Pada artikel ini kita akan melihat secara komprehensif. Dasar identitas trigonometri mewakili persamaan yang membentuk hubungan antara sinus, kosinus, tangen, dan kotangen dari satu sudut, dan memungkinkan seseorang menemukan salah satu fungsi trigonometri ini melalui fungsi lain yang diketahui.
Yuk langsung kita daftar identitas trigonometri utama yang akan kita analisa di artikel ini. Mari kita tuliskan dalam sebuah tabel, dan di bawah ini kami akan memberikan keluaran dari rumus-rumus tersebut dan memberikan penjelasan yang diperlukan.
Navigasi halaman.
Hubungan antara sinus dan cosinus satu sudut
Terkadang mereka tidak berbicara tentang identitas trigonometri utama yang tercantum pada tabel di atas, tetapi tentang satu identitas trigonometri identitas trigonometri dasar baik 
. Penjelasan mengenai fakta ini cukup sederhana: persamaan diperoleh dari identitas trigonometri utama setelah membagi kedua bagiannya dengan dan berturut-turut, dan persamaan tersebut 
Dan 
mengikuti definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen. Kami akan membicarakan hal ini lebih detail di paragraf berikut.
Artinya, persamaan itulah yang menjadi perhatian khusus, yang diberi nama identitas trigonometri utama.
Sebelum membuktikan identitas trigonometri utama, kita berikan rumusannya: jumlah kuadrat sinus dan cosinus suatu sudut identik sama dengan satu. Sekarang mari kita buktikan.
Identitas dasar trigonometri sangat sering digunakan ketika transformasi ekspresi trigonometri . Hal ini memungkinkan jumlah kuadrat sinus dan cosinus dari satu sudut diganti dengan satu. Identitas trigonometri dasar juga sering digunakan urutan terbalik: satuan diganti dengan jumlah kuadrat sinus dan kosinus sudut mana pun.
Tangen dan kotangen melalui sinus dan kosinus
Identitas yang menghubungkan tangen dan kotangen dengan sinus dan kosinus salah satu sudut pandang dan 
langsung saja simak pengertian sinus, cosinus, tangen, dan kotangen. Memang menurut definisi, sinus adalah ordinat dari y, cosinus adalah absis dari x, tangen adalah perbandingan ordinat terhadap absis, yaitu, 
, dan kotangen adalah perbandingan absis terhadap ordinat, yaitu, 
.
Berkat kejelasan identitas dan Tangen dan kotangen seringkali ditentukan bukan melalui perbandingan absis dan ordinat, melainkan melalui perbandingan sinus dan kosinus. Jadi tangen suatu sudut adalah perbandingan sinus dengan kosinus sudut tersebut, dan kotangen adalah perbandingan kosinus dengan sinus.
Sebagai kesimpulan dari paragraf ini, perlu dicatat bahwa identitas dan terjadi untuk semua sudut di mana unsur-unsur yang termasuk di dalamnya fungsi trigonometri masuk akal. Jadi rumusnya berlaku untuk semua , selain (jika tidak, penyebutnya akan nol, dan kami tidak mendefinisikan pembagian dengan nol), dan rumusnya - untuk semua , berbeda dari , dimana z adalah any .
Hubungan antara tangen dan kotangen
Identitas trigonometri yang lebih jelas daripada dua identitas sebelumnya adalah identitas yang menghubungkan garis singgung dan kotangen suatu sudut bentuk. . Jelas bahwa garis ini berlaku untuk semua sudut selain , jika tidak maka garis singgung atau kotangen tidak akan terdefinisi.
Bukti rumusnya sangat sederhana. Menurut definisi dan dari mana 
. Pembuktiannya bisa saja dilakukan dengan cara yang sedikit berbeda. Sejak , Itu 
.
Jadi, garis singgung dan kotangen pada sudut yang sama yang masuk akal adalah .
Untuk menggunakan pratinjau presentasi, buatlah akun sendiri ( akun) Google dan masuk: https://accounts.google.com
Keterangan slide:
Biarlah bahasa Inggris disukai sebagian orang, Bagi sebagian orang, kimia itu penting, Tanpa matematika, bagi kita semua Tapi tidak di sini maupun di sana Bagi kita, persamaan itu seperti puisi Dan sinus menopang semangat kita Bagi kita, cosinus itu seperti lagu, Dan rumus trigonometri Belaian telinga kita!
Topik pelajaran: “Identitas dasar trigonometri. Penyelesaian masalah." Tahu: Mampu: Tujuan pelajaran:
AKU TAHU! SAYA BISA! SAYA AKAN MEMUTUSKAN! SAYA
Lingkaran satuan disebut apa? x kamu α R
Arah rotasi satuan radius manakah yang diketahui? x kamu α R
Dalam satuan apa sudut rotasi dari satuan radius diukur? x kamu α R
Berapakah sudut satu radian? Kira-kira berapa derajat yang terdapat pada sudut 1 radian? x kamu α R
Merumuskan aturan untuk mengubah besaran derajat suatu sudut ke besaran radian dan sebaliknya.
Merumuskan aturan untuk mengubah besaran derajat suatu sudut ke besaran radian dan sebaliknya. 30 0 π 45 0 π 2 2 π
Fungsi trigonometri apa yang kamu ketahui?
Fungsi trigonometri apa yang kamu ketahui? Apa yang menentukan pengertian fungsi trigonometri?
Sudut seperempat manakah yang merupakan sudut α jika: α =15° α =190° α =100°
Sudut seperempat manakah yang merupakan sudut α jika: α =-20° α =-110° α =289°
Bekerja dalam kelompok Aturan bekerja dalam kelompok: Kelompok berdiskusi dan memutuskan bersama, mengemukakan gagasan atau membantahnya. Setiap anggota kelompok harus bekerja dengan kemampuan terbaiknya. Saat bekerja, perlakukan rekan kerja Anda dengan hormat: menerima atau menolak suatu ide, lakukan dengan sopan. Ingatlah bahwa setiap orang berhak melakukan kesalahan. Ingatlah bahwa keberhasilan suatu kelompok bergantung pada seberapa baik setiap orang menunjukkan kekuatannya.
Pekerjaan kelompok
0° 30° 45° 60° 90° sin cos tg ctg 0 1 1 0 0 1 - - 1 0 Tabel nilai fungsi trigonometri
1 A 2 B 3 C 4 D 5 E 6 H 7 sampai K 8 L 9 sampai dan M 10 sampai dan N 1 - cos 2 α 1-sin 2 α sin 2 α Kriteria evaluasi: 10 tugas - kelas “5”. 8-9 tugas – skor “4”. 5-7 tugas – skor “3”. 1-4 tugas – skor “2”. Membangun korespondensi antara kiri dan sisi kanan identitas.
1 M 2 L 3 N 4 E 5 B 6 C 7 sampai A 8 K 9 sampai dan H 10 sampai dan D 1 - cos 2 α 1-sin 2 α sin 2 α Kriteria evaluasi: 10 tugas - kelas “5”. 8-9 tugas – skor “4”. 5-7 tugas – skor “3”. 1-4 tugas – skor “2”. Membangun korespondensi antara sisi kiri dan kanan identitas.
Identitas dasar trigonometri “satuan trigonometri”
Identitas trigonometri dasar “satuan trigonometri” Cosine square Senang sekali. Saudara Sine Square akan datang menemuinya! Ketika mereka bertemu, lingkaran itu akan terkejut: Seluruh keluarga akan keluar, Artinya, satu unit!
1. 3 sin 2 α + 3 cos 2 α 2. (1 – cos α)(1 + cos α) pada α =90° 3. 1- sin 2 40 0 4 α 6. ( ctg 2 α + 1)(1 – sin 2 α) 7. tg α∙ ctg α -1 8. cos 2 α + ctg 2 α + sin 2 α dan s t P ke 1 cos 2 40° 3 ctg 2 α 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Carilah nama ahli matematika yang dalam bukunya istilah “trigonometri” pertama kali muncul. 1 2 3 4 5 6 7 8 Poin 2-2 cos(-60 0)
Pitiskus
Al-Batuni Al-Khawarizmi
Bhaskara Nasireddin Tusi
Leonard Euler
Oleh menetapkan nilai fungsi trigonometri, tentukan nilai fungsi lain Seperempat Diberikan: Cari: Penyelesaian: I sinα= 0,6 II cosα= sinα III tgα= ctgα IV cosα= tgα
Diberikan nilai fungsi trigonometri, tentukan nilai fungsi lain Seperempat Diberikan: Cari: Penyelesaian: I sinα= 0,6
Diketahui nilai fungsi trigonometri tersebut, tentukan nilai fungsi lain Seperempat Diberikan: Cari: Penyelesaian: II cosα= sinα = =
Diberikan nilai fungsi trigonometri, tentukan nilai fungsi lain Seperempat Diberikan: Cari: Penyelesaian: III tgα= ctgα ctgα = = =
Diketahui nilai fungsi trigonometri, tentukan nilai fungsi lain Seperempat Diberikan: Cari: Penyelesaian: IV cosα = tgα tgα = = = = = =
Penerapan trigonometri dalam kehidupan manusia.
Pesan Pekerjaan Rumah: “Trigonometri dalam Kehidupan Manusia” No.304 hal.111
y=sinx Terima kasih atas pelajarannya!
1 sin 240° 8 cos 290° 2 tg 98° 9 tg(-120°) 3 sin 70° 10 sin 4 ctg 200° 11 cos 5 cos 113° 12 cos 6 sin (- 140°) 13 sin 7 cos (- 300 °) 14 tg Tentukan tanda dari ekspresi - - - - - - + + + + + + + +
Pada topik: perkembangan metodologi, presentasi dan catatan
Presentasi ini menyajikan solusi terhadap permasalahan utama kursus sekolah matematika untuk menemukan semua jenis jarak dan sudut dalam ruang menggunakan suatu algoritma, yang memungkinkannya digunakan baik dalam...
Presentasi pelajaran: "Sudut antar bidang. Menyelesaikan masalah dengan berbagai metode"
Pemaparan ini dapat digunakan untuk kejelasan dalam pelajaran revisi, untuk persiapan Ujian Negara Terpadu dalam menyelesaikan soal tipe C-2....
Fungsi trigonometri- Permintaan "dosa" dialihkan ke sini; lihat juga arti lainnya. Permintaan "detik" dialihkan ke sini; lihat juga arti lainnya. Permintaan "Sine" dialihkan ke sini; lihat juga arti lainnya... Wikipedia
Tan
Beras. 1 Grafik fungsi trigonometri: sinus, cosinus, tangen, garis potong, kosekan, kotangen Tampilan fungsi trigonometri fungsi dasar. Biasanya ini termasuk sinus (sin x), cosinus (cos x), tangen (tg x), kotangen (ctg x), ... ... Wikipedia
Kosinus- Beras. 1 Grafik fungsi trigonometri: sinus, cosinus, tangen, garis potong, kosekan, kotangen Fungsi trigonometri adalah salah satu jenis fungsi dasar. Biasanya ini termasuk sinus (sin x), cosinus (cos x), tangen (tg x), kotangen (ctg x), ... ... Wikipedia
Kotangens- Beras. 1 Grafik fungsi trigonometri: sinus, cosinus, tangen, garis potong, kosekan, kotangen Fungsi trigonometri adalah salah satu jenis fungsi dasar. Biasanya ini termasuk sinus (sin x), cosinus (cos x), tangen (tg x), kotangen (ctg x), ... ... Wikipedia
Garis potong- Beras. 1 Grafik fungsi trigonometri: sinus, cosinus, tangen, garis potong, kosekan, kotangen Fungsi trigonometri adalah salah satu jenis fungsi dasar. Biasanya ini termasuk sinus (sin x), cosinus (cos x), tangen (tg x), kotangen (ctg x), ... ... Wikipedia
Sejarah trigonometri- Pengukuran geodetik (abad XVII) ... Wikipedia
Rumus garis singgung setengah sudut- Dalam trigonometri, rumus tangen setengah sudut menghubungkan garis singgung setengah sudut dengan fungsi trigonometri sudut penuh: Variasi rumus ini terlihat seperti ini... Wikipedia
Trigonometri- (dari bahasa Yunani τρίγονο (segitiga) dan bahasa Yunani μετρειν (mengukur), yaitu pengukuran segitiga) cabang matematika yang mempelajari fungsi trigonometri dan penerapannya pada geometri. Istilah ini pertama kali muncul pada tahun 1595 sebagai... ... Wikipedia
Memecahkan segitiga- (lat. solusi triangulorum) istilah sejarah, artinya solusi utama masalah trigonometri: dengan menggunakan data yang diketahui tentang segitiga (sisi, sudut, dll.), temukan ciri-cirinya yang tersisa. Segitiga tersebut dapat ditemukan di... ... Wikipedia
Buku
- Seperangkat tabel. Aljabar dan awal mula analisis. kelas 10. 17 tabel + metodologi, . Tabel dicetak pada karton cetak tebal berukuran 680 x 980 mm. Termasuk brosur dengan rekomendasi metodologis untuk guru. Album pendidikan 17 lembar... Beli seharga 3944 RUR
- Tabel Integral dan Rumus Matematika Lainnya, Dwight G.B. Edisi kesepuluh dari buku referensi terkenal ini memuat sangat tabel rinci tidak pasti dan integral tertentu, Dan jumlah yang besar yang lain rumus matematika: perluasan seri,...
Ini yang terakhir dan paling banyak pelajaran utama, diperlukan untuk menyelesaikan masalah B11. Kita sudah mengetahui cara mengubah sudut dari besaran radian ke besaran derajat (lihat pelajaran “Ukuran radian dan derajat suatu sudut”), dan kita juga mengetahui cara menentukan tanda fungsi trigonometri dengan fokus pada kuarter koordinat ( lihat pelajaran “Tanda-tanda fungsi trigonometri”).
Satu-satunya hal yang harus dilakukan adalah menghitung nilai fungsi itu sendiri - angka yang sama yang tertulis dalam jawabannya. Di sinilah identitas trigonometri dasar berperan.
Identitas trigonometri dasar. Untuk sudut manapun α pernyataan berikut ini benar:
sin 2 α + cos 2 α = 1.
Rumus ini menghubungkan sinus dan cosinus suatu sudut. Sekarang, dengan mengetahui sinus, kita dapat dengan mudah mencari kosinus - dan sebaliknya. Cukup dengan mengambil akar kuadrat:
Perhatikan tanda “±” di depan akar-akarnya. Faktanya dari identitas trigonometri dasar tidak jelas apa sinus dan kosinus aslinya: positif atau negatif. Lagi pula, mengkuadratkan - bahkan berfungsi, yang “membakar” semua kekurangannya (jika ada).
Oleh karena itu, dalam semua soal B11 yang terdapat pada Unified State Examination matematika, tentu terdapat kondisi tambahan yang membantu menghilangkan ketidakpastian dengan tanda. Biasanya ini merupakan indikasi kuarter koordinat, yang dengannya tanda tersebut dapat ditentukan.
Pembaca yang penuh perhatian mungkin akan bertanya: “Bagaimana dengan garis singgung dan kotangen?” Tidak mungkin menghitung fungsi-fungsi ini secara langsung dari rumus di atas. Namun ada konsekuensi penting dari identitas dasar trigonometri yang sudah mengandung garis singgung dan kotangen. Yaitu:
Akibat wajar yang penting: untuk sudut mana pun α, identitas trigonometri dasar dapat ditulis ulang sebagai berikut:
Persamaan ini mudah diturunkan dari identitas utama - cukup membagi kedua ruas dengan cos 2 α (untuk mendapatkan garis singgung) atau dengan sin 2 α (untuk mendapatkan kotangen).
Mari kita lihat semua ini contoh spesifik. Di bawah ini adalah soal B11 sebenarnya yang diambil dari soal tiruan Opsi Ujian Negara Bersatu dalam matematika 2012.
Kita tahu cosinusnya, tapi kita tidak tahu sinusnya. Identitas trigonometri utama (dalam bentuk “murni”) hanya menghubungkan fungsi-fungsi ini, jadi kita akan mengerjakannya. Kita punya:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.
Untuk menyelesaikan soal tersebut, tinggal mencari tanda sinus. Karena sudut α ∈ (π /2; π ), maka masuk ukuran derajat ini ditulis sebagai berikut: α ∈ (90°; 180°).
Oleh karena itu, sudut α terletak pada kuarter koordinat II - semua sinus di sana adalah positif. Oleh karena itu dosa α = 0,1.
Jadi, kita tahu sinusnya, tapi kita perlu mencari cosinusnya. Kedua fungsi ini berada dalam identitas trigonometri dasar. Mari kita gantikan:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.
Tetap berurusan dengan tanda di depan pecahan. Apa yang harus dipilih: plus atau minus? Dengan syarat, sudut α termasuk dalam interval (π 3π /2). Mari kita ubah sudut dari ukuran radian ke derajat - kita mendapatkan: α ∈ (180°; 270°).
Jelasnya, ini adalah kuarter koordinat III, di mana semua kosinusnya negatif. Oleh karena itu cos α = −0,5.
Tugas. Carilah tan α jika diketahui hal berikut:
Tangen dan kosinus dihubungkan dengan persamaan identitas trigonometri dasar sebagai berikut:
Kita peroleh: tan α = ±3. Tanda garis singgung ditentukan oleh sudut α. Diketahui α ∈ (3π /2; 2π ). Mari kita ubah sudut dari ukuran radian ke derajat - kita mendapatkan α ∈ (270°; 360°).
Jelas sekali, ini adalah kuarter koordinat IV, yang semua garis singgungnya negatif. Oleh karena itu tan α = −3.
Tugas. Carilah cos α jika diketahui hal berikut:
Sekali lagi sinus diketahui dan kosinus tidak diketahui. Mari kita tuliskan identitas trigonometri utama:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.
Tandanya ditentukan oleh sudutnya. Kita mempunyai: α ∈ (3π /2; 2π ). Mari kita ubah sudut dari derajat ke radian: α ∈ (270°; 360°) adalah seperempat koordinat IV, kosinusnya positif. Oleh karena itu, cos α = 0,6.
Tugas. Carilah sin α jika diketahui hal berikut:
Mari kita tuliskan rumus yang mengikuti identitas trigonometri dasar dan menghubungkan langsung sinus dan kotangen:
Dari sini kita mendapatkan sin 2 α = 1/25, yaitu. dosa α = ±1/5 = ±0,2. Diketahui sudut α ∈ (0; π /2). Dalam besaran derajat ditulis sebagai berikut: α ∈ (0°; 90°) - koordinat I seperempat.
Jadi, sudutnya berada pada kuadran koordinat I - semua fungsi trigonometri di sana positif, jadi sin α = 0,2.
