Mari kita lanjutkan pembahasan tentang aksi dengan matriks. Yaitu, selama mempelajari kuliah ini Anda akan mempelajari cara mencari matriks invers. Mempelajari. Meskipun matematika itu sulit.
Apa itu matriks invers? Di sini kita dapat menggambar analogi dengan bilangan terbalik: misalnya bilangan optimis 5 dan bilangan kebalikannya. Hasil kali bilangan-bilangan ini sama dengan satu: . Semuanya serupa dengan matriks! Hasil kali suatu matriks dan matriks inversnya sama dengan – matriks identitas, yang merupakan analog matriks dari satuan numerik. Namun, pertama-tama – mari kita selesaikan masalah praktis yang penting terlebih dahulu, yaitu mempelajari cara mencari matriks invers ini.
Apa yang perlu Anda ketahui dan dapat lakukan untuk mencari matriks invers? Anda harus bisa memutuskan kualifikasi. Anda harus memahami apa itu matriks dan dapat melakukan beberapa tindakan dengan mereka.
Ada dua metode utama untuk mencari matriks invers:
dengan menggunakan penjumlahan aljabar Dan menggunakan transformasi dasar.
Hari ini kita akan mempelajari metode pertama yang lebih sederhana.
Mari kita mulai dengan hal yang paling mengerikan dan tidak dapat dipahami. Mari kita pertimbangkan persegi matriks. Matriks invers dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut:
Dimana adalah determinan matriks, adalah matriks yang ditransposisikan dari komplemen aljabar dari elemen-elemen matriks yang bersesuaian.
Konsep matriks invers hanya ada untuk matriks persegi, matriks “dua per dua”, “tiga per tiga”, dll.
Sebutan: Seperti yang mungkin sudah Anda ketahui, matriks invers dilambangkan dengan superskrip
Mari kita mulai dengan kasus paling sederhana - matriks dua-dua. Paling sering, tentu saja, "tiga per tiga" diperlukan, namun demikian, saya sangat menyarankan mempelajari tugas yang lebih sederhana untuk memahami prinsip umum solusinya.
Contoh:
Temukan invers suatu matriks
Mari kita putuskan. Akan lebih mudah untuk menguraikan urutan tindakan poin demi poin.
1) Pertama kita mencari determinan matriksnya.
Jika pemahaman Anda tentang tindakan ini kurang baik, bacalah materinya Bagaimana cara menghitung determinannya?
Penting! Jika determinan matriksnya sama dengan NOL– matriks terbalik TIDAK ADA.
Dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, ternyata , yang artinya semuanya beres.
2) Temukan matriks anak di bawah umur.
Untuk mengatasi masalah kita tidak perlu mengetahui apa itu anak di bawah umur, namun disarankan untuk membaca artikelnya Cara menghitung determinan.
Matriks minor mempunyai dimensi yang sama dengan matriks, yaitu dalam hal ini.
Satu-satunya hal yang harus dilakukan adalah menemukan empat angka dan menempatkannya sebagai pengganti tanda bintang.
Mari kita kembali ke matriks kita
Mari kita lihat elemen kiri atas terlebih dahulu:
Bagaimana menemukannya minor?
Dan ini dilakukan seperti ini: SECARA MENTAL mencoret baris dan kolom di mana elemen ini berada:
Jumlah sisanya adalah kecil dari elemen ini, yang kami tulis dalam matriks anak di bawah umur:
Perhatikan elemen matriks berikut:
Coret secara mental baris dan kolom tempat elemen ini muncul:
Yang tersisa adalah minor dari elemen ini, yang kita tuliskan dalam matriks kita:
Demikian pula, kami mempertimbangkan elemen baris kedua dan menemukan minornya:
Siap.
Itu mudah. Dalam matriks anak di bawah umur yang Anda butuhkan TANDA PERUBAHAN dua angka:
Ini angka-angka yang saya lingkari!
– matriks komplemen aljabar dari elemen-elemen matriks yang bersesuaian.
Dan hanya...
4) Temukan matriks transposisi penjumlahan aljabar.
– matriks transposisi komplemen aljabar dari elemen-elemen matriks yang bersesuaian.
5) Jawaban.
Mari kita ingat rumus kita
Semuanya telah ditemukan!
Jadi matriks inversnya adalah: 
Lebih baik biarkan jawabannya apa adanya. TIDAK DIBUTUHKAN bagilah setiap elemen matriks dengan 2, karena hasilnya adalah bilangan pecahan. Nuansa ini dibahas lebih detail di artikel yang sama. Tindakan dengan matriks.
Bagaimana cara memeriksa solusinya?
Anda perlu melakukan perkalian matriks atau
Penyelidikan: 
Diterima sudah disebutkan matriks identitas adalah matriks dengan satuan per diagonal utama dan nol di tempat lain.
Dengan demikian, matriks invers ditemukan dengan benar.
Jika Anda melakukan tindakan tersebut, hasilnya juga akan menjadi matriks identitas. Ini adalah salah satu dari sedikit kasus di mana perkalian matriks bersifat komutatif, detail lebih lanjut dapat ditemukan di artikel Sifat-sifat operasi pada matriks. Ekspresi Matriks. Perhatikan juga bahwa selama pemeriksaan, konstanta (pecahan) dimajukan dan diproses di bagian paling akhir - setelah perkalian matriks. Ini adalah teknik standar.
Mari kita beralih ke kasus yang lebih umum dalam praktiknya - matriks tiga kali tiga:
Contoh:
Temukan invers suatu matriks 
Algoritmenya persis sama dengan kasus “dua per dua”.
Kita mencari matriks invers menggunakan rumus: , di mana adalah matriks transposisi komplemen aljabar dari elemen-elemen matriks yang bersesuaian.
1) Temukan determinan matriks.
Di sini determinannya terungkap di baris pertama.
Juga, jangan lupa itu, yang berarti semuanya baik-baik saja - matriks terbalik ada.
2) Temukan matriks anak di bawah umur.
Matriks anak di bawah umur mempunyai dimensi “tiga kali tiga” 
, dan kita perlu menemukan sembilan angka.
Saya akan melihat lebih dekat beberapa anak di bawah umur:
Perhatikan elemen matriks berikut: 
SECARA MENTAL coret baris dan kolom tempat elemen ini berada: 
Kami menulis empat angka yang tersisa dalam determinan “dua per dua”. 
Penentu dua-dua ini dan adalah minor dari elemen ini. Itu perlu dihitung: 
Selesai, minor sudah ditemukan, kita tuliskan di matriks minor kita: 
Seperti yang mungkin Anda duga, Anda perlu menghitung sembilan determinan dua-dua. Prosesnya, tentu saja, membosankan, tapi kasusnya bukan yang paling parah, malah bisa lebih buruk.
Nah, untuk mengkonsolidasikan – temukan anak di bawah umur lainnya di gambar: 
Cobalah untuk menghitung sendiri sisa anak di bawah umur.
Hasil akhir: 
– matriks minor dari elemen-elemen matriks yang bersesuaian.
Fakta bahwa semua anak di bawah umur ternyata negatif adalah murni kecelakaan.
3) Temukan matriks penjumlahan aljabar.
Dalam matriks anak di bawah umur itu perlu TANDA PERUBAHAN hanya untuk elemen berikut: 
Pada kasus ini:
Kami tidak mempertimbangkan untuk mencari matriks invers untuk matriks “empat kali empat”, karena tugas seperti itu hanya dapat diberikan oleh guru yang sadis (agar siswa menghitung satu determinan “empat kali empat” dan 16 determinan “tiga kali tiga” ). Dalam praktik saya, hanya ada satu kasus seperti itu, dan pelanggan tes membayar cukup mahal atas siksaan saya =).
Di sejumlah buku teks dan manual, Anda dapat menemukan pendekatan yang sedikit berbeda untuk mencari matriks invers, namun saya sarankan menggunakan algoritma solusi yang diuraikan di atas. Mengapa? Karena kemungkinan terjadinya kebingungan dalam perhitungan dan tanda jauh lebih kecil.
Metode mencari matriks invers, . Pertimbangkan matriks persegi
Mari kita nyatakan Δ =det A.
Matriks persegi A disebut tidak merosot, atau tidak spesial, jika determinannya bukan nol, dan merosot, atau spesial, JikaΔ = 0.
Matriks persegi B adalah untuk matriks persegi A berorde sama jika hasil kali kedua matriks tersebut adalah A B = B A = E, dimana E adalah matriks identitas yang berordo sama dengan matriks A dan B.
Dalil . Agar matriks A memiliki matriks invers, determinannya harus berbeda dari nol.
Matriks invers dari matriks A, dilambangkan dengan A- 1, jadi B = A - 1 dan dihitung dengan rumus
, (1)
dimana A i j adalah komplemen aljabar elemen a i j dari matriks A..
Menghitung A -1 menggunakan rumus (1) untuk matriks orde tinggi sangat memakan waktu, sehingga dalam praktiknya akan lebih mudah untuk mencari A -1 menggunakan metode transformasi elementer (ET). Matriks A yang tidak tunggal dapat direduksi menjadi matriks identitas E dengan menggunakan ED yang hanya terdiri dari kolom (atau baris saja). Jika ED yang disempurnakan pada matriks A diterapkan dengan urutan yang sama pada matriks identitas E, maka hasilnya adalah matriks terbalik. Lebih mudah untuk melakukan EP pada matriks A dan E secara bersamaan, menulis kedua matriks secara berdampingan melalui sebuah garis. Mari kita perhatikan sekali lagi bahwa ketika mencari bentuk kanonik suatu matriks, untuk menemukannya, Anda dapat menggunakan transformasi baris dan kolom. Jika Anda perlu mencari invers suatu matriks, Anda sebaiknya hanya menggunakan baris atau kolom saja selama proses transformasi.
Contoh 2.10. Untuk matriks 
temukan A -1 .
Larutan.Pertama kita cari determinan matriks A 
Artinya matriks inversnya ada dan dapat dicari dengan rumus: 
, dimana A i j (i,j=1,2,3) adalah penjumlahan aljabar elemen a i j dari matriks asal. 
Di mana 
.
Contoh 2.11. Dengan menggunakan metode transformasi elementer, carilah A -1 untuk matriks: A = .
Larutan.Kita menugaskan matriks asli di sebelah kanan sebuah matriks identitas dengan orde yang sama: 
. Dengan menggunakan transformasi dasar kolom, kita akan mereduksi “setengah” kiri menjadi satuan, sekaligus melakukan transformasi yang persis sama pada matriks kanan.
Untuk melakukan ini, tukar kolom pertama dan kedua: 
~
. Ke kolom ketiga kita tambahkan yang pertama, dan ke kolom kedua - yang pertama, dikalikan dengan -2: 
. Dari kolom pertama kita kurangi kolom kedua dua kali lipat, dan dari kolom ketiga - kolom kedua dikalikan 6; 
. Mari tambahkan kolom ketiga ke kolom pertama dan kedua: 
. Kalikan kolom terakhir dengan -1: 
. Matriks persegi yang diperoleh di sebelah kanan garis vertikal adalah matriks invers dari matriks A yang diberikan. Jadi,
.
Mirip dengan kebalikan di banyak properti.
YouTube ensiklopedis
1 / 5
✪ Cara mencari invers suatu matriks - bezbotvy
✪ Matriks terbalik (2 cara mencari)
✪ Matriks terbalik #1
✪ 28-01-2015. Matriks terbalik 3x3
✪ 27-01-2015. Matriks terbalik 2x2
Subtitle
Sifat-sifat matriks invers
- det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Di mana det (\displaystyle \\det ) menunjukkan determinannya.
- (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) untuk dua matriks persegi yang dapat dibalik A (\gaya tampilan A) Dan B (\gaya tampilan B).
- (AT) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Di mana (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) menunjukkan matriks yang ditransposisikan.
- (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) untuk koefisien apa pun k ≠ 0 (\displaystyle k\tidak =0).
- E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
- Jika perlu menyelesaikan sistem persamaan linier, (b adalah vektor bukan nol) di mana x (\gaya tampilan x) adalah vektor yang diinginkan, dan jika A − 1 (\gaya tampilan A^(-1)) ada, kalau begitu x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Jika tidak, maka dimensi ruang solusi lebih besar dari nol, atau tidak ada solusi sama sekali.
Metode untuk mencari matriks invers
Jika matriksnya dapat dibalik, maka untuk mencari matriks inversnya dapat menggunakan salah satu cara berikut:
Metode eksak (langsung).
Metode Gauss-Jordan
Mari kita ambil dua matriks: the A dan lajang E. Mari kita sajikan matriksnya A ke matriks identitas menggunakan metode Gauss-Jordan, menerapkan transformasi sepanjang baris (Anda juga dapat menerapkan transformasi sepanjang kolom, tetapi tidak dicampur). Setelah menerapkan setiap operasi pada matriks pertama, terapkan operasi yang sama pada matriks kedua. Ketika reduksi matriks pertama menjadi bentuk satuan selesai, matriks kedua akan sama dengan SEBUAH−1.
Bila menggunakan metode Gaussian, matriks pertama akan dikalikan di sebelah kiri dengan salah satu matriks elementer Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(matriks transveksi atau diagonal dengan matriks pada diagonal utama, kecuali satu posisi):
Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Panah Kanan \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / am m 0 … 0 … 0 … 1 − am − 1 m / am + 1 m / am m 1 … 0 … 0 … 0 − an m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\titik &&&\\0&\titik &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\titik &0\\0&\titik &0&1/a_(mm)&0&\titik &0\\0&\titik &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\titik &0\\&&&\titik &&&\\0&\titik &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\titik &1\end(bmatrix))).Matriks kedua setelah menerapkan semua operasi akan sama dengan Λ (\displaystyle \Lambda), yaitu, itu akan menjadi yang diinginkan. Kompleksitas algoritma - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).
Menggunakan matriks komplemen aljabar
Matriks kebalikan dari matriks A (\gaya tampilan A), dapat direpresentasikan dalam bentuk
A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))
Di mana adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- matriks adjoin;
Kompleksitas algoritma bergantung pada kompleksitas algoritma untuk menghitung determinan O det dan sama dengan O(n²)·O det.
Menggunakan Dekomposisi LU/LUP
Persamaan matriks A X = Saya n (\displaystyle AX=I_(n)) untuk matriks invers X (\gaya tampilan X) dapat dianggap sebagai koleksi n (\gaya tampilan n) sistem formulir A x = b (\gaya tampilan Ax=b). Mari kita tunjukkan saya (\gaya tampilan i) kolom matriks X (\gaya tampilan X) melalui X saya (\gaya tampilan X_(i)); Kemudian A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ltitik ,n),karena saya (\gaya tampilan i) kolom matriks Saya n (\displaystyle I_(n)) adalah vektor satuan e i (\displaystyle e_(i)). dengan kata lain, mencari matriks invers berarti menyelesaikan n persamaan dengan matriks yang sama dan ruas kanan yang berbeda. Setelah melakukan dekomposisi LUP (waktu O(n³), menyelesaikan masing-masing n persamaan membutuhkan waktu O(n²), sehingga bagian pekerjaan ini juga memerlukan waktu O(n³).
Jika matriks A nonsingular, maka dekomposisi LUP dapat dihitung PA = LU (\displaystyle PA=LU). Membiarkan PA = B (\gaya tampilan PA=B), B − 1 = D (\gaya tampilan B^(-1)=D). Kemudian dari sifat-sifat matriks invers kita dapat menulis: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Jika Anda mengalikan persamaan ini dengan U dan L, Anda akan mendapatkan dua persamaan bentuk UD = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) Dan D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Persamaan pertama adalah sistem persamaan linier n² untuk n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) yang sisi kanannya diketahui (dari sifat-sifat matriks segitiga). Yang kedua juga mewakili sistem persamaan linear n² untuk n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) yang diketahui sisi kanannya (juga dari sifat-sifat matriks segitiga). Bersama-sama mereka mewakili sistem persamaan n². Dengan menggunakan persamaan tersebut, kita dapat menentukan secara rekursif seluruh n² elemen matriks D. Kemudian dari persamaan (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. kita memperoleh persamaan tersebut A − 1 = DP (\displaystyle A^(-1)=DP).
Dalam hal menggunakan dekomposisi LU, permutasi kolom matriks D tidak diperlukan, tetapi solusinya mungkin berbeda meskipun matriks A non-singular.
Kompleksitas algoritmanya adalah O(n³).
Metode berulang
metode Schultz
( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\jumlah _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(kasus)))
Perkiraan kesalahan
Memilih Pendekatan Awal
Masalah pemilihan perkiraan awal dalam proses inversi matriks berulang yang dipertimbangkan di sini tidak memungkinkan kita untuk memperlakukannya sebagai metode universal independen yang bersaing dengan metode inversi langsung, misalnya, berdasarkan dekomposisi matriks LU. Ada beberapa rekomendasi untuk memilih kamu 0 (\gaya tampilan U_(0)), memastikan terpenuhinya kondisi ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (jari-jari spektral matriks kurang dari satu), yang diperlukan dan cukup untuk konvergensi proses. Namun dalam hal ini, pertama-tama perlu diketahui dari atas estimasi spektrum matriks A atau matriks yang dapat dibalik. AT (\displaystyle AA^(T))(yaitu, jika A adalah matriks definit positif simetris dan ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), lalu kamu bisa mengambilnya kamu 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Di mana ; jika A adalah matriks non-tunggal sembarang dan ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), lalu mereka percaya U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), dimana juga α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \di \kiri(0,(\frac (2)(\beta ))\kanan)); Anda tentu saja dapat menyederhanakan situasi dan memanfaatkan fakta tersebut ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), meletakkan U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Kedua, ketika menentukan matriks awal dengan cara ini, tidak ada jaminan bahwa ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) akan menjadi kecil (bahkan mungkin akan menjadi kecil ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), dan tingkat konvergensi tingkat tinggi tidak akan segera terungkap.
Contoh
Matriks 2x2
A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] . (\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(iklan- bc))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).)Inversi matriks 2x2 hanya dimungkinkan jika a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).
Biasanya, operasi invers digunakan untuk menyederhanakan ekspresi aljabar kompleks. Misalnya, jika soal melibatkan operasi pembagian dengan pecahan, Anda dapat menggantinya dengan operasi perkalian dengan kebalikan pecahan, yaitu operasi kebalikannya. Selain itu, matriks tidak dapat dibagi, sehingga perlu dikalikan dengan matriks inversnya. Menghitung invers matriks 3x3 cukup melelahkan, namun Anda harus bisa melakukannya secara manual. Anda juga dapat mencari kebalikannya menggunakan kalkulator grafik yang bagus.
Langkah
Menggunakan matriks adjoin
Ubah urutan matriks asli. Transposisi adalah penggantian baris dengan kolom relatif terhadap diagonal utama matriks, yaitu Anda perlu menukar elemen (i,j) dan (j,i). Dalam hal ini, elemen diagonal utama (dimulai di pojok kiri atas dan berakhir di pojok kanan bawah) tidak berubah.
- Untuk mengubah baris menjadi kolom, tuliskan elemen baris pertama pada kolom pertama, elemen baris kedua pada kolom kedua, dan elemen baris ketiga pada kolom ketiga. Urutan perubahan posisi unsur-unsur ditunjukkan pada gambar, di mana unsur-unsur yang bersesuaian dilingkari dengan lingkaran berwarna.
Temukan definisi setiap matriks 2x2. Setiap elemen matriks apa pun, termasuk elemen yang ditransposisikan, dikaitkan dengan matriks 2x2 yang bersesuaian. Untuk menemukan matriks 2x2 yang bersesuaian dengan elemen tertentu, coretlah baris dan kolom tempat elemen tersebut berada, yaitu, Anda perlu mencoret lima elemen dari matriks 3x3 asli. Empat elemen akan tetap tidak bersilangan, yang merupakan elemen dari matriks 2x2 yang bersesuaian.
- Misalnya, untuk mencari matriks 2x2 untuk elemen yang terletak pada perpotongan baris kedua dan kolom pertama, coretlah kelima elemen yang terletak pada baris kedua dan kolom pertama. Empat elemen sisanya merupakan elemen matriks 2x2 yang bersesuaian.
- Tentukan determinan setiap matriks 2x2. Caranya, kurangi hasil kali elemen diagonal sekunder dari hasil kali elemen diagonal utama (lihat gambar).
- Informasi rinci tentang matriks 2x2 yang bersesuaian dengan elemen tertentu dari matriks 3x3 dapat ditemukan di Internet.
Buat matriks kofaktor. Tuliskan hasil yang diperoleh sebelumnya dalam bentuk matriks kofaktor baru. Untuk melakukannya, tuliskan determinan yang ditemukan dari setiap matriks 2x2 di mana elemen yang bersesuaian dari matriks 3x3 berada. Misalnya, jika Anda mempertimbangkan matriks 2x2 untuk elemen (1,1), tuliskan determinannya di posisi (1,1). Kemudian ubah tanda-tanda unsur yang bersesuaian menurut skema tertentu, seperti yang ditunjukkan pada gambar.
- Skema perubahan tanda: tanda elemen pertama baris pertama tidak berubah; tanda elemen kedua baris pertama dibalik; tanda unsur ketiga baris pertama tidak berubah, begitu seterusnya baris demi baris. Harap dicatat bahwa tanda “+” dan “-” yang ditunjukkan pada diagram (lihat gambar) tidak menunjukkan bahwa elemen yang bersangkutan akan positif atau negatif. Dalam hal ini, tanda “+” menunjukkan bahwa tanda suatu unsur tidak berubah, dan tanda “-” menunjukkan adanya perubahan tanda unsur tersebut.
- Informasi rinci tentang matriks kofaktor dapat ditemukan di Internet.
- Dengan cara ini Anda akan menemukan matriks adjoint dari matriks asli. Kadang-kadang disebut matriks konjugasi kompleks. Matriks seperti itu dilambangkan dengan adj(M).
Bagilah setiap elemen matriks adjoin dengan determinannya. Penentu matriks M dihitung di awal untuk memeriksa keberadaan matriks invers. Sekarang bagilah setiap elemen matriks adjoint dengan determinan ini. Tuliskan hasil setiap operasi pembagian di mana elemen yang bersesuaian berada. Dengan cara ini Anda akan menemukan matriks yang invers dengan matriks aslinya.
- Penentu matriks yang ditunjukkan pada gambar adalah 1. Jadi, matriks adjoin di sini adalah matriks invers (karena suatu bilangan tidak berubah jika dibagi 1).
- Di beberapa sumber, operasi pembagian digantikan dengan operasi perkalian dengan 1/det(M). Namun hasil akhirnya tidak berubah.
Tulis matriks inversnya. Tulislah unsur-unsur yang terletak di sebelah kanan matriks besar sebagai matriks tersendiri, yaitu matriks invers.
Masukkan matriks asli ke dalam memori kalkulator. Untuk melakukan ini, klik tombol Matriks, jika tersedia. Untuk kalkulator Texas Instruments, Anda mungkin perlu menekan tombol ke-2 dan Matriks.
Pilih menu Sunting. Lakukan ini dengan menggunakan tombol panah atau tombol fungsi yang sesuai yang terletak di bagian atas keyboard kalkulator (letak tombol bervariasi tergantung model kalkulator).
Masukkan notasi matriks. Kebanyakan kalkulator grafis dapat bekerja dengan 3-10 matriks, yang dapat dilambangkan dengan huruf A-J. Biasanya, cukup pilih [A] untuk menentukan matriks asli. Kemudian tekan tombol Enter.
Masukkan ukuran matriks. Artikel ini membahas tentang matriks 3x3. Tetapi kalkulator grafis dapat bekerja dengan matriks yang besar. Masukkan jumlah baris, tekan Enter, lalu masukkan jumlah kolom dan tekan Enter lagi.
Masukkan setiap elemen matriks. Sebuah matriks akan ditampilkan pada layar kalkulator. Jika sebelumnya Anda telah memasukkan matriks ke dalam kalkulator, matriks tersebut akan muncul di layar. Kursor akan menyorot elemen pertama matriks. Masukkan nilai untuk elemen pertama dan tekan Enter. Kursor secara otomatis akan berpindah ke elemen matriks berikutnya.
Matriks $A^(-1)$ disebut invers matriks persegi $A$ jika kondisi $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ terpenuhi, dimana $E$ adalah matriks identitas yang ordenya sama dengan orde matriks $A$.
Matriks tak tunggal adalah matriks yang determinannya tidak sama dengan nol. Dengan demikian, matriks singular adalah matriks yang determinannya sama dengan nol.
Matriks invers $A^(-1)$ ada jika dan hanya jika matriks $A$ non-singular. Jika matriks invers $A^(-1)$ ada, maka matriks tersebut unik.
Ada beberapa cara untuk mencari invers suatu matriks, dan kita akan melihat dua di antaranya. Halaman ini akan membahas metode matriks adjoin, yang dianggap standar di sebagian besar mata kuliah matematika tingkat tinggi. Metode kedua untuk mencari matriks invers (metode transformasi elementer), yaitu menggunakan metode Gauss atau metode Gauss-Jordan, dibahas pada bagian kedua.
Metode matriks adjoin
Biarkan matriks $A_(n\times n)$ diberikan. Untuk mencari matriks invers $A^(-1)$, diperlukan tiga langkah:
- Temukan determinan matriks $A$ dan pastikan bahwa $\Delta A\neq 0$, mis. bahwa matriks A adalah non-singular.
- Buatlah komplemen aljabar $A_(ij)$ dari setiap elemen matriks $A$ dan tuliskan matriks $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ dari hasil aljabar yang ditemukan pelengkap.
- Tulis matriks invers dengan menggunakan rumus $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.
Matriks $(A^(*))^T$ sering disebut adjoint (timbal balik, bersekutu) dengan matriks $A$.
Jika penyelesaiannya dilakukan secara manual, maka cara pertama hanya baik untuk matriks dengan orde yang relatif kecil: kedua (), ketiga (), keempat (). Untuk mencari invers matriks orde tinggi, digunakan metode lain. Misalnya metode Gaussian yang dibahas pada bagian kedua.
Contoh No.1
Cari invers dari matriks $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 & - 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \kanan)$.
Karena semua elemen kolom keempat sama dengan nol, maka $\Delta A=0$ (yaitu matriks $A$ berbentuk tunggal). Karena $\Delta A=0$, tidak ada matriks invers ke matriks $A$.
Contoh No.2
Cari invers dari matriks $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.
Kami menggunakan metode matriks adjoin. Pertama, cari determinan matriks $A$:
$$ \Delta A=\kiri| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$
Karena $\Delta A \neq 0$, maka matriks inversnya ada, oleh karena itu kita akan melanjutkan penyelesaiannya. Menemukan komplemen aljabar
\mulai(sejajar) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(sejajar)
Kita membuat matriks penjumlahan aljabar: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.
Kita transposisi matriks yang dihasilkan: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the matriks yang dihasilkan sering disebut matriks adjoint atau sekutu terhadap matriks $A$). Dengan menggunakan rumus $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, kita mendapatkan:
$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \kiri(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\kanan) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$
Jadi, matriks inversnya ditemukan: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\kanan) $. Untuk memeriksa kebenaran hasilnya, cukup dengan memeriksa kebenaran salah satu persamaan: $A^(-1)\cdot A=E$ atau $A\cdot A^(-1)=E$. Mari kita periksa persamaan $A^(-1)\cdot A=E$. Agar lebih sedikit mengerjakan pecahan, kita akan mengganti matriks $A^(-1)$ bukan dalam bentuk $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$, dan dalam bentuk $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array )\kanan)$:
Menjawab: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.
Contoh No.3
Carilah matriks invers dari matriks tersebut $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ .
Mari kita mulai dengan menghitung determinan matriks $A$. Jadi, determinan matriks $A$ adalah:
$$ \Delta A=\kiri| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \kan| = 18-36+56-12=26. $$
Karena $\Delta A\neq 0$, maka matriks inversnya ada, oleh karena itu kita akan melanjutkan penyelesaiannya. Kami menemukan komplemen aljabar dari setiap elemen matriks tertentu:
Kami membuat matriks penjumlahan aljabar dan mengubah urutannya:
$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \kanan); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \kanan) $$
Dengan menggunakan rumus $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, kita mendapatkan:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \kiri(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \kanan)= \kiri(\begin(array) (ccc) 13/3 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \kanan) $$
Jadi $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 13/3 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \kanan)$. Untuk memeriksa kebenaran hasilnya, cukup dengan memeriksa kebenaran salah satu persamaan: $A^(-1)\cdot A=E$ atau $A\cdot A^(-1)=E$. Mari kita periksa persamaan $A\cdot A^(-1)=E$. Agar lebih sedikit mengerjakan pecahan, kita akan mensubstitusi matriks $A^(-1)$ bukan dalam bentuk $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, dan dalam bentuk $\frac(1)(26 )\cdot \kiri( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \kanan)$:
Pengecekan berhasil, matriks invers $A^(-1)$ ditemukan dengan benar.
Menjawab: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 13/3 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \kanan)$.
Contoh No.4
Mencari invers matriks dari matriks $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \kanan)$.
Untuk matriks orde keempat, mencari matriks invers menggunakan penjumlahan aljabar agak sulit. Namun, contoh seperti itu memang terjadi di kertas ujian.
Untuk mencari invers suatu matriks, pertama-tama Anda perlu menghitung determinan matriks $A$. Cara terbaik untuk melakukan hal ini dalam situasi ini adalah dengan memperluas determinan sepanjang baris (kolom). Kami memilih baris atau kolom mana pun dan menemukan komplemen aljabar dari setiap elemen baris atau kolom yang dipilih.
