Tingkat pertama

Persamaan kuadrat. Panduan komprehensif (2019)

Dalam istilah “persamaan kuadrat”, kata kuncinya adalah “kuadrat”. Artinya, persamaan tersebut harus memuat variabel (x yang sama) yang dikuadratkan, dan tidak boleh ada x pangkat ketiga (atau lebih besar).

Penyelesaian banyak persamaan direduksi menjadi penyelesaian eksak persamaan kuadrat.

Mari kita belajar menentukan bahwa ini adalah persamaan kuadrat dan bukan persamaan lainnya.

Contoh 1.

Mari kita hilangkan penyebutnya dan mengalikan setiap suku persamaan dengan

Mari kita pindahkan semuanya ke sisi kiri dan menyusun suku-sukunya dalam urutan pangkat X

Sekarang kita dapat mengatakan dengan yakin bahwa persamaan yang diberikan berbentuk persegi!

Contoh 2.

Kalikan ruas kiri dan kanan dengan:

Persamaan ini, meskipun aslinya ada di dalamnya, bukanlah persamaan kuadrat!

Contoh 3.

Mari kalikan semuanya dengan:

Menakutkan? Derajat keempat dan kedua... Namun, jika kita melakukan penggantian, kita akan melihat bahwa kita memiliki persamaan kuadrat sederhana:

Contoh 4.

Sepertinya memang ada, tapi mari kita lihat lebih dekat. Mari kita pindahkan semuanya ke sisi kiri:

Lihat, sudah tereduksi - dan sekarang menjadi persamaan linier sederhana!

Sekarang coba tentukan sendiri yang mana persamaan selanjutnya berbentuk persegi dan mana yang tidak:

Contoh:

Jawaban:

1. persegi;
2. persegi;
3. tidak persegi;
4. tidak persegi;
5. tidak persegi;
6. persegi;
7. tidak persegi;
8. persegi.

Matematikawan secara konvensional membagi semua persamaan kuadrat menjadi beberapa jenis berikut:

• Lengkapi persamaan kuadrat- persamaan yang koefisiennya dan, serta suku bebas c, tidak sama dengan nol (seperti pada contoh). Selain itu, di antara persamaan kuadrat lengkap ada diberikan- ini adalah persamaan yang koefisiennya (persamaan dari contoh pertama tidak hanya lengkap, tetapi juga tereduksi!)

• Persamaan kuadrat tidak lengkap- persamaan yang koefisien dan atau suku bebas c sama dengan nol:

  Mereka tidak lengkap karena ada beberapa elemen yang hilang. Tapi persamaannya harus selalu mengandung x kuadrat!!! Jika tidak, persamaan tersebut bukan lagi persamaan kuadrat, melainkan persamaan lainnya.

Mengapa mereka membuat pembagian seperti itu? Tampaknya ada tanda X kotak, dan oke. Pembagian ini ditentukan oleh metode penyelesaiannya. Mari kita lihat masing-masing secara lebih rinci.

Memecahkan persamaan kuadrat tidak lengkap

Pertama, mari kita fokus pada penyelesaian persamaan kuadrat tidak lengkap - persamaan ini jauh lebih sederhana!

Ada beberapa jenis persamaan kuadrat tidak lengkap:

1. , dalam persamaan ini koefisiennya sama.
2. , dalam persamaan ini suku bebasnya sama dengan.
3. , dalam persamaan ini koefisien dan suku bebasnya sama.

1. saya. Karena kita tahu cara mengekstraknya Akar pangkat dua, lalu mari kita ekspresikan dari persamaan ini

Ekspresinya bisa negatif atau positif. Suatu bilangan kuadrat tidak boleh negatif, karena bila mengalikan dua bilangan negatif atau dua bilangan positif, hasilnya selalu bilangan positif, jadi: jika, maka persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian.

Dan jika, maka kita mendapatkan dua akar. Tidak perlu menghafal rumus-rumus ini. Yang penting anda harus tahu dan selalu ingat bahwa itu tidak boleh kurang.

Mari kita coba memecahkan beberapa contoh.

Contoh 5:

Selesaikan persamaannya

Sekarang tinggal mengekstrak root dari sisi kiri dan kanan. Lagi pula, Anda ingat cara mengekstrak akarnya?

Menjawab:

Jangan pernah melupakan akar yang bertanda negatif!!!

Contoh 6:

Selesaikan persamaannya

Menjawab:

Contoh 7:

Selesaikan persamaannya

Oh! Kuadrat suatu bilangan tidak boleh negatif, yang berarti persamaannya

tidak ada akar!

Untuk persamaan yang tidak memiliki akar, ahli matematika membuat ikon khusus - (himpunan kosong). Dan jawabannya bisa ditulis seperti ini:

Menjawab:

Jadi, persamaan kuadrat ini mempunyai dua akar. Tidak ada batasan di sini, karena kami tidak mengekstrak root.
Contoh 8:

Selesaikan persamaannya

Mari kita keluarkan faktor persekutuannya dari tanda kurung:

Dengan demikian,

Persamaan ini memiliki dua akar.

Menjawab:

Jenis persamaan kuadrat tidak lengkap yang paling sederhana (meskipun semuanya sederhana, bukan?). Jelasnya, persamaan ini selalu hanya memiliki satu akar:

Kami akan melakukannya tanpa contoh di sini.

Memecahkan persamaan kuadrat lengkap

Kami ingatkan kembali bahwa persamaan kuadrat lengkap adalah persamaan yang bentuknya persamaan dimana

Menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap sedikit lebih sulit (hanya sedikit) daripada persamaan berikut ini.

Ingat, Persamaan kuadrat apa pun dapat diselesaikan dengan menggunakan diskriminan! Bahkan tidak lengkap.

Metode lain akan membantu Anda melakukannya lebih cepat, tetapi jika Anda memiliki masalah dengan persamaan kuadrat, kuasai dulu penyelesaiannya menggunakan diskriminan.

1. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan diskriminan.

Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan metode ini sangat sederhana; yang utama adalah mengingat urutan tindakan dan beberapa rumus.

Jika , maka persamaan tersebut mempunyai akar. Perhatian khusus mengambil langkah. Diskriminan () memberi tahu kita jumlah akar persamaan.

• Jika , maka rumus pada langkah tersebut akan direduksi menjadi. Jadi, persamaan tersebut hanya akan memiliki akar.
• Jika, maka kita tidak akan dapat mengekstraksi akar diskriminan pada langkah tersebut. Hal ini menunjukkan bahwa persamaan tersebut tidak mempunyai akar.

Mari kita kembali ke persamaan kita dan melihat beberapa contoh.

Contoh 9:

Selesaikan persamaannya

Langkah 1 kita lewati.

Langkah 2.

Kami menemukan diskriminannya:

Artinya persamaan tersebut mempunyai dua akar.

Langkah 3.

Menjawab:

Contoh 10:

Selesaikan persamaannya

Persamaan disajikan dalam bentuk standar, jadi Langkah 1 kita lewati.

Langkah 2.

Kami menemukan diskriminannya:

Artinya persamaan tersebut mempunyai satu akar.

Menjawab:

Contoh 11:

Selesaikan persamaannya

Persamaan disajikan dalam bentuk standar, jadi Langkah 1 kita lewati.

Langkah 2.

Kami menemukan diskriminannya:

Artinya kita tidak akan bisa mengekstrak akar diskriminannya. Tidak ada akar persamaan.

Sekarang kita tahu cara menuliskan jawaban tersebut dengan benar.

Menjawab: tidak ada akar

2. Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan teorema Vieta.

Jika Anda ingat, ada jenis persamaan yang disebut tereduksi (bila koefisien a sama dengan):

Persamaan tersebut sangat mudah diselesaikan dengan menggunakan teorema Vieta:

Jumlah akar diberikan persamaan kuadratnya sama, dan hasil kali akar-akarnya juga sama.

Contoh 12:

Selesaikan persamaannya

Persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Vieta karena .

Jumlah akar-akar persamaannya sama, yaitu. kita mendapatkan persamaan pertama:

Dan produknya sama dengan:

Mari menyusun dan menyelesaikan sistem:

• Dan. Jumlahnya sama dengan;
• Dan. Jumlahnya sama dengan;
• Dan. Jumlahnya sama.

dan merupakan solusi dari sistem:

Menjawab: ; .

Contoh 13:

Selesaikan persamaannya

Menjawab:

Contoh 14:

Selesaikan persamaannya

Persamaannya diberikan, yang artinya:

Menjawab:

PERSAMAAN KUADRATIS. LEVEL RATA-RATA

Apa itu persamaan kuadrat?

Dengan kata lain, persamaan kuadrat adalah persamaan yang bentuknya, dimana - tidak diketahui, - beberapa bilangan, dan.

Angka tersebut disebut tertinggi atau koefisien pertama persamaan kuadrat, - koefisien kedua, A - anggota bebas.

Mengapa? Karena jika persamaannya langsung menjadi linier, karena akan hilang.

Dalam hal ini, dan bisa sama dengan nol. Dalam persamaan kursi ini disebut tidak lengkap. Jika semua suku sudah ada, maka persamaannya lengkap.

Solusi berbagai jenis persamaan kuadrat

Cara menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap:

Pertama, mari kita lihat metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap - metode ini lebih sederhana.

Kita dapat membedakan jenis persamaan berikut:

I., dalam persamaan ini koefisien dan suku bebasnya sama.

II. , dalam persamaan ini koefisiennya sama.

AKU AKU AKU. , dalam persamaan ini suku bebasnya sama dengan.

Sekarang mari kita lihat solusi untuk masing-masing subtipe ini.

Jelasnya, persamaan ini selalu hanya memiliki satu akar:

Suatu bilangan kuadrat tidak boleh negatif, karena jika dua bilangan negatif atau dua bilangan positif dikalikan, hasilnya akan selalu positif. Itu sebabnya:

jika, maka persamaan tersebut tidak memiliki solusi;

jika kita mempunyai dua akar

Rumus-rumus ini tidak perlu dihafal. Hal utama yang harus diingat adalah bahwa jumlahnya tidak boleh kurang.

Contoh:

Solusi:

Menjawab:

Jangan pernah melupakan akar yang bertanda negatif!

Kuadrat suatu bilangan tidak boleh negatif, yang berarti persamaannya

tidak ada akar.

Untuk menuliskan secara singkat bahwa suatu masalah tidak memiliki solusi, kami menggunakan ikon himpunan kosong.

Menjawab:

Jadi, persamaan ini memiliki dua akar: dan.

Menjawab:

Kami akan mengeluarkannya pengganda umum di luar tanda kurung:

Hasil kali sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol. Artinya persamaan tersebut mempunyai solusi jika:

Jadi, persamaan kuadrat ini memiliki dua akar: dan.

Contoh:

Selesaikan persamaannya.

Larutan:

Mari kita faktorkan ruas kiri persamaan dan temukan akar-akarnya:

Menjawab:

Cara menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap:

1. Diskriminan

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara ini mudah, yang utama adalah mengingat urutan tindakan dan beberapa rumus. Ingat, persamaan kuadrat apa pun dapat diselesaikan dengan menggunakan diskriminan! Bahkan tidak lengkap.

Pernahkah Anda memperhatikan akar dari diskriminan dalam rumus akar? Tapi diskriminannya bisa jadi negatif. Apa yang harus dilakukan? Kita perlu memberikan perhatian khusus pada langkah 2. Diskriminan memberi tahu kita jumlah akar persamaan.

• Jika , maka persamaan tersebut mempunyai akar:
• Jika maka persamaannya memiliki akar yang identik, tapi pada dasarnya satu root:

  Akar yang demikian disebut akar rangkap.

• Jika, maka akar diskriminan tidak terekstraksi. Hal ini menunjukkan bahwa persamaan tersebut tidak mempunyai akar.

Mengapa itu mungkin? jumlah yang berbeda akar? Mari kita beralih ke pengertian geometris persamaan kuadrat. Grafik fungsinya adalah parabola:

Dalam kasus khusus, yaitu persamaan kuadrat, . Artinya akar-akar persamaan kuadrat merupakan titik potong dengan sumbu absis (sumbu). Parabola tidak boleh memotong sumbunya sama sekali, atau dapat memotongnya di satu titik (jika titik puncak parabola terletak pada sumbu) atau dua titik.

Selain itu, koefisien juga bertanggung jawab atas arah cabang parabola. Jika , maka cabang-cabang parabola mengarah ke atas, dan jika , maka ke bawah.

Contoh:

Solusi:

Menjawab:

Menjawab: .

Menjawab:

Artinya tidak ada solusi.

Menjawab: .

2. Teorema Vieta

Sangat mudah untuk menggunakan teorema Vieta: Anda hanya perlu memilih sepasang bilangan yang hasil kali sama dengan suku bebas persamaan, dan jumlahnya sama dengan koefisien kedua yang diambil dengan tanda berlawanan.

Penting untuk diingat bahwa teorema Vieta hanya dapat diterapkan persamaan kuadrat tereduksi ().

Mari kita lihat beberapa contoh:

Contoh 1:

Selesaikan persamaannya.

Larutan:

Persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Vieta karena . Koefisien lainnya: ; .

Jumlah akar persamaannya adalah:

Dan produknya sama dengan:

Mari kita pilih pasangan bilangan yang hasil perkaliannya sama dan periksa apakah jumlahnya sama:

• Dan. Jumlahnya sama dengan;
• Dan. Jumlahnya sama dengan;
• Dan. Jumlahnya sama.

dan merupakan solusi dari sistem:

Jadi, dan merupakan akar persamaan kita.

Menjawab: ; .

Contoh #2:

Larutan:

Mari kita pilih pasangan bilangan yang menghasilkan hasil perkalian, lalu periksa apakah jumlahnya sama:

dan: mereka memberi secara total.

dan: mereka memberi secara total. Untuk memperolehnya, cukup dengan mengubah tanda-tanda dari akar yang seharusnya: dan, bagaimanapun juga, produknya.

Menjawab:

Contoh #3:

Larutan:

Suku bebas persamaan tersebut adalah negatif, sehingga hasil kali akar-akarnya adalah bilangan negatif. Hal ini hanya mungkin terjadi jika salah satu akarnya negatif dan akar lainnya positif. Jadi jumlah akar-akarnya sama dengan perbedaan modul mereka.

Mari kita pilih pasangan bilangan yang menghasilkan hasil kali, dan selisihnya sama dengan:

dan: perbedaannya sama - tidak cocok;

dan: - tidak cocok;

dan: - tidak cocok;

dan: - cocok. Yang tersisa hanyalah mengingat bahwa salah satu akarnya negatif. Karena jumlahnya harus sama, akar dengan modulus yang lebih kecil haruslah negatif: . Kami memeriksa:

Menjawab:

Contoh #4:

Selesaikan persamaannya.

Larutan:

Persamaannya diberikan, yang artinya:

Suku bebasnya negatif, sehingga hasil kali akar-akarnya juga negatif. Dan ini hanya mungkin terjadi jika salah satu akar persamaannya negatif dan akar lainnya positif.

Mari kita pilih pasangan bilangan yang hasil perkaliannya sama, lalu tentukan akar mana yang bertanda negatif:

Jelas, hanya akarnya yang cocok untuk kondisi pertama:

Menjawab:

Contoh #5:

Selesaikan persamaannya.

Larutan:

Persamaannya diberikan, yang artinya:

Jumlah akar-akarnya negatif, artinya paling sedikit salah satu akarnya negatif. Namun karena hasil perkaliannya positif, berarti kedua akarnya mempunyai tanda minus.

Mari kita pilih pasangan bilangan yang hasil perkaliannya sama dengan:

Jelas sekali, akarnya adalah bilangan dan.

Menjawab:

Setuju, sangat mudah untuk mengemukakan akarnya secara lisan, daripada menghitung diskriminan yang buruk ini. Cobalah untuk menggunakan teorema Vieta sesering mungkin.

Namun teorema Vieta diperlukan agar dapat memudahkan dan mempercepat pencarian akar. Agar Anda mendapat manfaat dari penggunaannya, Anda harus melakukan tindakan secara otomatis. Dan untuk ini, selesaikan lima contoh lagi. Tapi jangan curang: Anda tidak bisa menggunakan diskriminan! Hanya teorema Vieta:

Solusi tugas untuk pekerjaan mandiri:

Tugas 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Menurut teorema Vieta:

Seperti biasa, kami memulai seleksi dengan potongan:

Tidak cocok karena jumlahnya;

: jumlahnya sesuai dengan kebutuhan Anda.

Menjawab: ; .

Tugas 2.

Dan lagi teorema Vieta favorit kami: jumlahnya harus sama, dan hasil kali harus sama.

Tapi karena tidak harus, tapi, kita ubah tanda akarnya: dan (total).

Menjawab: ; .

Tugas 3.

Hmm... Dimana itu?

Anda perlu memindahkan semua istilah menjadi satu bagian:

Jumlah akar-akarnya sama dengan hasil kali.

Oke, berhenti! Persamaannya tidak diberikan. Namun teorema Vieta hanya berlaku pada persamaan yang diberikan. Jadi pertama-tama Anda perlu memberikan persamaan. Jika Anda tidak bisa memimpin, tinggalkan ide ini dan selesaikan dengan cara lain (misalnya melalui diskriminan). Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa memberikan persamaan kuadrat berarti menyamakan koefisien utamanya:

Besar. Maka jumlah akar-akarnya sama dengan dan hasil kali.

Di sini, memilihnya semudah mengupas buah pir: bagaimanapun juga, ini adalah bilangan prima (maaf atas tautologinya).

Menjawab: ; .

Tugas 4.

Anggota bebasnya negatif. Apa yang spesial dari ini? Dan faktanya akarnya akan memiliki tanda yang berbeda-beda. Dan sekarang, selama pemilihan, kami tidak memeriksa jumlah akar-akarnya, tetapi perbedaan modulnya: perbedaan ini sama, tetapi suatu produk.

Jadi, akar-akarnya sama dengan dan, tetapi salah satunya minus. Teorema Vieta menyatakan bahwa jumlah akar-akarnya sama dengan koefisien kedua yang bertanda berlawanan, yaitu. Artinya akar yang lebih kecil akan mempunyai tanda minus: dan, karena.

Menjawab: ; .

Tugas 5.

Apa yang harus Anda lakukan pertama kali? Benar, berikan persamaannya:

Sekali lagi: kita memilih faktor-faktor dari bilangan tersebut, dan selisihnya harus sama dengan:

Akar-akarnya sama dengan dan, tetapi salah satunya minus. Yang? Jumlahnya harus sama, artinya minusnya akan memiliki akar yang lebih besar.

Menjawab: ; .

Izinkan saya meringkas:

1. Teorema Vieta hanya digunakan dalam persamaan kuadrat yang diberikan.
2. Dengan menggunakan teorema Vieta, Anda dapat menemukan akarnya melalui seleksi, secara lisan.
3. Jika persamaan tidak diberikan atau tidak ditemukan pasangan faktor yang cocok dari suku bebas, maka tidak ada akar bilangan bulat, dan Anda perlu menyelesaikannya dengan cara lain (misalnya, melalui diskriminan).

3. Metode pemilihan persegi lengkap

Jika semua suku yang mengandung hal yang tidak diketahui direpresentasikan dalam bentuk suku dari rumus perkalian yang disingkat - kuadrat jumlah atau selisih - maka setelah mengganti variabel, persamaan tersebut dapat disajikan dalam bentuk persamaan kuadrat tidak lengkap yang bertipe.

Misalnya:

Contoh 1:

Selesaikan persamaan: .

Larutan:

Menjawab:

Contoh 2:

Selesaikan persamaan: .

Larutan:

Menjawab:

DI DALAM pandangan umum transformasinya akan terlihat seperti ini:

Ini menyiratkan: .

Tidak mengingatkanmu pada apa pun? Ini adalah hal yang diskriminatif! Persis seperti itulah kita mendapatkan rumus diskriminan.

PERSAMAAN KUADRATIS. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

Persamaan kuadrat- ini adalah persamaan bentuk, di mana - tidak diketahui, - koefisien persamaan kuadrat, - suku bebas.

Persamaan kuadrat lengkap- persamaan yang koefisiennya tidak sama dengan nol.

Persamaan kuadrat tereduksi- persamaan yang koefisiennya, yaitu: .

Persamaan kuadrat tidak lengkap- persamaan yang koefisien dan atau suku bebas c sama dengan nol:

• jika koefisiennya, persamaannya terlihat seperti: ,
• jika ada suku bebas, persamaannya berbentuk: ,
• jika dan, persamaannya terlihat seperti: .

1. Algoritma penyelesaian persamaan kuadrat tidak lengkap

1.1. Persamaan kuadrat tidak lengkap yang bentuknya, dimana, :

1) Mari kita ungkapkan yang tidak diketahui: ,

2) Periksa tanda ekspresi:

• jika, maka persamaan tersebut tidak memiliki solusi,
• jika, maka persamaan tersebut mempunyai dua akar.

1.2. Persamaan kuadrat tidak lengkap yang bentuknya, dimana, :

1) Mari kita keluarkan faktor persekutuannya dari dalam tanda kurung: ,

2) Hasil kali sama dengan nol jika paling sedikit salah satu faktornya sama dengan nol. Oleh karena itu, persamaan tersebut memiliki dua akar:

1.3. Bentuk persamaan kuadrat tidak lengkap, dimana:

Persamaan ini selalu hanya memiliki satu akar: .

2. Algoritma penyelesaian persamaan kuadrat lengkap berbentuk dimana

2.1. Penyelesaiannya menggunakan diskriminan

1) Mari kita kurangi persamaannya menjadi tampilan standar: ,

2) Mari kita hitung diskriminannya menggunakan rumus: , yang menunjukkan jumlah akar persamaan:

3) Temukan akar persamaan:

• jika, maka persamaan tersebut mempunyai akar-akar yang dicari dengan rumus:
• jika, maka persamaan tersebut mempunyai akar, yang dicari dengan rumus:
• jika, maka persamaan tersebut tidak mempunyai akar.

2.2. Solusi menggunakan teorema Vieta

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat tereduksi (persamaan bentuk dimana) adalah sama, dan hasil kali akar-akarnya juga sama, yaitu , A.

2.3. Solusi dengan metode ekstraksi persegi penuh

Persamaan kuadrat - mudah dipecahkan! *Selanjutnya disebut “KU”. Teman-teman, tampaknya tidak ada yang lebih sederhana dalam matematika selain menyelesaikan persamaan seperti itu. Tapi sesuatu memberitahuku bahwa banyak orang mempunyai masalah dengannya. Saya memutuskan untuk melihat berapa banyak tayangan berdasarkan permintaan yang diberikan Yandex per bulan. Inilah yang terjadi, lihat:

Apa artinya? Artinya ada sekitar 70.000 orang per bulan yang melakukan penelusuran informasi ini, apa hubungannya musim panas ini dengan itu, dan apa yang akan terjadi di antaranya tahun ajaran— akan ada permintaan dua kali lebih banyak. Hal ini tidak mengherankan, karena para lelaki dan perempuan yang sudah lama lulus sekolah dan sedang mempersiapkan diri untuk Ujian Negara Bersatu mencari informasi ini, dan anak-anak sekolah juga berusaha untuk menyegarkan ingatan mereka.

Terlepas dari kenyataan bahwa ada banyak situs yang memberi tahu Anda cara menyelesaikan persamaan ini, saya memutuskan untuk juga berkontribusi dan menerbitkan materinya. Pertama, saya ingin pengunjung datang ke situs saya berdasarkan permintaan ini; kedua, pada artikel lain, ketika topik “KU” muncul, saya akan memberikan link ke artikel ini; ketiga, saya akan memberi tahu Anda lebih banyak tentang solusinya daripada yang biasanya disebutkan di situs lain. Mari kita mulai! Isi artikel:

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang bentuknya:

dimana koefisien a,Bdan c adalah bilangan sembarang, dengan a≠0.

DI DALAM kursus sekolah materi diberikan dalam bentuk berikut– persamaan dibagi menjadi tiga kelas:

1. Mereka mempunyai dua akar.

2. *Hanya memiliki satu akar.

3. Mereka tidak mempunyai akar. Perlu dicatat secara khusus di sini bahwa mereka tidak memiliki akar yang nyata

Bagaimana cara menghitung akar? Hanya!

Kami menghitung diskriminannya. Di bawah kata “mengerikan” ini terdapat rumus yang sangat sederhana:

Rumus akarnya adalah sebagai berikut:

*Anda perlu hafal rumus ini.

Anda dapat langsung menuliskan dan menyelesaikannya:

Contoh:

1. Jika D > 0, maka persamaan tersebut mempunyai dua akar.

2. Jika D = 0, maka persamaan tersebut mempunyai satu akar.

3. Jika D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Mari kita lihat persamaannya:

Dalam hal ini, ketika diskriminan sama dengan nol, dalam pelajaran sekolah dikatakan bahwa satu akar diperoleh, di sini sama dengan sembilan. Semuanya benar, memang benar, tapi...

Gagasan ini agak salah. Faktanya, ada dua akar. Iya iya jangan kaget, ternyata ada dua akar yang sama, dan tepatnya secara matematis, jawabannya harus mengandung dua akar:

x 1 = 3 x 2 = 3

Tapi memang begitu - kemunduran kecil. Di sekolah Anda dapat menuliskannya dan mengatakan bahwa akarnya hanya satu.

Sekarang contoh selanjutnya:

Seperti yang kita ketahui, akar suatu bilangan negatif tidak dapat diambil, sehingga penyelesaiannya masuk pada kasus ini TIDAK.

Itulah keseluruhan proses pengambilan keputusan.

Fungsi kuadrat.

Ini menunjukkan seperti apa solusinya secara geometris. Hal ini sangat penting untuk dipahami (di masa depan, di salah satu artikel kami akan menganalisis secara rinci solusi pertidaksamaan kuadrat).

Ini adalah fungsi dari formulir:

dimana x dan y adalah variabel

a, b, c – nomor yang diberikan, dimana a ≠ 0

Grafiknya adalah parabola:

Artinya, menyelesaikan persamaan kuadrat di “y” sama dengan nol kita cari titik potong parabola dengan sumbu x. Terdapat dua titik (diskriminan positif), satu (diskriminan nol) dan tidak ada (diskriminan negatif). Detail tentang fungsi kuadrat Anda dapat melihat artikel oleh Inna Feldman.

Mari kita lihat contohnya:

Contoh 1: Selesaikan 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Jawaban: x 1 = 8 x 2 = –12

*Ruas kiri dan kanan persamaan dapat langsung dibagi 2, yaitu menyederhanakannya. Perhitungannya akan lebih mudah.

Contoh 2: Memutuskan x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Kami menemukan bahwa x 1 = 11 dan x 2 = 11

Boleh menuliskan x = 11 pada jawaban.

Jawaban: x = 11

Contoh 3: Memutuskan x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminannya negatif, tidak ada solusi dalam bilangan real.

Jawaban: tidak ada solusi

Diskriminannya negatif. Ada solusinya!

Di sini kita akan berbicara tentang menyelesaikan persamaan jika ternyata diskriminan negatif. Apakah kamu mengetahui sesuatu tentang bilangan kompleks? Saya tidak akan menjelaskan secara rinci di sini tentang mengapa dan di mana mereka muncul dan apa peran spesifik dan kebutuhan mereka dalam matematika; ini adalah topik untuk artikel besar yang terpisah.

Konsep bilangan kompleks.

Sedikit teori.

Bilangan kompleks z adalah bilangan yang bentuknya

z = a + dua

di mana a dan b berada bilangan real, saya disebut satuan imajiner.

a+bi – ini adalah NOMOR TUNGGAL, bukan tambahan.

Satuan imajiner sama dengan akar dari minus satu:

Sekarang perhatikan persamaannya:

Kami mendapatkan dua akar konjugasi.

Persamaan kuadrat tidak lengkap.

Mari kita pertimbangkan kasus khusus, yaitu ketika koefisien “b” atau “c” sama dengan nol (atau keduanya sama dengan nol). Masalah-masalah tersebut dapat diselesaikan dengan mudah tanpa adanya diskriminatif.

Kasus 1. Koefisien b = 0.

Persamaannya menjadi:

Mari kita bertransformasi:

Contoh:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Kasus 2. Koefisien c = 0.

Persamaannya menjadi:

Mari kita transformasikan dan faktorkan:

*Perkaliannya sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol.

Contoh:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 atau x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Kasus 3. Koefisien b = 0 dan c = 0.

Di sini jelas bahwa solusi persamaan tersebut akan selalu x = 0.

Sifat dan pola koefisien yang berguna.

Ada properti yang memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan dengan koefisien besar.

AX 2 + bx+ C=0 kesetaraan berlaku

A + B+ c = 0, Itu

- jika untuk koefisien persamaan AX 2 + bx+ C=0 kesetaraan berlaku

A+ c =B, Itu

Properti ini membantu untuk memutuskan tipe tertentu persamaan

Contoh 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Jumlah peluangnya adalah 5001+( – 4995)+(– 6) = 0 yang artinya

Contoh 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Kesetaraan berlaku A+ c =B, Cara

Keteraturan koefisien.

1. Jika pada persamaan ax 2 + bx + c = 0 koefisien “b” sama dengan (a 2 +1), dan koefisien “c” secara numerik sama dengan koefisien"a", maka akar-akarnya sama

kapak 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Contoh. Perhatikan persamaan 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Jika pada persamaan ax 2 – bx + c = 0 koefisien “b” sama dengan (a 2 +1), dan koefisien “c” secara numerik sama dengan koefisien “a”, maka akar-akarnya sama

kapak 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Contoh. Perhatikan persamaan 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jika dalam Persamaan. kapak 2 + bx – c = 0 koefisien “b” sama dengan (a 2 – 1), dan koefisien “c” secara numerik sama dengan koefisien “a”, maka akar-akarnya sama

kapak 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – ax 2 = 1/a.

Contoh. Perhatikan persamaan 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Jika pada persamaan ax 2 – bx – c = 0 koefisien “b” sama dengan (a 2 – 1), dan koefisien c secara numerik sama dengan koefisien “a”, maka akar-akarnya sama

kapak 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Contoh. Perhatikan persamaan 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

teorema Vieta.

Teorema Vieta dinamai menurut nama yang terkenal Matematikawan Perancis François Vieta. Dengan menggunakan teorema Vieta, kita dapat menyatakan jumlah dan hasil kali akar-akar KU sembarang dalam bentuk koefisiennya.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Secara total, angka 14 hanya menghasilkan 5 dan 9. Inilah akar-akarnya. Dengan keterampilan tertentu, dengan menggunakan teorema yang disajikan, Anda dapat menyelesaikan banyak persamaan kuadrat secara lisan dengan segera.

Teorema Vieta, sebagai tambahan. Hal ini memudahkan karena setelah menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara biasa (melalui diskriminan), akar-akar yang dihasilkan dapat diperiksa. Saya sarankan melakukan ini selalu.

METODE TRANSPORTASI

Dengan metode ini, koefisien “a” dikalikan dengan suku bebas, seolah-olah “dilemparkan” ke sana, oleh karena itu disebut metode "transfer". Metode ini digunakan jika akar persamaan dapat dengan mudah ditemukan menggunakan teorema Vieta dan, yang terpenting, jika diskriminannya adalah kuadrat eksak.

Jika A± b+c≠ 0, maka digunakan teknik transfer, misalnya:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Dengan menggunakan teorema Vieta pada persamaan (2), mudah untuk menentukan bahwa x 1 = 10 x 2 = 1

Akar-akar persamaan yang dihasilkan harus dibagi 2 (karena keduanya “dilempar” dari x 2), kita peroleh

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Apa alasannya? Lihat apa yang terjadi.

Diskriminan persamaan (1) dan (2) adalah sama:

Jika Anda melihat akar-akar persamaan, Anda hanya mendapatkan penyebut yang berbeda, dan hasilnya sangat bergantung pada koefisien x 2:

Yang kedua (dimodifikasi) memiliki akar yang 2 kali lebih besar.

Oleh karena itu, kami membagi hasilnya dengan 2.

*Jika kita memutar ulang ketiganya, kita akan membagi hasilnya dengan 3, dst.

Jawaban: x 1 = 5 x 2 = 0,5

persegi. ur-ie dan Ujian Negara Bersatu.

Saya akan ceritakan secara singkat tentang pentingnya - ANDA HARUS DAPAT MEMUTUSKAN dengan cepat dan tanpa berpikir panjang, Anda perlu hafal rumus akar dan diskriminan. Banyak masalah yang termasuk dalam tugas-tugas Ujian Negara Bersatu direduksi menjadi penyelesaian persamaan kuadrat (termasuk persamaan geometris).

Sesuatu yang perlu diperhatikan!

1. Bentuk penulisan persamaan dapat bersifat “implisit”. Misalnya, entri berikut ini dimungkinkan:

15+ 9x 2 - 45x = 0 atau 15x+42+9x 2 - 45x=0 atau 15 -5x+10x 2 = 0.

Anda perlu membawanya ke bentuk standar (agar tidak bingung saat menyelesaikannya).

2. Ingatlah bahwa x adalah besaran yang tidak diketahui dan dapat dilambangkan dengan huruf lain - t, q, p, h dan lain-lain.

Sekolah menengah pedesaan Kop'evskaya sekolah yang komprehensif

10 Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Ketua: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

guru matematika

desa Kopevo, 2007

1. Sejarah perkembangan persamaan kuadrat

1.1 Persamaan kuadrat di Babilonia Kuno

1.2 Bagaimana Diophantus menyusun dan menyelesaikan persamaan kuadrat

1.3 Persamaan kuadrat di India

1.4 Persamaan kuadrat menurut al-Khorezmi

1.5 Persamaan kuadrat di Eropa abad XIII - XVII

1.6 Tentang teorema Vieta

2. Metode penyelesaian persamaan kuadrat

Kesimpulan

literatur

1. Sejarah perkembangan persamaan kuadrat

1.1 Persamaan kuadrat di Babilonia Kuno

Kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan tidak hanya persamaan derajat pertama, tetapi juga derajat kedua pada zaman dahulu disebabkan oleh kebutuhan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan pencarian luas. bidang tanah dan dengan pekerjaan tanah yang bersifat militer, serta dengan perkembangan astronomi dan matematika itu sendiri. Persamaan kuadrat dapat diselesaikan sekitar tahun 2000 SM. e. Babilonia.

Menggunakan modern notasi aljabar, kita dapat mengatakan bahwa dalam teks-teks paku mereka, selain teks-teks yang tidak lengkap, ada, misalnya, persamaan kuadrat lengkap:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Aturan untuk menyelesaikan persamaan ini, yang ditetapkan dalam teks Babilonia, pada dasarnya sama dengan teks modern, tetapi tidak diketahui bagaimana orang Babilonia sampai pada aturan ini. Hampir semua teks paku yang ditemukan sejauh ini hanya memberikan permasalahan dengan solusi yang dituangkan dalam bentuk resep, tanpa indikasi bagaimana ditemukannya.

Meskipun level tinggi perkembangan aljabar di Babilonia, teks-teks paku tidak memiliki konsep bilangan negatif dan metode umum menyelesaikan persamaan kuadrat.

1.2 Bagaimana Diophantus menyusun dan menyelesaikan persamaan kuadrat.

Aritmatika Diophantus tidak memuat penyajian aljabar yang sistematis, tetapi memuat serangkaian soal yang sistematis, disertai penjelasan dan diselesaikan dengan menyusun persamaan-persamaan dengan berbagai derajat.

Saat menyusun persamaan, Diophantus dengan terampil memilih persamaan yang tidak diketahui untuk menyederhanakan solusinya.

Misalnya, ini adalah salah satu tugasnya.

Masalah 11.“Temukan dua bilangan, ketahuilah bahwa jumlah keduanya adalah 20 dan hasil kali keduanya adalah 96”

Alasan Diophantus sebagai berikut: dari kondisi soal maka bilangan-bilangan yang disyaratkan tidak sama, karena jika sama maka hasil kali bilangan-bilangan tersebut bukan sama dengan 96, melainkan 100. Jadi, salah satunya akan lebih dari setengah dari jumlah mereka, yaitu. 10+x, yang lainnya lebih kecil, mis. 10-an. Perbedaan di antara mereka 2x .

Oleh karena itu persamaannya:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Dari sini x = 2. Salah satu angka yang dibutuhkan sama dengan 12 , lainnya 8 . Larutan x = -2 karena Diophantus tidak ada, karena matematika Yunani hanya mengenal bilangan positif.

Jika kita menyelesaikan soal ini dengan memilih salah satu bilangan yang diperlukan sebagai bilangan yang tidak diketahui, maka kita akan sampai pada penyelesaian persamaan tersebut

kamu(20 - kamu) = 96,

kamu 2 - 20 tahun + 96 = 0. (2)

Jelas bahwa dengan memilih setengah selisih dari angka-angka yang diperlukan sebagai angka yang tidak diketahui, Diophantus menyederhanakan solusinya; ia berhasil mereduksi masalahnya menjadi menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap (1).

1.3 Persamaan Kuadrat di India

Permasalahan persamaan kuadrat sudah ditemukan dalam risalah astronomi “Aryabhattiam”, yang disusun pada tahun 499 oleh ahli matematika dan astronom India Aryabhatta. Ilmuwan India lainnya, Brahmagupta (abad ke-7), menguraikan peraturan umum solusi persamaan kuadrat direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal:

ah 2+ B x = c, a > 0. (1)

Dalam persamaan (1), koefisien, kecuali A, bisa juga negatif. Aturan Brahmagupta pada dasarnya sama dengan aturan kita.

DI DALAM India Kuno Kompetisi publik dalam memecahkan masalah-masalah sulit adalah hal biasa. Salah satu buku kuno India mengatakan hal berikut tentang kompetisi tersebut: “Seperti matahari menutupi bintang-bintang dengan kecemerlangannya, demikian pula orang terpelajar akan menutupi kemuliaan orang lain majelis rakyat, mengusulkan dan memutuskan masalah aljabar" Permasalahan seringkali disajikan dalam bentuk puisi.

Ini adalah salah satu permasalahan matematikawan India terkenal abad ke-12. Bhaskar.

Masalah 13.

“Sekawanan monyet yang lincah, dan dua belas monyet di sepanjang tanaman merambat...

Pihak berwenang, setelah makan, bersenang-senang. Mereka mulai melompat, bergelantungan...

Ada berapa monyet di alun-alun, bagian delapan.

Saya bersenang-senang di tempat terbuka. Katakan padaku, di paket ini?

Solusi Bhaskara menunjukkan bahwa dia mengetahui bahwa akar-akar persamaan kuadrat bernilai dua (Gbr. 3).

Persamaan yang sesuai dengan soal 13 adalah:

( X /8) 2 + 12 = X

Bhaskara menulis dengan kedok:

x 2 - 64x = -768

dan, untuk melengkapi ruas kiri persamaan ini menjadi persegi, tambahkan kedua ruasnya 32 2 , lalu dapatkan:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Persamaan kuadrat dalam al – Khorezmi

Dalam risalah aljabar al-Khorezmi diberikan klasifikasi persamaan linier dan kuadrat. Penulis menghitung 6 jenis persamaan, mengungkapkannya sebagai berikut:

1) “Kuadrat sama dengan akar”, yaitu. kapak 2 + c = B X.

2) “Kotak sama dengan angka”, yaitu. kapak 2 = c.

3) “Akar-akar sama dengan bilangan”, yaitu. ah = s.

4) “Kuadrat dan bilangan sama dengan akar”, yaitu. kapak 2 + c = B X.

5) “Kuadrat dan akar sama dengan angka”, yaitu. ah 2+ bx = s.

6) “Akar dan bilangan sama dengan kuadrat,” yaitu. bx + c = kapak 2 .

Bagi al-Khorezmi yang menghindari konsumsi angka negatif, suku-suku dari masing-masing persamaan ini adalah penjumlahan, bukan pengurangan. Dalam hal ini, persamaan yang tidak ada keputusan positif. Penulis menguraikan solusinya persamaan di atas, menggunakan teknik al-jabr dan al-muqabala. Keputusannya, tentu saja, tidak sepenuhnya sejalan dengan keputusan kita. Belum lagi ini murni retoris, perlu dicatat, misalnya, bahwa ketika menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap tipe pertama

al-Khorezmi, seperti semua matematikawan sebelum abad ke-17, tidak memperhitungkan solusi nol, mungkin karena secara spesifik masalah praktis itu tidak masalah. Saat menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap al-Khorezmi secara parsial contoh numerik menjabarkan aturan penyelesaiannya dan kemudian pembuktian geometrinya.

Masalah 14.“Kuadrat dan angka 21 sama dengan 10 akar. Temukan akarnya" (menyiratkan akar persamaan x 2 + 21 = 10x).

Solusi penulis kira-kira seperti ini: bagi jumlah akar menjadi dua, Anda mendapatkan 5, kalikan 5 dengan sendirinya, kurangi 21 dari hasil perkaliannya, yang tersisa adalah 4. Ambil akar dari 4, Anda mendapatkan 2. Kurangi 2 dari 5 , Anda mendapatkan 3, ini akan menjadi root yang diinginkan. Atau tambahkan 2 ke 5, sehingga menghasilkan 7, ini juga merupakan akar.

Risalah al-Khorezmi merupakan buku pertama yang sampai kepada kita, yang secara sistematis menguraikan klasifikasi persamaan kuadrat dan memberikan rumus-rumus penyelesaiannya.

1.5 Persamaan kuadrat di Eropa XIII - XVII bb

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat menurut garis al-Khawarizmi di Eropa pertama kali dituangkan dalam Kitab Sempoa yang ditulis pada tahun 1202 oleh matematikawan Italia Leonardo Fibonacci. Karya yang sangat banyak ini, yang mencerminkan pengaruh matematika, baik di negara-negara Islam maupun di dunia Yunani kuno, dibedakan berdasarkan kelengkapan dan kejelasan penyajiannya. Penulis secara mandiri mengembangkan beberapa hal baru contoh aljabar memecahkan masalah dan merupakan yang pertama di Eropa yang memperkenalkan angka negatif. Bukunya membantu menyebar pengetahuan aljabar tidak hanya di Italia, tetapi juga di Jerman, Prancis, dan negara-negara Eropa lainnya. Banyak soal dari Kitab Sempoa yang digunakan di hampir semua buku teks Eropa abad 16 - 17. dan sebagian XVIII.

Aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal:

x 2 + bx = c,

untuk semua kemungkinan kombinasi tanda koefisien B , Dengan dirumuskan di Eropa hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.

Derivasi rumus penyelesaian persamaan kuadrat dalam bentuk umum tersedia dari Vieta, namun Vieta hanya mengenalinya akar positif. Matematikawan Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli termasuk yang pertama pada abad ke-16. Mereka memperhitungkan, selain hal positif, dan akar negatif. Baru pada abad ke-17. Berkat karya Girard, Descartes, Newton dan ilmuwan lainnya, metode penyelesaian persamaan kuadrat mengambil bentuk modern.

1.6 Tentang teorema Vieta

Teorema yang menyatakan hubungan antara koefisien persamaan kuadrat dan akar-akarnya, dinamai Vieta, dirumuskan pertama kali pada tahun 1591 sebagai berikut: “Jika B + D, dikalikan dengan A - A 2 , sama BD, Itu A sama DI DALAM dan setara D ».

Untuk memahami Vieta, kita harus mengingat hal itu A, seperti huruf vokal lainnya, berarti yang tidak diketahui (kita X), vokal DI DALAM, D- koefisien untuk hal yang tidak diketahui. Dalam bahasa aljabar modern, rumusan Vieta di atas mempunyai arti: jika ada

(sebuah + B )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + B )x + a B = 0,

x 1 = a, x 2 = B .

Mengekspresikan hubungan antara akar dan koefisien persamaan dengan rumus umum yang ditulis menggunakan simbol, Viète menetapkan keseragaman dalam metode penyelesaian persamaan. Namun, simbolisme Viet masih jauh dari harapan tampilan modern. Dia tidak mengenal bilangan negatif dan oleh karena itu, ketika menyelesaikan persamaan, dia hanya mempertimbangkan kasus-kasus di mana semua akarnya positif.

2. Metode penyelesaian persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat adalah fondasi yang menjadi landasan bangunan megah aljabar. Persamaan kuadrat banyak digunakan dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri, eksponensial, logaritma, irasional, dan transendental. Kita semua tahu cara menyelesaikan persamaan kuadrat dari sekolah (kelas 8) hingga lulus.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Anggaran kota lembaga pendidikan Sekolah Menengah No.11

Teks karya diposting tanpa gambar dan rumus.
Versi lengkap pekerjaan tersedia di tab "File Kerja" dalam format PDF

Sejarah persamaan kuadrat

Babel

Kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan tidak hanya derajat pertama, tetapi juga derajat kedua, pada zaman dahulu disebabkan oleh kebutuhan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan pencarian luas bidang tanah, dengan perkembangan ilmu astronomi dan matematika itu sendiri. Persamaan kuadrat dapat diselesaikan sekitar tahun 2000 SM. e. Babilonia. Aturan penyelesaian persamaan yang ditetapkan dalam teks Babilonia pada dasarnya sama dengan teks modern, tetapi teks tersebut tidak memiliki konsep bilangan negatif dan metode umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

Yunani kuno

Di Yunani Kuno, ilmuwan seperti Diophantus, Euclid dan Heron juga berupaya memecahkan persamaan kuadrat. Diophantus Diophantus dari Aleksandria - matematikawan Yunani kuno, yang diperkirakan hidup pada abad ke-3 Masehi. Karya utama Diophantus adalah “Aritmatika” dalam 13 buku. Euclid. Euclid adalah seorang ahli matematika Yunani kuno, penulis risalah teoretis pertama tentang matematika yang sampai kepada kita, Heron. Heron - Matematikawan dan insinyur Yunani pertama di Yunani pada abad ke-1 Masehi. memberi bersih metode aljabar penyelesaian persamaan kuadrat

India

Permasalahan persamaan kuadrat sudah ditemukan dalam risalah astronomi “Aryabhattiam”, yang disusun pada tahun 499 oleh ahli matematika dan astronom India Aryabhatta. Ilmuwan India lainnya, Brahmagupta (abad VII), menguraikan aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal: ax2 + bx = c, a> 0. (1) Dalam persamaan (1) koefisiennya bisa negatif. Aturan Brahmagupta pada dasarnya sama dengan aturan kita. Kompetisi publik dalam memecahkan masalah-masalah sulit adalah hal biasa di India. Salah satu buku kuno India mengatakan hal berikut tentang kompetisi semacam itu: “Seperti matahari mengalahkan bintang-bintang dengan kecemerlangannya, maka orang terpelajar akan melampaui kejayaannya di pertemuan publik dengan mengusulkan dan memecahkan masalah aljabar.” Permasalahan seringkali disajikan dalam bentuk puisi.

Ini adalah salah satu permasalahan matematikawan India terkenal abad ke-12. Bhaskar.

“Sekawanan monyet yang lincah

Dan dua belas orang di sepanjang tanaman merambat, setelah makan sepuasnya, bersenang-senang

Mereka mulai melompat, bergelantungan

Bagian delapan di antaranya berbentuk persegi

Berapa banyak monyet di sana?

Saya bersenang-senang di tempat terbuka

Katakan padaku, di paket ini?

Penyelesaian Bhaskara menunjukkan bahwa penulis mengetahui bahwa akar-akar persamaan kuadrat bernilai dua. Bhaskar menulis persamaan yang berhubungan dengan soal sebagai x2 - 64x = - 768 dan, untuk melengkapi ruas kiri persamaan ini menjadi persegi, tambahkan 322 pada kedua ruasnya, sehingga diperoleh: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Persamaan kuadrat di Eropa XVII abad

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat menurut garis Al-Khorezmi di Eropa pertama kali dituangkan dalam Kitab Sempoa yang ditulis pada tahun 1202 oleh matematikawan Italia Leonardo Fibonacci. Karya yang banyak ini, yang mencerminkan pengaruh matematika, baik dari negara Islam maupun Yunani kuno, dibedakan dari kelengkapan dan kejelasan penyajiannya. Penulis secara mandiri mengembangkan beberapa contoh aljabar baru untuk memecahkan masalah dan merupakan orang pertama di Eropa yang melakukan pendekatan terhadap pengenalan bilangan negatif. Bukunya berkontribusi terhadap penyebaran pengetahuan aljabar tidak hanya di Italia, tetapi juga di Jerman, Perancis dan negara-negara Eropa lainnya. Banyak soal dari Kitab Sempoa yang digunakan di hampir semua buku teks Eropa abad 16 - 17. dan sebagian XVIII. Derivasi rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dalam bentuk umum tersedia dari Vieth, tetapi Vieth hanya mengenali akar-akar positif. Matematikawan Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli termasuk yang pertama pada abad ke-16. Selain akar positif, akar negatif juga diperhitungkan. Baru pada abad ke-17. Berkat karya Girard, Descartes, Newton dan ilmuwan lainnya, metode penyelesaian persamaan kuadrat mengambil bentuk modern.

Definisi persamaan kuadrat

Persamaan yang berbentuk ax 2 + bx + c = 0, dimana a, b, c adalah bilangan, disebut persamaan kuadrat.

Koefisien persamaan kuadrat

Bilangan a, b, c adalah koefisien persamaan kuadrat. a adalah koefisien pertama (sebelum x²), a ≠ 0; b adalah koefisien kedua (sebelum x) adalah suku bebas (tanpa x).

Manakah dari persamaan berikut yang bukan persamaan kuadrat??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Jenis persamaan kuadrat

Nama	Bentuk umum persamaan	Fitur (berapa koefisiennya)	Contoh persamaan
	kapak 2 + bx + c = 0	a, b, c - angka selain 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
Tidak lengkap
			x 2 - 1/5x = 0
Diberikan	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

Dikurangi adalah persamaan kuadrat yang koefisien utamanya sama dengan satu. Persamaan seperti itu dapat diperoleh dengan membagi seluruh ekspresi dengan koefisien utama A:

X 2 + piksel + q =0, p = b/a, q = c/a

Suatu persamaan kuadrat dikatakan lengkap jika semua koefisiennya bukan nol.

Persamaan kuadrat disebut tidak lengkap jika paling sedikit salah satu koefisiennya, kecuali koefisien utamanya (koefisien kedua atau suku bebas), sama dengan nol.

Metode penyelesaian persamaan kuadrat

Metode I Rumus umum untuk menghitung akar

Untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat kapak 2 + b + c = 0 Secara umum, Anda harus menggunakan algoritma di bawah ini:

Hitung nilai diskriminan persamaan kuadrat: berikut ekspresi persamaan tersebut D= B 2 - 4ac

Penurunan rumus:

Catatan: Jelas sekali bahwa rumus akar multiplisitas 2 merupakan kasus khusus dari rumus umum, yang diperoleh dengan mensubstitusi persamaan D=0 ke dalamnya, dan kesimpulan tentang tidak adanya akar real pada D0, dan (gaya tampilan (sqrt ( -1))=saya) = saya.

Metode yang disajikan bersifat universal, tetapi bukan satu-satunya. Penyelesaian persamaan tunggal dapat dilakukan dengan berbagai cara, dengan preferensi biasanya bergantung pada pemecahnya. Selain itu, seringkali untuk tujuan ini beberapa metode ternyata jauh lebih elegan, sederhana, dan tidak memakan banyak tenaga dibandingkan metode standar.

Metode II. Akar persamaan kuadrat dengan koefisien genap B metode III. Memecahkan persamaan kuadrat tidak lengkap

metode IV. Menggunakan rasio parsial koefisien

Ada kasus-kasus khusus persamaan kuadrat yang koefisien-koefisiennya berhubungan satu sama lain, sehingga lebih mudah diselesaikan.

Akar-akar persamaan kuadrat yang jumlah koefisien utamanya dan suku bebasnya sama dengan koefisien kedua

Jika dalam persamaan kuadrat kapak 2 + bx + c = 0 jumlah koefisien pertama dan suku bebas sama dengan koefisien kedua: a+b=c, maka akar-akarnya adalah -1 dan bilangan yang berlawanan dengan rasio suku bebas terhadap koefisien terdepan ( -c/a).

Oleh karena itu, sebelum menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun, Anda harus memeriksa kemungkinan penerapan teorema ini: bandingkan jumlah koefisien utama dan suku bebas dengan koefisien kedua.

Akar persamaan kuadrat yang jumlah semua koefisiennya nol

Jika dalam suatu persamaan kuadrat jumlah semua koefisiennya adalah nol, maka akar-akar persamaan tersebut adalah 1 dan perbandingan suku bebas dengan koefisien utama ( c/a).

Oleh karena itu, sebelum menyelesaikan persamaan metode standar, Anda harus memeriksa penerapan teorema ini pada teorema tersebut: jumlahkan semua koefisien persamaan ini dan lihat apakah jumlahnya sama dengan nol.

metode V. Memfaktorkan trinomial kuadrat menjadi faktor linier

Jika trinomialnya berbentuk (gaya tampilan kapak^(2)+bx+c(tidak =0))kapak 2 + bx + c(a ≠ 0) entah bagaimana dapat direpresentasikan sebagai hasil kali faktor linier (gaya tampilan (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), maka kita dapat mencari akar-akar persamaannya kapak 2 + bx + c = 0- mereka akan menjadi -m/k dan n/l, tentu saja (gaya tampilan (kx+m)(lx+n)=0Panjangkiri-kanan kx+m=0cangkir lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, dan setelah menyelesaikan yang ditunjukkan persamaan linear, kita mendapatkan yang di atas. Perhatikan itu trinomial kuadrat tidak selalu terurai menjadi faktor linier dengan koefisien real: hal ini dimungkinkan jika persamaan yang bersesuaian memiliki akar real.

Mari kita pertimbangkan beberapa kasus khusus

Menggunakan rumus jumlah kuadrat (selisih).

Jika trinomial kuadrat berbentuk (gaya tampilan (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , maka dengan menerapkan rumus di atas, kita dapat memfaktorkannya menjadi faktor linier dan , oleh karena itu, temukan akarnya:

(kapak) 2 + 2abx + b 2 = (kapak + b) 2

Mengisolasi kuadrat penuh dari jumlah (selisih)

Rumus di atas juga digunakan dengan menggunakan metode yang disebut “memilih kuadrat penuh dari jumlah (selisih).” Sehubungan dengan persamaan kuadrat di atas dengan notasi yang telah diperkenalkan sebelumnya, artinya sebagai berikut:

Catatan: jika Anda memperhatikan rumus ini bertepatan dengan yang diusulkan di bagian “Akar persamaan kuadrat tereduksi”, yang selanjutnya dapat diperoleh dari rumus umum (1) dengan mensubstitusi persamaan a=1. Fakta ini bukan hanya kebetulan: dengan menggunakan metode yang dijelaskan, meskipun dengan beberapa alasan tambahan, kita dapat menyimpulkan rumus umum, dan juga membuktikan sifat-sifat diskriminan.

metode VI. Menggunakan teorema Vieta langsung dan terbalik

Teorema langsung Vieta (lihat di bawah pada bagian dengan nama yang sama) dan teorema inversnya memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan kuadrat di atas secara lisan, tanpa menggunakan perhitungan yang agak rumit menggunakan rumus (1).

Berdasarkan kebalikan dari teorema, setiap pasangan bilangan (bilangan) (gaya tampilan x_(1),x_(2))x 1, x 2 yang merupakan penyelesaian sistem persamaan di bawah ini adalah akar-akar persamaan

Secara umum, yaitu untuk persamaan kuadrat tak tereduksi ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

Teorema langsung akan membantu Anda menemukan bilangan yang memenuhi persamaan ini secara lisan. Dengan bantuannya, Anda dapat menentukan tanda-tanda akar tanpa mengetahui akar itu sendiri. Untuk melakukan ini, ikuti aturan:

1) jika suku bebasnya negatif, maka akar-akarnya mempunyai tanda yang berbeda, dan modulo akar terbesar adalah tandanya tanda yang berlawanan koefisien persamaan kedua;

2) jika suku bebasnya positif, maka kedua akarnya mempunyai dengan tanda yang sama, dan ini merupakan tanda yang berlawanan dengan tanda koefisien kedua.

metode VII. Metode pemindahan

Apa yang disebut metode “transfer” memungkinkan Anda untuk mereduksi penyelesaian persamaan tak tereduksi dan tak tersederhanakan menjadi persamaan tereduksi dengan koefisien bilangan bulat dengan membaginya dengan koefisien terdepan ke dalam penyelesaian persamaan tereduksi dengan koefisien bilangan bulat. Ini adalah sebagai berikut:

Selanjutnya persamaan diselesaikan secara lisan seperti dijelaskan di atas, kemudian kembali ke variabel asal dan mencari akar-akar persamaan (gaya tampilan y_(1)=ax_(1)) kamu 1 = kapak 1 Dan kamu 2 = kapak 2 .(gaya tampilan y_(2)=ax_(2))

Arti geometris

Grafik fungsi kuadrat adalah parabola. Penyelesaian (akar-akar) persamaan kuadrat adalah absis titik potong parabola dengan sumbu absis. Jika parabola dijelaskan fungsi kuadrat, tidak berpotongan dengan sumbu x, persamaan tersebut tidak mempunyai akar real. Jika sebuah parabola memotong sumbu x di satu titik (di titik puncak parabola), persamaan tersebut mempunyai satu akar real (persamaan tersebut juga dikatakan mempunyai dua akar yang berhimpitan). Jika parabola memotong sumbu x di dua titik, persamaan tersebut mempunyai dua akar real (lihat gambar di sebelah kanan.)

Jika koefisien (gaya tampilan a) A positif, cabang-cabang parabola mengarah ke atas dan sebaliknya. Jika koefisien (gaya tampilan b) bpositif (jika positif (gaya tampilan a) A, jika negatif, sebaliknya), maka titik puncak parabola terletak pada setengah bidang kiri dan sebaliknya.

Penerapan persamaan kuadrat dalam kehidupan

Persamaan kuadrat banyak digunakan. Ini digunakan dalam banyak perhitungan, struktur, olahraga, dan juga di sekitar kita.

Mari kita perhatikan dan berikan beberapa contoh penerapan persamaan kuadrat.

Olahraga. Lompatan tinggi: selama run-up pelompat, perhitungan yang berkaitan dengan parabola digunakan untuk mencapai dampak yang paling jelas pada bilah lepas landas dan penerbangan tinggi.

Selain itu, perhitungan serupa diperlukan dalam melempar. Jarak terbang suatu benda bergantung pada persamaan kuadrat.

Astronomi. Lintasan planet dapat dicari dengan menggunakan persamaan kuadrat.

Penerbangan pesawat. Lepas landas pesawat adalah komponen utama penerbangan. Di sini kita mengambil perhitungan hambatan rendah dan percepatan lepas landas.

Persamaan kuadrat juga digunakan dalam berbagai hal disiplin ilmu ekonomi, dalam program untuk memproses grafik audio, video, vektor dan raster.

Kesimpulan

Sebagai hasil dari pekerjaan yang dilakukan, ternyata persamaan kuadrat menarik perhatian para ilmuwan pada zaman dahulu; mereka telah menemukannya ketika memecahkan beberapa masalah dan mencoba menyelesaikannya. Mempertimbangkan berbagai cara menyelesaikan persamaan kuadrat, saya sampai pada kesimpulan bahwa tidak semuanya sederhana. Menurutku yang paling banyak jalan terbaik menyelesaikan persamaan kuadrat adalah menyelesaikan dengan rumus. Rumusnya mudah diingat, cara ini bersifat universal. Hipotesis bahwa persamaan banyak digunakan dalam kehidupan dan matematika terbukti. Setelah mempelajari topik tersebut, saya belajar banyak fakta Menarik tentang persamaan kuadrat, kegunaannya, penerapannya, jenis-jenisnya, penyelesaiannya. Dan saya akan dengan senang hati terus mempelajarinya. Saya harap ini akan membantu saya mengerjakan ujian saya dengan baik.

Daftar literatur bekas

Materi situs:

Wikipedia

Buka pelajaran.rf

Panduan untuk matematika dasar Vygodsky M.Ya.

DI DALAM masyarakat modern kemampuan untuk melakukan operasi dengan persamaan yang mengandung variabel kuadrat dapat berguna dalam banyak bidang kegiatan dan banyak digunakan dalam praktik dalam pengembangan ilmu pengetahuan dan teknis. Buktinya dapat ditemukan dalam desain kelautan dan perahu sungai, pesawat terbang dan rudal. Dengan menggunakan perhitungan seperti itu, lintasan pergerakannya paling banyak tubuh yang berbeda, termasuk benda luar angkasa. Contoh penyelesaian persamaan kuadrat digunakan tidak hanya dalam peramalan ekonomi, dalam desain dan konstruksi bangunan, tetapi juga dalam keadaan sehari-hari yang paling biasa. Mereka mungkin dibutuhkan di perjalanan hiking, di acara olahraga, di toko saat berbelanja, dan dalam situasi umum lainnya.

Mari kita pecahkan ekspresi tersebut menjadi faktor-faktor komponennya

Derajat persamaan ditentukan nilai maksimum derajat variabel yang dikandung ekspresi ini. Jika sama dengan 2, maka persamaan tersebut disebut persamaan kuadrat.

Jika kita berbicara dalam bahasa rumus, maka ekspresi yang ditunjukkan, bagaimana pun tampilannya, selalu dapat dibawa ke bentuk jika sisi kiri ekspresi terdiri dari tiga suku. Diantaranya: ax 2 (yaitu variabel yang dikuadratkan dengan koefisiennya), bx (yang tidak diketahui tanpa kuadrat dengan koefisiennya) dan c (komponen bebas, yaitu nomor reguler). Semua ini di ruas kanan sama dengan 0. Jika polinomial tersebut tidak memiliki salah satu suku penyusunnya, kecuali sumbu 2, maka disebut persamaan kuadrat tidak lengkap. Contoh penyelesaian masalah seperti itu, yang nilai-nilai variabelnya mudah ditemukan, harus diperhatikan terlebih dahulu.

Jika persamaan terlihat memiliki dua suku di sisi kanannya, lebih tepatnya ax 2 dan bx, cara termudah untuk mencari x adalah dengan mengeluarkan variabel di dalam tanda kurung. Sekarang persamaan kita akan terlihat seperti ini: x(ax+b). Selanjutnya, menjadi jelas bahwa x=0, atau masalahnya adalah mencari variabel dari ekspresi berikut: ax+b=0. Hal ini ditentukan oleh salah satu sifat perkalian. Aturannya menyatakan bahwa hasil kali dua faktor menghasilkan 0 hanya jika salah satunya nol.

Contoh

x=0 atau 8x - 3 = 0

Hasilnya, kita mendapatkan dua akar persamaan: 0 dan 0,375.

Persamaan semacam ini dapat menggambarkan gerak suatu benda di bawah pengaruh gravitasi dari mana ia mulai bergerak titik tertentu, diambil sebagai titik asal koordinat. Di sini notasi matematika diambil bentuk berikut: kamu = v 0 t + gt 2 /2. Mengganti nilai-nilai yang diperlukan Dengan menyamakan ruas kanan dengan 0 dan menemukan kemungkinan yang tidak diketahui, Anda dapat mengetahui waktu yang berlalu dari saat benda naik hingga jatuh, serta banyak besaran lainnya. Tapi kita akan membicarakannya nanti.

Memfaktorkan Ekspresi

Aturan yang dijelaskan di atas memungkinkan penyelesaian masalah ini secara lebih rinci kasus-kasus sulit. Mari kita lihat contoh penyelesaian persamaan kuadrat jenis ini.

X 2 - 33x + 200 = 0

Trinomial kuadrat ini selesai. Pertama, mari kita transformasikan ekspresi dan faktorkan. Ada dua diantaranya: (x-8) dan (x-25) = 0. Hasilnya, kita memiliki dua akar 8 dan 25.

Contoh penyelesaian persamaan kuadrat di kelas 9 memungkinkan metode ini menemukan variabel dalam ekspresi tidak hanya orde kedua, tetapi bahkan orde ketiga dan keempat.

Contoh: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Ketika memfaktorkan ruas kanan menjadi faktor-faktor yang mempunyai variabel ada tiga, yaitu (x+1), (x-3) dan (x+ 3).

Hasilnya, menjadi jelas bahwa persamaan ini memiliki tiga akar: -3; -1; 3.

Akar pangkat dua

Kasus lain persamaan yang tidak lengkap orde kedua adalah ekspresi yang direpresentasikan dalam bahasa huruf sedemikian rupa sehingga bagian kanan dibangun dari komponen ax 2 dan c. Di sini, untuk mendapatkan nilai variabel, suku bebas dipindahkan ke ruas kanan, dan setelah itu akar kuadrat diekstraksi dari kedua ruas persamaan. Perlu diperhatikan bahwa dalam kasus ini biasanya terdapat dua akar persamaan. Satu-satunya pengecualian adalah persamaan yang tidak mengandung suku dengan sama sekali, yang variabelnya sama dengan nol, serta varian ekspresi ketika ruas kanannya negatif. Dalam kasus terakhir, tidak ada solusi sama sekali, karena tindakan di atas tidak dapat dilakukan dengan root. Contoh penyelesaian persamaan kuadrat jenis ini harus diperhatikan.

Dalam hal ini, akar persamaannya adalah angka -4 dan 4.

Perhitungan luas lahan

Kebutuhan akan perhitungan semacam ini muncul pada zaman dahulu, karena perkembangan matematika pada masa itu sangat ditentukan oleh kebutuhan untuk menentukan luas dan keliling suatu bidang tanah dengan ketelitian yang paling tinggi.

Kita juga harus mempertimbangkan contoh penyelesaian persamaan kuadrat berdasarkan masalah semacam ini.

Jadi, misalkan ada sebidang tanah berbentuk persegi panjang yang panjangnya 16 meter lebih besar dari lebarnya. Panjang, lebar, dan keliling situs tersebut harus dicari jika diketahui luasnya 612 m2.

Untuk memulai, pertama-tama mari buat persamaan yang diperlukan. Misalkan lebar luas tersebut dilambangkan dengan x, maka panjangnya adalah (x+16). Dari apa yang telah ditulis maka luasnya ditentukan oleh ekspresi x(x+16), yang menurut kondisi soal kita adalah 612. Artinya x(x+16) = 612.

Menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap, dan ungkapan ini persis seperti itu, tidak dapat dilakukan dengan cara yang sama. Mengapa? Meskipun ruas kiri masih memuat dua faktor, hasil kali keduanya tidak sama dengan 0, jadi metode yang berbeda digunakan di sini.

Diskriminan

Pertama-tama, mari kita lakukan transformasi yang diperlukan penampilan ekspresi yang diberikan akan terlihat seperti ini: x 2 + 16x - 612 = 0. Artinya kita telah menerima ekspresi dalam bentuk yang sesuai dengan standar yang ditentukan sebelumnya, di mana a=1, b=16, c=-612.

Ini bisa menjadi contoh penyelesaian persamaan kuadrat menggunakan diskriminan. Di Sini perhitungan yang diperlukan diproduksi sesuai skema: D = b 2 - 4ac. Besaran bantu ini tidak hanya memungkinkan untuk menemukan besaran-besaran yang diperlukan dalam persamaan orde kedua, tetapi juga menentukan besarannya pilihan yang memungkinkan. Jika D>0, ada dua; untuk D=0 ada satu akar. Dalam kasus D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Tentang akar dan rumusnya

Dalam kasus kita, diskriminannya sama dengan: 256 - 4(-612) = 2704. Hal ini menunjukkan bahwa masalah kita ada jawabannya. Jika diketahui k, penyelesaian persamaan kuadrat harus dilanjutkan menggunakan rumus di bawah ini. Ini memungkinkan Anda menghitung akarnya.

Artinya dalam kasus yang disajikan: x 1 =18, x 2 =-34. Pilihan kedua dalam dilema ini tidak dapat menjadi solusi, karena ukuran sebidang tanah tidak dapat diukur dalam besaran negatif, artinya x (yaitu lebar bidang tanah) adalah 18 m +16=34, dan kelilingnya 2(34+ 18)=104(m2).

Contoh dan tugas

Kami melanjutkan studi kami tentang persamaan kuadrat. Contoh dan solusi rinci dari beberapa di antaranya akan diberikan di bawah ini.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Mari kita pindahkan semuanya ke sisi kiri persamaan, lakukan transformasi, yaitu kita akan mendapatkan jenis persamaan yang biasa disebut standar, dan menyamakannya dengan nol.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Menjumlahkan yang serupa, kita menentukan diskriminannya: D = 49 - 48 = 1. Artinya persamaan kita akan mempunyai dua akar. Mari kita hitung menggunakan rumus di atas, artinya yang pertama sama dengan 4/3, dan yang kedua sama dengan 1.

2) Sekarang mari kita pecahkan misteri yang berbeda.

Mari kita cari tahu apakah ada akar-akar di sini x 2 - 4x + 5 = 1? Untuk mendapatkan jawaban yang komprehensif, mari kita kurangi polinomialnya ke bentuk biasa yang sesuai dan hitung diskriminannya. Pada contoh di atas, persamaan kuadrat tidak perlu diselesaikan, karena ini bukanlah inti permasalahan sama sekali. Dalam hal ini D = 16 - 20 = -4 yang berarti memang tidak ada akar-akarnya.

teorema Vieta

Lebih mudah untuk menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus di atas dan diskriminan, ketika akar kuadrat diambil dari nilai diskriminan. Namun hal ini tidak selalu terjadi. Namun, ada banyak cara untuk mendapatkan nilai variabel dalam kasus ini. Contoh: menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan teorema Vieta. Namanya diambil dari nama seseorang yang tinggal di Prancis pada abad ke-16 dan membuat karier cemerlang berkat bakat matematika dan koneksinya di istana. Potretnya bisa dilihat di artikel.

Pola yang diperhatikan orang Prancis terkenal itu adalah sebagai berikut. Dia membuktikan bahwa akar-akar persamaan dijumlahkan secara numerik menjadi -p=b/a, dan produknya sesuai dengan q=c/a.

Sekarang mari kita lihat tugas spesifiknya.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Untuk mempermudah, mari kita ubah ekspresi:

x 2 + 7x - 18 = 0

Mari kita gunakan teorema Vieta, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut: jumlah akar-akarnya adalah -7, dan hasil kali akar-akarnya adalah -18. Dari sini kita mendapatkan bahwa akar persamaannya adalah angka -9 dan 2. Setelah diperiksa, kita akan memastikan bahwa nilai variabel tersebut benar-benar sesuai dengan ekspresi.

Grafik dan persamaan parabola

Konsep fungsi kuadrat dan persamaan kuadrat sangat erat kaitannya. Contohnya telah diberikan sebelumnya. Sekarang mari kita lihat beberapa teka-teki matematika dengan lebih detail. Persamaan apa pun dari tipe yang dijelaskan dapat direpresentasikan secara visual. Hubungan seperti itu, yang digambarkan sebagai grafik, disebut parabola. Berbagai jenisnya disajikan pada gambar di bawah ini.

Setiap parabola mempunyai titik sudut, yaitu titik asal cabang-cabangnya. Jika a>0, maka akan naik hingga tak terhingga, dan jika a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Representasi visual dari fungsi membantu menyelesaikan persamaan apa pun, termasuk persamaan kuadrat. Metode ini disebut grafis. Dan nilai variabel x merupakan koordinat absis pada titik-titik perpotongan garis grafik dengan 0x. Koordinat titik sudut dapat dicari dengan menggunakan rumus yang baru saja diberikan x 0 = -b/2a. Dan dengan mensubstitusikan nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan fungsi aslinya, Anda dapat mengetahui y 0, yaitu koordinat kedua dari titik puncak parabola yang termasuk dalam sumbu ordinat.

Perpotongan cabang parabola dengan sumbu absis

Ada banyak contoh penyelesaian persamaan kuadrat, tetapi ada juga pola umum. Mari kita lihat mereka. Jelas bahwa perpotongan grafik dengan sumbu 0x untuk a>0 hanya mungkin jika y 0 mengambil nilai-nilai negatif. Dan untuk a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Jika tidak D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Dari grafik parabola juga dapat ditentukan akar-akarnya. Hal sebaliknya juga terjadi. Artinya, jika tidak mudah mendapatkan representasi visual dari fungsi kuadrat, Anda dapat menyamakan ruas kanan ekspresi dengan 0 dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan. Dan mengetahui titik potong dengan sumbu 0x, akan lebih mudah untuk membuat grafik.

Dari sejarah

Dengan menggunakan persamaan yang mengandung variabel kuadrat, pada zaman dahulu mereka tidak hanya melakukan perhitungan matematis dan menentukan luas bangun geometri. Orang-orang zaman dahulu membutuhkan perhitungan seperti itu untuk penemuan-penemuan besar di bidang fisika dan astronomi, serta untuk membuat ramalan astrologi.

Menurut para ilmuwan modern, penduduk Babilonia termasuk orang pertama yang memecahkan persamaan kuadrat. Ini terjadi empat abad sebelum zaman kita. Tentu saja, perhitungan mereka sangat berbeda dari perhitungan yang diterima saat ini dan ternyata jauh lebih primitif. Misalnya, matematikawan Mesopotamia tidak mengetahui keberadaan bilangan negatif. Mereka juga tidak terbiasa dengan seluk-beluk lain yang diketahui oleh setiap anak sekolah modern.

Mungkin bahkan lebih awal dari para ilmuwan Babilonia, orang bijak dari India Baudhayama mulai memecahkan persamaan kuadrat. Hal ini terjadi sekitar delapan abad sebelum zaman Masehi. Benar, persamaan orde kedua, metode penyelesaian yang dia berikan, adalah yang paling sederhana. Selain dia, matematikawan Tiongkok juga tertarik dengan pertanyaan serupa di masa lalu. Di Eropa, persamaan kuadrat mulai diselesaikan hanya pada awal abad ke-13, tetapi kemudian persamaan tersebut digunakan dalam karya mereka oleh ilmuwan besar seperti Newton, Descartes, dan banyak lainnya.