Generalisasi pengalaman.
Teks soal dalam kursus matematika sekolah.
Metode aritmatika penyelesaian masalah.
Soldatova Svetlana Anatolevna
guru matematika kategori pertama
Institusi pendidikan kota Lyceum Fisika dan Matematika Uglich
2017
“...selama kita mencoba menghubungkan pembelajaran matematika dengan kehidupan, akan sulit bagi kita untuk melakukannya tanpanya masalah kata- sarana tradisional pengajaran matematika untuk metodologi nasional.”
A.V.Shevkin
Kami terus-menerus menemukan istilah "tugas" di Kehidupan sehari-hari. Masing-masing dari kita memecahkan masalah tertentu yang kita sebut tugas. Dalam arti luas, di bawahsuatu masalah dipahami sebagai situasi tertentu yang memerlukan penelitian dan penyelesaian manusia .
Masalah yang objeknya bersifat matematis (pembuktian teorema, latihan komputasi, sifat dan atribut konsep matematika yang dipelajari, bangun geometri) sering disebutSoal matematika . Masalah matematika yang paling sedikit terdapat satu benda yang merupakan subjek nyata biasa disebutteks. Dalam pengajaran matematika dasar, peran soal cerita sangat besar.
Dengan memecahkan masalah cerita, siswa memperoleh hal-hal baru pengetahuan matematika, mempersiapkan kegiatan praktek. Tugas-tugas tersebut membantu mengembangkan pemikiran logis mereka.
Ada berbagai metode untuk menyelesaikan soal cerita: aritmatika, aljabar, geometri, logika, praktis, dll. Setiap metode didasarkan pada jenis yang berbeda. model matematika. Misalnya kapanmetode aljabar untuk menyelesaikan masalah tersebut dibuat persamaan atau pertidaksamaan, dengangeometris - bagan atau grafik dibuat. Solusi dari masalah tersebutlogis metode dimulai dengan menyusun suatu algoritma.
Perlu diingat bahwa hampir setiap masalah dalam kerangka metode yang dipilih dapat diselesaikan dengan menggunakan berbagai model. Jadi, dengan menggunakan metode aljabar, jawaban atas persyaratan masalah yang sama dapat diperoleh dengan menyusun dan menyelesaikan persamaan yang sama sekali berbeda, dengan menggunakan metode logika - dengan membangun algoritma yang berbeda. Jelas bahwa kita juga sedang menangani kasus ini berbagai metode solusi untuk masalah tertentu, yang saya sebutsolusi.
Memecahkan masalah metode aritmatika - Berarti menemukan jawaban atas kebutuhan suatu masalah dengan melakukan operasi aritmatika pada bilangan. Masalah yang sama dalam banyak kasus dapat diselesaikan dengan menggunakan metode aritmatika yang berbeda. Masalahnya dianggap selesai cara yang berbeda, jika solusinya berbeda dalam hubungan antara data dan solusi yang diperlukan yang menjadi dasar keputusan, atau dalam urutan hubungan tersebut.
Dalam pengajaran matematika sekolah tradisional Rusia, masalah kata selalu menjadi perhatian tempat spesial. Di satu sisi, praktik penggunaan soal cerita dalam proses pembelajaran di semua negara beradab berasal dari tablet tanah liat Babel Kuno dan sumber tertulis kuno lainnya yang mempunyai akar kekerabatan. Di sisi lain, perhatian guru terhadap tugas teks, yang merupakan ciri khas Rusia, hampir secara eksklusif merupakan fenomena Rusia.
Salah satu alasan banyak perhatian tantangannya adalah secara historis untuk waktu yang lama Tujuan mengajar aritmatika kepada anak-anak adalah untuk menguasai serangkaian keterampilan komputasi tertentu yang berkaitan dengan perhitungan praktis. Pada saat yang sama, garis utama aritmatika - garis bilangan - belum dikembangkan, dan perhitungan diajarkan melalui masalah.
Alasan kedua peningkatan perhatian penggunaan soal kata di Rusia adalah bahwa di Rusia mereka tidak hanya mengadopsi dan mengembangkan metode kuno dalam mentransmisikan pengetahuan matematika dan teknik penalaran menggunakan soal kata, tetapi juga belajar membentuk, dengan bantuan soal, keterampilan pendidikan umum yang penting terkait dengan analisis teks dan mengidentifikasi kondisi masalah dan pertanyaan, menyusun rencana penyelesaian, mengajukan pertanyaan dan mencari kondisi yang dapat diperoleh jawaban dengan memeriksa hasil yang diperoleh.
Pada pertengahan tahun 50anXXV. soal kata tersistematisasi dengan baik,tipologi masalah yang dikembangkan yang dikembangkan, termasuk masalah bagian-bagian, pencarian dua bilangan berdasarkan jumlah dan selisihnya, rasio dan jumlah (selisih), pecahan, persentase, kerja gabungan, solusi dan paduan, langsung dan invers proporsionalitas dan sebagainya.
Pada saat ini, metodologi penggunaannya dalam proses pendidikan telah berkembang dengan baik, tetapi pada masa reformasi pendidikan matematika Pada akhir tahun 60an, sikap terhadap mereka berubah. Meninjau peran dan tempat aritmatika dalam sistem mata pelajaran sekolah, mencoba meningkatkan penyajian ilmiah matematika melalui pengenalan persamaan dan fungsi lebih dini, para ahli matematika dan ahli metodologi matematika menilai bahwa terlalu banyak waktu yang dihabiskan untuk mengajarkan metode aritmatika untuk memecahkan masalah.
Tetapi soal cerita dan metode aritmatika untuk menyelesaikannyalah yang mempersiapkan anak untuk menguasai aljabar. Dan ketika ini terjadi, aljabar akan mengajari Anda cara menyelesaikan beberapa (tetapi tidak semua!) permasalahan yang lebih sederhana daripada aritmatika. Metode penyelesaian aritmatika lainnya akan tetap berada dalam bagasi aktif siswa. Misalnya seorang siswa diajari membagi suatu bilangan dengan perbandingan tertentu, maka di SMA sekalipun ia tidak akan membagi bilangan 15 dengan perbandingan 2:3 dengan menggunakan persamaan, ia akan melakukan operasi aritmatika:
1) ,
2) ,
3) 15 – 6 = 9.
Saya ingin mencatat bahwa saya adalah perwakilan dari generasi anak sekolah yang menjadi peserta reformasi di atas. Saya bersekolah pada tahun 1968, dan buku teks kelas satu saya berjudul “Aritmatika.” Ternyata kami yang terakhir belajar menggunakannya. Di kelas dua, sungguh mengejutkan dan tidak biasa bagi saya bahwa mata pelajaran, dan karena itu buku teks, dari teman-teman kelas satu saya disebut “matematika.” Di kelas tiga kami sudah mempelajari “matematika”. Di sekolah menengah pertama, dan juga di sekolah menengah atas, cara utama untuk menyelesaikan soal cerita adalah dengan aljabar. Pengaruh reformasi akhir tahun 60an saya rasakan hingga saat ini, karena... bagi orang tua yang ikut serta proses pendidikan Anak-anak, karena mereka telah mengembangkan stereotip tertentu, berpendapat bahwa masalah perlu diselesaikan dengan bantuan persamaan. Ayah dan ibu, karena tidak mengetahui teknik lain, terus-menerus mencoba menjelaskan di rumah dengan cara mereka sendiri, yang tidak selalu bermanfaat, dan terkadang malah mempersulit pekerjaan guru.
Dalam hal apa pun kita tidak boleh meremehkan pentingnya metode aljabar dalam memecahkan masalah, yang bersifat universal dan terkadang satu-satunya ketika memecahkan masalah yang lebih kompleks. Selain itu, seringkali persamaanlah yang memberikan petunjuk untuk menemukan solusi atas tindakan yang dilakukan. Tetapi praktik telah menunjukkan bahwa penggunaan awal metode pemecahan masalah yang menjanjikan ini, dari sudut pandang penggunaan lebih lanjut dalam pengajaran, tanpa persiapan yang memadai tidaklah efektif.
Di kelas 5-6, perlu memberikan perhatian maksimal pada metode aritmatika dalam menyelesaikan soal cerita dan tidak terburu-buru melanjutkan penyelesaian soal menggunakan persamaan. Setelah seorang siswa mempelajari metode aljabar, hampir tidak mungkin untuk mengembalikannya ke “solusi dengan tindakan.” Setelah menyusun persamaan, yang utama adalah menyelesaikannya dengan benar dan menghindari kesalahan komputasi. Dan Anda tidak perlu memikirkan sama sekali tentang operasi aritmatika apa yang dilakukan selama penyelesaian, apa hasil dari setiap tindakan. Dan jika kita mengikuti penyelesaian persamaan langkah demi langkah, kita akan melihat tindakan yang sama seperti pada metode aritmatika.
Seringkali Anda melihat bahwa seorang anak belum siap untuk memecahkan suatu masalah. secara aljabar, ketika variabel abstrak diperkenalkan dan frasa “biarkan x…” muncul. Dari mana datangnya "X" ini, kata-kata apa yang harus ditulis di sebelahnya - terus di panggung ini siswa tersebut tidak mengerti. Dan hal ini terjadi karena anak pada usia ini sudah mengembangkan pemikiran visual-figuratif. Dan persamaan adalah model abstrak. Dan anak-anak kelas lima dan awal kelas enam tidak memiliki alat untuk menyelesaikan persamaan. Secara historis, orang-orang mulai menggunakan persamaan dengan menggeneralisasi solusi terhadap masalah yang mana mereka harus mengoperasikannya dengan konsep seperti “bagian”, “tumpukan”, dll. Anak itu harus menempuh jalan yang sama!
Agar pekerjaan berhasil, penting bagi guru untuk memiliki pemahaman yang mendalam tentang masalah teks, strukturnya, dan mengetahui bagaimana memecahkan masalah tersebut dengan berbagai cara.
Bertahun-tahun yang lalu, saya mendapatkan manual yang telah lama diterbitkan untuk guru kelas 5-8 (in sekolah modern– kelas 5-9) “Koleksi Olimpiade Matematika Moskow (dengan solusi)” 1967, ditulis oleh Galina Ivanovna Zubelevich. Sebagian besar masalah di dalamnya diselesaikan secara aritmatika, yang sangat menarik minat saya. Belakangan, perhatian saya tertuju pada dua buku teks “Aritmatika, 6”, dan “Aritmatika, 6” oleh A.V. Shevkin, dan manual untuk guru “Mengajar memecahkan masalah cerita di kelas 5-6” oleh penulis yang sama. Sumber-sumber ini menjadi awal bagi saya untuk menggarap topik ini. Ide-ide yang diajukan nampaknya sangat relevan dan sesuai dengan pemahaman saya terhadap topik yang dikemukakan, yaitu:
1) penolakan untuk menggunakan persamaan untuk tahap awal pelatihan dan kembali menggunakan metode pemecahan masalah aritmatika secara lebih luas;
2 lagi penggunaan luas masalah “historis” dan cara-cara kuno untuk menyelesaikannya;
3) penolakan untuk secara kacau menawarkan tugas kepada siswa topik yang berbeda dan pertimbangan rangkaian masalah dari yang paling sederhana, dapat diakses oleh semua siswa, hingga yang kompleks dan sangat kompleks.
Jenis soal cerita menurut cara penyelesaiannya.
Soal cerita dapat dibagi menjadi aritmatika dan aljabar. Pembagian ini disebabkan oleh pilihan metode penyelesaian yang lebih khas (rasional) untuk suatu masalah tertentu.
Masalah aritmatika mengandung peluang besar untuk mengajar anak sekolah berpikir mandiri dengan menganalisis situasi kehidupan yang tidak jelas. Aritmatika adalah jalan terpendek untuk memahami alam, karena ia berhubungan dengan fakta-fakta eksperimental yang paling sederhana dan mendasar (misalnya, menghitung ulang
batu “dalam baris” dan “dalam kolom” selalu mengarah ke satu
hasil):
5+5+5 = 3+3+3+3+3.
Mari kita lihat beberapa jenis tugas.
“Dua jenis barang dibeli dengan harga yang sama, jenis pertama harganya setengahnya dari jenis kedua. Mereka mencampurkannya dan menjual separuh campuran tersebut dengan harga mutu tertinggi, sisanya dengan harga mutu terendah. Berapa persentase untung atau rugi yang diperoleh dari penjualan tersebut?”
Pada dasarnya, ini adalah masalah umum yang dapat diselesaikan dengan memperkenalkan satuan ukuran yang berubah-ubah. Namun, bahkan dalam kondisi ini, pengoperasian kuantitas yang tidak diketahui yang diperlukan untuk penyelesaian dinyatakan dengan jelas di sini.aljabar karakter. Bersamaan dengan itu, sering kali terdapat permasalahan yang, sebaliknya, penyelesaian aritmatikanya jauh lebih sederhana daripada penyelesaian aljabar. Hal ini mungkin bergantung pada dua alasan. Dalam beberapa kasus, transisi dari hal yang diketahui ke hal yang tidak diketahui sangatlah sederhana sehingga penyusunan persamaan (transisi dari hal yang tidak diketahui ke hal yang diketahui) akan menimbulkan kerumitan yang tidak perlu, sehingga memperlambat proses penyelesaian. Misalnya tugas berikut:
“Suatu hari Iblis menawarkan untuk menghasilkan uang bagi si Sepatunya. “Segera setelah Anda menyeberangi jembatan ini,” katanya, “uangnya akan berlipat ganda.” Anda dapat melewatinya sebanyak yang Anda mau, tetapi setelah setiap transisi, beri saya 24 kopeck untuk itu. Pemalas setuju dan... setelah transisi ketiga dia tidak punya uang sepeser pun. Berapa banyak uang yang dia punya pada awalnya?
Yang kedua merupakan persoalan klasik, menarik karena rumusan kondisinya yang paradoks. Tahapan solusi “sintetis” terungkap di dalamnya, seperti pada masalah sebelumnya, dalam urutan yang berlawanan dengan jalannya peristiwa yang dijelaskan.
“Penjual telur menjual kepada pembeli pertama setengah dari jumlah telur di keranjangnya dan setengah telur lainnya; pembeli kedua menerima setengah sisanya dan setengah telur lagi, pembeli ketiga menerima setengah sisanya dan setengah telur lagi, setelah itu dia tidak punya apa-apa lagi. Berapa banyak telur yang ada di keranjang pada awalnya?
Dalam kasus lain, membangun persamaan memerlukan penalaran yang cukup untuk mencapai tujuan. Ini adalah masalah aritmatika dalam arti sebenarnya: solusi aljabarnya tidak lebih mudah, tetapi lebih sulit dan biasanya melibatkan pengenalan tambahan yang tidak diketahui, yang kemudian harus dihilangkan, dll.
Jadi kalau misalnya dalam masalah“Tanya berkata: Saya mempunyai 3 saudara laki-laki lebih banyak daripada saudara perempuan. Berapa jumlah saudara laki-laki daripada saudara perempuan di keluarga Tanya?” jumlah saudara laki-laki dinotasikan dengan x, jumlah saudara perempuan dikalikan dengan y, maka persamaannya menjadi x − (y − 1) = 3, tetapi jika kita sudah menebak maka kita perlu menuliskan y−1 (saudara perempuan tersebut tidak menghitung sendiri ), maka sudah jelas bahwa Tidak ada 3, tetapi hanya 2 saudara laki-laki lebih banyak daripada saudara perempuan.
Mari kita berikan beberapa contoh lagi.
“Saya sedang mendayung ke hulu dan, saat melewati bawah jembatan, saya kehilangan topiku. Setelah 10 menit saya memperhatikan hal ini dan, berbalik dan mendayung dengan kekuatan yang sama, mengejar topi 1 km di bawah jembatan. Berapa kecepatan sungai tersebut?
Solusi: 1 (60:(10+10))=3(km/jam)
“Saat saya sampai di stasiun, biasanya mereka mengirimkan mobil untuk menjemput saya. Tiba suatu hari satu jam lebih awal, saya berjalan kaki dan, setelah bertemu dengan mobil yang dikirimkan untuk saya, saya tiba di tempat itu 10 menit lebih awal dari biasanya. Berapa kali lebih cepat sebuah mobil melaju daripada saya berjalan?”
Mari kita lihat solusi untuk masalah ini selangkah demi selangkah:
1) 10:2=5 (menit) – waktu yang tersisa agar mobil tiba di stasiun tepat waktu dari titik pertemuan.
2) 60-5=55 (menit) - waktu yang dibutuhkan pejalan kaki untuk menempuh jarak yang sama.
3) 55:5=11 (kali) mobil melaju lebih cepat.
“Untuk berlayar menempuh jarak tertentu ke hilir dengan perahu membutuhkan waktu tiga kali lebih sedikit dibandingkan melawan arus. Berapa kali kecepatan perahu tersebut lebih cepat arus?
Dalam soal ini Anda perlu menebak bagaimana berpindah dari waktu ke jarak.
Ini adalah soal-soal aritmatika yang sangat bagus: memerlukan pemahaman yang jelas tentang soal-soal yang bersesuaian situasi tertentu, dan bukan tindakan menurut pola formal yang dihafal.
Berikut adalah contoh lain dari masalah aritmatika, yang penyelesaiannya Anda tidak perlu melakukan “tindakan” apa pun:
« Beberapa orang nakal menuangkan salep dari botol tar ke dalam toples madu. Dia mengaduknya hingga rata, lalu menuangkan sesendok campuran yang sama dari toples ke dalam botol berisi tar. Lalu dia melakukannya lagi. Apa yang Anda dapatkan lebih banyak: madu dalam botol berisi tar atau tar dalam toples berisi madu? »
Untuk mengatasi masalah tersebut, cukup dengan bertanya pada diri sendiri: kemana perginya tar yang digantikan madu dari botol?
