Teori probabilitas matematika. Dasar-dasar teori probabilitas dan statistik matematika. Peristiwa yang tidak kompatibel dan aturan penambahan

Apa itu probabilitas?

Pertama kali saya menemukan istilah ini, saya tidak mengerti apa itu. Oleh karena itu, saya akan mencoba menjelaskannya secara gamblang.

Probabilitas adalah peluang terjadinya peristiwa yang kita inginkan.

Misalnya, Anda memutuskan untuk pergi ke rumah teman, Anda ingat pintu masuknya bahkan lantai tempat tinggalnya. Tapi saya lupa nomor dan lokasi apartemennya. Dan di sinilah Anda berdiri tangga, dan di depan Anda ada pintu untuk dipilih.

Berapa peluang (probabilitas) jika Anda membunyikan bel pintu pertama, teman Anda akan membukakan pintu untuk Anda? Hanya ada apartemen, dan seorang teman hanya tinggal di belakang salah satunya. DENGAN peluang yang sama kita bisa memilih pintu mana saja.

Tapi peluang apa ini?

Pintunya, pintu kanan. Peluang menebak dengan membunyikan bel pintu pertama: . Artinya, satu dari tiga kali Anda akan menebak dengan akurat.

Kami ingin tahu, setelah menelepon sekali, seberapa sering kami akan menebak pintunya? Mari kita lihat semua opsi:

1. Anda menelepon 1 pintu
2. Anda menelepon ke-2 pintu
3. Anda menelepon ke-3 pintu

Sekarang mari kita lihat semua opsi di mana seorang teman bisa berada:

A. Di belakang 1 pintu
B. Di belakang ke-2 pintu
V. Di belakang ke-3 pintu

Mari kita bandingkan semua opsi dalam bentuk tabel. Tanda centang menunjukkan opsi ketika pilihan Anda bertepatan dengan lokasi teman, tanda silang - jika tidak bertepatan.

Bagaimana Anda melihat semuanya Mungkin pilihan lokasi teman Anda dan pilihan pintu mana yang akan Anda hubungi.

A hasil yang menguntungkan bagi semuanya . Artinya, Anda akan menebak sekali dengan membunyikan bel pintu satu kali, yaitu. .

Ini adalah probabilitas - rasio hasil yang menguntungkan (ketika pilihan Anda bertepatan dengan lokasi teman Anda) dengan angka tersebut peristiwa yang mungkin terjadi.

Definisinya adalah rumusnya. Probabilitas biasanya dilambangkan dengan p, jadi:

Sangat tidak nyaman untuk menulis rumus seperti itu, jadi mari kita ambil - jumlah hasil yang diinginkan, dan untuk - total hasil.

Probabilitasnya dapat ditulis sebagai persentase; untuk melakukan ini, Anda perlu mengalikan hasilnya dengan:

Kata “hasil” mungkin menarik perhatian Anda. Karena ahli matematika memanggil berbagai tindakan(di negara kita tindakan seperti itu adalah bel pintu) percobaan, maka hasil percobaan tersebut biasa disebut dengan hasil.

Ya, ada hasil yang menguntungkan dan tidak menguntungkan.

Mari kita kembali ke contoh kita. Katakanlah kita membunyikan salah satu pintu, tetapi pintu itu dibukakan untuk kita lebih aneh. Kami tidak menebak dengan benar. Berapa peluang jika kita membunyikan salah satu pintu yang tersisa, teman kita akan membukakannya untuk kita?

Jika Anda berpikir demikian, maka ini adalah sebuah kesalahan. Mari kita cari tahu.

Kami memiliki dua pintu tersisa. Jadi kami memiliki langkah-langkah yang mungkin:

1) Panggilan 1 pintu
2) Panggilan ke-2 pintu

Temannya, terlepas dari semua ini, pasti berada di belakang salah satu dari mereka (bagaimanapun juga, dia tidak berada di belakang orang yang kami panggil):

a) Teman untuk 1 pintu
b) Teman untuk ke-2 pintu

Mari kita menggambar tabelnya lagi:

Seperti yang Anda lihat, hanya ada pilihan yang menguntungkan. Artinya, kemungkinannya sama.

Mengapa tidak?

Situasi yang kami pertimbangkan adalah contoh kejadian dependen. Peristiwa pertama adalah bel pintu pertama, peristiwa kedua adalah bel pintu kedua.

Dan disebut ketergantungan karena mempengaruhi tindakan berikut. Lagi pula, jika setelah bunyi pertama bel pintu dijawab oleh seorang teman, berapa kemungkinan dia berada di belakang salah satu dari dua lainnya? Benar, .

Tapi kalau ada kejadian dependen, pasti ada juga mandiri? Benar, itu memang terjadi.

Contoh di buku teks adalah melempar koin.

1. Melempar koin satu kali. Berapa probabilitas untuk mendapatkan kepala, misalnya? Itu benar - karena ada semua pilihan (baik kepala atau ekor, kita akan mengabaikan kemungkinan koin mendarat di tepinya), tapi itu hanya cocok untuk kita.
2. Tapi itu muncul. Oke, ayo kita lempar lagi. Berapa kemungkinan mendapatkan perhatian sekarang? Tidak ada yang berubah, semuanya sama. Berapa banyak pilihan? Dua. Berapa banyak yang membuat kita bahagia? Satu.

Dan biarkan hal itu muncul setidaknya seribu kali berturut-turut. Kemungkinan mendapatkan kepala sekaligus akan sama. Selalu ada pilihan, dan ada pilihan yang menguntungkan.

Sangat mudah untuk membedakan peristiwa dependen dari peristiwa independen:

1. Jika percobaan dilakukan satu kali (mereka melempar koin satu kali, membunyikan bel pintu satu kali, dan seterusnya), maka kejadiannya selalu independen.
2. Jika suatu percobaan dilakukan beberapa kali (sebuah koin dilempar satu kali, bel pintu dibunyikan beberapa kali), maka kejadian pertama selalu bebas. Dan kemudian, jika jumlah yang menguntungkan atau jumlah semua hasil berubah, maka peristiwa-peristiwa tersebut bergantung, dan jika tidak, maka peristiwa-peristiwa tersebut independen.

Mari kita berlatih sedikit menentukan probabilitas.

Contoh 1.

Koin tersebut dilempar sebanyak dua kali. Berapa peluang terambilnya gambar dua kali berturut-turut?

Larutan:

Mari kita pertimbangkan semuanya pilihan yang memungkinkan:

1. Elang-elang
2. Kepala-ekor
3. Ekor-Kepala
4. Ekor-ekor

Seperti yang Anda lihat, hanya ada pilihan. Dari jumlah tersebut, kami hanya puas. Artinya, kemungkinannya:

Jika kondisinya hanya meminta mencari peluang, maka jawabannya harus diberikan dalam bentuk desimal. Jika ditentukan bahwa jawabannya harus diberikan dalam persentase, maka kita kalikan dengan.

Menjawab:

Contoh 2.

Dalam sekotak coklat, semua coklat dikemas dalam satu bungkus yang sama. Namun, dari yang manis-manis - dengan kacang, dengan cognac, dengan ceri, dengan karamel, dan dengan nougat.

Berapa peluang terambilnya satu permen dan mendapat permen berisi kacang? Berikan jawaban Anda sebagai persentase.

Larutan:

Berapa banyak kemungkinan hasil yang ada? .

Artinya, jika Anda mengambil satu permen, itu akan menjadi salah satu yang tersedia di dalam kotak.

Berapa banyak hasil yang menguntungkan?

Karena kotaknya hanya berisi coklat dengan kacang.

Menjawab:

Contoh 3.

Di dalam sekotak balon. diantaranya berwarna putih dan hitam.

1. Berapa kemungkinan untuk keluar bola putih?
2. Kami menambahkan lebih banyak bola hitam ke dalam kotak. Berapakah peluang terambilnya bola putih sekarang?

Larutan:

a) Hanya ada bola di dalam kotak. Diantaranya berwarna putih.

Kemungkinannya adalah:

b) Sekarang ada lebih banyak bola di dalam kotak. Dan jumlah orang kulit putih yang tersisa sama banyaknya - .

Menjawab:

Kemungkinan total

Peluang semua kejadian yang mungkin terjadi sama dengan ().

Katakanlah ada bola merah dan hijau di dalam sebuah kotak. Berapa peluang terambilnya bola merah? Bola hijau? Bola merah atau hijau?

Peluang terambilnya bola merah

Bola hijau:

Bola merah atau hijau:

Seperti yang Anda lihat, jumlah semua kejadian yang mungkin sama dengan (). Memahami poin ini akan membantu Anda memecahkan banyak masalah.

Contoh 4.

Ada spidol di dalam kotak: hijau, merah, biru, kuning, hitam.

Berapa peluang terambilnya BUKAN spidol merah?

Larutan:

Mari kita hitung jumlahnya hasil yang menguntungkan.

BUKAN spidol merah, artinya hijau, biru, kuning atau hitam.

Peluang tidak terjadinya suatu peristiwa sama dengan dikurangi peluang terjadinya peristiwa tersebut.

Aturan untuk mengalikan peluang kejadian independen

Anda sudah tahu apa itu acara independen.

Bagaimana jika Anda perlu mencari peluang terjadinya dua (atau lebih) peristiwa independen secara berturut-turut?

Katakanlah kita ingin mengetahui berapa probabilitas jika kita melempar sebuah koin satu kali, kita akan melihat gambarnya dua kali?

Kami telah mempertimbangkan - .

Bagaimana jika kita melempar koin satu kali? Berapa peluang melihat elang dua kali berturut-turut?

Jumlah opsi yang memungkinkan:

1. Elang-elang-elang
2. Kepala-kepala-ekor
3. Kepala-ekor-kepala
4. Kepala-ekor-ekor
5. Ekor-kepala-kepala
6. Ekor-kepala-ekor
7. Ekor-ekor-kepala
8. Ekor-ekor-ekor

Saya tidak tahu tentang Anda, tetapi saya membuat kesalahan beberapa kali saat menyusun daftar ini. Wow! Dan satu-satunya pilihan (pertama) yang cocok untuk kita.

Untuk 5 lemparan, Anda dapat membuat sendiri daftar kemungkinan hasil. Namun matematikawan tidak pekerja keras seperti Anda.

Oleh karena itu, mereka terlebih dahulu memperhatikan dan kemudian membuktikan probabilitas suatu barisan tertentu acara independen setiap kali berkurang dengan probabilitas satu peristiwa.

Dengan kata lain,

Mari kita lihat contoh koin naas yang sama.

Kemungkinan mendapat tantangan? . Sekarang kita melempar koinnya satu kali.

Berapa peluang mendapatkan hasil berturut-turut?

Aturan ini tidak hanya berlaku jika kita diminta mencari peluang terjadinya peristiwa yang sama beberapa kali berturut-turut.

Jika kita ingin mencari barisan TAILS-HEADS-TAILS untuk pelemparan berturut-turut, kita akan melakukan hal yang sama.

Peluang mendaratnya kepala adalah - , kepala - .

Peluang terambilnya barisan TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

Anda bisa mengeceknya sendiri dengan membuat tabel.

Aturan untuk menambahkan probabilitas kejadian yang tidak kompatibel.

Jadi berhentilah! Definisi baru.

Mari kita cari tahu. Mari kita ambil koin kita yang sudah usang dan melemparkannya sekali.
Opsi yang memungkinkan:

1. Elang-elang-elang
2. Kepala-kepala-ekor
3. Kepala-ekor-kepala
4. Kepala-ekor-ekor
5. Ekor-kepala-kepala
6. Ekor-kepala-ekor
7. Ekor-ekor-kepala
8. Ekor-ekor-ekor

Jadi ini adalah peristiwa yang tidak sejalan, ini adalah suatu hal yang pasti urutan yang diberikan acara. - ini adalah peristiwa yang tidak kompatibel.

Jika kita ingin menentukan berapa peluang dua (atau lebih) acara bersama lalu kita menjumlahkan probabilitas kejadian-kejadian tersebut.

Perlu Anda pahami bahwa head atau tail adalah dua peristiwa yang berdiri sendiri.

Jika kita ingin menentukan peluang terjadinya suatu barisan (atau barisan lainnya), maka kita menggunakan aturan mengalikan peluang.
Berapa peluang munculnya gambar kepala pada pelemparan pertama dan ekor pada pelemparan kedua dan ketiga?

Tetapi jika kita ingin mengetahui berapa probabilitas untuk mendapatkan salah satu dari beberapa urutan, misalnya ketika kepala muncul tepat satu kali, yaitu. pilihan dan, kemudian kita harus menjumlahkan probabilitas dari barisan ini.

Pilihan total cocok untuk kita.

Kita bisa mendapatkan hal yang sama dengan menjumlahkan peluang terjadinya setiap barisan:

Jadi, kita menambahkan probabilitas ketika kita ingin menentukan probabilitas dari rangkaian kejadian tertentu yang tidak konsisten.

Ada aturan bagus untuk membantu Anda menghindari kebingungan kapan harus mengalikan dan kapan harus menjumlahkan:

Mari kita kembali ke contoh di mana kita melempar koin satu kali dan ingin mengetahui probabilitas melihat kepala satu kali.
Apa yang akan terjadi?

Harus rontok:
(kepala DAN ekor DAN ekor) ATAU (ekor DAN kepala DAN ekor) ATAU (ekor DAN ekor DAN kepala).
Begini hasilnya:

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh 5.

Ada pensil di dalam kotak. merah, hijau, oranye dan kuning dan hitam. Berapa peluang terambilnya pensil merah atau hijau?

Larutan:

Contoh 6.

Jika sebuah dadu dilempar dua kali, berapakah peluang munculnya mata dadu berjumlah 8?

Larutan.

Bagaimana kita bisa mendapatkan poin?

(dan) atau (dan) atau (dan) atau (dan) atau (dan).

Peluang terambilnya satu (setiap) wajah adalah .

Kami menghitung probabilitasnya:

Pelatihan.

Saya rasa sekarang Anda mengerti kapan Anda perlu menghitung probabilitas, kapan harus menjumlahkannya, dan kapan harus mengalikannya. Bukankah begitu? Mari berlatih sedikit.

Tugas:

Mari kita ambil setumpuk kartu yang berisi kartu termasuk sekop, hati, 13 tongkat, dan 13 berlian. Dari hingga As masing-masing setelan.

1. Berapa peluang terambilnya tongkat secara berurutan (kita meletakkan kartu pertama yang ditarik kembali ke dalam tumpukan dan mengocoknya)?
2. Berapa peluang terambilnya kartu hitam (sekop atau pentungan)?
3. Berapa peluang terambilnya gambar (jack, queen, king atau ace)?
4. Berapa peluang terambilnya dua gambar berturut-turut (kita mengeluarkan kartu pertama yang diambil dari tumpukan)?
5. Berapa probabilitas, dengan mengambil dua kartu, untuk mengumpulkan kombinasi - (jack, queen atau king) dan kartu as?

Jawaban:

Jika Anda mampu menyelesaikan semua masalah sendiri, maka Anda hebat! Sekarang Anda akan memecahkan soal teori probabilitas dalam Ujian Negara Bersatu seperti orang gila!

TEORI PROBABILITAS. LEVEL RATA-RATA

Mari kita lihat sebuah contoh. Katakanlah kita melempar sebuah dadu. Tulang macam apa ini, tahukah kamu? Inilah yang mereka sebut kubus dengan angka di wajahnya. Berapa banyak wajah, begitu banyak angka: dari sampai berapa? Sebelum.

Jadi kita melempar dadu dan kita menginginkannya muncul atau. Dan kami mengerti.

Dalam teori probabilitas, mereka mengatakan apa yang terjadi peristiwa yang menguntungkan(jangan bingung dengan makmur).

Jika itu terjadi, acaranya juga akan menguntungkan. Secara total, hanya dua peristiwa menguntungkan yang bisa terjadi.

Berapa banyak yang tidak menguntungkan? Karena ada total kejadian yang mungkin terjadi, maka kejadian yang tidak menguntungkan adalah kejadian (ini jika atau rontok).

Definisi:

Probabilitas adalah perbandingan jumlah kejadian yang menguntungkan dengan jumlah semua kejadian yang mungkin terjadi. Artinya, probabilitas menunjukkan berapa proporsi semua kemungkinan kejadian yang menguntungkan.

Menunjukkan kemungkinan huruf latin(tampaknya dari kata Bahasa Inggris kemungkinan - kemungkinan).

Merupakan kebiasaan untuk mengukur probabilitas sebagai persentase (lihat topik). Untuk melakukan ini, nilai probabilitas harus dikalikan. Dalam contoh dengan dadu kemungkinan.

Dan dalam persentase: .

Contoh (putuskan sendiri):

1. Berapa peluang munculnya kepala pada saat pelemparan sebuah koin? Berapa kemungkinan mendaratnya kepala?
2. Dengan probabilitas berapa saat melempar dadu Apakah angkanya akan genap? Yang mana yang aneh?
3. Di dalam kotak pensil sederhana, biru dan merah. Kami menggambar satu pensil secara acak. Berapa peluang terambilnya yang sederhana?

Solusi:

1. Berapa banyak pilihan yang ada? Kepala dan ekor - hanya dua. Berapa banyak yang menguntungkan? Hanya satu yang seekor elang. Jadi kemungkinannya

   Sama halnya dengan ekor: .

2. Pilihan total: (berapa banyak sisi yang dimiliki kubus, banyak sekali berbagai pilihan). Yang menguntungkan: (ini semua bilangan genap :).
   Kemungkinan. Tentu saja sama halnya dengan angka ganjil.
3. Jumlah: . Menguntungkan: . Kemungkinan: .

Kemungkinan total

Semua pensil di dalam kotak berwarna hijau. Berapa peluang terambilnya pensil merah? Tidak ada peluang: probabilitas (bagaimanapun juga, peristiwa yang menguntungkan -).

Peristiwa seperti ini disebut mustahil.

Berapa peluang terambilnya pensil hijau? Jumlah peristiwa menguntungkan sama persis dengan jumlah peristiwa total (semua peristiwa menguntungkan). Jadi probabilitasnya sama dengan atau.

Peristiwa seperti ini disebut dapat diandalkan.

Jika sebuah kotak berisi pensil hijau dan merah, berapa peluang terambilnya pensil hijau atau merah? Sekali lagi. Perhatikan ini: peluang terambilnya warna hijau adalah sama, dan peluang terambilnya warna merah adalah sama.

Singkatnya, probabilitas ini sama persis. Itu adalah, jumlah peluang semua kejadian yang mungkin terjadi sama dengan atau.

Contoh:

Di dalam kotak pensil, di antaranya berwarna biru, merah, hijau, polos, kuning, dan selebihnya oranye. Berapa peluang terambilnya warna hijau?

Larutan:

Kami ingat bahwa semua kemungkinan bertambah. Dan kemungkinan menjadi hijau adalah sama. Artinya peluang tidak terambilnya warna hijau adalah sama.

Ingat trik ini: Peluang tidak terjadinya suatu peristiwa sama dengan dikurangi peluang terjadinya peristiwa tersebut.

Peristiwa bebas dan aturan perkalian

Anda melempar koin sekali dan ingin koin itu muncul dua kali. Seberapa besar kemungkinannya?

Mari kita lihat semua opsi yang memungkinkan dan tentukan berapa banyak yang ada:

Kepala-Kepala, Ekor-Kepala, Kepala-Ekor, Ekor-Ekor. Apa lagi?

Jumlah pilihan. Dari jumlah tersebut, hanya satu yang cocok untuk kita: Elang-Elang. Secara total, kemungkinannya sama.

Bagus. Sekarang mari kita melempar koin satu kali. Hitung sendiri. Telah terjadi? (menjawab).

Anda mungkin telah memperhatikan bahwa dengan penambahan setiap lemparan berikutnya, kemungkinannya berkurang setengahnya. Peraturan umum ditelepon aturan perkalian:

Kemungkinan kejadian independen berubah.

Apa itu acara independen? Semuanya logis: inilah yang tidak bergantung satu sama lain. Misalnya, ketika kita melempar koin beberapa kali, setiap kali dilakukan lemparan baru, yang hasilnya tidak bergantung pada semua lemparan sebelumnya. Kita bisa dengan mudah melempar dua koin berbeda secara bersamaan.

Contoh lainnya:

1. Dadu dilempar dua kali. Berapa peluang terambilnya kedua kali tersebut?
2. Koin tersebut dilempar satu kali. Berapa probabilitas bahwa ia akan muncul pertama kali dan kemudian muncul dua kali?
3. Pemain melempar dua dadu. Berapa peluang terambilnya angka-angka yang sama?

Jawaban:

1. Peristiwa-peristiwa tersebut bersifat independen, yang berarti aturan perkalian berlaku: .
2. Kemungkinan munculnya kepala adalah sama. Kemungkinan ekornya sama. Berkembang biak:
3. 12 hanya dapat diperoleh jika dua -ki dilempar: .

Peristiwa yang tidak kompatibel dan aturan penambahan

Peristiwa yang saling melengkapi disebut tidak kompatibel. kemungkinan penuh. Seperti namanya, hal tersebut tidak bisa terjadi secara bersamaan. Misalnya, jika kita melempar koin, maka yang muncul adalah kepala atau ekor.

Contoh.

Di dalam kotak pensil, di antaranya berwarna biru, merah, hijau, polos, kuning, dan selebihnya oranye. Berapa peluang terambilnya warna hijau atau merah?

Solusi.

Peluang terambilnya pensil hijau adalah sama. Merah - .

Peristiwa yang menguntungkan secara keseluruhan: hijau + merah. Artinya peluang terambilnya warna hijau atau merah adalah sama.

Probabilitas yang sama dapat direpresentasikan dalam bentuk ini: .

Ini adalah aturan penjumlahan: kemungkinan kejadian yang tidak kompatibel bertambah.

Masalah tipe campuran

Contoh.

Koin tersebut dilempar sebanyak dua kali. Berapa peluang hasil pelemparannya berbeda?

Solusi.

Artinya, jika hasil pertama adalah kepala, maka hasil kedua harus ekor, dan sebaliknya. Ternyata ada dua pasang kejadian yang saling bebas, dan pasangan tersebut tidak cocok satu sama lain. Bagaimana agar tidak bingung dimana harus mengalikan dan dimana harus menambah.

Ada aturan sederhana untuk situasi seperti ini. Coba jelaskan apa yang akan terjadi dengan menggunakan kata sambung “DAN” atau “ATAU”. Misalnya, di pada kasus ini:

Seharusnya muncul (kepala dan ekor) atau (ekor dan kepala).

Jika ada konjungsi “dan” maka akan terjadi perkalian, dan jika ada “atau” maka akan terjadi penjumlahan:

Cobalah sendiri:

1. Berapakah peluang jika sebuah mata uang logam dilempar dua kali, mata uang logam tersebut akan mendarat pada sisi yang sama pada kedua kali pelemparan tersebut?
2. Dadu dilempar dua kali. Berapa peluang mendapatkan total poin?

Solusi:

Contoh lain:

Melempar koin satu kali. Berapa peluang munculnya kepala paling sedikit satu kali?

Larutan:

TEORI PROBABILITAS. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

Probabilitas adalah perbandingan jumlah kejadian yang menguntungkan dengan jumlah semua kejadian yang mungkin terjadi.

Acara independen

Dua kejadian dikatakan independen jika terjadinya salah satu kejadian tidak mengubah peluang terjadinya kejadian lainnya.

Kemungkinan total

Peluang semua kejadian yang mungkin terjadi sama dengan ().

Peluang tidak terjadinya suatu peristiwa sama dengan dikurangi peluang terjadinya peristiwa tersebut.

Aturan untuk mengalikan peluang kejadian independen

Peluang suatu rangkaian kejadian independen tertentu sama dengan hasil kali peluang setiap kejadian

Peristiwa yang tidak kompatibel

Peristiwa yang tidak kompatibel adalah peristiwa yang tidak mungkin terjadi secara bersamaan sebagai akibat dari suatu percobaan. Sejumlah peristiwa yang tidak kompatibel membentuk kelompok peristiwa yang lengkap.

Kemungkinan kejadian yang tidak kompatibel bertambah.

Setelah menjelaskan apa yang seharusnya terjadi, dengan menggunakan konjungsi “AND” atau “OR”, alih-alih “AND” kita beri tanda perkalian, dan sebagai ganti “OR” kita beri tanda penjumlahan.

Nah, topiknya sudah selesai. Jika Anda membaca baris-baris ini, itu berarti Anda sangat keren.

Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda membaca sampai akhir, Anda termasuk dalam 5% ini!

Sekarang hal yang paling penting.

Anda telah memahami teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini luar biasa! Anda sudah lebih baik dari sebagian besar rekan Anda.

Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup...

Untuk apa?

Untuk berhasil diselesaikan Ujian Negara Bersatu, untuk masuk perguruan tinggi dengan anggaran terbatas dan, YANG PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal...

Orang yang menerima pendidikan yang baik, dapatkan lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tapi ini bukanlah hal yang utama.

Yang penting mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena masih banyak yang terbuka di hadapan mereka lebih banyak kemungkinan dan hidup menjadi lebih cerah? Tidak tahu...

Tapi pikirkan sendiri...

Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik dari orang lain dalam Ujian Negara Bersatu dan pada akhirnya menjadi... lebih bahagia?

DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MEMECAHKAN MASALAH PADA TOPIK INI.

Anda tidak akan dimintai teori selama ujian.

Anda akan perlu memecahkan masalah melawan waktu.

Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak punya waktu.

Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulanginya berkali-kali agar bisa menang.

Temukan koleksinya di mana pun Anda mau, tentu dengan solusi, analisis rinci dan putuskan, putuskan, putuskan!

Anda dapat menggunakan tugas kami (opsional) dan tentu saja kami merekomendasikannya.

Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.

Bagaimana? Ada dua pilihan:

1. Buka kunci semua tugas tersembunyi di artikel ini - 299 gosok.
2. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di 99 artikel buku teks - 499 gosok.

Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks kami dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.

Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan selama SELURUH umur situs.

Kesimpulannya...

Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti pada teori.

“Dipahami” dan “Saya bisa menyelesaikannya” adalah keterampilan yang sangat berbeda. Anda membutuhkan keduanya.

Temukan masalah dan selesaikan!

Universitas Teknik Negeri Nizhny Novgorod

mereka. A.E. Alekseeva

Abstrak tentang teori disiplin probabilitas

Diselesaikan oleh: Ruchina N.A gr 10MEnz

Diperiksa oleh: Gladkov V.V.

Nizhny Novgorod, 2011

Teori probabilitas……………………………………

Pokok bahasan teori probabilitas……………………………

Konsep dasar teori probabilitas………

Kejadian acak, peluang kejadian..................................................................................

Batasi teorema……………………………………

Proses acak…………………………………………………

Referensi sejarah…………………………………

Buku Bekas………………………………………

Teori probabilitas

Teori probabilitas - ilmu matematika yang memungkinkan probabilitas beberapa peristiwa acak temukan probabilitas kejadian acak lainnya yang berhubungan dengan kejadian pertama.

Pernyataan bahwa suatu peristiwa terjadi dengan probabilitas , sama dengan, misalnya, 0,75, tidak dengan sendirinya mewakili nilai akhir, karena kami berusaha untuk mendapatkan pengetahuan yang dapat diandalkan. Nilai kognitif terakhir adalah hasil teori probabilitas yang memungkinkan kita menyatakan probabilitas terjadinya suatu peristiwa A sangat dekat dengan kesatuan atau (yang sama) kemungkinan terjadinya peristiwa tersebut A sangat kecil. Sesuai dengan prinsip “mengabaikan probabilitas yang cukup kecil”, peristiwa seperti itu dianggap pasti secara praktis. Kesimpulan semacam ini yang mempunyai kepentingan ilmiah dan praktis biasanya didasarkan pada asumsi bahwa terjadi atau tidak terjadinya suatu peristiwa. A bergantung pada sejumlah besar faktor acak yang tidak banyak berhubungan satu sama lain . Oleh karena itu, kita juga dapat mengatakan bahwa teori probabilitas adalah ilmu matematika yang menjelaskan pola-pola yang muncul selama interaksi sejumlah besar faktor acak.

Subyek teori probabilitas

Subyek teori probabilitas. Untuk menggambarkan hubungan alami antara kondisi tertentu S dan acara A, kejadian atau tidak terjadinya yang dalam kondisi tertentu dapat ditentukan secara akurat, ilmu pengetahuan alam biasanya menggunakan salah satu dari dua skema berikut:

a) setiap kali kondisi terpenuhi S sebuah acara datang A. Misalnya, semua hukum mekanika klasik mempunyai bentuk ini, yang menyatakan hal itu untuk diberikan kondisi awal dan gaya yang bekerja pada suatu benda atau sistem benda, gerakan akan terjadi dengan cara yang ditentukan secara unik.

b) Dalam kondisi S peristiwa A mempunyai kemungkinan tertentu P(SEBAGAI), sama dengan R. Misalnya, hukum radiasi radioaktif menyatakan bahwa untuk setiap zat radioaktif terdapat probabilitas tertentu kuantitas yang diberikan suatu zat akan meluruh dalam jangka waktu tertentu N atom.

Sebut saja frekuensi kejadiannya A dalam seri ini dari N tes (yaitu, dari N penerapan kondisi secara berulang-ulang S) sikap jam = m/n angka M tes-tes itu di mana A datang, ke jumlah total mereka N. Ketersediaan acara A dalam kondisi S probabilitas tertentu sama dengan R, memanifestasikan dirinya dalam kenyataan bahwa di hampir setiap rangkaian pengujian yang cukup panjang, frekuensi kejadiannya A kira-kira sama dengan R.

Pola statistik, yaitu pola yang digambarkan dengan skema tipe (b), pertama kali ditemukan dalam permainan judi seperti dadu. Pola statistik kelahiran dan kematian juga telah diketahui sejak lama (misalnya peluang bayi baru lahir berjenis kelamin laki-laki adalah 0,515). Akhir abad ke-19 dan paruh pertama abad ke-20. ditandai dengan ditemukannya sejumlah besar hukum statistika di bidang fisika, kimia, biologi, dan lain-lain.

Kemungkinan penerapan metode teori probabilitas pada studi pola statistik yang berkaitan dengan bidang ilmu yang sangat jauh satu sama lain didasarkan pada kenyataan bahwa probabilitas suatu peristiwa selalu memenuhi hubungan sederhana tertentu. Studi tentang sifat-sifat probabilitas suatu peristiwa berdasarkan hubungan sederhana ini adalah pokok bahasan teori probabilitas.

Konsep dasar teori probabilitas

Konsep dasar teori probabilitas. Konsep dasar teori probabilitas, sebagai disiplin matematika, didefinisikan secara paling sederhana dalam kerangka apa yang disebut teori probabilitas dasar. Setiap ujian T, yang dipertimbangkan dalam teori probabilitas dasar adalah sedemikian rupa sehingga berakhir pada satu dan hanya satu kejadian E 1 , E 2 ,...,E S (dengan satu atau lain cara, tergantung kasusnya). Peristiwa ini disebut hasil percobaan. Dengan setiap hasil E k bilangan positif terkait R Ke - kemungkinan hasil ini. Angka P k harus berjumlah satu. Peristiwa kemudian dipertimbangkan A, terdiri dari fakta bahwa “itu terjadi atau E Saya , atau E J ,..., atau E k" Hasil E Saya , E J ,...,E k disebut menguntungkan A, dan menurut definisi mereka mengasumsikan kemungkinannya R(A) acara A, sama dengan jumlahnya kemungkinan hasil yang menguntungkan:

P(A) =P Saya +P S +… +P k . (1)

Kasus spesial P 1 =P 2 =...P s = 1/Dtk mengarah ke rumus

R(A) =r/s.(2)

Rumus (2) mengungkapkan apa yang disebut definisi klasik tentang probabilitas, yang menurutnya probabilitas suatu peristiwa A sama dengan perbandingan bilangan tersebut R hasil yang menguntungkan A, ke nomor tersebut S semua hasil yang “sama mungkin”. Definisi klasik tentang probabilitas hanya mereduksi konsep “probabilitas” menjadi konsep “kemungkinan yang sama”, yang masih belum memiliki definisi yang jelas.

Contoh. Saat melempar dua dadu, masing-masing dari 36 kemungkinan hasil dapat ditunjukkan dengan ( Saya,J), Di mana Saya- jumlah poin yang dilempar pada dadu pertama, J- Yang kedua. Hasil yang diperoleh diasumsikan memiliki kemungkinan yang sama. Peristiwa A -“jumlah poinnya adalah 4”, tiga hasil menguntungkan (1; 3), (2; 2), (3; 1). Karena itu, R(A) = 3/36= 1/12.

Berdasarkan kejadian tertentu, dua kejadian baru dapat ditentukan: gabungannya (jumlah) dan kombinasinya (hasil kali).

Peristiwa DI DALAM disebut pengumpulan peristiwa A 1 , A 2 ,...,A R ,-, jika berbentuk: “datang atau A 1 , atau A 2 ,..., atau A R ».

Peristiwa C disebut gabungan peristiwa A 1 , A. 2 ,...,A R , jika berbentuk: “datang dan A 1 , Dan A 2 ,..., Dan A R » . Penggabungan peristiwa dilambangkan dengan tanda, dan penggabungan dengan tanda. Jadi, mereka menulis:

B = SEBUAH 1  A 2  …  A R , C = A 1  A 2  …  A R .

Acara A Dan DI DALAM disebut tidak kompatibel jika penerapannya secara simultan tidak mungkin dilakukan, yaitu jika tidak ada satu pun hasil pengujian yang menguntungkan dan A Dan DI DALAM.

Operasi penggabungan dan penggabungan peristiwa yang diperkenalkan dikaitkan dengan dua teorema utama teori probabilitas - teorema penjumlahan dan perkalian probabilitas.

Teorema penjumlahan probabilitas: Jika peristiwa A 1 ,A 2 ,...,A R sedemikian rupa sehingga setiap dua dari keduanya tidak kompatibel, maka peluang penyatuannya sama dengan jumlah peluangnya.

Jadi, pada contoh pelemparan dua dadu di atas, kejadiannya DI DALAM -“jumlah poin tidak melebihi 4”, terdapat gabungan dari tiga kejadian yang tidak sesuai A 2 ,A 3 ,A 4, terdiri dari fakta bahwa jumlah poin masing-masing sama dengan 2, 3, 4. Peluang kejadian ini adalah 1/36; 36/2; 3/36. Menurut teorema penjumlahan, probabilitas R(DI DALAM) sama dengan

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

Acara A 1 ,A 2 ,...,A r disebut independen jika probabilitas bersyarat dari masing-masing r, asalkan salah satu r lainnya telah terjadi, sama dengan probabilitas “tanpa syarat”.

Teorema perkalian probabilitas: Kemungkinan terjadinya penggabungan peristiwa A 1 ,A 2 ,...,A r sama dengan probabilitas kejadian tersebut A 1 , dikalikan dengan probabilitas kejadian tersebut A 2 diambil dengan syarat bahwa A 1 terjadi,..., dikalikan dengan peluang kejadian tersebut A r dengan syarat itu A 1 ,A 2 ,...,A r-1 telah tiba. Untuk kejadian bebas, teorema perkalian menghasilkan rumus:

P(A 1 A 2 …A R) =P(A 1 )P(A 2 )· … · P(A R), (3)

artinya, peluang terjadinya penggabungan kejadian-kejadian independen sama dengan hasil kali peluang kejadian-kejadian tersebut. Rumus (3) tetap berlaku apabila pada kedua bagiannya beberapa peristiwa diganti dengan kebalikannya.

Contoh. 4 tembakan ditembakkan ke sasaran dengan probabilitas mengenai 0,2 per tembakan. Pukulan sasaran dari tembakan yang berbeda diasumsikan sebagai peristiwa yang berdiri sendiri. Berapa peluang mengenai sasaran tepat tiga kali?

Setiap hasil tes dapat ditunjukkan dengan urutan empat huruf [misalnya (y, n, n, y) berarti tembakan pertama dan keempat mengenai (berhasil), dan tembakan kedua dan ketiga tidak mengenai (gagal)]. Akan ada total 2·2·2·2 = 16 hasil. Sesuai dengan asumsi independensi hasil tembakan individu, rumus (3) dan catatannya harus digunakan untuk menentukan probabilitas hasil tersebut. Jadi, probabilitas hasil (y, n.n, n) harus ditetapkan sama dengan 0.2·0.8·0.8·0.8 = 0.1024; di sini 0,8 = 1-0,2 adalah kemungkinan meleset dengan satu tembakan. Peristiwa “target tercapai tiga kali” disukai oleh hasil (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y). (n, y, y, y), peluang masing-masingnya sama:

0,2 0,2 ​​0,2 ​​0,8 =...... =0,8 0,2 0,2 ​​0,2 ​​= 0,0064;

oleh karena itu, probabilitas yang diperlukan adalah sama dengan

4·0,0064 = 0,0256.

Meringkas alasan dari contoh yang dianalisis, kita dapat memperoleh salah satu rumus dasar teori probabilitas: jika peristiwa A 1 , A 2 ,..., A N independen dan memiliki probabilitas masing-masing R, maka peluang terjadinya adalah tepat M diantaranya adalah sama

P N (M)= C N M P M (1 - hal) nm ; (4)

Di Sini C N M menunjukkan jumlah kombinasi N elemen oleh M. Pada umumnya N perhitungan menggunakan rumus (4) menjadi sulit.

Di antara rumus dasar teori probabilitas dasar juga ada yang disebut rumus probabilitas total: jika acara A 1 , A 2 ,..., A R tidak cocok berpasangan dan penyatuan mereka adalah peristiwa yang dapat diandalkan, maka untuk peristiwa apa pun DI DALAM probabilitasnya sama dengan jumlah mereka.

Teorema perkalian probabilitas sangat berguna ketika mempertimbangkan pengujian gabungan. Mereka bilang itu ujian T terdiri dari tes T 1 , T 2 ,..., T n-1 , T N, Jika setiap hasil tes T ada kombinasi dari beberapa hasil A Saya , B J ,..., X k ,Y aku tes yang relevan T 1 , T 2 ,..., T n-1 , T N. Karena satu dan lain hal, probabilitas sering kali diketahui

P(A Saya), P(B J /A Saya), …,P(Y aku /A Saya B J …X k). (5)

Dari peluang (5) dengan menggunakan teorema perkalian, dapat ditentukan peluangnya R(E) untuk semua hasil E tes komposit, dan pada saat yang sama probabilitas semua kejadian yang terkait dengan tes ini. Yang paling signifikan poin praktis Dari sudut pandang kami, ada dua jenis pengujian gabungan:

a) komponen tes bersifat independen, yaitu probabilitas (5) sama dengan probabilitas tanpa syarat P(A Saya), P(B J),..., P(Y aku);

b) probabilitas hasil suatu pengujian hanya dipengaruhi oleh hasil pengujian sebelumnya, yaitu probabilitas (5) masing-masing sama: P(A Saya), P(B J /A Saya),..., P(Y Saya /X k). Dalam hal ini, kita berbicara tentang pengujian yang terhubung dalam rantai Markov. Probabilitas semua kejadian yang terkait dengan pengujian gabungan sepenuhnya ditentukan di sini oleh probabilitas awal R(A Saya) dan probabilitas transisi P(B J /A Saya),..., P(Y aku /X k).

Rumus dasar dalam teori probabilitas

Rumus teori probabilitas.

1. Rumus dasar kombinatorik

a) permutasi.

\b) penempatan

c) kombinasi .

2. Definisi klasik tentang probabilitas.

Dimana banyaknya hasil yang menguntungkan kejadian tersebut, adalah banyaknya semua hasil dasar yang sama-sama mungkin terjadi.

3. Probabilitas jumlah kejadian

Teorema penjumlahan peluang kejadian yang tidak sesuai:

Teorema penjumlahan peluang kejadian gabungan:

4. Kemungkinan terjadinya peristiwa

Teorema perkalian peluang kejadian independen:

Teorema untuk mengalikan peluang kejadian tak bebas:

,

Probabilitas bersyarat suatu peristiwa jika peristiwa itu terjadi

Probabilitas bersyarat suatu peristiwa jika peristiwa itu terjadi.

Kombinatorik adalah cabang matematika yang mempelajari pertanyaan tentang berapa banyak kombinasi berbeda, tergantung pada kondisi tertentu, yang dapat dibuat dari objek tertentu. Dasar-dasar kombinatorik sangat penting untuk memperkirakan probabilitas kejadian acak, karena Merekalah yang memungkinkan kita menghitung jumlah kemungkinan varian berbeda untuk perkembangan peristiwa.

Rumus dasar kombinatorik

Misalkan terdapat k kelompok unsur, dan golongan ke-i terdiri dari ni unsur. Mari kita pilih satu elemen dari setiap grup. Kemudian jumlah total N cara membuat pilihan tersebut ditentukan oleh relasi N=n1*n2*n3*...*nk.

Contoh 1. Mari kita jelaskan aturan ini dengan contoh sederhana. Misalkan ada dua kelompok unsur, dan kelompok pertama terdiri dari n1 unsur, dan kelompok kedua terdiri dari n2 unsur. Berapa banyak pasangan unsur berbeda yang dapat dibuat dari kedua golongan tersebut, sehingga pasangan tersebut mengandung satu unsur dari setiap golongan? Katakanlah kita mengambil elemen pertama dari grup pertama dan, tanpa mengubahnya, menelusuri semua pasangan yang mungkin, hanya mengubah elemen dari grup kedua. Ada n2 pasangan untuk elemen ini. Kemudian kita mengambil elemen kedua dari grup pertama dan juga membuat semua kemungkinan pasangan untuknya. Akan ada juga n2 pasangan seperti itu. Karena hanya ada n1 elemen di grup pertama, total opsi yang mungkin adalah n1*n2.

Contoh 2. Berapa banyak bilangan genap tiga angka yang dapat dibuat dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 jika angka-angka tersebut dapat diulang?

Penyelesaian: n1=6 (karena kamu bisa mengambil angka apa pun dari 1, 2, 3, 4, 5, 6 sebagai angka pertama), n2=7 (karena kamu bisa mengambil angka apa pun dari 0 sebagai angka kedua, 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n3=4 (karena bilangan apa pun dari 0, 2, 4, 6 dapat diambil sebagai digit ketiga).

Jadi, N=n1*n2*n3=6*7*4=168.

Dalam hal semua kelompok terdiri dari nomor yang sama elemen, yaitu n1=n2=...nk=n kita dapat berasumsi bahwa setiap pilihan dibuat dari grup yang sama, dan elemen setelah seleksi dikembalikan ke grup. Maka banyaknya seluruh metode seleksi sama dengan nk. Metode seleksi ini disebut sampling dengan return.

Contoh. Berapa banyak bilangan empat angka yang dapat dibuat dari angka 1, 5, 6, 7, 8?

Larutan. Untuk setiap digit bilangan empat digit ada lima kemungkinan, artinya N=5*5*5*5=54=625.

Misalkan suatu himpunan terdiri dari n elemen. Kita akan menyebut himpunan ini sebagai populasi umum.

Definisi 1. Susunan n elemen dengan m adalah himpunan m yang terurut berbagai elemen, dipilih dari populasi dalam n elemen.

Contoh. Susunan tiga unsur (1, 2, 3) yang berbeda menjadi himpunan (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3 , 2 ). Penempatan mungkin berbeda satu sama lain baik dalam elemen maupun urutannya.

Banyaknya penempatan dilambangkan dengan A, m dari n dan dihitung dengan rumus:

Catatan: n!=1*2*3*...*n (baca: "en faktorial"), selain itu diasumsikan 0!=1.

Contoh 5. Berapa banyak bilangan dua angka yang angka puluhan dan angka satuannya berbeda dan ganjil?

Solusi: karena Ada lima bilangan ganjil yaitu 1, 3, 5, 7, 9, maka tugasnya adalah memilih dan menempatkan pada dua posisi yang berbeda dua dari lima digit berbeda, mis. angka yang ditunjukkan adalah:

Definisi 2. Kombinasi n elemen m adalah himpunan m elemen berbeda tak berurutan yang dipilih dari populasi n elemen.

Contoh 6. Untuk himpunan (1, 2, 3), kombinasinya adalah (1, 2), (1, 3), (2, 3).

Banyaknya kombinasi dilambangkan dengan Cnm dan dihitung dengan rumus:

Definisi 3. Permutasi n elemen adalah himpunan terurut dari elemen-elemen tersebut.

Contoh 7a. Semua kemungkinan permutasi suatu himpunan yang terdiri dari tiga anggota (1, 2, 3) adalah: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).

Banyaknya permutasi berbeda dari n elemen dilambangkan dengan Pn dan dihitung dengan rumus Pn=n!.

Contoh 8. Dalam berapa cara tujuh buku karya penulis berbeda dapat disusun dalam satu baris dalam satu rak?

Penyelesaian: Soal ini tentang banyaknya permutasi tujuh buku yang berbeda. Ada P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 cara menyusun buku.

Diskusi. Kita melihat bahwa banyaknya kemungkinan kombinasi dapat dihitung menurut aturan yang berbeda (permutasi, kombinasi, penempatan) dan hasilnya akan berbeda, karena Prinsip perhitungan dan rumusnya sendiri berbeda. Dengan memperhatikan definisinya dengan cermat, Anda akan melihat bahwa hasilnya bergantung pada beberapa faktor secara bersamaan.

Pertama, dari berapa banyak elemen yang dapat kita gabungkan himpunannya (seberapa besar totalitas elemennya).

Kedua, hasilnya bergantung pada ukuran kumpulan elemen yang kita butuhkan.

Terakhir, penting untuk mengetahui apakah urutan elemen dalam himpunan penting bagi kita. Mari kita jelaskan faktor terakhir menggunakan contoh berikut.

Contoh. Ada 20 orang yang hadir pada pertemuan orang tua. Berapa banyak pilihan susunan pengurus induk yang berbeda jika harus terdiri dari 5 orang?

Solusi: Dalam contoh ini, kami tidak tertarik pada urutan nama dalam daftar panitia. Jika, sebagai hasilnya, orang yang sama menjadi bagian darinya, maka bagi kami ini adalah pilihan yang sama. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan rumus untuk menghitung banyaknya kombinasi 20 unsur dari 5.

Hal-hal akan berbeda jika setiap anggota komite pada awalnya bertanggung jawab pada bidang pekerjaan tertentu. Lalu, dengan komposisi daftar panitia yang sama, kemungkinan besar ada 5 orang di dalamnya! permutasi yang penting. Banyaknya pilihan yang berbeda (baik dalam komposisi dan wilayah tanggung jawab) ditentukan dalam hal ini dengan jumlah penempatan 20 elemen 5.

Definisi geometris dari probabilitas

Misalkan pengujian acak dibayangkan sebagai pelemparan suatu titik secara acak ke dalam suatu daerah geometri G (pada garis lurus, bidang atau ruang). Hasil dasar adalah titik individual dari G, kejadian apa pun adalah himpunan bagian dari luas ini, ruang hasil dasar dari G. Kita dapat berasumsi bahwa semua titik di G adalah “sama” dan maka peluang suatu titik masuk ke dalam himpunan bagian tertentu adalah sebanding dengan ukurannya (panjang, luas, volume) dan tidak bergantung pada letak dan bentuknya.

Probabilitas geometrik suatu kejadian A ditentukan oleh relasi: , di mana m(G), m(A) adalah ukuran geometri (panjang, luas, atau volume) seluruh ruang hasil elementer dan kejadian A.

Contoh. Sebuah lingkaran berjari-jari r () dilemparkan secara acak pada sebuah bidang yang digambarkan dengan garis-garis sejajar dengan lebar 2d, yang jarak antara garis aksialnya sama dengan 2D. Tentukan peluang lingkaran tersebut berpotongan pada garis tertentu.

Larutan. Sebagai hasil dasar dari tes ini, kita akan mempertimbangkan jarak x dari pusat lingkaran ke garis tengah strip yang paling dekat dengan lingkaran. Maka seluruh ruang hasil dasar adalah sebuah segmen. Perpotongan lingkaran dengan garis akan terjadi jika pusatnya jatuh ke dalam garis, yaitu atau terletak dari tepi garis pada jarak yang kurang dari jari-jarinya, yaitu.

Untuk probabilitas yang diinginkan kita peroleh: .

Klasifikasi kejadian menjadi mungkin, mungkin dan acak. Konsep kejadian dasar sederhana dan kompleks. Operasi pada acara. Definisi klasik tentang peluang suatu kejadian acak dan sifat-sifatnya. Elemen kombinatorik dalam teori probabilitas. Probabilitas geometris. Aksioma teori probabilitas.

1. Klasifikasi peristiwa

Salah satu konsep dasar teori probabilitas adalah konsep suatu peristiwa. Peristiwa adalah segala fakta yang dapat terjadi sebagai akibat dari suatu pengalaman atau ujian. Yang kami maksud dengan pengalaman, atau ujian, adalah penerapan serangkaian kondisi tertentu.

Contoh acara:

– mengenai sasaran ketika menembakkan senjata (pengalaman - melakukan tembakan; peristiwa - mengenai sasaran);

– hilangnya dua lambang saat melempar koin tiga kali (pengalaman - melempar koin tiga kali; peristiwa - hilangnya dua lambang);

– munculnya kesalahan pengukuran dalam batas yang ditentukan saat mengukur rentang ke suatu target (pengalaman - pengukuran rentang; peristiwa - kesalahan pengukuran).

Contoh serupa yang tak terhitung jumlahnya dapat diberikan. Acara ditentukan dalam huruf kapital Alfabet Latin, dll.

Bedakan antara acara gabungan dan non-gabungan. Peristiwa disebut gabungan apabila terjadinya salah satu peristiwa tidak meniadakan terjadinya peristiwa yang lain. Jika tidak, peristiwa tersebut disebut tidak kompatibel. Misalnya dua buah dadu dilempar. Acara - tiga poin jatuh pada dadu pertama, acara - tiga poin jatuh pada dadu kedua dan - acara gabungan. Biarkan sebuah toko menerima sejumlah sepatu dengan model dan ukuran yang sama, tetapi warnanya berbeda. Peristiwa – kotak yang diambil secara acak ternyata berisi sepatu hitam, peristiwa – kotak tersebut ternyata berisi sepatu coklat, dan – peristiwa yang tidak sesuai.

Suatu peristiwa disebut dapat diandalkan jika peristiwa itu pasti terjadi dalam kondisi pengalaman tertentu.

Suatu peristiwa disebut mustahil jika tidak dapat terjadi dalam kondisi pengalaman tertentu. Misalnya, kejadian dimana suku cadang standar akan diambil dari kumpulan suku cadang standar dapat diandalkan, tetapi suku cadang non-standar tidak mungkin dilakukan.

Suatu peristiwa disebut mungkin, atau acak, jika peristiwa itu mungkin muncul, tetapi mungkin tidak muncul, sebagai akibat dari pengalaman. Contoh kejadian acak dapat berupa identifikasi cacat produk selama pemeriksaan sejumlah produk jadi, ketidaksesuaian antara ukuran produk yang diproses dan produk yang ditentukan, atau kegagalan salah satu tautan dalam sistem kendali otomatis. .

Peristiwa-peristiwa disebut sama mungkinnya jika, menurut kondisi pengujian, tidak satu pun dari peristiwa-peristiwa ini yang secara obyektif lebih mungkin terjadi daripada peristiwa-peristiwa lainnya. Misalnya, sebuah toko disuplai dengan bola lampu (dalam jumlah yang sama) oleh beberapa pabrik. Peristiwa yang melibatkan pembelian bola lampu dari salah satu pabrik ini juga mungkin terjadi.

Konsep yang penting adalah rangkaian peristiwa yang lengkap. Beberapa peristiwa dalam suatu percobaan tertentu membentuk kelompok lengkap jika paling sedikit salah satu di antaranya pasti muncul sebagai hasil percobaan tersebut. Misalnya, sebuah guci berisi sepuluh bola, enam bola berwarna merah, empat bola putih, dan lima bola bernomor. - Munculnya bola merah dalam satu kali seri, - Munculnya bola putih, - Munculnya bola bernomor. Acara membentuk kelompok acara bersama yang lengkap.

Mari kita perkenalkan konsep peristiwa yang berlawanan, atau tambahan. Peristiwa sebaliknya adalah suatu peristiwa yang pasti terjadi jika suatu peristiwa tidak terjadi. Peristiwa yang berlawanan tidak kompatibel dan satu-satunya yang mungkin. Mereka membentuk kelompok peristiwa yang lengkap. Misalnya, jika sekumpulan produk yang diproduksi terdiri dari produk yang baik dan produk yang cacat, maka ketika satu produk dikeluarkan, produk tersebut dapat berubah menjadi produk yang baik - suatu peristiwa, atau cacat - suatu peristiwa.

2. Operasi pada acara

Ketika mengembangkan peralatan dan metodologi untuk mempelajari kejadian acak dalam teori probabilitas, konsep jumlah dan hasil kali kejadian sangatlah penting.

Ibu mencuci bingkai itu

Di akhir yang panjang liburan musim panas saatnya untuk perlahan kembali ke matematika yang lebih tinggi dan dengan sungguh-sungguh membuka file Verd yang kosong untuk mulai membuat bagian baru - . Saya akui, baris pertama tidak mudah, tetapi langkah pertama adalah setengah jalan, jadi saya sarankan semua orang mempelajari artikel pengantar dengan cermat, setelah itu menguasai topik akan 2 kali lebih mudah! Saya tidak melebih-lebihkan sama sekali. …Pada malam tanggal 1 September berikutnya, saya ingat kelas satu dan sekolah dasar…. Huruf terbentuk menjadi suku kata, suku kata menjadi kata, kata menjadi kalimat pendek- Ibu mencuci bingkainya. Mengatasi terver dan statistik matematika semudah belajar membaca! Namun, untuk ini Anda perlu mengetahuinya istilah-istilah kunci, konsep dan notasi, serta beberapa aturan khusus yang menjadi pokok bahasan pelajaran ini.

Tapi pertama-tama, terimalah ucapan selamat saya di awal (lanjutan, penyelesaian, catatan seperlunya) tahun ajaran dan menerima hadiahnya. Hadiah terbaik adalah sebuah buku, dan untuk pekerjaan mandiri Saya merekomendasikan literatur berikut:

1) Gmurman V.E. Teori Probabilitas dan Statistik Matematika

Legendaris tutorial, yang telah dicetak ulang lebih dari sepuluh kali. Ini dibedakan dari kejelasannya dan penyajian materinya yang sangat sederhana, dan bab-bab pertama, menurut saya, sudah dapat diakses sepenuhnya oleh siswa di kelas 6-7.

2) Gmurman V.E. Panduan untuk memecahkan masalah dalam teori probabilitas dan statistik matematika

Buku solusi oleh Vladimir Efimovich yang sama dengan contoh dan masalah terperinci.

PERLU unduh kedua buku tersebut dari Internet atau dapatkan versi aslinya! Versi dari tahun 60an dan 70an juga bisa digunakan, yang bahkan lebih baik lagi untuk orang bodoh. Meskipun ungkapan “teori probabilitas untuk boneka” terdengar agak konyol, karena hampir semuanya terbatas pada dasar operasi aritmatika. Namun, mereka melewatkannya di beberapa tempat turunan Dan integral, tapi ini hanya di beberapa tempat.

Saya akan mencoba untuk mencapai kejelasan presentasi yang sama, tetapi saya harus memperingatkan bahwa kursus saya ditujukan penyelesaian masalah dan perhitungan teoritis dijaga agar tetap minimum. Dengan demikian, jika memerlukan teori detail, pembuktian teorema (teorema-teorema!), silakan merujuk ke buku teks. Nah, siapa yang mau belajar memecahkan masalah dalam teori probabilitas dan statistik matematika paling banyak waktu singkat , ikuti aku!

Itu cukup untuk permulaan =)

Saat Anda membaca artikel, disarankan untuk mengenal (setidaknya secara singkat) tugas-tugas tambahan dari jenis yang dipertimbangkan. Di halaman Solusi siap pakai untuk matematika tingkat tinggi Pdf yang sesuai dengan contoh solusi akan diposting. Bantuan signifikan juga akan diberikan IDZ 18.1 Ryabushko(lebih sederhana) dan memecahkan IDZ menurut koleksi Chudesenko(lebih sulit).

1) Jumlah dua peristiwa dan disebut peristiwa yang akan terjadi atau peristiwa atau peristiwa atau kedua peristiwa tersebut pada saat yang bersamaan. Jika terjadi peristiwa tidak kompatibel, pilihan terakhir menghilang, yaitu mungkin terjadi atau peristiwa atau peristiwa .

Aturan ini juga berlaku untuk jumlah besar istilah, misalnya peristiwa itulah yang akan terjadi setidaknya satu dari peristiwa , A jika peristiwa tidak kompatibel – lalu satu hal dan hanya satu hal acara dari jumlah ini: atau peristiwa , atau peristiwa , atau peristiwa , atau peristiwa , atau peristiwa .

Ada banyak contoh:

Event (saat melempar dadu, 5 poin tidak akan muncul) itulah yang akan muncul atau 1, atau 2, atau 3, atau 4, atau 6 poin.

Acara (akan dibatalkan tidak lagi dua poin) adalah 1 akan muncul atau 2poin.

Peristiwa (akan bilangan genap poin) itulah yang akan digulirkan atau 2 atau 4 atau 6 poin.

Acaranya akan diambil kartu merah (hati) dari deck atau rebana), dan acaranya – bahwa “gambar” tersebut akan diekstraksi (jack atau wanita atau raja atau kartu as).

Yang sedikit lebih menarik adalah kasus acara bersama:

Acaranya adalah sebuah klub akan diambil dari dek atau tujuh atau tujuh klub Menurut definisi yang diberikan di atas, setidaknya sesuatu- atau klub mana pun atau tujuh klub mana pun atau "persimpangan" mereka - tujuh klub. Mudah untuk menghitung bahwa acara ini sesuai dengan 12 hasil dasar (9 kartu klub + 3 sisa tujuh).

Eventnya besok jam 12.00 akan datang SETIDAKNYA SATU dari acara gabungan yang dapat diringkas, yaitu:

– atau hanya akan ada hujan / hanya badai petir / hanya matahari;
– atau hanya beberapa peristiwa yang akan terjadi (hujan + badai petir / hujan + matahari / badai petir + matahari);
– atau ketiga peristiwa tersebut akan muncul secara bersamaan.

Artinya, kejadian tersebut mencakup 7 kemungkinan hasil.

Pilar kedua dari aljabar peristiwa:

2) Pekerjaan dua kejadian dan menyebut suatu kejadian yang terdiri dari kejadian gabungan dari kejadian-kejadian tersebut, dengan kata lain perkalian artinya dalam keadaan tertentu akan ada Dan peristiwa , Dan peristiwa . Pernyataan serupa juga berlaku untuk sejumlah besar peristiwa, misalnya, produk menyiratkan kapan kondisi tertentu akan terjadi Dan peristiwa , Dan peristiwa , Dan peristiwa , …, Dan peristiwa .

Misalkan sebuah tes pelemparan dua buah uang logam dan acara berikut:

– kepala akan muncul pada koin pertama;
– koin pertama akan mendaratkan kepala;
– kepala akan muncul pada koin ke-2;
– koin ke-2 akan mendaratkan kepala.

Kemudian:
Dan pada tanggal 2) kepala akan muncul;
– kejadiannya adalah pada kedua koin (pada tanggal 1 Dan pada tanggal 2) itu akan menjadi kepala;
– kejadiannya koin pertama akan mendaratkan kepala Dan koin ke-2 adalah ekor;
– kejadiannya koin pertama akan mendaratkan kepala Dan pada koin ke-2 ada elang.

Sangat mudah untuk melihat peristiwa itu tidak kompatibel (karena misalnya tidak bisa 2 kepala dan 2 ekor sekaligus) dan bentuk kelompok penuh (sejak diperhitungkan Semua kemungkinan hasil pelemparan dua uang logam). Mari kita rangkum peristiwa-peristiwa ini: . Bagaimana menafsirkan entri ini? Sangat sederhana - perkalian berarti penghubung logis DAN, dan tambahan – ATAU. Jadi jumlahnya mudah dibaca dan dimengerti bahasa manusia: “dua kepala akan muncul atau dua kepala atau koin pertama akan mendaratkan kepala Dan pada ekor ke-2 atau koin pertama akan mendaratkan kepala Dan pada koin ke 2 ada elang"

Ini adalah contoh ketika dalam satu tes beberapa benda terlibat, dalam hal ini dua koin. Kesamaan lainnya di masalah praktis oh diagramnya pengujian ulang , misalnya ketika sebuah dadu yang sama dilempar 3 kali berturut-turut. Sebagai demonstrasi, perhatikan kejadian berikut:

– pada lemparan pertama Anda akan mendapatkan 4 poin;
– pada lemparan ke-2 Anda akan mendapatkan 5 poin;
– pada lemparan ke-3 Anda akan mendapatkan 6 poin.

Lalu acaranya adalah pada lemparan pertama kamu akan mendapatkan 4 poin Dan pada lemparan ke 2 anda akan mendapatkan 5 poin Dan pada lemparan ke 3 anda akan mendapatkan 6 poin. Tentu saja, dalam kasus sebuah kubus akan terdapat lebih banyak kombinasi (hasil) dibandingkan jika kita melempar koin.

...Saya memahami bahwa mungkin mereka tidak memahaminya dengan baik contoh menarik, namun ini adalah hal-hal yang sering ditemui dalam permasalahan dan tidak ada jalan keluar darinya. Selain koin, sebuah kubus dan setumpuk kartu, guci dengan bola warna-warni, beberapa orang tanpa nama yang menembak sasaran, dan seorang pekerja tak kenal lelah yang terus-menerus mengerjakan beberapa detail menunggu Anda =)

Kemungkinan kejadian

Kemungkinan kejadian - Ini konsep sentral teori probabilitas. ...Suatu hal yang sangat logis, tetapi kita harus memulainya =) Ada beberapa pendekatan terhadap definisinya:

;
Definisi geometris dari probabilitas ;
Definisi statistik probabilitas .

Pada artikel ini saya akan fokus pada definisi klasik tentang probabilitas, yang paling banyak digunakan dalam tugas-tugas pendidikan.

Sebutan. Probabilitas suatu peristiwa tertentu ditunjukkan dengan huruf kapital Latin, dan peristiwa itu sendiri dimasukkan dalam tanda kurung, bertindak sebagai semacam argumen. Misalnya:

Selain itu, huruf kecil banyak digunakan untuk menunjukkan probabilitas. Secara khusus, Anda dapat mengabaikan sebutan peristiwa yang rumit dan kemungkinannya mendukung gaya berikut ::

– probabilitas pelemparan koin akan menghasilkan gambar;
– peluang pelemparan dadu menghasilkan 5 poin;
– probabilitas bahwa kartu dengan jenis klub akan diambil dari dek.

Pilihan ini populer ketika memecahkan masalah praktis, karena memungkinkan Anda mengurangi pencatatan solusi secara signifikan. Seperti dalam kasus pertama, akan lebih mudah untuk menggunakan subskrip/superskrip “berbicara” di sini.

Semua orang sudah lama menebak angka-angka yang baru saja saya tulis di atas, dan sekarang kita akan mencari tahu bagaimana hasilnya:

Definisi klasik tentang probabilitas:

Peluang terjadinya suatu peristiwa pada suatu pengujian tertentu disebut rasio, dimana:

– jumlah total semuanya sama mungkinnya, dasar hasil tes ini, yang bentuknya kumpulan acara lengkap;

- kuantitas dasar hasil, baik peristiwa.

Saat melempar koin, kepala atau ekornya bisa rontok - peristiwa ini terbentuk kelompok penuh, dengan demikian, jumlah total hasil; pada saat yang sama, masing-masing dari mereka dasar Dan sama mungkinnya. Peristiwa tersebut diunggulkan oleh hasil (kepala). Menurut definisi klasik tentang probabilitas: .

Demikian pula, sebagai hasil pelemparan sebuah dadu, hasil-hasil dasar yang sama mungkin muncul, membentuk kelompok yang lengkap, dan kejadian tersebut disukai oleh satu hasil (melemparkan lima). Itu sebabnya: INI TIDAK BOLEH DILAKUKAN (walaupun tidak dilarang memperkirakan persentase di kepala Anda).

Merupakan kebiasaan untuk menggunakan pecahan dari suatu satuan, dan, tentu saja, kemungkinannya dapat bervariasi dalam . Apalagi jika , maka kejadiannya adalah mustahil, Jika - dapat diandalkan, dan jika , maka yang kita bicarakan acak peristiwa.

! Jika, saat memecahkan masalah apa pun, Anda mendapatkan nilai probabilitas lain, carilah kesalahannya!

Dalam pendekatan klasik untuk menentukan probabilitas, nilai ekstrim (nol dan satu) diperoleh melalui alasan yang persis sama. Misalkan diambil 1 bola secara acak dari sebuah guci tertentu yang berisi 10 bola merah. Perhatikan peristiwa berikut ini:

dalam satu kali percobaan peristiwa dengan kemungkinan rendah tidak akan terjadi.

Inilah sebabnya mengapa Anda tidak akan mendapatkan jackpot dalam lotere jika probabilitas kejadian ini, katakanlah, 0,00000001. Ya, ya, itu Anda – yang memiliki satu-satunya tiket dalam sirkulasi tertentu. Namun, jumlah tiket yang lebih banyak dan jumlah pengundian yang lebih banyak tidak akan banyak membantu Anda. ...Ketika saya memberi tahu orang lain tentang hal ini, saya hampir selalu mendengar jawaban: “tetapi ada yang menang.” Oke, kalau begitu mari kita lakukan percobaan berikut: silakan beli tiket lotere apa pun hari ini atau besok (jangan tunda lagi!). Dan jika Anda menang... yah, setidaknya lebih dari 10 kilorubel, pastikan untuk mendaftar - saya akan menjelaskan mengapa ini terjadi. Tentu saja dalam persentase =) =)

Namun tidak perlu bersedih, karena ada prinsip sebaliknya: jika peluang suatu kejadian sangat mendekati satu, maka dalam sekali percobaan akan terjadi. hampir yakin akan terjadi. Oleh karena itu, sebelum terjun dengan parasut tidak perlu takut, malah sebaliknya tersenyumlah! Bagaimanapun, keadaan yang benar-benar tidak terpikirkan dan fantastis harus muncul agar kedua parasut tersebut gagal.

Meskipun semua ini adalah puisi, karena tergantung pada isi acaranya, prinsip pertama bisa jadi ceria, dan prinsip kedua – sedih; atau bahkan keduanya sejajar.

Mungkin cukup untuk saat ini, di kelas Masalah probabilitas klasik kita akan mendapatkan hasil maksimal dari formula tersebut. Di bagian akhir artikel ini, kita akan membahas satu teorema penting:

Jumlah peluang kejadian-kejadian yang membentuk kelompok lengkap sama dengan satu. Secara kasar, jika suatu peristiwa membentuk suatu kelompok yang lengkap, maka dengan probabilitas 100% salah satu peristiwa tersebut akan terjadi. Di bagian paling atas kasus sederhana suatu kelompok utuh dibentuk oleh peristiwa-peristiwa yang berlawanan, misalnya:

– sebagai hasil pelemparan koin, kepala akan muncul;
– hasil pelemparan koin adalah kepala.

Menurut teorema:

Sangat jelas bahwa kejadian-kejadian ini sama-sama mungkin terjadi dan probabilitasnya sama .

Karena persamaan probabilitas, kejadian-kejadian yang kemungkinannya sama sering kali disebut kemungkinan yang sama . Dan berikut ini twister lidah untuk menentukan derajat keracunan =)

Contoh dengan kubus: Oleh karena itu, kejadiannya berlawanan .

Teorema yang sedang dipertimbangkan berguna karena memungkinkan Anda dengan cepat menemukan kemungkinan kejadian sebaliknya. Jadi, jika peluang munculnya angka lima diketahui, maka mudah untuk menghitung peluang munculnya angka lima:

Ini jauh lebih sederhana daripada menjumlahkan probabilitas dari lima hasil dasar. Omong-omong, untuk hasil dasar, teorema ini juga benar:
. Misalnya, jika adalah probabilitas bahwa penembak akan mengenai sasaran, maka probabilitas bahwa ia akan meleset.

! Dalam teori probabilitas, penggunaan huruf untuk tujuan lain tidak diinginkan.

Untuk menghormati Hari Pengetahuan, saya tidak akan bertanya pekerjaan rumah=), namun sangat penting bagi Anda untuk dapat menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut:

– Jenis acara apa yang ada?
– Apa yang dimaksud dengan peluang dan persamaan kemungkinan terjadinya suatu peristiwa?
– Bagaimana Anda memahami istilah kompatibilitas/ketidakcocokan suatu peristiwa?
– Apa yang dimaksud dengan kumpulan peristiwa lengkap, peristiwa berlawanan?
– Apa yang dimaksud dengan penjumlahan dan perkalian suatu peristiwa?
- Apa gunanya? definisi klasik probabilitas?
– Mengapa teorema penjumlahan probabilitas kejadian-kejadian yang membentuk kelompok lengkap bermanfaat?

Tidak, Anda tidak perlu menjejalkan apa pun, ini hanyalah dasar-dasar teori probabilitas - semacam panduan yang akan segera masuk ke dalam kepala Anda. Dan agar hal ini terjadi sesegera mungkin, saya sarankan Anda membiasakan diri dengan pelajarannya

Bagian 12. Teori probabilitas.

1. Perkenalan

2. Konsep teori probabilitas yang paling sederhana

3. Aljabar kejadian

4. Kemungkinan suatu kejadian acak

5. Probabilitas geometris

6. Probabilitas klasik. Rumus kombinatorik.

7. Probabilitas bersyarat. Kemandirian acara.

8. Rumus probabilitas total dan rumus Bayes

9. Skema tes berulang. Rumus Bernoulli dan asimtotiknya

10. Variabel acak (RV)

11. Seri distribusi DSV

12. Fungsi integral distribusi

13. Fungsi distribusi NSV

14. Kepadatan probabilitas NSV

15. Karakteristik numerik variabel acak

16. Contoh distribusi penting TIDAK

16.1. Distribusi binomial DSV.

16.2. distribusi racun

16.3. Distribusi NSV yang seragam.

16.4. Distribusi normal.

17. Batasi teorema teori probabilitas.

Perkenalan

Teori probabilitas, seperti banyak disiplin matematika lainnya, dikembangkan dari kebutuhan praktik. Pada saat yang sama, ketika mempelajari proses nyata, perlu dibuat model matematika abstrak dari proses nyata. Biasanya yang utama, paling signifikan kekuatan pendorong proses nyata, membuang pertimbangan sekunder, yang disebut acak. Tentu saja, apa yang dianggap utama dan apa yang sekunder adalah tugas tersendiri. Pemecahan pertanyaan ini menentukan tingkat abstraksi, kesederhanaan atau kompleksitas model matematika dan tingkat kecukupan model terhadap proses nyata. Intinya, setiap model abstrak adalah hasil dari dua aspirasi yang berlawanan: kesederhanaan dan kecukupan terhadap kenyataan.

Misalnya, dalam teori menembak, rumus yang cukup sederhana dan mudah telah dikembangkan untuk menentukan jalur terbang proyektil dari senjata yang terletak di suatu titik (Gbr. 1).

Dalam kondisi tertentu, teori tersebut sudah cukup, misalnya pada saat persiapan artileri besar-besaran.

Namun, jelas bahwa jika beberapa tembakan ditembakkan dari satu senjata dalam kondisi yang sama, lintasannya, meski dekat, tetap berbeda. Dan jika ukuran targetnya kecil dibandingkan dengan luas hamburannya, maka muncul pertanyaan spesifik khususnya terkait pengaruh faktor-faktor yang tidak diperhitungkan dalam model yang diusulkan. Pada saat yang sama, akuntansi faktor tambahan akan mengarah ke juga model yang kompleks, yang hampir mustahil untuk digunakan. Selain itu, ada banyak faktor acak ini, yang sifatnya seringkali tidak diketahui.

Dalam contoh di atas, pertanyaan spesifik seperti itu melampaui batas model deterministik, misalnya adalah sebagai berikut: berapa banyak tembakan yang harus dilepaskan untuk menjamin mengenai sasaran dengan keyakinan tertentu (misalnya, pada )? Bagaimana cara melakukan zeroing agar jumlah peluru yang digunakan paling sedikit untuk mencapai target? dan seterusnya.

Seperti yang akan kita lihat nanti, kata “acak” dan “probabilitas” akan menjadi tegas istilah matematika. Namun, hal tersebut sangat umum terjadi dalam kehidupan sehari-hari pidato sehari-hari. Ada pendapat bahwa kata sifat “acak” adalah kebalikan dari “alami”. Namun, tidak demikian halnya, karena alam dirancang sedemikian rupa proses acak menemukan pola, tetapi dalam kondisi tertentu.

Kondisi utama disebut karakter massa.

Misalnya, jika Anda melempar koin, Anda tidak dapat memprediksi apa yang akan muncul, lambang atau angka, Anda hanya bisa menebak. Namun, jika Anda melempar koin ini jumlah yang besar kali proporsi lambang yang rontok tidak akan berbeda jauh dari angka tertentu yang mendekati 0,5 (selanjutnya kita akan menyebut angka ini sebagai probabilitas). Selain itu, dengan bertambahnya jumlah lemparan, maka penyimpangan dari angka tersebut akan berkurang. Properti ini disebut keberlanjutan indikator rata-rata (dalam hal ini - bagian lambang). Harus dikatakan bahwa pada langkah pertama teori probabilitas, ketika dalam praktiknya perlu untuk memverifikasi keberadaan sifat stabilitas, bahkan ilmuwan hebat pun tidak menganggap sulit untuk melakukan verifikasi mereka sendiri. Jadi, percobaan Buffon yang terkenal, yang melempar koin sebanyak 4040 kali, dan lambang muncul 2048 kali, oleh karena itu, pecahan (atau Frekuensi relatif) lambang adalah 0,508, yang secara intuitif mendekati angka yang diharapkan yaitu 0,5.

Oleh karena itu, definisi biasanya diberikan pokok bahasan teori probabilitas sebagai cabang matematika yang mempelajari pola proses acak massal.

Harus dikatakan bahwa, terlepas dari kenyataan bahwa pencapaian terbesar teori probabilitas sudah ada sejak awal abad yang lalu, terutama berkat konstruksi aksiomatik teori dalam karya A.N. Kolmogorov (1903-1987), minat mempelajari kecelakaan sudah muncul sejak lama.

Minat awalnya adalah mencoba menerapkan pendekatan numerik pada perjudian. Hasil teori probabilitas pertama yang cukup menarik biasanya dikaitkan dengan karya L. Pacioli (1494), D. Cardano (1526) dan N. Tartaglia (1556).

Kemudian B. Pascal (1623-1662), P. Fermat (1601-1665), H. Huygens (1629-1695) meletakkan dasar-dasarnya teori klasik probabilitas. Pada awal abad ke-18, J. Bernoulli (1654-1705) membentuk konsep peluang suatu kejadian acak sebagai perbandingan jumlah peluang yang menguntungkan dengan jumlah semua kemungkinan yang mungkin terjadi. E. Borel (1871-1956), A. Lomnitsky (1881-1941), R. Mises (1883-1953) membangun teorinya tentang penggunaan konsep ukuran suatu himpunan.

Sudut pandang teori himpunan disajikan dalam bentuknya yang paling lengkap pada tahun 1933. SEBUAH. Kolmogorov dalam monografinya “Konsep Dasar Teori Probabilitas”. Sejak saat inilah teori probabilitas menjadi ilmu matematika yang ketat.

Matematikawan Rusia P.L. memberikan kontribusi besar terhadap pengembangan teori probabilitas. Chebyshev (1821-1894), A.A. Markov (1856-1922), S.N. Bernstein (1880-1968) dan lain-lain.

Teori probabilitas berkembang pesat pada saat ini.

Konsep paling sederhana dari teori probabilitas

Seperti disiplin matematika lainnya, teori probabilitas dimulai dengan pengenalan konsep paling sederhana yang tidak didefinisikan, tetapi hanya dijelaskan.

Salah satu konsep utama utama adalah pengalaman. Pengalaman dipahami sebagai serangkaian kondisi tertentu yang dapat direproduksi dalam jumlah yang tidak terbatas. Kami akan menyebut setiap penerapan kompleks ini sebagai pengalaman atau ujian. Hasil percobaannya bisa saja berbeda, dan disinilah unsur kebetulan muncul. Berbagai hasil atau hasil dari suatu pengalaman disebut acara(lebih tepatnya, kejadian acak). Dengan demikian, selama pelaksanaan percobaan, peristiwa tertentu dapat terjadi. Dengan kata lain, kejadian acak merupakan hasil suatu percobaan yang mungkin terjadi (tampak) atau tidak terjadi pada saat pelaksanaan percobaan tersebut.

Pengalaman akan dilambangkan dengan huruf , dan kejadian acak biasanya dilambangkan dengan huruf kapital

Seringkali dalam suatu eksperimen dimungkinkan untuk mengidentifikasi terlebih dahulu hasil-hasilnya, yang dapat disebut paling sederhana, yang tidak dapat diuraikan menjadi lebih sederhana. Peristiwa seperti ini disebut peristiwa dasar(atau kasus).

Contoh 1. Biarkan koinnya dilempar. Hasil percobaannya adalah: hilangnya lambang (peristiwa ini kita nyatakan dengan huruf); hilangnya angka (dilambangkan dengan ). Maka kita dapat menulis: pengalaman = (melempar koin), hasil: Jelaslah kejadian elementer pada percobaan ini. Dengan kata lain, daftar semuanya peristiwa dasar pengalaman menggambarkannya secara lengkap. Dalam hal ini, kita dapat mengatakan bahwa pengalaman adalah ruang peristiwa-peristiwa dasar, dan dalam kasus kita, pengalaman dapat ditulis secara singkat dalam bentuk: = (lemparan koin) = (G; C).

Contoh 2. =(koin dilempar dua kali)= Berikut uraian verbal pengalaman dan daftar semua peristiwa dasar: artinya pertama, pada pelemparan koin pertama, sebuah lambang jatuh, pada pelemparan kedua, lambang juga jatuh; artinya lambang muncul pada pelemparan koin pertama, nomor pada pelemparan kedua, dan seterusnya.

Contoh 3. Dalam sistem koordinat, titik-titik dilempar ke dalam persegi. Dalam contoh ini, kejadian elementer adalah titik-titik dengan koordinat yang memenuhi pertidaksamaan tertentu. Secara singkat tertulis sebagai berikut:

Tanda titik dua dalam tanda kurung kurawal berarti terdiri dari titik-titik, tetapi tidak sembarang titik, tetapi hanya titik-titik yang memenuhi kondisi (atau kondisi) yang ditentukan setelah titik dua (dalam contoh kita, ini adalah pertidaksamaan).

Contoh 4. Koin dilempar sampai lambang pertama muncul. Dengan kata lain, pelemparan koin berlanjut hingga kepala mendarat. Dalam contoh ini, peristiwa-peristiwa dasar dapat dicantumkan, meskipun demikian jumlah yang tak terbatas:

Perhatikan bahwa dalam contoh 3 dan 4, ruang kejadian dasar mempunyai jumlah hasil yang tak terhingga. Dalam contoh 4 mereka dapat dicantumkan, mis. menghitung ulang. Himpunan seperti ini disebut dapat dihitung. Dalam Contoh 3, spasinya tidak dapat dihitung.

Mari kita perkenalkan dua peristiwa lagi yang hadir dalam pengalaman apa pun dan yang memiliki signifikansi teoretis yang besar.

Sebut saja acaranya mustahil, kecuali, sebagai akibat dari pengalaman, hal itu tidak terjadi. Kita akan menyatakannya dengan tanda himpunan kosong. Sebaliknya, peristiwa yang pasti terjadi akibat pengalaman disebut dapat diandalkan. Peristiwa yang dapat diandalkan ditandai dengan cara yang sama seperti ruang peristiwa dasar itu sendiri - dengan huruf .

Misalnya, saat melempar dadu, kejadian (pengambilan kurang dari 9 poin) dapat diandalkan, tetapi kejadian (tepatnya 9 poin yang digulung) tidak mungkin.

Jadi, ruang untuk acara-acara dasar bisa diberikan deskripsi verbal, mendaftar semua kejadian elementernya, menentukan aturan atau kondisi yang digunakan untuk memperoleh semua kejadian elementernya.

Aljabar peristiwa

Sampai saat ini kita hanya berbicara tentang peristiwa-peristiwa dasar yang merupakan akibat langsung dari pengalaman. Namun, dalam kerangka pengalaman, kita dapat berbicara tentang kejadian acak lainnya, selain kejadian dasar.

Contoh 5. Saat melempar dadu, selain kejadian dasar satu, dua,..., enam, masing-masing, kita dapat membicarakan kejadian lain: (bilangan genap), (bilangan ganjil), (kelipatan tiga), (angka kurang dari 4). DI DALAM dalam contoh ini Peristiwa-peristiwa ini, selain tugas verbal, dapat dikonkretkan dengan mencantumkan peristiwa-peristiwa dasar:

Pembentukan peristiwa-peristiwa baru dari peristiwa-peristiwa dasar, maupun dari peristiwa-peristiwa lainnya, dilakukan dengan menggunakan operasi (atau tindakan) pada peristiwa-peristiwa tersebut.

Definisi. Hasil kali dua kejadian adalah suatu kejadian yang terdiri dari fakta bahwa akibat suatu percobaan akan terjadi Dan peristiwa , Dan event, yaitu kedua peristiwa tersebut akan terjadi secara bersamaan (bersamaan).

Tanda produk (titik) sering dihilangkan:

Definisi. Jumlah dua kejadian adalah suatu kejadian yang terdiri dari fakta bahwa akibat percobaan akan terjadi atau peristiwa , atau peristiwa , atau keduanya secara bersamaan (pada waktu yang sama).

Dalam kedua definisi tersebut kami sengaja menekankan konjungsi Dan Dan atau- untuk menarik perhatian pembaca pada pidato Anda ketika memecahkan masalah. Jika kita mengucapkan konjungsi “dan”, maka yang sedang kita bicarakan tentang terjadinya peristiwa; Jika konjungsi “atau” diucapkan, maka peristiwa tersebut harus ditambah. Pada saat yang sama, kami mencatat bahwa konjungsi “atau” dalam percakapan sehari-hari sering kali digunakan dalam arti mengecualikan salah satu dari dua: “hanya atau satu-satunya”. Dalam teori probabilitas, pengecualian seperti itu tidak diasumsikan: dan , dan , dan berarti terjadinya suatu peristiwa

Jika diberikan dengan menyebutkan kejadian-kejadian dasar, maka kejadian-kejadian kompleks dapat dengan mudah diperoleh dengan menggunakan operasi-operasi yang ditentukan. Untuk memperolehnya, Anda perlu mencari semua kejadian dasar yang termasuk dalam kedua kejadian tersebut; jika tidak ada, maka Jumlah Kejadian juga mudah untuk dibuat: Anda perlu mengambil salah satu dari dua kejadian tersebut dan menambahkan kejadian dasar tersebut ke dalamnya. peristiwa lain yang tidak termasuk dalam peristiwa pertama.

Dalam contoh 5 kita memperoleh, khususnya

Operasi yang diperkenalkan disebut biner, karena ditentukan untuk dua peristiwa. Operasi unary berikut (didefinisikan untuk satu kejadian) sangat penting: kejadian tersebut disebut di depan suatu peristiwa jika peristiwa itu terdiri dari fakta bahwa peristiwa itu tidak terjadi dalam suatu pengalaman tertentu. Dari definisi tersebut jelas bahwa setiap kejadian dan kebalikannya mempunyai sifat-sifat sebagai berikut: Operasi yang diperkenalkan disebut tambahan peristiwa A.

Oleh karena itu, jika diberikan daftar peristiwa-peristiwa dasar, maka dengan mengetahui spesifikasi peristiwa itu, mudah untuk memperolehnya terdiri dari semua peristiwa-peristiwa dasar ruang yang tidak termasuk dalam khususnya, misalnya 5 peristiwa itu

Jika tidak ada tanda kurung, maka atur prioritas berikutnya dalam melakukan operasi: penjumlahan, perkalian, penjumlahan.

Jadi, dengan bantuan operasi yang diperkenalkan, ruang peristiwa dasar diisi ulang dengan peristiwa acak lainnya yang membentuk apa yang disebut aljabar peristiwa.

Contoh 6. Penembak melepaskan tiga tembakan ke sasaran. Perhatikan kejadian = (penembak mengenai sasaran di tembakan ke-i), saya = 1,2,3.

Mari kita buat beberapa peristiwa dari peristiwa-peristiwa tersebut (jangan lupakan peristiwa sebaliknya). Kami tidak memberikan komentar panjang lebar; Kami yakin pembaca akan melakukannya secara mandiri.

Peristiwa B = (ketiga tembakan tepat sasaran). Lebih jelasnya: B = ( Dan Pertama, Dan Kedua, Dan tembakan ketiga mengenai sasaran). Serikat pekerja bekas Dan, oleh karena itu, peristiwa dikalikan:

Juga:

C = (tidak ada satupun tembakan yang mengenai sasaran)

E = (satu tembakan mencapai sasaran)

D = (target mengenai tembakan kedua) = ;

F = (target terkena dua tembakan)

N = (minimal satu pukulan akan mengenai sasaran)

Seperti diketahui, dalam matematika sangat penting memiliki interpretasi geometris terhadap objek analitis, konsep dan rumus.

Dalam teori probabilitas, akan lebih mudah untuk merepresentasikan secara visual (interpretasi geometris) pengalaman, peristiwa acak, dan operasi pada pengalaman tersebut dalam bentuk yang disebut Diagram Euler-Venn. Intinya adalah setiap pengalaman diidentifikasi (ditafsirkan) dengan melemparkan titik-titik ke dalam kotak tertentu. Titik-titik tersebut dilempar secara acak, sehingga semua titik mempunyai peluang yang sama untuk mendarat di manapun dalam kotak tersebut. Alun-alun mendefinisikan kerangka pengalaman yang dimaksud. Setiap peristiwa dalam pengalaman diidentifikasikan dengan luas alun-alun tertentu. Dengan kata lain terjadinya suatu peristiwa berarti terjadinya pukulan titik acak di dalam area yang ditunjukkan dengan huruf Kemudian operasi pada kejadian mudah diinterpretasikan secara geometris (Gbr. 2)

A:

A + B: apa saja

menetas

Pada Gambar 2 a) untuk kejelasan, peristiwa A disorot dengan bayangan vertikal, peristiwa B dengan bayangan horizontal. Kemudian operasi perkalian berhubungan dengan penetasan ganda - kejadian tersebut sesuai dengan bagian kotak yang ditutupi dengan penetasan ganda. Apalagi jika kemudian disebut peristiwa yang tidak sejalan. Oleh karena itu, operasi penjumlahan sesuai dengan arsiran apa pun - peristiwa tersebut berarti bagian persegi yang diarsir oleh arsiran apa pun - vertikal, horizontal, dan ganda. Pada Gambar 2 b) sebuah peristiwa ditampilkan; bagian persegi yang diarsir sesuai dengannya - segala sesuatu yang tidak termasuk dalam area tersebut. Operasi yang dimasukkan memiliki yang berikut ini properti utama, beberapa di antaranya valid untuk operasi bilangan dengan nama yang sama, tetapi ada juga yang spesifik.

10. komutatifitas perkalian;

20. komutatifitas penjumlahan;

tiga puluh. asosiatif perkalian;

4 0 . asosiatif penjumlahan,

50. distribusi perkalian relatif terhadap penjumlahan,

6 0 . distribusi penjumlahan terhadap perkalian;

9 0 . hukum dualitas de Morgan,

10 0 .

1 .A .A+ .A· =A, 1 .A+ . 1 .A· = , 1 .A+ =

Contoh 7. Ivan dan Peter sepakat untuk bertemu pada selang waktu T jam, misalnya (0, T). Pada saat yang sama, mereka sepakat bahwa masing-masing dari mereka, setelah tiba di pertemuan tersebut, akan menunggu tidak lebih dari satu jam untuk yang lain.

Mari kita beri contoh ini interpretasi geometris. Mari kita nyatakan: waktu kedatangan Ivan di pertemuan tersebut; Waktu kedatangan Peter untuk pertemuan. Sesuai kesepakatan: 0 . Kemudian dalam sistem koordinat kita peroleh: = Sangat mudah untuk memperhatikan bahwa dalam contoh kita, ruang kejadian elementer adalah persegi. 1

0 x sama dengan bagian persegi yang terletak di atas garis ini. Demikian pula dengan pertidaksamaan kedua y≤x+ dan; dan tidak berfungsi jika semua elemen tidak berfungsi, mis. .Jadi, hukum dualitas kedua de Morgan: diterapkan ketika elemen-elemen dihubungkan secara paralel.

Contoh di atas menunjukkan mengapa teori probabilitas ditemukan aplikasi yang bagus dalam fisika, khususnya dalam menghitung keandalan perangkat teknis nyata.

Doktrin tentang hukum yang mengatur apa yang disebut. fenomena acak. Kamus kata-kata asing, termasuk dalam bahasa Rusia. Chudinov A.N., 1910 ... Kamus kata-kata asing dari bahasa Rusia

teori probabilitas- - [L.G.Sumenko. Kamus Inggris-Rusia tentang teknologi informasi. M.: Badan Usaha Milik Negara TsNIIS, 2003.] Topik teknologi Informasi secara umum teori probabilitas EN teori perhitungan peluangprobabilitas ... Panduan Penerjemah Teknis

Teori probabilitas- adalah bagian dari matematika yang mempelajari hubungan antara probabilitas (lihat Probabilitas dan Statistik) dari berbagai peristiwa. Mari kita daftar teorema terpenting yang berkaitan dengan ilmu ini. Peluang terjadinya salah satu dari beberapa kejadian yang tidak sesuai sama dengan... ... kamus ensiklopedis F. Brockhaus dan I.A. Efron

TEORI PROBABILITAS- matematika ilmu yang memungkinkan, dari probabilitas beberapa kejadian acak (lihat), untuk menemukan probabilitas kejadian acak yang terkait dengan k.l. cara dengan yang pertama. TV Modern berdasarkan aksiomatik (lihat Metode aksiomatik) oleh A. N. Kolmogorov. Di… … Ensiklopedia Sosiologi Rusia

Teori probabilitas- cabang matematika di mana, berdasarkan probabilitas tertentu dari beberapa kejadian acak, probabilitas kejadian lain yang terkait dengan kejadian pertama ditemukan. Teori probabilitas juga belajar variabel acak dan proses acak. Salah satu yang utama... ... Konsep ilmu pengetahuan alam modern. Daftar istilah dasar

teori probabilitas- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. teori probabilitas vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. teori probabilitas, f pranc. teori kemungkinan, f… Batasan akhir

Teori probabilitas- ... Wikipedia

Teori probabilitas- disiplin matematika yang mempelajari pola fenomena acak... Awal mula ilmu pengetahuan alam modern

TEORI PROBABILITAS- (teori probabilitas) lihat Probabilitas... Kamus sosiologi penjelasan besar

Teori probabilitas dan penerapannya- (“Teori probabilitas dan penerapannya”,) Majalah Sains Departemen Matematika Akademi Ilmu Pengetahuan Uni Soviet. Menerbitkan artikel asli dan pesan singkat menurut teori probabilitas, masalah umum statistik matematika dan penerapannya dalam ilmu pengetahuan alam dan... Besar Ensiklopedia Soviet

Buku

• Teori probabilitas. , Ventzel E.S.. Buku ini adalah buku teks yang ditujukan untuk orang-orang yang akrab dengan matematika dalam lingkup kursus perguruan tinggi reguler dan tertarik pada penerapan teknis teori probabilitas, di... Beli untuk UAH 1993 (khusus Ukraina)
• Teori probabilitas. , Ventzel E.S.. Buku ini akan diproduksi sesuai pesanan Anda dengan menggunakan teknologi Print-on-Demand. Buku ini merupakan buku teks yang diperuntukkan bagi orang-orang yang mengenal matematika dalam lingkup biasa...