Cara menghitung proporsi rangkap tiga. Aturan tiga. Aturan rangkap tiga yang kompleks

Jungkir balik tiga kali Pada kapal pesiar laut, pemberat ditempatkan rendah, yang mencegahnya terlalu miring dan umumnya terbalik. Namun, kebetulan kapal pesiar tersebut masih terbang jungkir balik, seperti perahu es tanpa pemberat, dan ini hanya terjadi di sini - di Samudra Selatan yang luas. Aku tahu

Aturan tiga

aturan untuk menyelesaikan masalah aritmatika yang besarannya dihubungkan oleh proporsionalitas langsung atau terbalik (lihat Proporsionalitas). Soal-soal yang melibatkan tugas-tugas teknis sederhana mencakup soal-soal yang melibatkan dua besaran X 1 dan X 2 , dengan dua nilai A 1 , A 2 di antaranya dan satu nilai B 1 lainnya diketahui. Nilai kuantitas yang kedua harus ditentukan X 2, yaitu B 2. T.p. sederhana didasarkan pada proporsi A 1:B 1 = A 2:B 2 (untuk proporsionalitas langsung) dan A 1:B 1 =B 2:A 2 (untuk proporsionalitas terbalik), yang diperoleh rumus berikut:

Teknik Kompleks digunakan ketika memecahkan masalah yang melibatkan N (N> 2) kuantitas X 1 , X 2 ,..., xn -1 , xn. Dalam hal ini, kamu N- 1 magnitudo X 1 , X 2 ,..., xn-1 dua nilai diketahui A 1 , A 2 , B 1 , B 2 ,..., aku 1 , aku 2 dan kamu X n hanya satu nilai yang diketahui k 1, lainnya - k 2 untuk ditentukan. Metode teknis yang praktis rumit adalah penerapan metode teknis sederhana secara berurutan.

Ensiklopedia Besar Soviet. - M.: Ensiklopedia Soviet. 1969-1978 .

Lihat apa itu “Aturan Tiga” di kamus lain:

Mari kita asumsikan bahwa besaran A dan B mempunyai hubungan sedemikian sehingga salah satu dari keduanya mempunyai hubungan nilai tertentu pada nilai yang diberikan dari ukuran yang berbeda. Jika B = b1 untuk A = a1 dan B = b2 untuk A = a2, dan jika terdapat perbandingan a1: a2 = b1: b2 untuk... ...

aturan tiga- matematika. Aturan untuk menyelesaikan masalah aritmatika yang besarannya berbanding lurus atau berbanding terbalik... Kamus banyak ekspresi

Kamus Penjelasan Ushakov

1. ATURAN, aturan, lih. (spesialis.). 1. Penggaris kayu besar yang digunakan saat meletakkan dinding untuk memeriksa kebenaran pekerjaan (tech.). 2. Tempat terakhir pembuat sepatu meluruskan sepatunya (sepatu). 3. Ekor anjing greyhound (berburu). “Semuanya, di sana…… Kamus Penjelasan Ushakov

Menikahi. hukum, peraturan atau legislasi, yang menjadi dasar tindakan, dalam kasus tertentu, dalam keadaan tertentu. Aturan untuk kolektor, piagam. Aturan angka awal. Aturan biara, piagam. Aturan sebelum komuni, instruksi itu... ... Kamus Penjelasan Dahl

Isi 1 Aturan Dasar 2 Ko gulat... Wikipedia

Kamus Ensiklopedis F.A. Brockhaus dan I.A. Efron

- (Christoph Rudolff) matematikawan Austria (1499 1545), mahasiswa profesor Wina Grammateus. Pada tahun 1725 muncul aljabarnya yang merupakan suatu era dalam sejarah ilmu ini (Behend vund hübsch Rechnung durch die kunst reichen regeln Algebre, jadi... ... Kamus Ensiklopedis F.A. Brockhaus dan I.A. Efron

- (dari kata Yunani άριθμος bilangan dan τέχνη seni) bagian dari matematika, yang berkaitan dengan studi tentang sifat-sifat besaran tertentu; dalam arti sempit, aritmatika adalah ilmu tentang bilangan yang dinyatakan dalam bilangan dan berhubungan dengan operasi bilangan. A.… … Kamus Ensiklopedis F.A. Brockhaus dan I.A. Efron

Bidang pengetahuan tentang bilangan dan operasi di kumpulan angka. Berbicara tentang A. yang kami maksud adalah pembahasan pertanyaan tentang asal usul dan perkembangan konsep bilangan, metode dan cara menghitung, studi tentang operasi dengan bilangan yang berbagai sifatnya, analisis... ... Ensiklopedia Matematika

Di antara tugas-tugas dalam dua tindakan, ada sekelompok tugas yang dapat diselesaikan reduksi menjadi kesatuan. Dalam menyelesaikan soal seperti itu, anak secara praktis harus mempelajari sifat-sifat besaran yang berbanding lurus.

Mari kita ambil contoh soal berikut: Sebuah kapal uap menempuh jarak 40 km dalam waktu 2 jam. Berapa kilometer yang dapat ditempuh kapal dalam waktu 4 jam dengan kecepatan yang sama? Dalam soal ini, diketahui dua nilai waktu dan satu nilai jarak yang sesuai dengan nilai waktu pertama; Diketahui bahwa kecepatan gerak tidak berubah; kita perlu mencari nilai jarak yang berbeda.

Mari kita pertimbangkan berbagai cara untuk menyelesaikan masalah ini, tuliskan solusinya di sebelah kiri dan alasannya di sebelah kanan.

I metode penyelesaian - metode reduksi langsung menjadi kesatuan

Keputusan lisan

2 jam – 40 km
1 jam – 20 km
4 jam – 80 km

Keputusan tertulis

1) 40km: 2 = 20km
2)20km x 4 = 80km

Nilai numerik waktu, dua nilai yang diketahui, direduksi menjadi satu.

Pada kecepatan tetap, bila waktu berkurang 2 kali lipat, jarak akan berkurang 2 kali lipat; jika bertambah 4 kali lipat, jarak akan bertambah 4 kali lipat.

Metode penyelesaian yang kedua adalah metode reduksi kembali ke kesatuan.

Keputusan lisan

40 km - 2 jam = 120 menit.
1 km - 3 menit.
4 jam (240 menit) – 80 km

Keputusan tertulis

1) 120 menit. : 40 = 3 menit.
2) 240 menit. : 3 menit. = 80 (km)

Nilai numerik jarak direduksi menjadi satu, yang satu nilai diketahui dan nilai lainnya tidak diketahui.

Pada kecepatan tetap, waktu yang dibutuhkan untuk menempuh jarak 1 km 40 kali lebih sedikit daripada menempuh jarak 40 km, yaitu 3 menit, dan dalam 4 jam (240 menit) kapal akan menempuh jarak beberapa kilometer dalam waktu 240 menit. lebih dari 3 menit.

Metode penyelesaian yang ketiga adalah metode menemukan hubungan.

Deskripsi singkat tentang kondisi masalah:

2 jam – 40 km
4 jam - x

1) 4 jam: 2 jam = 2
2) 40 km x 2 = 80 km

Pada kecepatan konstan, seiring bertambahnya waktu, jarak yang ditempuh bertambah dengan jumlah yang sama.

Metode penyelesaian IV - metode pencarian nilai numerik nilai konstan.

Deskripsi singkat tentang kondisi masalah

2 jam – 40 km
4 jam -?

1) 40 km: 2 = 20 km
2) 20 km x 4 = 80 km

Saat memecahkan masalah ini, metode IV bertepatan dengan metode I.

Untuk mencari jarak yang ditempuh dalam 4 jam, Anda perlu mengalikan kecepatan, yang diperoleh dengan membagi jarak dengan nilai waktu yang sesuai, dengan nilai waktu yang baru.

Mari kita terapkan metode mencari nilai numerik suatu besaran konstan pada soal lain:

Kapal uap tersebut menempuh jarak 40 km dengan kecepatan 20 km per jam. Berapa kilometer yang akan ditempuh kapal dalam waktu yang sama dengan kecepatan 30 km per jam?

Larutan. Menurut kondisi soal ini, besaran konstan adalah waktu.

1) Berapa jam yang dibutuhkan kapal untuk menempuh jarak 40 km?

40 km: 20 km = 2 (jam)

2) Berapa kilometer yang dapat ditempuh kapal dalam waktu 2 jam dengan kecepatan baru?

30 km x 2 – 60 km

Jawaban: 60 km.

Saat menyelesaikan masalah ini, metode mencari nilai numerik dari suatu nilai konstan berbeda dengan metode reduksi langsung menjadi satu. Hal ini terlihat dari perbandingan metode yang dijelaskan dengan metode reduksi langsung menjadi kesatuan.

Kemungkinan menggunakan satu atau beberapa metode penyelesaian masalah menggunakan aturan rangkap tiga sederhana dalam kerangka operasi dengan bilangan bulat bergantung pada karakteristik data numerik. Jadi, misalnya, metode mencari perbandingan hanya dapat diterapkan jika bilangan-bilangan yang menyatakan dua nilai berbeda suatu besaran merupakan kelipatan satu sama lain.

Metode reduksi kembali ke kesatuan nyaman digunakan saat memecahkan masalah di mana Anda perlu menemukan nilai kuantitas atau waktu yang tidak diketahui. Oleh karena itu, dalam buku teks aritmatika untuk kelas dasar Masalah aturan rangkap tiga yang sederhana dipilih dalam kelompok sesuai dengan cara penyelesaiannya. Pada saat yang sama, menurut program saat ini, masalah yang diselesaikan dengan metode reduksi langsung dan terbalik menjadi satu diklasifikasikan ke dalam kelas II, dan masalah yang diselesaikan dengan mencari rasio diklasifikasikan ke dalam kelas IV.

Ada alasan untuk percaya bahwa masalah yang lebih mudah, yang diselesaikan dengan mencari rasio, dapat diperkenalkan di kelas II, di mana siswa sudah menyelesaikan masalah perbandingan berganda yang sederhana. Tidak ada masalah yang diselesaikan dengan mencari nilai numerik suatu besaran konstan dalam buku teks aritmatika yang ada, tetapi akan berguna untuk menawarkannya untuk penyelesaian di kelas dua.

Dalam pembelajaran menyelesaikan soal-soal tersebut hendaknya bertumpu pada kemampuan siswa yang diperoleh sebelumnya dalam menyelesaikan soal-soal perkalian dan pembagian sederhana, yang didalamnya perlu diketahui nilai salah satu dari tiga besaran yang saling berhubungan, misalnya untuk mengetahui biayanya. berdasarkan harga dan jumlah barang, kuantitas berdasarkan harga dan biaya, harga - berdasarkan biaya dan kuantitas.

Pengetahuan anak yang baik tentang hubungan antar besaran menjadi dasar bagi mereka untuk menguasai pemecahan masalah dengan metode reduksi menjadi kesatuan.

Untuk menjelaskan kepada siswa bagaimana menemukan hubungan, Anda dapat menggunakan alat peraga(Gbr. 22). Mari kita selesaikan masalahnya: 2 amplop dengan prangko berharga 9 kopek. Berapa harga 6 amplop ini?

Melihat gambar amplop yang dikelompokkan berpasangan akan membantu siswa memahami bahwa menambah jumlah pasangan amplop beberapa kali berarti meningkatkan nilainya dengan jumlah yang sama.

beras. 22

Siswa mengajukan pertanyaan: berapa kali 6 amplop lebih besar dari 2 amplop? - Carilah jawabannya 3 kali lebih banyak, dan carilah harga 6 amplop dengan mengalikannya 9 kopek. oleh 3.

Pertimbangan bersama terhadap masalah dan kerja mandiri anak-anak untuk mengubah masalah langsung menjadi masalah terbalik berkontribusi pada pemahaman yang lebih baik tentang cara menyelesaikannya.

Misalnya, tugas 3 cangkir berharga 6 rubel. Berapa harga 5 cangkir ini? dengan mengganti bilangan yang dicari dengan bilangan yang ditemukan, dan salah satu data dengan bilangan yang dicari, maka dapat diubah menjadi soal invers sebagai berikut:

1. 5 cangkir berharga 10 rubel. Berapa harga 3 cangkir ini?
2. 3 cangkir berharga 6 rubel. Berapa banyak cangkir yang bisa Anda beli seharga 10 rubel?
3. 5 cangkir berharga 10 rubel. Berapa banyak cangkir yang bisa Anda beli seharga 6 rubel?

Pemecahan masalah awal dan masalah transformasi pertama dilakukan dengan reduksi langsung menjadi kesatuan, solusi yang kedua dan ketiga adalah metode reduksi kembali ke kesatuan.

SHVETSOV K.I., BEVZ G.P.
BUKU PANDUAN MATEMATIKA DASAR
ARITHMETIKA, ALJABAR, 1965


1. Aturan tripel sederhana. Di antara soal-soal yang melibatkan besaran proporsional, yang paling umum adalah soal-soal yang melibatkan apa yang disebut aturan rangkap tiga sederhana. Dalam soal ini, tiga angka diberikan dan Anda perlu menentukan angka keempat, sebanding dengan angka tersebut.

Soal 1. 10 baut beratnya 4 kg. Berapa berat 25 baut tersebut? Masalah seperti ini dapat diselesaikan dengan beberapa cara.

Solusi I (dengan mereduksi menjadi kesatuan).

1) Berapa berat satu baut?

4kg: 10 = 0,4kg.

2) Berapa berat 25 baut?

0,4kg · 25 = 10kg.

Solusi II (metode proporsi). Karena berat baut berbanding lurus dengan jumlahnya, maka perbandingan beratnya sama dengan perbandingan potongan (baut). Menunjukkan berat yang diinginkan dengan huruf x, kita memperoleh proporsi:

X : 4 = 25: 10,

(kg)

Anda dapat berargumentasi seperti ini: 25 baut 2,5 kali lebih banyak dari 10 baut. Oleh karena itu, beratnya juga 2,5 kali lebih berat dari 4 kg:

4kg · 2,5 = 10kg.

Menjawab. 25 baut beratnya 10 kg.

Soal 2. Gigi pertama menghasilkan 50 rpm. Gigi kedua, menyatu dengan gigi pertama, menghasilkan 75 rpm. Hitunglah jumlah gigi roda kedua jika jumlah gigi roda pertama adalah 30.

Solusi (dengan mereduksi menjadi kesatuan). Kedua roda gigi yang menyatu akan menggerakkan jumlah gigi yang sama dalam satu menit, sehingga jumlah putaran roda berbanding terbalik dengan jumlah giginya.

50 putaran. - 30 gigi

75 putaran. - X gigi.

X : 30 = 50: 75; (gigi).

Anda juga dapat beralasan seperti ini: roda kedua menghasilkan putaran 1,5 kali lebih banyak daripada roda pertama (75:50 = 1,5). Akibatnya, ia memiliki gigi 1,5 kali lebih kecil dari yang pertama:

30: 1,5 = 20 (gigi).

Menjawab. 20 gigi.

2. Aturan rangkap tiga yang kompleks. Tugas di mana seri ini beberapa nilai yang sesuai satu sama lain (lebih dari dua) besaran proporsional diperlukan untuk menemukan nilai salah satunya yang sesuai dengan rangkaian nilai lain dari besaran yang tersisa, yang disebut masalah aturan rangkap tiga yang kompleks.

Tugas. 5 pompa memompa 1800 ember air dalam waktu 3 jam. Berapa banyak air yang dapat dipompa oleh 4 pompa tersebut dalam waktu 4 jam?

5 dari kita. 3 jam - 1800 jam

4 dari kita. 4 jam - X Wed.

1) Berapa ember air yang dipompa oleh 1 pompa dalam waktu 3 jam?

1800: 5 = 360 (ember).

2) Berapa ember air yang dipompa oleh 1 pompa dalam waktu 1 jam?

360: 3 = 120 (ember).

3) Berapa banyak air yang dapat dipompa oleh 4 pompa dalam 1 jam?

120 · 4 = 480 (ember).

4) Berapa banyak air yang dapat dipompa oleh 4 pompa dalam 4 jam?

480 · 4 = 1920 (ember).

Menjawab. ember tahun 1920

Solusi singkat menggunakan rumus numerik:

(ember).

Tugas. Bagilah angka 100 menjadi dua bagian yang berbanding lurus dengan angka 2 dan 3,

Masalah ini harus dipahami sebagai berikut: membagi 100 menjadi dua bagian sehingga yang pertama berhubungan dengan yang kedua seperti 2 adalah dengan 3. Jika kita menentukan angka yang diperlukan dengan huruf X 1 dan X 2 maka masalah ini dapat dirumuskan sebagai berikut. Menemukan X 1 dan X 2 seperti itu

X 1 + X 2 = 100,

X 1: X 2 = 2: 3.

Tidak ada ungkapan yang cukup kuat sehingga para penyusun aritmatika abad pertengahan akan berhemat untuk memuji aturan rangkap tiga. “Garis itu tiga kali lipat terpuji dan merupakan baris terbaik dari semua baris lainnya.” “Para filsuf menyebutnya garis emas.” Dalam buku teks Jerman mereka menyebutnya sebagai sesuatu yang “tak terpuji”, dan merupakan “kunci para pedagang”. Juga di kalangan orang Prancis dikenal dengan nama règle dorée - aturan emas. Hal ini bertentangan dengan seluruh ilmu aljabar.

Mengapa pujian yang berlebihan diberikan kepada departemen yang saat ini terbiasa menempati tempat yang lebih sederhana? Mengetahui hal ini sangatlah menarik, dan kita membiarkan diri kita kembali sedikit dan memberi Deskripsi singkat tujuan yang telah dicapai aritmatika sejak zaman kuno.

Setiap ilmu pengetahuan pada tahap awal perkembangannya disebabkan oleh kebutuhan praktis dan pada gilirannya berusaha untuk memenuhinya. Kemudian, tergantung pada kondisi perkembangannya, ilmu pengetahuan kadang-kadang cukup cepat, kadang-kadang lebih lambat, memperoleh konotasi teoretis dan mempunyai pengaruh pendidikan bagi mereka yang mempelajarinya, yaitu. meningkatkan kemampuan mental mereka: pikiran, perasaan dan kemauan: dengan pertumbuhan yang lambat, sains untuk waktu yang lama tetap menjadi pemimpin penguasaan, hanya memberikan keterampilan, memberi seseorang keterampilan mekanis dan memberinya ciri-ciri mekanis. Aritmatika telah mengalami dua arah. Di satu sisi, para ilmuwan Yunani melihat sebagian besar aritmatika sebagai elemen pendidikan; mereka terus-menerus menanyakan pertanyaan “mengapa?” dan “mengapa?”, selalu mencari alasan dan kesimpulan; siswa sekolah Yunani mempelajari esensi sains, memikirkannya, dan oleh karena itu penelitian tersebut memiliki efek pendidikan dan perkembangan pada mereka. Di sisi lain, umat Hindu memandang aritmatika dari sisi seni; mereka tidak menyukai pertanyaan “mengapa?”, tetapi pertanyaan utama mereka selalu: “bagaimana melakukan ini?” Arah umat Hindu berpindah ke Arab, dan dari sana ke Eropa abad pertengahan. Di dalamnya, hal ini mendapat sambutan yang sangat hangat, dan landasannya ternyata cukup bersyukur: setelah migrasi besar-besaran orang-orang dan dengan peperangan yang terus-menerus, tidak ada yang perlu dipikirkan tentang perkembangan yang pasti, sering, dan sering terjadi. ilmu yang abstrak, dan pada saat itu cukup membatasi diri pada bagian terapannya saja, cukup mengajarkan “bagaimana melakukannya”, bukan “mengapa melakukannya”. Jadi pewarnaan praktis tetap berada di balik aritmatika untuk waktu yang lama, hampir sampai hari ini, pada saat yang sama, kajiannya bersifat mekanis sempit: tanpa kesimpulan, penjelasan, tanpa menggali landasannya; di mana-mana di buku teks orang dapat menemukan “beginilah cara melakukannya”, “Anda harus melakukannya dengan cara ini”, dan siswa hanya dapat mengkonfirmasi dan menerapkannya dalam praktik; Magnitsky kita juga memiliki sejumlah ekspresi khas: “lihat sitse”, “lihat penemuan”; Misalkan saja di antara ungkapan-ungkapan ini ia memiliki “berpikirlah, maka ia akan datang”, tetapi bagaimana tepatnya berpikir, sangat sedikit petunjuk yang diberikan. Sesuai dengan makna praktis dari ilmu hitung, terutama menekankan dan menghargai segala sesuatu yang dapat membawa manfaat langsung dan menghasilkan pendapatan.

“Siapa pun yang mengetahui kebijaksanaan ini,” kata ahli aritmatika Rusia abad ke-17, “dapat mendapat kehormatan dan gaji yang besar; Menurut kebijaksanaan ini, para tamu berdagang ke seluruh negara bagian dan dalam segala jenis barang dan perdagangan mereka mengetahui kekuatan dan dalam segala macam ukuran dan dalam tata ruang bumi dan dalam arus laut mereka sangat terampil, dan mereka mengetahui hitungan setiap nomor dalam daftar.”

Namun bagian aritmatika manakah yang dapat memberikan keterampilan yang lebih praktis dan dapat diterapkan secara langsung dibandingkan pemecahan masalah? Oleh karena itu, segala upaya para penulis abad pertengahan ditujukan untuk mengumpulkan masalah sebanyak-banyaknya dan, terlebih lagi, dengan konten sehari-hari yang paling beragam. Ada permasalahan mengenai jual beli, mengenai tagihan dan bunga, mengenai pencampuran, mengenai pertukaran; keberagamannya sangat buruk dan tidak ada cara untuk menyelesaikan seluruh masalah. Untuk setidaknya mengelompokkan dan memperkenalkan sistem dan ketertiban tertentu, mereka mencoba mendistribusikan semua tugas ke dalam departemen atau jenis. Gagasan ini, tentu saja, bagus, tetapi biasanya dilaksanakan dengan sangat tidak berhasil, dan tugas-tugas dibagikan bukan menurut metode penyelesaiannya, sebagaimana mestinya, tetapi menurut isinya, yaitu menurut penampilannya; misalnya, ada jenis soal khusus tentang anjing yang mengejar kelinci, tentang pohon, tentang gadis, dan sebagainya.

Pemecahan masalah dengan membaginya menurut isinya hampir tidak membawa manfaat apa pun, karena tidak membantu sama sekali untuk lebih memahami solusinya. Dan, menurut para penulis kuno, hal itu hampir tidak perlu dipahami.

“Bukan apa-apa,” sang mentor menghibur murid-muridnya: “bahwa kamu tidak mengerti apa-apa, kamu juga tidak akan mengerti banyak di masa depan.”

Daripada memahami, disarankan untuk tidak terbawa suasana, tetapi menghafalkan segala sesuatu yang diminta, kemudian mencoba menerapkannya dalam praktik, yaitu pada contoh, dan seluruh kekuatan pemahaman dipusatkan bukan pada pemahaman. kesimpulan dari aturan tersebut, tetapi pada yang lebih sederhana, bagaimana menerapkannya peraturan umum untuk contoh.

Oleh karena itu, aturan rangkap tiga ini luar biasa dan patut mendapat perhatian khusus dalam banyak hal. Pertama, cakupan tugasnya cukup luas, kedua, aturan itu sendiri diungkapkan dengan cukup sederhana dan jelas, dan ketiga, penerapan aturan ini relatif mudah. Untuk semua keutamaan ini mereka memberinya nama “emas”, “kunci pedagang”, dll.

Aturan rangkap tiga berasal dari umat Hindu, yang sebagian besar permasalahannya diselesaikan dengan mereduksinya menjadi kesatuan. Ilmuwan Arab Alkhwarizmi (abad ke-9 M) mengaitkannya dengan aljabar. Leonardo Fibonnaci, orang Italia abad ke-13. menurut R. X., mencurahkan departemen khusus pada aturan rangkap tiga yang disebut: ad mayorem guisam, di mana tugas diberikan untuk menghitung harga pokok barang. Contoh: 100 rotuli (berat Pisan) harganya 40 lira, berapa harga 5 rotuli? Syaratnya ditulis seperti ini:

Aturan tersebut menetapkan penyelesaian masalah ini dengan urutan sebagai berikut: hasil kali 40 kali 5 dibagi 100.

Perhatian khusus telah diberikan pada aturan rangkap tiga sejak abad ke-16, yaitu sejak perdagangan dan industri Eropa segera bergerak maju berkat penemuan-penemuan penting dan penemuan negara-negara baru. Namun hal ini tidak menghentikan kami untuk mengembangkan bab ini secara tidak memuaskan, setidaknya dari sudut pandang kami. Pertama-tama, aturan tersebut ditentukan oleh gambaran eksternal murni: “soal terdiri dari tiga angka dan menghasilkan angka keempat, seperti jika Anda meletakkan tiga sudut sebuah rumah, maka ini akan menentukan sudut ke-4; bilangan kedua harus dikalikan bilangan ke-3, dan yang terjadi dibagi dengan bilangan ke-1.” Definisi seperti itu pasti menimbulkan kebingungan, dan pertama-tama muncul pertanyaan: apa yang dianggap sebagai bilangan pertama, dan dapatkah semua soal dengan tiga bilangan tertentu diselesaikan dengan menggunakan aturan rangkap tiga? Buku teks tidak menganggap perlu untuk menjelaskan kesalahpahaman ini. Selain itu, soal-soal diselesaikan tidak hanya dengan bilangan bulat, tetapi juga dengan pecahan, dan dalam aritmatika lainnya, soal-soal tersebut disusun sedemikian tidak konsisten sehingga soal-soal bilangan pecahan pada aturan rangkap tiga ditempatkan sebelum bab tentang pecahan, karena seluruh aturan rangkap tiga ada sebelumnya. aritmatika bilangan pecahan.

Setelah aturan rangkap tiga dengan bilangan bulat dan pecahan, aturan “kontraktif” khusus ditetapkan, yang menjelaskan cara mengurangi bilangan tertentu, dan kemudian muncul aturan “refleksif”; itu adalah departemen yang sangat membingungkan, yang mencakup pertanyaan-pertanyaan dengan proporsionalitas terbalik, dan penulis buku teks sama sekali tidak dapat membedakan masalah mana yang termasuk dalam kelompok ini; Para siswa harus mengandalkan tebakan mereka sendiri dan puas dengan kecerdikan mereka. Pada abad XV dan XII. penjelasannya sebagai berikut: “Jika satu takaran gandum berharga 1½ mark, maka untuk 1 mark mereka memberikan dua pon roti; berapa pon biji-bijian yang akan diberikan per tanda, jika satu takaran biji-bijian berharga 1¾ tanda; kita menyelesaikannya dengan aturan rangkap tiga, itu akan berhasil

tetapi orang yang cerdas akan menyadari bahwa ketika harga gandum naik, mereka akan menyediakan lebih sedikit, bukan lebih banyak, jadi pertanyaannya harus dibalik, akan ada

Magnitsky (1703) menafsirkan dengan semangat yang sama

“Ada aturan refleksif, ketika ada kebutuhan dalam suatu tugas untuk menempatkan daftar ketiga alih-alih yang pertama: ini sering diperlukan dalam kasus-kasus perdata, seperti ketika berbicara tentang pantat: seorang pria memanggil tukang kayu dan memesan pekarangan untuk dibangun, memberinya dua puluh pekerja: dan bertanya, dalam berapa hari Dia akan membangun halamannya, dia menjawab, dalam tiga puluh hari; dan tuannya perlu membangun semuanya dalam 5 hari, dan untuk tujuan ini dia bertanya kepada tukang kayu berapa banyak orang yang layak dimiliki, sehingga Anda dapat membangun halaman bersama mereka dalam 5 hari, dan tukang kayu itu, yang bingung, bertanya kepada Anda aritmatika: berapa banyak orang yang berharga untuk membangun halaman itu untuknya dalam 5 hari, dan setelah Anda mulai membuatnya hanya sesuai dengan urutan aturan rangkap tiga; maka kamu benar-benar telah berdosa; tapi ini bukan yang pantas untukmu: 30-20-5, tapi mengubahnya menjadi cewek: 5-20-30; 30X20=600; 600: 5=120.”

Setelah aturan rangkap tiga muncullah aturan lima, diikuti tujuh. Mudah ditebak bahwa ini adalah kasus khusus dari aturan rangkap tiga yang kompleks, yaitu ketika, menurut 5 atau 7 data, yang berada dalam hubungan proporsional satu sama lain, bilangan ke-6 atau ke-8 yang bersesuaian ditemukan, di lain kata-kata: aturan rangkap lima memerlukan 2 proporsi, dan tujuh adalah tiga. Aturan lima kali lipat dijelaskan pada abad ke-18 sebagai berikut:

dia membuat perhitungan yang tidak dapat dilakukan menurut aturan lain; 5 angka diberikan di dalamnya, dan darinya ditemukan angka keenam yang diperlukan; misalnya, seseorang mengedarkan seratus rubel, dan mereka memberinya keuntungan sebesar 7 rubel; orang bertanya-tanya berapa banyak keuntungan yang akan dia terima dari 100 rubel. selama 5 tahun;

penyelesaiannya seperti ini: 100-1-7-1000-5, kalikan dua angka kiri, dan kalikan juga 3 angka kanan dan bagi hasil kali terakhir dengan yang pertama, jawabannya adalah 350, jadi banyak rubel keuntungannya berikan 1000 rubel. selama 5 tahun.

Aturan rangkap tiga yang sederhana dan kompleks biasanya tersebar luas pada abad 16-18. menjadi sekumpulan departemen kecil yang memiliki nama yang sangat rumit, tergantung pada isi tugasnya. Ini adalah nama-nama menurut Magnitsky: “aturan perdagangan rangkap tiga”, yaitu menghitung harga pokok produk yang dibeli; b “perdagangan rangkap tiga tentang pembelian dan penjualan”, sama seperti yang sebelumnya, tetapi hanya lebih rumit; c “perdagangan tiga kali lipat sayuran yang dapat dipasarkan dan dengan tanda”, ketika Anda harus melakukan pengurangan untuk piring dan wadah secara umum; d “tentang untung dan rugi”; e “artikel pertanyaan dalam aturan rangkap tiga”, berisi tugas-tugas dengan konten yang sangat beragam, sebagian besar dengan proporsionalitas terbalik; f “artikel pertanyaan dengan waktu”, di mana Anda diminta untuk menghitung durasi kerja, perjalanan, dll.

Pada awal abad ke-19, Bazedov mengusulkan perubahan lain dalam aturan rangkap tiga dan sekali lagi ke arah yang sama yaitu keterampilan mekanis dan tidak sadar. Guru bahasa Jerman ini berusaha untuk lebih menyederhanakan penyelesaian masalah menggunakan aturan rangkap tiga dengan mengurangi jumlah penalaran yang diperlukan dalam menyelesaikannya dan menggantinya dengan menulis rumus yang sudah jadi. Ia menyarankan untuk menyusun bilangan-bilangan ini dalam 2 kolom: besaran yang tidak diketahui dan semua bilangan yang harus dimasukkan dalam pembilang rumus ditulis di kolom kiri, dan semua faktor penyebutnya ditulis di kolom kanan. Contoh: untuk memberi makan 1.200 orang selama 4 bulan, dibutuhkan 2.400 sen tepung; Berapa banyak orang yang akan menghasilkan 4000 sen dalam 3 bulan? Kami menulis 2 kolom:

dan kita mendapatkan rumus jawabannya

Mengapa angka 1200, 4000 dan 4 dimasukkan ke dalam pembilangnya, dan 2400 dan 3 dimasukkan ke dalam penyebutnya? Hal ini dapat dijawab dengan aturan berikut: pembilangnya memuat suatu bilangan yang homogen dengan bilangan yang diinginkan, yaitu dalam kasus kita, bilangan 1200; selain itu, juga mencakup semua bilangan kondisi kedua (4000 4), yang berbanding lurus dengan bilangan yang disyaratkan; jika berbanding terbalik, seperti pada contoh kita 3, maka diganti dengan bilangan yang sesuai pada kondisi pertama (4).

Hanya ini yang dapat kami laporkan mengenai sejarah perkembangan triple rule. Dari semua yang telah dikatakan, kita dapat menarik suatu kesimpulan yang sesuai dengan zaman kita. Aritmatika abad pertengahan, dengan kecenderungannya untuk hanya memberikan aturan dan melewatkan kesimpulan, dengan penyelesaian pertanyaan secara mekanis, memiliki pengaruh yang terlalu besar pada segala sesuatu yang terjadi setelahnya. kehidupan sekolah, dan begitu besar sehingga jejaknya muncul di setiap langkah bahkan di zaman kita. Betapapun kerasnya kita mencoba untuk melepaskan tradisi, untuk melepaskan diri dari kebiasaan-kebiasaan, kebiasaan-kebiasaan itu telah memeluk kita terlalu erat dan menjadi terlalu melekat pada kita untuk dibuang sepenuhnya. Sekolah kami masih melakukan pembelajaran hafalan aritmatika, tanpa partisipasi kesadaran yang memadai. Aturan rangkap tiga adalah bukti bagusnya. Rata-rata kami dan sekolah rendah bahwa itu dimaksudkan untuk memberikan pendidikan umum, dan bukan untuk melatih akuntan, juru tulis, pemegang buku, dll. Sementara itu, metode kerajinan orang Italia dan Jerman, yang berusaha bukan untuk mengembangkan seseorang, tetapi untuk membuat mesin penghitung darinya, sering digunakan bahkan sampai sekarang. Mengapa semua aturan ini: tripel, campuran, dll? Tujuan apa yang harus mereka layani? Mereka harus menjadi kesimpulan dari masalah yang telah dipecahkan, dan bukan mendahului pemecahan masalah; Menyelesaikan masalah menurut aturan yang telah dipelajari sebelumnya adalah hal yang berbahaya, tetapi kita harus mencoba mencapai jawabannya dengan menggunakan pertimbangan pribadi yang bebas. Singkatnya, aturan tersebut tidak boleh dipahami dalam bentuk resep, yang cukup diingat untuk menyiapkan berbagai solusi canggih darinya; tetapi harus dinilai hanya sebagai kesimpulan yang diperoleh siswa: jika siswa tidak dapat menarik kesimpulan tersebut, maka ini berarti tugas yang diambil sedikit, atau tidak disusun secara sistematis, dan kesalahan ini harus diperbaiki dengan cara yang lebih sistematis. pengaturan tugas; Jika siswa membuat kesimpulan yang tidak selengkap dan sedetail yang diinginkan guru, maka lebih baik puas dengan kesimpulan tersebut daripada memaksanya untuk melupakan aturan yang ditetapkan oleh buku teks: aturan tersebut akan segera dilupakan dan tidak akan ada. efek perkembangan, karena kemandirian harus menjadi kualitas yang diperlukan dari derivasi matematika, dan kondisi yang diperlukan Kesadaran harus menjadi hubungan yang erat dari semua bagian kursus, itulah sebabnya penyisipan mekanis ke dalam kepala bagian-bagian terpisah yang diasimilasi oleh memori tidak dapat dilakukan. tempat.