Kuliah 1.
Kemungkinan
Teori probabilitas mempertimbangkan fenomena atau eksperimen yang hasil spesifiknya tidak ditentukan secara unik oleh kondisi eksperimen (acak), tetapi berdasarkan hasil sejumlah besar eksperimen, rata-rata dapat diprediksi (sifat stabilitas statistik).
Peristiwa dasar (hasil dasar) Setiap peristiwa adalah hasil dari suatu pengalaman, yang tidak dapat direpresentasikan sebagai kumpulan peristiwa lainnya. Karena hasil percobaannya acak, maka setiap kejadian dasar adalah acak; untuk selanjutnya kita hanya akan membicarakan kejadian-kejadian tersebut, tanpa menekankan keacakannya.
Ruang acara dasarW(hasil) disebut himpunan semua kejadian dasar (hasil). (w 1 , …wn … ), jika sebagai hasil percobaan terdapat salah satu hasil dasar dan hanya satu yang pasti terjadi (satu hasil tidak termasuk hasil lainnya). Ruang peristiwa dasar dapat memuat himpunan peristiwa dasar yang berhingga, dapat dihitung, dan bahkan tak terhingga.
Oleh peristiwa acak (peristiwa) disebut bagian dari ruang peristiwa dasar. Himpunan apa pun adalah kumpulan elemen. Unsur-unsur suatu peristiwa merupakan peristiwa-peristiwa dasar yang menyusun peristiwa itu.
Contoh. Satu buah uang logam dilempar, dapat mendarat pada kepala (w 1 =G) atau ekor (w 1 =P). W=(G,P).
Contoh. Dua buah uang logam dilempar W = ((G, G), (G,P), (P,G), (P,P))
Contoh. Setetes air hujan jatuh pada suatu bidang berbentuk persegi panjang.
W= ((x,y), sEBUAH Acara yang dapat diandalkan– peristiwa yang selalu terjadi akibat suatu pengalaman tertentu, memuat semua peristiwa dasar dan dilambangkan dengan W. Peristiwa yang mustahil– suatu peristiwa yang tidak dapat terjadi sebagai akibat dari suatu pengalaman tertentu; tidak mengandung peristiwa-peristiwa dasar dan dilambangkan Æ. Tindakan pada acara. Peristiwa didefinisikan sebagai himpunan, sehingga aksi pada himpunan serupa dengan aksi pada himpunan dan diilustrasikan dengan baik oleh diagram Venn. Ruang angkasa W kita akan menyatakan sebuah persegi panjang, sebuah kejadian dasar – sebuah titik dari persegi panjang tersebut, dan setiap kejadian – sebuah himpunan titik dari persegi panjang tersebut. Hasil operasi pada peristiwa akan diarsir. Biarkan kartu dipilih dari setumpuk kartu. Acara A – pilihan kartu merah, acara B – pilihan sepuluh Jumlah
dua peristiwa A Dan DI DALAM disebut peristiwa C = SEBUAH + B(atau C = A
DI DALAM), terdiri dari peristiwa-peristiwa dasar yang termasuk dalam salah satu A, atau DI DALAM. Contoh. C = SEBUAH + B– pilihan kartu merah atau sepuluh apa pun Pekerjaan
dua peristiwa A Dan DI DALAM disebut peristiwa D =
AB(atau D =
A
B), terdiri dari peristiwa-peristiwa dasar milik dan A Dan DI DALAM. Contoh. AB– pilihan puluhan cacing Berdasarkan perbedaan
dua kejadian A dan B disebut kejadian AB, terdiri dari peristiwa-peristiwa dasar milik A dan bukan milik DI DALAM. Contoh. AB-Pilih kartu merah apa saja kecuali sepuluh Klasifikasi acara Suatu peristiwa yang terdiri dari semua peristiwa dasar yang tidak terdapat dalam A, dilambangkan dan disebut di depan
peristiwa. Contoh. A – pilihan kartu merah; –pilih kartu apa saja dengan jenis berbeda.. = W
A Dua
acara A Dan DI DALAM kami akan menelepon persendian
, jika masing-masing berisi setidaknya satu peristiwa dasar yang sama, yaitu jika ABØ. Contoh.
A –memilih kartu merah dan DI DALAM– pilihan lusinan – acara bersama, sejak itu AB= pilihan sepuluh merahØ Jika peristiwa-peristiwa tersebut mempunyai peristiwa-peristiwa dasar yang sama A Dan DI DALAM tidak, kami akan menelepon mereka tidak kompatibel
acara (AB = Ø). Contoh. A – menggulirkan bilangan genap A = (2, 4, 6). B – pelemparan poin ganjil B = (1, 3, 5) Jelas sekali bahwa A dan B tidak kompatibel. Kumpulan acara lengkap
adalah koleksi
N
acara SEBUAH 1, SEBUAH 2, …, SEBUAHN, salah satunya pasti akan terjadi, yaitu.
Properti Operasi Acara 1. =
Ø 6. A
= SEBUAH 2. SEBUAH + SEBUAH = SEBUAH 7. AØ = Ø Pendek. Jika A
DI DALAM, Itu 3. AA = A 8 = AA + B = B 4. A + = 9. A B = A 5. A + Ø = A 10. = Ø Komutatifitas operasi
SEBUAH + B = B + SEBUAH; A B = B A Asosiasi operasi
SEBUAH + (B + C) =
(A + B) + C = A + B + C A(B C) = (A B) C = A B C Distributifitas operasi penjumlahan terhadap perkalian
A (B + C) = A B + AC Distributifitas operasi perkalian terhadap penjumlahan
A + (BC) = (A + B)(A + C) Contoh. Mari kita hitung (A+B)(A+C)=AA+BA+AC+BC=A+BC. Memang BAÌA, ACÌA, AA=A, lalu AA+BA=A, A+AC=A. Aturan dualitas (teorema de Morgan)
Untuk setiap kejadian kompleks yang dinyatakan melalui jumlah dan hasil kali (bahkan dari sejumlah kejadian yang dapat dihitung), kejadian yang berlawanan dapat diperoleh dengan mengganti kejadian-kejadian tersebut dengan kebalikannya dan mengganti tanda hasil kali dengan tanda penjumlahan, dan tanda dari jumlah dengan tanda produk, dengan membiarkan urutan operasi tidak berubah Contoh
.
Aljabar peristiwa. Misalkan W adalah ruang kejadian dasar. Aljabar kejadian S adalah sistem kejadian acak S sedemikian rupa sehingga 1) LIHAT, 2) " A, B Ì S Þ A+BÌS, ABÌS, ABÌS. Akibat wajar Æ= WW Ì S Misalkan W memuat sejumlah elemen berhingga, W= (w 1 ,…wn ). Kemudian aljabar S dapat dikonstruksikan sebagai himpunan semua himpunan bagian W. S=(Æ, (w 1 ), … (w n ), (w 1 ,w 2 ), …(w 1 ,wn ), …(w n -1 ,wn ), …(w 1, …, w n )) , ia hanya memiliki 2 n elemen Aljabar untuk sejumlah kejadian yang dapat dihitung dibuat dengan cara yang sama. Jika dari hasil percobaan diketahui terjadi atau tidaknya kejadian A, B, maka dapat disimpulkan apakah kejadian A + B, AB, AB terjadi atau tidak, oleh karena itu kejadian tersebut harus dipilih dari kelas tertentu - yaitu aljabar peristiwa. Untuk kejadian yang jumlahnya tidak terbatas (tidak dapat dihitung), kelas kejadian harus dipersempit. S-aljabar peristiwa diperkenalkan. Aljabar sigma (S-aljabar) peristiwaB adalah sistem himpunan bagian tak kosong dari ruang kejadian elementer sedemikian rupa sehingga 2) A 1 , A 2 , …An , …ÌBÞ(A 1 +A 2 + …+A n +, …)ÌB, Aljabar sigma kejadian apa pun adalah aljabar kejadian, tetapi tidak sebaliknya. Kemungkinan. Definisi klasik tentang probabilitas suatu peristiwa Dalam definisi klasik tentang probabilitas, diasumsikan bahwa ruang kejadian dasar Ω
berisi sejumlah hasil dasar yang terbatas, yang semuanya mempunyai kemungkinan yang sama. Kasus disebut peristiwa-peristiwa yang sama-sama mungkin terjadi dan tidak kompatibel yang membentuk suatu kelompok yang lengkap. Dalam definisi klasik tentang probabilitas, kita berada dalam kerangka kasus dalam arti bahwa kejadian-kejadian dasar juga mungkin terjadi, yaitu mewakili kasus. Membiarkan N– jumlah total kasus di Ω
, A NA
– jumlah kasus yang membentuk suatu peristiwa A(atau, seperti yang mereka katakan, mendukung acara tersebut A). Definisi. Peluang kejadian A
disebut rasio bilangan tidak ada
kasus yang menguntungkan untuk kejadian A dengan jumlah total N kasus, mis. P(A)
= . Definisi peluang suatu kejadian ini biasa disebut definisi klasik tentang probabilitas. Contoh. 1. Melempar dadu. Ω =
{w 1
,
w 2
,…,
w 6 } N = 6. A – banyaknya titik adalah kelipatan tiga A = ( w 3
,
w 6
} tidak ada
= 2. 2. Melempar 2 buah dadu. Ω =
{w 11
,
w 12
,…,
w 66
}; N =36. wkl = (sebuah k,
b l), k,
aku = A– jumlah angka (poin) adalah 5. A = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}; tidak ada = 4 3. Sebuah guci berisi bola putih dan bola hitam. Pengalaman - satu bola diambil. A – bola hitam. Berdasarkan definisi klasik tentang probabilitas, mudah untuk membuktikan sifat-sifat probabilitas: 1) P( Ω
) = 1 (tidak ada =
N); 3) Jika A B= Ø, lalu P(A + B) = P(A) + P(B)(
tidak ada +
B=
tidak ada+
N B) dan konsekuensinya 4) R(Ø) = 0 ( N Ø) = 0; 5) P() = 1- P(A) ( = Ø, P(A) + P(
)
= 1); 6) Jika , maka P(A)
P(B) (tidak ada
N B). Dalam penerapan praktis rumus probabilitas klasik, hal tersulit adalah menentukan jumlah total kemungkinan hasil yang sama dan jumlah hasil yang menguntungkan. Di sini digunakan prinsip dasar kombinatorik: misalkan suatu operasi P merupakan barisan dari n operasi P k (k=1, …n), yang masing-masing dapat dilakukan dengan m r cara. Maka operasi P dapat dilakukan dengan cara. Mari kita pilih m elemen (misalnya bola) dari n elemen satu per satu. Kita dapat mengembalikan bola berikutnya (ke jumlah n bola), kemudian pada setiap pilihan berikutnya kita akan memiliki n bola yang sama. Sampel yang demikian disebut sampel Selamat Datang kembali. Atau kita mungkin tidak mengembalikan bola tersebut, maka dengan setiap pilihan kita akan memilih dari jumlah bola yang semakin sedikit. Sampel yang demikian disebut sampel tidak bisa kembali. Di sisi lain, kita bisa memperhitungkannya memesan penampilan bola. Sampel seperti itu disebut dipesan atau akomodasi dariNbola olehMbola. Jika urutan bola tidak diperhitungkan saat memilih, yang penting hanya bola mana yang dipilih, tetapi tidak dalam urutan apa, maka pemilihan seperti itu disebut berantakan atau kombinasi dariNbola olehMbola. Mari kita cari tahu berapa banyak cara sampel tertentu dapat dibuat Kombinasi Penempatan Tidak bisa kembali Selamat Datang kembali Rumus penempatan mudah diperoleh dari prinsip kombinatorik. Untuk berpindah dari penempatan (tanpa pengembalian) ke kombinasi (tanpa pengembalian), Anda perlu mengurutkan pilihan, mis. kecualikan elemen-elemen yang hanya berbeda dalam urutan elemennya. Sampel yang hanya berbeda susunan unsurnya disebut permutasi. Banyaknya permutasi m elemen sama dengan P m ==m!. Itu sebabnya. Kami akan menerima rumus kombinasi dengan perulangan tanpa pembuktian (pembuktiannya diberikan pada edisi XV1 hal. 50 – 51). Contoh. Dua bola (m=2) dipilih dari sebuah guci yang berisi 3 bola (n=3). Mari kita sajikan contoh-contoh ini. 1) Akomodasi dengan pengembalian (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) = 3 2 = 9. 2) Akomodasi (tidak dapat dikembalikan) (1.2) (1.3) (2.1) (2.3) (3.1) (3.2) . 3) Kombinasi dengan pengembalian (1,1) (1,2) (1,3) (2,2) (2,3) (3,3) 4) Kombinasi (tanpa pengembalian) (1,2) (1,3) (2,3) . Contoh. Masalah pengambilan sampel bagian yang rusak. Dalam kumpulan N bagian yang identik, M rusak. Memilih (tanpa kembali) n bagian. Berapa peluang di antara mereka terdapat tepat m yang cacat? Jumlah total kasus (kombinasi N bagian dengan n) sama dengan . Kami memilih m bagian yang cacat di antara M bagian yang cacat, tetapi pada saat yang sama kami memilih (n-m) bagian tanpa cacat di antara N-M bagian tanpa cacat. Kemudian, menurut prinsip dasar kombinatorik, pilihan seperti itu disukai oleh kasus-kasus. Oleh karena itu, probabilitas yang diinginkan sama dengan . Probabilitas geometris Rumus probabilitas klasik hanya diterapkan dalam skema kasus, yang cukup jarang terjadi. Sikap P(A)=tidak ada/
N
mewakili “sebagian” hasil yang menguntungkan di antara semua kemungkinan hasil. Dengan cara yang sama, probabilitas suatu peristiwa dihitung dalam beberapa kasus yang lebih kompleks, bila ada tak terbatas nomor sama mungkinnya hasil. Peristiwa A – puncak menyentuh bidang dengan sebuah titik dari sektor berwarna. Kumpulan titik-titik pada pelek di sektor berwarna memiliki kekuatan kontinum. Kami membagi seluruh lingkaran menjadi N busur kecil yang identik. Misalkan jumlah busur pada lingkaran yang termasuk dalam sektor berwarna sama dengan N A . Secara umum, ada ukurannya kali
sesuai (dalam kasus kami kali= 2) dan ukur kali A sesuai dengan A (dalam kasus kami kali SEBUAH = ) Contoh. Masalah pertemuan. Dua orang siswa sepakat untuk bertemu dari jam 10 sampai jam 11 di suatu tempat tertentu, dan siswa pertama yang sampai di tempat itu menunggu temannya selama 15 menit lalu pergi. Berapa kemungkinan bertemu? Mari kita pilih titik asal sistem koordinat di titik (10, 10). Mari kita plot sepanjang sumbu sistem koordinat x - waktu kedatangan siswa pertama, y - waktu kedatangan siswa kedua. Maka himpunan |x-y|<1/4, 0 berisi titik temu (acara) bagi siswa. Ukurannya (luas) mesA sama dengan 1- (3/4) 2 = 7/16. Karena mesW =1, maka P(A) = 7/16. Probabilitas statistik Rumus peluang klasik dan peluang geometri hanya berlaku untuk kasus tersebut sama mungkinnya hasil. Kenyataannya, dalam praktiknya kita punya mungkin tidak merata hasil. Dalam kasus ini, Anda dapat menentukan probabilitas suatu kejadian acak menggunakan konsep tersebut frekuensi acara
. Misalkan kita perlu menentukan probabilitas suatu peristiwa akan terjadi dalam suatu pengujian A. Untuk melakukan ini, pengujian dilakukan dalam kondisi yang sama, yang masing-masing memiliki dua hasil yang mungkin: A Dan . Frekuensi
kejadian A kita sebut rasio bilangan tersebut tidak ada uji coba yang peristiwa A dicatat ke jumlah total N tes. Peluang kejadian A
disebut batas frekuensi kejadian A dengan pertambahan jumlah percobaan yang tidak terbatasN, itu. Perhatikan bahwa menurut definisi klasik, geometri, dan statistik, peluang suatu kejadian P(A) memiliki tiga sifat utama: P(A)³0, 2) P(W)=1, 3) P(A 1 + …+A n) = P(A 1) + …+P(A n), jika A 1, A n berpasangan tidak konsisten. Namun, dalam definisi ini, peristiwa-peristiwa dasar diasumsikan sama-sama mungkin terjadi. SEBUAH. Kolmogorov meninggalkan asumsi kemungkinan yang sama dari kejadian-kejadian dasar, memperkenalkan aljabar sigma kejadian-kejadian dan memperluas properti ketiga ke sejumlah kejadian yang dapat dihitung. Hal ini memungkinkan untuk memberikan definisi aksiomatik tentang kemungkinan suatu peristiwa. Definisi probabilitas secara aksiomatik(menurut A.N. Kolmogorov). Probabilitas P(A) adalah fungsi numerik yang ditentukan pada aljabar sigma kejadian yang memenuhi tiga aksioma: 1) non-negatif P(A)³0, "AÎB - sigma – aljabar kejadian di W 2) normalisasi P(W) = 1 3) aksioma penjumlahan yang diperluas: untuk setiap kejadian berpasangan yang tidak kompatibel A 1 , ... A n ... puas P(A 1 + …+A n + …) = P(A 1) + …+P(A n) +… (aditivitas yang dapat dihitung). Jadi, menurut A.N. Kolmogorov probabilitas (ukuran probabilitas) adalah fungsi aditif terhitung yang dinormalisasi non-negatif (kumpulan – peristiwa) yang ditentukan pada aljabar sigma peristiwa. Jika W terdiri dari sejumlah kejadian yang terbatas atau dapat dihitung, maka aljabar S dari kejadian tersebut dapat dianggap sebagai aljabar sigma B. Kemudian, berdasarkan aksioma 3, peluang suatu kejadian A sama dengan jumlah peluang kejadian-kejadian elementer yang membentuk A. Ruang probabilitas disebut tripel (W, B, P). Sifat Probabilitas 1) 2) P(Æ) = 0. Karena "A A+Æ = A, berdasarkan aksioma 3 P(A+Æ) = P(A) + P(Æ) = P(A) ÞP(Æ) = 0 3) Jika AÌ B, maka P(A) £ P(B). Karena B = A+ BA, berdasarkan aksioma 3 P(B) = P(A) + P(BA), tetapi berdasarkan aksioma 1 P(BA)³0 Contoh. Dari sebuah guci yang berisi empat bola bernomor 1, 2, 3, 4, diambil sebuah bola secara acak sebanyak tiga kali dan dituliskan nomornya a) mengembalikan bola b) tanpa mengembalikan bola. Berapa peluang 1) terambilnya kombinasi 111, 2) membentuk barisan yang bertambah dari jumlah bolanya? Jika a) kita mempunyai penempatan dengan return, N = 4 3, 1), N A =1, P = ¼ 3, 2) N A =, karena barisan menaik selalu dapat terdiri dari bilangan-bilangan yang tidak berulang, P = / 4 3. Dalam kasus b) N = ,1) P = 0, karena banyaknya bola tidak terulang, maka N A =0, 2) P = 1, karena N = N A = . Contoh. Lima orang menaiki kereta bawah tanah yang terdiri dari lima gerbong. Berapa peluang mereka berada di mobil yang berbeda? Banyaknya kejadian dasar sama dengan banyaknya penempatan dengan pengulangan lima unsur lima N = 5 5 . Banyaknya kejadian dasar yang membentuk A adalah 5! Oleh karena itu P = 5!/ 5 5. Kuliah 1 dan 2 ditulis berdasarkan ceramah V.F. Panov dengan tambahan materi asli dan contoh Jawaban tes teori probabilitas akan membantu siswa tahun pertama mempelajari disiplin matematika. Tugas-tugas tersebut mencakup banyak materi teoretis, dan alasan penyelesaiannya akan berguna bagi setiap siswa. Soal 1. Sebuah kubus yang seluruh rusuknya dicat dipotong menjadi 1000 kubus dengan ukuran yang sama. Tentukan peluang terambilnya sebuah kubus secara acak: Perhitungan: Jika sebuah kubus dipotong menjadi kubus-kubus yang berukuran sama, maka semua sisinya akan dibagi menjadi 100 kotak. (Kira-kira seperti pada gambar) Tugas 2. Huruf A, A, A, N, N, C ditulis pada kartu yang sama. Berapa peluang dengan meletakkan kartu-kartu tersebut secara acak berturut-turut, kita akan mendapatkan kata NANAS? Tugas 3. Pedagang memilih sampel secara acak dari sejumlah produk. Peluang terambilnya suatu produk secara acak mempunyai nilai tertinggi adalah 0,8. Tentukan peluang diantara 3 produk terpilih akan terdapat dua produk dengan kualitas terbaik? Soal 4. Dari lima penembak, dua mengenai sasaran dengan probabilitas 0,6 dan tiga dengan probabilitas 0,4. Mana yang lebih mungkin: penembak yang dipilih secara acak mengenai sasaran atau tidak? Soal 5. Dari 20 siswa yang mengikuti ujian, 10 orang sudah siap sempurna (tahu semua soal), 7 orang sudah siap (masing-masing tahu 35 soal), dan 3 orang kurang siap (10 soal). Program ini berisi 40 pertanyaan. Seorang siswa yang dipanggil secara acak menjawab tiga pertanyaan pada tiket. Berapa kemungkinan dia siap menghadapinya Perhitungan: Inti masalahnya adalah siswa menjawab tiga pertanyaan di tiket, yaitu semua yang ditanyakan, tetapi sekarang kita akan menghitung berapa probabilitas mendapatkannya. Soal 6. Sebuah koin dilempar sebanyak 5 kali. Tentukan peluang munculnya lambang tersebut kurang dari 3 kali? Soal 7. Saat mencap terminal logam, diperoleh rata-rata 90% terminal standar. Tentukan peluang bahwa di antara 900 terminal, paling sedikit 790 dan paling banyak 820 terminal merupakan terminal standar. Perhitungan: Perhitungan harus dilakukan Kebutuhan untuk bertindak berdasarkan probabilitas muncul ketika probabilitas suatu peristiwa diketahui, dan probabilitas peristiwa lain yang terkait dengan peristiwa tersebut perlu dihitung. Penjumlahan probabilitas digunakan ketika Anda perlu menghitung probabilitas kombinasi atau jumlah logis dari kejadian acak. Jumlah peristiwa A Dan B menunjukkan A + B atau A ∪ B. Jumlah dua kejadian adalah kejadian yang terjadi jika dan hanya jika paling sedikit salah satu kejadian terjadi. Artinya A + B– suatu peristiwa yang terjadi jika dan hanya jika peristiwa itu terjadi selama pengamatan A atau acara B, atau secara bersamaan A Dan B. Jika peristiwa A Dan B saling tidak konsisten dan probabilitasnya diberikan, maka probabilitas terjadinya salah satu kejadian tersebut sebagai akibat dari satu percobaan dihitung dengan menggunakan penjumlahan probabilitas. Teorema penjumlahan probabilitas. Peluang terjadinya salah satu dari dua kejadian yang saling bertentangan sama dengan jumlah peluang kejadian berikut: Misalnya, saat berburu, dua tembakan dilepaskan. Peristiwa A– memukul bebek dengan tembakan pertama, acara DI DALAM– pukulan dari tembakan kedua, event ( A+ DI DALAM) – pukulan dari tembakan pertama atau kedua atau dari dua tembakan. Jadi, jika dua peristiwa A Dan DI DALAM– acara yang tidak kompatibel, kalau begitu A+ DI DALAM– terjadinya setidaknya satu atau dua peristiwa ini. Contoh 1. Ada 30 bola berukuran sama dalam sebuah kotak: 10 merah, 5 biru, dan 15 putih. Hitung peluang terambilnya bola berwarna (bukan putih) tanpa melihat. Larutan. Mari kita asumsikan peristiwa itu A- “bola merah diambil”, dan acaranya DI DALAM- "Bola biru telah diambil." Kemudian acaranya adalah “diambil bola berwarna (bukan putih). Mari kita cari peluang kejadiannya A: dan acara DI DALAM: Acara A Dan DI DALAM– saling tidak cocok, karena jika diambil satu bola, maka tidak mungkin mengambil bola yang berbeda warna. Oleh karena itu, kami menggunakan penambahan probabilitas: Teorema penjumlahan probabilitas untuk beberapa kejadian yang tidak kompatibel. Jika suatu kejadian merupakan himpunan kejadian yang lengkap, maka jumlah probabilitasnya sama dengan 1: Jumlah peluang kejadian yang berlawanan juga sama dengan 1: Kejadian yang berlawanan membentuk himpunan kejadian lengkap, dan peluang terjadinya himpunan kejadian lengkap adalah 1. Probabilitas kejadian yang berlawanan biasanya ditunjukkan dengan huruf kecil P Dan Q. Secara khusus, yang kemudian diikuti rumus peluang kejadian berlawanan berikut: Contoh 2. Target dalam jarak tembak dibagi menjadi 3 zona. Peluang penembak tertentu akan menembak sasaran di zona pertama adalah 0,15, di zona kedua – 0,23, di zona ketiga – 0,17. Tentukan peluang penembak mengenai sasaran dan peluang penembak meleset dari sasaran. Solusi: Tentukan peluang penembak mengenai sasaran: Mari kita cari peluang penembaknya meleset dari sasaran: Untuk soal yang lebih kompleks, yang mengharuskan Anda menggunakan penjumlahan dan perkalian probabilitas, lihat halaman "Berbagai soal yang melibatkan penjumlahan dan perkalian probabilitas". Dua peristiwa acak disebut gabungan jika terjadinya suatu peristiwa tidak mengecualikan terjadinya peristiwa kedua dalam pengamatan yang sama. Misalnya saja pada saat acara pelemparan dadu A Angka 4 dianggap sebagai peluncuran dan acara DI DALAM– menggulung bilangan genap. Karena 4 bilangan genap, kedua kejadian tersebut kompatibel. Dalam prakteknya, terdapat permasalahan dalam menghitung peluang terjadinya salah satu kejadian yang saling simultan. Teorema penjumlahan peluang kejadian gabungan. Peluang terjadinya salah satu kejadian gabungan sama dengan jumlah peluang kejadian-kejadian tersebut, yang kemudian dikurangi peluang terjadinya kedua kejadian tersebut, yaitu hasil kali peluang-peluang tersebut. Rumus peluang kejadian gabungan berbentuk sebagai berikut: Sejak peristiwa A Dan DI DALAM kompatibel, acara A+ DI DALAM terjadi jika salah satu dari tiga kemungkinan kejadian terjadi: atau AB. Berdasarkan teorema penjumlahan kejadian tak kompatibel, kita menghitung sebagai berikut: Peristiwa A akan terjadi jika salah satu dari dua peristiwa yang tidak kompatibel terjadi: atau AB. Akan tetapi, peluang terjadinya suatu kejadian dari beberapa kejadian yang tidak sesuai sama dengan jumlah peluang semua kejadian tersebut: Juga: Mengganti ekspresi (6) dan (7) ke dalam ekspresi (5), kita memperoleh rumus probabilitas untuk kejadian gabungan: Saat menggunakan rumus (8), kejadian harus diperhitungkan A Dan DI DALAM dapat: Rumus peluang kejadian yang saling bebas: Rumus peluang kejadian saling bergantung: Jika peristiwa A Dan DI DALAM tidak konsisten, maka kebetulan keduanya adalah hal yang mustahil dan, dengan demikian, P(AB) = 0. Rumus peluang keempat untuk kejadian yang tidak sesuai adalah: Contoh 3. Dalam balap mobil, saat Anda mengendarai mobil pertama, Anda memiliki peluang menang lebih besar, dan saat Anda mengendarai mobil kedua. Menemukan: 1) Peluang menangnya mobil pertama tidak bergantung pada hasil mobil kedua, begitu pula kejadiannya A(mobil pertama menang) dan DI DALAM(mobil kedua akan menang) – acara independen. Mari kita cari peluang kedua mobil menang: 2) Tentukan peluang salah satu dari dua mobil tersebut menang: Untuk soal yang lebih kompleks, yang mengharuskan Anda menggunakan penjumlahan dan perkalian probabilitas, lihat halaman "Berbagai soal yang melibatkan penjumlahan dan perkalian probabilitas". Contoh 4. Dua buah uang logam dilempar. Peristiwa A- hilangnya lambang pada koin pertama. Peristiwa B- hilangnya lambang pada koin kedua. Temukan probabilitas suatu peristiwa C = A + B
. Perkalian probabilitas digunakan ketika probabilitas suatu produk logis dari suatu kejadian harus dihitung. Dalam hal ini, kejadian acak harus independen. Dua kejadian dikatakan saling bebas apabila terjadinya suatu kejadian tidak mempengaruhi peluang terjadinya kejadian kedua. Teorema perkalian peluang untuk kejadian bebas. Peluang terjadinya dua kejadian yang saling bebas secara bersamaan A Dan DI DALAM sama dengan produk probabilitas kejadian-kejadian ini dan dihitung dengan rumus: Contoh 5. Koin tersebut dilempar tiga kali berturut-turut. Tentukan peluang munculnya lambang negara sebanyak tiga kali. Larutan. Peluang munculnya lambang negara pada pelemparan uang logam pertama, kedua, dan ketiga. Mari kita cari peluang munculnya lambang negara sebanyak tiga kali: Contoh 6. Ada sekotak sembilan bola tenis baru. Untuk bermain, tiga bola diambil, dan setelah pertandingan dimasukkan kembali. Saat memilih bola, bola yang dimainkan tidak dibedakan dengan bola yang belum dimainkan. Berapa peluang bahwa setelah tiga pertandingan tidak akan ada lagi bola yang belum dimainkan di dalam kotak? Contoh 7. 32 huruf alfabet Rusia ditulis pada kartu alfabet yang dipotong. Lima kartu diambil secara acak satu demi satu dan diletakkan di atas meja sesuai urutan kemunculannya. Tentukan peluang terambilnya huruf-huruf tersebut membentuk kata "akhir". Contoh 8. Dari setumpuk kartu yang penuh (52 lembar), dikeluarkan empat kartu sekaligus. Temukan peluang bahwa keempat kartu ini memiliki jenis yang berbeda. Contoh 9. Tugasnya sama seperti pada contoh 8, tetapi setiap kartu setelah dikeluarkan dikembalikan ke dek. Masalah yang lebih kompleks, di mana Anda perlu menggunakan penjumlahan dan perkalian probabilitas, serta menghitung produk dari beberapa kejadian, dapat ditemukan di halaman "Berbagai masalah yang melibatkan penjumlahan dan perkalian probabilitas". Peluang terjadinya paling sedikit salah satu kejadian yang saling bebas dapat dihitung dengan mengurangkan 1 hasil kali peluang kejadian yang berlawanan, yaitu dengan menggunakan rumus: Contoh 10. Kargo dikirimkan melalui tiga moda transportasi: angkutan sungai, kereta api, dan jalan raya. Peluang terkirimnya barang melalui angkutan sungai adalah 0,82, melalui angkutan kereta api adalah 0,87, dan melalui angkutan jalan raya adalah 0,90. Temukan probabilitas bahwa kargo akan dikirimkan oleh setidaknya satu dari tiga moda transportasi. A A. Khalafyan TEORI PROBABILITAS DAN STATISTIK MATEMATIKA teks kuliah Krasnodar 2008 Definisi statistik probabilitas Ada sejumlah besar kejadian yang probabilitasnya tidak dapat dihitung menggunakan definisi klasik. Pertama-tama, ini adalah peristiwa dengan kemungkinan hasil yang tidak sama (misalnya, dadu “tidak adil”, koin diratakan, dll.). Dalam kasus seperti itu, penentuan probabilitas secara statistik, berdasarkan penghitungan frekuensi kemunculan suatu peristiwa dalam uji coba, dapat membantu. Definisi 2.Probabilitas statistik terjadinya kejadian A adalah frekuensi relatif terjadinya kejadian tersebut dalam n percobaan yang dilakukan, yaitu. (A) = W( A) = M N, Di mana ( A) –
penentuan probabilitas secara statistik; W( A) –
Frekuensi relatif; N –
jumlah tes yang dilakukan; M –
jumlah uji coba di mana acara tersebut A muncul. Perhatikan bahwa probabilitas statistik adalah karakteristik eksperimental dan eksperimental. Apalagi kapan N → ∞, (A) → P( A), misalnya, dalam eksperimen Buffon (abad XVIII) frekuensi relatif kemunculan lambang dengan 4040 pelemparan koin ternyata 0,5069, dalam eksperimen Pearson (abad XIX) dengan 23000 pelemparan koin –
0,5005. Definisi geometris dari probabilitas Kelemahan lain dari definisi klasik yang membatasi penerapannya adalah bahwa definisi tersebut mengasumsikan sejumlah kemungkinan hasil yang terbatas. Dalam beberapa kasus, kelemahan ini dapat dihilangkan dengan menggunakan definisi probabilitas geometris. Misalnya, bangun datar G merupakan bagian dari bangun datar G(Gbr. 3). Bugar G sebuah titik dilempar secara acak. Artinya seluruh titik di wilayah tersebut G“sama” dalam hal apakah titik acak yang dilempar ke sana mengenai titik tersebut. Dengan asumsi bahwa kemungkinan suatu peristiwa A– titik lemparan mengenai G sebanding dengan luas gambar ini Sg dan tidak bergantung pada lokasinya relatif terhadap wilayah tersebut G, tidak juga dari formulir G, kita akan menemukannya R(A) = Sg/S G Di mana S G– luas wilayah G. Tapi sejak daerah G Dan G dapat berupa satu dimensi, dua dimensi, tiga dimensi, dan multidimensi, maka besar daerah dinyatakan dengan ukuran, kita dapat memberikan definisi probabilitas geometrik yang lebih umum P = ukuran / ukuranG. Bukti. R(V/A) = R(DI DALAMÇ A)/R(A) = R(AÇ DI DALAM)/R(A) = {P(a/b)R(DI DALAM)}/R(A) = {R(A)R(DI DALAM)}/R(A) = R(DI DALAM). Dari Definisi 4, berikut rumus untuk mengalikan peluang kejadian tak bebas dan tak bebas. Akibat wajar 1. Probabilitas terjadinya gabungan beberapa peristiwa sama dengan produk dari probabilitas salah satu peristiwa dan probabilitas bersyarat dari semua peristiwa lainnya, dan probabilitas setiap peristiwa berikutnya dihitung dengan asumsi bahwa semua peristiwa sebelumnya telah muncul: P(SEBUAH 1 SEBUAH 2 … SEBUAH n)= hal(Sebuah 1)P A1(Sebuah 2)P A1A2(Sebuah 3)…P A1A2…An-1(Sebuah).
Definisi 6. Kejadian A 1, A 2, ..., A n saling bebas secara kolektif jika ada dua kejadian yang bebas dan salah satu kejadian tersebut serta kombinasi (hasil kali) kejadian lainnya adalah bebas. Akibat wajar 2. Peluang terjadinya gabungan beberapa kejadian yang tidak saling bergantung sama dengan hasil kali peluang kejadian-kejadian tersebut: P(SEBUAH 1 SEBUAH 2 … SEBUAH n) = P(A 1)P(A 2)… P(A N). Bukti. P(A 1 A 2 … A n) = P(A 1 · A 2 … A n) = P(A 1)P(A 2 … A n).=…= P(A 1)P(A 2)… P(Sebuah). Definisi 7. Kejadian A 1, A 2,… A n membentuk kelompok kejadian lengkap jika tidak berpasangan (dan saya∩Sebuah j= Ø, untuk apa pun saya ≠ j)dan bersama-sama terbentuk Ω, itu. .
Teorema 2. Jika peristiwa A 1, A 2,… Dan membentuk kelompok peristiwa yang lengkap, R(dan saya) > 0 (karena tidak akan ditentukan P(B/dan saya)), maka peluang suatu kejadian BÎ S didefinisikan sebagai jumlah produk dari probabilitas tak bersyarat terjadinya suatu peristiwa dan saya pada probabilitas bersyarat terjadinya suatu peristiwa B, yaitu. Bukti. Sejak peristiwa dan saya tidak kompatibel berpasangan, maka perpotongannya dengan acara tersebut B juga tidak kompatibel berpasangan, mis. B∩A saya Dan B∩А j- tidak cocok dengan saya¹j. Menggunakan sifat distributifitas ((È dan saya)Ç DI DALAM = È( A saya Ç DI DALAM)), peristiwa B dapat direpresentasikan sebagai
. Mari kita gunakan aksioma penjumlahan 3 dan rumus mengalikan probabilitas, kita peroleh .
Rumus (1) disebut rumus probabilitas total. Dari rumus probabilitas total mudah untuk memperoleh rumus Bayes, dengan asumsi tambahan bahwa P(B)>0 Di mana k = 1, 2, …, N. Bukti.P(A k /B) = P(A k ∩ B)/P(B) Kemungkinan kejadian P(dan saya), Saya =1, 2, …, N disebut probabilitas sebelumnya, yaitu. probabilitas kejadian sebelum percobaan, dan probabilitas bersyarat dari kejadian tersebut P(Sebuah k/B), disebut probabilitas posterior, yaitu. diklarifikasi sebagai hasil pengalaman, yang hasilnya adalah terjadinya peristiwa tersebut DI DALAM. Tugas. Perusahaan dagang tersebut menerima ponsel terbaru dari tiga produsen Alcatel, Siemens, Motorola dengan perbandingan 1:4:5. Praktek telah menunjukkan bahwa ponsel yang diterima dari pabrikan ke-1, ke-2, ke-3 tidak memerlukan perbaikan selama masa garansi masing-masing dalam 98%, 88%, dan 92% kasus. Temukan probabilitas bahwa telepon yang mulai dijual tidak memerlukan perbaikan selama masa garansi, bahwa telepon yang dijual memerlukan perbaikan selama masa garansi, dan dari produsen mana telepon tersebut kemungkinan besar berasal. Contoh 1. Contoh 2. Definisi 1. Variabel acak dari ruang probabilitas (Ω, S, P) adalah fungsi apa pun X(w) , didefinisikan untuk ya, dan sedemikian rupa sehingga untuk semua x() nyata himpunan ( w :X(w) < x}принадлежит полю S.
Dengan kata lain, untuk kejadian seperti itu, probabilitasnya ditentukan P(X(w)< X) = P(X < X). Kami akan menunjukkan variabel acak dengan huruf kapital Latin X, Y, Z, ..., dan nilai variabel acak menggunakan huruf latin kecil X, kamu, z... Definisi 2. Variabel acak X disebut diskrit jika mengambil nilai hanya dari beberapa himpunan diskrit. Dengan kata lain, ada sejumlah nilai x yang terbatas atau dapat dihitung 1 , X 2 , …, sedemikian rupa sehingga P(X = X saya) = pi saya ³ 0, Saya = 1, 2…, Danå pi saya = 1. Jika nilai suatu variabel acak dan probabilitas yang bersesuaian diketahui, maka kita mengatakan bahwa hukum distribusi variabel acak diskrit telah ditentukan. Jika sebuah tabel dikompilasi, di bagian atasnya terdapat nilai-nilai variabel acak, dan di bagian bawah adalah probabilitas yang sesuai, maka kita memperoleh deret distribusi variabel acak, yang menentukan hukum distribusi diskrit. variabel acak. Contoh 3. Mari kita buatlah rangkaian pembagian hilangnya lambang negara dalam 2 kali pelemparan uang logam. Kemungkinan hasil – GG, GR, RG, RR. Dari hasil yang mungkin terlihat jelas bahwa lambang dapat muncul 0, 1 dan 2 kali, dengan probabilitas yang sesuai – ¼, ½, ¼. Kemudian rangkaian distribusinya akan berbentuk Definisi 3.Fungsi distribusi variabel acak X disebut fungsi F(X), tergantung pada x Î R dan mengambil nilai yang sama dengan peluang kejadian w, X itu < X, yaitu, F(X) = P(w: X(w)< X } = P(X < X). Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa setiap variabel acak memiliki fungsi distribusi. Distribusi seragam Definisi 1. Variabel acak X, menerima nilai-nilai 1, 2, …, n, mempunyai distribusi seragam jika P m = P(X = M) = 1/N, M = 1, …, N. Sudah jelas bahwa. Perhatikan permasalahan berikut N bola, di antaranya M bola putih. Diambil secara acak N bola. Temukan probabilitas bahwa di antara yang diekstraksi akan ada M bola putih. Sangat mudah untuk melihatnya. distribusi racun Definisi 4. Variabel acak X berdistribusi Poisson dengan parameternya aku, Jika Mari kita tunjukkan bahwa Σp m = 1. Distribusi binomial Definisi 5.Variabel acak X mempunyai distribusi binomial jika , M = 0, 1, …, N, Di mana N– jumlah tes menurut skema Bernoulli, M– jumlah keberhasilan, R– kemungkinan keberhasilan dalam satu hasil, Q = 1–hal. Distribusi Bernoulli Definisi 6.Variabel acak X berdistribusi Bernoulli jika P(X= M) = Pm = p m q n - m, M = 0, 1, …, N. Pada umumnya M Dan N perhitungan menggunakan rumus Bernoulli menjadi bermasalah. Oleh karena itu, dalam beberapa kasus, rumus Bernoulli dapat diganti dengan rumus perkiraan asimtotik yang sesuai. Jadi jika N- besar, tapi R sedikit kemudian teorema Poisson. Jika N® ¥, dan P® 0, jadi n.p.® aku, kalau begitu Bukti. Mari kita nyatakan l n = n.p., sesuai dengan kondisi teorema Pada N® ¥, l nm® aku M, Dari sini kita memperoleh pernyataan teorema. hal(M) ® di N ® ¥. Rumus Poisson merupakan perkiraan yang baik terhadap rumus Bernoulli jika npq£9. Jika berhasil npq besar, lalu menghitungnya n(m) gunakan teorema lokal Moivre – Laplace. Teorema lokal Moivre – Laplace. Membiarkan PО(0;1) adalah konstan, nilainya dibatasi secara seragam, yaitu $ s, |x m |<с
. Kemudian Di mana b(n;m) adalah kuantitas yang sangat kecil, dan
. Dari kondisi teorema berikut ini Di mana Menghitung n(m) sesuai dengan rumus yang diberikan sebelumnya, tabel fungsi digunakan Masalah 1. Tiga pelanggan memasuki toko pakaian satu demi satu. Pengelola memperkirakan kemungkinan pengunjung yang masuk akan melakukan pembelian adalah 0,3. Buat rangkaian jumlah pengunjung yang melakukan pembelian. Larutan. Masalah 2. Kemungkinan terjadinya kerusakan komputer adalah 0,01. Buatlah rangkaian distribusi untuk jumlah komputer yang gagal dengan total 25. Larutan. Masalah 3. Mobil tiba di showroom penjualan dalam jumlah 10 buah. Hanya 5 dari 10 mobil yang diterima yang tunduk pada kontrol kualitas dan keamanan. Biasanya, 2 dari 10 kendaraan yang diterima tidak memenuhi standar kualitas dan keamanan. Berapa peluang paling sedikit satu dari 5 mobil yang diperiksa akan ditolak? Larutan. P = P (1) + P (2) = + =0,5556 + 0,2222 = 0,7778 Bukti. Masalah 1. Probabilitas bahwa perangkat yang dipilih secara acak memerlukan penyesuaian tambahan adalah 0,05. Jika, selama pemeriksaan acak terhadap sekumpulan perangkat, ditemukan bahwa setidaknya 6% dari perangkat yang dipilih memerlukan penyesuaian, maka seluruh kumpulan dikembalikan untuk direvisi. Tentukan probabilitas bahwa batch tersebut akan dikembalikan jika 500 perangkat dipilih dari batch untuk diperiksa. Larutan. Batch akan dikembalikan jika jumlah perangkat terpilih yang memerlukan penyesuaian lebih dari 6%, yaitu. M 1 = 500 × 6/100 = 30. Selanjutnya: P = 0,05: Q = 0,95; n.p.= 25; 4.87. Kami menganggapnya berhasil jika perangkat memerlukan konfigurasi tambahan. Mari kita terapkan teorema integral Moivre–Laplace. Tugas 2. Tentukan berapa banyak produk yang perlu dipilih sehingga dengan probabilitas 0,95 dapat dinyatakan bahwa frekuensi relatif produk cacat akan berbeda dengan probabilitas kemunculannya tidak lebih dari 0,01. Larutan. Untuk menyelesaikan masalah tersebut, kami memilih skema Bernoulli sebagai model matematika dan menggunakan rumus (4). Kita perlu menemukan sesuatu seperti ini N sehingga persamaan (4) terpenuhi, jika e = 0,01, b = 0,95, probabilitas p tidak diketahui. F(X b) = (1 + 0,95) / 2 = 0,975. Menggunakan tabel aplikasi kami menemukannya X b = 1,96. Kemudian menggunakan rumus (4) kita temukan N= ¼ × 1,96 2 /0,01 2 = 9600. Distribusi seragam Definisi 5. Variabel acak kontinu X, yang mengambil nilai pada segmen , mempunyai distribusi seragam jika kepadatan distribusinya berbentuk Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa, Jika suatu variabel acak terdistribusi merata, maka peluang munculnya nilai dari suatu interval tertentu tidak bergantung pada posisi interval pada garis bilangan dan sebanding dengan panjang interval tersebut. Mari kita tunjukkan bahwa fungsi distribusi X mempunyai bentuk Membiarkan XÎ (–¥, A), Kemudian F(X) = . Membiarkan XÎ [ A,B], Kemudian F(X) = Membiarkan X Î ( B,+¥], lalu F(X) = Mari kita cari mediannya X 0,5. Kita punya F(X 0,5) = 0,5, oleh karena itu Jadi, median sebaran seragam bertepatan dengan titik tengah ruas tersebut. Gambar 1 menunjukkan grafik kepadatan R(X) dan fungsi distribusi F(X) untuk pemerataan. Distribusi normal Definisi 7. Variabel acak kontinu mempunyai distribusi normal, dengan dua parameter a, s, if Fakta bahwa suatu variabel acak mempunyai distribusi normal akan dituliskan secara singkat dalam bentuk X ~ N(A;S). Mari kita tunjukkan itu P(X) - kepadatan Grafik kepadatan berdistribusi normal (Gbr. 3) disebut kurva normal (kurva Gaussian). Kepadatan distribusinya simetris terhadap garis lurus X = A. Jika X® ¥, lalu R(X) ® 0. Dengan berkurangnya s, grafik “berkontraksi” terhadap sumbu simetri X = A. Distribusi normal memainkan peran khusus dalam teori probabilitas dan penerapannya. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa, sesuai dengan teorema batas pusat teori probabilitas, ketika kondisi tertentu terpenuhi, jumlah sejumlah besar variabel acak memiliki distribusi “kira-kira” normal. Karena Fungsi distribusi variabel acak X dengan parameter sewenang-wenang A, s dapat diungkapkan melalui F(X) – fungsi distribusi variabel acak normal dengan parameter A= 0 dan s =1. Membiarkan X ~ N(A;s), lalu Mari kita ubah variabel di bawah tanda integral, kita dapatkan F(X) = . (7) Dalam penerapan praktis teori probabilitas, sering kali kita perlu mencari probabilitas suatu variabel acak akan mengambil nilai dari interval tertentu. Sesuai dengan rumus (7), probabilitas ini dapat dicari dari nilai tabulasi fungsi Laplace Mari kita cari median dari variabel acak normal X ~ N(A;S). Karena kerapatan distribusi p(x) simetris terhadap sumbu X = A, Itu Oleh karena itu, median dari variabel acak normal bertepatan dengan parameternya A: X 0,5 = A. Tugas 1. Kereta metro beroperasi setiap 2 menit. Penumpang memasuki peron pada suatu saat. Waktu X selama dia harus menunggu kereta adalah variabel acak yang terdistribusi dengan kepadatan seragam pada area (0, 2) menit. Tentukan peluang seorang penumpang harus menunggu tidak lebih dari 0,5 menit untuk kereta berikutnya. Larutan. Jelas sekali hal(x)= 1/2. Maka, P 0,5 = R( 1,5 Tugas 2. Pabrik Otomotif Volzhsky meluncurkan mesin baru. Diasumsikan rata-rata jarak tempuh sebuah mobil bermesin baru adalah 160 ribu km, dengan simpangan baku = 30 ribu km. Berapa probabilitas jumlah km sebelum perbaikan pertama? Jarak tempuh mobil akan berkisar 100 ribu km. hingga 180 ribu km. Larutan. P(100000< X < 180000) = Ф(2/3)–Ф(–2) = 0,2454 + 0,4772 = 0,7226. Sifat dispersi 1.Varians dari konstanta C sama dengan 0,DC = 0, DENGAN = konstanta. Bukti.DC = M(DENGAN– M.C.) 2 = M(DENGAN– DENGAN) = 0. 2.D(CX) = DENGAN 2 DX. Bukti. D(CX) = M(CX) 2 – M 2 (CX) = C 2 MX 2 – C 2 (MX) 2 = C 2 (MX 2 – M 2 X) = DENGAN 2 DX. 3. Jika X dan Y – variabel acak independen, Itu Bukti. 4. Jika X 1 , X 2 , … tidak bergantung, kalau begitu Sifat ini dapat dibuktikan dengan induksi menggunakan Sifat 3. Bukti. D(X – Y) = DX + D(–Y) = DX + (–1) 2 D(Y) = DX + D(Y). 6. Bukti. D(C+X) = M(X+C–M(X+C)) 2 = M(X+C–MX–MC) 2 = M(X+C–MX–C) 2 = M(X– MX) 2 = DX. Biarkan menjadi variabel acak independen, dan , . Mari kita buat variabel acak baru, temukan ekspektasi dan varians matematisnya Y. Yaitu kapan N®¥ ekspektasi matematis dari mean aritmatika dari n variabel acak independen yang terdistribusi identik tetap tidak berubah, sama dengan ekspektasi matematis a, sedangkan variansnya cenderung nol. Sifat stabilitas statistik rata-rata aritmatika ini mendasari hukum bilangan besar. Distribusi normal Membiarkan X mempunyai distribusi normal. Sebelumnya pada kuliah 11 (contoh 2) ditunjukkan bahwa jika Kemudian Y ~ N(0,1). Dari sini, lalu, jadi cari dulu DY. Karena itu DX= D(S Y+A) = s 2 DY= s 2 , s X= s. (2) distribusi racun Seperti yang diketahui Karena itu, Distribusi seragam Diketahui bahwa Sebelumnya sudah kami tunjukkan, mari kita gunakan rumusnya. Bukti. Integral terakhir dalam rantai persamaan sama dengan 0, karena mengikuti kondisi soal itu p(MX+t) – bahkan berfungsi sehubungan dengan T (p(MX+t)= p(MX-t)), A t 2k +1– fungsi ganjil. Karena massa jenis hukum distribusi normal dan seragam adalah simetris terhadap X= MX, maka semua momen sentral orde ganjil sama dengan 0. Teorema 2. Jika X~N(A,s), lalu Semakin banyak momen suatu variabel acak diketahui, semakin detail pemahaman kita tentang hukum distribusi. Dalam teori probabilitas dan statistik matematika, dua karakteristik numerik berdasarkan momen sentral orde ke-3 dan ke-4 paling sering digunakan. Ini adalah koefisien skewness dan kurtosis dari variabel acak. Definisi 3. Koefisien asimetri suatu variabel acak X adalah bilangan b = . Koefisien asimetri adalah momen pusat dan awal dari variabel acak yang dinormalisasi Y, Di mana . Validitas pernyataan ini mengikuti hubungan berikut: Kecondongan variabel acak X sama dengan asimetri variabel acak Y = α X + β sampai tanda α, . Hal ini mengikuti fakta bahwa normalisasi variabel acak a X+b dan X mengarah ke variabel acak yang sama Y sampai untuk menandatangani Jika distribusi probabilitasnya asimetris, dengan “bagian panjang” grafik terletak di sebelah kanan pusat pengelompokan, maka β( X) > 0; jika “bagian panjang” grafik terletak di sebelah kiri, maka β( X) < 0. Для нормального и равномерного распределений β = 0. Konsep kurtosis digunakan untuk mengkarakterisasi tingkat “kehalusan” yang lebih besar atau lebih kecil dari kurva kepadatan atau poligon distribusi dibandingkan dengan kepadatan normal. Definisi 4. Kurtosis suatu variabel acak X adalah kuantitasnya Kurtosis variabel acak X sama dengan selisih antara momen awal dan momen sentral orde ke-4 variabel acak ternormalisasi dan bilangan3, yaitu . Mari kita tunjukkan ini: Kurtosis variabel acak X sama dengan kurtosis variabel acak Y = α X + β. Mari kita cari kurtosis dari variabel acak normal X. Jika X~N(A,s), lalu ~ (0,1). Jadi, kurtosis suatu variabel acak yang terdistribusi normal sama dengan 0. Jika kepadatan distribusinya unimodal dan lebih “puncak” dibandingkan kepadatan distribusi normal dengan varian yang sama, maka g( X) > 0, jika pada kondisi yang sama kurang “puncaknya”, maka g( X) < 0. Hukum Bilangan Besar Hukum bilangan besar menetapkan kondisi konvergensi rata-rata aritmatika variabel acak ke rata-rata aritmatika ekspektasi matematis. Definisi 1. Urutan variabel acak disebut konvergen dalam probabilitas p terhadap bilangan tersebut B, Jika
Mari kita lewati batas di dalam pertidaksamaan ini dan peroleh Estimasi interval Jika estimasi titik dari suatu parameter yang tidak diketahui diperoleh dari suatu sampel, maka membicarakan estimasi yang diperoleh sebagai parameter sebenarnya cukup berisiko. Dalam beberapa kasus, lebih bijaksana, setelah memperoleh sebaran estimasi parameter, untuk membicarakan estimasi interval dari nilai sebenarnya dari parameter tersebut. Untuk mengilustrasikannya, mari kita perhatikan konstruksi interval kepercayaan untuk ekspektasi matematis dari distribusi normal. Kami telah menunjukkan hal itu 1. Kolemaev V.A., Staroverov O.V., Turundaevsky V.B. Teori probabilitas dan matematika statistik matematika. M.: Sekolah Tinggi, 1991. 2. Eliseeva I.I., Knyazevsky V.S., Nivorozhkina L.I., Morozova Z.A. Teori statistika dengan dasar-dasar teori probabilitas. M.: Persatuan, 2001. 3. Szekely G. Paradoks dalam teori probabilitas dan statistik matematika. M.: Mir, 1990. 4. Kremer N.Sh. Teori Probabilitas dan Statistik Matematika. M.: Persatuan, 2001 5. Smirnov N.V. Dunin-Barkovsky I.V. Kursus teori probabilitas dan statistik matematika untuk aplikasi teknis. M.: Nauka, 1969. 6. Metode statistik untuk menyusun rumus empiris. M.: Sekolah Tinggi, 1988. KULIAH 1. TEORI PROBABILITAS. SEJARAH. DEFINISI KLASIK PROBABILITAS.. 3 KULIAH 2. TEOREMA PENAMBAHAN DAN PERGANDAAN PROBABILITAS. DEFINISI PROBABILITAS SECARA STATISTIK DAN GEOMETRIS.. 8 KULIAH 3. KONSTRUKSI AKSIOMATIS TEORI PROBABILITAS. Aksiomatika KOLMOGOROV.. 14 KULIAH 4. VARIABEL ACAK. FUNGSI DISTRIBUSI... 17 KULIAH 5. DISTRIBUSI VARIABEL ACAK DISKRIT... 21 KULIAH 6. TEOREMA INTEGRAL MOIVRE–LAPLACE, TEOREMA BERNOULLI.. 26 KULIAH 7. VARIABEL ACAK TERUS MENERUS... 29 KULIAH 8. KONSEP VARIABEL ACAK MULTIDIMENSIONAL... 35 KULIAH 9. FUNGSI DISTRIBUSI VARIABEL ACAK MULTIDIMENSIONAL... 39 KULIAH 10. SIFAT-SIFAT KEPADATAN PROBABILITAS VARIABEL ACAK DUA DIMENSI 43 KULIAH 11. FUNGSI VARIABEL ACAK.. 48 KULIAH 12. TEOREMA KEPADATAN JUMLAH DUA VARIABEL ACAK.. 52 KULIAH 13. SISWA, DISTRIBUSI FISCHER Catatan penting! Apa itu probabilitas? Pertama kali saya menemukan istilah ini, saya tidak mengerti apa itu. Oleh karena itu, saya akan mencoba menjelaskannya secara gamblang. Probabilitas adalah peluang terjadinya peristiwa yang kita inginkan. Misalnya, Anda memutuskan untuk pergi ke rumah teman, Anda ingat pintu masuknya bahkan lantai tempat tinggalnya. Tapi saya lupa nomor dan lokasi apartemennya. Dan sekarang Anda berdiri di tangga, dan di depan Anda ada pintu untuk dipilih. Berapa peluang (probabilitas) jika Anda membunyikan bel pintu pertama, teman Anda akan membukakan pintu untuk Anda? Hanya ada apartemen, dan seorang teman hanya tinggal di belakang salah satunya. Dengan peluang yang sama kita bisa memilih pintu mana saja. Tapi peluang apa ini? Pintunya, pintu kanan. Peluang menebak dengan membunyikan pintu pertama: . Artinya, satu dari tiga kali Anda akan menebak dengan akurat. Kami ingin tahu, setelah menelepon sekali, seberapa sering kami akan menebak pintunya? Mari kita lihat semua opsi: Sekarang mari kita lihat semua opsi di mana seorang teman bisa berada: A. Di belakang 1 pintu Mari kita bandingkan semua opsi dalam bentuk tabel. Tanda centang menunjukkan opsi ketika pilihan Anda bertepatan dengan lokasi teman, tanda silang - jika tidak bertepatan. Bagaimana Anda melihat semuanya Mungkin pilihan lokasi teman Anda dan pilihan pintu mana yang akan Anda hubungi. A hasil yang menguntungkan bagi semuanya .
Artinya, Anda akan menebak sekali dengan membunyikan bel pintu satu kali, yaitu. . Ini adalah probabilitas - rasio hasil yang menguntungkan (ketika pilihan Anda bertepatan dengan lokasi teman Anda) dengan jumlah kemungkinan kejadian. Definisinya adalah rumusnya. Probabilitas biasanya dilambangkan dengan p, oleh karena itu: Sangat tidak mudah untuk menulis rumus seperti itu, jadi kita akan mengambil - jumlah hasil yang diinginkan, dan untuk - jumlah total hasil. Probabilitasnya dapat ditulis sebagai persentase; untuk melakukan ini, Anda perlu mengalikan hasilnya dengan: Kata “hasil” mungkin menarik perhatian Anda. Karena ahli matematika menyebut berbagai tindakan (dalam kasus kami, tindakan seperti itu adalah bel pintu) sebagai eksperimen, hasil dari eksperimen tersebut biasanya disebut hasil. Ya, ada hasil yang menguntungkan dan tidak menguntungkan. Mari kita kembali ke contoh kita. Katakanlah kita membunyikan salah satu pintu, tetapi orang asing membukakannya untuk kita. Kami tidak menebak dengan benar. Berapa peluang jika kita membunyikan salah satu pintu yang tersisa, teman kita akan membukakannya untuk kita? Jika Anda berpikir demikian, maka ini adalah sebuah kesalahan. Mari kita cari tahu. Kami memiliki dua pintu tersisa. Jadi kami memiliki langkah-langkah yang mungkin: 1) Panggilan 1 pintu Temannya, terlepas dari semua ini, pasti berada di belakang salah satu dari mereka (bagaimanapun juga, dia tidak berada di belakang orang yang kami panggil): a) Teman untuk 1 pintu Mari kita menggambar tabelnya lagi: Seperti yang Anda lihat, hanya ada pilihan yang menguntungkan. Artinya, kemungkinannya sama. Mengapa tidak? Situasi yang kami pertimbangkan adalah contoh kejadian dependen. Peristiwa pertama adalah bel pintu pertama, peristiwa kedua adalah bel pintu kedua. Dan disebut ketergantungan karena mempengaruhi tindakan berikut. Lagi pula, jika setelah bunyi pertama bel pintu dijawab oleh seorang teman, berapa kemungkinan dia berada di belakang salah satu dari dua lainnya? Benar, . Tapi kalau ada kejadian dependen, pasti ada juga mandiri? Benar, itu memang terjadi. Contoh di buku teks adalah melempar koin. Dan biarkan hal itu muncul setidaknya seribu kali berturut-turut. Kemungkinan mendapatkan kepala sekaligus akan sama. Selalu ada pilihan, dan ada pilihan yang menguntungkan. Sangat mudah untuk membedakan peristiwa dependen dari peristiwa independen: Mari kita berlatih sedikit menentukan probabilitas. Contoh 1. Koin tersebut dilempar sebanyak dua kali. Berapa peluang terambilnya gambar dua kali berturut-turut? Larutan: Mari pertimbangkan semua opsi yang memungkinkan: Seperti yang Anda lihat, hanya ada pilihan. Dari jumlah tersebut kami hanya puas. Artinya, kemungkinannya: Jika kondisi hanya meminta Anda mencari peluang, maka jawabannya harus diberikan dalam bentuk pecahan desimal. Jika ditentukan bahwa jawabannya harus diberikan dalam persentase, maka kita kalikan dengan. Menjawab: Contoh 2. Dalam sekotak coklat, semua coklat dikemas dalam satu bungkus yang sama. Namun, dari yang manis-manis - dengan kacang, dengan cognac, dengan ceri, dengan karamel, dan dengan nougat. Berapa peluang terambilnya satu permen dan mendapat permen berisi kacang? Berikan jawaban Anda sebagai persentase. Larutan: Berapa banyak kemungkinan hasil yang ada? . Artinya, jika Anda mengambil satu permen, itu akan menjadi salah satu yang tersedia di dalam kotak. Berapa banyak hasil yang menguntungkan? Karena kotaknya hanya berisi coklat dengan kacang. Menjawab: Contoh 3. Di dalam sekotak balon. diantaranya berwarna putih dan hitam. Larutan: a) Hanya ada bola di dalam kotak. Diantaranya berwarna putih. Kemungkinannya adalah: b) Sekarang ada lebih banyak bola di dalam kotak. Dan jumlah orang kulit putih yang tersisa sama banyaknya - . Menjawab: Katakanlah ada bola merah dan hijau di dalam sebuah kotak. Berapa peluang terambilnya bola merah? Bola hijau? Bola merah atau hijau? Peluang terambilnya bola merah Bola hijau: Bola merah atau hijau: Seperti yang Anda lihat, jumlah semua kejadian yang mungkin sama dengan (). Memahami poin ini akan membantu Anda memecahkan banyak masalah. Contoh 4. Ada spidol di dalam kotak: hijau, merah, biru, kuning, hitam. Berapa peluang terambilnya BUKAN spidol merah? Larutan: Mari kita hitung jumlahnya hasil yang menguntungkan. BUKAN spidol merah, artinya hijau, biru, kuning atau hitam. Anda sudah tahu apa itu acara independen. Bagaimana jika Anda perlu mencari peluang terjadinya dua (atau lebih) peristiwa independen secara berturut-turut? Katakanlah kita ingin mengetahui berapa probabilitas jika kita melempar sebuah koin satu kali, kita akan melihat gambarnya dua kali? Kami telah mempertimbangkan - . Bagaimana jika kita melempar koin satu kali? Berapa peluang melihat elang dua kali berturut-turut? Jumlah opsi yang memungkinkan: Saya tidak tahu tentang Anda, tetapi saya membuat kesalahan beberapa kali saat menyusun daftar ini. Wow! Dan satu-satunya pilihan (pertama) yang cocok untuk kita. Untuk 5 lemparan, Anda dapat membuat sendiri daftar kemungkinan hasil. Namun matematikawan tidak pekerja keras seperti Anda. Oleh karena itu, mereka pertama kali memperhatikan dan kemudian membuktikan bahwa peluang suatu rangkaian kejadian independen tertentu setiap kali berkurang sebesar peluang satu kejadian. Dengan kata lain, Mari kita lihat contoh koin naas yang sama. Kemungkinan mendapat tantangan? . Sekarang kita melempar koinnya satu kali. Berapa peluang mendapatkan hasil berturut-turut? Aturan ini tidak hanya berlaku jika kita diminta mencari peluang terjadinya peristiwa yang sama beberapa kali berturut-turut. Jika kita ingin mencari urutan TAILS-HEADS-TAILS untuk pelemparan berturut-turut, kita akan melakukan hal yang sama. Peluang terambilnya ekor adalah , kepala - . Peluang terambilnya barisan TAILS-HEADS-TAILS-TAILS: Anda bisa mengeceknya sendiri dengan membuat tabel. Jadi berhentilah! Definisi baru. Mari kita cari tahu. Mari kita ambil koin kita yang sudah usang dan melemparkannya sekali. Jadi, peristiwa-peristiwa yang tidak sesuai adalah suatu rangkaian peristiwa yang pasti dan tertentu. - ini adalah peristiwa yang tidak kompatibel. Jika kita ingin menentukan berapa peluang dua (atau lebih) kejadian yang tidak sesuai, maka kita tambahkan peluang kejadian tersebut. Perlu Anda pahami bahwa head atau tail adalah dua peristiwa yang berdiri sendiri. Jika kita ingin menentukan peluang terjadinya suatu barisan (atau barisan lainnya), maka kita menggunakan aturan mengalikan peluang. Tetapi jika kita ingin mengetahui berapa probabilitas untuk mendapatkan salah satu dari beberapa urutan, misalnya ketika kepala muncul tepat satu kali, yaitu. pilihan dan, kemudian kita harus menjumlahkan probabilitas dari barisan ini. Pilihan total cocok untuk kita. Kita bisa mendapatkan hal yang sama dengan menjumlahkan peluang terjadinya setiap barisan: Jadi, kita menambahkan probabilitas ketika kita ingin menentukan probabilitas dari rangkaian kejadian tertentu yang tidak konsisten. Ada aturan bagus untuk membantu Anda menghindari kebingungan kapan harus mengalikan dan kapan harus menjumlahkan: Mari kita kembali ke contoh di mana kita melempar koin satu kali dan ingin mengetahui probabilitas melihat kepala satu kali. Harus rontok: Mari kita lihat beberapa contoh. Contoh 5. Ada pensil di dalam kotak. merah, hijau, oranye dan kuning dan hitam. Berapa peluang terambilnya pensil merah atau hijau? Larutan: Contoh 6. Jika sebuah dadu dilempar dua kali, berapakah peluang munculnya mata dadu berjumlah 8? Larutan. Bagaimana kita bisa mendapatkan poin? (dan) atau (dan) atau (dan) atau (dan) atau (dan). Peluang terambilnya satu (setiap) wajah adalah . Kami menghitung probabilitasnya: Saya rasa sekarang Anda mengerti kapan Anda perlu menghitung probabilitas, kapan harus menjumlahkannya, dan kapan harus mengalikannya. Bukankah begitu? Mari berlatih sedikit. Tugas: Mari kita ambil setumpuk kartu yang berisi kartu termasuk sekop, hati, 13 tongkat, dan 13 berlian. Dari hingga As masing-masing setelan. Jawaban: Jika Anda mampu menyelesaikan semua masalah sendiri, maka Anda hebat! Sekarang Anda akan memecahkan soal teori probabilitas dalam Ujian Negara Bersatu seperti orang gila! Mari kita lihat sebuah contoh. Katakanlah kita melempar sebuah dadu. Tulang macam apa ini, tahukah kamu? Inilah yang mereka sebut kubus dengan angka di wajahnya. Berapa banyak wajah, begitu banyak angka: dari sampai berapa? Sebelum. Jadi kita melempar dadu dan kita menginginkannya muncul atau. Dan kami mengerti. Dalam teori probabilitas, mereka mengatakan apa yang terjadi peristiwa yang menguntungkan(jangan bingung dengan makmur). Jika itu terjadi, acaranya juga akan menguntungkan. Secara total, hanya dua peristiwa menguntungkan yang bisa terjadi. Berapa banyak yang tidak menguntungkan? Karena ada total kejadian yang mungkin terjadi, maka kejadian yang tidak menguntungkan adalah kejadian (ini jika atau rontok). Definisi: Probabilitas adalah perbandingan jumlah kejadian yang menguntungkan dengan jumlah semua kejadian yang mungkin terjadi. Artinya, probabilitas menunjukkan berapa proporsi semua kemungkinan kejadian yang menguntungkan. Probabilitas dilambangkan dengan huruf latin (tampaknya dari kata bahasa Inggris probabilitas - probabilitas). Merupakan kebiasaan untuk mengukur probabilitas sebagai persentase (lihat topik dan). Untuk melakukan ini, nilai probabilitas harus dikalikan. Dalam contoh dadu, probabilitas. Dan dalam persentase: . Contoh (putuskan sendiri): Solusi: Sama halnya dengan ekor: . Semua pensil di dalam kotak berwarna hijau. Berapa peluang terambilnya pensil merah? Tidak ada peluang: probabilitas (bagaimanapun juga, peristiwa yang menguntungkan -). Peristiwa seperti ini disebut mustahil. Berapa peluang terambilnya pensil hijau? Jumlah peristiwa menguntungkan sama persis dengan jumlah peristiwa total (semua peristiwa menguntungkan). Jadi probabilitasnya sama dengan atau. Peristiwa seperti ini disebut dapat diandalkan. Jika sebuah kotak berisi pensil hijau dan merah, berapa peluang terambilnya pensil hijau atau merah? Sekali lagi. Perhatikan ini: peluang terambilnya warna hijau adalah sama, dan peluang terambilnya warna merah adalah sama. Singkatnya, probabilitas ini sama persis. Itu adalah, jumlah peluang semua kejadian yang mungkin terjadi sama dengan atau. Contoh: Di dalam kotak pensil, di antaranya berwarna biru, merah, hijau, polos, kuning, dan selebihnya oranye. Berapa peluang terambilnya warna hijau? Larutan: Kami ingat bahwa semua kemungkinan bertambah. Dan kemungkinan menjadi hijau adalah sama. Artinya peluang tidak terambilnya warna hijau adalah sama. Ingat trik ini: Peluang tidak terjadinya suatu peristiwa sama dengan dikurangi peluang terjadinya peristiwa tersebut. Anda melempar koin sekali dan ingin koin itu muncul dua kali. Seberapa besar kemungkinannya? Mari kita lihat semua opsi yang memungkinkan dan tentukan berapa banyak yang ada: Kepala-Kepala, Ekor-Kepala, Kepala-Ekor, Ekor-Ekor. Apa lagi? Jumlah pilihan. Dari jumlah tersebut, hanya satu yang cocok untuk kita: Elang-Elang. Secara total, kemungkinannya sama. Bagus. Sekarang mari kita melempar koin satu kali. Hitung sendiri. Telah terjadi? (menjawab). Anda mungkin telah memperhatikan bahwa dengan penambahan setiap lemparan berikutnya, kemungkinannya berkurang setengahnya. Aturan umum disebut aturan perkalian: Kemungkinan kejadian independen berubah. Apa itu acara independen? Semuanya logis: inilah yang tidak bergantung satu sama lain. Misalnya, ketika kita melempar koin beberapa kali, setiap kali dilakukan lemparan baru, yang hasilnya tidak bergantung pada semua lemparan sebelumnya. Kita bisa dengan mudah melempar dua koin berbeda secara bersamaan. Contoh lainnya: Jawaban: Peristiwa yang saling melengkapi sampai pada titik kemungkinan penuh disebut tidak kompatibel. Seperti namanya, hal-hal tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan. Misalnya, jika kita melempar koin, maka yang muncul adalah kepala atau ekor. Contoh. Di dalam kotak pensil, di antaranya berwarna biru, merah, hijau, polos, kuning, dan selebihnya oranye. Berapa peluang terambilnya warna hijau atau merah? Solusi. Peluang terambilnya pensil hijau adalah sama. Merah - . Peristiwa yang menguntungkan secara keseluruhan: hijau + merah. Artinya peluang terambilnya warna hijau atau merah adalah sama. Probabilitas yang sama dapat direpresentasikan dalam bentuk ini: . Ini adalah aturan penjumlahan: kemungkinan kejadian yang tidak kompatibel bertambah. Contoh. Koin tersebut dilempar sebanyak dua kali. Berapa peluang hasil pelemparannya berbeda? Solusi. Artinya, jika hasil pertama adalah kepala, maka hasil kedua harus ekor, dan sebaliknya. Ternyata ada dua pasang kejadian yang saling bebas, dan pasangan tersebut tidak cocok satu sama lain. Bagaimana agar tidak bingung dimana harus mengalikan dan dimana harus menambah. Ada aturan sederhana untuk situasi seperti ini. Coba jelaskan apa yang akan terjadi dengan menggunakan kata sambung “DAN” atau “ATAU”. Misalnya dalam hal ini: Harus muncul (kepala dan ekor) atau (ekor dan kepala). Jika ada konjungsi “dan” maka akan terjadi perkalian, dan jika ada “atau” maka akan terjadi penjumlahan: Cobalah sendiri: Solusi: Contoh lain: Melempar koin satu kali. Berapa peluang munculnya kepala paling sedikit satu kali? Larutan: Probabilitas adalah perbandingan jumlah kejadian yang menguntungkan dengan jumlah semua kejadian yang mungkin terjadi. Acara independen Dua kejadian dikatakan independen jika terjadinya salah satu kejadian tidak mengubah peluang terjadinya kejadian lainnya. Kemungkinan total Peluang semua kejadian yang mungkin terjadi sama dengan (). Peluang tidak terjadinya suatu peristiwa sama dengan dikurangi peluang terjadinya peristiwa tersebut. Aturan untuk mengalikan peluang kejadian independen Peluang suatu rangkaian kejadian independen tertentu sama dengan hasil kali peluang setiap kejadian Peristiwa yang tidak kompatibel Peristiwa yang tidak kompatibel adalah peristiwa yang tidak mungkin terjadi secara bersamaan sebagai akibat dari suatu percobaan. Sejumlah peristiwa yang tidak kompatibel membentuk kelompok peristiwa yang lengkap. Kemungkinan kejadian yang tidak kompatibel bertambah. Setelah menjelaskan apa yang seharusnya terjadi dengan menggunakan konjungsi “AND” atau “OR”, sebagai ganti “AND” kita beri tanda perkalian, dan sebagai ganti “OR” kita beri tanda penjumlahan. Nah, topiknya sudah selesai. Jika Anda membaca baris-baris ini, itu berarti Anda sangat keren. Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda membaca sampai akhir, Anda termasuk dalam 5% ini! Sekarang hal yang paling penting. Anda telah memahami teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini luar biasa! Anda sudah lebih baik dari sebagian besar rekan Anda. Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup... Untuk apa? Untuk berhasil lulus Ujian Negara Bersatu, untuk masuk perguruan tinggi dengan anggaran terbatas dan, YANG PALING PENTING, seumur hidup. Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal... Orang yang mendapat pendidikan yang baik memperoleh penghasilan lebih banyak daripada mereka yang tidak mengenyam pendidikan. Ini adalah statistik. Tapi ini bukanlah hal yang utama. Yang penting mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan kehidupan menjadi lebih cerah? Tidak tahu... Tapi pikirkan sendiri... Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik dari orang lain dalam Ujian Negara Bersatu dan pada akhirnya menjadi... lebih bahagia? DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MEMECAHKAN MASALAH PADA TOPIK INI. Anda tidak akan dimintai teori selama ujian. Anda akan perlu memecahkan masalah melawan waktu. Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak punya waktu. Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulanginya berkali-kali agar bisa menang. Temukan koleksinya di mana pun Anda mau, tentu dengan solusi, analisis rinci dan putuskan, putuskan, putuskan! Anda dapat menggunakan tugas kami (opsional) dan tentu saja kami merekomendasikannya. Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca. Bagaimana? Ada dua pilihan: Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks kami dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka. Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan selama SELURUH umur situs. Kesimpulannya... Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti pada teori. “Dimengerti” dan “Saya bisa menyelesaikannya” adalah keterampilan yang sangat berbeda. Anda membutuhkan keduanya. Temukan masalah dan selesaikan!
…ÌB.
.
.
dll.
. Ini adalah bagaimana hal itu ditentukan probabilitas statistik suatu peristiwa
.
. Faktanya, mereka tidak cocok. Menurut aksioma 3.
Selanjutnya sesuai ketentuan, kubus harus mempunyai satu sisi yang diarsir - artinya kubus harus berada di permukaan luar tetapi tidak terletak di tepi kubus (2 permukaan yang diarsir) dan bukan di sudut - kubus memiliki tiga sisi yang diarsir. permukaan.
Oleh karena itu, jumlah yang dibutuhkan sama dengan hasil kali 6 sisi dan jumlah kubus dalam persegi berukuran 8*8.
6*8*8=384 – kubus dengan 1 permukaan dicat.
Probabilitasnya sama dengan jumlah kejadian yang menguntungkan dengan jumlah totalnya P=384/1000=0,384.
b) Dua sisi yang diarsir mempunyai kubus di sepanjang tepinya tanpa titik sudut kubus itu sendiri. Akan ada 8 kubus seperti itu di satu sisi. Terdapat total 12 rusuk pada kubus, sehingga terdapat dua sisi yang diarsir
8*12=96 kubus.
Dan kemungkinan terambilnya mereka dari 1000 adalah sama
P=96/1000=0,096.
Tugas ini terpecahkan dan kami melanjutkan ke tugas berikutnya.
Perhitungan: Anda harus selalu bernalar berdasarkan apa yang diketahui. Diberikan 3 huruf A, 2-H, dan 1 - C, totalnya ada 6. Mari kita mulai memilih huruf untuk kata "nanas". Huruf pertama adalah A, yang dapat kita pilih dengan 3 cara dari 6 cara, karena ada 3 huruf A diantara 6 huruf yang diketahui. Oleh karena itu, peluang terambilnya A terlebih dahulu adalah
P 1 =3/6=1/2.
Huruf kedua adalah H, namun jangan lupa setelah A dicabut, tersisa 5 huruf yang bisa dipilih. Oleh karena itu, peluang terambilnya angka 2 H adalah sama dengan
P 2 =2/5.
Berikutnya Kemungkinan untuk menarik di antara 4 yang tersisa
P 3 =2/4.
Selanjutnya, H dapat diekstraksi dari probabilitas
P 4 =1/3.
Semakin dekat ke akhir, semakin besar kemungkinannya, dan kita sudah dapat mengekstraksi A di
P 5 =1/2.
Setelah itu, hanya tersisa satu kartu C, jadi peluang terambilnya adalah 100 persen atau
Hal 6 =1.
Peluang terbentuknya kata NANAS sama dengan hasil kali peluangnya
P=3/6*2/5*2/4*1/3*1/2*1=1/60=0,016(6).
Hal inilah yang menjadi dasar masalah serupa dalam teori probabilitas.
Perhitungan: Contoh ini didasarkan pada penerapan rumus Bernoulli.
p=0,8; q=1-0,8=0,2.
Kami menghitung probabilitas menggunakan rumus
Jika Anda tidak menjelaskannya dalam bahasa rumus, maka Anda perlu membuat kombinasi tiga peristiwa, dua di antaranya menguntungkan dan satu lagi tidak. Ini dapat ditulis sebagai jumlah dari produknya 
Kedua opsi tersebut setara, hanya opsi pertama yang dapat diterapkan di semua tugas, dan opsi kedua dapat diterapkan pada tugas serupa dengan yang dipertimbangkan.
Perhitungan: Dengan menggunakan rumus probabilitas total, kita menentukan probabilitas penembak akan mengenai sasaran.
P=2/5*0,6+3/5*0,4=0,24+0,24=0,48.
Kemungkinannya kurang dari P<0,5
, следовательно вероятнее что наугад выбранный стрелок не попадет в цель.
Kemungkinan tidak mengenai adalah
atau
P=2/5*(1-0,6)+3/5*(1-0,4)=0,16+0,36=0,52.
Mari kita cari peluang siswa tersebut menjawab tiga pertanyaan dengan benar. Ini akan menjadi rasio jumlah siswa terhadap seluruh kelompok dikalikan dengan probabilitas terambilnya tiket yang mereka ketahui di antara semua kemungkinan. 
Sekarang mari kita cari probabilitas bahwa seorang siswa termasuk dalam kelompok yang “sangat siap”. Hal ini setara dengan proporsi suku pertama probabilitas awal terhadap probabilitas itu sendiri 
Peluang seorang siswa termasuk dalam kelompok yang persiapannya buruk cukup kecil yaitu sebesar 0,00216. 
Tugas ini selesai. Pahami dengan baik dan ingat cara menghitungnya, karena hal ini biasa terjadi pada kuis dan ulangan.
Perhitungan: Peluang terambilnya lambang atau ekor adalah ekuivalen dan sama dengan 0,5. Kurang dari 3 kali berarti lambang dapat muncul 0, 1 atau 2 kali. “Atau” selalu dinyatakan dalam probabilitas dalam operasi penjumlahan.
Kami menemukan probabilitas menggunakan rumus Bernoulli 
Karena p=q=0,5, maka peluangnya adalah 
Kemungkinannya adalah 0,5.
Penambahan probabilitas kejadian yang saling simultan
Selesaikan sendiri soal penjumlahan probabilitas, lalu lihat solusinya
Mengalikan Probabilitas
Selesaikan sendiri soal perkalian probabilitas, lalu lihat solusinya
.
(1)
,
, m = 0, 1, …
.
.
.
, Kemudian
,
,
, .
.x saya
pi saya 0,343
0,441
0,189
0,027
. (1)
.
.
. (2)
.
= 0 + .
, s>0. (5)
(ditunjukkan pada kuliah 6).
– kepadatan hukum distribusi normal dengan parameter A= 0 dan s =1, maka fungsinya 
= F(X), yang digunakan untuk menghitung probabilitas 
, adalah fungsi distribusi dari distribusi normal dengan parameter A= 0 dan s =1.
. (6) = 
R(X < A) = P(X > A) = 0,5.
.
; 
.
.
.
.
.
– perkiraan terbaik (benar sekali) untuk ekspektasi matematis MX= Q, oleh karena itu merupakan estimasi yang benar juga untuk parameter a = distribusi normal P, dimana T– nilai argumen fungsi Laplace, di mana F(T) = , e = .
1. Jika Anda melihat gobbledygook dan bukan rumus, kosongkan cache Anda. Cara melakukan ini di browser Anda tertulis di sini:
2. Sebelum Anda mulai membaca artikel, perhatikan navigator kami untuk mendapatkan sumber daya yang paling berguna
B. Di belakang ke-2 pintu
V. Di belakang ke-3 pintu
2) Panggilan ke-2 pintu
b) Teman untuk ke-2 pintu
Kemungkinan total
Peluang semua kejadian yang mungkin terjadi sama dengan ().
Peluang tidak terjadinya suatu peristiwa sama dengan dikurangi peluang terjadinya peristiwa tersebut.
Aturan untuk mengalikan peluang kejadian independen
Aturan untuk menambahkan probabilitas kejadian yang tidak kompatibel.
Opsi yang memungkinkan:
Berapa peluang munculnya gambar kepala pada pelemparan pertama, dan hasil gambar pada pelemparan kedua dan ketiga?
Apa yang akan terjadi?
(kepala DAN ekor DAN ekor) ATAU (ekor DAN kepala DAN ekor) ATAU (ekor DAN ekor DAN kepala).
Begini hasilnya: Pelatihan.
TEORI PROBABILITAS. LEVEL RATA-RATA
Kemungkinan. Tentu saja sama halnya dengan angka ganjil.Kemungkinan total
Peristiwa bebas dan aturan perkalian
Peristiwa yang tidak kompatibel dan aturan penambahan
Masalah tipe campuran
TEORI PROBABILITAS. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA
