Cara menghitung proporsi rangkap tiga. Proporsi. Metode penyelesaian III – metode menemukan hubungan

Jungkir balik tiga kali Pada kapal pesiar laut, pemberat ditempatkan rendah, yang mencegahnya terlalu miring dan umumnya terbalik. Namun, kebetulan kapal pesiar tersebut masih terbang jungkir balik, seperti perahu es tanpa pemberat, dan ini hanya terjadi di sini - di Samudra Selatan yang luas. Aku tahu

Masalah yang diselesaikan dengan menggunakan proporsi secara tradisional dipelajari dalam kursus aritmatika untuk kelas 5–6. Diyakini bahwa pada usia inilah siswa harus belajar memecahkan proporsi, mengenal dua ketergantungan yang secara praktis penting - proporsionalitas langsung dan terbalik, belajar membedakan keduanya dan memecahkan masalah terkait. Pembelajaran tentang proporsi dan ketergantungan yang ditunjukkan tidak ada hubungannya dengan kebutuhan mata pelajaran aritmatika itu sendiri atau dengan kebutuhan pembelajaran untuk menyelesaikan masalah di kelas 6 - di buku teks tidak ada masalah proporsionalitas langsung dan terbalik yang tidak dapat diselesaikan. tanpa proporsi. Namun penggunaan proporsi sangat penting untuk pembelajaran matematika nantinya. Dalam buku teks kelas 6, permasalahan yang melibatkan persentase sering disarankan untuk diselesaikan dengan menggunakan proporsi. Padahal menurut kami, penyelesaian masalah yang melibatkan persentase tidak memerlukan penggunaan proporsi.

Mari kita pertimbangkan sebuah teknik untuk memecahkan masalah yang melibatkan proporsi, yang tampaknya dimiliki oleh guru kimia yang bosan dengan buruknya pengetahuan siswanya tentang perhitungan persentase. Itu tergantung pada saran: dalam rekaman

400 gramsolusi - 100%

20 g garam - x%

pisahkan data numerik dalam dua baris dengan dua garis, dekatkan kedua garis tersebut hingga mendapat tanda
" = " dan selesaikan proporsi yang dihasilkan:

400 / 20 = 100 /X.

Terkadang proporsinya tidak disebutkan secara eksplisit selama proses penyelesaian. Misalnya, dalam buku pedoman siswa “500 soal kimia” (Prosveshcheniye, 1981) diberikan solusi singkat:

B) 32 grambelerang bergabung dengan 32 g oksigen, dan

x g » 8 g »

X = 32·8/ 32 = 8(d).

V) 32 grambelerang bergabung dengan 48 g oksigen, dan

x g » 8 g »

X = 32·8/ 48 = 5.33(g).

Seperti yang Anda lihat, di sini proporsinya tetap “di belakang layar”; siswa dapat mengalikan dan membagi bilangan “melintang”. Tidak ada yang tercela dalam metode pengambilan keputusan ini; metode ini dapat digunakan saat mengambil keputusan jumlah besar tugas serupa dalam pelajaran kimia. Benar, kami tidak akan menggunakan yang besar penerimaan umum dalam kasus yang jelas “b” dan gunakan tanda “=” sebagai pengganti “≈” dalam kasus “c”. Namun kami yakin jika seorang siswa tidak memahami proporsi dan tidak dapat menjelaskan maksud tindakannya, maka penyelesaian masalah berdasarkan model tidak banyak memberikan manfaat bagi perkembangannya.

Bagus untuk ahli kimia! Mereka berurusan dengan proporsionalitas langsung. Dan siswa kelas 6 (terutama yang ketinggalan penjelasan guru) terkadang membawa dari rumah cara menyelesaikan soal pertama tanpa perbandingan ini: “mari kita kalikan bilangan secara melintang: kalikan 20 dengan 100, X– dengan 400, mari kita samakan hasil yang diperoleh dan temukan X" Sulit bagi siswa seperti itu untuk mengajarkan penggunaan proporsi, karena mereka menganggap metode mereka sendiri lebih sederhana, namun kesulitan ini mudah dihilangkan setelah mencoba menyelesaikan masalah proporsionalitas terbalik dengan menggunakan metode “crosswise”.

Perhatikan bahwa aturan “kalikan dan bagi secara melintang” mirip dengan aturan yang digunakan di masa lalu ketika menyelesaikan masalah aritmatika. Mari kita manfaatkan keadaan ini dan kembali lagi ke sejarah masalah ini. Tapi pertama-tama, mari kita perjelas terminologinya.

Pada zaman dahulu, untuk menyelesaikan berbagai jenis masalah, terdapat aturan khusus untuk menyelesaikannya. Masalah proporsionalitas langsung dan terbalik yang umum, di mana kita perlu mencari nilai keempat dari tiga nilai dua besaran, disebut masalah aturan rangkap tiga (simple triple rule). Jika untuk tiga besaran diberikan lima nilai dan perlu dicari nilai keenam, maka aturan tersebut disebut lima. Demikian pula, untuk empat besaran ada aturan “tujuh kali lipat”. Aturan-aturan ini juga disebut masalah aturan rangkap tiga yang kompleks.

Dalam artikel pengantar paragraf pertama buku kami, kami mengutip sebuah penggalan dari buku I. Böschenstein (1514), yang mencerminkan sikap guru yang hampir mistis terhadap aturan rangkap tiga, dan penyajian materinya sendiri mempunyai karakter resep yang menonjol. Pelatihan sesuai aturan tersebar luas di Rusia. Ingin menjelaskan metode pengajaran pemecahan masalah sejak zaman L.F. Magnitsky, mari kita merujuk ke S.I. Shokhor-Trotsky, yang dalam bukunya “Metode Aritmatika untuk Guru Sekolah Menengah” lembaga pendidikan“Menulis: “Seberapa banyak buku tentang aritmatika di zaman kuno yang penuh dengan aturan dapat dinilai dari karya Leonty Magnitsky, yang sangat terhormat pada masanya... Di buku pertama... selain banyak aturan tentang bilangan bulat dan bilangan pecahan, ditetapkan aturan-aturan yang penulis sebut “serupa” (sekarang disebut rangkap tiga)... penulis membedakan: aturan rangkap tiga dalam bilangan bulat, aturan rangkap tiga dalam pecahan, aturan kontraktil rangkap tiga, “refleksif” aturan (berbanding terbalik), aturan lima kali lipat, aturan “septenary”…, dan kemudian, dalam bentuk penerapan aturan tersebut, ia menawarkan sejumlah “pasal” ": artikel perdagangan rangkap tiga (“secara keseluruhan ” dan “dalam bentuk saham”), tiga barang dagangan pada pembelian dan penjualan, tiga barang dagangan pada sayuran yang dapat dipasarkan dan “dengan tanda” (yaitu, pada perhitungan wadah barang), pada “pembelian” dan pada “ faktur ”, “mempertanyakan” tentang aturan rangkap tiga, “mempertanyakan sejak zaman”, “bisnis dalam aturan rangkap tiga”, perdagangan “pertukaran dalam aturan rangkap tiga”...

Selanjutnya S.I. Shokhor-Trotsky mengutip sebuah fragmen dari “Aritmatika” oleh L.F. Magnitsky, dari mana terlihat jelas bahwa gaya resep penyajian materi, karakteristik sumber-sumber Eropa sebelumnya, pada awalnya Buku teks bahasa Rusia aritmatika belum teratasi. Dalam penggalan ini, yang dikhususkan untuk penerapan aturan beruas lima, pertama-tama diberikan definisi aturan dan contoh penerapannya (teks soal dicetak miring), kemudian resep untuk mendapatkan jawabannya; dalam kasus lain disarankan untuk melakukan hal yang sama.

“Ada aturan lima kali lipat, ketika perkiraan seperti itu terjadi, bahkan jika perkiraan tersebut tidak dapat dipahami oleh tatanan atau aturan lain apa pun, kecuali melalui yang lima kali lipat atau lima daftar ini, dan yang tiga subjek juga merupakan dinyatakan... karena lima daftar [angka] disediakan dalam aturan, dan yang keenam ditemukan...: seseorang memiliki seratus rubel di pedagang selama satu tahun, dan hanya memperoleh 7 rubel dari mereka, dan sekali lagi memberikan 1000 rubel kepada pedagang selama 5 tahun, sebanyak yang mereka peroleh dari mereka, dan Anda melakukan ini, memulai aturan rangkap tiga:

tahun tahun

100 –––––– 1 –––––– 7 –––––– 1000 –––––– 5

Dan gandakan kedua daftar dari tangan kiri satu sama lain, dan juga tiga daftar lainnya dari tangan kanan, dan gandakan keduanya dalam urutan yang sama, dan bagilah hasil kali mereka dengan hasil kali dari dua yang pertama: seperti di sini.” [ibid.]

Kita akan berbicara tentang kemungkinan menggunakan tugas-tugas semacam ini dalam proses pembelajaran, tetapi untuk saat ini, dengan mengikuti aturan, kita akan mendapatkan jawaban yang benar:

(7 1000 5):(100 1) = 350 ( R.).

Pada masa S.I. Shokhor-Trotsky masih memiliki tradisi menyelesaikan masalah sesuai aturan. Buku teks aritmatika yang paling terkenal pada masa itu adalah buku teks karya A.P. Kiselev (edisi pertama tahun 1884). Agar pembaca mendapat gambaran tentang metodologi penyajian materi terkait permasalahan yang melibatkan aturan rangkap tiga dalam buku teks ini, serta dapat membayangkan praktik mengajar anak sekolah menyelesaikan permasalahan yang melibatkan proporsionalitas langsung dan berbanding terbalik pada saat itu. , kami menyajikan beberapa kutipan dari edisi ke-9 buku teks ini (1896 .). Komentar kami dalam teks dicetak miring.

Aturan tiga kali lipat yang sederhana.

Masalah berdasarkan aturan ini diselesaikan dengan menggunakan metode proporsi atau reduksi menjadi kesatuan.

Tugas. 8 arshin kain berharga 30 rubel; berapa harga 15 arshin kain ini?

S o b o f o r t i o n Mari kita tunjukkan dengan huruf X harga
15 arsh. kain dan susun angkanya seperti ini:

Jumlah arshin. Biaya mereka.

8 arsh. . . . . . . . 30 gosok.

15 " . . . . . . . X »

Karena harga kain sebanding dengan jumlah arshin, maka

X : 30 = 15: 8.

Di mana: X= 30 15/8 = 56 1/4 gosok.

R pengurangan persamaan. Untuk menyelesaikan masalah dengan cara ini, pertama-tama kita cari tahu berapa biaya rubel 1 arshin (dari sini metode ini disebut reduksi menjadi kesatuan). Untuk kejelasan, kami akan mengatur proses solusi dalam baris:

8 arsh. biaya 30 rubel.

1 arsh. biaya 30/8 gosok.

8 arsh. biaya 30/8 · 15 = 56 1/4 gosok.

Perhatikan bahwa akan lebih mudah untuk menyajikan materi dalam buku teks. Lagi pula, cara kedua untuk menyelesaikan masalah hanyalah pencatatan keputusan tindakan:

1) 30:8 = 30/8 (gosok); 2) 30/8 15 = 56 (menggosok.)

Dengan cara ini, tetapi dengan ekspresi harga kain dalam kopek, siswa seharusnya sudah mampu menyelesaikan soal bahkan sebelum mempelajari operasi pecahan. Metode reduksi menjadi satu dengan pelestarian pecahan yang dapat direduksi dengan sengaja diperlukan untuk menyajikan solusi suatu masalah menggunakan aturan rangkap tiga yang kompleks, untuk “rumus akhir”, untuk mengajar anak-anak sekolah mengubah satu besaran pertama secara berurutan (seperti di sini), dan kemudian beberapa besaran (seperti ketika memecahkan masalah pada aturan rangkap tiga yang kompleks).

Selain itu, masalah proporsionalitas terbalik diselesaikan dengan dua cara (pertama menggunakan proporsi, kemudian direduksi menjadi satu).

Suatu cara untuk menyelesaikan masalah di mana satu nilai yang bersesuaian dari dua besaran, berbanding lurus atau berbanding terbalik, diberikan, dan itu diperlukan menemukan, nilai apa yang akan diambil salah satu dari mereka jika yang lain menerima nilai baru yang disebut. aturan tripel sederhana.

Di bawah ini adalah masalah untuk aturan rangkap tiga yang kompleks, yang kompleksitasnya melebihi kebutuhan pelatihan awal - di sini cukup untuk mengambil tiga besaran, bukan empat (yaitu, mengambil masalah untuk aturan lima, seperti L.F. Magnitsky, dan bukan untuk “septenary”).

Aturan rangkap tiga yang kompleks.

Tugas. Untuk menerangi 18 ruangan dalam 48 hari, dibutuhkan 120 pound. minyak tanah, dengan 4 lampu menyala di setiap ruangan. Berapa hari 125 pon akan bertahan? minyak tanah, jika 20 ruangan diterangi dan 3 lampu menyala pada setiap ruangan?

S o b o f o r t i o n Mari kita letakkan data untuk tugas ini dalam dua baris:

20" - X» – 125 » – 3 »

Jika kita membiarkan jumlah pon dan lampu tidak berubah (nilai ini diambil dalam tanda kurung), maka kita dapat menemukannya X 1 – jumlah hari yang sesuai dengan 20 ruangan, memecahkan masalah aturan rangkap tiga yang sederhana.

18 kamar – 48 hari – 120 pon – 4 lampu

20" - X 1" – 120" – 4"

X 1 = 48·18/20 = 216/5 (hari).

20 kamar – 216/5 hari – 120 pon. – 4 lampu

20" - X 2" – 125" – 4"

X 2 = 216·125 / 5·120 = 45 (hari).

Sekarang mari kita ganti 4 lampu dengan 3 lampu:

20 kamar – 45 hari – 125 pon. – 4 lampu

20" - X» – 125 » – 3 »

X= 45 4/3 = 60 (hari).

Cara untuk menyelesaikan permasalahan jika terdapat lebih dari dua besaran tertentu disebut. aturan rangkap tiga yang kompleks.

Perkenalan Ke satuan... Mari kita atur, untuk memudahkan, data dan angka-angka yang diperlukan sedemikian rupa X berada di kolom terakhir di sebelah kanan:

20" 125" 3" X »

Sekarang kita mencari tahu berapa hari jika ada cahaya 1 ruangan, akan ada minyak tanah 1 pon dan di setiap ruangan akan ada 1 lampu. Ini kita temukan, mengarah ke 1 secara bertahap dari satu kondisi ke kondisi lainnya.

18 kamar 120 pon. 4 lampu 48 hari

1 » 120 » 4 » 48 18 »

1 » 1 » 4 » 48 18/120 »

1 » 1 » 1 » 48 18 4/120 »

Sekarang kita akan mengganti satuan secara bertahap dengan angka yang diberikan pada soal soal:

1 kamar 1 pon 1 domba. 48·18·4 / 120 hari.

20 » 1 » 1 » 48 18 4 / 120 20 »

20 » 125 » 1 » 48 18 4 125 / 120 20 »

20 » 125 » 3 » 48 18 4 125 / 120 20 3 »

Tetap mengurangi rumus yang dihasilkan dan menghitungnya.

FORMULIR AKHIR . Jika Anda memiliki keterampilan yang cukup dalam menyelesaikan masalah dengan menggunakan aturan rangkap tiga yang kompleks, Anda dapat langsung menulis rumus akhir Untuk X. Mari kita tunjukkan bagaimana hal itu dilakukan. Mari kita selesaikan masalah di atas:

18 kamar – 48 hari – 120 pon – 4 lampu

20" - X» – 125 » – 3 »

Jumlah hari adalah 48 jika 18 ruangan diterangi; jika hanya satu ruangan yang diterangi, maka akan ada 48 hari · 18, dan ketika 20 ruangan diterangi, siang hari seharusnya 48·18/20 (dalam kondisi lain yang sama). Jumlah hari ini akan disediakan oleh 120 pon minyak tanah; jika ada 1 pon minyak tanah, maka jumlah harinya adalah 48·18/20·120, dan dengan 125 pon minyak tanah menjadi 48·18·125/20·120. Jumlah hari ini asalkan ada 4 lampu; dengan 1 lampu menjadi 48·18·125·4 / 20·120, dan dengan 3 lampu seharusnya:

X = 48 18 125 4/120 20 3, atau X= 48·18/20·125/120·4/3.

Aturan. Untuk memperoleh bilangan yang diinginkan, cukup dengan mengalikan nilai tertentu dari besaran yang sama secara berurutan dengan perbandingan nilai tertentu dari besaran yang tersisa, dengan mengambil perbandingan nilai baru dengan nilai sebelumnya, jika nilainya langsung. sebanding dengan nilai yang dicari, dan nilai sebelumnya dengan nilai baru, apabila nilainya berbanding terbalik dengan nilai yang dicari.

Rupanya, tidak mudah untuk mengingat dan menerapkan aturan ini secara akurat. Mari kita perhatikan fakta bahwa rumus tersebut seharusnya dilanjutkan ke rumus akhir “dengan keterampilan yang cukup dalam memecahkan masalah berdasarkan aturan rangkap tiga yang kompleks” menggunakan dua metode pertama. Apakah mengherankan jika pelatihan semacam itu rumit dan tidak banyak berguna bagi siswa, serta menimbulkan keberatan di kalangan guru dan ahli metodologi. Jadi, misalnya, dalam program sekolah tujuh tahun sekolah buruh terpadu tahap pertama dan kedua pada tahun 1921, tertulis dengan cukup jelas: “Semua “aturan” lainnya adalah peninggalan masa lalu dan omong kosong, bukan bahkan alami, tapi buatan.” Dan selanjutnya: “Aturan rangkap tiga yang kompleks mencakup pengumpulan masalah buatan, yang seharusnya sudah lama dibuang dari kehidupan sekolah karena tidak ada artinya.”

Sikap kategoris yang tajam dari penulis program tersebut, tampaknya, tidak banyak disebabkan oleh tugas-tugas itu sendiri (kondisi mereka dapat didekatkan dengan pengalaman anak), tetapi karena metode yang tidak membantu dalam mengajar anak-anak sekolah untuk memecahkan masalah “oleh aturan." Fragmen teks di atas berasal dari buku teks karya A.P. Kiselev memberikan gambaran tentang metodologi penyajian materi yang menarik bagi kita dalam buku teks pra-revolusi. Perhatikan bahwa dalam versi buku teks yang direvisi pada tahun 1938, masalah-masalah tentang aturan rangkap tiga yang kompleks masih dipertahankan, dan sedikit lebih dari satu halaman buku teks dikhususkan untuk analisis salah satu masalah tersebut - langsung pada "tujuh kali lipat" aturan. Namun, hanya “rumus akhir” yang dipertimbangkan di sini dan aturannya tidak dirumuskan. Jelas sekali, perubahan ini tidak menyelesaikan masalah penggunaan tugas-tugas seperti yang dimaksud.

Hanya dengan menyederhanakan metodologi untuk menggunakan soal-soal semacam ini, seluruh kelas soal-soal tradisional dapat dipertahankan dengan berguna dalam praktik sekolah. Seperti yang akan kita lihat nanti, banyak dari mereka yang kontennya cukup mirip dengan praktik, dan melakukan pekerjaan persiapan ketika belajar memecahkan masalah menggunakan aturan rangkap tiga yang sederhana dan membangun rantai masalah dari yang sederhana ke yang kompleks akan meningkatkan aksesibilitas masalah ini. jenis. Namun, pertanyaannya masih belum terselesaikan: apakah semua siswa perlu diajarkan cara memecahkan masalah seperti itu? Jawabannya tergantung pada apa yang kita lihat sebagai nilai praktis dari pembelajaran memecahkan masalah cerita – hanya dalam pembelajaran memecahkan masalah yang ditemui dalam praktek atau terlebih lagi dalam mengembangkan pemikiran anak sekolah dalam proses pemecahan berbagai macam, termasuk buatan, masalah. Pencapaian tujuan kedua mungkin difasilitasi oleh penggunaan masalah tiga aturan yang kompleks dalam proses pendidikan. Tentu saja, persyaratan untuk dapat menyelesaikan masalah-masalah tersebut tidak dapat diwajibkan bagi semua siswa, namun partisipasi dalam analisis penyelesaiannya, pelatihan membedakan perbandingan langsung dan terbalik akan bermanfaat bagi mereka masing-masing.

Adapun penggunaan soal proporsionalitas langsung dan terbalik dalam buku teks modern, di buku teks N.Ya. Vilenkina dan lainnya. langsung dan mundur ketergantungan proporsional paragraf 22 dialokasikan. Ini berisi 18 tugas. Apalagi dimulai dengan sampel masuk teks pendidikan, nilai yang sesuai besaran dinyatakan dalam pecahan desimal atau bilangan asli, yang perbandingannya tidak dinyatakan dalam bilangan bulat. Hal ini membuat pembelajaran menjadi sulit. Selain itu, sepertiga permasalahannya merupakan permasalahan persentase. Saat pertama kali belajar menggunakan proporsi, lebih baik pisahkan kesulitannya: pelajari proporsi secara terpisah desimal dan persen. Pada paragraf-paragraf buku teks berikut ini, dari waktu ke waktu terdapat soal-soal “sesuai proporsi”, namun jumlahnya sedikit dan sebagian besar juga mudah diselesaikan tanpa proporsi.

Dengan demikian, proporsinya sendiri tidak secara signifikan memperkaya gudang metode pemecahan masalah yang digunakan oleh anak-anak sekolah dalam proses mempelajari seluruh mata pelajaran matematika di kelas 5-6, dan tanpa meningkatkan kompleksitas, tugas-tugas proporsionalitas langsung dan terbalik tidak memiliki hasil yang diinginkan. dampaknya terhadap perkembangan anak sekolah. Dengan menggunakan sejumlah kecil tugas sederhana yang sejenis, tidak selalu mungkin untuk mencapai tujuan penting lainnya - untuk mengajar anak-anak sekolah membedakan dengan jelas antara proporsionalitas langsung dan proporsionalitas terbalik.

Kami tidak mengklaim hal itu masa lalu masalah yang melibatkan proporsionalitas langsung dan terbalik digunakan dengan lebih efektif. Namun tetap saja, tugas yang lebih beragam, termasuk tugas berdasarkan “aturan rangkap tiga yang kompleks”, memberikan kesempatan kepada guru untuk mengembangkan siswa yang paling kuat. Itulah sebabnya kami merekomendasikan agar para guru menggunakan tugas-tugas yang sekarang hampir terlupakan ini dalam pekerjaan mereka dengan semua siswa, terutama dengan mereka yang paling siap. Tentu saja, kami akan menyederhanakan penyertaannya dalam proses pendidikan dan melakukan penyesuaian yang diperlukan pada metodologi pengajaran untuk menyelesaikannya. Kami sama sekali tidak mengusulkan untuk mengajari semua anak sekolah memecahkan masalah seperti masalah lampu minyak tanah, dan dengan cara yang persis sama seperti yang ditunjukkan di atas. Mungkin tugas ini harus dijadikan yang terakhir dalam rangkaian tugas, dengan menyelesaikannya siswa tidak hanya akan mampu memahami solusi yang diajukan oleh guru, tetapi juga secara mandiri bergerak maju dari yang sederhana ke yang kompleks. Pekerjaan seperti itu akan lebih berguna daripada menandai waktu ketika memecahkan masalah serupa dengan kompleksitas yang sama; ini akan memberikan pelatihan yang baik kepada siswa dalam membedakan antara proporsionalitas langsung dan terbalik. Di mana kita harus mulai?

Pertama, kita perlu mengajari anak-anak sekolah cara menyelesaikan perbandingan. Cara utama penyelesaiannya harus didasarkan pada sifat dasar proporsi. Ketika tujuan ini tercapai, penggunaan sifat-sifat proporsi dapat ditunjukkan untuk menyederhanakan penyelesaiannya. Misalnya untuk menyelesaikan proporsi
X/ 5 = 1 / 10 Anda dapat mengalikan ruas kanan dan kiri persamaan dengan 5 atau menukar suku tengah proporsi tersebut.

Kedua, perlu diajarkan kepada anak sekolah untuk mengidentifikasi dua besaran dalam kondisi masalah dan menetapkan jenis hubungan di antara keduanya.

Ketiga, Anda perlu mengajari mereka cara membuat proporsi sesuai dengan kondisi soal.

Dengan demikian, siswa akan menguasai berbagai keterampilan minimum yang disediakan oleh program matematika saat ini. Baru setelah itu, sebagai persiapan untuk memecahkan masalah yang lebih kompleks yang melibatkan besaran proporsional (aturan rangkap tiga kompleks), siswa harus diperlihatkan cara menyelesaikan masalah yang dipelajari tanpa proporsi sama sekali. Biarkan masalahnya terpecahkan:

– Dengan kecepatan 80 km/jam, sebuah kereta barang menempuh jarak 720 km. Berapa jarak yang akan ditempuhnya Itu Pada saat yang sama apakah kereta api penumpang mempunyai kecepatan 60 km/jam?

Lintasan sebanding dengan kecepatan pada waktu gerak tetap, artinya dengan penurunan kecepatan sebesar 80/60 kali maka lintasan akan berkurang sebesar 80/60 kali.

720: 80 / 60 = 540 (km).

Teknik yang sama digunakan untuk menyelesaikan masalah jika kecepatan tidak berkurang, tetapi bertambah, jika besarannya tidak berbanding lurus, melainkan berbanding terbalik. Tentu saja penerapan pertama teknik ini harus didahului dengan pertanyaan yang diajukan saat menyelesaikan soal sebelumnya: berapa kali nilai tersebut bertambah (berkurang)? Jawaban pertama harus dinyatakan dalam bilangan bulat, dan kemudian dalam pecahan, selalu diperoleh dengan membagi nilai besaran yang lebih besar dengan nilai yang lebih kecil. Hanya setelah siswa belajar menentukan bagaimana nilai besaran kedua akan berubah dengan perubahan yang sesuai pada besaran pertama, mereka dapat melanjutkan ke penyelesaian masalah, pertama dengan dua besaran (aturan rangkap tiga), kemudian dengan besaran tiga dan empat (aturan rangkap tiga yang kompleks). ).

SHVETSOV K.I., BEVZ G.P.
BUKU PANDUAN MATEMATIKA DASAR
ARITHMETIKA, ALJABAR, 1965


1. Aturan tripel sederhana. Di antara soal-soal yang melibatkan besaran proporsional, yang paling umum adalah soal-soal yang melibatkan apa yang disebut aturan rangkap tiga sederhana. Dalam soal ini, tiga angka diberikan dan Anda perlu menentukan angka keempat, sebanding dengan angka tersebut.

Soal 1. 10 baut beratnya 4 kg. Berapa berat 25 baut tersebut? Masalah seperti ini dapat diselesaikan dengan beberapa cara.

Solusi I (dengan mereduksi menjadi kesatuan).

1) Berapa berat satu baut?

4kg: 10 = 0,4kg.

2) Berapa berat 25 baut?

0,4kg · 25 = 10kg.

Solusi II (metode proporsi). Karena berat baut berbanding lurus dengan jumlahnya, maka perbandingan beratnya sama dengan perbandingan potongan (baut). Menunjukkan berat yang diinginkan dengan huruf x, kita memperoleh proporsi:

X : 4 = 25: 10,

(kg)

Anda dapat berargumentasi seperti ini: 25 baut 2,5 kali lebih banyak dari 10 baut. Oleh karena itu, beratnya juga 2,5 kali lebih berat dari 4 kg:

4kg · 2,5 = 10kg.

Menjawab. 25 baut beratnya 10 kg.

Soal 2. Gigi pertama menghasilkan 50 rpm. Gigi kedua, menyatu dengan gigi pertama, menghasilkan 75 rpm. Hitunglah jumlah gigi roda kedua jika jumlah gigi roda pertama adalah 30.

Solusi (dengan mereduksi menjadi kesatuan). Kedua roda gigi yang menyatu akan menggerakkan jumlah gigi yang sama dalam satu menit, sehingga jumlah putaran roda berbanding terbalik dengan jumlah giginya.

50 putaran. - 30 gigi

75 putaran. - X gigi.

X : 30 = 50: 75; (gigi).

Anda dapat berargumentasi seperti ini: roda kedua berputar 1,5 kali lebih dari yang pertama(75:50 = 1,5). Akibatnya, ia memiliki gigi 1,5 kali lebih kecil dari yang pertama:

30: 1,5 = 20 (gigi).

Menjawab. 20 gigi.

2. Aturan rangkap tiga yang kompleks. Tugas di mana seri ini Nilai-nilai yang bersesuaian dari beberapa (lebih dari dua) besaran proporsional memerlukan pencarian nilai salah satunya yang sesuai dengan rangkaian nilai lain dari besaran-besaran yang tersisa, yang disebut masalah aturan rangkap tiga yang kompleks.

Tugas. 5 pompa memompa 1800 ember air dalam waktu 3 jam. Berapa banyak air yang dapat dipompa oleh 4 pompa tersebut dalam waktu 4 jam?

5 dari kita. 3 jam - 1800 jam

4 dari kita. 4 jam - X Wed.

1) Berapa ember air yang dipompa oleh 1 pompa dalam waktu 3 jam?

1800: 5 = 360 (ember).

2) Berapa ember air yang dipompa oleh 1 pompa dalam waktu 1 jam?

360: 3 = 120 (ember).

3) Berapa banyak air yang dapat dipompa oleh 4 pompa dalam 1 jam?

120 · 4 = 480 (ember).

4) Berapa banyak air yang dapat dipompa oleh 4 pompa dalam 4 jam?

480 · 4 = 1920 (ember).

Menjawab. ember tahun 1920

Solusi singkat menggunakan rumus numerik:

(ember).

Tugas. Bagilah angka 100 menjadi dua bagian yang berbanding lurus dengan angka 2 dan 3,

Masalah ini harus dipahami sebagai berikut: membagi 100 menjadi dua bagian sehingga yang pertama berhubungan dengan yang kedua seperti 2 adalah dengan 3. Jika kita menentukan angka yang diperlukan dengan huruf X 1 dan X 2 maka masalah ini dapat dirumuskan sebagai berikut. Menemukan X 1 dan X 2 seperti itu

X 1 + X 2 = 100,

X 1: X 2 = 2: 3.

Bagian ketiga

HUBUNGAN DAN PROPORSI.

MASALAH DISELESAIKAN DENGAN MENGGUNAKAN PROPORSI dan
DENGAN METODE MENGURANGI KESATUAN.

BAGIAN VIII..

§ 50. Aturan rangkap tiga yang kompleks.

2661. 45 tukang batu dibayar 216 rubel untuk enam hari kerja; Berapa upah 30 tukang batu yang bekerja 8 hari lumpur?

2662. 5 pompa memompa 1800 ember air dalam waktu 3 jam. Berapa banyak air yang dapat dipompa oleh 4 pompa identik dalam 4 jam?

2663. 25 pekerja menggali kanal sepanjang 36 depa dalam 12 hari. Berapa panjang sebuah saluran yang dapat digali oleh 15 pekerja yang sama dalam 10 hari?

2664. Modal 100 rubel dalam 12 bulan menghasilkan keuntungan 6 rubel. Berapa banyak keuntungan yang diperoleh modal 8.600 rubel dalam 4 bulan?

2665. Dari sebuah ladang berbentuk persegi panjang, panjang 40 depa dan lebar 30 depa, dikumpulkan 6 perempat dari 2 segi empat gandum. Berapa banyak gandum yang dipanen dari ladang lain yang panjangnya 96 depa dan lebarnya 50 depa, jika kondisi tanam dan panen kedua ladang itu sama?

2666. Untuk 15 pasang gaun digunakan 45 arshin kain selebar 1 arsh. 14 vershok. Berapa lebar kain lainnya jika 60 arshin untuk 10 pasang gaun serupa?

2667 .18 pekerja, bekerja 7 jam sehari, menyelesaikan beberapa pekerjaan dalam 30 hari dan menerima 201 rubel untuk itu. 60 kopek 14 pekerja, bekerja 4 jam sehari, menerima 67,2 rubel untuk melakukan pekerjaan lain. Dengan asumsi upah per jam pekerja pada kedua angkatan sama, tentukan berapa hari pekerja angkatan kedua bekerja.

2668. Untuk pengangkutan 420 pon barang dengan kereta api menempuh jarak 24 ayat, 2 rubel dibayarkan. 52 kopek. Menurut perhitungan ini, untuk mengangkut 50 pon barang di sepanjang jalur kereta Nikolaev, dari Sankt Peterburg ke Moskow, seseorang harus membayar 7 rubel. 61 1/4 kop. Temukan panjang jalan ini.

2669. 155 tiket penumpang kelas dua yang diambil untuk perjalanan kereta api dari Paris ke Rouen berharga 1.488 franc. Mengetahui bahwa harga 10 tiket kelas dua yang digunakan untuk menempuh jarak 4 kilometer sama dengan 3 franc, dan 16 kilometer sama dengan 15 ayat, nyatakan panjang jalur kereta api antara Paris dan Rouen dalam ayat.

2670. Jika roda mesin pembuat kawat besi berputar 60 putaran per menit, maka mesin tersebut akan menghasilkan 240 arsh. kawat selama 3 jam 20 menit. Berapa lama waktu yang diperlukan untuk menghasilkan 33 1/8 depa kawat jika roda tersebut berputar 41 2/3 putaran per menit?

2671. Dari sebuah ladang berbentuk persegi panjang yang panjangnya 125 depa dan lebar 0,08 ayat, dikumpulkan 12 1/2 perempat gandum; Jadi, perhitungannya menunjukkan panen enam buah. Dari ladang persegi panjang lainnya, yang panjangnya 0,3 (9) ayat, dipanen 8 1/3 perempat gandum, yang berarti panen lima kali. Asumsikan kondisi tanam kedua lahan sama, tentukan lebar lahan kedua.

2672. Sebuah lempengan batu, panjang 5,3 kaki, lebar 0,8 3 kaki dan tebal 2 5/8 inci, beratnya 4,2 pon. Lempengan lain dari batu yang sama dengan yang pertama memiliki berat 7 pon 35 pon dan lebar 15 inci dan tebal 2 inci. Berapa panjang lempengan kedua?

2673 . Sebuah strip besi, panjang 2 arshin, lebar 1 1/2 inci dan tebal 2/3 inci, beratnya 0,4375 pon. Berapa berat sebuah strip besi yang panjangnya 2 kaki, lebar 1 3/7 inci dan tebal 0,16666.... kaki?

2674. 36 pekerja, bekerja 12 jam 30 menit setiap hari, membangun sebuah rumah kayu dalam waktu 30 hari. Berapa jam sehari yang harus dilakukan 27 pekerja untuk membangun rumah yang sama dalam 50 hari?

2675. Panjang koridor tersebut adalah 6 depa. 2 arsh. 9 1/7 inci, lebar 1,4(9) depa. dan tinggi 5. (3) yard (ukuran panjang Uard-Inggris). Udara atmosfer, terdapat di koridor, beratnya 17 pon. 34 pon Udara yang memenuhi ruangan yang berdekatan dengan koridor berbobot 11,9 pon. Diketahui 0,58(3) yard = 0,75 arsh., dan tinggi ruangan adalah 5 5/7 arsh., dan lebarnya 0,945 kali tinggi, hitunglah panjang ruangan tersebut.

2676. Untuk penerangan tangga gedung No.6 jet gas, menyala selama 40 malam, selama 6 jam 12 menit setiap malam, 22 rubel dibayarkan ke perusahaan gas. 32 kopek. Di tangga lain, 5 tanduk yang sama dibakar selama 60 malam, dan dibayar 27 rubel. Berapa jam gas terbakar di tangga kedua setiap malam?

2677 . Untuk 4 lampu, yang dinyalakan setiap malam selama 7 1/2 jam, 2,25 pon minyak tanah dikonsumsi selama 30 malam. Berapa sore hari 1,8 pon minyak tanah akan dikonsumsi jika 5 lampu serupa dinyalakan setiap malam selama 4 jam 30 menit?

2678 . 32 tukang batu, bekerja 8 1/2 jam setiap hari, dijumlahkan dalam 42 hari dinding bata Panjangnya 10 depa, tebal 7 1/2 inci dan tinggi 1 depa 3,5 kaki. Hari apa 40 tukang batu, kekuatan yang setara dengan yang pertama, bekerja setiap hari selama 6,8 jam, mereka akan memasang tembok bata sepanjang 15 depa, tebal 0,9375 arshin, dan tinggi 2 1/2 arshin?

2679. Panjang jalan pos antara Vitebsk dan Orel adalah 483 ayat; seorang pelancong menempuh jarak ini dalam 7 hari, tinggal di kota selama 10 jam setiap hari dan menempuh jumlah mil per jam yang sama. Pelancong lain meninggalkan Vitebsk menuju Mogilev dan, dalam perjalanan selama 12 jam setiap hari, menyelesaikan perjalanannya dalam 4 hari. Berapa jarak dari Vitsbsk ke Mogilev, jika diketahui pengelana kedua menempuh jarak 10 verst pada waktu yang sama dengan pengelana pertama menempuh jarak 23 verst?

2680. Sebuah batu bata (klinker), panjang 0,375 arshin, lebar 3 inci dan tebal 1 1/2 inci, beratnya 10 pon 38,4 gulungan. Berapa berat sepotong marmer berbentuk persegi panjang yang panjangnya 8,75 inci, lebar 2 1/4 inci, dan tebal 2 inci, dan diketahui bahwa marmer 1 1/2 kali lebih berat dari batu bata?

2681. 25 orang penenun, bekerja 8 1/3 jam sehari, menganyam 120 arshin linen, lebar 1 arsh, dalam waktu 32 hari. 5 1/3 inci. Dalam berapa hari 40 penenun, yang bekerja setiap hari selama 4 jam 10 menit, dapat menenun 320 arshin kain dengan lebar 0,75 arshin?

2682. Modal 1.200 rubel dalam 8 bulan menghasilkan keuntungan 40 rubel; Jam berapa 100 gosok. akan membawa 5 rubel. tiba?

2683. Modal 30.000 rubel dalam 7 1/2 bulan menghasilkan keuntungan 1.125 rubel. Berapa banyak keuntungan yang dihasilkan setiap 100 rubel modal ini dalam 1 tahun?

2684. Modal 24.400 rubel dalam 10 bulan menghasilkan keuntungan 1.525 rubel. Berapa banyak modal yang perlu Anda miliki agar, dengan beredar dalam kondisi yang sama seperti yang pertama, ia dapat menghasilkan keuntungan 1.250 rubel dalam waktu 2 1/2 bulan?

2685. 54 orang penggali, bekerja 10 jam sehari, membuat tanggul dalam waktu 33 hari, panjang 124 depa, lebar 1 depa 2 1/2 arshin, dan tinggi 6 3/4 kaki. Berapa banyak penggali yang harus disewa agar dengan bekerja 7 1/2 jam setiap hari dapat membuat tanggul sepanjang 0,31 ayat dengan mata air 7 1/3 arsh dalam waktu 30 hari? dan tinggi 3 6/7 arshin?

2686. 48 orang penggali, bekerja setiap hari selama 9 jam 20 menit, membuat benteng tanah dalam waktu 55 hari, panjang 40 1/3 depa, lebar 4 1/2 arshin, dan tinggi 7 arshin. Berapa tinggi batang yang akan dibuat oleh 40 orang penggali dalam waktu 64 hari, bekerja setiap hari selama 6 jam 45 menit, jika panjang batang tersebut 44 depa dan lebarnya 1 depa?

2687 . 14 depa kayu bakar pinus dikonsumsi untuk memanaskan apartemen dengan 6 kompor selama 2 bulan 10 hari. Berapa panjang 10 depa kayu bakar birch yang cukup untuk memanaskan sebuah apartemen dengan 8 tungku, jika jumlah panas yang dihasilkan oleh setiap tungku harus sama dengan apartemen pertama, dan jika 9 depa kayu bakar pinus memberikan jumlah panas yang sama? sama dengan 7 1/2 depa pohon birch?

2688. Dari sebuah ladang berbentuk persegi panjang, panjang 2 ayat dan lebar 1 1/2 ayat, dengan hasil panen 27 buah, gula bit yang dikumpulkan sebanyak itu sehingga pabrik menghasilkan 937 1/2 pon gula darinya. Dari ladang lain, yang lebarnya 400 depa, dengan panen 18 buah, bit dikumpulkan, dari mana 250 pon gula diekstraksi. Dengan asumsi kondisi tanam dan kualitas bit sama di kedua lahan, tentukan panjang lahan kedua.

2689. 4 juru tulis, bekerja setiap hari selama 7 1/2 jam, menyalin 225 lembar dalam 15 hari, dengan rata-rata 32 baris pada setiap halaman. Berapa banyak juru tulis yang perlu dipekerjakan agar, dengan bekerja setiap hari selama 5 jam 20 menit, mereka dapat menyalin 64 lembar kertas dalam 9 hari, dengan menempatkan rata-rata 36 baris pada setiap halaman?

2690. Selama 4 1/2 jam, 3 pipa mengisi reservoir sepanjang 1 depa. 2 arshin, lebar 1,5 arshin dan kedalaman 3 2/3 kaki. Sampai kedalaman berapa 4 pipa akan mengisi reservoir lain dalam waktu 5,4 jam, jika panjang reservoir ini adalah 1 jelaga. 2 5/8 kaki, lebar 1,2 lengkungan, dan jika masing-masing pipa pertama menuangkan 16 ember air sekaligus, ke mana masing-masing pipa terakhir menuangkan 9 ember?

2691 . 22 orang penenun, bekerja 10 jam sehari, menyiapkan 120 lembar linen dalam 30 hari. Berapa banyak penenun yang perlu disewa agar, dengan bekerja 7 1/2 jam sehari, mereka dapat menyiapkan 300 lembar kain linen dalam waktu 40 hari, dan panjang masing-masing potongan tersebut harus 1 1/10 kali panjang kain linen. yang pertama, dan lebarnya harus 0,8(3) dari lebar yang pertama?

2692. Untuk memberi makan sejumlah prajurit tertentu, akan ada cukup roti untuk 60 hari jika setiap prajurit diberi 2 1/2 pon setiap hari. Berapa hari 3/4 dari persediaan ini akan bertahan jika jumlah prajurit dikurangi 3/8 dari jumlah sebelumnya, dan porsi harian masing-masing ditambah 1,25 pon?

2693. Lima belas pekerja dan 12 pekerja, yang bekerja setiap hari selama 10 jam 30 menit, mengambil gabah dari ladang dalam 12 hari. Pada hari berapakah 21 orang pekerja dan 8 orang pekerja perempuan yang bekerja 8,4 jam sehari akan memanen gabah di sebuah ladang yang panjangnya berhubungan dengan panjang ladang pertama sebesar 0,3 : 1/5, dan lebarnya berhubungan dengan lebar yang pertama sebesar 0, 51: 0,5(6), - jika diketahui kekuatan laki-laki berhubungan dengan kekuatan wanita sebesar 0,2(6) : 0,1(9)?

2694. Untuk memompa air keluar dari kolam, dipasang 3 pompa besar dan 5 pompa kecil, yang jika bekerja sama dapat mengalirkan seluruh air dalam waktu 6 jam. Setelah 2 1/2 jam kerja gabungannya, dua pompa besar rusak dan segera diganti dengan 5 pompa kecil. Diketahui bahwa gaya masing-masing pompa kecil berhubungan dengan gaya masing-masing pompa besar, sebagai 2 1/2: 4 1/6, tentukan berapa jam total yang diperlukan untuk memompa air keluar dari kolam.

2695. Untuk membangun dinding rumah digunakan 4.215 buah batu bata yang masing-masing berukuran panjang 10 1/2 inci dan lebar 5,25 inci. dan tebal 2 5/8 inci. Untuk membangun tembok lain digunakan batu bata yang masing-masing berukuran panjang 5 1/2 inci, lebar 3 1/3 inci, dan tebal 1 1/4 inci. Berapa banyak batu bata yang akan digunakan untuk membangun tembok kedua jika panjangnya 0,8(3) panjang tembok pertama, tebalnya 1,1 kali tebal tembok pertama, dan tingginya 0,(5) tinggi tembok tembok pertama?

2696. Dua puluh lima orang, belajar selama 5 jam setiap hari, berhasil menyelesaikan 0,(27) pekerjaan dalam 15 hari. Berapa banyak lagi orang yang perlu dipekerjakan agar mereka, yang bekerja bersama dengan orang pertama selama 8 1/3 jam sehari, dapat menyelesaikan sisa pekerjaan yang sama dalam 20 hari?

Tidak ada ungkapan yang cukup kuat sehingga para penyusun aritmatika abad pertengahan akan berhemat untuk memuji aturan rangkap tiga. “Garis itu tiga kali lipat terpuji dan merupakan baris terbaik dari semua baris lainnya.” “Para filsuf menyebutnya garis emas.” Dalam buku teks Jerman mereka menyebutnya sebagai sesuatu yang “tak terpuji”, dan merupakan “kunci para pedagang”. Juga di kalangan orang Prancis dikenal dengan nama règle dorée - aturan emas. Hal ini bertentangan dengan seluruh ilmu aljabar.

Mengapa pujian yang berlebihan diberikan kepada departemen yang saat ini terbiasa menempati tempat yang lebih sederhana? Sangat menarik untuk mengetahuinya, dan mari kita kembali sedikit ke belakang dan memberikan gambaran singkat tentang tujuan yang telah dicapai aritmatika sejak zaman kuno.

Setiap ilmu pengetahuan pada tahap awal perkembangannya disebabkan oleh kebutuhan praktis dan pada gilirannya berusaha untuk memenuhinya. Kemudian, tergantung pada kondisi perkembangannya, ilmu pengetahuan kadang-kadang cukup cepat, kadang-kadang lebih lambat, memperoleh konotasi teoretis dan mempunyai pengaruh pendidikan bagi mereka yang mempelajarinya, yaitu. meningkatkan kemampuan mental mereka: pikiran, perasaan dan kemauan: dengan pertumbuhan yang lambat, sains untuk waktu yang lama tetap menjadi pemimpin penguasaan, hanya memberikan keterampilan, memberi seseorang keterampilan mekanis dan memberinya ciri-ciri mekanis. Aritmatika telah mengalami dua arah. Di satu sisi, para ilmuwan Yunani melihat sebagian besar aritmatika sebagai elemen pendidikan; mereka terus-menerus menanyakan pertanyaan “mengapa?” dan “mengapa?”, selalu mencari alasan dan kesimpulan; siswa sekolah Yunani mempelajari esensi sains, memikirkannya, dan oleh karena itu penelitian tersebut memiliki efek pendidikan dan perkembangan pada mereka. Di sisi lain, umat Hindu memandang aritmatika dari sisi seni; mereka tidak menyukai pertanyaan “mengapa?”, tetapi pertanyaan utama mereka selalu: “bagaimana melakukan ini?” Arah umat Hindu berpindah ke Arab, dan dari sana ke Eropa abad pertengahan. Di dalamnya, hal ini mendapat sambutan yang sangat hangat, dan landasannya ternyata cukup bersyukur: setelah migrasi besar-besaran orang-orang dan dengan peperangan yang terus-menerus, tidak ada yang perlu dipikirkan tentang perkembangan yang pasti, sering, dan sering terjadi. ilmu yang abstrak, dan pada saat itu cukup membatasi diri pada bagian terapannya saja, cukup mengajarkan “bagaimana melakukannya”, bukan “mengapa melakukannya”. Maka pewarnaan praktis tetap berada di belakang aritmatika untuk waktu yang lama, hampir hingga saat ini, pada saat yang sama, studinya bersifat mekanis sempit: tanpa kesimpulan, penjelasan, tanpa menggali dasar-dasarnya; di mana-mana di buku teks orang dapat menemukan “beginilah cara melakukannya”, “Anda harus melakukannya dengan cara ini”, dan siswa hanya dapat mengkonfirmasi dan menerapkannya dalam praktik; Magnitsky kita juga memiliki sejumlah ekspresi khas: “lihat sitse”, “lihat penemuan”; Misalkan saja di antara ungkapan-ungkapan ini ia memiliki “berpikirlah, maka ia akan datang”, tetapi bagaimana tepatnya berpikir, sangat sedikit petunjuk yang diberikan. Sesuai dengan makna praktis dari ilmu hitung, terutama menekankan dan menghargai segala sesuatu yang dapat membawa manfaat langsung dan menghasilkan pendapatan.

“Siapa pun yang mengetahui kebijaksanaan ini,” kata ahli aritmatika Rusia abad ke-17, “dapat mendapat kehormatan dan gaji yang besar; Menurut kebijaksanaan ini, para tamu berdagang ke seluruh negara bagian dan dalam segala jenis barang dan perdagangan mereka mengetahui kekuatan dan dalam segala macam ukuran dan dalam tata ruang bumi dan dalam arus laut mereka sangat terampil, dan mereka mengetahui hitungan setiap nomor dalam daftar.”

Namun bagian aritmatika manakah yang dapat memberikan keterampilan yang lebih praktis dan dapat diterapkan secara langsung dibandingkan pemecahan masalah? Oleh karena itu, segala upaya para penulis abad pertengahan ditujukan untuk mengumpulkan masalah sebanyak-banyaknya dan, terlebih lagi, dengan konten sehari-hari yang paling beragam. Ada permasalahan mengenai jual beli, mengenai tagihan dan bunga, mengenai pencampuran, mengenai pertukaran; keberagamannya sangat buruk dan tidak ada cara untuk menyelesaikan seluruh masalah. Untuk setidaknya mengelompokkan dan memperkenalkan sistem dan ketertiban tertentu, mereka mencoba mendistribusikan semua tugas ke dalam departemen atau jenis. Gagasan ini, tentu saja, bagus, tetapi biasanya dilaksanakan dengan sangat tidak berhasil, dan tugas-tugas dibagikan bukan menurut metode penyelesaiannya, sebagaimana mestinya, tetapi menurut isinya, yaitu menurut penampilannya; misalnya, ada jenis soal khusus tentang anjing yang mengejar kelinci, tentang pohon, tentang gadis, dan sebagainya.

Pemecahan masalah dengan membaginya menurut isinya hampir tidak membawa manfaat apa pun, karena tidak membantu sama sekali untuk lebih memahami solusinya. Dan, menurut para penulis kuno, hal itu hampir tidak perlu dipahami.

“Bukan apa-apa,” sang mentor menghibur murid-muridnya: “bahwa kamu tidak mengerti apa-apa, kamu juga tidak akan mengerti banyak di masa depan.”

Daripada memahami, disarankan untuk tidak terbawa suasana, tetapi menghafalkan segala sesuatu yang diminta, kemudian mencoba menerapkannya dalam praktik, yaitu pada contoh, dan seluruh kekuatan pemahaman dipusatkan bukan pada pemahaman. kesimpulan dari aturan tersebut, tetapi pada yang lebih sederhana, bagaimana menerapkannya peraturan umum untuk contoh.

Oleh karena itu, aturan rangkap tiga ini luar biasa dan patut mendapat perhatian khusus dalam banyak hal. Pertama, cakupan tugasnya cukup luas, kedua, aturan itu sendiri diungkapkan dengan cukup sederhana dan jelas, dan ketiga, penerapan aturan ini relatif mudah. Untuk semua keutamaan ini mereka memberinya nama “emas”, “kunci pedagang”, dll.

Aturan rangkap tiga berasal dari umat Hindu, yang sebagian besar permasalahannya diselesaikan dengan mereduksinya menjadi kesatuan. Ilmuwan Arab Alkhwarizmi (abad ke-9 M) mengaitkannya dengan aljabar. Leonardo Fibonnaci, orang Italia abad ke-13. menurut R. X., mencurahkan departemen khusus pada aturan rangkap tiga yang disebut: ad mayorem guisam, di mana tugas diberikan untuk menghitung harga pokok barang. Contoh: 100 rotuli (berat Pisan) harganya 40 lira, berapa harga 5 rotuli? Syaratnya ditulis seperti ini:

Aturan tersebut menetapkan penyelesaian masalah ini dengan urutan sebagai berikut: hasil kali 40 kali 5 dibagi 100.

Perhatian khusus telah diberikan pada aturan rangkap tiga sejak abad ke-16, yaitu sejak perdagangan dan industri Eropa segera bergerak maju berkat penemuan-penemuan penting dan penemuan negara-negara baru. Namun hal ini tidak menghentikan kami untuk mengembangkan bab ini secara tidak memuaskan, setidaknya dari sudut pandang kami. Pertama-tama, aturan tersebut ditentukan oleh gambaran eksternal murni: “soal terdiri dari tiga angka dan menghasilkan angka keempat, seperti jika Anda meletakkan tiga sudut sebuah rumah, maka ini akan menentukan sudut ke-4; bilangan kedua harus dikalikan bilangan ke-3, dan yang terjadi dibagi dengan bilangan ke-1.” Definisi seperti itu pasti menimbulkan kebingungan, dan pertama-tama muncul pertanyaan: apa yang dianggap sebagai bilangan pertama, dan dapatkah semua soal dengan tiga bilangan tertentu diselesaikan dengan menggunakan aturan rangkap tiga? Buku teks tidak menganggap perlu untuk menjelaskan kesalahpahaman ini. Selain itu, soal-soal diselesaikan tidak hanya dengan bilangan bulat, tetapi juga dengan pecahan, dan dalam aritmatika lainnya, soal-soal tersebut disusun sedemikian tidak konsisten sehingga soal-soal bilangan pecahan pada aturan rangkap tiga ditempatkan sebelum bab tentang pecahan, karena seluruh aturan rangkap tiga ada sebelumnya. aritmatika bilangan pecahan.

Setelah aturan rangkap tiga dengan bilangan bulat dan pecahan, aturan “kontraktif” khusus ditetapkan, yang menjelaskan cara mengurangi bilangan tertentu, dan kemudian muncul aturan “refleksif”; itu adalah departemen yang sangat membingungkan, yang mencakup pertanyaan-pertanyaan dengan proporsionalitas terbalik, dan penulis buku teks sama sekali tidak dapat membedakan masalah mana yang termasuk dalam kelompok ini; Para siswa harus mengandalkan tebakan mereka sendiri dan puas dengan kecerdikan mereka. Pada abad XV dan XII. penjelasannya sebagai berikut: “Jika satu takaran gandum berharga 1½ mark, maka untuk 1 mark mereka memberikan dua pon roti; berapa pon biji-bijian yang akan diberikan per tanda, jika satu takaran biji-bijian berharga 1¾ tanda; kita menyelesaikannya dengan aturan rangkap tiga, itu akan berhasil

tetapi orang yang cerdas akan menyadari bahwa ketika harga gandum naik, mereka akan menyediakan lebih sedikit, bukan lebih banyak, jadi pertanyaannya harus dibalik, akan ada

Magnitsky (1703) menafsirkan dengan semangat yang sama

“Ada aturan refleksif, ketika ada kebutuhan dalam suatu tugas untuk menempatkan daftar ketiga alih-alih yang pertama: ini sering diperlukan dalam kasus-kasus perdata, seperti ketika berbicara tentang pantat: seorang pria memanggil tukang kayu dan memesan pekarangan untuk dibangun, memberinya dua puluh pekerja: dan bertanya, dalam berapa hari Dia akan membangun halamannya, dia menjawab, dalam tiga puluh hari; dan tuannya perlu membangun semuanya dalam 5 hari, dan untuk tujuan ini dia bertanya kepada tukang kayu berapa banyak orang yang layak dimiliki, sehingga Anda dapat membangun halaman bersama mereka dalam 5 hari, dan tukang kayu itu, yang bingung, bertanya kepada Anda aritmatika: berapa banyak orang yang berharga untuk membangun halaman itu untuknya dalam 5 hari, dan setelah Anda mulai membuatnya hanya sesuai dengan urutan aturan rangkap tiga; maka kamu benar-benar telah berdosa; tapi ini bukan yang pantas untukmu: 30-20-5, tapi mengubahnya menjadi cewek: 5-20-30; 30X20=600; 600: 5=120.”

Setelah aturan rangkap tiga muncullah aturan lima, diikuti tujuh. Mudah ditebak bahwa ini adalah kasus khusus dari aturan rangkap tiga yang kompleks, yaitu ketika, menurut 5 atau 7 data, yang berada dalam hubungan proporsional satu sama lain, bilangan ke-6 atau ke-8 yang bersesuaian ditemukan, di lain kata-kata: aturan rangkap lima memerlukan 2 proporsi, dan tujuh adalah tiga. Aturan lima kali lipat dijelaskan pada abad ke-18 sebagai berikut:

dia membuat perhitungan yang tidak dapat dilakukan menurut aturan lain; 5 angka diberikan di dalamnya, dan darinya ditemukan angka keenam yang diperlukan; misalnya, seseorang mengedarkan seratus rubel, dan mereka memberinya keuntungan sebesar 7 rubel; orang bertanya-tanya berapa banyak keuntungan yang akan dia terima dari 100 rubel. selama 5 tahun;

penyelesaiannya seperti ini: 100-1-7-1000-5, kalikan dua angka kiri, dan kalikan juga 3 angka kanan dan bagi hasil kali terakhir dengan yang pertama, jawabannya adalah 350, jadi banyak rubel keuntungannya berikan 1000 rubel. selama 5 tahun.

Aturan rangkap tiga yang sederhana dan kompleks biasanya tersebar luas pada abad 16-18. menjadi sekumpulan departemen kecil yang memiliki nama yang sangat rumit, tergantung pada isi tugasnya. Ini adalah nama-nama menurut Magnitsky: “aturan perdagangan rangkap tiga”, yaitu menghitung harga pokok produk yang dibeli; b “perdagangan rangkap tiga tentang pembelian dan penjualan”, sama seperti yang sebelumnya, tetapi hanya lebih rumit; c “perdagangan tiga kali lipat sayuran yang dapat dipasarkan dan dengan tanda”, ketika Anda harus melakukan pengurangan untuk piring dan wadah secara umum; d “tentang untung dan rugi”; e “artikel pertanyaan dalam aturan rangkap tiga”, berisi tugas-tugas dengan konten yang sangat beragam, sebagian besar dengan proporsionalitas terbalik; f “artikel pertanyaan dengan waktu”, di mana Anda diminta untuk menghitung durasi kerja, perjalanan, dll.

Pada awal abad ke-19, Bazedov mengusulkan perubahan lain dalam aturan rangkap tiga dan sekali lagi ke arah yang sama yaitu keterampilan mekanis dan tidak sadar. Guru bahasa Jerman ini berusaha untuk lebih menyederhanakan penyelesaian masalah menggunakan aturan rangkap tiga dengan mengurangi jumlah penalaran yang diperlukan dalam menyelesaikannya dan menggantinya dengan menulis rumus yang sudah jadi. Ia menyarankan untuk menyusun bilangan-bilangan ini dalam 2 kolom: besaran yang tidak diketahui dan semua bilangan yang harus dimasukkan dalam pembilang rumus ditulis di kolom kiri, dan semua faktor penyebutnya ditulis di kolom kanan. Contoh: untuk memberi makan 1.200 orang selama 4 bulan, dibutuhkan 2.400 sen tepung; Berapa banyak orang yang akan menghasilkan 4000 sen dalam 3 bulan? Kami menulis 2 kolom:

dan kita mendapatkan rumus jawabannya

Mengapa angka 1200, 4000 dan 4 dimasukkan ke dalam pembilangnya, dan 2400 dan 3 dimasukkan ke dalam penyebutnya? Hal ini dapat dijawab dengan aturan berikut: pembilangnya memuat suatu bilangan yang homogen dengan bilangan yang diinginkan, yaitu dalam kasus kita, bilangan 1200; selain itu, juga mencakup semua bilangan kondisi kedua (4000 4), yang berbanding lurus dengan bilangan yang disyaratkan; jika berbanding terbalik, seperti pada contoh kita 3, maka diganti dengan bilangan yang sesuai pada kondisi pertama (4).

Hanya ini yang dapat kami laporkan mengenai sejarah perkembangan triple rule. Dari semua yang telah dikatakan, kita dapat menarik suatu kesimpulan yang sesuai dengan zaman kita. Aritmatika abad pertengahan, dengan kecenderungannya untuk hanya memberikan aturan dan melewatkan kesimpulan, dengan penyelesaian pertanyaan secara mekanis, memiliki pengaruh yang terlalu besar pada semua kehidupan sekolah berikutnya, dan begitu besar sehingga jejaknya muncul di setiap langkah di zaman kita. Betapapun kerasnya kita mencoba untuk melepaskan tradisi, untuk melepaskan diri dari kebiasaan-kebiasaan, kebiasaan-kebiasaan itu telah memeluk kita terlalu erat dan menjadi terlalu melekat pada kita untuk dibuang sepenuhnya. Sekolah kami masih melakukan pembelajaran hafalan aritmatika, tanpa partisipasi kesadaran yang memadai. Aturan rangkap tiga adalah bukti bagusnya. Rata-rata kami dan sekolah rendah bahwa itu dimaksudkan untuk memberikan pendidikan umum, dan bukan untuk melatih akuntan, juru tulis, pemegang buku, dll. Sementara itu, metode kerajinan orang Italia dan Jerman, yang berusaha bukan untuk mengembangkan seseorang, tetapi untuk membuat mesin penghitung darinya, sering digunakan bahkan sampai sekarang. Mengapa semua aturan ini: tripel, campuran, dll? Tujuan apa yang harus mereka layani? Mereka harus menjadi kesimpulan dari masalah yang telah dipecahkan, dan bukan mendahului pemecahan masalah; Menyelesaikan masalah menurut aturan yang telah dipelajari sebelumnya adalah hal yang berbahaya, tetapi kita harus mencoba mencapai jawabannya dengan menggunakan pertimbangan pribadi yang bebas. Singkatnya, aturan tersebut tidak boleh dipahami dalam bentuk resep, yang cukup diingat untuk menyiapkan berbagai solusi canggih darinya; tetapi harus dinilai hanya sebagai kesimpulan yang diperoleh siswa: jika siswa tidak dapat menarik kesimpulan tersebut, maka ini berarti tugas yang diambil sedikit, atau tidak disusun secara sistematis, dan kesalahan ini harus diperbaiki dengan cara yang lebih sistematis. pengaturan tugas; Jika siswa membuat kesimpulan yang tidak selengkap dan sedetail yang diinginkan guru, maka lebih baik puas dengan kesimpulan tersebut daripada memaksanya untuk melupakan aturan yang ditetapkan oleh buku teks: aturan tersebut akan segera dilupakan dan tidak akan ada. efek perkembangan, karena kemandirian harus menjadi kualitas yang diperlukan dari derivasi matematika, dan kondisi yang diperlukan Kesadaran harus menjadi hubungan yang erat dari semua bagian kursus, itulah sebabnya penyisipan mekanis ke dalam kepala bagian-bagian terpisah yang diasimilasi oleh memori tidak dapat dilakukan. tempat.