Ini bukan aljabar, tidak membawa suku-suku serupa, dan bukan “memindahkan dari satu bagian ke bagian lain yang tandanya berlawanan”. Logika inilah yang terkait dengan operasi imajiner yang mempunyai arti sangat nyata dalam bidang besaran yang dipelajari, yang pengembangan dan peningkatannya termasuk dalam tugas langsung aritmatika.
Perbedaan antara soal-soal yang bersifat aritmatika dan aljabar agak kabur, karena keduanya bergantung pada karakteristik kuantitatif, yang penilaiannya bisa berbeda, seperti halnya tidak mungkin menarik garis antara “beberapa butir” dan “sekumpulan butir. ”
Mari kita lihat lebih dekat jenis-jenis soal cerita dan cara penyelesaiannya. Mari kita pertimbangkan masalah-masalah yang cenderung diselesaikan oleh banyak orang dengan menggunakan persamaan, tetapi pada saat yang sama mereka memiliki solusi yang sederhana dan terkadang sangat indah untuk tindakan mereka.
1. Menemukan masalah berdasarkan perbandingan kelipatannya dan jumlah atau selisihnya (menjadi “bagian”).
Mengenal masalah-masalah seperti itu harus dimulai dengan masalah-masalah di mana kita berbicara tentang bagian-bagian dalam bentuknya yang murni. Saat menyelesaikannya, sebuah dasar dibuat untuk memecahkan masalah menemukan dua bilangan dengan rasio dan jumlah (selisih). Siswa harus belajar menerima besaran yang sesuai sebagai 1 bagian, menentukan berapa banyak bagian tersebut dalam besaran lain, dan jumlah (selisihnya).
a) Untuk selai, ambil 2 bagian strawberry dan 3 bagian gula pasir. Berapa banyak gula yang dibutuhkan untuk 3 kg stroberi?
b) Kami membeli 2700 g buah-buahan kering. Apel terdiri dari 4 bagian, pir – 3 bagian, plum – 2 bagian. Berapa gram apel, pir, dan plum secara terpisah?
c) Gadis itu membaca halaman 3 kali lebih sedikit dari yang tersisa. Berapa halaman dalam buku tersebut jika dia membaca kurang dari 42 halaman?
Dianjurkan untuk mulai memecahkan masalah ini dengan menggambar:
1) – akun untuk 42 halaman.
2) – Bagian 1, atau berapa halaman yang dibaca gadis itu.
3) – di dalam buku.
Di masa depan, siswa akan mampu memecahkan masalah yang lebih kompleks.
c) Soal S.A. Rachinsky. Saya menghabiskan satu tahun di Moskow, di desa dan di jalan raya - dan, terlebih lagi, di Moskow 8 kali lebih banyak waktu daripada di jalan raya, dan di desa 8 kali lebih banyak waktu daripada di Moskow. Berapa hari yang saya habiskan di jalan raya, di Moskow dan di pedesaan?
d) Saat memanen di lahan pertanian negara, siswa mengumpulkan tomat 2 kali lebih banyak daripada mentimun, dan 3 kali lebih sedikit dari kentang. Berapa banyak sayuran yang dikumpulkan siswa secara individu jika mereka mengumpulkan kentang 200 kg lebih banyak daripada tomat?
e) Kakek berkata kepada cucunya: “Ini 130 kacang untukmu. Bagilah menjadi 2 bagian sehingga bagian yang lebih kecil, ditambah 4 kali lipat, sama dengan bagian besar, dikurangi 3 kali lipat.”
f) Jumlah dua bilangan adalah 37,75. Jika suku pertama ditambah 5 kali dan suku kedua ditambah 3 kali, maka jumlah barunya adalah 154,25. Temukan angka-angka ini.
Masalah pembagian bilangan termasuk dalam jenis ini dalam hal ini.
2. Menemukan dua bilangan berdasarkan jumlah dan selisihnya.
a) Buku catatan dalam dua paket berjumlah 50 buah, dan paket pertama terdapat 8 buku catatan lagi. Berapa banyak buku catatan dalam setiap paket?
Saya selalu memulai memecahkan masalah jenis ini dengan menggambar. Lalu saya mengusulkan untuk menyamakan nilai. Orang-orang menawarkan dua cara: menghapusnya dari paket pertama atau menambahkannya ke paket kedua. Beginilah cara dua cara utama ditentukan: melalui ganda jumlah yang lebih kecil atau dua kali lipat jumlahnya.
Ketika metode-metode ini telah berhasil, adalah tepat untuk menunjukkan cara “lama” dalam memecahkan masalah-masalah jenis ini. Setelah pertanyaan “Bagaimana Anda bisa menyamakan tumpukan buku catatan, dan pada saat yang sama total buku catatannya tidak berubah? Siswa menebak cara melakukan ini dan menyimpulkan: untuk menemukan angka yang lebih kecil, Anda perlu mengurangi setengah selisih dari setengah jumlah, dan untuk menemukan angka yang lebih besar, Anda perlu menambahkan setengah selisih ke setengah jumlah. Siswa yang kuat dapat membenarkan metode ini dengan mengubah ekspresi literal:
Dengan menggunakan metode ini, masalah berikut diselesaikan dalam satu tindakan:
b) Rata-rata aritmatika dua bilangan adalah 3 dan selisih setengahnya adalah 1. Berapa besar bilangan yang lebih kecil?
– jumlah yang lebih kecil.
Teknik pemerataan juga dapat diterapkan pada masalah:
c) 8 ekor anak sapi dan 5 ekor domba memakan pakan sebanyak 835 kg. Selama ini, setiap pedet diberi pakan 28 kg lebih banyak dibandingkan domba. Berapa banyak pakan yang dimakan setiap anak sapi dan domba?
3. Masalah “menebak”.
Tugas jenis ini dikaitkan dengan tindakan yang dimaksudkan dengan objek dan kuantitas. Dalam metodologi tradisional, masalah jenis ini juga memiliki nama lain sesuai dengan masalah yang paling terkenal: “kain biru dan merah”, “campuran jenis”. Menurut saya, yang paling terkenal di antara soal-soal "tebakan" adalah soal Tiongkok kuno.
a) Burung pegar dan kelinci sedang duduk di dalam sangkar. Mereka diketahui memiliki 35 kepala dan 94 kaki. Cari tahu jumlah burung pegar dan jumlah kelinci.
Bayangkan hanya ada burung pegar di dalam sangkar. Berapa banyak kaki yang mereka miliki?
Mengapa jumlah kakinya lebih sedikit? (Tidak semua burung pegar; ada juga yang kelinci). Berapa banyak lagi kaki?
Jika seekor burung pegar digantikan oleh seekor kelinci, berapakah jumlah kakinya yang bertambah? (Pada 2)
Anda dapat memilih cara lain, dengan membayangkan semuanya adalah kelinci.
Alasan lain yang sangat menarik diberikan oleh para ahli matematika kuno dan sangat menarik bagi anak-anak.
- Bayangkan kita meletakkan wortel di atas kandang tempat burung pegar dan kelinci berada. Semua kelinci akan berdiri dengan kaki belakangnya untuk meraih wortel. Berapa banyak kaki yang akan menginjak tanah saat ini?
2·35= 70(n.)
- Tapi di rumusan masalah ada 94 kaki, sisanya dimana?
- Sisanya tidak dihitung - ini adalah cakar depan kelinci.
- Berapa jumlahnya?
94 – 70 = 24(n.)
- Berapa banyak kelinci?
24:2
= 12
Bagaimana dengan burung pegar?
35
– 12 = 23
Setelah menguasai algoritma penalaran, anak dapat dengan mudah menyelesaikan masalah berikut:
B) Kami mencampurkan 135 pon dua jenis teh dengan total biaya 540 rubel. Berapa pon kedua nilai tersebut diambil secara terpisah, jika satu pon kelas satu berharga 5 rubel, dan satu pon kelas dua berharga 3 rubel?
c) Pada 94 rubel. membeli 35 arshin kain biru dan merah. Untuk satu arshin kain biru mereka membayar 2 rubel, dan untuk satu arshin kain merah mereka membayar 4 rubel. Berapa arshin kedua kain yang dibeli terpisah?
d) Pemiliknya membeli 112 ekor domba jantan, tua dan muda, dan membayar 49 rubel. 20 altyn. Untuk seekor domba jantan tua dia membayar 15 altyn dan 4 setengah rubel, dan untuk seekor domba jantan muda 10 altyn. Berapa banyak dan jenis domba jantan apa yang dibeli? Altyn - 3 kopeck, polushka - seperempat kopeck.
Saya menemukan masalah dari artikel oleh I.V. Arnold “Prinsip seleksi dan komposisi masalah aritmatika” (1946) tentang mobil:
D)“Saat melewati stasiun, saya melihat kereta barang yang terdiri dari 31 gerbong berdiri di stasiun dan mendengar percakapan antara gemuk dan coupler. Yang pertama mengatakan: “Total 105 sumbu harus diperiksa.” Yang kedua memperhatikan bahwa ada banyak gerbong berporos empat di dalam kereta—tiga kali lebih banyak dari gerbong berporos dua, sisanya berporos tiga. Pada perjalanan berikutnya, saya ingin, karena tidak ada pekerjaan lain, menghitung berapa banyak gerbong yang ada di kereta ini. Bagaimana cara melakukannya?"
Penyelesaian aritmatika lebih sederhana daripada penyelesaian aljabar dan memerlukan gambaran yang jelas bahwa mobil berporos dua dan berporos empat dimasukkan (secara kuantitatif) ke dalam kelompok tertentu (masing-masing 4 mobil). “Penggantian” imajiner semua mobil dengan mobil berporos tiga adalah teknik yang umum dan sudah diketahui siswa.
Alat bantu bisagrafis linier tampilan kondisi tugas.
4. Tugas gerak.
Tugas-tugas ini biasanya sulit. Siswa harus memiliki pemahaman yang baik tentang konsep-konsep seperti kecepatan pendekatan dan kecepatan pelepasan. Begitu siswa belajar memecahkan masalah seperti ini menggunakan persamaan, akan lebih mudah bagi mereka untuk mendapatkan jawabannya. Namun lebih mudah bukan berarti lebih sehat. Bertahun-tahun yang lalu, salah satu siswa saya, yang cukup mahir dalam matematika, di kelas dengan antusias mencari cara aritmatika untuk menyelesaikan suatu masalah, sementara seluruh kelas menyelesaikannya menggunakan persamaan. Saya ingat kata-katanya dengan baik, sangat jelas bagi saya: “Saya tidak tertarik pada persamaan.”
Saya akan memberikan syarat dan solusi untuk beberapa permasalahan.
a) Masalah lama. Dua kereta meninggalkan Moskow menuju Tver pada waktu yang bersamaan. Yang pertama lewat pada jam 39 ayat dan tiba di Tver dua jam lebih awal dari yang kedua, yang lewat pada jam 26 ayat. Berapa mil dari Moskow ke Tver?
Larutan:
1) Sejauh itulah tertinggal kereta kedua.
2) – tingkat penghapusan.
3) Kereta pertama sedang dalam perjalanan.
4) jarak dari Moskow ke Tver.
b) Dua pesawat lepas landas secara bersamaan dari Moskow ke arah yang sama: satu dengan kecepatan 350 km/jam, yang lain dengan kecepatan 280 km/jam. Dua jam kemudian, yang pertama mengurangi kecepatan menjadi 230 km/jam. Pada jarak berapa dari Moskow pesawat kedua akan menyusul pesawat pertama?
Larutan:
1) kecepatan penghapusan.
2) – pesawat kedua tertinggal jauh.
3) kecepatan pendekatan.
4) Ini adalah waktu yang dibutuhkan pesawat kedua untuk mengejar pesawat pertama.
5) (km) - pada jarak ini ke Moskow, pesawat kedua akan menyusul yang pertama.
c) Dua mobil meninggalkan dua kota yang jaraknya 560 km, menuju satu sama lain dan bertemu setelah 4 jam. Jika kecepatan mobil pertama dikurangi 15% dan kecepatan mobil kedua ditambah 20%, maka pertemuan tersebut juga akan terjadi dalam waktu 4 jam.
Larutan:
Misalkan kecepatan mobil pertama adalah 100% atau 1.
1) kecepatan pendekatan.
2) – kecepatan benda kedua sama dengan kecepatan benda pertama.
3) memperhitungkan kecepatan pendekatan.
4) kecepatan mobil pertama.
5) kecepatan mobil kedua.
d) Kereta api melewati tiang telegraf dalam waktu seperempat menit, dan jembatan sepanjang 0,7 km dalam waktu 50 detik. Menghitung kecepatan rata-rata pergerakan kereta api dan panjangnya.
Solusi: Saat menyelesaikan soal ini, siswa harus memahami bahwa menyeberangi jembatan berarti berjalan di suatu jalan sama dengan panjangnya jembatan dan panjang kereta, melewati tiang telegraf - berjalan di jalur yang sama dengan panjang kereta.
1) kereta api menempuh jarak yang sama dengan panjang jembatan.
2) – kecepatan kereta.
3) panjang kereta.
e) Sebuah kapal uap membutuhkan waktu 40 menit lebih lama untuk menempuh jarak antara dua dermaga dibandingkan dengan perahu. Kecepatan sebuah perahu adalah 40 km/jam, dan kecepatan kapal uap adalah 30 km/jam. Temukan jarak antara dermaga.
Solusi: 40 menit jam
1) kelambatan kapal uap.
2) – tingkat penghapusan
2) – ada perahu di jalan.
3) jarak antar dermaga.
Ini hanyalah beberapa tugas pergerakan dari sekian banyak variasi. Dengan menggunakan contoh mereka, saya ingin menunjukkan bagaimana Anda dapat melakukannya tanpa persamaan sampai siswa mengembangkan kemampuan untuk menyelesaikannya. Tentu saja, siswa yang kuat dapat melakukan tugas seperti itu, tapi ini peluang besar untuk mereka perkembangan matematika.
5. Masalah pada “kolam”.
Ini adalah jenis tugas lain yang menimbulkan minat dan kesulitan bagi anak-anak. Bisa juga disebut tugas kerja bersama, yang juga mencakup beberapa tugas gerak.
Nama jenis ini berasal dari masalah kuno yang terkenal:
A) Di kota Athena ada waduk tempat 3 pipa dipasang. Salah satu pipa dapat mengisi kolam dalam waktu 1 jam, pipa lainnya yang lebih tipis dapat mengisi kolam dalam waktu 2 jam, dan pipa ketiga yang lebih tipis lagi dapat mengisi kolam dalam waktu 3 jam. Jadi, cari tahu dalam hitungan jam berapakah ketiga pipa tersebut akan memenuhi kolam tersebut?
Larutan:
1) (v./h) – kecepatan pengisian melalui pipa pipa ΙΙ.
2) (v./h) – kecepatan pengisian melalui pipa ΙΙΙ.
3) (v./h) – kecepatan total.
4) (h) – 3 pipa akan mengisi reservoir.
Anda dapat menawarkan solusi menarik lainnya kepada anak-anak:
Dalam waktu 6 jam, 6 reservoir terisi melalui pipa Ι, 3 reservoir melalui pipa ΙΙ, dan 2 reservoir melalui pipa ΙΙΙ. Semua pipa akan mengisi 11 reservoir dalam waktu 6 jam, masing-masing untuk mengisi satu reservoir diperlukan H.
Masalah berikut memiliki solusi serupa:
b) Singa memakan domba dalam satu jam, serigala memakan domba dalam dua jam, dan anjing memakan domba dalam tiga jam. Tidak peduli seberapa cepat mereka, ketiganya - singa, serigala dan anjing - memakan domba itu, hitunglah. (Naskah matematika abad ke-17).
c) Seorang laki-laki akan meminum satu kad dalam 14 hari, dan bersama istrinya dia akan meminum kad yang sama dalam 10 hari, dan diketahui berapa hari istrinya akan meminum kad yang sama. (dari “Aritmatika” oleh Magnitsky)
Larutan:
1) (h) – minum sehari bersama.
) (h) – suami minum sehari.
3) (h) – istri minum sehari.
4) (d.) – istri akan membutuhkannya untuk meminum sepanci minuman.
d) Masalah lama. Bebek liar dari laut selatan sampai Laut utara terbang 7 hari. Seekor angsa liar terbang dari Laut Utara ke Laut Selatan dalam waktu 9 hari. Sekarang bebek liar dan angsa liar terbang bersamaan. Berapa hari lagi mereka akan bertemu? (solusi serupa)
e) Dua orang pejalan kaki meninggalkan titik A dan B secara bersamaan menuju satu sama lain. Mereka bertemu 40 menit setelah berangkat, dan 32 menit setelah pertemuan, orang pertama datang ke B. Berapa jam setelah meninggalkan B orang kedua sampai ke A? (h) - akan bekerja sama.
7) – akan diminta untuk membongkar tongkang.
6. Masalah Newton.
Anak-anak sangat tertarik dengan masalah sapi yang memakan rumput.Soal ini pertama kali dipublikasikan di General ArithmeticI. Newton, tetapi sejak itu tidak kehilangan relevansinya dan tetap menjadi satusalah satu soal aritmatika yang indah, yang meskipun dapat diselesaikan dengan menyusun persamaan, jauh lebih indah - melakukannya dengan menggunakan penalaran yang konsisten. Saya harus menyaksikan bagaimana siswa sekolah menengah kebingungan, memperkenalkan beberapa variabel, dan pada saat yang sama, siswa kelas lima dengan mudah memahami solusi jika mereka diberi ide untuk solusinya.
7) (hal.) - akan dimakan per hari, dan ini adalah jumlah sapi.
Jawaban: 20 ekor sapi.
Karya ini memberikan contoh dan mengkaji hanya sedikit dari sekian banyak soal cerita.
Sebagai kesimpulan, saya ingin mencatat bahwa kita perlu menyambut berbagai cara untuk memecahkan masalah. Tepatpenyelesaian masalah cara yang berbeda– kegiatan yang sangat menarik bagi berbagai siswa kelompok umur. Minat, rasa ingin tahu, kreativitas, keinginan untuk sukses - inilah aspek aktivitas yang menarik.Jika seorang siswa mengatasi masalah cerita dalam pelajaran matematika, yaitu, ia dapat menelusuri dan menjelaskan rantai logis penyelesaiannya, mengkarakterisasi semua besaran, maka ia juga dapat berhasil memecahkan masalah fisika dan kimia, ia dapat membandingkan dan menganalisis, mengubah informasi. dalam semua mata pelajaran akademik kursus sekolah.
Literatur.
1. Arnold I.V. Prinsip pemilihan dan persiapan masalah aritmatika // Izvestia dari Akademi Ilmu Pedagogis RSFSR. 1946. - Edisi. 6 - hal.8-28.
2. Zubelevich G.I. Kumpulan soal Olimpiade Matematika Moskow. – M.: Pendidikan, 1971.
3. Shevkin A.V. Mengajar memecahkan masalah kata di kelas 5-6. – M.: Gals plus, 1998.
4 . Shevkin A.V. Materi kursus “Teks soal di kursus sekolah Matematika": Kuliah 1-4. – M.: Universitas Pedagogis “Pertama September”, 2006. 88 hal.
Pembelajaran jarak jauh untuk guru menurut Standar Pendidikan Negara Federal dengan harga murah
Webinar, kursus pelatihan lanjutan, pelatihan ulang profesional dan pelatihan kejuruan. Murah. Lebih dari 7900 Program edukasi. Ijazah negara untuk kursus, pelatihan ulang dan pelatihan kejuruan. Sertifikat untuk berpartisipasi dalam webinar. Webinar gratis. Lisensi.
Pembelajaran memecahkan masalah cerita memegang peranan penting dalam pengembangan pengetahuan matematika. Soal cerita memberikan banyak ruang untuk mengembangkan pemikiran siswa. Belajar memecahkan masalah tidak hanya mengajarkan teknik memperoleh jawaban yang benar dalam beberapa situasi tertentu, tetapi juga mempelajari pendekatan kreatif untuk menemukan solusi, memperoleh pengalaman dalam aktivitas mental dan menunjukkan kepada siswa kemampuan matematika dalam memecahkan berbagai masalah. masalah. Namun, ketika menyelesaikan soal cerita di kelas 5-6, persamaan paling sering digunakan. Namun pemikiran siswa kelas V belum siap dengan prosedur formal dalam menyelesaikan persamaan. Metode penyelesaian masalah aritmatika memiliki sejumlah keunggulan dibandingkan metode aljabar karena hasil setiap langkah tindakan lebih jelas dan spesifik, serta tidak melampaui pengalaman siswa kelas lima. Siswa memecahkan masalah menggunakan tindakan lebih baik dan lebih cepat dibandingkan menggunakan persamaan. Pemikiran anak-anak secara khusus, dan hal ini perlu dikembangkan mata pelajaran tertentu dan kuantitas, kemudian secara bertahap beralih ke pengoperasian dengan gambar abstrak.
Mengerjakan tugas melibatkan membaca teks kondisi dengan cermat, memahami arti setiap kata. Saya akan memberikan contoh soal yang dapat diselesaikan dengan mudah dan sederhana dengan menggunakan aritmatika.
Tugas 1. Untuk membuat selai, ambil tiga bagian gula untuk dua bagian raspberry. Berapa kilogram gula yang perlu Anda konsumsi untuk 2 kg 600 g raspberry?
Saat memecahkan masalah menjadi “bagian-bagian”, Anda harus belajar memvisualisasikan kondisi masalah, yaitu. Lebih baik mengandalkan gambarnya.
- 2600:2=1300 (g) - menyumbang satu bagian kemacetan;
- 1300*3= 3900 (g) - Anda perlu mengambil gula.
Tugas 2. Ada 3 kali di rak pertama lebih banyak buku daripada yang kedua. Ada 120 buku di dua rak secara bersamaan. Berapa banyak buku yang ada di setiap rak?
1) 1+3=4 (bagian) - memperhitungkan semua buku;
2) 120:4=30 (buku) - menyumbang satu bagian (buku di rak kedua);
3) 30*3=90 (buku) - berdiri di rak pertama.
Tugas 3. Burung pegar dan kelinci sedang duduk di dalam sangkar. Totalnya ada 27 kepala dan 74 kaki. Cari tahu jumlah burung pegar dan jumlah kelinci di dalam kandang.
Bayangkan kita meletakkan wortel pada tutup kandang tempat burung pegar dan kelinci duduk. Kemudian semua kelinci akan berdiri dengan kaki belakangnya untuk mencapainya. Kemudian:
- 27*2=54 (kaki) - akan berdiri di lantai;
- 74-54=20 (kaki) - akan berada di atas;
- 20:2=10 (kelinci);
- 27-10=17 (burung pegar).
Tugas 4. Ada 30 siswa di kelas kami. 23 orang bertamasya ke museum, 21 orang ke bioskop, dan 5 orang tidak bertamasya atau ke bioskop. Berapa banyak orang yang pergi bertamasya dan ke bioskop?
“Lingkaran Euler” dapat digunakan untuk menganalisis kondisi dan memilih rencana solusi.
- 30-5=25 (orang) – pergi ke bioskop atau bertamasya,
- 25-23=2 (orang) – hanya pergi ke bioskop;
- 21-2=19 (orang) – pergi ke bioskop dan bertamasya.
Tugas 5. Tiga ekor anak itik dan empat ekor anak angsa berbobot 2 kg 500 g, dan empat ekor anak itik dan tiga ekor anak angsa berbobot 2 kg 400 g. Berapa berat seekor anak angsa?
- 2500+2400=2900 (g) – berat tujuh ekor bebek dan tujuh ekor angsa;
- 4900:7=700 (g) – berat seekor anak itik dan seekor anak angsa;
- 700*3=2100 (g) – berat 3 ekor anak itik dan 3 ekor anak angsa;
- 2500-2100=400 (g) – berat ulat.
Tugas 6. Untuk taman kanak-kanak membeli 20 piramida: besar dan kecil - masing-masing 7 dan 5 cincin. Semua piramida memiliki 128 cincin. Berapa banyak piramida besar yang ada di sana?
Bayangkan kita melepaskan dua cincin dari semua piramida besar. Kemudian:
1) 20*5=100 (berdering) – kiri;
2) 128-100-28 (dering) – kami melepas;
3) 28:2=14 (piramida besar).
Tugas 7. Semangka seberat 20 kg mengandung 99% air. Ketika dikeringkan sedikit, kadar airnya berkurang hingga 98%. Tentukan massa semangka tersebut.
Untuk memudahkan, penyelesaiannya akan disertai dengan ilustrasi persegi panjang.
| 99% air | 1% bahan kering |
| 98% air | 2% bahan kering |
Dalam hal ini, disarankan untuk menggambar persegi panjang “bahan kering” dengan cara yang sama, karena massa “bahan kering” dalam semangka tetap tidak berubah.
1) 20:100=0,2 (kg) – massa “bahan kering”;
2) 0,2:2=0,1 (kg) – menyumbang 1% semangka kering;
3) 0,1*100=10 (kg) – massa semangka.
Tugas 8. Para tamu bertanya: berapa umur ketiga saudara perempuan itu? Vera menjawab bahwa dia dan Nadya berumur 28 tahun, Nadya dan Lyuba berumur 23 tahun, dan ketiganya berumur 38 tahun. Berapa umur masing-masing saudara perempuan tersebut?
- 38-28=10 (tahun) – Lyuba;
- 23-10=13 (tahun) – Nadya;
- 28-13=15 (tahun) – Vera.
Metode aritmatika dalam menyelesaikan masalah cerita mengajarkan anak untuk bertindak secara sadar, logis dengan benar, karena ketika menyelesaikan dengan cara ini, perhatian terhadap pertanyaan “mengapa” meningkat dan terdapat potensi perkembangan yang besar. Hal ini memberikan kontribusi terhadap perkembangan siswa, pembentukan minat mereka dalam memecahkan masalah dan terhadap ilmu matematika itu sendiri.
Agar pembelajaran menjadi layak, menarik dan instruktif, Anda harus sangat berhati-hati ketika memilih masalah teks, mempertimbangkan berbagai cara untuk menyelesaikannya, memilih yang terbaik, dan mengembangkan pemikiran logis, yang diperlukan di masa depan ketika memecahkan masalah geometri.
Siswa dapat belajar memecahkan masalah hanya dengan menyelesaikannya. “Jika Anda ingin belajar berenang, maka beranilah masuk ke dalam air, dan jika Anda ingin belajar memecahkan masalah, selesaikanlah,” tulis D. Polya dalam buku “Mathematical Discovery”.
Cara aritmatika untuk menyelesaikan masalah cerita“...sementara kami mencoba menghubungkan pengajaran matematika dengan kehidupan, akan sulit bagi kami untuk melakukannya tanpa masalah kata - sarana tradisional pengajaran matematika menurut metodologi Rusia.”
A.V.Shevkin
Kemampuan memecahkan masalah cerita merupakan salah satu indikator utama perkembangan matematika siswa dan kedalaman belajarnya materi pendidikan, kejelasan penalaran, pemahaman aspek logis dari berbagai persoalan.
Soal kata bagi sebagian besar anak sekolah merupakan materi pendidikan yang sulit dan oleh karena itu tidak disukai. Namun, dalam kursus matematika sekolah, hal itu sangat penting, karena tugas-tugas terutama berkontribusi pada pengembangan berpikir logis, imajinasi spasial, aplikasi praktis pengetahuan matematika dalam aktivitas manusia.
Dalam proses pemecahan masalah, siswa memperoleh pengalaman bekerja dengan besaran, memahami hubungan antar besaran, dan memperoleh pengalaman dalam menerapkan matematika untuk memecahkan masalah kehidupan nyata.Memecahkan masalah kata mengembangkan budaya logis, membangkitkan minat pertama pada proses menemukan solusi masalah, dan kemudian pada subjek yang dipelajari.
Tradisional sekolah Rusia selalu memberikan perhatian khususmengajar anak-anak untuk memecahkan masalah kata. Secara historis, sejak lama, pengetahuan matematika diwariskan dari generasi ke generasi dalam bentuk soal cerita beserta penyelesaiannya. Signifikansinya juga terletak pada hal tersebut nilai yang diterapkan, karena isinya adalah tugas-tugas praktis (perbankan, perdagangan, pertanahan, dll.) perhitungan. Di Rusia, orang yang berpendidikan dianggap sebagai seseorang yang tahu bagaimana memecahkan masalah-masalah khas yang sangat penting dalam kehidupan sehari-hari.
Perlu dicatat bahwa mempelajari solusinya masalah praktis itu tidak mudah. Penghafalan metode solusi tanpa pemahaman sadar terhadap kondisi sering kali diamati. Hal utama adalah menentukan jenis masalah dan menemukan aturan untuk menyelesaikannya, pemahaman itu tidak penting.
Menuju tengahXXabad dikembangkan teknik yang bagus pelatihan pemecahan masalah. Namun sayangnya, sering kali guru terlihat membimbing siswa untuk memecahkan masalah tugas-tugas khas, menghafal teknik standar. Tetapi tidak mungkin belajar memecahkan masalah dengan menggunakan pola yang dihafal.
Pada akhir tahun 1960an, reformasi pendidikan matematika sekolah melibatkan pengenalan awal persamaan untuk mengatur pengajaran pemecahan masalah dengan cara yang baru. Namun, peran metode aljabar dalam memecahkan masalah cerita di kelas 5-6 dilebih-lebihkan justru karena itu kurikulum sekolah Metode aritmatika telah dihapus. Dan praktik telah membuktikan bahwa tanpa persiapan berpikir siswa yang memadai, penyelesaian masalah dengan menggunakan persamaan adalah tidak praktis. Siswa harus mampu menalar dan membayangkan tindakan yang terjadi pada benda.
Di kelas 5-6, perlu memberikan perhatian yang cukup pada metode aritmatika dalam menyelesaikan masalah cerita dan tidak terburu-buru beralih ke metode aljabar - menyelesaikan masalah dengan menggunakan persamaan. Setelah seorang siswa mempelajari metode aljabar, hampir tidak mungkin untuk mengembalikannya ke “solusi dengan tindakan.” Setelah menyusun persamaan, yang utama adalah menyelesaikannya dengan benar dan menghindari kesalahan komputasi. Dan Anda tidak perlu memikirkan sama sekali tentang operasi aritmatika apa yang dilakukan selama penyelesaian dan apa hasilnya. Dan jika kita mengikuti penyelesaian persamaan langkah demi langkah, kita akan melihat tindakan yang sama seperti pada metode aritmatika. Hanya siswa yang hampir tidak memikirkan hal ini.
Sangat sering kita mengamati bahwa seorang anak belum siap untuk memecahkan masalah secara aljabar ketika kita memperkenalkan variabel abstrak dan kalimat “biarkan x…” muncul. Dari mana asal “X” ini dan kata apa yang harus ditulis di sebelahnya, tidak jelas bagi siswa pada tahap ini. Dan ini terjadi karena perlu diperhitungkan karakteristik usia anak-anak yang pada saat ini telah mengembangkan pemikiran visual-figuratif. Mereka belum mampu membuat model abstrak.
Apa yang kami maksud dengan persyaratan - untuk memecahkan suatu masalah. Artinya menemukan rangkaian tindakan yang, sebagai hasil analisis kondisi, akan menghasilkan jawaban atas pertanyaan yang diajukan dalam masalah. Untuk mendapatkan jawabannya, Anda perlu menempuh perjalanan jauh, mulai dari memahami teks, mampu menonjolkan hal yang utama, “menerjemahkan” soal ke dalam bahasa matematika, mengganti kata “lebih cepat”, “ lebih lambat” dengan “kurang” atau “lebih”, buatlah model grafik atau tabel yang memudahkan untuk memahami kondisi masalah, membandingkan nilai, menetapkanhubungan logis antara data sesuai kondisi dan yang dibutuhkan. Dan ini sangat sulit bagi anak-anak.
Penting untuk dicatat bahwa teks tugas harus disusun sedemikian rupa sehingga anak memahami dan membayangkan apa yang dimaksud dengan yang sedang kita bicarakan. Seringkali, sebelum mulai menyelesaikan suatu masalah, banyak waktu yang dihabiskan untuk menganalisis kondisi, ketika siswa harus menjelaskan apa itu blanko besi cor, apa bedanya dengan bagian, dan juga dukungan beton bertulang, mesin otomatis, ruang tamu, dll. Teks tugas harus sesuai dengan tingkat persepsinya. Tentu saja teks masalahnya harus didekatkan kehidupan nyata, sehingga Anda dapat melihat penerapan praktis model ini.
Ketika mulai memecahkan suatu masalah, kita tidak hanya perlu membayangkan situasi yang dimaksud, tetapi juga menggambarkannya dalam gambar, diagram, atau tabel. Tidak mungkin menyelesaikan suatu masalah secara kualitatif tanpa membuat catatan singkat mengenai kondisi tersebut. Ini adalah gambaran skema dari kondisi yang memungkinkan, ketika mendiskusikan solusi, untuk mengidentifikasi semua tindakan yang perlu dilakukan untuk menjawab pertanyaan tentang masalah tersebut.
Mari kita lihat beberapa contoh penyelesaian soal cerita
Tugas pergerakan
Jenis masalah ini tersebar luas dalam kursus matematika sekolah. Mereka mempertimbangkan berbagai jenis gerakan: menuju, berlawanan arah, dalam arah yang sama (yang satu mengejar yang lain).
Untuk memahami tugas-tugas ini, akan lebih mudah untuk menggambar diagram. Namun, jika siswa sedang membuat tabel, tidak perlu meyakinkan dia akan hal itu metode ini Gambaran singkat tentang kondisinya tidak terlalu bagus. Kami memandang informasi secara berbeda. Mungkin anak “melihat” tugas dengan lebih baik di tampilan ini.
Contoh 1. Dua orang pengendara sepeda secara bersamaan saling berpapasan dari dua desa dan bertemu 3 jam kemudian. Pengendara sepeda pertama melaju dengan kecepatan 12 km/jam dan pengendara kedua melaju dengan kecepatan 14 km/jam. Seberapa jauh jarak desa-desa tersebut?
Mari kita buat diagram soal yang cukup mencerminkan kondisi (ditunjukkan arah pergerakan, kecepatan pengendara sepeda, waktu tempuh ke pertemuan, pertanyaannya jelas):
Mari pertimbangkan dua cara untuk mengatasi masalah ini:
1 cara:
Secara tradisional, kami ingin memecahkan masalah ini dengan memperkenalkan konsep “kecepatan penutupan”, dan mencarinya sebagai jumlah (atau perbedaan) dari kecepatan para partisipan dalam gerakan. Saat bergerak menuju satu sama lain, kami menjumlahkan kecepatannya:
1)12 + 14 = 26 (km/jam) – kecepatan pendekatan
Mengetahui bahwa waktu pergerakannya sama, tindakan kedua memungkinkan penggunaan rumus jalur (S = ay) menghitung jarak yang dibutuhkan dan menjawab pertanyaan yang diajukan dalam soal.
2) 26 3 = 78 (km)
Mari kita buat ekspresi:
3(12 + 14) = 78(km)
Menjawab : 78km.
Tetapi tidak semua anak memahami apa itu besaran abstrak - kecepatan pendekatan. Mengapa kecepatan dua pengguna jalan yang berbeda dapat ditambah, atau dikurangi, dengan menggabungkan keduanya? nama yang umum. Jika siswa Anda memecahkan masalah ini dengan cara yang berbeda, jangan mencoba untuk memenangkan mereka ke pihak Anda. Bagi sebagian orang, waktunya belum tiba untuk memahami hal ini, dan bagi sebagian lainnya, metode pertama tidak akan pernah tersedia sama sekali.
Metode 2:
1)12 3 = 36 (km) – jalur pengendara sepeda pertama menuju pertemuan
2)14 3 = 42 (km) – jarak kedua pengendara sepeda ke pertemuan
3)36 + 42 = 78 (km) – jarak antar desa
Mari kita buat ekspresi:
12 3 + 14 3 = 78 (km)
Menjawab : 78km.
Secara bertahap, ketika anak belajar memahami tugas-tugas tersebut, bandingkan ekspresi numerik, kita dapat menunjukkan bahwa kedua metode tersebut saling berhubungan, dan pada saat yang sama mengingat kembali properti distributif perkalian:
12 3 + 14 3 = 3(12 + 14) = 78
Contoh 2 Buku catatan berjumlah 54 buah dalam dua bungkus. Jika 10 buku catatan dikeluarkan dari paket pertama, dan 14 buku catatan dari paket kedua, maka jumlah buku catatan di kedua paket sama banyak. Berapa banyak buku catatan yang ada di setiap paket pada awalnya?
Bagaimana cara menampilkan suatu kondisi?
1.Buatlah tabel:
DuluDIHAPUS
Itu menjadi
1 bungkus - ? 54 tet.
2 bungkus – ?
10 tet.
14 tet.
sama
2. Buatlah gambar
Mereka mengambil 14 buah.
Mereka mengambil 10 buah.
Sama
Jumlah 54 buah.
Mari kita menganalisis penyelesaian masalah, dengan memperhatikan pertanyaan apa yang kita jawab saat melakukan setiap operasi aritmatika:
1) Berapa banyak buku catatan yang dikeluarkan dari kedua kemasan?
10 + 14 = 24 (buah);
2) Berapa banyak buku catatan yang ada dalam dua bungkus?
– 24 = 30 (potongan);
3) Berapa banyak isi setiap bungkus buku catatan?
30: 2 = 15 (buah);
4) Berapa banyak buku catatan yang ada pada paket pertama pada awalnya?
10 = 25 (potongan);
5) Berapa banyak buku catatan yang ada pada paket kedua pada awalnya?
54 – 25 = 29 (buah).
Di kelas 5, kemungkinan besar, siswa akan memilih metode penyelesaian masalah seperti ini. Ajak dia untuk memecahkan masalah ini di kelas 6 atau 7. Mungkin situasinya akan berubah dan siswa akan menyelesaikannya menggunakan persamaan. Dengan melakukan tindakan yang sama, dia tidak akan memikirkan banyak pertanyaan. Dengan memilih persamaan sebagai cara untuk memecahkan suatu masalah, Anda akan dengan cepat sampai pada jawaban yang sama.
Lalu seperti apa solusinya?
Misalkan ada x buku catatan di setiap paket setelah penataan ulang,
kemudian (x + 10) buku catatan awalnya ada di paket pertama, dan
(x + 14) buku catatan awalnya ada di paket kedua.
Mengetahui bahwa ada 54 buku catatan dalam dua paket, kita dapat membuat persamaan:
x + 10 + x + 14 = 54
Persamaan tersebut menelusuri semua tindakan yang sama yang dilakukan dalam metode aritmatika untuk menyelesaikan masalah.
x + x + (10 + 14) = 54; (1 operasi metode aritmatika)
2x = 54 – 24; (aksi 2)
x = 30:2; (aksi 3)
15 + 10 = 25 (pcs) (4 aksi)
15 + 14 = 29 (pcs) (5 aksi)
Jawaban: 25 buku catatan, 29 buku catatan.
Namun tidak ada yang menanyakan pertanyaan apa pun tentang apa yang kami temukan saat kami menyelesaikan setiap langkah.
Saya selalu menunjukkan kepada siswa saya bahwa teks soal untuk kelas 5 atau 9 seringkali memiliki arti yang sama. Dan latihan menunjukkan bahwa siswa kelas V mampu mengetahui kondisi dari buku soal kelas 9 bahkan membuat persamaan. Tentu saja, pengetahuan untuk menyelesaikan persamaan seperti itu masih belum cukup. Namun pada saat yang sama, tidak semua siswa kelas sembilan berhasil menyelesaikan masalah untuk kelas 5 dengan menggunakan metode aritmatika.
Anak sekolah biasanya memilih metode aljabar untuk memecahkan masalah cerita; mereka hampir tidak pernah kembali ke aritmatika. Mereka berhenti melihat metode ini, terbawa oleh pengenalan variabel dan penyusunan persamaan.
Mengapa kita menghargai metode aritmatika dalam menyelesaikan soal cerita? Hal pertama dan terpenting adalah ketika melakukan setiap operasi aritmatika, siswa memikirkan pertanyaan: “Hasil apa yang saya temukan?” Ia membayangkan apa masalahnya, karena setiap tindakan memiliki interpretasi yang jelas dan spesifik. Akibatnya, pemikiran logis berkembang secara aktif. Dalam proses perhitungan, pengukuran, dan pencarian solusi masalah, siswa mengembangkan kognitif universal Kegiatan Pembelajaran, yang pembentukannya adalahtugas yang paling penting sistem modern pendidikan dasar umum.
Masalah kata dipelajari sepanjang kursus matematika sekolah. Namun mengajarkan untuk memahami masalah, menganalisis kondisi, menalar dan menemukan cara-cara yang rasional solusi dibutuhkan tepatnya di kelas 5-6, sementara tingkat kerumitannya rendah, dan tugas itu sendiri adalah salah satu kategori yang paling penting. Yang sulit bisa dipahami dengan yang mudah.
Penggunaan metode aritmatika dalam memecahkan masalah mengembangkan kecerdikan dan kecerdasan, kemampuan mengajukan pertanyaan dan menjawabnya, yaitu mengembangkan bahasa alami dan mempersiapkan anak sekolah untuk pendidikan lebih lanjut.
Metode aritmatika untuk memecahkan masalah cerita memungkinkan Anda membuat rencana solusi dengan mempertimbangkan hubungan antara besaran yang diketahui dan tidak diketahui (dengan mempertimbangkan jenis masalah), menafsirkan hasil setiap tindakan dalam kerangka kondisi masalah, dan memeriksa kebenarannya. solusinya dengan menyusun dan memecahkan masalah kebalikannya, yaitu membentuk dan mengembangkan keterampilan pendidikan umum yang penting.
Jika seorang siswa mengatasi masalah cerita dalam pelajaran matematika, yaitu, ia dapat menelusuri dan menjelaskan rantai logis penyelesaiannya, mengkarakterisasi semua besaran, maka ia juga dapat berhasil memecahkan masalah fisika dan kimia, ia dapat membandingkan dan menganalisis, mengubah informasi. dalam semua mata pelajaran akademik kursus sekolah.
D. Polya yang hebat berkata: “Jika Anda ingin belajar berenang, silakan masuk ke dalam air, dan jika Anda ingin belajar memecahkan masalah, selesaikanlah.”Jika kita mengajari anak-anak memecahkan masalah, kita tidak hanya akan meningkatkan minat terhadap mata pelajaran itu sendiri, kita juga akan membantu pengaruh signifikan untuk membentuk mereka pemikiran matematis, yang berkontribusi pada keberhasilan pengembangan pengetahuan baru di bidang lain.
Mengirimkan karya bagus Anda ke basis pengetahuan itu sederhana. Gunakan formulir di bawah ini
Pelajar, mahasiswa pascasarjana, ilmuwan muda yang menggunakan basis pengetahuan dalam studi dan pekerjaan mereka akan sangat berterima kasih kepada Anda.
Diposting pada http://www.allbest.ru/
Perkenalan
1.1 Konsep soal cerita
1.2 Jenis-jenis soal aritmatika
1.3 Peran masalah dalam matematika
1.4 Tahapan pemecahan masalah cerita dan teknik pelaksanaannya
1.5 Beberapa cara untuk memecahkan masalah cerita
2.4 Masalah yang melibatkan persentase
2.5 Tugas kolaborasi
Kesimpulan
literatur
Perkenalan
Kita dapat mengajar siswa untuk memecahkan berbagai jenis masalah, namun kepuasan sejati hanya akan datang ketika kita mampu memberikan kepada siswa kita bukan hanya pengetahuan, tetapi juga fleksibilitas pikiran. UU. Penggergaji
Kemampuan memecahkan masalah merupakan salah satu indikator utama tingkat perkembangan matematika dan kedalaman penguasaan materi pendidikan. Sejak hari pertama sekolah, seorang anak dihadapkan pada suatu tugas. Dari awal hingga akhir sekolah, masalah matematika selalu membantu siswa berkembang dengan benar konsep matematika, untuk lebih memahami berbagai aspek hubungan dalam kehidupan di sekitarnya, memungkinkan untuk menerapkan prinsip-prinsip teori yang dipelajari. Masalah kata adalah alat penting untuk mengajar matematika. Dengan bantuan mereka, siswa memperoleh pengalaman bekerja dengan besaran, memahami hubungan di antara besaran-besaran tersebut, dan memperoleh pengalaman dalam menerapkan matematika untuk memecahkan masalah-masalah praktis. Penggunaan metode aritmatika untuk memecahkan masalah mengembangkan kecerdikan dan kecerdasan, kemampuan mengajukan pertanyaan dan menjawabnya, yaitu. mengembangkan bahasa alami. Metode aritmatika untuk memecahkan masalah cerita memungkinkan Anda mengembangkan kemampuan menganalisis situasi masalah, membangun rencana solusi dengan mempertimbangkan hubungan antara besaran yang diketahui dan tidak diketahui (dengan mempertimbangkan jenis masalah), menafsirkan hasil setiap tindakan dalam kerangka tersebut. dari kondisi masalah, periksa kebenaran penyelesaiannya dengan menyusun dan menyelesaikan kebalikan dari masalah, yaitu membentuk dan mengembangkan keterampilan pendidikan umum yang penting.
Metode aritmatika untuk memecahkan masalah cerita membiasakan anak-anak pada abstraksi pertama, memungkinkan mereka untuk menumbuhkan budaya logis, dan dapat berkontribusi pada pengembangan rasa estetika pada anak sekolah dalam kaitannya dengan pemecahan masalah dan mempelajari matematika, membangkitkan minat terlebih dahulu dalam proses. menemukan solusi terhadap suatu masalah, dan kemudian pada subjek yang dipelajari.
Soal kata secara tradisional merupakan materi yang sulit bagi sebagian besar anak sekolah. Dalam praktiknya, sebagian besar guru kurang memperhatikan penyelesaian masalah. Siswa sering kali tidak mengetahui cara mengidentifikasi data yang diperlukan dan menjalin hubungan antara besaran-besaran yang termasuk dalam soal; menyusun rencana solusi dan memeriksa hasil yang diperoleh.
Tujuanku pekerjaan akhir-- mempelajari metodologi pengajaran pemecahan masalah cerita dengan menggunakan metode aritmatika, memperhatikan struktur masalah kata, tahapan-tahapan penyelesaian masalah dengan menggunakan metode aritmatika, menunjukkan kesulitan-kesulitan dalam menyelesaikan masalah, kemampuan mengatasi kesulitan-kesulitan tersebut, penggunaan metode aritmatika untuk memecahkan masalah cerita dari latihan pribadi.
Objek kajiannya adalah proses pendidikan dalam pelajaran matematika.
Tujuan pekerjaan:
– menganalisis literatur psikologis dan pedagogis tentang topik ini; mempelajari literatur ilmiah dan metodologis yang bertujuan untuk mengajarkan pemecahan masalah kata;
– mempertimbangkan karakteristik masalah teks dan metodologi untuk mengatasinya;
– menunjukkan penggunaan metode aritmatika dalam menyelesaikan masalah cerita.
Struktur kerja. Pekerjaan saya terdiri dari pendahuluan, bab “Karakteristik soal cerita dan metode pengerjaannya” dan “Mengajar anak sekolah bagaimana menyelesaikan soal cerita menggunakan metode aritmatika”, dan sebuah kesimpulan. Pada bab pertama saya melihat konsep soal cerita, jenis soal, apa yang dimaksud dengan menyelesaikan suatu soal, tahapan proses penyelesaian soal dengan metode aritmatika. Pada bab kedua saya membahas tentang penyelesaian soal kata soal menggunakan metode aritmatika dengan menggunakan contoh soal gerak, mencari pecahan suatu bilangan dan bilangan menurut besarnya pecahan, soal mencari pecahan suatu bilangan dan bilangan menurut besarnya pecahan, soal perhitungan bunga, untuk kerja sama; masalah diselesaikan dengan menggunakan tabel, mean aritmatika dalam masalah. Saya mencoba menunjukkan metodologi mengajar siswa memecahkan masalah cerita, tempatnya dalam proses pengajaran dan pendidikan di kelas. Dalam pekerjaan saya, saya ingin menunjukkan aplikasi tertentu metode aritmatika untuk memecahkan masalah kata menggunakan pengalaman pribadi Anda.
Terdapat cukup literatur mengenai masalah ini. Setelah menganalisis beberapa di antaranya, saya ingin mencatat buku karya S. Lukyanova “Menyelesaikan masalah kata menggunakan metode aritmatika.” Buku ini membahas berbagai metode aritmatika untuk memecahkan masalah kata dan menawarkan metode orisinal untuk mengajarkan hal ini kepada siswa di kelas 5-6. Penulis mengkaji sekitar 200 permasalahan tingkat yang berbeda kompleksitas, yang sebagian besar solusinya telah diusulkan (untuk beberapa - beberapa metode), yang masing-masing diimplementasikan hanya dengan bantuan operasi aritmatika. Dalam buku “Pelatihan memecahkan masalah kata. Sebuah buku untuk guru,” penulis Shevkin A.V., menjelaskan secara rinci proposal yang mengembalikan kita ke tradisi terbaik pendidikan matematika, kebutuhan untuk meninggalkan penggunaan persamaan pada tahap awal pembelajaran dan kembali ke penggunaan metode aritmatika yang lebih luas untuk menyelesaikan masalah. masalah, melakukan penyesuaian terhadap metode tradisional pelatihan dan mencoba menghindari kelemahan karakteristik penerapannya. DI DALAM buku pelajaran Fridman L.M. “Plot masalah dalam matematika. History, Theory, Methodology” mengatakan bahwa ketika menyelesaikan masalah dengan menggunakan berbagai metode, sebaiknya memilih salah satu yang berlaku untuk masalah yang lebih luas dan ada beberapa masalah yang lebih mudah diselesaikan secara aritmatika daripada aljabar, dan ada yang sama sekali tidak dapat diakses oleh aljabar, meskipun tidak sulit untuk aritmatika.
Dalam pekerjaan saya, saya menggunakan bahan-bahan dari surat kabar pendidikan dan metodologi “Matematika” No. 23 - 2005 (Rumah Penerbitan “Pertama September”), “ Pelajaran non-tradisional. Matematika kelas 5-11.” (M.E. Kozina, M.E. Fadeeva - Volgograd, 2008), Pedoman untuk kelas 5-6, Materi didaktik untuk kelas 5-6 (M.K. Potapov, A.V. Shevkin) dan lainnya.
Bab I. Ciri-ciri masalah kata dan cara mengatasinya
aritmatika soal kata penyelesaian
Matematika adalah alat untuk berpikir; sejumlah besar tugas-tugas yang, selama ribuan tahun, telah berkontribusi pada pembentukan pemikiran masyarakat, kemampuan memecahkan masalah-masalah non-standar, dan mengatasi situasi sulit dengan terhormat.
Cukup banyak waktu yang harus dihabiskan untuk mengerjakan soal cerita, menarik perhatian anak untuk mencari dan membandingkan berbagai cara untuk memecahkan suatu masalah, membangun model matematika, dan secara kompeten mengungkapkan alasannya sendiri ketika memecahkan masalah.
1.1 Konsep soal cerita
Memecahkan masalah cerita memberikan materi yang kaya untuk pengembangan dan pendidikan siswa. Tugas-tugas ini dirumuskan dalam bahasa alami, itu sebabnya disebut teks. Mereka biasanya menggambarkan sisi kuantitatif dari suatu fenomena atau peristiwa, itulah sebabnya mereka sering disebut plot. Dengan memecahkan masalah, siswa memperoleh pengetahuan matematika baru dan mempersiapkan diri untuk kegiatan praktik. Tugas-tugas tersebut membantu mengembangkan pemikiran logis mereka. Sangat penting mempunyai solusi terhadap permasalahan perkembangan kepribadian siswa. Oleh karena itu, penting bagi guru untuk memiliki pemahaman yang mendalam tentang masalah teks, strukturnya, dan mengetahui cara menyelesaikan masalah tersebut dengan berbagai cara. “Tugas adalah suatu syarat atau pertanyaan yang harus dicari jawabannya, berdasarkan syarat-syarat yang ditentukan dalam tugas dan memperhatikannya,” kata L.M. Friedman dalam karyanya “Plot problem in Mathematics.”
Tugas teks adalah deskripsi suatu situasi tertentu dalam bahasa alami dengan persyaratan untuk memberikan gambaran kuantitatif tentang setiap komponen situasi tersebut, untuk menetapkan ada tidaknya hubungan tertentu antara komponen-komponennya, atau untuk menentukan jenis hubungan tersebut. . Soal teks dapat bersifat abstrak, ketika teks menggambarkan hubungan antar angka secara verbal (Temukan dua angka jika salah satunya lebih banyak 18 dari yang lain, dan jumlahnya 80) atau dengan plot tertentu (Tiket masuk stadion biaya 160 rubel. Setelah biaya masuk dikurangi, jumlah penonton meningkat 50%, dan pendapatan meningkat 25%. Berapa biaya tiket setelah biaya masuk dikurangi?).
Setiap tugas merupakan satu kesatuan kondisi dan tujuan. Jika salah satu komponen ini hilang, maka tidak ada tugas. Hal ini sangat penting untuk diingat agar dapat menganalisis teks soal dengan tetap menjaga kesatuannya. Artinya analisis kondisi tugas harus dikorelasikan dengan pertanyaan tugas dan sebaliknya, pertanyaan tugas harus dianalisis terarah dengan kondisi. Mereka tidak dapat dipisahkan, karena mereka merupakan satu kesatuan.
Masalah matematika adalah cerita singkat terkait di mana nilai-nilai besaran tertentu diperkenalkan dan diusulkan untuk menemukan nilai-nilai besaran lain yang tidak diketahui yang bergantung pada data dan dihubungkan dengannya melalui hubungan tertentu yang ditentukan dalam kondisi.
Setiap tugas teks terdiri dari dua bagian: kondisi dan persyaratan (pertanyaan), serta kondisi dan persyaratan yang saling terkait.
Kondisi tersebut berisi informasi tentang benda dan beberapa besaran yang menjadi ciri data benda tersebut, tentang nilai yang diketahui dan tidak diketahui dari besaran tersebut, tentang hubungan antar keduanya.
Persyaratan tugas merupakan indikasi tentang apa yang perlu ditemukan. Dapat diungkapkan dengan kalimat imperatif atau bentuk interogatif(“Temukan kecepatan pengendara sepeda” atau “Berapa kilometer yang ditempuh turis tersebut dalam tiga hari?”). Mungkin ada beberapa persyaratan dalam suatu tugas.
Pertimbangkan masalahnya: Sweter, topi, dan syal dirajut dari 1 kg 200 g wol. Syal membutuhkan wol 100 g lebih banyak daripada topi dan 400 g lebih sedikit dari sweter. Berapa banyak wol yang Anda gunakan untuk setiap item?
Benda bermasalah: syal, topi, sweter. Ada pernyataan dan persyaratan tertentu mengenai objek tersebut.
Pernyataan: Sweater, topi, syal dirajut dari 1200 g wol.
Kami menghabiskan 100 g lebih banyak untuk syal daripada topi.
Kami menghabiskan 400 g lebih sedikit untuk topi dibandingkan untuk sweter.
Persyaratan: Berapa banyak wol yang Anda gunakan untuk sweter?
Berapa banyak wol yang Anda gunakan untuk topi itu?
Berapa banyak wol yang Anda gunakan untuk syal?
Masalah mempunyai tiga nilai yang tidak diketahui, salah satunya terkandung dalam persyaratan masalah. Nilai kuantitas ini disebut nilai yang diinginkan.
Terkadang tugas dibentuk sedemikian rupa sehingga sebagian atau seluruh kondisi dimasukkan dalam satu kalimat dengan persyaratan tugas.
Dalam kehidupan nyata, berbagai macam situasi masalah cukup sering muncul. Tugas yang dirumuskan berdasarkan tugas tersebut mungkin berisi informasi yang berlebihan, yaitu informasi yang tidak diperlukan untuk memenuhi persyaratan tugas.
Berdasarkan situasi masalah yang muncul dalam kehidupan, dapat juga dirumuskan tugas-tugas yang tidak memiliki cukup informasi untuk memenuhi persyaratan. Jadi dalam soal: “Berapa liter air dalam setiap tong, jika tong pertama berisi 48 liter lebih banyak dari tong lainnya?” - tidak ada cukup data untuk menjawab pertanyaannya. Untuk mengatasi masalah ini, perlu dilengkapi dengan data yang hilang.
Masalah yang sama dapat dianggap sebagai masalah dengan data yang cukup tergantung pada nilai-nilai yang tersedia dan menentukan.
Mengingat tugas dalam arti sempit konsep ini, komponen-komponen berikut dapat dibedakan:
1. Penyajian alur secara verbal, yang di dalamnya hubungan fungsional antar besaran, yang nilai numeriknya termasuk dalam soal, ditunjukkan secara eksplisit atau dalam bentuk terselubung.
2. Nilai numerik suatu besaran atau data numerik yang diacu dalam teks soal.
Suatu tugas, biasanya dirumuskan dalam bentuk pertanyaan, yang meminta untuk mengetahui nilai-nilai yang tidak diketahui dari suatu besaran atau lebih. Nilai-nilai ini disebut nilai yang dicari.
Memahami peran tugas dan tempatnya dalam pelatihan dan pendidikan siswa, guru harus melakukan pendekatan terhadap pemilihan tugas dan pilihan metode penyelesaian secara wajar dan mengetahui dengan jelas apa yang harus diberikan pekerjaan itu kepada siswa ketika memecahkan masalah yang diberikan kepada dia.
1.2 Jenis-jenis soal aritmatika
Semua masalah aritmatika, menurut jumlah tindakan yang dilakukan untuk menyelesaikannya, dibagi menjadi sederhana dan majemuk. Masalah yang memerlukan operasi aritmatika satu kali disebut sederhana. Suatu tugas yang memerlukan beberapa tindakan disebut tugas gabungan.
Masalah sederhana dalam sistem pengajaran matematika memegang peranan yang sangat penting peran penting. Dengan memecahkan masalah sederhana, salah satu dari masalah berikut akan terbentuk konsep sentral kursus awal matematika - konsep operasi aritmatika dan sejumlah konsep lainnya. Keterampilan memecahkan tugas-tugas sederhana merupakan tahap persiapan bagi siswa untuk menguasai kemampuan menyelesaikan masalah majemuk, karena penyelesaian suatu masalah majemuk direduksi menjadi penyelesaian sejumlah masalah sederhana. Saat memecahkan masalah sederhana, pengenalan pertama dengan masalah dan komponennya terjadi. Sehubungan dengan pemecahan masalah sederhana, anak menguasai teknik dasar mengerjakan suatu masalah.
Masalah majemuk mencakup sejumlah masalah sederhana yang saling berhubungan sedemikian rupa sehingga nilai yang diperlukan dari beberapa masalah sederhana berfungsi sebagai data untuk masalah lain. Memecahkan masalah majemuk berarti membaginya menjadi beberapa masalah sederhana dan menyelesaikannya secara berurutan. Jadi, untuk menyelesaikan masalah majemuk, perlu dibuat sistem hubungan antara data dan data yang diinginkan, yang sesuai dengan pemilihan dan kemudian melakukan operasi aritmatika.
Mencatat penyelesaian suatu masalah majemuk dengan menyusun ekspresi berdasarkan hal tersebut memungkinkan siswa memusatkan perhatiannya pada sisi logis dalam mengerjakan masalah dan melihat kemajuan penyelesaiannya secara keseluruhan. Pada saat yang sama, anak belajar menuliskan rencana pemecahan suatu masalah dan menghemat waktu.
Dalam menyelesaikan masalah majemuk, sesuatu yang pada dasarnya baru telah muncul dibandingkan dengan menyelesaikan masalah sederhana: di sini tidak hanya satu hubungan yang dibuat, tetapi beberapa, sesuai dengan operasi aritmatika yang dikembangkan. Oleh karena itu, hal itu dilakukan pekerjaan khusus untuk mengenalkan anak pada suatu masalah majemuk, serta untuk mengembangkan keterampilannya dalam memecahkan masalah majemuk.
1.3 Peran masalah dalam matematika
Masalah kata menempati tempat penting dalam matematika. Ketika mempertimbangkan arti operasi aritmatika, hubungan yang ada antara tindakan dan hubungan antara komponen dan hasil tindakan, masalah sederhana yang sesuai (masalah yang diselesaikan dengan satu operasi aritmatika) tentu digunakan. Soal kata menjadi salah satunya sarana penting mengenalkan anak pada hubungan matematika, digunakan untuk memahami proporsi, dan membantu dalam pembentukan deret konsep geometris, serta ketika mempertimbangkan unsur-unsur aljabar.
Bertindak sebagai bahan konkrit untuk pembentukan pengetahuan, tugas memberikan kesempatan untuk menghubungkan teori dengan praktek, belajar dengan kehidupan. Pemecahan masalah mengembangkan pada anak-anak keterampilan praktis yang diperlukan setiap orang dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya menghitung biaya pembelian, menghitung jam berapa Anda harus berangkat agar tidak ketinggalan kereta, dll.
Penggunaan tugas sebagai landasan konkrit untuk memperkenalkan pengetahuan baru dan menerapkan pengetahuan yang telah dimiliki anak memegang peranan yang sangat penting dalam pembentukan unsur-unsur pandangan dunia materialistis pada anak. Dengan memecahkan masalah, siswa menjadi yakin bahwa banyak konsep matematika berakar pada kehidupan nyata, dalam praktik manusia. Melalui pemecahan masalah, anak menjadi akrab dengan fakta-fakta yang penting dari sudut pandang kognitif dan pendidikan. Isi dari banyak tugas mencerminkan karya anak-anak dan orang dewasa, prestasi negara kita di bidangnya ekonomi Nasional, teknologi, ilmu pengetahuan, budaya.
Proses penyelesaian masalah dengan teknik tertentu mempunyai peranan yang sangat penting pengaruh positif pada perkembangan mental anak sekolah, karena memerlukan kinerja operasi mental: analisis dan sintesis, konkretisasi dan abstraksi, perbandingan, generalisasi. Jadi, ketika memecahkan suatu masalah, siswa melakukan analisis: memisahkan pertanyaan dari kondisi, memilih data dan angka-angka yang diperlukan; menguraikan rencana solusi, ia melakukan sintesis, menggunakan konkretisasi (secara mental menggambar kondisi masalah), dan kemudian abstraksi (mengabstraksi dari situasi tertentu, memilih operasi aritmatika); Sebagai hasil dari pemecahan masalah jenis tertentu yang berulang-ulang, siswa menggeneralisasi pengetahuan tentang hubungan antara data dan apa yang dicari dalam masalah jenis ini, sebagai akibatnya metode penyelesaian masalah jenis ini digeneralisasikan.
Masalah merupakan sarana yang berguna untuk mengembangkan pemikiran logis pada anak, kemampuan melakukan analisis dan sintesis, menggeneralisasi, mengabstraksi dan mengkonkretkan, serta mengungkap hubungan yang ada antara fenomena yang sedang dipertimbangkan. Pemecahan masalah adalah latihan yang mengembangkan pemikiran. Selain itu, pemecahan masalah membantu mengembangkan kesabaran, ketekunan, kemauan, membantu membangkitkan minat dalam proses pencarian solusi, dan memungkinkan untuk merasakan kepuasan mendalam yang terkait dengan solusi yang berhasil.
Menguasai dasar-dasar matematika tidak mungkin terpikirkan tanpa memecahkan dan menganalisis suatu masalah, yang merupakan salah satu mata rantai penting dalam mata rantai pengetahuan matematika; jenis kegiatan ini tidak hanya mengaktifkan pembelajaran matematika, tetapi juga membuka jalan menuju pemahaman yang mendalam itu. Upaya memahami kemajuan penyelesaian suatu masalah matematika tertentu memberikan dorongan bagi perkembangan pemikiran anak. Pemecahan masalah tidak bisa dianggap sebagai tujuan akhir; pemecahan masalah harus dilihat sebagai sarana untuk mempelajari secara mendalam ketentuan teoritis dan sekaligus sarana untuk mengembangkan pemikiran, jalan menuju kesadaran akan realitas di sekitarnya, jalan menuju pemahaman dunia. Selain itu, kita tidak boleh lupa bahwa pemecahan masalah ditanamkan pada anak sifat positif karakter dan mengembangkannya secara estetis.
1.4 Langkah-langkah penyelesaian masalah tes dan metode pelaksanaannya
Permasalahan dan pemecahannya menempati tempat yang sangat penting dalam pendidikan anak sekolah, baik dari segi waktu maupun pengaruhnya terhadap perkembangan mental anak. Pemecahan suatu masalah adalah hasil, yaitu jawaban terhadap kebutuhan masalah, proses menemukan hasil. Selain itu, proses ini dipertimbangkan dalam dua cara: metode untuk menemukan hasil dan urutan tindakan yang dilakukan pengambil keputusan saat menggunakan metode tertentu. Artinya, di pada kasus ini pemecahan masalah mengacu pada seluruh aktivitas manusia, pemecah masalah. Metode utama untuk menyelesaikan soal cerita adalah aritmatika dan aljabar. Menyelesaikan suatu masalah secara aritmatika berarti mencari jawaban dari kebutuhan masalah tersebut dengan melakukan operasi aritmatika pada bilangan.
Menyelesaikan masalah merupakan pekerjaan yang agak tidak biasa, yaitu pekerjaan mental. Dan untuk mempelajari pekerjaan apa pun, Anda harus terlebih dahulu mempelajari secara menyeluruh materi yang harus Anda kerjakan, alat-alat yang digunakan untuk melakukan pekerjaan ini.
Artinya, untuk mempelajari cara memecahkan masalah, Anda perlu memahami apa itu masalah, bagaimana strukturnya, terdiri dari komponen apa, alat apa yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah.
Mari kita perhatikan sebuah contoh: “Seseorang mempekerjakan seorang pekerja selama setahun dan berjanji untuk memberinya 12 rubel dan sebuah kaftan. Namun setelah bekerja selama 7 bulan, ia ingin keluar dan meminta gaji yang layak dengan kaftan. Pemilik memberinya pembayaran jatuh tempo sebesar 5 rubel dan kaftan. Pertanyaannya, berapa harga kaftan itu?”
Penyelesaian masalah : pegawai tidak menerima 12 - 5 = 7 (gosok) selama 12 - 7 = 5 (bulan),
oleh karena itu, selama satu bulan dia dibayar 7:5 = 1,4 (gosok),
dan dalam 7 bulan dia menerima 7*1,4 = 9,8 (gosok),
maka kaftan harganya 9,8 - 5 = 4,8 (gosok).
Jawaban: harga kaftan adalah 4,8 rubel.
Masalah yang sama dapat diselesaikan dengan cara aritmatika yang berbeda. Mereka berbeda satu sama lain dalam logika penalaran yang dilakukan dalam proses pemecahan suatu masalah.
Dalam bentuk yang diperluas, penyelesaian masalah cerita dapat direpresentasikan sebagai rangkaian tahapan berikut:
1) analisis tugas;
2) membangun model;
3) mencari solusi (menyusun rencana solusi);
4) pencatatan keputusan;
5) verifikasi solusi;
6) penelitian tentang masalah dan pemecahannya;
7) merumuskan jawaban;
8) analisis pendidikan dan kognitif terhadap masalah dan pemecahannya.
Paling sering, hanya empat tahap yang dilaksanakan: menganalisis masalah, menyusun rencana solusi, menuliskan solusi, merumuskan jawaban, dan pada semua tahap berhenti hanya ketika memecahkan masalah yang kompleks dan bermasalah atau masalah yang memiliki makna teoritis umum tertentu. .
Analisis suatu tugas selalu ditujukan pada kebutuhannya.
Tujuan tahapan: - memahami situasi yang dijelaskan dalam tugas;
Soroti kondisi dan persyaratan;
Sebutkan benda-benda yang dikenal dan dicari;
Sorot semua hubungan (ketergantungan) di antara mereka.
Untuk memahami isi tugas, untuk mengisolasi kondisi dan persyaratan, Anda perlu mengajukan pertanyaan khusus:
1. Tugasnya tentang apa?
2. Apa yang perlu Anda temukan dalam soal tersebut?
3. Apa arti kata-kata tertentu dalam teks soal?
4. Apa yang tidak diketahui dalam soal?
5. Apa yang dicari?
Perhatikan sebuah contoh: “Dua anak laki-laki berjalan di sepanjang jalan ke arah yang sama. Mula-mula jarak antara mereka adalah 2 km, tetapi karena kecepatan anak di depan adalah 4 km/jam, dan kecepatan anak kedua adalah 5 km/jam, maka anak kedua menyusul anak pertama. Dari awal gerakan hingga anak kedua menyusul anak pertama, seekor anjing berlari di antara mereka dengan kecepatan 8 km/jam. Dia berlari dari anak laki-laki yang berjalan di belakang ke anak laki-laki di depan, setelah mencapainya, dia kembali dan berlari sampai anak laki-laki itu berada di dekatnya. Berapa jauh anjing tersebut akan berlari selama ini?
Analisis tugas: 1) Tentang apa tugas ini?
Soal tentang pergerakan dua anak laki-laki dan seekor anjing. Setiap peserta gerak dicirikan oleh kecepatan, waktu dan jarak yang ditempuh.
2) Apa yang perlu Anda temukan dalam soal tersebut?
Soal tersebut memerlukan penentuan jarak lari anjing sepanjang waktu dari awal gerakan hingga anak laki-laki berada di dekatnya, yaitu. yang kedua mengejar yang pertama.
3) Apa yang diketahui dalam soal tentang gerak masing-masing partisipannya?
Dalam soal kita mengetahui: a) anak laki-laki berjalan ke arah yang sama;
b) sebelum pergerakan dimulai, jarak antar anak laki-laki adalah 2 km;
c) kecepatan anak pertama yang berjalan di depan adalah 4 km/jam;
d) kecepatan anak kedua yang berjalan di belakang adalah 5 km/jam;
e) kecepatan lari anjing adalah 8 km/jam;
f) waktu pergerakan ketika jarak antar anak laki-laki 2 km sebelum saat pertemuan.
4) Apa yang tidak diketahui dalam soal tersebut?
Dalam soal tersebut tidak diketahui: a) waktu dimana anak kedua akan menyusul anak pertama (waktu pergerakan semua pesertanya);
b) seberapa cepat anak laki-laki itu mendekat;
c) jarak lari anjing (Anda perlu mengetahuinya di soal).
5) Apa yang dicari: bilangan, nilai, tipe suatu relasi?
Nilai yang diinginkan adalah nilai kuantitas – jarak lari anjing selama waktu dari awal gerakan anak laki-laki sampai saat pertemuan.
Salah satu teknik yang banyak membantu dalam memahami suatu masalah adalah dengan memparafrasekan teks masalah. Artinya, segala sesuatu yang tidak diperlukan (tidak esensial) dibuang dari teks soal, dan uraian beberapa konsep diganti dengan istilah-istilah yang bersesuaian, dan sebaliknya beberapa istilah diganti dengan uraian isi konsep-konsep yang bersangkutan.
Parafrase teks suatu masalah adalah mentransformasikan teks suatu masalah ke dalam bentuk yang sesuai untuk menemukan rencana penyelesaian. Hasil parafrase harus menyoroti situasi utama. Untuk memudahkan memahami soal, Anda dapat menuliskannya dalam bentuk tabel atau gambar skema. Baik tabel maupun gambar skema merupakan model tambahan dari masalah tersebut. Mereka berfungsi sebagai bentuk pencatatan analisis suatu masalah teks dan merupakan sarana utama untuk menemukan rencana penyelesaiannya. Setelah membuat model tambahan, Anda perlu memeriksa:
1) apakah semua objek masalah ditampilkan dalam model;
2) apakah semua hubungan antar objek tercermin;
3) apakah semua data numerik diberikan;
4) apakah ada pertanyaan (persyaratan) dan apakah pertanyaan tersebut menunjukkan dengan benar apa yang dicari.
Menemukan rencana untuk memecahkan suatu masalah
Tujuan tahapan: menjalin hubungan antara data dan objek sumber;
menguraikan urutan tindakan.
Rencana pemecahan suatu masalah hanyalah gagasan tentang solusi, desainnya. Bisa saja ide yang ditemukan salah. Kemudian kita perlu kembali menganalisis masalah dan memulai dari awal lagi.
Salah satu yang paling banyak teknik yang diketahui mencari rencana penyelesaian suatu masalah dengan menggunakan metode aritmatika adalah menganalisis masalah menurut teks atau model bantunya. Analisis masalah dilakukan dalam bentuk rangkaian penalaran, yang dapat dimulai baik dari data masalah maupun dari pertanyaan-pertanyaannya. Saat menganalisis suatu masalah dari data ke pertanyaan, pemecah masalah mengidentifikasi dua data dalam teks masalah dan, berdasarkan pengetahuan tentang hubungan di antara keduanya (pengetahuan tersebut harus diperoleh saat menganalisis masalah), menentukan hal yang tidak diketahui mana yang dapat ditemukan dari data tersebut. data dan menggunakan operasi aritmatika yang mana. Kemudian, dengan mempertimbangkan hal yang tidak diketahui tersebut sebagai data, pemecah masalah kembali memilih dua data yang saling berkaitan, menentukan hal yang tidak diketahui yang dapat ditemukan dari data tersebut dan dengan bantuan tindakan apa, dsb, hingga ditentukan tindakan mana yang mengarah pada diperolehnya objek yang dicari dalam data tersebut. masalah. Saat menganalisis suatu masalah dari pertanyaan ke data, Anda perlu memperhatikan pertanyaan masalah dan menentukan (berdasarkan informasi yang diperoleh dari analisis masalah) apa yang cukup diketahui untuk menjawab pertanyaan tersebut. Mengapa Anda perlu merujuk pada ketentuan dan mencari tahu apakah Anda memiliki data yang diperlukan untuk ini. Jika data tersebut tidak ada atau hanya ada satu data, maka tentukan apa yang perlu diketahui untuk menemukan data yang hilang (missing data), dan seterusnya. Alasannya dilakukan di urutan terbalik. Analisis berdasarkan teks soal: “Wisatawan tersebut menempuh perjalanan selama 6 jam dengan kereta api yang melaju dengan kecepatan 56 km/jam. Setelah itu, dia harus melakukan perjalanan 4 kali lebih banyak daripada perjalanannya. Bagaimana keseluruhan perjalanan seorang turis?”
Penalaran dari data hingga pertanyaan: diketahui: wisatawan tersebut menempuh perjalanan dengan kereta api selama 6 jam;
kecepatan kereta api adalah 56 km/jam.
Dengan menggunakan data tersebut, Anda dapat mengetahui jarak yang ditempuh seorang wisatawan dalam waktu 6 jam (kecepatan dikalikan waktu). Mengetahui bagian dari jarak yang ditempuh dan fakta bahwa jarak yang tersisa adalah 4 kali lebih besar, Anda dapat mencari persamaannya (jarak yang ditempuh harus dikalikan 4 (ditambah 4 kali)). Mengetahui berapa kilometer yang telah ditempuh turis dan berapa banyak waktu yang tersisa untuk melakukan perjalanan, Anda dapat menemukan keseluruhan jalur dengan menjumlahkan bagian jalur yang ditemukan.
Jadi tindakannya: 1) jarak yang ditempuh wisatawan dengan kereta api;
2) jarak yang tersisa untuk ditempuh; . 3) sepanjang jalan.
Penalaran dari pertanyaan ke data: Permasalahan tersebut memerlukan pencarian seluruh rute wisata. Kami telah menetapkan bahwa jalur tersebut terdiri dari dua bagian. Artinya untuk memenuhi kebutuhan tugas tersebut, cukup mengetahui berapa kilometer yang telah ditempuh wisatawan dan berapa kilometer lagi yang harus ditempuh. Keduanya tidak diketahui. Untuk mengetahui jalur yang ditempuh cukup mengetahui waktu dan kecepatan perjalanan wisatawan tersebut. Hal ini diketahui dalam soal. Dengan mengalikan kecepatan dengan waktu, kita mengetahui jarak yang ditempuh turis tersebut. Jalur yang tersisa dapat dicari dengan menambah jarak yang ditempuh sebanyak 4 kali (dikalikan 4). Jadi, pertama-tama Anda bisa mengetahui jarak yang ditempuh, lalu sisa jaraknya, setelah itu Anda bisa menemukan seluruh jalur dengan penjumlahan.
Implementasi rencana solusi masalah:
Tujuan tahapan: menemukan jawaban terhadap kebutuhan tugas dengan menyelesaikan semua tindakan sesuai dengan rencana.
Untuk soal cerita yang diselesaikan secara aritmatika, teknik berikut digunakan:
Catatan tindakan (dengan penjelasan, tanpa penjelasan, dengan pertanyaan);
Merekam sebagai ekspresi.
a) Mencatat keputusan tindakan dengan penjelasan setiap tindakan yang dilakukan: 1) 56 * 6 = 336 (km) - wisatawan berkendara dalam waktu 6 jam.
2) 336*4 = 1344 (km) - wisatawan masih harus melakukan perjalanan;
3) 336 + 1344 = 1680 (km) -- turis harus melakukan perjalanan.
Jika penjelasan diberikan secara lisan(atau tidak diberikan sama sekali), maka isiannya adalah sebagai berikut: 1) 56 * 6 = 336(km);
2) 336 * 4 = 1344(km);
3) 336 + 1344 = 1680(km)
b) Mencatat keputusan atas tindakan dengan pertanyaan:
1) Berapa kilometer yang ditempuh wisatawan tersebut dengan kereta api?
56 * 6 = 336(km)
2) Berapa kilometer lagi yang harus ditempuh turis tersebut?
336 * 4 = 1344(km)
3) Berapa kilometer yang harus ditempuh wisatawan tersebut?
336 + 1344 = 1680(km)
Memeriksa solusi untuk masalah tersebut:
Tujuan tahapan: untuk menetapkan benar atau salahnya keputusan.
Ada beberapa teknik yang membantu menentukan apakah suatu masalah telah diselesaikan dengan benar. Mari kita lihat yang utama:
1. Menjalin kesesuaian antara hasil dan kondisi tugas. Untuk melakukan ini, hasil yang ditemukan dimasukkan ke dalam teks masalah dan, berdasarkan penalaran, ditentukan apakah timbul kontradiksi.
2. Memecahkan masalah dengan cara yang berbeda.
Misalkan ketika suatu masalah diselesaikan dengan cara tertentu, hasil tertentu diperoleh. Jika menyelesaikannya dengan cara lain menghasilkan hasil yang sama, maka masalahnya diselesaikan dengan benar.
1.5 Beberapa cara untuk memecahkan masalah cerita.
Berdasarkan kesamaan makna matematika dan pertukaran metode penyelesaian yang berbeda, semua metode aritmatika dapat digabungkan ke dalam kelompok berikut:
1) metode reduksi menjadi kesatuan, reduksi menjadi ukuran umum, kebalikan dari reduksi menjadi kesatuan, metode relasi;
2) cara memecahkan masalah dari “akhir”;
3) metode menghilangkan yang tidak diketahui (mengganti satu yang tidak diketahui dengan yang lain, membandingkan yang tidak diketahui, membandingkan data, membandingkan dua kondisi dengan pengurangan, menggabungkan dua kondisi menjadi satu); cara menebak;
4) pembagian proporsional, kesamaan atau temuan bagian;
5) cara untuk mengubah satu masalah menjadi masalah lain (dekomposisi tugas yang sulit sederhana, persiapan; membawa hal-hal yang tidak diketahui ke nilai-nilai yang membuat hubungan mereka diketahui; metode menentukan bilangan sembarang untuk salah satu besaran yang tidak diketahui).
Selain metode di atas, disarankan juga untuk mempertimbangkan metode rata-rata aritmatika, metode surplus, metode penataan ulang yang diketahui dan yang tidak diketahui, dan metode aturan “salah”.
Karena biasanya tidak mungkin untuk menentukan terlebih dahulu metode mana yang rasional, untuk memperkirakan metode mana yang akan menghasilkan solusi paling sederhana dan paling mudah dipahami oleh siswa, siswa harus diperkenalkan dengan metode yang berbeda dan diberi kesempatan untuk memilih sendiri metode mana. satu untuk digunakan ketika memecahkan masalah tertentu.
Metode untuk mengecualikan hal yang tidak diketahui
Cara ini digunakan ketika ada beberapa hal yang tidak diketahui dalam suatu permasalahan. Masalah ini dapat diselesaikan dengan menggunakan salah satu dari lima teknik: 1) mengganti satu hal yang tidak diketahui dengan yang lain; 2) perbandingan hal-hal yang tidak diketahui; 3) perbandingan dua kondisi dengan pengurangan; 4) perbandingan data; 5) menggabungkan beberapa kondisi menjadi satu.
Sebagai hasil dari penerapan salah satu teknik yang tercantum, alih-alih beberapa hal yang tidak diketahui, masih ada satu teknik yang dapat ditemukan. Setelah menghitungnya, mereka menggunakan data dalam kondisi ketergantungan untuk menemukan hal-hal lain yang tidak diketahui.
Mari kita lihat lebih dekat beberapa tekniknya.
1. Mengganti satu hal yang tidak diketahui dengan hal lain
Nama teknik ini mengungkapkan idenya: berdasarkan ketergantungan (kelipatan atau perbedaan) yang diberikan sesuai dengan kondisi masalah, semua yang tidak diketahui perlu diungkapkan melalui salah satunya.
Tugas. Sergei dan Andrey hanya memiliki 126 prangko. Sergei memiliki 14 nilai lebih banyak dari Andrey. Berapa banyak prangko yang dimiliki setiap anak laki-laki?
Deskripsi singkat tentang kondisinya:
Sergei -- ? tanda, 14 tanda lebih
andrey -- ? perangko
Total -- 126 prangko
Solusi 1.
(mengganti yang tidak diketahui yang lebih besar dengan yang lebih kecil)
1) Biarkan Sergei memiliki prangko sebanyak Andrey. Maka jumlah prangkonya adalah 126 -- 14 = 112 (prangko).
2) Karena anak laki-laki sekarang mempunyai jumlah nilai yang sama, kita akan mencari berapa banyak nilai yang dimiliki Andrei pada awalnya: 112: 2 = 56 (perangko).
3) Mengingat Sergei memiliki 14 nilai lebih banyak daripada Andrey, kita mendapatkan: 56 + 14 = 70 (nilai).
Solusi 2.
(mengganti yang tidak diketahui yang lebih kecil dengan yang lebih besar)
1) Misalkan Andrey memiliki jumlah prangko yang sama dengan Sergei. Maka jumlah prangko seluruhnya adalah 126 + 14 = 140 (prangko).
2) Karena jumlah nilai anak laki-laki sekarang sama, mari kita cari berapa banyak nilai yang dimiliki Sergei pada awalnya: 140: 2 = 70 (nilai).
3) Mengingat Andrey memiliki nilai 14 lebih sedikit dari Sergei, kita mendapatkan: 70 - 14 = 56 (nilai).
Jawaban: Sergei mendapat 70 nilai, dan Andrey mendapat 56 nilai.
Untuk asimilasi terbaik siswa tentang metode mengganti yang lebih kecil yang tidak diketahui dengan yang lebih besar, sebelum mempertimbangkannya, perlu untuk mengklarifikasi dengan siswa fakta berikut: jika bilangan A nomor lebih banyak B dengan satuan C, maka untuk membandingkan bilangan A dan B perlu:
a) kurangi bilangan C dari bilangan A (maka kedua bilangan tersebut sama dengan bilangan B);
b) tambahkan bilangan C ke bilangan B (maka kedua bilangan tersebut sama dengan bilangan A).
Kemampuan siswa untuk mengganti sesuatu yang tidak diketahui yang lebih besar dengan yang lebih kecil, dan sebaliknya, semakin berkontribusi pada pengembangan kemampuan untuk memilih yang tidak diketahui dan melaluinya menyatakan besaran lain ketika menyusun persamaan.
2. Perbandingan hal yang tidak diketahui
Tugas. Ada 188 buku di empat rak. Di rak kedua ada 16 buku lebih sedikit dari yang pertama, di rak ketiga - 8 lebih banyak dari yang kedua, dan di rak keempat - 12 lebih sedikit dari pada rak ketiga. Berapa banyak buku di setiap rak?
Analisis Tugas
Untuk lebih memahami ketergantungan antara empat besaran yang tidak diketahui (jumlah buku pada setiap rak), kita menggunakan diagram berikut:
SAYA_________________________________
II______________
AKU AKU AKU______________________________
IV__________ _ _ _ _ _
Membandingkan segmen-segmen yang secara skematis menggambarkan jumlah buku di setiap rak, kami sampai pada kesimpulan berikut: ada 16 buku lebih banyak di rak pertama daripada di rak kedua; yang ketiga ada 8 lebih banyak dari yang kedua; pada buku keempat - 12 - 8 = 4 (buku) lebih sedikit dari pada buku kedua. Oleh karena itu, permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan membandingkan jumlah buku pada setiap rak. Caranya, keluarkan 16 buku dari rak pertama, 8 buku dari rak ketiga, dan letakkan 4 buku di rak keempat. Maka jumlah buku di semua rak akan sama, seperti jumlah buku di rak kedua pada awalnya.
1) Berapa banyak buku yang ada di semua rak setelah operasi yang dijelaskan dalam analisis masalah?
188 -- 16 -- 8 + 4 = 168 (buku)
2) Berapa banyak buku yang ada di rak kedua?
168: 4 = 42 (buku)
3) Berapa banyak buku yang ada di rak pertama?
42 + 16 = 58 (buku)
4) Berapa banyak buku yang ada di rak ketiga?
42 + 8 = 50 (buku)
5) Berapa banyak buku yang ada di rak keempat?
50 -- 12 = 38 (buku)
Jawaban: Terdapat 58, 42, 50 dan 38 buku pada masing-masing empat rak.
Komentar. Anda dapat mengajak siswa untuk memecahkan masalah ini dengan cara lain dengan membandingkan buku yang jumlahnya tidak diketahui yang ada di rak pertama, atau kedua, atau keempat.
3. Perbandingan dua kondisi dengan pengurangan
Plot masalah yang diselesaikan dengan teknik ini seringkali mencakup dua besaran proporsional(jumlah barang dan biayanya, jumlah pekerja dan pekerjaan yang dilakukan oleh mereka, dll.). Kondisi tersebut memberikan dua nilai dengan besaran yang sama dan selisih dua besaran yang sebanding dengannya nilai numerik dari ukuran yang berbeda.
Tugas. Untuk 4 kg jeruk dan 5 kg pisang mereka membayar 620 rubel, dan berikutnya untuk 4 kg jeruk dan 3 kg pisang yang dibeli dengan harga yang sama mereka membayar 500 rubel. Berapa harga 1kg jeruk dan 1kg pisang?
Deskripsi singkat tentang kondisinya:
aplikasi 4kg. dan larangan 5kg. - 620 rubel,
aplikasi 4kg. dan larangan 3kg. - 500 gosok.
1) Mari kita bandingkan biaya dua pembelian. Baik yang pertama maupun yang kedua kali mereka membeli jeruk dalam jumlah yang sama dengan harga yang sama. Pertama kali kami membayar lebih karena kami membeli lebih banyak pisang. Mari kita cari berapa kilogram lagi pisang yang dibeli pertama kali: 5 -- 3 = 2 (kg).
2) Mari kita cari tahu berapa harga yang kita bayar pertama kali dibandingkan yang kedua kalinya (yaitu, kita mencari tahu berapa harga 2 kg pisang): 620 - 500 = 120 (gosok).
3) Tentukan harga 1 kg pisang: 120:2 = 60 (gosok).
4) Mengetahui harga pembelian pertama dan kedua, kita dapat mengetahui harga 1 kg jeruk. Caranya, cari dulu harga beli pisang, lalu harga jeruk, lalu harga 1 kg. Kami memiliki: (620 -- 60*5) : 4 = 80 (gosok).
