Perkalian bilangan asli. Perkalian bilangan asli dan sifat-sifatnya - Knowledge Hypermarket. Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan

Mari kita lihat konsep perkalian dengan menggunakan contoh:

Para turis berada di jalan selama tiga hari. Setiap hari mereka menempuh jalan yang sama sepanjang 4200 m. Berapa jarak yang mereka tempuh dalam tiga hari? Selesaikan masalah dengan dua cara.

Larutan:
Mari kita pertimbangkan masalahnya secara detail.

Pada hari pertama wisatawan berjalan kaki sejauh 4200m. Pada hari kedua, wisatawan menempuh jalur yang sama sejauh 4200m dan pada hari ketiga – 4200m. Mari kita tuliskan dalam bahasa matematika:
4200+4200+4200=12600m.
Kita melihat pola bilangan 4200 yang diulang sebanyak tiga kali, sehingga jumlahnya dapat diganti dengan perkalian:
4200⋅3=12600m.
Jawaban: wisatawan berjalan sejauh 12.600 meter dalam tiga hari.

Mari kita lihat sebuah contoh:

Untuk menghindari penulisan isian yang panjang, kita dapat menuliskannya dalam bentuk perkalian. Angka 2 diulang sebanyak 11 kali, sehingga contoh perkalian akan terlihat seperti ini:
2⋅11=22

Mari kita rangkum. Apa itu perkalian?

Perkalian– ini adalah tindakan yang menggantikan pengulangan istilah m n kali.

Notasi m⋅n dan hasil ekspresi ini disebut produk angka, dan bilangan m dan n dipanggil pengganda.

Mari kita lihat ini dengan sebuah contoh:
7⋅12=84
Ekspresi 7⋅12 dan hasilnya 84 disebut produk angka.
Angka 7 dan 12 dipanggil pengganda.

Ada beberapa hukum perkalian dalam matematika. Mari kita lihat:

Hukum perkalian komutatif.

Mari kita pertimbangkan masalahnya:

Kami memberikan dua apel kepada 5 teman kami. Secara matematis, entrinya akan terlihat seperti ini: 2⋅5.
Atau kita memberikan 5 buah apel kepada dua orang teman kita. Secara matematis, entrinya akan terlihat seperti ini: 5⋅2.
Dalam kasus pertama dan kedua, kami akan membagikan jumlah apel yang sama yaitu 10 buah.

Jika kita mengalikan 2⋅5=10 dan 5⋅2=10, hasilnya tidak akan berubah.

Sifat hukum perkalian komutatif:
Mengubah tempat faktor tidak mengubah produk.
M⋅ N=n⋅M

Hukum perkalian kombinasi.

Mari kita lihat sebuah contoh:

(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 atau 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 kita peroleh,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(A⋅ B) ⋅ C= A⋅(B⋅ C)

Sifat hukum perkalian asosiatif:
Untuk mengalikan suatu bilangan dengan hasil perkalian dua bilangan, Anda dapat mengalikannya terlebih dahulu dengan faktor pertama, lalu mengalikan hasil perkaliannya dengan faktor kedua.

Dengan menukar beberapa faktor dan memasukkannya ke dalam tanda kurung, hasil atau produknya tidak akan berubah.

Hukum-hukum ini berlaku untuk semua bilangan asli.

Mengalikan bilangan asli apa pun dengan satu.

Mari kita lihat sebuah contoh:
7⋅1=7 atau 1⋅7=7
A⋅1=a atau 1⋅A= A
Jika suatu bilangan asli dikalikan dengan satu, hasil kali bilangan tersebut akan selalu sama.

Mengalikan bilangan asli apa pun dengan nol.

6⋅0=0 atau 0⋅6=0
A⋅0=0 atau 0⋅A=0
Jika bilangan asli dikalikan dengan nol, hasil kali akan sama dengan nol.

Pertanyaan untuk topik “Perkalian”:

Apa yang dimaksud dengan hasil kali bilangan?
Jawaban: hasil kali bilangan atau perkalian bilangan adalah ekspresi m⋅n, dengan m adalah suatu suku, dan n adalah banyaknya pengulangan suku tersebut.

Perkalian digunakan untuk apa?
Jawab: agar penjumlahan bilangan tidak ditulis panjang-panjang, melainkan ditulis disingkat. Misalnya, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18

Apa hasil perkaliannya?
Jawaban: arti dari karya tersebut.

Apa yang dimaksud dengan perkalian 3⋅5?
Jawaban: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15

Jika satu juta dikalikan dengan nol, hasil perkaliannya adalah?
Jawaban: 0

Contoh #1:
Gantikan jumlah tersebut dengan hasil kali: a) 12+12+12+12+12 b)3+3+3+3+3+3+3+3+3
Jawaban: a) 12⋅5=60 b) 3⋅9=27

Contoh #2:
Tuliskan sebagai hasil perkalian: a) a+a+a+a b) c+c+c+c+c+c+c
Larutan:
a)a+a+a+a=4⋅a
b) s+s+s+s+s+s+s=7⋅s

Tugas #1:
Ibu membeli 3 kotak coklat. Setiap kotak berisi 8 permen. Berapa banyak permen yang ibu beli?
Larutan:
Ada 8 permen dalam satu kotak, dan kami memiliki 3 kotak seperti itu.
8+8+8=8⋅3=24 permen
Jawaban: 24 permen.

Tugas #2:
Guru seni menyuruh delapan muridnya menyiapkan tujuh pensil untuk setiap pelajaran. Berapa jumlah pensil yang dimiliki anak-anak tersebut?
Larutan:
Anda dapat menyimpulkan masalahnya. Siswa pertama mempunyai 7 pensil, siswa kedua mempunyai 7 pensil, dan seterusnya.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Rekamannya ternyata merepotkan dan lama, yuk ganti penjumlahannya dengan produk.
7⋅8=56
Jawabannya adalah 56 pensil.

Sifat kombinatif perkalian menunjukkan kepada kita persamaan dua hasil kali a·(b·c) dan (a·b)·c, dimana A, B Dan C– bilangan asli apa pun. Jadi, hasil perkalian tiga bilangan A, B Dan C tidak tergantung pada cara tanda kurung ditempatkan. Oleh karena itu, tanda kurung sering kali tidak ditempatkan pada hasil kali a·(b·c) dan (a·b)·c, dan hasil kali ditulis dalam bentuk a·b·c. Ekspresi a·b·c disebut hasil kali tiga bilangan A, B Dan C, angka A, B Dan C semuanya juga disebut pengganda.

Demikian pula, sifat asosiatif perkalian memungkinkan kita menyatakan bahwa hasil kali (a b) (c d) , (a (bc)) d , ((a b) c) d , a (b ·(c·d)) dan a· ((b·c)·d) sama. Artinya, hasil perkalian empat bilangan juga tidak bergantung pada pembagian tanda kurung. Hasil kali empat bilangan A, B, C Dan D tuliskan sebagai a b c d.

Pada umumnya hasil perkalian dua, tiga, empat, dan seterusnya tidak bergantung pada cara penempatan tanda kurung, dan dalam penulisan hasil perkalian tersebut biasanya tanda kurung dihilangkan.

Sekarang mari kita cari tahu cara menghitung hasil kali beberapa bilangan, yang notasinya tidak mengandung tanda kurung. Dalam hal ini mengalikan tiga bilangan atau lebih direduksi menjadi penggantian berurutan dua faktor yang berdekatan dengan hasil perkaliannya sampai kita mendapatkan hasil yang diperlukan. Dengan kata lain, dalam menulis hasil kali, kita menempatkan tanda kurung sendiri dengan cara apa pun yang dapat diterima, setelah itu kita mengalikan kedua angka tersebut secara berurutan.

Perhatikan contoh penghitungan hasil kali lima bilangan asli 2 , 1 , 3 , 1 Dan 8 . Mari kita tuliskan produknya: 2 1 3 1 8. Kami akan menunjukkan dua solusi (total ada lebih dari dua solusi).

Cara pertama. Kami akan mengganti dua faktor di sebelah kiri secara berturut-turut dengan produknya. Karena hasil perkalian angka 2 Dan 1 adalah nomornya 2 , Itu 2·1·3·1·8=2·3·1·8. Karena 2·3=6, Itu 2·3·1·8=6·1·8. Selanjutnya karena 6 1=6, Itu 6·1·8=6·8. Akhirnya, 6·8=48. Jadi, hasil kali lima bilangan 2 , 1 , 3 , 1 Dan 8 sama 48 . Solusi ini sesuai dengan metode penyusunan tanda kurung berikut: (((2 1) 3) 1) 8.

Cara kedua. Mari kita susun tanda kurung pada hasil kali seperti ini: ((2 1) 3) (1 8) . Karena 2 1=2 Dan 1·8=8, lalu ((2·1)·3)·(1·8)=(2·3)·8 . Dua kali tiga sama dengan enam, maka (2·3)·8=6·8. Akhirnya, 6·8=48. Jadi, 2·1·3·1·8=48.

Perhatikan bahwa hasil perkalian tiga bilangan atau lebih tidak dipengaruhi oleh urutan faktornya. Dengan kata lain, faktor-faktor dalam produk dapat ditulis dalam urutan apa pun, dan juga dapat ditukar. Pernyataan ini mengikuti sifat-sifat perkalian bilangan asli.

Mari kita lihat sebuah contoh.

Kalikan empat angka 3 , 9 , 2 Dan 1 . Mari kita tuliskan produknya: 3·9·2·1. Jika kita mengganti faktor-faktornya 3 Dan 9 produk atau faktor mereka 9 Dan 2 hasil kali mereka, maka pada tahap berikutnya kita harus mengalikannya dengan angka dua digit 27 atau 18 (yang kami belum tahu bagaimana melakukannya). Anda dapat melakukannya tanpanya dengan menukar istilah dan mengatur tanda kurung dengan cara tertentu. Kita punya 3·9·2·1=3·2·9·1=(3·2)·(9·1)=6·9=54.

Jadi, dengan menukar faktor-faktornya, kita dapat menghitung produknya dengan cara yang paling nyaman.

Untuk melengkapi gambarannya, perhatikan sebuah masalah yang solusinya adalah mengalikan beberapa angka.

Contoh.

Setiap kotak berisi 3 subjek. Setiap kotak berisi 2 kotak. Berapa banyak item yang terkandung di dalamnya 4 kotak?

Larutan.

Karena dalam satu kotak ada 2 kotak, masing-masing 3 item, lalu dalam satu kotak ada 3·2=6 item. Lalu di empat laci ada 6·4=24 subjek.

Seseorang dapat berdebat secara berbeda. Karena dalam satu kotak ada 2 kotak, lalu di empat kotak ada 2·4=8 kotak Karena setiap kotak berisi 3 subjek, lalu masuk 8 kotak adalah 3·8=24 subjek.

Solusi yang diumumkan dapat ditulis secara singkat sebagai (3·2)·4=6·4=24 atau 3·(2·4)=3·8=24.

Jadi, jumlah benda yang dibutuhkan sama dengan hasil kali bilangan-bilangan tersebut 3 , 2 Dan 4 , yaitu, 3·2·4=24.

Menjawab:

Mari kita rangkum informasi dalam paragraf ini.

Perkalian tiga bilangan asli atau lebih merupakan perkalian dua bilangan secara berurutan. Selain itu, karena sifat komutatif dan kombinatif dari perkalian, faktor-faktornya dapat ditukar dan dua bilangan yang dikalikan dapat diganti dengan hasil kali keduanya.

Mengalikan suatu penjumlahan dengan suatu bilangan asli dan suatu bilangan asli dengan suatu penjumlahan.

Penjumlahan dan perkalian suatu bilangan dihubungkan oleh sifat distributif perkalian. Properti ini memungkinkan Anda mempelajari penjumlahan dan perkalian bersama-sama, yang membuka lebih banyak peluang daripada mempelajari tindakan ini secara terpisah.

Kami merumuskan sifat distribusi perkalian relatif terhadap penjumlahan untuk dua suku: (a+b) c=a c+b c , A, B, C– bilangan asli sembarang. Berdasarkan persamaan tersebut, kita dapat membuktikan keabsahan persamaan (a+b+c) d=a d+b d+c d , (a+b+c+d) h=a h+b h+c h+d h dll., A, B, C, D, H– beberapa bilangan asli.

Jadi, hasil kali jumlah beberapa bilangan dan suatu bilangan tertentu sama dengan jumlah hasil kali masing-masing suku dan bilangan tersebut. Aturan ini dapat digunakan saat mengalikan suatu jumlah dengan angka tertentu.

Misalnya, kalikan jumlah lima bilangan 7 , 2 , 3 , 8 , 8 per nomor 3 . Mari gunakan aturan yang dihasilkan: (7+2+3+8+8) 3=7 3+2 3+3 3+8 3+8 3. Karena 7·3=21, 2·3=6, 3·3=9, 8·3=24, Itu 7·3+2·3+3·3+8·3+8·3=21+6+9+24+24. Tetap menghitung jumlah lima angka 21+6+9+24+24=84 .

Tentu saja, pertama-tama Anda dapat menghitung jumlah lima bilangan yang diberikan, lalu melakukan perkalian. Namun dalam kasus ini kita harus mengalikan angka dua digit 7+2+3+8+8=28 per nomor 3 , yang belum kita ketahui caranya (kita akan membicarakan tentang mengalikan angka-angka tersebut nanti di bagian ini).

Sifat komutatif perkalian memungkinkan kita untuk merumuskan kembali aturan mengalikan jumlah bilangan dengan bilangan tertentu sebagai berikut: hasil kali suatu bilangan tertentu dan jumlah beberapa bilangan sama dengan jumlah hasil kali suatu bilangan tertentu dan masing-masing dari persyaratan. Ini adalah aturan untuk mengalikan suatu bilangan tertentu dengan suatu penjumlahan.

Berikut ini contoh penggunaan aturan mengalikan suatu bilangan dengan penjumlahannya: 2·(6+1+3)=2·6+2·1+2·3=12+2+6=20.

Mari kita lihat masalah yang solusinya adalah mengalikan jumlah bilangan dengan bilangan tertentu.

Contoh.

Setiap kotak berisi 3 merah, 7 hijau dan 2 item biru. Berapa banyak item dalam empat kotak?

