Mari kita menganalisis dua jenis solusi sistem persamaan:

1. Menyelesaikan sistem dengan menggunakan metode substitusi.
2. Menyelesaikan sistem dengan penjumlahan (pengurangan) suku demi suku dari persamaan sistem.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan metode substitusi Anda harus mengikuti algoritma sederhana:
1. Ekspres. Dari persamaan apa pun kami menyatakan satu variabel.
2. Pengganti. Kami mengganti nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan lain, bukan variabel yang dinyatakan.
3. Selesaikan persamaan yang dihasilkan dengan satu variabel. Kami menemukan solusi untuk sistem.

Menyelesaikan sistem dengan metode penjumlahan (pengurangan) suku demi suku perlu:
1. Pilih variabel yang akan kita buat koefisiennya sama.
2. Kita menambah atau mengurangi persamaan, sehingga menghasilkan persamaan dengan satu variabel.
3. Selesaikan persamaan linier yang dihasilkan. Kami menemukan solusi untuk sistem.

Penyelesaian sistem adalah titik potong grafik fungsi.

Mari kita pertimbangkan secara rinci solusi sistem menggunakan contoh.

Contoh 1:

Mari kita selesaikan dengan metode substitusi

Menyelesaikan sistem persamaan dengan menggunakan metode substitusi

2x+5y=1 (1 persamaan)
x-10y=3 (persamaan ke-2)

1. Ekspres
Terlihat pada persamaan kedua terdapat variabel x dengan koefisien 1 yang berarti paling mudah untuk menyatakan variabel x dari persamaan kedua.
x=3+10y

2.Setelah kita menyatakannya, kita substitusikan 3+10y ke persamaan pertama sebagai ganti variabel x.
2(3+10 tahun)+5 tahun=1

3. Selesaikan persamaan yang dihasilkan dengan satu variabel.
2(3+10y)+5y=1 (buka tanda kurung)
6+20 tahun+5 tahun=1
25 tahun= 1-6
25 tahun=-5 |: (25)
kamu=-5:25
kamu=-0,2

Penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah titik potong grafiknya, oleh karena itu kita perlu mencari x dan y, karena titik potongnya terdiri dari x dan y, carilah x, pada titik pertama yang kita nyatakan, kita substitusikan y ke sana .
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Biasanya untuk menulis poin, pertama kita tulis variabel x, dan kedua variabel y.
Jawaban: (1; -0,2)

Contoh #2:

Mari kita selesaikan dengan menggunakan metode penjumlahan (pengurangan) suku demi suku.

Menyelesaikan sistem persamaan menggunakan metode penjumlahan

3x-2y=1 (1 persamaan)
2x-3y=-10 (persamaan ke-2)

1. Kita memilih suatu variabel, misalkan kita memilih x. Pada persamaan pertama, variabel x memiliki koefisien 3, pada persamaan kedua - 2. Kita perlu membuat koefisiennya sama, untuk ini kita berhak mengalikan persamaan atau membaginya dengan angka berapa pun. Kita mengalikan persamaan pertama dengan 2, dan persamaan kedua dengan 3 dan mendapatkan koefisien total 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Kurangi persamaan kedua dari persamaan pertama untuk menghilangkan variabel x.
__6x-4y=2

5 tahun=32 | :5
kamu=6.4

3. Temukan x. Kita substitusikan y yang ditemukan ke dalam salah satu persamaan, misalkan ke dalam persamaan pertama.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4.6

Titik potongnya adalah x=4.6; kamu=6.4
Jawaban: (4.6; 6.4)

Apakah Anda ingin mempersiapkan ujian secara gratis? Guru daring gratis. Tidak bercanda.

Bab ini berisi bahan pembantu berkaitan dengan sistem penyelesaian persamaan linear(yaitu persamaan derajat pertama). Untuk mempelajari sistem seperti itu, konsep penting dari determinan diperkenalkan. Hasil dari bab ini menarik baik dalam dirinya sendiri maupun dalam penerapannya geometri analitik, diperlukan untuk memahami bab selanjutnya dari buku ini,

§ 1. Sistem persamaan dengan dua dan tiga yang tidak diketahui

Saat menyelesaikan satu persamaan derajat pertama dengan satu persamaan yang tidak diketahui

tiga kasus mungkin terjadi:

1. Jika , persamaannya memiliki satu-satunya keputusan

2. Jika persamaannya punya tak terhitung keputusan; bilangan apa pun x memenuhi persamaan (karena ) dan, oleh karena itu, merupakan solusinya.

3. Jika tetapi persamaan tersebut tidak mempunyai solusi, karena jika x diganti dengan bilangan apa pun di ruas kiri, hasilnya adalah nol, sedangkan bagian kanan berbeda dari nol.

Dari penjelasan berikut akan jelas bahwa tiga kasus serupa terjadi ketika penyelesaian sistem sewenang-wenang persamaan linear.

Pertimbangkan sistem dua persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui:

Solusi dari sistem tersebut adalah setiap pasangan nilai, yang substitusinya sebagai pengganti x dan y akan mengubah kedua persamaan menjadi identitas. Untuk menyelesaikan sistem ini, kita mengalikan persamaan pertama dengan persamaan kedua - dengan dan menjumlahkannya; kita akan mendapatkan

Dari sini, jika , kita punya

Demikian pula kita menemukannya

Jadi, dalam kasus ketika sistem (1) mempunyai solusi unik.

Ekspresi pembilang dan penyebut ruas kanan persamaan (2) dan (3) disusun dengan cara yang sama. Yaitu, mari kita pertimbangkan meja persegi angka

Tabel seperti ini disebut matriks. Barisan bilangan mendatar yang membentuk suatu matriks disebut baris, baris vertikal disebut kolom. Bilangan-bilangan yang menyusun suatu matriks disebut elemen-elemennya. Dalam contoh kita, kita punya matriks persegi pesanan kedua. Diagonal datang dari kiri pojok atas matriks di kanan bawah disebut diagonal utamanya. Penyebut pecahan di ruas kanan persamaan (2) dan (3) disusun sebagai berikut: dari hasil kali unsur-unsur yang terletak pada diagonal utama matriks A, hasil kali unsur-unsur yang terletak pada diagonal kedua, atau sekunder, diagonalnya dikurangi:

Ekspresi yang dihasilkan disebut determinan matriks A (determinan orde kedua) dan dilambangkan sebagai berikut:

Dalam notasi ini, pembilang pecahan pada bagian pertama persamaan (2) adalah determinannya

diperoleh dari penyebut dengan mengganti kolom pertama dengan kolom suku bebas, dan pembilang pecahan di ruas kanan persamaan adalah determinannya

diperoleh dari penyebutnya dengan mengganti kolom kedua dengan kolom suku bebas persamaan sistem (1),

Jadi kami menemukan jika itu

Ini adalah rumus Cramer untuk menyelesaikan sistem dua persamaan dengan dua persamaan yang tidak diketahui.

Contoh. Dengan menggunakan rumus Cramer, selesaikan sistem persamaannya

Sekarang mari kita pertimbangkan kasus kapan

Kesetaraan (4) dapat ditulis ulang sebagai berikut:

artinya, dalam hal ini koefisien dari hal-hal yang tidak diketahui adalah proporsional. Jika, sebagai tambahan,

maka suku-suku bebasnya sebanding dengan koefisien dari hal-hal yang tidak diketahui, dan kita sebenarnya memiliki satu persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui - persamaan ini memungkinkan adanya solusi yang jumlahnya tak terhingga,

Akhirnya, jika

yaitu jika

maka persamaan-persamaan tersebut jelas-jelas saling bertentangan dan sistem tidak mempunyai solusi tunggal.

Sekarang mari kita perhatikan sistem tiga persamaan linier dengan tiga persamaan yang tidak diketahui:

Penyelesaian sistem ini disebut masing-masing rangkap tiga bilangan tersebut, yang jika disubstitusikan ketiga persamaan tersebut berubah menjadi identitas. Mengalikan persamaan pertama dengan persamaan kedua - dengan persamaan ketiga - dengan

dan menambahkan semuanya, kita mendapatkan

(koefisien untuk y dan z, seperti yang mudah dilihat, akan sama dengan nol). Oleh karena itu, jika koefisien x berbeda dari nol, kita peroleh

Mari kita lihat cara kerja ekspresi penyebut ruas kanan persamaan (6). Untuk melakukan ini, pertimbangkan tabel persegi (matriks orde ketiga)

Kita sebut lagi diagonal utama sebagai diagonal dari sudut kiri atas matriks ini ke kanan bawah, dan diagonal sekunder sebagai diagonal dari sudut kiri bawah ke kanan atas.

Penyebut pada rumus (6) adalah jumlah aljabar enam suku yang masing-masing merupakan hasil kali tiga unsur, diambil satu dari setiap baris dan setiap kolom matriks A, dan tanda tambah adalah hasil kali unsur-unsur tersebut,

termasuk dalam diagonal utama, dan dua hasil kali elemen-elemen yang membentuk segitiga (sama kaki) dalam matriks dengan alas sejajar dengan diagonal utama (Gbr. 1, a), dan tanda minus memiliki hasil kali elemen-elemen yang termasuk dalam diagonal sekunder, dan dua hasil kali unsur-unsur yang membentuk segitiga dengan alas , sejajar dengan sisi diagonalnya (Gbr. 1, b).

Ekspresi seperti itu disebut determinan yang terdiri dari matriks A (determinan orde ketiga), dan dilambangkan sebagai berikut:

Jadi, menurut definisi,

Persamaan pembilang sebelah kanan rumus (6) diperoleh dari penyebutnya jika setiap huruf a diganti dengan huruf yang bernomor sama, yaitu.

Demikian pula, dapat ditunjukkan bahwa ketika sistem (5) menyiratkan persamaan

dimana determinan diperoleh dari determinan dengan mengganti kolom dengan kolom bebas

anggota. Ini adalah rumus Cramer untuk sistem tiga persamaan dengan tiga hal yang tidak diketahui.

Contoh. Selesaikan sistem persamaan menggunakan rumus Cramer

Karena itu,

Untuk memahami apa yang dimaksud dengan determinan orde, perhatikan kembali determinan orde kedua dan ketiga:

Kita melihat ada determinannya jumlah aljabar semua kemungkinan hasil kali elemen-elemennya, diambil satu dari setiap baris dan setiap kolom.

Setiap hasil kali tersebut disebut suku determinan. Pada setiap suku determinan orde kedua, kita susun faktor-faktornya sesuai urutan kolom:

dan pertimbangkan pengaturan yang sesuai (permutasi) dari subskrip (menunjukkan nomor baris):

Pada perkalian pertama, indeks-indeks ini disusun dalam urutan menaik, dan perkalian yang bersangkutan dimasukkan dalam determinan dengan tanda tambah; pada bilangan kedua dikatakan membentuk kelainan, atau inversi, dari 2, 1, dan suku yang bersesuaian memasuki determinan dengan tanda minus.

Penentu orde ketiga memiliki enam suku. Jika pada masing-masing faktornya disusun menurut urutan kolom-kolomnya, maka pada suku-suku yang diberi tanda plus, subskripnya membentuk permutasi

Pertimbangkan tiga pasang indeks 1, 2; 1, 3 dan 2, 3 dari permutasi pertama 1, 2, 3; nomor setiap pasangan disusun dalam urutan menaik - tidak ada inversi dalam permutasi ini. Pada permutasi kedua 2, 3, 1 terdapat tiga pasang indeks: 2, 3; 2, 1 dan 3, 1, dua diantaranya dan 3,1, membentuk inversi. Pada permutasi ketiga 3, 1, 2 - tiga pasang indeks 3, 1; 1, 2 dan 3, 2, dimana dua dan 3, 2 membentuk inversi.

Produk yang dilengkapi dengan tanda minus sesuai dengan tiga permutasi indeks

dan yang pertama, mudah dilihat, ada tiga inversi:

3, 2; 3, 1 dan 2, 1, dan yang kedua dan ketiga - masing-masing satu; masing-masing 2, 1 dan 3, 2. Jadi, tanda tambah mencakup suku-suku yang dalam permutasi indeks bilangan genap inversi, dan dengan tanda minus - yang bilangannya ganjil.

Untuk selanjutnya, akan lebih mudah bagi kita untuk memperkenalkan notasi baru untuk determinan orde kedua dan ketiga:

di mana semua elemen determinan dilambangkan dengan huruf a yang sama dengan dua indeks, indeks pertama menunjukkan nomor baris di mana elemen ini muncul, dan yang kedua menunjukkan nomor kolom yang bersesuaian. (Elemen,

Misalnya, determinan pertama dibaca seperti ini: satu adalah satu, dan satu adalah dua, dan dua adalah satu, dan dua adalah dua.) Maka

dimana tanda tambah berada di depan hasil perkalian yang permutasinya genap (yaitu mempunyai jumlah inversi genap), dan tanda minus berada di depan hasil permutasi yang ganjil. Ini juga dapat ditulis seperti ini:

dimana a adalah banyaknya inversi pada permutasi indeks pertama (indeks kedua disusun dalam urutan menaik), dan penjumlahannya meluas ke keenam permutasi dari tiga bilangan 1, 2, 3.

Menggunakan ini program matematika Anda dapat menyelesaikan sistem dua persamaan linear dengan dua metode variabel metode substitusi dan penjumlahan.

Program tersebut tidak hanya memberikan jawaban terhadap permasalahan, tetapi juga memberi solusi terperinci dengan penjelasan langkah penyelesaiannya dengan dua cara yaitu metode substitusi dan metode penjumlahan.

Program ini semoga bermanfaat bagi siswa SMA sekolah menengah dalam persiapan untuk tes dan ujian, saat menguji pengetahuan sebelum Ujian Negara Bersatu, bagi orang tua untuk mengontrol penyelesaian banyak masalah dalam matematika dan aljabar. Atau mungkin terlalu mahal bagi Anda untuk menyewa seorang tutor atau membeli buku pelajaran baru? Atau apakah Anda hanya ingin menyelesaikannya secepat mungkin? pekerjaan rumah dalam matematika atau aljabar? Dalam hal ini, Anda juga dapat menggunakan program kami dengan solusi terperinci.

Dengan demikian, Anda dapat melakukan pembinaan sendiri dan/atau pembinaan adik-adik Anda, sehingga tingkat pendidikan di bidang pemecahan masalah semakin meningkat.

Aturan untuk memasukkan persamaan

Huruf Latin apa pun dapat bertindak sebagai variabel.
Misalnya: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), dll.

Saat memasukkan persamaan Anda dapat menggunakan tanda kurung. Dalam hal ini, persamaannya disederhanakan terlebih dahulu. Persamaan setelah penyederhanaan harus linier, yaitu. dari bentuk ax+by+c=0 dengan keakuratan urutan elemen.
Contoh: 6x+1 = 5(x+y)+2

Dalam persamaan, Anda tidak hanya dapat menggunakan bilangan bulat, tetapi juga bilangan bulat bilangan pecahan dalam bentuk desimal dan pecahan biasa.

Aturan untuk memasukkan pecahan desimal.
Bagian bilangan bulat dan pecahan di desimal dapat dipisahkan dengan titik atau koma.
Contoh: 2,1n + 3,5m = 55

Aturan memasukkan pecahan biasa.
Hanya bilangan bulat yang dapat bertindak sebagai pembilang, penyebut, dan bagian bilangan bulat suatu pecahan.
Penyebutnya tidak boleh negatif.
Saat memasukkan pecahan numerik, pembilangnya dipisahkan dari penyebutnya dengan tanda pembagian: /
Seluruh bagian dipisahkan dari pecahan dengan tanda ampersand: &

Contoh.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Memecahkan sistem persamaan

Ditemukan bahwa beberapa skrip yang diperlukan untuk mengatasi masalah ini tidak dimuat, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin mengaktifkan AdBlock.
Dalam hal ini, nonaktifkan dan segarkan halaman.

JavaScript dinonaktifkan di browser Anda.
Agar solusinya muncul, Anda perlu mengaktifkan JavaScript.
Berikut adalah petunjuk tentang cara mengaktifkan JavaScript di browser Anda.

Karena Ada banyak orang yang bersedia menyelesaikan masalah, permintaan Anda telah diantri.
Dalam beberapa detik solusinya akan muncul di bawah.
Harap tunggu detik...

Jika kamu melihat kesalahan dalam solusi, lalu Anda dapat menulis tentang hal ini di Formulir Masukan.
Jangan lupa menunjukkan tugas yang mana Anda memutuskan apa masuk ke dalam kolom.

Game, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Memecahkan sistem persamaan linear. Metode substitusi

Urutan tindakan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode substitusi:
1) menyatakan satu variabel dari suatu persamaan sistem ke dalam persamaan lain;
2) substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan sistem lain sebagai pengganti variabel ini;

$$ \kiri\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \kanan. $$

Mari kita nyatakan y dalam bentuk x dari persamaan pertama: y = 7-3x. Mengganti ekspresi 7-3x ke dalam persamaan kedua alih-alih y, kita memperoleh sistem:
$$ \kiri\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \kanan. $$

Mudah untuk menunjukkan bahwa sistem pertama dan kedua mempunyai solusi yang sama. Pada sistem kedua, persamaan kedua hanya memuat satu variabel. Mari selesaikan persamaan ini:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Panah Kanan -5x+14-6x=3 \Panah Kanan -11x=-11 \Panah Kanan x=1 $$

Menggantikan angka 1 ke dalam persamaan y=7-3x sebagai ganti x, kita temukan nilai yang sesuai kamu:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Panah Kanan y=4 $$

Pasangan (1;4) - solusi sistem

Sistem persamaan dua variabel yang penyelesaiannya sama disebut setara. Sistem yang tidak memiliki solusi juga dianggap setara.

Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan penjumlahan

Mari kita pertimbangkan cara lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linear - metode penjumlahan. Saat menyelesaikan sistem dengan cara ini, serta saat menyelesaikan dengan substitusi, kita berpindah dari sistem ini ke sistem lain yang setara, di mana salah satu persamaan hanya berisi satu variabel.

Urutan tindakan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode penjumlahan:
1) mengalikan persamaan suku sistem dengan suku, memilih faktor sehingga koefisien salah satu variabel menjadi angka yang berlawanan;
2) menjumlahkan ruas kiri dan kanan persamaan sistem suku demi suku;
3) selesaikan persamaan yang dihasilkan dengan satu variabel;
4) temukan nilai yang sesuai dari variabel kedua.

Contoh. Mari kita selesaikan sistem persamaan:
$$ \kiri\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \kanan. $$

Dalam persamaan sistem ini, koefisien y adalah bilangan yang berlawanan. Dengan menjumlahkan ruas kiri dan kanan persamaan suku demi suku, kita memperoleh persamaan dengan satu variabel 3x=33. Mari kita ganti salah satu persamaan sistem, misalnya persamaan pertama, dengan persamaan 3x=33. Mari kita ambil sistemnya
$$ \kiri\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \kanan. $$

Dari persamaan 3x=33 kita menemukan bahwa x=11. Substitusikan nilai x ini ke persamaan \(x-3y=38\) kita peroleh persamaan dengan variabel y: \(11-3y=38\). Mari selesaikan persamaan ini:
\(-3y=27 \Panah Kanan y=-9 \)

Jadi, kami menemukan solusi sistem persamaan dengan penjumlahan: \(x=11; y=-9\) atau \((11;-9)\)

Memanfaatkan fakta bahwa dalam persamaan sistem koefisien y adalah bilangan yang berlawanan, kami mereduksi solusinya menjadi solusi sistem ekuivalen (dengan menjumlahkan kedua ruas setiap persamaan sistem asal), di mana satu persamaan hanya berisi satu variabel.

Buku (buku teks) Abstrak Ujian Negara Bersatu dan ujian Ujian Negara Bersatu online Game, teka-teki Merencanakan grafik fungsi Kamus ejaan bahasa Rusia Kamus bahasa gaul remaja Katalog sekolah Rusia Katalog lembaga pendidikan menengah Rusia Katalog daftar universitas Rusia tugas

Video tutorial 2:Memecahkan sistem persamaan

Kuliah: Sistem persamaan paling sederhana dengan dua hal yang tidak diketahui

Persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui

Dalam topik ini kita akan melihat persamaan yang mengandung dua hal yang tidak diketahui. Seringkali, untuk menyelesaikan persamaan semacam ini, kita perlu memiliki persamaan yang tidak diketahui sebanyak mungkin.

Persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui memiliki bentuk sebagai berikut:

a, b, c, d- ini adalah angka yang bersebelahan dalam variabel (x, kamu).

Selesaikan persamaan sistem- ini berarti mencari nilai variabel yang akan membawa kedua persamaan ke persamaan yang benar.

Setiap persamaan dapat memiliki beberapa jawaban, namun jawaban sistem persamaan adalah pasangan angka yang cocok dengan kedua persamaan tersebut.

Penyelesaian sistem persamaan dapat diinterpretasikan secara analitis, beberapa di antaranya akan kita bahas nanti, dan secara grafis.

Metode grafis untuk menyelesaikan sistem persamaan

Untuk masing-masing persamaan yang diberikan Anda dapat membuat grafik Anda sendiri di pesawat - bisa berupa grafik apa saja tangga lagu terkenal fungsi. Penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah titik perpotongan grafiknya. Titik ini akan memiliki koordinatnya sendiri, yang sesuai dengan ordinat dan absisnya, yang akan menjadi solusinya.

Beberapa jenis solusi dapat diperoleh dari grafik:

1. Banyak solusi. Misalnya, jika satu persamaan ingin direpresentasikan fungsi trigonometri, dan yang kedua adalah garis lurus, misalnya, sejajar dengan sumbu OX, maka garis lurus ini akan memotong grafik fungsi kedua di banyak titik dengan periodisitas tertentu.

2. Satu solusi. Dalam hal ini grafik fungsi akan berpotongan di satu titik. Biasanya gambaran ini terlihat jika grafik persamaannya berupa garis lurus.

3. Dua solusi. Artinya, grafik persamaan tersebut akan berpotongan di dua titik. Hal ini biasanya terlihat jika grafik salah satu fungsinya berbentuk parabola.

4. Tidak punya solusi. Beberapa grafik fungsi mungkin tidak berpotongan sama sekali, sehingga sistem tidak memiliki solusi.

Metode dasar solusi analitis

Penyelesaian menggunakan grafik tidak selalu mudah, karena titik potong fungsi mungkin cukup jauh dari titik asal koordinat, atau fungsi tersebut mempunyai koordinat pecahan. Untuk menemukan solusi sistem yang paling akurat, lebih baik menggunakan metode analitis solusi.

1. Pengganti

Untuk menyelesaikan sistem menggunakan metode substitusi, Anda perlu menyatakan salah satu yang tidak diketahui di salah satu persamaan dan mensubstitusikannya ke persamaan kedua.

x = (c – oleh) / a

d (c – oleh) / a + ey = f

Setelah substitusi ini, salah satu persamaan akan memiliki satu persamaan yang tidak diketahui, setelah itu persamaan tersebut diselesaikan dengan cara yang diketahui. Ketika salah satu variabel ditemukan, nilainya disubstitusikan ke persamaan pertama dan dengan demikian variabel kedua ditemukan.

2. Metode penambahan atau pengurangan persamaan

Metode ini memungkinkan Anda untuk menyingkirkan salah satu hal yang tidak diketahui. Jadi bayangkan Anda ingin menghilangkan variabel "x". Ke metode ini terjadi, Anda perlu mengalikan persamaan pertama dengan d, dan mengalikan persamaan kedua dengan a. Setelah ini Anda akan mendapatkan koefisien yang sama untuk variabel "x". Jika Anda mengurangkan satu persamaan dari persamaan lainnya, Anda akan dapat menghilangkan satu persamaan yang tidak diketahui. Persamaan selanjutnya menggunakan metode yang diketahui.

Persamaan nonlinier dengan dua hal yang tidak diketahui

Definisi 1. Biarkan A menjadi beberapa kumpulan pasangan angka (X; kamu) . Mereka mengatakan bahwa himpunan A diberikan fungsi numerik z dari dua variabel x dan y , jika suatu aturan ditentukan dengan bantuan yang setiap pasangan bilangan dari himpunan A dikaitkan dengan bilangan tertentu.

Latihan fungsi numerik z dari dua variabel x dan y sering menunjukkan Jadi:

Di mana F (X , kamu) – fungsi apa pun selain fungsi

F (X , kamu) = kapak+oleh+c ,

dimana a, b, c diberi nomor.

Definisi 3. Menyelesaikan persamaan (2) memanggil sepasang nomor ( X; kamu) , yang rumusnya (2) merupakan persamaan sejati.

Contoh 1. Selesaikan persamaannya

Karena kuadrat suatu bilangan adalah non-negatif, maka dari rumus (4) maka bilangan x dan y yang tidak diketahui memenuhi sistem persamaan

penyelesaiannya adalah pasangan bilangan (6; 3).

Jawaban: (6; 3)

Contoh 2. Selesaikan persamaannya

Oleh karena itu, solusi persamaan (6) adalah himpunan tak terbatas pasangan angka jenis

(1 + kamu ; kamu) ,

di mana y adalah bilangan apa pun.

linier

Definisi 4. Memecahkan sistem persamaan

memanggil sepasang nomor ( X; kamu) , dengan mensubstitusikannya ke dalam setiap persamaan sistem ini, diperoleh persamaan yang benar.

Sistem dua persamaan, salah satunya linier, mempunyai bentuk

G(X , kamu)

Contoh 4. Selesaikan sistem persamaan

Solusi. Mari kita nyatakan y yang tidak diketahui dari persamaan pertama sistem (7) melalui x yang tidak diketahui dan substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan kedua sistem:

Memecahkan persamaan

X 1 = - 1 , X 2 = 9 .

Karena itu,

kamu 1 = 8 - X 1 = 9 ,
kamu 2 = 8 - X 2 = - 1 .

Sistem dua persamaan, salah satunya homogen

Sistem dua persamaan, salah satunya homogen, mempunyai bentuk

dimana a, b, c diberi bilangan, dan G(X , kamu) – fungsi dua variabel x dan y.

Contoh 6. Selesaikan sistem persamaan

Solusi. Mari kita selesaikan persamaan homogennya

3X 2 + 2xy - kamu 2 = 0 ,

3X 2 + 17xy + 10kamu 2 = 0 ,

memperlakukannya sebagai persamaan kuadrat terhadap x yang tidak diketahui:

.

Dalam hal X = - 5kamu, dari persamaan kedua sistem (11) kita peroleh persamaannya

5kamu 2 = - 20 ,

yang tidak mempunyai akar.

Dalam hal

dari persamaan kedua sistem (11) kita memperoleh persamaan

,

yang akarnya adalah bilangan kamu 1 = 3 , kamu 2 = - 3 . Menemukan untuk masing-masing nilai ini y nilai yang sesuai x, kita memperoleh dua solusi untuk sistem: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Jawaban: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

Contoh penyelesaian sistem persamaan jenis lainnya

Contoh 8. Memecahkan sistem persamaan (MIPT)

Solusi. Mari kita perkenalkan u dan v baru yang tidak diketahui, yang dinyatakan melalui x dan y sesuai dengan rumus:

Untuk menulis ulang sistem (12) dalam bentuk yang tidak diketahui baru, pertama-tama kita nyatakan yang tidak diketahui x dan y dalam bentuk u dan v. Dari sistem (13) berikut ini

Mari kita selesaikan sistem linier (14) dengan menghilangkan variabel x dari persamaan kedua sistem ini. Untuk tujuan ini, kami melakukan transformasi berikut pada sistem (14):

• Kita akan membiarkan persamaan pertama sistem tidak berubah;
• dari persamaan kedua kita kurangi persamaan pertama dan ganti persamaan kedua sistem dengan selisih yang dihasilkan.

Akibatnya, sistem (14) diubah menjadi sistem ekuivalen

dari mana kita menemukan

Dengan menggunakan rumus (13) dan (15), kita menulis ulang sistem asli (12) ke dalam bentuk

Persamaan pertama sistem (16) adalah linier, sehingga kita dapat menyatakan u yang tidak diketahui melalui v yang tidak diketahui dan mengganti persamaan ini ke persamaan kedua sistem.