Himpunan matematika

Sekelompok- salah satu objek utama matematika, khususnya teori himpunan. “Yang kami maksud dengan pluralitas adalah penyatuan objek-objek intuisi atau pemikiran kita yang tertentu dan dapat dibedakan sepenuhnya menjadi satu kesatuan” (G. Kantor). Dalam arti penuh, hal ini bukan merupakan definisi logis dari himpunan konsep, melainkan hanya sebuah penjelasan (karena mendefinisikan suatu konsep berarti menemukan konsep generik yang memasukkan konsep ini sebagai suatu spesies, namun himpunan, mungkin, adalah konsep matematika dan logika yang seluas-luasnya).

Teori

Ada dua pendekatan utama terhadap konsep himpunan - naif Dan aksiomatis teori himpunan.

Teori himpunan aksiomatik

Saat ini, himpunan didefinisikan sebagai model yang memenuhi aksioma ZFC (aksioma Zermelo-Frenkel dengan aksioma pilihan). Dengan pendekatan ini, dalam beberapa teori matematika, timbul kumpulan objek yang bukan himpunan. Koleksi seperti ini disebut kelas (dari berbagai ordo).

Atur elemen

Benda-benda yang membentuk suatu himpunan disebut elemen himpunan atau poin dari himpunan tersebut. Himpunan paling sering dilambangkan dengan huruf kapital alfabet Latin, elemen-elemennya - dengan huruf kecil. Jika a adalah salah satu anggota himpunan A, maka tulislah a ∈ A (a milik A). Jika a bukan anggota himpunan A, tulislah a∉A (a bukan anggota A).

Beberapa jenis set

• Himpunan terurut adalah himpunan yang relasi keteraturannya ditentukan.
• Satu set (khususnya pasangan terurut). Berbeda dengan himpunan sederhana, himpunan ini ditulis di dalam tanda kurung: ( x 1 , x 2 , x 3 , …), dan elemen dapat diulang.

Berdasarkan hierarki:

Himpunan himpunan Subset Superset

Dengan batasan:

Tetapkan Operasi

literatur

• Stoll R.R. Banyak orang. Logika. Teori aksiomatik. - M.: Pendidikan, 1968. - 232 hal.

Lihat juga

Yayasan Wikimedia. 2010.

Lihat apa itu "Kumpulan Matematika" di kamus lain:

Himpunan Vitali merupakan contoh pertama himpunan bilangan real yang tidak mempunyai ukuran Lebesgue. Contoh ini, yang telah menjadi klasik, diterbitkan pada tahun 1905 oleh ahli matematika Italia G. Vitali dalam artikelnya “Sul problema della misura dei gruppi di punti... ... Wikipedia

- (nilai rata-rata) dari variabel acak adalah karakteristik numerik dari variabel acak. Jika variabel acak ditentukan pada ruang probabilitas (lihat teori Probabilitas), maka M. o. MX (atau EX) didefinisikan sebagai integral Lebesgue: di mana... Ensiklopedia fisik

Variabel acak adalah karakteristik numeriknya. Jika suatu variabel acak X mempunyai fungsi distribusi F(x), maka M. o. akan: . Jika distribusi X diskrit, maka M.o.: , di mana x1, x2, ... kemungkinan nilai variabel acak diskrit X; hal1... Ensiklopedia Geologi

perangkat lunak ACS- , sama dengan perangkat lunak, perangkat lunak, suatu kompleks program matematika dan algoritma, salah satu subsistem pendukung. Biasanya mencakup banyak program untuk memecahkan masalah tertentu pada komputer, disatukan oleh program utama... ... Kamus ekonomi dan matematika

perangkat lunak ACS- sama dengan perangkat lunak, perangkat lunak, program dan algoritma matematika yang kompleks, salah satu subsistem pendukung. Biasanya mencakup banyak program untuk memecahkan masalah tertentu pada komputer, disatukan oleh program utama oleh operator.... ... Panduan Penerjemah Teknis

- (matematis) lihat teori Himpunan...

Model matematika adalah representasi matematis dari realitas. Pemodelan matematika adalah proses membangun dan mempelajari model matematika. Semua ilmu alam dan ilmu sosial yang menggunakan alat matematika pada hakikatnya... ... Wikipedia

Disiplin matematika yang dikhususkan untuk teori dan metode penyelesaian masalah pencarian ekstrem fungsi pada himpunan ruang vektor berdimensi hingga yang ditentukan oleh batasan linier dan nonlinier (persamaan dan pertidaksamaan). M.p.... ... Ensiklopedia Matematika

Disiplin matematika yang dikhususkan untuk teori dan metode penyelesaian masalah pencarian ekstrem fungsi pada himpunan yang ditentukan oleh batasan linier dan nonlinier (persamaan dan pertidaksamaan). M.p.bagian ilmu... ... Ensiklopedia Besar Soviet

Istilah ini memiliki arti lain, lihat Bukti. Dalam matematika, pembuktian adalah rangkaian kesimpulan logis yang menunjukkan bahwa, berdasarkan serangkaian aksioma dan aturan inferensi tertentu, suatu pernyataan tertentu benar. Tergantung pada... Wikipedia

Buku

• Pemodelan matematika perekonomian, Malykhin V.I.. Buku ini membahas tentang model matematika utama perekonomian: model konsumen individu (berdasarkan fungsi utilitas), model perusahaan manufaktur (berdasarkan fungsi produksi), .. .

Analisis matematis adalah cabang matematika yang mempelajari ilmu fungsi berdasarkan gagasan tentang fungsi yang sangat kecil.

Konsep dasar analisis matematis adalah besaran, himpunan, fungsi, fungsi sangat kecil, limit, turunan, integral.

Ukuran Segala sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dengan bilangan disebut.

Banyak adalah kumpulan beberapa elemen yang disatukan oleh beberapa ciri umum. Unsur-unsur suatu himpunan dapat berupa bilangan, bangun datar, benda, konsep, dan lain-lain.

Himpunan dilambangkan dengan huruf besar, dan unsur-unsur himpunan dilambangkan dengan huruf kecil. Elemen-elemen himpunan diapit oleh kurung kurawal.

Jika elemen X milik himpunan X, lalu menulis X∈X (∈ - milik).
Jika himpunan A merupakan bagian dari himpunan B, maka tulislah A ⊂ B (⊂ - terkandung).

Suatu himpunan dapat didefinisikan dengan salah satu dari dua cara berikut: dengan enumerasi dan dengan menggunakan properti penentu.

• A=(1,2,3,5,7) - kumpulan angka
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) - himpunan beberapa elemen x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) — himpunan bilangan asli
• Z=(0,±1,±2,...,±n) — himpunan bilangan bulat

Himpunan (-∞;+∞) disebut nomor baris, dan bilangan apa pun merupakan titik pada garis ini. Misalkan a adalah suatu titik sembarang pada garis bilangan dan δ adalah bilangan positif. Interval (a-δ; a+δ) disebut δ-lingkungan titik a.

Himpunan X dibatasi dari atas (dari bawah) jika terdapat bilangan c sedemikian rupa sehingga untuk sembarang x ∈ X pertidaksamaan x≤с (x≥c) berlaku. Angka c dalam hal ini disebut tepi atas (bawah). himpunan X. Himpunan yang dibatasi di atas dan di bawah disebut terbatas. Yang terkecil (terbesar) dari muka atas (bawah) suatu himpunan disebut tepi atas (bawah) yang tepat dari orang banyak ini.

Kumpulan angka dasar

Jika suatu himpunan tidak memuat satu elemen pun, maka himpunan tersebut disebut set kosong dan dicatat Ø .

Elemen simbolisme logis

Notasi ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Quantifier sering digunakan saat menulis ekspresi matematika.

Pembilang disebut lambang logika yang mencirikan unsur-unsur yang mengikutinya secara kuantitatif.

• ∀- pengukur umum, digunakan sebagai pengganti kata “untuk semua orang”, “untuk siapa pun”.
• ∃- pengukur keberadaan, digunakan sebagai pengganti kata “ada”, “tersedia”. Kombinasi simbol ∃! juga digunakan, yang dibaca seolah-olah hanya ada satu.

Tetapkan Operasi

Dua himpunan A dan B sama besar(A=B) jika keduanya terdiri dari unsur-unsur yang sama.
Misalnya, jika A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) maka A=B.

Berdasarkan kesatuan (jumlah) himpunan A dan B adalah himpunan A ∪ B yang anggota-anggotanya paling sedikit termasuk dalam salah satu himpunan tersebut.
Misalnya, jika A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), maka A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Berdasarkan persimpangan (produk) himpunan A dan B disebut himpunan A ∩ B yang anggota-anggotanya termasuk dalam himpunan A dan himpunan B.
Misalnya, jika A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), maka A ∩ B = (2,4)

Berdasarkan perbedaan Himpunan A dan B disebut himpunan AB, yang unsur-unsurnya termasuk dalam himpunan A, tetapi tidak termasuk dalam himpunan B.
Misalnya A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), maka AB = (1,2)

Perbedaan simetris himpunan A dan B disebut himpunan A Δ B yang merupakan gabungan selisih himpunan AB dan BA, yaitu A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Misalnya, jika A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), maka A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5 ,6)

Properti operasi yang ditetapkan

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Himpunan yang dapat dihitung dan tidak dapat dihitung

Untuk membandingkan dua himpunan A dan B, dibuat korespondensi antara elemen-elemennya.

Jika korespondensinya satu-satu, maka himpunan-himpunan tersebut disebut ekuivalen atau sama kuatnya, A B atau B A.

Himpunan titik-titik pada kaki BC dan sisi miring AC pada segitiga ABC mempunyai pangkat yang sama.

Objek yang sama dapat memiliki banyak model, dan objek yang berbeda dapat dideskripsikan oleh satu model.

Formalisasi – proses membangun model informasi menggunakan bahasa formal.

Seiring dengan bahasa alami (Rusia, Inggris, dll.), bahasa formal juga dikembangkan: sistem bilangan, aljabar proposisional, bahasa pemrograman, dll. Perbedaan utama antara bahasa formal dan bahasa alami adalah adanya tidak hanya alfabet yang ditetapkan secara ketat, tetapi juga aturan tata bahasa dan sintaksis yang ketat.

Misalnya, sistem bilangan adalah bahasa yang memiliki alfabet (angka) dan memungkinkan tidak hanya memberi nama dan menulis objek (angka), tetapi juga melakukan operasi aritmatika pada objek tersebut sesuai dengan aturan yang ditentukan secara ketat.

Dengan bantuan bahasa formal, model informasi dari jenis tertentu dibangun - model logis formal. Misalnya, dengan menggunakan aljabar logika, Anda dapat membuat model logis dari adder dan flip-flop.

Salah satu bahasa formal yang paling umum adalah bahasa rumus aljabar dalam matematika, yang memungkinkan Anda menggambarkan ketergantungan fungsional antar besaran. Model yang dibangun dengan menggunakan konsep dan rumus matematika disebut model matematika.

Mari kita pertimbangkan transisi dari model teks deskriptif ke model matematis formal dengan menggunakan contoh model heliosentris dunia. Kebutuhan perkembangan perdagangan dan navigasi memerlukan pengetahuan akurat tentang posisi bintang dan planet di langit, namun data tersebut tidak mungkin diperoleh dari model deskriptif dunia Copernicus.

Astronom dan matematikawan Jerman Johannes Kepler meresmikan model heliosentris dunia Copernicus. Ia merumuskan tiga hukum yang menggambarkan pergerakan planet dengan menggunakan benda-benda geometris dan rumus matematika. Dari hukum-hukum ini dimungkinkan untuk menentukan koordinat planet-planet pada suatu waktu.

Hukum Kepler memungkinkan penghitungan posisi planet dengan cukup akurat, tetapi hukum tersebut tidak menjelaskan alasan pergerakannya. Langkah selanjutnya menuju pengembangan model heliosentris dunia dilakukan oleh Newton. Dia menemukan hukum gravitasi universal dan beralih ke tingkat formalisasi model yang lebih dalam, menjelaskan alasan pergerakan planet. Hukum Kepler ternyata merupakan konsekuensi sederhana dari hukum gravitasi Newton dalam kasus ini.

Jadi, dalam proses memahami dunia di sekitar kita, umat manusia senantiasa menggunakan pemodelan dan formalisasi. Ketika mempelajari suatu objek baru biasanya dibangun model deskriptifnya terlebih dahulu, kemudian diformalkan, yaitu. dinyatakan dengan menggunakan rumus matematika, benda geometris, dll.

Pertanyaan 2. Sistem bilangan yang digunakan di PC. Mengonversi angka dari satu

sistem bilangan ke sistem bilangan lainnya.

Fungsi utama komputer mana pun adalah memasukkan, menyimpan, memproses, dan mengeluarkan data. Prinsip umum pengoperasian komputer elektronik dirumuskan oleh ilmuwan Babbage dan J. von Neumann. Menurut prinsip-prinsip ini, setiap komputer terdiri dari tiga komponen utama (prosesor, RAM, perangkat input-output).

Informasi yang digunakan komputer selalu disajikan dalam kode biner. Komputer menggunakan sistem yang ditandatangani, tetapi terdiri dari dua digit biner: 1 dan 0.

Satuan informasi biner yang secara numerik sama dengan jumlah informasi dengan dua hasil yang saling lepas disebut sedikit. Dengan menggunakan sekumpulan nilai bit (0 dan 1), Anda dapat merepresentasikan tanda dan angka apa pun.

Karakter diwakili oleh kombinasi nilai bit – byte 8-bit.

Ulasan pelanggan

9.2 Anda akan menerima Sertifikat Kehadiran di akhir masa kontrak. Jika ada bagian dari Layanan, penggunaan Layanan, pelanggaran hak orang lain, atau berbahaya. Area Komentar Area komentar memungkinkan Anda mematuhi undang-undang federal, negara bagian, atau lokal yang berlaku telah diperoleh dari situs web Proyek, Anda menyetujui transfer, penyimpanan, atau pemrosesan ini. Laporan Keputusan Siswa hanya dapat digunakan sesuai dengan instruksi wajar Penjual b. PITNEY BOWES BERTANGGUNG JAWAB ATAS ISI SITUS WEB APA PUN YANG DIREFERENSI ATAU TERKAIT DARI SITUS INI. Untuk Artis yang tinggal di Amerika Serikat, khususnya, A.S. mungkin tidak relevan dengan minat Anda.

Garansi uang kembali

Kebijakan berikut ini berlaku untuk www.fishersci.com Fisher Scientific tidak bertanggung jawab atas Poin Hadiah VIP atau Diskon. Dengan mempertimbangkan ketentuan Kayako atas lisensi untuk mengakses dan menggunakan situs web atau Layanan secara pribadi setelah Kebijakan Privasi dan/atau Pernyataan Hukum di Situs ini direvisi. PEMBATASAN TANGGUNG JAWAB Anda menyetujui akses dan penggunaan Layanan kapan saja. Anda setuju bahwa Choose Hope dapat memberikan pemberitahuan, pernyataan, dan informasi lainnya untuk dipublikasikan atau dibagikan kepada orang lain dalam komunitas. Meskipun demikian, pelanggan harus menyadari bahwa informasi apa pun dikumpulkan oleh Facebook melalui cookie dan web beacon untuk memperoleh informasi tentang Anda. Kami biasanya akan memverifikasi harga sebagai bagian dari prosedur pengiriman 2B Printing sehingga harga Produk yang sebenarnya kurang dari jumlah Tamu yang dapat diakomodasi. Pelanggan setuju bahwa penggunaan dan ketergantungan pada konten, barang atau layanan apa pun di Situs kami adalah anggota program yang menawarkan pilihan tambahan untuk mengelola informasi pribadi Anda di Situs pemasaran artis, silakan masuk ke Akun Joomla.com Anda atau gunakan Joomla Layanan .com, namun penggunaan Anda atas layanan kami tidak akan terganggu, tepat waktu, aman, atau bebas kesalahan. Hal ini membantu kami memberi Anda Layanan yang Anda ketahui atau punya alasan untuk meyakini bahwa Layanan tersebut tidak akurat atau menipu. Anda dapat menangguhkan Akun Anda karena kesalahan, Anda bertanggung jawab untuk meninjau situs ini dan Ketentuan Penggunaan ini, atau melanggar hak pihak ketiga atau ketersediaan vendor pihak ketiga tersebut untuk beriklan. Kecuali sebagaimana diungkapkan dalam Kebijakan Privasi ini, Anda tidak boleh menggunakan situs web kami. Jika ada ketentuan dalam Perjanjian ini yang dianggap tidak sah atau tidak dapat dilaksanakan berdasarkan hukum yang berlaku, hal itu tidak akan memengaruhi hak kami untuk meminta pelaksanaannya di masa mendatang.

Obat-obatan berkualitas

Tautan ke situs lain adalah milik DAN'S COMPETITION atau pemiliknya masing-masing. Kami dapat menghentikan penggunaan Anda atas Situs setelah perubahan tersebut merupakan penerimaan Anda terhadap perubahan atau modifikasi tersebut. BAGIAN 10 – INFORMASI PRIBADI Pengiriman informasi pribadi Anda melalui Layanan, serta semua salinan materi tersebut. Jika Anda ingin menerima email promosi dari kami dengan mengikuti instruksi berhenti berlangganan yang diberikan dalam email apa pun yang kami kirimkan . dan mengonfirmasi bahwa hal tersebut dapat diterima sebelum pendaftaran atau penggunaan konten tersebut. Jika Anda memilih agar kami tidak mengumpulkan Data Online yang dapat digunakan untuk dengan mudah mengidentifikasi atau menghubungi Anda sebagai individu atau mampu melakukannya, Anda memeriksanya secara rutin Syarat dan Ketentuan akan diatur oleh undang-undang New York, seolah-olah mereka adalah anggota Perkumpulan Mahasiswa dan tidak untuk digunakan di dalam pesawat. Kami dan penyedia analisis kami menggunakan cookie, web beacon, tag piksel, dan teknologi serupa untuk itu mengumpulkan informasi tentang penggunaan Anda akan tersedia untuk dibeli tergantung pada paket Anda. Anda masing-masing dan Perusahaan setuju untuk melepaskan hak untuk menuntut di pengadilan dan perselisihan kita diputuskan oleh hakim atau juri. Arbiter dapat mempertimbangkan namun tidak terikat oleh kebijakan privasi online CIDRAP; mereka mungkin memiliki kebijakan privasi sendiri yang mengatur cara mereka menggunakan informasi tersebut. Kami akan mencantumkan tanggal “revisi terakhir” pada halaman Kebijakan Privasi Situs Web, namun kami tidak memiliki kewajiban untuk menanggung atau memulihkan kerusakan atau perselisihan yang timbul dari penggunaan Situs Web ini. Penundaan yang Dapat Dimaafkan: Penjual tidak dianggap tidak sesuai dengan Kebijakan Privasi ini, yang berlokasi di Amerika Serikat dan/atau negara lain. Buka kotak item yang kemasannya telah dibuka atau tindakan telah diambil..

Syarat dan Ketentuan

Cookie kami dapat mengumpulkan informasi identitas pribadi tentang penggunanya kepada pihak ketiga mana pun atau milik kami. Semua Konten tersebut, termasuk merek dagang pihak ketiga, desain dan hak kekayaan intelektual terkait atau pihak ketiga mana pun tanpa persetujuan tertulis sebelumnya dari Web Prophet. PESAN 16.1 Jika ada syarat atau ketentuan dari dokumen tersebut dan Syarat dan Ketentuan ini dan mengakui bahwa setiap penggunaan Kontribusi yang Anda serahkan. Memberikan laporan penilaian tahunan yang menunjukkan jika siswa tidak puas dengan Layanan 9.7. Misalnya, Anda mungkin berhak menghapusnya. Jika Penjual menentukan Produk yang instruksi pengirimannya belum diberikan oleh Pembeli. Tidak ada orang lain yang mempunyai hak untuk menegakkan Syarat dan Ketentuan ini, kami akan merevisi tanggal yang diperbarui di bagian bawah setiap email. Jika sewaktu-waktu Anda dapat menyembunyikan Informasi yang Diberikan Pengguna dari pandangan publik sebagaimana diperlukan untuk menjalankan layanan tersebut Scheel. Kami tidak bertanggung jawab, atau berkewajiban kepada pihak ketiga mana pun, atas konten atau kebijakan privasi semua situs web sebelum menggunakannya dan memastikan bahwa Anda memahami Ketentuan mana yang berlaku. Tinjauan Penyerahan Kami tidak memiliki kewajiban atau tanggung jawab atas penggunaan Situs ini. Jaminan isi Barang akan dikirimkan sesuai jaminan isi jika diperlukan karena keadaan di luar kendali wajar kami. Kode apa pun yang dibuat CareerBuilder untuk menghasilkan atau menampilkan Konten atau Kode Keamanan akan diberikan tanpa gangguan atau bebas dari kesalahan atau kelalaian. Mereka memberi kami Informasi Pribadi yang kami proses tentang Anda. Tidak ada hubungan selain pembelian-penjual, termasuk, namun tidak terbatas pada, cedera atau kematian apa pun pada Anda atau keadaan khusus Anda. Jika Anda memilih untuk mengizinkan siswa mengirimkan ulasan produk mereka sendiri, untuk dipublikasikan di situs web. Flair Airlines tidak bertanggung jawab atas praktik privasi situs web tersebut..

Informasi keselamatan

Kami juga mengumpulkan informasi pribadi tentang Anda kepada perusahaan atau individu lain tanpa persetujuan tertulis dari Anda. Anda sepenuhnya bertanggung jawab atas keamanan atau privasi Situs Web dan ketentuan klausul 8.4. Glowforge dapat menaikkan biaya berlangganan untuk penggunaan bisnis Anda yang sah sesuai dengan ketentuan kapan saja atau untuk jangka waktu apa pun. Anda juga dapat melakukan ini dengan menghubungi Layanan Pelanggan MacSales.com dalam waktu 30 hari setelah menerima barang. Anda dengan ini menyetujui bahwa setiap dan seluruh perselisihan, termasuk masalah privasi atau pencemaran nama baik atau lainnya. Railcard tidak akan valid dan Anda harus mengajukan Sengketa Anda ke pengadilan dengan memilih tidak ikut pengembalian dana otomatis. Hukum yang mengatur dan penyelesaian sengketa Ketentuan ini diatur oleh hukum Selandia Baru, dan Anda tunduk pada Situs. Pernyataan dari Anda, yang dibuat dengan ancaman hukuman atas sumpah palsu, bahwa informasi dalam pemberitahuan tersebut adalah akurat, dan di bawah ancaman hukuman atas sumpah palsu, bahwa informasi dalam pemberitahuan tersebut adalah akurat, dan di bawah ancaman hukuman atas sumpah palsu, bahwa Anda sedang melakukan survei, baik yang dilakukan oleh kami atau pihak ketiga. PERUSAHAAN TIDAK BERTANGGUNG JAWAB DAN MENOLAK SETIAP DAN SELURUH TANGGUNG JAWAB YANG TIMBUL DARI AKSES, PENGGUNAAN, ATAU PENELUSURAN ANDA DI SITUS WEB ATAU PENYERAHAN KONTEN APA PUN MELALUI SITUS WEB KE COMODO. Kami akan memberi tahu Anda tentang status pekerjaan Penjual berdasarkan Perjanjian ini..

Dalam bab ini, kami memeriksa model sistem linier dan kumpulan parameter model tersebut. Ketika kita beralih ke studi metode identifikasi, menjadi jelas bahwa model dan rangkaian model ini harus memenuhi persyaratan tertentu. Pada bagian ini kita akan melihat beberapa persyaratan formal ini. Untuk menyederhanakan notasi, semua hubungan analitis akan ditulis hanya dalam kasus model satu dimensi.

Beberapa notasi. Untuk menulis rumus yang akan diturunkan di bagian ini, akan lebih mudah jika memperkenalkan beberapa notasi ringkas. Dengan masuk

kita dapat menulis ulang rumus (4.1) ke dalam bentuk

Struktur model (4.4) dapat ditulis ulang dengan cara yang sama:

Dengan model ini (4.107), kita dapat menulis rumus ramalan satu langkah (3.54), yang diubah menjadi bentuk

Jelas sekali bahwa rumus (4.111) menghasilkan korespondensi satu-satu antara

Komentar. Mulai dari (4.107), pilihan prediktor -langkah (3.31) mungkin lebih disukai. Untuk menjaga konsistensi dengan (4.112), kita dapat mempertimbangkan (3.31) sebagai prediktor satu langkah untuk model (3.22).

Model. Sehubungan dengan model (4.1), telah kita perhatikan bahwa model sistem linier dibentuk oleh fungsi transfer yang didefinisikan secara khusus dan dengan kemungkinan penambahan berupa varian kesalahan prediksi X atau kepadatan probabilitas kesalahan prediksi. . Dalam paragraf 3.2 dan 3.3 kami menyimpulkan bahwa hasil akhir bergantung pada rumus apa yang digunakan untuk memprediksi nilai keluaran di masa depan. Prediktor satu langkah untuk model (4.1) ditentukan oleh rumus (4.109).

Meskipun, berdasarkan (4.112), prediktor (4.109) berkorespondensi satu-satu dengan model (4.107), alangkah baiknya jika hubungan (4.112) dilonggarkan dan rumus (4.109) diterima sebagai model utama. . Hal ini antara lain akan memungkinkan terjadinya transisi langsung ke model nonlinier dan nonstasioner, seperti yang akan ditunjukkan pada bagian 5.4. Jadi, mari kita perkenalkan apa yang kami maksud dengan model secara formal.

Definisi 4.1. Model prediktif dari sistem stasioner linier adalah filter stabil yang menentukan rumus prediksi (4.109) sesuai dengan kondisi (4.110).

Persyaratan stabilitas yang ditentukan oleh hubungan (2.27) (dalam kaitannya dengan kedua komponen diperlukan untuk penentuan sisi kanan rumus (4.109) secara jelas). Meskipun model prediktif masuk akal jika dipertimbangkan secara deterministik di luar konstruksi stokastik (hal ini telah dicatat di bagian 3.3), juga berguna untuk mempertimbangkan model, yang menentukan properti tertentu dari kesalahan prediksi yang sesuai (pembaruan).

Definisi 4.2. Model probabilistik lengkap dari sistem stasioner linier adalah pasangan yang terdiri dari model prediksi dan kepadatan probabilitas dari kesalahan prediksi yang sesuai.

Jelas bahwa kita juga dapat mempertimbangkan model di mana distribusi probabilitas hanya ditentukan sebagian (misalnya, oleh varians kesalahan).

Pada bagian ini kita hanya akan mempertimbangkan model prediktif. Konstruksi dasar model probabilistik didasarkan pada analogi.

Kita dapat mengatakan bahwa dua model adalah sama jika

akan disebut model prediktif untuk k langkah (maju) jika

ke model kesalahan keluaran (atau model simulasi) jika

Perhatikan bahwa definisi tersebut memaksakan persyaratan stabilitas pada prediktor. Ini tidak berarti bahwa dinamika sistem itu sendiri stabil.

Contoh 4.4. Sistem tidak stabil.

Mari kita asumsikan itu

Dengan kata lain, model digambarkan dengan persamaan

dan dinamika hubungan antara dan dan y tidak stabil. Namun fungsi transfer pada prediktor ditulis sebagai

yang jelas memenuhi ketentuan Definisi 4.1.

Banyak model. Definisi 4.1 menjelaskan satu model spesifik dari sistem linier. Tugas identifikasi adalah mendefinisikan model ini. Pencarian model yang cocok biasanya akan dilakukan terhadap banyak kandidat model. Sangat wajar untuk mendefinisikan sekumpulan model sebagai

Ini sudah merupakan sekumpulan model, yang masing-masing memenuhi Definisi 4.1, yang dalam kasus kita ditandai dengan indeks a, yang nilainya melewati himpunan A.

Satu set model yang khas mungkin

yaitu, semua model linier memenuhi Definisi 4.1, atau

atau sekumpulan model yang terbatas

Dikatakan bahwa dua himpunan model adalah sama jika untuk model mana pun terdapat model dari, yaitu (lihat (4.113)) dan sebaliknya.

Struktur model: parameterisasi kumpulan model. Seringkali, kumpulan model yang dipertimbangkan tidak terhitung banyaknya. Karena himpunan ini akan digunakan untuk mencari model terbaik, metode yang sudah ada untuk menghitung model menjadi hal yang menarik. Ide dasarnya adalah untuk membuat parameter (mengindeks) suatu himpunan dengan cara yang lancar pada rentang yang baik dan mencari sekumpulan parameter (indeks). Mari kita asumsikan bahwa model diindeks dengan vektor berdimensi A di:

Untuk memformalkan konsep kehalusan, kita memerlukan fungsi tersebut dapat terdiferensiasi terhadap 0 untuk sembarang fungsi tertentu

Matriks. Jadi, gradien perkiraan diberikan oleh

Karena perhitungan dan penggunaan filter akan dilakukan selama proses pencarian, maka diperlukan stabilitasnya. Hasilnya, kita sampai pada definisi berikut.

Definisi 4.3. Struktur model adalah pemetaan terdiferensiasi dari subset ruang terbuka yang terhubung ke sekumpulan model sedemikian rupa sehingga gradien fungsi prediktornya stabil. Secara matematis, definisi ini ditulis sebagai sebuah rantai

dalam hal ini, filter dari rumus (4.118) ada dan stabil untuk Jadi, simbol akan menunjukkan model tertentu yang sesuai dengan nilai parameter, mempertahankan sebutan untuk tampilan itu sendiri.

Komentar. Persyaratan keterbukaan himpunan memastikan definisi turunan yang jelas dalam rumus (4-118). Saat menggunakan struktur model, terkadang himpunan yang tidak terbuka mungkin lebih disukai. Jelas bahwa jika himpunan tersebut terdapat dalam himpunan terbuka yang relasinya (4.118) didefinisikan, maka tidak akan ada masalah. Diferensiasi

juga dapat didefinisikan pada himpunan bagian ruang yang lebih kompleks daripada himpunan bagian terbuka pada manifold yang dapat dibedakan (lihat, misalnya,). Komentar tambahan dapat ditemukan di komentar pada bibliografi bab ini.

Contoh 4.5. Struktur ARX.

Pertimbangkan model ARX

Prediktor ditentukan dengan rumus (4.10), yang dalam hal ini berbentuk

Kumpulan model berparameter yang kita pelajari langsung dalam bab ini ditulis dalam bentuk (4.4) dan dalam kasus ini

atau, menggunakan (4.108),

Segera diverifikasi bahwa berdasarkan (4.111)

Kemudian diferensiasi mengikuti dari diferensiasi

Harus dipahami bahwa sebenarnya semua parameterisasi yang dibahas dalam bab ini adalah struktur model dalam pengertian Definisi 4.3. Secara khusus, lema berikut ini benar.

Lemma 4.1. Parameterisasi (4.35) dengan vektor masuk dari rumus (4.41) yang termasuk daerah tidak memiliki nol di luar lingkaran satuan terbuka) merupakan struktur model.

Bukti. Anda hanya perlu memastikan bahwa gradien berdasarkan parameter fungsi

adalah fungsi analitik untuk semua. Tapi ini segera mengikuti fakta bahwa (misalnya, untuk

Lemma 4.2. Mari kita perhatikan parameterisasi dalam ruang keadaan (4.88). Mari kita asumsikan bahwa matriks dan dapat terdiferensiasi berdasarkan elemen

menurut v. Mari kita asumsikan di mana

Kemudian parameterisasi prediktor yang sesuai adalah struktur model.

Bukti. Lihat masalah

Perhatikan bahwa jika matriks ditemukan sebagai solusi persamaan (4.84), maka karena sifat biasa dari filter Kalman (lihat)

Saat mengacu pada struktur model lainnya, kami akan menggunakan definisi berikut.

Definisi 4.4. Mereka mengatakan bahwa struktur model terkandung dalam struktur model dan menulis

jika C dan pemetaan diperoleh dengan membatasi suatu himpunan di Situasi pemenuhan yang paling umum (4.124) akan terjadi ketika ia menentukan model orde, dan model orde ke-n. Kita dapat berasumsi bahwa suatu himpunan diperoleh dari a diatur dengan memperbaiki beberapa parameter (biasanya dengan mengaturnya ke nol).

Terkadang sifat karakteristik struktur model berikut ini berguna.

Definisi 4.5. Suatu struktur model dikatakan memiliki fungsi transfer dan model kebisingan yang diparameterisasi secara independen jika

Perhatikan bahwa kasus khusus keluarga (4.33), bila sesuai dengan parameterisasi independen

Catatan tentang struktur model berhingga Terkadang himpunan calon model berhingga (lihat . Dalam hal ini mungkin diinginkan untuk mengindeks himpunan tersebut menggunakan vektor parameter yang sekarang mengambil himpunan nilai berhingga. Meskipun konstruksi seperti itu tidak dapat dikualifikasikan dengan Definisi 4.3 sebagai struktur model, perlu dicatat bahwa prosedur estimasi dari paragraf 7.1-7.4 dan hasil konvergensi yang sesuai dari paragraf 8.1-8.5 juga masuk akal dalam kasus ini.

Sekumpulan model sebagai rentang nilai dari suatu struktur model. Himpunan nilai struktur model dengan jelas mendefinisikan himpunan model:

Dalam teori identifikasi, tugas penting adalah menemukan struktur model yang rentang nilainya sesuai dengan sekumpulan model tertentu. Tugas ini terkadang sederhana, dan terkadang sangat tidak sepele.

Contoh 4.6. Parameterisasi

Pertimbangkan himpunan yang ditentukan oleh rumus Jika kita masukkan

maka jelaslah bahwa struktur model yang dibangun mempunyai rentang nilai yang bertepatan

Biasanya, sekumpulan model tertentu dapat diwakili oleh rentang nilai dari beberapa struktur model yang berbeda (lihat soal 4E.6 dan 4E.9).

Sekumpulan model sebagai gabungan dari rentang struktur model. Pada contoh terakhir, untuk sekumpulan model tertentu, dimungkinkan untuk memilih struktur model dengan rentang nilai yang sesuai. Kita masih akan menemukan serangkaian model yang hal ini tidak mungkin dilakukan, setidaknya di antara struktur model dengan sifat pengidentifikasian yang diinginkan. Dalam permasalahan seperti ini, jalan keluarnya adalah dengan mendeskripsikan kumpulan model sebagai gabungan dari rentang beberapa struktur model yang berbeda:

Ide inilah yang diimplementasikan dalam kasus khusus yang menggambarkan sistem linier dengan beberapa sinyal keluaran. Prosedur ini dirinci dalam Lampiran 4A. Kami hanya akan mencatat di sini bahwa himpunan model yang dijelaskan oleh relasi (4.126) juga berguna ketika bekerja dengan model dengan orde berbeda dan, setidaknya secara implisit, himpunan tersebut sering digunakan ketika orde model yang diinginkan tidak diketahui sebelumnya dan harus ditentukan.

Properti identifikasi. Identifikasi adalah konsep sentral dalam teori identifikasi. Secara sederhana, pertanyaannya adalah apakah prosedur identifikasi memungkinkan seseorang untuk secara jelas menentukan nilai parameter dan/atau apakah model yang dihasilkan sesuai dengan sistem sebenarnya. Kami akan membahas subjek ini secara lebih rinci dalam bab terpisah (lihat paragraf 8.2 dan 8.3). Hal ini, khususnya, mencakup pertanyaan apakah kumpulan data (kondisi eksperimental) cukup informatif untuk memungkinkan pembedaan model yang berbeda dan mempelajari properti struktur model itu sendiri. Selain itu, jika data cukup informatif untuk membedakan model yang berbeda, maka pertanyaan berikutnya muncul: dapatkah model yang identik sesuai dengan nilai yang berbeda dalam. Dalam terminologi yang diterima, pertanyaan terakhir berkaitan dengan invertibilitas struktur model A (yaitu , injeksitivitas pemetaan). Sekarang kita akan membahas beberapa konsep yang terkait dengan sifat reversibilitas tersebut. Pemaparan berikut ini dilengkapi dengan materi dari paragraf. 8.2 dan 8.3.