Apa itu turunan?
Pengertian dan Arti Turunan Fungsi

Banyak yang akan terkejut dengan penempatan artikel ini yang tidak terduga dalam kursus penulis saya tentang turunan fungsi dari satu variabel dan penerapannya. Memang, seperti yang terjadi sejak masa sekolah: buku teks standar pertama-tama memberikan definisi turunan, makna geometris dan mekanisnya. Selanjutnya siswa mencari turunan fungsi menurut definisinya, dan baru kemudian menyempurnakan teknik diferensiasi yang digunakan tabel turunan.

Namun menurut saya, pendekatan berikut ini lebih pragmatis: pertama-tama, disarankan untuk MEMAHAMI DENGAN BAIK batas suatu fungsi, dan, khususnya, jumlah yang sangat kecil. Faktanya adalah itu pengertian turunan didasarkan pada konsep limit, yang dianggap buruk dalam kursus sekolah. Itulah sebabnya sebagian besar konsumen muda granit pengetahuan tidak memahami esensi turunannya. Jadi, jika Anda memiliki sedikit pemahaman tentang kalkulus diferensial atau otak yang bijaksana telah berhasil menyingkirkan beban ini selama bertahun-tahun, silakan mulai dengan batas fungsi. Pada saat yang sama, kuasai/ingat solusi mereka.

Arti praktis yang sama menyatakan bahwa hal ini menguntungkan terlebih dahulu belajar mencari turunan, termasuk turunan dari fungsi kompleks. Teori tetaplah teori, tetapi seperti kata pepatah, Anda selalu ingin membedakannya. Dalam hal ini, lebih baik mempelajari pelajaran dasar yang tercantum, dan mungkin ahli diferensiasi tanpa menyadari inti dari tindakan mereka.

Saya sarankan memulai dengan materi di halaman ini setelah membaca artikel. Masalah paling sederhana dengan turunan, di mana, khususnya, masalah garis singgung grafik suatu fungsi dipertimbangkan. Tapi Anda bisa menunggu. Faktanya adalah banyak penerapan turunan yang tidak memerlukan pemahaman, dan tidak mengherankan jika pelajaran teori muncul cukup terlambat - ketika saya perlu menjelaskannya. menemukan interval naik/turun dan ekstrem fungsi. Apalagi dia sudah membahas topik itu cukup lama. Fungsi dan grafik”, hingga akhirnya saya memutuskan untuk memasangnya lebih awal.

Oleh karena itu teko sayang, jangan buru-buru menyerap sari turunannya seperti hewan lapar, karena rasa kenyangnya akan terasa hambar dan tidak lengkap.

Konsep kenaikan, penurunan, maksimum, minimum suatu fungsi

Banyak buku teks yang memperkenalkan konsep turunan dengan bantuan beberapa masalah praktis, dan saya juga memberikan contoh yang menarik. Bayangkan kita akan melakukan perjalanan ke kota yang dapat dicapai dengan berbagai cara. Mari kita segera membuang jalur berkelok-kelok dan hanya mempertimbangkan jalan raya yang lurus. Namun, petunjuk arah garis lurus juga berbeda: Anda dapat mencapai kota melalui jalan raya yang mulus. Atau di sepanjang jalan raya yang berbukit - naik turun, naik turun. Jalan lainnya hanya menanjak, dan jalan lainnya selalu menurun. Penggemar olahraga ekstrem akan memilih rute melalui jurang dengan tebing terjal dan tanjakan terjal.

Namun apa pun preferensi Anda, disarankan untuk mengetahui wilayah tersebut atau setidaknya memiliki peta topografinya. Bagaimana jika informasi tersebut hilang? Lagi pula, Anda dapat memilih, misalnya, jalan yang mulus, tetapi sebagai hasilnya Anda akan menemukan lereng ski dengan orang Finlandia yang ceria. Bukan fakta bahwa navigator atau bahkan citra satelit akan memberikan data yang dapat diandalkan. Oleh karena itu, alangkah baiknya memformalkan relief jalan tersebut dengan menggunakan matematika.

Mari kita lihat beberapa jalan (tampilan samping):

Untuk berjaga-jaga, saya mengingatkan Anda tentang fakta dasar: perjalanan terjadi dari kiri ke kanan. Untuk mempermudah, kita asumsikan bahwa fungsinya kontinu di area yang sedang dipertimbangkan.

Apa sajakah ciri-ciri grafik ini?

Secara berkala fungsi meningkat, yaitu, setiap nilai berikutnya lagi yang sebelumnya. Secara kasar, jadwalnya sudah aktif turun hingga(kami mendaki bukit). Dan pada interval fungsinya berkurang– setiap nilai berikutnya lebih sedikit sebelumnya, dan jadwal kami aktif Perintahkan ke bawah(kita menuruni lereng).

Mari kita perhatikan juga poin-poin khusus. Pada titik yang kita capai maksimum, itu adalah ada bagian jalur yang nilainya akan menjadi yang terbesar (tertinggi). Pada titik yang sama hal itu tercapai minimum, Dan ada lingkungannya yang nilainya paling kecil (terendah).

Kita akan melihat terminologi dan definisi yang lebih ketat di kelas. tentang ekstrem dari fungsi tersebut, namun untuk saat ini mari kita pelajari fitur penting lainnya: pada interval fungsinya meningkat, tetapi meningkat pada kecepatan yang berbeda. Dan hal pertama yang menarik perhatian Anda adalah grafiknya melonjak selama interval jauh lebih keren, dibandingkan pada interval . Mungkinkah mengukur kecuraman jalan menggunakan alat matematika?

Tingkat perubahan fungsi

Idenya adalah ini: mari kita ambil nilai (baca "deltax"), yang akan kami panggil peningkatan argumen, dan mari kita mulai “mencobanya” ke berbagai titik di jalur kita:

1) Mari kita lihat titik paling kiri: melewati jarak, kita mendaki lereng hingga ketinggian (garis hijau). Besarannya disebut peningkatan fungsi, dan dalam hal ini kenaikan ini positif (perbedaan nilai sepanjang sumbu lebih besar dari nol). Mari kita buat rasio yang akan menjadi ukuran kecuraman jalan kita. Jelas sekali, ini adalah angka yang sangat spesifik, dan karena kedua kenaikannya positif, maka .

Perhatian! Sebutannya adalah SATU simbol, yaitu, Anda tidak dapat "melepaskan" "delta" dari "X" dan mempertimbangkan huruf-huruf ini secara terpisah. Tentu saja komentar tersebut juga menyangkut simbol kenaikan fungsi.

Mari kita telusuri sifat pecahan yang dihasilkan dengan lebih bermakna. Mari kita awalnya berada di ketinggian 20 meter (di titik hitam kiri). Setelah menempuh jarak beberapa meter (garis merah kiri), kita akan berada di ketinggian 60 meter. Maka kenaikan fungsinya adalah meter (garis hijau) dan: . Dengan demikian, pada setiap meter bagian jalan ini tinggi badan bertambah rata-rata sejauh 4 meter...lupa perlengkapan pendakianmu? =) Dengan kata lain, hubungan yang dibangun mencirikan TINGKAT PERUBAHAN RATA-RATA (dalam hal ini, pertumbuhan) dari fungsi tersebut.

Catatan : Nilai numerik dari contoh yang dimaksud hanya kira-kira sesuai dengan proporsi gambar.

2) Sekarang mari kita menempuh jarak yang sama dari titik hitam paling kanan. Di sini kenaikannya lebih bertahap, sehingga kenaikannya (garis merah) relatif kecil, dan rasionya dibandingkan kasus sebelumnya akan sangat kecil. Secara relatif, meter dan tingkat pertumbuhan fungsi adalah . Artinya, di sini ada untuk setiap meter jalan rata-rata kenaikan setengah meter.

3) Sedikit petualangan di lereng gunung. Mari kita lihat titik hitam atas yang terletak pada sumbu ordinat. Anggap saja ini adalah tanda 50 meter. Kami mengatasi jarak itu lagi, akibatnya kami mendapati diri kami lebih rendah - di ketinggian 30 meter. Sejak gerakan itu dilakukan Perintahkan ke bawah(dalam arah “berlawanan” sumbu), lalu yang terakhir kenaikan fungsi (tinggi) akan negatif: meter (segmen coklat pada gambar). Dan dalam hal ini kita sudah membicarakannya tingkat penurunan Fitur: , yaitu, untuk setiap meter lintasan pada bagian ini, ketinggiannya berkurang rata-rata sebesar 2 meter. Jagalah pakaian Anda pada poin kelima.

Sekarang mari kita bertanya pada diri kita sendiri: nilai “standar pengukuran” manakah yang paling baik digunakan? Dapat dimengerti sepenuhnya, 10 meter itu sangat kasar. Selusin gundukan yang bagus dapat dengan mudah dipasang di atasnya. Tidak peduli apa pun gundukannya, mungkin ada jurang yang dalam di bawahnya, dan setelah beberapa meter ada sisi lainnya dengan tanjakan yang lebih curam. Jadi, dengan jarak sepuluh meter kita tidak akan mendapatkan gambaran yang jelas tentang bagian jalan yang melalui rasio tersebut.

Dari pembahasan di atas, diambil kesimpulan sebagai berikut: semakin rendah nilainya, semakin akurat kami menggambarkan topografi jalan. Selain itu, fakta-fakta berikut ini benar adanya:

– Untuk siapa pun poin pengangkatan Anda dapat memilih nilai (walaupun sangat kecil) yang sesuai dengan batas kenaikan tertentu. Artinya pertambahan ketinggian yang bersangkutan dijamin positif, dan pertidaksamaan akan menunjukkan pertumbuhan fungsi di setiap titik pada interval tersebut dengan tepat.

- Juga, untuk apa pun titik kemiringan ada nilai yang sesuai sepenuhnya pada kemiringan ini. Akibatnya, pertambahan tinggi yang bersesuaian jelas negatif, dan pertidaksamaan akan menunjukkan penurunan fungsi di setiap titik pada interval tertentu.

– Kasus yang sangat menarik adalah ketika laju perubahan fungsi adalah nol: . Pertama, kenaikan ketinggian nol () adalah tanda jalan mulus. Dan kedua, ada situasi menarik lainnya, contohnya dapat Anda lihat pada gambar. Bayangkan nasib telah membawa kita ke puncak bukit dengan elang yang terbang tinggi atau dasar jurang dengan katak yang berkokok. Jika Anda mengambil langkah kecil ke segala arah, perubahan ketinggian dapat diabaikan, dan kita dapat mengatakan bahwa laju perubahan fungsi sebenarnya adalah nol. Ini persis seperti gambaran yang terlihat pada titik-titik tersebut.

Oleh karena itu, kita mempunyai peluang luar biasa untuk secara akurat mengkarakterisasi laju perubahan suatu fungsi. Bagaimanapun, analisis matematis memungkinkan untuk mengarahkan kenaikan argumen ke nol: , yaitu membuatnya kecil sekali.

Akibatnya, muncul pertanyaan logis lainnya: apakah mungkin menemukan jalan dan jadwalnya fungsi lain, yang akan memberi tahu kami tentang semua bagian datar, tanjakan, turunan, puncak, lembah, serta laju pertumbuhan/penurunan di setiap titik sepanjang perjalanan?

Apa itu turunan? Definisi turunan.
Arti geometris turunan dan diferensial

Harap baca dengan cermat dan jangan terlalu cepat - materinya sederhana dan dapat diakses oleh semua orang! Tidak apa-apa jika di beberapa tempat ada sesuatu yang tidak begitu jelas, Anda selalu dapat kembali ke artikelnya nanti. Saya akan mengatakan lebih banyak, akan berguna untuk mempelajari teori beberapa kali untuk memahami semua poin secara menyeluruh (nasihat ini sangat relevan untuk siswa "teknis", yang matematika tingkat tinggi memainkan peran penting dalam proses pendidikan).

Tentu saja, dalam definisi turunan pada suatu titik kita menggantinya dengan:

Apa yang telah kita capai? Dan kami sampai pada kesimpulan bahwa untuk fungsinya sesuai undang-undang sudah sesuai fungsi lainnya, yang disebut fungsi turunan(atau sederhananya turunan).

Derivatifnya mencirikan tingkat perubahan fungsi Bagaimana? Idenya berjalan seperti benang merah sejak awal artikel. Mari kita pertimbangkan beberapa hal domain definisi fungsi Biarkan fungsi tersebut terdiferensiasi pada suatu titik tertentu. Kemudian:

1) Jika , maka fungsinya bertambah di titik . Dan jelas ada selang(bahkan yang sangat kecil), berisi titik di mana fungsi tersebut bertambah, dan grafiknya bergerak “dari bawah ke atas”.

2) Jika , maka fungsinya berkurang di titik . Dan ada interval yang berisi titik di mana fungsinya menurun (grafiknya “dari atas ke bawah”).

3) Jika , maka sangat dekat di dekat suatu titik, fungsi tersebut mempertahankan kecepatannya konstan. Hal ini terjadi, sebagaimana dicatat, dengan fungsi konstan dan pada titik-titik kritis fungsi, secara khusus pada titik minimum dan maksimum.

Sedikit semantik. Apa arti kata kerja “membedakan” dalam arti luas? Membedakan berarti menonjolkan suatu ciri. Dengan mendiferensiasikan suatu fungsi, kita “mengisolasi” laju perubahannya dalam bentuk turunan fungsi tersebut. Ngomong-ngomong, apa yang dimaksud dengan kata “turunan”? Fungsi telah terjadi dari fungsi.

Istilah-istilah tersebut sangat berhasil ditafsirkan oleh makna mekanis turunannya :
Mari kita perhatikan hukum perubahan koordinat suatu benda, bergantung pada waktu, dan fungsi kecepatan gerak suatu benda. Fungsi tersebut mencirikan laju perubahan koordinat benda, oleh karena itu merupakan turunan pertama fungsi tersebut terhadap waktu: . Jika konsep “gerakan tubuh” tidak ada di alam, maka tidak akan ada turunan konsep "kecepatan tubuh".

Percepatan suatu benda adalah laju perubahan kecepatan, oleh karena itu: . Jika konsep awal “gerakan benda” dan “kecepatan benda” tidak ada di alam, maka tidak akan ada turunan konsep “percepatan benda”.

Kuliah: Konsep turunan suatu fungsi, arti geometri turunan

Konsep turunan fungsi

Mari kita perhatikan beberapa fungsi f(x), yang akan kontinu sepanjang seluruh interval pertimbangan. Pada interval yang dipertimbangkan, kita memilih titik x 0, serta nilai fungsi pada titik ini.

Jadi, mari kita lihat grafik di mana kita menandai titik kita x 0, serta titik (x 0 + ∆x). Ingatlah bahwa ∆х adalah jarak (selisih) antara dua titik yang dipilih.

Perlu juga dipahami bahwa setiap x sesuai dengan nilai fungsi y-nya sendiri.

Selisih antara nilai fungsi di titik x 0 dan (x 0 + ∆x) disebut kenaikan fungsi ini: ∆у = f(x 0 + ∆x) - f(x 0).

Mari kita perhatikan informasi tambahan yang tersedia pada grafik - ini adalah garis potong yang disebut KL, serta segitiga yang dibentuknya dengan interval KN dan LN.

Sudut letak garis potong disebut sudut kemiringannya dan dilambangkan dengan α. Dapat dengan mudah ditentukan bahwa besar sudut LKN juga sama dengan .

Sekarang mari kita ingat hubungan pada segitiga siku-siku tgα = LN / KN = ∆у / ∆х.

Artinya, garis singgung sudut potong sama dengan rasio kenaikan fungsi terhadap kenaikan argumen.

Pada suatu waktu, turunan adalah batas rasio kenaikan suatu fungsi terhadap kenaikan argumen pada interval yang sangat kecil.

Turunannya menentukan laju perubahan suatu fungsi pada area tertentu.

Arti geometris dari turunan

Jika Anda menemukan turunan fungsi apa pun pada titik tertentu, Anda dapat menentukan sudut di mana garis singgung grafik pada arus tertentu akan ditempatkan, relatif terhadap sumbu OX. Perhatikan grafik - sudut kemiringan tangensial dilambangkan dengan huruf φ dan ditentukan oleh koefisien k pada persamaan garis lurus: y = kx + b.

Artinya, kita dapat menyimpulkan bahwa arti geometri turunan adalah garis singgung sudut singgung di suatu titik pada fungsi tersebut.

Di bidang koordinat xOy perhatikan grafik fungsinya kamu=f(x). Mari kita perbaiki intinya M(x 0 ; f (x 0)). Mari tambahkan absis x 0 kenaikan Δх. Kami akan mendapatkan absis baru x 0 +Δx. Inilah absis intinya N, dan ordinatnya akan sama f (x 0 +Δx). Perubahan absis menyebabkan perubahan ordinat. Perubahan ini disebut kenaikan fungsi dan dilambangkan Δy.

Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Melalui titik-titik M Dan N mari menggambar garis potong M N, yang membentuk sudut φ dengan arah sumbu positif Oh. Mari kita tentukan garis singgung sudutnya φ dari segitiga siku-siku MPN.

Membiarkan Δх cenderung nol. Kemudian garis potong M N akan cenderung mengambil posisi singgung MT, dan sudutnya φ akan menjadi sudut α . Jadi, garis singgung sudutnya α adalah nilai batas tangen sudut φ :

Batas rasio kenaikan suatu fungsi terhadap kenaikan argumen, ketika argumen tersebut cenderung nol, disebut turunan fungsi pada suatu titik tertentu:

Arti geometris dari turunan terletak pada kenyataan bahwa turunan numerik dari fungsi pada suatu titik tertentu sama dengan garis singgung sudut yang dibentuk oleh garis singgung yang ditarik melalui titik ini ke kurva tertentu dan arah sumbu positif Oh:

Contoh.

1. Temukan pertambahan argumen dan pertambahan fungsi y= x 2, jika nilai awal argumennya sama dengan 4 , dan baru - 4,01 .

Larutan.

Nilai argumen baru x=x 0 +Δx. Mari kita substitusikan datanya: 4,01=4+Δх, maka argumennya bertambah Δх=4,01-4=0,01. Kenaikan suatu fungsi, menurut definisi, sama dengan selisih antara nilai fungsi yang baru dan sebelumnya, yaitu. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Karena kita mempunyai fungsi kamu=x2, Itu kamu=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Menjawab: peningkatan argumen Δх=0,01; peningkatan fungsi kamu=0,0801.

Peningkatan fungsi dapat ditemukan secara berbeda: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Temukan sudut kemiringan garis singgung grafik fungsi kamu=f(x) pada intinya x 0, Jika f "(x 0) = 1.

Larutan.

Nilai turunannya pada titik singgung x 0 dan merupakan nilai garis singgung sudut singgung (arti geometri turunannya). Kita punya: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, Karena tg45°=1.

Menjawab: garis singgung grafik fungsi ini membentuk sudut dengan arah positif sumbu Ox sama dengan 45°.

3. Turunkan rumus turunan fungsi tersebut kamu=xn.

Diferensiasi adalah tindakan mencari turunan suatu fungsi.

Saat mencari turunan, gunakan rumus yang diturunkan berdasarkan definisi turunan, sama seperti kita menurunkan rumus derajat turunan: (x n)" = nx n-1.

Ini adalah rumusnya.

Tabel turunan Akan lebih mudah untuk menghafal dengan mengucapkan rumusan verbal:

1. Turunan suatu besaran konstan sama dengan nol.

2. X bilangan prima sama dengan satu.

3. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunannya.

4. Turunan suatu derajat sama dengan hasil kali eksponen derajat tersebut dengan derajat yang basisnya sama, tetapi eksponennya lebih kecil satu.

5. Turunan suatu akar sama dengan satu dibagi dua akar yang sama besar.

6. Turunan satu dibagi x sama dengan dikurangi satu dibagi x kuadrat.

7. Turunan sinus sama dengan cosinus.

8. Turunan cosinus sama dengan minus sinus.

9. Turunan garis singgung sama dengan satu dibagi kuadrat cosinus.

10. Turunan kotangen sama dengan minus satu dibagi kuadrat sinus.

Kami mengajar aturan diferensiasi.

1. Turunan suatu jumlah aljabar sama dengan jumlah aljabar turunan suku-suku tersebut.

2. Turunan suatu hasil kali sama dengan hasil kali turunan faktor pertama dan faktor kedua ditambah hasil kali faktor pertama dan turunan faktor kedua.

3. Turunan dari “y” dibagi “ve” sama dengan pecahan yang pembilangnya adalah “y prima dikalikan “ve” dikurangi “y dikalikan ve prime”, dan penyebutnya adalah “ve kuadrat”.

4. Kasus khusus dari rumus 3.

Turunan dari suatu fungsi.

1. Pengertian turunan, makna geometriknya.

2. Turunan dari fungsi kompleks.

3. Turunan dari fungsi invers.

4. Derivatif orde tinggi.

5. Fungsi didefinisikan secara parametrik dan implisit.

6. Diferensiasi fungsi yang ditentukan secara parametrik dan implisit.

Perkenalan.

Asal usul kalkulus diferensial adalah dua pertanyaan yang diajukan oleh tuntutan ilmu pengetahuan dan teknologi pada abad ke-17.

1) Pertanyaan tentang menghitung kecepatan untuk hukum gerak yang diberikan secara sewenang-wenang.

2) Pertanyaan untuk menemukan (menggunakan perhitungan) garis singgung kurva tertentu.

Masalah menggambar garis singgung beberapa kurva diselesaikan oleh ilmuwan Yunani kuno Archimedes (287-212 SM), dengan menggunakan metode menggambar.

Namun baru pada abad ke-17 dan ke-18, sehubungan dengan kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi alam, permasalahan tersebut mendapat perkembangan yang semestinya.

Salah satu pertanyaan penting ketika mempelajari suatu fenomena fisika biasanya adalah pertanyaan tentang kecepatan, kecepatan terjadinya fenomena tersebut.

Kecepatan pergerakan pesawat atau mobil selalu menjadi indikator terpenting kinerjanya. Laju pertumbuhan penduduk suatu negara bagian merupakan salah satu ciri utama pembangunan sosialnya.

Ide awal tentang kecepatan jelas bagi semua orang. Namun, gagasan umum ini tidak cukup untuk memecahkan sebagian besar permasalahan praktis. Penting untuk memiliki definisi kuantitatif dari besaran ini, yang kita sebut kecepatan. Kebutuhan akan penentuan kuantitatif yang tepat secara historis menjadi salah satu insentif utama bagi penciptaan analisis matematis. Seluruh bagian analisis matematis dikhususkan untuk memecahkan masalah dasar ini dan menarik kesimpulan dari solusi ini. Kami melanjutkan mempelajari bagian ini.

Pengertian turunan, makna geometrisnya.

Biarkan suatu fungsi diberikan yang didefinisikan dalam interval tertentu (a,c) dan terus menerus di dalamnya.

1. Mari kita berargumentasi X kenaikan , maka fungsinya akan didapat

kenaikan:

2. Mari menjalin relasi .

3. Melewati limit pada dan, dengan asumsi limit tersebut

ada, kita memperoleh besaran yang disebut

turunan suatu fungsi terhadap argumen X.

Definisi. Turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit rasio kenaikan fungsi terhadap kenaikan argumen ketika →0.

Nilai turunannya jelas bergantung pada titiknya X, di mana ia ditemukan, oleh karena itu turunan dari fungsi tersebut, pada gilirannya, adalah suatu fungsi dari X. Dilambangkan dengan .

Secara definisi kita punya

atau (3)

Contoh. Temukan turunan dari fungsi tersebut.

1. ;

Ringkasan pelajaran terbuka oleh seorang guru di GBPOU “Pedagogical College No. 4 of St. Petersburg”

Martusevich Tatyana Olegovna

Tanggal: 29/12/2014.

Topik: Arti geometris turunan.

Jenis pelajaran: mempelajari materi baru.

Metode pengajaran: visual, sebagian pencarian.

Tujuan pelajaran.

Memperkenalkan konsep garis singgung grafik suatu fungsi di suatu titik, mencari tahu apa arti geometri turunan, menurunkan persamaan garis singgung dan mengajarkan cara mencarinya.

Tujuan pendidikan:

Mencapai pemahaman tentang makna geometri turunan; menurunkan persamaan tangen; belajar memecahkan masalah dasar;

memberikan pengulangan materi dengan topik “Definisi Turunan”;

menciptakan kondisi untuk pengendalian (self-control) pengetahuan dan keterampilan.

Tugas perkembangan:

mempromosikan pembentukan keterampilan menerapkan teknik perbandingan, generalisasi, dan menonjolkan hal yang pokok;

melanjutkan pengembangan cakrawala matematika, pemikiran dan ucapan, perhatian dan memori.

Tugas pendidikan:

mempromosikan minat pada matematika;

pendidikan aktivitas, mobilitas, keterampilan komunikasi.

Jenis pelajaran – pelajaran gabungan menggunakan TIK.

Peralatan – instalasi multimedia, presentasiMicrosoftKekuatanTitik.

Tahap pelajaran

Waktu

Kegiatan guru

Aktivitas siswa

1. Momen organisasi.

Nyatakan topik dan tujuan pelajaran.

Topik: Arti geometris turunan.

Tujuan pelajaran.

Memperkenalkan konsep garis singgung grafik suatu fungsi di suatu titik, mencari tahu apa arti geometri turunan, menurunkan persamaan garis singgung dan mengajarkan cara mencarinya.

Mempersiapkan siswa untuk bekerja di kelas.

Persiapan untuk bekerja di kelas.

Memahami topik dan tujuan pelajaran.

Mencatat.

2. Persiapan mempelajari materi baru melalui pengulangan dan pemutakhiran pengetahuan dasar.

Organisasi pengulangan dan pemutakhiran pengetahuan dasar: definisi turunan dan rumusan makna fisiknya.

Merumuskan pengertian turunan dan merumuskan arti fisisnya. Pengulangan, pemutakhiran dan pemantapan pengetahuan dasar.

Organisasi pengulangan dan pengembangan keterampilan mencari turunan fungsi pangkat dan fungsi dasar.

Menemukan turunan dari fungsi-fungsi ini menggunakan rumus.

Pengulangan sifat-sifat fungsi linier.

Pengulangan, persepsi gambar dan pernyataan guru

3. Bekerja dengan materi baru: penjelasan.

Penjelasan arti hubungan antara kenaikan fungsi dan kenaikan argumen

Penjelasan arti geometri turunan.

Pengenalan materi baru melalui penjelasan verbal menggunakan gambar dan alat bantu visual: presentasi multimedia dengan animasi.

Persepsi penjelasan, pemahaman, menjawab pertanyaan guru.

Merumuskan pertanyaan kepada guru jika terjadi kesulitan.

Persepsi informasi baru, pemahaman dan pemahaman utamanya.

Perumusan pertanyaan kepada guru jika terjadi kesulitan.

Membuat catatan.

Rumusan makna geometri turunan.

Pertimbangan tiga kasus.

Mencatat, membuat gambar.

4. Bekerja dengan materi baru.

Pemahaman utama dan penerapan materi yang dipelajari, konsolidasinya.

Pada titik manakah turunannya positif?

Negatif?

Sama dengan nol?

Pelatihan mencari algoritma jawaban atas pertanyaan yang diajukan sesuai jadwal.

Memahami, memahami, dan menerapkan informasi baru untuk memecahkan suatu masalah.

5. Pemahaman awal dan penerapan materi yang dipelajari, pemantapannya.

Pesan kondisi tugas.

Mencatat kondisi tugas.

Merumuskan pertanyaan kepada guru jika terjadi kesulitan

6. Penerapan ilmu: karya mandiri yang bersifat mengajar.

Selesaikan masalahnya sendiri:

Penerapan pengetahuan yang diperoleh.

Pekerjaan mandiri dalam memecahkan masalah menemukan turunan dari suatu gambar. Diskusi dan verifikasi jawaban berpasangan, rumusan pertanyaan kepada guru jika ada kesulitan.

7. Bekerja dengan materi baru: penjelasan.

Menurunkan persamaan garis singgung grafik fungsi di suatu titik.

Penjelasan detail mengenai turunan persamaan garis singgung grafik fungsi di suatu titik, menggunakan penyajian multimedia agar lebih jelas, dan jawaban atas pertanyaan siswa.

Penurunan persamaan tangen bersama guru. Jawaban atas pertanyaan guru.

Mencatat, membuat gambar.

8. Bekerja dengan materi baru: penjelasan.

Dalam dialog dengan siswa, turunan suatu algoritma untuk mencari persamaan garis singgung grafik suatu fungsi tertentu pada suatu titik tertentu.

Dalam dialog dengan guru, turunkan algoritma untuk mencari persamaan garis singgung grafik fungsi tertentu pada titik tertentu.

Mencatat.

Pesan kondisi tugas.

Pelatihan penerapan pengetahuan yang diperoleh.

Mengorganisir pencarian cara untuk memecahkan suatu masalah dan pelaksanaannya. analisis rinci solusi dengan penjelasan.

Mencatat kondisi tugas.

Membuat asumsi tentang cara-cara yang mungkin untuk memecahkan masalah ketika mengimplementasikan setiap item rencana aksi. Memecahkan masalah bersama-sama dengan guru.

Mencatat penyelesaian masalah dan jawabannya.

9. Penerapan ilmu: karya mandiri yang bersifat mengajar.

Kontrol individu. Konsultasi dan pendampingan kepada mahasiswa bila diperlukan.

Periksa dan jelaskan solusinya menggunakan presentasi.

Penerapan pengetahuan yang diperoleh.

Pekerjaan mandiri dalam memecahkan masalah menemukan turunan dari suatu gambar. Diskusi dan verifikasi jawaban berpasangan, rumusan pertanyaan kepada guru jika ada kesulitan

10. Pekerjaan rumah.

§48, soal 1 dan 3, pahami solusinya dan tuliskan di buku catatan, dengan gambar.

№ 860 (2,4,6,8),

Pesan pekerjaan rumah dengan komentar.

Merekam pekerjaan rumah.

11. Kesimpulannya.

Kami mengulangi definisi turunan; arti fisik turunan; sifat-sifat fungsi linier.

Kita telah mempelajari apa arti geometri dari turunan.

Kita belajar menurunkan persamaan garis singgung grafik fungsi tertentu pada titik tertentu.

Koreksi dan klarifikasi hasil pembelajaran.

Mendaftar hasil pelajaran.

12. Refleksi.