Akar rasional persamaan kuadrat. Memecahkan persamaan kuadrat. Menyederhanakan bentuk persamaan kuadrat

Penambahan matriks:

Pengurangan dan penambahan matriks direduksi menjadi operasi yang sesuai pada elemennya. Operasi penjumlahan matriks dimasukkan hanya untuk matriks ukuran sama, yaitu untuk matriks, yang jumlah baris dan kolomnya masing-masing sama. Jumlah matriks A dan B dipanggil matriks C, yang unsur-unsurnya sama dengan jumlah unsur-unsur yang bersesuaian. C = A + B c ij = a ij + b ij Didefinisikan serupa perbedaan matriks.

Mengalikan matriks dengan angka:

Operasi perkalian (pembagian) matriks dari ukuran berapa pun dengan angka sembarang direduksi menjadi mengalikan (membagi) setiap elemen matriks untuk nomor ini. Produk matriks Dan bilangan k dipanggil matriks B, sedemikian rupa

b ij = k × a ij . B = k × A b ij = k × a ij . Matriks- A = (-1) × A disebut sebaliknya matriks A.

Sifat-sifat penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan bilangan:

Operasi penjumlahan matriks Dan perkalian matriks per bilangan mempunyai sifat sebagai berikut: 1. A + B = B + A; 2.A+(B+C) = (A+B)+C; 3. SEBUAH + 0 = SEBUAH; 4. SEBUAH - SEBUAH = 0; 5. 1 × SEBUAH = SEBUAH; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βA) = (αβ) × A; , dimana A, B dan C adalah matriks, α dan β adalah bilangan.

Perkalian matriks (hasil perkalian matriks):

Operasi perkalian dua matriks dimasukkan hanya jika jumlah kolomnya adalah yang pertama matriks sama dengan jumlah baris kedua matriks. Produk matriks Dan m×n aktif matriks Dalam n×p, disebut matriks Dengan m×p sehingga dengan ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk , yaitu, jumlah produk elemen-elemen pada baris ke-i ditemukan matriks Dan ke elemen yang sesuai dari kolom ke-j matriks B.Jika matriks A dan B adalah persegi yang besarnya sama, maka hasil kali AB dan BA selalu ada. Mudah untuk menunjukkan bahwa A × E = E × A = A, dimana A adalah persegi matriks, E - satuan matriks ukuran yang sama.

Sifat-sifat perkalian matriks:

Perkalian matriks tidak komutatif, yaitu AB ≠ BA meskipun kedua hasil kali terdefinisi. Namun, jika untuk apapun matriks hubungan AB=BA terpenuhi, maka seperti itu matriks disebut komutatif. Contoh yang paling umum adalah yang tunggal matriks, yang bepergian dengan yang lain matriks ukuran yang sama. Hanya yang berbentuk persegi yang dapat diubah matriks dari urutan yang sama. A × E = E × A = A

Perkalian matriks mempunyai sifat sebagai berikut: 1. A×(B×C) = (A×B)×C; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. SEBUAH × 0 = 0; 0 × SEBUAH = 0; 6. (AB) T = BTA T; 7. (ABC) T = C T V T A T; 8. (A + B) T = AT + B T;

2. Penentu orde ke-2 dan ke-3. Sifat-sifat determinan.

Penentu matriks urutan kedua, atau penentu orde kedua adalah bilangan yang dihitung dengan rumus:

Penentu matriks urutan ketiga, atau penentu orde ketiga adalah bilangan yang dihitung dengan rumus:

Angka ini mewakili jumlah aljabar yang terdiri dari enam suku. Setiap suku mengandung tepat satu elemen dari setiap baris dan setiap kolom matriks. Setiap suku terdiri dari hasil kali tiga faktor.

Tanda dengan anggota yang mana determinan matriks dimasukkan ke dalam rumus mencari determinan matriks orde ketiga dapat ditentukan dengan menggunakan skema yang diberikan, yang disebut aturan segitiga atau aturan Sarrus. Tiga suku pertama diambil dengan tanda tambah dan ditentukan dari gambar kiri, dan tiga suku berikutnya diambil dengan tanda minus dan ditentukan dari gambar kanan.

Tentukan banyaknya suku yang ingin dicari determinan matriks, V jumlah aljabar, kamu dapat menghitung faktorialnya: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

Sifat-sifat determinan matriks

Sifat-sifat determinan matriks:

Properti #1:

Penentu matriks tidak akan berubah jika barisnya diganti dengan kolom, setiap baris dengan kolom yang nomornya sama, dan sebaliknya (Transposisi). |SEBUAH| = |SEBUAH| T

Konsekuensi:

Kolom dan Baris determinan matriks adalah sama, oleh karena itu, properti yang melekat pada baris juga berlaku untuk kolom.

Properti #2:

Saat menata ulang 2 baris atau kolom determinan matriks akan mengubah tandanya menjadi kebalikannya dengan mempertahankan nilai absolutnya, yaitu:

Properti #3:

Penentu matriks memiliki dua baris yang identik, sama dengan nol.

Properti #4:

Faktor persekutuan unsur-unsur deret apa pun determinan matriks dapat dianggap sebagai sebuah tanda penentu.

Akibat wajar dari properti No. 3 dan No. 4:

Jika semua elemen suatu deret tertentu (baris atau kolom) sebanding dengan elemen-elemen yang bersesuaian pada deret paralel, maka demikianlah determinan matriks sama dengan nol.

Properti #5:

determinan matriks sama dengan nol, kalau begitu determinan matriks sama dengan nol.

Properti #6:

Jika semua elemen suatu baris atau kolom penentu disajikan sebagai jumlah dari 2 suku, lalu penentu matriks dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari 2 determinan sesuai dengan rumus:

Properti #7:

Jika ke baris (atau kolom) mana pun penentu tambahkan elemen yang sesuai dari baris (atau kolom lain), dikalikan dengan angka yang sama, lalu determinan matriks tidak akan mengubah nilainya.

Contoh penggunaan properti untuk perhitungan determinan matriks:

Jadi, pada pelajaran sebelumnya kita telah mempelajari aturan penjumlahan dan pengurangan matriks. Ini adalah operasi yang sangat sederhana sehingga sebagian besar siswa langsung memahaminya.

Namun, Anda bersukacita lebih awal. Freebie sudah berakhir - mari beralih ke perkalian. Saya akan segera memperingatkan Anda: mengalikan dua matriks sama sekali tidak berarti mengalikan angka-angka yang terletak di sel dengan koordinat yang sama, seperti yang Anda bayangkan. Semuanya jauh lebih menyenangkan di sini. Dan kita harus mulai dengan definisi awal.

Matriks yang cocok

Satu dari karakteristik yang paling penting matriks adalah ukurannya. Kita telah membicarakan hal ini ratusan kali: notasi $A=\left[ m\times n \right]$ berarti matriks tersebut memiliki tepat $m$ baris dan $n$ kolom. Kita telah membahas bagaimana agar tidak membingungkan baris dengan kolom. Ada hal lain yang penting sekarang.

Definisi. Matriks berbentuk $A=\left[ m\times n \right]$ dan $B=\left[ n\times k \right]$, dimana jumlah kolom pada matriks pertama sama dengan jumlah baris yang kedua disebut konsisten.

Sekali lagi: jumlah kolom pada matriks pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua! Dari sini kita mendapatkan dua kesimpulan sekaligus:

Urutan matriks penting bagi kami. Misalnya, matriks $A=\left[ 3\times 2 \right]$ dan $B=\left[ 2\times 5 \right]$ konsisten (2 kolom pada matriks pertama dan 2 baris pada matriks kedua) , tetapi sebaliknya — matriks $B=\left[ 2\times 5 \right]$ dan $A=\left[ 3\times 2 \right]$ tidak lagi konsisten (5 kolom pada matriks pertama bukan 3 baris di detik).
Konsistensi dapat dengan mudah diperiksa dengan menuliskan semua dimensi satu demi satu. Menggunakan contoh dari paragraf sebelumnya: “3 2 2 5” - di tengah nomor yang sama, jadi matriksnya konsisten. Namun “2 5 3 2” tidak konsisten, karena terdapat angka yang berbeda di tengahnya.

Selain itu, Captain Obviousness sepertinya mengisyaratkan bahwa matriks persegi dengan ukuran yang sama $\left[ n\times n \right]$ selalu konsisten.

Dalam matematika, ketika urutan pencatatan objek itu penting (misalnya, dalam definisi yang dibahas di atas, urutan matriks itu penting), kita sering membicarakan pasangan terurut. Kami bertemu mereka di sekolah: Saya rasa tidak perlu khawatir jika koordinat $\left(1;0 \right)$ dan $\left(0;1 \right)$ ditentukan poin yang berbeda di permukaan.

Jadi: koordinat juga merupakan pasangan terurut yang terdiri dari angka-angka. Namun tidak ada yang menghalangi Anda untuk membuat pasangan matriks seperti itu. Maka kita dapat mengatakan: “Sepasang matriks terurut $\left(A;B \right)$ adalah konsisten jika jumlah kolom pada matriks pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua.”

Jadi kenapa?

Definisi perkalian

Pertimbangkan dua matriks yang konsisten: $A=\left[ m\times n \right]$ dan $B=\left[ n\times k \right]$. Dan kami mendefinisikan operasi perkalian untuk mereka.

Definisi. Hasil kali dua matriks yang cocok $A=\left[ m\times n \right]$ dan $B=\left[ n\times k \right]$ adalah matriks baru $C=\left[ m\times k \ kanan] $, yang unsur-unsurnya dihitung menggunakan rumus:

\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

Produk seperti itu dilambangkan dengan cara standar: $C=A\cdot B$.

Mereka yang melihat definisi ini untuk pertama kalinya langsung memiliki dua pertanyaan:

Game sengit macam apa ini?
Mengapa begitu sulit?

Ya, hal pertama yang pertama. Mari kita mulai dengan pertanyaan pertama. Apa arti semua indeks ini? Dan bagaimana agar tidak membuat kesalahan saat bekerja dengan matriks nyata?

Pertama-tama, kita perhatikan bahwa garis panjang untuk menghitung $((c)_(i;j))$ (Saya secara khusus meletakkan titik koma di antara indeks agar tidak bingung, tetapi tidak perlu meletakkannya di semuanya - saya sendiri bosan mengetikkan rumus dalam definisi) sebenarnya bermuara pada aturan sederhana:

Ambil baris ke $i$ pada matriks pertama;
Ambil kolom $j$th pada matriks kedua;
Kami mendapatkan dua urutan angka. Kita mengalikan elemen-elemen barisan ini dengan angka yang sama, lalu menjumlahkan hasil perkaliannya.

Proses ini mudah dipahami dari gambar:

Skema perkalian dua matriks

Sekali lagi: kita memperbaiki baris $i$ pada matriks pertama, kolom $j$ pada matriks kedua, mengalikan elemen dengan angka yang sama, lalu menambahkan produk yang dihasilkan - kita mendapatkan $((c)_(ij))$ . Dan seterusnya untuk semua $1\le i\le m$ dan $1\le j\le k$. Itu. Akan ada total $m\kali k$ “penyimpangan” seperti itu.

Faktanya, kita telah menemukan perkalian matriks kurikulum sekolah, hanya dalam bentuk yang sangat berkurang. Biarkan vektor diberikan:

\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \kanan); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \kanan). \\ \end(sejajarkan)\]

Lalu mereka produk skalar akan menjadi jumlah persis dari produk berpasangan:

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

Pada dasarnya, ketika pepohonan lebih hijau dan langit lebih cerah, kita cukup mengalikan vektor baris $\overrightarrow(a)$ dengan vektor kolom $\overrightarrow(b)$.

Tidak ada yang berubah hari ini. Hanya saja sekarang vektor baris dan kolom tersebut sudah lebih banyak.

Tapi cukup teorinya! Mari kita lihat contoh nyata. Dan mari kita mulai dari awal kasus sederhana— matriks persegi.

Perkalian matriks persegi

Tugas 1. Lakukan perkalian:

\[\kiri[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \kanan]\cdot \kiri[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \kanan]\]

Larutan. Jadi, kita mempunyai dua matriks: $A=\left[ 2\times 2 \right]$ dan $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Jelas bahwa keduanya konsisten (matriks persegi dengan ukuran yang sama selalu konsisten). Oleh karena itu, kami melakukan perkalian:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \ mulai(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \kanan]=\kiri[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot \kiri(-2 \kanan)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \kiri(-2 \kanan)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(array) \kanan]= \\ & =\kiri[ \begin(array)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ akhir(array)\kanan]. \end(sejajarkan)\]

Itu saja!

Jawaban: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]$.

Tugas 2. Lakukan perkalian:

\[\kiri[ \begin(matriks) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matriks) \kanan]\cdot \kiri[ \begin(array)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(array) \kanan]\]

Larutan. Sekali lagi, matriks konsisten, jadi kami melakukan tindakan berikut:\[\]

\[\begin(sejajarkan) & \kiri[ \begin(matriks) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matriks) \kanan]\cdot \kiri[ \begin(array)(*(35)( ) r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(array) \kanan]=\kiri[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ kiri(-3 \kanan) & 1\cdot 6+3\cdot \kiri(-2 \kanan) \\ 2\cdot 9+6\cdot \kiri(-3 \kanan) & 2\cdot 6+6 \ cdot \kiri(-2 \kanan) \\\end(array) \kanan]= \\ & =\kiri[ \begin(matriks) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matriks) \kanan ] . \end(sejajarkan)\]

Seperti yang Anda lihat, hasilnya adalah matriks yang diisi dengan nol

Jawaban: $\kiri[ \begin(matriks) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matriks) \kanan]$.

Dari contoh di atas terlihat jelas bahwa perkalian matriks bukanlah operasi yang rumit. Setidaknya untuk matriks persegi 2 kali 2.

Dalam proses perhitungan, kami menyusun matriks perantara, di mana kami secara langsung menjelaskan angka mana yang termasuk dalam sel tertentu. Inilah yang harus Anda lakukan ketika memecahkan masalah nyata.

Sifat dasar produk matriks

Pendeknya. Perkalian matriks:

Non-komutatif: $A\cdot B\ne B\cdot A$ dalam kasus umum. Tentu saja terdapat matriks-matriks khusus yang persamaannya $A\cdot B=B\cdot A$ (misalnya, jika $B=E$ adalah matriks identitasnya), namun pada sebagian besar kasus, hal ini tidak berhasil. ;
Secara asosiatif: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. Tidak ada pilihan: matriks yang berdekatan dapat dikalikan tanpa mengkhawatirkan nilai di kiri dan kanan kedua matriks tersebut.
Secara distribusi: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ dan $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $ (karena non-komutatifitas produk, distribusi kanan dan kiri perlu ditentukan secara terpisah.

Dan sekarang - semuanya sama, tetapi lebih detail.

Perkalian matriks dalam banyak hal mirip dengan perkalian bilangan klasik. Namun ada perbedaan, yang terpenting adalah itu Perkalian matriks pada umumnya bersifat non-komutatif.

Mari kita lihat kembali matriks dari Soal 1. Kita sudah mengetahui hasil kali langsungnya:

\[\kiri[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \kanan]\cdot \kiri[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \kanan]=\kiri[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \kanan]\]

Namun jika kita menukar matriksnya, kita mendapatkan hasil yang sangat berbeda:

\[\kiri[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \kanan]\cdot \kiri[ \begin(array)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \kanan]=\kiri[ \begin(matriks) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\end(matriks )\Kanan]\]

Ternyata $A\cdot B\ne B\cdot A$. Selain itu, operasi perkalian hanya didefinisikan untuk matriks yang konsisten $A=\left[ m\times n \right]$ dan $B=\left[ n\times k \right]$, namun tidak ada yang menjamin bahwa matriks tersebut akan tetap konsisten jika ditukar. Misalnya, matriks $\left[ 2\times 3 \right]$ dan $\left[ 3\times 5 \right]$ cukup konsisten dalam urutan yang ditentukan, tetapi matriks $\left[ 3\times 5 sama \kanan] $ dan $\kiri[ 2\kali 3 \kanan]$ ditulis urutan terbalik, tidak lagi disepakati. Sedih.:(

Di antara matriks persegi ukuran tertentu$n$akan selalu ada yang memberikan hasil yang sama baik jika dikalikan maju maupun mundur. Bagaimana mendeskripsikan semua matriks tersebut (dan berapa jumlahnya secara umum) adalah topik untuk pelajaran terpisah. Kami tidak akan membicarakan hal itu hari ini. :)

Namun, perkalian matriks bersifat asosiatif:

\[\kiri(A\cdot B \kanan)\cdot C=A\cdot \kiri(B\cdot C \kanan)\]

Oleh karena itu, ketika Anda perlu mengalikan beberapa matriks dalam satu baris sekaligus, sama sekali tidak perlu dilakukan secara langsung: sangat mungkin bahwa beberapa matriks yang berdekatan, jika dikalikan, akan memberikan hasil yang menarik. Misalnya matriks nol, seperti pada Soal 2 yang dibahas di atas.

DI DALAM masalah nyata Seringkali Anda harus mengalikan matriks persegi berukuran $\left[ n\times n \right]$. Himpunan semua matriks tersebut dilambangkan dengan $((M)^(n))$ (yaitu, entri $A=\left[ n\times n \right]$ dan \ memiliki arti yang sama), dan itu akan harus mengandung matriks $E$, yang disebut matriks identitas.

Definisi. Matriks identitas berukuran $n$ adalah matriks $E$ sehingga untuk matriks persegi apa pun $A=\left[ n\times n \right]$ persamaannya berlaku:

Matriks seperti itu selalu terlihat sama: ada satu di diagonal utamanya, dan ada nol di semua sel lainnya.

\[\begin(sejajarkan) & A\cdot \kiri(B+C \kanan)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \kiri(A+B \kanan)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(sejajarkan)\]

Dengan kata lain, jika Anda perlu mengalikan satu matriks dengan jumlah dua matriks lainnya, Anda dapat mengalikannya dengan masing-masing “dua matriks lainnya” lalu menjumlahkan hasilnya. Dalam praktiknya, kita biasanya harus melakukan operasi sebaliknya: kita memperhatikan matriks yang sama, mengeluarkannya dari tanda kurung, melakukan penjumlahan dan dengan demikian menyederhanakan hidup kita :)

Catatan: untuk mendeskripsikan distributifitas, kita harus menuliskan dua rumus: dimana jumlah pada faktor kedua dan jumlah pada faktor pertama. Hal ini terjadi justru karena perkalian matriks bersifat non-komutatif (dan secara umum, dalam aljabar non-komutatif ada banyak macam trik yang, ketika bekerja dengan angka biasa bahkan tidak terpikirkan). Dan jika, misalnya, Anda perlu menuliskan properti ini dalam ujian, pastikan untuk menulis kedua rumus tersebut, jika tidak, guru mungkin akan sedikit marah.

Oke, ini semua adalah dongeng tentang matriks persegi. Bagaimana dengan yang persegi panjang?

Kasus matriks persegi panjang

Tapi tidak ada - semuanya sama dengan yang persegi.

Tugas 3. Lakukan perkalian:

\[\kiri[ \begin(matriks) \begin(matriks) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matriks) & \begin(matriks) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(matriks) \ \\end(matriks) \kanan]\cdot \kiri[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \kanan]\]

Larutan. Kita mempunyai dua matriks: $A=\left[ 3\times 2 \right]$ dan $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Mari kita tuliskan angka-angka yang menunjukkan ukuran secara berurutan:

Seperti yang Anda lihat, dua angka di tengah bertepatan. Artinya matriks-matriksnya konsisten dan dapat dikalikan. Selain itu, pada output kita mendapatkan matriks $C=\left[ 3\times 2 \right]$:

\[\begin(align) & \left[ \begin(matriks) \begin(matriks) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matriks) & \begin(matriks) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(matriks) \\\end(matriks) \kanan]\cdot \kiri[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \kanan]=\kiri[ \begin(array)(*(35)(r)) 5\cdot \kiri(-2 \kanan)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \kiri(-2 \kanan)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \kiri(-2 \kanan)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(array) \kanan]= \\ & =\kiri[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\end(array) \kanan]. \end(sejajarkan)\]

Semuanya jelas: matriks akhir memiliki 3 baris dan 2 kolom. Cukup $=\kiri[ 3\kali 2 \kanan]$.

Jawaban: $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) \begin(array)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(array) & \begin(matriks) 41 \\ 30 \\ 19 \\\end(matriks) \\\end(array) \kanan]$.

Sekarang mari kita lihat salah satu yang terbaik tugas pelatihan bagi mereka yang baru mulai bekerja dengan matriks. Di dalamnya Anda tidak hanya perlu mengalikan dua tablet, tetapi terlebih dahulu menentukan: apakah perkalian seperti itu diperbolehkan?

Soal 4. Temukan semua kemungkinan hasil kali matriks berpasangan:

\\]; $B=\kiri[ \begin(matriks) \begin(matriks) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(matriks) & \begin(matriks) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\end(matriks) \\\end(matriks) \kanan]$; $C=\kiri[ \begin(matriks)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(matriks) \kanan]$.

Larutan. Pertama, mari kita tuliskan ukuran matriksnya:

\;\ B=\kiri[ 4\kali 2 \kanan];\ C=\kiri[ 2\kali 2 \kanan]\]

Diketahui bahwa matriks $A$ hanya dapat direkonsiliasi dengan matriks $B$, karena jumlah kolom $A$ adalah 4, dan hanya $B$ yang memiliki jumlah baris tersebut. Oleh karena itu, kami dapat menemukan produknya:

\\cdot \kiri[ \begin(array)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end(array) \kanan]=\ kiri[ \begin(array)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \kanan]\]

Saya menyarankan agar pembaca menyelesaikan langkah-langkah peralihan secara mandiri. Saya hanya akan mencatat bahwa lebih baik menentukan ukuran matriks yang dihasilkan terlebih dahulu, bahkan sebelum perhitungan apa pun:

\\cdot \kiri[ 4\kali 2 \kanan]=\kiri[ 2\kali 2 \kanan]\]

Dengan kata lain, kita cukup menghilangkan koefisien “transit” yang menjamin konsistensi matriks.

Pilihan lain apa yang mungkin? Tentu saja, seseorang dapat menemukan $B\cdot A$, karena $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, jadi pasangan terurut $\ left(B ;A \right)$ konsisten, dan dimensi produknya adalah:

\\cdot \kiri[ 2\kali 4 \kanan]=\kiri[ 4\kali 4 \kanan]\]

Singkatnya, outputnya akan berupa matriks $\left[ 4\times 4 \right]$, yang koefisiennya dapat dengan mudah dihitung:

\\cdot \kiri[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(array) \kanan]=\ kiri[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(array) \kanan]\]

Jelasnya, kita juga dapat menyepakati $C\cdot A$ dan $B\cdot C$ - dan selesai. Oleh karena itu, kita cukup menuliskan produk yang dihasilkan:

Itu mudah.:)

Jawaban: $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]$; $BA=\kiri[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(array) \kanan]$; $CA=\kiri[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(array) \kanan]$; $BC=\kiri[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(array) \kanan]$.

Secara umum, saya sangat merekomendasikan melakukan tugas ini sendiri. Dan satu lagi tugas serupa, yaitu di pekerjaan rumah. Pemikiran yang tampaknya sederhana ini akan membantu Anda mempraktikkan semua tahapan penting perkalian matriks.

Tapi ceritanya tidak berakhir di situ. Mari beralih ke kasus perkalian khusus :)

Vektor baris dan vektor kolom

Salah satu operasi matriks yang paling umum adalah perkalian dengan matriks yang mempunyai satu baris atau satu kolom.

Definisi. Vektor kolom adalah matriks berukuran $\left[ m\times 1 \right]$, yaitu terdiri dari beberapa baris dan hanya satu kolom.

Vektor baris adalah matriks berukuran $\left[ 1\times n \right]$, yaitu terdiri dari satu baris dan beberapa kolom.

Sebenarnya kita sudah pernah menjumpai benda-benda tersebut. Misalnya biasa saja vektor 3D dari stereometri $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ tidak lebih dari vektor baris. Dari sudut pandang teoritis, hampir tidak ada perbedaan antara baris dan kolom. Anda hanya perlu berhati-hati saat berkoordinasi dengan matriks pengali di sekitarnya.

Tugas 5. Lakukan perkalian:

\[\kiri[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \kanan] \cdot \kiri[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \kanan]\]

Larutan. Di sini kita mempunyai hasil kali matriks yang cocok: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. Mari temukan bagian ini:

\[\kiri[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \kanan] \cdot \kiri[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \kanan]=\kiri[ \begin(array)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\kiri(-1 \kanan)\cdot 2+3\cdot \kiri(-1 \kanan) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \kiri(-1 \kanan) \\\end(array) \kanan]=\kiri[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \kanan]\]

Jawaban: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]$.

Tugas 6. Lakukan perkalian:

\[\kiri[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \kanan]\cdot \kiri[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \kanan]\]

Larutan. Sekali lagi semuanya disepakati: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. Kami menghitung produk:

\[\kiri[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \kanan]\cdot \kiri[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \kanan]=\kiri[ \begin(array)(*(35)( ) r))5 & -19 & 5 \\\end(array) \kanan]\]

Jawaban: $\left[ \begin(matriks) 5 & -19 & 5 \\\end(matrix) \right]$.

Seperti yang Anda lihat, saat mengalikan vektor baris dan vektor kolom dengan matriks persegi kami selalu mendapatkan baris atau kolom dengan ukuran yang sama dengan keluaran. Fakta ini memiliki banyak penerapan - mulai dari pemecahannya persamaan linear ke segala macam transformasi koordinat (yang pada akhirnya juga bermuara pada sistem persamaan, tapi jangan membicarakan hal-hal yang menyedihkan).

Saya pikir semuanya sudah jelas di sini. Mari kita beralih ke bagian terakhir dari pelajaran hari ini.

Eksponensial matriks

Di antara semua operasi perkalian perhatian khusus layak mendapat eksponensial - ini adalah saat kita mengalikan objek yang sama dengan objek itu sendiri beberapa kali. Tidak terkecuali matriks; matriks juga dapat dipangkatkan ke berbagai pangkat.

Karya-karya tersebut selalu disepakati:

\\cdot \kiri[ n\kali n \kanan]=\kiri[ n\kali n \kanan]\]

Dan mereka ditetapkan dengan cara yang persis sama seperti derajat biasa:

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \end(sejajarkan)\]

Sekilas, semuanya sederhana. Mari kita lihat seperti apa praktiknya:

Tugas 7. Naikkan matriks ke pangkat yang ditunjukkan:

$((\kiri[ \begin(matriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan])^(3))$

Larutan. Baiklah, mari kita membangun. Pertama mari kita selesaikan:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(2))=\left[ \begin(matrix ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan]\cdot \kiri[ \begin(matriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan]= \\ & =\kiri[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(array) \kanan]= \\ & =\kiri[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(array) \kanan] \end(sejajarkan)\]

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \right])^(3))=((\left[ \begin (matriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan])^(3))\cdot \kiri[ \begin(matriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end( matriks) \kanan]= \\ & =\kiri[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(array) \kanan]\cdot \kiri[ \begin(matriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(array) \kanan] \end(sejajarkan)\]

Itu saja.:)

Jawaban: $\kiri[ \begin(matriks)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan]$.

Soal 8. Naikkan matriks ke pangkat yang ditunjukkan:

\[((\kiri[ \begin(matriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan])^(10))\]

Larutan. Jangan menangis saat ini dengan kenyataan bahwa “gelarnya terlalu besar”, “dunia ini tidak adil”, dan “para guru telah benar-benar kehilangan tempat”. Sebenarnya mudah:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \right])^(10))=((\left[ \begin (matriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ akhir(matriks) \kanan])^(3))\cdot ((\kiri[ \begin(matriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan])^(3))\ cdot \kiri[ \begin(matriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan]= \\ & =\left(\left[ \begin(matriks) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan]\cdot \kiri[ \begin(matriks) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan] \kanan)\cdot \kiri(\kiri[ \begin(matriks) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan]\cdot \kiri[ \begin(matriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan ] \kanan)= \\ & =\kiri[ \begin(matriks) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan]\cdot \kiri[ \begin(matriks) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan]= \\ & =\kiri[ \begin(matriks) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan] \end(sejajarkan)\ ]

Perhatikan bahwa pada baris kedua kita menggunakan asosiatif perkalian. Sebenarnya, kami menggunakannya di tugas sebelumnya, tapi itu tersirat di sana.

Jawaban: $\kiri[ \begin(matriks) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan]$.

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit dalam menaikkan matriks menjadi pangkat. Contoh terakhir dapat diringkas:

\[((\kiri[ \begin(matriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan])^(n))=\kiri[ \begin(array)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\end(array) \kanan]\]

Fakta ini mudah dibuktikan induksi matematika atau perkalian langsung. Namun, tidak selalu mungkin untuk menangkap pola seperti itu ketika menaikkan pangkat. Oleh karena itu, berhati-hatilah: seringkali mengalikan beberapa matriks “secara acak” ternyata lebih mudah dan cepat daripada mencari pola tertentu.

Secara umum, jangan lihat makna yang lebih tinggi di tempat yang tidak ada. Terakhir, mari kita lihat eksponen matriks ukuran lebih besar- sebanyak $\kiri[ 3\kali 3 \kanan]$.

Soal 9. Naikkan matriks ke pangkat yang ditunjukkan:

\[((\kiri[ \begin(matriks) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matriks) \kanan])^(3))\]

Larutan. Jangan mencari pola. Kami bekerja ke depan:

\[((\kiri[ \begin(matriks) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matriks) \kanan])^(3))=(( \kiri[ \begin(matriks) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matriks) \kanan])^(2))\cdot \kiri[ \begin (matriks)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matriks) \kanan]\]

Pertama, mari kita kuadratkan matriks ini:

\[\begin(sejajarkan) & ((\kiri[ \begin(matriks) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matriks) \kanan])^( 2))=\kiri[ \begin(matriks) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matriks) \kanan]\cdot \kiri[ \begin(matriks) ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matriks) \kanan]= \\ & =\kiri[ \begin(array)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \kanan] \end(sejajarkan)\]

Sekarang mari kita buat kubusnya:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matriks) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matriks) \kanan])^( 3))=\kiri[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \kanan] \cdot \kiri[ \begin(matriks) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matriks) \kanan]= \\ & =\kiri[ \begin( array)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(array) \kanan] \end(sejajarkan)\]

Itu saja. Masalah terpecahkan.

Jawaban: $\kiri[ \begin(matriks) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matriks) \kanan]$.

Seperti yang Anda lihat, volume perhitungannya menjadi lebih besar, tetapi maknanya tidak berubah sama sekali :).

Ini mengakhiri pelajaran. Lain kali kita akan mempertimbangkan operasi kebalikannya: dengan menggunakan produk yang ada, kita akan mencari faktor aslinya.

Seperti yang mungkin sudah Anda duga, kita akan membicarakannya matriks terbalik dan metode untuk menemukannya.

Masalah persamaan kuadrat dipelajari baik dalam kurikulum sekolah maupun di universitas. Yang kami maksud dengan persamaan berbentuk a*x^2 + b*x + c = 0, di mana X- variabel, a,b,c – konstanta; A<>0 . Tugasnya adalah menemukan akar-akar persamaan tersebut.

Arti geometris persamaan kuadrat

Grafik suatu fungsi yang diwakili oleh persamaan kuadrat adalah parabola. Penyelesaian (akar-akar) persamaan kuadrat adalah titik potong parabola dengan sumbu absis (x). Oleh karena itu, ada tiga kemungkinan kasus:
1) parabola tidak mempunyai titik potong dengan sumbu absis. Artinya berada di bidang atas dengan cabang di atas atau di bawah dengan cabang di bawah. Dalam kasus seperti ini, persamaan kuadrat tidak memiliki akar real (memiliki dua akar kompleks).

2) parabola mempunyai satu titik potong dengan sumbu Ox. Titik seperti itu disebut titik puncak parabola, dan persamaan kuadrat pada titik tersebut memperoleh nilai minimum atau nilai maksimum. Dalam hal ini, persamaan kuadrat mempunyai satu akar real (atau dua akar identik).

3) Kasus terakhir lebih menarik dalam praktiknya - ada dua titik perpotongan parabola dengan sumbu absis. Artinya ada dua akar real dari persamaan tersebut.

Berdasarkan analisis koefisien pangkat variabel, dapat kita buat kesimpulan yang menarik tentang penempatan parabola.

1) Jika koefisien a lebih besar dari nol, maka cabang-cabang parabola mengarah ke atas; jika negatif, cabang-cabang parabola mengarah ke bawah.

2) Jika koefisien b lebih besar dari nol, maka titik puncak parabola terletak pada setengah bidang kiri jika diambil arti negatif- lalu di sebelah kanan.

Penurunan rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat

Mari kita pindahkan konstanta dari persamaan kuadrat

untuk tanda sama dengan, kita mendapatkan ekspresi

Kalikan kedua ruas dengan 4a

Untuk belok kiri persegi sempurna tambahkan b^2 ke kedua sisi dan lakukan transformasi

Dari sini kita menemukan

Rumus diskriminan dan akar persamaan kuadrat

Diskriminan adalah nilai ekspresi radikal. Jika positif, maka persamaan tersebut memiliki dua akar real yang dihitung dengan rumus Jika diskriminannya nol, persamaan kuadrat mempunyai satu solusi (dua akar yang berimpit), yang dapat dengan mudah diperoleh dari rumus di atas untuk D = 0. diskriminan negatif tidak ada persamaan akar real. Namun, solusi persamaan kuadrat ditemukan pada bidang kompleks, dan nilainya dihitung menggunakan rumus

teorema Vieta

Mari kita pertimbangkan dua akar persamaan kuadrat dan buat persamaan kuadrat berdasarkan keduanya. Teorema Vieta sendiri dengan mudah mengikuti notasinya: jika kita memiliki persamaan kuadrat dalam bentuk maka jumlah akar-akarnya sama dengan koefisien p yang diambil tanda yang berlawanan, dan hasil kali akar-akar persamaan sama dengan suku bebas q. Rumus di atas akan terlihat seperti If in persamaan klasik Jika konstanta a berbeda dari nol, maka Anda perlu membagi seluruh persamaan dengan konstanta tersebut, lalu menerapkan teorema Vieta.

Memfaktorkan jadwal persamaan kuadrat

Biarkan tugasnya ditetapkan: faktorkan persamaan kuadrat. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita selesaikan persamaannya (temukan akar-akarnya). Selanjutnya, kita substitusikan akar-akar yang ditemukan ke dalam rumus muai persamaan kuadrat. Ini akan menyelesaikan soal.

Masalah persamaan kuadrat

Tugas 1. Temukan akar persamaan kuadrat

x^2-26x+120=0 .

Penyelesaian: Tuliskan koefisiennya dan substitusikan ke dalam rumus diskriminan

Akar dari nilai yang diberikan sama dengan 14, mudah ditemukan dengan kalkulator, atau diingat dengan sering digunakan, namun untuk kenyamanan, di akhir artikel saya akan memberikan daftar kuadrat angka yang sering ditemui dalam soal-soal seperti itu.
Kami mengganti nilai yang ditemukan ke dalam rumus akar

dan kita mendapatkan

Tugas 2. Selesaikan persamaannya

2x 2 +x-3=0.

Penyelesaian: Kita mempunyai persamaan kuadrat lengkap, tuliskan koefisiennya dan cari diskriminannya

Dengan menggunakan rumus yang diketahui, kita menemukan akar persamaan kuadrat

Tugas 3. Selesaikan persamaannya

9x 2 -12x+4=0.

Penyelesaian: Kita mempunyai persamaan kuadrat lengkap. Menentukan diskriminan

Kami mendapat kasus di mana akarnya bertepatan. Temukan nilai akar menggunakan rumus

Tugas 4. Selesaikan persamaannya

x^2+x-6=0 .

Solusi: Jika koefisien x kecil, disarankan untuk menerapkan teorema Vieta. Berdasarkan kondisinya kita memperoleh dua persamaan

Dari kondisi kedua kita menemukan bahwa hasil kali harus sama dengan -6. Artinya salah satu akarnya negatif. Kami memiliki kemungkinan pasangan solusi berikut (-3;2), (3;-2) . Dengan mempertimbangkan kondisi pertama, kami menolak pasangan solusi kedua.
Akar-akar persamaannya sama

Soal 5. Hitunglah panjang sisi suatu persegi panjang jika kelilingnya 18 cm dan luasnya 77 cm 2.

Penyelesaian: Setengah keliling suatu persegi panjang sama dengan jumlah sisi-sisi yang berdekatan. Mari kita nyatakan x – sisi besar, lalu 18-x sisi yang lebih kecil. Luas persegi panjang sama dengan hasil kali panjang berikut:
x(18-x)=77;
atau
x 2 -18x+77=0.
Mari kita temukan diskriminannya persamaan

Menghitung akar persamaan

Jika x=11, Itu 18=7 , hal sebaliknya juga berlaku (jika x=7, maka 21=9).

Soal 6. Faktorkan persamaan kuadrat 10x 2 -11x+3=0.

Solusi: Mari kita hitung akar-akar persamaannya, untuk melakukan ini kita mencari diskriminannya

Kami mengganti nilai yang ditemukan ke dalam rumus akar dan menghitung

Kami menerapkan rumus untuk menguraikan persamaan kuadrat berdasarkan akar

Membuka tanda kurung kita memperoleh identitas.

Persamaan kuadrat dengan parameter

Contoh 1. Pada nilai parameter berapa A , apakah persamaan (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 mempunyai satu akar?

Penyelesaian: Dengan substitusi langsung terhadap nilai a=3 kita melihat bahwa nilai tersebut tidak mempunyai solusi. Selanjutnya, kita akan menggunakan fakta bahwa dengan diskriminan nol, persamaan tersebut memiliki satu akar multiplisitas 2. Mari kita tuliskan diskriminannya

Mari kita sederhanakan dan samakan dengan nol

Kami telah memperoleh persamaan kuadrat terhadap parameter a, solusinya dapat dengan mudah diperoleh menggunakan teorema Vieta. Jumlah akar-akarnya adalah 7 dan hasil kali akar-akarnya adalah 12. Dengan pencarian sederhana kami menetapkan bahwa angka 3,4 akan menjadi akar persamaan. Karena kita sudah menolak solusi a=3 di awal perhitungan, satu-satunya solusi yang benar adalah - sebuah = 4. Jadi, ketika a=4 persamaan tersebut mempunyai satu akar.

Contoh 2. Pada nilai parameter berapa A , persamaannya a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 memiliki lebih dari satu akar?

Solusi : Mari kita lihat dulu poin tunggal, keduanya akan menjadi nilai a=0 dan a=-3. Jika a=0, persamaannya akan disederhanakan menjadi 6x-9=0; x=3/2 dan akan ada satu akar. Untuk a= -3 kita memperoleh identitas 0=0.
Mari kita hitung diskriminannya

dan carilah nilai a yang positif

Dari kondisi pertama kita mendapatkan a>3. Untuk yang kedua, kita mencari diskriminan dan akar persamaannya

Mari kita tentukan interval di mana fungsi tersebut berada nilai-nilai positif. Dengan mensubstitusikan titik a=0 kita peroleh 3>0 . Jadi, di luar interval (-3;1/3) fungsinya negatif. Jangan lupa intinya sebuah=0, yang harus dikecualikan karena persamaan aslinya mempunyai satu akar di dalamnya.
Hasilnya, kita memperoleh dua interval yang memenuhi kondisi masalah

Tugas serupa dalam prakteknya akan banyak sekali, usahakan untuk mencari tahu sendiri tugasnya dan jangan lupa memperhatikan kondisi-kondisi yang saling eksklusif. Pelajari rumus penyelesaiannya dengan baik persamaan kuadrat, mereka sering kali dibutuhkan saat menghitung tugas yang berbeda dan sains.

Persamaan kuadrat dipelajari di kelas 8, jadi tidak ada yang rumit disini. Kemampuan untuk menyelesaikannya mutlak diperlukan.

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang berbentuk ax 2 + bx + c = 0, dengan koefisien a, b, dan c adalah bilangan sembarang, dan a ≠ 0.

Sebelum mempelajari metode penyelesaian spesifik, perhatikan bahwa semua persamaan kuadrat dapat dibagi menjadi tiga kelas:

Tidak mempunyai akar;
Memiliki tepat satu akar;
Punya dua berbagai akar.

Inilah perbedaan penting antara persamaan kuadrat dan persamaan linier, yang akarnya selalu ada dan unik. Bagaimana cara menentukan berapa banyak akar suatu persamaan? Ada hal yang luar biasa untuk ini - diskriminan.

Diskriminan

Misalkan diberikan persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, maka diskriminannya hanyalah bilangan D = b 2 − 4ac.

Anda perlu hafal rumus ini. Dari mana asalnya tidak penting sekarang. Hal lain yang penting: dengan tanda diskriminan, Anda dapat menentukan berapa banyak akar yang dimiliki persamaan kuadrat. Yaitu:

Jika D< 0, корней нет;
Jika D = 0, terdapat tepat satu akar;
Jika D > 0 maka terdapat dua akar.

Harap dicatat: diskriminan menunjukkan jumlah akar, dan bukan tanda-tandanya sama sekali, seperti yang diyakini banyak orang karena alasan tertentu. Lihatlah contohnya dan Anda akan memahami semuanya sendiri:

Tugas. Berapa banyak akar yang dimiliki persamaan kuadrat:

x 2 − 8x + 12 = 0;

5x 2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Mari kita tuliskan koefisien persamaan pertama dan cari diskriminannya:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Jadi diskriminannya positif, jadi persamaannya mempunyai dua akar yang berbeda. Kami menganalisis persamaan kedua dengan cara yang sama:
sebuah = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminannya negatif, tidak ada akarnya. Persamaan terakhir yang tersisa adalah:
sebuah = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminannya nol - akarnya akan menjadi satu.

Harap dicatat bahwa koefisien telah ditulis untuk setiap persamaan. Ya, itu panjang, ya, itu membosankan, tetapi Anda tidak akan mencampuradukkan peluang dan membuat kesalahan bodoh. Pilih sendiri: kecepatan atau kualitas.

Ngomong-ngomong, jika Anda sudah menguasainya, setelah beberapa saat Anda tidak perlu menuliskan semua koefisiennya. Anda akan melakukan operasi seperti itu di kepala Anda. Kebanyakan orang mulai melakukan ini setelah 50-70 persamaan terselesaikan - secara umum, tidak sebanyak itu.

Akar persamaan kuadrat

Sekarang mari kita beralih ke solusi itu sendiri. Jika diskriminan D > 0, akar-akarnya dapat dicari dengan rumus:

Rumus dasar akar-akar persamaan kuadrat

Jika D = 0, Anda dapat menggunakan salah satu rumus berikut - Anda akan mendapatkan angka yang sama yang akan menjadi jawabannya. Akhirnya, jika D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 − 2x − 3 = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 12x + 36 = 0.

Persamaan pertama:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ persamaan mempunyai dua akar. Mari kita temukan:

Persamaan kedua:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ persamaan tersebut kembali mempunyai dua akar. Ayo temukan mereka

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \kiri(-1 \kanan))=3. \\ \end(sejajarkan)\]

Terakhir, persamaan ketiga:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ persamaan mempunyai satu akar. Rumus apa pun bisa digunakan. Misalnya, yang pertama:

Seperti yang Anda lihat dari contoh, semuanya sangat sederhana. Jika Anda mengetahui rumusnya dan bisa berhitung, maka tidak akan ada masalah. Paling sering, kesalahan terjadi saat melakukan substitusi ke dalam rumus koefisien negatif. Di sini sekali lagi, teknik yang dijelaskan di atas akan membantu: lihat rumusnya secara harfiah, tuliskan setiap langkah - dan Anda akan segera menghilangkan kesalahan.

Persamaan kuadrat tidak lengkap

Kebetulan persamaan kuadrat sedikit berbeda dari yang diberikan dalam definisi. Misalnya:

x 2 + 9x = 0;
x 2 − 16 = 0.

Sangat mudah untuk melihat bahwa persamaan ini kehilangan salah satu sukunya. Persamaan kuadrat seperti itu bahkan lebih mudah diselesaikan daripada persamaan standar: persamaan tersebut bahkan tidak memerlukan penghitungan diskriminan. Jadi, mari kita perkenalkan konsep baru:

Persamaan ax 2 + bx + c = 0 disebut persamaan kuadrat tidak lengkap jika b = 0 atau c = 0, yaitu. koefisien variabel x atau unsur bebas sama dengan nol.

Tentu saja, kasus yang sangat sulit mungkin terjadi jika kedua koefisien ini sama dengan nol: b = c = 0. Dalam hal ini, persamaannya berbentuk ax 2 = 0. Jelasnya, persamaan tersebut memiliki akar tunggal: x = 0.

Mari kita pertimbangkan kasus lainnya. Misalkan b = 0, maka diperoleh persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 + c = 0. Mari kita transformasikan sedikit:

Sejak aritmatika Akar pangkat dua hanya ada dari bilangan non-negatif, persamaan terakhir hanya masuk akal untuk (−c /a) ≥ 0. Kesimpulan:

Jika dalam persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 + c = 0 pertidaksamaan (−c /a) ≥ 0 terpenuhi, maka akan terdapat dua akar. Rumusnya diberikan di atas;
Jika (−c /a)< 0, корней нет.

Seperti yang Anda lihat, diskriminan tidak diperlukan - dalam persamaan kuadrat tidak lengkap tidak ada perhitungan yang rumit. Bahkan, tidak perlu mengingat pertidaksamaan (−c /a) ≥ 0. Cukup dengan menyatakan nilai x 2 dan melihat sisi lain dari tanda sama dengan. Jika ada nomor positif- akan ada dua akar. Jika negatif maka tidak akan ada akar sama sekali.

Sekarang mari kita lihat persamaan bentuk ax 2 + bx = 0, yang unsur bebasnya sama dengan nol. Semuanya sederhana di sini: akan selalu ada dua akar. Cukup dengan memfaktorkan polinomialnya:

Pemindahan pengganda umum keluar dari braket

Produknya nol jika setidaknya salah satu faktornya nol. Dari sinilah akarnya berasal. Sebagai kesimpulan, mari kita lihat beberapa persamaan berikut: