Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.
Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.
Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:
- Saat Anda mengajukan permintaan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda e-mail dll.
Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:
- Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
- Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
- Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai penelitian dalam rangka meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberikan Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
- Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.
Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga
Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Apabila diperlukan - sesuai dengan peraturan perundang-undangan, acara peradilan, proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan masyarakat atau permohonan dari lembaga pemerintah di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk tujuan keamanan, penegakan hukum, atau kesehatan masyarakat lainnya. kasus-kasus penting.
- Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.
Perlindungan informasi pribadi
Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.
Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan
Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.
Video terakhir dari serangkaian pelajaran panjang tentang solusinya persamaan logaritma. Kali ini kita akan bekerja terutama dengan ODZ dari logaritma - justru karena pertimbangan yang salah (atau bahkan mengabaikan) domain definisi maka sebagian besar kesalahan muncul ketika memecahkan masalah tersebut.
Dalam video pelajaran singkat ini, kita akan melihat penggunaan rumus penjumlahan dan pengurangan logaritma, dan juga membahas persamaan rasional pecahan, yang juga bermasalah dengan banyak siswa.
Tentang apa kita akan bicara? Rumus utama Yang ingin saya tangani terlihat seperti ini:
log a (f g ) = log a f + log a g
Ini transisi standar dari hasil kali ke jumlah logaritma dan sebaliknya. Anda mungkin mengetahui rumus ini sejak awal mempelajari logaritma. Namun, ada satu kendala.
Selama variabel a, f dan g berperan sebagai nomor biasa, tidak ada masalah yang muncul. rumus ini bekerja dengan baik.
Namun, begitu fungsi muncul alih-alih f dan g, masalah perluasan atau penyempitan domain definisi muncul bergantung pada arah mana yang akan diubah. Nilailah sendiri: pada logaritma yang tertulis di sebelah kiri, domain definisinya adalah sebagai berikut:
fg > 0
Namun secara jumlah yang tertulis di sebelah kanan, domain definisinya sudah agak berbeda:
f > 0
g > 0
Serangkaian persyaratan ini lebih ketat daripada persyaratan awal. Dalam kasus pertama, kita akan puas dengan opsi f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 dijalankan).
Jadi, ketika berpindah dari konstruksi kiri ke konstruksi kanan, terjadi penyempitan domain definisi. Jika pada mulanya kita mempunyai suatu penjumlahan, dan kita menuliskannya kembali dalam bentuk perkalian, maka domain definisinya meluas.
Dengan kata lain, dalam kasus pertama kita bisa kehilangan akar, dan dalam kasus kedua kita bisa mendapatkan akar tambahan. Ini harus diperhitungkan ketika menyelesaikan persamaan logaritma nyata.
Jadi, tugas pertama:
[Keterangan untuk gambar] Di sebelah kiri kita melihat jumlah logaritma menggunakan basis yang sama. Oleh karena itu, logaritma berikut dapat ditambahkan:
[Keterangan untuk gambar] Seperti yang Anda lihat, di sebelah kanan kami mengganti angka nol menggunakan rumus:
a = catatan b b a
Mari kita atur ulang persamaan kita sedikit lagi:
log 4 (x − 5) 2 = log 4 1
Di hadapan kita adalah bentuk kanonik persamaan logaritma; kita dapat mencoret tanda log dan menyamakan argumennya:
(x − 5) 2 = 1
|x − 5| = 1
Harap dicatat: dari mana modul ini berasal? Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa akar kuadrat eksak sama dengan modulus:
[Keterangan untuk gambar] Lalu kami memutuskan persamaan klasik dengan modul:
|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g
x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6
Berikut adalah dua jawaban kandidat. Apakah persamaan tersebut merupakan solusi persamaan logaritma asli? Tidak, dalam keadaan apa pun!
Kami tidak berhak membiarkan semuanya begitu saja dan menuliskan jawabannya. Lihatlah langkah di mana kita mengganti jumlah logaritma dengan satu logaritma hasil perkalian argumen. Masalahnya adalah dalam ekspresi aslinya kita memiliki fungsi. Oleh karena itu, Anda harus memerlukan:
x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0.
Saat kami mengubah produk, mendapatkan persegi yang tepat, persyaratannya berubah:
(x − 5) 2 > 0
Kapan persyaratan ini dipenuhi? Ya, hampir selalu! Kecuali jika x − 5 = 0. Yaitu ketimpangan akan dikurangi menjadi satu titik tertusuk:
x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5
Seperti yang Anda lihat, cakupan definisinya telah diperluas, seperti yang kita bicarakan di awal pelajaran. Oleh karena itu, mungkin ada akar ekstra.
Bagaimana Anda mencegah munculnya akar tambahan ini? Caranya sangat sederhana: kita melihat akar-akar yang diperoleh dan membandingkannya dengan domain definisi persamaan aslinya. Mari kita hitung:
x (x − 5) > 0
Kami akan menyelesaikannya menggunakan metode interval:
x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5
Kami menandai angka yang dihasilkan di telepon. Semua poin hilang karena ketimpangan sangat ketat. Ambil bilangan apa pun yang lebih besar dari 5 dan substitusikan:
[Keterangan untuk gambar] Kami tertarik pada interval (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Jika kita menandai akar-akar kita pada ruas tersebut, kita akan melihat bahwa x = 4 tidak cocok untuk kita, karena akar ini terletak di luar domain definisi persamaan logaritma asli.
Kita kembali ke totalitas, coret akar x = 4 dan tuliskan jawabannya: x = 6. Ini adalah jawaban akhir persamaan logaritma asli. Itu saja, masalah terpecahkan.