Larutan.

Satu kotak berisi 3+7+2 item. Lalu ada (3+7+2)·4 item dalam empat kotak. Mari kita hitung hasil kali jumlah dan bilangan menggunakan aturan yang dihasilkan: (3+7+2) 4=3 4+7 4+2 4=12+28+8=48.

Menjawab:

48 item.

Mengalikan bilangan asli dengan 10 , 100 , 1 000 dan sebagainya.

Pertama, mari kita dapatkan aturan untuk mengalikan bilangan asli sembarang dengan 10 .

Bilangan asli 20 , 30 , …, 90 secara inheren sesuai 2 puluhan, 3 puluhan... 9 lusinan, yaitu, 20=10+10 , 30=10+10+10 , ... Karena kita memberikan perkalian dua bilangan asli arti dari jumlah suku-suku yang identik, maka kita punya
2·10=20, 3·10=30, ..., 9·10=90.

Dengan alasan yang sama, kita sampai pada persamaan berikut:
2·100=200, 3·100=300, ..., 9·100=900;
2·1.000=2.000, 3·1.000=3.000, ..., 9·1.000=9.000;
2·10.000=20.000, 3·10.000=30.000, ..., 9·10.000=90.000; ...

Karena sepuluh puluhan adalah seratus, maka 10·10=100;
karena sepuluh ratus adalah seribu, maka 100·10=1.000;
karena sepuluh ribu adalah sepuluh ribu, maka 1.000·10=10.000.
Melanjutkan argumen ini, kami punya 10.000·10=100.000, 100.000·10=1.000.000, …

Sekarang mari kita lihat contoh yang memungkinkan kita merumuskan aturan untuk mengalikan bilangan asli sembarang dengan sepuluh.

Contoh.

Kalikan bilangan asli 7 032 pada 10 .

Larutan.

Untuk nomor ini 7 032 Mari kita sajikan sebagai jumlah suku-suku digit, setelah itu kita akan menggunakan aturan mengalikan jumlah tersebut dengan angka yang kita peroleh di paragraf sebelumnya artikel ini: 7,032·10=(7,000+30+2)·10= 7.000·10+30·10+ 2·10.

Karena 7 000=7 1 000 Dan 30=3·10, lalu jumlah yang dihasilkan 7 000 10+30 10+2 10 sama dengan jumlahnya (7 1.000) 10+(3 10) 10+2 10, dan sifat asosiatif perkalian memungkinkan kita menulis persamaan berikut:
(7 1 000) 10+(3 10) 10+2 10= 7·(1.000·10)+3·(10·10)+2·10.

Berdasarkan hasil yang ditulis sebelum contoh ini, kita punya 7·(1.000·10)+3·(10·10)+2·10= 7·10.000+3·100+2·10= 70.000+300+20.

Jumlah yang diterima 70 000+300+20 mewakili perluasan menjadi digit angka 70 320 .

Menjawab:

7.032·10=70.320.

Dengan melakukan tindakan serupa, kita dapat mengalikan bilangan asli apa pun dengan sepuluh. Pada saat yang sama, tidak sulit untuk memperhatikan bahwa sebagai hasilnya kita akan menerima angka-angka, yang penulisannya akan berbeda dengan penulisan angka yang dikalikan hanya dengan satu digit. 0 , terletak di sebelah kanan.

Semua pertimbangan di atas memungkinkan kita untuk bersuara aturan untuk mengalikan bilangan asli sembarang dengan sepuluh: jika dalam notasi bilangan asli tertentu, tambahkan satu angka di sebelah kanannya 0 , maka entri yang dihasilkan akan sesuai dengan bilangan yang merupakan hasil perkalian bilangan asli tersebut dengan 10 .

Misalnya, 4·10=40, 43·10=430, 501·10=5 010, 79.020·10=790.200 dll.

Dan sekarang, berdasarkan aturan mengalikan bilangan asli dengan 10 , kita dapat memperoleh aturan untuk mengalikan bilangan asli sembarang dengan 100 , pada 1 000 dll.

Karena 100=10·10, lalu mengalikan bilangan asli apa pun dengan 100 intinya mengalikan angka ini dengan 10 10 . Misalnya,
17·100=17·10·10=170·10=1.700;
504·100=504·10·10=5.040·10=50.400;
100 497 100=100 497 10 10= 1 004 970 10=10 049 700.

Artinya, jika Anda menjumlahkan dua angka di sebelah kanan bilangan yang sedang dikalikan 0 , maka kita mendapatkan hasil perkalian bilangan tersebut dengan 100 . Ini dia aturan untuk mengalikan bilangan asli dengan 100 .

