Teori probabilitas – ilmu matematika yang mempelajari pola fenomena acak. Fenomena acak dipahami sebagai fenomena dengan hasil yang tidak pasti yang terjadi ketika serangkaian kondisi tertentu direproduksi berulang kali.
Misalnya saat melempar koin, Anda tidak bisa memprediksi di sisi mana koin itu akan mendarat. Hasil pelemparan sebuah koin adalah acak. Namun dengan jumlah pelemparan koin yang cukup banyak, terdapat pola tertentu (lambang dan tanda pagar akan rontok dengan jumlah yang kira-kira sama).
Konsep dasar teori probabilitas
Tes (pengalaman, eksperimen) - penerapan serangkaian kondisi tertentu di mana fenomena tertentu diamati dan hasil tertentu dicatat.
Misalnya: melempar dadu dan memperoleh sejumlah poin; perbedaan suhu udara; cara pengobatan penyakit; beberapa periode kehidupan seseorang.
Peristiwa acak (atau hanya sebuah peristiwa) – hasil tes.
Contoh kejadian acak:
mendapatkan satu poin saat melempar dadu;
eksaserbasi penyakit jantung koroner dengan peningkatan tajam suhu udara di musim panas;
perkembangan komplikasi penyakit akibat pilihan metode pengobatan yang salah;
masuk ke universitas setelah berhasil belajar di sekolah.
Acara ditandai dengan huruf kapital alfabet Latin: A , B , C , …
Acara tersebut dinamakan dapat diandalkan , jika sebagai akibat dari ujian itu pasti terjadi.
Acara tersebut dinamakan mustahil , jika dari hasil pengujian tidak dapat terjadi sama sekali.
Misalnya, jika semua produk dalam suatu batch adalah produk standar, maka pengambilan produk standar dari batch tersebut merupakan peristiwa yang dapat diandalkan, namun pengambilan produk cacat dalam kondisi yang sama adalah peristiwa yang mustahil.
DEFINISI KLASIK PROBABILITAS
Probabilitas adalah salah satu konsep dasar teori probabilitas.
Kemungkinan kejadian klasik 
disebut rasio jumlah kasus yang mendukung suatu peristiwa 
, dengan jumlah total kasus, mis.
, (5.1)
Di mana 
- kemungkinan kejadian 
,
- jumlah kasus yang menguntungkan acara tersebut 
,
- jumlah total kasus.
Sifat-sifat probabilitas suatu peristiwa
Probabilitas suatu kejadian terletak antara nol dan satu, yaitu.
Peluang suatu kejadian yang dapat diandalkan sama dengan satu, yaitu.
.
Probabilitas suatu kejadian yang mustahil adalah nol, yaitu.
.
(Tawarkan untuk memecahkan beberapa masalah sederhana secara lisan).
PENENTUAN STATISTIK PROBABILITAS
Dalam praktiknya, memperkirakan probabilitas suatu kejadian sering kali didasarkan pada seberapa sering suatu kejadian tertentu akan terjadi dalam pengujian yang dilakukan. Dalam hal ini, definisi statistik tentang probabilitas digunakan.
Probabilitas statistik suatu peristiwa 
disebut batas frekuensi relatif (perbandingan jumlah kasus M, menguntungkan bagi terjadinya suatu peristiwa 
, ke jumlah total 
tes yang dilakukan), ketika jumlah tes cenderung tak terhingga, mis.
Di mana 
- probabilitas statistik suatu peristiwa 
,
- jumlah uji coba di mana peristiwa tersebut muncul 
,
- jumlah total tes.
Berbeda dengan probabilitas klasik, probabilitas statistik merupakan karakteristik probabilitas eksperimental. Probabilitas klasik berfungsi untuk menghitung probabilitas suatu peristiwa secara teoritis dalam kondisi tertentu dan tidak mengharuskan pengujian dilakukan dalam kenyataan. Rumus probabilitas statistik digunakan untuk menentukan probabilitas suatu peristiwa secara eksperimental, yaitu. diasumsikan bahwa pengujian tersebut benar-benar dilakukan.
Probabilitas statistik kira-kira sama dengan frekuensi relatif suatu kejadian acak, oleh karena itu dalam prakteknya frekuensi relatif diambil sebagai probabilitas statistik, karena probabilitas statistik secara praktis tidak mungkin ditemukan.
Definisi statistik tentang probabilitas berlaku untuk kejadian acak yang memiliki sifat berikut:
Teorema penjumlahan dan perkalian peluang
Konsep dasar
a) Satu-satunya kejadian yang mungkin terjadi
Acara 
Mereka disebut satu-satunya yang mungkin jika, sebagai hasil dari setiap pengujian, setidaknya satu dari mereka pasti akan terjadi.
Peristiwa-peristiwa ini membentuk suatu kelompok peristiwa yang lengkap.
Misalnya, pada pelemparan sebuah dadu, kejadian yang mungkin terjadi hanyalah sisi yang mempunyai angka satu, dua, tiga, empat, lima, dan enam. Mereka membentuk kelompok peristiwa yang lengkap.
b) Peristiwa disebut tidak kompatibel, jika terjadinya salah satu di antaranya meniadakan terjadinya peristiwa-peristiwa lain dalam sidang yang sama. Kalau tidak, mereka disebut bersama.
c) Berlawanan sebutkan dua kejadian unik yang mungkin membentuk grup lengkap. Menunjuk 
Dan 
.
G) Peristiwa disebut independen, jika kemungkinan terjadinya salah satunya tidak bergantung pada dilakukannya atau tidak diselesaikannya yang lain.
Tindakan pada acara
Jumlah beberapa peristiwa adalah peristiwa yang terdiri dari terjadinya paling sedikit salah satu peristiwa tersebut.
Jika 
Dan 
– acara bersama, lalu jumlahnya 
atau 
menunjukkan terjadinya salah satu peristiwa A, atau peristiwa B, atau kedua peristiwa secara bersamaan.
Jika 
Dan 
– kejadian yang tidak kompatibel, lalu jumlahnya 
berarti kejadian atau peristiwa 
, atau peristiwa 
.
Jumlah 
arti peristiwa: 
Produk (persimpangan) beberapa peristiwa adalah suatu peristiwa yang terdiri dari terjadinya gabungan semua peristiwa tersebut.
Hasil kali dua kejadian dilambangkan dengan 
atau 
.
Bekerja 
mewakili peristiwa 
Teorema untuk menambahkan probabilitas kejadian yang tidak kompatibel
Peluang terjadinya jumlah dua kejadian atau lebih yang tidak sesuai sama dengan jumlah peluang kejadian-kejadian berikut:
Untuk dua acara;
- Untuk 
acara.
Konsekuensi:
a) Jumlah peluang kejadian yang berlawanan 
Dan 
sama dengan satu:
Peluang terjadinya kejadian sebaliknya dilambangkan dengan 
:
.
b) Jumlah probabilitas 
kejadian yang membentuk kelompok kejadian lengkap sama dengan satu: atau 
.
Teorema penjumlahan peluang kejadian gabungan
Peluang jumlah dua kejadian gabungan sama dengan jumlah peluang kejadian-kejadian tersebut tanpa peluang perpotongannya, yaitu.
Teorema perkalian probabilitas
a) Untuk dua kejadian bebas:
b) Untuk dua kejadian bergantung
Di mana 
– probabilitas bersyarat suatu peristiwa 
, yaitu kemungkinan suatu peristiwa 
, dihitung dengan syarat kejadian tersebut 
telah terjadi.
c) Untuk 
acara independen:
.
d) Kemungkinan paling sedikit salah satu peristiwa terjadi 
, membentuk kelompok acara independen yang lengkap:
Probabilitas bersyarat
Kemungkinan kejadian 
, dihitung dengan asumsi peristiwa itu terjadi 
, disebut probabilitas bersyarat dari kejadian tersebut 
dan ditunjuk 
atau 
.
Saat menghitung probabilitas bersyarat menggunakan rumus probabilitas klasik, jumlah hasil 
Dan 
dihitung dengan mempertimbangkan fakta sebelum peristiwa itu terjadi 
suatu peristiwa terjadi 
.
Teori probabilitas adalah cabang matematika yang mempelajari pola fenomena acak: kejadian acak, variabel acak, sifat-sifatnya, dan operasinya.
Untuk waktu yang lama, teori probabilitas tidak memiliki definisi yang jelas. Itu baru dirumuskan pada tahun 1929. Munculnya teori probabilitas sebagai ilmu dimulai pada Abad Pertengahan dan upaya pertama analisis matematis perjudian (flake, dadu, roulette). Matematikawan Perancis abad ke-17 Blaise Pascal dan Pierre Fermat, saat mempelajari prediksi kemenangan dalam perjudian, menemukan pola probabilistik pertama yang muncul saat melempar dadu.
Teori probabilitas muncul sebagai ilmu dari keyakinan bahwa kejadian acak massal didasarkan pada pola tertentu. Teori probabilitas mempelajari pola-pola ini.
Teori probabilitas berkaitan dengan studi tentang peristiwa-peristiwa yang kejadiannya tidak diketahui secara pasti. Hal ini memungkinkan Anda untuk menilai tingkat kemungkinan terjadinya beberapa peristiwa dibandingkan dengan peristiwa lainnya.
Misalnya: tidak mungkin untuk menentukan dengan jelas hasil “kepala” atau “ekor” akibat pelemparan sebuah koin, tetapi dengan pelemparan yang berulang-ulang, jumlah “kepala” dan “ekor” yang muncul kira-kira sama, yang berarti bahwa probabilitas bahwa “kepala” atau “ekor” akan jatuh ", sama dengan 50%.
Tes dalam hal ini disebut terpenuhinya sekumpulan syarat tertentu, yaitu dalam hal ini pelemparan sebuah mata uang logam. Tantangan ini dapat dimainkan berkali-kali tanpa batas. Dalam hal ini, himpunan kondisi mencakup faktor acak.
Hasil tesnya adalah peristiwa. Peristiwa tersebut terjadi:
- Dapat diandalkan (selalu terjadi sebagai hasil pengujian).
- Tidak mungkin (tidak pernah terjadi).
- Acak (mungkin terjadi atau tidak sebagai hasil tes).
Misalnya, saat melempar koin, peristiwa yang mustahil terjadi - koin akan mendarat di tepinya, peristiwa acak - munculnya "kepala" atau "ekor". Hasil tes spesifik disebut acara dasar. Sebagai hasil dari tes tersebut, hanya kejadian-kejadian dasar yang terjadi. Himpunan semua hasil tes yang mungkin, berbeda, dan spesifik disebut ruang acara dasar.
Konsep dasar teori
Kemungkinan- derajat kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Jika alasan terjadinya suatu peristiwa yang mungkin terjadi lebih besar daripada alasan yang berlawanan, maka peristiwa tersebut disebut mungkin terjadi, sebaliknya - tidak mungkin atau tidak mungkin terjadi.
Nilai acak- ini adalah besaran yang, sebagai hasil pengujian, dapat mengambil nilai tertentu, dan tidak diketahui sebelumnya yang mana. Misalnya: jumlah per stasiun pemadam kebakaran per hari, jumlah tembakan dengan 10 tembakan, dll.
Variabel acak dapat dibagi menjadi dua kategori.
- Variabel acak diskrit adalah besaran yang, sebagai hasil pengujian, dapat mengambil nilai tertentu dengan probabilitas tertentu, sehingga membentuk himpunan terhitung (himpunan yang unsur-unsurnya dapat diberi nomor). Himpunan ini dapat berhingga atau tak terhingga. Misalnya, jumlah tembakan sebelum sasaran pertama mengenai sasaran merupakan variabel acak diskrit, karena besaran ini dapat mempunyai jumlah nilai yang tidak terbatas, meskipun dapat dihitung.
- Variabel acak kontinu adalah besaran yang dapat mengambil nilai apa pun dari suatu interval berhingga atau tak terhingga. Jelasnya, jumlah nilai yang mungkin dari variabel acak kontinu tidak terbatas.
Ruang probabilitas- konsep yang diperkenalkan oleh A.N. Kolmogorov pada tahun 30-an abad ke-20 memformalkan konsep probabilitas, yang memunculkan pesatnya perkembangan teori probabilitas sebagai disiplin matematika yang ketat.
Ruang probabilitas adalah rangkap tiga (terkadang diapit tanda kurung siku: , di mana
Ini adalah himpunan arbitrer, yang elemen-elemennya disebut peristiwa, hasil, atau titik dasar;
- aljabar sigma dari himpunan bagian yang disebut peristiwa (acak);
- ukuran probabilitas atau probabilitas, mis. ukuran terbatas aditif sigma sedemikian rupa sehingga .
Teorema De Moivre-Laplace- salah satu teorema limit teori probabilitas, yang ditetapkan oleh Laplace pada tahun 1812. Dinyatakan bahwa jumlah keberhasilan ketika mengulangi percobaan acak yang sama berulang kali dengan dua kemungkinan hasil kira-kira terdistribusi normal. Ini memungkinkan Anda menemukan perkiraan nilai probabilitas.
Jika untuk masing-masing percobaan bebas peluang terjadinya suatu kejadian acak sama dengan () dan merupakan banyaknya percobaan dimana kejadian tersebut benar-benar terjadi, maka peluang terjadinya pertidaksamaan tersebut mendekati (untuk nilai yang besar) dengan nilai integral Laplace.
Fungsi distribusi dalam teori probabilitas- fungsi yang mengkarakterisasi distribusi variabel acak atau vektor acak; probabilitas bahwa variabel acak X akan bernilai kurang dari atau sama dengan x, dengan x adalah bilangan real sembarang. Jika kondisi yang diketahui terpenuhi, maka variabel acak akan ditentukan sepenuhnya.
Nilai yang diharapkan- nilai rata-rata variabel acak (ini adalah distribusi probabilitas variabel acak, yang dipertimbangkan dalam teori probabilitas). Dalam literatur berbahasa Inggris dilambangkan dengan , dalam bahasa Rusia - . Dalam statistika, notasi sering digunakan.
Biarkan ruang probabilitas dan variabel acak yang ditentukan di dalamnya diberikan. Itu, menurut definisi, adalah fungsi yang dapat diukur. Kemudian, jika terdapat integral Lebesgue pada ruang angkasa, maka disebut ekspektasi matematis, atau nilai rata-rata, dan dinotasikan dengan .
Varians dari variabel acak- ukuran penyebaran variabel acak tertentu, yaitu penyimpangannya dari ekspektasi matematis. Itu ditunjuk dalam literatur Rusia dan asing. Dalam statistika, notasi atau sering digunakan. Akar kuadrat dari varians disebut deviasi standar, deviasi standar, atau penyebaran standar.
Misalkan suatu variabel acak didefinisikan pada ruang probabilitas tertentu. Kemudian
dimana simbol menunjukkan ekspektasi matematis.
Dalam teori probabilitas, dua kejadian acak disebut mandiri, jika kemunculan salah satu dari peristiwa tersebut tidak mengubah peluang terjadinya peristiwa lainnya. Demikian pula, dua variabel acak dipanggil bergantung, jika nilai salah satunya mempengaruhi probabilitas nilai lainnya.
Bentuk paling sederhana dari hukum bilangan besar adalah teorema Bernoulli, yang menyatakan bahwa jika peluang suatu kejadian sama di semua percobaan, maka dengan bertambahnya jumlah percobaan, frekuensi kejadian cenderung ke peluang kejadian dan tidak lagi acak.
Hukum bilangan besar dalam teori probabilitas menyatakan bahwa rata-rata aritmatika dari sampel berhingga dari suatu distribusi tetap mendekati rata-rata teoretis dari distribusi tersebut. Tergantung pada jenis konvergensinya, perbedaan dibuat antara hukum bilangan besar yang lemah, ketika konvergensi terjadi karena probabilitas, dan hukum bilangan besar yang kuat, ketika konvergensi hampir pasti.
Arti umum dari hukum bilangan besar adalah bahwa aksi gabungan dari sejumlah besar faktor acak yang identik dan independen menghasilkan hasil yang, sampai batas tertentu, tidak bergantung pada kebetulan.
Metode untuk memperkirakan probabilitas berdasarkan analisis sampel terbatas didasarkan pada sifat ini. Contoh nyatanya adalah perkiraan hasil pemilu berdasarkan survei terhadap sampel pemilih.
Teorema limit pusat- kelas teorema dalam teori probabilitas yang menyatakan bahwa jumlah sejumlah besar variabel acak yang bergantung lemah yang memiliki skala yang kira-kira sama (tidak ada suku yang mendominasi atau memberikan kontribusi yang menentukan terhadap jumlah tersebut) memiliki distribusi mendekati normal.
Karena banyak variabel acak dalam aplikasi terbentuk di bawah pengaruh beberapa faktor acak yang bergantung lemah, distribusinya dianggap normal. Dalam hal ini harus dipenuhi syarat bahwa tidak ada satupun faktor yang dominan. Teorema limit pusat dalam kasus ini membenarkan penggunaan distribusi normal.
“Kecelakaan bukanlah suatu kebetulan”... Kedengarannya seperti perkataan seorang filsuf, namun kenyataannya, mempelajari keacakan adalah takdir dari ilmu matematika yang hebat. Dalam matematika, peluang ditangani dengan teori probabilitas. Rumus dan contoh tugas, serta definisi dasar ilmu ini akan disajikan dalam artikel.
Apa itu teori probabilitas?
Teori probabilitas merupakan salah satu disiplin ilmu matematika yang mempelajari kejadian acak.
Agar lebih jelas, mari kita beri contoh kecil: jika Anda melempar koin ke atas, koin tersebut dapat mengenai kepala atau ekornya. Saat koin berada di udara, kedua kemungkinan ini mungkin terjadi. Artinya, probabilitas akibat yang mungkin terjadi adalah 1:1. Jika seseorang diambil dari setumpuk 36 kartu, maka probabilitasnya akan ditunjukkan sebagai 1:36. Nampaknya tidak ada yang perlu dieksplorasi dan diprediksi di sini, apalagi dengan bantuan rumus matematika. Namun, jika Anda mengulangi tindakan tertentu berkali-kali, Anda dapat mengidentifikasi pola tertentu dan, berdasarkan pola tersebut, memprediksi hasil peristiwa dalam kondisi lain.
Untuk meringkas semua hal di atas, teori probabilitas dalam pengertian klasik mempelajari kemungkinan terjadinya salah satu peristiwa yang mungkin terjadi dalam nilai numerik.
Dari halaman sejarah
Teori probabilitas, rumus dan contoh tugas pertama kali muncul pada Abad Pertengahan, ketika upaya untuk memprediksi hasil permainan kartu pertama kali muncul.
Awalnya, teori probabilitas tidak ada hubungannya dengan matematika. Hal ini dibenarkan oleh fakta empiris atau sifat suatu peristiwa yang dapat direproduksi dalam praktik. Karya pertama di bidang ini sebagai disiplin matematika muncul pada abad ke-17. Pendirinya adalah Blaise Pascal dan Pierre Fermat. Mereka mempelajari perjudian sejak lama dan melihat pola-pola tertentu, yang kemudian mereka putuskan untuk diberitahukan kepada publik.
Teknik yang sama ditemukan oleh Christiaan Huygens, meskipun ia tidak mengetahui hasil penelitian Pascal dan Fermat. Konsep "teori probabilitas", rumus dan contoh, yang dianggap pertama dalam sejarah disiplin ilmu ini, diperkenalkan olehnya.
Karya-karya Jacob Bernoulli, teorema Laplace dan Poisson juga tidak kalah pentingnya. Mereka menjadikan teori probabilitas lebih seperti disiplin matematika. Teori probabilitas, rumus dan contoh tugas dasar mendapat bentuknya saat ini berkat aksioma Kolmogorov. Akibat semua perubahan tersebut, teori probabilitas menjadi salah satu cabang matematika.
Konsep dasar teori probabilitas. Acara
Konsep utama dari disiplin ini adalah “peristiwa”. Ada tiga jenis acara:
- Dapat diandalkan. Hal-hal itu akan tetap terjadi (koin akan jatuh).
- Mustahil. Peristiwa yang tidak akan terjadi dalam keadaan apapun (koin akan tetap menggantung di udara).
- Acak. Yang akan terjadi atau tidak akan terjadi. Hal tersebut dapat dipengaruhi oleh berbagai faktor yang sangat sulit diprediksi. Jika kita berbicara tentang sebuah koin, maka ada faktor acak yang dapat mempengaruhi hasilnya: ciri fisik koin, bentuknya, posisi aslinya, kekuatan lemparannya, dll.
Semua peristiwa pada contoh ditunjukkan dengan huruf latin kapital, kecuali P yang mempunyai peran berbeda. Misalnya:
- A = “siswa datang untuk kuliah.”
- Ā = “siswa tidak datang ke perkuliahan.”
Dalam tugas praktek, peristiwa biasanya dituliskan dengan kata-kata.
Salah satu karakteristik peristiwa yang paling penting adalah kemungkinan yang sama. Artinya, jika Anda melempar koin, semua opsi untuk penurunan awal dimungkinkan hingga koin tersebut jatuh. Namun kejadian-kejadian juga tidak mungkin terjadi. Hal ini terjadi ketika seseorang dengan sengaja mempengaruhi suatu hasil. Misalnya, kartu remi atau dadu yang “ditandai” yang pusat gravitasinya digeser.
Acara juga bisa kompatibel dan tidak kompatibel. Peristiwa yang kompatibel tidak mengecualikan terjadinya satu sama lain. Misalnya:
- A = “mahasiswa datang ke perkuliahan.”
- B = “mahasiswa datang ke perkuliahan.”
Peristiwa-peristiwa ini tidak bergantung satu sama lain, dan terjadinya salah satu peristiwa tersebut tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa lainnya. Peristiwa-peristiwa yang tidak sesuai ditentukan oleh fakta bahwa terjadinya suatu peristiwa tidak termasuk terjadinya peristiwa lainnya. Jika kita berbicara tentang koin yang sama, maka hilangnya “ekor” membuat tidak mungkin munculnya “kepala” dalam percobaan yang sama.
Tindakan pada acara
Peristiwa dapat dikalikan dan ditambahkan; oleh karena itu, kata penghubung logis “DAN” dan “ATAU” diperkenalkan dalam disiplin ilmu.
Besarnya ditentukan oleh fakta bahwa peristiwa A atau B, atau dua peristiwa, dapat terjadi secara bersamaan. Jika keduanya tidak kompatibel, opsi terakhir tidak mungkin dilakukan;
Perkalian kejadian terdiri dari kemunculan A dan B secara bersamaan.
Sekarang kita dapat memberikan beberapa contoh untuk lebih mengingat dasar-dasar, teori probabilitas, dan rumus. Contoh penyelesaian masalah dibawah ini.
Latihan 1: Perusahaan mengikuti kompetisi untuk mendapatkan kontrak untuk tiga jenis pekerjaan. Kemungkinan kejadian yang mungkin terjadi:
- A = “perusahaan akan menerima kontrak pertama.”
- A 1 = “perusahaan tidak akan menerima kontrak pertama.”
- B = “perusahaan akan menerima kontrak kedua.”
- B 1 = “perusahaan tidak akan menerima kontrak kedua”
- C = “perusahaan akan menerima kontrak ketiga.”
- C 1 = “perusahaan tidak akan menerima kontrak ketiga.”
Dengan menggunakan tindakan pada peristiwa, kami akan mencoba mengungkapkan situasi berikut:
- K = “perusahaan akan menerima semua kontrak.”
Dalam bentuk matematika, persamaannya akan berbentuk sebagai berikut: K = ABC.
- M = “perusahaan tidak akan menerima satu kontrak pun.”
M = SEBUAH 1 B 1 C 1.
Mari kita rumitkan tugasnya: H = “perusahaan akan menerima satu kontrak.” Karena tidak diketahui kontrak mana yang akan diterima perusahaan (pertama, kedua atau ketiga), maka perlu dicatat seluruh rangkaian kejadian yang mungkin terjadi:
H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.
Dan 1 BC 1 adalah rangkaian peristiwa dimana perusahaan tidak menerima kontrak pertama dan ketiga, melainkan menerima kontrak kedua. Peristiwa lain yang mungkin terjadi dicatat dengan menggunakan metode yang sesuai. Simbol υ dalam disiplin menunjukkan kata penghubung “ATAU”. Jika kita menerjemahkan contoh di atas ke dalam bahasa manusia, maka perusahaan akan menerima kontrak ketiga, atau kedua, atau pertama. Dengan cara yang sama, Anda dapat menuliskan kondisi lain dalam disiplin “Teori Probabilitas”. Rumus dan contoh pemecahan masalah yang disajikan di atas akan membantu Anda melakukannya sendiri.
Sebenarnya, kemungkinannya
Mungkin, dalam disiplin matematika ini, probabilitas suatu peristiwa adalah konsep sentralnya. Ada 3 definisi probabilitas:
- klasik;
- statistik;
- geometris.
Masing-masing mempunyai tempatnya sendiri dalam studi probabilitas. Teori probabilitas, rumus dan contoh (kelas 9) sebagian besar menggunakan definisi klasik, yang berbunyi seperti ini:
- Probabilitas situasi A sama dengan rasio jumlah hasil yang mendukung terjadinya situasi tersebut dengan jumlah semua hasil yang mungkin.
Rumusnya terlihat seperti ini: P(A)=m/n.
A sebenarnya adalah sebuah peristiwa. Jika muncul kasus yang berlawanan dengan A, dapat ditulis sebagai Ā atau A 1 .
m adalah jumlah kemungkinan kasus yang menguntungkan.
n - semua kejadian yang bisa terjadi.
Misalnya, A = “gambar kartu bergambar hati”. Ada 36 kartu dalam satu dek standar, 9 di antaranya berbentuk hati. Dengan demikian, rumus penyelesaian masalah tersebut akan terlihat seperti:
P(A)=9/36=0,25.
Akibatnya, peluang terambilnya kartu bergambar hati dari dek adalah 0,25.
Menuju matematika yang lebih tinggi
Saat ini sudah sedikit diketahui apa itu teori peluang, rumus dan contoh penyelesaian masalah yang terdapat dalam kurikulum sekolah. Namun, teori probabilitas juga ditemukan dalam matematika tingkat tinggi, yang diajarkan di universitas. Paling sering mereka beroperasi dengan definisi geometris dan statistik dari teori dan rumus kompleks.
Teori probabilitas sangat menarik. Lebih baik mulai mempelajari rumus dan contoh (matematika tingkat tinggi) dari yang kecil - dengan definisi probabilitas statistik (atau frekuensi).
Pendekatan statistik tidak bertentangan dengan pendekatan klasik, tetapi sedikit memperluasnya. Jika dalam kasus pertama perlu untuk menentukan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi, maka dalam metode ini perlu untuk menunjukkan seberapa sering peristiwa itu akan terjadi. Di sini konsep baru “frekuensi relatif” diperkenalkan, yang dapat dilambangkan dengan W n (A). Rumusnya tidak berbeda dengan rumus klasik:
Jika rumus klasik dihitung untuk prediksi, maka rumus statistik dihitung berdasarkan hasil percobaan. Mari kita ambil tugas kecil sebagai contoh.
Departemen kontrol teknologi memeriksa kualitas produk. Di antara 100 produk, 3 produk ditemukan berkualitas buruk. Bagaimana cara mencari probabilitas frekuensi suatu produk yang berkualitas?
A = “penampilan produk yang berkualitas.”
W n (A)=97/100=0,97
Jadi, frekuensi suatu produk yang berkualitas adalah 0,97. Dari mana Anda mendapatkan 97? Dari 100 produk yang diperiksa, 3 produk ditemukan kualitasnya buruk. Kita kurangi 3 dari 100 dan dapatkan 97, ini adalah jumlah barang berkualitas.
Sedikit tentang kombinatorik
Metode teori probabilitas lainnya disebut kombinatorik. Prinsip dasarnya adalah jika suatu pilihan A dapat dibuat dengan m cara berbeda, dan pilihan B dapat dibuat dengan n cara berbeda, maka pemilihan A dan B dapat dilakukan dengan perkalian.
Misalnya ada 5 jalan yang menghubungkan kota A ke kota B. Ada 4 jalur dari kota B ke kota C. Ada berapa cara perjalanan dari kota A ke kota C?
Sederhana saja: 5x4=20, yaitu dengan dua puluh cara berbeda Anda dapat berpindah dari titik A ke titik C.
Mari kita mempersulit tugas ini. Berapa banyak cara menyusun kartu dalam solitaire? Ada 36 kartu di dek - ini adalah titik awalnya. Untuk mengetahui banyaknya cara, Anda perlu “mengurangi” satu kartu sekaligus dari titik awal dan mengalikannya.
Artinya, 36x35x34x33x32...x2x1= hasilnya tidak sesuai dengan layar kalkulator, jadi cukup diberi tanda 36!. Tanda "!" di sebelah angka menunjukkan bahwa seluruh rangkaian angka dikalikan.
Dalam kombinatorik terdapat konsep seperti permutasi, penempatan dan kombinasi. Masing-masing mempunyai formula tersendiri.
Himpunan yang tersusun dari unsur-unsur suatu himpunan disebut susunan. Penempatannya dapat diulang, yaitu satu elemen dapat digunakan beberapa kali. Dan tanpa pengulangan, ketika elemen tidak terulang. n adalah semua elemen, m adalah elemen yang ikut serta dalam penempatan. Rumus penempatan tanpa pengulangan akan terlihat seperti:
A n m =n!/(nm)!
Koneksi n elemen yang hanya berbeda urutan penempatannya disebut permutasi. Dalam matematika bentuknya seperti: P n = n!
Gabungan n unsur m adalah senyawa yang penting unsur-unsurnya dan berapa jumlah totalnya. Rumusnya akan terlihat seperti:
A n m =n!/m!(n-m)!
rumus Bernoulli
Dalam teori probabilitas, seperti halnya dalam setiap disiplin ilmu, terdapat karya peneliti terkemuka di bidangnya yang telah membawanya ke tingkat yang baru. Salah satu karyanya adalah rumus Bernoulli, yang memungkinkan Anda menentukan probabilitas suatu peristiwa tertentu terjadi dalam kondisi independen. Hal ini menunjukkan bahwa terjadinya A dalam suatu percobaan tidak bergantung pada ada tidaknya kejadian yang sama pada percobaan sebelumnya atau berikutnya.
Persamaan Bernoulli:
P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.
Peluang (p) terjadinya kejadian (A) adalah konstan untuk setiap percobaan. Probabilitas bahwa situasi tersebut akan terjadi tepat m kali dalam n jumlah percobaan akan dihitung dengan rumus yang disajikan di atas. Oleh karena itu, timbul pertanyaan bagaimana cara mengetahui bilangan q.
Oleh karena itu, jika peristiwa A terjadi sebanyak p beberapa kali, maka peristiwa tersebut mungkin tidak terjadi. Satuan adalah angka yang digunakan untuk menunjukkan semua hasil dari suatu situasi dalam suatu disiplin ilmu. Oleh karena itu, q adalah bilangan yang menunjukkan kemungkinan tidak terjadinya suatu peristiwa.
Sekarang Anda tahu rumus Bernoulli (teori probabilitas). Contoh pemecahan masalah (tingkat pertama) akan kita bahas di bawah ini.
Tugas 2: Seorang pengunjung toko akan melakukan pembelian dengan probabilitas 0,2. 6 pengunjung secara mandiri memasuki toko. Seberapa besar kemungkinan pengunjung akan melakukan pembelian?
Solusi: Karena tidak diketahui berapa banyak pengunjung yang harus melakukan pembelian, satu atau keenamnya, maka perlu menghitung semua kemungkinan yang mungkin menggunakan rumus Bernoulli.
A = “pengunjung akan melakukan pembelian.”
Dalam hal ini: p = 0,2 (seperti yang ditunjukkan dalam tugas). Oleh karena itu, q=1-0,2 = 0,8.
n = 6 (karena ada 6 pelanggan di toko tersebut). Angka m akan bervariasi dari 0 (tidak ada satu pun pelanggan yang melakukan pembelian) hingga 6 (semua pengunjung toko akan membeli sesuatu). Hasilnya, kami mendapatkan solusinya:
P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.
Tidak ada pembeli yang akan melakukan pembelian dengan probabilitas 0,2621.
Bagaimana lagi rumus Bernoulli (teori probabilitas) digunakan? Contoh penyelesaian masalah (tingkat kedua) di bawah ini.
Setelah contoh di atas, timbul pertanyaan tentang kemana perginya C dan r. Sehubungan dengan p, bilangan pangkat 0 akan sama dengan satu. Sedangkan untuk C dapat dicari dengan rumus:
C n m = n! /m!(nm)!
Karena pada contoh pertama m = 0, masing-masing C = 1, yang pada prinsipnya tidak mempengaruhi hasil. Dengan menggunakan rumus baru, mari kita coba mencari tahu berapa probabilitas dua pengunjung membeli suatu barang.
P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.
Teori probabilitas tidaklah rumit. Rumus Bernoulli, contohnya disajikan di atas, adalah bukti langsungnya.
rumus Poisson
Persamaan Poisson digunakan untuk menghitung situasi acak dengan probabilitas rendah.
Rumus dasar:
P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .
Dalam hal ini λ = nxp. Berikut adalah rumus Poisson sederhana (teori probabilitas). Kami akan mempertimbangkan contoh pemecahan masalah di bawah ini.
Tugas 3: Pabrik memproduksi 100.000 suku cadang. Terjadinya bagian yang rusak = 0,0001. Berapa peluang terdapat 5 bagian yang rusak dalam satu batch?
Seperti yang Anda lihat, pernikahan adalah peristiwa yang tidak mungkin terjadi, dan oleh karena itu rumus Poisson (teori probabilitas) digunakan untuk perhitungan. Contoh penyelesaian masalah semacam ini tidak berbeda dengan tugas lain dalam disiplin ilmu; kami mengganti data yang diperlukan ke dalam rumus yang diberikan:
A = “bagian yang dipilih secara acak akan rusak.”
p = 0,0001 (sesuai kondisi tugas).
n = 100000 (jumlah bagian).
m = 5 (bagian yang rusak). Kami mengganti data ke dalam rumus dan mendapatkan:
Rp 100.000 (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.
Sama seperti rumus Bernoulli (teori probabilitas), contoh penyelesaian yang ditulis di atas, persamaan Poisson memiliki e yang tidak diketahui, sebenarnya dapat dicari dengan rumus:
e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .
Namun, ada tabel khusus yang memuat hampir semua nilai e.
Teorema De Moivre-Laplace
Jika dalam skema Bernoulli jumlah percobaan cukup besar, dan peluang terjadinya kejadian A pada semua skema adalah sama, maka peluang terjadinya kejadian A beberapa kali dalam serangkaian pengujian dapat dicari dengan: Rumus Laplace:
Р n (m)= 1/√npq x ϕ(Xm).
X m = m-np/√npq.
Untuk lebih mengingat rumus Laplace (teori probabilitas), contoh soal di bawah ini dapat membantu.
Pertama, cari X m, substitusikan datanya (semuanya tercantum di atas) ke dalam rumus dan dapatkan 0,025. Dengan menggunakan tabel, kita menemukan bilangan ϕ(0,025), yang nilainya 0,3988. Sekarang Anda dapat mengganti semua data ke dalam rumus:
P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.
Jadi, peluang bahwa penerbang tersebut akan bekerja tepat 267 kali adalah 0,03.
rumus Bayes
Rumus Bayes (teori probabilitas), contoh penyelesaian masalah yang akan diberikan di bawah ini, adalah persamaan yang menggambarkan probabilitas suatu peristiwa berdasarkan keadaan yang mungkin terkait dengannya. Rumus dasarnya adalah sebagai berikut:
P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).
A dan B adalah kejadian pasti.
P(A|B) merupakan peluang bersyarat, yaitu kejadian A dapat terjadi asalkan kejadian B benar.
P (B|A) - probabilitas bersyarat dari kejadian B.
Jadi, bagian terakhir dari kursus singkat “Teori Probabilitas” adalah rumus Bayes, contoh penyelesaian masalah ada di bawah ini.
Tugas 5: Telepon dari tiga perusahaan dibawa ke gudang. Pada saat yang sama, pangsa ponsel yang diproduksi di pabrik pertama adalah 25%, di pabrik kedua - 60%, di pabrik ketiga - 15%. Diketahui juga bahwa rata-rata persentase produk cacat di pabrik pertama adalah 2%, di pabrik kedua - 4%, dan di pabrik ketiga - 1%. Anda perlu mencari kemungkinan bahwa telepon yang dipilih secara acak akan rusak.
A = “telepon yang dipilih secara acak.”
B 1 - telepon yang diproduksi pabrik pertama. Dengan demikian, pengenalan B 2 dan B 3 akan muncul (untuk pabrik kedua dan ketiga).
Hasilnya kita mendapatkan:
P(B1) = 25%/100% = 0,25; P(B 2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - jadi kami menemukan probabilitas setiap opsi.
Sekarang Anda perlu mencari probabilitas bersyarat dari kejadian yang diinginkan, yaitu probabilitas produk cacat di perusahaan:
P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;
P(A/B 2) = 0,04;
P (A/B 3) = 0,01.
Sekarang mari kita substitusikan data tersebut ke dalam rumus Bayes dan dapatkan:
P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.
Artikel ini menyajikan teori probabilitas, rumus dan contoh pemecahan masalah, tetapi ini hanyalah puncak gunung es dari suatu disiplin ilmu yang luas. Dan setelah semua yang telah ditulis, masuk akal untuk mengajukan pertanyaan apakah teori probabilitas diperlukan dalam kehidupan. Sulit bagi orang awam untuk menjawabnya; lebih baik bertanya kepada seseorang yang telah menggunakannya untuk memenangkan jackpot lebih dari sekali.
PERKENALAN
Banyak hal yang tidak dapat kita pahami bukan karena konsep kita lemah;
tetapi karena hal-hal tersebut tidak termasuk dalam jangkauan konsep kami.
Kozma Prutkov
Tujuan utama mempelajari matematika di lembaga pendidikan khusus menengah adalah untuk memberikan siswa seperangkat pengetahuan dan keterampilan matematika yang diperlukan untuk mempelajari disiplin program lain yang menggunakan matematika sampai tingkat tertentu, untuk kemampuan melakukan perhitungan praktis, untuk pembentukan dan pengembangan. dari pemikiran logis.
Dalam karya ini, semua konsep dasar bagian matematika “Dasar-dasar Teori Probabilitas dan Statistik Matematika”, disediakan oleh program dan Standar Pendidikan Negara Pendidikan Kejuruan Menengah (Kementerian Pendidikan Federasi Rusia. M., 2002 ), diperkenalkan secara konsisten, teorema utama dirumuskan, yang sebagian besar tidak terbukti . Masalah utama dan metode penyelesaiannya serta teknologi untuk menerapkan metode ini dalam memecahkan masalah praktis dipertimbangkan. Presentasi tersebut disertai dengan komentar rinci dan banyak contoh.
Petunjuk metodologis dapat digunakan untuk pengenalan awal dengan materi yang dipelajari, ketika membuat catatan perkuliahan, untuk mempersiapkan kelas praktek, untuk mengkonsolidasikan pengetahuan, keterampilan dan kemampuan yang diperoleh. Selain itu, buku pedoman ini juga akan berguna bagi mahasiswa S1 sebagai alat referensi, sehingga mereka dapat dengan cepat mengingat kembali apa yang telah dipelajari sebelumnya.
Di akhir pekerjaan terdapat contoh dan tugas yang dapat dilakukan siswa dalam mode pengendalian diri.
Pedoman ini ditujukan untuk siswa paruh waktu dan penuh waktu.
KONSEP DASAR
Teori probabilitas mempelajari pola obyektif dari peristiwa acak massal. Merupakan landasan teori statistik matematika, yang berkaitan dengan pengembangan metode pengumpulan, deskripsi, dan pengolahan hasil observasi. Melalui observasi (tes, eksperimen), yaitu. pengalaman dalam arti luas, pengetahuan tentang fenomena dunia nyata terjadi.
Dalam kegiatan praktis kita sering menjumpai fenomena-fenomena yang hasilnya tidak dapat diprediksi, yang hasilnya bergantung pada kebetulan.
Suatu fenomena acak dapat dicirikan oleh perbandingan jumlah kemunculannya dengan jumlah percobaan yang masing-masing percobaan, dalam kondisi semua percobaan yang sama, dapat terjadi atau tidak terjadi.
Teori probabilitas adalah cabang matematika yang mempelajari fenomena (peristiwa) acak dan mengidentifikasi pola ketika fenomena tersebut diulang secara massal.
Statistika matematika adalah salah satu cabang matematika yang pokok bahasannya adalah ilmu yang mempelajari metode pengumpulan, sistematisasi, pengolahan dan penggunaan data statistik untuk memperoleh kesimpulan yang didasarkan pada ilmu pengetahuan dan pengambilan keputusan.
Dalam hal ini data statistik dipahami sebagai sekumpulan angka-angka yang mewakili ciri-ciri kuantitatif dari ciri-ciri objek yang diteliti yang menarik perhatian kita. Data statistik diperoleh sebagai hasil eksperimen dan observasi yang dirancang khusus.
Data statistik pada hakikatnya bergantung pada banyak faktor acak, oleh karena itu statistik matematika erat kaitannya dengan teori probabilitas yang menjadi landasan teorinya.
I. PROBABILITAS. TEOREMA PENAMBAHAN DAN PERKALIAN PROBABILITAS
1.1. Konsep dasar kombinatorik
Dalam cabang matematika yang disebut kombinatorika, beberapa masalah yang berkaitan dengan pertimbangan himpunan dan komposisi berbagai kombinasi elemen himpunan tersebut diselesaikan. Misalnya, jika kita mengambil 10 angka berbeda 0, 1, 2, 3,: , 9 dan menggabungkannya, kita akan mendapatkan angka yang berbeda, misalnya 143, 431, 5671, 1207, 43, dst.
Kita melihat bahwa beberapa kombinasi ini hanya berbeda dalam urutan digitnya (misalnya, 143 dan 431), yang lain - dalam digit yang disertakan di dalamnya (misalnya, 5671 dan 1207), dan yang lainnya juga berbeda dalam jumlah digitnya. (misalnya, 143 dan 43).
Dengan demikian, kombinasi yang dihasilkan memenuhi berbagai kondisi.
Tergantung pada aturan komposisi, tiga jenis kombinasi dapat dibedakan: permutasi, penempatan, kombinasi.
Mari kita kenali dulu konsepnya faktorial.
Hasil kali semua bilangan asli dari 1 sampai n inklusif disebut n-faktorial dan tulis.
Hitung: a) ; B) ; DI DALAM) .
Larutan. A) .
b) Sejak 
, lalu kita bisa mengeluarkannya dari tanda kurung
Lalu kita dapatkan
V) 
.
Penataan ulang.
Gabungan n unsur yang berbeda satu sama lain hanya pada urutan unsurnya disebut permutasi.
Permutasi ditunjukkan dengan simbol hal , dimana n adalah banyaknya elemen yang termasuk dalam setiap permutasi. ( R- huruf pertama dari kata Perancis permutasi- penataan ulang).
Banyaknya permutasi dapat dihitung dengan menggunakan rumus
atau menggunakan faktorial:
Mari kita ingat itu 0!=1 dan 1!=1.
Contoh 2. Dalam berapa cara enam buku yang berbeda dapat disusun dalam satu rak?
Larutan. Banyaknya cara yang diperlukan sama dengan banyaknya permutasi 6 elemen, yaitu.
Penempatan.
Postingan dari M elemen di N di masing-masing senyawa tersebut disebut senyawa yang berbeda satu sama lain baik berdasarkan unsur-unsurnya sendiri (setidaknya satu), atau berdasarkan urutan susunannya.
Penempatan ditunjukkan dengan simbol dimana M- jumlah semua elemen yang tersedia, N- jumlah elemen dalam setiap kombinasi. ( A- huruf pertama dari kata Perancis pengaturan, yang artinya “penempatan, penataan”).
Pada saat yang sama, diyakini demikian nm.
Jumlah penempatan dapat dihitung menggunakan rumus
,
itu. jumlah semua kemungkinan penempatan dari M elemen oleh N sama dengan produknya N bilangan bulat berurutan, yang mana yang terbesar adalah M.
Mari kita tulis rumus ini dalam bentuk faktorial:
Contoh 3. Berapa banyak pilihan untuk mendistribusikan tiga voucher ke sanatorium dari berbagai profil yang dapat dibuat untuk lima pelamar?
Larutan. Jumlah pilihan yang diperlukan sama dengan jumlah penempatan 5 elemen dari 3 elemen, yaitu.
.
Kombinasi.
Kombinasi adalah semua kemungkinan kombinasi dari M elemen oleh N, yang berbeda satu sama lain dengan setidaknya satu elemen (di sini M Dan N- bilangan asli, dan nm).
Jumlah kombinasi dari M elemen oleh N dilambangkan dengan ( DENGAN-huruf pertama dari kata Perancis kombinasi- kombinasi).
Secara umum, jumlah M elemen oleh N sama dengan jumlah penempatan dari M elemen oleh N, dibagi dengan jumlah permutasi dari N elemen:
Dengan menggunakan rumus faktorial untuk banyaknya penempatan dan permutasi, diperoleh:
Contoh 4. Dalam tim yang terdiri dari 25 orang, Anda perlu mengalokasikan empat orang untuk bekerja di area tertentu. Dalam berapa cara hal ini dapat dilakukan?
Larutan. Karena urutan empat orang yang dipilih tidak menjadi masalah, ada cara untuk melakukan ini.
Kami menemukannya menggunakan rumus pertama
.
Selain itu, saat menyelesaikan masalah, rumus berikut digunakan, yang menyatakan sifat dasar kombinasi:
(menurut definisi mereka berasumsi dan);
.
1.2. Memecahkan masalah kombinatorial
Tugas 1. Ada 16 mata pelajaran yang dipelajari di fakultas. Anda perlu memasukkan 3 mata pelajaran ke dalam jadwal Anda untuk hari Senin. Dalam berapa cara hal ini dapat dilakukan?
Larutan. Ada banyak cara untuk menjadwalkan tiga item dari 16 item sebanyak Anda dapat mengatur penempatan 16 item dengan 3.
Tugas 2. Dari 15 objek, Anda perlu memilih 10 objek. Dalam berapa cara hal ini dapat dilakukan?
Tugas 3. Empat tim mengikuti kompetisi. Berapa banyak pilihan untuk mendistribusikan kursi di antara mereka yang mungkin?
.
Soal 4. Berapa cara patroli yang terdiri dari tiga prajurit dan satu perwira dapat dilakukan jika terdapat 80 prajurit dan 3 perwira?
Larutan. Anda dapat memilih seorang prajurit yang sedang berpatroli
cara, dan petugas dengan cara. Karena perwira mana pun dapat pergi dengan setiap tim prajurit, ada banyak cara.
Tugas 5. Temukan , jika diketahui bahwa .
Sejak , kita dapatkan
,
,
Menurut definisi kombinasi maka , . Itu. .
1.3. Konsep kejadian acak. Jenis acara. Kemungkinan kejadian
Setiap tindakan, fenomena, pengamatan dengan beberapa hasil berbeda, yang diwujudkan dalam serangkaian kondisi tertentu, akan disebut tes.
Hasil dari tindakan atau pengamatan ini disebut peristiwa .
Jika suatu peristiwa dalam kondisi tertentu mungkin terjadi atau tidak terjadi, maka peristiwa itu disebut acak . Bila suatu peristiwa pasti terjadi, maka disebut dapat diandalkan , dan jika hal ini jelas-jelas tidak dapat terjadi, - mustahil.
Peristiwa tersebut disebut tidak kompatibel , jika hanya satu yang dapat muncul setiap saat.
Peristiwa tersebut disebut persendian , jika, dalam kondisi tertentu, terjadinya salah satu peristiwa ini tidak mengecualikan terjadinya peristiwa lain selama pengujian yang sama.
Peristiwa tersebut disebut di depan , jika dalam kondisi pengujian, hasil tersebut, sebagai satu-satunya hasil, tidak sesuai.
Peristiwa biasanya dilambangkan dengan huruf kapital alfabet Latin: A, B, C, D, : .
Sistem kejadian yang lengkap A 1 , A 2 , A 3 , : , A n adalah himpunan kejadian-kejadian yang tidak sesuai, yang terjadinya paling sedikit satu di antaranya adalah wajib selama pengujian yang diberikan.
Jika suatu sistem lengkap terdiri dari dua kejadian yang tidak kompatibel, maka kejadian tersebut disebut berlawanan dan diberi nama A dan .
Contoh. Kotak tersebut berisi 30 bola bernomor. Tentukan kejadian mana di bawah ini yang mustahil, dapat diandalkan, atau bertentangan:
mengeluarkan bola bernomor (A);
mendapat bola yang bernomor genap (DI DALAM);
mendapat bola yang bernomor ganjil (DENGAN);
mendapat bola tanpa nomor (D).
Manakah di antara mereka yang membentuk kelompok lengkap?
Larutan . A- acara yang dapat diandalkan; D- peristiwa yang mustahil;
Di dan DENGAN- kejadian yang berlawanan.
Kelompok acara lengkap terdiri dari A Dan D, V Dan DENGAN.
Probabilitas suatu peristiwa dianggap sebagai ukuran kemungkinan obyektif terjadinya suatu peristiwa acak.
1.4. Definisi klasik tentang probabilitas
Bilangan yang menyatakan ukuran kemungkinan obyektif terjadinya suatu peristiwa disebut kemungkinan peristiwa ini dan ditandai dengan simbol R(A).
Definisi. Kemungkinan kejadian tersebut A adalah rasio jumlah hasil m yang menguntungkan terhadap terjadinya suatu peristiwa tertentu A, ke nomor tersebut N semua hasil (tidak konsisten, hanya mungkin dan sama-sama mungkin), mis. .
Oleh karena itu, untuk mencari peluang suatu kejadian, setelah mempertimbangkan berbagai hasil pengujian, perlu menghitung semua kemungkinan hasil yang tidak konsisten. N, pilih jumlah hasil m yang kita minati dan hitung rasionya M Ke N.
Sifat-sifat berikut mengikuti definisi ini:
Probabilitas suatu tes adalah angka non-negatif yang tidak melebihi satu.
Memang, jumlah m dari kejadian yang diperlukan berada dalam . Membagi kedua bagian menjadi N, kita mendapatkan
2. Peluang suatu kejadian yang dapat diandalkan sama dengan satu, karena .
3. Peluang suatu kejadian yang mustahil adalah nol, karena .
Soal 1. Dalam lotere 1000 tiket, ada 200 tiket yang menang. Satu tiket diambil secara acak. Berapa peluang tiket ini menjadi pemenang?
Larutan. Jumlah total hasil yang berbeda adalah N=1000. Banyaknya hasil yang menguntungkan untuk menang adalah m=200. Berdasarkan rumus yang kita peroleh
.
Soal 2. Dalam kumpulan 18 bagian, ada 4 bagian yang rusak. 5 bagian dipilih secara acak. Temukan probabilitas bahwa dua dari 5 bagian ini rusak.
Larutan. Jumlah semua kemungkinan hasil independen yang sama N sama dengan banyaknya kombinasi 18 kali 5 yaitu
Mari kita hitung bilangan m yang mendukung kejadian A. Di antara 5 bagian yang diambil secara acak, harus ada 3 bagian yang baik dan 2 bagian yang cacat. Banyaknya cara untuk memilih dua bagian yang cacat dari 4 bagian cacat yang ada sama dengan banyaknya kombinasi 4 kali 2:
Banyaknya cara untuk memilih tiga komponen berkualitas dari 14 komponen berkualitas yang tersedia adalah sama
.
Setiap kelompok suku cadang yang baik dapat digabungkan dengan kelompok suku cadang mana pun yang cacat, sehingga jumlah total kombinasinya M sebanyak
Probabilitas yang diperlukan dari kejadian A sama dengan rasio jumlah hasil m yang menguntungkan kejadian ini dengan jumlah n dari semua kemungkinan hasil independen yang sama:
.
Jumlah sejumlah kejadian berhingga adalah kejadian yang terdiri dari terjadinya paling sedikit salah satu kejadian tersebut.
Jumlah dua kejadian dilambangkan dengan simbol A+B dan jumlah N kejadian dengan simbol A 1 +A 2 + : +A n.
Teorema penjumlahan probabilitas.
Peluang jumlah dua kejadian yang tidak sejalan sama dengan jumlah peluang kejadian-kejadian tersebut.
Akibat wajar 1. Jika kejadian A 1, A 2, :,A n membentuk sistem lengkap, maka jumlah peluang kejadian-kejadian tersebut sama dengan satu.
Akibat wajar 2. Jumlah peluang kejadian yang berlawanan dan sama dengan satu.
.
Soal 1. Ada 100 tiket lotere. Diketahui 5 tiket memenangkan 20.000 rubel, 10 tiket memenangkan 15.000 rubel, 15 tiket memenangkan 10.000 rubel, 25 tiket memenangkan 2.000 rubel. dan tidak ada apa pun untuk sisanya. Temukan probabilitas bahwa tiket yang dibeli akan menerima kemenangan minimal 10.000 rubel.
Larutan. Misalkan A, B, dan C adalah kejadian yang terdiri dari fakta bahwa tiket yang dibeli menerima kemenangan masing-masing sebesar 20.000, 15.000, dan 10.000 rubel. karena kejadian A, B dan C tidak sejalan, maka
Tugas 2. Departemen korespondensi sekolah teknik menerima tes matematika dari kota A, B Dan DENGAN. Kemungkinan menerima kertas ujian dari kota A sama dengan 0,6, dari kota DI DALAM- 0,1. Tentukan peluang bahwa ujian berikutnya akan datang dari kota tersebut DENGAN.
Universitas Teknik Negeri Nizhny Novgorod
mereka. A.E. Alekseeva
Abstrak tentang teori disiplin probabilitas
Diselesaikan oleh: Ruchina N.A gr 10MEnz
Diperiksa oleh: Gladkov V.V.
Nizhny Novgorod, 2011
Teori probabilitas……………………………………
Pokok bahasan teori probabilitas…………………………
Konsep dasar teori probabilitas………
Kejadian acak, peluang kejadian..................................................................................
Batasi teorema……………………………………
Proses acak…………………………………………………
Referensi sejarah…………………………………
Buku Bekas………………………………………
Teori probabilitas
Teori probabilitas - ilmu matematika yang memungkinkan, dari probabilitas beberapa kejadian acak, untuk menemukan probabilitas kejadian acak lainnya yang terkait dengan kejadian pertama.
Pernyataan bahwa suatu peristiwa terjadi dengan probabilitas , sama dengan, misalnya, 0,75, tidak dengan sendirinya mewakili nilai akhir, karena kami berusaha untuk mendapatkan pengetahuan yang dapat diandalkan. Nilai kognitif terakhir adalah hasil teori probabilitas yang memungkinkan kita menyatakan probabilitas terjadinya suatu peristiwa A sangat dekat dengan kesatuan atau (yang sama) kemungkinan terjadinya peristiwa tersebut A sangat kecil. Sesuai dengan prinsip “mengabaikan probabilitas yang cukup kecil”, peristiwa seperti itu dianggap pasti secara praktis. Kesimpulan semacam ini yang mempunyai kepentingan ilmiah dan praktis biasanya didasarkan pada asumsi bahwa terjadi atau tidak terjadinya suatu peristiwa. A bergantung pada sejumlah besar faktor acak yang tidak banyak berhubungan satu sama lain . Oleh karena itu, kita juga dapat mengatakan bahwa teori probabilitas adalah ilmu matematika yang menjelaskan pola-pola yang muncul selama interaksi sejumlah besar faktor acak.
Subyek teori probabilitas
Subyek teori probabilitas. Untuk menggambarkan hubungan alami antara kondisi tertentu S dan acara A, kejadian atau tidak terjadinya yang dalam kondisi tertentu dapat ditentukan secara akurat, ilmu pengetahuan alam biasanya menggunakan salah satu dari dua skema berikut:
a) setiap kali kondisi terpenuhi S sebuah acara datang A. Bentuk ini, misalnya, memiliki semua hukum mekanika klasik, yang menyatakan bahwa dengan kondisi awal dan gaya yang bekerja pada suatu benda atau sistem benda, gerak akan terjadi dengan cara yang ditentukan secara unik.
b) Dalam kondisi S peristiwa A mempunyai kemungkinan tertentu P(SEBAGAI), sama dengan R. Jadi, misalnya, hukum radiasi radioaktif menyatakan bahwa untuk setiap zat radioaktif terdapat kemungkinan tertentu bahwa dari sejumlah zat tertentu dalam jangka waktu tertentu sejumlah zat akan meluruh. N atom.
Sebut saja frekuensi kejadiannya A dalam seri ini dari N tes (yaitu, dari N penerapan kondisi secara berulang-ulang S) sikap jam = m/n angka M tes-tes itu di mana A datang, ke jumlah total mereka N. Ketersediaan acara A dalam kondisi S probabilitas tertentu sama dengan R, memanifestasikan dirinya dalam kenyataan bahwa di hampir setiap rangkaian pengujian yang cukup panjang, frekuensi kejadiannya A kira-kira sama dengan R.
Pola statistik, yaitu pola yang digambarkan dengan skema tipe (b), pertama kali ditemukan dalam permainan judi seperti dadu. Pola statistik kelahiran dan kematian juga telah diketahui sejak lama (misalnya peluang bayi baru lahir berjenis kelamin laki-laki adalah 0,515). Akhir abad ke-19 dan paruh pertama abad ke-20. ditandai dengan ditemukannya sejumlah besar hukum statistika di bidang fisika, kimia, biologi, dan lain-lain.
Kemungkinan penerapan metode teori probabilitas pada studi pola statistik yang berkaitan dengan bidang ilmu yang sangat jauh satu sama lain didasarkan pada kenyataan bahwa probabilitas suatu peristiwa selalu memenuhi hubungan sederhana tertentu. Studi tentang sifat-sifat probabilitas suatu peristiwa berdasarkan hubungan sederhana ini adalah pokok bahasan teori probabilitas.
Konsep dasar teori probabilitas
Konsep dasar teori probabilitas. Konsep dasar teori probabilitas, sebagai disiplin matematika, didefinisikan secara paling sederhana dalam kerangka apa yang disebut teori probabilitas dasar. Setiap ujian T, yang dipertimbangkan dalam teori probabilitas dasar adalah sedemikian rupa sehingga berakhir pada satu dan hanya satu kejadian E 1 , E 2 ,...,E S (dengan satu atau lain cara, tergantung kasusnya). Peristiwa ini disebut hasil percobaan. Dengan setiap hasil E k bilangan positif terkait R Ke - kemungkinan hasil ini. Angka P k harus berjumlah satu. Kemudian peristiwa-peristiwa tersebut dipertimbangkan A, terdiri dari fakta bahwa “itu terjadi atau E Saya , atau E J ,..., atau E k" Hasil E Saya , E J ,...,E k disebut menguntungkan A, dan menurut definisi mereka mengasumsikan kemungkinannya R(A) acara A, sama dengan jumlah probabilitas hasil yang menguntungkannya:
P(A) =P Saya +P S +… +P k . (1)
Kasus spesial P 1 =P 2 =...P s = 1/Dtk mengarah ke rumus
R(A) =r/s.(2)
Rumus (2) mengungkapkan apa yang disebut definisi klasik tentang probabilitas, yang menurutnya probabilitas suatu peristiwa A sama dengan perbandingan bilangan tersebut R hasil yang menguntungkan A, ke nomor tersebut S semua hasil yang “sama mungkin”. Definisi klasik tentang probabilitas hanya mereduksi konsep “probabilitas” menjadi konsep “kemungkinan yang sama”, yang masih belum memiliki definisi yang jelas.
Contoh. Saat melempar dua dadu, masing-masing dari 36 kemungkinan hasil dapat ditunjukkan dengan ( Saya,J), Di mana Saya- jumlah poin yang dilempar pada dadu pertama, J- Yang kedua. Hasil yang diperoleh diasumsikan memiliki kemungkinan yang sama. Peristiwa A -“jumlah poinnya adalah 4”, tiga hasil menguntungkan (1; 3), (2; 2), (3; 1). Karena itu, R(A) = 3/36= 1/12.
Berdasarkan kejadian tertentu, dua kejadian baru dapat ditentukan: gabungannya (jumlah) dan kombinasinya (hasil kali).
Peristiwa DI DALAM disebut pengumpulan peristiwa A 1 , A 2 ,..., A R ,-, jika berbentuk: “datang atau A 1 , atau A 2 ,..., atau A R ».
Peristiwa C disebut gabungan peristiwa A 1 , A. 2 ,..., A R , jika berbentuk: “datang dan A 1 , Dan A 2 ,..., Dan A R » . Kombinasi peristiwa dilambangkan dengan tanda, dan kombinasi dengan tanda. Jadi, mereka menulis:
B = SEBUAH 1 A 2 … A R , C = A 1 A 2 … A R .
Acara A Dan DI DALAM disebut tidak kompatibel jika penerapannya secara simultan tidak mungkin dilakukan, yaitu jika tidak ada satu pun hasil pengujian yang menguntungkan dan A Dan DI DALAM.
Operasi penggabungan dan penggabungan peristiwa yang diperkenalkan dikaitkan dengan dua teorema utama teori probabilitas - teorema penjumlahan dan perkalian probabilitas.
Teorema penjumlahan probabilitas: Jika peristiwa A 1 ,A 2 ,...,A R sedemikian rupa sehingga setiap dua dari keduanya tidak kompatibel, maka peluang penyatuannya sama dengan jumlah peluangnya.
Jadi, pada contoh pelemparan dua dadu di atas, kejadiannya DI DALAM -“jumlah poin tidak melebihi 4”, terdapat gabungan dari tiga kejadian yang tidak sesuai A 2 ,A 3 ,A 4, terdiri dari fakta bahwa jumlah poin masing-masing sama dengan 2, 3, 4. Peluang kejadian ini adalah 1/36; 36/2; 3/36. Menurut teorema penjumlahan, probabilitas R(DI DALAM) sama dengan
1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.
Acara A 1 ,A 2 ,...,A r disebut independen jika probabilitas bersyarat dari masing-masing r, asalkan salah satu r lainnya telah terjadi, sama dengan probabilitas “tanpa syarat”.
Teorema perkalian probabilitas: Kemungkinan terjadinya penggabungan peristiwa A 1 ,A 2 ,...,A r sama dengan probabilitas kejadian tersebut A 1 , dikalikan dengan probabilitas kejadian tersebut A 2 diambil dengan syarat bahwa A 1 terjadi,..., dikalikan dengan peluang kejadian tersebut A r dengan syarat itu A 1 ,A 2 ,...,A r-1 telah tiba. Untuk kejadian bebas, teorema perkalian menghasilkan rumus:
P(A 1 A 2 …A R) =P(A 1 )P(A 2 )· … · P(A R), (3)
artinya, probabilitas penggabungan kejadian-kejadian independen sama dengan hasil kali probabilitas kejadian-kejadian tersebut. Rumus (3) tetap berlaku apabila pada kedua bagiannya beberapa peristiwa diganti dengan kebalikannya.
Contoh. 4 tembakan ditembakkan ke sasaran dengan probabilitas mengenai 0,2 per tembakan. Pukulan sasaran dari tembakan yang berbeda diasumsikan sebagai peristiwa yang berdiri sendiri. Berapa peluang mengenai sasaran tepat tiga kali?
Setiap hasil tes dapat ditunjukkan dengan urutan empat huruf [misalnya (y, n, n, y) berarti tembakan pertama dan keempat mengenai (berhasil), dan tembakan kedua dan ketiga tidak mengenai (gagal)]. Akan ada total 2·2·2·2 = 16 hasil. Sesuai dengan asumsi independensi hasil tembakan individu, rumus (3) dan catatannya harus digunakan untuk menentukan probabilitas hasil tersebut. Jadi, probabilitas hasil (y, n.n, n) harus ditetapkan sama dengan 0.2·0.8·0.8·0.8 = 0.1024; di sini 0,8 = 1-0,2 adalah kemungkinan meleset dengan satu tembakan. Peristiwa “target tercapai tiga kali” disukai oleh hasil (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y). (n, y, y, y), peluang masing-masingnya sama:
0,2 0,2 0,2 0,8 =...... =0,8 0,2 0,2 0,2 = 0,0064;
oleh karena itu, probabilitas yang diperlukan adalah sama dengan
4·0,0064 = 0,0256.
Meringkas alasan dari contoh yang dianalisis, kita dapat memperoleh salah satu rumus dasar teori probabilitas: jika peristiwa A 1 , A 2 ,..., A N independen dan memiliki probabilitas masing-masing R, maka peluang terjadinya adalah tepat M diantaranya adalah sama
P N (M)=C N M P M (1 - hal) nm ; (4)
Di Sini C N M menunjukkan jumlah kombinasi N elemen oleh M. Pada umumnya N perhitungan menggunakan rumus (4) menjadi sulit.
Di antara rumus dasar teori probabilitas dasar juga ada yang disebut rumus probabilitas total: jika acara A 1 , A 2 ,..., A R tidak cocok berpasangan dan penyatuan mereka adalah peristiwa yang dapat diandalkan, maka untuk peristiwa apa pun DI DALAM probabilitasnya sama dengan jumlah mereka.
Teorema perkalian probabilitas sangat berguna ketika mempertimbangkan pengujian gabungan. Mereka bilang itu ujian T terdiri dari tes T 1 , T 2 ,..., T n-1 , T N, Jika setiap hasil tes T ada kombinasi dari beberapa hasil A Saya ,B J ,..., X k ,Y aku tes yang relevan T 1 , T 2 ,..., T n-1 , T N. Karena satu dan lain hal, probabilitas sering kali diketahui
P(A Saya), P(B J /A Saya), …,P(Y aku /A Saya B J …X k). (5)
Dari peluang (5) dengan menggunakan teorema perkalian, dapat ditentukan peluangnya R(E) untuk semua hasil E tes komposit, dan pada saat yang sama probabilitas semua kejadian yang terkait dengan tes ini. Dari sudut pandang praktis, ada dua jenis tes gabungan yang tampaknya paling signifikan:
a) komponen tes bersifat independen, yaitu probabilitas (5) sama dengan probabilitas tanpa syarat P(A Saya), P(B J),..., P(Y aku);
b) probabilitas hasil suatu pengujian hanya dipengaruhi oleh hasil pengujian sebelumnya, yaitu probabilitas (5) masing-masing sama: P(A Saya), P(B J /A Saya),..., P(Y Saya /X k). Dalam hal ini, kita berbicara tentang pengujian yang terhubung dalam rantai Markov. Probabilitas semua kejadian yang terkait dengan pengujian gabungan sepenuhnya ditentukan di sini oleh probabilitas awal R(A Saya) dan probabilitas transisi P(B J /A Saya),..., P(Y aku /X k).
Rumus dasar dalam teori probabilitas
Rumus teori probabilitas.
1. Rumus dasar kombinatorik
a) penataan ulang.
\b) penempatan
c) kombinasi 
.
2. Definisi klasik tentang probabilitas.
Dimana banyaknya hasil yang menguntungkan kejadian tersebut, adalah banyaknya semua hasil dasar yang sama-sama mungkin terjadi.
3. Probabilitas jumlah kejadian
Teorema penjumlahan peluang kejadian yang tidak sesuai:
Teorema penjumlahan peluang kejadian gabungan:
4. Kemungkinan terjadinya peristiwa
Teorema perkalian peluang kejadian independen:
Teorema untuk mengalikan peluang kejadian tak bebas:
,
Probabilitas bersyarat suatu peristiwa jika peristiwa itu terjadi
Probabilitas bersyarat suatu peristiwa jika peristiwa itu terjadi.
Kombinatorik adalah cabang matematika yang mempelajari pertanyaan tentang berapa banyak kombinasi berbeda, tergantung pada kondisi tertentu, yang dapat dibuat dari objek tertentu. Dasar-dasar kombinatorik sangat penting untuk memperkirakan probabilitas kejadian acak, karena Merekalah yang memungkinkan kita menghitung jumlah kemungkinan varian berbeda untuk perkembangan peristiwa.
Rumus dasar kombinatorik
Misalkan terdapat k kelompok unsur, dan golongan ke-i terdiri dari ni unsur. Mari kita pilih satu elemen dari setiap grup. Maka jumlah total N cara membuat pilihan tersebut ditentukan oleh relasi N=n1*n2*n3*...*nk.
Contoh 1. Mari kita jelaskan aturan ini dengan contoh sederhana. Misalkan ada dua kelompok unsur, dan kelompok pertama terdiri dari n1 unsur, dan kelompok kedua terdiri dari n2 unsur. Berapa banyak pasangan unsur berbeda yang dapat dibuat dari kedua golongan tersebut, sehingga pasangan tersebut mengandung satu unsur dari setiap golongan? Katakanlah kita mengambil elemen pertama dari grup pertama dan, tanpa mengubahnya, menelusuri semua pasangan yang mungkin, hanya mengubah elemen dari grup kedua. Ada n2 pasangan untuk elemen ini. Kemudian kita mengambil elemen kedua dari grup pertama dan juga membuat semua kemungkinan pasangan untuknya. Akan ada juga n2 pasangan seperti itu. Karena hanya ada n1 elemen di grup pertama, total opsi yang mungkin adalah n1*n2.
Contoh 2. Berapa banyak bilangan genap tiga angka yang dapat dibuat dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 jika angka-angka tersebut dapat diulang?
Penyelesaian: n1=6 (karena kamu bisa mengambil angka apa pun dari 1, 2, 3, 4, 5, 6 sebagai angka pertama), n2=7 (karena kamu bisa mengambil angka apa saja dari 0 sebagai angka kedua, 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n3=4 (karena bilangan apa pun dari 0, 2, 4, 6 dapat diambil sebagai digit ketiga).
Jadi, N=n1*n2*n3=6*7*4=168.
Dalam hal semua kelompok terdiri dari jumlah elemen yang sama, mis. n1=n2=...nk=n kita dapat berasumsi bahwa setiap pilihan dibuat dari grup yang sama, dan elemen setelah seleksi dikembalikan ke grup. Maka jumlah seluruh metode seleksi sama dengan nk. Metode seleksi ini disebut sampling dengan return.
Contoh. Berapa banyak bilangan empat angka yang dapat dibuat dari angka 1, 5, 6, 7, 8?
Larutan. Untuk setiap digit bilangan empat digit ada lima kemungkinan, artinya N=5*5*5*5=54=625.
Misalkan suatu himpunan terdiri dari n elemen. Kita akan menyebut himpunan ini sebagai populasi umum.
Definisi 1. Susunan n elemen dengan m adalah himpunan terurut dari m elemen berbeda yang dipilih dari populasi n elemen.
Contoh. Susunan tiga unsur (1, 2, 3) yang berbeda menjadi himpunan (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3 , 2 ). Penempatan mungkin berbeda satu sama lain baik dalam elemen maupun urutannya.
Banyaknya penempatan dilambangkan dengan A, m dari n dan dihitung dengan rumus:
Catatan: n!=1*2*3*...*n (baca: "en faktorial"), selain itu diasumsikan 0!=1.
Contoh 5. Berapa banyak bilangan dua angka yang angka puluhan dan angka satuannya berbeda dan ganjil?
Solusi: karena Jika terdapat lima angka ganjil yaitu 1, 3, 5, 7, 9, maka tugas ini adalah memilih dan menempatkan dua dari lima angka yang berbeda tersebut pada dua posisi yang berbeda, yaitu. angka yang ditunjukkan adalah:
Definisi 2. Kombinasi n elemen m adalah himpunan m elemen berbeda tak berurutan yang dipilih dari populasi n elemen.
Contoh 6. Untuk himpunan (1, 2, 3), kombinasinya adalah (1, 2), (1, 3), (2, 3).
Banyaknya kombinasi dilambangkan dengan Cnm dan dihitung dengan rumus: 
Definisi 3. Permutasi n elemen adalah himpunan terurut dari elemen-elemen tersebut.
Contoh 7a. Semua kemungkinan permutasi suatu himpunan yang terdiri dari tiga anggota (1, 2, 3) adalah: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).
Banyaknya permutasi berbeda dari n elemen dilambangkan dengan Pn dan dihitung dengan rumus Pn=n!.
Contoh 8. Dalam berapa cara tujuh buku karya penulis berbeda dapat disusun dalam satu baris dalam satu rak?
Penyelesaian: Soal ini tentang banyaknya permutasi dari tujuh buku yang berbeda. Ada P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 cara menyusun buku.
Diskusi. Kita melihat bahwa banyaknya kemungkinan kombinasi dapat dihitung menurut aturan yang berbeda (permutasi, kombinasi, penempatan) dan hasilnya akan berbeda, karena Prinsip perhitungan dan rumusnya sendiri berbeda. Dengan memperhatikan definisinya dengan cermat, Anda akan melihat bahwa hasilnya bergantung pada beberapa faktor secara bersamaan.
Pertama, dari berapa banyak elemen yang dapat kita gabungkan himpunannya (seberapa besar totalitas elemennya).
Kedua, hasilnya bergantung pada ukuran kumpulan elemen yang kita butuhkan.
Terakhir, penting untuk mengetahui apakah urutan elemen dalam himpunan penting bagi kita. Mari kita jelaskan faktor terakhir menggunakan contoh berikut.
Contoh. Ada 20 orang yang hadir pada pertemuan orang tua. Berapa banyak pilihan susunan pengurus induk yang berbeda jika harus terdiri dari 5 orang?
Solusi: Dalam contoh ini, kami tidak tertarik pada urutan nama dalam daftar panitia. Jika, sebagai hasilnya, orang yang sama menjadi bagian darinya, maka bagi kami ini adalah pilihan yang sama. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan rumus untuk menghitung banyaknya kombinasi 20 unsur dari 5.
Hal-hal akan berbeda jika setiap anggota komite pada awalnya bertanggung jawab pada bidang pekerjaan tertentu. Kemudian, mengingat daftar anggota komite yang sama, mungkin ada 5 orang di dalamnya! permutasi yang penting. Banyaknya pilihan yang berbeda (baik dalam komposisi maupun wilayah tanggung jawab) ditentukan dalam hal ini dengan jumlah penempatan 20 elemen sebanyak 5.
Definisi geometris dari probabilitas
Misalkan pengujian acak dibayangkan sebagai pelemparan suatu titik secara acak ke dalam suatu daerah geometri G (pada garis lurus, bidang atau ruang). Hasil dasar adalah titik individual dari G, kejadian apa pun adalah himpunan bagian dari luas ini, ruang hasil dasar dari G. Kita dapat berasumsi bahwa semua titik di G adalah “sama” dan maka peluang suatu titik masuk ke dalam himpunan bagian tertentu adalah sebanding dengan ukurannya (panjang, luas, volume) dan tidak bergantung pada letak dan bentuknya.
Probabilitas geometrik suatu kejadian A ditentukan oleh relasi: , di mana m(G), m(A) adalah ukuran geometri (panjang, luas, atau volume) seluruh ruang hasil elementer dan kejadian A.
Contoh. Sebuah lingkaran berjari-jari r () dilemparkan secara acak pada sebuah bidang yang digambarkan dengan garis-garis sejajar dengan lebar 2d, yang jarak antara garis aksialnya sama dengan 2D. Tentukan peluang lingkaran tersebut berpotongan pada garis tertentu.
Larutan. Sebagai hasil dasar dari tes ini, kita akan mempertimbangkan jarak x dari pusat lingkaran ke garis tengah strip yang paling dekat dengan lingkaran. Maka seluruh ruang hasil dasar adalah sebuah segmen. Perpotongan lingkaran dengan garis akan terjadi jika pusatnya jatuh ke dalam garis, yaitu atau terletak dari tepi garis pada jarak yang kurang dari jari-jarinya, yaitu.
Untuk probabilitas yang diinginkan kita peroleh: .
Klasifikasi kejadian menjadi mungkin, mungkin dan acak. Konsep kejadian dasar sederhana dan kompleks. Operasi pada acara. Definisi klasik tentang peluang suatu kejadian acak dan sifat-sifatnya. Elemen kombinatorik dalam teori probabilitas. Probabilitas geometris. Aksioma teori probabilitas.
1. Klasifikasi peristiwa
Salah satu konsep dasar teori probabilitas adalah konsep suatu peristiwa. Peristiwa adalah segala fakta yang dapat terjadi sebagai akibat dari suatu pengalaman atau ujian. Yang kami maksud dengan pengalaman, atau ujian, adalah penerapan serangkaian kondisi tertentu.
Contoh acara:
– mengenai sasaran ketika ditembakkan dari pistol (pengalaman - melakukan tembakan; peristiwa - mengenai sasaran);
– hilangnya dua lambang saat melempar koin tiga kali (pengalaman - melempar koin tiga kali; peristiwa - hilangnya dua lambang);
– munculnya kesalahan pengukuran dalam batas yang ditentukan saat mengukur rentang ke suatu target (pengalaman - pengukuran rentang; peristiwa - kesalahan pengukuran).
Contoh serupa yang tak terhitung jumlahnya dapat diberikan. Acara ditunjukkan dengan huruf kapital alfabet Latin, dll.
Bedakan antara acara gabungan dan non-gabungan. Peristiwa disebut gabungan apabila terjadinya salah satu peristiwa tidak meniadakan terjadinya peristiwa yang lain. Jika tidak, peristiwa tersebut disebut tidak kompatibel. Misalnya dua buah dadu dilempar. Acara - tiga poin jatuh pada dadu pertama, acara - tiga poin jatuh pada dadu kedua, dan - acara gabungan. Biarkan toko menerima sekumpulan sepatu dengan gaya dan ukuran yang sama, tetapi warnanya berbeda. Peristiwa – kotak yang diambil secara acak ternyata berisi sepatu hitam, peristiwa – kotak tersebut ternyata berisi sepatu coklat, dan – peristiwa yang tidak sesuai.
Suatu peristiwa disebut dapat diandalkan jika peristiwa itu pasti terjadi dalam kondisi pengalaman tertentu.
Suatu peristiwa disebut mustahil jika tidak dapat terjadi dalam kondisi pengalaman tertentu. Misalnya, kejadian dimana suku cadang standar akan diambil dari kumpulan suku cadang standar dapat diandalkan, tetapi suku cadang non-standar tidak mungkin dilakukan.
Suatu peristiwa disebut mungkin, atau acak, jika peristiwa itu mungkin muncul, tetapi mungkin tidak muncul, sebagai akibat dari pengalaman. Contoh kejadian acak dapat berupa identifikasi cacat produk selama pemeriksaan sejumlah produk jadi, ketidaksesuaian antara ukuran produk yang diproses dan produk yang ditentukan, atau kegagalan salah satu tautan dalam sistem kendali otomatis.
Peristiwa-peristiwa disebut sama mungkinnya jika, menurut kondisi pengujian, tidak satu pun dari peristiwa-peristiwa ini yang secara obyektif lebih mungkin terjadi daripada peristiwa-peristiwa lainnya. Misalnya, sebuah toko disuplai dengan bola lampu (dalam jumlah yang sama) oleh beberapa pabrik. Peristiwa yang melibatkan pembelian bola lampu dari salah satu pabrik ini juga mungkin terjadi.
Konsep yang penting adalah rangkaian peristiwa yang lengkap. Beberapa peristiwa dalam suatu percobaan tertentu membentuk kelompok lengkap jika paling sedikit salah satu di antaranya pasti muncul sebagai hasil percobaan tersebut. Misalnya, sebuah guci berisi sepuluh bola, enam bola berwarna merah, empat bola putih, dan lima bola bernomor. - Munculnya bola merah dalam satu kali seri, - Munculnya bola putih, - Munculnya bola bernomor. Acara membentuk kelompok acara bersama yang lengkap.
Mari kita perkenalkan konsep peristiwa yang berlawanan, atau tambahan. Peristiwa sebaliknya adalah suatu peristiwa yang pasti terjadi jika suatu peristiwa tidak terjadi. Peristiwa yang berlawanan tidak kompatibel dan satu-satunya yang mungkin. Mereka membentuk kelompok peristiwa yang lengkap. Misalnya, jika sekumpulan produk yang diproduksi terdiri dari produk yang baik dan produk yang cacat, maka ketika satu produk dikeluarkan, produk tersebut dapat berubah menjadi baik - suatu peristiwa, atau cacat - suatu peristiwa.
2. Operasi pada acara
Ketika mengembangkan peralatan dan metodologi untuk mempelajari kejadian acak dalam teori probabilitas, konsep jumlah dan hasil kali kejadian sangatlah penting.