Jawab: harga 1 kg jeruk adalah 80 rubel, dan harga 1 kg pisang adalah 60 rubel.
4. Perbandingan data
Penggunaan teknik ini memungkinkan untuk membandingkan data dan menerapkan metode pengurangan. Anda dapat membandingkan nilai data:
1) menggunakan perkalian (membandingkannya dengan kelipatan persekutuan terkecil);
2) menggunakan pembagian (membandingkannya dengan yang terbesar pembagi persekutuan).
Mari kita tunjukkan ini dengan sebuah contoh.
Tugas. Untuk 4 kg jeruk dan 5 kg pisang mereka membayar 620 rubel, dan berikutnya untuk 6 kg jeruk dan 3 kg pisang yang dibeli dengan harga yang sama mereka membayar 660 rubel. Berapa harga 1kg jeruk dan 1kg pisang?
Deskripsi singkat tentang kondisinya:
aplikasi 4kg. dan larangan 5kg. - 620 rubel,
aplikasi 6kg. dan larangan 3kg. - 660 gosok.
Mari kita samakan jumlah jeruk dan pisang dengan membandingkannya menggunakan kelipatan persekutuan terkecil: KPK(4;6) = 12.
Solusi1.
1) Mari kita tingkatkan jumlah buah yang dibeli dan biayanya dalam kasus pertama sebanyak 3 kali lipat, dan dalam kasus kedua - sebanyak 2 kali lipat. Ayo ambil ini catatan pendek kondisi:
aplikasi 12kg. dan larangan 15kg. - 1860 rubel,
aplikasi 12kg. dan larangan 6kg. - 1320 gosok.
2) Cari tahu berapa banyak lagi pisang yang Anda beli pertama kali: 15-6 = 9 (kg).
3) Berapa harga 9kg pisang? 1860 -- 1320 = 540 (gosok).
4) Hitunglah harga 1 kg pisang: 540:9 = 60 (gosok).
5) Hitunglah harga 3 kg pisang: 60*3 = 180 (gosok).
6) Tentukan harga 6 kg jeruk: 660 -- 180 = 480 (gosok).
7) Hitunglah harga 1 kg jeruk: 480:6 = 80 (gosok).
Solusi2.
Mari kita samakan jumlah jeruk dan pisang dengan membandingkannya dengan pembagi persekutuan terbesar: GCD (4; 6) = 2.
1) Untuk menyamakan jumlah jeruk yang dibeli pertama kali dan kedua kalinya, kami mengurangi jumlah produk yang dibeli dan biayanya dalam kasus pertama sebanyak 2 kali, dalam kasus kedua - sebanyak 3 kali. Mari kita peroleh permasalahan yang mempunyai kondisi singkat berikut ini:
aplikasi 2kg. dan larangan 2,5 kg. - 310 rubel,
aplikasi 2kg. dan larangan 1kg. - 220 gosok.
2) Berapa banyak lagi pisang yang mereka beli sekarang: 2,5 -- 1 = 1,5 (kg).
3) Cari harga 1,5 kg pisang: 310 -- 220 = 90 (gosok).
4) Tentukan harga 1 kg pisang : 90 : 1,5 = 60 (gosok).
5) Tentukan harga 1 kg jeruk: (660 -- 60*3) : 6 = 80 (gosok).
Jawab: harga 1 kg jeruk 80 rubel, 1 kg pisang 60 rubel.
Saat menyelesaikan masalah menggunakan teknik perbandingan data, Anda tidak perlu melakukan hal ini analisis rinci dan catatan, tetapi hanya mencatat perubahan yang dilakukan untuk perbandingan, dan menuliskannya dalam bentuk tabel.
5. Menggabungkan beberapa kondisi menjadi satu
Terkadang Anda dapat menghilangkan hal-hal yang tidak diketahui yang tidak perlu dengan menggabungkan beberapa kondisi menjadi satu.
Tugas. Para wisatawan meninggalkan kamp dan mula-mula berjalan kaki selama 4 jam, kemudian bersepeda selama 4 jam lagi dengan kecepatan konstan tertentu dan berpindah sejauh 60 km dari kamp. Kedua kalinya mereka meninggalkan kamp dan mula-mula mengendarai sepeda dengan kecepatan yang sama selama 7 jam, lalu berbelok ke arah sebaliknya dan setelah berjalan selama 4 jam, kami berada pada jarak 50 km dari kamp. Seberapa cepat para turis mengendarai sepedanya?
Ada dua hal yang tidak diketahui dalam soal ini: kecepatan para wisatawan mengendarai sepeda, dan kecepatan berjalan. Untuk mengecualikan salah satunya, Anda dapat menggabungkan dua kondisi menjadi satu. Maka jarak yang ditempuh wisatawan dalam waktu 4 jam dengan berjalan kaki pertama kali sama dengan jarak yang ditempuh wisatawan dalam waktu 4 jam dengan berjalan kaki kembali untuk kedua kalinya. Oleh karena itu, kami tidak memperhatikan jarak tersebut. Artinya jarak yang ditempuh wisatawan dalam 4 + 7 = 11 (jam) dengan sepeda sama dengan 50 + 60 = 110 (km).
Maka kecepatan wisatawan yang mengendarai sepeda adalah : 110 : 11 = 10 (km/jam).
Jawaban: Kecepatan sepeda adalah 10 km/jam.
6. Metode asumsi
Penggunaan metode asumsi ketika menyelesaikan masalah tidak menimbulkan kesulitan bagi sebagian besar siswa. Oleh karena itu, untuk menghindari siswa menghafal diagram langkah-langkah metode ini secara mekanis dan salah memahami esensi tindakan yang dilakukan pada masing-masing tindakan, siswa harus terlebih dahulu diperlihatkan metode percobaan (“aturan palsu” dan “aturan Babilonia kuno”).
Saat menggunakan metode pengambilan sampel, khususnya “aturan salah”, salah satu besaran yang tidak diketahui diberi (“diizinkan”) nilai tertentu. Kemudian, dengan menggunakan semua kondisi, mereka menemukan nilai besaran lain. Nilai yang dihasilkan diperiksa terhadap nilai yang ditentukan dalam kondisi. Jika nilai yang dihasilkan berbeda dengan yang diberikan pada kondisi, maka nilai pertama yang ditentukan tidak benar dan harus ditambah atau dikurangi 1, dan nilai nilai lain harus dicari kembali. Hal ini harus dilakukan sampai kita memperoleh nilai besaran lain seperti pada rumusan masalah.
Tugas. Kasir memiliki 50 koin 50 kopeck dan 10 kopeck, totalnya 21 rubel. Temukan berapa banyak koin 50rb terpisah yang dimiliki kasir. dan masing-masing 10rb.
Solusi1. (metode pengambilan sampel)
Mari kita gunakan aturan orang Babilonia “kuno”. Misalkan kasir mempunyai jumlah uang logam yang sama untuk setiap pecahannya, yaitu masing-masing 25 buah. Maka jumlah uangnya adalah 50*25 + 10*25 = 1250+250=1500 (k.), atau 15 rubel. Tetapi dalam kondisi 21 rubel, yaitu 21 UAH lebih banyak dari yang diterima - 15 rubel = 6 rubel. Artinya, jumlah koin 50 kopeck perlu ditambah dan jumlah koin 10 kopeck perlu dikurangi hingga kita mendapatkan total 21 rubel. Kami akan mencatat perubahan jumlah koin dan jumlah totalnya di tabel.
|
Jumlah koin |
Jumlah koin |
Jumlah uang |
Jumlah uang |
jumlah total |
Kurang atau lebih dari kondisinya |
|
|
Kurang 6 rubel. |
||||||
|
Kurang dari 5rub60k |
||||||
|
Seperti dalam kondisi |
Terlihat dari tabel, kasir memiliki 40 koin 50 kopeck dan 10 koin 10 kopeck.
Ternyata dalam solusi 1, jika kasir memiliki jumlah koin 50k yang sama. dan masing-masing 10k, maka total dia punya uang 15 rubel. Sangat mudah untuk melihat bahwa setiap penggantian koin adalah 10k. per koin 50rb. meningkatkan jumlah total sebesar 40rb. Ini berarti kita perlu mencari berapa banyak penggantian yang perlu dilakukan. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita cari berapa banyak uang yang kita perlukan untuk meningkatkan jumlah totalnya dengan:
21 rubel -- 15 rubel. = 6 gosok. = 600rb.
Mari kita cari berapa kali penggantian tersebut perlu dilakukan: 600 k : 40 k.
Maka 50 k. akan menjadi 25 +15 = 40 (koin), dan 10 k koin akan tersisa
25 -- 15 = 10.
Cek tersebut menegaskan hal itu jumlah total uang dalam hal ini sama dengan 21 rubel.
Jawaban: Kasir mempunyai 40 uang logam 50 kopeck dan 10 uang logam 10 kopeck.
Dengan meminta siswa memilih sendiri arti yang berbeda jumlah koin 50 kopeck, perlu membawa mereka pada gagasan bahwa yang terbaik dari sudut pandang rasionalitas adalah asumsi bahwa kasir hanya memiliki koin dari satu denominasi (misalnya, semua 50 koin dari 50 kopeck atau semuanya 50 koin masing-masing 10 kopeck). Oleh karena itu, salah satu hal yang tidak diketahui dikecualikan dan digantikan oleh hal lain yang tidak diketahui.
7. Metode residu
Metode ini mempunyai beberapa kesamaan dengan berpikir ketika menyelesaikan masalah dengan menggunakan metode coba-coba dan tebak-tebakan. Kita menggunakan metode sisa ketika menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan gerak satu arah, yaitu bila perlu mencari waktu yang dibutuhkan benda pertama yang bergerak ke belakang dengan kecepatan lebih tinggi akan menyusul benda kedua yang bergerak ke belakang dengan kecepatan lebih tinggi. kecepatan yang lebih rendah. Dalam 1 jam, benda pertama mendekati benda kedua dengan jarak yang sama dengan selisih kecepatannya, yaitu sama dengan “sisa” kecepatannya dibandingkan dengan kecepatan benda kedua. Untuk mencari waktu yang diperlukan benda pertama untuk menempuh jarak antara benda tersebut dan benda kedua pada awal gerak, Anda harus menentukan berapa kali “sisa” ditempatkan pada jarak tersebut.
Jika kita mengabstraksikan plot dan hanya mempertimbangkan struktur matematis masalahnya, maka ini berbicara tentang dua faktor (kecepatan pergerakan kedua benda) atau perbedaan antara faktor-faktor ini dan dua produk (jarak yang ditempuh) atau perbedaannya. Faktor-faktor yang tidak diketahui (waktu) adalah sama dan perlu ditemukan. DENGAN titik matematika Dilihat dari faktor yang tidak diketahui, ini menunjukkan berapa kali perbedaan antara faktor-faktor yang diketahui terkandung dalam perbedaan produk. Oleh karena itu, permasalahan yang diselesaikan dengan metode sisa disebut permasalahan mencari bilangan dengan dua selisih.
Tugas. Para siswa memutuskan untuk menempelkan foto liburan ke dalam album. Jika mereka menempelkan 4 foto di setiap halaman, ruang di album tidak akan cukup untuk 20 foto. Jika Anda menempelkan 6 foto ke setiap halaman, maka 5 halaman akan tetap gratis. Berapa banyak foto yang akan dimasukkan siswa ke dalam album?
Analisis Tugas
Jumlah foto tetap sama untuk opsi pengeleman pertama dan kedua. Tidak diketahui kondisi masalahnya, namun dapat diketahui jika diketahui jumlah foto yang ditempatkan dalam satu halaman dan jumlah halaman dalam album.
Jumlah foto yang ditempel pada satu halaman diketahui (pengganda pertama). Jumlah halaman dalam album tidak diketahui dan tetap tidak berubah (pengganda kedua). Karena diketahui 5 halaman album tetap gratis untuk kedua kalinya, Anda dapat mengetahui berapa banyak lagi foto yang dapat ditempelkan ke dalam album: 6 * 5 = 30 (foto).
Artinya dengan menambah jumlah foto dalam satu halaman sebanyak 6 - 4 = 2, jumlah foto yang ditempel bertambah 20 + 30 = 50.
Sejak kedua kalinya mereka menempelkan dua foto lagi ke setiap halaman dan total mereka menempelkan 50 foto lagi, maka kita akan menemukan jumlah halaman dalam album: 50: 2 = 25 (halaman).
Jadi, totalnya ada 4*25 + 20 = 120 (foto).
Jawaban: Album ini memiliki 25 halaman dan 120 foto.
Bab II. Mengajarkan teknik kepada anak sekolah untuk memecahkan masalah aritmatika teks
Saya mengajarkan metode pemecahan masalah cerita secara sistematis, ketika mempelajari setiap topik kursus sekolah.
2.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan gerak sendi
Mulai kelas 5 SD, siswa sering menemui permasalahan tersebut. Juga di sekolah dasar Siswa diberi konsep “kecepatan total”. Akibatnya, mereka membentuk gagasan yang tidak sepenuhnya benar tentang kecepatan pendekatan dan kecepatan pelepasan (terminologi ini tidak ada di sekolah dasar). temukan jumlahnya. Yang terbaik adalah mulai memecahkan masalah ini dengan memperkenalkan konsep: “kecepatan pendekatan”, “kecepatan pelepasan”. Untuk lebih jelasnya, Anda dapat menggunakan gerakan tangan, menjelaskan bahwa tubuh dapat bergerak ke satu arah atau ke arah yang berbeda. Dalam kedua kasus tersebut mungkin terdapat kecepatan pendekatan dan kecepatan pelepasan, namun dalam kasus yang berbeda keduanya ditemukan secara berbeda. Setelah itu, siswa menuliskan tabel berikut:
Tabel 1.
Metode untuk mengetahui kecepatan pendekatan dan kecepatan pelepasan
Saat menganalisis masalah, pertanyaan-pertanyaan berikut diberikan:
1. Dengan menggunakan gerakan tangan, kita mengetahui bagaimana benda bergerak relatif satu sama lain (dalam arah yang sama, dalam arah yang berbeda).
2. Cari tahu bagaimana kecepatan ditemukan (dengan penjumlahan, pengurangan).
3. Tentukan kecepatannya (pendekatan, jarak).
Kami menuliskan solusi untuk masalah tersebut.
Contoh No. 1. Dari kota A dan B yang jaraknya 600 km, sebuah truk dan sebuah mobil penumpang secara bersamaan keluar menuju satu sama lain. Kecepatan mobil penumpang adalah 100 km/jam, dan kecepatan mobil kargo adalah 50 km/jam. Berapa jam lagi mereka akan bertemu?
Siswa menunjukkan dengan tangannya bagaimana mobil bergerak dan menarik kesimpulan sebagai berikut:
A. mobil bergerak ke arah yang berbeda;
B. kecepatannya akan ditemukan dengan penjumlahan;
V. karena mereka bergerak menuju satu sama lain, inilah kecepatan pendekatannya.
1. 100 + 50 = 150 (km/jam) - kecepatan pendekatan.
2. 600 : 150 = 4 (h) - waktu perpindahan sampai pertemuan.
Jawaban: dalam 4 jam.
Contoh No.2. Seorang pria dan seorang anak laki-laki meninggalkan rumah menuju dacha pada waktu yang sama dan berjalan di jalan yang sama. Kecepatan pria tersebut adalah 5 km/jam, dan kecepatan anak tersebut adalah 3 km/jam. Berapa jarak keduanya setelah 3 jam?
Dengan menggunakan gerakan tangan, kita mengetahui:
A. laki-laki dan laki-laki bergerak ke arah yang sama;
B. kecepatan ditentukan oleh selisihnya;
V. laki-laki itu berjalan lebih cepat, yaitu menjauh dari anak laki-laki itu (kecepatan pelepasan).
1. 5 -- 3 = 2 (km/jam) - kecepatan pelepasan.
2. 2*2 = 4 (km/jam) - jarak antara pria dan anak laki-laki setelah 2 jam
Jawaban: 4 km.
2.2 Masalah diselesaikan dengan menggunakan tabel
Saat bersiap untuk memecahkan masalah seperti itu, Anda dapat berhasil menggunakan peta sinyal.
Penghitungan lisan harus dilakukan dengan menggunakan kartu-kartu ini, yang harus dimiliki setiap siswa, yang memungkinkan seluruh kelas untuk terlibat dalam pekerjaan.
Contoh No.1. Anak laki-laki pertama mempunyai nilai 5 lebih banyak dari anak kedua. Bagaimana cara mengetahui berapa prangko yang dimiliki prangko kedua?
Siswa mengambil kartu No. 1 dan menjelaskan bahwa mereka perlu menambahkan 5 pada angka pertama, karena ia memiliki 5 lagi, dengan menekankan “oleh…lebih” dengan intonasi.
Contoh No.2. Anak laki-laki kedua mendapat nilai 30, dan anak pertama mendapat nilai 3 kali lebih sedikit. Berapa prangko yang dimiliki anak pertama?
Siswa harus mengambil kartu nomor 4 dan menjawab: 10 nilai, karena 30:3 = 10. Kata kuncinya adalah “dalam… kurang.”
Pemilihan soal aritmatika mental hendaknya bervariasi, namun setiap kali siswa harus memberikan penjelasan dengan menyebutkan kata-kata acuan. Dalam tabel, lebih baik menggarisbawahi kata-kata pendukung.
Contoh No.3. Pengendara menempuh jarak 80 km dalam waktu 5 jam. Berapa lama waktu yang diperlukan seorang pengendara sepeda dalam perjalanan ini jika kecepatannya 24 km/jam lebih besar dari kecepatan pengendaranya?