Mari kita beralih ke persamaan logaritma kedua:
[Keterangan untuk gambar] Mari kita selesaikan. Perhatikan bahwa suku pertama adalah pecahan, dan suku kedua adalah pecahan yang sama, tetapi terbalik. Jangan takut dengan ungkapan lgx - sederhana saja logaritma desimal, kita dapat menulis:
lgx = log 10x
Karena kita memiliki dua pecahan terbalik, saya mengusulkan untuk memasukkan variabel baru:
[Keterangan untuk gambar] Oleh karena itu, persamaan kita dapat ditulis ulang sebagai berikut:
t + 1/t = 2;
t + 1/t − 2 = 0;
(t 2 − 2t + 1)/t = 0;
(t − 1) 2 /t = 0.
Seperti yang Anda lihat, pembilang pecahan adalah kuadrat eksak. Pecahan sama dengan nol jika pembilangnya sama dengan nol, dan penyebutnya berbeda dari nol:
(t − 1) 2 = 0; t ≠ 0
Mari selesaikan persamaan pertama:
t − 1 = 0;
t = 1.
Nilai ini memenuhi persyaratan kedua. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa kita telah menyelesaikan persamaan kita sepenuhnya, tetapi hanya terhadap variabel t. Sekarang mari kita ingat apa itu:
[Keterangan untuk gambar]Kami mendapat proporsinya:
lgx = 2 lgx + 1
2 logx − logx = −1
logx = −1
Kami membawa persamaan ini ke bentuk kanoniknya:
logx = log 10 −1
x = 10 −1 = 0,1
Hasilnya, kami mendapatkan satu akar, yang secara teori merupakan solusi dari persamaan aslinya. Namun, mari kita tetap bermain aman dan menuliskan domain definisi persamaan aslinya:
[Keterangan untuk gambar] Oleh karena itu, root kami memenuhi semua persyaratan. Kami telah menemukan solusi persamaan logaritma asli. Jawaban: x = 0,1. Masalahnya terpecahkan.
Hanya ada satu poin penting dalam pelajaran hari ini: saat menggunakan rumus untuk berpindah dari suatu produk ke jumlah dan sebaliknya, pastikan untuk memperhitungkan bahwa cakupan definisi dapat menyempit atau meluas tergantung pada arah mana transisi dilakukan.
Bagaimana memahami apa yang terjadi: kontraksi atau ekspansi? Sangat sederhana. Jika dulu fungsi-fungsi itu menyatu, tetapi sekarang terpisah, maka cakupan definisinya menyempit (karena persyaratannya lebih banyak). Jika pada mulanya fungsi-fungsi tersebut berdiri sendiri-sendiri, dan sekarang keduanya bersatu, maka domain definisinya diperluas (lebih sedikit persyaratan yang dikenakan pada produk dibandingkan pada faktor individu).
Dengan mempertimbangkan pernyataan ini, saya ingin mencatat bahwa persamaan logaritma kedua tidak memerlukan transformasi ini sama sekali, yaitu, kita tidak menambah atau mengalikan argumen di mana pun. Namun, di sini saya ingin menarik perhatian Anda ke teknik luar biasa lainnya yang memungkinkan Anda menyederhanakan solusi secara signifikan. Ini tentang mengganti variabel.
Namun perlu diingat bahwa tidak ada substitusi yang membebaskan kita dari ruang lingkup definisi. Oleh karena itu, setelah semua akar ditemukan, kami tidak malas dan kembali ke persamaan awal untuk mencari ODZ-nya.
Seringkali, ketika mengganti suatu variabel, kesalahan yang mengganggu terjadi ketika siswa menemukan nilai t dan berpikir bahwa solusinya sudah selesai. Tidak, dalam keadaan apa pun!
Setelah Anda menemukan nilai t, Anda perlu kembali ke persamaan awal dan melihat apa sebenarnya yang kami maksud dengan surat ini. Akibatnya, kita harus menyelesaikan persamaan lain, yang, bagaimanapun, akan jauh lebih sederhana daripada persamaan aslinya.
Inilah gunanya memperkenalkan variabel baru. Kami membagi persamaan asli menjadi dua persamaan perantara, yang masing-masing memiliki solusi yang lebih sederhana.
Cara menyelesaikan persamaan logaritma "bersarang".
Hari ini kita terus mempelajari persamaan logaritma dan menganalisis konstruksi ketika satu logaritma berada di bawah tanda logaritma lain. Kami akan menyelesaikan kedua persamaan menggunakan bentuk kanonik.
Hari ini kita terus mempelajari persamaan logaritma dan menganalisis konstruksi ketika satu logaritma berada di bawah tanda logaritma lainnya. Kami akan menyelesaikan kedua persamaan menggunakan bentuk kanonik. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa jika kita memiliki persamaan logaritma paling sederhana dalam bentuk log a f (x) = b, maka untuk menyelesaikan persamaan tersebut kita lakukan langkah selanjutnya. Pertama-tama, kita perlu mengganti nomor b :
b = log ab
Catatan: a b adalah argumen. Demikian pula pada persamaan awal, argumennya adalah fungsi f(x). Kemudian kita menulis ulang persamaannya dan mendapatkan konstruksi ini:
log a f (x) = log a a b
Kemudian kita dapat melakukan langkah ketiga - menghilangkan tanda logaritma dan cukup menulis:
f(x) = ab
Hasilnya, kami mendapatkan persamaan baru. Dalam hal ini, tidak ada batasan yang dikenakan pada fungsi f(x). Misalnya, mungkin juga ada di tempatnya fungsi logaritma. Dan kemudian kita akan mendapatkan kembali persamaan logaritma, yang akan kita kembalikan ke bentuk paling sederhana dan selesaikan melalui bentuk kanonik.
Namun, cukup liriknya. Mari kita selesaikan masalah sebenarnya. Jadi, tugas nomor 1:
catatan 2 (1 + 3 catatan 2 x ) = 2
Seperti yang Anda lihat, di hadapan kita ada persamaan logaritma yang paling sederhana. Peran f(x) adalah konstruksi 1 + 3 log 2 x, dan peran bilangan b adalah bilangan 2 (peran a juga dimainkan oleh dua). Mari kita tulis ulang keduanya sebagai berikut:
Penting untuk dipahami bahwa dua angka dua pertama berasal dari basis logaritma, yaitu jika ada 5 dalam persamaan awal, maka kita mendapatkan 2 = log 5 5 2. Secara umum, basisnya hanya bergantung pada logaritma yang diberikan pada soal. Dan dalam kasus kami ini adalah nomor 2.
Jadi, mari kita tulis ulang persamaan logaritma kita dengan mempertimbangkan fakta bahwa dua persamaan di sebelah kanan sebenarnya juga merupakan logaritma. Kami mendapatkan:
log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4
Mari kita lanjutkan ke langkah terakhir skema kami - kami menyingkirkan bentuk kanonik. Bisa dibilang, kita cukup mencoret tanda log tersebut. Namun, dari sudut pandang matematika, tidak mungkin untuk "mencoret log" - akan lebih tepat untuk mengatakan bahwa kita hanya menyamakan argumennya:
1 + 3 log 2 x = 4
Dari sini kita dapat dengan mudah menemukan 3 log 2 x:
3 log 2 x = 3
catatan 2 x = 1
Kita kembali mendapatkan persamaan logaritma yang paling sederhana, mari kita kembalikan ke bentuk kanonik. Untuk melakukan ini kita perlu melakukan perubahan berikut:
1 = catatan 2 2 1 = catatan 2 2
Mengapa ada dua di pangkalan? Karena di kita persamaan kanonik Di sebelah kiri adalah logaritma persis ke basis 2. Mari kita tulis ulang soal dengan mempertimbangkan fakta ini:
catatan 2 x = catatan 2 2
Sekali lagi kita menghilangkan tanda logaritma, yaitu kita cukup menyamakan argumennya. Kami berhak melakukan ini karena dasarnya sama, dan tidak ada lagi tindakan tambahan yang dilakukan baik di kanan maupun di kiri:
Itu saja! Masalahnya terpecahkan. Kami telah menemukan solusi untuk persamaan logaritma.
Memperhatikan! Meskipun variabel x muncul dalam argumen (yaitu, persyaratan muncul untuk domain definisi), kami tidak akan membuat persyaratan tambahan apa pun.
Seperti yang saya katakan di atas, cek ini bersifat mubazir jika variabel muncul hanya dalam satu argumen dengan satu logaritma saja. Dalam kasus kami, x benar-benar hanya muncul dalam argumen dan hanya di bawah satu tanda log. Oleh karena itu, tidak pemeriksaan tambahan tidak perlu tampil.
Namun, jika Anda tidak percaya metode ini, maka Anda dapat dengan mudah memverifikasi bahwa x = 2 memang sebuah root. Cukup dengan mensubstitusikan angka ini ke dalam persamaan aslinya.
Mari kita beralih ke persamaan kedua, ini sedikit lebih menarik:
log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1
Jika kita menyatakan ekspresi di dalam logaritma besar dengan fungsi f (x), kita mendapatkan persamaan logaritma paling sederhana yang kita gunakan untuk memulai pelajaran video hari ini. Oleh karena itu, Anda dapat menerapkan bentuk kanonik, yang mana Anda harus merepresentasikan unitnya dalam bentuk log 2 2 1 = log 2 2.
Mari kita tulis ulang persamaan besar kita:
log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2
Mari kita beralih dari tanda logaritma dengan menyamakan argumennya. Kita berhak melakukan itu, karena kiri dan kanan alasnya sama. Selain itu, perhatikan bahwa log 2 4 = 2:
log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2
log 1/2 (2x − 1) = 0
Di hadapan kita lagi adalah persamaan logaritma paling sederhana dalam bentuk log a f (x) = b. Mari kita beralih ke bentuk kanonik, yaitu menyatakan nol dalam bentuk log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.
Kami menulis ulang persamaan kami dan menghilangkan tanda log, menyamakan argumen:
log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1
2x − 1 = 1
Sekali lagi, kami segera menerima jawaban. Tidak diperlukan pemeriksaan tambahan karena dalam persamaan asli hanya satu logaritma yang memuat fungsi sebagai argumen.
Oleh karena itu, tidak diperlukan pemeriksaan tambahan. Kita dapat dengan aman mengatakan bahwa x = 1 adalah satu-satunya akar persamaan ini.
Tetapi jika dalam logaritma kedua terdapat fungsi x, bukan empat (atau 2x tidak ada dalam argumen, tetapi dalam basis) - maka domain definisi perlu diperiksa. Jika tidak, ada kemungkinan besar mendapatkan akar tambahan.
Dari manakah akar tambahan ini berasal? Poin ini harus dipahami dengan sangat jelas. Lihatlah persamaan aslinya: di mana pun fungsi x berada di bawah tanda logaritma. Akibatnya, sejak kita menuliskan log 2 x, kita secara otomatis menetapkan persyaratan x > 0. Jika tidak, entri ini tidak masuk akal.
Namun, saat kita menyelesaikan persamaan logaritma, kita menghilangkan semua tanda log dan mendapatkan konstruksi sederhana. Tidak ada lagi batasan yang ditetapkan di sini, karena fungsi linier didefinisikan untuk setiap nilai x.
Inilah masalahnya ketika fungsi akhir didefinisikan di mana-mana dan selalu, tetapi akar aslinya tidak ada di mana-mana dan tidak selalu, dan merupakan alasan mengapa akar tambahan sangat sering muncul dalam menyelesaikan persamaan logaritma.
Tapi saya ulangi sekali lagi: ini hanya terjadi dalam situasi di mana fungsinya berada di beberapa logaritma atau di basis salah satunya. Dalam permasalahan yang kita bahas saat ini, pada prinsipnya tidak ada masalah dalam memperluas cakupan definisi.
Kasus dengan alasan berbeda
Pelajaran ini didedikasikan untuk lebih banyak lagi struktur yang kompleks. Logaritma dalam persamaan saat ini tidak dapat diselesaikan secara langsung - beberapa transformasi perlu dilakukan terlebih dahulu.
Kita mulai menyelesaikan persamaan logaritma dengan basis yang benar-benar berbeda, yang bukan merupakan pangkat eksak satu sama lain. Jangan biarkan mereka membuat Anda takut tugas serupa- penyelesaiannya tidak lebih sulit daripada konstruksi paling sederhana yang kami periksa di atas.
Namun sebelum langsung ke soal, izinkan saya mengingatkan Anda tentang rumus menyelesaikan persamaan logaritma paling sederhana menggunakan bentuk kanonik. Pertimbangkan masalah seperti ini:
catatan a f (x) = b
Yang penting fungsi f(x) hanyalah sebuah fungsi, dan peran bilangan a dan b harus berupa bilangan (tanpa variabel x). Tentu saja, sebentar lagi kita akan melihat kasus-kasus seperti itu ketika alih-alih variabel a dan b ada fungsi, tapi itu bukan tentang itu sekarang.
Seperti yang kita ingat, bilangan b harus diganti dengan logaritma dengan basis a yang sama, yaitu di sebelah kiri. Hal ini dilakukan dengan sangat sederhana:
b = log ab
Tentu saja, kata “bilangan apa pun b” dan “bilangan apa pun a” berarti nilai yang memenuhi cakupan definisi. Secara khusus, di persamaan yang diberikan yang sedang kita bicarakan hanya basis a > 0 dan a ≠ 1.
Namun persyaratan ini dilakukan secara otomatis, karena soal awal sudah berisi logaritma berbasis a - pasti lebih besar dari 0 dan tidak sama dengan 1. Oleh karena itu, kita lanjutkan menyelesaikan persamaan logaritma:
log a f (x) = log a a b
Notasi seperti ini disebut bentuk kanonik. Kemudahannya terletak pada kenyataan bahwa kita dapat segera menghilangkan tanda log dengan menyamakan argumen:
f(x) = ab
Teknik inilah yang sekarang akan kita gunakan untuk menyelesaikan persamaan logaritma basis variabel. Jadi, ayo pergi!
log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125
Apa selanjutnya? Seseorang sekarang akan mengatakan bahwa Anda perlu menghitung logaritma yang benar, atau menguranginya ke basis yang sama, atau yang lainnya. Dan memang, sekarang kita perlu membawa kedua basis ke bentuk yang sama - baik 2 atau 0,5. Tapi mari kita pelajari aturan berikut untuk selamanya:
Jika persamaan logaritma mengandung desimal, pastikan untuk mengonversi pecahan ini dari notasi desimal menjadi normal. Transformasi ini dapat menyederhanakan solusi secara signifikan.
Transisi seperti itu harus dilakukan segera, bahkan sebelum melakukan tindakan atau transformasi apa pun. Mari kita lihat:
log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1 /2 1/8
Apa yang dapat kita peroleh dari catatan seperti itu? Kita dapat menyatakan 1/2 dan 1/8 sebagai pangkat dengan eksponen negatif:
[Keterangan untuk gambar] Di hadapan kita adalah bentuk kanonik. Kami menyamakan argumen dan mendapatkan argumen klasik persamaan kuadrat:
x 2 + 4x + 11 = 8
x 2 + 4x + 3 = 0
Kita mempunyai persamaan kuadrat berikut, yang dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan rumus Vieta. Di sekolah menengah, Anda akan melihat tampilan serupa secara lisan:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
Itu saja! Persamaan logaritma asli telah diselesaikan. Kami mendapat dua akar.
Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa untuk mendefinisikan domain definisi di dalam hal ini tidak diperlukan, karena fungsi dengan variabel x hanya ada dalam satu argumen. Oleh karena itu, cakupan definisi dilakukan secara otomatis.
Jadi, persamaan pertama terpecahkan. Mari kita beralih ke yang kedua:
catatan 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = catatan 3 1/9
log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1
Sekarang perhatikan bahwa argumen logaritma pertama juga dapat ditulis sebagai pangkat dengan eksponen negatif: 1/2 = 2 −1. Kemudian Anda dapat menghilangkan pangkat di kedua sisi persamaan dan membagi semuanya dengan −1:
[Keterangan untuk gambar] Dan sekarang kami telah mencapai banyak hal langkah penting dalam menyelesaikan persamaan logaritma. Mungkin seseorang tidak memperhatikan sesuatu, jadi izinkan saya menjelaskannya.
Perhatikan persamaan kita: tanda di kiri dan kanan adalah log, tetapi di sebelah kiri adalah logaritma dengan basis 2, dan di sebelah kanan adalah logaritma dengan basis 3. Tiga bukan seluruh gelar dua dan sebaliknya: tidak mungkin menulis bahwa 2 adalah 3 pangkat bilangan bulat.
Oleh karena itu, ini adalah logaritma dengan basis berbeda yang tidak dapat direduksi satu sama lain hanya dengan menambahkan pangkat. Satu-satunya cara Solusi untuk masalah tersebut adalah dengan menghilangkan salah satu logaritma ini. Dalam hal ini, karena kami masih mempertimbangkan secara matang tugas-tugas sederhana, logaritma di sebelah kanan dihitung secara sederhana, dan kita mendapatkan persamaan paling sederhana - persis seperti yang kita bicarakan di awal pelajaran hari ini.
Mari kita nyatakan angka 2 di sebelah kanan sebagai log 2 2 2 = log 2 4. Dan kemudian kita menghilangkan tanda logaritma, setelah itu kita hanya mendapatkan persamaan kuadrat:
catatan 2 (5x 2 + 9x + 2) = catatan 2 4
5x 2 + 9x + 2 = 4
5x 2 + 9x − 2 = 0
Kita mempunyai persamaan kuadrat biasa, tetapi persamaan tersebut tidak tereduksi karena koefisien x 2 berbeda dari kesatuan. Oleh karena itu, kita akan menyelesaikannya dengan menggunakan diskriminan:
D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121
x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5
x 2 = (−9 − 11)/10 = −2
Itu saja! Kita telah menemukan kedua akarnya, yang berarti kita telah memperoleh solusi persamaan logaritma asli. Memang, dalam soal awal, fungsi dengan variabel x hanya ada dalam satu argumen. Akibatnya, tidak diperlukan pemeriksaan tambahan pada domain definisi - kedua akar yang kami temukan pasti memenuhi semua batasan yang mungkin.
Ini mungkin akhir dari video pelajaran hari ini, namun sebagai kesimpulan saya ingin mengatakan sekali lagi: pastikan untuk mengubah semua pecahan desimal menjadi pecahan biasa saat menyelesaikan persamaan logaritma. Dalam kebanyakan kasus, ini sangat menyederhanakan solusi mereka.
Jarang, sangat jarang, Anda menjumpai masalah di mana menghilangkan pecahan desimal hanya akan mempersulit penghitungan. Namun, dalam persamaan seperti itu, sebagai suatu peraturan, pada awalnya jelas bahwa pecahan desimal tidak perlu dihilangkan.
Dalam kebanyakan kasus lainnya (terutama jika Anda baru mulai berlatih memecahkan persamaan logaritma), jangan ragu untuk menghilangkan desimal dan mengubahnya menjadi desimal biasa. Karena latihan menunjukkan bahwa dengan cara ini Anda akan menyederhanakan solusi dan perhitungan selanjutnya secara signifikan.
Seluk-beluk dan trik solusinya
Hari ini kita beralih ke lebih banyak lagi tugas yang kompleks dan kita akan menyelesaikan persamaan logaritma, yang basisnya bukanlah bilangan, melainkan fungsi.
Dan meskipun fungsi ini linier, Anda harus menambahkannya perubahan kecil, yang maknanya bermuara pada persyaratan tambahan yang dikenakan pada domain definisi logaritma.
Tugas yang kompleks
Tutorial ini akan cukup panjang. Di dalamnya kita akan menganalisis dua persamaan logaritma yang cukup serius, ketika menyelesaikannya banyak siswa yang melakukan kesalahan. Selama saya berlatih sebagai tutor matematika, saya selalu menemui dua jenis kesalahan:
- Munculnya akar tambahan karena perluasan domain definisi logaritma. Untuk menghindari kesalahan yang menyinggung seperti itu, pantau setiap transformasi dengan cermat;
- Hilangnya akar karena siswa lupa mempertimbangkan beberapa kasus “halus” - ini adalah situasi yang akan kita fokuskan hari ini.
Ini adalah pelajaran terakhir tentang persamaan logaritma. Panjang waktunya, kita akan menganalisis persamaan logaritma yang kompleks. Buatlah diri Anda nyaman, buatkan teh untuk diri Anda sendiri, dan mari kita mulai.
Persamaan pertama terlihat cukup standar:
log x + 1 (x − 0,5) = log x − 0,5 (x + 1)
Mari kita segera perhatikan bahwa kedua logaritma merupakan salinan terbalik satu sama lain. Mari kita ingat rumus luar biasa ini:
log a b = 1/log b a
Namun rumus ini memiliki sejumlah keterbatasan yang timbul jika selain bilangan a dan b terdapat fungsi variabel x:
b > 0
1 ≠ a > 0
Persyaratan ini berlaku untuk basis logaritma. Sebaliknya, dalam pecahan kita diharuskan memiliki 1 ≠ a > 0, karena variabel a tidak hanya ada dalam argumen logaritma (maka a > 0), tetapi logaritma itu sendiri ada pada penyebut pecahan tersebut. . Tapi log b 1 = 0, dan penyebutnya harus bukan nol, jadi a ≠ 1.
Jadi, batasan pada variabel tetap ada. Tapi apa yang terjadi pada variabel b? Di satu sisi, basis menyiratkan b > 0, di sisi lain, variabel b ≠ 1, karena basis logaritma harus berbeda dari 1. Secara total, dari sisi kanan rumus berikut ini 1 ≠ b > 0.
Namun inilah masalahnya: persyaratan kedua (b ≠ 1) tidak ada pada pertidaksamaan pertama, yang berkaitan dengan logaritma kiri. Dengan kata lain, ketika melakukan transformasi ini kita harus melakukannya periksa secara terpisah, bahwa argumen b berbeda dengan argumen satu!
Jadi mari kita periksa. Mari terapkan rumus kita:
[Keterangan untuk gambar] 1 ≠ x − 0,5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0
Jadi kita sudah mendapatkan bahwa dari persamaan logaritma awal dapat disimpulkan bahwa a dan b harus lebih besar dari 0 dan tidak sama dengan 1. Artinya, kita dapat dengan mudah membalikkan persamaan logaritma:
Saya sarankan memperkenalkan variabel baru:
catatan x + 1 (x − 0,5) = t
Dalam hal ini, konstruksi kami akan ditulis ulang sebagai berikut:
(t 2 − 1)/t = 0
Perhatikan bahwa pada pembilangnya kita mempunyai selisih kuadrat. Kami mengungkapkan selisih kuadrat menggunakan rumus perkalian yang disingkat:
(t − 1)(t + 1)/t = 0
Pecahan sama dengan nol jika pembilangnya nol dan penyebutnya bukan nol. Tapi pembilangnya berisi hasil perkalian, jadi kita samakan tiap faktornya dengan nol:
t 1 = 1;
t 2 = −1;
t ≠ 0.
