Konsep sinus(), cosinus(), tangen(), kotangen() tidak dapat dipisahkan dengan konsep sudut. Untuk memahami dengan baik hal ini, pada pandangan pertama, konsep yang kompleks(yang menyebabkan kengerian pada banyak anak sekolah), dan untuk memastikan bahwa “iblis tidak seseram yang dilukiskannya”, mari kita mulai dari awal dan memahami konsep sudut.
Konsep sudut: radian, derajat
Mari kita lihat gambarnya. Vektor telah “berputar” relatif terhadap suatu titik dengan jumlah tertentu. Jadi ukuran rotasi ini relatif terhadap posisi awalnya adalah sudut.
Apa lagi yang perlu Anda ketahui tentang konsep sudut? Ya, satuan sudut, tentu saja!
Sudut, baik dalam geometri maupun trigonometri, dapat diukur dalam derajat dan radian.
Sudut (satu derajat) disebut sudut tengah dalam lingkaran, berdasarkan busur lingkaran yang sama dengan bagian lingkaran. Jadi, seluruh lingkaran terdiri dari “potongan” busur lingkaran, atau sudut yang dibatasi lingkaran adalah sama besar.
Artinya, gambar di atas menunjukkan sudut yang sama besar, yaitu sudut tersebut bertumpu pada busur lingkaran yang besarnya keliling.
Sudut dalam radian adalah sudut pusat lingkaran yang dibatasi oleh busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran. Nah, apakah Anda sudah mengetahuinya? Jika tidak, mari kita cari tahu dari gambarnya.
Jadi, gambar tersebut menunjukkan sebuah sudut sama dengan satu radian, yaitu sudut ini bertumpu pada busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran (panjangnya sama dengan panjang atau jari-jari sama dengan panjangnya busur). Jadi, panjang busur dihitung dengan rumus:
Dimana sudut pusat dalam radian.
Nah, dengan mengetahui hal tersebut, bisakah kamu menjawab berapa jumlah radian yang terdapat pada sudut yang dibatasi oleh lingkaran? Ya, untuk ini Anda perlu mengingat rumus keliling. Ini dia:
Nah, sekarang mari kita korelasikan kedua rumus ini dan temukan bahwa sudut yang dibatasi lingkaran adalah sama besar. Artinya, dengan mengkorelasikan nilai dalam derajat dan radian, kita memperolehnya. Masing-masing, . Seperti yang Anda lihat, tidak seperti "derajat", kata "radian" dihilangkan, karena satuan pengukuran biasanya jelas dari konteksnya.
Ada berapa radian? Itu benar!
Mengerti? Kemudian lanjutkan dan perbaiki:
Mengalami kesulitan? Lalu lihat jawaban:
Segitiga siku-siku: sinus, cosinus, tangen, kotangen sudut
Jadi, kami menemukan konsep sudut. Tapi apa yang dimaksud dengan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut? Mari kita cari tahu. Untuk melakukan ini, segitiga siku-siku akan membantu kita.
Sisi-sisi segitiga siku-siku disebut apa? Benar, sisi miring dan kaki: sisi miring adalah sisi yang berhadapan sudut kanan(dalam contoh kita ini adalah sisinya); kaki adalah dua sisi yang tersisa dan (yang berdekatan dengan sudut siku-siku), dan jika kita menganggap kaki relatif terhadap sudut, maka kaki adalah kaki yang berdekatan, dan kaki adalah kebalikannya. Nah, sekarang mari kita jawab pertanyaannya: apa yang dimaksud dengan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut?
Sinus sudut- ini adalah perbandingan kaki yang berlawanan (jauh) dengan sisi miring.
Di segitiga kita.
Kosinus sudut- ini adalah rasio kaki yang berdekatan (dekat) dengan sisi miring.
Di segitiga kita.
Garis singgung sudut- ini adalah perbandingan sisi yang berlawanan (jauh) dengan sisi yang berdekatan (dekat).
Di segitiga kita.
Kotangen sudut- ini adalah perbandingan kaki yang berdekatan (dekat) dengan kaki yang berlawanan (jauh).
Di segitiga kita.
Definisi-definisi ini diperlukan Ingat! Agar lebih mudah mengingat kaki mana yang akan dibagi menjadi apa, Anda perlu memahaminya dengan jelas garis singgung Dan kotangens hanya kakinya yang duduk, dan sisi miring hanya muncul di dalam sinus Dan kosinus. Dan kemudian Anda dapat membuat rantai asosiasi. Misalnya yang ini:
Cosinus→sentuh→sentuh→berdekatan;
Kotangen→sentuh→sentuh→berdekatan.
Pertama-tama, perlu diingat bahwa sinus, cosinus, tangen, dan kotangen sebagai perbandingan sisi-sisi suatu segitiga tidak bergantung pada panjang sisi-sisi tersebut (pada sudut yang sama). Tidak percaya padaku? Kemudian pastikan dengan melihat gambar:
Misalnya, cosinus suatu sudut. Menurut definisi, dari sebuah segitiga: , tetapi kita dapat menghitung kosinus suatu sudut dari sebuah segitiga: . Soalnya, panjang sisinya berbeda-beda, tetapi nilai cosinus salah satu sudutnya sama. Jadi, nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen hanya bergantung pada besar sudut.
Jika Anda memahami definisinya, lanjutkan dan gabungkan!
Untuk segitiga yang ditunjukkan pada gambar di bawah, kita temukan.
Nah, apakah kamu mengerti? Kemudian coba sendiri: hitung hal yang sama untuk sudutnya.
Lingkaran satuan (trigonometri).
Memahami konsep derajat dan radian, kita menganggap lingkaran dengan jari-jari sama dengan. Lingkaran seperti ini disebut lajang. Ini akan sangat berguna ketika mempelajari trigonometri. Oleh karena itu, mari kita lihat lebih detail.
Seperti yang Anda lihat, lingkaran ini dibangun sistem kartesius koordinat Jari-jari lingkaran sama dengan satu, sedangkan pusat lingkaran terletak di titik asal koordinat, posisi awal vektor jari-jari tetap sepanjang arah sumbu positif (dalam contoh kita, ini adalah jari-jari).
Setiap titik pada lingkaran berhubungan dengan dua angka: koordinat sumbu dan koordinat sumbu. Berapakah bilangan koordinat tersebut? Dan secara umum, apa hubungannya dengan topik yang sedang dibahas? Untuk melakukan ini, kita perlu mengingat tentang segitiga siku-siku yang dianggap. Pada gambar di atas, Anda dapat melihat dua segitiga siku-siku utuh. Pertimbangkan sebuah segitiga. Berbentuk persegi panjang karena tegak lurus terhadap sumbunya.
Segitiga itu sama dengan apa? Itu benar. Selain itu kita mengetahui bahwa itu adalah jari-jari lingkaran satuan yang artinya . Mari kita substitusikan nilai ini ke dalam rumus kosinus kita. Inilah yang terjadi:
Segitiga itu sama dengan apa? Tentu saja! Gantikan nilai radius ke dalam rumus ini dan dapatkan:
Jadi, bisakah kamu mengetahui koordinat titik tersebut, milik lingkaran? Ya, tidak mungkin? Bagaimana jika Anda menyadarinya dan itu hanyalah angka? Koordinat manakah yang sesuai? Tentu saja koordinatnya! Dan koordinat apa yang sesuai dengannya? Benar, koordinat! Jadi, titik.
Lalu apa yang dimaksud dan disamakan? Itu benar, mari kita gunakan definisi yang sesuai dari tangen dan kotangen dan dapatkan, a.
Bagaimana jika sudutnya lebih besar? Misalnya saja seperti pada gambar ini:
Apa yang berubah di dalam contoh ini? Mari kita cari tahu. Untuk melakukan ini, mari kita kembali ke segitiga siku-siku. Pertimbangkan segitiga siku-siku: sudut (yang berdekatan dengan sudut). Berapakah nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut? Itu benar, kami mematuhi definisi fungsi trigonometri yang sesuai:
Seperti yang Anda lihat, nilai sinus sudut masih sesuai dengan koordinat; nilai kosinus sudut - koordinat; dan nilai tangen dan kotangen terhadap perbandingan yang bersangkutan. Jadi, hubungan ini berlaku untuk setiap rotasi vektor radius.
Telah disebutkan bahwa posisi awal vektor jari-jari adalah sepanjang arah sumbu positif. Sejauh ini kita telah memutar vektor ini berlawanan arah jarum jam, tetapi apa yang terjadi jika kita memutarnya searah jarum jam? Tidak ada yang luar biasa, Anda juga akan mendapatkan sudut dengan nilai tertentu, tetapi hanya negatif. Jadi, ketika vektor jari-jari diputar berlawanan arah jarum jam, kita mendapatkan sudut positif, dan ketika berputar searah jarum jam - negatif.
Jadi, kita mengetahui bahwa seluruh putaran vektor jari-jari mengelilingi lingkaran adalah atau. Apakah mungkin untuk memutar vektor jari-jari ke atau ke? Ya, tentu saja bisa! Oleh karena itu, dalam kasus pertama, vektor jari-jari akan membuat satu putaran penuh dan berhenti pada posisi atau.
Dalam kasus kedua, yaitu vektor jari-jari akan membuat tiga putaran penuh dan berhenti pada posisi atau.
Jadi, dari contoh di atas kita dapat menyimpulkan bahwa sudut-sudut yang berbeda sebesar atau (jika ada bilangan bulat) berhubungan dengan posisi vektor jari-jari yang sama.
Gambar di bawah menunjukkan sebuah sudut. Gambar yang sama berhubungan dengan sudut, dll. Daftar ini tidak ada habisnya. Semua sudut ini dapat ditulis dengan rumus umum atau (dimana bilangan bulatnya)
Nah, setelah mengetahui definisi fungsi dasar trigonometri dan menggunakan lingkaran satuan, coba jawab berapa nilainya:
Berikut lingkaran satuan untuk membantu Anda:
Mengalami kesulitan? Kalau begitu mari kita cari tahu. Jadi kita tahu bahwa:
Dari sini, kita menentukan koordinat titik-titik yang bersesuaian dengan besar sudut tertentu. Baiklah, mari kita mulai secara berurutan: sudut di berhubungan dengan suatu titik dengan koordinat, oleh karena itu:
Tidak ada;
Selanjutnya, dengan mengikuti logika yang sama, kita menemukan bahwa sudut-sudut di masing-masing bersesuaian dengan titik-titik dengan koordinat. Mengetahui hal ini, mudah untuk menentukan nilai fungsi trigonometri pada titik-titik yang bersesuaian. Cobalah sendiri terlebih dahulu, lalu periksa jawabannya.
Jawaban:
Tidak ada
Tidak ada
Tidak ada
Tidak ada
Dengan demikian, kita dapat membuat tabel berikut:
Tidak perlu mengingat semua nilai-nilai ini. Cukup mengingat korespondensi antara koordinat titik-titik pada lingkaran satuan dan nilai fungsi trigonometri:
Namun nilai fungsi trigonometri sudut dalam dan, diberikan pada tabel di bawah, harus diingat:
Jangan takut, sekarang kami akan menunjukkan satu contohnya cukup sederhana untuk mengingat nilai-nilai yang sesuai:
Untuk menggunakan metode ini, penting untuk mengingat nilai sinus untuk ketiga ukuran sudut (), serta nilai tangen sudut. Mengetahui nilai-nilai ini, memulihkan seluruh tabel cukup sederhana - nilai kosinus ditransfer sesuai dengan panah, yaitu:
Mengetahui hal ini, Anda dapat mengembalikan nilainya. Pembilang " " akan cocok dan penyebut " " akan cocok. Nilai kotangen ditransfer sesuai dengan panah yang ditunjukkan pada gambar. Jika Anda memahami hal ini dan mengingat diagram dengan panah, maka cukup mengingat semua nilai dari tabel.
Koordinat suatu titik pada lingkaran
Apakah mungkin menemukan suatu titik (koordinatnya) pada sebuah lingkaran, mengetahui koordinat pusat lingkaran, jari-jarinya dan sudut putarannya?
Ya, tentu saja bisa! Mari kita keluarkan rumus umum untuk mencari koordinat suatu titik.
Misalnya, berikut adalah lingkaran di depan kita:
Diketahui bahwa titik adalah pusat lingkaran. Jari-jari lingkarannya sama. Koordinat suatu titik perlu dicari dengan memutar titik tersebut sebesar derajat.
Terlihat dari gambar, koordinat titik sesuai dengan panjang ruas. Panjang ruas sesuai dengan koordinat pusat lingkaran, yaitu sama. Panjang suatu segmen dapat dinyatakan dengan menggunakan definisi kosinus:
Lalu kita punya itu untuk koordinat titik.
Dengan menggunakan logika yang sama, kita mencari nilai koordinat y untuk titik tersebut. Dengan demikian,
Jadi, di pandangan umum koordinat titik ditentukan dengan rumus:
Koordinat pusat lingkaran,
Jari-jari lingkaran,
Sudut rotasi jari-jari vektor.
Seperti yang Anda lihat, untuk lingkaran satuan yang kita pertimbangkan, rumus ini dikurangi secara signifikan, karena koordinat pusatnya sama dengan nol, dan jari-jarinya sama dengan satu:
Baiklah, mari kita coba rumus-rumus tersebut dengan berlatih mencari titik pada lingkaran?
1. Temukan koordinat suatu titik pada lingkaran satuan yang diperoleh dengan memutar titik tersebut.
2. Carilah koordinat suatu titik pada lingkaran satuan yang diperoleh dengan memutar titik tersebut.
3. Carilah koordinat suatu titik pada lingkaran satuan yang diperoleh dengan memutar titik tersebut.
4. Titik merupakan pusat lingkaran. Jari-jari lingkarannya sama. Kita perlu mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutar vektor jari-jari awal sebesar.
5. Titik merupakan pusat lingkaran. Jari-jari lingkarannya sama. Kita perlu mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutar vektor jari-jari awal sebesar.
Kesulitan mencari koordinat suatu titik pada lingkaran?
Pecahkan lima contoh ini (atau jadilah ahli dalam memecahkannya) dan Anda akan belajar menemukannya!
1.
Anda bisa memperhatikannya. Tapi kita tahu apa yang berhubungan dengan revolusi penuh dari titik awal. Dengan demikian, titik yang diinginkan akan berada pada posisi yang sama seperti saat berbelok. Mengetahui hal ini, kami menemukan koordinat titik yang diperlukan:
2. Lingkaran satuan berpusat pada suatu titik, artinya kita dapat menggunakan rumus yang disederhanakan:
Anda bisa memperhatikannya. Kita tahu apa yang berhubungan dengan dua putaran penuh pada titik awal. Dengan demikian, titik yang diinginkan akan berada pada posisi yang sama seperti saat berbelok. Mengetahui hal ini, kami menemukan koordinat titik yang diperlukan:
Sinus dan kosinus adalah nilai tabel. Kami mengingat maknanya dan mendapatkan:
Jadi, titik yang diinginkan memiliki koordinat.
3. Lingkaran satuan berpusat pada suatu titik, artinya kita dapat menggunakan rumus yang disederhanakan:
Anda bisa memperhatikannya. Mari kita gambarkan contoh yang dimaksud pada gambar:
Jari-jari membuat sudut sama dengan dan terhadap sumbu. Mengetahui bahwa nilai tabel cosinus dan sinus adalah sama, dan telah ditentukan bahwa cosinus di sini diambil nilai negatif, dan sinusnya positif, kita mendapatkan:
Lebih detailnya contoh serupa dipahami ketika mempelajari rumus-rumus pengurangan fungsi trigonometri pada topik tersebut.
Jadi, titik yang diinginkan memiliki koordinat.
4.
Sudut rotasi jari-jari vektor (sesuai kondisi)
Untuk menentukan tanda-tanda sinus dan kosinus yang bersesuaian, kita membuat lingkaran dan sudut satuan:
Seperti yang Anda lihat, nilainya positif, dan nilainya negatif. Mengetahui nilai tabel dari fungsi trigonometri yang bersesuaian, kita memperoleh bahwa:
Mari kita substitusikan nilai yang diperoleh ke dalam rumus kita dan temukan koordinatnya:
Jadi, titik yang diinginkan memiliki koordinat.
5. Untuk menyelesaikan masalah ini, kami menggunakan rumus dalam bentuk umum, dimana
Koordinat pusat lingkaran (dalam contoh kita,
Jari-jari lingkaran (sesuai syarat)
Sudut rotasi jari-jari vektor (sesuai kondisi).
Mari kita substitusikan semua nilai ke dalam rumus dan dapatkan:
dan - nilai tabel. Mari kita ingat dan substitusikan ke dalam rumus:
Jadi, titik yang diinginkan memiliki koordinat.
RINGKASAN DAN FORMULA DASAR
Sinus suatu sudut adalah perbandingan kaki yang berhadapan (jauh) dengan sisi miring.
Kosinus suatu sudut adalah perbandingan kaki yang berdekatan (dekat) dengan sisi miring.
Garis singgung suatu sudut adalah perbandingan sisi yang berhadapan (jauh) dengan sisi yang berdekatan (dekat).
Kotangen suatu sudut adalah perbandingan sisi yang berdekatan (dekat) dengan sisi yang berhadapan (jauh).
Tingkat menengah
Segitiga siku-siku. Panduan Bergambar Lengkap (2019)
SEGITIGA SEGITIGA. TINGKAT MASUK.
Dalam soal, sudut siku-siku sama sekali tidak diperlukan - kiri bawah, jadi Anda perlu belajar mengenali segitiga siku-siku dalam bentuk ini,
dan dalam hal ini
dan dalam hal ini 
Apa kelebihan segitiga siku-siku? Yah... pertama-tama, ada yang spesial nama-nama yang indah untuk sisinya.
Perhatian pada gambarnya!
Ingat dan jangan bingung: ada dua kaki, dan hanya ada satu sisi miring(satu-satunya, unik dan terpanjang)!
Baiklah, kita sudah membahas nama-namanya, sekarang yang paling penting: Teorema Pythagoras.
teorema Pythagoras.
Teorema ini adalah kunci untuk menyelesaikan banyak masalah yang melibatkan segitiga siku-siku. Hal ini telah dibuktikan oleh Pythagoras pada zaman dahulu kala, dan sejak itu telah membawa banyak manfaat bagi yang mengetahuinya. Dan hal terbaiknya adalah sederhana.
Jadi, Teorema Pythagoras:
Apakah Anda ingat lelucon: “Celana Pythagoras sama di semua sisi!”?
Mari kita menggambar celana Pythagoras yang sama dan melihatnya. 
Bukankah itu terlihat seperti celana pendek? Nah, di sisi mana dan di mana persamaannya? Mengapa dan dari mana lelucon itu berasal? Dan lelucon ini justru terkait dengan teorema Pythagoras, atau lebih tepatnya dengan cara Pythagoras sendiri merumuskan teoremanya. Dan dia merumuskannya seperti ini:
"Jumlah bidang persegi, dibangun di atas kaki, sama dengan luas persegi, dibangun di sisi miring."
Apakah kedengarannya sedikit berbeda? Jadi, ketika Pythagoras membuat pernyataan teoremanya, inilah gambaran yang keluar.
Pada gambar ini jumlah luas persegi kecil sama dengan luas persegi besar. Dan agar anak-anak dapat lebih mengingat bahwa jumlah kuadrat kaki sama dengan kuadrat sisi miring, seseorang yang cerdas membuat lelucon tentang celana Pythagoras.
Mengapa sekarang kita merumuskan teorema Pythagoras?
Apakah Pythagoras menderita dan berbicara tentang persegi?
Anda tahu, di zaman kuno tidak ada... aljabar! Tidak ada tanda-tanda dan sebagainya. Tidak ada prasasti. Dapatkah Anda bayangkan betapa buruknya bagi siswa zaman dahulu yang malang mengingat segala sesuatu dengan kata-kata??! Dan kita bersukacita karena kita memiliki rumusan sederhana dari teorema Pythagoras. Mari kita ulangi lagi untuk mengingatnya dengan lebih baik:
Seharusnya sekarang menjadi mudah:
| Kuadrat sisi miring sama dengan jumlahnya persegi kaki. |
Nah, kita telah membahas teorema terpenting tentang segitiga siku-siku. Jika Anda tertarik bagaimana pembuktiannya, bacalah teori tingkatan berikut ini, dan sekarang mari melangkah lebih jauh... ke dalam hutan gelap... trigonometri! Untuk kata-kata buruk sinus, cosinus, tangen dan kotangen.
Sinus, cosinus, tangen, kotangen pada segitiga siku-siku.
Faktanya, semuanya tidak begitu menakutkan sama sekali. Tentu saja, definisi “sebenarnya” dari sinus, cosinus, tangen, dan kotangen harus dilihat di artikel. Tapi aku benar-benar tidak mau, kan? Kita bisa bersukacita: untuk menyelesaikan soal segitiga siku-siku, Anda cukup mengisi hal-hal sederhana berikut ini:
Mengapa semuanya hanya terjadi di tikungan? Dimana sudutnya? Untuk memahami hal ini, Anda perlu mengetahui bagaimana pernyataan 1 - 4 ditulis dengan kata-kata. Lihat, pahami, dan ingat!
1.
Sebenarnya bunyinya seperti ini:
Bagaimana dengan sudutnya? Apakah ada kaki yang berhadapan dengan sudut, yaitu kaki yang berhadapan (untuk suatu sudut)? Tentu saja ada! Ini adalah kaki!
Bagaimana dengan sudutnya? Perhatikan baik-baik. Kaki manakah yang berdekatan dengan sudut? Tentu saja kakinya. Artinya untuk sudut tersebut kaki berdekatan, dan
Sekarang, perhatikan! Lihat apa yang kami dapatkan:
Lihat betapa kerennya:
Sekarang mari kita beralih ke garis singgung dan kotangen.
Bagaimana saya bisa menuliskannya dengan kata-kata sekarang? Apa hubungan kaki dengan sudut? Di seberangnya, tentu saja - "terletak" di seberang sudut. Bagaimana dengan kakinya? Berdekatan dengan sudut. Jadi apa yang kita punya?
Lihat bagaimana pembilang dan penyebutnya bertukar tempat?
Dan sekarang tikungan lagi dan melakukan pertukaran:
Melanjutkan
Mari kita tuliskan secara singkat semua yang telah kita pelajari.
 |
Teorema Pythagoras: |
Teorema utama tentang segitiga siku-siku adalah teorema Pythagoras.
Teorema Pythagoras
Ngomong-ngomong, apakah kamu ingat betul apa itu kaki dan sisi miring? Jika kurang bagus, lihat gambarnya - segarkan pengetahuan Anda
Mungkin saja Anda sudah sering menggunakan teorema Pythagoras, namun pernahkah Anda bertanya-tanya mengapa teorema seperti itu benar? Bagaimana saya bisa membuktikannya? Mari kita lakukan seperti orang Yunani kuno. Mari kita menggambar persegi dengan salah satu sisinya.
Lihat betapa cerdiknya kami membagi sisi-sisinya menjadi panjang dan!
Sekarang mari kita hubungkan titik-titik yang ditandai
Namun di sini kami mencatat hal lain, tetapi Anda sendiri melihat gambarnya dan memikirkan mengapa demikian.
Berapa luas persegi yang lebih besar? Benar, . Bagaimana dengan area yang lebih kecil? Tentu, . Total luas keempat penjuru tetap ada. Bayangkan kita mengambil keduanya sekaligus dan menyandarkannya satu sama lain dengan sisi miringnya. Apa yang telah terjadi? Dua persegi panjang. Artinya luas “pemotongan” adalah sama.
Mari kita gabungkan semuanya sekarang.
Mari bertransformasi:
Jadi kami mengunjungi Pythagoras - kami membuktikan teoremanya dengan cara kuno.
Segitiga siku-siku dan trigonometri
Untuk segitiga siku-siku, hubungan berikut berlaku:
Sinus sudut lancip sama dengan rasionya kaki yang berlawanan ke sisi miring
Kosinus sudut lancip sama dengan rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring.
Garis singgung suatu sudut lancip sama dengan perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan.
Kotangen suatu sudut lancip sama dengan perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi yang berhadapan.
Dan sekali lagi semua ini dalam bentuk tablet:
Ini sangat nyaman!
Tanda-tanda persamaan segitiga siku-siku
I. Di dua sisi
II. Dengan kaki dan sisi miring
AKU AKU AKU. Dengan sisi miring dan sudut lancip
IV. Sepanjang kaki dan sudut lancip
A) 
B) 
Perhatian! Sangat penting di sini bahwa kakinya “sesuai”. Misalnya saja seperti ini:
MAKA SEGITIGA TIDAK SAMA, meskipun faktanya mereka memiliki satu sudut lancip yang identik.
Itu perlu pada kedua segitiga kakinya bersebelahan, atau pada keduanya berseberangan.
Pernahkah Anda memperhatikan perbedaan tanda persamaan segitiga siku-siku dengan tanda persamaan segitiga pada umumnya? Perhatikan topik “dan perhatikan fakta bahwa untuk persamaan segitiga “biasa”, tiga elemennya harus sama: dua sisi dan sudut di antara keduanya, dua sudut dan sisi di antara keduanya, atau tiga sisi. Namun untuk persamaan segitiga siku-siku, cukup dua elemen yang bersesuaian saja. Hebat, bukan?
Keadaan yang kurang lebih sama terjadi pada tanda-tanda kesebangunan segitiga siku-siku.
Tanda-tanda kesebangunan segitiga siku-siku
I. Sepanjang sudut lancip
II. Di dua sisi
AKU AKU AKU. Dengan kaki dan sisi miring
Median pada segitiga siku-siku
Mengapa demikian?
Daripada menggunakan segitiga siku-siku, pertimbangkan persegi panjang utuh.
Mari kita menggambar sebuah diagonal dan perhatikan sebuah titik – titik potong diagonal-diagonalnya. Apa yang kamu ketahui tentang diagonal-diagonal persegi panjang?
Dan apa akibatnya?
Jadi ternyata begitu
- - median:
Ingat fakta ini! Sangat membantu!
Yang lebih mengejutkan lagi adalah hal sebaliknya juga terjadi.
Apa gunanya jika median yang ditarik ke sisi miring sama dengan setengah sisi miring? Mari kita lihat gambarnya
Perhatikan baik-baik. Kita mempunyai: , yaitu jarak dari titik ke ketiga simpul segitiga ternyata sama. Tetapi hanya ada satu titik dalam segitiga yang jarak ketiga titik sudut segitiga tersebut sama, yaitu PUSAT LINGKARAN. Jadi apa yang terjadi?
Jadi mari kita mulai dengan ini “selain…”.
Mari kita lihat dan.
Tetapi segitiga sebangun semua sudut sama besar!
Hal yang sama dapat dikatakan tentang dan
Sekarang mari kita gambarkan bersama-sama:
Manfaat apa yang dapat diperoleh dari “kesamaan rangkap tiga” ini?
Misalnya - dua rumus tinggi segitiga siku-siku.
Mari kita tuliskan hubungan pihak-pihak yang bersesuaian:
Untuk mencari tingginya, kita selesaikan proporsinya dan dapatkan rumus pertama "Tinggi pada segitiga siku-siku":
Jadi, mari kita terapkan persamaannya: .
Apa yang akan terjadi sekarang?
Sekali lagi kita selesaikan proporsinya dan dapatkan rumus kedua:
Anda perlu mengingat kedua rumus ini dengan baik dan menggunakan salah satu yang lebih nyaman. Mari kita tuliskan lagi
Teorema Pythagoras:
Pada segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya: .
Tanda-tanda persamaan segitiga siku-siku:
- di dua sisi:
- dengan kaki dan sisi miring: atau
- sepanjang kaki dan sudut lancip yang berdekatan: atau
- sepanjang kaki dan sudut lancip berlawanan: atau
- dengan sisi miring dan sudut lancip: atau.
Tanda-tanda kesebangunan segitiga siku-siku :
- satu sudut lancip: atau
- dari proporsionalitas dua kaki:
- dari proporsionalitas kaki dan sisi miring: atau.
Sinus, cosinus, tangen, kotangen pada segitiga siku-siku
- Sinus sudut lancip suatu segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi berhadapan dengan sisi miring:
- Kosinus sudut lancip segitiga siku-siku adalah perbandingan kaki yang berdekatan dengan sisi miring:
- Garis singgung sudut lancip suatu segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan:
- Kotangen sudut lancip segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi yang berhadapan: .
Tinggi segitiga siku-siku: atau.
Dalam segitiga siku-siku, median yang ditarik dari titik sudut siku-siku sama dengan setengah sisi miring: .
Luas segitiga siku-siku:
- melalui kaki:
Sinus merupakan salah satu fungsi dasar trigonometri yang penggunaannya tidak terbatas pada geometri saja. Tabel untuk menghitung fungsi trigonometri, seperti kalkulator teknik, tidak selalu tersedia, dan menghitung sinus terkadang perlu diselesaikan berbagai tugas. Secara umum, menghitung sinus akan membantu mengkonsolidasikan keterampilan menggambar dan pengetahuan tentang identitas trigonometri.
Permainan dengan penggaris dan pensil
Tugas sederhana: bagaimana menemukan sinus sudut yang digambar di atas kertas? Untuk menyelesaikannya, Anda memerlukan penggaris biasa, segitiga (atau kompas), dan pensil. Cara paling sederhana untuk menghitung sinus suatu sudut adalah dengan membagi kaki terjauh suatu segitiga yang mempunyai sudut siku-siku dengan sisi yang panjang - sisi miring. Jadi, pertama-tama Anda harus melengkapi sudut lancip menjadi bentuk segitiga siku-siku dengan menggambar garis tegak lurus salah satu sinar pada jarak sembarang dari titik sudut. Kita perlu mempertahankan sudut tepat 90°, sehingga kita membutuhkan segitiga klerikal.
Menggunakan kompas sedikit lebih akurat, tetapi akan memakan waktu lebih lama. Pada salah satu sinar Anda perlu menandai 2 titik pada jarak tertentu, sesuaikan radius pada kompas, kira-kira sama dengan jarak antar titik, dan gambarlah setengah lingkaran dengan pusat di titik-titik tersebut hingga diperoleh perpotongan garis-garis tersebut. Dengan menghubungkan titik potong lingkaran kita satu sama lain, kita mendapatkan garis tegak lurus terhadap sinar sudut kita; yang tersisa hanyalah memperpanjang garis hingga berpotongan dengan sinar lain.
Pada segitiga yang dihasilkan, Anda perlu menggunakan penggaris untuk mengukur sisi yang berhadapan dengan sudut dan sisi panjang salah satu sinarnya. Rasio dimensi pertama dan kedua akan menjadi nilai sinus sudut lancip yang diinginkan.
Temukan sinus untuk sudut yang lebih besar dari 90°
Untuk sudut tumpul tugasnya tidak jauh lebih sulit. Anda perlu menggambar sinar dari titik ke sisi yang berlawanan menggunakan penggaris untuk membentuk garis lurus dengan salah satu sinar sudut yang kita minati. Dengan yang diterima sudut lancip harus dilanjutkan seperti dijelaskan di atas, sinus sudut yang berdekatan, membentuk sudut terbalik 180°, adalah sama besar.
Menghitung sinus menggunakan fungsi trigonometri lainnya
Selain itu, penghitungan sinus dapat dilakukan jika nilai fungsi trigonometri sudut lainnya atau setidaknya panjang sisi segitiga diketahui. Identitas trigonometri akan membantu kita dalam hal ini. Mari kita lihat contoh umum.
Cara mencari sinus dari kosinus yang diketahui sudut? Identitas trigonometri pertama berdasarkan teorema Pythagoras menyatakan bahwa jumlah kuadrat sinus dan kosinus sudut yang sama sama dengan satu.
Bagaimana cara mencari sinus dengan garis singgung suatu sudut yang diketahui? Garis singgung diperoleh dengan membagi sisi jauh dengan sisi dekat atau membagi sinus dengan kosinus. Jadi, sinus akan menjadi hasil kali cosinus dan tangen, dan kuadrat sinus akan menjadi kuadrat hasil kali tersebut. Cosinus kuadrat kita ganti dengan selisih antara satu dan sinus kuadrat menurut yang pertama identitas trigonometri dan melalui manipulasi sederhana kami mereduksi persamaan menjadi perhitungan sinus kuadrat melalui garis singgung, oleh karena itu, untuk menghitung sinus, Anda harus mengekstrak akar dari hasil yang diperoleh.
Bagaimana cara mencari sinus dengan kotangen suatu sudut yang diketahui? Nilai kotangen dapat dihitung dengan membagi panjang kaki sudut yang paling dekat dengan panjang kaki terjauh, serta membagi kosinus dengan sinus, yaitu kotangen merupakan fungsi kebalikan dari garis singgung relatif. ke angka 1. Untuk menghitung sinus, kamu bisa menghitung tangen dengan menggunakan rumus tg α = 1 / ctg α dan menggunakan rumus pada pilihan kedua. Anda juga dapat memperoleh rumus langsung dengan analogi tangen, yang akan terlihat seperti ini.
Cara mencari sinus ketiga sisi segitiga
Ada rumus untuk mencari panjangnya sisi yang tidak diketahui segitiga apa pun, bukan hanya siku-siku, menjadi dua pihak-pihak yang dikenal menggunakan fungsi trigonometri kosinus sudut yang berlawanan. Dia terlihat seperti ini.
Salah satu bidang matematika yang paling sulit dikuasai siswa adalah trigonometri. Tidak mengherankan: untuk leluasa menguasai bidang ilmu ini, diperlukan pemikiran spasial, kemampuan mencari sinus, cosinus, garis singgung, kotangen dengan menggunakan rumus, menyederhanakan ekspresi, dan mampu menggunakan bilangan pi dalam perhitungan. Selain itu, Anda harus bisa menggunakan trigonometri saat membuktikan teorema, dan ini memerlukan memori matematika yang berkembang atau kemampuan untuk menyimpulkan rantai logika yang kompleks.
Asal usul trigonometri
Mengenal ilmu ini sebaiknya diawali dengan pengertian sinus, cosinus dan tangen suatu sudut, namun terlebih dahulu perlu dipahami terlebih dahulu apa fungsi trigonometri secara umum.
Secara historis, objek kajian utama pada bagian ini ilmu matematika adalah segitiga siku-siku. Kehadiran sudut 90 derajat memungkinkan untuk melakukan berbagai operasi yang memungkinkan seseorang untuk menentukan nilai semua parameter gambar yang bersangkutan dengan menggunakan dua sisi dan satu sudut atau dua sudut dan satu sisi. Di masa lalu, orang memperhatikan pola ini dan mulai menggunakannya secara aktif dalam konstruksi bangunan, navigasi, astronomi, dan bahkan seni.
Tahap awal
Awalnya orang membicarakan hubungan sudut dan sisi hanya dengan menggunakan contoh segitiga siku-siku. Kemudian ditemukan formula khusus yang memungkinkan untuk memperluas batas penggunaan kehidupan sehari-hari cabang matematika ini.
Pembelajaran trigonometri di sekolah saat ini dimulai dengan segitiga siku-siku, setelah itu siswa menggunakan pengetahuan yang diperoleh dalam fisika dan memecahkan masalah abstrak. persamaan trigonometri, pekerjaan yang dimulai di sekolah menengah.
Trigonometri bola
Nanti, ketika ilmu pengetahuan keluar tingkat berikutnya perkembangannya, rumus dengan sinus, cosinus, tangen, kotangen mulai digunakan dalam geometri bola, di mana aturan yang berbeda berlaku, dan jumlah sudut dalam segitiga selalu lebih dari 180 derajat. Bagian ini tidak dipelajari di sekolah, tetapi perlu diketahui keberadaannya setidaknya karena permukaan bumi, dan permukaan planet lain mana pun berbentuk cembung, yang berarti tanda permukaan apa pun akan masuk ruang tiga dimensi"berbentuk busur".
Ambil globe dan utasnya. Pasangkan benang ke dua titik mana pun pada bola bumi agar kencang. Harap dicatat - itu berbentuk busur. Geometri bola berkaitan dengan bentuk-bentuk seperti itu, yang digunakan dalam geodesi, astronomi, dan bidang teoretis dan terapan lainnya.
Segitiga siku-siku
Setelah mempelajari sedikit tentang cara penggunaan trigonometri, mari kita kembali ke trigonometri dasar agar lebih memahami apa itu sinus, kosinus, tangen, perhitungan apa yang dapat dilakukan dengan bantuannya, dan rumus apa yang digunakan.
Langkah pertama adalah memahami konsep-konsep yang berhubungan dengan segitiga siku-siku. Pertama, sisi miring adalah sisi yang berhadapan dengan sudut 90 derajat. Ini yang terpanjang. Kita ingat bahwa menurut teorema Pythagoras, itu nilai numerik sama dengan akar jumlah kuadrat kedua sisi lainnya.
Misalnya, jika kedua sisinya masing-masing berukuran 3 dan 4 sentimeter, maka panjang sisi miringnya adalah 5 sentimeter. Ngomong-ngomong, orang Mesir kuno mengetahui hal ini sekitar empat setengah ribu tahun yang lalu.
Dua sisi sisanya yang membentuk sudut siku-siku disebut kaki. Selain itu, kita harus ingat bahwa jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah sistem persegi panjang koordinatnya 180 derajat.
Definisi
Terakhir, dengan pemahaman yang kuat tentang dasar geometri, kita dapat beralih ke definisi sinus, kosinus, dan tangen suatu sudut.
Sinus suatu sudut adalah perbandingan kaki yang berhadapan (yaitu sisi yang berhadapan dengan sudut yang diinginkan) dengan sisi miring. Kosinus suatu sudut adalah perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi miring.
Ingatlah bahwa tidak ada sinus atau cosinus yang bisa terjadi lebih dari satu! Mengapa? Karena sisi miring secara default adalah yang terpanjang. Tidak peduli berapa panjang kakinya, sisi miringnya akan lebih pendek dari sisi miringnya, yang berarti rasionya akan selalu sama kurang dari satu. Oleh karena itu, jika dalam jawaban suatu soal Anda mendapatkan sinus atau cosinus yang nilainya lebih besar dari 1, carilah kesalahan dalam perhitungan atau penalarannya. Jawaban ini jelas salah.
Terakhir, garis singgung suatu sudut adalah perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan. Membagi sinus dengan cosinus akan memberikan hasil yang sama. Lihat: sesuai rumus, kita membagi panjang sisi dengan sisi miring, lalu membaginya dengan panjang sisi kedua dan mengalikannya dengan sisi miring. Dengan demikian, kita memperoleh hubungan yang sama seperti pada definisi tangen.
Oleh karena itu, kotangen adalah perbandingan sisi yang berdekatan dengan sudut dengan sisi yang berlawanan. Kita mendapatkan hasil yang sama dengan membagi satu dengan garis singgung.
Jadi, kita telah melihat definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen, dan kita bisa beralih ke rumusnya.
Rumus paling sederhana
Dalam trigonometri Anda tidak dapat melakukannya tanpa rumus - bagaimana menemukan sinus, kosinus, tangen, kotangen tanpa rumus tersebut? Tapi inilah yang dibutuhkan ketika memecahkan masalah.
Rumus pertama yang perlu Anda ketahui saat mulai mempelajari trigonometri adalah jumlah kuadrat sinus dan cosinus suatu sudut sama dengan satu. rumus ini adalah konsekuensi langsung dari teorema Pythagoras, namun menghemat waktu jika Anda perlu mengetahui besar sudut, bukan sisinya.
Banyak siswa yang tidak dapat mengingat rumus kedua, yang juga sangat populer ketika menyelesaikan soal sekolah: jumlah satu dan kuadrat garis singgung suatu sudut sama dengan satu dibagi kuadrat kosinus sudut. Perhatikan lebih dekat: ini adalah pernyataan yang sama seperti pada rumus pertama, hanya kedua ruas identitasnya dibagi dengan kuadrat kosinus. Ternyata operasi matematika sederhana bisa melakukannya rumus trigonometri benar-benar tidak dapat dikenali. Ingat: mengetahui apa itu sinus, cosinus, tangen dan kotangen, aturan konversi dan banyak lagi rumus dasar Anda dapat menarik lebih banyak kapan saja rumus yang rumit di selembar kertas.
Rumus sudut ganda dan penjumlahan argumen
Dua rumus lagi yang perlu Anda pelajari terkait dengan nilai sinus dan cosinus jumlah dan selisih sudut. Mereka disajikan pada gambar di bawah ini. Harap dicatat bahwa dalam kasus pertama, sinus dan kosinus dikalikan dua kali, dan dalam kasus kedua, hasil kali berpasangan dari sinus dan kosinus ditambahkan.
Ada juga rumus yang terkait dengan argumen dalam bentuk sudut ganda. Mereka sepenuhnya berasal dari yang sebelumnya - sebagai pelatihan, cobalah mendapatkannya sendiri dengan mengambil sudut alfa sama dengan sudutnya beta.
Terakhir, perhatikan bahwa rumus sudut ganda dapat disusun ulang untuk mengurangi pangkat sinus, kosinus, tangen alfa.
Teorema
Dua teorema utama dalam trigonometri dasar adalah teorema sinus dan teorema kosinus. Dengan menggunakan teorema ini, Anda dapat dengan mudah memahami cara mencari sinus, kosinus, dan tangen, dan juga luas bangun, ukuran setiap sisinya, dll.
Teorema sinus menyatakan bahwa dengan membagi panjang masing-masing sisi segitiga dengan sudut yang berhadapan, kita peroleh nomor yang sama. Selain itu, bilangan ini akan sama dengan dua jari-jari lingkaran yang dibatasi, yaitu lingkaran yang memuat semua titik pada segitiga tertentu.
Teorema kosinus menggeneralisasi teorema Pythagoras dengan memproyeksikannya ke segitiga mana pun. Ternyata dari jumlah kuadrat kedua sisinya, kurangi hasil kali keduanya dikalikan dengan kosinus ganda dari sudut yang berdekatan - nilai yang dihasilkan akan sama dengan kuadrat sisi ketiga. Jadi, teorema Pythagoras ternyata merupakan kasus khusus dari teorema kosinus.
Kesalahan yang ceroboh
Walaupun mengetahui apa itu sinus, cosinus, dan tangen, kita mudah saja melakukan kesalahan karena linglung atau kesalahan dalam perhitungan yang paling sederhana. Untuk menghindari kesalahan seperti itu, mari kita lihat kesalahan yang paling populer.
Pertama, Anda tidak boleh mengubah pecahan menjadi desimal sampai Anda mendapatkan hasil akhir - Anda dapat membiarkan jawabannya sebagai pecahan biasa, kecuali dinyatakan lain dalam ketentuan. Transformasi seperti itu tidak bisa disebut kesalahan, tetapi harus diingat bahwa pada setiap tahap masalah mungkin muncul akar-akar baru, yang menurut ide penulis, harus dikurangi. Dalam hal ini, Anda akan membuang-buang waktu untuk hal-hal yang tidak perlu operasi matematika. Hal ini terutama berlaku untuk nilai-nilai seperti akar tiga atau akar dua, karena nilai-nilai tersebut ditemukan dalam masalah di setiap langkah. Hal yang sama berlaku untuk pembulatan angka “jelek”.
Selanjutnya, perhatikan bahwa teorema kosinus berlaku untuk sembarang segitiga, tetapi tidak berlaku untuk teorema Pythagoras! Jika Anda secara keliru lupa mengurangi dua kali hasil kali sisi-sisinya dikalikan dengan kosinus sudut di antara keduanya, Anda tidak hanya akan mendapatkan hasil yang sepenuhnya salah, tetapi Anda juga akan menunjukkan kurangnya pemahaman tentang subjek tersebut. Ini lebih buruk daripada kesalahan yang ceroboh.
Ketiga, jangan bingung antara nilai sudut 30 dan 60 derajat untuk sinus, cosinus, garis singgung, kotangen. Ingat nilai-nilai ini, karena sinus adalah 30 derajat sama dengan cosinus 60, dan sebaliknya. Sangat mudah untuk membingungkan mereka, akibatnya Anda pasti akan mendapatkan hasil yang salah.
Aplikasi
Banyak siswa yang tidak terburu-buru untuk mulai mempelajari trigonometri karena belum memahami makna praktisnya. Apa yang dimaksud dengan sinus, cosinus, tangen bagi seorang insinyur atau astronom? Ini adalah konsep yang dapat digunakan untuk menghitung jarak bintang yang jauh, memprediksi jatuhnya meteorit, mengirim penyelidikan penelitian ke planet lain. Tanpa mereka, mustahil membangun gedung, merancang mobil, menghitung beban pada suatu permukaan atau lintasan suatu benda. Dan ini hanyalah contoh yang paling jelas! Bagaimanapun, trigonometri dalam satu atau lain bentuk digunakan di mana-mana, mulai dari musik hingga kedokteran.
Kesimpulannya
Jadi kamu sinus, kosinus, tangen. Anda dapat menggunakannya dalam perhitungan dan berhasil menyelesaikan masalah sekolah.
Inti dari trigonometri adalah bahwa dengan menggunakan parameter segitiga yang diketahui, Anda perlu menghitung yang tidak diketahui. Ada total enam parameter: panjang tiga sisi dan ukuran ketiga sudutnya. Satu-satunya perbedaan dalam tugas adalah bahwa data masukan yang diberikan berbeda.
Anda sekarang tahu cara mencari sinus, kosinus, tangen berdasarkan panjang kaki atau sisi miring yang diketahui. Karena istilah-istilah ini tidak lebih dari suatu rasio, dan rasio adalah pecahan, tujuan utama masalah trigonometri adalah menemukan akar-akar persamaan biasa atau sistem persamaan. Dan di sini matematika sekolah reguler akan membantu Anda.
