Katakanlah Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Selama waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari sejauh ini, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Ketika Achilles berlari seratus langkah, kura-kura merangkak sepuluh langkah lagi, dan seterusnya. Prosesnya akan terus berlanjut tanpa batas, Achilles tidak akan pernah bisa mengejar kura-kura.
Alasan ini menjadi kejutan logis bagi semua generasi berikutnya. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Mereka semua menganggap aporia Zeno dalam satu atau lain cara. Guncangannya begitu kuat sehingga " ...diskusi terus berlanjut hingga saat ini, untuk mencapai konsensus mengenai hakikat paradoks Komunitas ilmiah sejauh ini belum mungkin... mereka dilibatkan dalam kajian masalah tersebut analisis matematis, teori himpunan, pendekatan fisik dan filosofis baru; tidak satupun dari mereka menjadi solusi yang diterima secara umum untuk masalah ini..."[Wikipedia," Zeno's Aporia ". Semua orang mengerti bahwa mereka sedang dibodohi, tapi tidak ada yang mengerti apa isi penipuan itu.
Dari sudut pandang matematika, Zeno dalam aporianya dengan jelas menunjukkan transisi dari kuantitas ke kuantitas. Transisi ini menyiratkan penerapan, bukan penerapan permanen. Sejauh yang saya mengerti, peralatan matematika Penggunaan satuan pengukuran variabel belum dikembangkan atau belum diterapkan pada aporia Zeno. Menerapkan logika biasa membawa kita ke dalam jebakan. Karena kelembaman berpikir, kita menerapkan satuan waktu yang konstan pada nilai timbal balik. DENGAN titik fisik Dari sudut pandang, sepertinya waktu melambat hingga berhenti sepenuhnya pada saat Achilles menyusul penyu tersebut. Jika waktu berhenti, Achilles tidak bisa lagi berlari lebih cepat dari kura-kura.
Jika kita membalikkan logika kita yang biasa, semuanya akan beres. Achilles berlari dengan kecepatan konstan. Setiap segmen jalur berikutnya sepuluh kali lebih pendek dari segmen sebelumnya. Oleh karena itu, waktu yang dibutuhkan untuk mengatasinya sepuluh kali lebih sedikit dibandingkan waktu sebelumnya. Jika kita menerapkan konsep “tak terhingga” dalam situasi ini, maka benar jika dikatakan “Achilles akan menyusul penyu dengan sangat cepat.”
Bagaimana cara menghindari jebakan logis ini? Tetap dalam satuan waktu yang konstan dan jangan melompat ke sana timbal balik. Dalam bahasa Zeno tampilannya seperti ini:
Dalam waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Selama selang waktu berikutnya yang sama dengan waktu pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Sekarang Achilles berada delapan ratus langkah di depan kura-kura.
Pendekatan ini cukup menggambarkan realitas tanpa adanya paradoks logis. Tapi ternyata tidak solusi lengkap Masalah. Pernyataan Einstein tentang kecepatan cahaya yang tak tertahankan sangat mirip dengan aporia Zeno “Achilles and the Tortoise”. Kita masih harus mempelajari, memikirkan kembali dan menyelesaikan masalah ini. Dan solusinya harus dicari bukan dalam jumlah yang sangat besar, namun dalam satuan pengukuran.
Aporia menarik lainnya dari Zeno menceritakan tentang panah terbang:
Anak panah yang terbang tidak bergerak, karena ia diam pada setiap saat, dan karena ia diam pada setiap saat, maka ia selalu diam.
Di aporia ini paradoks logis hal ini dapat diatasi dengan sangat sederhana - cukup dengan memperjelas bahwa pada setiap momen waktu sebuah panah terbang diam di berbagai titik di ruang angkasa, yang sebenarnya adalah gerak. Hal lain yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu foto sebuah mobil di jalan raya, tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan apakah sebuah mobil sedang bergerak, Anda memerlukan dua foto yang diambil dari titik yang sama pada titik waktu yang berbeda, tetapi Anda tidak dapat menentukan jarak dari keduanya. Untuk menentukan jarak ke mobil, Anda memerlukan dua foto yang diambil poin yang berbeda ruang pada satu titik waktu, tetapi tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakan darinya (tentu saja, data tambahan masih diperlukan untuk perhitungan, trigonometri akan membantu Anda). Apa yang ingin saya tunjukkan Perhatian khusus, apakah dua titik dalam waktu dan dua titik dalam ruang merupakan hal yang berbeda sehingga tidak boleh tertukar, karena memberikan peluang penelitian yang berbeda.
Rabu, 4 Juli 2018
Perbedaan antara himpunan dan multiset dijelaskan dengan sangat baik di Wikipedia. Mari kita lihat.
Seperti yang Anda lihat, “tidak mungkin ada dua elemen yang identik dalam satu himpunan”, tetapi jika ada elemen yang identik dalam suatu himpunan, himpunan tersebut disebut “multiset”. Logika yang tidak masuk akal makhluk hidup tidak pernah mengerti. Ini adalah level burung beo yang bisa berbicara dan monyet terlatih, yang tidak memiliki kecerdasan dari kata “sepenuhnya”. Matematikawan bertindak sebagai pelatih biasa, mengajarkan kepada kita ide-ide absurd mereka.
Suatu ketika, para insinyur yang membangun jembatan berada di perahu di bawah jembatan saat menguji jembatan tersebut. Jika jembatan itu runtuh, insinyur biasa-biasa saja itu mati di bawah reruntuhan ciptaannya. Jika jembatan itu mampu menahan beban, insinyur berbakat itu membangun jembatan lain.
Tidak peduli bagaimana ahli matematika bersembunyi di balik ungkapan “ingatlah, saya ada di rumah”, atau lebih tepatnya “studi matematika konsep abstrak", ada satu tali pusar yang menghubungkan mereka dengan kenyataan. Tali pusar ini adalah uang. Terapkan teori matematika ditetapkan kepada ahli matematika itu sendiri.
