang harus dipangkatkan \(\sqrt(5)\) untuk mendapatkan \(1\)? Kekuatan apa yang membuat seseorang menjadi nomor satu? Tentu saja nol!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Berapa pangkat yang harus dipangkatkan \(\sqrt(7)\) untuk memperoleh \(\sqrt(7)\)? Pertama, bilangan apa pun yang dipangkatkan pertama sama dengan bilangan itu sendiri.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Berapa pangkat yang harus dipangkatkan \(3\) untuk memperoleh \(\sqrt(3)\)? Dari yang kita ketahui bahwa itu adalah pangkat pecahan, artinya akar kuadrat adalah pangkat dari \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Contoh : Hitung logaritma \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Larutan :

Menjawab : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Mengapa logaritma ditemukan?

Untuk memahaminya, mari selesaikan persamaan: \(3^(x)=9\). Cocokkan saja \(x\) agar kesetaraan berfungsi. Tentu saja \(x=2\).

Sekarang selesaikan persamaannya: \(3^(x)=8\). Berapakah x sama dengan? Itulah intinya.

Orang yang paling cerdas akan berkata: “X kurang dari dua.” Bagaimana tepatnya menulis nomor ini? Untuk menjawab pertanyaan ini, logaritma diciptakan. Berkat dia, jawabannya di sini dapat ditulis sebagai \(x=\log_(3)(8)\).

Saya ingin menekankan bahwa \(\log_(3)(8)\), seperti logaritma apa pun hanyalah angka. Ya, kelihatannya tidak biasa, tapi pendek. Karena jika kita ingin menuliskannya dalam bentuk desimal maka akan terlihat seperti ini: \(1.892789260714.....\)

Contoh : Selesaikan persamaan \(4^(5x-4)=10\)

Larutan :

Menjawab : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritma desimal dan natural

Sebagaimana dinyatakan dalam definisi logaritma, basisnya dapat berupa bilangan positif apa pun kecuali satu \((a>0, a\neq1)\). Dan di antara semua kemungkinan basis, ada dua yang sering muncul sehingga notasi pendek khusus diciptakan untuk logaritma dengan basis tersebut:

Logaritma natural: logaritma yang basisnya adalah bilangan Euler \(e\) (sama dengan kira-kira \(2.7182818…\)), dan logaritmanya ditulis sebagai \(\ln(a)\).

Itu adalah, \(\ln(a)\) sama dengan \(\log_(e)(a)\)

Logaritma Desimal: Logaritma yang basisnya 10 ditulis \(\lg(a)\).

Itu adalah, \(\lg(a)\) sama dengan \(\log_(10)(a)\), di mana \(a\) adalah suatu bilangan.

Identitas logaritma dasar

Logaritma mempunyai banyak sifat. Salah satunya disebut “Identitas Logaritma Dasar” dan terlihat seperti ini:

Properti ini mengikuti langsung dari definisi. Mari kita lihat bagaimana rumus ini muncul.

Mari kita ingat kembali notasi singkat tentang definisi logaritma:

jika \(a^(b)=c\), maka \(\log_(a)(c)=b\)

Artinya, \(b\) sama dengan \(\log_(a)(c)\). Kemudian kita dapat menulis \(\log_(a)(c)\) sebagai ganti \(b\) pada rumus \(a^(b)=c\). Ternyata \(a^(\log_(a)(c))=c\) - identitas logaritmik utama.

Anda dapat menemukan properti logaritma lainnya. Dengan bantuan mereka, Anda dapat menyederhanakan dan menghitung nilai ekspresi dengan logaritma, yang sulit dihitung secara langsung.

Contoh : Temukan nilai ekspresi \(36^(\log_(6)(5))\)

Larutan :

Menjawab : \(25\)

Bagaimana cara menulis bilangan sebagai logaritma?

Seperti disebutkan di atas, logaritma apa pun hanyalah angka. Kebalikannya juga benar: bilangan apa pun dapat ditulis sebagai logaritma. Misalnya, kita tahu bahwa \(\log_(2)(4)\) sama dengan dua. Kemudian Anda dapat menulis \(\log_(2)(4)\) alih-alih dua.

Tapi \(\log_(3)(9)\) juga sama dengan \(2\), yang artinya kita juga bisa menulis \(2=\log_(3)(9)\) . Begitu juga dengan \(\log_(5)(25)\), dan dengan \(\log_(9)(81)\), dll. Ternyata begitu

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Jadi, jika perlu, kita dapat menulis dua sebagai logaritma dengan basis apa pun di mana pun (baik dalam persamaan, ekspresi, atau pertidaksamaan) - kita cukup menulis basis kuadrat sebagai argumen.

Sama halnya dengan triple – dapat ditulis sebagai \(\log_(2)(8)\), atau sebagai \(\log_(3)(27)\), atau sebagai \(\log_(4)( 64) \)... Di sini kita menulis basis dalam kubus sebagai argumen:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Dan dengan empat:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Dan dengan minus satu:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Dan dengan sepertiga:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Bilangan apa pun \(a\) dapat direpresentasikan sebagai logaritma dengan basis \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Contoh : Temukan arti ekspresi \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Larutan :

Menjawab : \(1\)

Seperti yang Anda ketahui, saat mengalikan ekspresi dengan pangkat, eksponennya selalu dijumlahkan (a b *a c = a b+c). Hukum matematika ini diturunkan oleh Archimedes, dan kemudian, pada abad ke-8, ahli matematika Virasen membuat tabel eksponen bilangan bulat. Merekalah yang berperan dalam penemuan logaritma lebih lanjut. Contoh penggunaan fungsi ini dapat ditemukan hampir di semua tempat di mana Anda perlu menyederhanakan perkalian rumit dengan penjumlahan sederhana. Jika Anda menghabiskan 10 menit membaca artikel ini, kami akan menjelaskan kepada Anda apa itu logaritma dan bagaimana cara menggunakannya. Dalam bahasa yang sederhana dan mudah diakses.

Definisi dalam matematika

Logaritma adalah ekspresi dalam bentuk berikut: log a b=c, yaitu, logaritma bilangan non-negatif (yaitu, bilangan positif apa pun) “b” dengan basis “a” dianggap sebagai pangkat “c ” dimana basis “a” harus dipangkatkan untuk mendapatkan nilai “b”. Mari kita analisa logaritma menggunakan contoh, misalkan ada ekspresi log 2 8. Bagaimana cara mencari jawabannya? Ini sangat sederhana, Anda perlu mencari pangkat sedemikian rupa sehingga dari 2 hingga pangkat yang dibutuhkan Anda mendapatkan 8. Setelah melakukan beberapa perhitungan di kepala Anda, kita mendapatkan angka 3! Dan itu benar, karena 2 pangkat 3 memberikan jawaban 8.

Jenis logaritma

Bagi banyak siswa dan pelajar, topik ini tampaknya rumit dan tidak dapat dipahami, tetapi sebenarnya logaritma tidak begitu menakutkan, yang utama adalah memahami arti umum dan mengingat sifat-sifatnya serta beberapa aturannya. Ada tiga jenis ekspresi logaritma yang terpisah:

1. Logaritma natural ln a, dengan basis bilangan Euler (e = 2,7).
2. Desimal a yang basisnya 10.
3. Logaritma bilangan b apa pun dengan basis a>1.

Masing-masing diselesaikan dengan cara standar, termasuk penyederhanaan, reduksi, dan selanjutnya reduksi menjadi logaritma tunggal menggunakan teorema logaritma. Untuk mendapatkan nilai logaritma yang benar, Anda harus mengingat propertinya dan urutan tindakan saat menyelesaikannya.

Aturan dan beberapa batasan

Dalam matematika, ada beberapa aturan-batasan yang diterima sebagai aksioma, yaitu tidak perlu dibicarakan dan merupakan kebenaran. Misalnya, tidak mungkin membagi bilangan dengan nol, dan juga tidak mungkin mengekstrak akar genap dari bilangan negatif. Logaritma juga memiliki aturannya sendiri, berikut ini Anda dapat dengan mudah mempelajari cara bekerja bahkan dengan ekspresi logaritma yang panjang dan luas:

• Basis “a” harus selalu lebih besar dari nol, dan tidak sama dengan 1, jika tidak, ungkapan tersebut akan kehilangan maknanya, karena “1” dan “0” pada derajat apa pun selalu sama dengan nilainya;
• jika a > 0, maka a b >0, ternyata “c” juga harus lebih besar dari nol.

Bagaimana cara menyelesaikan logaritma?

Misalnya diberikan tugas untuk mencari jawaban persamaan 10 x = 100. Caranya sangat mudah, Anda perlu memilih suatu pangkat dengan menaikkan angka sepuluh sehingga kita mendapatkan 100. Tentu saja, ini adalah 10 2 = 100.

Sekarang mari kita nyatakan ekspresi ini dalam bentuk logaritma. Kita mendapatkan log 10 100 = 2. Saat menyelesaikan logaritma, semua tindakan secara praktis menyatu untuk mencari pangkat yang diperlukan untuk memasukkan basis logaritma untuk mendapatkan bilangan tertentu.

Untuk menentukan secara akurat nilai derajat yang tidak diketahui, Anda perlu mempelajari cara bekerja dengan tabel derajat. Ini terlihat seperti ini:

Seperti yang Anda lihat, beberapa eksponen dapat ditebak secara intuitif jika Anda memiliki pemikiran teknis dan pengetahuan tentang tabel perkalian. Namun, untuk nilai yang lebih besar, Anda memerlukan tabel pangkat. Ini dapat digunakan bahkan oleh mereka yang tidak tahu apa-apa tentang topik matematika yang rumit. Kolom kiri berisi bilangan (basis a), baris bilangan paling atas adalah nilai pangkat c yang dipangkatkan bilangan a. Pada titik potongnya, sel-sel tersebut berisi nilai bilangan yang menjadi jawabannya (ac =b). Mari kita ambil, misalnya, sel pertama dengan angka 10 dan mengkuadratkannya, kita mendapatkan nilai 100, yang ditunjukkan pada perpotongan kedua sel kita. Semuanya begitu sederhana dan mudah sehingga bahkan humanis paling sejati sekalipun akan memahaminya!

Persamaan dan pertidaksamaan

Ternyata dalam kondisi tertentu eksponennya adalah logaritma. Oleh karena itu, ekspresi numerik matematika apa pun dapat ditulis sebagai persamaan logaritma. Misalnya, 3 4 =81 dapat ditulis sebagai logaritma basis 3 dari 81 sama dengan empat (log 3 81 = 4). Untuk pangkat negatif aturannya sama: 2 -5 = 1/32 kita tuliskan sebagai logaritma, kita peroleh log 2 (1/32) = -5. Salah satu bagian matematika yang paling menarik adalah topik “logaritma”. Kita akan melihat contoh dan solusi persamaan di bawah ini, segera setelah mempelajari sifat-sifatnya. Sekarang mari kita lihat seperti apa pertidaksamaan dan bagaimana membedakannya dari persamaan.

Ekspresi berikut diberikan: log 2 (x-1) > 3 - ini adalah pertidaksamaan logaritma, karena nilai “x” yang tidak diketahui berada di bawah tanda logaritma. Dan juga dalam ekspresi dua besaran dibandingkan: logaritma bilangan yang diinginkan ke basis dua lebih besar dari bilangan tiga.

Perbedaan terpenting antara persamaan logaritma dan pertidaksamaan adalah persamaan dengan logaritma (misalnya logaritma 2 x = √9) menyiratkan satu atau lebih nilai numerik tertentu dalam jawabannya, sedangkan ketika menyelesaikan pertidaksamaan, keduanya merupakan rentang yang dapat diterima. nilai dan poin ditentukan dengan melanggar fungsi ini. Konsekuensinya, jawabannya bukanlah himpunan bilangan tunggal yang sederhana, seperti pada jawaban suatu persamaan, melainkan rangkaian atau himpunan bilangan yang berkesinambungan.

Teorema dasar tentang logaritma

Saat menyelesaikan tugas primitif untuk menemukan nilai logaritma, propertinya mungkin tidak diketahui. Namun, jika menyangkut persamaan atau pertidaksamaan logaritma, pertama-tama, kita perlu memahami dengan jelas dan menerapkan semua sifat dasar logaritma dalam praktik. Kita akan melihat contoh persamaannya nanti; pertama-tama mari kita lihat masing-masing properti secara lebih rinci.

1. Identitas utama terlihat seperti ini: a logaB =B. Ini hanya berlaku jika a lebih besar dari 0, tidak sama dengan satu, dan B lebih besar dari nol.
2. Logaritma hasil kali dapat direpresentasikan dalam rumus berikut: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dalam hal ini, kondisi wajibnya adalah: d, s 1 dan s 2 > 0; a≠1. Anda dapat memberikan bukti rumus logaritma ini, beserta contoh dan solusinya. Misalkan log a s 1 = f 1 dan log a s 2 = f 2, maka a f1 = s 1, a f2 = s 2. Kita peroleh bahwa s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (sifat-sifat dari derajat ), dan kemudian menurut definisi: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, yang perlu dibuktikan.
3. Logaritma hasil bagi terlihat seperti ini: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema dalam bentuk rumus berbentuk sebagai berikut: log a q b n = n/q log a b.

Rumus ini disebut “properti derajat logaritma”. Ini menyerupai sifat-sifat derajat biasa, dan ini tidak mengherankan, karena semua matematika didasarkan pada postulat alam. Mari kita lihat buktinya.

Misalkan log a b = t, ternyata at =b. Jika kita menaikkan kedua bagian ke pangkat m: a tn = b n ;

tetapi karena a tn = (a q) nt/q = b n, maka log a q b n = (n*t)/t, maka log a q b n = n/q log a b. Teorema tersebut telah terbukti.

Contoh masalah dan kesenjangan

Jenis soal logaritma yang paling umum adalah contoh persamaan dan pertidaksamaan. Mereka ditemukan di hampir semua buku soal, dan juga merupakan bagian wajib dalam ujian matematika. Untuk memasuki universitas atau lulus ujian masuk matematika, Anda perlu mengetahui cara menyelesaikan tugas-tugas tersebut dengan benar.

Sayangnya, tidak ada rencana atau skema tunggal untuk menyelesaikan dan menentukan nilai logaritma yang tidak diketahui, namun aturan tertentu dapat diterapkan pada setiap pertidaksamaan matematika atau persamaan logaritma. Pertama-tama, Anda harus mencari tahu apakah ekspresi tersebut dapat disederhanakan atau direduksi menjadi bentuk umum. Anda dapat menyederhanakan ekspresi logaritma panjang jika Anda menggunakan propertinya dengan benar. Mari kita mengenal mereka dengan cepat.

Saat menyelesaikan persamaan logaritma, kita harus menentukan jenis logaritma yang kita miliki: contoh ekspresi mungkin berisi logaritma natural atau desimal.

Berikut contoh ln100, ln1026. Solusi mereka bermuara pada fakta bahwa mereka perlu menentukan pangkat yang mana basis 10 masing-masing akan sama dengan 100 dan 1026. Untuk menyelesaikan logaritma natural, Anda perlu menerapkan identitas logaritma atau propertinya. Mari kita lihat contoh penyelesaian berbagai jenis masalah logaritma.

Cara Menggunakan Rumus Logaritma: Beserta Contoh dan Solusinya

Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorema dasar tentang logaritma.

1. Properti logaritma suatu produk dapat digunakan dalam tugas-tugas di mana perlu untuk menguraikan nilai besar dari bilangan b menjadi faktor-faktor yang lebih sederhana. Misalnya log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Jawabannya adalah 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - seperti yang Anda lihat, dengan menggunakan properti keempat dari pangkat logaritma, kami berhasil menyelesaikan ekspresi yang tampaknya rumit dan tidak dapat dipecahkan. Anda hanya perlu memfaktorkan basisnya lalu mengeluarkan nilai eksponennya dari tanda logaritma.

Tugas dari Ujian Negara Bersatu

Logaritma sering ditemukan dalam ujian masuk, terutama banyak soal logaritma pada Unified State Exam (ujian negara untuk semua lulusan sekolah). Biasanya, tugas-tugas ini hadir tidak hanya di bagian A (bagian ujian yang paling mudah), tetapi juga di bagian C (tugas yang paling rumit dan paling banyak). Ujian ini membutuhkan pengetahuan yang akurat dan sempurna tentang topik “Logaritma natural”.

Contoh dan solusi masalah diambil dari Unified State Exam versi resmi. Mari kita lihat bagaimana tugas-tugas tersebut diselesaikan.

Diketahui log 2 (2x-1) = 4. Penyelesaian:
mari kita tulis ulang ekspresinya, sederhanakan sedikit log 2 (2x-1) = 2 2, berdasarkan definisi logaritma kita mendapatkan bahwa 2x-1 = 2 4, oleh karena itu 2x = 17; x = 8,5.

• Yang terbaik adalah mereduksi semua logaritma ke basis yang sama agar penyelesaiannya tidak rumit dan membingungkan.
• Semua ekspresi di bawah tanda logaritma dinyatakan positif, oleh karena itu, jika eksponen dari ekspresi di bawah tanda logaritma dan basisnya diambil sebagai pengali, ekspresi yang tersisa di bawah logaritma harus positif.

Berhubungan dengan

tugas menemukan salah satu dari tiga angka dari dua angka lainnya dapat ditetapkan. Jika a dan kemudian N diberikan, maka keduanya ditemukan dengan eksponensial. Jika N dan kemudian a diberikan dengan mengambil akar derajat x (atau menaikkannya ke pangkat). Sekarang perhatikan kasus ketika, jika diketahui a dan N, kita perlu mencari x.

Misalkan bilangan N positif: bilangan a positif dan tidak sama dengan satu: .

Definisi. Logaritma bilangan N ke basis a adalah eksponen yang harus dipangkatkan a untuk memperoleh bilangan N; logaritma dilambangkan dengan

Jadi, dalam persamaan (26.1) eksponennya ditemukan sebagai logaritma dari N ke basis a. Postingan

mempunyai arti yang sama. Kesetaraan (26.1) kadang-kadang disebut sebagai identitas utama teori logaritma; pada kenyataannya ia mengungkapkan definisi konsep logaritma. Berdasarkan definisi ini, basis logaritma a selalu positif dan berbeda dengan kesatuan; bilangan logaritma N positif. Bilangan negatif dan nol tidak mempunyai logaritma. Dapat dibuktikan bahwa bilangan apa pun dengan basis tertentu mempunyai logaritma yang terdefinisi dengan baik. Oleh karena itu kesetaraan memerlukan . Perhatikan bahwa kondisi ini penting di sini; jika tidak, kesimpulannya tidak akan dapat dibenarkan, karena persamaan tersebut berlaku untuk semua nilai x dan y.

Contoh 1. Temukan

Larutan. Untuk mendapatkan suatu bilangan, Anda harus menaikkan basis 2 ke pangkat Oleh karena itu.

Anda dapat membuat catatan saat menyelesaikan contoh-contoh tersebut dalam bentuk berikut:

Contoh 2. Temukan .

Larutan. Kita punya

Pada contoh 1 dan 2, kita dengan mudah menemukan logaritma yang diinginkan dengan merepresentasikan bilangan logaritma sebagai pangkat basis dengan eksponen rasional. Dalam kasus umum, misalnya untuk dll, hal ini tidak dapat dilakukan, karena logaritma memiliki nilai yang tidak rasional. Mari kita perhatikan satu isu terkait pernyataan ini. Dalam paragraf 12, kami memberikan konsep tentang kemungkinan menentukan pangkat nyata dari bilangan positif tertentu. Hal ini diperlukan untuk memperkenalkan logaritma, yang secara umum dapat berupa bilangan irasional.

Mari kita lihat beberapa sifat logaritma.

Sifat 1. Jika bilangan dan basisnya sama, maka logaritmanya sama dengan satu, dan sebaliknya, jika logaritmanya sama dengan satu, maka bilangan dan basisnya sama.

Bukti. Misalkan Berdasarkan definisi logaritma kita mempunyai dan dari mana

Sebaliknya, biarkan Then menurut definisinya

Properti 2. Logaritma satu ke basis apa pun sama dengan nol.

Bukti. Menurut definisi logaritma (pangkat nol dari setiap basis positif sama dengan satu, lihat (10.1)). Dari sini

Q.E.D.

Pernyataan kebalikannya juga benar: jika , maka N = 1. Memang benar, kita mempunyai .

Sebelum merumuskan sifat-sifat logaritma selanjutnya, mari kita sepakat untuk mengatakan bahwa dua bilangan a dan b terletak pada sisi yang sama dari bilangan ketiga c jika keduanya lebih besar dari c atau kurang dari c. Jika salah satu bilangan tersebut lebih besar dari c, dan bilangan lainnya lebih kecil dari c, maka kita dapat mengatakan bahwa bilangan-bilangan tersebut terletak pada sisi yang berlawanan dari c.

Sifat 3. Jika bilangan dan alasnya terletak pada sisi yang sama, maka logaritmanya positif; Jika bilangan dan alasnya terletak pada sisi yang berlawanan, maka logaritmanya negatif.

Pembuktian sifat 3 didasarkan pada kenyataan bahwa pangkat a lebih besar dari satu jika basisnya lebih besar dari satu dan eksponennya positif atau basisnya kurang dari satu dan eksponennya negatif. Suatu pangkat kurang dari satu jika basisnya lebih besar dari satu dan eksponennya negatif atau basisnya kurang dari satu dan eksponennya positif.

Ada empat kasus yang perlu dipertimbangkan:

Kami akan membatasi diri pada analisis yang pertama; pembaca akan mempertimbangkan sisanya sendiri.

Misalkan dalam persamaan eksponennya tidak boleh negatif atau sama dengan nol, oleh karena itu eksponennya positif, yaitu sebagaimana harus dibuktikan.

Contoh 3. Cari tahu logaritma di bawah ini yang mana yang positif dan mana yang negatif:

Penyelesaian, a) karena bilangan 15 dan alas 12 terletak pada sisi yang sama;

b) karena 1000 dan 2 terletak pada satu sisi satuan; dalam hal ini, tidak penting bahwa basisnya lebih besar dari bilangan logaritma;

c) karena 3.1 dan 0.8 terletak pada sisi yang berlawanan dari kesatuan;

G) ; Mengapa?

D) ; Mengapa?

Sifat-sifat berikut 4-6 sering disebut aturan logaritma: sifat-sifat ini memungkinkan, dengan mengetahui logaritma suatu bilangan, untuk menemukan logaritma hasil kali, hasil bagi, dan derajat masing-masing bilangan tersebut.

Properti 4 (aturan logaritma produk). Logaritma hasil kali beberapa bilangan positif dengan basis tertentu sama dengan jumlah logaritma dari bilangan-bilangan tersebut dengan basis yang sama.

Bukti. Biarkan angka yang diberikan menjadi positif.

Untuk logaritma hasil kali mereka, kita tuliskan persamaan (26.1) yang mendefinisikan logaritma:

Dari sini kita akan menemukannya

Membandingkan eksponen ekspresi pertama dan terakhir, kita memperoleh persamaan yang diperlukan:

Perhatikan bahwa kondisi ini penting; logaritma hasil kali dua bilangan negatif masuk akal, tetapi dalam kasus ini kita mendapatkannya

Secara umum, jika hasil kali beberapa faktor positif, maka logaritmanya sama dengan jumlah logaritma nilai absolut faktor-faktor tersebut.

Sifat 5 (aturan pengambilan logaritma hasil bagi). Logaritma hasil bagi bilangan positif sama dengan selisih antara logaritma pembagi dan pembagi, yang diambil ke basis yang sama. Bukti. Kami secara konsisten menemukan

Q.E.D.

Properti 6 (aturan logaritma pangkat). Logaritma pangkat suatu bilangan positif sama dengan logaritma bilangan tersebut dikalikan eksponennya.

Bukti. Mari kita tuliskan lagi identitas utama (26.1) untuk nomor tersebut:

Q.E.D.

Konsekuensi. Logaritma akar bilangan positif sama dengan logaritma akar dibagi eksponen akar:

Validitas akibat wajar ini dapat dibuktikan dengan membayangkan bagaimana dan menggunakan properti 6.

Contoh 4. Ambil logaritma ke basis a:

a) (diasumsikan semua nilai b, c, d, e positif);

b) (diasumsikan bahwa ).

Solusi, a) Lebih mudah untuk beralih ke pangkat pecahan dalam ekspresi ini:

Berdasarkan persamaan (26.5)-(26.7), sekarang kita dapat menulis:

Kita memperhatikan bahwa operasi yang lebih sederhana dilakukan pada logaritma suatu bilangan daripada pada bilangan itu sendiri: saat mengalikan bilangan, logaritmanya dijumlahkan, saat membagi, dikurangi, dll.

Itulah sebabnya logaritma digunakan dalam praktik komputasi (lihat paragraf 29).

Kebalikan dari logaritma disebut potensiasi, yaitu: potensiasi adalah tindakan dimana bilangan itu sendiri ditemukan dari logaritma suatu bilangan tertentu. Pada dasarnya, potensiasi bukanlah tindakan khusus apa pun: ia bertujuan untuk menaikkan basis menjadi pangkat (sama dengan logaritma suatu bilangan). Istilah “potensiasi” dapat dianggap sinonim dengan istilah “eksponensial”.

Saat mempotensiasi, seseorang harus menggunakan aturan yang berlawanan dengan aturan logaritma: mengganti jumlah logaritma dengan logaritma hasil kali, selisih logaritma dengan logaritma hasil bagi, dll. Khususnya, jika ada faktor di depannya dari tanda logaritma, maka pada saat potensiasi harus dipindahkan ke derajat eksponen di bawah tanda logaritma.

Contoh 5. Carilah N jika diketahui

Larutan. Sehubungan dengan aturan potensiasi yang baru saja disebutkan, kami akan memindahkan faktor 2/3 dan 1/3 di depan tanda logaritma di sisi kanan persamaan ini menjadi eksponen di bawah tanda logaritma ini; kita mendapatkan

Sekarang kita ganti selisih logaritma dengan logaritma hasil bagi:

untuk mendapatkan pecahan terakhir dalam rantai persamaan ini, kita membebaskan pecahan sebelumnya dari irasionalitas penyebutnya (klausul 25).

Sifat 7. Jika bilangan pokoknya lebih besar dari satu, maka bilangan yang lebih besar mempunyai logaritma yang lebih besar (dan bilangan yang lebih kecil mempunyai bilangan yang lebih kecil), jika bilangan pokoknya kurang dari satu, maka bilangan yang lebih besar mempunyai logaritma yang lebih kecil (dan bilangan yang lebih kecil seseorang memiliki yang lebih besar).

Sifat ini juga dirumuskan sebagai aturan untuk mengambil logaritma pertidaksamaan, yang kedua ruasnya positif:

Ketika logaritma pertidaksamaan dengan basis lebih besar dari satu, tanda pertidaksamaan dipertahankan, dan ketika logaritma dengan basis kurang dari satu, tanda pertidaksamaan berubah menjadi kebalikannya (lihat juga paragraf 80).

Pembuktiannya didasarkan pada sifat 5 dan 3. Perhatikan kasus ketika Jika , maka dan, dengan mengambil logaritma, kita peroleh

(a dan N/M terletak pada sisi kesatuan yang sama). Dari sini

Kasus a berikut ini, pembaca akan mengetahuinya sendiri.

Berikut definisinya. Begitu pula dengan logaritma bilangan tersebut B berdasarkan A didefinisikan sebagai eksponen yang suatu bilangan harus dipangkatkan A untuk mendapatkan nomornya B(logaritma hanya ada untuk bilangan positif).

Dari rumusan ini maka perhitungannya x=log ab, setara dengan menyelesaikan persamaan ax =b. Misalnya, catatan 2 8 = 3 Karena 8 = 2 3 . Rumusan logaritma memungkinkan untuk membenarkan bahwa jika b=a c, lalu logaritma bilangan tersebut B berdasarkan A sama Dengan. Jelas juga bahwa topik logaritma erat kaitannya dengan topik pangkat suatu bilangan.

Dengan logaritma, seperti halnya angka apa pun, Anda bisa melakukannya operasi penjumlahan, pengurangan dan bertransformasi dengan segala cara yang mungkin. Tetapi karena logaritma bukan bilangan biasa, aturan khusus mereka sendiri berlaku di sini, yang disebut properti utama.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma.

Mari kita ambil dua logaritma dengan basis yang sama: mencatat x Dan log ay. Maka dimungkinkan untuk melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

catatan a(X 1 . X 2 . X 3 ... xk) = mencatat x 1 + mencatat x 2 + mencatat x 3 + ... + log axk.

Dari teorema hasil bagi logaritma satu lagi properti logaritma dapat diperoleh. Sudah menjadi rahasia umum bahwa log A 1= 0, oleh karena itu

catatan A 1 /B=log A 1 - catatan sebuah b= -log sebuah b.

Artinya ada persamaan:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritma dua bilangan timbal balik untuk alasan yang sama akan berbeda satu sama lain hanya berdasarkan tandanya. Jadi:

Catatan 3 9= - catatan 3 1 / 9 ; catatan 5 1/125 = -catatan 5 125.