Karena 1 000=100·10, lalu mengalikan bilangan asli apa pun dengan seribu berarti mengalikan bilangan tersebut dengan 100 lalu mengalikan hasilnya dengan 10 . Dari alasan ini berikut ini aturan untuk mengalikan bilangan asli sembarang dengan 1 000 : jika Anda menambahkan tiga digit di sebelah kanan suatu angka 0 , maka kita mendapatkan hasil perkalian bilangan tersebut dengan seribu.

Demikian pula saat mengalikan bilangan asli dengan 10 000 , 100 000 dan seterusnya, Anda perlu menambahkan empat angka di sebelah kanannya masing-masing 0 , lima digit 0 dan sebagainya.

Misalnya,
58·1.000=58.000;
6.032·1.000.000=6.032.000.000;
777·10.000=7.770.000.

Perkalian bilangan asli bernilai banyak dan bernilai tunggal.

Sekarang kita memiliki semua keterampilan yang diperlukan untuk melakukan perkalian bilangan asli multi-digit dan satu-digit.

Apa yang perlu dilakukan untuk ini?

Mari kita segera memahaminya dengan sebuah contoh.

Contoh.

Kalikan angka tiga digit 763 menjadi satu digit angka 5 , yaitu, kami menghitung produknya 763·5.

Larutan.

Pertama, Anda perlu menyatakan bilangan multi-digit sebagai jumlah suku-suku digit. Dalam contoh kita 763=700+60+3 , maka kita mempunyai 763·5=(700+60+3)·5.

Sekarang kami menerapkan: (700+60+3) 5=700 5+60 5+3 5.

Karena 700=7·100 Dan 60=6·10(kita membicarakan ini di paragraf sebelumnya), lalu jumlahnya 700·5+60·5+3·5 dapat ditulis sebagai (7 100) 5+(6 10) 5+3 5.

Karena sifat komutatif dan kombinatif perkalian, persamaan berikut ini benar: (7 100) 5+(6 10) 5+3 5= (5 7) 100+(5 6) 10+3 5 .

Karena 5·7=35, 5·6=30 Dan 3·5=15, lalu (5·7)·100+(5·6)·10+3·5= 35·100+30·10+15.

Yang tersisa hanyalah mengalikannya 100 dan seterusnya 10 , lalu tambahkan tiga suku:
35 100+30 10+15= 3 500+300+15=3 815

Menjawab:

Bekerja 763 Dan 5 sama 3 815 .

Jelas bahwa mengalikan bilangan satu digit dengan bilangan multi-digit dilakukan dengan cara yang sama.

Untuk memantapkan materi, kami akan memberikan solusi pada contoh lain, namun kali ini kami akan melakukannya tanpa penjelasan.

Contoh.

3 Dan 104 558 .

Larutan.

3 104 558= 3·(100.000+4.000+500+50+8)=
=3·100.000+3·4.000+ 3·500+3·50+3·8=
=3·100.000+3·(4·1.000)+ 3·(5·100)+3·(5·10)+3·8=
=3·100.000+(3·4)·1.000+ (3·5)·100+(3·5)·10+3·8=
=3·100.000+12·1.000+ 15 100+15 10+3 8=
=300 000+12 000+ 1 500+150+24=313 674

Menjawab:

Hasil perkalian angka 3 Dan 104 558 adalah nomornya 313 674 .

Mengalikan dua bilangan asli multi-digit.

Sekarang kita telah sampai pada puncaknya - perkalian dua bilangan asli multi-digit. Pertama-tama, Anda perlu memperluas salah satu faktor menjadi digit (biasanya angka yang catatannya terdiri dari lebih banyak karakter diperluas), kemudian gunakan aturan untuk mengalikan angka dengan jumlah (atau jumlah dengan angka) . Perhitungan selanjutnya tidak akan menimbulkan kesulitan jika Anda sudah menguasai secara menyeluruh informasi pada bagian sebelumnya artikel ini.

Mari kita lihat semua tahapan mengalikan dua bilangan asli multi-digit menggunakan sebuah contoh.

Contoh.

Hitung produk angka 41 Dan 3 806 .

Larutan.

Ekspansi bilangan asli 3 806 dengan angka memiliki bentuk 3 000+800+6 , oleh karena itu, 41·3 806=41·(3 000+800+6) .

Mari kita terapkan aturan mengalikan suatu bilangan dengan penjumlahan: 41·(3.000+800+6)= 41·3.000+41·800+41·6.

Karena 3.000=3·1.000 Dan 800=8·100, maka persamaan 41·3 000+41·800+41·6= benar 41·(3·1 000)+41·(8·100)+41·6.

Jika penjumlahannya terdiri dari suku-suku yang sama, maka dapat ditulis lebih singkat: 25 + 25 dapat ditulis 25 * 2.

Bilangan asliMkalikan dengan bilangan asliN- ini berarti mencari nilai dari jumlah yang terdiri dariNsyarat-syarat yang masing-masing samaM. Madalah faktor pertama,Nadalah faktor kedua,M * Nadalah sebuah karya(Gbr. 1) .

Beras. 1. Perkalian

Contoh: 1.

Hasil kali bilangan 8 dan x

2. Hasil kali penjumlahan bilangan a dan b dengan bilangan 15

3. Hasil kali (m + 2) dan (k - 3) (m + 2) * (k - 3).

Faktor pertama adalah (m + 2), faktor kedua adalah (k - 3)

4. Hasil kali 4ab terdiri dari tiga faktor: faktor pertama adalah 4, faktor kedua adalah a, dan faktor ketiga adalah b.

5. Angka 12 dapat direpresentasikan sebagai suatu produk dengan beberapa cara:

Jika suatu produk mengandung faktor yang sama, maka produk dengan faktor kedua yang lebih besar akan lebih besar.

3. 195*12 > 190*8, karena faktor pertama hasil kali pertama lebih besar dari faktor pertama hasil kali kedua. Faktor kedua dari produk pertama juga lebih besar dari faktor kedua dari produk kedua. Tentu saja potongan pertama lebih besar.

Jika kedua faktor pada produk pertama lebih besar dari kedua faktor pada produk kedua, maka produk pertama lebih besar.

Sifat-sifat ini dapat digunakan untuk membuktikan pertidaksamaan berikut:

20 * 30 < 23 * 35 < 30 * 40

Saat menyelesaikan berbagai masalah, sifat perkalian digunakan.

1. Komutatif: Nilai produk tidak berubah dengan mengatur ulang tempat faktor-faktornya.

2. Kata penghubung: Untuk mengalikan suatu bilangan dengan hasil perkalian dua bilangan, Anda dapat mengalikannya terlebih dahulu dengan faktor pertama, lalu mengalikan hasil perkaliannya dengan faktor kedua.

3. Kalikan dengan satu: Jika suatu bilangan dikalikan satu maka bilangan tersebut tidak akan berubah.

4. Mengalikan suatu bilangan dengan nol: Jika suatu bilangan dikalikan dengan nol maka hasilnya adalah nol.

Artinya, bila suatu bilangan dikalikan dengan nol, maka hasilnya adalah nol.

Semua properti ini mudah digunakan saat menyelesaikan berbagai contoh.

2. 2500 * 40 = 25 * 100 * 4 * 10 = 25 * 4 * 100 * 10 = 100000.

5. 125 * (42 * 80) = 125 * (80 * 42) = (125 * 80) * 42 = 10000 * 42 = 420000

Mari kita terapkan hukum komutatif dalam tanda kurung terlebih dahulu, kita mendapatkan 125 dikalikan dengan hasil kali angka 80 dan 42. Sekarang kita menerapkan hukum asosiatif dan pada akhirnya kita mendapatkan 10.000 dikalikan 42. Kita mendapatkan 420.000.

Lebih mudah untuk menemukan produk dari bilangan besar dalam sebuah kolom. Anda mempelajarinya di sekolah dasar.

Setelah kita mempelajari perkalian, kita akan mampu menyelesaikan lebih banyak jenis soal.

Di kotak pertama ada 12 kg tomat, di kotak kedua ada tiga kali lebih banyak dari yang pertama. Berapa kg isi kedua kotak tersebut?

Langkah pertama cari tahu berapa kg tomat yang ada di kotak kedua. 1. 12 * 3 = 36 (kg) - tomat di kotak kedua; Langkah kedua adalah mencari tahu berapa kg tomat dalam dua kotak. 2. 36 + 12 = 48 (kg) - tomat dalam dua kotak. Jawaban: Ada 48 kg tomat di kedua kotak.

Referensi

N.Ya. Vilenkin. Buku teks untuk kelas 5. lembaga pendidikan umum / edisi ke-17. - M.: Mnemosyne, 2005.
Shevkin A.V. Soal cerita matematika : 5-6. - M.: Ilexa, 2011 .-- 106 hal.
Ersheva A.P., Goloborodko V.V. Semua matematika sekolah dalam pekerjaan mandiri dan tes. Matematika 5-6. - M.: Ilexa, 2006. - 432 hal.
N.N. Khlevnyuk, M.V. Ivanova. Pembentukan keterampilan komputasi dalam pelajaran matematika. kelas 5-9. - M.: Ilexa, 2011 .-- 248 hal.

Pelatih().
Presentasi ().
Buku Teks N.Ya. Vilenkina ().
Presentasi ().

Pekerjaan rumah

Buku teks matematika kelas 5. N.Ya. Vilenkin

№ 405; 408; 413; 415; 416; 417; 435; 423; 459

§ 1 Perkalian bilangan asli

Dalam pelajaran ini Anda akan mengenal berbagai sifat perkalian dan konsep seperti hasil kali dan faktor.

Mari kita pertimbangkan masalah ini: kue dibawa ke toko dalam tiga kotak yang masing-masing berisi 15 bungkus. Berapa bungkus kue yang Anda bawa ke toko?

Penyelesaian: untuk mencari jumlah seluruh bungkus kue dalam tiga kotak, tambahkan 15 menjadi 15 dan tambahkan 15 lagi, 15 + 15 + 15 = 45. Jawaban: Total ada 45 bungkus kue yang dibawa ke toko.

Jumlah yang semua sukunya sama dapat ditulis lebih pendek: daripada 15 + 15 + 15, tulislah 15 dikalikan 3, yang berarti 15 * 3 = 45. Bilangan 45 disebut hasil kali bilangan 15 dan 3, dan bilangan 15 dan 3 disebut faktor.

Jadi, kita mendapatkan: mengalikan bilangan M dengan bilangan asli N - ini berarti mencari jumlah N suku, yang masing-masing sama dengan M.

Ekspresi M dikalikan dengan N disebut hasil kali, dan nilai ekspresi ini disebut juga hasil kali bilangan M dan N.

Bilangan M dan N disebut faktor.

Karya dibacakan, menyebutkan setiap faktor dalam kasus genitif.

Misalnya hasil kali 12 dan 10 adalah 120, 12 adalah faktor pertama, 10 adalah faktor kedua, 120 adalah hasil kali.

§ 2 Sifat-sifat perkalian bilangan asli

Sama halnya dengan penjumlahan dan pengurangan, perkalian bilangan asli juga mempunyai sifat-sifat tertentu.

Properti pertama: menata ulang faktor-faktor tidak mengubah produk. Sifat perkalian ini disebut komutatif, dan dengan menggunakan huruf dituliskan sebagai berikut:

Misalnya, 7 dikali 8 adalah 56, dan 8 dikali 7 juga 56, jadi 7x8 = 8x7.

Sifat kedua adalah sifat asosiatif perkalian. Untuk mengalikan suatu bilangan dengan hasil perkalian dua bilangan, Anda dapat mengalikannya terlebih dahulu dengan faktor pertama, lalu mengalikan hasil perkaliannya dengan faktor kedua.

Dengan menggunakan huruf, properti ini ditulis sebagai berikut:

Misal hasil kali 7 dan 5 harus dikalikan 2 maka didapat 7x5 = 35, lalu dikalikan 35 dengan 2 maka hasilnya adalah 70.

Atau bisa juga melakukan perkalian dengan menggunakan sifat asosiatif, yaitu pertama kalikan 5 dan 2 maka didapat 10, lalu kalikan 10 dengan 7 maka didapat 70.

Sifat berikut: jika suatu bilangan dikalikan 1 maka tidak berubah, yaitu N dikalikan satu sama dengan N. Karena jumlah N suku yang masing-masing satu adalah N.

Ngomong-ngomong, jumlah N suku yang masing-masing nol sama dengan nol, jadi persamaannya benar: N x 0 = 0. Yaitu Sifat perkalian lainnya, hasil kali sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol.

Terkadang, saat menulis karya tertentu, biasanya tanda perkalian - titik dihilangkan. Tanda perkalian biasanya tidak ditulis sebelum faktor abjad dan sebelum tanda kurung. Misalnya 10 kali x ditulis saja 10x atau 5 kali jumlah (y + 8), ditulis seperti ini:

Oleh karena itu, pada pelajaran kali ini Anda telah mengenal berbagai sifat perkalian, seperti komutatif dan asosiatif, serta sifat-sifat nol dan satu.

Daftar literatur bekas:

Matematika kelas 5. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. dan lain-lain. Edisi ke-31, terhapus. - L: 2013.
Materi didaktik matematika kelas 5. Penulis - Popov M.A. - 2013
Kami menghitung tanpa kesalahan. Bekerja dengan tes mandiri dalam matematika kelas 5-6. Penulis - Minaeva S.S. - 2014
Materi didaktik matematika kelas 5. Penulis: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
Tes dan kerja mandiri matematika kelas 5. Penulis - Popov M.A. - 2012
Matematika. kelas 5: mendidik. untuk siswa pendidikan umum. institusi / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - Edisi ke-9, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2009

Tujuan pendidikan dari pelajaran:

meningkatkan keterampilan mengalikan bilangan asli;
belajar menggunakan sifat perkalian dalam perhitungan;
Lanjutkan mengerjakan soal kata.

Tujuan perkembangan:

mengembangkan pemikiran logis;
mengaktifkan aktivitas mental dengan bantuan teknologi informasi.

Tujuan pendidikan:

mengembangkan memori, perhatian, keterampilan aktivitas mandiri dan kreatif;
menanamkan minat pada mata pelajaran penggunaan TIK di kelas.

Peralatan:

papan tulis interaktif,
komputer,
presentasi untuk pelajaran,
selebaran (teka-teki silang)
kartu “Dunia Tumbuhan”,
kartu sinyal.

Kemajuan pelajaran

I. Momen organisasi. Cerminan. ( Lampiran 1. Geser 1.)

Nyatakan topik dan tujuan pelajaran. (Geser 2.)

Perkenalan guru:

“Hari ini kami tidak hanya menjadi siswa kelas 5, tetapi menjadi anggota perusahaan saham gabungan terbuka. Berapa banyak dari Anda yang mengetahui apa itu perusahaan saham gabungan terbuka?” Informasi tentang JSC . (Geser 3.)

Guru merumuskan pemahamannya tentang istilah ini bersama-sama dengan siswa. Perusahaan Saham Gabungan Terbuka (OJSC) adalah organisasi yang didirikan untuk menghasilkan keuntungan. Anggota organisasi ini mengumpulkan dana mereka untuk mengakuisisi perusahaan tertentu, dan sebagai imbalannya menerima saham - surat berharga yang menunjukkan bahwa pemegangnya mempunyai hak atas sebagian dari properti perusahaan. Ketika suatu bisnis mulai menghasilkan keuntungan, pemilik dapat menerima sebagian dari keuntungan tersebut (dividen). Setiap JSC memiliki namanya sendiri. Siswa akan mengetahui apa nama perusahaan saham gabungan tersebut dengan menyelesaikan tugas berikut.

II. Pertanyaan lisan frontal menggunakan papan tulis interaktif.

Siswa secara lisan menemukan arti ungkapan dan mengisi tabel jawaban. Cari tahu nama JSC yang akan mereka buat hari ini di kelas. (Geser 4.)

Langkah pelajaran selanjutnya adalah mencari tahu siapa yang bisa menjadi pemegang saham. Siapa pun yang membeli saham perusahaan kami dapat bergabung. Teka-teki silang yang telah diselesaikan diambil sebagai pembayaran. Siswa diberikan teka-teki silang. (Lampiran 3.)

AKU AKU AKU. Pekerjaan individu. Siswa memecahkan teka-teki silang. Tinjauan sejawat. (Geser 5.)

IV. Informasi sejarah. Guru membuat laporan tentang pendirian perusahaan saham gabungan pertama. (Geser 6.)

Pada pembelajaran tahap selanjutnya, siswa untuk membuka perusahaan saham gabungan harus membeli tempat terlebih dahulu. Ada dua rumah di depan mereka. Yang satu jelas sibuk, dan yang kedua dipertanyakan. Penting untuk mempertimbangkan dengan cermat rumah pertama untuk menyelesaikan masalah pembelian rumah kedua.

V. Contoh penyelesaian.(Geser 7.)

Rumah kedua telah mengungkap rahasia pertanyaannya, yang memungkinkan Anda memulai bisnis sendiri di rumah ini. Apa yang perlu kita lakukan untuk ini?

Siswa mengusulkan rencana tindakan:

Siswa disajikan dengan tugas-tugas yang dihadapi setiap orang ketika berencana melakukan perbaikan.

VI. Memecahkan masalah di dewan. (Geser 8–9.)

Masalah perbaikan telah terpecahkan, dan bahkan dengan pembelian furnitur. Kafe kami akan nyaman jika memutar musik.

VII. Istirahat musik. Siswa menampilkan lagu pendek. (Geser 10.)

Apakah Anda ingin membangun gedung atau membuat mobil?
Cobalah untuk belajar matematika lebih baik di sekolah.
Jika Anda menyia-nyiakan waktu Anda di kelas di sekolah,
Anda tidak akan pernah bisa menjadi pebisnis yang serius.
Untuk menjadi seorang wirausaha anda harus mengetahuinya
Anda harus sangat rajin dalam pelajaran Anda.
Sehingga keuntungan mengalir kepada Anda secara terus menerus
Anda perlu memperhatikan di sekolah selama pelajaran.
Kami berteman - kami akan mengucapkan selamat tinggal kepada Anda dengan tawa.
Kami mengundang Anda ke kafe dan kami akan bertemu di sana.

Masalah dengan aransemen musik telah teratasi, dan sekarang kami perlu memikirkan apa yang akan ada di menu. Kafenya bernama “Sweet Tooth”, jadi pastinya ada produk yang manis-manis. Membuatnya membutuhkan banyak kecerdikan. Siswa melatih kreativitas dengan kegiatan matematika berikut.

VIII. Bekerja dengan buku teks. (Geser 11.)

416 (hlm. 69): mengulas dan memperkuat sifat-sifat perkalian.
a ∙ b = b ∙ a
a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c

IX. menit pendidikan jasmani.(Geser 12.)

X. Tes. Bekerja di komputer. (Geser 13.) Siswa mengikuti tes di komputer. (Lampiran 2.)

Hasil tes dirangkum dan nilai dimasukkan ke dalam buku harian.

XI. Tugas tambahan. Temukan kesalahannya dan perbaiki: