Ini akan mulai bekerja pada awal Maret Pameran Motor Jenewa Internasional 2018- salah satu yang terbesar dan peristiwa penting dalam kalender industri otomotif.
Apa yang harus kita harapkan, apa yang harus kita perhatikan? Sudah diketahui bahwa pemutaran perdana resmi dari banyak produk baru yang menarik akan berlangsung di pameran otomotif, beberapa di antaranya telah dideklasifikasi, dan beberapa di antaranya masih dirahasiakan.
lokasi, menurut tradisi, kami menyampaikan kepada Anda daftar produk baru dari Geneva Motor Show, yang mencakup model produksi dan prototipe konseptual, berdasarkan mobil baru yang akan dibuat dalam waktu dekat.
Tren industri menunjukkan bahwa fokus pameran otomotif kemungkinan besar adalah pada kendaraan listrik dan teknologi otonom, meskipun reputasi Jenewa menunjukkan bahwa pameran tersebut akan menjadi tuan rumah debut produk-produk baru dari merek-merek yang lebih eksotis yang siap menunjukkan kepada dunia mobil-mobil cepat terbaru mereka.
Audi
Prototipe SUV listrik Audi E-tron
Foto: AutocarMerek premium asal Jerman itu berencana menghadirkan model Audi A6 generasi baru di Jenewa. Selain itu, station wagon juga harus debut di pameran. Pesaing: BMW 5-Series dan Mercedes-Benz E-Class. Tentunya model 4 dan 5 pintu akan mengikuti jejak kakaknya A8. Hal ini berlaku untuk desain eksterior dan interior. Selain itu, Geneva Motor Show 2018 akan menjadi tuan rumah pemutaran perdana SUV listrik dunia. Diharapkan mobil produksinya tidak berbeda jauh dengan konsep bernama sama.
Bentley
Bentley Bentayga V8
Foto: BentleyMerek mewah asal Inggris Bentley berencana menampilkan kepada masyarakat umum modifikasi baru dari SUV mewah Bentayga. Jika mobil tersebut sudah resmi dideklasifikasi, maka berikut adalah model versi elektrifikasinya Bentley Bentayga PHEV sedang dirahasiakan untuk saat ini. Kemungkinan besar, mobil “ramah lingkungan” tersebut akan mendapat pembangkit listrik yang sama dengan model Porsche Cayenne S E-Hybrid.
BMW
BMW X4 cross-coupe generasi baru
Foto: BMWTentu saja, kebaruan utama Geneva Motor Show dari perusahaan Bavaria adalah cross-coupe. Mobil tersebut telah dideklasifikasi secara resmi. Tapi, jangan lupa di Jenewa merek Jerman itu berencana menampilkan BMW M8 Concept (namanya belum dikonfirmasi secara resmi), yang versi produksinya akan bersaing dengan pembeli dengan mobil seperti Aston Martin DB11 dan Mercedes-AMG S63. . Versi produksi model tersebut diharapkan akan menerima setidaknya 600 tenaga kuda dan debut pada tahun 2019. Roadster produksi BMW Z4 juga akan debut di Jenewa.
Citroen
Citroen Berlingo generasi baru
Foto: CitroenDi tribun perusahaan Perancis Citroen sebuah van akan ditampilkan di Geneva Motor Show 2018. Mobil segmen MPV mendapat platform baru, mesin baru dan desain yang direvisi. Sebelumnya kita sudah membicarakan secara detail tentang New Citroen Berlingo, tinggal menunggu public premiere-nya saja.
David Brown Otomotif
Logo Otomotif David Brown
Foto: David Brown OtomotifPerusahaan asal Inggris tersebut berencana menghadirkan versi model khusus dan berperforma tinggi di Jenewa GT cepat, dengan nama perkiraan Edisi Speedback Silverstone. Diketahui mobil tersebut akan diproduksi dalam edisi terbatas sebanyak 10 eksemplar. Mobil tersebut akan digerakkan oleh pembangkit listrik, yang outputnya akan melebihi 600 gaya.
Ferrari
Foto: Autocar
Merek asal Italia itu masih merahasiakan data apa pun tentang coupe "bermuatan" itu Ferrari 488 GTO. Meskipun demikian, versi hardcore sebelumnya dari model 488 GTB muncul di Internet. Beberapa hari lalu, pihak pabrikan secara resmi mengonfirmasi bahwa mobil tersebut akan ditampilkan di pameran otomotif tahun ini. Kami tunggu!
Hyundai
Hyundai Santa Fe generasi baru
Foto: HyundaiTentu saja kebaruan utama Geneva Motor Show 2018 dari perusahaan Korea ini adalah SUV baru generasi keempat. Mobil tersebut telah resmi dideklasifikasi, yang tersisa hanyalah menunggu penayangan perdana publik dan semua detailnya. Di samping itu, Pameran Motor Jenewa 2018 akan menjadi tempat pemutaran perdana salib listrik.
Honda
Hibrida Honda CR-V
Foto: HondaMenurut data awal, showroom mobil tersebut akan menjadi tempat pemutaran perdana SUV hybrid Eropa, yang akan memasuki pasar Dunia Lama tahun ini. Selain itu, brand asal Jepang tersebut akan menampilkan konsep dan .
desain miring
Penggoda Italdesign Zerouno Convertible
Foto: Desain ItalItaldesign yang terkenal di dunia akan secara terbuka menghadirkan mobil convertible berperforma tinggi di Jenewa Desain Ital Zerouno Convertible. Mobil ini merupakan versi terbuka dari supercar custom Italdesign Zerouno dengan bodi serat karbon. Sementara itu, mobil tersebut didasarkan pada sasis Lamborghini Huracan dengan mesin V10. Studio Italdesign yang terkenal akan merayakan hari jadinya yang ke-50 dengan roadster baru.
Mengarungi
Ford Ka+ dan Ford Ka+ Aktif yang diperbarui
Foto: FordStand perusahaan Amerika Ford seharusnya tidak membosankan, karena pabrikan tersebut membawa SUV terbaru ke Jenewa, serta city compact yang diperbarui, yang kini memiliki versi Ka+ Active yang “lumayan”. Penjualan produk baru di Eropa harus dimulai tahun ini.
KIA
KIA Ceed generasi baru
Foto: KIAPerusahaan Korea KIA Motors menghadirkan setidaknya dua produk baru ke pameran otomotif. Ini adalah: hatchback kompak 5 pintu dan . Seperti yang diketahui orang dalam, penjualan kedua mobil di Eropa pasti akan dimulai pada tahun ini.
penjelajah darat
Teaser SUV Coupe Range Rover SV
Foto: Land RoverPerusahaan asal Inggris tersebut telah resmi mengumumkan peluncuran perdana SUV 3 pintu tersebut. Mobil mewah yang diciptakan oleh spesialis dari divisi Special Vehicle Operations (SVO) ini akan menjadi salah satu kreasi termahal merek Inggris tersebut, dan akan bersaing dengan Rolls-Royce Cullinan mendatang. Range Rover SV Coupe edisi terbatas diperkirakan memiliki harga £250.000.
Jaguar
Prototipe salib listrik serial Jaguar I-Pace
Foto: AutocarInternasional Pameran Motor Jenewa 2018 akan menjadi lokasi pemutaran perdana serial salib listrik di dunia. Mobil yang diangkat dari konsep bernama sama ini akan bersaing dengan Tesla Model X dan Audi E-tron yang juga akan debut di Jenewa. Diketahui bahwa mobil tersebut telah lulus semua tes yang diperlukan dan telah mulai diproduksi di pabrik merek Inggris di Austria.
Lexus
Konsep Lexus UX
Foto: LexusVersi produksi dari konsep cross ini akhirnya akan debut di Geneva Auto Show 2018. DI DALAM saat ini Belum ada detail mengenai pesaing Jaguar E-Pace tersebut. Tentunya produk baru asal Jepang di segmen SUV ini kembali memukau dengan desainnya.
Mazda
Station wagon Mazda6 yang diperbarui
Foto: MazdaMerek asal Jepang tersebut akan menghadirkan station wagon terbaru di Geneva Motor Show 2018. Mobil praktis ini menerima sedikit perubahan desain eksterior, desain interior yang direvisi sepenuhnya, dan daftar perlengkapan yang tersedia lebih banyak.
McLaren
Foto: McLaren
Mobil unik tersebut sudah resmi dihadirkan, namun tampilan publik pertamanya akan berlangsung di Geneva Motor Show 2018. Mobil yang diberi nama sesuai dengan nama juara Formula 1 tiga kali ini dibekali mesin V8 4.0 liter yang mampu berakselerasi dari 0 hingga 100 km/jam dalam waktu 2,8 detik. Hanya 500 unit McLaren Senna coupe yang akan dibuat, yang masing-masing telah terjual seharga £750.000.
Mobil tersebut diyakini akan dibuat berdasarkan konsep Instinct dan Exalt, dan sepenuhnya didasarkan pada platform EMP2. Model 4 pintu tersebut rencananya akan memasuki pasar dunia pada akhir tahun 2018 – awal tahun 2019.
Detroit Auto Show 2018 - semua mobil produksi baru 2018-2019 dan konsep (prototipe) mobil masa depan dalam satu ulasan dengan foto. Detroit Auto Show atau North American International Auto Show tradisional membuka serangkaian pameran mobil di tahun baru 2018 dan siap memperkenalkan jurnalis otomotif, spesialis, dan penggemar mobil biasa ke semua pamerannya yang berlokasi di area luas kompleks pameran Cobo Center di Detroit Amerika. Detroit Auto Show dibuka pada 14 Januari 2018 dan selama dua minggu hingga 28 Januari inklusif akan memungkinkan Anda melihat produksi produk dan konsep baru dunia modern mobil.
Sebagai bagian dari Detroit Auto Show 2018, para pemimpin industri otomotif tidak hanya akan menghadirkan sejumlah model yang benar-benar baru, tetapi juga produk baru yang ditampilkan di Los Angeles Auto Show 2017. Pada saat yang sama, Detroit Auto Show 2018 menjadi ajang presentasi mahakarya sesungguhnya, salah satunya adalah SUV Gelendvagen generasi baru dari Mercedes. Namun, jangan lupakan produk baru lainnya. Jadi, sesuai tradisi baik blog majalah kami, kami akan mulai dengan konsep dan prototipe, lalu kami akan membahas tentang rangkaian produk baru yang dihadirkan di Detroit.
Model konsep dan prototipe ditampilkan di Detroit Auto Show 2018.
Prototipe Acura RDX merupakan konsep generasi ke-3 dari crossover kompak premium Acura RDX yang sepenuhnya dikembangkan di Amerika. SUV Acura RDX generasi ketiga ini didasarkan pada truk merek Acura baru, serta desain eksterior bodi Acura Precision yang apik dan interior Precision Cockpit yang super modern.
Video Prototipe Acura RDX 2018-2019
Perusahaan Jerman BMW AG menunjukkan di Detroit prototipe crossover hybrid 7 tempat duduk besar BMW X7 iPerformance Concept dengan pembangkit listrik yang terdiri dari mesin turbocharged 2.0 liter bensin 286 tenaga kuda empat silinder dan motor listrik 113 tenaga kuda (total tenaga 326 hp).
Perusahaan China GAC Motor sekali lagi berusaha menarik minat para pecinta mobil Amerika. Pada tahun 2018, perwakilan Kerajaan Surga menunjukkan di Detroit GAC Electric Concept, sebuah prototipe crossover kompak listrik.
Perusahaan Jepang Honda, Infiniti dan Lexus menandai pameran mobil pertama di tahun 2018 dengan konsep unggulan: Honda Insight Prototype - konsep model hybrid Honda Insight generasi ke-3, Infiniti Sedan Concept - cikal bakal sedan andalan Honda, Infiniti listrik konsep - prototipe sport coupe dua pintu elektrik dan SUV Lexus LF-1 Concept adalah prototipe andalan baru lini crossover Lexus.
Kendaraan produksi baru dipresentasikan di Detroit Auto Show 2018.
Raksasa mobil Jerman Audi AG menunjukkan di Detroit generasi baru sedan eksekutif Audi A8 dan generasi baru hatchback premium Audi A7 Sportback.
Perusahaan Bavaria BMW AG menandai dirinya di North American International Auto Show 2018 dengan menampilkan crossover kompak baru BMW X2, mobil sport listrik yang diperbarui BMW i8 Coupe dan versi terbuka BMW i8 Roadster.
Perusahaan Amerika Chevrolet telah menyiapkan sport coupe Chevrolet Corvette C8 dan truk pikap Chevrolet Silverado generasi berikutnya untuk pameran otomotif rumahan.
Ford Motor Company memamerkan di Detroit versi baru Ford Mustang Shelby GT500 dan Ford Mustang Bullitt, serta truk pikap Ford Ranger generasi baru.
Perusahaan Cina GAC Motor, selain konsep crossover listrik, membawa ke Detroit sepasang crossover serial GAC GS7 dan GAC GS8, sedan GAC GA8 dan bahkan minivan GAC GM8.
Perusahaan Hyundai Motor Korea Selatan merayakan presentasi sederhana dari generasi baru Hyundai Veloster.
Perusahaan Italia-Amerika Fiat Chrysler Automobiles telah menyiapkan crossover Jeep Cherokee dengan "wajah" baru dan truk pikap Ram 1500 baru, yang sebelumnya dikenal sebagai Dodge Ram, untuk Detroit Auto Show 2018.
Salah satu pameran paling mencolok dari pameran mobil Detroit adalah crossover pertama Perusahaan Italia Automobili Lamborghini S.p.A., Lamborghini Urus yang apik, bertenaga, dan cepat.
Mercedes-Benz memiliki kehadiran yang kuat di Detroit Auto Show 2018. Penayangan perdana pabrikan otomotif asal Jerman tersebut tentu saja adalah SUV Mercedes-Benz G-Class generasi baru. Mercedes-AMG CLS53 hybrid dan Mercedes-AMG Four Door GT, masing-masing, dengan 450 tenaga kuda dan 800 tenaga kuda, menarik!!! pembangkit listrik.
Merek Inggris Rolls-Royce memperkenalkan Phantom baru kepada pelanggan Amerika.
Perusahaan Jepang Toyota Motor Corporation telah menyiapkan sedan Toyota Avalon generasi baru untuk dipamerkan di pameran otomotif di Detroit.
Raksasa otomotif asal Jerman, Volkswagen, tampil sederhana di Detroit Auto Show (North American International Auto Show) 2018. Orang Amerika hanya diperlihatkan sedan kompak Volkswagen Jetta generasi baru, menunda pemutaran perdana utama tahun ini dalam bentuk Volkswagen Touareg generasi ke-3 hingga musim semi 2018 di Geneva Motor Show.
Sudut antar garis dalam ruang kita akan memanggil salah satu dari sudut yang berdekatan, dibentuk oleh dua garis lurus yang ditarik titik sewenang-wenang sejajar dengan datanya.
Biarkan dua garis diberikan dalam ruang:
Jelasnya, sudut φ antara garis lurus dapat dianggap sebagai sudut antara vektor arahnya dan . Karena , maka dengan menggunakan rumus kosinus sudut antar vektor kita peroleh
Syarat kesejajaran dan tegak lurus dua garis lurus ekuivalen dengan syarat kesejajaran dan tegak lurus vektor arahnya dan:
Dua lurus paralel jika dan hanya jika koefisien-koefisien yang bersesuaian sebanding, yaitu. aku 1 paralel aku 2 jika dan hanya jika sejajar 
.
Dua lurus tegak lurus jika dan hanya jika jumlah produk dari koefisien-koefisien yang bersesuaian sama dengan nol: .
kamu tujuan antara garis dan bidang
Biarlah lurus D- tidak tegak lurus terhadap bidang θ;
D′− proyeksi suatu garis D ke bidang θ;
Sudut terkecil antara garis lurus D Dan D' kami akan menelepon sudut antara garis lurus dan bidang.
Mari kita nyatakan sebagai φ=( D,θ)
Jika D⊥θ, maka ( D,θ)=π/2
Oi→J→k→− sistem persegi panjang koordinat
Persamaan bidang:
θ: Kapak+Oleh+Cz+D=0
Kita asumsikan bahwa garis lurus ditentukan oleh sebuah titik dan vektor arah: D[M 0,P→]
Vektor N→(A,B,C)⊥θ
Kemudian tinggal mencari sudut antar vektor N→ dan P→, mari kita nyatakan sebagai γ=( N→,P→).
Jika sudut γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Jika sudut γ>π/2, maka sudut yang diinginkan φ=γ−π/2
sinφ=sin(2π−γ)=cosγ
sinφ=dosa(γ−2π)=−cosγ
Kemudian, sudut antara garis lurus dan bidang dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Aplikasi 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√P 21+P 22+P 23
Pertanyaan29. Konsep bentuk kuadrat. Tanda tangani kepastian bentuk kuadrat.
Bentuk kuadrat j (x 1, x 2, …, x n) n variabel real x 1, x 2, …, x n disebut penjumlahan dari bentuk tersebut 
, (1)
Di mana sebuah ij – beberapa angka yang disebut koefisien. Tanpa kehilangan sifat umum, kita dapat berasumsi demikian sebuah ij = sebuah ji.
Bentuk kuadrat disebut sah, Jika sebuah ij
Î GR. Matriks bentuk kuadrat disebut matriks yang terdiri dari koefisien-koefisiennya. Bentuk kuadrat (1) sesuai dengan satu-satunya matriks simetris 
Itu adalah SEBUAH T = SEBUAH. Karena itu, bentuk kuadrat(1) dapat ditulis bentuk matriks J ( X) = x T Ah, Di mana x T = (X 1 X 2 … xn). (2)
Dan sebaliknya, setiap matriks simetris (2) mempunyai bentuk kuadrat unik hingga notasi variabel.
Peringkat bentuk kuadrat disebut pangkat matriksnya. Bentuk kuadrat disebut tidak merosot, jika matriksnya non-singular A. (ingat bahwa matriks A disebut non-degenerasi jika determinannya tidak sama dengan nol). Jika tidak, bentuk kuadratnya akan merosot.
pasti positif(atau sangat positif) jika
J ( X) > 0 , untuk siapa pun X = (X 1 , X 2 , …, xn), kecuali X = (0, 0, …, 0).
Matriks A bentuk kuadrat pasti positif j ( X) disebut juga pasti positif. Oleh karena itu, bentuk kuadrat pasti positif berhubungan dengan matriks pasti positif unik dan sebaliknya.
Bentuk kuadrat (1) disebut didefinisikan secara negatif(atau sangat negatif) jika
J ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, xn), kecuali X = (0, 0, …, 0).
Sama seperti di atas, matriks yang berbentuk kuadrat pasti negatif disebut juga pasti negatif.
Akibatnya, bentuk kuadrat pasti positif (negatif) j ( X) mencapai nilai minimum (maksimum) j ( X*) = 0 pada X* = (0, 0, …, 0).
Perhatikan itu kebanyakan bentuk kuadrat tidak pasti tanda, artinya tidak positif maupun negatif. Bentuk kuadrat seperti itu lenyap tidak hanya di titik asal sistem koordinat, tetapi juga di titik lain.
Kapan N> 2, diperlukan kriteria khusus untuk memeriksa tanda suatu bentuk kuadrat. Mari kita lihat mereka.
Anak di bawah umur besar bentuk kuadrat disebut minor:
yaitu, ini adalah anak di bawah umur dari urutan 1, 2, ..., N matriks A, terletak di sebelah kiri sudut atas, yang terakhir bertepatan dengan determinan matriks A.
Kriteria Kepastian Positif (Kriteria Sylvester)
X) = x T Ah adalah pasti positif, maka perlu dan cukup bahwa semua minor mayor matriks A positif, yaitu: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M N > 0. Kriteria kepastian negatif Agar bentuk kuadrat j ( X) = x T Ah bersifat negatif pasti, maka minor utamanya yang berorde genap harus positif, dan minor utamanya yang berorde ganjil menjadi negatif, yaitu: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)N
instruksi
catatan
Periode fungsi trigonometri Garis singgungnya sama dengan 180 derajat, artinya sudut kemiringan garis lurus secara absolut tidak boleh melebihi nilai ini.
Jika koefisien sudutnya sama satu sama lain, maka sudut antara garis-garis tersebut adalah 0, karena garis-garis tersebut berimpit atau sejajar.
Untuk menentukan nilai sudut antar garis lurus yang berpotongan, kedua garis lurus (atau salah satunya) perlu dipindahkan ke posisi baru dengan menggunakan metode transfer paralel sebelum persimpangan. Setelah ini, Anda harus mencari sudut antara garis berpotongan yang dihasilkan.
Anda akan perlu
- Penggaris, segitiga siku-siku, pensil, busur derajat.
instruksi
Jadi, misalkan vektor V = (a, b, c) dan bidang A x + B y + C z = 0, dimana A, B dan C adalah koordinat garis normal N. Maka kosinus sudutnya α antara vektor V dan N sama dengan: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).
Untuk menghitung sudut dalam derajat atau radian, Anda perlu menghitung invers fungsi kosinus dari ekspresi yang dihasilkan, yaitu. arccosine:α = arsco ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).
Contoh: temukan sudut di antara vektor(5, -3, 8) dan pesawat, diberikan persamaan umum 2 x – 5 y + 3 z = 0. Penyelesaian: tuliskan koordinat vektor normal bidang N = (2, -5, 3). Gantikan semuanya nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus yang diberikan: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.
Video tentang topik tersebut
Garis lurus yang mempunyai satu titik persekutuan dengan lingkaran bersinggungan dengan lingkaran. Ciri lain dari garis singgung adalah selalu tegak lurus terhadap jari-jari yang ditarik ke titik singgung, yaitu garis singgung dan jari-jari membentuk garis lurus. sudut. Jika dua garis singgung lingkaran AB dan AC ditarik dari satu titik A, maka keduanya selalu sama besar. Menentukan sudut antara garis singgung ( sudut ABC) dibuat dengan menggunakan teorema Pythagoras.
instruksi
Untuk menentukan sudut, Anda perlu mengetahui jari-jari lingkaran OB dan OS serta jarak titik awal garis singgung dari pusat lingkaran - O. Jadi, sudut ABO dan ASO sama besar, jari-jari OB adalah, misal 10 cm, dan jarak ke pusat lingkaran AO adalah 15 cm. Tentukan panjang garis singgung menggunakan rumus sesuai teorema Pythagoras: AB = Akar pangkat dua dari AO2 – OB2 atau 152 - 102 = 225 – 100 = 125;
Materi ini dikhususkan untuk konsep sudut antara dua garis yang berpotongan. Di paragraf pertama kami akan menjelaskan apa itu dan menunjukkannya dalam ilustrasi. Kemudian kita akan melihat bagaimana Anda dapat menemukan sinus, kosinus dari sudut ini dan sudut itu sendiri (kami akan mempertimbangkan secara terpisah kasus dengan bidang dan ruang tiga dimensi), kami sajikan formula yang diperlukan dan tunjukkan dengan contoh bagaimana penggunaannya dalam praktik.
Yandex.RTB RA-339285-1
Untuk memahami besarnya sudut yang terbentuk pada perpotongan dua garis, kita perlu mengingat pengertian sudut, tegak lurus, dan titik potong.
Definisi 1
Kita menyebut dua garis berpotongan jika keduanya mempunyai satu poin umum. Titik ini disebut titik potong dua garis.
Setiap garis lurus dibagi oleh titik potong menjadi sinar-sinar. Kedua garis lurus tersebut membentuk 4 sudut, dua diantaranya vertikal dan dua lagi berdekatan. Jika kita mengetahui ukuran salah satunya, maka kita dapat menentukan sisanya.
Katakanlah kita mengetahui bahwa salah satu sudutnya sama dengan α. Dalam hal ini, sudut vertikal terhadapnya juga akan sama dengan α. Untuk mencari sudut yang tersisa, kita perlu menghitung selisih 180° - . Jika α sama dengan 90 derajat, maka semua sudut siku-siku. Garis yang berpotongan tegak lurus disebut tegak lurus (artikel terpisah dikhususkan untuk konsep tegak lurus).
Lihatlah gambar:
Mari kita beralih ke merumuskan definisi utama.
Definisi 2
Sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan adalah besar sudut yang lebih kecil dari 4 sudut yang membentuk kedua garis tersebut.
Kesimpulan penting harus ditarik dari definisi tersebut: besar sudut dalam hal ini akan dinyatakan dengan berapa pun bilangan real dalam interval (0, 90]. Jika garis-garisnya tegak lurus, maka sudut di antara keduanya akan sama dengan 90 derajat.
Kemampuan untuk menemukan ukuran sudut antara dua garis yang berpotongan berguna untuk menyelesaikan banyak hal masalah praktis. Metode penyelesaiannya dapat dipilih dari beberapa pilihan.
Untuk memulainya, kita bisa mengambil metode geometris. Jika kita mengetahui sesuatu tentang sudut bersuplemen, maka kita dapat menghubungkannya dengan sudut yang kita perlukan menggunakan sifat-sifat bangun datar yang sama besar atau sebangun. Misalnya, jika kita mengetahui sisi-sisi suatu segitiga dan perlu menghitung sudut antara garis-garis di mana sisi-sisi tersebut berada, maka teorema kosinus cocok untuk penyelesaian kita. Jika kondisi kita adalah segitiga siku-siku, maka untuk perhitungannya kita juga perlu mengetahui sinus, kosinus, dan tangen sudut tersebut.
Metode koordinat juga sangat cocok untuk memecahkan masalah jenis ini. Mari kami jelaskan cara menggunakannya dengan benar.
Kita mempunyai sistem koordinat persegi panjang (Kartesius) O x y, yang di dalamnya diberikan dua garis lurus. Mari kita nyatakan dengan huruf a dan b. Garis lurus dapat dijelaskan dengan menggunakan beberapa persamaan. Garis asal mempunyai titik potong M. Bagaimana cara menentukan sudut yang diperlukan (sebut saja α) antara garis lurus ini?
Mari kita mulai dengan merumuskan prinsip dasar mencari sudut dalam kondisi tertentu.
Kita mengetahui bahwa konsep garis lurus erat kaitannya dengan konsep vektor arah dan vektor normal. Jika kita mempunyai persamaan garis tertentu, kita dapat mengambil koordinat vektor-vektor tersebut dari persamaan tersebut. Kita dapat melakukan ini untuk dua garis yang berpotongan sekaligus.
Sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan dapat dicari dengan menggunakan:
- sudut antar vektor arah;
- sudut antara vektor normal;
- sudut antara vektor normal suatu garis dan vektor arah garis lainnya.
Sekarang mari kita lihat setiap metode secara terpisah.
1. Misalkan kita mempunyai garis a dengan vektor arah a → = (ax, a y) dan garis b dengan vektor arah b → (b x, b y). Sekarang mari kita gambarkan dua vektor a → dan b → dari titik potong. Setelah ini kita akan melihat bahwa masing-masingnya akan ditempatkan pada garis lurusnya masing-masing. Lalu kami memiliki empat opsi untuk mereka posisi relatif. Lihat ilustrasi:
Jika sudut antara dua vektor tidak tumpul, maka itulah sudut yang kita perlukan antara perpotongan garis a dan b. Jika tumpul, maka sudut yang diinginkan sama dengan sudut yang berdekatan dengan sudut a →, b → ^. Jadi, α = a → , b → ^ jika a → , b → ^ ≤ 90 ° , dan α = 180 ° - a → , b → ^ jika a → , b → ^ > 90 ° .
Berdasarkan fakta bahwa cosinus sudut yang sama sama, kita dapat menulis ulang persamaan yang dihasilkan sebagai berikut: cos α = cos a → , b → ^ , jika a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, jika a →, b → ^ > 90°.
Dalam kasus kedua, rumus reduksi digunakan. Dengan demikian,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Mari kita tulis rumus terakhir dengan kata-kata:
Definisi 3
Kosinus sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan adalah sama dengan modulus kosinus sudut antara vektor arahnya.
Bentuk umum rumus kosinus sudut antara dua vektor a → = (a x , a y) dan b → = (b x , b y) terlihat seperti ini:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Dari situ kita dapat memperoleh rumus kosinus sudut antara dua garis lurus tertentu:
cos α = a x b x + a y + b ya a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b ya a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Maka sudutnya sendiri dapat dicari dengan cara rumus berikut:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Di sini a → = (ax , a y) dan b → = (b x , b y) adalah vektor arah dari garis-garis tertentu.
Mari kita beri contoh penyelesaian masalah.
Contoh 1
Dalam sistem koordinat persegi panjang pada suatu bidang, diberikan dua garis berpotongan a dan b. Mereka dapat dijelaskan dengan persamaan parametrik x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R dan x 5 = y - 6 - 3. Hitung sudut antara garis-garis ini.
Larutan
Kami memiliki kondisi kami persamaan parametrik, artinya untuk garis ini kita dapat langsung menuliskan koordinat vektor arahnya. Untuk melakukan ini, kita perlu mengambil nilai koefisien untuk parameternya, mis. garis lurus x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R mempunyai vektor arah a → = (4, 1).
Garis lurus kedua dijelaskan menggunakan persamaan kanonik x 5 = kamu - 6 - 3 . Di sini kita dapat mengambil koordinat dari penyebutnya. Jadi, garis ini mempunyai vektor arah b → = (5 , - 3) .
Selanjutnya kita langsung mencari sudutnya. Caranya, cukup substitusikan koordinat kedua vektor yang ada ke dalam rumus di atas α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Kami mendapatkan yang berikut:
α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°
Menjawab: Garis lurus ini membentuk sudut 45 derajat.
Kita bisa memutuskan tugas serupa dengan mencari sudut antara vektor-vektor normal. Jika kita mempunyai garis a dengan vektor normal n a → = (n a x , n a y) dan garis b dengan vektor normal n b → = (n b x , n b y), maka sudut antara keduanya sama dengan sudut antara n a → dan n b → atau sudut yang berdekatan dengan n a →, n b → ^. Cara ini ditunjukkan pada gambar:
Rumus untuk menghitung kosinus sudut antara garis berpotongan dan sudut itu sendiri menggunakan koordinat vektor normal adalah sebagai berikut:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2
Di sini n a → dan n b → menyatakan vektor normal dari dua garis tertentu.
Contoh 2
Dalam sistem koordinat persegi panjang, dua garis lurus ditentukan menggunakan persamaan 3 x + 5 y - 30 = 0 dan x + 4 y - 17 = 0. Temukan sinus dan kosinus sudut di antara keduanya dan besar sudut itu sendiri.
Larutan
Garis asli ditentukan menggunakan persamaan biasa garis lurus berbentuk A x + B y + C = 0. Kami menyatakan vektor normal sebagai n → = (A, B). Mari kita cari koordinat vektor normal pertama untuk satu garis dan tuliskan: n a → = (3, 5) . Untuk baris kedua x + 4 y - 17 = 0, vektor normalnya mempunyai koordinat n b → = (1, 4). Sekarang mari tambahkan nilai yang diperoleh ke rumus dan hitung totalnya:
cos α = cos na → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Jika kita mengetahui kosinus suatu sudut, maka kita dapat menghitung sinusnya menggunakan dasar identitas trigonometri. Karena sudut α yang dibentuk oleh garis lurus tidak tumpul, maka sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.
Dalam hal ini, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.
Jawaban: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Mari kita analisis kasus terakhir - mencari sudut antara garis lurus jika kita mengetahui koordinat vektor arah suatu garis lurus dan vektor normal garis lainnya.
Misalkan garis lurus a mempunyai vektor arah a → = (ax , a y) , dan garis lurus b mempunyai vektor normal n b → = (n b x , n b y) . Kita perlu mengesampingkan vektor-vektor ini dari titik perpotongannya dan mempertimbangkan semua opsi untuk posisi relatifnya. Lihat di gambar:
Jika sudut antara vektor-vektor tertentu tidak lebih dari 90 derajat, ternyata sudut antara a dan b akan membentuk sudut siku-siku.
a → , n b → ^ = 90 ° - α jika a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
Jika kurang dari 90 derajat, maka diperoleh hasil sebagai berikut:
a → , n b → ^ > 90 ° , maka a → , n b → ^ = 90 ° + α
Dengan menggunakan aturan persamaan kosinus sudut yang sama, kita menulis:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α untuk a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α untuk a → , n b → ^ > 90 ° .
Dengan demikian,
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Mari kita merumuskan kesimpulan.
Definisi 4
Untuk mencari sinus sudut antara dua garis yang berpotongan pada suatu bidang, Anda perlu menghitung modulus kosinus sudut antara vektor arah garis pertama dan vektor normal garis kedua.
Mari kita tuliskan formula yang diperlukan. Mencari sinus suatu sudut:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Menemukan sudut itu sendiri:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Di sini a → adalah vektor arah garis pertama, dan n b → adalah vektor normal garis kedua.
Contoh 3
Dua garis berpotongan diberikan oleh persamaan x - 5 = y - 6 3 dan x + 4 y - 17 = 0. Temukan sudut persimpangan.
Larutan
Kami mengambil koordinat panduan dan vektor normal dari persamaan yang diberikan. Ternyata a → = (- 5, 3) dan n → b = (1, 4). Kita ambil rumus α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 dan hitung:
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Harap dicatat bahwa kami mengambil persamaan dari soal sebelumnya dan memperoleh hasil yang persis sama, tetapi dengan cara yang berbeda.
Menjawab:α = a r c sin 7 2 34
Mari kita tunjukkan cara lain untuk mencari sudut yang diinginkan menggunakan koefisien sudut garis lurus tertentu.
Kita mempunyai garis a, yang didefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang menggunakan persamaan y = k 1 x + b 1, dan garis b, yang didefinisikan sebagai y = k 2 x + b 2. Ini adalah persamaan garis dengan kemiringan. Untuk mencari sudut potong, kita menggunakan rumus:
α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, dimana k 1 dan k 2 adalah koefisien sudut diberi garis lurus. Untuk memperoleh notasi tersebut digunakan rumus penentuan sudut melalui koordinat vektor normal.
Contoh 4
Ada dua garis lurus yang berpotongan pada suatu bidang, diberikan oleh persamaan y = - 3 5 x + 6 dan y = - 1 4 x + 17 4 . Hitung nilai sudut potongnya.
Larutan
Koefisien sudut garis kita sama dengan k 1 = - 3 5 dan k 2 = - 1 4. Mari kita tambahkan ke rumus α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 dan hitung:
α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34
Menjawab:α = a r c cos 23 2 34
Sebagai kesimpulan paragraf ini, perlu diperhatikan bahwa rumus yang diberikan di sini untuk mencari sudut tidak harus dihafal. Untuk melakukan ini, cukup mengetahui koordinat pemandu dan/atau vektor normal dari garis tertentu dan dapat menentukannya dengan jenis yang berbeda persamaan. Namun ada baiknya mengingat atau menuliskan rumus menghitung kosinus suatu sudut.
Cara menghitung sudut antar garis yang berpotongan dalam ruang
Perhitungan sudut tersebut dapat direduksi menjadi menghitung koordinat vektor-vektor arah dan menentukan besarnya sudut yang dibentuk oleh vektor-vektor tersebut. Untuk contoh seperti itu, alasan yang sama yang kami berikan sebelumnya digunakan.
Misalkan kita mempunyai sistem koordinat persegi panjang yang terletak di ruang tiga dimensi. Ini berisi dua garis lurus a dan b dengan titik potong M. Untuk menghitung koordinat vektor arah, kita perlu mengetahui persamaan garis-garis tersebut. Mari kita nyatakan vektor arah a → = (a x , a y , a z) dan b → = (b x , b y , b z) . Untuk menghitung kosinus sudut di antara keduanya, kita menggunakan rumus:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Untuk mencari sudutnya sendiri, kita membutuhkan rumus berikut:
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Contoh 5
Kita mempunyai garis yang didefinisikan dalam ruang tiga dimensi menggunakan persamaan x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Diketahui berpotongan dengan sumbu O z. Hitung sudut potong dan kosinus sudut tersebut.
Larutan
Mari kita nyatakan sudut yang perlu dihitung dengan huruf α. Mari kita tuliskan koordinat vektor arah garis lurus pertama – a → = (1, - 3, - 2) . Untuk aplikasi axis bisa kita ambil koordinat vektor k → = (0, 0, 1) sebagai panduan. Kami telah menerima data yang diperlukan dan dapat menambahkannya ke rumus yang diinginkan:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Hasilnya, kami menemukan bahwa sudut yang kami butuhkan sama dengan a r c cos 1 2 = 45 °.
Menjawab: karena α = 1 2 , α = 45° .
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter
