Trinomial persegi kapak 2 +bx+c dapat difaktorkan menjadi faktor linier dengan menggunakan rumus:
kapak 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2), Di mana x 1, x 2- akar persamaan kuadrat kapak 2 +bx+c=0.
Memperluas trinomial kuadrat ke faktor linier:
Contoh 1). 2x 2 -7x-15.
Larutan. 2x 2 -7x-15=0.
A=2; B=-7; C=-15. Ini adalah kasus umum untuk persamaan kuadrat lengkap. Menemukan yang diskriminan D.
D=b 2 -4ac=(-7) 2 -4∙2∙(-15)=49+120=169=13 2 >0; 2 akar nyata.
Mari kita terapkan rumusnya: kapak 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).
2x 2 -7x-15=2 (x+1,5)(x-5)=(2x+3)(x-5). Kami memperkenalkan trinomial ini 2x 2 -7x-15 2x+3 Dan x-5.
Menjawab: 2x 2 -7x-15= (2x+3)(x-5).
Contoh 2). 3x 2 +2x-8.
Larutan. Mari kita cari akar persamaan kuadrat:
A=3; B=2;C=-8. Ini kasus spesial untuk persamaan kuadrat lengkap dengan koefisien kedua genap ( B=2). Menemukan yang diskriminan D 1.
Mari kita terapkan rumusnya: kapak 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).
Kami memperkenalkan trinomial 3x 2 +2x-8 sebagai hasil kali binomial x+2 Dan 3x-4.
Menjawab: 3x 2 +2x-8 =(x+2)(3x-4).
Contoh 3). 5x 2 -3x-2.
Larutan. Mari kita cari akar persamaan kuadrat:
A=5; B=-3; C=-2. Ini merupakan kasus khusus untuk persamaan kuadrat lengkap dengan ketentuan sebagai berikut: a+b+c=0(5-3-2=0). Dalam beberapa kasus akar pertama selalu sama dengan satu, dan akar kedua sama dengan hasil bagi suku bebas dibagi koefisien pertama:
Mari kita terapkan rumusnya: kapak 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).
5x 2 -3x-2=5 (x-1)(x+0,4)=(x-1)(5x+2). Kami memperkenalkan trinomial 5x 2 -3x-2 sebagai hasil kali binomial x-1 Dan 5x+2.
Menjawab: 5x 2 -3x-2= (x-1)(5x+2).
Contoh 4). 6x 2 +x-5.
Larutan. Mari kita cari akar persamaan kuadrat:
A=6; B=1; C=-5. Ini merupakan kasus khusus untuk persamaan kuadrat lengkap dengan ketentuan sebagai berikut: ab+c=0(6-1-5=0). Dalam beberapa kasus akar pertama selalu sama dengan minus satu, dan akar kedua sama dengan hasil bagi dikurangi pembagian suku bebas dengan koefisien pertama:
Mari kita terapkan rumusnya: kapak 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).
Kami memperkenalkan trinomial 6x 2 +x-5 sebagai hasil kali binomial x+1 Dan 6x-5.
Menjawab: 6x 2 +x-5= (x+1)(6x-5).
Contoh 5). x 2 -13x+12.
Larutan. Mari kita cari akar-akar persamaan kuadrat berikut:
x 2 -13x+12=0. Mari kita periksa apakah itu bisa diterapkan. Untuk ini mari kita temukan diskriminannya dan pastikan bahwa dia memang benar persegi sempurna bilangan bulat.
A=1; B=-13; C=12. Menemukan yang diskriminan D.
D=b 2 -4ac=13 2 -4∙1∙12=169-48=121=11 2 .
Mari kita terapkan teorema Vieta: jumlah akar-akarnya harus sama dengan koefisien kedua yang diambil tanda yang berlawanan, dan hasil kali akar-akarnya harus sama dengan suku bebasnya:
x 1 + x 2 =13; x 1 ∙x 2 =12. Jelas bahwa x 1 =1; x 2 =12.
Mari kita terapkan rumusnya: kapak 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).
x 2 -13x+12=(x-1)(x-12).
Menjawab: x 2 -13x+12= (x-1)(x-12).
Contoh 6). x 2 -4x-6.
Larutan. Mari kita cari akar-akar persamaan kuadrat berikut:
A=1; B=-4; C=-6. Koefisien kedua - bilangan genap. Temukan diskriminan D 1.
Diskriminan bukanlah kuadrat sempurna dari suatu bilangan bulat, oleh karena itu, teorema Vieta tidak akan membantu kita, dan kita akan mencari akar-akarnya menggunakan rumus koefisien kedua genap:
Mari kita terapkan rumusnya: kapak 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2) dan tuliskan jawabannya.
Pada artikel ini kami akan menunjukkan cara memberi pengertian sinus, cosinus, tangen dan kotangen suatu sudut dan bilangan dalam trigonometri. Disini kita akan membahas tentang notasi, memberikan contoh entri, dan memberikan ilustrasi grafis. Sebagai kesimpulan, mari kita tarik persamaan antara definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen dalam trigonometri dan geometri.
Navigasi halaman.
Pengertian sinus, cosinus, tangen dan kotangen
Mari kita lihat bagaimana gagasan sinus, kosinus, tangen, dan kotangen terbentuk kursus sekolah matematika. Pada pembelajaran geometri diberikan pengertian sinus, cosinus, tangen dan kotangen sudut lancip dalam segitiga siku-siku. Dan selanjutnya dipelajari trigonometri yang membahas tentang sinus, kosinus, tangen dan kotangen sudut rotasi dan bilangan. Mari kita sajikan semua definisi ini, berikan contoh dan berikan komentar yang diperlukan.
Sudut lancip pada segitiga siku-siku
Dari mata kuliah geometri kita mengetahui pengertian sinus, cosinus, tangen dan kotangen sudut lancip pada segitiga siku-siku. Diberikan sebagai perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku. Mari kita berikan rumusannya.
Definisi.
Sinus sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah sebuah sikap kaki yang berlawanan ke sisi miring.
Definisi.
Kosinus sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah sebuah sikap kaki yang berdekatan ke sisi miring.
Definisi.
Garis singgung sudut lancip pada segitiga siku-siku– ini adalah perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan.
Definisi.
Kotangen sudut lancip pada segitiga siku-siku- ini adalah perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi yang berlawanan.
Sebutan untuk sinus, cosinus, tangen, dan kotangen juga diperkenalkan di sana - masing-masing sin, cos, tg, dan ctg.
Misalnya, jika ABC adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku C, maka sinus sudut lancip A sama dengan rasionya sisi BC yang berhadapan dengan sisi miring AB, yaitu sin∠A=BC/AB.
Definisi ini memungkinkan Anda menghitung nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen sudut lancip dari panjang yang diketahui sisi-sisi segitiga siku-siku, serta sepanjang nilai-nilai yang diketahui tentukan panjang sisi yang lain dengan menggunakan sinus, cosinus, tangen, kotangen, dan panjang salah satu sisinya. Misalnya, jika kita mengetahui bahwa pada segitiga siku-siku, kaki AC sama dengan 3 dan sisi miring AB sama dengan 7, maka kita dapat menghitung nilai kosinus sudut lancip A dengan definisi: cos∠A=AC/ AB=3/7.
Sudut rotasi
Dalam trigonometri, mereka mulai melihat sudut secara lebih luas - mereka memperkenalkan konsep sudut rotasi. Besarnya sudut rotasi, tidak seperti sudut lancip, tidak terbatas pada 0 hingga 90 derajat; sudut rotasi dalam derajat (dan dalam radian) dapat dinyatakan dengan bilangan real apa pun dari −∞ hingga +∞.
Dalam hal ini, definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen yang diberikan bukan tentang sudut lancip, tetapi tentang sudut. ukuran sewenang-wenang- sudut rotasi. Mereka diberikan melalui koordinat x dan y dari titik A 1, yang disebut titik awal A(1, 0) setelah rotasinya dengan sudut α di sekitar titik O - awal dari sistem koordinat Cartesian persegi panjang dan pusat lingkaran satuan.
Definisi.
Sinus sudut rotasiα adalah ordinat titik A 1, yaitu sinα=y.
Definisi.
Kosinus sudut rotasiα disebut absis titik A 1, yaitu cosα=x.
Definisi.
Tangen sudut rotasiα adalah perbandingan ordinat titik A 1 dengan absisnya, yaitu tanα=y/x.
Definisi.
Kotangen sudut rotasiα adalah perbandingan absis titik A 1 dengan ordinatnya, yaitu ctgα=x/y.
Sinus dan kosinus didefinisikan untuk sembarang sudut α, karena kita selalu dapat menentukan absis dan ordinat suatu titik, yang diperoleh dengan memutar titik awal sebesar sudut α. Tapi garis singgung dan kotangen tidak ditentukan untuk sudut mana pun. Garis singgung tidak ditentukan untuk sudut α yang titik awalnya menuju ke titik dengan absis nol (0, 1) atau (0, −1), dan ini terjadi pada sudut 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Memang benar, pada sudut rotasi seperti itu, ekspresi tgα=y/x tidak masuk akal, karena mengandung pembagian dengan nol. Adapun kotangen tidak terdefinisi untuk sudut α yang titik awalnya menuju ke titik dengan ordinat nol (1, 0) atau (−1, 0), dan ini terjadi untuk sudut 180° k, k ∈Z (π·k rad).
Jadi, sinus dan cosinus didefinisikan untuk setiap sudut rotasi, tangen didefinisikan untuk semua sudut kecuali 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), dan kotangen didefinisikan untuk semua sudut kecuali 180° ·k , k∈Z (π·k rad).
Definisi tersebut antara lain adalah sebutan sin, cos, tg dan ctg yang sudah kita ketahui, juga digunakan untuk menunjukkan sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari sudut rotasi (terkadang kita dapat menemukan sebutan tan dan cot yang sesuai dengan tangen dan kotangen) . Jadi sinus sudut rotasi 30 derajat dapat ditulis sebagai sin30°, entri tg(−24°17′) dan ctgα sesuai dengan tangen sudut rotasi −24 derajat 17 menit dan kotangen sudut rotasi α . Ingatlah bahwa ketika menulis ukuran radian suatu sudut, sebutan “rad” sering dihilangkan. Misalnya, kosinus sudut rotasi tiga pi rad biasanya dilambangkan cos3·π.
Sebagai penutup poin ini, perlu diperhatikan bahwa ketika berbicara tentang sinus, cosinus, tangen, dan kotangen sudut rotasi, frasa “sudut rotasi” atau kata “rotasi” sering dihilangkan. Artinya, alih-alih frasa "sinus sudut rotasi alfa", biasanya digunakan frasa "sinus sudut alfa" atau, lebih pendek lagi, "sinus alfa". Hal yang sama berlaku untuk kosinus, tangen, dan kotangen.
Kita juga akan mengatakan bahwa definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen sudut lancip pada segitiga siku-siku konsisten dengan definisi yang baru saja diberikan untuk sinus, cosinus, tangen, dan kotangen sudut rotasi yang berkisar antara 0 hingga 90 derajat. Kami akan membenarkan hal ini.
Angka
Definisi.
Sinus, cosinus, tangen dan kotangen suatu bilangan t adalah nomornya sama dengan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen sudut rotasi masing-masing dalam t radian.
Misalnya, kosinus bilangan 8 π menurut definisi adalah bilangan sama dengan cosinus sudut 8·π rad. Dan cosinus sudut 8·π rad sama dengan satu, oleh karena itu cosinus dari bilangan 8·π sama dengan 1.
Ada pendekatan lain untuk menentukan sinus, kosinus, tangen, dan kotangen suatu bilangan. Terdiri dari kenyataan bahwa setiap orang bilangan real t ditetapkan ke suatu titik pada lingkaran satuan yang berpusat di awal sistem persegi panjang koordinat, dan sinus, cosinus, tangen dan kotangen ditentukan melalui koordinat titik ini. Mari kita lihat ini lebih terinci.
Mari kita tunjukkan bagaimana korespondensi dibuat antara bilangan real dan titik pada lingkaran:
- angka 0 ditetapkan sebagai titik awal A(1, 0);
- nomor positif t dikaitkan dengan titik lingkaran satuan yang akan kita capai jika kita bergerak sepanjang lingkaran dari titik awal berlawanan arah jarum jam dan mari kita berjalan di jalannya panjang t;
- bilangan negatif t dikaitkan dengan sebuah titik pada lingkaran satuan, yang akan kita capai jika kita bergerak sepanjang lingkaran dari titik awal searah jarum jam dan menempuh lintasan yang panjangnya |t| .
Sekarang kita beralih ke definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari bilangan t. Mari kita asumsikan bahwa bilangan t berhubungan dengan suatu titik pada lingkaran A 1 (x, y) (misalnya, bilangan &pi/2; berhubungan dengan titik A 1 (0, 1)).
Definisi.
Sinus dari bilangan tersebut t adalah ordinat titik pada lingkaran satuan yang bersesuaian dengan bilangan t, yaitu sint=y.
Definisi.
Kosinus bilangan tersebut t disebut absis titik lingkaran satuan yang bersesuaian dengan bilangan t, yaitu biaya=x.
Definisi.
Garis singgung bilangan tersebut t adalah perbandingan ordinat terhadap absis suatu titik pada lingkaran satuan yang bersesuaian dengan bilangan t, yaitu tgt=y/x. Dalam rumusan ekuivalen lainnya, tangen suatu bilangan t adalah perbandingan sinus bilangan tersebut dengan kosinusnya, yaitu tgt=sint/biaya.
Definisi.
Kotangen bilangan tersebut t adalah perbandingan absis terhadap ordinat suatu titik pada lingkaran satuan yang bersesuaian dengan bilangan t, yaitu ctgt=x/y. Rumusan lainnya begini: tangen bilangan t adalah perbandingan kosinus bilangan t dengan sinus bilangan t: ctgt=cost/sint.
Di sini kami mencatat bahwa definisi yang baru saja diberikan konsisten dengan definisi yang diberikan di awal paragraf ini. Memang benar, titik pada lingkaran satuan yang bersesuaian dengan bilangan t bertepatan dengan titik yang diperoleh dengan memutar titik awal sebesar sudut t radian.
Hal ini masih perlu diklarifikasi. Katakanlah kita memiliki entri sin3. Bagaimana kita dapat memahami apakah yang kita bicarakan adalah sinus angka 3 atau sinus sudut rotasi 3 radian? Hal ini biasanya jelas dari konteksnya, jika tidak maka kemungkinan besar hal ini tidak terlalu penting.
Fungsi trigonometri argumen sudut dan numerik
Menurut definisi yang diberikan pada paragraf sebelumnya, setiap sudut rotasi α bersesuaian sepenuhnya nilai tertentu sinα sama dengan nilai cosα. Selain itu, semua sudut rotasi selain 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) sesuai dengan nilai tgα, dan nilai selain 180°k, k∈Z (πk rad ) – nilai dari ctgα. Oleh karena itu sinα, cosα, tanα dan ctgα merupakan fungsi dari sudut α. Dengan kata lain, ini adalah fungsi dari argumen sudut.
Demikian pula kita dapat membicarakan fungsi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen argumen numerik. Memang, setiap bilangan real t berhubungan dengan nilai sint yang sangat spesifik, serta biaya. Selain itu, semua bilangan selain π/2+π·k, k∈Z sesuai dengan nilai tgt, dan bilangan π·k, k∈Z - nilai ctgt.
Fungsi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen disebut fungsi trigonometri dasar.
Biasanya jelas dari konteksnya apakah kita berurusan dengan fungsi trigonometri argumen sudut atau argumen numerik. Jika tidak, kita dapat menganggap variabel independen sebagai ukuran sudut (argumen sudut) dan argumen numerik.
Namun, di sekolah mereka kebanyakan belajar fungsi numerik, yaitu fungsi yang argumennya, seperti nilai fungsinya yang bersesuaian, berupa angka. Oleh karena itu, jika yang sedang kita bicarakan khusus tentang fungsi, disarankan untuk mempertimbangkan fungsi trigonometri sebagai fungsi argumen numerik.
Hubungan antara definisi geometri dan trigonometri
Jika kita perhatikan sudut rotasi α yang berkisar antara 0 hingga 90 derajat, maka definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen sudut rotasi dalam konteks trigonometri sepenuhnya sesuai dengan definisi sinus, kosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut lancip pada segitiga siku-siku, yang diberikan pada mata kuliah geometri. Mari kita benarkan hal ini.
Mari kita gambarkan dalam bentuk persegi panjang sistem kartesius koordinat lingkaran satuan Oxy. Mari kita tandai titik awal A(1, 0) . Mari kita putar dengan sudut α mulai dari 0 hingga 90 derajat, kita mendapatkan titik A 1 (x, y). Mari kita jatuhkan garis tegak lurus A 1 H dari titik A 1 ke sumbu Ox.
Sangat mudah untuk melihat bahwa dalam segitiga siku-siku sudut A 1 OH sama dengan sudut putaran , panjang kaki OH yang berdekatan dengan sudut ini sama dengan absis titik A 1 yaitu |OH|=x, panjang kaki A 1 H yang berhadapan dengan sudut sama dengan ordinat dari titik A 1 yaitu |A 1 H|=y, dan panjang sisi miring OA 1 sama dengan satu, karena merupakan jari-jari lingkaran satuan. Maka menurut definisi geometri, sinus sudut lancip pada segitiga siku-siku A 1 OH sama dengan perbandingan kaki yang berhadapan dengan sisi miring, yaitu sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= kamu/1=kamu. Dan menurut definisi trigonometri, sinus sudut rotasi sama dengan ordinat titik A 1, yaitu sinα=y. Hal ini menunjukkan bahwa menentukan sinus sudut lancip pada segitiga siku-siku sama dengan menentukan sinus sudut rotasi α ketika α berkisar antara 0 hingga 90 derajat.
Demikian pula dapat ditunjukkan bahwa definisi kosinus, tangen, dan kotangen sudut lancip α konsisten dengan definisi kosinus, tangen, dan kotangen sudut rotasi α.
Bibliografi.
- Geometri. kelas 7-9: buku teks untuk pendidikan umum institusi / [L. S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, dan lainnya]. - edisi ke-20. M.: Pendidikan, 2010. - 384 hal.: sakit. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Pogorelov A.V. Geometri: Buku Teks. untuk kelas 7-9. pendidikan umum institusi / A.V. Pogorelov. - Edisi ke-2 - M.: Pendidikan, 2001. - 224 hal.: sakit. - ISBN 5-09-010803-X.
- Aljabar dan fungsi dasar : tutorial untuk siswa kelas 9 sekolah menengah atas/ E.S.Kochetkov, E.S.Kochetkova; Diedit oleh Doktor Ilmu Fisika dan Matematika O. N. Golovin - edisi ke-4. M.: Pendidikan, 1969.
- Aljabar: Buku pelajaran untuk kelas 9. rata-rata sekolah/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Pendidikan, 1990. - 272 hal.: sakit
- Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk kelas 10-11. pendidikan umum institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. Ed. A. N. Kolmogorov. - Edisi ke-14 - M.: Pendidikan, 2004. - 384 hal.: sakit.
- Mordkovich A.G. Aljabar dan awal mula analisis. kelas 10. Pada 2 hal. Bagian 1: tutorial untuk lembaga pendidikan (tingkat profil)/ A.G. Mordkovich, P.V.Semenov. - Edisi ke-4, tambahkan. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Aljabar dan dimulai analisis matematis. kelas 10: buku teks. untuk pendidikan umum institusi: dasar dan profil. tingkat /[Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; diedit oleh A.B.Zhizhchenko. - edisi ke-3. - I.: Pendidikan, 2010.- 368 hal.: sakit.- ISBN 978-5-09-022771-1.
- Bashmakov M.I. Aljabar dan awal mula analisis: Buku Ajar. untuk kelas 10-11. rata-rata sekolah - edisi ke-3. - M.: Pendidikan, 1993. - 351 hal.: sakit. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan bagi mereka yang memasuki sekolah teknik): Proc. tunjangan.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hal., sakit.
Kita akan memulai pembelajaran trigonometri dengan segitiga siku-siku. Mari kita definisikan apa itu sinus dan kosinus, serta garis singgung dan kotangen sudut lancip. Ini adalah dasar-dasar trigonometri.
Izinkan kami mengingatkan Anda akan hal itu sudut kanan adalah sudut yang besarnya sama dengan 90 derajat. Dengan kata lain, setengah sudut berubah.
Sudut tajam- kurang dari 90 derajat.
Sudut tumpul- lebih besar dari 90 derajat. Jika diterapkan pada sudut seperti itu, “tumpul” bukanlah sebuah penghinaan, melainkan istilah matematika :-)
Mari kita menggambar segitiga siku-siku. Sudut siku-siku biasanya dilambangkan dengan . Perlu diketahui bahwa sisi yang berhadapan dengan sudut ditandai dengan huruf yang sama, hanya kecil. Jadi, sisi yang berhadapan dengan sudut A disebut .
Sudutnya ditunjukkan oleh yang sesuai surat Yunani.
Sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah sisi yang berhadapan sudut kanan.
Kaki- sisi-sisi yang berhadapan dengan sudut lancip.
Kaki yang terletak berhadapan dengan sudut disebut di depan(relatif terhadap sudut). Kaki lainnya yang terletak pada salah satu sisi sudut disebut bersebelahan.
Sinus Sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi berhadapan dengan sisi miring:
Kosinus sudut lancip dalam segitiga siku-siku - rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring:
Garis singgung sudut lancip pada segitiga siku-siku - perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan:
Definisi lain (yang setara): garis singgung sudut lancip adalah perbandingan sinus sudut dengan kosinusnya:
Kotangens sudut lancip dalam segitiga siku-siku - perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi yang berlawanan (atau, yang sama, perbandingan kosinus dan sinus):
Perhatikan hubungan dasar sinus, cosinus, tangen, dan kotangen di bawah ini. Mereka akan berguna bagi kita ketika memecahkan masalah.
Mari kita buktikan beberapa di antaranya.
Oke, kami sudah memberikan definisi dan menuliskan rumusnya. Tapi kenapa kita masih membutuhkan sinus, cosinus, tangen dan kotangen?
Kami tahu itu jumlah sudut suatu segitiga sama dengan.
Kita tahu hubungan antara keduanya Para Pihak segitiga siku-siku. Ini adalah teorema Pythagoras: .
Ternyata dengan mengetahui dua sudut dalam sebuah segitiga, Anda bisa menemukan sudut ketiga. Mengetahui kedua sisi segitiga siku-siku, Anda dapat menemukan sisi ketiga. Artinya sudut-sudutnya mempunyai perbandingannya sendiri-sendiri, dan sisi-sisinya mempunyai perbandingannya sendiri-sendiri. Namun apa yang harus kamu lakukan jika dalam segitiga siku-siku kamu mengetahui satu sudut (kecuali sudut siku-siku) dan satu sisinya, tetapi kamu perlu mencari sisi-sisi lainnya?
Hal inilah yang ditemui orang-orang di masa lalu ketika membuat peta wilayah dan langit berbintang. Lagi pula, tidak selalu mungkin untuk mengukur semua sisi segitiga secara langsung.
Sinus, kosinus, dan tangen - disebut juga fungsi sudut trigonometri- berikan hubungan antar Para Pihak Dan sudut segi tiga. Mengetahui sudut, Anda dapat mengetahui semua fungsi trigonometrinya menggunakan tabel khusus. Dan dengan mengetahui sinus, cosinus, dan garis singgung sudut segitiga dan salah satu sisinya, Anda dapat mengetahui sisanya.
Kami juga akan menggambar tabel nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen untuk sudut “baik” dari ke.
Harap perhatikan dua garis merah pada tabel. Pada nilai yang sesuai Sudut singgung dan kotangen tidak ada.
Mari kita lihat beberapa soal trigonometri dari Bank Tugas FIPI.
1. Dalam suatu segitiga, sudutnya adalah , . Menemukan .
Masalahnya terpecahkan dalam empat detik.
Karena , .
2. Sudut dalam segitiga adalah , , . Menemukan .
Mari kita cari menggunakan teorema Pythagoras.
Masalah terpecahkan.
Seringkali dalam soal ada segitiga dengan sudut dan atau dengan sudut dan. Ingat rasio dasar mereka dengan hati!
Untuk segitiga yang sudutnya dan kaki yang berhadapan dengan sudut di sama dengan setengah dari sisi miring.
Segitiga yang mempunyai sudut dan sama kaki. Di dalamnya, sisi miringnya beberapa kali lebih besar dari kakinya.
Kami melihat masalah penyelesaian segitiga siku-siku - yaitu menemukan pihak yang tidak dikenal atau sudut. Tapi bukan itu saja! DI DALAM Opsi Ujian Negara Bersatu dalam matematika banyak sekali permasalahan yang berkaitan dengan sinus, cosinus, tangen atau kotangen sudut luar suatu segitiga. Lebih lanjut tentang ini di artikel berikutnya.
Solusi paling sederhana persamaan trigonometri.
Memecahkan persamaan trigonometri pada tingkat kerumitan apa pun pada akhirnya bermuara pada penyelesaian persamaan trigonometri yang paling sederhana. Dan dalam hal ini penolong terbaik sekali lagi ternyata lingkaran trigonometri.
Mari kita mengingat kembali definisi cosinus dan sinus.
Kosinus suatu sudut adalah absis (yaitu, koordinat sepanjang sumbu) suatu titik pada lingkaran satuan yang berhubungan dengan rotasi melalui sudut tertentu.
Sinus suatu sudut adalah ordinat (yaitu koordinat sepanjang sumbu) suatu titik pada lingkaran satuan yang berhubungan dengan rotasi melalui sudut tertentu.
Arah gerak positif pada lingkaran trigonometri adalah berlawanan arah jarum jam. Rotasi 0 derajat (atau 0 radian) berhubungan dengan suatu titik dengan koordinat (1;0)
Kami menggunakan definisi ini untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana.
1. Selesaikan persamaannya
Persamaan ini dipenuhi oleh semua nilai sudut rotasi yang bersesuaian dengan titik-titik pada lingkaran yang ordinatnya sama dengan .
Mari kita tandai suatu titik dengan ordinat pada sumbu ordinat:
Gambarlah garis mendatar sejajar sumbu x hingga berpotongan dengan lingkaran. Kita mendapatkan dua titik yang terletak pada lingkaran dan memiliki sumbu ordinat. Titik-titik ini sesuai dengan sudut rotasi dalam dan radian:
Jika kita meninggalkan titik yang sesuai dengan sudut rotasi dalam radian, kita memutarnya lingkaran penuh, maka kita akan sampai pada suatu titik yang sesuai dengan sudut rotasi per radian dan mempunyai ordinat yang sama. Artinya, sudut rotasi ini juga memenuhi persamaan kita. Kita dapat melakukan putaran “idle” sebanyak yang kita suka, kembali ke titik yang sama, dan semua nilai sudut ini akan memenuhi persamaan kita. Jumlah putaran “idle” akan dilambangkan dengan huruf (atau). Karena kita dapat melakukan putaran ini dalam arah positif dan negatif, (atau) dapat mengambil nilai bilangan bulat berapa pun.
Artinya, deret pertama penyelesaian persamaan awal berbentuk:
, , - himpunan bilangan bulat (1)
Demikian pula, solusi rangkaian kedua memiliki bentuk:
, Di mana , . (2)
Seperti yang sudah Anda duga, rangkaian solusi ini didasarkan pada titik pada lingkaran yang bersesuaian dengan sudut rotasi sebesar .
Kedua rangkaian solusi ini dapat digabungkan menjadi satu entri:
Jika kita mengambil (yaitu, genap) dalam entri ini, maka kita akan mendapatkan rangkaian solusi pertama.
Jika kita mengambil (yaitu ganjil) dalam entri ini, maka kita mendapatkan solusi rangkaian kedua.
2. Sekarang mari kita selesaikan persamaannya
Karena ini adalah absis suatu titik pada lingkaran satuan yang diperoleh dengan memutar suatu sudut, maka kita tandai titik tersebut dengan absis pada sumbunya:
Mari kita lakukan garis vertikal sejajar sumbu sampai berpotongan dengan lingkaran. Kita akan mendapatkan dua titik yang terletak pada lingkaran dan memiliki sumbu absis. Titik-titik ini sesuai dengan sudut rotasi dalam dan radian. Ingatlah bahwa ketika bergerak searah jarum jam kita mendapatkan sudut rotasi negatif:
Mari kita tuliskan dua rangkaian solusi:
,
,
(Kami masuk ke dalamnya titik yang diinginkan, lewat dari lingkaran penuh utama, yaitu.
Mari gabungkan kedua seri ini menjadi satu entri:
3. Selesaikan persamaannya
Garis singgung melewati titik dengan koordinat (1,0) lingkaran satuan yang sejajar sumbu OY
Mari kita tandai sebuah titik di atasnya dengan ordinat sama dengan 1 (kita mencari garis singgung sudut yang sama dengan 1):
Mari kita hubungkan titik ini dengan titik asal koordinat dengan sebuah garis lurus dan tandai titik potong garis tersebut dengan lingkaran satuan. Titik potong garis lurus dan lingkaran sesuai dengan sudut rotasi pada dan:
Karena titik-titik yang sesuai dengan sudut rotasi yang memenuhi persamaan kita terletak pada jarak radian satu sama lain, kita dapat menulis penyelesaiannya sebagai berikut:
4. Selesaikan persamaannya
Garis kotangen melewati suatu titik yang koordinat lingkaran satuannya sejajar dengan sumbunya.
Mari kita tandai sebuah titik dengan absis -1 pada garis kotangen:
Mari kita hubungkan titik ini dengan asal garis lurus dan lanjutkan hingga berpotongan dengan lingkaran. Garis lurus ini akan memotong lingkaran di titik-titik yang sesuai dengan sudut rotasi dalam dan radian:
Karena titik-titik ini dipisahkan satu sama lain dengan jarak yang sama dengan , maka keputusan bersama Kita dapat menulis persamaan ini seperti ini:
Dalam contoh di atas yang mengilustrasikan penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana, nilai tabel fungsi trigonometri digunakan.
Namun, jika ruas kanan persamaan mengandung nilai non-tabular, maka kita substitusikan nilai tersebut ke dalam solusi umum persamaan tersebut:
SOLUSI KHUSUS:
Mari kita tandai titik-titik pada lingkaran yang ordinatnya 0:
Mari kita tandai satu titik pada lingkaran yang ordinatnya 1:
Mari kita tandai satu titik pada lingkaran yang ordinatnya sama dengan -1:
Karena merupakan kebiasaan untuk menunjukkan nilai yang mendekati nol, kami menulis solusinya sebagai berikut:
Mari kita tandai titik-titik pada lingkaran yang absisnya sama dengan 0:
5.
Mari kita tandai satu titik pada lingkaran yang absisnya sama dengan 1:
Mari kita tandai satu titik pada lingkaran yang absisnya sama dengan -1:
Dan contoh yang sedikit lebih rumit:
1.
Sinus sama dengan satu jika argumennya sama dengan
Argumen sinus kita sama, jadi kita peroleh:
Bagilah kedua ruas persamaan dengan 3:
Menjawab:
2.
Kosinus sama dengan nol, jika argumen cosinusnya sama dengan
Argumen cosinus kita sama dengan , sehingga kita peroleh:
Mari kita nyatakan, untuk melakukan ini pertama-tama kita pindah ke kanan dengan tanda sebaliknya:
Mari kita sederhanakan ruas kanan:
Bagi kedua ruas dengan -2:
Perhatikan bahwa tanda di depan suku tidak berubah, karena k dapat mengambil nilai bilangan bulat apa pun.
Menjawab:
Dan terakhir, tonton video tutorial “Memilih akar-akar persamaan trigonometri menggunakan lingkaran trigonometri"
Demikianlah pembahasan kita tentang penyelesaian persamaan trigonometri sederhana. Lain kali kita akan berbicara tentang bagaimana memutuskan.
Konsep sinus, kosinus, tangen, dan kotangen merupakan kategori utama trigonometri, salah satu cabang matematika, dan terkait erat dengan definisi sudut. Kepemilikan ini ilmu matematika membutuhkan hafalan dan pemahaman rumus dan teorema, serta pemikiran spasial yang dikembangkan. Hal inilah yang menyebabkan perhitungan trigonometri seringkali menimbulkan kesulitan bagi anak sekolah dan siswa. Untuk mengatasinya, sebaiknya Anda mengenal lebih dekat fungsi dan rumus trigonometri.
Konsep dalam trigonometri
Untuk mengerti konsep dasar trigonometri, pertama-tama Anda harus menentukan apa itu segitiga siku-siku dan sudut dalam lingkaran, dan mengapa semua perhitungan dasar trigonometri dikaitkan dengannya. Segitiga yang salah satu sudutnya 90 derajat adalah persegi panjang. Secara historis, angka ini sering digunakan oleh orang-orang di bidang arsitektur, navigasi, seni, dan astronomi. Oleh karena itu, dengan mempelajari dan menganalisis sifat-sifat angka ini, orang-orang dapat menghitung rasio yang sesuai dari parameternya.
Kategori utama yang terkait dengan segitiga siku-siku adalah sisi miring dan kaki. Sisi miring adalah sisi segitiga yang berhadapan dengan sudut siku-siku. Kakinya masing-masing adalah dua sisi yang tersisa. Jumlah sudut suatu segitiga selalu 180 derajat.
Trigonometri bola merupakan salah satu cabang trigonometri yang dipelajari bukan di sekolah, melainkan di ilmu terapan seperti astronomi dan geodesi, para ilmuwan menggunakannya. Keunikan segitiga dalam trigonometri bola adalah selalu mempunyai jumlah sudut lebih dari 180 derajat.
Sudut-sudut suatu segitiga
Dalam segitiga siku-siku, sinus suatu sudut adalah perbandingan kaki yang berhadapan dengan sudut yang diinginkan dengan sisi miring segitiga. Dengan demikian, kosinus adalah rasio kaki yang berdekatan dan sisi miring. Kedua nilai ini selalu mempunyai besaran kurang dari satu, karena sisi miring selalu lebih panjang dari pada kaki.
Garis singgung suatu sudut adalah nilai yang sama dengan perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan dari sudut yang diinginkan, atau sinus terhadap kosinus. Kotangen, pada gilirannya, adalah perbandingan sisi yang berdekatan dari sudut yang diinginkan dengan sisi yang berlawanan. Kotangen suatu sudut juga dapat diperoleh dengan membagi satu dengan nilai tangennya.
Lingkaran satuan
Lingkaran satuan dalam geometri adalah lingkaran yang jari-jarinya sama dengan satu. Lingkaran seperti itu dibangun dalam sistem koordinat Cartesian, dengan pusat lingkaran bertepatan dengan titik asal, dan posisi awal vektor jari-jari ditentukan sepanjang arah positif sumbu X (sumbu absis). Setiap titik pada lingkaran mempunyai dua koordinat: XX dan YY, yaitu koordinat absis dan ordinat. Dengan memilih titik mana pun pada lingkaran pada bidang XX dan menjatuhkan garis tegak lurus dari titik tersebut ke sumbu absis, kita memperoleh segitiga siku-siku yang dibentuk oleh jari-jari titik yang dipilih (dilambangkan dengan huruf C), garis tegak lurus yang ditarik ke sumbu X (titik potong dilambangkan dengan huruf G), dan ruas sumbu absis berada di antara titik asal koordinat (titik dilambangkan dengan huruf A) dan titik potong G. Segitiga ACG yang dihasilkan adalah segitiga siku-siku bertuliskan sebuah lingkaran, dengan AG adalah sisi miring, dan AC dan GC adalah kaki-kakinya. Sudut antara jari-jari lingkaran AC dan ruas sumbu absis bertanda AG didefinisikan sebagai α (alpha). Jadi, cos α = AG/AC. Mengingat AC adalah jari-jari lingkaran satuan dan sama dengan satu, maka ternyata cos α=AG. Demikian pula sin α=CG.
Selain itu, dengan mengetahui data ini, Anda dapat menentukan koordinat titik C pada lingkaran, karena cos α=AG, dan sin α=CG, artinya titik C memiliki koordinat yang diberikan(cos α; dosa α). Mengetahui bahwa garis singgung sama dengan perbandingan sinus dan cosinus, kita dapat menentukan bahwa tan α = y/x, dan cot α = x/y. Melihat sudutnya sistem negatif koordinat, Anda dapat menghitung bahwa nilai sinus dan cosinus beberapa sudut bisa negatif.
Perhitungan dan rumus dasar
Nilai fungsi trigonometri
Setelah mempertimbangkan esensi fungsi trigonometri melalui lingkaran satuan, kita dapat memperoleh nilai fungsi tersebut untuk beberapa sudut. Nilai-nilai tersebut tercantum pada tabel di bawah ini.
Identitas trigonometri paling sederhana
Persamaan yang didalamnya terdapat nilai yang tidak diketahui di bawah tanda fungsi trigonometri disebut trigonometri. Identitas dengan nilai sin x = α, k - bilangan bulat apa pun:
- sin x = 0, x = πk.
- 2. dosa x = 1, x = π/2 + 2πk.
- dosa x = -1, x = -π/2 + 2πk.
- dosa x = a, |a| > 1, tidak ada solusi.
- dosa x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.
Identitas dengan nilai cos x = a, dengan k adalah bilangan bulat apa pun:
- karena x = 0, x = π/2 + πk.
- karena x = 1, x = 2πk.
- karena x = -1, x = π + 2πk.
- karena x = a, |a| > 1, tidak ada solusi.
- karena x = a, |a| ≦ 1, x = ±arcos α + 2πk.
Identitas dengan nilai tg x = a, dengan k adalah bilangan bulat apa pun:
- tan x = 0, x = π/2 + πk.
- tan x = a, x = arctan α + πk.
Identitas dengan nilai ctg x = a, dengan k adalah bilangan bulat apa pun:
- cot x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x = a, x = arcctg α + πk.
Rumus reduksi
Kategori ini rumus konstan menunjukkan metode yang dengannya Anda dapat berpindah dari fungsi trigonometri bentuk ke fungsi argumen, yaitu, mengurangi sinus, kosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut dengan nilai berapa pun ke indikator sudut interval yang sesuai dari 0 hingga 90 derajat untuk kenyamanan perhitungan yang lebih baik.
Rumus pengurangan fungsi sinus suatu sudut adalah sebagai berikut:
- dosa(900 - α) = α;
- dosa(900 + α) = cos α;
- dosa(1800 - α) = dosa α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- dosa(2700 - α) = -cos α;
- dosa(2700 + α) = -cos α;
- dosa(3600 - α) = -dosa α;
- dosa(3600 + α) = dosa α.
Untuk kosinus sudut:
- cos(900 - α) = dosa α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = dosa α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
Penggunaan rumus di atas dimungkinkan dengan tunduk pada dua aturan. Pertama, jika sudut dapat direpresentasikan sebagai nilai (π/2 ± a) atau (3π/2 ± a), nilai fungsinya berubah:
- dari dosa ke cos;
- dari cos ke dosa;
- dari tg ke ctg;
- dari ctg ke tg.
Nilai fungsi tetap tidak berubah jika sudut dapat direpresentasikan sebagai (π ± a) atau (2π ± a).
Kedua, tanda fungsi tereduksi tidak berubah: jika awalnya positif, tetap demikian. Sama dengan fungsi negatif.
Rumus penjumlahan
Rumus ini menyatakan nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari jumlah dan selisih dua sudut rotasi melalui fungsi trigonometrinya. Biasanya sudut dilambangkan sebagai α dan β.
Rumusnya terlihat seperti ini:
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Rumus ini berlaku untuk semua sudut α dan β.
Rumus sudut rangkap dua dan rangkap tiga
Rumus trigonometri sudut rangkap dua dan rangkap tiga merupakan rumus yang menghubungkan fungsi sudut 2α dan 3α berturut-turut dengan fungsi trigonometri sudut α. Berasal dari rumus penjumlahan:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2 α.
- tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
- dosa3α = 3sinα - 4sin^3 α.
- cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
Transisi dari jumlah ke produk
Mengingat 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), dengan menyederhanakan rumus ini, kita memperoleh identitas sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Demikian pula sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = dosa(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Transisi dari produk ke jumlah
Rumus berikut mengikuti identitas transisi suatu jumlah ke suatu produk:
- dosaα * dosaβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Rumus pengurangan derajat
Dalam identitas ini, persegi dan derajat kubik sinus dan kosinus dapat dinyatakan melalui sinus dan kosinus derajat pertama suatu kelipatan sudut:
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Substitusi universal
Rumus substitusi trigonometri universal menyatakan fungsi trigonometri dalam bentuk garis singgung setengah sudut.
- sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), dengan x = π + 2πn;
- cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), dimana x = π + 2πn;
- tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), dimana x = π + 2πn;
- cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), dengan x = π + 2πn.
Kasus khusus
Kasus khusus dari persamaan trigonometri paling sederhana diberikan di bawah ini (k adalah bilangan bulat apa pun).
Hasil bagi untuk sinus:
| Nilai dosa x | nilai x |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk atau 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk atau -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk atau 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk atau -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk atau 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk atau -2π/3 + 2πk |
Hasil bagi untuk kosinus:
| karena nilai x | nilai x |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Hasil bagi untuk tangen:
| nilai tgx | nilai x |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Hasil bagi untuk kotangen:
| nilai ctgx | nilai x |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Teorema
Teorema sinus
Ada dua versi teorema - sederhana dan diperluas. Teorema sederhana sinus: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Dalam hal ini, a, b, c adalah sisi-sisi segitiga, dan α, β, γ masing-masing adalah sudut yang berhadapan.
Teorema sinus yang diperluas untuk segitiga sembarang: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Dalam identitas ini, R menunjukkan jari-jari lingkaran di mana segitiga tersebut berada.
Teorema kosinus
Identitasnya ditampilkan sebagai berikut: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Dalam rumusnya, a, b, c adalah sisi-sisi segitiga, dan α adalah sudut yang berhadapan dengan sisi a.
Teorema tangen
Rumus tersebut menyatakan hubungan antara garis singgung dua sudut dan panjang sisi-sisi yang berhadapan dengannya. Sisi-sisinya diberi label a, b, c, dan sudut-sudut yang berhadapan adalah α, β, γ. Rumus teorema tangen: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).
Teorema kotangen
Menghubungkan jari-jari lingkaran pada segitiga dengan panjang sisi-sisinya. Jika a, b, c adalah sisi-sisi segitiga, dan A, B, C berturut-turut adalah sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi-sisi tersebut, r adalah jari-jari lingkaran, dan p adalah setengah keliling segitiga, maka persamaan berikut identitas yang valid:
- cot A/2 = (p-a)/r;
- cot B/2 = (p-b)/r;
- tempat tidur C/2 = (p-c)/r.
Aplikasi
Trigonometri - tidak hanya ilmu teoritis berhubungan dengan rumus matematika. Sifat-sifatnya, teorema dan aturannya digunakan dalam praktik oleh berbagai industri. aktifitas manusia- astronomi, udara dan navigasi laut, teori musik, geodesi, kimia, akustik, optik, elektronik, arsitektur, ekonomi, teknik mesin, mengukur pekerjaan, grafik komputer, kartografi, oseanografi, dan banyak lainnya.
Sinus, kosinus, tangen, dan kotangen adalah konsep dasar trigonometri, yang dengannya seseorang dapat menyatakan secara matematis hubungan antara sudut dan panjang sisi-sisi dalam sebuah segitiga, dan menemukan besaran yang diperlukan melalui identitas, teorema, dan aturan.
