Metode aksiomatik memungkinkan penarikan kesimpulan dan penemuan hukum tanpa mengandalkan observasi dan eksperimen, melainkan melalui inferensi logis.
Mungkin salah satu penerapan pertama metode aksiomatik yang berhasil adalah geometri matematikawan Yunani kuno Euclid (muncul sekitar 330-320 SM). Sistem aksiomatik Euclidean dapat dicirikan secara umum sebagai berikut. Ilmu yang mempelajari ruang di sekitar kita memungkinkan kita untuk mendeskripsikan beberapa sifat benda, yang disebut titik, garis lurus, bidang, segitiga, lingkaran, dan lain-lain. Euclid memilih beberapa pernyataan tentang objek tersebut sebagai aksioma atau postulat. Kebenarannya, menurutnya, tidak perlu dibuktikan karena sudah jelas dan mudah dipahami. Di antara aksioma-aksioma tersebut ia memasukkan pernyataan-pernyataan berikut: “Hanya satu garis lurus yang dapat ditarik melalui dua titik”, “Hanya satu bidang yang dapat melewati suatu garis lurus dan sebuah titik di luarnya”, dll. Dari aksioma-aksioma ini, dengan cara yang murni logis , Euclid mampu memperoleh semua pernyataan dan hukum geometri yang diperlukan, yang biasa disebut teorema.
Sejujurnya, harus dikatakan bahwa pembuktian Euclid (seperti pembuktian geometri sekolah, yang kita semua pelajari) disertai dengan banyak gambar. Dan butuh waktu lama untuk sampai pada kesimpulan yang jelas bahwa gambar tidak seharusnya menjadi bagian penting dari proses pembuktian itu sendiri. Mereka harus memfasilitasi proses pembuktian, atau membantu mengikuti perkembangan pembuktian, atau, akhirnya, membantu menghafal pembuktian. Kekurangan geometri Euclid ini diperbaiki oleh D. Hilbert dalam bukunya “Foundations of Geometry” (1999).
Fakta bahwa geometri yang dibangun secara aksiomatis memberikan cara yang sangat sederhana, nyaman dan ekonomis untuk menetapkan kebenaran penalaran geometris memberikan kesan yang kuat. Mereka mulai mencoba menerapkan metode aksiomatik tidak hanya dalam teori matematika, tetapi bahkan dalam filsafat (Spinoza). Perwakilan dari banyak ilmu pengetahuan berharap bahwa pada akhirnya banyak teori, dengan bantuan aksiomatik, dapat dibawa ke keanggunan dan kesempurnaan yang sama seperti geometri Euclidean. Metode aksiomatik telah dipelajari secara menyeluruh. Hasil terpenting pertama diperoleh lagi dalam geometri.
Postulat kelima Euclid (dapat dirumuskan sebagai berikut: dua garis sejajar tidak berpotongan, tidak peduli berapa lama kita melanjutkannya) tampak kurang jelas bagi para ahli matematika dibandingkan yang lain. Banyak upaya telah dilakukan untuk membuktikan postulat ini dengan menurunkannya dari postulat sistem Euclidean lainnya. Namun semua upaya ini gagal. Pada tahun 1923 N.N. Lobachevsky dan pada tahun 1933 Bolyai membangun sebuah geometri di mana negasi dari postulat kelima Euclid muncul sebagai sebuah postulat, yaitu. Dianggap sebagai aksioma bahwa melalui suatu titik di luar suatu garis seseorang dapat menggambar garis-garis yang jumlahnya tak terhingga yang sejajar dengan suatu garis tertentu. Geometri non-Euclidean awalnya mendapat penolakan dari banyak ahli matematika karena kontradiksinya dengan ruang fisik yang dirasakan. Namun, pada tahun 1950 Pdt. Klein menemukan interpretasi (klarifikasi) yang sangat sukses dari geometri ini. Jika yang kami maksud dengan "bidang" adalah bagian dalam suatu lingkaran pada bidang Euclidean, dengan "titik" - titik dari lingkaran ini, dan dengan "garis lurus" - tali busur lingkarannya, maka semua aksioma dan teorema Lobachevsky- Geometri Bolyai akan dipenuhi di dalam lingkaran. Dari penemuan-penemuan ini, diambil kesimpulan penting tentang sistem aksiomatik apa pun: aksioma sistem ini harus memenuhi persyaratan independensi, kelengkapan, konsistensi, dan tidak boleh merosot.
Persyaratan independensi berarti bahwa tidak ada aksioma yang boleh diturunkan sebagai teorema dari aksioma lainnya. Kelengkapan aksioma suatu teori berarti bahwa semua pernyataan teori ini harus disimpulkan dari aksioma-aksioma tersebut sesuai dengan kaidah logika. Sistem aksioma harus konsisten. Tidak ada pernyataan yang dapat disimpulkan dari mereka beserta negasinya. Jika hal ini terjadi, maka menurut hukum tengah yang dikecualikan, salah satu putusan tentu salah. Yang mana tidak dapat ditentukan, karena keduanya akan disimpulkan menurut hukum logika. Akhirnya, sistem aksioma tidak akan merosot jika dimungkinkan untuk menemukan beberapa objek (fisik atau teoretis) yang dijelaskan oleh teori yang berasal dari aksioma tersebut.
Namun lebih banyak pertanyaan terkait metode aksiomatik muncul dengan ditemukannya paradoks teori himpunan di abad ke-21. Alasan-alasan tersebut benar-benar adil dari sudut pandang intuitif (substantif), namun tetap menimbulkan kontradiksi. Beberapa di antaranya, misalnya paradoks “Pembohong”, sudah dikenal sejak zaman dahulu. Ingatlah bahwa inti dari paradoks ini adalah: seseorang berkata: “Saya berbohong.” Jika pada saat yang sama dia berbohong, maka apa yang dia katakan adalah bohong, dan karena itu dia tidak berbohong. Jika dia tidak berbohong, maka apa yang dia katakan itu benar, dan karena itu dia berbohong. Jadi bagaimanapun juga, dia berbohong dan tidak berbohong pada saat yang bersamaan. Namun, hubungan antara paradoks pembohong dan teori himpunan tidak disadari. Hal ini terjadi ketika paradoks serupa mulai diturunkan dari teori himpunan aksiomatik yang dikemukakan oleh G. Cantor dan lain-lain. Yang paling sederhana adalah paradoks Berry (2006). Esensinya begini: himpunan semua bilangan asli yang dapat diberi nama dalam bahasa Rusia dengan jumlah suku kata (atau huruf) lebih kecil dari suatu bilangan asli berhingga, tentu saja, oleh karena itu, harus ada bilangan terkecil. itu tidak bisa disebut demikian. Tetapi “bilangan bulat terkecil yang tidak dapat disebutkan namanya dalam bahasa Rusia yang kurang dari lima puluh suku kata” (hitung jumlah suku kata) adalah ungkapan dalam bahasa Rusia yang mengandung kurang dari lima puluh suku kata. Berbagai modifikasi dari paradoks ini telah diketahui. Ketika mempelajari sistem aksioma aritmatika, teori himpunan, dan teori aksiomatik lainnya, ditemukan bahwa tidak ada sistem aksioma lengkap yang dapat digunakan untuk menurunkan teori sederhana seperti aritmatika (K. Gödel). Ternyata masalah konsistensi sistem aksioma teori himpunan dan teori lainnya sangatlah sulit. Ketika mencoba menyelesaikannya, ahli matematika dan ahli logika terpecah menjadi faksi yang bertikai. Menurut Hilbert dan aliran formalisnya, untuk menghilangkan paradoks matematika perlu dirumuskan dalam bentuk teori aksiomatik, setelah itu harus dibuktikan konsistensi teori tersebut. Menurut para ahli intuisi, yang dipimpin oleh Bauer, untuk menghilangkan paradoks matematika, kita perlu meninggalkan pengakuan akan sifat universal dari beberapa hukum logika, khususnya hukum bagian tengah yang dikecualikan.
Jadi inti dari metode aksiomatik adalah sebagai berikut. Objek-objek tertentu dimasukkan ke dalam teori tanpa definisi, yang sifatnya tidak terdefinisi. Kemudian, dengan menggunakan aksioma, hubungan tertentu antar objek ditentukan. Membangun teori aksiomatik berarti memperoleh konsekuensi logis dari aksioma, mengabaikan usulan lain mengenai sifat objek yang sedang dipertimbangkan. Untuk sebuah teori yang dibangun dengan cara ini, seseorang berusaha untuk membuktikan kelengkapan, konsistensi, independensi dan non-degenerasi dari sistem aksioma-aksiomanya.
Mari kita berikan contoh teori aksiomatik yang muncul dengan berbagai cara.
Contoh 1. Teori grup merupakan salah satu teori yang muncul sepanjang jalur kedua. Cukup banyak objek yang diketahui memiliki banyak ciri umum. Diantaranya, khususnya, himpunan F1-1(M) dari semua pemetaan satu-ke-satu dari himpunan M ke dirinya sendiri, dianggap bersama dengan operasi superposisi pemetaan, himpunan Z dari semua bilangan bulat, dianggap bersama-sama dengan operasi penjumlahan bilangan bulat, himpunan V2 dari semua vektor pada bidang, dihitung bersama-sama dengan operasi penjumlahan vektor menurut aturan segitiga atau jajar genjang. Dengan menyatakan masing-masing himpunan ini dengan G, dan masing-masing operasi dengan * (dan menyebutnya komposisi elemen dari G), kita menemukan bahwa ketiga objek tertentu memiliki properti berikut:
G0. Untuk setiap a dan b dari G, komposisi a? in adalah elemen G yang terdefinisi secara unik.
G1. Untuk setiap a dan b dan c dari G (a?c) ? c = a? (v?s).
G2. Ada elemen e di G sehingga untuk setiap a dari G a? e = e? sebuah = sebuah.
G3. Untuk setiap a dari G terdapat a" dari G sehingga a? a" = a"? a = e.
Misalnya, elemen e, keberadaannya dinyatakan dalam properti G2, dalam kasus F1-1(M) adalah pemetaan identitas M ke M, dalam kasus Z - bilangan bulat 0, dalam kasus V2 - vektor nol. Pada sifat G3, elemen a" adalah invers transformasi f-1, kebalikan dari bilangan -m, kebalikan dari vektor BA untuk transformasi f, bilangan bulat m dan vektor AB. Pernyataan G0 - G3 merupakan sistem aksioma teori grup. Dari aksioma-aksioma ini kita dapat memperoleh berbagai teorema dan dengan demikian membangun teori aksiomatik tentang grup.
Teorema 1. Terdapat tepat satu unsur identitas dalam suatu golongan.
Bukti: Mengingat G2, kita hanya perlu membuktikan keunikannya saja. Mari kita asumsikan bahwa G memiliki dua elemen satuan -e1 dan e2, yaitu. berdasarkan G2, untuk setiap ae1?=a dan a?e2=a. Kemudian, khususnya, e1* e2= e2 dan e1* e2= e1. Oleh karena itu, berdasarkan G0 dan sifat persamaan e1= e2.
Teorema 2. Untuk setiap elemen grup terdapat tepat satu invers.
Bukti: Mengingat G3, yang perlu dibuktikan hanyalah keunikannya. Mari kita asumsikan bahwa dalam G untuk suatu elemen a terdapat dua invers a" dan a"", yaitu elemen sedemikian sehingga a"" ? a = e dan a? a" = e. " ? A) ? a" = a"" dan karena itu e? a" = a"" ? e. Oleh karena itu, menurut G2, bahwa a" = a"".
Dalam terminologi perkalian, invers dari a dilambangkan dengan a-1, lalu apa yang dimaksud dengan a-1? sebuah = sebuah? a-1= e, dimana merupakan satu-satunya elemen identitas dari G.
Teorema 3. Untuk sembarang unsur a, b, c, golongan G, dari a*b = a*c mengikuti =c, dan dari c*a = c*a mengikuti =c.
Bukti: Misalkan a*b = a*c. Maka a-1*(a*b) = (a-1*a)*b = e*b = c. Sebaliknya, a-1 * (a * b)= a-1 * (a * c) = (a-1 * a) * c = e * c = c. oleh karena itu, b = c. Misalkan b*a = c*a. Maka (a*a)*a-1= dalam* (a*a-1) = dalam *e = dalam. Sebaliknya (c*a)*a-1= c*(a*a-1) = c*e = c. Jadi di = c.
Contoh 2. Teori kongruensi (kesetaraan) segmen. S adalah himpunan semua segmen dan? suatu relasi yang disebut relasi kongruensi, sehingga ekspresi x? y dibaca sebagai berikut: ruas x kongruen dengan ruas y. Mari kita pilih pernyataan berikut sebagai aksioma: K1. Untuk setiap x dari S x? X.
K2. Untuk sembarang elemen x, y, z dari S, jika x? z dan kamu? z, lalu x? kamu.
Mari kita buktikan teoremanya.
Teorema 1. Untuk sembarang elemen y dan z dari S, jika y? z, lalu z? kamu.
Bukti: Berdasarkan aksioma K2, dengan mensubstitusikan z sebagai ganti x, kita peroleh bahwa jika z? z dan kamu? z, lalu z? kamu. Sejak suku konjungsi z ? z benar berdasarkan aksioma K1, maka dapat dikeluarkan dari konjungsinya. Kami mengerti bagaimana jika kamu? z, lalu z? kamu.
Contoh 3. Teori aksiomatik bilangan asli dibangun oleh ahli matematika Italia G. Peano pada pergantian abad ke-19 dan ke-20. Konsep awalnya adalah: himpunan tak kosong N, relasi biner " dan elemen terbedakan 1. Aksioma yang dipilih adalah sebagai berikut:
(P1) (? x) (x" ? 1).
(P2) (?x, y) (x = y?x" = y")
(P3) (? x, y) (x" = y" ? x = y)
(P4) (Aksioma Induksi) (1?M ^ (? x)(x?M? x"?M)) ?M=N.
Aturan inferensi adalah aturan logika biasa Modus Ponens dan aturan substitusi.
Mari kita berikan bukti dari dua teorema yang langsung mengikuti aksioma ini.
Teorema 1. (? x) (x" ? x)
Bukti: Misalkan suatu himpunan. M = (x? N: x" ? x). Mari kita tunjukkan, dengan menggunakan aksioma induksi (P4), bahwa M = N.
A) 1?M, karena 1"? 1 menurut aksioma P1.
B) Misalkan x?M, yaitu. x" ? x. Kemudian, menurut aksioma P3, (x") " ? x". Oleh karena itu, menurut definisi, x" ?M.
Kondisi aksioma P4 terpenuhi. Maka menurut aksioma P4, M = N. Artinya (?x)(x" ?x).
Contoh 4. Konstruksi aksiomatik teori himpunan Cantor (“naif”) berdasarkan beberapa sistem aksioma. Secara total, kita akan mempertimbangkan tiga sistem aksioma.
Konsep awal teori T adalah operasi biner ?, ? (persimpangan dan penyatuan), operasi unary "(komplemen), operasi nullary 0 dan 1, memperbaiki dua elemen berbeda - nol dan satuan. Sistem aksioma?1 teori ini simetris terhadap operasinya?, ?, 0, 1.
(A1)x? kamu = kamu? X.
(A2)x? kamu = kamu? X.
(A3)x? (kamu?z) = (x?kamu) ? (x?z).
(A4)x? (kamu?z) = (x?kamu) ? (x?z).
(A5)x? 1 = x.
(A6)x? 0 = x.
(A7)x? x" = 0.
(A8)x? x" = 1.
Konsep awal teori kedua T2 adalah operasi biner? dan operasi unary." Sistem aksioma? 2 teori ini, sebaliknya, bersifat asimetris, “bias” terhadap operasi?.
(B1)x? kamu = kamu? X.
(B2) (x?y) ? z = x? (kamu? z).
(Q3)x? kamu" = z ? z" ? X? kamu = x.
(Q4)x? kamu = x? X? kamu" = z? z".
Terakhir, pada teori ketiga T3, yang konsep awalnya adalah relasi biner C, operasi biner? dan?, operasi unary " dan operasi nullary 0 dan 1, sistem aksioma?3 adalah sebagai berikut:
(C2)x? kamu^y? z = x? z.
(C3)x? kamu? z? X? z^y? z.
(C4) z ? X? kamu? z? x^z? kamu.
(C5)x? (kamu? z) ? (x? kamu) ? (x?z).
(C8) 1 ? X? X".
Metode aksiomatik adalah suatu metode membangun suatu teori ilmiah yang mana teori tersebut didasarkan pada ketentuan-ketentuan awal tertentu, yang disebut aksioma-aksioma teori, dan semua ketentuan-ketentuan teori lainnya mengikuti sebagai konsekuensi logis dari aksioma-aksioma tersebut.
Sebagian besar bidang matematika modern, mekanika teoretis, dan sejumlah cabang fisika dibangun berdasarkan metode aksiomatik. Dalam matematika, metode aksiomatik memungkinkan terciptanya teori ilmiah yang lengkap dan logis. Yang tidak kalah pentingnya adalah bahwa teori matematika yang dibangun secara aksiomatis sering kali diterapkan dalam ilmu-ilmu lain.
Dalam matematika, metode aksiomatik berasal dari karya ahli geometri Yunani kuno. Contoh cemerlang penggunaannya hingga abad ke-19. ada sistem geometris yang dikenal sebagai Elemen Euclid (c. 300 SM). Meskipun pada saat itu belum ada pertanyaan untuk mendeskripsikan cara logis yang digunakan untuk memperoleh konsekuensi bermakna dari aksioma, dalam sistem Euclid gagasan untuk memperoleh seluruh isi utama teori geometri dengan cara deduktif murni, dari cara tertentu yang relatif kecil. sejumlah pernyataan – aksioma, sudah cukup terlihat jelas kebenarannya.
Dibuka pada awal abad ke-19. geometri non-Euclidean oleh N.I. Lobachevsky dan J. Bolyai menjadi pendorong pengembangan lebih lanjut metode aksiomatik. Mereka menetapkan bahwa dengan mengganti postulat V Euclid yang biasa dan tampaknya hanya “benar secara obyektif” pada garis paralel dengan negasinya, adalah mungkin untuk mengembangkan teori geometri dengan cara yang murni logis, selaras dan kaya konten seperti geometri Euclid. Fakta ini memaksa para ahli matematika abad ke-19. memberikan perhatian khusus pada metode deduktif dalam membangun teori matematika, yang menyebabkan munculnya masalah-masalah baru yang berkaitan dengan konsep metode aksiomatik dan teori matematika formal (aksiomatik), yang menjadi dasar tumbuhnya apa yang disebut teori pembuktian. sebagai bagian utama logika matematika modern.
Pemahaman tentang perlunya pembenaran matematika dan tugas-tugas khusus di bidang ini muncul dalam bentuk yang kurang lebih jelas pada abad ke-19. Klarifikasi konsep-konsep dasar analisis dan reduksi konsep-konsep kompleks menjadi yang paling sederhana atas dasar yang tepat dan logis semakin kokoh, serta ditemukannya geometri non-Euclidean, mendorong berkembangnya metode aksiomatik dan munculnya permasalahan-permasalahan umum. sifat matematika, seperti konsistensi, kelengkapan dan independensi sistem aksioma tertentu.
Hasil pertama dalam bidang ini diperoleh dari metode penafsiran, yang dapat diuraikan sebagai berikut. Biarkan setiap konsep keluaran dan relasi dari teori aksiomatik T tertentu dikaitkan dengan objek matematika tertentu. Kumpulan objek-objek tersebut disebut bidang interpretasi. Setiap pernyataan U dalam teori T secara alami diasosiasikan dengan pernyataan U* tertentu tentang unsur-unsur bidang tafsir, yang bisa benar atau salah. Kemudian kita katakan bahwa pernyataan U dari teori T benar atau salah dalam interpretasi tertentu. Bidang interpretasi dan sifat-sifatnya biasanya menjadi objek pertimbangan teori matematika tertentu T 1, yang khususnya juga dapat bersifat aksiomatik.
Metode interpretasi memungkinkan untuk menetapkan fakta konsistensi relatif, yaitu membuktikan pernyataan seperti: “jika teori T 1 konsisten, maka teori T juga konsisten.” Biarkan teori T ditafsirkan dalam teori T 1 sedemikian rupa sehingga semua aksioma A dan teori T ditafsirkan oleh pernyataan yang benar dari A dan * teori T 1. Kemudian setiap teorema teori T, yaitu setiap pernyataan A, disimpulkan secara logis dari aksioma A dan in T, ditafsirkan dalam T 1 dengan pernyataan tertentu A*, yang dapat disimpulkan dalam T dari interpretasi A* dan aksioma A dan, dan oleh karena itu benar. Pernyataan terakhir didasarkan pada asumsi lain, yang kami buat secara implisit, tentang kesamaan cara logis tertentu yang digunakan dalam teori T dan T 1. Dalam praktiknya, kondisi ini biasanya terpenuhi. Biarkan sekarang teori T menjadi kontradiktif, yaitu, pernyataan tertentu A dari teori ini disimpulkan di dalamnya bersama dengan negasinya. Maka dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa pernyataan A* dan “bukan A*” sekaligus merupakan pernyataan yang benar dari teori T 1, yaitu. Teori T 1 kontradiktif. Metode ini, misalnya, membuktikan (F. Klein, A. Poincaré) konsistensi geometri non-Euclidean Lobachevsky dengan asumsi bahwa geometri Euclidean konsisten, dan pertanyaan tentang konsistensi aksiomatisasi Hilbert terhadap geometri Euclidean pun diangkat (D .Hilbert) untuk masalah konsistensi aritmatika.
Metode interpretasi juga memungkinkan kita untuk memecahkan pertanyaan tentang independensi sistem aksioma: untuk membuktikan bahwa aksioma A dari teori T tidak dapat dideduksi dari aksioma lain dalam teori ini dan, oleh karena itu, penting untuk memperoleh keseluruhan cakupan teori ini, cukup membangun interpretasi teori T yang di dalamnya aksioma Tapi itu salah, dan semua aksioma lain dari teori ini benar. Pengangkatan masalah konsistensi geometri Lobachevsky ke masalah konsistensi geometri Euclidean, dan yang terakhir ini - ke pertanyaan tentang konsistensi aritmatika, menghasilkan pernyataan bahwa postulat V Euclid tidak dapat diturunkan dari yang lain. aksioma geometri, kecuali aritmatika bilangan asli konsisten.
Kelemahan metode interpretasi adalah dalam hal konsistensi dan independensi sistem aksioma, hanya memungkinkan diperoleh hasil yang bersifat relatif. Pencapaian penting dari metode ini adalah kenyataan bahwa dengan bantuannya ditemukan peran khusus aritmatika sebagai teori matematika, pertanyaan tentang konsistensi yang direduksi menjadi pertanyaan serupa untuk sejumlah teori lainnya.
Metode aksiomatik mendapat pengembangan lebih lanjut - dalam arti tertentu, ini adalah puncaknya - dalam karya D. Hilbert dan sekolahnya. Dalam kerangka arah ini, dilakukan klarifikasi lebih lanjut tentang konsep teori aksiomatik, dan konsep sistem formal itu sendiri. Sebagai hasil dari klarifikasi ini, teori matematika itu sendiri dapat direpresentasikan sebagai objek matematika eksak dan untuk membangun teori umum, atau teori meta, dari teori tersebut. Pada saat yang sama, prospek tampak menarik (dan D. Hilbert pernah terpesona olehnya) untuk menyelesaikan semua pertanyaan utama dasar matematika melalui jalur ini. Setiap sistem formal dibangun sebagai kelas ekspresi rumus yang didefinisikan secara tepat, di mana subkelas rumus dibedakan dengan cara tertentu yang disebut teorema sistem formal tertentu. Pada saat yang sama, rumusan sistem formal itu sendiri tidak memiliki makna semantik apa pun; rumus tersebut dapat dikonstruksikan dengan menggunakan tanda-tanda arbitrer atau simbol-simbol dasar, hanya berpedoman pada pertimbangan kenyamanan teknis. Faktanya, metode penyusunan rumus dan konsep teorema sistem formal tertentu dipilih sedemikian rupa sehingga seluruh peralatan formal ini dapat digunakan untuk mengekspresikan matematika tertentu (atau non-matematis) secara memadai dan selengkap mungkin. teori, atau lebih tepatnya, sebagai isi aktual dan struktur deduktifnya. Setiap teori matematika spesifik T dapat diterjemahkan ke dalam bahasa sistem formal S yang sesuai sedemikian rupa sehingga setiap ekspresi teori T yang bermakna (salah atau benar) diungkapkan dengan rumus sistem S yang diketahui.
Wajar jika diharapkan bahwa metode formalisasi akan memungkinkan untuk membangun seluruh makna positif teori matematika atas dasar yang tepat dan tampaknya dapat diandalkan seperti konsep rumus turunan (teorema sistem formal), dan untuk menyelesaikan pertanyaan-pertanyaan mendasar. seperti masalah konsistensi teori-teori matematika dalam bentuk pembuktian pernyataan-pernyataan yang sesuai dari sistem formal, yang memformalkan teori-teori tersebut. Untuk memperoleh bukti pernyataan tentang konsistensi yang tidak bergantung pada cara-cara kuat yang dalam teori matematika klasik menjadi alasan rumitnya pembenarannya, D. Hilbert mengusulkan untuk mempelajari sistem formal yang disebut. metode terbatas (lihat metamathematics).
Namun, hasil K. Gödel di awal tahun 30-an abad XX. menyebabkan runtuhnya harapan utama yang terkait dengan program ini. K. Gödel menunjukkan hal berikut.
1) Setiap formalisasi S aritmatika yang alami dan konsisten atau teori matematika lainnya yang mengandung aritmatika (misalnya, teori himpunan) tidak lengkap dan tidak dapat diisi ulang dalam arti bahwa: a) S berisi (rumus-rumus yang secara substansial benar dan tidak dapat diputuskan, ada rumus-rumus seperti itu A , baik A maupun negasi dari A tidak dapat dideduksi dalam S (ketidaklengkapan aritmatika yang diformalkan), b) tidak peduli seberapa banyak aksioma tambahan (misalnya, rumus yang tidak dapat diputuskan dalam S) memperluas sistem S, sistem formal yang baru dan diperkuat akan pasti mempunyai rumusannya sendiri yang tidak dapat diputuskan (inkonsistensi; lihat juga teorema ketidaklengkapan Gödel).
2) Jika aritmatika realitas yang diformalkan itu konsisten, maka meskipun pernyataan tentang konsistensinya dapat dinyatakan dalam bahasanya sendiri, namun penyelesaian pernyataan itu tidak dapat dilakukan dengan cara yang diformalkan di dalamnya sendiri.
Ini berarti bahwa pada dasarnya mustahil bagi aritmatika untuk menghabiskan seluruh cakupan penilaian yang benar berdasarkan kelas rumus yang dapat diturunkan oleh sistem formal mana pun dan bahwa tidak ada harapan untuk memperoleh bukti terbatas apa pun tentang konsistensi aritmatika, karena, jelas, setiap klarifikasi yang masuk akal tentang konsep pembuktian terbatas ternyata dapat diformalkan dalam aritmatika formal.
Semua ini memberikan batasan tertentu pada kemungkinan AM dalam bentuk yang diperolehnya dalam kerangka formalisme Hilbertian. Namun, bahkan dalam batas-batas ini ia memainkan dan terus memainkan peran penting dalam landasan matematika. Jadi, misalnya, setelah dijelaskan hasil K. Gödel, dia sendiri pada tahun 1938-40, dan kemudian P. Cohen pada tahun 1963, berdasarkan pendekatan aksiomatik dengan menggunakan metode interpretasi, diperoleh hasil mendasar pada kompatibilitas (yaitu konsistensi relatif ) dan independensi aksioma pilihan dan hipotesis kontinum dalam teori himpunan. Adapun pertanyaan mendasar tentang dasar-dasar matematika seperti masalah konsistensi, dan setelah hasil K. Gödel, menjadi jelas bahwa untuk menyelesaikannya, jelas, seseorang tidak dapat melakukannya tanpa cara dan gagasan lain, selain yang finitistik. Di sini, berbagai pendekatan ternyata dimungkinkan, mengingat adanya perbedaan pandangan tentang diterimanya cara-cara logis tertentu.
Dari hasil konsistensi sistem formal, kita harus menunjukkan konsistensi aritmatika formal, berdasarkan induksi tak hingga ke bilangan transfinit tertentu yang dapat dihitung.
Menurut P.S.Novikov.
METODE AKSIOMATIK
METODE AksiomaTIK (Aksioma Yunani - posisi yang signifikan dan diterima) adalah metode membangun teori di mana beberapa pernyataan yang benar dipilih sebagai pernyataan awal (aksioma), dari mana sisa pernyataan benar (teorema) dari teori ini kemudian disimpulkan secara logis dan terbukti. Signifikansi ilmiah dari A.M. didukung oleh Aristoteles, yang merupakan orang pertama yang membagi seluruh rangkaian pernyataan yang benar menjadi pernyataan dasar (“prinsip”) dan pernyataan yang memerlukan pembuktian (“dapat dibuktikan”). Dalam perkembangannya A.M. melewati tiga tahap. Pada tahap pertama A.M. bermakna, aksioma diterima berdasarkan kejelasannya. Contoh pembangunan teori deduktif seperti itu adalah Elemen Euclid. Pada tahap kedua, D. Hilbert memperkenalkan kriteria formal penerapan A.M. - syarat konsistensi, kemandirian dan kelengkapan sistem aksioma. Pada tahap ketiga A.M. menjadi formal. Oleh karena itu, konsep “aksioma” telah berubah. Jika pada tahap pertama pengembangan A.M. hal itu dipahami tidak hanya sebagai titik tolak pembuktian, tetapi juga sebagai posisi sebenarnya yang tidak memerlukan pembuktian karena sudah jelas, maka saat ini aksioma tersebut dibuktikan sebagai elemen penting teori, ketika konfirmasi atas teori tersebut dipertimbangkan. sekaligus penegasan landasan aksiomatiknya sebagai titik awal pembangunan. Selain pernyataan utama dan pengantar di A.M. Tingkat aturan inferensi khusus juga mulai menonjol. Jadi, bersama dengan aksioma dan teorema sebagai himpunan semua pernyataan benar dari teori tertentu, aksioma dan teorema untuk aturan inferensi dirumuskan - metaaksioma dan metateorema. K, Gödel pada tahun 1931 membuktikan sebuah teorema tentang ketidaklengkapan mendasar dari sistem formal apa pun, karena teorema tersebut mengandung proposisi yang tidak dapat diputuskan yang tidak dapat dibuktikan dan tidak dapat disangkal. Mengingat keterbatasan yang dikenakan padanya, AM dianggap sebagai salah satu metode utama untuk membangun teori formal yang dikembangkan (dan bukan hanya substantif), bersama dengan metode deduktif hipotetis (yang kadang-kadang diartikan sebagai “semi-aksiomatik”). dan metode hipotesis matematika. Metode deduktif hipotetis, berbeda dengan A.M., melibatkan konstruksi hierarki hipotesis di mana hipotesis yang lebih lemah diturunkan dari hipotesis yang lebih kuat dalam kerangka sistem deduktif tunggal, di mana kekuatan hipotesis meningkat seiring dengan jarak dari dasar empiris. ilmu pengetahuan. Hal ini memungkinkan kita untuk melemahkan kekuatan pembatasan A.M.: mengatasi ketertutupan sistem aksiomatik karena kemungkinan memperkenalkan hipotesis tambahan yang tidak terikat secara ketat pada ketentuan awal teori; memperkenalkan objek abstrak dari berbagai tingkat organisasi realitas, mis. menghapus pembatasan validitas aksiomatik “di semua dunia”; menghapus persyaratan kesetaraan aksioma. Di sisi lain, A.M., berbeda dengan metode hipotesis matematika, yang berfokus pada aturan-aturan untuk membangun hipotesis matematika yang berkaitan dengan fenomena yang belum dipelajari, memungkinkan seseorang untuk merujuk pada bidang studi konten tertentu.
Kamus Filsafat Terbaru. - Minsk: Rumah Buku. A.A.Gritsanov. 1999.
Lihat apa itu "METODE AXIOMATIC" di kamus lain:
Metode membangun ilmiah teori yang didasarkan pada ketentuan awal (penilaian) tertentu dari aksioma, atau postulat, yang darinya semua pernyataan lain dari teori ini harus disimpulkan secara logis. oleh, melalui... ... Ensiklopedia Filsafat
Lihat METODE AXIOMATIK. Antinazi. Ensiklopedia Sosiologi, 2009... Ensiklopedia Sosiologi
METODE AXIOMATIC, suatu metode penalaran matematis yang didasarkan pada deduksi logis dari pernyataan-pernyataan tertentu (aksioma). Metode ini adalah salah satu dasar ilmu matematika: digunakan di Yunani kuno, dan formalisasinya... ... Kamus ensiklopedis ilmiah dan teknis
Ensiklopedia modern
Suatu metode membangun teori ilmiah dalam bentuk sistem aksioma (postulat) dan aturan inferensi (aksiomatik), yang memungkinkan, melalui deduksi logis, memperoleh pernyataan (teorema) dari suatu teori tertentu... Kamus Ensiklopedis Besar
metode aksiomatik- METODE AXIOMATIC (dari bahasa Yunani axioma) adalah posisi yang diterima - metode membangun teori ilmiah, di mana hanya aksioma, postulat, dan pernyataan yang sebelumnya diturunkan darinya yang digunakan dalam pembuktian. Untuk pertama kalinya ditunjukkan dengan jelas...... Ensiklopedia Epistemologi dan Filsafat Ilmu Pengetahuan
Metode aksiomatik- METODE AXIOMATIK, suatu metode untuk mengkonstruksi suatu teori ilmiah dimana teori tersebut didasarkan pada beberapa ketentuan awal yang disebut aksioma, dan semua ketentuan teori lainnya (lemma bantu dan teorema kunci) diperoleh sebagai... ... Kamus Ensiklopedis Bergambar
METODE AKSIOMATIK- cara mengorganisasikan pengetahuan ilmiah (terutama teoretis), yang intinya adalah mengisolasi, di antara seluruh rangkaian pernyataan yang benar tentang bidang subjek tertentu, suatu subset (aksioma), yang darinya secara logis... ... Filsafat Ilmu: Daftar Istilah Dasar
Suatu metode membangun teori ilmiah dalam bentuk sistem aksioma (postulat) dan aturan inferensi (aksioma), yang memungkinkan, melalui deduksi logis, memperoleh pernyataan (teorema) dari suatu teori tertentu. * * * METODE AXIOMATIK METODE AXIOMATIK, metode... ... kamus ensiklopedis
metode aksiomatik- aksiominis metodas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. metode aksiomatik vok. Metode aksiomatische, f rus. metode aksiomatik, m pranc. metode aksiomatique, f … Fizikos terminų žodynas
Buku
- Banyak orang. Logika. Teori Aksiomatik, Robert R. Stoll. Buku ini memberikan presentasi dasar tentang konsep, ide, metode, dan hasil terpenting dari teori himpunan (termasuk aljabar operasi himpunan), logika matematika (elemen logika...
Inti dari metode aksiomatik
Euclid
P.Dirac
Jika suatu teorema tidak dapat dibuktikan, maka teorema tersebut menjadi aksioma.
Matematika dibangun atas dasar konsep. Konsep dapat terdefinisi atau tidak terdefinisi. Di bawah definisi memahami rumusan yang tepat dari suatu konsep tertentu. Mendefinisikan suatu konsep matematika berarti menunjukkan ciri-ciri atau sifat-sifatnya yang membedakan konsep tersebut dari konsep lainnya. Cara yang biasa untuk mendefinisikan suatu konsep matematika adalah dengan menunjukkan: 1) genus terdekat, yaitu konsep yang lebih umum yang berkaitan dengan konsep yang sedang didefinisikan; 2) perbedaan khusus, yaitu ciri-ciri atau sifat-sifat yang melekat pada konsep tertentu.
Contoh 1. Definisi: “Persegi adalah persegi panjang yang semua sisinya sama besar.” Genus terdekat, yaitu konsep yang lebih umum, adalah konsep persegi panjang, dan perbedaan spesifiknya akan menunjukkan bahwa semua sisi persegi adalah sama. Sedangkan untuk persegi panjang konsep yang lebih umum adalah konsep jajar genjang, untuk jajar genjang - konsep segi empat, untuk segi empat - konsep poligon, dan seterusnya. Namun rantai ini bukannya tidak ada habisnya.
Ada konsep yang tidak dapat didefinisikan melalui konsep lain yang lebih umum. Dalam matematika mereka disebut konsep dasar yang tidak terdefinisi . Contoh konsep dasar adalah titik, garis, bidang, jarak, himpunan, dan lain sebagainya.
Keterhubungan dan hubungan antar konsep dasar dirumuskan dengan menggunakan aksioma.
Aksioma adalah proposisi matematis yang diterima dalam teori tertentu tanpa bukti.
Sistem aksioma yang menjadi dasar teori matematika tertentu tunduk pada persyaratan konsistensi, independensi, dan kelengkapan.
Sistem aksioma disebut konsisten , jika tidak mungkin untuk secara bersamaan memperoleh dua kalimat yang saling lepas darinya: A, tidak.
Sistem aksioma disebut mandiri , jika tidak ada aksioma sistem ini yang merupakan konsekuensi dari aksioma lain dari sistem ini.
Sistem aksioma disebut penuh , jika salah satu dari dua hal dapat dibuktikan di dalamnya: salah satu pernyataan A, atau tidak a.
Suatu dalil yang tidak ada dalam daftar aksioma harus dibuktikan. Usulan seperti ini disebut dalil .
Dalil adalah proposisi matematis yang kebenarannya ditetapkan melalui proses penalaran yang disebut pembuktian.
Aksioma: “Apapun garisnya, ada titik yang termasuk dalam garis tersebut dan ada titik yang tidak termasuk dalam garis tersebut.”
Dalil: “Jika diagonal-diagonal suatu segi empat berpotongan dan dibagi dua oleh titik potongnya, maka segi empat tersebut merupakan jajar genjang.”
Salah satu metode utama matematika modern adalah metode aksiomatik . Esensinya adalah sebagai berikut:
1) konsep-konsep utama yang belum terdefinisi dan hubungan-hubungan dari teori yang sedang dibangun dicantumkan (contoh hubungan: mengikuti..., terletak di antara...);
2) dirumuskan aksioma, diterima dalam teori ini tanpa pembuktian, yang mengungkapkan hubungan antara konsep dasar dan hubungannya;
3) kalimat-kalimat yang tidak termasuk dalam konsep dasar dan hubungan dasar harus didefinisikan;
4) dalil-dalil yang tidak termasuk dalam daftar aksioma harus dibuktikan berdasarkan aksioma-aksioma tersebut dan proposisi-proposisi yang telah dibuktikan sebelumnya.
1.2 Geometri Euclid - teori ilmu alam pertama
Tinjauan sejarah tentang dasar geometri. Geometri, sebelum menjadi teori aksiomatik, melalui jalur perkembangan empiris yang panjang.
Informasi pertama tentang geometri diperoleh oleh peradaban Timur Kuno (Mesir, Cina, India) sehubungan dengan perkembangan pertanian, terbatasnya lahan subur, dll. Di negara-negara ini, geometri bersifat empiris dan merupakan seperangkat ilmu yang terpisah. “resep-aturan” untuk memecahkan masalah tertentu. Sudah di milenium ke-2 SM. orang Mesir tahu cara menghitung luas segitiga, volume piramida terpotong, luas lingkaran secara akurat, dan orang Babilonia mengetahui teorema Pythagoras. Perhatikan bahwa tidak ada bukti, melainkan aturan perhitungan.
Masa perkembangan geometri Yunani dimulai pada abad ke 7-6. SM. di bawah pengaruh Mesir. Filsuf terkenal Thales (640-548 SM) dianggap sebagai bapak matematika Yunani. Thales, atau lebih tepatnya sekolah matematikanya, termasuk dalam pembuktian sifat-sifat segitiga sama kaki dan sudut vertikal. Selanjutnya, ahli geometri Yunani Kuno memperoleh hasil yang mencakup hampir seluruh isi kursus geometri sekolah modern.
Aliran filsafat Pythagoras (570-471 SM) menemukan teorema jumlah sudut suatu segitiga, membuktikan teorema Pythagoras, dan menetapkan keberadaan lima jenis polihedra beraturan dan segmen tak dapat dibandingkan. Democritus (470-370 SM) menemukan teorema volume piramida dan kerucut. Eudoxus (410-356 SM) menciptakan teori proporsi geometri (yaitu teori bilangan proporsional).
Menaechmus dan Apollonius mempelajari bagian berbentuk kerucut. Archimedes (289-212 SM) menemukan aturan untuk menghitung luas permukaan dan volume bola serta bangun lainnya. Ia juga menemukan perkiraan nilai bilangan π.
Kelebihan khusus para ilmuwan Yunani kuno adalah bahwa mereka adalah orang pertama yang mengajukan masalah konstruksi pengetahuan geometris yang ketat dan menyelesaikannya dengan perkiraan pertama. Masalah tersebut dikemukakan oleh Plato (428-348 SM). Aristoteles (384-322 SM) - filosof terbesar, pendiri logika formal - termasuk dalam rumusan yang jelas tentang gagasan membangun geometri dalam bentuk rangkaian proposisi yang saling mengikuti satu sama lain hanya berdasarkan aturan. logika. Banyak ilmuwan Yunani (Hippocrates, Phaedius) mencoba memecahkan masalah ini.
Euclid (330-275 SM) - ahli geometri zaman kuno terbesar, lulusan sekolah Plato, tinggal di Mesir (di Alexandria). “Prinsip-prinsip” yang disusunnya memberikan presentasi sistematis tentang prinsip-prinsip geometri, dilakukan pada tingkat ilmiah sehingga selama berabad-abad pengajaran geometri dilakukan sesuai dengan karyanya. “Prinsip” terdiri dari 13 buku (bab):
I-VI – planimetri;
VII-IX – aritmatika dalam presentasi geometris;
X – segmen yang tidak dapat dibandingkan;
ХI-ХII – stereometri.
Tidak semua informasi yang diketahui dalam geometri dimasukkan dalam Elemen. Misalnya, buku-buku ini tidak memuat: teori bagian kerucut, kurva tingkat tinggi.
Setiap buku diawali dengan definisi konsep-konsep yang muncul di dalamnya. Misalnya pada Buku I ada 23 definisi. Berikut adalah definisi dari empat konsep pertama:
1 Titik adalah sesuatu yang tidak mempunyai bagian.
2 Sebuah garis adalah panjang tanpa lebar.
3 Batas suatu garis adalah titik-titik.
Euclid memberikan proposisi yang diterima tanpa bukti, membaginya menjadi postulat dan aksioma. Dia memiliki lima postulat dan tujuh aksioma. Berikut beberapa di antaranya:
IV Dan agar semua sudut siku-siku sama besar.
V Dan setiap kali sebuah garis lurus, ketika berpotongan dengan dua garis lurus lainnya, membentuk sudut satu sisi dalam, yang jumlahnya kurang dari dua garis lurus, maka garis-garis lurus tersebut berpotongan pada sisi yang jumlahnya lebih kecil. dari dua garis lurus.
Aksioma
I Secara individu setara dengan yang ketiga setara satu sama lain.
II Dan jika kita menjumlahkan yang sama dengan yang sama, kita mendapatkan yang sama.
VII Dan yang digabungkan adalah sama.
Euclid tidak menunjukkan perbedaan antara postulat dan aksioma. Masih belum ada solusi final terhadap permasalahan ini.
Euclid mengemukakan teori geometri seperti yang dipersyaratkan oleh para ilmuwan Yunani khususnya Aristoteles, yaitu. Teorema-teorema tersebut disusun sedemikian rupa sehingga setiap teorema berikutnya dibuktikan hanya berdasarkan teorema-teorema sebelumnya. Dengan kata lain, Euclid mengembangkan teori geometri dengan cara yang sangat logis. Inilah manfaat sejarah Euclid bagi sains.
“Elemen” Euclid memainkan peran besar dalam sejarah matematika dan seluruh kebudayaan manusia. Buku-buku ini telah diterjemahkan ke dalam semua bahasa utama dunia; setelah tahun 1482, buku-buku tersebut telah diterbitkan sebanyak 500 edisi.
Kekurangan sistem Euclid. Dari sudut pandang matematika modern, penyajian Unsur harus dianggap tidak sempurna. Sebutkan kelemahan utama sistem ini:
1) banyak konsep termasuk konsep yang pada gilirannya harus didefinisikan (misalnya, dalam definisi 1-4 Bab 1 digunakan konsep lebar, panjang, batas, yang juga harus didefinisikan);
2) daftar aksioma dan postulat tidak cukup untuk membangun geometri dengan cara yang logis. Misalnya, daftar ini tidak berisi aksioma keteraturan, yang tanpanya banyak teorema geometri tidak dapat dibuktikan; Mari kita perhatikan bahwa Gauss memperhatikan keadaan ini. Daftar ini juga kekurangan definisi tentang konsep gerak (kombinasi) dan sifat-sifat gerak, yaitu. aksioma gerak. Daftar tersebut juga tidak memuat aksioma Archimedes (salah satu dari dua aksioma kontinuitas), yang berperan penting dalam teori pengukuran panjang ruas, luas bangun, dan benda. Perhatikan bahwa hal ini diperhatikan oleh Archimedes sezaman dengan Euclid;
3) Postulat IV jelas berlebihan; dapat dibuktikan sebagai teorema. Mari kita perhatikan secara khusus postulat kelima. Dalam Buku I Unsur, 28 proposisi pertama dibuktikan tanpa mengacu pada postulat kelima. Upaya untuk memperkecil daftar aksioma dan postulat, khususnya untuk membuktikan postulat V sebagai teorema, telah dilakukan sejak zaman Euclid sendiri. Proclus (abad ke-5 M), Omar Khayyam (1048-1123), Wallis (abad ke-17), Saccheri dan Lambert (abad ke-18), Legendre (1752-1833) juga mencoba membuktikan postulat V sebagai teorema. Pembuktian mereka salah, tetapi membuahkan hasil positif - hingga lahirnya dua geometri lagi (Riemann dan Lobachevsky).
Sistem geometri non-Euclidean. N. Lobachevsky (1792-1856), yang menemukan geometri baru - geometri Lobachevsky, juga memulai dengan upaya untuk membuktikan postulat V.
Nikolai Ivanovich mengembangkan sistemnya hingga sebatas “Prinsip” dengan harapan mendapatkan kontradiksi. Dia tidak menerimanya, tetapi pada tahun 1826 dia membuat kesimpulan yang benar: ada geometri yang berbeda dengan geometri Euclid.
Pada pandangan pertama, kesimpulan ini tampaknya tidak cukup berdasar: mungkin, jika dikembangkan lebih jauh, kita bisa sampai pada suatu kontradiksi. Namun pertanyaan yang sama juga berlaku pada geometri Euclidian. Dengan kata lain, kedua geometri tersebut setara ketika dihadapkan pada pertanyaan tentang konsistensi logis. Penelitian lebih lanjut menunjukkan bahwa konsistensi suatu geometri mengikuti konsistensi geometri lainnya, yaitu. ada kesetaraan sistem logis.
Lobachevsky adalah orang pertama, tetapi bukan satu-satunya, yang menyimpulkan bahwa ada geometri lain. Gauss (1777-1855) mengungkapkan gagasan ini sejak tahun 1816 dalam surat pribadinya, tetapi tidak membuat pernyataan dalam publikasi resmi.
Tiga tahun setelah publikasi hasil Lobachevsky (pada tahun 1829), yaitu. pada tahun 1832, karya J. Bolyai dari Hongaria (1802-1860) diterbitkan, yang pada tahun 1823 sampai pada kesimpulan tentang keberadaan geometri yang berbeda, tetapi menerbitkannya kemudian dan dalam bentuk yang kurang berkembang dibandingkan Lobachevsky. Oleh karena itu, wajar jika geometri ini menyandang nama Lobachevsky.
Penerimaan umum atas geometri Lobachevsky sangat difasilitasi oleh karya ahli geometri setelah Lobachevsky. Pada tahun 1868, ahli matematika Italia E. Beltrami (1825-1900) membuktikan bahwa geometri Lobachevsky terletak pada permukaan dengan kelengkungan negatif konstan (yang disebut pseudosfer). Titik lemah pembuktian konsistensi geometri Lobachevsky berdasarkan interpretasi Beltrami adalah, seperti yang ditunjukkan D. Hilbert (1862-1943), dalam ruang Euclidean tidak ada permukaan lengkap dengan kelengkungan negatif konstan tanpa singularitas. Oleh karena itu, pada permukaan dengan kelengkungan negatif konstan, hanya sebagian dari geometri datar Lobachevsky yang dapat diinterpretasikan. Kekurangan ini dihilangkan oleh A. Poincare (1854-1912) dan F. Klein (1849-1925).
Bukti konsistensi geometri Lobachevsky sekaligus merupakan bukti independensi postulat kelima dari postulat lainnya. Memang, dalam kasus ketergantungan, geometri Lobachevsky akan menjadi kontradiktif, karena memuat dua pernyataan yang saling eksklusif.
Studi lebih lanjut tentang geometri Euclidean menunjukkan ketidaklengkapan sistem aksioma dan postulat Euclid. Studi aksiomatik Euclid selesai pada tahun 1899 oleh Hilbert.
Aksiomatik Hilbert terdiri dari lima kelompok:
Aksioma koneksi (milik);
Aksioma keteraturan;
Aksioma kongruensi (kesetaraan, kebetulan);
Aksioma kontinuitas;
Aksioma paralelisme.
Aksioma-aksioma ini (total ada 20) mengacu pada tiga jenis objek: titik, garis, bidang, serta tiga hubungan di antara mereka: "milik", "terletak di antara", "kongruen". Arti spesifik dari titik, garis, bidang dan hubungan tidak ditunjukkan. Mereka secara tidak langsung didefinisikan melalui aksioma. Berkat ini, geometri yang dibangun berdasarkan aksioma Hilbert memungkinkan berbagai implementasi spesifik.
Sistem geometri yang dibangun berdasarkan aksioma-aksioma yang tercantum disebut geometri Euclidean, karena bertepatan dengan geometri yang dijelaskan oleh Euclid dalam Elemen.
Sistem geometri selain Euclidean disebut geometri non-Euclidean. Menurut teori relativitas umum, di ruang angkasa tidak ada satu pun yang benar-benar akurat, tetapi dalam skala kecil (skala bumi juga cukup “kecil”) mereka cukup cocok untuk menggambarkan ruang. Alasan mengapa rumus Euclidean digunakan dalam praktik adalah kesederhanaannya.
Hilbert memeriksa sistem aksiomanya secara komprehensif dan menunjukkan bahwa sistem tersebut konsisten jika aritmatika tidak konsisten (yaitu, pada kenyataannya, konsistensi substantif atau yang disebut eksternal terbukti). Dia menyelesaikan penelitian selama berabad-abad oleh para ahli geometri untuk mendukung geometri. Karya ini sangat dihargai dan dianugerahi Hadiah Lobachevsky pada tahun 1903.
Dalam presentasi aksiomatik modern geometri Euclid, aksioma Hilbert tidak selalu digunakan: buku teks geometri dibangun berdasarkan berbagai modifikasi sistem aksioma ini.
Pada abad ke-20 ditemukan bahwa geometri Lobachevsky tidak hanya penting untuk matematika abstrak sebagai salah satu geometri yang mungkin, tetapi juga berhubungan langsung dengan penerapan matematika. Ternyata hubungan antara ruang dan waktu, yang ditemukan oleh A. Einstein dan ilmuwan lain dalam kerangka teori relativitas khusus, berkaitan langsung dengan geometri Lobachevsky.