Seperti yang bisa kita lihat, kedua nilai variabel t cocok untuk kita. Namun penyelesaiannya tidak berakhir di situ, karena yang perlu dicari bukan t, melainkan nilai x. Kami kembali ke logaritma dan mendapatkan:
catatan x + 1 (x − 0,5) = 1;
catatan x + 1 (x − 0,5) = −1.
Mari kita masukkan masing-masing persamaan ini ke dalam bentuk kanonik:
log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1
log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) −1
Kami menghilangkan tanda logaritma dalam kasus pertama dan menyamakan argumennya:
x − 0,5 = x + 1;
x − x = 1 + 0,5;
Persamaan seperti itu tidak mempunyai akar, oleh karena itu persamaan logaritma pertama juga tidak mempunyai akar. Namun dengan persamaan kedua, segalanya menjadi jauh lebih menarik:
(x − 0,5)/1 = 1/(x + 1)
Memecahkan proporsinya, kita mendapatkan:
(x − 0,5)(x + 1) = 1
Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa saat menyelesaikan persamaan logaritma, akan lebih mudah menggunakan semua pecahan desimal sebagai pecahan biasa, jadi mari kita tulis ulang persamaan kita sebagai berikut:
(x − 1/2)(x + 1) = 1;
x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;
x 2 + 1/2x − 3/2 = 0.
Kita memiliki persamaan kuadrat di bawah ini, yang dapat dengan mudah diselesaikan menggunakan rumus Vieta:
(x + 3/2) (x − 1) = 0;
x 1 = −1,5;
x 2 = 1.
Kami mendapat dua akar - keduanya adalah kandidat untuk menyelesaikan persamaan logaritma asli. Untuk memahami akar apa yang sebenarnya akan menjadi jawabannya, mari kita kembali ke soal awal. Sekarang kita akan memeriksa masing-masing akar kita untuk melihat apakah mereka sesuai dengan domain definisi:
1,5 ≠ x > 0,5; 0 ≠ x > −1.
Persyaratan ini sama saja dengan ketimpangan ganda:
1 ≠ x > 0,5
Dari sini kita langsung melihat bahwa akar x = −1.5 tidak cocok untuk kita, tetapi x = 1 cukup cocok untuk kita. Oleh karena itu x = 1 - keputusan akhir persamaan logaritma.
Mari kita beralih ke tugas kedua:
catatan x 25 + catatan 125 x 5 = catatan 25 x 625
Pada pandangan pertama mungkin tampak bahwa semua logaritma alasan yang berbeda dan argumen yang berbeda. Apa yang harus dilakukan dengan struktur seperti itu? Pertama-tama, perhatikan bahwa angka 25, 5 dan 625 adalah pangkat 5:
25 = 5 2 ; 625 = 5 4
Sekarang mari kita manfaatkan properti logaritma yang luar biasa. Intinya adalah Anda dapat mengekstrak kekuatan dari suatu argumen dalam bentuk faktor:
log a b n = n ∙ log a b
Transformasi ini juga tunduk pada pembatasan jika b digantikan oleh suatu fungsi. Namun bagi kami, b hanyalah angka, dan tidak ada batasan tambahan. Mari kita tulis ulang persamaan kita:
2 ∙ catatan x 5 + catatan 125 x 5 = 4 ∙ catatan 25 x 5
Kami memperoleh persamaan dengan tiga suku yang mengandung tanda log. Selain itu, argumen ketiga logaritma adalah sama.
Saatnya membalikkan logaritma untuk membawanya ke basis yang sama - 5. Karena variabel b adalah konstanta, tidak ada perubahan yang terjadi pada domain definisi. Kami hanya menulis ulang:
[Keterangan untuk gambar] Seperti yang diharapkan, logaritma yang sama muncul di penyebutnya. Saya sarankan mengganti variabel:
log 5 x = t
Dalam hal ini, persamaan kita akan ditulis ulang sebagai berikut:
Mari kita tuliskan pembilangnya dan buka tanda kurung:
2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) − 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12
Mari kita kembali ke fraksi kita. Pembilangnya harus nol:
[Keterangan untuk gambar] Dan penyebutnya berbeda dari nol:
t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2
Persyaratan terakhir terpenuhi secara otomatis, karena semuanya “terikat” dengan bilangan bulat, dan semua jawaban tidak rasional.
Jadi, persamaan rasional pecahan diselesaikan, nilai variabel t ditemukan. Mari kita kembali menyelesaikan persamaan logaritma dan mengingat apa itu t:
[Keterangan untuk gambar] Kami membawa persamaan ini ke bentuk kanonik, kami mendapatkan nomornya derajat yang tidak rasional. Jangan biarkan hal ini membingungkan Anda - bahkan argumen seperti ini dapat disamakan:
[Keterangan untuk gambar] Kami mendapat dua akar. Lebih tepatnya, dua jawaban kandidat - mari kita periksa kesesuaiannya dengan domain definisi. Karena basis logaritmanya adalah variabel x, maka kita memerlukan persamaan berikut:
1 ≠ x > 0;
Dengan keberhasilan yang sama kami menyatakan bahwa x ≠ 1/125, jika tidak, basis logaritma kedua akan berubah menjadi kesatuan. Terakhir, x ≠ 1/25 untuk logaritma ketiga.
Secara total, kami menerima empat batasan:
1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25
Sekarang pertanyaannya adalah: apakah akar kita memenuhi persyaratan ini? Tentu saja mereka memuaskan! Karena 5 pangkat apa pun akan lebih besar dari nol, dan persyaratan x > 0 terpenuhi secara otomatis.
Sebaliknya, 1 = 5 0, 1/25 = 5 −2, 1/125 = 5 −3, yang berarti batasan untuk akar kita (yang, izinkan saya mengingatkan Anda, memiliki bilangan irasional) juga puas, dan kedua jawaban tersebut merupakan solusi masalah.
Jadi, kami memiliki jawaban akhir. Poin Penting Ada dua masalah dalam hal ini:
- Berhati-hatilah saat membalik logaritma saat argumen dan basisnya ditukar. Transformasi semacam ini memberikan pembatasan yang tidak perlu terhadap ruang lingkup definisi.
- Jangan takut untuk mengubah logaritma: Anda tidak hanya dapat membaliknya, tetapi juga membukanya menggunakan rumus penjumlahan dan umumnya mengubahnya menggunakan rumus apa pun yang Anda pelajari saat menyelesaikannya ekspresi logaritmik. Namun, ingatlah selalu: beberapa transformasi memperluas cakupan definisi, dan beberapa lagi mempersempitnya.
Persamaan logaritma. Dari yang sederhana hingga yang kompleks.
Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)
Apa itu persamaan logaritma?
Ini adalah persamaan dengan logaritma. Saya kaget ya?) Nanti saya klarifikasi. Ini adalah persamaan di mana variabel yang tidak diketahui (x) dan ekspresi yang menyertainya ditemukan di dalam logaritma. Dan hanya di sana! Ini penting.
Berikut beberapa contohnya persamaan logaritma:
catatan 3 x = catatan 3 9
catatan 3 (x 2 -3) = catatan 3 (2x)
catatan x+1 (x 2 +3x-7) = 2
lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)
Nah, Anda mengerti... )
Memperhatikan! Ekspresi paling beragam dengan X berada secara eksklusif dalam logaritma. Jika, tiba-tiba, tanda X muncul di suatu tempat dalam persamaan di luar, Misalnya:
catatan 2 x = 3+x,
ini akan menjadi persamaan tipe campuran. Persamaan seperti itu tidak ada aturan yang jelas solusi. Kami tidak akan mempertimbangkannya untuk saat ini. Omong-omong, ada persamaan di dalam logaritma hanya angka. Misalnya:
Apa yang bisa saya katakan? Anda beruntung jika menemukan ini! Logaritma dengan angka adalah beberapa nomor. Itu saja. Mengetahui sifat-sifat logaritma saja sudah cukup untuk menyelesaikan persamaan seperti itu. Pengetahuan tentang aturan khusus, teknik yang disesuaikan secara khusus untuk penyelesaian persamaan logaritma, tidak diperlukan di sini.
Jadi, apa itu persamaan logaritma- kami menemukan jawabannya.
Bagaimana cara menyelesaikan persamaan logaritma?
Larutan persamaan logaritma- masalahnya sebenarnya tidak terlalu sederhana. Jadi bagian kita adalah empat... Anda memerlukan pengetahuan yang cukup dalam segala hal topik terkait. Selain itu, terdapat keistimewaan dalam persamaan tersebut. Dan fitur ini sangat penting sehingga dapat dengan aman disebut sebagai masalah utama dalam menyelesaikan persamaan logaritma. Kami menghadapi masalah ini pelajaran selanjutnya Mari kita lihat secara detail.
Untuk saat ini, jangan khawatir. Kami akan mengambil jalan yang benar dari yang sederhana hingga yang rumit. Pada contoh spesifik. Hal utama adalah mempelajari hal-hal sederhana dan jangan malas untuk mengikuti tautannya, saya meletakkannya di sana karena suatu alasan... Dan semuanya akan berhasil untuk Anda. Perlu.
Mari kita mulai dengan persamaan paling dasar dan paling sederhana. Untuk menyelesaikannya, disarankan untuk memiliki gambaran tentang logaritma, tetapi tidak lebih. Tidak tahu logaritma, mengambil keputusan logaritmik persamaan - entah bagaimana bahkan canggung... Sangat berani, menurut saya).
Persamaan logaritma paling sederhana.
Ini adalah persamaan bentuknya:
1. catatan 3 x = catatan 3 9
2. catatan 7 (2x-3) = catatan 7x
3.log 7 (50x-1) = 2
Proses solusi persamaan logaritmik apa pun terdiri dari transisi dari persamaan dengan logaritma ke persamaan tanpa logaritma. Dalam persamaan paling sederhana, transisi ini dilakukan dalam satu langkah. Itu sebabnya mereka adalah yang paling sederhana.)
Dan ternyata persamaan logaritma seperti itu mudah diselesaikan. Lihat sendiri.
Mari kita selesaikan contoh pertama:
catatan 3 x = catatan 3 9
Untuk menyelesaikan contoh ini, Anda tidak perlu mengetahui hampir semua hal, ya... Murni intuisi!) Yang kita perlukan khususnya tidak suka contoh ini? A-apa... Aku tidak suka logaritma! Benar. Jadi mari kita singkirkan mereka. Kita mencermati contohnya, dan kita berhasil keinginan alami... Benar-benar menarik! Ambil dan buang logaritma sama sekali. Dan yang bagus adalah itu Bisa Mengerjakan! Matematika memungkinkan. Logaritma hilang jawabannya adalah:
Hebat, bukan? Hal ini dapat (dan harus) selalu dilakukan. Menghilangkan logaritma dengan cara ini adalah salah satu cara utama untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritma. Dalam matematika, operasi ini disebut potensiasi. Tentu saja, ada aturan untuk likuidasi seperti itu, tapi jumlahnya sedikit. Ingat:
Anda dapat menghilangkan logaritma tanpa rasa takut jika logaritma tersebut memiliki:
a) basis numerik yang sama
c) logaritma dari kiri ke kanan adalah murni (tanpa koefisien apa pun) dan berada dalam isolasi yang sangat baik.
Izinkan saya menjelaskan poin terakhir. Katakanlah dalam persamaan
catatan 3 x = 2 catatan 3 (3x-1)
Logaritma tidak dapat dihilangkan. Dua orang di sebelah kanan tidak mengizinkannya. Koefisiennya lho... Dalam contoh
log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)
Juga tidak mungkin untuk mempotensiasi persamaan tersebut. Tidak ada logaritma tunggal di sisi kiri. Ada dua di antaranya.
Singkatnya, Anda dapat menghilangkan logaritma jika persamaannya terlihat seperti ini dan hanya seperti ini:
log a (.....) = log a (.....)
Dalam tanda kurung, jika ada elipsis, mungkin ada ekspresi apa pun. Sederhana, super kompleks, segala macam. Apa pun. Yang penting adalah setelah menghilangkan logaritma, kita hanya punya sisa persamaan yang lebih sederhana. Tentu saja diasumsikan Anda sudah mengetahui cara menyelesaikan persamaan linier, kuadrat, pecahan, eksponensial, dan persamaan lainnya tanpa logaritma.)
Sekarang Anda dapat dengan mudah menyelesaikan contoh kedua:
catatan 7 (2x-3) = catatan 7x
Sebenarnya, itu sudah diputuskan dalam pikiran. Kami mempotensiasi, kami mendapatkan:
Nah, apakah ini sangat sulit?) Seperti yang Anda lihat, logaritma bagian dari solusi persamaan tersebut adalah hanya dalam menghilangkan logaritma... Dan kemudian muncul solusi untuk persamaan yang tersisa tanpa mereka. Masalah sepele.
Mari selesaikan contoh ketiga:
log 7 (50x-1) = 2
Kita melihat ada logaritma di sebelah kiri:
Ingatlah bahwa logaritma ini adalah bilangan yang harus dipangkatkan basisnya (yaitu tujuh) untuk memperoleh ekspresi sublogaritma, yaitu. (50x-1).
Tapi angka ini dua! Menurut Persamaan. Jadi:
Pada dasarnya itu saja. Logaritma lenyap, Yang tersisa hanyalah persamaan yang tidak berbahaya:
Kami memecahkan persamaan logaritma ini hanya berdasarkan arti logaritmanya. Apakah masih lebih mudah menghilangkan logaritma?) Saya setuju. Omong-omong, jika Anda membuat logaritma dari dua, Anda dapat menyelesaikan contoh ini melalui eliminasi. Bilangan apa pun dapat dibuat menjadi logaritma. Apalagi cara kita membutuhkannya. Teknik yang sangat berguna dalam menyelesaikan persamaan logaritma dan (terutama!) Pertidaksamaan.
Tidak tahu cara membuat logaritma dari suatu bilangan!? Tidak apa-apa. Bagian 555 menjelaskan teknik ini secara rinci. Anda bisa menguasainya dan menggunakannya secara maksimal! Ini sangat mengurangi jumlah kesalahan.
Persamaan keempat diselesaikan dengan cara yang sangat mirip (menurut definisi):
Itu saja.
Mari kita rangkum pelajaran ini. Kami melihat solusi persamaan logaritma paling sederhana menggunakan contoh. Ini sangat penting. Dan bukan hanya karena persamaan seperti itu muncul dalam ujian dan ujian. Faktanya adalah persamaan yang paling jahat dan rumit sekalipun harus direduksi menjadi persamaan yang paling sederhana!
Sebenarnya persamaan yang paling sederhana adalah bagian akhir dari penyelesaiannya setiap persamaan. Dan bagian terakhir ini harus dipahami dengan ketat! Dan satu hal lagi. Pastikan untuk membaca halaman ini sampai akhir. Ada kejutan di sana...)
Sekarang kami memutuskan sendiri. Mari kita menjadi lebih baik, bisa dikatakan...)
Temukan akar (atau jumlah akar, jika ada beberapa) persamaan:
ln(7x+2) = ln(5x+20)
catatan 2 (x 2 +32) = catatan 2 (12x)
log 16 (0,5x-1,5) = 0,25
log 0,2 (3x-1) = -3
ln(e 2 +2x-3) = 2
catatan 2 (14x) = catatan 2 7 + 2
Jawaban (tentu saja berantakan): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.
Apa, tidak semuanya berhasil? Terjadi. Jangan khawatir! Bagian 555 menjelaskan solusi untuk semua contoh ini dengan jelas dan rinci. Anda pasti akan mengetahuinya di luar sana. Anda juga akan mempelajari teknik-teknik praktis yang berguna.
Semuanya berhasil!? Semua contoh “satu tersisa”?) Selamat!
Saatnya mengungkapkan kebenaran pahit kepada Anda. Keberhasilan menyelesaikan contoh-contoh ini tidak menjamin keberhasilan dalam menyelesaikan semua persamaan logaritma lainnya. Bahkan yang paling sederhana pun seperti ini. Sayang.
Faktanya adalah bahwa solusi persamaan logaritma apa pun (bahkan yang paling dasar sekalipun!) terdiri dari dua bagian yang sama. Memecahkan persamaan dan bekerja dengan ODZ. Kami telah menguasai satu bagian - menyelesaikan persamaan itu sendiri. Ini tidak terlalu sulit Kanan?
Untuk pelajaran ini, saya secara khusus memilih contoh di mana DL tidak mempengaruhi jawaban dengan cara apapun. Tapi tidak semua orang sebaik saya, kan?...)
Oleh karena itu, sangat penting untuk menguasai bagian lainnya. ODZ. Ini adalah masalah utama dalam menyelesaikan persamaan logaritma. Dan bukan karena sulit - bagian ini bahkan lebih mudah daripada bagian pertama. Tapi karena mereka melupakan ODZ begitu saja. Atau mereka tidak tahu. Atau keduanya). Dan mereka jatuh tiba-tiba...
Dalam pelajaran berikutnya kita akan membahas masalah ini. Kemudian Anda dapat memutuskan dengan yakin setiap persamaan logaritma sederhana dan pendekatan tugas yang cukup solid.
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.