Kami belajar matematika dengan sangat baik dan sekarang kami duduk di depan kasir, membagikan gaji. Jadi seorang ahli matematika datang kepada kita untuk mendapatkan uangnya. Kami menghitung seluruh jumlah kepadanya dan menaruhnya di meja kami dalam tumpukan yang berbeda, di mana kami menaruh uang kertas dengan denominasi yang sama. Kemudian kami mengambil satu lembar uang dari setiap tumpukan dan menyerahkannya kepada ahli matematika" himpunan matematika gaji." Kami menjelaskan kepada ahli matematika bahwa dia akan menerima sisa tagihan hanya jika dia membuktikan bahwa himpunan tanpa elemen identik tidak sama dengan himpunan dengan elemen identik. Di sinilah kesenangan dimulai.
Pertama-tama, logika para deputi akan berhasil: “Ini bisa diterapkan pada orang lain, tapi tidak pada saya!” Kemudian mereka akan mulai meyakinkan kita bahwa uang kertas pecahan yang sama mempunyai nomor uang kertas yang berbeda, yang berarti tidak dapat dianggap sebagai unsur yang sama. Oke, mari kita hitung gaji dalam koin - tidak ada angka pada koin tersebut. Di sini ahli matematika akan mulai mengingat fisika dengan panik: ada koin yang berbeda jumlah yang berbeda kotoran, struktur kristal dan susunan atom setiap koin unik...
Dan sekarang saya memiliki yang paling banyak minat Tanya: di manakah garis yang diluarnya unsur-unsur suatu himpunan banyak berubah menjadi unsur-unsur suatu himpunan dan sebaliknya? Garis seperti itu tidak ada - semuanya diputuskan oleh dukun, sains bahkan tidak bisa berbohong di sini.
Lihat disini. Kami memilih stadion sepak bola dari daerah yang sama bidang. Luas bidangnya sama - artinya kita memiliki multiset. Tapi kalau kita lihat nama-nama stadion yang sama ini, kita mendapat banyak, karena namanya berbeda. Seperti yang Anda lihat, himpunan elemen yang sama merupakan himpunan dan multiset. Yang mana yang benar? Dan di sini ahli matematika-dukun-tajam mengeluarkan kartu as dari lengan bajunya dan mulai memberi tahu kita tentang himpunan atau multiset. Bagaimanapun, dia akan meyakinkan kita bahwa dia benar.
Untuk memahami bagaimana dukun modern beroperasi dengan teori himpunan, menghubungkannya dengan kenyataan, cukup menjawab satu pertanyaan: apa perbedaan unsur-unsur suatu himpunan dengan unsur-unsur himpunan lainnya? Saya akan menunjukkan kepada Anda, tanpa "yang dapat dibayangkan sebagai bukan satu kesatuan" atau "tidak dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan".
Minggu, 18 Maret 2018
Penjumlahan angka-angka suatu bilangan merupakan tarian dukun dengan rebana, yang tidak ada hubungannya dengan matematika. Ya, dalam pelajaran matematika kita diajarkan untuk mencari jumlah digit suatu bilangan dan menggunakannya, tapi itulah mengapa mereka menjadi dukun, untuk mengajari keturunannya keterampilan dan kebijaksanaannya, jika tidak, dukun akan mati begitu saja.
Apakah Anda memerlukan bukti? Buka Wikipedia dan coba temukan halaman "Jumlah digit suatu bilangan". Dia tidak ada. Tidak ada rumus dalam matematika yang dapat digunakan untuk mencari jumlah digit suatu bilangan. Bagaimanapun, angka memang demikian simbol grafis, yang dengannya kita menulis angka-angka, dan dalam bahasa matematika, tugasnya adalah sebagai berikut: "Temukan jumlah simbol grafik yang mewakili angka apa pun." Matematikawan tidak bisa memecahkan masalah ini, tapi dukun bisa menyelesaikannya dengan mudah.
Mari kita cari tahu apa dan bagaimana yang kita lakukan untuk mencari jumlah bilangan nomor yang diberikan. Jadi, mari kita punya bilangan 12345. Apa yang perlu dilakukan untuk mencari jumlah angka-angka dari bilangan tersebut? Mari kita pertimbangkan semua langkah secara berurutan.
1. Tuliskan nomor tersebut pada selembar kertas. Apa yang telah kita lakukan? Kami telah mengubah angka tersebut menjadi simbol angka grafis. Ini bukan operasi matematika.
2. Kami memotong satu gambar yang dihasilkan menjadi beberapa gambar yang berisi nomor individual. Memotong gambar bukanlah operasi matematika.
3. Ubah simbol grafik individual menjadi angka. Ini bukan operasi matematika.
4. Jumlahkan angka yang dihasilkan. Sekarang ini adalah matematika.
Jumlah angka 12345 adalah 15. Inilah “kursus memotong dan menjahit” dari dukun yang digunakan para ahli matematika. Tapi itu belum semuanya.
Dari sudut pandang matematika, tidak masalah dalam sistem bilangan mana kita menulis suatu bilangan. Jadi, di sistem yang berbeda Dalam kalkulus, jumlah angka-angka suatu bilangan yang sama akan berbeda. Dalam matematika, sistem bilangan ditunjukkan sebagai subskrip di sebelah kanan bilangan. DENGAN jumlah yang besar 12345 Gak mau membodohi kepalaku, mari kita lihat nomor 26 dari artikel tentang . Mari kita tuliskan bilangan ini dalam sistem bilangan biner, oktal, desimal, dan heksadesimal. Kami tidak akan melihat setiap langkah di bawah mikroskop; kami telah melakukannya. Mari kita lihat hasilnya.
Seperti yang Anda lihat, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah angka-angka dari bilangan yang sama berbeda. Hasil ini tidak ada hubungannya dengan matematika. Sama halnya jika Anda menentukan luas persegi panjang dalam meter dan sentimeter, Anda akan mendapatkan hasil yang sangat berbeda.
Nol terlihat sama di semua sistem bilangan dan tidak memiliki jumlah digit. Ini adalah argumen lain yang mendukung fakta itu. Pertanyaan untuk ahli matematika: bagaimana sesuatu yang bukan bilangan dinyatakan dalam matematika? Apa, bagi ahli matematika, tidak ada yang ada kecuali angka? Saya mengizinkan hal ini terjadi pada dukun, tetapi tidak pada ilmuwan. Realitas bukan hanya soal angka.
Hasil yang diperoleh harus dianggap sebagai bukti bahwa sistem bilangan adalah satuan ukuran bilangan. Bagaimanapun, kita tidak bisa membandingkan angka dengan unit yang berbeda pengukuran. Jika tindakan yang sama dengan satuan pengukuran yang berbeda dari besaran yang sama menghasilkan hasil yang berbeda setelah membandingkannya, maka ini tidak ada hubungannya dengan matematika.
Apa itu matematika sebenarnya? Inilah hasilnya operasi matematika tidak bergantung pada besar kecilnya angka, satuan ukuran yang digunakan dan siapa yang melakukan tindakan tersebut.
Oh! Bukankah ini toilet wanita?
- Wanita muda! Ini adalah laboratorium untuk mempelajari kekudusan jiwa-jiwa selama kenaikan mereka ke surga! Halo di atas dan panah ke atas. Toilet apa lagi?
Perempuan... Lingkaran cahaya di atas dan panah di bawah adalah laki-laki.
Jika karya seni desain seperti itu muncul di depan mata Anda beberapa kali sehari,
Maka tidak mengherankan jika Anda tiba-tiba menemukan ikon aneh di mobil Anda:
Saya pribadi berusaha melihat minus empat derajat pada orang yang buang air besar (satu gambar) (komposisi beberapa gambar: tanda minus, angka empat, sebutan derajat). Dan menurutku gadis ini tidak bodoh, tidak berpengetahuan luas di bidang fisika. Dia hanya memiliki stereotip persepsi yang tinggi gambar grafis. Dan para ahli matematika selalu mengajari kita hal ini. Berikut ini contohnya.
1A bukan “minus empat derajat” atau “satu a”. Ini adalah "pooping man" atau angka "dua puluh enam" dalam notasi heksadesimal. Orang-orang yang terus-menerus bekerja dalam sistem bilangan ini secara otomatis menganggap angka dan huruf sebagai satu simbol grafis.
Di kelas aljabar, guru memberi tahu kita bahwa ada kelas kecil (sebenarnya sangat besar). persamaan trigonometri, yang tidak dapat diselesaikan dengan metode standar - baik melalui faktorisasi, atau melalui perubahan variabel, atau bahkan melalui suku-suku homogen. Dalam hal ini, pendekatan yang berbeda secara fundamental berperan - metodenya sudut bantu.
Apa metode ini dan bagaimana cara menerapkannya? Pertama, mari kita ingat rumus sinus jumlah/selisih dan kosinus jumlah/selisih:
\[\begin(align)& \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\& \cos \left(\ alpha \pm \beta \kanan)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\end(sejajarkan)\]
Saya pikir rumus-rumus ini sudah Anda ketahui - rumus-rumus argumen ganda diturunkan darinya, yang tanpanya tidak ada tempat dalam trigonometri. Tapi sekarang mari kita lihat persamaan sederhananya:
Bagilah kedua ruas dengan 5:
Perhatikan bahwa $((\left(\frac(3)(5) \right))^(2))+((\left(\frac(4)(5) \right))^(2))= 1 $, artinya pasti ada sudut $\alpha $ yang masing-masing bilangannya adalah cosinus dan sinus. Oleh karena itu, persamaan kita akan ditulis ulang sebagai berikut:
\[\begin(align)& \cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x=1 \\& \sin \left(\alpha +x \right)=1 \\\end(align)\]
Dan ini sudah mudah diselesaikan, setelah itu yang tersisa hanyalah mencari tahu alasannya sama dengan sudutnya$\alfa$. Cara mengetahuinya, dan juga cara memilih bilangan yang benar untuk membagi kedua ruas persamaan (dalam hal ini contoh sederhana kami membaginya dengan 5) - tentang ini dalam video pelajaran hari ini:
Hari ini kita akan menganalisis penyelesaian persamaan trigonometri, atau lebih tepatnya, teknik tunggal yang disebut “metode sudut bantu”. Mengapa metode ini? Hanya karena selama dua atau tiga hari terakhir, ketika saya sedang mengajar siswa yang saya ceritakan tentang penyelesaian persamaan trigonometri, dan kami sedang mempertimbangkan, antara lain, metode sudut bantu, dan semua siswa, sebagai satu kesatuan, melakukan kesalahan yang sama. . Namun metode ini umumnya sederhana dan terlebih lagi merupakan salah satu teknik utama dalam trigonometri. Oleh karena itu banyak masalah trigonometri mereka tidak dapat diselesaikan sama sekali kecuali dengan metode sudut bantu.
Oleh karena itu, sekarang, pertama-tama, kita akan melihat beberapa tugas sederhana, dan kemudian kita akan beralih ke tugas yang lebih serius. Namun, semua ini dengan satu atau lain cara mengharuskan kita menggunakan metode sudut bantu, yang intinya akan saya ceritakan pada desain pertama.
Memecahkan masalah trigonometri sederhana
Contoh No.1
\[\cos 2x=\sqrt(3)\sin 2x-1\]
Mari kita ubah sedikit ekspresi kita:
\[\cos 2x-\sqrt(3)\sin 2x=-1\kiri| \kiri(-1 \kanan) \kanan.\]
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=1\]
Bagaimana kita mengatasinya? Trik standarnya adalah menyelesaikan $\sin 2x$ dan $\cos 2x$ menggunakan rumus sudut ganda, lalu tulis ulang satuannya menjadi $((\sin )^(2))x((\cos )^(2))x$, dapatkan persamaan homogen, singgung dan selesaikan. Namun, ini adalah jalan yang panjang dan membosankan serta memerlukan banyak perhitungan.
Saya sarankan Anda memikirkan hal ini. Kita punya $\sin$ dan $\cos$. Mari kita ingat kembali rumus cosinus dan sinus jumlah dan selisih:
\[\sin \kiri(\alpha \pm \beta \kanan)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \]
\[\cos \kiri(\alpha +\beta \kanan)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \]
\[\cos \kiri(\alpha -\beta \kanan)=\cos a\cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \]
Mari kita kembali ke contoh kita. Mari kita turunkan semuanya menjadi sinus perbedaan. Namun pertama-tama, persamaan tersebut perlu diubah sedikit. Mari kita cari koefisiennya:
$\sqrt(l)$ adalah koefisien yang diperlukan untuk membagi kedua ruas persamaan sehingga sebelum sinus dan cosinus muncul bilangan-bilangan yang merupakan sinus dan cosinus. Mari kita bagi:
\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]
Mari kita lihat apa yang kita dapatkan di sebelah kiri: apakah ada $\sin $ dan $\cos $ sehingga $\cos \alpha =\frac(\sqrt(3))(2)$ dan $\sin \alpha =\frac(1)(2)$? Jelas ada: $\alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$. Oleh karena itu kita dapat menulis ulang ekspresi kita sebagai berikut:
\[\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \sin 2x-\sin \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\teks( ))(\teks(6))\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]
\[\sin 2x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))-\cos 2x\cdot \sin \frac(\ teks( )\!\!\pi\!\!\teks( ))(\teks(6))=\frac(1)(2)\]
Sekarang kita mempunyai rumus sinus selisih. Kita bisa menulis seperti ini:
\[\sin \left(2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6)) \right)=\frac(1)(2) \]
Di sini kita memiliki konstruksi trigonometri klasik paling sederhana. Izinkan saya mengingatkan Anda:
Kami akan menuliskannya untuk ekspresi spesifik kami:
\[\kiri[ \begin(align)& 2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(6)=2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\text( ))(\text(6))=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(\text(6))+2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(sejajarkan) \kanan.\ ]
\[\kiri[ \begin(align)& 2x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\pi \!\!\teks( )n \\& 2x=\teks( )\!\!\pi\!\!\teks( )+2\teks( )\!\!\pi\!\!\teks ( )n \\\end(sejajarkan) \kanan.\]
\[\kiri[ \begin(align)& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+\text( )\!\!\pi\ !\!\teks( )n \\& x=\frac(\teks( )\!\!\pi\!\!\teks( ))(2)+\teks( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\\end(sejajarkan) \kanan.\]
Nuansa solusinya
Jadi, apa yang harus Anda lakukan jika menemukan contoh serupa:
- Ubah desain jika perlu.
- Temukan faktor koreksinya, ambil akarnya dan bagi kedua ruas contoh dengan faktor tersebut.
- Mari kita lihat berapa nilai sinus dan cosinus yang didapat dari angka-angka tersebut.
- Kami memperluas persamaan menggunakan rumus selisih atau jumlah sinus atau cosinus.
- Kami memecahkan persamaan trigonometri paling sederhana.
Dalam hal ini, siswa yang penuh perhatian mungkin akan memiliki dua pertanyaan.
Apa yang menghalangi kita untuk menuliskan $\sin $ dan $\cos $ pada tahap mencari faktor koreksi? — Identitas trigonometri dasar menghalangi kita. Faktanya adalah $\sin $ dan $\cos $ yang dihasilkan, seperti argumen lainnya dengan argumen yang sama, seharusnya, jika dikuadratkan, menghasilkan total “satu”. Selama proses pengambilan keputusan, Anda harus sangat berhati-hati dan tidak kehilangan “2” sebelum “X”.
Metode sudut bantu adalah alat yang membantu mereduksi persamaan yang “jelek” menjadi persamaan yang benar-benar memadai dan “indah”.
Contoh No.2
\[\sqrt(3)\sin 2x+2((\sin )^(2))x-1=2\cos x\]
Kita melihat bahwa kita mempunyai $((\sin )^(2))x$, jadi mari kita gunakan perhitungan pengurangan daya. Namun, sebelum kita menggunakannya, mari kita keluarkan. Untuk melakukan ini, ingat cara mencari kosinus sudut ganda:
\[\cos 2x=((\cos )^(2))x-((\sin )^(2))x=2((\cos )^(2))x-1=1-2(( \dosa )^(2))x\]
Jika kita menulis $\cos 2x$ pada opsi ketiga, kita mendapatkan:
\[\cos 2x=1-2((\sin )^(2))x\]
\[((\sin )^(2))x=\frac(1-((\cos )^(2))x)(x)\]
Saya akan menuliskannya secara terpisah:
\[((\sin )^(2))x=\frac(1-\cos 2x)(2)\]
Hal yang sama dapat dilakukan untuk $((\cos )^(2))x$:
\[((\cos )^(2))x=\frac(1+\cos 2x)(2)\]
Kita hanya perlu perhitungan pertama saja. Mari kita mulai mengerjakan tugas:
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+2\cdot \frac(1-\cos 2x)(2)-1=2\cos x\]
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+1-\cos 2x-1=2\cos x\]
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=2\cos x\]
Sekarang mari kita gunakan perhitungan kosinus selisihnya. Namun pertama-tama, mari kita hitung koreksi $l$:
Mari kita menulis ulang dengan mempertimbangkan fakta ini:
\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\cos x\]
Dalam hal ini, kita dapat menulis bahwa $\frac(\sqrt(3))(2)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$, dan $\frac(1)(2)=\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$. Mari kita menulis ulang:
\[\sin \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \sin 2x-\cos \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\teks( ))(\teks(3))\cdot \cos 2x=\cos x\]
\[-\cos \kiri(\frac(\teks( )\!\!\pi\!\!\teks( ))(\teks(3))+2x \kanan)=\cos x\]
Mari tambahkan “minus” ke dalam braket dengan cara yang cerdas. Untuk melakukannya, perhatikan hal berikut:
\[\cos \kiri(\frac(\teks( )\!\!\pi\!\!\teks( ))(\teks(3))+2x \kanan)=\cos \kiri(\teks( )\!\!\pi\!\!\text( )-\text( )\!\!\pi\!\!\text( +)\frac(\text( )\!\!\pi\! \!\teks( ))(\teks(3))+2x \kanan)=\]
\[=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+2x \kanan)=\cos \kiri(\teks( )\!\!\pi\!\!\teks( )+\varphi \kanan)=-\cos \varphi \]
Mari kembali ke ekspresi kita dan ingat bahwa dalam peran $\varphi $ kita memiliki ekspresi $-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x $. Oleh karena itu, mari kita menulis:
\[-\left(-\cos \left(-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x \kanan) \kanan)=\cos X\]
\[\cos \kiri(2x-\frac(2\teks( )\!\!\pi\!\!\teks( ))(3) \kanan)=\cos x\]
Menyelesaikan tugas serupa, Anda perlu mengingat ini:
\[\cos \alpha =\cos \beta \]
\[\kiri[ \begin(align)& \alpha =\beta +2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& \alpha =-\beta +2\text ( )\!\!\pi\!\!\teks( )n \\\end(sejajarkan) \kanan.\]
Mari kita lihat contoh kita:
\[\kiri[ \begin(align)& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=x+2\text( )\!\ !\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=-x+2\text ( )\!\!\pi\!\!\teks( )n \\\end(sejajarkan) \kanan.\]
Mari kita hitung masing-masing persamaan berikut:
Dan yang kedua:
Mari kita tuliskan jawaban akhirnya:
\[\kiri[ \begin(align)& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\ pi\!\!\teks( )n \\& x=\frac(2\teks( )\!\!\pi\!\!\teks( ))(9)+\frac(2\teks( ) \!\!\pi\!\!\text( )n)(3) \\\end(align) \right.\]
Nuansa solusinya
Faktanya, persamaan ini dapat diselesaikan dengan berbagai cara, tetapi metode sudut bantulah yang menyelesaikannya pada kasus ini optimal. Selain itu, dengan menggunakan contoh desain ini, saya ingin menarik perhatian Anda ke beberapa teknik dan fakta menarik lainnya:
- Rumus untuk menurunkan derajat. Rumus-rumus ini tidak perlu dihafal, tetapi Anda perlu mengetahui cara menurunkannya, itulah yang saya ceritakan hari ini.
- Menyelesaikan persamaan bentuk $\cos \alpha =\cos \beta $.
- Menambahkan "nol".
Tapi bukan itu saja. Hingga saat ini, $\sin $ dan $\cos $, yang kami peroleh sebagai argumen tambahan, kami yakin bahwa keduanya pasti positif. Oleh karena itu, sekarang kita akan menyelesaikan masalah yang lebih kompleks.
Analisis masalah yang lebih kompleks
Contoh No.1
\[\sin 3x+4((\sin )^(3))x+4\cos x=5\]
Mari kita ubah suku pertama:
\[\sin 3x=\sin \kiri(2x+x \kanan)=\sin 2x\cdot \cos x+\cos 2x\cdot \sin x\]
\[=2\kiri(1-\cos 2x \kanan)\cdot \sin x\]
Sekarang mari kita gantikan semua ini ke dalam konstruksi asli kita:
\[\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x+2\sin x-2\cos x\sin x+4\cos x=5\]
\[\sin 2x\cos x-\nama operator(cosx)-cos2\sin x+2\sin x+4\cos x=5\]
\[\sin \kiri(2x-x \kanan)+2\sin x+4\cos x=5\]
Mari perkenalkan amandemen kami:
Kami menulis:
\[\frac(3)(5)\sin x+\frac(4)(5)\cos x=1\]
$\alpha $ yang $\sin $ atau $\cos $ akan sama dengan $\frac(3)(5)$ dan $\frac(4)(5)$ dalam tabel trigonometri TIDAK. Jadi mari kita tulis saja seperti ini dan kurangi ekspresi menjadi sinus penjumlahan:
\[\sin x\cdot \cos \varphi +\cos x\cdot \sin \varphi =1\]
\[\sin \kiri(x+\varphi \kanan)=1\]
Ini kasus spesial, konstruksi trigonometri paling sederhana:
Masih mencari tahu apa yang sama dengan $\varphi $. Di sinilah banyak siswa yang salah. Faktanya adalah bahwa $\varphi $ tunduk pada dua persyaratan:
\[\kiri\( \begin(align)& \cos \varphi =\frac(3)(5) \\& \sin \varphi =\frac(4)(5) \\\end(align) \right .\]
Mari kita menggambar radar dan melihat di mana nilai-nilai tersebut muncul:
Kembali ke ekspresi kami, kami menulis yang berikut:
Tapi entri ini bisa sedikit dioptimalkan. Karena kita mengetahui hal berikut:
\[\alpha:\arcsin \alpha +\arccos \alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(2)),\]
maka dalam kasus kita, kita dapat menulisnya seperti ini:
Contoh No.2
Hal ini memerlukan pemahaman yang lebih mendalam tentang teknik penyelesaian masalah standar tanpa trigonometri. Namun untuk menyelesaikan contoh ini kami juga menggunakan metode sudut bantu.\[\]
Hal pertama yang menarik perhatian Anda adalah tidak ada derajat yang lebih tinggi dari yang pertama dan oleh karena itu tidak ada yang dapat diperluas sesuai dengan rumus penguraian derajat. Gunakan perhitungan terbalik:
Mengapa saya mengeluarkan $5$. Lihat disini:
Satu unit sesuai dasar identitas trigonometri kita dapat menuliskannya sebagai $((\sin )^(2))x+((\cos )^(2))x$:
Apa yang dapat kita peroleh dari catatan seperti itu? Faktanya adalah tanda kurung pertama berisi persegi yang tepat. Mari kita ciutkan dan dapatkan:
Saya sarankan memperkenalkan variabel baru:
\[\sin x+\cos x=t\]
Dalam hal ini kita akan mendapatkan ekspresi:
\[((t)_(1))=\frac(5+1)(4)=\frac(3)(2)\]
\[((t)_(2))=\frac(5-1)(4)=1\]
Totalnya kita mendapatkan:
\[\kiri[ \begin(align)& \sin x+\cos x=\frac(3)(2) \\& \sin x+\cos x=1 \\\end(align) \right.\]
Tentu saja, siswa yang berpengetahuan luas sekarang akan mengatakan bahwa konstruksi seperti itu mudah diselesaikan dengan mereduksinya menjadi struktur yang homogen. Namun, kami akan menyelesaikan setiap persamaan menggunakan metode sudut bantu. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita menghitung koreksi $l$:
\[\sqrt(l)=\sqrt(2)\]
Mari kita bagi semuanya dengan $\sqrt(2)$:
\[\kiri[ \begin(align)& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(3)(2\ persegi(2)) \\& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(\sqrt(2))(2 ) \\\end(sejajarkan) \kanan.\]
Mari kita kurangi semuanya menjadi $\cos $:
\[\cos x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\sin x\sin \frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\teks( ))(\teks(4))\]
\[\kiri[ \begin(align)& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4)) \kanan) =\frac(3)(2\sqrt(2)) \\& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \ kanan)=\frac(\sqrt(2))(2) \\\end(sejajarkan) \kanan.\]
Mari kita lihat masing-masing ekspresi ini.
Persamaan pertama tidak memiliki akar, dan irasionalitas penyebut akan membantu kita membuktikan fakta ini. Mari kita perhatikan hal berikut:
\[\sqrt(2)<1,5\]
\[\frac(3)(2\sqrt(2))>\frac(3)(3\cdot 1.5)=\frac(3)(3)=1\]
Secara total, kami telah membuktikan dengan jelas bahwa $\cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \right)$ harus menjadi sama dengan nomornya, yang lebih besar dari “satu” dan, oleh karena itu, konstruksi ini tidak memiliki akar.
Mari kita bahas yang kedua:
Mari selesaikan konstruksi ini:
Pada prinsipnya, Anda dapat membiarkan jawabannya seperti ini, atau Anda dapat menuliskannya:
Poin penting
Sebagai kesimpulan, saya ingin sekali lagi menarik perhatian Anda untuk bekerja dengan argumen yang “jelek”, yaitu. ketika $\sin $ dan $\cos $ bukan nilai tabel. Masalahnya adalah jika kita mengatakan bahwa dalam persamaan kita $\frac(3)(5)$ adalah $\cos $ dan $\frac(4)(5)$ adalah $\sin $, maka pada akhirnya, setelah kita memutuskan desainnya, kita perlu mempertimbangkan kedua persyaratan ini. Kami mendapatkan sistem dua persamaan. Jika kita tidak memperhitungkan hal ini, kita akan mendapatkan situasi berikut. Dalam hal ini, kita akan mendapatkan dua poin dan sebagai ganti $\varphi $ kita akan memiliki dua angka: $\arcsin \frac(4)(5)$ dan $-\arcsin \frac(4)(5)$, tapi yang terakhir adalah kami tidak puas dengan cara apa pun. Hal yang sama akan terjadi dengan titik $\frac(3)(5)$.
Masalah ini hanya muncul ketika yang sedang kita bicarakan tentang argumen yang “jelek”. Ketika kita memiliki nilai tabel, tidak ada yang seperti itu.
Saya harap pelajaran hari ini membantu Anda memahami apa itu metode sudut bantu dan bagaimana menerapkannya beserta contohnya tingkat yang berbeda kesulitan. Namun ini bukan satu-satunya pelajaran yang dikhususkan untuk menyelesaikan masalah dengan menggunakan metode sudut bantu. Jadi pantau terus!
Metode penyelesaian persamaan trigonometri.Penyelesaian persamaan trigonometri terdiri dari dua tahap: transformasi persamaan untuk mendapatkannya paling sederhana ketik (lihat di atas) dan larutanyang paling sederhana yang dihasilkan persamaan trigonometri. Ada tujuh metode dasar untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.
1. Metode aljabar.
(metode penggantian dan substitusi variabel).
2. Faktorisasi.
Contoh 1. Selesaikan persamaan: dosa X+karena X = 1 .
Solusi. Mari kita pindahkan semua suku persamaan ke kiri:
Dosa X+karena X – 1 = 0 ,
Mari kita ubah dan faktorkan ekspresi tersebut menjadi
Sisi kiri persamaan:
Contoh 2. Selesaikan persamaannya: karena 2 X+ dosa X karena X = 1.
Solusi: karena 2 X+ dosa X karena X– dosa 2 X– karena 2 X = 0 ,
Dosa X karena X– dosa 2 X = 0 ,
Dosa X· (kos X– dosa X ) = 0 ,
Contoh 3. Selesaikan persamaan: karena 2 X–karena 8 X+ karena 6 X = 1.
Solusi: karena 2 X+ karena 6 X= 1 + cos 8 X,
2 karena 4 X karena 2 X= 2cos² 4 X ,
Karena 4 X · (karena 2 X– karena 4 X) = 0 ,
Karena 4 X · 2 dosa 3 X dosa X = 0 ,
1). karena 4 X= 0, 2). dosa 3 X= 0, 3). dosa X = 0 ,
3. Pengurangan menjadi persamaan homogen.Persamaannya ditelepon homogen dari tentang dosa Dan karena , Jika semua itu syarat-syarat yang derajatnya sama relatif terhadap dosa Dan karena sudut yang sama. Untuk menyelesaikan persamaan homogen, Anda perlu: A) memindahkan semua anggotanya ke sisi kiri; B) keluarkan semuanya faktor umum di luar tanda kurung; V) samakan semua faktor dan tanda kurung dengan nol; G) tanda kurung sama dengan nol memberi persamaan homogen pada tingkat lebih rendah, yang harus dibagi karena(atau dosa) di tingkat senior; D) selesaikan hasilnya persamaan aljabar relatifberjemur . dosa 2 X+ 4 dosa X karena X+ 5ko 2 X = 2. Solusi: 3sin 2 X+ 4 dosa X karena X+ 5 karena 2 X= 2dosa 2 X+ 2karena 2 X , Dosa 2 X+ 4 dosa X karena X+ 3 karena 2 X = 0 , Tan 2 X+ 4 cokelat X + 3 = 0 , dari sini kamu 2 + 4kamu +3 = 0 , Akar persamaan ini adalah:kamu 1 = - 1, kamu 2 = - 3, maka 1) berjemur X= –1, 2) tan X = –3, |
4. Transisi ke setengah sudut.
Mari kita lihat metode ini menggunakan sebuah contoh:
CONTOH Selesaikan persamaan: 3 dosa X– 5 karena X = 7.
Solusi: 6 dosa ( X/ 2) karena ( X/ 2) – 5 cos² ( X/ 2) + 5 sin² ( X/ 2) =
7 dosa² ( X/ 2) + 7 cos² ( X/ 2) ,
2 dosa² ( X/ 2) – 6 dosa ( X/ 2) karena ( X/ 2) + 12 cos² ( X/ 2) = 0 ,
tan² ( X/ 2) – 3 tan ( X/ 2) + 6 = 0 ,
. . . . . . . . . .
5. Pengenalan sudut bantu.
Pertimbangkan persamaan bentuk:
A dosa X + B karena X = C ,
Di mana A, B, C– koefisien;X- tidak dikenal.
Sekarang koefisien persamaan tersebut mempunyai sifat sinus dan cosinus, yaitu: modulus (nilai absolut) masing-masing yang tidak lebih dari 1, dan jumlah kuadratnya adalah 1. Lalu kita bisa menunjukkannya mereka sesuai dengan itu Bagaimana cos dan dosa (di sini - disebut sudut bantu), Danambil persamaan kita
Kata pengantar singkat. Jika jumlah kuadratnya adalah dua bilangan real sama dengan satu, maka salah satu bilangan tersebut dapat dianggap sebagai kosinus, dan bilangan lainnya sebagai sinus suatu sudut.
Dengan kata lain, jika A 2 + B 2 = 1 , maka ada sudut φ , seperti yang
A = cos φ; B= dosa φ.
Sebelum membuktikan lemma ini, mari kita jelaskan terlebih dahulu contoh berikut:
$$ (\frac(\sqrt3)(2))^2 + (\frac(1)(2)) = \frac(3)(4) + \frac(1)(4) = 1 $$
Oleh karena itu ada sudut φ , sehingga \(\frac(\sqrt3)(2) \) = cos φ ; 1/2 = dosa φ .
Sebagai φ dalam hal ini, Anda dapat memilih sudut mana pun 30°, 30° ± 360°, 30° ± 2 360°, dll.
Bukti lemma:
Pertimbangkan sebuah vektor \(\vec(0A)\) dengan koordinat ( a, b ). Karena A 2 + B 2 = 1 , panjang vektor ini adalah 1. Namun dalam hal ini koordinatnya harus sama karena φ Dan dosaφ, Di mana φ - sudut yang terbentuk vektor yang diberikan dengan sumbu absis.
Jadi, A = cos φ; B= dosaφ, itulah yang perlu dibuktikan.
Lemma yang terbukti memungkinkan kita mengubah ekspresi A dosa x + B karena x ke bentuk yang lebih nyaman untuk belajar.
Pertama-tama, mari kita keluarkan ekspresi \(\sqrt(a^2 + b^2)\) dari tanda kurung
$$ a sinx + b cosx = \sqrt(a^2 + b^2)(\frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2))sinx + \frac(b)(\sqrt(a ^2 + b^2))karenax) $$
Karena
$$ (\frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)))^2 + (\frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)))^2 = 1 $ $
bilangan pertama \(\frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)) \) dan \(\frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)) \) dapat dianggap sebagai kosinus suatu sudut φ , dan yang kedua - sebagai sinus dari sudut yang sama φ :
$$ \frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)) = cos\phi, \;\; \frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)) = sin\phi $$
Tapi dalam hal ini
A dosa x + B cos x = \(\sqrt(a^2 + b^2)\)(cos φ sin x + sin φ cos x) = \(\sqrt(a^2 + b^2)\) sin (x + φ )
A dosa x + B cos x = \(\sqrt(a^2 + b^2)\) sin (x + φ), dimana sudut φ ditentukan dari kondisi
$$ sin\phi = \frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)) \;\; cos\phi = \frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)) $$
Contoh.
1) \(sin x + cos x = \sqrt2 (\frac(1)(\sqrt2) sin x + \frac(1)(\sqrt2)cos x) = \sqrt2 (cos\frac(\pi)(4 )sin x + sin\frac(\pi)(4)cos x) =\\= \sqrt2(sinx + \frac(\pi)(4)) \)
Rumus yang dihasilkan dosa X+karena X= \(\sqrt2(sinx + \frac(\pi)(4))\) berguna untuk diingat.
2) Jika salah satu angka A
Dan B
positif dan yang lainnya negatif, maka ekspresi
A dosa x + B karena x Lebih mudah untuk mengkonversi bukan ke sinus jumlah, tetapi ke sinus perbedaan dua sudut. Jadi,
$$ 3sinx - 4cosx = \sqrt(9+16)(\frac(3)(\sqrt(9+16))sinx - \frac(4)(\sqrt(9+16))cosx) =\\= 5(sinx\cdot\frac(3)(5) - cosx\cdot\frac(4)(5)) = 5sin(x - \phi), $$
dimana di bawah φ kita dapat mengartikan sudut mana pun yang memenuhi kondisi berikut:
karena φ = 3/5, dosa φ = 4 / 5
Secara khusus, seseorang dapat menempatkan φ = arctan 4/3 . Kemudian kita mendapatkan:
3 sin x - 4 cos x = 5 sin (x - arctan 4/3).
Persamaan trigonometri dasar adalah persamaan yang bentuknya, dimana --- salah satunya fungsi trigonometri: , .
Persamaan trigonometri dasar mempunyai jumlah akar yang tak terhingga. Misalnya, nilai berikut memenuhi persamaan: , dst. Rumus umum di mana semua akar persamaan ditemukan, dimana:
Di sini ia dapat mengambil nilai bilangan bulat apa pun, yang masing-masing sesuai dengan akar persamaan tertentu; dalam rumus ini (serta rumus lain yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri dasar) disebut parameter. Biasanya ditulis untuk menekankan bahwa parameter dapat menerima nilai integer apa pun.
Solusi persamaan dimana ditemukan dengan rumus
Persamaan diselesaikan dengan menggunakan rumus
dan persamaannya sesuai dengan rumus
Mari kita perhatikan secara khusus beberapa kasus khusus persamaan trigonometri dasar, ketika penyelesaiannya dapat ditulis tanpa menggunakan rumus umum:
Saat menyelesaikan persamaan trigonometri peran penting memainkan periode fungsi trigonometri. Oleh karena itu, kami menyajikan dua teorema yang berguna:
Dalil Jika --- dasar periode suatu fungsi, maka bilangan tersebut merupakan periode utama dari fungsi tersebut.
Periode fungsi dan dikatakan sepadan jika ada bilangan bulat Terus.
Dalil Jika fungsi periodik dan, mempunyai periode yang sepadan dan, kemudian mempunyai periode yang sama, yaitu periode dari fungsi-fungsi tersebut, .
Teorema tersebut menyatakan berapa periode suatu fungsi, dan belum tentu merupakan periode utama. Misalnya, periode utama dari fungsi dan --- , dan periode utama dari produknya --- .
Memperkenalkan argumen tambahan
Cara standar untuk mengubah ekspresi bentuk adalah sebagai berikut: misalkan --- sudut, diberikan oleh persamaan, . Bagi siapa pun, sudut seperti itu ada. Dengan demikian. Jika, atau, dalam kasus lain.
Skema penyelesaian persamaan trigonometri
Skema dasar yang akan kita gunakan saat menyelesaikan persamaan trigonometri adalah sebagai berikut:
menyelesaikan persamaan tertentu direduksi menjadi menyelesaikan persamaan dasar. Solusi --- konversi, faktorisasi, penggantian yang tidak diketahui. Prinsip panduannya adalah jangan kehilangan akar Anda. Artinya ketika hendak ke persamaan berikut(persamaan) kita tidak takut dengan munculnya akar-akar tambahan (asing), tetapi hanya peduli bahwa setiap persamaan berikutnya dari “rantai” kita (atau sekumpulan persamaan dalam kasus percabangan) adalah konsekuensi dari persamaan sebelumnya. Satu dari metode yang mungkin pemilihan root adalah sebuah pemeriksaan. Mari kita segera perhatikan bahwa dalam kasus persamaan trigonometri, kesulitan yang terkait dengan pemilihan akar dan pemeriksaan, sebagai suatu peraturan, meningkat tajam dibandingkan dengan persamaan aljabar. Toh kita harus mengecek rangkaian yang terdiri dari jumlah yang tak terbatas anggota.
Perhatian khusus harus diberikan pada penggantian yang tidak diketahui ketika menyelesaikan persamaan trigonometri. Dalam kebanyakan kasus, setelah substitusi yang diperlukan, persamaan aljabar diperoleh. Selain itu, persamaan tidak begitu langka, meskipun persamaan tersebut bersifat trigonometri penampilan, pada dasarnya tidak, karena setelah langkah pertama --- pengganti variabel --- berubah menjadi aljabar, dan kembalinya ke trigonometri hanya terjadi pada tahap penyelesaian persamaan trigonometri dasar.
Izinkan kami mengingatkan Anda sekali lagi: penggantian yang tidak diketahui harus dilakukan pada kesempatan pertama; persamaan yang dihasilkan setelah penggantian harus diselesaikan sampai akhir, termasuk tahap pemilihan akar-akarnya, dan baru kemudian dikembalikan ke yang tidak diketahui semula.
Salah satu ciri persamaan trigonometri adalah jawabannya dapat ditulis dalam banyak kasus cara yang berbeda. Bahkan untuk menyelesaikan persamaan tersebut, jawabannya dapat dituliskan sebagai berikut:
1) berupa dua rangkaian : , ;
2) dalam bentuk baku yang merupakan gabungan dari deret-deret di atas: , ;
3) karena jawabannya dapat ditulis dalam bentuk, . (Di masa depan, keberadaan parameter, atau dalam rekaman respons, secara otomatis berarti bahwa parameter ini menerima semua nilai bilangan bulat yang mungkin. Pengecualian akan ditentukan.)
Jelasnya, ketiga kasus di atas tidak menghabiskan semua kemungkinan untuk menulis jawaban persamaan yang sedang dipertimbangkan (ada banyak sekali kasusnya).
Misalnya saja ketika persamaan itu benar. Oleh karena itu, dalam dua kasus pertama, if, kita dapat menggantinya dengan.
Biasanya jawabannya ditulis berdasarkan poin 2. Perlu diingat rekomendasi berikut: jika pekerjaan tidak diakhiri dengan penyelesaian persamaan, masih perlu dilakukan penelitian dan pemilihan akar, maka bentuk pencatatan yang paling nyaman ditunjukkan. pada poin 1. (Rekomendasi serupa harus diberikan untuk persamaan tersebut.)
Mari kita perhatikan sebuah contoh yang mengilustrasikan apa yang telah dikatakan.
Contoh Selesaikan persamaannya.
Larutan. Cara yang paling jelas adalah sebagai berikut. Persamaan ini terbagi menjadi dua: i. Memecahkan masing-masing dan menggabungkan jawaban yang diperoleh, kita akan menemukannya.
Cara lain. Sejak itu, penggantian dan penggunaan rumus pengurangan derajat. Setelah beberapa transformasi kecil kita sampai di mana.
Sekilas rumus kedua ini tidak memiliki keunggulan khusus dibandingkan rumus pertama. Namun jika kita ambil contoh, ternyata, yaitu. persamaan tersebut memiliki solusi, sedangkan metode pertama membawa kita pada jawabannya. “Melihat” dan membuktikan kesetaraan tidaklah mudah.
