Ada ilmu yang disebut logika, yang mengajarkan bagaimana bernalar agar pemikiran kita pasti, runtut, konsisten, demonstratif dan konsisten. Ibarat orang yang tidak mengetahui kaidah aritmatika dan tata bahasa, tidak mengetahui kaidah logika, tidak dapat bernalar dan bertindak tanpa kesalahan.

Seseorang yang mempelajari matematika sering kali harus mendefinisikan konsep, memperjelas hubungan antar konsep, dan mempertimbangkan kelompok (jenis) bangun, bilangan, dan persamaan fungsi yang dapat dibagi. Namun seringkali dalam matematika perlu untuk memperoleh berbagai rumus, aturan dan membuktikan teorema melalui penalaran. Bukan suatu kebetulan jika ada ahli matematika yang berpendapat bahwa matematika adalah ilmu yang “menghasilkan kesimpulan yang diperlukan”. Pandangan terhadap matematika ini bersifat sepihak, namun benar bahwa tanpa logika tidak akan ada matematika. Artinya agar berhasil mempelajari matematika, Anda harus terus-menerus belajar bernalar dengan benar. Hal ini juga berarti bahwa pembelajaran matematika itu sendiri sangat berguna untuk menguasai kaidah dan hukum berpikir. Bukan tanpa alasan matematika terkadang disebut sebagai “batu ujian bagi pikiran”.

Logika adalah ilmu yang abstrak. Tidak ada eksperimen di dalamnya, bahkan tidak ada fakta dalam arti kata yang biasa. Ketika membangun sistemnya, logika pada akhirnya berangkat dari analisis pemikiran nyata. Namun hasil analisis ini bersifat sintetik. Pernyataan-pernyataan tersebut bukanlah pernyataan mengenai proses-proses atau peristiwa-peristiwa tertentu yang harus dijelaskan oleh teori. Analisis seperti itu tidak bisa disebut observasi: fenomena tertentu selalu diamati.

Studi tentang semua jenis rantai logis (silogisme) mengarah pada penemuan paradoks dan sofisme yang terkenal. Paradoks adalah situasi ketika suatu teori membuktikan dua proposisi yang saling lepas, dan masing-masing proposisi tersebut diturunkan dengan cara yang meyakinkan dari sudut pandang teori tersebut.

Silogisme kategoris sederhana adalah penalaran yang terdiri dari tiga pernyataan atributif sederhana: dua premis dan satu kesimpulan. Premis-premis silogisme dibedakan menjadi premis mayor (yang memuat predikat kesimpulan) dan premis minor (yang memuat subjek kesimpulan).

Contoh silogisme:

Setiap manusia fana (premis besar)

Socrates adalah seorang laki-laki (premis minor)

Socrates fana (kesimpulan)

Tujuan pekerjaan: dalam karya ini saya akan terus mengembangkan ide dari karya saya sebelumnya. Saya akan melihat sofisme secara lebih rinci, memperkenalkan Anda pada rantai logis dan orang hebat yang mengungkapkan hukum mereka kepada kita. Saya akan mengeksplorasi beberapa paradoks baru. Saya juga akan menyangkal atau menemukan konfirmasi hipotesis saya.

Hipotesis: Logika digunakan untuk memecahkan sofisme dan paradoks.

Logika berasal dari pidato. Tidak mungkin meyakinkan lawan bicara Anda jika pembicaranya bertentangan dengan dirinya sendiri (jika Anda mengatakan bahwa salju itu putih, Anda tidak boleh merujuk pada kegelapannya). Di Yunani Kuno, di mana isu-isu terpenting diputuskan dalam dewan, setiap filsuf, politisi, atau penulis yang menghargai diri sendiri mencoba menyusun pidatonya agar dapat dipahami dan masuk akal. Di dunia kuno, kemampuan berbicara secara akurat, singkat dan jenaka sangat dihargai.

Kecintaan pada frasa yang tepat mengarahkan para filsuf Yunani kuno pada logika. Apa yang berikut dari apa dan mengapa? Apakah mungkin, misalnya, untuk mengatakan bahwa Socrates adalah makhluk fana jika diketahui bahwa semua orang adalah makhluk fana dan Socrates adalah manusia? Bisa. Dan jika diketahui bahwa semua orang fana dan Socrates juga fana, apakah benar Socrates adalah manusia? Salah: bagaimana jika Socrates bukan hanya nama orang bijak Yunani, tetapi juga, katakanlah, anjingnya?

Hukum logika, aturan untuk menyimpulkan pernyataan yang benar dari premis-premis tertentu, dipelajari sepenuhnya oleh filsuf besar Yunani kuno Aristoteles.

Aristoteles (384-322 SM)

Pada tahun 366 SM, seorang siswa baru muncul di Akademi Plato. Dia berasal dari Stagira dan berusia 18 tahun. Nama muridnya adalah Aristoteles.

Aristoteles menghabiskan hampir 20 tahun di Akademi. Dari seorang pelajar ia berubah menjadi seorang filsuf bijak yang bersaing dalam pengetahuan dan kedalaman dengan Plato sendiri. Persaingan ini terkadang menjadi sangat intens, namun tidak sekali pun perselisihan ilmiah Plato dengan Aristoteles berkembang menjadi permusuhan pribadi.

Tak lama setelah kematian Plato, Aristoteles meninggalkan Akademi. Raja Makedonia Philip mengundangnya untuk mendidik Tsarevich Alexander. Pada tahun 335 SM e. Aristoteles kembali dari Makedonia ke Athena, tempat ia mendirikan sekolahnya sendiri. Namanya - Lyceum - kemudian masuk ke bahasa Latin dan banyak bahasa lainnya, berubah menjadi satu huruf: Lyceum.

Mengikuti Plato, Aristoteles percaya bahwa pengetahuan yang andal dapat dan harus diperoleh dari kebenaran awal yang tidak diragukan lagi - aksioma - dengan menggunakan penalaran logis. Tapi Aristoteles melangkah lebih jauh dari Plato: dia menggambarkan hukum logika yang memungkinkan seseorang berpindah dari satu penilaian yang benar ke penilaian lainnya tanpa risiko membuat kesalahan.

Berikut beberapa hukum yang dirumuskan oleh Aristoteles. Setiap proposisi bisa benar atau salah. Tidak ada proposisi yang benar dan salah pada saat yang bersamaan. Pernyataan-pernyataan umum mengikuti pernyataan-pernyataan pribadi (misalnya, dari fakta bahwa semua orang fana, maka Socrates juga fana). Selama berabad-abad, otoritas ilmiah Aristoteles tidak diragukan lagi.

"ATAU", "DAN", "JIKA" DAN "TIDAK"

Pernyataan apa pun bisa benar atau salah. Pilihan ketiga sulit untuk dibayangkan, itulah sebabnya para filsuf Yunani kuno menggunakan “prinsip pihak tengah yang dikecualikan” - mereka percaya bahwa sebuah pernyataan tidak bisa benar dan salah. Mengikuti mereka, kami juga berpikir demikian. Logika tanpa prinsip “yang dikecualikan” hanya disebutkan dalam novel fiksi ilmiah, itupun sebagai lelucon.

Sekarang mari kita coba menyusun satu pernyataan dari dua bagian. Seperti yang sering kita lakukan, mari kita hubungkan dua frasa dengan kata “atau”. “Ada tikus atau buaya yang gemerisik di pojok.” Apakah pernyataan ini benar? Tergantung siapa sebenarnya yang gemerisik di pojok. Jika itu benar-benar tikus, maka ungkapan itu benar. Jika (betapapun sulitnya membayangkan) ini adalah buaya, sekali lagi pernyataan itu benar. Jika tikus dan buaya berdesir bersama di sudut, dia setia lagi! Dan hanya jika tidak ada tikus atau buaya di pojok, dan hamster yang kabur dari kandangnya bergemerisik, pernyataan itu ternyata salah. Ini adalah sifat yang melekat secara spesifik pada “atau”: dua pernyataan yang dihubungkan dengan kata ini merupakan pernyataan benar jika setidaknya salah satu pernyataan benar, dan pernyataan salah jika kedua pernyataan salah. Sekarang mari kita buat piring kecil (di sini saya adalah “pernyataan benar”, L adalah “salah”):

Dan atau Dan = Dan,

saya atau L = saya,

L atau aku = aku.

L atau L = L.

Sekarang mari kita bandingkan bagaimana kata penghubung “dan” berperilaku. Mari kita lihat sebuah contoh: “Seekor burung pipit dan piring terbang terbang melewati jendela.” Jika tidak ada burung gereja atau piring di luar jendela, pernyataan ini salah. Kalau ada burung pipit tapi tidak ada piringnya tetap palsu. Kalau ada piring, tapi tidak ada burung gereja, sama saja. Dan hanya kehadiran kedua dana secara bersamaan. Bahwa ungkapan itu ada benarnya. Berikut tabel kebenaran kata “dan”:

Frasa yang dihubungkan dengan kata ini adalah benar dalam satu-satunya kasus yang benar dalam satu-satunya kasus di mana kedua bagiannya benar!

Dalam teks ini, konstruksi frasa “jika demikian, maka akan menjadi seperti itu” digunakan beberapa kali. Mari kita lihat, kapan pernyataan seperti ini benar? Benar jika bagian pertama (premis) benar dan bagian kedua (kesimpulan) juga benar. Salah jika premisnya benar, tetapi kesimpulannya salah: pernyataan “jika Anda memecahkan cangkir, akan terjadi gempa bumi” tidak diragukan lagi salah. Bagaimana jika premisnya salah? Ini mungkin tampak luar biasa, tetapi dalam kasus ini pernyataan tersebut benar adanya. Apa pun berasal dari premis yang salah! Faktanya, tidak ada yang mengejutkan dalam hal ini: Anda sendiri pernah berulang kali menggunakan frasa seperti “jika 2x2 = 5, maka saya adalah Paus”. Coba buktikan bahwa pernyataan tersebut salah! Artinya 2x2 tidak sama dengan lima, dan Anda bukan Paus, oleh karena itu hal ini benar. Kami mendapatkan tabel kebenaran berikut:

“Dan” dan “atau” adalah operasi logika dasar, sama seperti penjumlahan dan perkalian adalah operasi aritmatika. Ada beberapa kesamaan antara operasi logika dan aritmatika, dan sekarang kami akan mendemonstrasikannya. Misalkan kita hanya mempunyai dua angka, 0 dan 1. Kita akan menunjukkan kebenaran dengan satu, dan salah dengan nol. Maka tabel kebenaran kita untuk “atau” menyerupai tabel penjumlahan biner: 0+0=0; 1+0=1; 0+1=1, dan hanya untuk “penjumlahan” dua kebenaran (1+1=1) kita mendapatkan jawaban yang berbeda dari yang diberikan aritmatika biner (di sana 1+1=10), tetapi pada umumnya jawabannya tidak terlalu bagus. berbeda dengan aritmatika, karena kita tidak akan mendapatkan angka nol pula. Hasil perkalian logika - “dan” - sepenuhnya bertepatan dengan aritmatika: 0x0=0, 1x0=0, 0x1=0, 1x1=1.

Sekilas, tidak ada analogi operasi “jika” dalam aritmatika. Tetapi jika kita memperkenalkan tindakan logis lain yang belum kita pertimbangkan secara rinci - "tidak", negasi, yang sangat sederhana (bukan kebenaran adalah kebohongan, bukan kebohongan adalah kebenaran, yaitu, dalam bentuknya yang murni, hukum dari dikecualikan tengah), - ternyata “jika” dapat diungkapkan melalui “atau”, “dan” dan “tidak”. Faktanya, konstruksi "A dan B, atau bukan A" berperilaku persis sama dengan "jika A maka B". Jika A benar, maka A tidak salah, dan kebenaran seluruh pernyataan bergantung pada kebenaran B; jika A salah, maka A tidak benar, dan terlepas dari benar atau salahnya B, pernyataan tersebut akan benar.

Bukan tanpa alasan kami menyebutkan di sini analogi aritmatika dari operasi logika. Karena dimungkinkan (dengan beberapa perubahan) untuk menyatakan benar atau salahnya pernyataan dalam angka dan simbol aritmatika, maka dimungkinkan untuk mengajarkan logika ke komputer. Semua alasan logis, betapapun rumitnya, akan tersedia baginya - dia hanya perlu mengungkapkannya melalui “dan”, “atau” dan “tidak”.

PARADOKS.

Paradoks (dari bahasa Yunani para - protia dan doxa - opini) merupakan pernyataan yang kontradiktif.

Dalam arti luas, paradoks adalah pernyataan yang tidak jelas, yang kebenarannya sulit ditentukan; dalam pengertian ini, merupakan kebiasaan untuk menyebut pernyataan kontradiktif yang tidak terduga sebagai paradoks, terutama jika kejutan dari maknanya diungkapkan dalam bentuk yang jenaka.

Dalam matematika, paradoks adalah keadaan ketika dua proposisi yang saling lepas dibuktikan dalam suatu teori tertentu, dan masing-masing proposisi tersebut diturunkan dengan cara yang meyakinkan dari sudut pandang teori tersebut, yaitu paradoks adalah pernyataan yang dalam suatu teori. teori yang diberikan bisa sama-sama dibuktikan sebagai kebenaran, dan seperti kebohongan.

Paradoks, pada umumnya, menunjukkan kekurangan teori yang sedang dipertimbangkan, inkonsistensi internalnya. Dalam sains, sering kali penemuan paradoks dalam teori tertentu menyebabkan restrukturisasi signifikan terhadap keseluruhan teori dan menjadi stimulus untuk penelitian lebih lanjut dan mendalam. Dalam matematika, analisis paradoks berkontribusi terhadap revisi pandangan mengenai masalah pembenaran dan pengembangan banyak ide dan metode modern. Pertanyaan-pertanyaan ini ditangani oleh ilmu yang disebut logika matematika.

ANJING DAN KELINCI

Saat berburu, anjing tersebut mengejar seekor kelinci yang berjarak 100 depa darinya, namun tidak berhasil menyusulnya. Para pemburu sangat kecewa dengan kegagalan tersebut, tetapi salah satu dari mereka berkata: “Eh, Tuan-tuan, apakah pantas untuk marah karena hal sepele seperti itu? Dan apakah layak mengejar anjing demi kelinci? Bagaimanapun juga, anjing tidak akan pernah bisa mengejarnya, meskipun dia berlari dengan kecepatan 10 kali lipat. »

Bagaimana?! – para pemburu kagum. -Omong kosong apa?

Omong kosong sekali, Tuan-tuan! Bukan omong kosong sama sekali! Dan saya yakinkan Anda bahwa akan selalu seperti ini!

Ya, sungguh tidak masuk akal! - kata mereka yang mendengarkan. – Tolong jelaskan bagaimana hal ini bisa terjadi?

Begini caranya: Mari kita asumsikan, misalnya, anjing pada mulanya dipisahkan dari kelinci dengan jarak 100 depa. Bahkan jika seekor anjing berlari 10 kali lebih cepat dari seekor kelinci, ketika ia berlari sejauh 100 depa tersebut, kelinci akan memiliki waktu untuk berlari sejauh 10 depa lagi. Ketika anjing berlari sejauh 10 depa ini, kelinci akan berlari sejauh 1 depa lagi, dan masih berada di depan anjing; ketika anjing berlari sejauh ini, kelinci akan berlari lagi 1/10 depa, dan seterusnya. Jadi, kelinci akan selalu berada di depan anjing, setidaknya dalam jarak yang dekat. Oleh karena itu, anjing tidak akan pernah bisa mengejar kelinci. Paradoks ini telah dikenal sejak lama dan disebut “Paradoks Zeno tentang Achilles dan Kura-kura”.

TUMPUKAN PASIR

Dua orang sahabat pernah melakukan percakapan seperti ini. “Lihat tumpukan pasirnya?” - tanya yang pertama. “Aku melihatnya,” jawab yang kedua, “tapi dia tidak benar-benar ada di sana.” Yang pertama terkejut: “Mengapa?” “Sangat sederhana,” jawab yang kedua. - Mari kita bernalar: sebutir pasir saja jelas tidak membentuk tumpukan pasir. Jika n butir pasir tidak dapat membentuk timbunan pasir, maka walaupun ditambahkan satu butir pasir lagi tetap tidak dapat membentuk timbunan. Akibatnya, tidak ada butiran pasir yang membentuk tumpukan, yaitu tidak ada tumpukan pasir. Paradoks ini disebut paradoks tumpukan.

PARADOKS "PEMBOHONG"

Paradoks logika yang paling terkenal dan paling menarik adalah Paradoks Pembohong. “Saya pembohong,” kata seseorang dan terjerumus ke dalam kontradiksi yang tak terpecahkan! Karena jika dia benar-benar pembohong, dia berbohong ketika dia mengatakan bahwa dia pembohong, dan karena itu dia bukan pembohong; tetapi jika dia bukan pembohong, maka dia mengatakan yang sebenarnya dan karena itu dia pembohong.

Paradoks Pembohong memberikan kesan yang sangat besar pada orang Yunani. Dan mudah untuk mengetahui alasannya. Pertanyaan yang diajukan sekilas tampak cukup sederhana: apakah dia berbohong yang hanya mengatakan bahwa dia berbohong? Namun jawaban “ya” mengarah pada jawaban “tidak”, dan sebaliknya. Dan refleksi tidak memperjelas situasi sama sekali. Di balik kesederhanaan dan bahkan kerutinan pertanyaan tersebut, terdapat kedalaman yang tidak jelas dan tak terukur.

Bahkan ada legenda bahwa Phillitus dari Kos, yang putus asa dalam menyelesaikan paradoks ini, melakukan bunuh diri. Mereka juga mengatakan bahwa salah satu ahli logika Yunani kuno yang terkenal, Diodorus Kronos, di tahun-tahun kemundurannya, bersumpah untuk tidak makan sampai dia menemukan solusi untuk "Pembohong", dan segera meninggal tanpa mencapai apa pun.

Penyesatan adalah kesimpulan yang disengaja dan tampak benar. Apa pun penyesatannya, pasti ada satu atau lebih kesalahan terselubung di dalamnya. Terutama sering kali dalam sofisme matematika, tindakan “terlarang” dilakukan atau kondisi penerapan teorema, rumus, dan aturan tidak diperhitungkan. Terkadang penalaran dilakukan dengan menggunakan gambar yang salah atau didasarkan pada “kejelasan” yang mengarah pada kesimpulan yang salah. Ada sofisme yang mengandung kesalahan lain.

Dalam sejarah perkembangan matematika, sofisme memegang peranan penting. Mereka berkontribusi pada peningkatan ketelitian penalaran matematika dan berkontribusi pada pemahaman yang lebih mendalam tentang konsep dan metode matematika.

Bagaimana sofisme berguna bagi siswa matematika?

Analisis sofisme pertama-tama mengembangkan pemikiran logis, yaitu menanamkan keterampilan berpikir yang benar. Menemukan kesalahan dalam sofisme berarti menyadarinya, dan kesadaran akan kesalahan tersebut mencegahnya terulang kembali dalam penalaran matematis lainnya.

Analisis sofisme membantu asimilasi sadar terhadap materi matematika yang dipelajari, mengembangkan observasi, perhatian dan sikap kritis terhadap apa yang sedang dipelajari. Sofisme matematika mengajarkan seseorang untuk bergerak maju dengan hati-hati dan hati-hati, memantau dengan cermat keakuratan formulasi, kebenaran catatan dan gambar, diperbolehkannya generalisasi, dan legalitas operasi yang dilakukan.

Terakhir, analisis sofisme sangat menarik. Hanya orang yang sangat kering yang tidak dapat terpikat oleh kesesatan yang menarik. Betapa menyenangkannya menemukan kesalahan dalam sofisme matematika dan dengan demikian mengembalikan kebenaran pada hakikatnya. Mari kita lihat beberapa sofisme.

SOPHISME "Bertanduk"

Apa yang belum hilang, Anda miliki; kamu belum kehilangan tandukmu, oleh karena itu kamu mempunyainya.

Kesalahan di sini adalah transisi yang salah dari aturan umum ke kasus tertentu, yang tidak diatur oleh aturan ini. Memang awal kalimat pertama: “Apa yang tidak hilang” berarti dengan kata “itu” segala sesuatu yang kamu miliki, dan jelas bahwa “tanduk” tidak termasuk di dalamnya. Oleh karena itu, kesimpulan “kamu bertanduk” tidak valid.

APAKAH KACA PENUH SAMA DENGAN KACA KOSONG?

Ternyata ya. Baiklah, mari kita lakukan penalaran berikut ini. Biarkan ada gelas yang terisi setengahnya dengan air. Maka kita dapat menuliskan bahwa gelas setengah penuh sama dengan gelas setengah kosong. Menggandakan kedua ruas persamaan, kita mendapatkan bahwa gelas penuh sama dengan gelas kosong.

Jelas bahwa alasan di atas tidak benar, karena melibatkan tindakan ilegal: penggandaan. Dalam situasi ini, penggunaannya tidak ada gunanya.

TAHUN TERAKHIR HIDUP KITA LEBIH SINGKAT DARI TAHUN PERTAMA.

Ada pepatah lama yang mengatakan: waktu berjalan lebih lambat ketika Anda masih muda, tetapi lebih cepat ketika Anda tua. Pepatah ini bisa dibuktikan secara matematis. Memang, pada tahun ketiga puluh seseorang menjalani 1/30 hidupnya, pada tahun keempat puluh - 1/40, pada tahun kelima puluh - 1/50, dan pada tahun keenam puluh - 1/60. Hal ini cukup jelas

1/30>1/40>1/50>1/60, yang jelas bahwa tahun-tahun terakhir hidup kita lebih pendek dari tahun pertama.

Apakah matematikanya gagal?

Memang benar 1/30>1/40>1/50>1/60. Namun tidak tepat jika dikatakan bahwa pada tahun ketiga puluh seseorang menjalani 1/30 dari hidupnya, ia hanya menjalani 1/30 dari bagian kehidupan yang telah dijalaninya saat itu, tetapi hanya sebagian saja, dan bukan seluruh hidupnya. . Bagian dari periode waktu yang berbeda tidak dapat dibandingkan satu sama lain.

DUA KALI DUA SAMA DENGAN LIMA.

Mari kita tulis identitasnya 4:4=5:5. Dengan mengeluarkan faktor persekutuannya dari tanda kurung untuk setiap bagian identitas, kita mendapatkan: 4∙ (1:1) = 5∙ (1:1) atau (2∙2) ∙ (1:1) = 5∙ (1: 1).

Karena 1:1=1, maka 2∙2=5.

Terjadi kesalahan saat mengambil faktor persekutuan 4 dari ruas kiri dan 5 dari ruas kanan. Memang benar, 4:4=1:1, tetapi 4:4 ≠ 4∙(1:1).

ANGKA APAPUN ADALAH NOL.

Misalkan a adalah bilangan tetap apa saja. Perhatikan persamaan 3x2-3ax+a2=0. Mari kita tulis ulang sebagai berikut: 3x2-3ax=-a2. Mengalikan kedua ruas dengan –a, kita mendapatkan persamaan -3x2a+3a2x=a3. Menambahkan x3-a3 ke kedua ruas persamaan ini, kita memperoleh persamaan x3-3ax2+3a2x-a3=x3 atau (x-a)3=x3, yang menghasilkan x-a=x, yakni a=0.

Jika a≠0 tidak ada bilangan x yang memenuhi persamaan 3x2-3ax+a2=0. Hal ini menunjukkan bahwa diskriminan persamaan kuadrat ini adalah D = -3a2

Selama pekerjaan ini, hipotesis saya terkonfirmasi: sofisme dan paradoks dibangun secara eksklusif berdasarkan hukum logika.

Paradoks dan sofisme yang dianggap hanyalah sebagian dari semua yang ditemukan hingga saat ini. Kemungkinan besar masih banyak paradoks lain, dan bahkan jenis paradoks yang benar-benar baru, yang akan ditemukan di masa depan.

Seiring waktu, sikap terhadap paradoks menjadi lebih tenang dan bahkan lebih toleran dibandingkan saat penemuannya. Intinya bukan hanya paradoks yang sudah menjadi sesuatu yang familiar. Dan bukan berarti mereka sudah berdamai dengan mereka. Pencarian solusi terhadap masalah-masalah tersebut terus berlanjut secara aktif. Situasinya telah berubah terutama karena paradoks telah terlokalisasi. Mereka telah menemukan tempatnya yang pasti dalam berbagai penelitian logis. Menjadi jelas bahwa ketelitian mutlak, pada prinsipnya, merupakan cita-cita yang tidak mungkin tercapai.

Banyak hal yang dibahas dalam karya ini. Topik yang lebih menarik dan penting tetap ada di luarnya. Logika adalah dunia yang istimewa dan orisinal dengan hukum, konvensi, tradisi, dan perselisihannya sendiri. Apa yang dikatakan ilmu ini sudah tidak asing lagi dan dekat bagi semua orang. Namun untuk memasuki dunianya, merasakan konsistensi dan dinamika batinnya, untuk merasakan semangat uniknya tidaklah mudah.

Diketahui bahwa merumuskan suatu masalah seringkali lebih penting dan sulit daripada menyelesaikannya. “Dalam sains,” tulis ahli kimia Inggris F. Soddy, “suatu permasalahan, jika diajukan dengan tepat, lebih dari setengahnya terpecahkan. Proses persiapan mental yang diperlukan untuk mengetahui adanya suatu masalah seringkali membutuhkan waktu lebih lama daripada menyelesaikan masalah itu sendiri.”

Bentuk-bentuk situasi masalah yang memanifestasikan dirinya dan dikenali sangat beragam. Hal ini tidak selalu menampakkan dirinya dalam bentuk pertanyaan langsung yang muncul di awal pembelajaran. Dunia masalah sama rumitnya dengan proses kognisi yang menghasilkannya. Mengidentifikasi masalah berhubungan dengan esensi berpikir kreatif. Paradoks adalah kasus paling menarik yang berisi cara-cara yang implisit dan tidak perlu dipertanyakan lagi dalam mengajukan masalah. Paradoks biasa terjadi pada tahap awal pengembangan teori-teori ilmiah, ketika langkah pertama diambil dalam bidang yang belum dijelajahi dan prinsip-prinsip pendekatan yang paling umum diraba-raba.

Dalam arti luas, paradoks adalah suatu posisi yang sangat menyimpang dari pendapat-pendapat yang diterima secara umum, mapan, dan ortodoks. “Pendapat yang diterima secara umum dan apa yang dianggap sebagai masalah yang sudah lama diputuskan paling sering layak untuk diteliti” (G. Lichtenberg). Paradoksnya adalah awal dari penelitian semacam itu.

Paradoks dalam arti yang lebih sempit dan terspesialisasi adalah dua pernyataan yang berlawanan dan tidak sejalan, yang masing-masing pernyataannya tampaknya memiliki argumen yang meyakinkan.

Bentuk paradoks yang paling dramatis adalah antinomi, yaitu penalaran yang membuktikan kesetaraan dua pernyataan, yang salah satunya merupakan negasi terhadap yang lain.

Paradoks sangat terkenal dalam ilmu-ilmu yang paling ketat dan eksakta - matematika dan logika. Dan ini bukanlah suatu kebetulan.

Logika adalah ilmu yang abstrak. Tidak ada eksperimen di dalamnya, bahkan tidak ada fakta dalam arti kata yang biasa. Ketika membangun sistemnya, logika pada akhirnya berangkat dari analisis pemikiran nyata. Namun hasil analisis ini bersifat sintetik dan tidak dapat dibedakan. Pernyataan-pernyataan tersebut bukanlah pernyataan mengenai proses-proses atau peristiwa-peristiwa tertentu yang harus dijelaskan oleh teori. Analisis seperti itu jelas tidak bisa disebut observasi: fenomena tertentu selalu diamati.

Ketika membangun sebuah teori baru, seorang ilmuwan biasanya memulai dari fakta, dari apa yang dapat diamati dalam pengalaman. Betapapun bebasnya imajinasi kreatifnya, ia harus mempertimbangkan satu keadaan yang sangat diperlukan: sebuah teori hanya masuk akal jika konsisten dengan fakta-fakta yang berkaitan dengannya. Sebuah teori yang menyimpang dari fakta dan observasi tidak masuk akal dan tidak bernilai.

Namun jika dalam logika tidak ada eksperimen, tidak ada fakta, dan tidak ada observasi itu sendiri, lalu apa yang menahan fantasi logis? Faktor apa, jika bukan fakta, yang diperhitungkan saat membuat teori logika baru?

Kesenjangan antara teori logika dan praktik pemikiran aktual sering kali terungkap dalam bentuk paradoks logika yang kurang lebih akut, dan terkadang bahkan dalam bentuk antinomi logis, yang menunjukkan inkonsistensi internal teori. Hal ini justru menjelaskan pentingnya paradoks dalam logika, dan besarnya perhatian yang mereka nikmati di dalamnya.

Paradoks logika yang paling terkenal dan mungkin paling menarik adalah Paradoks Pembohong. Dialah yang terutama mengagungkan nama Eubulides dari Miletus, yang menemukannya.

Ada variasi dari paradoks atau antinomi ini, banyak di antaranya yang tampaknya bersifat paradoks.

Dalam versi paling sederhana dari “Pembohong”, seseorang hanya mengucapkan satu kalimat: “Saya berbohong.” Atau dia berkata: “Pernyataan yang saya buat sekarang adalah salah.” Atau: “Pernyataan ini salah.”

Jika pernyataan itu salah, maka penuturnya mengatakan yang sebenarnya, dan itu berarti apa yang dikatakannya tidak bohong. Jika pernyataan tersebut tidak salah, namun penutur menyatakan pernyataan tersebut salah, maka pernyataannya salah. Oleh karena itu, jika pembicara berbohong, maka ia mengatakan yang sebenarnya, dan sebaliknya.

Pada Abad Pertengahan, rumusan berikut ini umum:

“Apa yang dikatakan Plato salah,” kata Socrates.

“Apa yang dikatakan Socrates adalah kebenaran,” kata Plato.

Timbul pertanyaan, manakah di antara mereka yang mengungkapkan kebenaran dan mana yang bohong?

Berikut ini adalah pengungkapan ulang modern atas paradoks ini. Misalkan satu-satunya kata yang tertulis di bagian depan kartu adalah: “Di sisi lain kartu ini terdapat pernyataan yang benar.” Jelas kata-kata ini mewakili pernyataan yang bermakna. Membalikkan kartunya, kita harus menemukan pernyataan yang dijanjikan, atau tidak ada sama sekali. Jika tertulis di belakang, maka itu benar atau tidak. Namun, di belakangnya ada tulisan: “Ada pernyataan palsu tertulis di sisi lain kartu ini” - dan tidak lebih. Anggap saja pernyataan di depan itu benar. Maka pernyataan dibelakangnya pasti benar dan oleh karena itu pernyataan di depannya pasti salah. Tetapi jika pernyataan di mukanya salah, maka pernyataan di belakangnya pasti salah juga, maka pernyataan di mukanya pasti benar. Hasilnya adalah sebuah paradoks.

Paradoks Pembohong memberikan kesan yang sangat besar pada orang Yunani. Dan mudah untuk mengetahui alasannya. Pertanyaan yang diajukan sekilas tampak cukup sederhana: apakah dia berbohong yang hanya mengatakan bahwa dia berbohong? Namun jawaban “ya” mengarah pada jawaban “tidak”, dan sebaliknya. Dan refleksi tidak memperjelas situasi sama sekali. Di balik kesederhanaan dan bahkan kerutinan pertanyaan tersebut, terdapat kedalaman yang tidak jelas dan tak terukur.

Bahkan ada legenda bahwa Filit Kossky, yang putus asa untuk menyelesaikan paradoks ini, melakukan bunuh diri. Mereka juga mengatakan bahwa salah satu ahli logika Yunani kuno yang terkenal, Diodorus Kronos, di tahun-tahun kemundurannya, bersumpah untuk tidak makan sampai dia menemukan solusi untuk "Pembohong", dan segera meninggal tanpa mencapai apa pun.

Pada Abad Pertengahan, paradoks ini diklasifikasikan di antara kalimat-kalimat yang tidak dapat diputuskan dan menjadi objek analisis sistematis.

Di zaman modern, “The Liar” sudah lama tidak menarik perhatian. Mereka tidak melihat adanya kesulitan, bahkan yang kecil sekalipun, dalam dirinya mengenai penggunaan bahasa. Dan hanya di masa yang kita sebut sebagai zaman modern inilah perkembangan logika akhirnya mencapai tingkat di mana permasalahan yang tampaknya berada di balik paradoks ini menjadi mungkin untuk dirumuskan secara ketat.

Sekarang si "Pembohong" - tipikal sofisme sebelumnya - sering disebut raja paradoks logika. Literatur ilmiah yang luas dikhususkan untuk itu. Namun, seperti banyak paradoks lainnya, masih belum sepenuhnya jelas masalah apa yang tersembunyi di baliknya dan bagaimana cara menghilangkannya.

"Si Pembohong" kini secara umum dianggap sebagai contoh khas dari kesulitan yang timbul dari kerancuan dua bahasa: bahasa yang digunakan seseorang untuk berbicara tentang realitas yang ada di luar dirinya, dan bahasa yang digunakan untuk berbicara tentang bahasa pertama itu sendiri. .

Dalam bahasa sehari-hari tidak ada perbedaan antara tingkatan ini: kita berbicara tentang realitas dan bahasa dalam bahasa yang sama. Misalnya, seseorang yang bahasa ibunya adalah bahasa Rusia tidak melihat adanya perbedaan khusus antara pernyataan: “Kaca itu transparan” dan “Memang benar kaca itu transparan”, meskipun salah satunya tentang kaca, dan yang lainnya tentang kaca. pernyataan tentang kaca.

Jika seseorang memiliki gagasan tentang perlunya berbicara tentang dunia dalam satu bahasa, dan tentang sifat-sifat bahasa ini dalam bahasa lain, ia dapat menggunakan dua bahasa berbeda yang ada, misalnya Rusia dan Inggris. Daripada sekadar mengatakan: “Sapi adalah kata benda”, saya akan mengatakan “Sapi adalah kata benda”, dan alih-alih: “Pernyataan “Kaca tidak transparan” adalah salah.” Dengan dua bahasa berbeda yang digunakan dengan cara ini, apa yang dikatakan tentang dunia jelas akan berbeda dari apa yang dikatakan tentang bahasa yang digunakan untuk berbicara di dunia. Faktanya, pernyataan pertama mengacu pada bahasa Rusia, sedangkan pernyataan kedua mengacu pada bahasa Inggris.

Jika ahli bahasa kita ingin berbicara lebih jauh tentang beberapa keadaan yang berkaitan dengan bahasa Inggris, dia bisa menggunakan bahasa lain. Katakanlah bahasa Jerman. Untuk membicarakan poin terakhir ini, seseorang dapat menggunakan, misalnya, bahasa Spanyol, dll.

Dengan demikian, yang muncul adalah semacam tangga, atau hierarki, bahasa, yang masing-masing digunakan untuk tujuan yang sangat spesifik: yang pertama berbicara tentang dunia objektif, yang kedua tentang bahasa pertama, yang ketiga tentang bahasa pertama. bahasa kedua, dll. Pembedaan bahasa menurut bidang penerapannya seperti itu jarang terjadi dalam kehidupan sehari-hari. Namun dalam ilmu-ilmu yang khusus berhubungan dengan bahasa, seperti logika, terkadang hal ini ternyata sangat berguna. Bahasa yang digunakan seseorang untuk membicarakan dunia biasanya disebut bahasa subjek. Bahasa yang digunakan untuk mendeskripsikan bahasa subjek disebut metabahasa.

Jelas jika bahasa dan metabahasa dibedakan dengan cara ini, maka pernyataan “Saya berbohong” tidak dapat lagi dirumuskan. Ini berbicara tentang kepalsuan dari apa yang dikatakan dalam bahasa Rusia, dan oleh karena itu, termasuk dalam bahasa meta dan harus diungkapkan dalam bahasa Inggris. Secara khusus, bunyinya akan seperti ini: “Semua yang saya ucapkan dalam bahasa Rusia adalah salah” (“Semua yang saya katakan dalam bahasa Rusia adalah salah”); pernyataan bahasa Inggris ini tidak mengatakan apa pun tentang dirinya sendiri, dan tidak ada paradoks yang muncul.

Perbedaan antara bahasa dan metabahasa memungkinkan kita menghilangkan paradoks “Pembohong”. Dengan demikian, menjadi mungkin untuk secara benar, tanpa kontradiksi, mendefinisikan konsep kebenaran klasik: suatu pernyataan benar jika sesuai dengan realitas yang digambarkannya.

Konsep kebenaran, seperti semua konsep semantik lainnya, bersifat relatif: selalu dapat dikaitkan dengan bahasa tertentu.

Seperti yang ditunjukkan oleh ahli logika Polandia A. Tarski, definisi klasik tentang kebenaran harus dirumuskan dalam bahasa yang lebih luas daripada bahasa yang dimaksudkan. Dengan kata lain, jika kita ingin menunjukkan apa maksud dari ungkapan “pernyataan yang benar dalam suatu bahasa tertentu”, kita harus, selain ungkapan-ungkapan bahasa tersebut, juga menggunakan ungkapan-ungkapan yang tidak ada di dalamnya.

Tarski memperkenalkan konsep bahasa yang tertutup secara semantik. Bahasa yang demikian, selain ungkapan-ungkapannya, juga memuat namanya, dan juga yang penting ditegaskan, pernyataan-pernyataan tentang kebenaran kalimat-kalimat yang dirumuskan di dalamnya.

Tidak ada batasan antara bahasa dan metabahasa dalam bahasa yang tertutup secara semantik. Sarananya begitu kaya sehingga memungkinkan tidak hanya untuk menegaskan sesuatu tentang realitas ekstra-linguistik, tetapi juga untuk mengevaluasi kebenaran pernyataan tersebut. Cara-cara ini cukup, khususnya, untuk mereproduksi antinomi “Pembohong” dalam bahasa tersebut. Dengan demikian, bahasa yang tertutup secara semantik ternyata kontradiktif secara internal. Setiap bahasa alami jelas tertutup secara semantik.

Satu-satunya cara yang dapat diterima untuk menghilangkan antinomi, dan karenanya inkonsistensi internal, menurut Tarski, adalah dengan menolak menggunakan bahasa yang tertutup secara semantik. Jalur ini tentu saja dapat diterima hanya dalam kasus bahasa buatan dan formal yang memungkinkan pembagian yang jelas menjadi bahasa dan metabahasa. Dalam bahasa alami, dengan strukturnya yang tidak jelas dan kemampuan untuk membicarakan segala hal dalam bahasa yang sama, pendekatan ini tidak terlalu realistis. Tidak masuk akal untuk mempertanyakan konsistensi internal bahasa-bahasa ini. Kemampuan ekspresif mereka yang kaya juga memiliki sisi negatifnya - paradoks.

Jadi, ada pernyataan yang berbicara tentang benar atau salahnya sendiri. Gagasan bahwa pernyataan semacam ini tidak bermakna adalah gagasan lama. Hal ini dipertahankan oleh ahli logika Yunani kuno Chrysippus.

Pada Abad Pertengahan, filsuf dan ahli logika Inggris W. Ockham menyatakan bahwa pernyataan “Setiap pernyataan salah” tidak ada artinya, karena antara lain berbicara tentang kepalsuannya sendiri. Sebuah kontradiksi langsung muncul dari pernyataan ini. Jika setiap pernyataan salah, maka hal ini juga berlaku pada pernyataan itu sendiri; namun fakta bahwa pernyataan tersebut salah berarti tidak semua pernyataan salah. Situasinya mirip dengan pernyataan “Setiap pernyataan benar.” Seharusnya juga tergolong tidak bermakna dan juga menimbulkan kontradiksi: jika setiap pernyataan benar, maka negasi dari pernyataan itu sendiri juga benar, yaitu pernyataan bahwa tidak setiap pernyataan benar.

Namun, mengapa suatu pernyataan tidak dapat mengungkapkan benar atau salahnya secara bermakna?

Sudah sezaman dengan Occam, filsuf Perancis abad ke-14. J. Buridan tidak setuju dengan keputusannya. Dari sudut pandang gagasan biasa tentang ketidakbermaknaan, ungkapan seperti “Saya berbohong”, “Setiap pernyataan benar (salah)”, dll. cukup berarti. Apa yang dapat Anda pikirkan, Anda dapat mengutarakannya - ini adalah prinsip umum Buridan. Seseorang dapat memikirkan kebenaran pernyataan yang diucapkannya, artinya ia dapat mengutarakannya. Tidak semua self-talk itu tidak masuk akal. Misalnya pernyataan “Kalimat ini ditulis dalam bahasa Rusia” benar, tetapi pernyataan “Ada sepuluh kata dalam kalimat ini” salah. Dan keduanya sangat masuk akal. Jika suatu pernyataan diperbolehkan untuk berbicara tentang dirinya sendiri, lalu mengapa pernyataan tersebut tidak mampu berbicara secara bermakna tentang properti seperti kebenaran?

Buridan sendiri menilai pernyataan “Saya berbohong” bukan tidak ada artinya, melainkan salah. Dia membenarkannya seperti ini. Ketika seseorang menyatakan suatu proposisi, maka ia menyatakan bahwa proposisi itu benar. Jika sebuah kalimat mengatakan tentang dirinya sendiri bahwa kalimat itu sendiri salah, maka kalimat tersebut hanyalah rumusan singkat dari ekspresi yang lebih kompleks yang menegaskan kebenaran dan kepalsuannya. Ungkapan ini kontradiktif dan karenanya salah. Tapi itu sama sekali tidak ada artinya.

Argumen Buridan terkadang masih dianggap meyakinkan.

Ada kritik lain terhadap solusi paradoks Pembohong, yang dikembangkan secara rinci oleh Tarski. Benarkah dalam bahasa yang tertutup secara semantik - dan semua bahasa alami memang demikian - tidak ada penawar untuk paradoks jenis ini?

Jika memang demikian, maka konsep kebenaran hanya dapat didefinisikan secara ketat dalam bahasa formal. Hanya di dalamnya kita dapat membedakan antara bahasa subjek yang digunakan seseorang untuk berbicara tentang dunia di sekitar kita, dan bahasa meta yang digunakan seseorang untuk berbicara tentang bahasa tersebut. Hirarki bahasa ini dibangun berdasarkan model penguasaan bahasa asing dengan bantuan bahasa ibu. Studi tentang hierarki seperti itu telah menghasilkan banyak kesimpulan menarik, dan dalam kasus-kasus tertentu hal ini signifikan. Tapi itu tidak dalam bahasa alami. Apakah ini akan mendiskreditkannya? Dan jika ya, sejauh mana? Bagaimanapun, konsep kebenaran masih digunakan di dalamnya, dan biasanya tanpa komplikasi apa pun. Apakah memperkenalkan hierarki adalah satu-satunya cara untuk menghilangkan paradoks seperti Pembohong?

Pada tahun 1930-an, jawaban terhadap pertanyaan-pertanyaan ini nampaknya jelas-jelas positif. Namun, kini kebulatan suara yang dulu sudah tidak ada lagi, meski tradisi menghilangkan paradoks jenis ini dengan “stratifikasi” bahasa masih dominan.

Akhir-akhir ini, ekspresi egosentris semakin menarik perhatian. Kata-kata tersebut mengandung kata-kata seperti “saya”, “ini”, “di sini”, “sekarang”, dan kebenarannya bergantung pada kapan, oleh siapa, dan di mana kata-kata tersebut digunakan.

Pada pernyataan “Pernyataan ini salah” muncul kata “itu”. Objek manakah sebenarnya yang dirujuknya? "Pembohong" mungkin mengatakan bahwa kata "itu" tidak relevan dengan arti pernyataan tersebut. Tapi lalu apa maksudnya, apa maksudnya? Dan mengapa arti ini masih belum dapat ditentukan dengan kata “ini”?

Tanpa merinci lebih jauh di sini, perlu dicatat bahwa dalam konteks analisis ekspresi egosentris, “Pembohong” diisi dengan konten yang sama sekali berbeda dari sebelumnya. Ternyata dia tidak lagi memperingatkan agar tidak membingungkan bahasa dan metabahasa, namun menunjukkan bahaya yang terkait dengan penggunaan kata “itu” dan kata-kata egosentris serupa yang salah.

Masalah yang terkait dengan "The Liar" selama berabad-abad telah berubah secara radikal tergantung pada apakah itu dilihat sebagai contoh ambiguitas, atau sebagai ekspresi yang muncul secara eksternal sebagai contoh kebingungan bahasa dan metabahasa, atau, akhirnya, sebagai sebuah contoh tipikal penyalahgunaan ekspresi egosentris. Dan tidak ada kepastian bahwa masalah lain tidak akan terkait dengan paradoks ini di masa depan.

Ahli logika dan filsuf Finlandia modern yang terkenal, G. von Wright, menulis dalam karyanya yang didedikasikan untuk “The Liar” bahwa paradoks ini tidak boleh dipahami sebagai hambatan lokal dan terisolasi yang dapat dihilangkan dengan satu gerakan pemikiran yang inventif. "Pembohong" menyentuh banyak topik terpenting dalam logika dan semantik. Inilah definisi kebenaran, penafsiran atas kontradiksi dan bukti, serta serangkaian perbedaan penting: antara sebuah kalimat dan pemikiran yang diungkapkannya, antara penggunaan suatu ungkapan dan penyebutannya, antara arti sebuah nama dan arti sebuah nama. objek yang dilambangkannya.

Situasinya serupa dengan paradoks logika lainnya. “Antinomi logika,” tulis von Wright, “telah membingungkan kita sejak penemuannya dan mungkin akan selalu membingungkan kita. Menurut saya, kita harus memandangnya bukan sebagai permasalahan yang menunggu solusinya, namun sebagai bahan mentah untuk refleksi yang tiada habisnya. Hal-hal tersebut penting karena memikirkan hal-hal tersebut menyentuh pertanyaan paling mendasar dari semua logika, dan juga semua pemikiran.”

Sebagai penutup percakapan tentang “Si Pembohong” ini, kita dapat mengingat sebuah episode aneh ketika logika formal masih diajarkan di sekolah. Dalam buku teks logika yang diterbitkan pada akhir tahun 40an, anak-anak sekolah kelas delapan diminta sebagai pekerjaan rumah—sebagai pemanasan, boleh dikatakan—untuk menemukan kesalahan yang dibuat dalam pernyataan yang tampaknya sederhana ini: “Saya berbohong.” Dan, meskipun kelihatannya tidak aneh, diyakini bahwa sebagian besar anak sekolah berhasil mengatasi tugas ini.

Paradoks paling terkenal yang ditemukan di abad kita adalah antinomi yang ditemukan oleh B. Russell dan dikomunikasikan olehnya dalam sebuah surat kepada G. Ferge. Antinomi yang sama dibahas secara bersamaan di Göttingen oleh ahli matematika Jerman Z. Zermelo dan D. Hilbert.

Idenya sedang mengudara, dan penerbitannya menimbulkan efek ledakan bom. Paradoks ini, menurut Hilbert, menyebabkan dampak bencana total dalam matematika. Metode logis yang paling sederhana dan penting, konsep yang paling umum dan berguna berada di bawah ancaman.

Segera menjadi jelas bahwa baik dalam logika maupun matematika, sepanjang sejarah panjang keberadaan mereka, sama sekali tidak ada yang dikembangkan yang dapat menjadi dasar untuk menghilangkan antinomi. Peralihan dari cara berpikir konvensional jelas diperlukan. Tapi dari tempat mana dan ke arah mana? Seberapa radikalkah kita melepaskan diri dari cara-cara berteori yang sudah mapan?

Dengan adanya penelitian lebih lanjut mengenai antinomi tersebut, keyakinan akan perlunya pendekatan baru yang fundamental terus meningkat. Setengah abad setelah penemuannya, pakar dasar logika dan matematika, L. Frenkel dan I. Bar-Hillel, telah menyatakan tanpa keraguan: “Kami percaya bahwa segala upaya untuk keluar dari situasi tersebut menggunakan metode tradisional (yaitu, cara berpikir yang digunakan sebelum abad ke-20, yang sejauh ini selalu gagal, jelas tidak cukup untuk mencapai tujuan ini.”

Ahli logika Amerika modern H. Curry kemudian menulis tentang paradoks ini: “Dalam istilah logika yang dikenal pada abad ke-19, situasinya tidak dapat dijelaskan, meskipun, tentu saja, di zaman terpelajar kita mungkin ada orang yang akan melihat (atau mengira mereka akan melihat), apa kesalahannya?

Paradoks Russell dalam bentuk aslinya dikaitkan dengan konsep himpunan, atau kelas.

Kita dapat berbicara tentang himpunan benda-benda yang berbeda, misalnya himpunan semua orang atau himpunan bilangan asli. Elemen himpunan pertama adalah setiap orang, dan elemen himpunan kedua adalah setiap bilangan asli. Juga diperbolehkan untuk menganggap himpunan itu sendiri sebagai suatu objek dan berbicara tentang himpunan dari himpunan. Anda bahkan dapat memperkenalkan konsep seperti himpunan semua himpunan atau himpunan semua konsep.

Mengenai himpunan arbitrer apa pun, tampaknya masuk akal untuk menanyakan apakah himpunan tersebut merupakan elemennya sendiri atau bukan. Himpunan yang tidak memuat dirinya sendiri sebagai suatu elemen disebut biasa. Misalnya, himpunan semua orang bukanlah suatu pribadi, sebagaimana himpunan atom bukanlah suatu atom. Himpunan yang merupakan elemennya sendiri akan menjadi tidak biasa. Misalnya, himpunan yang menyatukan semua himpunan adalah himpunan dan oleh karena itu memuat dirinya sendiri sebagai suatu elemen.

Sekarang mari kita perhatikan himpunan semua himpunan biasa. Karena jumlahnya banyak, maka bisa juga ditanyakan, apakah biasa atau tidak biasa. Namun jawabannya ternyata mengecewakan. Jika ia biasa, maka menurut definisinya, ia harus memuat dirinya sendiri sebagai suatu elemen, karena ia memuat semua himpunan biasa. Tapi ini berarti bahwa ini adalah kumpulan yang tidak biasa. Asumsi bahwa himpunan kita adalah himpunan biasa menimbulkan kontradiksi. Artinya, ini tidak mungkin biasa-biasa saja. Di sisi lain, ia juga tidak bisa menjadi luar biasa: suatu himpunan yang tidak biasa memuat dirinya sendiri sebagai sebuah elemen, dan elemen-elemen dari himpunan kita hanyalah himpunan biasa. Hasilnya, kita sampai pada kesimpulan bahwa himpunan semua himpunan biasa tidak dapat berupa himpunan biasa atau himpunan luar biasa.

Jadi, himpunan semua himpunan yang bukan merupakan unsur wajar adalah unsurnya sendiri jika dan hanya jika himpunan tersebut bukan unsur tersebut. Ini jelas merupakan suatu kontradiksi. Dan itu diperoleh berdasarkan asumsi yang paling masuk akal dan dengan bantuan langkah-langkah yang tampaknya tak terbantahkan.

Kontradiksinya menunjukkan bahwa himpunan seperti itu tidak ada. Tapi kenapa itu tidak bisa ada? Bagaimanapun, ia terdiri dari objek-objek yang memenuhi suatu kondisi yang terdefinisi dengan jelas, dan kondisi itu sendiri tidak tampak luar biasa atau tidak jelas. Jika himpunan yang didefinisikan secara sederhana dan jelas seperti itu tidak mungkin ada, lalu apa sebenarnya perbedaan antara himpunan yang mungkin dan yang tidak mungkin? Kesimpulan tentang tidak adanya himpunan yang dimaksud terdengar tidak terduga dan menimbulkan kekhawatiran. Hal ini membuat konsep umum kita tentang himpunan menjadi tidak berbentuk dan kacau, dan tidak ada jaminan bahwa hal tersebut tidak dapat menimbulkan beberapa paradoks baru.

Paradoks Russell luar biasa karena sifatnya yang sangat umum. Untuk membangunnya, Anda tidak memerlukan konsep teknis yang rumit, seperti dalam kasus beberapa paradoks lainnya; konsep “himpunan” dan “elemen himpunan” sudah cukup. Namun kesederhanaan ini hanya berbicara tentang sifat dasarnya: ia menyentuh dasar terdalam dari pemikiran kita tentang himpunan, karena ia tidak berbicara tentang beberapa kasus khusus, tetapi tentang himpunan secara umum.

Paradoks Russell tidak bersifat matematis secara spesifik. Ia menggunakan konsep himpunan, tetapi tidak menyentuh sifat-sifat khusus apa pun yang berkaitan secara khusus dengan matematika.

Hal ini menjadi jelas jika kita merumuskan kembali paradoks ini dalam istilah yang sepenuhnya logis.

Untuk setiap properti, kemungkinan besar seseorang dapat bertanya apakah properti tersebut berlaku untuk dirinya sendiri atau tidak.

Sifat menjadi panas, misalnya, tidak berlaku pada dirinya sendiri, karena ia sendiri tidak panas; sifat wujud konkrit juga tidak mengacu pada dirinya sendiri, karena merupakan sifat abstrak. Namun sifat menjadi abstrak, menjadi abstrak, dapat diterapkan pada diri sendiri. Mari kita sebut properti yang tidak dapat diterapkan sendiri ini tidak dapat diterapkan. Apakah sifat tidak dapat diterapkan pada diri sendiri berlaku? Ternyata suatu ketidakberlakuan tidak dapat diterapkan hanya jika tidak. Tentu saja hal ini bersifat paradoks.

Versi antinomi Russell yang logis dan berkaitan dengan properti sama paradoksnya dengan versi matematis yang berkaitan dengan himpunan.

Russell juga mengusulkan versi populer paradoks yang ia temukan berikut ini.

Bayangkan dewan suatu desa mendefinisikan tugas seorang tukang cukur sebagai berikut: mencukur semua laki-laki di desa yang tidak mencukur dirinya sendiri, dan hanya laki-laki tersebut. Haruskah dia mencukur dirinya sendiri? Jika demikian, maka dia akan memperlakukan orang yang mencukur dirinya sendiri, tetapi orang yang mencukur dirinya sendiri, maka dia tidak boleh mencukurnya. Jika tidak, maka dia termasuk orang yang tidak mencukur dirinya sendiri, dan karena itu dia harus mencukur dirinya sendiri. Dengan demikian kita sampai pada kesimpulan bahwa tukang cukur ini mencukur dirinya sendiri jika dan hanya jika dia tidak mencukur dirinya sendiri. Tentu saja hal ini mustahil.

Argumen tentang penata rambut bertumpu pada asumsi bahwa penata rambut tersebut ada. Kontradiksi yang timbul berarti anggapan tersebut salah, dan tidak ada penduduk desa yang mencukur semuanya, dan yang ada hanya penduduk desa yang tidak mencukur dirinya sendiri.

Tugas seorang penata rambut pada pandangan pertama tampaknya tidak bertentangan, sehingga kesimpulan bahwa hal itu tidak mungkin ada terdengar agak tidak terduga. Namun kesimpulan ini tidak bersifat paradoks. Syarat yang harus dipenuhi oleh tukang cukur desa sebenarnya bertentangan secara internal dan oleh karena itu tidak mungkin dipenuhi. Tidak mungkin ada tukang cukur seperti itu di desa karena alasan yang sama bahwa tidak ada orang di desa itu yang lebih tua dari dirinya atau yang lahir sebelum kelahirannya.

Argumen tentang penata rambut bisa disebut paradoks semu. Dalam perjalanannya, ini sangat mirip dengan paradoks Russell dan inilah mengapa ini menarik. Tapi ini masih bukan paradoks yang sebenarnya.

Contoh lain dari paradoks semu yang sama adalah argumen terkenal tentang katalog.

Perpustakaan tertentu memutuskan untuk menyusun katalog bibliografi, yang akan mencakup semua katalog bibliografi yang tidak berisi tautan ke katalog itu sendiri. Haruskah direktori seperti itu menyertakan tautan ke direktori itu sendiri?

Tidak sulit untuk menunjukkan bahwa gagasan membuat katalog seperti itu tidak mungkin dilakukan; ia tidak mungkin ada, karena ia harus menyertakan referensi ke dirinya sendiri dan tidak menyertakannya secara bersamaan.

Menarik untuk dicatat bahwa membuat katalog semua direktori yang tidak berisi referensi dapat dianggap sebagai proses tanpa akhir dan tanpa akhir. Mari kita asumsikan bahwa suatu saat sebuah direktori, katakanlah K1, telah dikompilasi, termasuk semua direktori berbeda darinya yang tidak berisi tautan ke direktori itu sendiri. Dengan terciptanya K1, direktori lain muncul yang tidak berisi tautan ke direktori itu sendiri. Karena masalahnya adalah membuat katalog lengkap dari semua katalog yang tidak menyebutkan dirinya sendiri, jelas bahwa K1 bukanlah solusi. Dia tidak menyebutkan salah satu katalog itu: dirinya sendiri. Dengan memasukkan penyebutan dirinya ke dalam K1, kita mendapatkan katalog K2. Disebutkan K1, tapi bukan K2 itu sendiri. Dengan menambahkan penyebutan seperti itu ke K2, kita mendapatkan KZ, yang lagi-lagi tidak lengkap karena tidak menyebutkan dirinya sendiri. Dan terus menerus tanpa akhir.

Paradoks logika yang menarik ditemukan oleh ahli logika Jerman K. Grelling dan L. Nelson (paradoks Grelling). Paradoks ini dapat dirumuskan dengan sangat sederhana.

Beberapa kata properti memiliki properti yang diberi nama. Misalnya, kata sifat “Rusia” itu sendiri adalah bahasa Rusia, “bersuku kata banyak” itu sendiri bersuku banyak, dan “lima suku kata” itu sendiri memiliki lima suku kata. Kata-kata seperti itu yang mengacu pada dirinya sendiri disebut makna diri, atau autologis.

Tidak banyak kata yang mirip; sebagian besar kata sifat tidak memiliki sifat yang sesuai dengan namanya. Tentu saja, “Baru” bukanlah sesuatu yang baru, “panas” itu panas, “satu suku kata” adalah satu suku kata, dan “Bahasa Inggris” adalah bahasa Inggris. Kata-kata yang tidak mempunyai sifat yang dilambangkannya disebut bermakna asing, atau heterologis. Jelasnya, semua kata sifat yang menunjukkan sifat yang tidak dapat diterapkan pada kata akan bersifat heterologis.

Pembagian kata sifat menjadi dua kelompok tampaknya jelas dan tidak dapat disangkal. Ini dapat diperluas ke kata benda: “kata” adalah sebuah kata, “kata benda” adalah kata benda, tetapi “jam” bukanlah sebuah jam dan “kata kerja” bukanlah sebuah kata kerja.

Sebuah paradoks muncul segera setelah pertanyaan diajukan: manakah dari dua kelompok yang termasuk dalam kata sifat “heterologis” itu sendiri? Jika bersifat autologus, maka ia mempunyai sifat yang dilambangkannya dan harus bersifat heterolog. Jika bersifat heterologis, maka ia tidak memiliki sifat yang disebutnya dan oleh karena itu harus bersifat autologis. Ada sebuah paradoks.

Dengan analogi paradoks ini, mudah untuk merumuskan paradoks lain yang memiliki struktur yang sama. Misalnya, apakah seseorang yang membunuh setiap orang yang tidak ingin bunuh diri dan tidak membunuh orang yang bunuh diri berarti bunuh diri atau tidak?

Ternyata paradoks Grellig sudah dikenal pada Abad Pertengahan sebagai antinomi dari sebuah ekspresi yang tidak menyebutkan namanya. Bisa dibayangkan sikap terhadap sofisme dan paradoks di zaman modern jika suatu permasalahan yang membutuhkan jawaban dan menimbulkan perdebatan sengit tiba-tiba terlupakan dan baru ditemukan kembali lima ratus tahun kemudian!

Antinomi lain yang tampaknya sederhana ditunjukkan pada awal abad kita oleh D. Berry.

Himpunan bilangan asli tidak terhingga. Himpunan nama-nama untuk angka-angka ini, misalnya, dalam bahasa Rusia dan mengandung kurang dari, katakanlah, seratus kata, adalah terbatas. Artinya ada bilangan asli yang tidak ada namanya dalam bahasa Rusia, yang terdiri kurang dari seratus kata. Di antara angka-angka tersebut jelas ada angka yang paling kecil. Itu tidak dapat diberi nama menggunakan ekspresi Rusia yang mengandung kurang dari seratus kata. Namun ungkapan: “Bilangan asli terkecil yang tidak ada nama kompleksnya dalam bahasa Rusia, terdiri dari kurang dari seratus kata” justru merupakan nama bilangan ini! Nama ini baru saja dirumuskan dalam bahasa Rusia dan hanya berisi sembilan belas kata. Sebuah paradoks yang jelas: nomor yang disebutkan ternyata adalah nomor yang tidak ada namanya!

Salah satu paradoks terkenal didasarkan pada kejadian kecil yang terjadi lebih dari dua ribu tahun yang lalu dan masih belum dilupakan hingga saat ini.

Protagoras sofis terkenal, yang hidup pada abad ke-5. SM, ada seorang siswa bernama Euathlus, yang belajar hukum. Menurut kesepakatan yang dibuat di antara mereka, Evatl harus membayar biaya pelatihan hanya jika dia memenangkan uji coba pertamanya. Jika dia kalah dalam proses ini, dia tidak wajib membayar sama sekali. Namun, setelah menyelesaikan studinya, Evatl tidak mengikuti proses tersebut. Hal ini berlangsung cukup lama, kesabaran sang guru habis, dan ia menggugat muridnya. Jadi, bagi Euathlus ini adalah proses pertama. Protagoras membenarkan permintaannya sebagai berikut:

“Apa pun keputusan pengadilan, Evatl harus membayar saya.” Dia akan memenangkan percobaan pertama ini atau kalah. Jika dia menang, dia akan membayar sesuai kesepakatan kita. Jika kalah, dia akan membayar sesuai keputusan ini.

Euathlus tampaknya adalah siswa yang cakap, karena dia menjawab Protagoras:

– Memang benar, saya akan memenangkan persidangan atau kalah. Jika saya menang, keputusan pengadilan akan membebaskan saya dari kewajiban membayar. Jika keputusan pengadilan tidak menguntungkan saya, berarti saya kalah dalam kasus pertama saya dan tidak akan membayar sesuai kesepakatan kita.

Bingung dengan kejadian ini, Protagoras mencurahkan esai khusus untuk perselisihan ini dengan Euathlus, “Litigasi untuk Pembayaran.” Sayangnya, seperti kebanyakan tulisan Protagoras, belum sampai kepada kita. Namun demikian, kita harus memberi penghormatan kepada Protagoras, yang segera merasakan adanya masalah di balik insiden peradilan sederhana yang patut mendapat kajian khusus.

G. Leibniz, yang juga seorang pengacara, juga menanggapi perselisihan ini dengan serius. Dalam disertasi doktoralnya, “Studi tentang Kasus-Kasus yang Berbelit-belit dalam Hukum,” ia mencoba membuktikan bahwa semua kasus, bahkan yang paling rumit sekalipun, seperti litigasi Protagoras dan Eubatlus, harus dicari penyelesaiannya yang tepat berdasarkan akal sehat. Menurut Leibniz, pengadilan harus menolak Protagoras karena mengajukan tuntutan sebelum waktunya, namun tetap berhak menuntut pembayaran uang dari Euathlus di kemudian hari, yaitu setelah kasus pertama yang dimenangkannya.

Banyak solusi lain terhadap paradoks ini telah diusulkan.

Secara khusus, mereka mengacu pada fakta bahwa keputusan pengadilan harus mempunyai kekuatan yang lebih besar dibandingkan dengan kesepakatan pribadi antara dua orang. Terhadap hal ini kita dapat menjawab bahwa tanpa persetujuan ini, betapapun kecilnya kelihatannya, tidak akan ada pengadilan maupun keputusannya. Bagaimanapun, pengadilan harus membuat keputusannya secara tepat mengenai hal itu dan atas dasar hal itu.

Mereka juga beralih ke prinsip umum bahwa semua pekerjaan, dan karena itu pekerjaan Protagoras, harus dibayar. Namun diketahui bahwa prinsip ini selalu memiliki pengecualian, terutama dalam masyarakat pemilik budak. Selain itu, hal ini tidak dapat diterapkan pada situasi spesifik perselisihan: bagaimanapun juga, Protagoras, meskipun menjamin pelatihan tingkat tinggi, dirinya sendiri menolak menerima pembayaran jika siswanya gagal dalam proses pertama.

Terkadang mereka berdebat seperti ini. Baik Protagoras maupun Euathlus sama-sama benar sebagian, dan tidak ada satupun yang benar secara umum. Masing-masing dari mereka hanya memperhitungkan setengah dari kemungkinan yang bermanfaat bagi dirinya sendiri. Pertimbangan penuh atau komprehensif membuka empat kemungkinan, yang mana hanya setengahnya saja yang menguntungkan salah satu pihak yang berselisih. Kemungkinan mana yang akan diwujudkan tidak ditentukan oleh logika, tetapi oleh kehidupan. Jika putusan hakim mempunyai kekuatan yang lebih besar dari pada kontrak, Euathlus harus membayar hanya jika dia kalah dalam kasus tersebut, yaitu. berdasarkan keputusan pengadilan. Jika perjanjian privat ditempatkan lebih tinggi dari keputusan hakim, maka Protagoras akan menerima pembayaran hanya jika Euathlus kalah dalam proses tersebut, yaitu. berdasarkan perjanjian dengan Protagoras.

Daya tarik hidup ini benar-benar membingungkan segalanya. Jika bukan logika, apa yang dapat menjadi pedoman bagi hakim dalam kondisi ketika semua keadaan yang relevan sudah sepenuhnya jelas? Dan kepemimpinan seperti apa yang akan terjadi jika Protagoras, yang menuntut pembayaran melalui pengadilan, hanya mencapainya dengan kehilangan proses?

Namun, solusi Leibniz, yang pada awalnya tampak meyakinkan, sedikit lebih baik daripada pertentangan yang tidak jelas antara logika dan kehidupan. Intinya, Leibniz mengusulkan untuk mengganti kata-kata kontrak secara surut dan menetapkan bahwa persidangan pertama yang melibatkan Euathlus, yang hasilnya akan memutuskan masalah pembayaran, tidak boleh menjadi persidangan Protagoras. Pemikiran ini mendalam, namun tidak berhubungan dengan pengadilan tertentu. Jika klausul seperti itu ada dalam perjanjian awal, maka tidak perlu ada litigasi sama sekali.

Jika solusi atas kesulitan ini yang kami maksud adalah jawaban atas pertanyaan apakah Euathlus harus membayar Protagoras atau tidak, maka semua ini, seperti semua solusi lain yang mungkin, tentu saja tidak dapat dipertahankan. Hal-hal tersebut tidak lebih dari sekedar penyimpangan dari esensi perselisihan; bisa dikatakan, hal-hal tersebut merupakan tipu muslihat yang canggih dalam situasi yang tidak ada harapan dan tidak dapat diselesaikan. Sebab tidak ada akal sehat maupun prinsip-prinsip umum mengenai hubungan sosial yang mampu menyelesaikan perselisihan tersebut.

Tidak mungkin untuk melaksanakan bersama-sama suatu kontrak dalam bentuk aslinya dan keputusan pengadilan, apapun bentuk akhirnya. Untuk membuktikan hal ini, logika sederhana saja sudah cukup. Dengan menggunakan cara-cara yang sama, dapat juga ditunjukkan bahwa kontrak tersebut, meskipun kelihatannya benar-benar polos, secara internal bertentangan. Hal ini memerlukan penerapan proposisi yang secara logis tidak mungkin: Evatl harus membayar pelatihan secara bersamaan dan pada saat yang sama tidak membayar.

Tentu saja, sulit bagi pikiran manusia, yang terbiasa tidak hanya dengan kekuatannya, tetapi juga dengan fleksibilitas dan bahkan kecerdikannya, untuk menerima keputusasaan mutlak ini dan mengakui bahwa ia sedang menemui jalan buntu. Hal ini sangat sulit terutama ketika situasi kebuntuan diciptakan oleh pikiran itu sendiri: bisa dikatakan, pikiran tiba-tiba tersandung dan berakhir di jaringannya sendiri. Namun kita harus mengakui bahwa terkadang, dan tidak jarang, kesepakatan dan sistem peraturan, yang dibentuk secara spontan atau diperkenalkan dengan sengaja, mengarah pada situasi yang tidak dapat diselesaikan dan tidak ada harapan.

Sebuah contoh dari kehidupan catur baru-baru ini sekali lagi menegaskan gagasan ini.

Aturan internasional dalam kompetisi catur mewajibkan para pemain catur untuk mencatat permainan langkah demi langkah dengan jelas dan terbaca. Hingga saat ini, peraturan tersebut juga menyatakan bahwa seorang pecatur yang karena keterbatasan waktu, melewatkan pencatatan beberapa gerakan harus, “segera setelah kesulitan waktunya berakhir, segera mengisi formulirnya, mencatat gerakan-gerakan yang terlewat.” Berdasarkan instruksi ini, salah satu juri di Olimpiade Catur (Malta) tahun 1980 menginterupsi permainan di bawah tekanan waktu yang parah dan menghentikan jam, menyatakan bahwa gerakan kontrol telah dilakukan dan, oleh karena itu, sudah waktunya untuk mencatat rekor permainan tersebut. memesan.

“Tapi permisi,” teriak peserta yang diambang kekalahan dan hanya mengandalkan intensitas gairah di penghujung pertandingan, “toh belum ada satu bendera pun yang berjatuhan dan tidak ada yang bisa (ini juga tertulis dalam peraturan) memberitahukan berapa banyak gerakan yang telah dilakukan.”

Akan tetapi, hakim didukung oleh ketua arbiter, yang menyatakan bahwa, memang, karena masalah sudah selesai, maka perlu, sesuai dengan isi peraturan, untuk mulai mencatat langkah-langkah yang terlewat.

Tidak ada gunanya berdebat dalam situasi ini: peraturan itu sendiri menemui jalan buntu. Yang tersisa hanyalah mengubah kata-katanya agar kasus serupa tidak terjadi lagi di kemudian hari.

Hal ini dilakukan pada kongres Federasi Catur Internasional, yang berlangsung pada waktu yang sama: alih-alih menggunakan kata-kata “segera setelah masalah berakhir”, peraturannya sekarang berbunyi: “segera setelah bendera menandakan akhir zaman. .”

Contoh ini dengan jelas menunjukkan bagaimana bertindak dalam situasi kebuntuan. Tidak ada gunanya berdebat tentang pihak mana yang benar: perselisihan tidak dapat diselesaikan, dan tidak akan ada pemenang. Yang tersisa hanyalah menerima masa kini dan menjaga masa depan. Untuk melakukan ini, Anda perlu merumuskan kembali perjanjian atau aturan awal agar tidak membawa orang lain ke dalam situasi tanpa harapan yang sama.

Tentu saja, tindakan seperti itu bukanlah solusi terhadap perselisihan yang tidak terselesaikan atau jalan keluar dari situasi yang tidak ada harapan. Ini lebih seperti berhenti di depan rintangan yang tidak dapat diatasi dan jalan di sekitarnya.

Di Yunani Kuno, kisah buaya dan ibu, yang isi logisnya bertepatan dengan paradoks "Protagoras dan Euathlus", sangat populer.

Seekor buaya merenggut anaknya dari seorang wanita Mesir yang berdiri di tepi sungai. Atas permohonannya untuk mengembalikan anak itu, buaya, yang, seperti biasa, mengeluarkan air mata buaya, menjawab:

“Kemalanganmu telah menyentuhku, dan aku akan memberimu kesempatan untuk mendapatkan kembali anakmu.” Coba tebak apakah aku akan memberikannya padamu atau tidak. Jika Anda menjawab dengan benar, saya akan mengembalikan anak itu. Jika Anda tidak menebaknya, saya tidak akan memberikannya.

Setelah berpikir, sang ibu menjawab:

-Kamu tidak akan memberiku anak itu.

“Kamu tidak akan mendapatkannya,” pungkas buaya. “Anda mengatakan yang sebenarnya atau tidak mengatakan yang sebenarnya.” Jika benar aku tidak akan memberikan anak itu, maka aku tidak akan memberikannya, karena kalau tidak, apa yang dikatakan tidak akan benar. Jika apa yang dikatakan tidak benar, maka Anda tidak menebak dengan benar, dan saya tidak akan menyerahkan anak itu dengan persetujuan.

Namun, sang ibu tidak menganggap alasan tersebut meyakinkan.

“Tetapi jika saya mengatakan yang sebenarnya, maka Anda akan memberikan anak itu kepada saya, sesuai kesepakatan kita.” Jika saya tidak menebak bahwa Anda tidak akan menyerahkan anak itu, maka Anda harus memberikannya kepada saya, jika tidak, apa yang saya katakan tidak akan salah.

Siapa yang benar: ibu atau buaya? Janji apa yang diwajibkannya kepada buaya? Memberikan anak itu atau sebaliknya tidak memberikannya? Dan keduanya pada saat bersamaan. Janji ini bertentangan secara internal, sehingga tidak dipenuhi oleh hukum logika.

Misionaris itu berhasil menemui para kanibal dan tiba tepat pada waktunya untuk makan siang. Mereka mengizinkannya memilih dalam bentuk apa dia akan dimakan. Untuk itu, ia harus mengucapkan suatu pernyataan dengan syarat jika pernyataan itu benar, maka mereka akan merebusnya, dan jika ternyata palsu, mereka akan menggorengnya.

Apa yang hendaknya Anda sampaikan kepada misionaris?

Tentu saja dia harus berkata, “Kamu akan memanggangku.”

Kalau benar digoreng, ternyata ucapannya benar, artinya harus direbus. Kalau direbus, pernyataannya salah, dan digoreng saja. Para kanibal tidak punya pilihan lain: dari “menggoreng” muncul “memasak”, dan sebaliknya.

Episode dengan misionaris yang licik ini, tentu saja, merupakan parafrase lain dari perselisihan antara Protagoras dan Euathlus.

Salah satu paradoks lama, yang dikenal di Yunani Kuno, dimainkan dalam “Don Quixote” oleh M. Cervantes. Sancho Panza menjadi gubernur pulau Barataria dan mengelola pengadilan.

Orang pertama yang mendatanginya adalah seorang pengunjung dan berkata: “Tuan, sebuah perkebunan dibagi menjadi dua bagian oleh sebuah sungai besar... Jadi, ada jembatan di seberang sungai ini, dan tepat di tepinya ada tiang gantungan. dan ada sesuatu seperti pengadilan, di mana biasanya empat orang duduk sebagai hakim, dan mereka menilai berdasarkan hukum yang dikeluarkan oleh pemilik sungai, jembatan dan seluruh perkebunan, yang hukumnya dibuat dengan cara ini.” : “Setiap orang yang melewati jembatan di atas sungai ini harus menyatakan di bawah sumpah: ke mana dan mengapa dia pergi, dan siapa pun yang mengatakan kebenaran akan diizinkan lewat, dan siapa pun yang berbohong, tanpa ampun, akan dikirim ke tiang gantungan yang terletak di sana dan dieksekusi.” Sejak undang-undang ini dengan segala keseriusannya diberlakukan, banyak yang berhasil menyeberangi jembatan, dan segera setelah hakim yakin bahwa orang yang lewat mengatakan yang sebenarnya, mereka membiarkan mereka lewat. Tetapi suatu hari seorang pria tertentu, yang telah bersumpah, bersumpah dan berkata: dia bersumpah bahwa dia datang untuk digantung di tiang gantungan ini, dan tidak untuk hal lain. Sumpah ini membingungkan para hakim, dan mereka berkata: “Jika kita membiarkan orang ini terus menerus tanpa halangan, itu berarti dia telah melanggar sumpahnya dan, menurut hukum, bersalah atas hukuman mati; kalau kita gantung dia, maka dia bersumpah bahwa dia datang hanya untuk digantung di tiang gantungan ini, oleh karena itu sumpahnya ternyata tidak salah, dan atas dasar hukum yang sama dia harus dibiarkan lewat.” Maka saya bertanya kepada Anda, Tuan Gubernur, apa yang harus dilakukan para hakim terhadap orang ini, karena mereka masih bingung dan ragu-ragu...

Sancho menyarankan, mungkin bukan tanpa kelicikan: biarkan separuh dari orang yang mengatakan kebenaran dibiarkan lewat, dan separuh yang berbohong harus digantung, sehingga aturan untuk melintasi jembatan akan dipatuhi sepenuhnya. Bagian ini menarik dalam beberapa hal.

Pertama-tama, ini adalah ilustrasi yang jelas tentang fakta bahwa situasi tanpa harapan yang digambarkan dalam paradoks mungkin saja dihadapi - dan bukan dalam teori murni, tetapi dalam praktik - jika bukan oleh orang sungguhan, setidaknya oleh pahlawan sastra.

Solusi yang diajukan Sancho Panza tentu saja bukan solusi atas paradoks tersebut. Namun justru inilah solusi yang harus diambil dalam situasinya.

Suatu ketika, Alexander Agung, alih-alih melepaskan simpul Gordian yang rumit, yang belum pernah berhasil dilakukan oleh siapa pun, malah memotongnya. Sancho juga melakukan hal yang sama. Tidak ada gunanya mencoba memecahkan teka-teki itu dengan caranya sendiri; teka-teki itu tidak bisa dipecahkan. Yang tersisa hanyalah membuang kondisi ini dan memperkenalkan kondisi kita sendiri.

Dan suatu saat. Dengan episode ini, Cervantes dengan jelas mengutuk skala formal keadilan abad pertengahan yang terlalu formal, yang diresapi dengan semangat logika skolastik. Namun betapa luasnya informasi dari bidang logika pada masanya - dan ini terjadi sekitar empat ratus tahun yang lalu -! Tidak hanya Cervantes sendiri yang menyadari paradoks ini. Penulis merasa mungkin untuk menghubungkan pahlawannya, seorang petani yang buta huruf, kemampuan untuk memahami bahwa ia dihadapkan pada tugas yang tidak dapat diselesaikan!

Paradoks yang diberikan adalah penalaran, yang hasilnya adalah kontradiksi. Namun ada jenis paradoks lain dalam logika. Mereka juga menunjukkan beberapa kesulitan dan masalah, namun mereka melakukannya dengan cara yang tidak terlalu keras dan tanpa kompromi. Secara khusus, inilah paradoks yang dibahas di bawah ini.

Sebagian besar konsep, tidak hanya dalam bahasa alami, tetapi juga dalam bahasa sains, tidak tepat, atau disebut juga kabur. Hal ini seringkali menjadi penyebab kesalahpahaman, perselisihan, bahkan hanya berujung pada situasi kebuntuan.

Jika konsepnya tidak tepat, batas area objek yang diterapkan menjadi kurang tajam dan kabur. Ambil contoh, konsep “heap”. Satu butir (butir pasir, batu, dll) bukanlah satu timbunan. Seribu butir jelas sudah menjadi tumpukan. Bagaimana dengan tiga butir? Bagaimana kalau sepuluh? Dengan penambahan berapa butir maka terbentuklah tumpukan? Tidak begitu jelas. Sama seperti tidak jelas ketika tumpukan itu dihilangkan, butiran mana yang hilang.

Karakteristik empiris “besar”, “berat”, “sempit”, dll. tidak akurat. Konsep umum seperti “orang bijak”, “kuda”, “rumah”, dll. tidaklah akurat.

Tidak ada sebutir pasir pun yang jika dihilangkan, kita dapat mengatakan bahwa setelah dihilangkan, yang tersisa tidak dapat lagi disebut sebagai rumah. Namun hal ini tampaknya berarti bahwa pembongkaran sebuah rumah secara bertahap - hingga hilangnya seluruhnya - tidak ada dasar untuk menyatakan bahwa tidak ada rumah! Kesimpulannya jelas paradoks dan mengecewakan.

Sangat mudah untuk melihat bahwa penalaran tentang ketidakmungkinan pembentukan tumpukan dilakukan dengan menggunakan metode induksi matematika yang terkenal. Satu butir tidak membentuk tumpukan. Jika n butir tidak membentuk tumpukan, maka n+1 butir tidak membentuk tumpukan. Oleh karena itu, tidak ada satu butir pun yang dapat membentuk tumpukan.

Kemungkinan bukti ini dan bukti serupa mengarah pada kesimpulan yang tidak masuk akal berarti bahwa prinsip induksi matematika memiliki cakupan yang terbatas. Kata ini tidak boleh digunakan dalam penalaran dengan konsep yang tidak tepat dan kabur.

Sebuah contoh yang baik tentang bagaimana konsep-konsep ini dapat menyebabkan perselisihan yang sulit diselesaikan adalah persidangan yang menarik yang terjadi pada tahun 1927 di Amerika Serikat. Pematung C. Brancusi pergi ke pengadilan menuntut agar karyanya diakui sebagai karya seni. Di antara karya yang dikirim ke New York untuk pameran adalah patung “Burung”, yang kini dianggap sebagai gaya abstrak klasik. Ini adalah kolom termodulasi dari perunggu yang dipoles setinggi sekitar satu setengah meter, yang tidak memiliki kemiripan luar dengan burung. Petugas bea cukai dengan tegas menolak mengakui karya abstrak Brancusi sebagai karya seni. Mereka menempatkannya di bawah "Peralatan logam rumah sakit dan barang-barang rumah tangga" dan mengenakan bea masuk yang berat pada barang-barang tersebut. Marah, Brancusi mengajukan gugatan.

Adat istiadat tersebut didukung oleh seniman – anggota Akademi Nasional, yang membela teknik tradisional dalam seni. Mereka bertindak sebagai saksi pembela di persidangan dan dengan tegas menegaskan bahwa upaya untuk menyamarkan “The Bird” sebagai sebuah karya seni hanyalah sebuah penipuan.

Konflik ini jelas menyoroti sulitnya menggunakan konsep “karya seni”. Patung secara tradisional dianggap sebagai bentuk seni rupa. Namun derajat kemiripan suatu gambar pahatan dengan aslinya dapat bervariasi dalam batas yang sangat luas. Dan pada titik manakah sebuah gambar pahatan, yang semakin menjauh dari aslinya, tidak lagi menjadi sebuah karya seni dan menjadi “perkakas logam”? Pertanyaan ini sulit dijawab seperti pertanyaan di mana letak batas antara rumah dan reruntuhannya, antara kuda berekor dan kuda tanpa ekor, dan sebagainya. Ngomong-ngomong, kaum modernis umumnya yakin bahwa patung adalah objek yang bentuknya ekspresif dan tidak harus berupa gambar.

Oleh karena itu, menangani konsep yang tidak tepat memerlukan kehati-hatian. Bukankah lebih baik meninggalkan semuanya?

Filsuf Jerman E. Husserl cenderung menuntut ketelitian dan akurasi ekstrim dari pengetahuan yang tidak ditemukan bahkan dalam matematika. Berkaitan dengan hal tersebut, ironisnya para penulis biografi Husserl mengingat kembali kejadian yang menimpanya di masa kanak-kanak. Dia diberi pisau lipat, dan memutuskan untuk membuat bilahnya sangat tajam, dia mengasahnya hingga tidak ada yang tersisa dari bilahnya.

Konsep yang lebih tepat lebih disukai daripada konsep yang tidak tepat dalam banyak situasi. Keinginan biasa untuk memperjelas konsep yang digunakan cukup beralasan. Namun tentu saja, hal itu harus ada batasnya. Bahkan dalam bahasa sains, sebagian besar konsepnya tidak tepat. Dan ini bukan disebabkan oleh kesalahan subjektif dan acak dari masing-masing ilmuwan, namun karena sifat dasar pengetahuan ilmiah. Dalam bahasa alami, sebagian besar konsep tidak tepat; ini berbicara, antara lain, tentang fleksibilitas dan kekuatan tersembunyinya. Siapapun yang menuntut ketelitian ekstrim dari semua konsep berisiko kehilangan bahasa sama sekali. “Hilangkan kata-kata dari semua ambiguitas, semua ketidakpastian,” tulis ahli kecantikan Prancis J. Joubert, “ubahlah... menjadi angka satu digit - permainan akan meninggalkan ucapan, dan dengan itu kefasihan dan puisi: segala sesuatu yang mobile dan dapat diubah dalam kasih sayang jiwa, tidak akan dapat menemukan ekspresinya. Tapi apa yang saya katakan: menghilangkan... Saya akan mengatakan lebih banyak. Hilangkan satu kata pun dari ketidaktepatan apa pun, dan Anda bahkan akan kehilangan aksioma.”

Untuk waktu yang lama, baik ahli logika maupun matematikawan tidak memperhatikan kesulitan yang terkait dengan konsep yang tidak jelas dan himpunan terkaitnya. Pertanyaannya diajukan seperti ini: konsep harus tepat, dan segala sesuatu yang samar tidak layak untuk diperhatikan secara serius. Namun, dalam beberapa dekade terakhir, sikap yang terlalu ketat ini sudah tidak lagi menarik. Teori-teori logika telah dibangun yang secara khusus memperhitungkan keunikan penalaran dengan konsep-konsep yang tidak tepat.

Teori matematika tentang apa yang disebut himpunan fuzzy, kumpulan objek yang tidak jelas, sedang berkembang secara aktif.

Analisis masalah ketidaktepatan merupakan sebuah langkah untuk mendekatkan logika dengan praktik berpikir biasa. Dan kita dapat berasumsi bahwa hal ini akan membawa hasil yang lebih menarik.

Mungkin tidak ada cabang logika yang tidak memiliki paradoksnya sendiri.

Logika induktif mempunyai paradoksnya sendiri, yang telah diperjuangkan secara aktif, namun sejauh ini tidak membuahkan hasil, selama hampir setengah abad. Yang sangat menarik adalah paradoks konfirmasi yang ditemukan oleh filsuf Amerika K. Hempel. Wajar jika kita berasumsi bahwa ketentuan-ketentuan umum, khususnya hukum-hukum ilmiah, ditegaskan melalui contoh-contoh positifnya. Jika kita perhatikan, katakanlah, proposisi “Semua A adalah B”, maka contoh positifnya adalah benda yang mempunyai sifat A dan B. Secara khusus, contoh pendukung proposisi “Semua burung gagak berwarna hitam” adalah benda yang keduanya adalah burung gagak. dan hitam. Namun, pernyataan ini setara dengan pernyataan “Segala sesuatu yang tidak berwarna hitam bukanlah burung gagak,” dan penegasan pernyataan tersebut juga harus merupakan penegasan dari pernyataan sebelumnya. Namun “Segala sesuatu yang tidak hitam bukanlah burung gagak” ditegaskan oleh setiap kejadian benda bukan hitam yang bukan burung gagak. Oleh karena itu, ternyata pengamatan “Sapi itu putih”, “Sepatunya coklat”, dll. membenarkan pernyataan “Semua burung gagak berwarna hitam”.

Hasil paradoks yang tak terduga muncul dari premis-premis yang tampaknya tidak bersalah.

Secara logika norma, sejumlah undang-undangnya menimbulkan kekhawatiran. Ketika hal-hal tersebut dirumuskan dalam istilah-istilah yang bermakna, ketidakkonsistenan hal-hal tersebut dengan gagasan umum tentang apa yang pantas dan apa yang dilarang menjadi jelas. Misalnya, salah satu undang-undang mengatakan bahwa dari perintah “Kirim surat!” perintah “Kirim surat itu atau bakar!”

Undang-undang lain menyatakan bahwa jika seseorang melanggar salah satu tugasnya, dia berhak melakukan apapun yang dia inginkan. Intuisi logis kita tidak mau menerima “hukum keharusan” semacam ini.

Dalam logika pengetahuan, paradoks kemahatahuan logis dibahas secara intensif. Ia mengklaim bahwa seseorang mengetahui segala konsekuensi logis yang timbul dari posisi yang diterimanya. Misalnya, jika seseorang mengetahui lima postulat geometri Euclid, maka dia mengetahui semua geometri ini, karena ia mengikutinya. Tapi itu tidak benar. Seseorang mungkin setuju dengan postulat tersebut dan pada saat yang sama tidak dapat membuktikan teorema Pythagoras dan oleh karena itu meragukan kebenarannya sama sekali.

Tidak ada daftar paradoks logis yang lengkap, dan juga tidak mungkin.

Paradoks yang dibahas hanyalah sebagian dari semua yang ditemukan hingga saat ini. Kemungkinan besar masih banyak paradoks lain, dan bahkan jenis paradoks yang benar-benar baru, yang akan ditemukan di masa depan. Konsep paradoks itu sendiri tidak didefinisikan sedemikian rupa sehingga memungkinkan untuk menyusun daftar setidaknya paradoks yang sudah diketahui.

“Namun, paradoks teori himpunan adalah masalah yang sangat serius, bukan untuk matematika, melainkan untuk logika dan teori pengetahuan,” tulis ahli matematika dan logika Austria K. Gödel. “Logikanya konsisten. Tidak ada paradoks logis,” kata ahli matematika D. Bochvar. Perbedaan seperti ini terkadang bersifat signifikan, terkadang bersifat verbal. Intinya sangat bergantung pada apa sebenarnya yang dimaksud dengan paradoks logis.

Kamus logis dianggap sebagai fitur penting dari paradoks logis.

Paradoks yang tergolong logis harus dirumuskan secara logis. Namun dalam logika tidak ada kriteria yang jelas untuk membagi istilah menjadi logis dan non-logis. Logika, yang berkaitan dengan kebenaran penalaran, berupaya mereduksi konsep-konsep yang menjadi dasar kebenaran kesimpulan yang diterapkan secara praktis seminimal mungkin. Namun jumlah minimum ini tidak ditentukan sebelumnya secara pasti. Selain itu, pernyataan yang tidak logis dapat dirumuskan secara logis. Apakah suatu paradoks tertentu hanya menggunakan premis-premis logis murni tidak selalu mungkin untuk ditentukan secara jelas.

Paradoks logis tidak dipisahkan secara tegas dari semua paradoks lainnya, sama seperti paradoks lainnya tidak secara jelas dibedakan dari segala sesuatu yang non-paradoks dan konsisten dengan gagasan yang ada.

Pada awal kajian paradoks logika, nampaknya hal tersebut dapat diidentifikasi dengan pelanggaran terhadap beberapa ketentuan atau kaidah logika yang belum dipelajari. Prinsip lingkaran setan yang diperkenalkan oleh B. Russell secara khusus secara aktif mengklaim peran aturan tersebut. Prinsip ini menyatakan bahwa kumpulan objek tidak dapat memuat anggota yang hanya dapat ditentukan oleh kumpulan yang sama.

Semua paradoks memiliki satu sifat yang sama - penerapan diri, atau sirkularitas. Di masing-masing objek tersebut, objek yang dimaksud dicirikan oleh sekumpulan objek tertentu yang menjadi miliknya. Jika kita memilih, misalnya, orang yang paling licik, kita melakukannya dengan bantuan seluruh orang yang termasuk dalam orang tersebut. Dan jika kita mengatakan: “Pernyataan ini salah,” kita mencirikan pernyataan tersebut dengan mengacu pada kumpulan semua pernyataan salah yang mencakup pernyataan tersebut.

Dalam semua paradoks, terjadi penerapan konsep secara mandiri, yang berarti seolah-olah ada gerakan melingkar, yang pada akhirnya mengarah ke titik awal. Dalam upaya untuk mengkarakterisasi suatu objek yang menarik bagi kita, kita beralih ke totalitas objek yang mencakupnya. Namun ternyata untuk kepastiannya ia sendiri membutuhkan objek yang dimaksud dan tidak dapat dipahami dengan jelas tanpanya. Mungkin di lingkaran inilah letak sumber paradoks.

Namun, situasinya menjadi rumit karena adanya lingkaran seperti itu dalam banyak argumen yang sepenuhnya non-paradoks. Melingkar adalah berbagai macam cara berekspresi yang paling umum, tidak berbahaya, dan sekaligus nyaman. Contoh seperti “kota terbesar”, “bilangan asli terkecil”, “salah satu elektron atom besi”, dll., menunjukkan bahwa tidak setiap kasus penerapan diri mengarah pada kontradiksi dan hal itu penting tidak hanya dalam bahasa biasa, tetapi juga dalam bahasa sains.

Oleh karena itu, rujukan pada penggunaan konsep yang dapat diterapkan sendiri saja tidak cukup untuk mendiskreditkan paradoks. Beberapa kriteria tambahan diperlukan untuk memisahkan penerapan diri, yang mengarah pada sebuah paradoks, dari semua kasus lainnya.

Ada banyak usulan mengenai hal ini, namun klarifikasi mengenai sirkularitas tidak pernah berhasil ditemukan. Ternyata mustahil untuk mengkarakterisasi sirkularitas sedemikian rupa sehingga setiap penalaran melingkar mengarah pada sebuah paradoks, dan setiap paradoks adalah hasil dari suatu penalaran melingkar.

Upaya untuk menemukan prinsip logika tertentu, yang pelanggarannya akan menjadi ciri khas semua paradoks logika, tidak menghasilkan sesuatu yang pasti.

Tidak diragukan lagi, akan berguna untuk memiliki semacam klasifikasi paradoks, membaginya menjadi tipe dan tipe, mengelompokkan beberapa paradoks dan membandingkannya dengan paradoks lainnya. Namun, tidak ada hasil abadi yang dicapai dalam hal ini.

Ahli logika Inggris F. Ramsay, yang meninggal pada tahun 1930, ketika usianya belum genap dua puluh tujuh tahun, mengusulkan untuk membagi semua paradoks menjadi sintaksis dan semantik. Yang pertama mencakup, misalnya, paradoks Russell, yang kedua mencakup paradoks “Pembohong”, Grelling, dll.

Menurut Ramsey, paradoks kelompok pertama hanya memuat konsep-konsep yang termasuk dalam logika atau matematika. Yang terakhir ini mencakup konsep-konsep seperti “kebenaran”, “keterdefinisian”, “penamaan”, “bahasa”, yang tidak sepenuhnya bersifat matematis, melainkan terkait dengan linguistik atau bahkan teori pengetahuan. Paradoks semantik tampaknya muncul bukan karena kesalahan logika, tetapi karena ketidakjelasan atau ambiguitas beberapa konsep non-logis, oleh karena itu masalah yang ditimbulkannya berkaitan dengan bahasa dan harus diselesaikan dengan linguistik.

Bagi Ramsey, para ahli matematika dan ahli logika tampaknya tidak perlu tertarik pada paradoks semantik. Namun belakangan ternyata beberapa hasil paling signifikan dari logika modern diperoleh justru dalam kaitannya dengan studi yang lebih mendalam tentang paradoks-paradoks non-logis tersebut.

Pembagian paradoks yang dikemukakan oleh Ramsey pada awalnya digunakan secara luas dan masih memiliki arti penting hingga saat ini. Pada saat yang sama, menjadi semakin jelas bahwa pembagian ini agak kabur dan lebih mengandalkan contoh-contoh daripada analisis komparatif mendalam terhadap kedua kelompok paradoks tersebut. Konsep semantik kini telah mendapat definisi yang tepat, dan sulit untuk tidak mengakui bahwa konsep tersebut benar-benar berhubungan dengan logika. Dengan berkembangnya semantik yang mendefinisikan konsep dasarnya dalam teori himpunan, perbedaan yang dilakukan Ramsey menjadi semakin kabur.

Kesimpulan logika apa yang didapat dari adanya paradoks?

Pertama-tama, kehadiran sejumlah besar paradoks menunjukkan kekuatan logika sebagai suatu ilmu, dan bukan kelemahannya, seperti yang terlihat.

Bukan suatu kebetulan bahwa penemuan paradoks bertepatan dengan periode perkembangan logika modern yang paling intensif dan keberhasilan terbesarnya.

Paradoks pertama ditemukan bahkan sebelum munculnya logika sebagai ilmu khusus. Banyak paradoks yang ditemukan pada Abad Pertengahan. Namun belakangan, mereka dilupakan dan ditemukan kembali di abad kita.

Ahli logika abad pertengahan tidak mengetahui konsep "himpunan" dan "elemen himpunan", yang baru diperkenalkan ke dalam sains pada paruh kedua abad ke-19. Namun pengertian terhadap paradoks begitu terasah pada Abad Pertengahan sehingga pada saat itu sudah ada kekhawatiran tertentu yang diungkapkan mengenai konsep-konsep yang dapat diterapkan sendiri. Contoh paling sederhana adalah konsep “menjadi elemen diri sendiri,” yang muncul dalam banyak paradoks saat ini.

Namun, kekhawatiran tersebut, seperti semua peringatan mengenai paradoks pada umumnya, belum cukup sistematis dan pasti hingga abad ini. Mereka tidak memberikan usulan yang jelas untuk merevisi cara berpikir dan berekspresi yang biasa dilakukan.

Hanya logika modern yang telah menghilangkan masalah paradoks dan menemukan atau menemukan kembali sebagian besar paradoks logis yang spesifik. Dia lebih lanjut menunjukkan bahwa metode berpikir yang secara tradisional dipelajari dengan logika sama sekali tidak cukup untuk menghilangkan paradoks, dan menunjukkan metode fundamental baru untuk menghadapinya.

Paradoks menimbulkan pertanyaan penting: di manakah sebenarnya metode pembentukan konsep dan metode penalaran konvensional mengecewakan kita? Bagaimanapun, mereka tampak sangat alami dan meyakinkan, hingga ternyata bersifat paradoks.

Paradoks meruntuhkan keyakinan bahwa metode berpikir teoretis yang lazim dengan sendirinya dan tanpa kendali khusus atas metode tersebut memberikan kemajuan yang dapat diandalkan menuju kebenaran.

Menuntut perubahan radikal dalam pendekatan teori yang terlalu mudah dipercaya, paradoks mewakili kritik tajam terhadap logika dalam bentuknya yang naif dan intuitif. Mereka memainkan peran sebagai faktor yang mengontrol dan membatasi cara membangun sistem logika deduktif. Dan peran ini dapat dibandingkan dengan peran eksperimen yang menguji kebenaran hipotesis dalam sains seperti fisika dan kimia, dan memaksa dilakukannya perubahan terhadap hipotesis tersebut.

Paradoks dalam suatu teori berbicara tentang ketidaksesuaian asumsi-asumsi yang mendasarinya. Ini bertindak sebagai gejala penyakit yang terdeteksi tepat waktu, yang tanpanya penyakit ini dapat diabaikan.

Tentu saja, penyakit ini memanifestasikan dirinya dalam berbagai cara, dan pada akhirnya dapat dideteksi tanpa gejala akut seperti paradoks. Katakanlah, dasar-dasar teori himpunan akan dianalisis dan diklarifikasi bahkan jika tidak ada paradoks yang ditemukan di bidang ini. Namun tidak akan ada ketajaman dan urgensi paradoks yang ditemukan di dalamnya yang menimbulkan masalah dalam merevisi teori himpunan.

Literatur yang luas dikhususkan untuk paradoks, dan sejumlah besar penjelasan telah diajukan. Namun tidak satu pun dari penjelasan ini yang diterima secara umum, dan tidak ada kesepakatan lengkap tentang asal muasal paradoks dan cara menghilangkannya.

“Selama enam puluh tahun terakhir, ratusan buku dan artikel telah dikhususkan untuk tujuan memecahkan paradoks, namun hasilnya sangat buruk dibandingkan dengan upaya yang telah dilakukan,” tulis A. Frenkel. “Tampaknya,” H. Curry menyimpulkan analisisnya tentang paradoks tersebut, “diperlukan reformasi logika secara menyeluruh, dan logika matematika dapat menjadi alat utama untuk melaksanakan reformasi ini.”

Ada satu perbedaan penting yang perlu diperhatikan.

Menghilangkan paradoks dan menyelesaikannya bukanlah hal yang sama. Menghilangkan paradoks dari suatu teori berarti menatanya kembali sehingga pernyataan paradoks di dalamnya ternyata tidak dapat dibuktikan. Setiap paradoks bergantung pada sejumlah besar definisi, asumsi, dan argumen. Kesimpulannya dalam teori mewakili rangkaian penalaran tertentu. Secara formal, Anda dapat mempertanyakan salah satu kaitannya, membuangnya, dan dengan demikian memutus rantai serta menghilangkan paradoksnya. Dalam banyak karya hal ini dilakukan dan dibatasi pada hal ini.

Namun hal ini belum menjadi solusi terhadap paradoks tersebut. Tidaklah cukup hanya menemukan cara untuk mengecualikannya; kita harus secara meyakinkan membenarkan solusi yang diusulkan. Keraguan terhadap langkah apa pun yang mengarah pada paradoks haruslah beralasan.

Pertama-tama, keputusan untuk meninggalkan beberapa cara logis yang digunakan dalam memperoleh pernyataan paradoks harus dikaitkan dengan pertimbangan umum kita mengenai sifat bukti logis dan intuisi logis lainnya. Jika hal ini tidak terjadi, menghilangkan paradoks tersebut ternyata tidak memiliki dasar yang kokoh dan stabil dan hanya menjadi tugas teknis saja.

Terlebih lagi, penolakan terhadap suatu asumsi, meskipun hal tersebut menjamin penghapusan paradoks tertentu, tidak secara otomatis menjamin penghapusan semua paradoks. Hal ini menunjukkan bahwa paradoks tidak boleh “diburu” secara individual. Pengecualian salah satu dari paradoks tersebut harus selalu dibenarkan sehingga ada jaminan tertentu bahwa paradoks lainnya akan dihilangkan dengan langkah yang sama.

Setiap kali sebuah paradoks ditemukan, tulis A. Tarski, “kita harus merevisi cara berpikir kita secara menyeluruh, menolak beberapa premis yang kita yakini, dan memperbaiki metode argumentasi yang kita gunakan. Kami melakukan ini sebagai upaya tidak hanya untuk menghilangkan antinomi, tetapi juga untuk mencegah munculnya antinomi baru.”

Dan yang terakhir, penolakan yang tidak hati-hati dan ceroboh terhadap asumsi yang terlalu banyak atau terlalu kuat dapat mengarah pada fakta bahwa hasilnya, meskipun tidak mengandung paradoks, adalah teori yang jauh lebih lemah dan hanya memiliki kepentingan pribadi.

Tindakan apa yang minimal dan paling tidak radikal untuk menghindari paradoks yang sudah diketahui?

Salah satu caranya adalah dengan mengisolasi, bersama dengan kalimat benar dan salah, juga kalimat tidak bermakna. Jalan ini diadopsi oleh B. Russell. Dia menyatakan penalaran paradoks tidak ada artinya dengan alasan bahwa hal itu melanggar persyaratan tata bahasa logis. Tidak setiap kalimat yang tidak melanggar aturan tata bahasa biasa bermakna - kalimat tersebut juga harus memenuhi aturan tata bahasa khusus dan logis.

Russell membangun teori tipe logis, semacam tata bahasa logis, yang tugasnya adalah menghilangkan semua antinomi yang diketahui. Selanjutnya, teori ini disederhanakan secara signifikan dan disebut teori tipe sederhana.

Gagasan utama teori tipe adalah identifikasi jenis objek yang berbeda secara logis, pengenalan semacam hierarki, atau tangga, dari objek yang dipertimbangkan. Tipe terendah, atau nol, mencakup objek individual yang bukan kumpulan. Tipe pertama mencakup kumpulan objek bertipe nol, mis. individu; ke yang kedua – himpunan himpunan individu, dll. Dengan kata lain, dilakukan pembedaan antara benda, sifat benda, sifat sifat benda, dan sebagainya. Pada saat yang sama, pembatasan tertentu diberlakukan pada konstruksi proposal. Properti dapat dikaitkan dengan objek, properti dari properti ke properti, dll. Namun seseorang tidak dapat menyatakan secara bermakna bahwa benda mempunyai sifat dari sifat.

Mari kita ambil serangkaian kalimat:

Rumah ini berwarna merah.

Merah adalah sebuah warna.

Warna adalah fenomena optik.

Dalam kalimat-kalimat ini, ungkapan "rumah ini" menunjukkan suatu objek tertentu, kata "merah" menunjukkan properti yang melekat pada objek ini, "adalah warna" - properti dari properti ini ("menjadi merah"), dan "menjadi fenomena optik” - menunjukkan properti dari properti "menjadi warna" milik properti "menjadi merah". Di sini kita tidak hanya berurusan dengan benda-benda dan sifat-sifatnya, tetapi juga dengan sifat-sifat dari sifat (“sifat merah memiliki sifat menjadi warna”), dan bahkan dengan sifat-sifat dari sifat-sifat.

Ketiga kalimat pada rangkaian di atas tentu saja penuh makna. Mereka dibangun sesuai dengan persyaratan teori tipe. Namun katakanlah kalimat “Rumah ini berwarna” melanggar persyaratan ini. Ini menghubungkan suatu objek dengan karakteristik yang hanya dapat dimiliki oleh properti, tetapi tidak dimiliki oleh objek. Pelanggaran serupa juga terdapat pada kalimat “Rumah ini merupakan fenomena optik”. Kedua kalimat ini harus tergolong tidak bermakna.

Teori tipe sederhana menghilangkan paradoks Russell. Namun, untuk menghilangkan paradoks Liar dan Berry, membagi objek menjadi beberapa tipe saja tidak lagi cukup. Penting untuk memperkenalkan beberapa pemesanan tambahan dalam tipe itu sendiri.

Penghapusan paradoks juga dapat dicapai dengan menolak menggunakan himpunan yang terlalu besar, serupa dengan himpunan semua himpunan. Jalur ini dikemukakan oleh ahli matematika Jerman E. Zermelo, yang menghubungkan munculnya paradoks dengan konstruksi himpunan yang tidak terbatas. Himpunan yang dapat diterima ditentukan olehnya melalui daftar aksioma tertentu, yang dirumuskan sedemikian rupa sehingga paradoks terkenal tidak akan diturunkan darinya. Pada saat yang sama, aksioma-aksioma ini cukup kuat untuk menyimpulkan penalaran umum matematika klasik, tetapi tanpa paradoks.

Baik kedua cara ini maupun cara lain yang diusulkan untuk menghilangkan paradoks tidak diterima secara umum. Tidak ada konsensus bahwa teori-teori yang diusulkan dapat menyelesaikan paradoks logis, dan tidak membuangnya begitu saja tanpa penjelasan mendalam. Masalah menjelaskan paradoks masih terbuka dan penting.

G. Frege, ahli logika terhebat abad lalu, sayangnya memiliki karakter yang sangat buruk. Selain itu, dia tidak bersyarat dan bahkan kejam dalam mengkritik orang-orang sezamannya.

Mungkin inilah sebabnya kontribusinya terhadap logika dan dasar matematika tidak mendapat pengakuan untuk waktu yang lama. Dan ketika ketenaran mulai datang kepadanya, ahli logika muda Inggris B. Russell menulis kepadanya bahwa kontradiksi muncul dalam sistem yang diterbitkan dalam volume pertama bukunya “Fundamental Laws of Arithmetic”. Jilid kedua buku ini sudah dicetak, dan Frege hanya dapat menambahkan lampiran khusus ke dalamnya, di mana ia menguraikan kontradiksi ini (yang kemudian disebut “paradoks Russell”) dan mengakui bahwa ia tidak dapat menghilangkannya.

Namun, akibat dari pengakuan ini tragis bagi Frege. Dia mengalami guncangan hebat. Dan meskipun usianya baru 55 tahun, dia tidak menerbitkan karya logika yang lebih signifikan, meskipun dia hidup selama lebih dari dua puluh tahun. Dia bahkan tidak menanggapi diskusi ramai yang disebabkan oleh paradoks Russell, dan tidak bereaksi sama sekali terhadap berbagai usulan solusi untuk paradoks ini.

Kesan yang dibuat pada matematikawan dan ahli logika oleh paradoks yang baru ditemukan diungkapkan dengan baik oleh D. Hilbert: “...Keadaan yang kita alami sekarang sehubungan dengan paradoks tidak tertahankan untuk waktu yang lama. Pikirkan: dalam matematika - contoh keandalan dan kebenaran ini - pembentukan konsep dan rangkaian kesimpulan, saat semua orang mempelajari, mengajarkan, dan menerapkannya, mengarah pada absurditas. Di mana mencari reliabilitas dan kebenaran, bahkan jika pemikiran matematis itu sendiri salah sasaran?”

Frege adalah perwakilan khas logika pada akhir abad ke-19, bebas dari paradoks, logika, percaya diri dengan kemampuannya dan mengklaim sebagai kriteria ketelitian bahkan untuk matematika. Paradoks-paradoks tersebut menunjukkan bahwa ketelitian mutlak yang dicapai oleh logika yang dianggap tidak lebih dari sebuah ilusi. Tidak dapat disangkal bahwa mereka menunjukkan bahwa logika – dalam bentuk intuitifnya pada pergantian abad – memerlukan revisi mendalam.

Sekitar satu abad telah berlalu sejak diskusi hangat tentang paradoks dimulai. Namun, upaya revisi logika tidak menghasilkan penyelesaian yang jelas.

Dan pada saat yang sama, kondisi ini hampir tidak membuat khawatir siapa pun saat ini. Seiring waktu, sikap terhadap paradoks menjadi lebih tenang dan bahkan lebih toleran dibandingkan saat penemuannya. Intinya bukan hanya paradoks yang sudah menjadi sesuatu yang familiar. Dan, tentu saja, mereka belum bisa berdamai dengan mereka. Mereka masih tetap menjadi fokus perhatian para ahli logika, dan pencarian solusi mereka terus berlanjut secara aktif. Situasinya telah berubah terutama karena paradoks-paradoks tersebut ternyata bersifat lokal. Mereka telah menemukan tempatnya yang pasti, meskipun bermasalah, dalam spektrum penelitian logis yang luas. Menjadi jelas bahwa kekerasan absolut, seperti yang digambarkan pada akhir abad lalu dan bahkan kadang-kadang pada awal abad ini, pada prinsipnya merupakan cita-cita yang tidak mungkin tercapai.

Disadari pula bahwa tidak ada satu pun permasalahan paradoks yang berdiri sendiri. Masalah yang terkait dengannya memiliki tipe yang berbeda dan mempengaruhi, pada dasarnya, semua bagian utama logika. Penemuan sebuah paradoks memaksa kita untuk menganalisis secara mendalam intuisi logis kita dan terlibat dalam pengerjaan ulang sistematis atas dasar-dasar ilmu logika. Pada saat yang sama, keinginan untuk menghindari paradoks bukanlah satu-satunya atau mungkin tugas utama. Walaupun penting, namun hanya sekedar alasan untuk memikirkan tema sentral logika. Melanjutkan perbandingan paradoks dengan gejala penyakit tertentu, kita dapat mengatakan bahwa keinginan untuk segera menghilangkan paradoks akan serupa dengan keinginan untuk menghilangkan gejala tersebut tanpa terlalu peduli dengan penyakit itu sendiri. Yang diperlukan bukan hanya penyelesaian paradoks, tetapi juga penjelasannya, memperdalam pemahaman kita tentang hukum berpikir logis.

Dan sebagai kesimpulan dari pemeriksaan singkat paradoks logika ini, terdapat beberapa permasalahan, yang refleksinya akan berguna bagi pembaca. Penting untuk memutuskan apakah pernyataan dan alasan yang diberikan benar-benar paradoks logis atau hanya tampak seperti paradoks saja. Untuk melakukan hal ini, tentu saja, seseorang harus menata ulang bahan sumbernya dan mencoba menarik kontradiksi darinya: baik penegasan maupun penyangkalan terhadap hal yang sama tentang hal yang sama. Jika suatu paradoks ditemukan, Anda dapat memikirkan apa penyebabnya dan bagaimana cara menghilangkannya. Anda bahkan dapat mencoba memunculkan paradoks Anda sendiri yang sejenis, mis. dibangun menurut skema yang sama, tetapi berdasarkan konsep lain.

1. Siapapun yang mengatakan: “Saya tidak tahu apa-apa” mengungkapkan pernyataan yang tampaknya paradoks dan bertentangan secara internal. Dia menyatakan, pada dasarnya, “Saya tahu bahwa saya tidak tahu apa-apa.” Tetapi mengetahui bahwa tidak ada pengetahuan tetaplah pengetahuan. Ini berarti bahwa pembicara, di satu sisi, meyakinkan bahwa dia tidak memiliki pengetahuan apa pun, dan di sisi lain, melalui pernyataan ini dia menyampaikan bahwa dia masih memiliki pengetahuan. Ada apa disini?

Merenungkan kesulitan ini, orang mungkin ingat bahwa Socrates mengungkapkan pemikiran serupa dengan lebih hati-hati. Dia berkata: “Yang saya tahu hanyalah saya tidak tahu apa-apa.” Namun orang Yunani kuno lainnya, Metrodorus, menegaskan dengan keyakinan penuh: “Saya tidak tahu apa-apa dan saya bahkan tidak tahu bahwa saya tidak tahu apa-apa.” Apakah ada paradoks dalam pernyataan ini?

2. Peristiwa sejarah itu unik. Sejarah, jika terulang kembali, maka seperti ungkapan terkenal, yang pertama seperti tragedi, dan yang kedua seperti lelucon. Dari keunikan peristiwa sejarah, terkadang muncul pemikiran bahwa sejarah tidak mengajarkan apa pun. “Mungkin pelajaran terbesar dalam sejarah,” tulis O. Huxley, “adalah bahwa tidak ada seorang pun yang pernah belajar apa pun dari sejarah.”

Kemungkinan besar gagasan ini tidak benar. Masa lalu dipelajari terutama untuk lebih memahami masa kini dan masa depan. Hal lainnya adalah “pelajaran” masa lalu biasanya bersifat ambigu.

Bukankah keyakinan bahwa sejarah tidak mengajarkan apa pun merupakan suatu hal yang bertentangan? Bagaimanapun, hal itu sendiri berasal dari sejarah sebagai salah satu pelajarannya. Bukankah lebih baik para pendukung gagasan ini merumuskannya sedemikian rupa sehingga tidak berlaku bagi diri mereka sendiri: “Sejarah hanya mengajarkan satu hal - tidak ada yang bisa dipelajari darinya,” atau “Sejarah tidak mengajarkan apa pun kecuali pelajarannya sendiri” ?

3. “Terbukti tidak ada buktinya.” Pernyataan ini tampaknya bertentangan secara internal: merupakan pembuktian atau mengandaikan pembuktian yang telah dibuat (“telah terbukti bahwa…”) dan sekaligus menyatakan bahwa tidak ada pembuktian.

Skeptis kuno yang terkenal, Sextus Empiricus, mengusulkan jalan keluar berikut: alih-alih pernyataan di atas, terimalah pernyataan “Telah terbukti bahwa tidak ada bukti selain ini” (atau: “Telah terbukti bahwa tidak ada yang terbukti kecuali ini ”). Tapi bukankah solusi ini hanya ilusi? Lagi pula, pada dasarnya dikatakan bahwa hanya ada satu bukti tunggal - bukti tidak adanya bukti apa pun (“Hanya ada satu bukti: bukti bahwa tidak ada bukti lain”). Lalu bagaimanakah operasi pembuktian itu sendiri, jika dapat dilakukan, dilihat dari pernyataan ini, hanya sekali? Bagaimanapun, pendapat Sextus sendiri mengenai nilai bukti tidak terlalu tinggi. Ia menulis, khususnya, ”Sama seperti mereka yang melakukan hal tersebut tanpa bukti adalah benar, demikian pula mereka yang, karena cenderung ragu, dan secara tidak berdasar mengemukakan pendapat yang berlawanan.”

4. “Tidak ada pernyataan yang negatif,” atau lebih sederhananya: “Tidak ada pernyataan negatif.” Namun, ungkapan ini sendiri adalah sebuah pernyataan dan justru negatif. Tampaknya ini sebuah paradoks yang jelas. Dengan perumusan ulang pernyataan ini yang manakah paradoks ini dapat dihindari?

Filsuf dan ahli logika abad pertengahan J. Buridan dikenal oleh pembaca umum karena alasannya tentang seekor keledai, yang, jika berdiri di antara dua tumpukan jerami yang identik, pasti akan mati kelaparan. Keledai, seperti binatang lainnya, berusaha untuk memilih yang terbaik dari dua hal. Kedua setumpuk itu sama sekali tidak dapat dibedakan satu sama lain, dan oleh karena itu dia tidak dapat memilih salah satu dari keduanya. Namun, “keledai Buridan” ini tidak ada dalam tulisan Buridan sendiri. Buridan terkenal dalam bidang logika, dan khususnya karena bukunya tentang sofisme. Ini memberikan kesimpulan berikut terkait dengan topik kita: tidak ada satu pernyataan pun yang negatif; oleh karena itu, ada pernyataan negatif. Apakah kesimpulan ini dapat dibenarkan?

5. Deskripsi N.V. Gogol tentang permainan catur Chichikov dan Nozdryov sudah terkenal. Permainan mereka tidak pernah berakhir; Chichikov menyadari bahwa Nozdryov curang dan menolak bermain, karena takut kalah. Baru-baru ini, seorang ahli catur merekonstruksi jalannya permainan ini berdasarkan isyarat para pemain dan menunjukkan bahwa posisi Chichikov masih belum ada harapan.

Misalkan Chichikov melanjutkan permainan dan akhirnya memenangkan permainan, meskipun rekannya curang. Berdasarkan perjanjian tersebut, Nozdryov yang kalah harus memberi Chichikov lima puluh rubel dan "sejenis anak anjing biasa-biasa saja atau stempel emas untuk arlojinya". Tapi Nozdryov kemungkinan besar akan menolak untuk membayar, dengan menunjukkan bahwa dia sendiri yang curang sepanjang permainan, dan bermain tidak sesuai aturan seolah-olah bukan permainan sama sekali. Chichikov mungkin keberatan bahwa pembicaraan tentang penipuan tidak pada tempatnya di sini: yang kalah sendiri yang curang, yang berarti dia harus membayar lebih.

Faktanya, apakah Nozdryov harus membayar dalam situasi seperti ini atau tidak? Di satu sisi, ya, karena dia kalah. Namun di sisi lain, tidak, karena bermain yang tidak sesuai aturan bukanlah permainan sama sekali; Tidak ada pemenang atau pecundang dalam “permainan” seperti itu. Jika Chichikov sendiri yang curang, Nozdryov, tentu saja, tidak wajib membayar. Tapi, bagaimanapun, Nozdryov yang kalahlah yang berbuat curang...

Ada sesuatu yang paradoks di sini: “di satu sisi…”, “di sisi lain…”, dan terlebih lagi, di kedua sisi sama-sama meyakinkan, meskipun sisi-sisi tersebut tidak sejalan.

Haruskah Nozdryov tetap membayar atau tidak?

6. “Setiap aturan memiliki pengecualian.” Tapi pernyataan ini sendiri adalah sebuah aturan. Seperti semua aturan lainnya, aturan ini harus memiliki pengecualian. Pengecualian seperti itu jelas merupakan aturan “Ada aturan yang tidak memiliki pengecualian.” Bukankah ada paradoks dalam semua ini? Manakah dari contoh sebelumnya yang mirip dengan kedua aturan ini? Bolehkah beralasan seperti ini: setiap aturan ada pengecualian; Jadi ada aturan tanpa pengecualian?

7. “Setiap generalisasi salah.” Jelas bahwa pernyataan ini merangkum pengalaman operasi mental generalisasi dan merupakan generalisasi itu sendiri. Seperti semua generalisasi lainnya, ini pasti salah. Artinya harus ada generalisasi yang benar. Namun, apakah benar beralasan seperti ini: setiap generalisasi salah, oleh karena itu ada generalisasi yang benar?

8. Seorang penulis menulis “Epitaph to All Genres”, yang dirancang untuk membuktikan bahwa genre sastra, yang pembatasannya menimbulkan begitu banyak kontroversi, sudah mati dan tidak perlu diingat.

Namun batu nisan, sementara itu, juga merupakan suatu genre, suatu genre prasasti nisan yang muncul pada zaman kuno dan masuk ke dalam sastra sebagai sejenis epigram:

Di sini saya beristirahat: Jimmy Hogg.
Mungkin Tuhan akan mengampuni dosa-dosaku,
Apa yang akan saya lakukan jika saya adalah Tuhan
Dan dia adalah mendiang Jimmy Hogg.

Jadi batu nisan untuk semua genre tanpa kecuali sepertinya tidak konsisten. Apa cara terbaik untuk memformulasikannya kembali?

9. “Jangan pernah bilang tidak akan pernah.” Dengan melarang penggunaan kata “tidak pernah”, Anda harus menggunakan kata ini dua kali!

Situasinya serupa dengan nasihat: “Sudah waktunya bagi mereka yang mengatakan “sudah waktunya” untuk mengatakan sesuatu selain “sudah waktunya”.

Apakah ada ketidakkonsistenan dalam nasihat tersebut dan dapatkah hal itu dihindari?

10. Dalam puisi “Jangan Percaya”, yang diterbitkan, tentu saja, di bagian “Puisi Ironis”, penulisnya menganjurkan untuk tidak percaya pada apa pun:

...Jangan percaya pada kekuatan sihir api:
Itu terbakar ketika kayu bakar ditempatkan di dalamnya.
Jangan percaya pada kuda bersurai emas
Bukan untuk kue manis apa pun!
Jangan percaya kawanan bintang itu
Mereka bergegas dalam angin puyuh yang tak ada habisnya.
Tapi apa yang tersisa?
Jangan percaya apa yang saya katakan.
Jangan percaya.

(V.Prudovsky)

Namun apakah ketidakpercayaan universal seperti itu nyata? Rupanya, hal ini bertentangan dan, oleh karena itu, secara logika tidak mungkin.

11. Anggaplah, bertentangan dengan kepercayaan umum, masih ada orang yang tidak menarik. Mari kita satukan secara mental dan pilih yang paling kecil tingginya, atau yang paling besar beratnya, atau yang "paling..." lainnya. Orang ini akan menarik untuk dilihat, jadi sia-sia kami memasukkannya ke dalam jumlah yang tidak menarik. Setelah mengecualikannya, kita akan kembali menemukan di antara “yang sama…” yang tersisa dalam pengertian yang sama, dll. Dan semua ini sampai hanya tersisa satu orang yang tidak dapat dibandingkan dengan siapa pun. Namun ternyata justru hal inilah yang membuatnya menarik! Hasilnya, kami sampai pada kesimpulan bahwa tidak ada orang yang tidak menarik. Dan alasannya dimulai dengan fakta bahwa orang-orang seperti itu ada.

Anda dapat, khususnya, mencoba menemukan di antara orang-orang yang tidak menarik, orang yang paling tidak menarik dari semua orang yang tidak menarik. Ini pasti akan membuatnya menarik, dan dia harus dikeluarkan dari daftar orang yang tidak menarik. Di antara yang tersisa, sekali lagi, akan ada yang paling tidak menarik, dll.

Jelas ada nuansa paradoks dalam argumen-argumen ini. Apakah ada kesalahan yang dilakukan di sini dan jika ya, apa kesalahannya?

12. Misalkan Anda diberi selembar kertas kosong dan diperintahkan untuk mendeskripsikan lembar tersebut di atasnya. Anda menulis: ini adalah lembaran persegi panjang, putih, dengan ukuran ini dan itu, terbuat dari serat kayu yang ditekan, dll.

Deskripsinya sepertinya lengkap. Tapi itu jelas tidak lengkap! Selama proses deskripsi, objek berubah: teks muncul di sana. Oleh karena itu, Anda perlu menambahkan deskripsi: dan sebagai tambahan, pada lembaran kertas ini tertulis: ini adalah lembaran persegi panjang, putih... dll. hingga tak terbatas.

Tampaknya ada paradoks di sini, bukan?

Sajak anak-anak yang terkenal:

Pendeta itu mempunyai seekor anjing
Dia mencintainya
Dia makan sepotong daging
Dia membunuhnya.
Dibunuh dan dikuburkan
Dan di atas kompor dia menulis:
“Pendeta itu punya seekor anjing…”

Apakah pendeta pecinta anjing ini mampu menyelesaikan prasasti nisan tersebut? Bukankah susunan prasasti ini menyerupai gambaran lengkap dari selembar kertas itu sendiri?

13. Seorang penulis memberikan nasihat yang “halus” ini: “Jika trik kecil tidak mencapai apa yang Anda inginkan, gunakanlah trik besar.” Nasihat ini ditawarkan dengan judul "Trik Kecil". Tapi apakah itu benar-benar berlaku untuk trik seperti itu? Lagi pula, "trik kecil" tidak membantu, dan justru karena alasan inilah Anda harus menggunakan nasihat ini.

14. Sebut saja suatu permainan normal jika berakhir dengan jumlah gerakan yang terbatas. Contoh permainan normal adalah catur, catur, dan domino: permainan ini selalu berakhir dengan kemenangan salah satu pihak atau seri. Permainan yang tidak normal ini terus berlanjut tanpa henti tanpa membuahkan hasil apapun. Mari kita juga perkenalkan konsep supergame: langkah pertama dari game semacam itu adalah menentukan jenis game apa yang sebaiknya dimainkan. Jika, misalnya, Anda dan saya ingin bermain supergame dan saya memiliki langkah pertama, saya dapat mengatakan: “Ayo bermain catur.” Kemudian anda merespon dengan melakukan gerakan pertama permainan catur, katakanlah e2 - e4, dan kita lanjutkan permainan tersebut sampai selesai (khususnya karena berakhirnya waktu yang ditentukan oleh peraturan turnamen). Sebagai langkah pertama saya, saya dapat menyarankan bermain tic-tac-toe, dll. Tapi permainan yang saya pilih harus normal; Anda tidak dapat memilih permainan yang tidak normal.

Timbul masalah: apakah supergame itu sendiri normal atau tidak? Anggap saja ini adalah permainan normal. Karena langkah pertamanya bisa berupa permainan normal apa pun, saya dapat mengatakan: “Ayo mainkan permainan super.” Setelah ini, supergame telah dimulai, dan langkah selanjutnya ada di tangan Anda. Anda berhak mengatakan: “Ayo mainkan permainan super.” Saya dapat mengulangi: “Ayo mainkan supergame” dan dengan demikian prosesnya dapat berlanjut tanpa batas waktu. Oleh karena itu, supergame bukanlah milik game biasa. Namun karena supergame tersebut tidak normal, dengan langkah pertama saya di supergame tersebut, saya tidak dapat mengusulkan supergame; Saya harus memilih permainan normal. Namun pilihan permainan normal yang memiliki akhir bertentangan dengan fakta yang telah terbukti bahwa supergame bukanlah milik permainan normal.

Lantas, apakah super game tersebut merupakan game biasa atau bukan?

Ketika mencoba menjawab pertanyaan ini, tentu saja kita tidak boleh mengikuti jalan mudah yang hanya berupa pembedaan verbal. Cara paling sederhana untuk mengatakannya adalah bahwa game biasa adalah game, dan game super hanyalah lelucon.

Paradoks apa lagi yang mirip dengan paradoks supergame ini, yang normal dan tidak normal?

Bayif J.K. Masalah logika. – M., 1983.

Bourbaki N. Esai tentang sejarah matematika. – M., 1963.

Gardner M. Coba tebak! – M.: 1984.

Ivin A.A. Menurut hukum logika. – M., 1983.

Klini S.K. Logika matematika. – M., 1973.

Smullian R.M. Apa nama buku ini? – M.: 1982.

Smullian R.M. Putri atau harimau? – M.: 1985.

Frenkel A., Bar-Hillel I. Landasan teori himpunan. – M., 1966.

Apa pentingnya paradoks bagi logika?

Solusi apa yang diusulkan untuk paradoks pembohong?

Apa saja ciri-ciri bahasa yang tertutup secara semantik?

Apa inti dari paradoks himpunan himpunan biasa?

Apakah ada solusi untuk perselisihan antara Protagoras dan Euathlus? Solusi apa yang diusulkan untuk perselisihan ini?

Apa inti dari paradoks nama yang tidak tepat?

Apa keunikan paradoks logika?

Kesimpulan logika apa yang didapat dari adanya paradoks logis?

Apa perbedaan antara menghilangkan dan menjelaskan paradoks? Bagaimana masa depan paradoks logis?

Konsep paradoks logis

Paradoks Pembohong

Paradoks Russell

Paradoks "Protagoras dan Euathlus"

Peran paradoks dalam perkembangan logika

Prospek untuk menyelesaikan paradoks

Perbedaan antara bahasa dan metabahasa

Menghilangkan dan menyelesaikan paradoks

Diketahui bahwa merumuskan suatu masalah seringkali lebih penting dan sulit daripada menyelesaikannya. “Dalam sains,” tulis ahli kimia Inggris F. Soddy, “suatu permasalahan, jika diajukan dengan tepat, lebih dari setengahnya terpecahkan. Proses persiapan mental yang diperlukan untuk mengetahui adanya suatu masalah seringkali membutuhkan waktu lebih lama daripada menyelesaikan masalah itu sendiri.”
Bentuk-bentuk situasi masalah yang memanifestasikan dirinya dan dikenali sangat beragam. Hal ini tidak selalu menampakkan dirinya dalam bentuk pertanyaan langsung yang muncul di awal pembelajaran. Dunia masalah sama rumitnya dengan proses kognisi yang menghasilkannya. Mengidentifikasi masalah berhubungan dengan esensi berpikir kreatif. Paradoks adalah kasus paling menarik yang berisi cara-cara yang implisit dan tidak perlu dipertanyakan lagi dalam mengajukan masalah. Paradoks biasa terjadi pada tahap awal pengembangan teori-teori ilmiah, ketika langkah pertama diambil dalam bidang yang belum dijelajahi dan prinsip-prinsip pendekatan yang paling umum diraba-raba.

Paradoks dan logika

Dalam arti luas, paradoks adalah suatu posisi yang sangat menyimpang dari pendapat-pendapat yang diterima secara umum, mapan, dan ortodoks. “Pendapat yang diterima secara umum dan apa yang dianggap sebagai masalah yang telah lama diputuskan seringkali layak untuk diselidiki” (GLichtenberg). Paradoksnya adalah awal dari penelitian semacam itu.
Paradoks dalam pengertian yang lebih sempit dan terspesialisasi adalah dua pernyataan yang berlawanan dan tidak sejalan, yang masing-masing pernyataannya tampaknya memiliki argumen yang meyakinkan.
Bentuk paradoks yang paling ekstrim adalah antinomi, suatu penalaran yang membuktikan kesetaraan dua pernyataan, yang salah satunya merupakan negasi terhadap yang lain.
Paradoks khususnya terkenal dalam ilmu-ilmu yang paling teliti dan eksakta—matematika dan logika. Dan ini bukanlah suatu kebetulan.

Logika- ilmu abstrak. Tidak ada eksperimen di dalamnya, bahkan tidak ada fakta dalam arti kata yang biasa. Ketika membangun sistemnya, logika pada akhirnya berangkat dari analisis pemikiran nyata. Namun hasil analisis ini bersifat sintetik dan tidak dapat dibedakan. Pernyataan-pernyataan tersebut bukanlah pernyataan mengenai proses-proses atau peristiwa-peristiwa tertentu yang harus dijelaskan oleh teori. Analisis seperti itu jelas tidak bisa disebut observasi: fenomena tertentu selalu diamati.
Ketika membangun sebuah teori baru, seorang ilmuwan biasanya memulai dari fakta, dari apa yang dapat diamati dalam pengalaman. Betapapun bebasnya imajinasi kreatifnya, ia harus mempertimbangkan satu keadaan yang sangat diperlukan: sebuah teori hanya masuk akal jika konsisten dengan fakta-fakta yang berkaitan dengannya. Sebuah teori yang menyimpang dari fakta dan observasi tidak masuk akal dan tidak bernilai.
Namun jika dalam logika tidak ada eksperimen, tidak ada fakta, dan tidak ada observasi itu sendiri, lalu apa yang menahan fantasi logis? Faktor apa, jika bukan fakta, yang diperhitungkan saat membuat teori logika baru?
Kesenjangan antara teori logika dan praktik pemikiran aktual sering kali terungkap dalam bentuk paradoks logika yang kurang lebih akut, dan terkadang bahkan dalam bentuk antinomi logis, yang menunjukkan inkonsistensi internal teori. Hal ini justru menjelaskan pentingnya paradoks dalam logika, dan besarnya perhatian yang mereka nikmati di dalamnya.

Varian Paradoks Pembohong

Paradoks logika yang paling terkenal dan mungkin paling menarik adalah paradoks “Pembohong”. Dialah yang terutama mengagungkan nama Eubulides dari Miletus, yang menemukannya.
Ada variasi dari paradoks atau antinomi ini, banyak di antaranya yang tampaknya bersifat paradoks.
Dalam versi paling sederhana dari “Pembohong”, seseorang hanya mengucapkan satu kalimat: “Saya berbohong.” Atau dia berkata: “Pernyataan yang saya buat sekarang adalah salah.” Atau: “Pernyataan ini salah.”

Jika pernyataan itu salah, maka penuturnya mengatakan yang sebenarnya, dan itu berarti apa yang dikatakannya tidak bohong. Jika pernyataan tersebut tidak salah, namun penutur menyatakan pernyataan tersebut salah, maka pernyataannya salah. Oleh karena itu, jika pembicara berbohong, maka ia mengatakan yang sebenarnya, dan sebaliknya.

Pada Abad Pertengahan, rumusan berikut ini umum:

“Apa yang dikatakan Plato salah,” kata Socrates.

“Apa yang dikatakan Socrates adalah kebenaran,” kata Plato.

Timbul pertanyaan, manakah di antara mereka yang mengungkapkan kebenaran dan mana yang bohong?
Berikut ini adalah pengungkapan ulang modern atas paradoks ini. Katakanlah di bagian depan kartu hanya ada tulisan: “Di sisi lain kartu ini ada pernyataan yang benar.” Jelas kata-kata ini mewakili pernyataan yang bermakna. Membalikkan kartunya, kita harus menemukan pernyataan yang dijanjikan, atau tidak ada sama sekali. Jika tertulis di belakang, maka itu benar atau tidak. Namun, di belakangnya ada tulisan: “Ada pernyataan palsu tertulis di sisi lain kartu ini” - dan tidak lebih. Anggap saja pernyataan di depan itu benar. Maka pernyataan dibelakangnya pasti benar dan oleh karena itu pernyataan di depannya pasti salah. Tetapi jika pernyataan di mukanya salah, maka pernyataan di belakangnya pasti salah juga, maka pernyataan di mukanya pasti benar. Hasilnya adalah sebuah paradoks.
Paradoks Pembohong memberikan kesan yang sangat besar pada orang Yunani. Dan mudah untuk mengetahui alasannya. Pertanyaan yang diajukan sekilas tampak cukup sederhana: apakah dia berbohong yang hanya mengatakan bahwa dia berbohong? Namun jawaban “ya” mengarah pada jawaban “tidak”, dan sebaliknya. Dan refleksi tidak memperjelas situasi sama sekali. Di balik kesederhanaan dan bahkan kerutinan pertanyaan tersebut, terdapat kedalaman yang tidak jelas dan tak terukur.
Bahkan ada legenda bahwa Filit Kossky, yang putus asa untuk menyelesaikan paradoks ini, melakukan bunuh diri. Mereka juga mengatakan bahwa salah satu ahli logika Yunani kuno yang terkenal, Diodorus Kronos, di tahun-tahun kemundurannya, bersumpah untuk tidak makan sampai dia menemukan solusi untuk "Pembohong", dan segera meninggal tanpa mencapai apa pun.
Pada Abad Pertengahan, paradoks ini diklasifikasikan sebagai salah satu kalimat yang tidak dapat diputuskan dan menjadi objek analisis sistematis. Di zaman modern, “Si Pembohong” sudah lama tidak menarik perhatian. Mereka tidak melihat adanya kesulitan, bahkan yang kecil sekalipun, dalam dirinya mengenai penggunaan bahasa. Dan hanya di masa yang kita sebut sebagai zaman modern inilah perkembangan logika akhirnya mencapai tingkat di mana permasalahan yang tampaknya berada di balik paradoks ini menjadi mungkin untuk dirumuskan secara ketat.
Sekarang si "Pembohong" - tipikal sofisme sebelumnya - sering disebut raja paradoks logika. Literatur ilmiah yang luas dikhususkan untuk itu. Namun, seperti banyak paradoks lainnya, masih belum sepenuhnya jelas masalah apa yang tersembunyi di baliknya dan bagaimana cara menghilangkannya.

Bahasa dan metabahasa

Sekarang “Si Pembohong” biasanya dianggap sebagai contoh khas dari kesulitan yang timbul dari kebingungan dua bahasa: bahasa yang berbicara tentang realitas yang ada di luar dirinya, dan bahasa yang berbicara tentang bahasa pertama itu sendiri.

Dalam bahasa sehari-hari tidak ada perbedaan antara tingkatan ini: kita berbicara tentang realitas dan bahasa dalam bahasa yang sama. Misalnya, seseorang yang bahasa ibunya adalah bahasa Rusia tidak melihat adanya perbedaan khusus antara pernyataan: “Kaca itu transparan” dan “Memang benar kaca itu transparan”, meskipun salah satunya tentang kaca, dan yang lainnya tentang kaca. pernyataan tentang kaca.
Jika seseorang memiliki gagasan tentang perlunya berbicara tentang dunia dalam satu bahasa, dan tentang sifat-sifat bahasa ini dalam bahasa lain, ia dapat menggunakan dua bahasa berbeda yang ada, misalnya Rusia dan Inggris. Daripada hanya mengatakan: “Sapi adalah sebuah kata benda,” seseorang akan mengatakan “Sapi adalah sebuah kata benda,” dan bukannya: “Pernyataan “Kaca tidak transparan” adalah salah.” Dengan dua bahasa berbeda yang digunakan dengan cara ini, apa yang dikatakan tentang dunia jelas akan berbeda dari apa yang dikatakan tentang bahasa yang digunakan untuk berbicara di dunia. Faktanya, pernyataan pertama mengacu pada bahasa Rusia, sedangkan pernyataan kedua mengacu pada bahasa Inggris.

Jika ahli bahasa kita ingin berbicara lebih jauh tentang beberapa keadaan yang berkaitan dengan bahasa Inggris, dia bisa menggunakan bahasa lain. Katakanlah bahasa Jerman. Untuk membicarakan poin terakhir ini, seseorang dapat menggunakan, misalnya, bahasa Spanyol, dll.
Dengan demikian, yang muncul adalah semacam tangga, atau hierarki, bahasa, yang masing-masing digunakan untuk tujuan yang sangat spesifik: yang pertama berbicara tentang dunia objektif, yang kedua tentang bahasa pertama, yang ketiga tentang bahasa pertama. bahasa kedua, dll. Pembedaan bahasa menurut bidang penerapannya seperti itu jarang terjadi dalam kehidupan sehari-hari. Namun dalam ilmu-ilmu yang khusus berhubungan dengan bahasa, seperti logika, terkadang hal ini ternyata sangat berguna. Bahasa yang digunakan seseorang untuk membicarakan dunia biasanya disebut bahasa subjek. Bahasa yang digunakan untuk mendeskripsikan bahasa subjek disebut metabahasa.

Jelas jika bahasa dan metabahasa dibedakan dengan cara ini, maka pernyataan “Saya berbohong” tidak dapat lagi dirumuskan. Ini berbicara tentang kepalsuan dari apa yang dikatakan dalam bahasa Rusia, dan oleh karena itu, termasuk dalam bahasa meta dan harus diungkapkan dalam bahasa Inggris. Secara khusus, bunyinya akan seperti ini: “Semua yang saya ucapkan dalam bahasa Rusia adalah salah” (“Semua yang saya katakan dalam bahasa Rusia adalah salah”); pernyataan bahasa Inggris ini tidak mengatakan apa pun tentang dirinya sendiri, dan tidak ada paradoks yang muncul.
Perbedaan antara bahasa dan metabahasa memungkinkan kita menghilangkan paradoks “Pembohong”. Dengan demikian, menjadi mungkin untuk secara benar, tanpa kontradiksi, mendefinisikan konsep kebenaran klasik: suatu pernyataan benar jika sesuai dengan realitas yang digambarkannya.
Konsep kebenaran, seperti semua konsep semantik lainnya, bersifat relatif: selalu dapat dikaitkan dengan bahasa tertentu.

Seperti yang ditunjukkan oleh ahli logika Polandia, ATarski, definisi klasik tentang kebenaran harus dirumuskan dalam bahasa yang lebih luas daripada bahasa yang dimaksudkan. Dengan kata lain, jika kita ingin menunjukkan apa arti ungkapan “pernyataan yang benar dalam suatu bahasa tertentu”, kita harus, selain ungkapan-ungkapan dalam bahasa tersebut, juga menggunakan ungkapan-ungkapan yang tidak ada di dalamnya.
Tarski memperkenalkan konsep bahasa yang tertutup secara semantik. Bahasa yang demikian, selain ungkapan-ungkapannya, juga memuat namanya, dan juga yang penting ditegaskan, pernyataan-pernyataan tentang kebenaran kalimat-kalimat yang dirumuskan di dalamnya.

Tidak ada batasan antara bahasa dan metabahasa dalam bahasa yang tertutup secara semantik. Sarananya begitu kaya sehingga memungkinkan tidak hanya untuk menegaskan sesuatu tentang realitas ekstra-linguistik, tetapi juga untuk mengevaluasi kebenaran pernyataan tersebut. Cara-cara ini cukup, khususnya, untuk mereproduksi antinomi “Pembohong” dalam bahasa tersebut. Dengan demikian, bahasa yang tertutup secara semantik ternyata kontradiktif secara internal. Setiap bahasa alami jelas tertutup secara semantik.
Satu-satunya cara yang dapat diterima untuk menghilangkan antinomi, dan karenanya inkonsistensi internal, menurut Tarski, adalah dengan menolak menggunakan bahasa yang tertutup secara semantik. Jalur ini tentu saja dapat diterima hanya dalam kasus bahasa buatan dan formal yang memungkinkan pembagian yang jelas menjadi bahasa dan metabahasa. Dalam bahasa alami, dengan strukturnya yang tidak jelas dan kemampuan untuk membicarakan segala hal dalam bahasa yang sama, pendekatan ini tidak terlalu realistis. Tidak masuk akal untuk mempertanyakan konsistensi internal bahasa-bahasa ini. Kemampuan ekspresif mereka yang kaya juga memiliki sisi negatifnya - paradoks.

Solusi lain untuk paradoks ini

Jadi, ada pernyataan yang berbicara tentang benar atau salahnya sendiri. Gagasan bahwa pernyataan semacam ini tidak bermakna adalah gagasan lama. Hal ini dipertahankan oleh ahli logika Yunani kuno Chrysippus.
Pada Abad Pertengahan, filsuf dan ahli logika Inggris W. Ockham menyatakan bahwa pernyataan “Setiap pernyataan salah” tidak ada artinya, karena antara lain berbicara tentang kepalsuannya sendiri. Sebuah kontradiksi langsung muncul dari pernyataan ini. Jika setiap pernyataan salah, maka hal ini juga berlaku pada pernyataan itu sendiri; namun fakta bahwa pernyataan tersebut salah berarti tidak semua pernyataan salah.

Situasinya mirip dengan pernyataan “Setiap pernyataan benar.” Seharusnya juga tergolong tidak bermakna dan juga menimbulkan kontradiksi: jika setiap pernyataan benar, maka negasi dari pernyataan itu sendiri juga benar, yaitu pernyataan bahwa tidak setiap pernyataan benar.
Namun, mengapa suatu pernyataan tidak dapat mengungkapkan benar atau salahnya secara bermakna?
Sudah sezaman dengan Occam, filsuf Perancis abad ke-14. J. Buridan tidak setuju dengan keputusannya. Dari sudut pandang gagasan biasa tentang ketidakbermaknaan, ungkapan seperti “Saya berbohong”, “Setiap pernyataan benar (salah)”, dll. cukup berarti. Apa yang dapat Anda pikirkan, Anda dapat mengutarakannya - ini adalah prinsip umum Buridan. Seseorang dapat memikirkan kebenaran pernyataan yang diucapkannya, artinya ia dapat mengutarakannya. Tidak semua self-talk itu tidak masuk akal. Misalnya pernyataan “Kalimat ini ditulis dalam bahasa Rusia” benar, tetapi pernyataan “Ada sepuluh kata dalam kalimat ini” salah. Dan keduanya sangat masuk akal. Jika suatu pernyataan diperbolehkan untuk berbicara tentang dirinya sendiri, lalu mengapa pernyataan tersebut tidak mampu berbicara secara bermakna tentang properti seperti kebenaran?
Buridan sendiri menilai pernyataan “Saya berbohong” bukan tidak ada artinya, melainkan salah. Dia membenarkannya seperti ini.

Ketika seseorang menyatakan suatu proposisi, maka ia menyatakan bahwa proposisi itu benar. Jika sebuah kalimat mengatakan tentang dirinya sendiri bahwa kalimat itu sendiri salah, maka kalimat tersebut hanyalah rumusan singkat dari ekspresi yang lebih kompleks yang menegaskan kebenaran dan kepalsuannya. Ungkapan ini kontradiktif dan karenanya salah. Tapi itu sama sekali tidak ada artinya.

Argumen Buridan terkadang masih dianggap meyakinkan.
Ada kritik lain terhadap solusi paradoks “Pembohong”, yang dikembangkan secara rinci oleh Tarski. Benarkah dalam bahasa yang tertutup secara semantik - dan semua bahasa alami memang demikian - tidak ada penawar untuk paradoks jenis ini?
Jika memang demikian, maka konsep kebenaran hanya dapat didefinisikan secara ketat dalam bahasa formal. Hanya di dalamnya kita dapat membedakan antara bahasa subjek yang digunakan seseorang untuk berbicara tentang dunia di sekitar kita, dan bahasa meta yang digunakan seseorang untuk berbicara tentang bahasa tersebut. Hirarki bahasa ini dibangun berdasarkan model penguasaan bahasa asing dengan bantuan bahasa ibu. Studi tentang hierarki seperti itu telah menghasilkan banyak kesimpulan menarik, dan dalam kasus-kasus tertentu hal ini signifikan. Tapi itu tidak dalam bahasa alami. Apakah ini akan mendiskreditkannya? Dan jika ya, sejauh mana? Bagaimanapun, konsep kebenaran masih digunakan di dalamnya, dan biasanya tanpa komplikasi apa pun. Apakah memperkenalkan hierarki adalah satu-satunya cara untuk menghilangkan paradoks seperti “Pembohong?”

Pada tahun 1930-an, jawaban terhadap pertanyaan-pertanyaan ini nampaknya jelas-jelas positif. Namun, kini kebulatan suara yang dulu sudah tidak ada lagi, meski tradisi menghilangkan paradoks jenis ini dengan “stratifikasi” bahasa masih dominan.
Akhir-akhir ini, ekspresi egosentris semakin menarik perhatian. Kata-kata tersebut mengandung kata-kata seperti “saya”, “ini”, “di sini”, “sekarang”, dan kebenarannya bergantung pada kapan, oleh siapa, dan di mana kata-kata tersebut digunakan.

Pada pernyataan “Pernyataan ini salah” muncul kata “itu”. Objek manakah sebenarnya yang dirujuknya? “Pembohong” mungkin mengatakan bahwa kata “itu” tidak relevan dengan arti pernyataan tersebut. Tapi lalu apa maksudnya, apa maksudnya? Dan mengapa arti ini masih belum dapat ditentukan dengan kata “ini”?
Tanpa merinci lebih jauh di sini, perlu dicatat bahwa dalam konteks analisis ekspresi egosentris, “Pembohong” diisi dengan konten yang sama sekali berbeda dari sebelumnya. Ternyata dia tidak lagi memperingatkan agar tidak membingungkan bahasa dan metabahasa, namun menunjukkan bahaya yang terkait dengan penggunaan kata “itu” dan kata-kata egosentris serupa yang salah.
Masalah yang terkait dengan "Pembohong" selama berabad-abad telah bervariasi secara radikal tergantung pada apakah hal itu dilihat sebagai contoh ambiguitas, atau sebagai ekspresi yang tampak sebagai contoh kebingungan bahasa dan metabahasa, atau, akhirnya, sebagai contoh tipikal penyalahgunaan ekspresi egosentris. Dan tidak ada kepastian bahwa masalah lain tidak akan terkait dengan paradoks ini di masa depan.

Ahli logika dan filsuf Finlandia modern yang terkenal, G. von Wright, menulis dalam karyanya yang didedikasikan untuk “The Liar” bahwa paradoks ini tidak boleh dipahami sebagai hambatan lokal dan terisolasi yang dapat dihilangkan dengan satu gerakan pemikiran yang inventif. “Pembohong” menyentuh banyak topik terpenting dalam logika dan semantik. Inilah definisi kebenaran, penafsiran atas kontradiksi dan bukti, serta serangkaian perbedaan penting: antara sebuah kalimat dan pemikiran yang diungkapkannya, antara penggunaan suatu ungkapan dan penyebutannya, antara arti sebuah nama dan arti sebuah nama. objek yang dilambangkannya.
Situasinya serupa dengan paradoks logika lainnya. “Antinomi logika,” tulis von Wrigg, “telah membingungkan kita sejak penemuannya dan mungkin akan selalu membingungkan kita. Menurut saya, kita harus memandangnya bukan sebagai permasalahan yang menunggu solusinya, namun sebagai bahan mentah untuk refleksi yang tiada habisnya. Hal-hal tersebut penting karena memikirkan hal-hal tersebut menyentuh pertanyaan paling mendasar dari semua logika, dan juga semua pemikiran.”

Sebagai penutup percakapan tentang “Si Pembohong” ini, kita dapat mengingat sebuah episode aneh ketika logika formal masih diajarkan di sekolah. Dalam buku teks logika yang diterbitkan pada akhir tahun 40an, anak-anak sekolah kelas delapan diminta sebagai pekerjaan rumah—sebagai pemanasan, boleh dikatakan—untuk menemukan kesalahan yang dibuat dalam pernyataan yang tampaknya sederhana ini: “Saya berbohong.” Dan, meskipun kelihatannya tidak aneh, diyakini bahwa sebagian besar anak sekolah berhasil mengatasi tugas ini.

§ 2. Paradoks Russell

Paradoks paling terkenal yang ditemukan di abad kita adalah antinomi yang ditemukan oleh B. Russell dan dikomunikasikan olehnya dalam sebuah surat kepada G. Ferge. Antinomi yang sama dibahas secara bersamaan di Göttingen oleh ahli matematika Jerman Z. Zermelo dan D. Hilbert.
Idenya sedang mengudara, dan penerbitannya menimbulkan efek ledakan bom. Paradoks ini, menurut Hilbert, menyebabkan dampak bencana total dalam matematika. Metode logis yang paling sederhana dan penting, konsep yang paling umum dan berguna berada di bawah ancaman.
Segera menjadi jelas bahwa baik dalam logika maupun matematika, sepanjang sejarah panjang keberadaan mereka, sama sekali tidak ada yang dikembangkan yang dapat dijadikan dasar. menghilangkan antinomi. Peralihan dari cara berpikir konvensional jelas diperlukan. Tapi dari tempat mana dan ke arah mana? Seberapa radikalkah kita melepaskan diri dari cara-cara berteori yang sudah mapan?
Dengan adanya penelitian lebih lanjut mengenai antinomi tersebut, keyakinan akan perlunya pendekatan baru yang fundamental terus meningkat. Setengah abad setelah penemuannya, para ahli dasar logika dan matematika L. Frenkel dan I. Bar-Hillel telah menyatakan tanpa keraguan: “Kami percaya bahwa setiap upaya untuk keluar dari situasi tersebut menggunakan cara tradisional (yaitu, yang dilakukan di digunakan sebelum abad ke-20) cara berpikir, yang sejauh ini selalu gagal, jelas tidak cukup untuk mencapai tujuan ini.”
Ahli logika Amerika modern H. Curry kemudian menulis tentang paradoks ini: “Dalam istilah logika yang dikenal pada abad ke-19, situasinya tidak dapat dijelaskan, meskipun, tentu saja, di zaman terpelajar kita mungkin ada orang yang akan melihat (atau mengira mereka akan melihat), apa kesalahannya.”

Paradoks Russell dalam bentuk aslinya dikaitkan dengan konsep himpunan, atau kelas.
Kita dapat berbicara tentang himpunan benda-benda yang berbeda, misalnya himpunan semua orang atau himpunan bilangan asli. Elemen himpunan pertama adalah setiap orang, dan elemen himpunan kedua adalah setiap bilangan asli. Juga diperbolehkan untuk menganggap himpunan itu sendiri sebagai suatu objek dan berbicara tentang himpunan dari himpunan. Anda bahkan dapat memperkenalkan konsep seperti himpunan semua himpunan atau himpunan semua konsep.

Himpunan himpunan biasa

Mengenai himpunan arbitrer apa pun, tampaknya masuk akal untuk menanyakan apakah himpunan tersebut merupakan elemennya sendiri atau bukan. Himpunan yang tidak memuat dirinya sendiri sebagai suatu elemen disebut biasa. Misalnya, himpunan semua orang bukanlah suatu pribadi, sebagaimana himpunan atom bukanlah suatu atom. Himpunan yang merupakan elemennya sendiri akan menjadi tidak biasa. Misalnya, himpunan yang menyatukan semua himpunan adalah himpunan dan oleh karena itu memuat dirinya sendiri sebagai suatu elemen.
Sekarang mari kita perhatikan himpunan semua himpunan biasa. Karena jumlahnya banyak, maka bisa juga ditanyakan, apakah biasa atau tidak biasa. Namun jawabannya ternyata mengecewakan. Jika ia biasa, maka menurut definisinya, ia harus memuat dirinya sendiri sebagai suatu elemen, karena ia memuat semua himpunan biasa. Tapi ini berarti bahwa ini adalah kumpulan yang tidak biasa. Asumsi bahwa himpunan kita adalah himpunan biasa menimbulkan kontradiksi. Artinya, ini tidak mungkin biasa-biasa saja. Di sisi lain, ia juga tidak bisa menjadi luar biasa: suatu himpunan yang tidak biasa memuat dirinya sendiri sebagai sebuah elemen, dan elemen-elemen dari himpunan kita hanyalah himpunan biasa. Hasilnya, kita sampai pada kesimpulan bahwa himpunan semua himpunan biasa tidak dapat berupa himpunan biasa atau himpunan luar biasa.

Jadi, himpunan semua himpunan yang bukan merupakan unsur wajar adalah unsurnya sendiri jika dan hanya jika himpunan tersebut bukan unsur tersebut. Ini jelas merupakan suatu kontradiksi. Dan hal itu diperoleh berdasarkan asumsi-asumsi yang paling masuk akal dan dengan bantuan langkah-langkah yang tampaknya tak terbantahkan. Kontradiksi menunjukkan bahwa himpunan seperti itu tidak ada. Tapi kenapa itu tidak bisa ada? Bagaimanapun, ia terdiri dari objek-objek yang memenuhi suatu kondisi yang terdefinisi dengan jelas, dan kondisi itu sendiri tidak tampak luar biasa atau tidak jelas. Jika himpunan yang didefinisikan secara sederhana dan jelas seperti itu tidak mungkin ada, lalu apa sebenarnya perbedaan antara himpunan yang mungkin dan yang tidak mungkin? Kesimpulan tentang tidak adanya himpunan yang dimaksud terdengar tidak terduga dan menimbulkan kekhawatiran. Hal ini membuat konsep umum kita tentang himpunan menjadi tidak berbentuk dan kacau, dan tidak ada jaminan bahwa hal tersebut tidak dapat menimbulkan beberapa paradoks baru.

Paradoks Russell luar biasa karena sifatnya yang sangat umum. Untuk membangunnya, Anda tidak memerlukan konsep teknis yang rumit, seperti dalam kasus beberapa paradoks lainnya; konsep “himpunan” dan “elemen himpunan” sudah cukup. Namun kesederhanaan ini hanya berbicara tentang sifat dasarnya: ia menyentuh dasar terdalam dari pemikiran kita tentang himpunan, karena ia tidak berbicara tentang beberapa kasus khusus, tetapi tentang himpunan secara umum.

Versi lain dari paradoks ini

Paradoks Russell tidak bersifat matematis secara spesifik. Ia menggunakan konsep himpunan, tetapi tidak menyentuh sifat-sifat khusus apa pun yang berkaitan secara khusus dengan matematika.
Hal ini menjadi jelas jika kita merumuskan kembali paradoks ini dalam istilah yang sepenuhnya logis.

Untuk setiap properti, kemungkinan besar seseorang dapat bertanya apakah properti tersebut berlaku untuk dirinya sendiri atau tidak.
Sifat menjadi panas, misalnya, tidak berlaku pada dirinya sendiri, karena ia sendiri tidak panas; sifat wujud konkrit juga tidak mengacu pada dirinya sendiri, karena merupakan sifat abstrak. Namun sifat menjadi abstrak, menjadi abstrak, dapat diterapkan pada diri sendiri. Mari kita sebut properti yang tidak dapat diterapkan sendiri ini tidak dapat diterapkan. Apakah sifat tidak dapat diterapkan pada diri sendiri berlaku? Ternyata suatu ketidakberlakuan tidak dapat diterapkan hanya jika tidak. Tentu saja hal ini bersifat paradoks.
Versi antinomi Russell yang logis dan berkaitan dengan properti sama paradoksnya dengan versi matematis yang berkaitan dengan himpunan.
Russell juga mengusulkan versi populer paradoks yang ia temukan berikut ini.

Bayangkan dewan suatu desa mendefinisikan tugas seorang tukang cukur sebagai berikut: mencukur semua laki-laki di desa yang tidak mencukur dirinya sendiri, dan hanya laki-laki tersebut. Haruskah dia mencukur dirinya sendiri? Jika demikian, maka dia akan memperlakukan orang yang mencukur dirinya sendiri, tetapi orang yang mencukur dirinya sendiri, maka dia tidak boleh mencukurnya. Jika tidak, maka dia termasuk orang yang tidak mencukur dirinya sendiri, dan karena itu dia harus mencukur dirinya sendiri. Dengan demikian kita sampai pada kesimpulan bahwa tukang cukur ini mencukur dirinya sendiri jika dan hanya jika dia tidak mencukur dirinya sendiri. Tentu saja hal ini mustahil. Argumen tentang penata rambut bertumpu pada asumsi bahwa penata rambut tersebut ada. Kontradiksi yang timbul berarti anggapan tersebut salah, dan tidak ada penduduk desa yang mencukur semuanya, dan yang ada hanya penduduk desa yang tidak mencukur dirinya sendiri.
Tugas seorang penata rambut pada pandangan pertama tampaknya tidak bertentangan, sehingga kesimpulan bahwa hal itu tidak mungkin ada terdengar agak tidak terduga. Namun kesimpulan ini tidak bersifat paradoks. Syarat yang harus dipenuhi oleh tukang cukur desa sebenarnya bertentangan secara internal dan oleh karena itu tidak mungkin dipenuhi. Tidak mungkin ada tukang cukur seperti itu di desa karena alasan yang sama bahwa tidak ada orang di desa itu yang lebih tua dari dirinya atau yang lahir sebelum kelahirannya.
Argumen tentang penata rambut bisa disebut paradoks semu. Dalam perjalanannya, ini sangat mirip dengan paradoks Russell dan inilah mengapa ini menarik. Tapi ini masih bukan paradoks yang sebenarnya.

Contoh lain dari paradoks semu yang sama adalah argumen terkenal tentang katalog.
Perpustakaan tertentu memutuskan untuk menyusun katalog bibliografi, yang akan mencakup semua katalog bibliografi yang tidak berisi tautan ke katalog itu sendiri. Haruskah direktori seperti itu menyertakan tautan ke direktori itu sendiri?
Tidak sulit untuk menunjukkan bahwa gagasan membuat katalog seperti itu tidak mungkin dilakukan; ia tidak mungkin ada, karena ia harus menyertakan referensi ke dirinya sendiri dan tidak menyertakannya secara bersamaan.
Menarik untuk dicatat bahwa membuat katalog semua direktori yang tidak berisi referensi dapat dianggap sebagai proses tanpa akhir dan tanpa akhir. Mari kita asumsikan bahwa suatu saat sebuah direktori, katakanlah K1, telah dikompilasi, termasuk semua direktori berbeda darinya yang tidak berisi tautan ke direktori itu sendiri. Dengan terciptanya K1, direktori lain muncul yang tidak berisi tautan ke direktori itu sendiri. Karena masalahnya adalah membuat katalog lengkap dari semua katalog yang tidak menyebutkan dirinya sendiri, jelas bahwa K1 bukanlah solusi. Dia tidak menyebutkan salah satu direktori itu—dirinya sendiri. Dengan memasukkan penyebutan dirinya ke dalam K1, kita mendapatkan katalog K2. Disebutkan K1, tapi bukan K2 itu sendiri. Dengan menambahkan penyebutan seperti itu ke K2, kita mendapatkan KZ, yang lagi-lagi tidak lengkap karena tidak menyebutkan dirinya sendiri. Dan terus menerus tanpa akhir.

§ 3. Paradoks Grelling dan Berry

Paradoks logika yang menarik ditemukan oleh ahli logika Jerman K. Grelling dan L. Nelson (paradoks Grelling). Paradoks ini dapat dirumuskan dengan sangat sederhana.

Kata autologis dan heterologis

Beberapa kata properti memiliki properti yang diberi nama. Misalnya, kata sifat “Rusia” itu sendiri adalah bahasa Rusia, “bersuku kata banyak” itu sendiri bersuku banyak, dan “lima suku kata” itu sendiri memiliki lima suku kata. Kata-kata seperti itu yang mengacu pada dirinya sendiri disebut makna diri, atau autologis.
Tidak banyak kata yang mirip; sebagian besar kata sifat tidak memiliki sifat yang sesuai dengan namanya. Tentu saja, “Baru” bukanlah sesuatu yang baru, “panas” itu panas, “satu suku kata” adalah satu suku kata, dan “Bahasa Inggris” adalah bahasa Inggris. Kata-kata yang tidak mempunyai sifat yang dilambangkannya disebut makna asing, atau heterologte. Jelasnya, semua kata sifat yang menunjukkan sifat yang tidak dapat diterapkan pada kata akan bersifat heterologis.
Pembagian kata sifat menjadi dua kelompok tampaknya jelas dan tidak dapat disangkal. Ini dapat diperluas ke kata benda: “kata” adalah sebuah kata, “kata benda” adalah kata benda, tetapi “jam” bukanlah sebuah jam dan “kata kerja” bukanlah sebuah kata kerja.
Sebuah paradoks muncul segera setelah pertanyaan diajukan: manakah dari dua kelompok yang termasuk dalam kata sifat “heterologis” itu sendiri? Jika bersifat autologus, ia mempunyai sifat yang dilambangkannya dan harus bersifat heterologis. Jika bersifat heterologis, maka ia tidak memiliki sifat yang disebutnya dan oleh karena itu harus bersifat autologis. Ada sebuah paradoks.

Dengan analogi paradoks ini, mudah untuk merumuskan paradoks lain yang memiliki struktur yang sama. Misalnya, apakah seseorang yang membunuh setiap orang yang tidak ingin bunuh diri dan tidak membunuh orang yang bunuh diri berarti bunuh diri atau tidak?

Ternyata paradoks Grellig sudah dikenal pada Abad Pertengahan sebagai antinomi dari sebuah ekspresi yang tidak menyebutkan namanya. Bisa dibayangkan sikap terhadap sofisme dan paradoks di zaman modern jika suatu permasalahan yang membutuhkan jawaban dan menimbulkan perdebatan sengit tiba-tiba terlupakan dan baru ditemukan kembali lima ratus tahun kemudian!

Antinomi lain yang tampaknya sederhana ditunjukkan pada awal abad kita oleh D. Berry.

Himpunan bilangan asli tidak terhingga. Himpunan nama-nama untuk angka-angka ini, misalnya, dalam bahasa Rusia dan mengandung kurang dari, katakanlah, seratus kata, adalah terbatas. Artinya ada bilangan asli yang tidak ada namanya dalam bahasa Rusia, yang terdiri kurang dari seratus kata. Di antara angka-angka tersebut jelas ada angka yang paling kecil. Itu tidak dapat diberi nama menggunakan ekspresi Rusia yang mengandung kurang dari seratus kata. Namun ungkapan: “Bilangan asli terkecil yang tidak ada nama kompleksnya dalam bahasa Rusia, terdiri dari kurang dari seratus kata” justru merupakan nama bilangan ini! Nama ini baru saja dirumuskan dalam bahasa Rusia dan hanya berisi sembilan belas kata. Sebuah paradoks yang jelas: nomor yang disebutkan ternyata adalah nomor yang tidak ada namanya!

§ 4. Perselisihan yang tidak dapat diselesaikan

Protagoras sofis terkenal, yang hidup pada abad ke-5. SM, ada seorang siswa bernama Euathlus, yang belajar hukum. Menurut kesepakatan yang dibuat di antara mereka, Evatl harus membayar biaya pelatihan hanya jika dia memenangkan uji coba pertamanya. Jika dia kalah dalam proses ini, dia tidak wajib membayar sama sekali. Namun, setelah menyelesaikan studinya, Evatl tidak mengikuti proses tersebut. Hal ini berlangsung cukup lama, kesabaran sang guru habis, dan ia menggugat muridnya. Jadi, bagi Euathlus ini adalah proses pertama. Protagoras membenarkan permintaannya sebagai berikut:

“Apa pun keputusan pengadilan, Evatl harus membayar saya.” Dia akan memenangkan percobaan pertama ini atau kalah. Jika dia menang, dia akan membayar sesuai kesepakatan kita. Jika kalah, dia akan membayar sesuai keputusan ini.

Euathlus tampaknya adalah siswa yang cakap, karena dia menjawab Protagoras:

- Memang, saya akan memenangkan persidangan atau kalah. Jika saya menang, keputusan pengadilan akan membebaskan saya dari kewajiban membayar. Jika keputusan pengadilan tidak menguntungkan saya, berarti saya kalah dalam kasus pertama saya dan tidak akan membayar sesuai kesepakatan kita.

Solusi untuk paradoks Protagoras dan Euathlus

Bingung dengan kejadian ini, Protagoras mencurahkan esai khusus untuk perselisihan ini dengan Euathlus, “Litigasi untuk Pembayaran.” Sayangnya, seperti kebanyakan tulisan Protagoras, belum sampai kepada kita. Namun demikian, kita harus memberi penghormatan kepada Protagoras, yang segera merasakan adanya masalah di balik insiden peradilan sederhana yang patut mendapat kajian khusus.

G. Leibniz, yang juga seorang pengacara, juga menanggapi perselisihan ini dengan serius. Dalam disertasi doktoralnya yang berjudul “A Study on Confused Cases in Law”, ia berusaha membuktikan bahwa semua kasus, bahkan yang paling rumit sekalipun, seperti litigasi Protagoras dan Euathlus, harus dicari penyelesaiannya yang tepat berdasarkan akal sehat. Menurut Leibniz, pengadilan harus menolak Protagoras karena mengajukan tuntutan sebelum waktunya, namun tetap berhak menuntut pembayaran uang dari Euathlus di kemudian hari, yaitu setelah kasus pertama yang dimenangkannya.

Banyak solusi lain terhadap paradoks ini telah diusulkan.

Secara khusus, mereka mengacu pada fakta bahwa keputusan pengadilan harus mempunyai kekuatan yang lebih besar dibandingkan dengan kesepakatan pribadi antara dua orang. Terhadap hal ini kita dapat menjawab bahwa tanpa persetujuan ini, betapapun kecilnya kelihatannya, tidak akan ada pengadilan maupun keputusannya. Bagaimanapun, pengadilan harus membuat keputusannya secara tepat mengenai hal itu dan atas dasar hal itu.

Mereka juga beralih ke prinsip umum bahwa semua pekerjaan, dan karena itu pekerjaan Protagoras, harus dibayar. Namun diketahui bahwa prinsip ini selalu memiliki pengecualian, terutama dalam masyarakat pemilik budak. Selain itu, hal ini tidak dapat diterapkan pada situasi spesifik perselisihan: bagaimanapun juga, Protagoras, meskipun menjamin pelatihan tingkat tinggi, dirinya sendiri menolak menerima pembayaran jika siswanya gagal dalam proses pertama.

Terkadang mereka berdebat seperti ini. Baik Protagoras maupun Euathlus sama-sama benar sebagian, dan tidak ada satupun yang benar secara umum. Masing-masing dari mereka hanya memperhitungkan setengah dari kemungkinan yang bermanfaat bagi dirinya sendiri. Pertimbangan penuh atau komprehensif membuka empat kemungkinan, yang mana hanya setengahnya saja yang menguntungkan salah satu pihak yang berselisih. Kemungkinan mana yang akan diwujudkan tidak ditentukan oleh logika, tetapi oleh kehidupan. Jika putusan hakim mempunyai kekuatan yang lebih besar dari pada kontrak, Euathlus harus membayar hanya jika dia kalah dalam kasus tersebut, yaitu. berdasarkan keputusan pengadilan. Jika perjanjian privat ditempatkan lebih tinggi dari keputusan hakim, maka Protagoras akan menerima pembayaran hanya jika Euathlus kalah dalam proses tersebut, yaitu. berdasarkan kesepakatan dengan Protagoras, seruan terhadap kehidupan ini benar-benar membingungkan segalanya. Jika bukan logika, apa yang dapat menjadi pedoman bagi hakim dalam kondisi ketika semua keadaan yang relevan sudah sepenuhnya jelas? Dan kepemimpinan seperti apa yang akan terjadi jika Protagoras, yang menuntut pembayaran melalui pengadilan, hanya mencapainya dengan kehilangan proses?

Namun, solusi Leibniz, yang pada awalnya tampak meyakinkan, sedikit lebih baik daripada pertentangan yang tidak jelas antara logika dan kehidupan. Intinya, Leibniz mengusulkan untuk mengganti kata-kata kontrak secara surut dan menetapkan bahwa persidangan pertama yang melibatkan Euathlus, yang hasilnya akan memutuskan masalah pembayaran, tidak boleh menjadi persidangan Protagoras. Pemikiran ini mendalam, namun tidak berhubungan dengan pengadilan tertentu. Jika klausul seperti itu ada dalam perjanjian awal, maka tidak perlu ada litigasi sama sekali.

Jika solusi atas kesulitan ini yang kami maksud adalah jawaban atas pertanyaan apakah Euathlus harus membayar Protagoras atau tidak, maka semua ini, seperti semua solusi lain yang mungkin, tentu saja tidak dapat dipertahankan. Hal-hal tersebut tidak lebih dari sekedar penyimpangan dari esensi perselisihan; bisa dikatakan, hal-hal tersebut merupakan tipu muslihat yang canggih dalam situasi yang tidak ada harapan dan tidak dapat diselesaikan. Sebab tidak ada akal sehat maupun prinsip-prinsip umum mengenai hubungan sosial yang mampu menyelesaikan perselisihan tersebut.
Tidak mungkin untuk melaksanakan bersama-sama suatu kontrak dalam bentuk aslinya dan keputusan pengadilan, apapun bentuk akhirnya. Untuk membuktikan hal ini, logika sederhana saja sudah cukup. Dengan menggunakan cara-cara yang sama, dapat juga ditunjukkan bahwa kontrak tersebut, meskipun kelihatannya benar-benar polos, secara internal bertentangan. Hal ini memerlukan penerapan proposisi yang secara logis tidak mungkin: Evatl harus membayar pelatihan secara bersamaan dan pada saat yang sama tidak membayar.

Aturan yang berujung pada jalan buntu

Tentu saja, sulit bagi pikiran manusia, yang terbiasa tidak hanya dengan kekuatannya, tetapi juga dengan fleksibilitas dan bahkan kecerdikannya, untuk menerima keputusasaan mutlak ini dan mengakui bahwa ia sedang menemui jalan buntu. Hal ini sangat sulit terutama ketika situasi kebuntuan diciptakan oleh pikiran itu sendiri: bisa dikatakan, pikiran tiba-tiba tersandung dan berakhir di jaringannya sendiri. Namun kita harus mengakui bahwa terkadang, dan tidak jarang, kesepakatan dan sistem peraturan, yang dibentuk secara spontan atau diperkenalkan dengan sengaja, mengarah pada situasi yang tidak dapat diselesaikan dan tidak ada harapan.

Sebuah contoh dari kehidupan catur baru-baru ini sekali lagi menegaskan gagasan ini.

Aturan internasional dalam kompetisi catur mewajibkan para pemain catur untuk mencatat permainan langkah demi langkah dengan jelas dan terbaca. Hingga saat ini, peraturan tersebut juga menyatakan bahwa seorang pecatur yang karena keterbatasan waktu, melewatkan pencatatan beberapa gerakan harus, “segera setelah kesulitan waktunya berakhir, segera mengisi formulirnya, mencatat gerakan-gerakan yang terlewat.” Berdasarkan instruksi ini, salah satu juri di Olimpiade Catur (Malta) tahun 1980 menginterupsi permainan di bawah tekanan waktu yang parah dan menghentikan jam, menyatakan bahwa gerakan kontrol telah dilakukan dan, oleh karena itu, sudah waktunya untuk mencatat rekor permainan tersebut. memesan.

“Tapi permisi,” teriak peserta yang diambang kekalahan dan hanya mengandalkan intensitas gairah di penghujung pertandingan, “toh belum ada satu bendera pun yang berjatuhan dan tidak ada yang bisa (ini juga tertulis dalam peraturan) memberitahukan berapa banyak gerakan yang telah dilakukan.”
Akan tetapi, hakim didukung oleh ketua arbiter, yang menyatakan bahwa, memang, karena masalah sudah selesai, maka perlu, sesuai dengan isi peraturan, untuk mulai mencatat langkah-langkah yang terlewat.
Tidak ada gunanya berdebat dalam situasi ini: peraturan itu sendiri menemui jalan buntu. Yang tersisa hanyalah mengubah kata-katanya agar kasus serupa tidak terjadi lagi di kemudian hari.
Hal ini dilakukan pada kongres Federasi Catur Internasional yang diadakan pada waktu yang sama: alih-alih menggunakan kata-kata “segera setelah tekanan waktu berakhir”, peraturannya sekarang berbunyi: “segera setelah bendera menandakan akhir dari catur. waktu."
Contoh ini dengan jelas menunjukkan bagaimana bertindak dalam situasi kebuntuan. Tidak ada gunanya berdebat tentang pihak mana yang benar: perselisihan tidak dapat diselesaikan, dan tidak akan ada pemenang. Yang tersisa hanyalah menerima masa kini dan menjaga masa depan. Untuk melakukan ini, Anda perlu merumuskan kembali perjanjian atau aturan awal agar tidak membawa orang lain ke dalam situasi tanpa harapan yang sama.
Tentu saja, tindakan seperti itu bukanlah solusi terhadap perselisihan yang tidak terselesaikan atau jalan keluar dari situasi yang tidak ada harapan. Ini lebih seperti berhenti di depan rintangan yang tidak dapat diatasi dan jalan di sekitarnya.

Paradoks “Buaya dan Ibu”

Di Yunani Kuno, kisah buaya dan ibu, yang isi logisnya bertepatan dengan paradoks “Protagoras dan Eubatlus”, sangat populer.
Seekor buaya merenggut anaknya dari seorang wanita Mesir yang berdiri di tepi sungai. Atas permohonannya untuk mengembalikan anak itu, buaya, yang, seperti biasa, mengeluarkan air mata buaya, menjawab:

“Kemalanganmu telah menyentuhku, dan aku akan memberimu kesempatan untuk mendapatkan kembali anakmu.” Coba tebak apakah aku akan memberikannya padamu atau tidak. Jika Anda menjawab dengan benar, saya akan mengembalikan anak itu. Jika Anda tidak menebaknya, saya tidak akan memberikannya.

Setelah berpikir, sang ibu menjawab:

- Kamu tidak akan memberiku anak itu.

“Kamu tidak akan mendapatkannya,” pungkas buaya. “Anda mengatakan yang sebenarnya atau tidak mengatakan yang sebenarnya.” Jika benar aku tidak akan memberikan anak itu, maka aku tidak akan memberikannya, karena kalau tidak, apa yang dikatakan tidak akan benar. Jika apa yang dikatakan tidak benar, maka Anda tidak menebak dengan benar, dan saya tidak akan menyerahkan anak itu dengan persetujuan.

Namun, sang ibu tidak menganggap alasan tersebut meyakinkan.

“Tetapi jika saya mengatakan yang sebenarnya, maka Anda akan memberikan anak itu kepada saya, sesuai kesepakatan kita.” Jika saya tidak menebak bahwa Anda tidak akan menyerahkan anak itu, maka Anda harus memberikannya kepada saya, jika tidak, apa yang saya katakan tidak akan salah.

Siapa yang benar: ibu atau buaya? Janji apa yang diwajibkannya kepada buaya? Memberikan anak itu atau sebaliknya tidak memberikannya? Dan keduanya pada saat bersamaan. Janji ini bertentangan secara internal, sehingga tidak dipenuhi oleh hukum logika.
Misionaris itu berhasil menemui para kanibal dan tiba tepat pada waktunya untuk makan siang. Mereka mengizinkannya memilih dalam bentuk apa dia akan dimakan. Untuk itu, ia harus mengucapkan suatu pernyataan dengan syarat jika pernyataan itu benar, maka mereka akan merebusnya, dan jika ternyata palsu, mereka akan menggorengnya.

Apa yang hendaknya Anda sampaikan kepada misionaris?

Tentu saja dia harus berkata, “Kamu akan memanggangku.”

Kalau benar digoreng, ternyata ucapannya benar, artinya harus direbus. Kalau direbus, pernyataannya salah, dan digoreng saja. Para kanibal tidak punya pilihan lain: dari “menggoreng” muncul “memasak”, dan sebaliknya.

Episode dengan misionaris yang licik ini, tentu saja, merupakan parafrase lain dari perselisihan antara Protagoras dan Euathlus.

Paradoks Sancho Panza

Salah satu paradoks lama, yang dikenal di Yunani Kuno, dimainkan dalam “Don Quixote” oleh M. Cervantes. Sancho Panza menjadi gubernur pulau Barataria dan mengelola pengadilan.
Orang pertama yang mendatanginya adalah seorang pengunjung dan berkata: “Tuan, sebuah perkebunan dibagi menjadi dua bagian oleh sungai yang airnya tinggi... Jadi, ada sebuah jembatan yang melintasi sungai ini, dan tepat di tepinya ada sebuah jembatan. tiang gantungan dan ada sesuatu seperti pengadilan, di mana empat orang hakim duduk, dan mereka mengadili berdasarkan hukum yang dikeluarkan oleh pemilik sungai, jembatan dan seluruh harta benda, yang hukumnya dibuat sebagai berikut: “ Setiap orang yang melewati jembatan di atas sungai ini harus menyatakan di bawah sumpah: ke mana dan mengapa dia pergi, dan siapa pun yang mengatakan yang sebenarnya, biarkan mereka lewat, dan mereka yang berbohong, tanpa keringanan hukuman, kirim mereka ke tiang gantungan yang terletak di sana dan eksekusi mereka. .” Sejak undang-undang ini dengan segala keseriusannya diberlakukan, banyak yang berhasil menyeberangi jembatan, dan segera setelah hakim yakin bahwa orang yang lewat mengatakan yang sebenarnya, mereka membiarkan mereka lewat. Tetapi suatu hari seorang pria tertentu, yang telah bersumpah, bersumpah dan berkata: dia bersumpah bahwa dia datang untuk digantung di tiang gantungan ini, dan tidak untuk hal lain. Sumpah ini membingungkan para hakim, dan mereka berkata: “Jika orang ini dibiarkan terus tanpa halangan, itu berarti dia telah melanggar sumpahnya dan, menurut hukum, bersalah atas hukuman mati; kalau kita gantung dia, maka dia bersumpah bahwa dia datang hanya untuk digantung di tiang gantungan ini, oleh karena itu sumpahnya ternyata tidak salah, dan atas dasar hukum yang sama dia harus dibiarkan lewat.” Maka saya bertanya kepada Anda, Tuan Gubernur, apa yang harus dilakukan para hakim terhadap orang ini, karena mereka masih bingung dan ragu-ragu...
Sancho menyarankan, mungkin bukan tanpa kelicikan: biarkan separuh dari orang yang mengatakan kebenaran dibiarkan lewat, dan separuh yang berbohong harus digantung, sehingga aturan untuk melintasi jembatan akan dipatuhi sepenuhnya. Bagian ini menarik dalam beberapa hal.
Pertama-tama, ini merupakan gambaran jelas tentang fakta bahwa situasi tanpa harapan yang digambarkan dalam paradoks mungkin saja ditemui—dan bukan dalam teori murni, namun dalam praktik—jika bukan oleh orang sungguhan, setidaknya oleh seorang pahlawan sastra.

Solusi yang diajukan Sancho Panza tentu saja bukan solusi atas paradoks tersebut. Namun justru inilah solusi yang harus diambil dalam situasinya.
Suatu ketika, Alexander Agung, alih-alih melepaskan simpul Gordian yang rumit, yang belum pernah berhasil dilakukan oleh siapa pun, malah memotongnya. Sancho juga melakukan hal yang sama. Tidak ada gunanya mencoba memecahkan teka-teki itu dengan caranya sendiri; teka-teki itu tidak bisa dipecahkan. Yang tersisa hanyalah membuang kondisi ini dan memperkenalkan kondisi kita sendiri.
Dan suatu saat. Dengan episode ini, Cervantes dengan jelas mengutuk skala formal keadilan abad pertengahan yang terlalu formal, yang diresapi dengan semangat logika skolastik. Namun betapa luasnya informasi dari bidang logika pada masanya - dan ini terjadi sekitar empat ratus tahun yang lalu -! Tidak hanya Cervantes sendiri yang menyadari paradoks ini. Penulis merasa mungkin untuk menghubungkan pahlawannya, seorang petani yang buta huruf, kemampuan untuk memahami bahwa ia dihadapkan pada tugas yang tidak dapat diselesaikan!

§ 5. Paradoks lainnya

Paradoks di atas merupakan argumentasi yang menimbulkan kontradiksi. Namun ada jenis paradoks lain dalam logika. Mereka juga menunjukkan beberapa kesulitan dan masalah, namun mereka melakukannya dengan cara yang tidak terlalu keras dan tanpa kompromi. Secara khusus, inilah paradoks yang dibahas di bawah ini.

Paradoks konsep yang tidak tepat

Sebagian besar konsep, tidak hanya dalam bahasa alami, tetapi juga dalam bahasa sains, tidak tepat, atau disebut juga kabur. Hal ini seringkali menjadi penyebab kesalahpahaman, perselisihan, bahkan hanya berujung pada situasi kebuntuan.
Jika konsepnya tidak tepat, batas area objek yang diterapkan menjadi kurang tajam dan kabur. Ambil contoh, konsep “heap”. Satu butir (butir pasir, batu, dll) bukanlah satu timbunan. Seribu butir jelas sudah menjadi tumpukan. Bagaimana dengan tiga butir? Bagaimana kalau sepuluh? Dengan penambahan berapa butir maka terbentuklah tumpukan? Tidak begitu jelas. Sama seperti tidak jelas ketika tumpukan itu dihilangkan, butiran mana yang hilang.
Karakteristik empiris “besar”, “berat”, “sempit”, dll. tidak akurat. Konsep umum seperti “orang bijak”, “kuda”, “rumah”, dll. tidaklah akurat.
Tidak ada sebutir pasir pun yang jika dihilangkan, kita dapat mengatakan bahwa setelah dihilangkan, yang tersisa tidak dapat lagi disebut sebagai rumah. Namun hal ini tampaknya berarti bahwa pembongkaran sebuah rumah secara bertahap - hingga hilangnya seluruhnya - tidak ada dasar untuk menyatakan bahwa tidak ada rumah! Kesimpulannya jelas paradoks dan mengecewakan.
Sangat mudah untuk melihat bahwa penalaran tentang ketidakmungkinan pembentukan tumpukan dilakukan dengan menggunakan metode induksi matematika yang terkenal. Satu butir tidak membentuk tumpukan. Jika n butir tidak membentuk tumpukan, maka n+1 butir tidak membentuk tumpukan. Oleh karena itu, tidak ada satu butir pun yang dapat membentuk tumpukan.
Kemungkinan bukti ini dan bukti serupa mengarah pada kesimpulan yang tidak masuk akal berarti bahwa prinsip induksi matematika memiliki cakupan yang terbatas. Kata ini tidak boleh digunakan dalam penalaran dengan konsep yang tidak tepat dan kabur.

Sebuah contoh yang baik tentang bagaimana konsep-konsep ini dapat menyebabkan perselisihan yang sulit diselesaikan adalah persidangan yang menarik yang terjadi pada tahun 1927 di Amerika Serikat. Pematung C. Brancusi pergi ke pengadilan menuntut agar karyanya diakui sebagai karya seni. Di antara karya yang dikirim ke New York untuk pameran adalah patung “Burung”, yang kini dianggap sebagai gaya abstrak klasik. Ini adalah kolom termodulasi dari perunggu yang dipoles setinggi sekitar satu setengah meter, yang tidak memiliki kemiripan luar dengan burung. Petugas bea cukai dengan tegas menolak mengakui karya abstrak Brancusi sebagai karya seni. Mereka menempatkannya di bawah judul “Peralatan rumah sakit dan barang-barang rumah tangga dari logam” dan mengenakan bea masuk yang berat terhadap barang-barang tersebut. Marah, Brancusi mengajukan gugatan.

Adat istiadat tersebut didukung oleh seniman – anggota Akademi Nasional, yang membela teknik tradisional dalam seni. Mereka bertindak sebagai saksi pembela di persidangan dan dengan tegas menegaskan bahwa upaya untuk menyamarkan “The Bird” sebagai sebuah karya seni hanyalah sebuah penipuan.
Konflik ini jelas menyoroti sulitnya menggunakan konsep “karya seni”. Patung secara tradisional dianggap sebagai bentuk seni rupa. Namun derajat kemiripan suatu gambar pahatan dengan aslinya dapat bervariasi dalam batas yang sangat luas. Dan pada titik manakah sebuah gambar pahatan, yang semakin menjauh dari aslinya, tidak lagi menjadi sebuah karya seni dan menjadi “perkakas logam”? Pertanyaan ini sulit dijawab seperti pertanyaan di mana letak batas antara rumah dan reruntuhannya, antara kuda berekor dan kuda tanpa ekor, dan sebagainya. Ngomong-ngomong, kaum modernis umumnya yakin bahwa patung adalah objek yang bentuknya ekspresif dan tidak harus berupa gambar.

Oleh karena itu, menangani konsep yang tidak tepat memerlukan kehati-hatian. Bukankah lebih baik meninggalkan semuanya?

Filsuf Jerman E. Husserl cenderung menuntut ketelitian dan akurasi ekstrim dari pengetahuan yang tidak ditemukan bahkan dalam matematika. Berkaitan dengan hal tersebut, ironisnya para penulis biografi Husserl mengingat kembali kejadian yang menimpanya di masa kanak-kanak. Dia diberi pisau lipat, dan memutuskan untuk membuat bilahnya sangat tajam, dia mengasahnya hingga tidak ada yang tersisa dari bilahnya.
Konsep yang lebih tepat lebih disukai daripada konsep yang tidak tepat dalam banyak situasi. Keinginan biasa untuk memperjelas konsep yang digunakan cukup beralasan. Namun tentu saja, hal itu harus ada batasnya. Bahkan dalam bahasa sains, sebagian besar konsepnya tidak tepat. Dan ini bukan disebabkan oleh kesalahan subjektif dan acak dari masing-masing ilmuwan, namun karena sifat dasar pengetahuan ilmiah. Dalam bahasa alami, sebagian besar konsep tidak tepat; ini berbicara, antara lain, tentang fleksibilitas dan kekuatan tersembunyinya. Siapapun yang menuntut ketelitian ekstrim dari semua konsep berisiko kehilangan bahasa sama sekali. “Hilangkan kata-kata dari semua ambiguitas, semua ketidakpastian,” tulis ahli kecantikan Prancis J. Joubert, “ubahlah... menjadi satu digit - permainan akan meninggalkan ucapan, dan dengan itu kefasihan dan puisi: segala sesuatu yang bergerak dan dapat diubah dalam kasih sayang jiwa , tidak akan dapat menemukan ekspresinya. Tapi apa yang saya katakan: menghilangkan... Saya akan mengatakan lebih banyak. Hilangkan satu kata pun dari ketidaktepatan apa pun, dan Anda bahkan akan kehilangan aksioma.”
Untuk waktu yang lama, baik ahli logika maupun matematikawan tidak memperhatikan kesulitan yang terkait dengan konsep yang tidak jelas dan himpunan terkaitnya. Pertanyaannya diajukan seperti ini: konsep harus tepat, dan segala sesuatu yang samar tidak layak untuk diperhatikan secara serius. Namun, dalam beberapa dekade terakhir, sikap yang terlalu ketat ini sudah tidak lagi menarik. Teori-teori logika telah dibangun yang secara khusus memperhitungkan keunikan penalaran dengan konsep-konsep yang tidak tepat.
Teori matematika tentang apa yang disebut himpunan fuzzy, kumpulan objek yang tidak jelas, sedang berkembang secara aktif.
Analisis masalah ketidaktepatan merupakan sebuah langkah untuk mendekatkan logika dengan praktik berpikir biasa. Dan kita dapat berasumsi bahwa hal ini akan membawa hasil yang lebih menarik.

Paradoks logika induktif

Mungkin tidak ada cabang logika yang tidak memiliki paradoksnya sendiri.
Logika induktif mempunyai paradoksnya sendiri, yang telah diperjuangkan secara aktif, namun sejauh ini tidak membuahkan hasil, selama hampir setengah abad. Yang sangat menarik adalah paradoks konfirmasi yang ditemukan oleh filsuf Amerika K. Hempel. Wajar jika kita berasumsi bahwa ketentuan-ketentuan umum, khususnya hukum-hukum ilmiah, ditegaskan melalui contoh-contoh positifnya. Jika kita perhatikan, katakanlah, pernyataan “Semua A adalah B”, maka contoh positifnya adalah benda-benda yang mempunyai sifat A dan B. Secara khusus, contoh pendukung pernyataan “Semua burung gagak berwarna hitam” adalah benda-benda yang keduanya adalah burung gagak. dan hitam. Namun, pernyataan ini setara dengan pernyataan “Segala sesuatu yang tidak berwarna hitam bukanlah burung gagak,” dan penegasan pernyataan tersebut juga harus merupakan penegasan dari pernyataan sebelumnya. Namun “Segala sesuatu yang tidak hitam bukanlah burung gagak” ditegaskan oleh setiap kasus benda bukan hitam yang bukan burung gagak. Oleh karena itu, ternyata pengamatan “Sapi itu putih”, “Sepatunya coklat”, dll. membenarkan pernyataan “Semua burung gagak berwarna hitam”.

Hasil paradoks yang tak terduga muncul dari premis-premis yang tampaknya tidak bersalah.

Secara logika norma, sejumlah undang-undangnya menimbulkan kekhawatiran. Ketika hal-hal tersebut dirumuskan dalam istilah-istilah yang bermakna, ketidakkonsistenan hal-hal tersebut dengan gagasan umum tentang apa yang pantas dan apa yang dilarang menjadi jelas. Misalnya, salah satu undang-undang mengatakan bahwa dari perintah “Kirim surat!” perintah “Kirim surat itu atau bakar!”
Undang-undang lain menyatakan bahwa jika seseorang melanggar salah satu tugasnya, dia berhak melakukan apapun yang dia inginkan. Intuisi logis kita tidak mau menerima “hukum kewajiban” semacam ini.
Dalam logika pengetahuan, paradoks kemahatahuan logis dibahas secara intensif. Ia mengklaim bahwa seseorang mengetahui segala konsekuensi logis yang timbul dari posisi yang diterimanya. Misalnya, jika seseorang mengetahui lima postulat geometri Euclid, maka dia mengetahui semua geometri ini, karena ia mengikutinya. Tapi itu tidak benar. Seseorang mungkin setuju dengan postulat tersebut dan pada saat yang sama tidak dapat membuktikan teorema Pythagoras dan oleh karena itu meragukan kebenarannya sama sekali.

§ 6. Apa yang dimaksud dengan paradoks logis

Tidak ada daftar paradoks logis yang lengkap, dan juga tidak mungkin.
Paradoks yang dibahas hanyalah sebagian dari semua yang ditemukan hingga saat ini. Kemungkinan besar masih banyak paradoks lain, dan bahkan jenis paradoks yang benar-benar baru, yang akan ditemukan di masa depan. Konsep paradoks itu sendiri tidak didefinisikan sedemikian rupa sehingga memungkinkan untuk menyusun daftar setidaknya paradoks yang sudah diketahui.
“Namun, paradoks teori himpunan adalah masalah yang sangat serius, bukan untuk matematika, melainkan untuk logika dan teori pengetahuan,” tulis ahli matematika dan logika Austria K. Gödel. “Logikanya konsisten. Tidak ada paradoks logis,” kata ahli matematika D. Bochvar. Perbedaan seperti ini terkadang bersifat signifikan, terkadang bersifat verbal. Intinya sangat bergantung pada apa sebenarnya yang dimaksud dengan paradoks logis.

Keunikan paradoks logika

Kamus logis dianggap sebagai fitur penting dari paradoks logis.
Paradoks yang tergolong logis harus dirumuskan secara logis. Namun dalam logika tidak ada kriteria yang jelas untuk membagi istilah menjadi logis dan non-logis. Logika, yang berkaitan dengan kebenaran penalaran, berupaya mereduksi konsep-konsep yang menjadi dasar kebenaran kesimpulan yang diterapkan secara praktis seminimal mungkin. Namun jumlah minimum ini tidak ditentukan sebelumnya secara pasti. Selain itu, pernyataan yang tidak logis dapat dirumuskan secara logis. Apakah suatu paradoks tertentu hanya menggunakan premis-premis logis murni tidak selalu mungkin untuk ditentukan secara jelas.
Paradoks logis tidak dipisahkan secara tegas dari semua paradoks lainnya, sama seperti paradoks lainnya tidak secara jelas dibedakan dari segala sesuatu yang non-paradoks dan konsisten dengan gagasan yang ada. Pada awal kajian paradoks logika, nampaknya hal tersebut dapat diidentifikasi dengan pelanggaran terhadap beberapa ketentuan atau kaidah logika yang belum dipelajari. Prinsip lingkaran setan yang diperkenalkan oleh B. Russell secara khusus secara aktif mengklaim peran aturan tersebut. Prinsip ini menyatakan bahwa kumpulan objek tidak dapat memuat anggota yang hanya dapat ditentukan oleh kumpulan yang sama.
Semua paradoks memiliki satu sifat yang sama - penerapan diri, atau sirkularitas. Di masing-masing objek tersebut, objek yang dimaksud dicirikan oleh sekumpulan objek tertentu yang menjadi miliknya. Jika kita memilih, misalnya, orang yang paling licik, kita melakukannya dengan bantuan seluruh orang yang termasuk dalam orang tersebut. Dan jika kita mengatakan: “Pernyataan ini salah,” kita mencirikan pernyataan tersebut dengan mengacu pada kumpulan semua pernyataan salah yang mencakup pernyataan tersebut.

Dalam semua paradoks, terjadi penerapan konsep secara mandiri, yang berarti seolah-olah ada gerakan melingkar, yang pada akhirnya mengarah ke titik awal. Dalam upaya untuk mengkarakterisasi suatu objek yang menarik bagi kita, kita beralih ke totalitas objek yang mencakupnya. Namun ternyata untuk kepastiannya ia sendiri membutuhkan objek yang dimaksud dan tidak dapat dipahami dengan jelas tanpanya. Mungkin di lingkaran inilah letak sumber paradoks.
Namun, situasinya menjadi rumit karena adanya lingkaran seperti itu dalam banyak argumen yang sepenuhnya non-paradoks. Melingkar adalah berbagai macam cara berekspresi yang paling umum, tidak berbahaya, dan sekaligus nyaman. Contoh seperti “kota terbesar”, “bilangan asli terkecil”, “salah satu elektron atom besi”, dll., menunjukkan bahwa tidak setiap kasus penerapan diri mengarah pada kontradiksi dan hal itu penting tidak hanya dalam bahasa biasa, tetapi juga dalam bahasa sains.
Oleh karena itu, rujukan pada penggunaan konsep yang dapat diterapkan sendiri saja tidak cukup untuk mendiskreditkan paradoks. Beberapa kriteria tambahan diperlukan untuk memisahkan penerapan diri, yang mengarah pada sebuah paradoks, dari semua kasus lainnya.
Ada banyak usulan mengenai hal ini, namun klarifikasi mengenai sirkularitas tidak pernah berhasil ditemukan. Ternyata mustahil untuk mengkarakterisasi sirkularitas sedemikian rupa sehingga setiap penalaran melingkar mengarah pada sebuah paradoks, dan setiap paradoks adalah hasil dari suatu penalaran melingkar.
Upaya untuk menemukan prinsip logika tertentu, yang pelanggarannya akan menjadi ciri khas semua paradoks logika, tidak menghasilkan sesuatu yang pasti.
Tidak diragukan lagi, akan berguna untuk memiliki semacam klasifikasi paradoks, membaginya menjadi tipe dan tipe, mengelompokkan beberapa paradoks dan membandingkannya dengan paradoks lainnya. Namun, tidak ada hasil abadi yang dicapai dalam hal ini.

Ahli logika Inggris F. Ramsay, yang meninggal pada tahun 1930, ketika usianya belum genap dua puluh tujuh tahun, mengusulkan untuk membagi semua paradoks menjadi sintaksis dan semantik. Yang pertama mencakup, misalnya, paradoks Russell, yang kedua mencakup paradoks “Pembohong”, Grelling, dll.
Menurut Ramsey, paradoks kelompok pertama hanya memuat konsep-konsep yang termasuk dalam logika atau matematika. Yang terakhir ini mencakup konsep-konsep seperti “kebenaran”, “keterdefinisian”, “penamaan”, “bahasa”, yang tidak sepenuhnya bersifat matematis, melainkan terkait dengan linguistik atau bahkan teori pengetahuan. Paradoks semantik tampaknya muncul bukan karena kesalahan logika, tetapi karena ketidakjelasan atau ambiguitas beberapa konsep non-logis, oleh karena itu masalah yang ditimbulkannya berkaitan dengan bahasa dan harus diselesaikan dengan linguistik.

Bagi Ramsey, para ahli matematika dan ahli logika tampaknya tidak perlu tertarik pada paradoks semantik. Namun belakangan ternyata beberapa hasil paling signifikan dari logika modern diperoleh justru dalam kaitannya dengan studi yang lebih mendalam tentang paradoks-paradoks non-logis tersebut.
Pembagian paradoks yang dikemukakan oleh Ramsey pada awalnya digunakan secara luas dan masih memiliki arti penting hingga saat ini. Pada saat yang sama, menjadi semakin jelas bahwa pembagian ini agak kabur dan lebih mengandalkan contoh-contoh daripada analisis komparatif mendalam terhadap kedua kelompok paradoks tersebut. Konsep semantik kini telah mendapat definisi yang tepat, dan sulit untuk tidak mengakui bahwa konsep tersebut benar-benar berhubungan dengan logika. Dengan berkembangnya semantik yang mendefinisikan konsep dasarnya dalam teori himpunan, perbedaan yang dilakukan Ramsey menjadi semakin kabur.

Paradoks dan logika modern

Kesimpulan logika apa yang didapat dari adanya paradoks?
Pertama-tama, kehadiran sejumlah besar paradoks menunjukkan kekuatan logika sebagai suatu ilmu, dan bukan kelemahannya, seperti yang terlihat.

Bukan suatu kebetulan bahwa penemuan paradoks bertepatan dengan periode perkembangan logika modern yang paling intensif dan keberhasilan terbesarnya.
Paradoks pertama ditemukan bahkan sebelum munculnya logika sebagai ilmu khusus. Banyak paradoks yang ditemukan pada Abad Pertengahan. Namun belakangan, mereka dilupakan dan ditemukan kembali di abad kita.
Para ahli logika abad pertengahan tidak mengetahui konsep “himpunan” dan “elemen himpunan”, yang baru diperkenalkan ke dalam sains pada paruh kedua abad ke-19. Namun pengertian terhadap paradoks begitu terasah pada Abad Pertengahan sehingga pada saat itu sudah ada kekhawatiran tertentu yang diungkapkan mengenai konsep-konsep yang dapat diterapkan sendiri. Contoh paling sederhana adalah konsep “menjadi elemen diri sendiri,” yang muncul dalam banyak paradoks saat ini.
Namun, kekhawatiran tersebut, seperti semua peringatan mengenai paradoks pada umumnya, belum cukup sistematis dan pasti hingga abad ini. Mereka tidak memberikan usulan yang jelas untuk merevisi cara berpikir dan berekspresi yang biasa dilakukan.
Hanya logika modern yang telah menghilangkan masalah paradoks dan menemukan atau menemukan kembali sebagian besar paradoks logis yang spesifik. Dia lebih lanjut menunjukkan bahwa metode berpikir yang secara tradisional dipelajari dengan logika sama sekali tidak cukup untuk menghilangkan paradoks, dan menunjukkan metode fundamental baru untuk menghadapinya.
Paradoks menimbulkan pertanyaan penting: di manakah sebenarnya metode pembentukan konsep dan metode penalaran konvensional mengecewakan kita? Bagaimanapun, mereka tampak sangat alami dan meyakinkan, hingga ternyata bersifat paradoks.

Paradoks meruntuhkan keyakinan bahwa metode berpikir teoretis yang lazim dengan sendirinya dan tanpa kendali khusus atas metode tersebut memberikan kemajuan yang dapat diandalkan menuju kebenaran.
Menuntut perubahan radikal dalam pendekatan teori yang terlalu mudah dipercaya, paradoks mewakili kritik tajam terhadap logika dalam bentuknya yang naif dan intuitif. Mereka memainkan peran sebagai faktor yang mengontrol dan membatasi cara membangun sistem logika deduktif. Dan peran ini dapat dibandingkan dengan peran eksperimen yang menguji kebenaran hipotesis dalam sains seperti fisika dan kimia, dan memaksa dilakukannya perubahan terhadap hipotesis tersebut.
Paradoks dalam suatu teori berbicara tentang ketidaksesuaian asumsi-asumsi yang mendasarinya. Ini bertindak sebagai gejala penyakit yang terdeteksi tepat waktu, yang tanpanya penyakit ini dapat diabaikan.
Tentu saja, penyakit ini memanifestasikan dirinya dalam berbagai cara, dan pada akhirnya dapat dideteksi tanpa gejala akut seperti paradoks. Katakanlah, dasar-dasar teori himpunan akan dianalisis dan diklarifikasi bahkan jika tidak ada paradoks yang ditemukan di bidang ini. Namun tidak akan ada ketajaman dan urgensi paradoks yang ditemukan di dalamnya yang menimbulkan masalah dalam merevisi teori himpunan.

Literatur yang luas dikhususkan untuk paradoks, dan sejumlah besar penjelasan telah diajukan. Namun tidak satu pun dari penjelasan ini yang diterima secara umum, dan tidak ada kesepakatan lengkap tentang asal muasal paradoks dan cara menghilangkannya.
“Selama enam puluh tahun terakhir, ratusan buku dan artikel telah dikhususkan untuk tujuan memecahkan paradoks, namun hasilnya sangat buruk dibandingkan dengan upaya yang telah dilakukan,” tulis A. Frenkel. “Tampaknya,” H. Curry menyimpulkan analisisnya tentang paradoks tersebut, “diperlukan reformasi logika secara menyeluruh, dan logika matematika dapat menjadi alat utama untuk melaksanakan reformasi ini.”

Diketahui bahwa merumuskan suatu masalah seringkali lebih penting dan sulit daripada menyelesaikannya. “Dalam sains,” tulis ahli kimia Inggris F. Soddy, “suatu permasalahan, jika diajukan dengan tepat, lebih dari setengahnya terpecahkan. Proses persiapan mental yang diperlukan untuk mengetahui adanya suatu masalah seringkali membutuhkan waktu lebih lama daripada menyelesaikan masalah itu sendiri.”
Bentuk-bentuk situasi masalah yang memanifestasikan dirinya dan dikenali sangat beragam. Hal ini tidak selalu menampakkan dirinya dalam bentuk pertanyaan langsung yang muncul di awal pembelajaran. Dunia masalah sama rumitnya dengan proses kognisi yang menghasilkannya. Mengidentifikasi masalah berhubungan dengan esensi berpikir kreatif. Paradoks adalah kasus paling menarik yang berisi cara-cara yang implisit dan tidak perlu dipertanyakan lagi dalam mengajukan masalah. Paradoks biasa terjadi pada tahap awal pengembangan teori-teori ilmiah, ketika langkah pertama diambil dalam bidang yang belum dijelajahi dan prinsip-prinsip pendekatan yang paling umum diraba-raba.

Paradoks dan logika

Dalam arti luas, paradoks adalah suatu posisi yang sangat menyimpang dari pendapat-pendapat yang diterima secara umum, mapan, dan ortodoks. “Pendapat yang diterima secara umum dan apa yang dianggap sebagai masalah yang telah lama diputuskan seringkali layak untuk diselidiki” (GLichtenberg). Paradoksnya adalah awal dari penelitian semacam itu.
Paradoks dalam pengertian yang lebih sempit dan terspesialisasi adalah dua pernyataan yang berlawanan dan tidak sejalan, yang masing-masing pernyataannya tampaknya memiliki argumen yang meyakinkan.
Bentuk paradoks yang paling ekstrim adalah antinomi, suatu penalaran yang membuktikan kesetaraan dua pernyataan, yang salah satunya merupakan negasi terhadap yang lain.
Paradoks khususnya terkenal dalam ilmu-ilmu yang paling teliti dan eksakta—matematika dan logika. Dan ini bukanlah suatu kebetulan.

Logika- ilmu abstrak. Tidak ada eksperimen di dalamnya, bahkan tidak ada fakta dalam arti kata yang biasa. Ketika membangun sistemnya, logika pada akhirnya berangkat dari analisis pemikiran nyata. Namun hasil analisis ini bersifat sintetik dan tidak dapat dibedakan. Pernyataan-pernyataan tersebut bukanlah pernyataan mengenai proses-proses atau peristiwa-peristiwa tertentu yang harus dijelaskan oleh teori. Analisis seperti itu jelas tidak bisa disebut observasi: fenomena tertentu selalu diamati.
Ketika membangun sebuah teori baru, seorang ilmuwan biasanya memulai dari fakta, dari apa yang dapat diamati dalam pengalaman. Betapapun bebasnya imajinasi kreatifnya, ia harus mempertimbangkan satu keadaan yang sangat diperlukan: sebuah teori hanya masuk akal jika konsisten dengan fakta-fakta yang berkaitan dengannya. Sebuah teori yang menyimpang dari fakta dan observasi tidak masuk akal dan tidak bernilai.
Namun jika dalam logika tidak ada eksperimen, tidak ada fakta, dan tidak ada observasi itu sendiri, lalu apa yang menahan fantasi logis? Faktor apa, jika bukan fakta, yang diperhitungkan saat membuat teori logika baru?
Kesenjangan antara teori logika dan praktik pemikiran aktual sering kali terungkap dalam bentuk paradoks logika yang kurang lebih akut, dan terkadang bahkan dalam bentuk antinomi logis, yang menunjukkan inkonsistensi internal teori. Hal ini justru menjelaskan pentingnya paradoks dalam logika, dan besarnya perhatian yang mereka nikmati di dalamnya.

Varian Paradoks Pembohong

Paradoks logika yang paling terkenal dan mungkin paling menarik adalah paradoks “Pembohong”. Dialah yang terutama mengagungkan nama Eubulides dari Miletus, yang menemukannya.
Ada variasi dari paradoks atau antinomi ini, banyak di antaranya yang tampaknya bersifat paradoks.
Dalam versi paling sederhana dari “Pembohong”, seseorang hanya mengucapkan satu kalimat: “Saya berbohong.” Atau dia berkata: “Pernyataan yang saya buat sekarang adalah salah.” Atau: “Pernyataan ini salah.”

Jika pernyataan itu salah, maka penuturnya mengatakan yang sebenarnya, dan itu berarti apa yang dikatakannya tidak bohong. Jika pernyataan tersebut tidak salah, namun penutur menyatakan pernyataan tersebut salah, maka pernyataannya salah. Oleh karena itu, jika pembicara berbohong, maka ia mengatakan yang sebenarnya, dan sebaliknya.

Pada Abad Pertengahan, rumusan berikut ini umum:

“Apa yang dikatakan Plato salah,” kata Socrates.

“Apa yang dikatakan Socrates adalah kebenaran,” kata Plato.

Timbul pertanyaan, manakah di antara mereka yang mengungkapkan kebenaran dan mana yang bohong?
Berikut ini adalah pengungkapan ulang modern atas paradoks ini. Katakanlah di bagian depan kartu hanya ada tulisan: “Di sisi lain kartu ini ada pernyataan yang benar.” Jelas kata-kata ini mewakili pernyataan yang bermakna. Membalikkan kartunya, kita harus menemukan pernyataan yang dijanjikan, atau tidak ada sama sekali. Jika tertulis di belakang, maka itu benar atau tidak. Namun, di belakangnya ada tulisan: “Ada pernyataan palsu tertulis di sisi lain kartu ini” - dan tidak lebih. Anggap saja pernyataan di depan itu benar. Maka pernyataan dibelakangnya pasti benar dan oleh karena itu pernyataan di depannya pasti salah. Tetapi jika pernyataan di mukanya salah, maka pernyataan di belakangnya pasti salah juga, maka pernyataan di mukanya pasti benar. Hasilnya adalah sebuah paradoks.
Paradoks Pembohong memberikan kesan yang sangat besar pada orang Yunani. Dan mudah untuk mengetahui alasannya. Pertanyaan yang diajukan sekilas tampak cukup sederhana: apakah dia berbohong yang hanya mengatakan bahwa dia berbohong? Namun jawaban “ya” mengarah pada jawaban “tidak”, dan sebaliknya. Dan refleksi tidak memperjelas situasi sama sekali. Di balik kesederhanaan dan bahkan kerutinan pertanyaan tersebut, terdapat kedalaman yang tidak jelas dan tak terukur.
Bahkan ada legenda bahwa Filit Kossky, yang putus asa untuk menyelesaikan paradoks ini, melakukan bunuh diri. Mereka juga mengatakan bahwa salah satu ahli logika Yunani kuno yang terkenal, Diodorus Kronos, di tahun-tahun kemundurannya, bersumpah untuk tidak makan sampai dia menemukan solusi untuk "Pembohong", dan segera meninggal tanpa mencapai apa pun.
Pada Abad Pertengahan, paradoks ini diklasifikasikan sebagai salah satu kalimat yang tidak dapat diputuskan dan menjadi objek analisis sistematis. Di zaman modern, “Si Pembohong” sudah lama tidak menarik perhatian. Mereka tidak melihat adanya kesulitan, bahkan yang kecil sekalipun, dalam dirinya mengenai penggunaan bahasa. Dan hanya di masa yang kita sebut sebagai zaman modern inilah perkembangan logika akhirnya mencapai tingkat di mana permasalahan yang tampaknya berada di balik paradoks ini menjadi mungkin untuk dirumuskan secara ketat.
Sekarang si "Pembohong" - tipikal sofisme sebelumnya - sering disebut raja paradoks logika. Literatur ilmiah yang luas dikhususkan untuk itu. Namun, seperti banyak paradoks lainnya, masih belum sepenuhnya jelas masalah apa yang tersembunyi di baliknya dan bagaimana cara menghilangkannya.

Bahasa dan metabahasa

Sekarang “Si Pembohong” biasanya dianggap sebagai contoh khas dari kesulitan yang timbul dari kebingungan dua bahasa: bahasa yang berbicara tentang realitas yang ada di luar dirinya, dan bahasa yang berbicara tentang bahasa pertama itu sendiri.

Dalam bahasa sehari-hari tidak ada perbedaan antara tingkatan ini: kita berbicara tentang realitas dan bahasa dalam bahasa yang sama. Misalnya, seseorang yang bahasa ibunya adalah bahasa Rusia tidak melihat adanya perbedaan khusus antara pernyataan: “Kaca itu transparan” dan “Memang benar kaca itu transparan”, meskipun salah satunya tentang kaca, dan yang lainnya tentang kaca. pernyataan tentang kaca.
Jika seseorang memiliki gagasan tentang perlunya berbicara tentang dunia dalam satu bahasa, dan tentang sifat-sifat bahasa ini dalam bahasa lain, ia dapat menggunakan dua bahasa berbeda yang ada, misalnya Rusia dan Inggris. Daripada hanya mengatakan: “Sapi adalah sebuah kata benda,” seseorang akan mengatakan “Sapi adalah sebuah kata benda,” dan bukannya: “Pernyataan “Kaca tidak transparan” adalah salah.” Dengan dua bahasa berbeda yang digunakan dengan cara ini, apa yang dikatakan tentang dunia jelas akan berbeda dari apa yang dikatakan tentang bahasa yang digunakan untuk berbicara di dunia. Faktanya, pernyataan pertama mengacu pada bahasa Rusia, sedangkan pernyataan kedua mengacu pada bahasa Inggris.

Jika ahli bahasa kita ingin berbicara lebih jauh tentang beberapa keadaan yang berkaitan dengan bahasa Inggris, dia bisa menggunakan bahasa lain. Katakanlah bahasa Jerman. Untuk membicarakan poin terakhir ini, seseorang dapat menggunakan, misalnya, bahasa Spanyol, dll.
Dengan demikian, yang muncul adalah semacam tangga, atau hierarki, bahasa, yang masing-masing digunakan untuk tujuan yang sangat spesifik: yang pertama berbicara tentang dunia objektif, yang kedua tentang bahasa pertama, yang ketiga tentang bahasa pertama. bahasa kedua, dll. Pembedaan bahasa menurut bidang penerapannya seperti itu jarang terjadi dalam kehidupan sehari-hari. Namun dalam ilmu-ilmu yang khusus berhubungan dengan bahasa, seperti logika, terkadang hal ini ternyata sangat berguna. Bahasa yang digunakan seseorang untuk membicarakan dunia biasanya disebut bahasa subjek. Bahasa yang digunakan untuk mendeskripsikan bahasa subjek disebut metabahasa.

Jelas jika bahasa dan metabahasa dibedakan dengan cara ini, maka pernyataan “Saya berbohong” tidak dapat lagi dirumuskan. Ini berbicara tentang kepalsuan dari apa yang dikatakan dalam bahasa Rusia, dan oleh karena itu, termasuk dalam bahasa meta dan harus diungkapkan dalam bahasa Inggris. Secara khusus, bunyinya akan seperti ini: “Semua yang saya ucapkan dalam bahasa Rusia adalah salah” (“Semua yang saya katakan dalam bahasa Rusia adalah salah”); pernyataan bahasa Inggris ini tidak mengatakan apa pun tentang dirinya sendiri, dan tidak ada paradoks yang muncul.
Perbedaan antara bahasa dan metabahasa memungkinkan kita menghilangkan paradoks “Pembohong”. Dengan demikian, menjadi mungkin untuk secara benar, tanpa kontradiksi, mendefinisikan konsep kebenaran klasik: suatu pernyataan benar jika sesuai dengan realitas yang digambarkannya.
Konsep kebenaran, seperti semua konsep semantik lainnya, bersifat relatif: selalu dapat dikaitkan dengan bahasa tertentu.

Seperti yang ditunjukkan oleh ahli logika Polandia, ATarski, definisi klasik tentang kebenaran harus dirumuskan dalam bahasa yang lebih luas daripada bahasa yang dimaksudkan. Dengan kata lain, jika kita ingin menunjukkan apa arti ungkapan “pernyataan yang benar dalam suatu bahasa tertentu”, kita harus, selain ungkapan-ungkapan dalam bahasa tersebut, juga menggunakan ungkapan-ungkapan yang tidak ada di dalamnya.
Tarski memperkenalkan konsep bahasa yang tertutup secara semantik. Bahasa yang demikian, selain ungkapan-ungkapannya, juga memuat namanya, dan juga yang penting ditegaskan, pernyataan-pernyataan tentang kebenaran kalimat-kalimat yang dirumuskan di dalamnya.

Tidak ada batasan antara bahasa dan metabahasa dalam bahasa yang tertutup secara semantik. Sarananya begitu kaya sehingga memungkinkan tidak hanya untuk menegaskan sesuatu tentang realitas ekstra-linguistik, tetapi juga untuk mengevaluasi kebenaran pernyataan tersebut. Cara-cara ini cukup, khususnya, untuk mereproduksi antinomi “Pembohong” dalam bahasa tersebut. Dengan demikian, bahasa yang tertutup secara semantik ternyata kontradiktif secara internal. Setiap bahasa alami jelas tertutup secara semantik.
Satu-satunya cara yang dapat diterima untuk menghilangkan antinomi, dan karenanya inkonsistensi internal, menurut Tarski, adalah dengan menolak menggunakan bahasa yang tertutup secara semantik. Jalur ini tentu saja dapat diterima hanya dalam kasus bahasa buatan dan formal yang memungkinkan pembagian yang jelas menjadi bahasa dan metabahasa. Dalam bahasa alami, dengan strukturnya yang tidak jelas dan kemampuan untuk membicarakan segala hal dalam bahasa yang sama, pendekatan ini tidak terlalu realistis. Tidak masuk akal untuk mempertanyakan konsistensi internal bahasa-bahasa ini. Kemampuan ekspresif mereka yang kaya juga memiliki sisi negatifnya - paradoks.

Solusi lain untuk paradoks ini

Jadi, ada pernyataan yang berbicara tentang benar atau salahnya sendiri. Gagasan bahwa pernyataan semacam ini tidak bermakna adalah gagasan lama. Hal ini dipertahankan oleh ahli logika Yunani kuno Chrysippus.
Pada Abad Pertengahan, filsuf dan ahli logika Inggris W. Ockham menyatakan bahwa pernyataan “Setiap pernyataan salah” tidak ada artinya, karena antara lain berbicara tentang kepalsuannya sendiri. Sebuah kontradiksi langsung muncul dari pernyataan ini. Jika setiap pernyataan salah, maka hal ini juga berlaku pada pernyataan itu sendiri; namun fakta bahwa pernyataan tersebut salah berarti tidak semua pernyataan salah.

Situasinya mirip dengan pernyataan “Setiap pernyataan benar.” Seharusnya juga tergolong tidak bermakna dan juga menimbulkan kontradiksi: jika setiap pernyataan benar, maka negasi dari pernyataan itu sendiri juga benar, yaitu pernyataan bahwa tidak setiap pernyataan benar.
Namun, mengapa suatu pernyataan tidak dapat mengungkapkan benar atau salahnya secara bermakna?
Sudah sezaman dengan Occam, filsuf Perancis abad ke-14. J. Buridan tidak setuju dengan keputusannya. Dari sudut pandang gagasan biasa tentang ketidakbermaknaan, ungkapan seperti “Saya berbohong”, “Setiap pernyataan benar (salah)”, dll. cukup berarti. Apa yang dapat Anda pikirkan, Anda dapat mengutarakannya - ini adalah prinsip umum Buridan. Seseorang dapat memikirkan kebenaran pernyataan yang diucapkannya, artinya ia dapat mengutarakannya. Tidak semua self-talk itu tidak masuk akal. Misalnya pernyataan “Kalimat ini ditulis dalam bahasa Rusia” benar, tetapi pernyataan “Ada sepuluh kata dalam kalimat ini” salah. Dan keduanya sangat masuk akal. Jika suatu pernyataan diperbolehkan untuk berbicara tentang dirinya sendiri, lalu mengapa pernyataan tersebut tidak mampu berbicara secara bermakna tentang properti seperti kebenaran?
Buridan sendiri menilai pernyataan “Saya berbohong” bukan tidak ada artinya, melainkan salah. Dia membenarkannya seperti ini.

Ketika seseorang menyatakan suatu proposisi, maka ia menyatakan bahwa proposisi itu benar. Jika sebuah kalimat mengatakan tentang dirinya sendiri bahwa kalimat itu sendiri salah, maka kalimat tersebut hanyalah rumusan singkat dari ekspresi yang lebih kompleks yang menegaskan kebenaran dan kepalsuannya. Ungkapan ini kontradiktif dan karenanya salah. Tapi itu sama sekali tidak ada artinya.

Argumen Buridan terkadang masih dianggap meyakinkan.
Ada kritik lain terhadap solusi paradoks “Pembohong”, yang dikembangkan secara rinci oleh Tarski. Benarkah dalam bahasa yang tertutup secara semantik - dan semua bahasa alami memang demikian - tidak ada penawar untuk paradoks jenis ini?
Jika memang demikian, maka konsep kebenaran hanya dapat didefinisikan secara ketat dalam bahasa formal. Hanya di dalamnya kita dapat membedakan antara bahasa subjek yang digunakan seseorang untuk berbicara tentang dunia di sekitar kita, dan bahasa meta yang digunakan seseorang untuk berbicara tentang bahasa tersebut. Hirarki bahasa ini dibangun berdasarkan model penguasaan bahasa asing dengan bantuan bahasa ibu. Studi tentang hierarki seperti itu telah menghasilkan banyak kesimpulan menarik, dan dalam kasus-kasus tertentu hal ini signifikan. Tapi itu tidak dalam bahasa alami. Apakah ini akan mendiskreditkannya? Dan jika ya, sejauh mana? Bagaimanapun, konsep kebenaran masih digunakan di dalamnya, dan biasanya tanpa komplikasi apa pun. Apakah memperkenalkan hierarki adalah satu-satunya cara untuk menghilangkan paradoks seperti “Pembohong?”

Pada tahun 1930-an, jawaban terhadap pertanyaan-pertanyaan ini nampaknya jelas-jelas positif. Namun, kini kebulatan suara yang dulu sudah tidak ada lagi, meski tradisi menghilangkan paradoks jenis ini dengan “stratifikasi” bahasa masih dominan.
Akhir-akhir ini, ekspresi egosentris semakin menarik perhatian. Kata-kata tersebut mengandung kata-kata seperti “saya”, “ini”, “di sini”, “sekarang”, dan kebenarannya bergantung pada kapan, oleh siapa, dan di mana kata-kata tersebut digunakan.

Pada pernyataan “Pernyataan ini salah” muncul kata “itu”. Objek manakah sebenarnya yang dirujuknya? “Pembohong” mungkin mengatakan bahwa kata “itu” tidak relevan dengan arti pernyataan tersebut. Tapi lalu apa maksudnya, apa maksudnya? Dan mengapa arti ini masih belum dapat ditentukan dengan kata “ini”?
Tanpa merinci lebih jauh di sini, perlu dicatat bahwa dalam konteks analisis ekspresi egosentris, “Pembohong” diisi dengan konten yang sama sekali berbeda dari sebelumnya. Ternyata dia tidak lagi memperingatkan agar tidak membingungkan bahasa dan metabahasa, namun menunjukkan bahaya yang terkait dengan penggunaan kata “itu” dan kata-kata egosentris serupa yang salah.
Masalah yang terkait dengan "Pembohong" selama berabad-abad telah bervariasi secara radikal tergantung pada apakah hal itu dilihat sebagai contoh ambiguitas, atau sebagai ekspresi yang tampak sebagai contoh kebingungan bahasa dan metabahasa, atau, akhirnya, sebagai contoh tipikal penyalahgunaan ekspresi egosentris. Dan tidak ada kepastian bahwa masalah lain tidak akan terkait dengan paradoks ini di masa depan.

Ahli logika dan filsuf Finlandia modern yang terkenal, G. von Wright, menulis dalam karyanya yang didedikasikan untuk “The Liar” bahwa paradoks ini tidak boleh dipahami sebagai hambatan lokal dan terisolasi yang dapat dihilangkan dengan satu gerakan pemikiran yang inventif. “Pembohong” menyentuh banyak topik terpenting dalam logika dan semantik. Inilah definisi kebenaran, penafsiran atas kontradiksi dan bukti, serta serangkaian perbedaan penting: antara sebuah kalimat dan pemikiran yang diungkapkannya, antara penggunaan suatu ungkapan dan penyebutannya, antara arti sebuah nama dan arti sebuah nama. objek yang dilambangkannya.
Situasinya serupa dengan paradoks logika lainnya. “Antinomi logika,” tulis von Wrigg, “telah membingungkan kita sejak penemuannya dan mungkin akan selalu membingungkan kita. Menurut saya, kita harus memandangnya bukan sebagai permasalahan yang menunggu solusinya, namun sebagai bahan mentah untuk refleksi yang tiada habisnya. Hal-hal tersebut penting karena memikirkan hal-hal tersebut menyentuh pertanyaan paling mendasar dari semua logika, dan juga semua pemikiran.”

Sebagai penutup percakapan tentang “Si Pembohong” ini, kita dapat mengingat sebuah episode aneh ketika logika formal masih diajarkan di sekolah. Dalam buku teks logika yang diterbitkan pada akhir tahun 40an, anak-anak sekolah kelas delapan diminta sebagai pekerjaan rumah—sebagai pemanasan, boleh dikatakan—untuk menemukan kesalahan yang dibuat dalam pernyataan yang tampaknya sederhana ini: “Saya berbohong.” Dan, meskipun kelihatannya tidak aneh, diyakini bahwa sebagian besar anak sekolah berhasil mengatasi tugas ini.

§ 2. Paradoks Russell

Paradoks paling terkenal yang ditemukan di abad kita adalah antinomi yang ditemukan oleh B. Russell dan dikomunikasikan olehnya dalam sebuah surat kepada G. Ferge. Antinomi yang sama dibahas secara bersamaan di Göttingen oleh ahli matematika Jerman Z. Zermelo dan D. Hilbert.
Idenya sedang mengudara, dan penerbitannya menimbulkan efek ledakan bom. Paradoks ini, menurut Hilbert, menyebabkan dampak bencana total dalam matematika. Metode logis yang paling sederhana dan penting, konsep yang paling umum dan berguna berada di bawah ancaman.
Segera menjadi jelas bahwa baik dalam logika maupun matematika, sepanjang sejarah panjang keberadaan mereka, sama sekali tidak ada yang dikembangkan yang dapat dijadikan dasar. menghilangkan antinomi. Peralihan dari cara berpikir konvensional jelas diperlukan. Tapi dari tempat mana dan ke arah mana? Seberapa radikalkah kita melepaskan diri dari cara-cara berteori yang sudah mapan?
Dengan adanya penelitian lebih lanjut mengenai antinomi tersebut, keyakinan akan perlunya pendekatan baru yang fundamental terus meningkat. Setengah abad setelah penemuannya, para ahli dasar logika dan matematika L. Frenkel dan I. Bar-Hillel telah menyatakan tanpa keraguan: “Kami percaya bahwa setiap upaya untuk keluar dari situasi tersebut menggunakan cara tradisional (yaitu, yang dilakukan di digunakan sebelum abad ke-20) cara berpikir, yang sejauh ini selalu gagal, jelas tidak cukup untuk mencapai tujuan ini.”
Ahli logika Amerika modern H. Curry kemudian menulis tentang paradoks ini: “Dalam istilah logika yang dikenal pada abad ke-19, situasinya tidak dapat dijelaskan, meskipun, tentu saja, di zaman terpelajar kita mungkin ada orang yang akan melihat (atau mengira mereka akan melihat), apa kesalahannya.”

Paradoks Russell dalam bentuk aslinya dikaitkan dengan konsep himpunan, atau kelas.
Kita dapat berbicara tentang himpunan benda-benda yang berbeda, misalnya himpunan semua orang atau himpunan bilangan asli. Elemen himpunan pertama adalah setiap orang, dan elemen himpunan kedua adalah setiap bilangan asli. Juga diperbolehkan untuk menganggap himpunan itu sendiri sebagai suatu objek dan berbicara tentang himpunan dari himpunan. Anda bahkan dapat memperkenalkan konsep seperti himpunan semua himpunan atau himpunan semua konsep.

Himpunan himpunan biasa

Mengenai himpunan arbitrer apa pun, tampaknya masuk akal untuk menanyakan apakah himpunan tersebut merupakan elemennya sendiri atau bukan. Himpunan yang tidak memuat dirinya sendiri sebagai suatu elemen disebut biasa. Misalnya, himpunan semua orang bukanlah suatu pribadi, sebagaimana himpunan atom bukanlah suatu atom. Himpunan yang merupakan elemennya sendiri akan menjadi tidak biasa. Misalnya, himpunan yang menyatukan semua himpunan adalah himpunan dan oleh karena itu memuat dirinya sendiri sebagai suatu elemen.
Sekarang mari kita perhatikan himpunan semua himpunan biasa. Karena jumlahnya banyak, maka bisa juga ditanyakan, apakah biasa atau tidak biasa. Namun jawabannya ternyata mengecewakan. Jika ia biasa, maka menurut definisinya, ia harus memuat dirinya sendiri sebagai suatu elemen, karena ia memuat semua himpunan biasa. Tapi ini berarti bahwa ini adalah kumpulan yang tidak biasa. Asumsi bahwa himpunan kita adalah himpunan biasa menimbulkan kontradiksi. Artinya, ini tidak mungkin biasa-biasa saja. Di sisi lain, ia juga tidak bisa menjadi luar biasa: suatu himpunan yang tidak biasa memuat dirinya sendiri sebagai sebuah elemen, dan elemen-elemen dari himpunan kita hanyalah himpunan biasa. Hasilnya, kita sampai pada kesimpulan bahwa himpunan semua himpunan biasa tidak dapat berupa himpunan biasa atau himpunan luar biasa.

Jadi, himpunan semua himpunan yang bukan merupakan unsur wajar adalah unsurnya sendiri jika dan hanya jika himpunan tersebut bukan unsur tersebut. Ini jelas merupakan suatu kontradiksi. Dan hal itu diperoleh berdasarkan asumsi-asumsi yang paling masuk akal dan dengan bantuan langkah-langkah yang tampaknya tak terbantahkan. Kontradiksi menunjukkan bahwa himpunan seperti itu tidak ada. Tapi kenapa itu tidak bisa ada? Bagaimanapun, ia terdiri dari objek-objek yang memenuhi suatu kondisi yang terdefinisi dengan jelas, dan kondisi itu sendiri tidak tampak luar biasa atau tidak jelas. Jika himpunan yang didefinisikan secara sederhana dan jelas seperti itu tidak mungkin ada, lalu apa sebenarnya perbedaan antara himpunan yang mungkin dan yang tidak mungkin? Kesimpulan tentang tidak adanya himpunan yang dimaksud terdengar tidak terduga dan menimbulkan kekhawatiran. Hal ini membuat konsep umum kita tentang himpunan menjadi tidak berbentuk dan kacau, dan tidak ada jaminan bahwa hal tersebut tidak dapat menimbulkan beberapa paradoks baru.

Paradoks Russell luar biasa karena sifatnya yang sangat umum. Untuk membangunnya, Anda tidak memerlukan konsep teknis yang rumit, seperti dalam kasus beberapa paradoks lainnya; konsep “himpunan” dan “elemen himpunan” sudah cukup. Namun kesederhanaan ini hanya berbicara tentang sifat dasarnya: ia menyentuh dasar terdalam dari pemikiran kita tentang himpunan, karena ia tidak berbicara tentang beberapa kasus khusus, tetapi tentang himpunan secara umum.

Versi lain dari paradoks ini

Paradoks Russell tidak bersifat matematis secara spesifik. Ia menggunakan konsep himpunan, tetapi tidak menyentuh sifat-sifat khusus apa pun yang berkaitan secara khusus dengan matematika.
Hal ini menjadi jelas jika kita merumuskan kembali paradoks ini dalam istilah yang sepenuhnya logis.

Untuk setiap properti, kemungkinan besar seseorang dapat bertanya apakah properti tersebut berlaku untuk dirinya sendiri atau tidak.
Sifat menjadi panas, misalnya, tidak berlaku pada dirinya sendiri, karena ia sendiri tidak panas; sifat wujud konkrit juga tidak mengacu pada dirinya sendiri, karena merupakan sifat abstrak. Namun sifat menjadi abstrak, menjadi abstrak, dapat diterapkan pada diri sendiri. Mari kita sebut properti yang tidak dapat diterapkan sendiri ini tidak dapat diterapkan. Apakah sifat tidak dapat diterapkan pada diri sendiri berlaku? Ternyata suatu ketidakberlakuan tidak dapat diterapkan hanya jika tidak. Tentu saja hal ini bersifat paradoks.
Versi antinomi Russell yang logis dan berkaitan dengan properti sama paradoksnya dengan versi matematis yang berkaitan dengan himpunan.
Russell juga mengusulkan versi populer paradoks yang ia temukan berikut ini.

Bayangkan dewan suatu desa mendefinisikan tugas seorang tukang cukur sebagai berikut: mencukur semua laki-laki di desa yang tidak mencukur dirinya sendiri, dan hanya laki-laki tersebut. Haruskah dia mencukur dirinya sendiri? Jika demikian, maka dia akan memperlakukan orang yang mencukur dirinya sendiri, tetapi orang yang mencukur dirinya sendiri, maka dia tidak boleh mencukurnya. Jika tidak, maka dia termasuk orang yang tidak mencukur dirinya sendiri, dan karena itu dia harus mencukur dirinya sendiri. Dengan demikian kita sampai pada kesimpulan bahwa tukang cukur ini mencukur dirinya sendiri jika dan hanya jika dia tidak mencukur dirinya sendiri. Tentu saja hal ini mustahil. Argumen tentang penata rambut bertumpu pada asumsi bahwa penata rambut tersebut ada. Kontradiksi yang timbul berarti anggapan tersebut salah, dan tidak ada penduduk desa yang mencukur semuanya, dan yang ada hanya penduduk desa yang tidak mencukur dirinya sendiri.
Tugas seorang penata rambut pada pandangan pertama tampaknya tidak bertentangan, sehingga kesimpulan bahwa hal itu tidak mungkin ada terdengar agak tidak terduga. Namun kesimpulan ini tidak bersifat paradoks. Syarat yang harus dipenuhi oleh tukang cukur desa sebenarnya bertentangan secara internal dan oleh karena itu tidak mungkin dipenuhi. Tidak mungkin ada tukang cukur seperti itu di desa karena alasan yang sama bahwa tidak ada orang di desa itu yang lebih tua dari dirinya atau yang lahir sebelum kelahirannya.
Argumen tentang penata rambut bisa disebut paradoks semu. Dalam perjalanannya, ini sangat mirip dengan paradoks Russell dan inilah mengapa ini menarik. Tapi ini masih bukan paradoks yang sebenarnya.

Contoh lain dari paradoks semu yang sama adalah argumen terkenal tentang katalog.
Perpustakaan tertentu memutuskan untuk menyusun katalog bibliografi, yang akan mencakup semua katalog bibliografi yang tidak berisi tautan ke katalog itu sendiri. Haruskah direktori seperti itu menyertakan tautan ke direktori itu sendiri?
Tidak sulit untuk menunjukkan bahwa gagasan membuat katalog seperti itu tidak mungkin dilakukan; ia tidak mungkin ada, karena ia harus menyertakan referensi ke dirinya sendiri dan tidak menyertakannya secara bersamaan.
Menarik untuk dicatat bahwa membuat katalog semua direktori yang tidak berisi referensi dapat dianggap sebagai proses tanpa akhir dan tanpa akhir. Mari kita asumsikan bahwa suatu saat sebuah direktori, katakanlah K1, telah dikompilasi, termasuk semua direktori berbeda darinya yang tidak berisi tautan ke direktori itu sendiri. Dengan terciptanya K1, direktori lain muncul yang tidak berisi tautan ke direktori itu sendiri. Karena masalahnya adalah membuat katalog lengkap dari semua katalog yang tidak menyebutkan dirinya sendiri, jelas bahwa K1 bukanlah solusi. Dia tidak menyebutkan salah satu direktori itu—dirinya sendiri. Dengan memasukkan penyebutan dirinya ke dalam K1, kita mendapatkan katalog K2. Disebutkan K1, tapi bukan K2 itu sendiri. Dengan menambahkan penyebutan seperti itu ke K2, kita mendapatkan KZ, yang lagi-lagi tidak lengkap karena tidak menyebutkan dirinya sendiri. Dan terus menerus tanpa akhir.

§ 3. Paradoks Grelling dan Berry

Paradoks logika yang menarik ditemukan oleh ahli logika Jerman K. Grelling dan L. Nelson (paradoks Grelling). Paradoks ini dapat dirumuskan dengan sangat sederhana.

Kata autologis dan heterologis

Beberapa kata properti memiliki properti yang diberi nama. Misalnya, kata sifat “Rusia” itu sendiri adalah bahasa Rusia, “bersuku kata banyak” itu sendiri bersuku banyak, dan “lima suku kata” itu sendiri memiliki lima suku kata. Kata-kata seperti itu yang mengacu pada dirinya sendiri disebut makna diri, atau autologis.
Tidak banyak kata yang mirip; sebagian besar kata sifat tidak memiliki sifat yang sesuai dengan namanya. Tentu saja, “Baru” bukanlah sesuatu yang baru, “panas” itu panas, “satu suku kata” adalah satu suku kata, dan “Bahasa Inggris” adalah bahasa Inggris. Kata-kata yang tidak mempunyai sifat yang dilambangkannya disebut makna asing, atau heterologte. Jelasnya, semua kata sifat yang menunjukkan sifat yang tidak dapat diterapkan pada kata akan bersifat heterologis.
Pembagian kata sifat menjadi dua kelompok tampaknya jelas dan tidak dapat disangkal. Ini dapat diperluas ke kata benda: “kata” adalah sebuah kata, “kata benda” adalah kata benda, tetapi “jam” bukanlah sebuah jam dan “kata kerja” bukanlah sebuah kata kerja.
Sebuah paradoks muncul segera setelah pertanyaan diajukan: manakah dari dua kelompok yang termasuk dalam kata sifat “heterologis” itu sendiri? Jika bersifat autologus, ia mempunyai sifat yang dilambangkannya dan harus bersifat heterologis. Jika bersifat heterologis, maka ia tidak memiliki sifat yang disebutnya dan oleh karena itu harus bersifat autologis. Ada sebuah paradoks.

Dengan analogi paradoks ini, mudah untuk merumuskan paradoks lain yang memiliki struktur yang sama. Misalnya, apakah seseorang yang membunuh setiap orang yang tidak ingin bunuh diri dan tidak membunuh orang yang bunuh diri berarti bunuh diri atau tidak?

Ternyata paradoks Grellig sudah dikenal pada Abad Pertengahan sebagai antinomi dari sebuah ekspresi yang tidak menyebutkan namanya. Bisa dibayangkan sikap terhadap sofisme dan paradoks di zaman modern jika suatu permasalahan yang membutuhkan jawaban dan menimbulkan perdebatan sengit tiba-tiba terlupakan dan baru ditemukan kembali lima ratus tahun kemudian!

Antinomi lain yang tampaknya sederhana ditunjukkan pada awal abad kita oleh D. Berry.

Himpunan bilangan asli tidak terhingga. Himpunan nama-nama untuk angka-angka ini, misalnya, dalam bahasa Rusia dan mengandung kurang dari, katakanlah, seratus kata, adalah terbatas. Artinya ada bilangan asli yang tidak ada namanya dalam bahasa Rusia, yang terdiri kurang dari seratus kata. Di antara angka-angka tersebut jelas ada angka yang paling kecil. Itu tidak dapat diberi nama menggunakan ekspresi Rusia yang mengandung kurang dari seratus kata. Namun ungkapan: “Bilangan asli terkecil yang tidak ada nama kompleksnya dalam bahasa Rusia, terdiri dari kurang dari seratus kata” justru merupakan nama bilangan ini! Nama ini baru saja dirumuskan dalam bahasa Rusia dan hanya berisi sembilan belas kata. Sebuah paradoks yang jelas: nomor yang disebutkan ternyata adalah nomor yang tidak ada namanya!

§ 4. Perselisihan yang tidak dapat diselesaikan

Protagoras sofis terkenal, yang hidup pada abad ke-5. SM, ada seorang siswa bernama Euathlus, yang belajar hukum. Menurut kesepakatan yang dibuat di antara mereka, Evatl harus membayar biaya pelatihan hanya jika dia memenangkan uji coba pertamanya. Jika dia kalah dalam proses ini, dia tidak wajib membayar sama sekali. Namun, setelah menyelesaikan studinya, Evatl tidak mengikuti proses tersebut. Hal ini berlangsung cukup lama, kesabaran sang guru habis, dan ia menggugat muridnya. Jadi, bagi Euathlus ini adalah proses pertama. Protagoras membenarkan permintaannya sebagai berikut:

“Apa pun keputusan pengadilan, Evatl harus membayar saya.” Dia akan memenangkan percobaan pertama ini atau kalah. Jika dia menang, dia akan membayar sesuai kesepakatan kita. Jika kalah, dia akan membayar sesuai keputusan ini.

Euathlus tampaknya adalah siswa yang cakap, karena dia menjawab Protagoras:

- Memang, saya akan memenangkan persidangan atau kalah. Jika saya menang, keputusan pengadilan akan membebaskan saya dari kewajiban membayar. Jika keputusan pengadilan tidak menguntungkan saya, berarti saya kalah dalam kasus pertama saya dan tidak akan membayar sesuai kesepakatan kita.

Solusi untuk paradoks Protagoras dan Euathlus

Bingung dengan kejadian ini, Protagoras mencurahkan esai khusus untuk perselisihan ini dengan Euathlus, “Litigasi untuk Pembayaran.” Sayangnya, seperti kebanyakan tulisan Protagoras, belum sampai kepada kita. Namun demikian, kita harus memberi penghormatan kepada Protagoras, yang segera merasakan adanya masalah di balik insiden peradilan sederhana yang patut mendapat kajian khusus.

G. Leibniz, yang juga seorang pengacara, juga menanggapi perselisihan ini dengan serius. Dalam disertasi doktoralnya yang berjudul “A Study on Confused Cases in Law”, ia berusaha membuktikan bahwa semua kasus, bahkan yang paling rumit sekalipun, seperti litigasi Protagoras dan Euathlus, harus dicari penyelesaiannya yang tepat berdasarkan akal sehat. Menurut Leibniz, pengadilan harus menolak Protagoras karena mengajukan tuntutan sebelum waktunya, namun tetap berhak menuntut pembayaran uang dari Euathlus di kemudian hari, yaitu setelah kasus pertama yang dimenangkannya.

Banyak solusi lain terhadap paradoks ini telah diusulkan.

Secara khusus, mereka mengacu pada fakta bahwa keputusan pengadilan harus mempunyai kekuatan yang lebih besar dibandingkan dengan kesepakatan pribadi antara dua orang. Terhadap hal ini kita dapat menjawab bahwa tanpa persetujuan ini, betapapun kecilnya kelihatannya, tidak akan ada pengadilan maupun keputusannya. Bagaimanapun, pengadilan harus membuat keputusannya secara tepat mengenai hal itu dan atas dasar hal itu.

Mereka juga beralih ke prinsip umum bahwa semua pekerjaan, dan karena itu pekerjaan Protagoras, harus dibayar. Namun diketahui bahwa prinsip ini selalu memiliki pengecualian, terutama dalam masyarakat pemilik budak. Selain itu, hal ini tidak dapat diterapkan pada situasi spesifik perselisihan: bagaimanapun juga, Protagoras, meskipun menjamin pelatihan tingkat tinggi, dirinya sendiri menolak menerima pembayaran jika siswanya gagal dalam proses pertama.

Terkadang mereka berdebat seperti ini. Baik Protagoras maupun Euathlus sama-sama benar sebagian, dan tidak ada satupun yang benar secara umum. Masing-masing dari mereka hanya memperhitungkan setengah dari kemungkinan yang bermanfaat bagi dirinya sendiri. Pertimbangan penuh atau komprehensif membuka empat kemungkinan, yang mana hanya setengahnya saja yang menguntungkan salah satu pihak yang berselisih. Kemungkinan mana yang akan diwujudkan tidak ditentukan oleh logika, tetapi oleh kehidupan. Jika putusan hakim mempunyai kekuatan yang lebih besar dari pada kontrak, Euathlus harus membayar hanya jika dia kalah dalam kasus tersebut, yaitu. berdasarkan keputusan pengadilan. Jika perjanjian privat ditempatkan lebih tinggi dari keputusan hakim, maka Protagoras akan menerima pembayaran hanya jika Euathlus kalah dalam proses tersebut, yaitu. berdasarkan kesepakatan dengan Protagoras, seruan terhadap kehidupan ini benar-benar membingungkan segalanya. Jika bukan logika, apa yang dapat menjadi pedoman bagi hakim dalam kondisi ketika semua keadaan yang relevan sudah sepenuhnya jelas? Dan kepemimpinan seperti apa yang akan terjadi jika Protagoras, yang menuntut pembayaran melalui pengadilan, hanya mencapainya dengan kehilangan proses?

Namun, solusi Leibniz, yang pada awalnya tampak meyakinkan, sedikit lebih baik daripada pertentangan yang tidak jelas antara logika dan kehidupan. Intinya, Leibniz mengusulkan untuk mengganti kata-kata kontrak secara surut dan menetapkan bahwa persidangan pertama yang melibatkan Euathlus, yang hasilnya akan memutuskan masalah pembayaran, tidak boleh menjadi persidangan Protagoras. Pemikiran ini mendalam, namun tidak berhubungan dengan pengadilan tertentu. Jika klausul seperti itu ada dalam perjanjian awal, maka tidak perlu ada litigasi sama sekali.

Jika solusi atas kesulitan ini yang kami maksud adalah jawaban atas pertanyaan apakah Euathlus harus membayar Protagoras atau tidak, maka semua ini, seperti semua solusi lain yang mungkin, tentu saja tidak dapat dipertahankan. Hal-hal tersebut tidak lebih dari sekedar penyimpangan dari esensi perselisihan; bisa dikatakan, hal-hal tersebut merupakan tipu muslihat yang canggih dalam situasi yang tidak ada harapan dan tidak dapat diselesaikan. Sebab tidak ada akal sehat maupun prinsip-prinsip umum mengenai hubungan sosial yang mampu menyelesaikan perselisihan tersebut.
Tidak mungkin untuk melaksanakan bersama-sama suatu kontrak dalam bentuk aslinya dan keputusan pengadilan, apapun bentuk akhirnya. Untuk membuktikan hal ini, logika sederhana saja sudah cukup. Dengan menggunakan cara-cara yang sama, dapat juga ditunjukkan bahwa kontrak tersebut, meskipun kelihatannya benar-benar polos, secara internal bertentangan. Hal ini memerlukan penerapan proposisi yang secara logis tidak mungkin: Evatl harus membayar pelatihan secara bersamaan dan pada saat yang sama tidak membayar.

Aturan yang berujung pada jalan buntu

Tentu saja, sulit bagi pikiran manusia, yang terbiasa tidak hanya dengan kekuatannya, tetapi juga dengan fleksibilitas dan bahkan kecerdikannya, untuk menerima keputusasaan mutlak ini dan mengakui bahwa ia sedang menemui jalan buntu. Hal ini sangat sulit terutama ketika situasi kebuntuan diciptakan oleh pikiran itu sendiri: bisa dikatakan, pikiran tiba-tiba tersandung dan berakhir di jaringannya sendiri. Namun kita harus mengakui bahwa terkadang, dan tidak jarang, kesepakatan dan sistem peraturan, yang dibentuk secara spontan atau diperkenalkan dengan sengaja, mengarah pada situasi yang tidak dapat diselesaikan dan tidak ada harapan.

Sebuah contoh dari kehidupan catur baru-baru ini sekali lagi menegaskan gagasan ini.

Aturan internasional dalam kompetisi catur mewajibkan para pemain catur untuk mencatat permainan langkah demi langkah dengan jelas dan terbaca. Hingga saat ini, peraturan tersebut juga menyatakan bahwa seorang pecatur yang karena keterbatasan waktu, melewatkan pencatatan beberapa gerakan harus, “segera setelah kesulitan waktunya berakhir, segera mengisi formulirnya, mencatat gerakan-gerakan yang terlewat.” Berdasarkan instruksi ini, salah satu juri di Olimpiade Catur (Malta) tahun 1980 menginterupsi permainan di bawah tekanan waktu yang parah dan menghentikan jam, menyatakan bahwa gerakan kontrol telah dilakukan dan, oleh karena itu, sudah waktunya untuk mencatat rekor permainan tersebut. memesan.

“Tapi permisi,” teriak peserta yang diambang kekalahan dan hanya mengandalkan intensitas gairah di penghujung pertandingan, “toh belum ada satu bendera pun yang berjatuhan dan tidak ada yang bisa (ini juga tertulis dalam peraturan) memberitahukan berapa banyak gerakan yang telah dilakukan.”
Akan tetapi, hakim didukung oleh ketua arbiter, yang menyatakan bahwa, memang, karena masalah sudah selesai, maka perlu, sesuai dengan isi peraturan, untuk mulai mencatat langkah-langkah yang terlewat.
Tidak ada gunanya berdebat dalam situasi ini: peraturan itu sendiri menemui jalan buntu. Yang tersisa hanyalah mengubah kata-katanya agar kasus serupa tidak terjadi lagi di kemudian hari.
Hal ini dilakukan pada kongres Federasi Catur Internasional yang diadakan pada waktu yang sama: alih-alih menggunakan kata-kata “segera setelah tekanan waktu berakhir”, peraturannya sekarang berbunyi: “segera setelah bendera menandakan akhir dari catur. waktu."
Contoh ini dengan jelas menunjukkan bagaimana bertindak dalam situasi kebuntuan. Tidak ada gunanya berdebat tentang pihak mana yang benar: perselisihan tidak dapat diselesaikan, dan tidak akan ada pemenang. Yang tersisa hanyalah menerima masa kini dan menjaga masa depan. Untuk melakukan ini, Anda perlu merumuskan kembali perjanjian atau aturan awal agar tidak membawa orang lain ke dalam situasi tanpa harapan yang sama.
Tentu saja, tindakan seperti itu bukanlah solusi terhadap perselisihan yang tidak terselesaikan atau jalan keluar dari situasi yang tidak ada harapan. Ini lebih seperti berhenti di depan rintangan yang tidak dapat diatasi dan jalan di sekitarnya.

Paradoks “Buaya dan Ibu”

Di Yunani Kuno, kisah buaya dan ibu, yang isi logisnya bertepatan dengan paradoks “Protagoras dan Eubatlus”, sangat populer.
Seekor buaya merenggut anaknya dari seorang wanita Mesir yang berdiri di tepi sungai. Atas permohonannya untuk mengembalikan anak itu, buaya, yang, seperti biasa, mengeluarkan air mata buaya, menjawab:

“Kemalanganmu telah menyentuhku, dan aku akan memberimu kesempatan untuk mendapatkan kembali anakmu.” Coba tebak apakah aku akan memberikannya padamu atau tidak. Jika Anda menjawab dengan benar, saya akan mengembalikan anak itu. Jika Anda tidak menebaknya, saya tidak akan memberikannya.

Setelah berpikir, sang ibu menjawab:

- Kamu tidak akan memberiku anak itu.

“Kamu tidak akan mendapatkannya,” pungkas buaya. “Anda mengatakan yang sebenarnya atau tidak mengatakan yang sebenarnya.” Jika benar aku tidak akan memberikan anak itu, maka aku tidak akan memberikannya, karena kalau tidak, apa yang dikatakan tidak akan benar. Jika apa yang dikatakan tidak benar, maka Anda tidak menebak dengan benar, dan saya tidak akan menyerahkan anak itu dengan persetujuan.

Namun, sang ibu tidak menganggap alasan tersebut meyakinkan.

“Tetapi jika saya mengatakan yang sebenarnya, maka Anda akan memberikan anak itu kepada saya, sesuai kesepakatan kita.” Jika saya tidak menebak bahwa Anda tidak akan menyerahkan anak itu, maka Anda harus memberikannya kepada saya, jika tidak, apa yang saya katakan tidak akan salah.

Siapa yang benar: ibu atau buaya? Janji apa yang diwajibkannya kepada buaya? Memberikan anak itu atau sebaliknya tidak memberikannya? Dan keduanya pada saat bersamaan. Janji ini bertentangan secara internal, sehingga tidak dipenuhi oleh hukum logika.
Misionaris itu berhasil menemui para kanibal dan tiba tepat pada waktunya untuk makan siang. Mereka mengizinkannya memilih dalam bentuk apa dia akan dimakan. Untuk itu, ia harus mengucapkan suatu pernyataan dengan syarat jika pernyataan itu benar, maka mereka akan merebusnya, dan jika ternyata palsu, mereka akan menggorengnya.

Apa yang hendaknya Anda sampaikan kepada misionaris?

Tentu saja dia harus berkata, “Kamu akan memanggangku.”

Kalau benar digoreng, ternyata ucapannya benar, artinya harus direbus. Kalau direbus, pernyataannya salah, dan digoreng saja. Para kanibal tidak punya pilihan lain: dari “menggoreng” muncul “memasak”, dan sebaliknya.

Episode dengan misionaris yang licik ini, tentu saja, merupakan parafrase lain dari perselisihan antara Protagoras dan Euathlus.

Paradoks Sancho Panza

Salah satu paradoks lama, yang dikenal di Yunani Kuno, dimainkan dalam “Don Quixote” oleh M. Cervantes. Sancho Panza menjadi gubernur pulau Barataria dan mengelola pengadilan.
Orang pertama yang mendatanginya adalah seorang pengunjung dan berkata: “Tuan, sebuah perkebunan dibagi menjadi dua bagian oleh sungai yang airnya tinggi... Jadi, ada sebuah jembatan yang melintasi sungai ini, dan tepat di tepinya ada sebuah jembatan. tiang gantungan dan ada sesuatu seperti pengadilan, di mana empat orang hakim duduk, dan mereka mengadili berdasarkan hukum yang dikeluarkan oleh pemilik sungai, jembatan dan seluruh harta benda, yang hukumnya dibuat sebagai berikut: “ Setiap orang yang melewati jembatan di atas sungai ini harus menyatakan di bawah sumpah: ke mana dan mengapa dia pergi, dan siapa pun yang mengatakan yang sebenarnya, biarkan mereka lewat, dan mereka yang berbohong, tanpa keringanan hukuman, kirim mereka ke tiang gantungan yang terletak di sana dan eksekusi mereka. .” Sejak undang-undang ini dengan segala keseriusannya diberlakukan, banyak yang berhasil menyeberangi jembatan, dan segera setelah hakim yakin bahwa orang yang lewat mengatakan yang sebenarnya, mereka membiarkan mereka lewat. Tetapi suatu hari seorang pria tertentu, yang telah bersumpah, bersumpah dan berkata: dia bersumpah bahwa dia datang untuk digantung di tiang gantungan ini, dan tidak untuk hal lain. Sumpah ini membingungkan para hakim, dan mereka berkata: “Jika orang ini dibiarkan terus tanpa halangan, itu berarti dia telah melanggar sumpahnya dan, menurut hukum, bersalah atas hukuman mati; kalau kita gantung dia, maka dia bersumpah bahwa dia datang hanya untuk digantung di tiang gantungan ini, oleh karena itu sumpahnya ternyata tidak salah, dan atas dasar hukum yang sama dia harus dibiarkan lewat.” Maka saya bertanya kepada Anda, Tuan Gubernur, apa yang harus dilakukan para hakim terhadap orang ini, karena mereka masih bingung dan ragu-ragu...
Sancho menyarankan, mungkin bukan tanpa kelicikan: biarkan separuh dari orang yang mengatakan kebenaran dibiarkan lewat, dan separuh yang berbohong harus digantung, sehingga aturan untuk melintasi jembatan akan dipatuhi sepenuhnya. Bagian ini menarik dalam beberapa hal.
Pertama-tama, ini merupakan gambaran jelas tentang fakta bahwa situasi tanpa harapan yang digambarkan dalam paradoks mungkin saja ditemui—dan bukan dalam teori murni, namun dalam praktik—jika bukan oleh orang sungguhan, setidaknya oleh seorang pahlawan sastra.

Solusi yang diajukan Sancho Panza tentu saja bukan solusi atas paradoks tersebut. Namun justru inilah solusi yang harus diambil dalam situasinya.
Suatu ketika, Alexander Agung, alih-alih melepaskan simpul Gordian yang rumit, yang belum pernah berhasil dilakukan oleh siapa pun, malah memotongnya. Sancho juga melakukan hal yang sama. Tidak ada gunanya mencoba memecahkan teka-teki itu dengan caranya sendiri; teka-teki itu tidak bisa dipecahkan. Yang tersisa hanyalah membuang kondisi ini dan memperkenalkan kondisi kita sendiri.
Dan suatu saat. Dengan episode ini, Cervantes dengan jelas mengutuk skala formal keadilan abad pertengahan yang terlalu formal, yang diresapi dengan semangat logika skolastik. Namun betapa luasnya informasi dari bidang logika pada masanya - dan ini terjadi sekitar empat ratus tahun yang lalu -! Tidak hanya Cervantes sendiri yang menyadari paradoks ini. Penulis merasa mungkin untuk menghubungkan pahlawannya, seorang petani yang buta huruf, kemampuan untuk memahami bahwa ia dihadapkan pada tugas yang tidak dapat diselesaikan!

§ 5. Paradoks lainnya

Paradoks di atas merupakan argumentasi yang menimbulkan kontradiksi. Namun ada jenis paradoks lain dalam logika. Mereka juga menunjukkan beberapa kesulitan dan masalah, namun mereka melakukannya dengan cara yang tidak terlalu keras dan tanpa kompromi. Secara khusus, inilah paradoks yang dibahas di bawah ini.

Paradoks konsep yang tidak tepat

Sebagian besar konsep, tidak hanya dalam bahasa alami, tetapi juga dalam bahasa sains, tidak tepat, atau disebut juga kabur. Hal ini seringkali menjadi penyebab kesalahpahaman, perselisihan, bahkan hanya berujung pada situasi kebuntuan.
Jika konsepnya tidak tepat, batas area objek yang diterapkan menjadi kurang tajam dan kabur. Ambil contoh, konsep “heap”. Satu butir (butir pasir, batu, dll) bukanlah satu timbunan. Seribu butir jelas sudah menjadi tumpukan. Bagaimana dengan tiga butir? Bagaimana kalau sepuluh? Dengan penambahan berapa butir maka terbentuklah tumpukan? Tidak begitu jelas. Sama seperti tidak jelas ketika tumpukan itu dihilangkan, butiran mana yang hilang.
Karakteristik empiris “besar”, “berat”, “sempit”, dll. tidak akurat. Konsep umum seperti “orang bijak”, “kuda”, “rumah”, dll. tidaklah akurat.
Tidak ada sebutir pasir pun yang jika dihilangkan, kita dapat mengatakan bahwa setelah dihilangkan, yang tersisa tidak dapat lagi disebut sebagai rumah. Namun hal ini tampaknya berarti bahwa pembongkaran sebuah rumah secara bertahap - hingga hilangnya seluruhnya - tidak ada dasar untuk menyatakan bahwa tidak ada rumah! Kesimpulannya jelas paradoks dan mengecewakan.
Sangat mudah untuk melihat bahwa penalaran tentang ketidakmungkinan pembentukan tumpukan dilakukan dengan menggunakan metode induksi matematika yang terkenal. Satu butir tidak membentuk tumpukan. Jika n butir tidak membentuk tumpukan, maka n+1 butir tidak membentuk tumpukan. Oleh karena itu, tidak ada satu butir pun yang dapat membentuk tumpukan.
Kemungkinan bukti ini dan bukti serupa mengarah pada kesimpulan yang tidak masuk akal berarti bahwa prinsip induksi matematika memiliki cakupan yang terbatas. Kata ini tidak boleh digunakan dalam penalaran dengan konsep yang tidak tepat dan kabur.

Sebuah contoh yang baik tentang bagaimana konsep-konsep ini dapat menyebabkan perselisihan yang sulit diselesaikan adalah persidangan yang menarik yang terjadi pada tahun 1927 di Amerika Serikat. Pematung C. Brancusi pergi ke pengadilan menuntut agar karyanya diakui sebagai karya seni. Di antara karya yang dikirim ke New York untuk pameran adalah patung “Burung”, yang kini dianggap sebagai gaya abstrak klasik. Ini adalah kolom termodulasi dari perunggu yang dipoles setinggi sekitar satu setengah meter, yang tidak memiliki kemiripan luar dengan burung. Petugas bea cukai dengan tegas menolak mengakui karya abstrak Brancusi sebagai karya seni. Mereka menempatkannya di bawah judul “Peralatan rumah sakit dan barang-barang rumah tangga dari logam” dan mengenakan bea masuk yang berat terhadap barang-barang tersebut. Marah, Brancusi mengajukan gugatan.

Adat istiadat tersebut didukung oleh seniman – anggota Akademi Nasional, yang membela teknik tradisional dalam seni. Mereka bertindak sebagai saksi pembela di persidangan dan dengan tegas menegaskan bahwa upaya untuk menyamarkan “The Bird” sebagai sebuah karya seni hanyalah sebuah penipuan.
Konflik ini jelas menyoroti sulitnya menggunakan konsep “karya seni”. Patung secara tradisional dianggap sebagai bentuk seni rupa. Namun derajat kemiripan suatu gambar pahatan dengan aslinya dapat bervariasi dalam batas yang sangat luas. Dan pada titik manakah sebuah gambar pahatan, yang semakin menjauh dari aslinya, tidak lagi menjadi sebuah karya seni dan menjadi “perkakas logam”? Pertanyaan ini sulit dijawab seperti pertanyaan di mana letak batas antara rumah dan reruntuhannya, antara kuda berekor dan kuda tanpa ekor, dan sebagainya. Ngomong-ngomong, kaum modernis umumnya yakin bahwa patung adalah objek yang bentuknya ekspresif dan tidak harus berupa gambar.

Oleh karena itu, menangani konsep yang tidak tepat memerlukan kehati-hatian. Bukankah lebih baik meninggalkan semuanya?

Filsuf Jerman E. Husserl cenderung menuntut ketelitian dan akurasi ekstrim dari pengetahuan yang tidak ditemukan bahkan dalam matematika. Berkaitan dengan hal tersebut, ironisnya para penulis biografi Husserl mengingat kembali kejadian yang menimpanya di masa kanak-kanak. Dia diberi pisau lipat, dan memutuskan untuk membuat bilahnya sangat tajam, dia mengasahnya hingga tidak ada yang tersisa dari bilahnya.
Konsep yang lebih tepat lebih disukai daripada konsep yang tidak tepat dalam banyak situasi. Keinginan biasa untuk memperjelas konsep yang digunakan cukup beralasan. Namun tentu saja, hal itu harus ada batasnya. Bahkan dalam bahasa sains, sebagian besar konsepnya tidak tepat. Dan ini bukan disebabkan oleh kesalahan subjektif dan acak dari masing-masing ilmuwan, namun karena sifat dasar pengetahuan ilmiah. Dalam bahasa alami, sebagian besar konsep tidak tepat; ini berbicara, antara lain, tentang fleksibilitas dan kekuatan tersembunyinya. Siapapun yang menuntut ketelitian ekstrim dari semua konsep berisiko kehilangan bahasa sama sekali. “Hilangkan kata-kata dari semua ambiguitas, semua ketidakpastian,” tulis ahli kecantikan Prancis J. Joubert, “ubahlah... menjadi satu digit - permainan akan meninggalkan ucapan, dan dengan itu kefasihan dan puisi: segala sesuatu yang bergerak dan dapat diubah dalam kasih sayang jiwa , tidak akan dapat menemukan ekspresinya. Tapi apa yang saya katakan: menghilangkan... Saya akan mengatakan lebih banyak. Hilangkan satu kata pun dari ketidaktepatan apa pun, dan Anda bahkan akan kehilangan aksioma.”
Untuk waktu yang lama, baik ahli logika maupun matematikawan tidak memperhatikan kesulitan yang terkait dengan konsep yang tidak jelas dan himpunan terkaitnya. Pertanyaannya diajukan seperti ini: konsep harus tepat, dan segala sesuatu yang samar tidak layak untuk diperhatikan secara serius. Namun, dalam beberapa dekade terakhir, sikap yang terlalu ketat ini sudah tidak lagi menarik. Teori-teori logika telah dibangun yang secara khusus memperhitungkan keunikan penalaran dengan konsep-konsep yang tidak tepat.
Teori matematika tentang apa yang disebut himpunan fuzzy, kumpulan objek yang tidak jelas, sedang berkembang secara aktif.
Analisis masalah ketidaktepatan merupakan sebuah langkah untuk mendekatkan logika dengan praktik berpikir biasa. Dan kita dapat berasumsi bahwa hal ini akan membawa hasil yang lebih menarik.

Paradoks logika induktif

Mungkin tidak ada cabang logika yang tidak memiliki paradoksnya sendiri.
Logika induktif mempunyai paradoksnya sendiri, yang telah diperjuangkan secara aktif, namun sejauh ini tidak membuahkan hasil, selama hampir setengah abad. Yang sangat menarik adalah paradoks konfirmasi yang ditemukan oleh filsuf Amerika K. Hempel. Wajar jika kita berasumsi bahwa ketentuan-ketentuan umum, khususnya hukum-hukum ilmiah, ditegaskan melalui contoh-contoh positifnya. Jika kita perhatikan, katakanlah, pernyataan “Semua A adalah B”, maka contoh positifnya adalah benda-benda yang mempunyai sifat A dan B. Secara khusus, contoh pendukung pernyataan “Semua burung gagak berwarna hitam” adalah benda-benda yang keduanya adalah burung gagak. dan hitam. Namun, pernyataan ini setara dengan pernyataan “Segala sesuatu yang tidak berwarna hitam bukanlah burung gagak,” dan penegasan pernyataan tersebut juga harus merupakan penegasan dari pernyataan sebelumnya. Namun “Segala sesuatu yang tidak hitam bukanlah burung gagak” ditegaskan oleh setiap kasus benda bukan hitam yang bukan burung gagak. Oleh karena itu, ternyata pengamatan “Sapi itu putih”, “Sepatunya coklat”, dll. membenarkan pernyataan “Semua burung gagak berwarna hitam”.

Hasil paradoks yang tak terduga muncul dari premis-premis yang tampaknya tidak bersalah.

Secara logika norma, sejumlah undang-undangnya menimbulkan kekhawatiran. Ketika hal-hal tersebut dirumuskan dalam istilah-istilah yang bermakna, ketidakkonsistenan hal-hal tersebut dengan gagasan umum tentang apa yang pantas dan apa yang dilarang menjadi jelas. Misalnya, salah satu undang-undang mengatakan bahwa dari perintah “Kirim surat!” perintah “Kirim surat itu atau bakar!”
Undang-undang lain menyatakan bahwa jika seseorang melanggar salah satu tugasnya, dia berhak melakukan apapun yang dia inginkan. Intuisi logis kita tidak mau menerima “hukum kewajiban” semacam ini.
Dalam logika pengetahuan, paradoks kemahatahuan logis dibahas secara intensif. Ia mengklaim bahwa seseorang mengetahui segala konsekuensi logis yang timbul dari posisi yang diterimanya. Misalnya, jika seseorang mengetahui lima postulat geometri Euclid, maka dia mengetahui semua geometri ini, karena ia mengikutinya. Tapi itu tidak benar. Seseorang mungkin setuju dengan postulat tersebut dan pada saat yang sama tidak dapat membuktikan teorema Pythagoras dan oleh karena itu meragukan kebenarannya sama sekali.

§ 6. Apa yang dimaksud dengan paradoks logis

Tidak ada daftar paradoks logis yang lengkap, dan juga tidak mungkin.
Paradoks yang dibahas hanyalah sebagian dari semua yang ditemukan hingga saat ini. Kemungkinan besar masih banyak paradoks lain, dan bahkan jenis paradoks yang benar-benar baru, yang akan ditemukan di masa depan. Konsep paradoks itu sendiri tidak didefinisikan sedemikian rupa sehingga memungkinkan untuk menyusun daftar setidaknya paradoks yang sudah diketahui.
“Namun, paradoks teori himpunan adalah masalah yang sangat serius, bukan untuk matematika, melainkan untuk logika dan teori pengetahuan,” tulis ahli matematika dan logika Austria K. Gödel. “Logikanya konsisten. Tidak ada paradoks logis,” kata ahli matematika D. Bochvar. Perbedaan seperti ini terkadang bersifat signifikan, terkadang bersifat verbal. Intinya sangat bergantung pada apa sebenarnya yang dimaksud dengan paradoks logis.

Keunikan paradoks logika

Kamus logis dianggap sebagai fitur penting dari paradoks logis.
Paradoks yang tergolong logis harus dirumuskan secara logis. Namun dalam logika tidak ada kriteria yang jelas untuk membagi istilah menjadi logis dan non-logis. Logika, yang berkaitan dengan kebenaran penalaran, berupaya mereduksi konsep-konsep yang menjadi dasar kebenaran kesimpulan yang diterapkan secara praktis seminimal mungkin. Namun jumlah minimum ini tidak ditentukan sebelumnya secara pasti. Selain itu, pernyataan yang tidak logis dapat dirumuskan secara logis. Apakah suatu paradoks tertentu hanya menggunakan premis-premis logis murni tidak selalu mungkin untuk ditentukan secara jelas.
Paradoks logis tidak dipisahkan secara tegas dari semua paradoks lainnya, sama seperti paradoks lainnya tidak secara jelas dibedakan dari segala sesuatu yang non-paradoks dan konsisten dengan gagasan yang ada. Pada awal kajian paradoks logika, nampaknya hal tersebut dapat diidentifikasi dengan pelanggaran terhadap beberapa ketentuan atau kaidah logika yang belum dipelajari. Prinsip lingkaran setan yang diperkenalkan oleh B. Russell secara khusus secara aktif mengklaim peran aturan tersebut. Prinsip ini menyatakan bahwa kumpulan objek tidak dapat memuat anggota yang hanya dapat ditentukan oleh kumpulan yang sama.
Semua paradoks memiliki satu sifat yang sama - penerapan diri, atau sirkularitas. Di masing-masing objek tersebut, objek yang dimaksud dicirikan oleh sekumpulan objek tertentu yang menjadi miliknya. Jika kita memilih, misalnya, orang yang paling licik, kita melakukannya dengan bantuan seluruh orang yang termasuk dalam orang tersebut. Dan jika kita mengatakan: “Pernyataan ini salah,” kita mencirikan pernyataan tersebut dengan mengacu pada kumpulan semua pernyataan salah yang mencakup pernyataan tersebut.

Dalam semua paradoks, terjadi penerapan konsep secara mandiri, yang berarti seolah-olah ada gerakan melingkar, yang pada akhirnya mengarah ke titik awal. Dalam upaya untuk mengkarakterisasi suatu objek yang menarik bagi kita, kita beralih ke totalitas objek yang mencakupnya. Namun ternyata untuk kepastiannya ia sendiri membutuhkan objek yang dimaksud dan tidak dapat dipahami dengan jelas tanpanya. Mungkin di lingkaran inilah letak sumber paradoks.
Namun, situasinya menjadi rumit karena adanya lingkaran seperti itu dalam banyak argumen yang sepenuhnya non-paradoks. Melingkar adalah berbagai macam cara berekspresi yang paling umum, tidak berbahaya, dan sekaligus nyaman. Contoh seperti “kota terbesar”, “bilangan asli terkecil”, “salah satu elektron atom besi”, dll., menunjukkan bahwa tidak setiap kasus penerapan diri mengarah pada kontradiksi dan hal itu penting tidak hanya dalam bahasa biasa, tetapi juga dalam bahasa sains.
Oleh karena itu, rujukan pada penggunaan konsep yang dapat diterapkan sendiri saja tidak cukup untuk mendiskreditkan paradoks. Beberapa kriteria tambahan diperlukan untuk memisahkan penerapan diri, yang mengarah pada sebuah paradoks, dari semua kasus lainnya.
Ada banyak usulan mengenai hal ini, namun klarifikasi mengenai sirkularitas tidak pernah berhasil ditemukan. Ternyata mustahil untuk mengkarakterisasi sirkularitas sedemikian rupa sehingga setiap penalaran melingkar mengarah pada sebuah paradoks, dan setiap paradoks adalah hasil dari suatu penalaran melingkar.
Upaya untuk menemukan prinsip logika tertentu, yang pelanggarannya akan menjadi ciri khas semua paradoks logika, tidak menghasilkan sesuatu yang pasti.
Tidak diragukan lagi, akan berguna untuk memiliki semacam klasifikasi paradoks, membaginya menjadi tipe dan tipe, mengelompokkan beberapa paradoks dan membandingkannya dengan paradoks lainnya. Namun, tidak ada hasil abadi yang dicapai dalam hal ini.

Ahli logika Inggris F. Ramsay, yang meninggal pada tahun 1930, ketika usianya belum genap dua puluh tujuh tahun, mengusulkan untuk membagi semua paradoks menjadi sintaksis dan semantik. Yang pertama mencakup, misalnya, paradoks Russell, yang kedua mencakup paradoks “Pembohong”, Grelling, dll.
Menurut Ramsey, paradoks kelompok pertama hanya memuat konsep-konsep yang termasuk dalam logika atau matematika. Yang terakhir ini mencakup konsep-konsep seperti “kebenaran”, “keterdefinisian”, “penamaan”, “bahasa”, yang tidak sepenuhnya bersifat matematis, melainkan terkait dengan linguistik atau bahkan teori pengetahuan. Paradoks semantik tampaknya muncul bukan karena kesalahan logika, tetapi karena ketidakjelasan atau ambiguitas beberapa konsep non-logis, oleh karena itu masalah yang ditimbulkannya berkaitan dengan bahasa dan harus diselesaikan dengan linguistik.

Bagi Ramsey, para ahli matematika dan ahli logika tampaknya tidak perlu tertarik pada paradoks semantik. Namun belakangan ternyata beberapa hasil paling signifikan dari logika modern diperoleh justru dalam kaitannya dengan studi yang lebih mendalam tentang paradoks-paradoks non-logis tersebut.
Pembagian paradoks yang dikemukakan oleh Ramsey pada awalnya digunakan secara luas dan masih memiliki arti penting hingga saat ini. Pada saat yang sama, menjadi semakin jelas bahwa pembagian ini agak kabur dan lebih mengandalkan contoh-contoh daripada analisis komparatif mendalam terhadap kedua kelompok paradoks tersebut. Konsep semantik kini telah mendapat definisi yang tepat, dan sulit untuk tidak mengakui bahwa konsep tersebut benar-benar berhubungan dengan logika. Dengan berkembangnya semantik yang mendefinisikan konsep dasarnya dalam teori himpunan, perbedaan yang dilakukan Ramsey menjadi semakin kabur.

Paradoks dan logika modern

Kesimpulan logika apa yang didapat dari adanya paradoks?
Pertama-tama, kehadiran sejumlah besar paradoks menunjukkan kekuatan logika sebagai suatu ilmu, dan bukan kelemahannya, seperti yang terlihat.

Bukan suatu kebetulan bahwa penemuan paradoks bertepatan dengan periode perkembangan logika modern yang paling intensif dan keberhasilan terbesarnya.
Paradoks pertama ditemukan bahkan sebelum munculnya logika sebagai ilmu khusus. Banyak paradoks yang ditemukan pada Abad Pertengahan. Namun belakangan, mereka dilupakan dan ditemukan kembali di abad kita.
Para ahli logika abad pertengahan tidak mengetahui konsep “himpunan” dan “elemen himpunan”, yang baru diperkenalkan ke dalam sains pada paruh kedua abad ke-19. Namun pengertian terhadap paradoks begitu terasah pada Abad Pertengahan sehingga pada saat itu sudah ada kekhawatiran tertentu yang diungkapkan mengenai konsep-konsep yang dapat diterapkan sendiri. Contoh paling sederhana adalah konsep “menjadi elemen diri sendiri,” yang muncul dalam banyak paradoks saat ini.
Namun, kekhawatiran tersebut, seperti semua peringatan mengenai paradoks pada umumnya, belum cukup sistematis dan pasti hingga abad ini. Mereka tidak memberikan usulan yang jelas untuk merevisi cara berpikir dan berekspresi yang biasa dilakukan.
Hanya logika modern yang telah menghilangkan masalah paradoks dan menemukan atau menemukan kembali sebagian besar paradoks logis yang spesifik. Dia lebih lanjut menunjukkan bahwa metode berpikir yang secara tradisional dipelajari dengan logika sama sekali tidak cukup untuk menghilangkan paradoks, dan menunjukkan metode fundamental baru untuk menghadapinya.
Paradoks menimbulkan pertanyaan penting: di manakah sebenarnya metode pembentukan konsep dan metode penalaran konvensional mengecewakan kita? Bagaimanapun, mereka tampak sangat alami dan meyakinkan, hingga ternyata bersifat paradoks.

Paradoks meruntuhkan keyakinan bahwa metode berpikir teoretis yang lazim dengan sendirinya dan tanpa kendali khusus atas metode tersebut memberikan kemajuan yang dapat diandalkan menuju kebenaran.
Menuntut perubahan radikal dalam pendekatan teori yang terlalu mudah dipercaya, paradoks mewakili kritik tajam terhadap logika dalam bentuknya yang naif dan intuitif. Mereka memainkan peran sebagai faktor yang mengontrol dan membatasi cara membangun sistem logika deduktif. Dan peran ini dapat dibandingkan dengan peran eksperimen yang menguji kebenaran hipotesis dalam sains seperti fisika dan kimia, dan memaksa dilakukannya perubahan terhadap hipotesis tersebut.
Paradoks dalam suatu teori berbicara tentang ketidaksesuaian asumsi-asumsi yang mendasarinya. Ini bertindak sebagai gejala penyakit yang terdeteksi tepat waktu, yang tanpanya penyakit ini dapat diabaikan.
Tentu saja, penyakit ini memanifestasikan dirinya dalam berbagai cara, dan pada akhirnya dapat dideteksi tanpa gejala akut seperti paradoks. Katakanlah, dasar-dasar teori himpunan akan dianalisis dan diklarifikasi bahkan jika tidak ada paradoks yang ditemukan di bidang ini. Namun tidak akan ada ketajaman dan urgensi paradoks yang ditemukan di dalamnya yang menimbulkan masalah dalam merevisi teori himpunan.

Literatur yang luas dikhususkan untuk paradoks, dan sejumlah besar penjelasan telah diajukan. Namun tidak satu pun dari penjelasan ini yang diterima secara umum, dan tidak ada kesepakatan lengkap tentang asal muasal paradoks dan cara menghilangkannya.
“Selama enam puluh tahun terakhir, ratusan buku dan artikel telah dikhususkan untuk tujuan memecahkan paradoks, namun hasilnya sangat buruk dibandingkan dengan upaya yang telah dilakukan,” tulis A. Frenkel. “Tampaknya,” H. Curry menyimpulkan analisisnya tentang paradoks tersebut, “diperlukan reformasi logika secara menyeluruh, dan logika matematika dapat menjadi alat utama untuk melaksanakan reformasi ini.”

Apa itu paradoks? Paradoks adalah dua pernyataan yang tidak sejalan dan berlawanan, masing-masing memiliki argumen yang meyakinkan dalam arahnya sendiri-sendiri. Bentuk paradoks yang paling menonjol adalah antinomi - penalaran yang membuktikan kesetaraan pernyataan, yang salah satunya merupakan penolakan eksplisit terhadap yang lain. Dan justru paradoks dalam ilmu-ilmu yang paling eksak dan teliti, seperti misalnya logika, yang patut mendapat perhatian khusus.

Logika, seperti yang Anda tahu, adalah ilmu abstrak. Tidak ada tempat di dalamnya untuk eksperimen dan fakta spesifik apa pun dalam pengertian biasa; itu selalu melibatkan analisis pemikiran nyata. Namun kesenjangan antara teori logika dan praktik berpikir nyata masih terjadi. Dan konfirmasi paling jelas dari hal ini adalah paradoks logika, dan terkadang bahkan antinomi logis, yang melambangkan ketidakkonsistenan teori logika itu sendiri. Hal inilah yang menjelaskan arti paradoks logika dan perhatian yang diberikan pada paradoks ini dalam ilmu logika. Di bawah ini kami akan memperkenalkan Anda pada contoh paradoks logika yang paling mencolok. Informasi ini tentunya akan menarik baik bagi mereka yang mempelajari logika secara mendalam maupun bagi mereka yang sekedar ingin mempelajari informasi baru dan menarik.

Mari kita mulai dengan paradoks yang disusun oleh filsuf Yunani kuno Zeno dari Elea, yang hidup pada abad ke-5 SM. Paradoksnya disebut “Aporias Zeno” dan bahkan memiliki interpretasinya sendiri.

Aporia dari Zeno

Aporia Zeno tampaknya merupakan argumen paradoks tentang gerak dan keberagaman. Secara total, orang-orang sezaman Zeno menyebutkan lebih dari 40 aporias (omong-omong, kata "aporia" dari bahasa Yunani kuno diterjemahkan sebagai "kesulitan") dari kepengarangannya, tetapi hanya sembilan di antaranya yang bertahan hingga hari ini. Jika mau, Anda dapat membiasakan diri dengannya dalam karya Aristoteles, Diogenes Laertius, Plato, Themistius, Philoponus, Aelius, dan Symplykius. Kami akan memberikan contoh tiga yang paling terkenal.

Achilles dan kura-kura

Bayangkan Achilles berlari dengan kecepatan sepuluh kali lebih cepat dari kecepatan kura-kura, dan berada seribu langkah di belakangnya. Sementara Achilles berlari seribu langkah, kura-kura hanya membutuhkan seratus langkah. Sementara Achilles akan mengatasi seratus lainnya, kura-kura akan punya waktu untuk mengatasi sepuluh, dan seterusnya. Dan proses ini akan berlanjut tanpa batas waktu dan Achilles tidak akan pernah bisa mengejar penyu tersebut.

Pembelahan dua

Untuk mengatasi suatu jalan tertentu, Anda harus terlebih dahulu mengatasi separuhnya, dan untuk mengatasi separuhnya, Anda harus mengatasi separuh dari separuhnya, dan seterusnya. Berdasarkan hal ini, gerakan tidak akan pernah dimulai.

Panah terbang

Anak panah yang terbang selalu berada di tempatnya, karena... pada saat mana pun ia diam, dan karena ia diam pada setiap saat, maka ia selalu diam.

Adalah tepat untuk mengemukakan paradoks lain di sini.

Paradoks Pembohong

Penulisan paradoks ini dikaitkan dengan pendeta dan peramal Yunani kuno Epimenides. Paradoksnya berbunyi seperti ini: “Apa yang saya katakan saat ini adalah kebohongan,” yaitu. keluar: “Saya berbohong” atau “Pernyataan saya salah.” Artinya, bila suatu pernyataan benar, maka berdasarkan isinya ia bohong, tetapi bila pernyataan itu pada hakikatnya salah, maka pernyataannya bohong. Ternyata pernyataan ini salah. Oleh karena itu, pernyataan tersebut benar - kesimpulan ini membawa kita kembali ke awal penalaran kita.

Saat ini, paradoks pembohong dianggap sebagai salah satu rumusan paradoks Russell.

Paradoks Russell

Paradoks Russell ditemukan pada tahun 1901 oleh filsuf Inggris Bertrand Russell dan kemudian ditemukan kembali secara independen oleh ahli matematika Jerman Ernst Zermelo (kadang-kadang disebut "paradoks Russell-Zermelo"). Paradoks ini menunjukkan ketidakkonsistenan sistem logika Frege, di mana matematika direduksi menjadi logika. Paradoks Russell memiliki beberapa rumusan:

• Paradoks kemahakuasaan - apakah makhluk mahakuasa mampu menciptakan sesuatu yang dapat membatasi kemahakuasaannya?
• Katakanlah suatu perpustakaan telah menetapkan tugas untuk menyusun satu katalog bibliografi besar, yang harus mencakup semua dan hanya katalog bibliografi yang tidak memuat referensi ke katalog itu sendiri. Pertanyaan: Haruskah saya menyertakan tautan ke direktori ini?
• Misalnya, di beberapa negara disahkan undang-undang yang menyatakan bahwa walikota di semua kota dilarang tinggal di kotanya, dan hanya diperbolehkan tinggal di “Kota Walikota”. Lalu, di mana walikota kota ini akan tinggal?
• Paradoks tukang cukur - hanya ada satu tukang cukur di desa, dan dia diperintahkan untuk mencukur setiap orang yang tidak mencukur dirinya sendiri, dan tidak mencukur mereka yang mencukur dirinya sendiri. Pertanyaan: Siapa yang harus mencukur tukang cukur?

Paradoks berikut ini pun tak kalah menarik dan menggelikan.

Paradoks Burali-Forti

Anggapan bahwa gagasan tentang kemungkinan himpunan bilangan urut dapat menimbulkan kontradiksi, artinya teori himpunan yang memungkinkan terjadinya konstruksi himpunan bilangan urut akan menjadi kontradiktif.

Paradoks Penyanyi

Asumsi bahwa himpunan semua himpunan itu mungkin dapat menimbulkan kontradiksi, artinya teori yang memungkinkan pembentukan himpunan tersebut juga akan bertentangan.

Paradoks Hilbert

Gagasan bahwa jika semua kamar di sebuah hotel dengan jumlah kamar yang tidak terbatas terisi, maka lebih banyak orang dapat ditampung di dalamnya, dan jumlah mereka tidak terbatas. Paradoks ini menjelaskan bahwa hukum-hukum logika sama sekali tidak dapat diterima terhadap sifat-sifat ketidakterbatasan.

Kesimpulan Salah Monte Carlo

Kesimpulannya adalah saat bermain roulette, Anda dapat dengan aman bertaruh pada warna merah jika warna hitam muncul sepuluh kali berturut-turut. Kesimpulan ini dianggap salah karena menurut teori probabilitas, terjadinya peristiwa berikutnya tidak dipengaruhi oleh peristiwa sebelumnya.

Paradoks Einstein-Podolsky-Rosen

Pertanyaannya adalah apakah proses dan peristiwa yang berkembang berjauhan mampu saling mempengaruhi? Misalnya, apakah kelahiran supernova di galaksi jauh mempengaruhi cuaca di Moskow? Jawabannya dapat diberikan sebagai berikut: berdasarkan hukum mekanika kuantum, pengaruh seperti itu tidak mungkin terjadi karena kecepatan cahaya dan kecepatan transfer informasi adalah besaran yang terbatas, dan Alam Semesta tidak terbatas.

Paradoks kembar

Pertanyaan: Akankah penjelajah kembar yang kembali dari perjalanan luar angkasa dengan pesawat luar angkasa superluminal akan lebih muda dari saudaranya yang selama ini tinggal di Bumi? Jika kita melanjutkan dari teori relativitas, maka lebih banyak waktu yang telah berlalu di Bumi (menurut aliran waktu terestrial) dibandingkan di pesawat luar angkasa yang terbang dengan kecepatan superluminal, yang berarti kembaran penjelajah tersebut akan lebih muda.

Paradoks kakek yang terbunuh

Bayangkan Anda kembali ke masa lalu dan membunuh kakek Anda sebelum dia bertemu nenek Anda. Kesimpulannya adalah kamu tidak akan dilahirkan dan tidak akan bisa kembali ke masa lalu untuk membunuh kakekmu. Paradoks yang dihadirkan dengan jelas menunjukkan ketidakmungkinan melakukan perjalanan ke masa lalu.

Paradoks predestinasi

Misalnya, seseorang menemukan dirinya di masa lalu, melakukan hubungan seksual dengan nenek buyutnya dan mengandung seorang putra, yaitu. kakeknya. Hal ini menyebabkan terjadinya suksesi keturunan, termasuk orang tua seseorang dan juga orang itu sendiri. Ternyata jika orang tersebut tidak melakukan perjalanan ke masa lalu, dia tidak akan pernah dilahirkan sama sekali.

Ini hanyalah beberapa paradoks logis yang memenuhi pikiran banyak orang saat ini. Tidak akan sulit bagi pikiran yang ingin tahu untuk menemukan lusinan yang serupa (misalnya). Sejumlah besar waktu dan upaya dapat dicurahkan untuk mempelajari, menyangkal, atau membuktikan masing-masingnya. Dan, kemungkinan besar, Anda dapat membuat kesimpulan orisinal pribadi Anda tentang setiap paradoks. Namun hal ini memberi tahu kita bahwa, meskipun hukum logika dan hubungan sebab-akibat mendominasi dalam hidup kita, tidak semua hal dalam hidup kita bergantung pada hukum tersebut. Terkadang kontradiksi yang mirip dengan paradoks logika muncul dalam kehidupan sehari-hari setiap orang. Bagaimanapun, ini adalah bahan pemikiran dan bahan pemikiran yang sangat baik.

Ngomong-ngomong, mengenai refleksi: ada buku yang sangat menarik tentang topik paradoks logis berjudul “Gödel, Escher dan Bach.” Penulisnya adalah fisikawan dan ilmuwan komputer Amerika Douglas Hofstadter.

Pembaca yang budiman, alangkah baiknya jika dalam komentar Anda memberikan beberapa contoh paradoks logika yang familiar bagi Anda. Kami juga akan tertarik dengan pendapat Anda tentang arti logika dalam hidup kita - Pilih salah satu pernyataan di bawah ini.