Pada saat mengisi tabel, siswa harus menggarisbawahi kata pendukung dan menjelaskan bahwa kecepatan pengendara sepeda dicari dengan menjumlahkan 16 km/jam dan 24 km/jam. Kemudian, dengan membangun hubungan fungsional antar besaran, siswa mengisi semua baris dan kolom pada tabel. Setelah itu, tergantung pada tugasnya, siswa akan menjawab pertanyaan atau menyusun solusi. Ketika mengerjakan tabel, siswa harus memahami bahwa ketika menyelesaikan suatu masalah, semua baris dan kolom harus diisi dengan data masalah, dan data yang diperoleh dari penggunaan hubungan fungsional antar besaran.
2.3 Menyelesaikan masalah mencari bagian suatu bilangan dan bilangan demi bagian
Untuk mempersiapkan pemecahan masalah ini, upaya sedang dilakukan untuk menguasai konsep pecahan. Saat melakukan perhitungan lisan, perlu dipastikan bahwa setiap siswa mengetahui: a. tindakan apa yang ditunjukkan oleh bilah pecahan?
B. Apa yang dimaksud dengan pecahan?
Bilah pecahan menunjukkan tindakan pembagian, dan pecahan 3/4 menunjukkan pembagian yang diberikan menjadi 4 bagian yang sama dan diambil 3 bagian. Untuk itu, sebaiknya gunakan amplop yang disiapkan semua siswa dengan bantuan orang tuanya. Amplopnya berisi lingkaran: utuh, dipotong menjadi dua, menjadi 3 bagian yang sama, menjadi 4; 6; 8 bagian. Setiap lobus dari satu lingkaran memiliki warna yang sama. Dengan menggunakan materi ini siswa dapat melihat dengan jelas bagaimana pecahan terbentuk.
Misalnya. Buatlah gambar yang mewakili pecahan 5/6. Mengetahui warna bagian, guru melihat kesalahan yang dilakukan siswa dan menganalisis tugas. Saat menjawab, siswa mengatakan bahwa lingkaran tersebut habis dibagi 6 bagian yang sama dan mengambil 5 bagian tersebut.
Kehadiran amplop seperti itu memungkinkan untuk memvisualisasikan penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama dan tentang mengurangkan pecahan dari suatu satuan. Karena semua siswa terlibat dalam pekerjaan dan penjumlahan terlihat jelas, setelah dua contoh siswa sendiri yang merumuskan aturan penjumlahan pecahan yang penyebutnya sama.
Mari kita lihat pengurangan. Kurangi 1/4 dari 1. Siswa meletakkan sebuah lingkaran di atas meja, tetapi perhatikan bahwa belum ada sesuatu pun yang dapat dihilangkan darinya. Kemudian mereka menyarankan untuk memotong lingkaran menjadi 4 bagian yang sama dan membuang satu. Kita menyimpulkan bahwa 1 harus diganti dengan pecahan 4/4. Setelah 2-3 contoh, siswa menarik kesimpulannya sendiri.
Dengan menggunakan materi ini, konsep sifat dasar pecahan diberikan ketika 2/6 ditumpangkan pada pecahan 1/3, dan seterusnya. Setelah mengerjakan materi ini, kita mulai memecahkan masalah.
Contoh No.1. Ada 120 pohon di taman. Pohon birch membentuk 2/3 dari seluruh pohon, dan sisanya adalah pohon pinus. Berapa banyak pohon pinus di sana?
Pertanyaan: Apa yang dimaksud dengan pecahan 2/3?
Jawaban: Seluruh jumlah pohon dibagi menjadi 3 bagian yang sama dan pohon birch menjadi 2 bagian.
40*2 = 80 (desa) - ada pohon birch.
120 -- 80 = 40 (desa) - ada pohon pinus.
Metode II:
120: 3 = 40 (pohon) - buatlah satu bagian.
3 -- 2 = 1 (bagian) - membuat pohon pinus.
40*1 = 40 (pohon) - membuat pohon pinus.
...Dokumen serupa
Mengajari anak menemukan cara memecahkan masalah cerita dalam pelajaran matematika. Peran masalah aritmatika dalam kursus awal matematika. Menyelesaikan masalah gerak sendi, mencari bagian suatu bilangan dan bilangan demi bagian, persentase, kerja bersama.
tesis, ditambahkan 28/05/2008
Ciri-ciri bentuk pekerjaan anak sekolah menengah pertama dalam pelajaran matematika. Penggunaan berbagai bentuk bekerja dalam proses memecahkan masalah kata. Memecahkan masalah cerita di sekolah dasar. Diagnostik tingkat perkembangan keterampilan pemecahan masalah anak sekolah.
tesis, ditambahkan 09/04/2010
Konsep soal cerita dan perannya dalam mata kuliah matematika. Cara untuk memecahkan masalah kata. Metodologi pengajaran pemecahan masalah majemuk pada pembagian proporsional. Pelatihan dalam memecahkan masalah gerak. Identifikasi tingkat keterampilan siswa dalam memecahkan masalah majemuk.
tugas kursus, ditambahkan 20/08/2010
Klasifikasi dan fungsi tugas dalam pembelajaran. Fitur metodologis dari solusi tugas non-standar. Fitur pemecahan masalah kata dan masalah dengan parameter. Metodologi untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan. Eksperimen pedagogis dan analisis hasil.
tesis, ditambahkan 24/02/2010
Inti dari metode aljabar untuk menyelesaikan masalah cerita. Kesalahan metodologis khas seorang guru ketika bekerja dengan mereka. Memecahkan masalah kata metode aljabar menurut G.G. Levitas dan V. Lebedev. Analisis penerapan praktis metode pengajaran untuk menyelesaikannya.
tugas kursus, ditambahkan 30/09/2010
Konsep masalah dan solusinya. Memecahkan masalah dengan menyoroti tahapan pemodelan matematika. Peran penalaran analitis-sintetis dalam pembentukan kemampuan menyelesaikan secara aljabar. Tugas untuk mengembangkan keterampilan dalam menyusun model matematika.
tesis, ditambahkan 23/04/2011
Konsep kompetensi dan kompetensi. Pandangan terhadap penerapan pendekatan berbasis kompetensi di sekolah. Klasifikasi dan isi kunci kompetensi pendidikan. Kompetensi utama dalam pelajaran matematika di kelas 5-6. Contoh pengembangan kompetensi.
tesis, ditambahkan 24/06/2009
Konsep "tugas teks" dan strukturnya. Proses pemecahan masalah cerita. Teknik metodis, digunakan dalam mengajarkan solusi. Pembentukan keterampilan umum pada siswa. Mengerjakan soal kata menggunakan buku catatan cetak.
tugas kursus, ditambahkan 16/03/2012
Pentingnya soal aritmatika untuk perkembangan mental anak-anak. Jenis masalah matematika dan klasifikasinya. Keunikan asimilasi anak terhadap esensi tugas. Metode dan tahapan mengajar anak prasekolah memecahkan masalah. Masalah aritmatika disusun oleh anak-anak.
tes, ditambahkan 18/12/2010
Pemilihan kompleks masalah olimpiade dalam matematika untuk anak kecil usia sekolah. Struktur dan jenis tugas olimpiade, metode penyelesaiannya. Mengajarkan anak kemampuan dan keterampilan melakukan semantik, logis dan analisis matematis masalah kata.
Menyelesaikan masalah dengan menggunakan metode aritmatika
Pelajaran matematika di kelas 5.
“Jika Anda ingin belajar berenang, maka beranilah masuk ke dalam air, dan jika Anda ingin belajar memecahkan masalah, selesaikanlah.”.
D.Polia
Maksud dan tujuan pelajaran:
mengembangkan kemampuan memecahkan masalah dengan menggunakan metode aritmatika;
perkembangan kreativitas, minat kognitif;
pengembangan pemikiran logis;
memupuk kecintaan terhadap subjek;
menumbuhkan budaya berpikir matematis.
Peralatan: kartu sinyal dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Selama kelas
I. Momen organisasi (1 menit)
Pelajaran dikhususkan untuk menyelesaikan masalah dengan menggunakan metode aritmatika. Hari ini kita akan menyelesaikan masalah jenis yang berbeda, tapi semuanya akan diselesaikan tanpa bantuan persamaan.
II. Referensi sejarah (1 menit)
Secara historis, sejak dahulu kala, pengetahuan matematika diturunkan dari generasi ke generasi dalam bentuk daftar masalah praktis beserta solusinya. DI DALAM masa lalu seseorang yang bisa memecahkan masalah dianggap terlatih tipe tertentu ditemui dalam praktek.
AKU AKU AKU. Pemanasan
(menyelesaikan masalah secara lisan - 6 menit)
a) Masalah pada kartu.
Setiap siswa diberikan sebuah kartu berisi suatu masalah, yang ia pecahkan secara lisan dan berikan jawabannya. Semua tugas untuk tindakan 3 - 1 = 2.
(Siswa menyelesaikan soal dengan benar, dan ada yang tidak. Semuanya secara lisan. Mereka mengangkat kartu dan guru melihat siapa yang memecahkan soal; kartu tersebut harus berisi angka 2.)
b) Soal-soal pada ayat dan masalah logika. (Guru membacakan soal dengan lantang, siswa mengangkat kartu dengan jawaban yang benar.
Landak memberi anak itik
Siapa di antara mereka yang akan menjawab?
Delapan sepatu bot kulit
Berapa banyak anak itik yang ada di sana?
(Empat.)
Dua anak babi yang gesit
Mereka sangat dingin, mereka gemetar.
Hitung dan ucapkan:
Berapa banyak sepatu bot yang harus saya beli?
(Delapan.)
saya masuk Hutan cemara
Dan saya melihat lalat agaric
Dua jamur madu,
Dua lagi.
Tiga kaleng minyak,
Dua baris...
Siapa yang sudah menyiapkan jawabannya:
Berapa banyak jamur yang saya temukan?
(Sepuluh.)
4. Ayam dan anjing sedang berjalan-jalan di halaman. Anak laki-laki itu menghitung cakarnya. Ternyata jumlahnya sepuluh. Berapa banyak ayam dan berapa banyak anjing yang ada? (Dua anjing dan satu ayam, satu anjing dan tiga ayam.)
5. Sesuai resep dokter, kami membeli 10 tablet di apotek. Dokter meresepkan saya untuk minum 3 tablet sehari. Berapa hari obat ini bertahan? (Sehari penuh.)
6. Kakak laki-laki berumur 7 tahun dan saudara perempuan berumur 5 tahun. Berapa umur saudara perempuan jika saudara laki-laki berumur 10 tahun?
7. Bilangan yang diberikan: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. manakah yang lebih besar: hasil kali atau jumlah?
8. Saat membangun pagar, tukang kayu menempatkan 5 tiang dalam satu garis lurus. Jarak antar tiang adalah 2 m. Berapakah panjang pagar tersebut?
IV. Penyelesaian masalah
(Tugas untuk anak-anak diberikan dalam bentuk kartu - 15 menit. Anak-anak memecahkan masalah di papan tulis)
Tugas a) dan b) ditujukan untuk mengulangi hubungan antara relasi “oleh… lebih” dan “oleh… kurang” dengan operasi penjumlahan dan pengurangan.
a) Seorang turner magang memutar 120 bagian per shift, dan turner tersebut memutar 36 bagian lagi. Berapa banyak bagian yang dibuat oleh turner dan muridnya?
b) Tim pertama mengumpulkan 52 perangkat selama shift, tim kedua - 9 perangkat lebih sedikit dari tim pertama, dan tim ketiga - 12 perangkat lebih banyak dari tim kedua.
Dengan menggunakan soal c), siswa dapat diperlihatkan solusi dari soal tersebut “secara terbalik”.
c) Ada 44 anak perempuan di tiga kelas - 8 lebih sedikit dibandingkan anak laki-laki. Berapa banyak anak laki-laki di tiga kelas?
Pada soal d) siswa dapat mengusulkan beberapa penyelesaian.
d) Tiga saudara perempuan ditanya: “Berapa umur masing-masing saudara perempuan?” Vera menjawab bahwa dia dan Nadya berumur 28 tahun, Nadya dan Lyuba berumur 23 tahun, dan ketiganya berumur 38 tahun. Berapa umur masing-masing saudara perempuan tersebut?
Tugas e) dimaksudkan untuk mengulangi hubungan antara “lebih banyak di…” dan “lebih sedikit di…”.
e) Vasya mendapat 46 nilai. Dalam setahun, koleksinya bertambah 230 prangko. Berapa kali koleksinya bertambah?
V.Menit pendidikan jasmani (2 menit.)
Berdiri dengan satu kaki
Ini seperti Anda seorang prajurit yang tabah.
Angkat kaki kiri Anda.
Lihat, jangan jatuh.
Sekarang berdiri di sebelah kiri,
Jika Anda seorang prajurit pemberani.
VI. Masalah kuno dan sejarah. Masalah dengan konten dongeng (10 menit.)
Soal e) mencari dua bilangan berdasarkan jumlah dan selisihnya.
e)(dari “Aritmatika” oleh L.N. Tolstoy)
Dua orang laki-laki mempunyai 35 ekor domba. Yang satu mempunyai 9 lebih banyak dari yang lain. Berapa banyak domba yang dimiliki setiap orang?
Tugas pergerakan.
Dan)(Masalah lama.)Dua kereta meninggalkan Moskow menuju Tver pada waktu yang bersamaan. Yang pertama melintas dengan kecepatan 39 ayat per jam dan tiba di Tver dua jam lebih awal dari yang kedua, yang menempuh jarak 26 ayat per jam. Berapa mil dari Moskow ke Tver?
(Lebih mudah mendapatkan jawabannya dengan menggunakan persamaan. Namun siswa didorong untuk melihat solusi aritmatika tugas.)
1) 26 * 2 = 52 (ayat) - kereta kedua tertinggal beberapa mil di belakang kereta pertama;
2) 39 - 26 = 13 (ayat) - sejauh beberapa mil kereta kedua tertinggal 1 jam dari kereta pertama;
3) 52:13 = 4 (h) - itulah waktu yang dibutuhkan kereta pertama untuk menempuh perjalanan;
4) 39 * 4 = 156 (ayat) - jarak dari Moskow ke Tver.
Anda dapat mencari di buku referensi untuk mencari jarak dalam kilometer.
1 ayat = 1 km 69 m.
Tugas tersebut dibagi menjadi beberapa bagian.
H)tugas Kikimora.Duyung memutuskan untuk menikah dengan kikimore Ha-Ha. Dia menanam beberapa lintah pada kerudung kikimorenya, dan dua kali lebih banyak pada jubahnya. Saat hari raya, 15 lintah jatuh, dan yang tersisa hanyalah 435. Berapa banyak lintah yang ada di kerudung kikimora?
(Masalah diberikan untuk diselesaikan dengan menggunakan persamaan, tetapi kami menyelesaikannya dengan cara aritmatika)
VII. Nomor langsung (jeda bongkar - 4 menit)
Guru memanggil 10 siswa ke papan tulis dan memberi mereka nomor dari 1 sampai 10. Siswa menerima tugas yang berbeda;
a) guru memanggil nomor-nomor tersebut; mereka yang disebutkan namanya maju selangkah (misal: 5, 8, 1, 7);
b) hanya tetangga dari nomor yang disebutkan yang keluar (misalnya: nomor 6, 5 dan 7 yang keluar);
c) guru memberikan contoh, dan hanya orang yang mempunyai jawaban atas contoh atau soal tersebut yang keluar (misalnya: 2 ´ 4; 160: 80; dst.);
d) guru bertepuk tangan beberapa kali dan juga menunjukkan suatu angka (satu atau dua); harus keluar siswa yang bilangannya merupakan penjumlahan seluruh bilangan yang didengar dan dilihat (misalnya: 3 tepuk, bilangan 5 dan bilangan 1.);
bilangan berapa yang 4 lebih besar dari empat?
Saya memikirkan sebuah angka, dikurangi 3, saya mendapat 7. Angka apa yang saya pikirkan?
jika dijumlahkan 2 pada bilangan yang dituju, didapat 8. Berapakah bilangan yang dituju?
Kita harus berusaha memilih tugas agar nomor yang sama tidak terulang dalam jawabannya, sehingga setiap orang dapat berpartisipasi aktif dalam permainan.
VIII. Menyimpulkan pelajaran (2 menit.)
- Apa yang kita lakukan di kelas hari ini?
- Apa yang dimaksud dengan menyelesaikan suatu masalah dengan menggunakan aritmatika?
- Kita harus ingat bahwa solusi yang ditemukan terhadap suatu masalah harus memenuhi kondisi masalah tersebut.
IX. Pekerjaan rumah. Penilaian (2 menit.)
№ 387 (menyelesaikan masalah dengan metode aritmatika), untuk siswa yang lemah. Untuk siswa rata-rata dan kuat, pekerjaan rumah diberikan dalam bentuk kartu.
1. Toko roti tersebut memiliki 645 kg roti hitam putih. Setelah menjual 215 kg roti hitam dan 287 kg roti tawar, jumlah kedua jenis roti tersebut sama banyaknya. Berapa kilogram roti hitam dan roti putih yang ada di toko roti secara terpisah?
Kakak beradik menemukan 25 jamur porcini di hutan. Kakaknya menemukan 7 jamur lebih banyak dari adiknya. Berapa banyak jamur porcini yang ditemukan saudaramu?
Untuk kolaknya kami ambil 6 bagian apel, 5 bagian pir dan 3 bagian kata. Ternyata pir dan plum bersama-sama mengambil 2 kg 400 g. Tentukan massa apel yang diambil; massa semua buah-buahan.
literatur
Vilenkin N., Zhokhov V., Chesnokov A.Matematika. kelas 5. - M., “Mnemosyne”, 2002.
Shevkin A.V.Teks soal dalam kursus matematika sekolah. - M.: Universitas Pedagogis “Pertama September”, 2006.
Volina V.Liburan angka. - M.: Pengetahuan, 1994.
