Satu hal yang bisa Anda yakini seratus persen adalah ketika ditanya berapa kuadrat sisi miringnya, orang dewasa mana pun akan dengan berani menjawab: “Jumlah kuadrat kaki-kakinya.” Teorema ini tertanam kuat di benak setiap orang terpelajar, namun Anda hanya perlu meminta seseorang untuk membuktikannya, dan kesulitan bisa timbul. Oleh karena itu, mari kita mengingat dan mempertimbangkan berbagai cara untuk membuktikan teorema Pythagoras.
Biografi singkat
Teorema Pythagoras sudah tidak asing lagi bagi hampir semua orang, namun entah kenapa biografi orang yang membawanya ke dunia tidak begitu populer. Ini bisa diperbaiki. Oleh karena itu, sebelum mempelajari berbagai cara untuk membuktikan teorema Pythagoras, Anda perlu mengenal sekilas kepribadiannya.
Pythagoras - filsuf, matematikawan, pemikir berasal dari Saat ini sangat sulit untuk membedakan biografinya dari legenda yang berkembang dalam ingatan orang hebat ini. Namun berikut karya para pengikutnya, Pythagoras dari Samos lahir di pulau Samos. Ayahnya adalah seorang pemotong batu biasa, namun ibunya berasal dari keluarga bangsawan.
Dilihat dari legenda, kelahiran Pythagoras diramalkan oleh seorang wanita bernama Pythia, yang kemudian diberi nama anak laki-laki tersebut. Menurut ramalannya, kelahiran anak laki-laki diharapkan membawa banyak manfaat dan kebaikan bagi umat manusia. Itulah tepatnya yang dia lakukan.
Kelahiran teorema
Di masa mudanya, Pythagoras pindah ke Mesir untuk bertemu dengan orang bijak Mesir yang terkenal di sana. Setelah bertemu dengan mereka, dia diizinkan untuk belajar, di mana dia mempelajari semua pencapaian besar filsafat, matematika, dan kedokteran Mesir.
Mungkin di Mesir Pythagoras terinspirasi oleh keagungan dan keindahan piramida dan menciptakan teori besarnya. Hal ini mungkin mengejutkan pembaca, namun sejarawan modern percaya bahwa Pythagoras tidak membuktikan teorinya. Namun dia hanya mewariskan ilmunya kepada para pengikutnya, yang kemudian menyelesaikan semua perhitungan matematis yang diperlukan.
Meskipun demikian, saat ini tidak hanya satu metode yang diketahui untuk membuktikan teorema ini, tetapi beberapa metode sekaligus. Saat ini kita hanya bisa menebak bagaimana sebenarnya orang Yunani kuno melakukan perhitungan mereka, jadi di sini kita akan melihat berbagai cara untuk membuktikan teorema Pythagoras.
teori Pitagoras
Sebelum memulai penghitungan apa pun, Anda perlu mencari tahu teori apa yang ingin Anda buktikan. Teorema Pythagoras berbunyi seperti ini: “Dalam segitiga yang salah satu sudutnya 90°, jumlah kuadrat kaki-kakinya sama dengan kuadrat sisi miringnya.”
Ada total 15 cara berbeda untuk membuktikan teorema Pythagoras. Ini jumlah yang cukup besar, jadi kami akan memperhatikan yang paling populer.
Metode satu
Pertama, mari kita definisikan apa yang telah diberikan kepada kita. Data ini juga akan berlaku untuk metode lain untuk membuktikan teorema Pythagoras, jadi sebaiknya segera mengingat semua notasi yang tersedia.
Misalkan kita diberikan segitiga siku-siku dengan kaki a, b dan sisi miring sama dengan c. Metode pembuktian pertama didasarkan pada fakta bahwa Anda perlu menggambar persegi dari segitiga siku-siku.
Untuk melakukan ini, Anda perlu menambahkan segmen yang sama dengan kaki b ke panjang kaki a, dan sebaliknya. Ini akan menghasilkan dua sisi persegi yang sama besar. Yang tersisa hanyalah menggambar dua garis sejajar, dan persegi sudah siap.
Di dalam gambar yang dihasilkan, Anda perlu menggambar persegi lain dengan sisi yang sama dengan sisi miring segitiga aslinya. Untuk melakukan ini, dari simpul ас dan св Anda perlu menggambar dua segmen paralel yang sama dengan с. Jadi, kita mendapatkan tiga sisi persegi, salah satunya adalah sisi miring dari segitiga siku-siku aslinya. Yang tersisa hanyalah menggambar segmen keempat.
Berdasarkan gambar yang dihasilkan, kita dapat menyimpulkan bahwa luas persegi terluar adalah (a + b) 2. Jika Anda melihat ke dalam gambar, Anda dapat melihat bahwa selain persegi bagian dalam, ada empat segitiga siku-siku. Luas masing-masing adalah 0,5av.
Jadi luasnya sama dengan: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2
Jadi (a + b) 2 = 2ab + c 2
Dan, oleh karena itu, c 2 =a 2 +b 2
Teorema tersebut telah terbukti.
Metode kedua: segitiga sebangun
Rumus pembuktian teorema Pythagoras ini diturunkan berdasarkan pernyataan dari bagian geometri tentang segitiga sebangun. Dinyatakan bahwa kaki segitiga siku-siku rata-rata sebanding dengan sisi miringnya dan ruas sisi miring yang berasal dari titik sudut 90°.
Data awalnya tetap sama, jadi mari kita mulai dengan pembuktiannya. Mari kita menggambar segmen CD yang tegak lurus sisi AB. Berdasarkan pernyataan di atas, sisi-sisi segitiga sama besar:
AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.
Untuk menjawab pertanyaan bagaimana membuktikan teorema Pythagoras, pembuktiannya harus diselesaikan dengan mengkuadratkan kedua pertidaksamaan.
AC 2 = AB*AD dan CB 2 = AB*DV
Sekarang Anda perlu menjumlahkan ketidaksetaraan yang dihasilkan.
AC 2 + CB 2 = AB*(AD*DV), dimana AD+DV = AB
Ternyata:
AC 2 + CB 2 =AB*AB
Dan maka dari itu:
AC 2 + CB 2 = AB 2
Pembuktian teorema Pythagoras dan berbagai metode penyelesaiannya memerlukan pendekatan serbaguna untuk masalah ini. Namun, opsi ini adalah salah satu yang paling sederhana.
Metode perhitungan lain
Deskripsi berbagai metode pembuktian teorema Pythagoras mungkin tidak berarti apa-apa sampai Anda mulai berlatih sendiri. Banyak teknik yang tidak hanya melibatkan perhitungan matematis, tetapi juga konstruksi bentuk baru dari segitiga asli.
Dalam hal ini, perlu untuk menyelesaikan segitiga siku-siku VSD lainnya dari sisi BC. Jadi, sekarang ada dua segitiga yang mempunyai kaki sama BC.
Diketahui bahwa luas bangun-bangun yang sebangun mempunyai perbandingan kuadrat dimensi liniernya yang sebangun, maka:
S avs * c 2 - S avd * dalam 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2
S avs *(dari 2 - ke 2) = a 2 *(S avd -S vsd)
dari 2 - ke 2 =a 2
c 2 =sebuah 2 +b 2
Karena dari berbagai metode pembuktian teorema Pythagoras untuk kelas 8, opsi ini sepertinya tidak cocok, Anda dapat menggunakan metode berikut.
Cara termudah untuk membuktikan Teorema Pythagoras. Ulasan
Menurut para sejarawan, metode ini pertama kali digunakan untuk membuktikan teorema di Yunani kuno. Ini adalah yang paling sederhana, karena tidak memerlukan perhitungan apa pun. Jika gambarnya benar, maka bukti pernyataan a 2 + b 2 = c 2 akan terlihat jelas.
Syarat cara ini akan sedikit berbeda dengan cara sebelumnya. Untuk membuktikan teorema tersebut, asumsikan segitiga siku-siku ABC sama kaki.
Kita ambil sisi miring AC sebagai sisi persegi dan menggambar ketiga sisinya. Selain itu, perlu menggambar dua garis diagonal pada kotak yang dihasilkan. Sehingga di dalamnya terdapat empat buah segitiga sama kaki.
Anda juga perlu menggambar persegi pada kaki AB dan CB dan menggambar satu garis lurus diagonal di masing-masing kaki. Kita tarik garis pertama dari titik A, garis kedua dari titik C.
Sekarang Anda perlu hati-hati melihat gambar yang dihasilkan. Karena pada sisi miring AC terdapat empat segitiga yang sama dengan segitiga aslinya, dan pada sisi-sisinya terdapat dua, hal ini menunjukkan kebenaran teorema tersebut.
Ngomong-ngomong, berkat metode pembuktian teorema Pythagoras ini, lahirlah ungkapan terkenal: "Celana Pythagoras sama di segala arah."
Bukti J. Garfield
James Garfield adalah Presiden Amerika Serikat yang kedua puluh. Selain mengukir sejarah sebagai penguasa Amerika Serikat, ia juga seorang otodidak yang berbakat.
Pada awal karirnya, ia adalah seorang guru biasa di sekolah umum, namun segera menjadi direktur salah satu perguruan tinggi. Keinginan untuk pengembangan diri memungkinkan dia untuk mengajukan teori baru untuk membuktikan teorema Pythagoras. Teorema dan contoh penyelesaiannya adalah sebagai berikut.
Pertama, Anda perlu menggambar dua segitiga siku-siku di selembar kertas sehingga salah satu kakinya merupakan kelanjutan dari segitiga kedua. Titik-titik sudut segitiga ini harus dihubungkan hingga akhirnya membentuk trapesium.
Seperti yang Anda ketahui, luas trapesium sama dengan hasil kali setengah jumlah alas dan tingginya.
S=a+b/2 * (a+b)
Jika trapesium yang dihasilkan kita anggap sebagai bangun datar yang terdiri dari tiga segitiga, maka luasnya dapat dicari sebagai berikut:
S=av/2 *2 + s 2 /2
Sekarang kita perlu menyamakan kedua ekspresi aslinya
2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2
c 2 =sebuah 2 +b 2
Lebih dari satu volume buku teks dapat ditulis tentang teorema Pythagoras dan metode pembuktiannya. Tapi apakah ada gunanya jika pengetahuan ini tidak bisa diterapkan dalam praktik?
Penerapan praktis teorema Pythagoras
Sayangnya, kurikulum sekolah modern mengatur penggunaan teorema ini hanya dalam masalah geometri. Lulusan akan segera meninggalkan sekolah tanpa mengetahui bagaimana mereka dapat menerapkan pengetahuan dan keterampilannya dalam praktik.
Faktanya, siapa pun bisa menggunakan teorema Pythagoras dalam kehidupan sehari-hari. Dan tidak hanya dalam kegiatan profesional, tetapi juga dalam pekerjaan rumah tangga biasa. Mari kita pertimbangkan beberapa kasus di mana teorema Pythagoras dan metode pembuktiannya mungkin sangat diperlukan.
Hubungan antara teorema dan astronomi
Tampaknya bintang dan segitiga di atas kertas dapat dihubungkan. Faktanya, astronomi adalah bidang ilmu yang banyak menggunakan teorema Pythagoras.
Misalnya, perhatikan pergerakan berkas cahaya di ruang angkasa. Diketahui bahwa cahaya bergerak ke dua arah dengan kecepatan yang sama. Sebut saja lintasan AB yang dilalui sinar cahaya aku. Dan sebut saja separuh waktu yang dibutuhkan cahaya untuk berpindah dari titik A ke titik B T. Dan kecepatan sinarnya - C. Ternyata: c*t=l
Jika Anda melihat sinar yang sama dari bidang lain, misalnya dari pesawat luar angkasa yang bergerak dengan kecepatan v, maka ketika mengamati benda dengan cara ini, kecepatannya akan berubah. Dalam hal ini, elemen diam pun akan mulai bergerak dengan kecepatan v ke arah yang berlawanan.
Katakanlah komiknya berlayar ke kanan. Kemudian titik A dan B, di mana sinar bergerak cepat, akan mulai bergerak ke kiri. Selain itu, ketika sinar berpindah dari titik A ke titik B, titik A mempunyai waktu untuk bergerak dan oleh karena itu, cahaya sudah sampai di titik baru C. Untuk mencari setengah jarak perpindahan titik A, Anda perlu mengalikannya kecepatan kapal dengan setengah waktu tempuh balok (t").
Dan untuk mengetahui seberapa jauh seberkas cahaya dapat menempuh jarak selama waktu tersebut, Anda perlu menandai separuh jalur dengan huruf s baru dan mendapatkan ekspresi berikut:
Jika kita bayangkan titik cahaya C dan B serta garis luar angkasa merupakan titik sudut segitiga sama kaki, maka ruas titik A ke garis tersebut akan membaginya menjadi dua segitiga siku-siku. Oleh karena itu, berkat teorema Pythagoras, Anda dapat mengetahui jarak yang dapat ditempuh seberkas cahaya.
Contoh ini, tentu saja, bukan yang paling berhasil, karena hanya sedikit yang cukup beruntung untuk mencobanya dalam praktik. Oleh karena itu, mari kita pertimbangkan penerapan teorema ini secara lebih duniawi.
Jangkauan transmisi sinyal seluler
Kehidupan modern tidak bisa lagi dibayangkan tanpa keberadaan smartphone. Namun seberapa besar manfaatnya jika mereka tidak dapat menghubungkan pelanggan melalui komunikasi seluler?!
Kualitas komunikasi seluler secara langsung bergantung pada ketinggian antena operator seluler. Untuk menghitung seberapa jauh telepon dapat menerima sinyal dari menara seluler, Anda dapat menerapkan teorema Pythagoras.
Katakanlah Anda perlu mencari perkiraan ketinggian menara stasioner agar dapat menyebarkan sinyal dalam radius 200 kilometer.
AB (tinggi menara) = x;
BC (radius transmisi sinyal) = 200 km;
OS (radius bumi) = 6380 km;
OB=OA+ABOB=r+x
Dengan menerapkan teorema Pythagoras, kita mengetahui bahwa tinggi minimum menara harus 2,3 kilometer.
Teorema Pythagoras dalam kehidupan sehari-hari
Anehnya, teorema Pythagoras bisa berguna bahkan dalam urusan sehari-hari, seperti menentukan tinggi lemari pakaian misalnya. Sekilas tidak perlu menggunakan perhitungan rumit seperti itu, karena Anda cukup melakukan pengukuran menggunakan pita pengukur. Namun banyak orang bertanya-tanya mengapa masalah tertentu muncul selama proses perakitan jika semua pengukuran dilakukan lebih dari akurat.
Faktanya adalah lemari pakaian dirakit dalam posisi horizontal dan baru kemudian diangkat dan dipasang di dinding. Oleh karena itu, selama proses pengangkatan struktur, sisi kabinet harus bergerak bebas baik sepanjang ketinggian maupun diagonal ruangan.
Misalkan ada lemari pakaian dengan kedalaman 800 mm. Jarak dari lantai ke langit-langit - 2600 mm. Pembuat furnitur berpengalaman akan mengatakan bahwa tinggi kabinet harus kurang dari 126 mm dari tinggi ruangan. Tapi kenapa tepatnya 126 mm? Mari kita lihat sebuah contoh.
Dengan dimensi kabinet yang ideal, mari kita periksa pengoperasian teorema Pythagoras:
AC =√AB 2 +√BC 2
AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - semuanya cocok.
Misalkan tinggi kabinet bukan 2474 mm, melainkan 2505 mm. Kemudian:
AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.
Oleh karena itu, kabinet ini tidak cocok dipasang di ruangan ini. Karena mengangkatnya ke posisi vertikal dapat menyebabkan kerusakan pada tubuhnya.
Mungkin, setelah mempertimbangkan berbagai cara untuk membuktikan teorema Pythagoras oleh ilmuwan yang berbeda, kita dapat menyimpulkan bahwa teorema tersebut lebih dari benar. Sekarang Anda dapat menggunakan informasi yang diterima dalam kehidupan sehari-hari dan yakin sepenuhnya bahwa semua perhitungan tidak hanya berguna, tetapi juga benar.
Potensi kreativitas biasanya dikaitkan dengan humaniora, meninggalkan ilmu pengetahuan alam pada analisis, pendekatan praktis dan bahasa rumus dan angka yang kering. Matematika tidak dapat digolongkan sebagai mata pelajaran humaniora. Namun tanpa kreativitas Anda tidak akan bisa melangkah jauh ke dalam “ratu segala ilmu” - orang sudah mengetahui hal ini sejak lama. Sejak zaman Pythagoras misalnya.
Sayangnya, buku pelajaran sekolah biasanya tidak menjelaskan bahwa dalam matematika yang penting tidak hanya menjejali teorema, aksioma, dan rumus. Penting untuk memahami dan merasakan prinsip dasarnya. Dan pada saat yang sama, cobalah untuk membebaskan pikiran Anda dari klise dan kebenaran mendasar - hanya dalam kondisi seperti itulah semua penemuan besar lahir.
Penemuan tersebut mencakup apa yang kita kenal sekarang sebagai teorema Pythagoras. Dengan bantuannya, kami akan mencoba menunjukkan bahwa matematika tidak hanya bisa, tapi juga harus menyenangkan. Dan petualangan ini cocok tidak hanya untuk para nerd berkacamata tebal, tapi untuk semua orang yang kuat pikiran dan kuat jiwa.
Dari sejarah masalah tersebut
Sebenarnya, meskipun teorema ini disebut “teorema Pythagoras”, Pythagoras sendiri tidak menemukannya. Segitiga siku-siku dan sifat-sifat khususnya telah dipelajari jauh sebelumnya. Ada dua sudut pandang yang berbeda mengenai masalah ini. Menurut salah satu versi, Pythagoras adalah orang pertama yang menemukan bukti lengkap teorema tersebut. Menurut yang lain, bukti tersebut bukan milik penulis Pythagoras.
Saat ini Anda tidak bisa lagi memeriksa siapa yang benar dan siapa yang salah. Yang diketahui adalah bahwa bukti Pythagoras, jika memang ada, tidak bertahan. Namun, ada dugaan bahwa bukti terkenal dari Elemen Euclid mungkin milik Pythagoras, dan Euclid hanya mencatatnya.
Diketahui juga saat ini bahwa masalah tentang segitiga siku-siku ditemukan dalam sumber-sumber Mesir dari zaman Firaun Amenemhat I, pada tablet tanah liat Babilonia dari masa pemerintahan Raja Hammurabi, dalam risalah India kuno “Sulva Sutra” dan karya Tiongkok kuno “ Zhou-bi suan jin”.
Seperti yang Anda lihat, teorema Pythagoras telah memenuhi pikiran para ahli matematika sejak zaman kuno. Hal ini diperkuat oleh sekitar 367 bukti berbeda yang ada saat ini. Dalam hal ini, tidak ada teorema lain yang dapat menandinginya. Di antara para penulis bukti yang terkenal, kita dapat mengingat Leonardo da Vinci dan Presiden AS yang kedua puluh James Garfield. Semua ini menunjukkan betapa pentingnya teorema ini bagi matematika: sebagian besar teorema geometri diturunkan darinya atau entah bagaimana terhubung dengannya.
Bukti teorema Pythagoras
Buku pelajaran sekolah kebanyakan memberikan bukti aljabar. Namun inti dari teorema ini ada pada geometri, jadi mari kita perhatikan dulu bukti-bukti teorema terkenal yang didasarkan pada ilmu ini.
Bukti 1
Untuk pembuktian paling sederhana dari teorema Pythagoras untuk segitiga siku-siku, Anda perlu menetapkan kondisi ideal: biarkan segitiga tidak hanya siku-siku, tetapi juga sama kaki. Ada alasan untuk percaya bahwa segitiga seperti inilah yang awalnya dipertimbangkan oleh para ahli matematika kuno.
Penyataan “persegi yang terletak pada sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah luas persegi yang dibangun pada kaki-kaki segitiga tersebut” dapat diilustrasikan dengan gambar berikut:
Lihatlah segitiga siku-siku sama kaki ABC: Pada sisi miring AC, Anda dapat membuat persegi yang terdiri dari empat segitiga yang sama dengan ABC aslinya. Dan pada sisi AB dan BC dibuat sebuah persegi yang masing-masing berisi dua segitiga sebangun.
Ngomong-ngomong, gambar ini menjadi dasar dari banyak lelucon dan kartun yang didedikasikan untuk teorema Pythagoras. Yang paling terkenal mungkin adalah "Celana Pythagoras sama ke segala arah":
Bukti 2
Metode ini menggabungkan aljabar dan geometri dan dapat dianggap sebagai varian dari pembuktian matematikawan India kuno Bhaskari.
Buatlah segitiga siku-siku dengan sisi-sisinya a, b dan c(Gbr. 1). Kemudian buatlah dua buah persegi yang sisi-sisinya sama dengan jumlah panjang kedua kakinya - (a+b). Di setiap kotak, buatlah konstruksi seperti pada Gambar 2 dan 3.
Pada kotak pertama, buatlah empat segitiga serupa dengan yang ada pada Gambar 1. Hasilnya adalah dua kotak: satu dengan sisi a, yang kedua dengan sisi B.
Pada persegi kedua, empat segitiga sebangun yang dibangun membentuk persegi dengan sisi sama dengan sisi miring C.
Jumlah luas persegi yang dibangun pada Gambar 2 sama dengan luas persegi yang kita buat dengan sisi c pada Gambar 3. Ini dapat dengan mudah diperiksa dengan menghitung luas persegi pada Gambar. 2 sesuai rumus. Dan luas persegi yang tertulis pada Gambar 3. dengan mengurangkan luas empat segitiga siku-siku sama besar yang terdapat pada persegi dari luas persegi besar yang memiliki sisi (a+b).
Dengan menuliskan semua ini, kita memiliki: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Buka tanda kurung, lakukan semua perhitungan aljabar yang diperlukan dan dapatkan hasilnya a 2 +b 2 = a 2 +b 2. Dalam hal ini, area yang tertulis pada Gambar 3. persegi juga dapat dihitung menggunakan rumus tradisional S=c 2. Itu. a 2 +b 2 =c 2– Anda telah membuktikan teorema Pythagoras.
Bukti 3
Bukti India kuno itu sendiri dijelaskan pada abad ke-12 dalam risalah “Mahkota Pengetahuan” (“Siddhanta Shiromani”) dan sebagai argumen utama penulis menggunakan seruan yang ditujukan pada bakat matematika dan keterampilan observasi siswa dan pengikut: “ Lihat!"
Namun kami akan menganalisis bukti ini lebih detail:
Di dalam persegi, buatlah empat segitiga siku-siku seperti yang ditunjukkan pada gambar. Mari kita tunjukkan sisi persegi besar, yang juga dikenal sebagai sisi miring, Dengan. Sebut saja kaki-kaki segitiga A Dan B. Berdasarkan gambar, sisi persegi bagian dalam adalah (a-b).
Gunakan rumus luas persegi S=c 2 untuk menghitung luas persegi luar. Dan sekaligus menghitung nilai yang sama dengan menjumlahkan luas persegi bagian dalam dan luas keempat segitiga siku-siku: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.
Anda dapat menggunakan kedua opsi untuk menghitung luas persegi untuk memastikan keduanya memberikan hasil yang sama. Dan ini memberi Anda hak untuk menuliskannya c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Sebagai hasil dari penyelesaiannya, Anda akan mendapatkan rumus teorema Pythagoras c 2 =sebuah 2 +b 2. Teorema tersebut telah terbukti.
Bukti 4
Bukti kuno Tiongkok yang aneh ini disebut “Kursi Pengantin” – karena bentuk kursi yang dihasilkan dari semua konstruksi:
Ini menggunakan gambar yang telah kita lihat pada Gambar 3 pada bukti kedua. Dan persegi bagian dalam dengan sisi c dibuat dengan cara yang sama seperti pada bukti India kuno yang diberikan di atas.
Jika Anda secara mental memotong dua segitiga siku-siku hijau dari gambar pada Gambar 1, pindahkan ke sisi berlawanan dari persegi dengan sisi c dan tempelkan sisi miring ke sisi miring segitiga ungu, Anda akan mendapatkan gambar yang disebut "kursi pengantin" (Gbr. 2). Agar lebih jelas, Anda dapat melakukan hal yang sama dengan kertas kotak dan segitiga. Anda akan memastikan bahwa "kursi pengantin wanita" dibentuk oleh dua kotak: kotak kecil dengan satu sisi B dan besar dengan sisinya A.
Konstruksi ini memungkinkan para ahli matematika Tiongkok kuno dan kita, mengikuti mereka, sampai pada kesimpulan bahwa c 2 =sebuah 2 +b 2.
Bukti 5
Ini adalah cara lain untuk mencari solusi teorema Pythagoras menggunakan geometri. Ini disebut Metode Garfield.
Buatlah segitiga siku-siku ABC. Kita perlu membuktikannya BC 2 = AC 2 + AB 2.
Untuk melakukan ini, lanjutkan dengan kaki AC dan membuat segmen CD, yang sama dengan kaki AB. Turunkan tegak lurus IKLAN segmen garis ED. Segmen ED Dan AC adalah sama. Hubungkan titik-titiknya E Dan DI DALAM, Dan E Dan DENGAN dan dapatkan gambar seperti gambar di bawah ini:
Untuk membuktikan menara tersebut, kami kembali menggunakan metode yang telah kami coba: kami menemukan luas bangun yang dihasilkan dengan dua cara dan menyamakan ekspresi satu sama lain.
Temukan luas poligon TEMPAT TIDUR dapat dilakukan dengan menjumlahkan luas ketiga segitiga yang membentuknya. Dan salah satunya, ERU, tidak hanya berbentuk persegi panjang, tetapi juga sama kaki. Jangan lupakan itu juga AB=CD, AC=ED Dan SM=SE– ini akan memungkinkan kami menyederhanakan perekaman dan tidak membebani secara berlebihan. Jadi, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.
Pada saat yang sama, jelas bahwa TEMPAT TIDUR- Ini trapesium. Oleh karena itu, kami menghitung luasnya menggunakan rumus: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. Untuk perhitungan kami, akan lebih mudah dan jelas untuk merepresentasikan segmen tersebut IKLAN sebagai jumlah segmen AC Dan CD.
Mari kita tuliskan kedua cara menghitung luas suatu bangun, dengan memberi tanda sama dengan di antara keduanya: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Kami menggunakan persamaan segmen yang sudah kami ketahui dan dijelaskan di atas untuk menyederhanakan notasi ruas kanan: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Sekarang mari kita buka tanda kurung dan ubah persamaannya: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Setelah menyelesaikan semua transformasi, kami mendapatkan apa yang kami butuhkan: BC 2 = AC 2 + AB 2. Kami telah membuktikan teorema tersebut.
Tentu saja, daftar bukti ini masih jauh dari lengkap. Teorema Pythagoras juga dapat dibuktikan dengan menggunakan vektor, bilangan kompleks, persamaan diferensial, stereometri, dll. Dan bahkan fisikawan: jika, misalnya, cairan dituangkan ke dalam volume persegi dan segitiga serupa dengan yang ditunjukkan pada gambar. Dengan menuangkan cairan, Anda dapat membuktikan persamaan luas dan teorema itu sendiri sebagai hasilnya.
Beberapa kata tentang kembar tiga Pythagoras
Masalah ini sedikit atau tidak dipelajari sama sekali dalam kurikulum sekolah. Sementara itu, ini sangat menarik dan sangat penting dalam geometri. Tripel Pythagoras digunakan untuk menyelesaikan banyak masalah matematika. Memahaminya mungkin berguna bagi Anda dalam pendidikan lebih lanjut.
Jadi apa itu kembar tiga Pythagoras? Ini adalah sebutan untuk bilangan asli yang dikumpulkan dalam kelompok tiga, yang jumlah kuadrat dua bilangan tersebut sama dengan bilangan ketiga kuadrat.
Tripel Pythagoras dapat berupa:
- primitif (ketiga bilangan tersebut relatif prima);
- tidak primitif (jika setiap bilangan dari suatu tripel dikalikan dengan bilangan yang sama, Anda mendapatkan tripel baru, yang tidak primitif).
Bahkan sebelum zaman kita, orang Mesir kuno terpesona oleh kegilaan akan jumlah kembar tiga Pythagoras: dalam soal mereka menganggap segitiga siku-siku dengan sisi 3, 4 dan 5 satuan. Omong-omong, segitiga apa pun yang sisi-sisinya sama dengan angka-angka dari tripel Pythagoras secara default adalah persegi panjang.
Contoh kembar tiga Pythagoras: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14 , 48, 50), (30, 40, 50), dst.
Penerapan praktis teorema
Teorema Pythagoras digunakan tidak hanya dalam matematika, tetapi juga dalam arsitektur dan konstruksi, astronomi dan bahkan sastra.
Pertama, tentang konstruksi: teorema Pythagoras banyak digunakan dalam permasalahan dengan berbagai tingkat kompleksitas. Misalnya, lihat jendela bergaya Romawi:
Mari kita nyatakan lebar jendela sebagai B, maka jari-jari setengah lingkaran utama dapat dinotasikan sebagai R dan mengungkapkan melalui b: R=b/2. Jari-jari setengah lingkaran yang lebih kecil juga dapat dinyatakan melalui b: r=b/4. Dalam soal ini kita tertarik pada jari-jari lingkaran dalam jendela (sebut saja P).
Teorema Pythagoras hanya berguna untuk menghitung R. Untuk melakukan ini, kita menggunakan segitiga siku-siku, yang ditandai dengan garis putus-putus pada gambar. Sisi miring suatu segitiga terdiri dari dua jari-jari: b/4+hal. Satu kaki melambangkan jari-jari b/4, lain b/2-hal. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, kita menulis: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Selanjutnya, kita buka tanda kurung dan dapatkan b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Mari kita ubah ungkapan ini menjadi bp/2=b 2 /4-bp. Dan kemudian kita membagi semua suku dengan B, kami menyajikan yang serupa untuk didapatkan 3/2*p=b/4. Dan pada akhirnya kita menemukannya hal=b/6- itulah yang kami butuhkan.
Dengan menggunakan teorema tersebut, Anda dapat menghitung panjang kasau untuk atap pelana. Tentukan seberapa tinggi menara komunikasi seluler yang diperlukan agar sinyal dapat menjangkau wilayah berpenduduk tertentu. Dan bahkan memasang pohon Natal secara ramah lingkungan di alun-alun kota. Seperti yang Anda lihat, teorema ini tidak hanya ada di halaman buku teks, tetapi sering kali berguna dalam kehidupan nyata.
Dalam sastra, teorema Pythagoras telah menginspirasi para penulis sejak jaman dahulu dan terus berlanjut hingga zaman kita. Misalnya, penulis Jerman abad kesembilan belas Adelbert von Chamisso terinspirasi untuk menulis soneta:
Cahaya kebenaran tidak akan segera hilang,
Tapi, setelah bersinar, kecil kemungkinannya akan hilang
Dan, seperti ribuan tahun yang lalu,
Itu tidak akan menimbulkan keraguan atau kontroversi.
Paling bijak bila menyentuh pandanganmu
Cahaya kebenaran, terima kasih kepada para dewa;
Dan seratus ekor lembu jantan, disembelih, berbohong -
Hadiah balasan dari Pythagoras yang beruntung.
Sejak saat itu, para banteng mengaum dengan putus asa:
Selamanya membuat khawatir suku banteng
Acara disebutkan di sini.
Tampaknya bagi mereka waktunya akan segera tiba,
Dan mereka akan dikorbankan lagi
Beberapa teorema hebat.
(terjemahan oleh Viktor Toporov)
Dan pada abad kedua puluh, penulis Soviet Evgeny Veltistov, dalam bukunya “The Adventures of Electronics,” mencurahkan seluruh bab untuk membuktikan teorema Pythagoras. Dan setengah bab lagi cerita tentang dunia dua dimensi yang bisa ada jika teorema Pythagoras menjadi hukum dasar dan bahkan agama untuk satu dunia. Hidup di sana akan jauh lebih mudah, tetapi juga lebih membosankan: misalnya, tidak ada seorang pun di sana yang memahami arti kata “bulat” dan “halus”.
Dan dalam buku “The Adventures of Electronics”, penulisnya, melalui mulut guru matematika Taratar, mengatakan: “Hal utama dalam matematika adalah gerak pemikiran, ide-ide baru.” Pelarian pemikiran kreatif inilah yang memunculkan teorema Pythagoras - bukan tanpa alasan ia memiliki begitu banyak bukti yang bervariasi. Ini membantu Anda melampaui batas-batas yang sudah dikenal dan melihat hal-hal yang sudah dikenal dengan cara baru.
Kesimpulan
Artikel ini dibuat agar Anda dapat melihat melampaui kurikulum sekolah dalam matematika dan mempelajari tidak hanya bukti teorema Pythagoras yang diberikan dalam buku teks “Geometri 7-9” (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) dan “Geometri 7” - 11” (A.V. Pogorelov), tetapi juga cara menarik lainnya untuk membuktikan teorema terkenal tersebut. Dan lihat juga contoh penerapan teorema Pythagoras dalam kehidupan sehari-hari.
Pertama, informasi ini akan memungkinkan Anda memenuhi syarat untuk mendapatkan nilai lebih tinggi dalam pelajaran matematika - informasi tentang subjek dari sumber tambahan selalu sangat dihargai.
Kedua, kami ingin membantu Anda merasakan betapa menariknya matematika. Konfirmasikan dengan contoh spesifik bahwa selalu ada ruang untuk kreativitas. Kami berharap teorema Pythagoras dan artikel ini dapat menginspirasi Anda untuk mengeksplorasi secara mandiri dan membuat penemuan menarik dalam matematika dan ilmu pengetahuan lainnya.
Beri tahu kami di komentar jika menurut Anda bukti yang disajikan dalam artikel menarik. Apakah menurut Anda informasi ini berguna dalam studi Anda? Tuliskan kepada kami pendapat Anda tentang teorema Pythagoras dan artikel ini - kami akan dengan senang hati mendiskusikan semua ini dengan Anda.
situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.
Teorema Pythagoras adalah teorema dasar geometri Euclidean, yang mendalilkan hubungan antara kaki dan sisi miring segitiga siku-siku. Ini mungkin teorema paling populer di dunia, yang diketahui semua orang sejak sekolah.
Sejarah teorema
Padahal, teori perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku sudah dikenal jauh sebelum Pythagoras dari Pulau Samos. Dengan demikian, permasalahan tentang rasio aspek ditemukan dalam teks-teks kuno dari masa pemerintahan raja Babilonia Hammurabi, yaitu 1500 tahun sebelum kelahiran ahli matematika Samian. Catatan tentang sisi-sisi segitiga dicatat tidak hanya di Babilonia, tetapi juga di Mesir Kuno dan Tiongkok. Salah satu rasio bilangan bulat yang paling terkenal antara kaki dan sisi miring adalah 3, 4, dan 5. Angka-angka ini digunakan oleh surveyor dan arsitek kuno untuk membuat sudut siku-siku.
Jadi, Pythagoras tidak menemukan teorema tentang hubungan antara kaki dan sisi miring. Dia adalah orang pertama dalam sejarah yang membuktikannya. Namun, ada keraguan mengenai hal ini, karena bukti ahli matematika Samia, jika dicatat, telah hilang selama berabad-abad. Ada pendapat bahwa pembuktian teorema yang diberikan dalam Elemen Euclid secara khusus dimiliki oleh Pythagoras. Namun, sejarawan matematika mempunyai keraguan besar mengenai hal ini.
Pythagoras adalah orang pertama, tetapi setelah dia teorema tentang sisi-sisi segitiga siku-siku dibuktikan sekitar 400 kali, menggunakan berbagai teknik: dari geometri klasik hingga kalkulus diferensial. Teorema Pythagoras selalu memenuhi pikiran yang ingin tahu, jadi di antara penulis buktinya kita dapat mengingat Presiden AS James Garfield.
Bukti
Setidaknya empat ratus bukti teorema Pythagoras telah dicatat dalam literatur matematika. Angka yang mencengangkan ini dijelaskan oleh pentingnya teorema tersebut bagi sains dan sifat dasar dari hasilnya. Pada dasarnya teorema Pythagoras dibuktikan dengan metode geometri, yang paling populer adalah metode luas dan metode persamaan.
Metode paling sederhana untuk membuktikan teorema, yang tidak memerlukan konstruksi geometri wajib, adalah metode luas. Pythagoras menyatakan bahwa kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya:
Mari kita coba buktikan pernyataan berani ini. Kita tahu bahwa luas suatu bangun ditentukan dengan mengkuadratkan suatu ruas garis. Ruas garis dapat berupa apa saja, namun yang paling sering berupa sisi suatu bangun atau jari-jarinya. Tergantung pada pilihan segmen dan jenis bangun geometri, persegi akan memiliki koefisien yang berbeda:
- kesatuan dalam kasus persegi – S = a 2;
- kira-kira 0,43 untuk segitiga sama sisi – S = (sqrt(3)/4)a 2 ;
- Pi dalam kasus lingkaran – S = pi × R 2.
Jadi, kita dapat menyatakan luas segitiga apa pun dalam bentuk S = F × a 2, di mana F adalah koefisien tertentu.
Segitiga siku-siku adalah bangun datar luar biasa yang dapat dengan mudah dibagi menjadi dua segitiga siku-siku yang sebangun hanya dengan menjatuhkan garis tegak lurus dari titik sudut mana pun. Pembagian ini mengubah segitiga siku-siku menjadi jumlah dua segitiga siku-siku yang lebih kecil. Karena segitiga-segitiga tersebut sebangun, maka luasnya dihitung menggunakan rumus yang sama, yaitu:
S = F × sisi miring 2
Hasil pembagian segitiga besar dengan sisi a, b dan c (sisi miring) diperoleh tiga buah segitiga, dan sisi miring dari bangun yang lebih kecil ternyata adalah sisi a dan b dari segitiga asal. Jadi, luas segitiga sebangun dihitung sebagai:
- S1 = F × c 2 – segitiga asal;
- S2 = F × a 2 – segitiga sebangun pertama;
- S3 = F × b 2 – segitiga sebangun kedua.
Jelasnya, luas segitiga besar sama dengan jumlah luas segitiga yang sebangun:
F × c 2 = F × a2 + F × b 2
Faktor F mudah untuk dikurangi. Hasilnya kita mendapatkan:
c 2 = a 2 + b 2,
Q.E.D.
Tripel Pythagoras
Perbandingan kaki dan sisi miring yang populer seperti 3, 4 dan 5 telah disebutkan di atas. Kembar tiga Pythagoras adalah himpunan tiga bilangan relatif prima yang memenuhi syarat a 2 + b 2 = c 2. Kombinasi seperti itu jumlahnya tak terhingga, dan kombinasi pertama digunakan pada zaman kuno untuk membangun sudut siku-siku. Dengan mengikat sejumlah simpul pada seutas tali secara berkala dan melipatnya menjadi segitiga, para ilmuwan zaman dahulu memperoleh sudut siku-siku. Untuk melakukan ini, perlu mengikat simpul di setiap sisi segitiga, dalam jumlah yang sesuai dengan kembar tiga Pythagoras:
- 3, 4, dan 5;
- 5, 12 dan 13;
- 7, 24 dan 25;
- 8, 15 dan 17.
Dalam hal ini, setiap tripel Pythagoras dapat diperbesar beberapa kali bilangan bulat dan diperoleh hubungan proporsional yang sesuai dengan kondisi teorema Pythagoras. Misalnya, dari tripel 5, 12, 13, Anda bisa mendapatkan nilai sisi 10, 24, 26 hanya dengan mengalikannya dengan 2. Saat ini, tripel Pythagoras digunakan untuk menyelesaikan masalah geometri dengan cepat.
Penerapan teorema Pythagoras
Teorema matematikawan Samian tidak hanya digunakan dalam geometri sekolah. Teorema Pythagoras dapat diterapkan dalam arsitektur, astronomi, fisika, sastra, teknologi informasi, dan bahkan dalam menilai efektivitas jaringan sosial. Teorema tersebut juga berlaku dalam kehidupan nyata.
Pilihan pizza
Di restoran pizza, pelanggan sering menghadapi pertanyaan: haruskah mereka mengambil satu pizza besar atau dua pizza kecil? Katakanlah Anda bisa membeli satu pizza dengan diameter 50 cm atau dua pizza yang lebih kecil dengan diameter 30 cm. Sekilas, dua pizza yang lebih kecil lebih besar dan lebih menguntungkan, namun bukan itu masalahnya. Bagaimana cara cepat membandingkan area pizza yang Anda suka?
Kita ingat teorema matematikawan Samian dan tripel Pythagoras. Luas lingkaran adalah kuadrat diameternya dengan koefisien F = pi/4. Dan tripel Pythagoras yang pertama adalah 3, 4 dan 5, yang dapat dengan mudah kita ubah menjadi tripel 30, 40, 50. Jadi 50 2 = 30 2 + 40 2. Jelasnya, luas pizza dengan diameter 50 cm akan lebih besar dari jumlah pizza dengan diameter 30 cm. Tampaknya teorema ini hanya berlaku dalam geometri dan hanya untuk segitiga, tetapi contoh ini menunjukkan bahwa relasi c 2 = a 2 + b 2 juga dapat digunakan untuk membandingkan bangun-bangun lain beserta ciri-cirinya.
Kalkulator online kami memungkinkan Anda menghitung nilai apa pun yang memenuhi persamaan dasar jumlah kuadrat. Untuk menghitung, cukup masukkan 2 nilai apa saja, setelah itu program akan menghitung koefisien yang hilang. Kalkulator tidak hanya beroperasi dengan nilai bilangan bulat, tetapi juga dengan nilai pecahan, sehingga Anda dapat menggunakan angka apa pun untuk perhitungan, tidak hanya kembar tiga Pythagoras.
Kesimpulan
Teorema Pythagoras merupakan suatu hal mendasar yang banyak digunakan dalam banyak aplikasi ilmiah. Gunakan kalkulator online kami untuk menghitung besaran nilai yang dihubungkan oleh c 2 = a 2 + b 2 .
Pastikan segitiga yang diberikan merupakan segitiga siku-siku, karena Teorema Pythagoras hanya berlaku untuk segitiga siku-siku. Pada segitiga siku-siku, salah satu dari ketiga sudutnya selalu 90 derajat.
- Sudut siku-siku pada segitiga siku-siku ditunjukkan dengan simbol persegi, bukan dengan simbol kurva yang melambangkan sudut miring.
Beri label pada sisi-sisi segitiga. Beri label pada kaki-kakinya dengan “a” dan “b” (kaki-kaki adalah sisi-sisi yang berpotongan pada sudut siku-siku), dan sisi miringnya dengan “c” (sisi miring adalah sisi terbesar dari segitiga siku-siku, yang terletak berhadapan dengan sudut siku-siku).
Tentukan sisi segitiga mana yang ingin Anda cari. Teorema Pythagoras memungkinkan Anda menemukan sisi mana pun dari segitiga siku-siku (jika dua sisi lainnya diketahui). Tentukan sisi mana (a, b, c) yang perlu dicari.
- Misalnya diberi sisi miring sama dengan 5, dan diberi kaki sama dengan 3. Dalam hal ini, perlu dicari kaki kedua. Kita akan kembali ke contoh ini nanti.
- Jika dua sisi lainnya tidak diketahui, Anda perlu mencari panjang salah satu sisi yang tidak diketahui agar dapat menerapkan teorema Pythagoras. Untuk melakukannya, gunakan fungsi trigonometri dasar (jika Anda diberi nilai salah satu sudut miring).
Substitusikan nilai yang diberikan kepada Anda (atau nilai yang Anda temukan) ke dalam rumus a 2 + b 2 = c 2. Ingatlah bahwa a dan b adalah kaki dan c adalah sisi miring.
- Dalam contoh kita, tuliskan: 3² + b² = 5².
Kuadratkan setiap sisi yang diketahui. Atau tinggalkan pangkatnya - Anda dapat mengkuadratkan angkanya nanti.
- Dalam contoh kita, tuliskan: 9 + b² = 25.
Pisahkan sisi yang tidak diketahui pada salah satu sisi persamaan. Untuk melakukan ini, pindahkan nilai yang diketahui ke sisi lain persamaan. Jika Anda menemukan sisi miringnya, maka dalam teorema Pythagoras sudah terisolasi di salah satu sisi persamaan (jadi Anda tidak perlu melakukan apa pun).
- Dalam contoh kita, pindahkan 9 ke ruas kanan persamaan untuk mengisolasi b² yang tidak diketahui. Anda akan mendapatkan b² = 16.
Ambil akar kuadrat dari kedua ruas persamaan setelah Anda mendapatkan bilangan yang tidak diketahui (kuadrat) di satu sisi persamaan dan titik potong (angka) di sisi lainnya.
- Dalam contoh kita, b² = 16. Ambil akar kuadrat dari kedua ruas persamaan dan dapatkan b = 4. Jadi, bagian kedua adalah 4.
Gunakan Teorema Pythagoras dalam kehidupan sehari-hari karena dapat diterapkan pada berbagai situasi praktis. Untuk melakukan ini, belajarlah mengenali segitiga siku-siku dalam kehidupan sehari-hari - dalam situasi apa pun di mana dua benda (atau garis) berpotongan tegak lurus, dan benda (atau garis) ketiga menghubungkan (secara diagonal) bagian atas dari dua benda pertama (atau garis), Anda dapat menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari sisi yang tidak diketahui (jika dua sisi lainnya diketahui).
- Contoh : diberi tangga yang bersandar pada suatu bangunan. Dasar tangga berjarak 5 meter dari dasar tembok. Puncak tangga berjarak 20 meter dari permukaan tanah (ke atas tembok). Berapa panjang tangganya?
- “5 meter dari dasar tembok” berarti a = 5; Yang dimaksud dengan “terletak 20 meter dari tanah” berarti b = 20 (yaitu, diberikan dua kaki segitiga siku-siku, karena dinding bangunan dan permukaan bumi berpotongan tegak lurus). Panjang tangga adalah panjang sisi miring yang tidak diketahui.
- a² + b² = c²
- (5)² + (20)² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- c = √425
- c = 20,6. Jadi, perkiraan panjang tangga tersebut adalah 20,6 meter.
- “5 meter dari dasar tembok” berarti a = 5; Yang dimaksud dengan “terletak 20 meter dari tanah” berarti b = 20 (yaitu, diberikan dua kaki segitiga siku-siku, karena dinding bangunan dan permukaan bumi berpotongan tegak lurus). Panjang tangga adalah panjang sisi miring yang tidak diketahui.
teori Pitagoras- salah satu teorema dasar geometri Euclidean, yang menetapkan relasi
antara sisi-sisi segitiga siku-siku.
Hal ini diyakini telah dibuktikan oleh ahli matematika Yunani Pythagoras, yang namanya diambil dari namanya.
Rumusan geometri teorema Pythagoras.
Teorema ini awalnya dirumuskan sebagai berikut:
Pada segitiga siku-siku, luas persegi yang dibangun pada sisi miring sama dengan jumlah luas persegi,
dibangun di atas kaki.
Rumusan aljabar teorema Pythagoras.
Pada segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang kaki-kakinya.
Artinya, panjang sisi miring segitiga dinyatakan dengan C, dan panjang kakinya A Dan B:
Kedua formulasi tersebut teori Pitagoras setara, tetapi rumusan kedua lebih mendasar, ternyata tidak
memerlukan konsep luas. Artinya, pernyataan kedua dapat diverifikasi tanpa mengetahui apapun tentang daerah dan
dengan mengukur panjang sisi-sisi segitiga siku-siku saja.
Membalikkan teorema Pythagoras.
Jika kuadrat salah satu sisi suatu segitiga sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi lainnya, maka
segitiga siku-siku.
Atau dengan kata lain:
Untuk setiap tiga kali lipat bilangan positif A, B Dan C, seperti yang
ada segitiga siku-siku dengan kaki A Dan B dan sisi miring C.
Teorema Pythagoras untuk segitiga sama kaki.
Teorema Pythagoras untuk segitiga sama sisi.
Bukti teorema Pythagoras.
Saat ini, 367 bukti teorema ini telah tercatat dalam literatur ilmiah. Mungkin teoremanya
Pythagoras adalah satu-satunya teorema dengan jumlah bukti yang begitu banyak. Keberagaman seperti itu
hanya dapat dijelaskan dengan signifikansi mendasar teorema geometri.
Tentu saja secara konseptual semuanya dapat dibagi menjadi beberapa kelas kecil. Yang paling terkenal di antaranya:
bukti metode daerah, aksiomatis Dan bukti eksotik(Misalnya,
dengan menggunakan persamaan diferensial).
1. Pembuktian teorema Pythagoras menggunakan segitiga sebangun.
Pembuktian rumusan aljabar berikut ini merupakan pembuktian yang paling sederhana yang dibuat
langsung dari aksioma. Secara khusus tidak menggunakan konsep luas suatu bangun.
Membiarkan ABC ada segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku C. Mari kita menggambar tingginya dari C dan menunjukkan
fondasinya melalui H.
Segi tiga ACH mirip dengan segitiga AB C di dua sudut. Demikian pula segitiga CBH serupa ABC.
Dengan memperkenalkan notasi:
kita mendapatkan:
,
yang sesuai dengan -
Dilipat A 2 dan B 2, kita mendapatkan:
atau , yang perlu dibuktikan.
2. Pembuktian teorema Pythagoras menggunakan metode luas.
Bukti-bukti di bawah ini, meskipun tampak sederhana, tidaklah sesederhana itu. Mereka semua
menggunakan sifat-sifat luas yang pembuktiannya lebih kompleks daripada pembuktian teorema Pythagoras itu sendiri.
- Bukti melalui kesetaraan yang saling melengkapi.
Mari kita susun empat persegi panjang yang sama besar
segitiga seperti pada gambar
di sebelah kanan.
Segi empat dengan sisi C- persegi,
karena jumlah dua sudut lancip adalah 90°, dan
sudut terbuka - 180°.
Luas seluruh gambar adalah sama, di satu sisi,
luas persegi dengan sisi ( a+b), dan sebaliknya, jumlah luas empat segitiga dan
Q.E.D.
3. Bukti teorema Pythagoras dengan metode yang sangat kecil.
Melihat gambar yang ditunjukkan pada gambar dan
melihat sisinya berubahA, kita dapat
tuliskan relasi berikut untuk tak terhingga
kecil kenaikan sampingDengan Dan A(menggunakan kesamaan
segitiga):
Dengan menggunakan metode pemisahan variabel, kita menemukan:
Ekspresi yang lebih umum untuk perubahan sisi miring jika ada kenaikan di kedua sisi:
Mengintegrasikan persamaan ini dan menggunakan kondisi awal, kita memperoleh:
Jadi kita sampai pada jawaban yang diinginkan:
Seperti yang mudah dilihat, ketergantungan kuadrat pada rumus akhir muncul karena ketergantungan linier
proporsionalitas antara sisi-sisi segitiga dan pertambahannya, sedangkan penjumlahannya berhubungan dengan independen
kontribusi dari kenaikan kaki yang berbeda.
Pembuktian yang lebih sederhana dapat diperoleh jika kita berasumsi bahwa salah satu kakinya tidak mengalami pertambahan
(dalam hal ini kaki B). Kemudian untuk konstanta integrasi diperoleh:
